目录
Contents
第9 讲
二轮专题训练——二次函数代数综合
1
模块一
区间最值问题··············································3
模块二
整点问题····················································6
模块三
性质综合进阶··············································8
随堂练习······························································10
第10 讲
【真题易错】二次函数代数综合
15
第11 讲
二轮专题训练——几何变换综合
19
模块一
轴对称·····················································21
模块二
旋转························································25
随堂练习······························································28
第12 讲
【真题易错】几何变换综合
33
第13 讲
二轮专题训练——直线型几何综合
37
模块一
全等综合····················································39
模块二
相似综合····················································43
随堂练习································································47
第14 讲
【真题易错】直线型几何综合
51
第15 讲
二轮专题训练——圆综合
55
模块一
圆的性质综合···············································57
模块二
辅助圆·······················································62
随堂练习································································64
第16 讲
【真题易错】圆综合
69
讲
第9
二轮专题训练——二次函
数代数综合
模块一
区间最值问题
模块二
整点问题
模块三
性质综合进阶
第
9
讲
二
次
函
数
代
数
综
合
2
本讲概况
模块
知识模型
难度
对应例题
对应随堂练习
区间最值问题
问题初步
★★★
例1
随堂练习1
问题进阶
★★★★
例2、3
整点问题
问题初步
★★★★
例4
随堂练习2
问题进阶
★★★★★
例5
性质综合进阶
性质综合
★★★★
例6
随堂练习3
对称性与最值
★★★★★
例7、8
随堂练习4
第
9
讲
二
次
函
数
代
数
综
合
3
模块一
区间最值问题
精讲精练
知识模型
问题初步
典型例题1
抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐(𝑎≠0) 的图象如图所示，对称轴为直线𝑥= −2．下列说法：
①𝑎𝑏𝑐< 0；
②𝑐−3𝑎> 0；
③4𝑎2 −2𝑎𝑏⩾𝑎𝑡(𝑎𝑡+𝑏)（𝑡为全体实数）；
④若图象上存在点𝐴(𝑥1,𝑦1) 和点𝐵(𝑥2,𝑦2)，当𝑚< 𝑥1 < 𝑥2 < 𝑚+3 时，满足𝑦1 = 𝑦2，则
𝑚的取值范围为−5 < 𝑚< −2．其中正确的有（ ）．
A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个
第
9
讲
二
次
函
数
代
数
综
合
4
知识模型
问题进阶
典型例题2
在二次函数𝑦= 𝑥2 −2𝑡𝑥+3(𝑡> 0) 中，
（1）若它的图象过点(2,1)，则𝑡的值为多少？
（2）当0 ⩽𝑥⩽3 时，𝑦的最小值为−2，求出𝑡的值．
（3）如果𝐴(𝑚−2,𝑎),𝐵(4,𝑏),𝐶(𝑚,𝑎) 都在这个二次函数的图象上，且𝑎< 𝑏< 3，求𝑚的
取值范围．
第
9
讲
二
次
函
数
代
数
综
合
5
典型例题3
如图，在平面直角坐标系中，二次函数𝑦= 𝑥2+𝑏𝑥+𝑐的图象经过点𝐴(0,−7
4)，点𝐵(1, 1
4)．
（1）求此二次函数的解析式．
（2）点𝑃为此函数图象上任意一点，其横坐标为𝑚，过点𝑃作𝑃𝑄//𝑥轴，点𝑄的横坐标
为−2𝑚+1．已知点𝑃与点𝑄不重合，且线段𝑃𝑄的长度随𝑚的增大而减小．
①求𝑚的取值范围．
②当𝑃𝑄⩽7 时，直接写出线段𝑃𝑄与二次函数𝑦= 𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐(−2 ⩽𝑥< 1
3) 的图象
的交点个数及对应的𝑚的取值范围．
第
9
讲
二
次
函
数
代
数
综
合
6
模块二
整点问题
精讲精练
知识模型
问题初步
典型例题4
