4 分数的意义和性质
一、了解分数的产生,理解分数的意义,明确分数与除法的
联系。
1.实际生活中,在进行测量、分物或计算时,往往不能正好
温馨提示:
得到整数的结果,在这种情况下就产生了另一种数——分数。 把谁平均分,就应该把
谁看作单位“1”。
2.一个物体、一个计量单位或是一些物体等都可以看作一
分成若干份是指分成
个整体,这个整体可以用自然数 1 表示,通常把它叫做单位
除0以外的任意整数份,分
“1”。
时一定是平均分,只有平均
3.把单位“1”平均分成若干份,这样的一份或几份都可以 分才可以用分数来表示。
用分数来表示。 分数与除法之间的联
系非常紧密,但分数不等同
4.把单位“1”平均分成若干份,表示其中一份的数叫做分
于除法,二者之间有一定的
数单位。
区别:除法是一种运算,分数
一个分数的分母是几,它的分数单位就是几分之一,分子是
是一种数。
几,它就有几个这样的分数单位。
5.两个数相除,商可以用分数来表示,即被除数÷除数=
被除数 a
,用字母表示为a÷b= (b≠0)。反之,分数也可以看作两
除数 b
个数相除,分数的分子相当于被除数,分母相当于除数,分数线相
特别注意:
当于除号。
因为除法算式中的除
6.求一个数是另一个数(0除外)的几分之几的问题的解题
一个数 数不能为0,所以在分数中
方法:一个数÷另一个数=
另一个数
,即比较量÷标准量=
分母也不能为0。
比较量
,商表示的是两个数的倍比关系(也可以称部分与整体
标准量
的关系),没有单位名称。
7.分数不但可以表示部分与整体的关系,还可以表示具体
的数量。当分数表示具体的数量时,可以加单位名称。 温馨提示:
二、认识真分数、假分数和带分数,能把假分数化成带分 任何整数(0除外)都可
数或整数。 以化成分母是 1 的假分
1.分子比分母小的分数叫做真分数,真分数小于1。 数。
2.分子比分母大或分子等于分母的分数叫做假分数,假分
数大于1或等于1。
3.由整数(0除外)和真分数合成的数叫做带分数,带分数大
于1。
4.带分数的读法:先读带分数的整数部分,再读分数部分,分
举例:
数部分和整数部分中间加一个“又”字。
5.带分数的写法:“又”前面是整数部分,后面是分数部分, 因为13÷4=3……1,
先写整数部分,再写分数部分。 1
所以13÷4=3 。
6.假分数化成整数或带分数的方法:根据分数与除法的关 4
系,把假分数化成整数或带分数的方法是用分子除以分母。当
分子是分母的整数倍时,能化成整数,商就是这个整数;当分子不
是分母的整数倍时,能化成带分数,商是带分数的整数部分,余数 温馨提示:分数的基本性质与除
是分数部分的分子,分母不变。
法中商不变的规律类似,要
三、理解并掌握分数的基本性质,会比较分数的大小。
注意不为0的条件。
1.分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数(0除外),分
数的大小不变,这叫做分数的基本性质。
2.根据分数的基本性质,可以把一个分数化成分母不同而
温馨提示:
大小不变的分数,也可以把一个分数化成指定分母的分数。
在铺地砖问题中,要使
四、理解公因数与最大公因数、公倍数与最小公倍数的
地面铺满且使用的地砖是
意义,能找出两个数的最大公因数和最小公倍数,能比较熟练地
整块时,就是求长和宽的公
进行通分。
因数,要求地砖的边长最大
1.几个数公有的因数,叫做这几个数的公因数,其中最大的
是多少,就是求长和宽的最
公因数,叫做它们的最大公因数。
大公因数。
2.求两个数最大公因数的方法:
(1)列举法:先分别找出两个数的因数,从中找出公因数,再找
出公因数中最大的那个;
特别注意:
(2)筛选法:先找出两个数中较小数的因数,从中圈出另一个
有些实际问题可转化
数的因数,再看哪一个最大;
为求几个数的公因数,如果
(3)分解质因数法:先把每个数都写成几个质因数相乘的形
题目是求“最长”“最
式,再从这些质因数中找出这两个数公有的质因数,这些公有的
多”等问题,就是求几个数
质因数的乘积就是这两个数的最大公因数;
的最大公因数。
(4)短除法:先把这两个数公有的质因数按从小到大的顺序
