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高二学情调研
数学参考答案及解析
三、填空题
12.0.15【解析】由对称性得
.故答案为0.15.
13.
【解析】由题得
，设
的公比为
，则
，
由
，得
，即
，又
为整数，所以
，所以
.故答案为
.
14.
【解析】设
，
，
方向上的单位向量分别为
，
，
，由题意知
．且
，
，
.设该三棱锥外接球的球心为
，半径为
，
，由外接球的性
质得
，
，
，所以
，
，
．即
，
，
，三式相加得
，则
，解得
，
，
，所以
，所以该三棱锥外接球的表面积
.故答案为
.
四、解答题
15.解：（1）抽到的两把刀具质量均较好的概率为
.（3 分）
（2）由题得
，
，（5 分）
，（7 分）
所以
，（9 分）
则
，（10 分）
所以
关于的经验回归方程为
，（11 分）
当
时，
，
故可预测时间为
时刀具的厚度为
.（13 分）
（结果是分式或者化简成小数都正确，保留一位小数扣一分）
16.解：（1）当
时，
，
，
则
，（2 分）
令
，得
或
，（3 分）
则当
时，
，
单调递减；（4 分）
当
时，
，
单调递增，（5 分）
所以
在区间
上的最小值为
.（6 分）
（2）由题得
，
因为
在
处取得极小值，所以
，（7 分）
解得
或
.（8 分）
当
时，
，
令
，得
或
，（9 分）
则当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增，
此时
在
处取得极小值，符合题意；（11 分）
当
时，
，
令
，得
或
，（12 分）
则当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增，
此时
在
处取得极大值，在
处取得极小值，不符合题意.（14 分）
综上，
.（15 分）
17.解：（1）零假设
：学生的学习成绩与心理情况无关，
，（3 分）
所以依据小概率值
的独立性检验，推断
不成立，即认为学生的学习成绩与心理情况有关，此推
断犯错误的概率不超过0.001.（5 分）
（2）由题可得抽取的7 人中，心理情况较好的人数为
，
心理情况较差的人数为
，（8 分）
则X 的可能取值为0,1,2,3，
，
，
，
，（12 分）
所以X 的分布列为
0
1
2
3
则
.（15 分）
（结果是分式或者化简成小数都正确）
18.解：（1）因为
，
，
所以当
时，
，得
；（2 分）
当
时，
，得
.（4 分）
（2）因为
，
所以
，
两式相减得
，
则
.（6 分）
当
时，
；（7 分）
当
时，
，（8 分）
设
，
，
则
，
所以
在
上单调递增，（10 分）
所以由
，得
，
故
，
，
则
，
，（12 分）
设
，
，
则
，
所以
在
上单调递减，（14 分）
所以由
，得
，
，
则
，
则
，
故
，
.（16 分）
综上，
.（17 分）
19.解：（1）设
，
由题得
，
即
，
整理得
，
所以
的方程为
.（4 分）
（2）（i）由题得
，（5 分）
当
的斜率为
时，可取
，
则
，符合题意，
此时
的方程为
；（6 分）
当
的斜率不为
时，设
，
，
，
联立
，得
，
则
，
，
.（8 分）
，
，
所以
，
即
，不成立.（10 分）
综上，
的方程为
.（11 分）
（ii）假设点
在定直线上，
由椭圆的对称性可知该定直线必然与
轴垂直.（12 分）
由题可知
的斜率不为0，且直线
，
直线
，（14 分）
联立
，（15 分）
得
，（16 分）
所以点
在定直线
上.（17 分）