在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，二次函数𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 −2𝑎𝑥+𝑎−1（其中𝑎是常数，且𝑎≠0）
的图象是开口向上的抛物线．
（1）求该抛物线的顶点𝑃的坐标．
（2）我们将横、纵坐标都是整数的点叫做“整点”，将抛物线𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 −2𝑎𝑥+𝑎−1 与𝑦
轴的交点记为𝐴，如果线段𝑂𝐴上的“整点”的个数小于4，试求𝑎的取值范围．
第
9
讲
二
次
函
数
代
数
综
合
7
知识模型
问题进阶
典型例题5
在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 −2𝑎𝑥+1（𝑎≠0）的顶点为𝑃，直线𝑦= 𝑎𝑥+1
与抛物线交于点𝐴，点𝐵．
（1）求抛物线顶点𝑃的坐标（用含𝑎的代数式表示）．
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．
①当𝑎= −1
3 时，求抛物线与直线𝐴𝐵围成的封闭区域内（不包含边界）的整点坐
标．
②当抛物线与直线𝐴𝐵围成的封闭区域内有且只有1 个整点时，求𝑎的取值范围．
第
9
讲
二
次
函
数
代
数
综
合
8
模块三
性质综合进阶
精讲精练
知识模型
性质综合
典型例题6
已知二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐(𝑎< 0) 的图象与𝑥轴的一个交点坐标为(−1,0)，对称轴为
直线𝑥= 1，下列结论中：①𝑎−𝑏+𝑐= 0；②若点(−3,𝑦1),(2,𝑦2)，(4,𝑦3) 均在该二次函数
图象上，则𝑦1 < 𝑦2 < 𝑦3；③若𝑚为任意实数，则𝑎𝑚2 +𝑏𝑚+𝑐⩽−4𝑎；④方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐
+1 = 0 的两实数根为𝑥1，𝑥2，且𝑥1 < 𝑥2，则𝑥1 < −1，𝑥2 > 3．正确结论的序号为（ ）
A. ①②③
B. ①③④
C. ②③④
D. ①④
第
9
讲
二
次
函
数
代
数
综
合
9
知识模型
对称性与最值
典型例题7
在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，𝑀(𝑥1,𝑦1)，𝑁(𝑥2,𝑦2) 是抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐(𝑎> 0) 上任意
两点，设抛物线的对称轴为𝑥= 𝑡．
（1）若对于𝑥1 = 1，𝑥2 = 2 有𝑦1 = 𝑦2，求𝑡的值．
（2）若对于0 < 𝑥1 < 1，1 < 𝑥2 < 2，都有𝑦1 < 𝑦2，求𝑡的取值范围．
典型例题8
在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，点(1,𝑚) 和点(3,𝑛) 在抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥(𝑎> 0) 上．
（1）若𝑚= 3，𝑛= 15，求该抛物线的对称轴．
（2）已知点(−1,𝑦1)，(2,𝑦2)，(4,𝑦3) 在该抛物线上，若𝑚𝑛< 0，比较𝑦1，𝑦2，𝑦3 的大小，并
说明理由．
第
9
讲
二
次
函
数
代
数
综
合
10
随堂练习1
已知二次函数𝑦= 𝑥2 −2𝑚𝑥(𝑚为常数)，当−1 ⩽𝑥⩽2 时，函数值𝑦的最小值为−2，则𝑚
的值是（ ）．
A. 3
2
B. √2
C. 3
2 或√2
D. −3
2 或√2
随堂练习2
由函数𝑦= ∣𝑥2 −𝑥−2∣和𝑦= ∣𝑥2 −𝑥∣的图象围成一个封闭区域，则在这个封闭区域内(包
括边界)，纵坐标和横坐标均为整数的点共有（ ）个．
A. 2 个
B. 4 个
C. 6 个
D. 8 个
随堂练习3
已知𝑃1(𝑥1,𝑦1)，𝑃2(𝑥2,𝑦2) 是抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +4𝑎𝑥+3 (𝑎是常数，𝑎≠0 ）上的点，现有以
下四个结论：
①该抛物线的对称轴是直线𝑥= −2；②点(0,3) 在抛物线上；③若𝑥1 > 𝑥2 > −2，则
𝑦1 > 𝑦2；④若𝑦1 = 𝑦2，则𝑥1 +𝑥2 = −2. 其中，正确结论的个数为（ ）．
A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个
第
9
讲
二
次
函
数
代
数
综
合
11
随堂练习4
在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，抛物线𝑦= 𝑥2 −2𝑚𝑥+ 𝑚2 + 1 与𝑦轴交于点𝐴．点𝐵(𝑥1,𝑦1)
是抛物线上的任意一点，且不与点𝐴重合，直线𝑦= 𝑘𝑥+𝑛(𝑘≠0) 经过𝐴，𝐵两点．
（1）求抛物线的顶点坐标（用含𝑚的式子表示）．