温馨提示:
依次作除数,连续去除这两个数,直到得出的两个商只有公因数
每个数的因数的个数
1为止,再把所有的除数相乘,所得的积就是这两个数的最大公
是有限的,因此两个数或多
因数。以求12和18的最大公因数为例:
个数的公因数的个数也是
有限的。
12和18的最大公因数是2×3=6。
3.求两个数的最大公因数的特殊情况:
(1)当两个数成倍数关系时,较小数就是它们的最大公因数;
(2)当两个数的公因数只有 1时,它们的最大公因数就是
1。 温馨提示:
4.把一个分数化成和它相等,但分子和分母都比较小的分 约分的方法:
数,叫做约分。约分依据的是分数的基本性质。 (1)逐步约分法。用分
5.分子和分母只有公因数1的分数是最简分数。约分时, 数的分子和分母的公因数
通常要约成最简分数。 (1除外)逐次去除分子和分
6.几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数,其中最小的 母,直到得出一个最简分
一个,叫做这几个数的最小公倍数。 数。
7.求两个数最小公倍数的方法: (2)一次约分法。用分
(1)列举法:先分别找出两个数的倍数,从中找出公倍数,再找 数的分子和分母的最大公
出最小的那个; 因数去除分子和分母,即可
(2)筛选法:先找出两个数中较大数的倍数,从中圈出另一个 得到最简分数。
数的倍数,再看哪一个最小;
(3)分解质因数法:把每个数都写成几个质因数相乘的形式,
其中相同的质因数与各自独有质因数的乘积就是这两个数的 温馨提示:
最小公倍数; 公因数只有 1 的两个
(4)短除法:先把这两个数公有的质因数按从小到大的顺序 数叫做互质数。
依次作除数,连续去除这两个数,直到得出的两个商只有公因数1为止,再把所有的除数和最后所得的商连乘,所得的积就是它
们的最小公倍数。以求12和18的最小公倍数为例: 特别注意:
一个数的倍数的个数
是无限的,因此两个数的公
倍数的个数也是无限的,只
12和18的最小公倍数是2×3×2×3=36。 有最小公倍数,没有最大公
8.同分母分数、同分子分数的大小比较方法: 倍数。
(1)分母相同的两个分数,分子大的分数比较大; 特别提醒:
(2)分子相同的两个分数,分母小的分数反而大。 利用公倍数和最小公
9.通分的意义及通分的方法: 倍数可以解决生活中的很
(1)通分的意义:把异分母分数分别化成和原来分数相等的 多问题,如学生在排队的时
同分母分数,叫做通分。 候,每排5人或6人都正好
(2)通分的方法:通分时用原分母的公倍数作公分母,为了计 站完。求一共有多少人,就
算简便,通常选用它们的最小公倍数作公分母,然后把各分数化 是求5和6的公倍数;求最
成用这个最小公倍数作分母的分数。 少有多少人,就是求 5和6
10.分数的大小比较: 的最小公倍数。
比较异分母分数的大小:先通分化成分母相同的分数,再比
较大小。
五、掌握分数与小数的互化方法。 特别提醒:
1.小数就是表示十分之几,百分之几,千分之几……的数,所 在比较异分母分数的
以可以先直接写成分母是10,100,1000……的分数,再化简。 大小时,如果分母较大,且分
2.小数化分数的规律:一位小数化分数,用10作分母,一位小 数的分子较小,这时可以化
数去掉小数点作分子;两位小数化分数,用100作分母,两位小数 成同分子分数进行比较。
去掉小数点作分子……把小数化成分数,能约分的都应约成最
简分数。
3.分数化成小数的方法:
(1)分母是10,100,1000……的分数化成小数,可以直接去掉
分母,看分母中有几个0,有几个0就在分子中从右边起向左数
特别提醒:
出几位,点上小数点;
分母如果只含有2和5
(2)分母不是10,100,1000……的分数化成小数,用分子除以
这两个因数,这样的分数可
分母,除不尽时,要根据需要按“四舍五入”法保留几位小数。
以化成有限小数;分母如果
(3)把带分数化成小数,方法与上面相同,带分数的整数部分
含有2 和5以外的质因数,
作为小数的整数部分,分数部分化成小数,作为小数的小数部
这样的分数就不能化成有
分。
限小数。
2
如1 =1+0.4=1.4。
5