（2）若点𝐶(𝑚−2,𝑎)，𝐷(𝑚+2,𝑏) 在抛物线上，则𝑎
𝑏（用“<”，
“=”或“>”填
空）．
（3）若对于𝑥1 < −3 时，总有𝑘< 0，求𝑚的取值范围．
第
9
讲
二
次
函
数
代
数
综
合
12
思维游戏
圣诞老人
5 个圣诞老人约好周末参加一次圣诞聚会。他们都不是在同
一个时间到达约会地点的：A 不是第一个到达约会地点；B 紧跟在
A 的后面到达约会地点；C 既不是第一个也不是最后一个到达约会
地点的；D 不是第二个到达约会地点；E 在D 之后，第二个到达约
会地点。
你知道他们到达约会地点的先后顺序吗？
先后顺序是：D、E、C、A、B
讲
第
10
【真题易错】二次函数代数
综合
第
10
讲
︻
真
题
易
错
︼
二
次
函
数
代
数
综
合
16
睛
点
法
方
用方程思想看函数
判断抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐(𝑎≠0) 与直线𝑦= 𝑚𝑥+𝑛(𝑚≠0) 的交点个数的方法
(1) 将两个函数的解析式联立方程组
⎧{{
⎨{{⎩
𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐
𝑦= 𝑚𝑥+𝑛
，得到一元二次方程𝑎𝑥2 +
(𝑏−𝑚)𝑥+(𝑐−𝑛) = 0①
(2) 方程①的根的情况决定了抛物线与直线交点的个数.(方程①根的判别式为
Δ = (𝑏−𝑚)2 −4𝑎(𝑐−𝑛)）
第
10
讲
︻
真
题
易
错
︼
二
次
函
数
代
数
综
合
17
进阶拓展1
在平面直角坐标系中，已知点𝐴(−2,2)，𝐵(2,1)，若抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 −2𝑥+1(𝑎≠0) 与线段
𝐴𝐵有两个不同的交点，则𝑎的取值范围是（ ）．
A. −49
32 < 𝑎⩽−3
4 或𝑎⩾1
B. 𝑎⩾−3
4 或𝑎< −49
32
C. −3
4 ⩽𝑎⩽1 且𝑎≠0
D. 𝑎⩽−3
4 或𝑎⩾1
进阶拓展2
二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥−3𝑎（𝑎、𝑏为常数，且𝑎≠0）的图象经过点𝐴(−1,0)．
（1）求证：该函数的图象与𝑥轴总有两个公共点．
（2）已知点𝐵(0,4)，𝐶(5,4)，若该函数图象与线段𝐵𝐶恰有一个公共点，结合函数图象，
直接写出𝑎的取值范围．
讲
第
11
二轮专题训练——几何变
换综合
模块一
轴对称
模块二
旋转
第
11
讲
几
何
变
换
综
合
20
本讲概况
模块
知识模型
难度
对应例题
对应随堂练习
轴对称
轴对称与三角形
★★★
例1
随堂练习1
轴对称与四边形综合
★★★★
例2
翻折与相似
★★★★
例3、4
随堂练习2
旋转
旋转相似
★★★★
例5、6
随堂练习3
构造旋转相似
★★★★★
例7、8
第
11
讲
几
何
变
换
综
合
21
模块一
轴对称
精讲精练
知识模型
轴对称与三角形
典型例题1
如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90∘，∠𝐶𝐴𝐵= 30∘，𝐵𝐶= 1，以𝐴𝐵为边作一个等边三角形
𝐴𝐵𝐷，将四边形𝐴𝐶𝐵𝐷折叠，使𝐷与𝐶重合，𝐻𝐾为折痕，则𝐻𝐾的长度为（ ）．
A. 7
5
B. 7√3
10
C. 7√21
20
D. 7√3
8
第
11
讲
几
何
变
换
综
合
22
知识模型
轴对称与四边形综合
典型例题2
如图1，在平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷纸片中，𝐴𝐵= 10，𝐴𝐷= 6，∠𝐷𝐴𝐵= 60∘，点𝐸为𝐵𝐶边上的
一点（点𝐸不与点𝐶重合），连接𝐴𝐸，将平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷纸片沿𝐴𝐸所在直线折叠，
点𝐶，𝐷的对应点分别为𝐶′，𝐷′，射线𝐶′𝐸与射线𝐴𝐷交于点𝐹．
图1
图2
图3
（1）求证：𝐴𝐹= 𝐸𝐹．
（2）如图2，当𝐸𝐹⊥𝐴𝐹时，𝐷𝐹的长为
．
（3）如图3，当𝐶𝐸= 2 时，过点𝐹作𝐹𝑀⊥𝐴𝐸，垂足为点𝑀，延长𝐹𝑀交𝐶′𝐷′ 于点𝑁，
连接𝐴𝑁，𝐸𝑁，求△𝐴𝑁𝐸的面积．
第
11
讲
几
何
变
换
综
合
23
知识模型
翻折与相似
典型例题3
（1）如图，将矩形纸片𝐴𝐵𝐶𝐷折叠，折痕为𝑀𝑁，点𝑀，𝑁分别在边𝐴𝐷，𝐵𝐶上，点𝐶，𝐷
的对应点分别为𝐸，𝐹，且点𝐹在矩形内部，𝑀𝐹的延长线交𝐵𝐶于点𝐺，𝐸𝐹交边
𝐵𝐶于点𝐻．𝐸𝑁= 2，𝐴𝐵= 4，当点𝐻为𝐺𝑁的三等分点时，𝑀𝐷的长为
．
（2）如图，在Rt△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶= 90∘，𝐶𝐷平分∠𝐴𝐶𝐵交𝐴𝐵于点𝐷，过𝐷作𝐷𝐸//𝐵𝐶
交𝐴𝐶于点𝐸，将△𝐷𝐸𝐶沿𝐷𝐸折叠得到△𝐷𝐸𝐹，𝐷𝐹交𝐴𝐶于点𝐺．若𝐴𝐺
𝐺𝐸= 7
3，
则tan𝐴=
．
第
11
讲
几
何
变
换
综
合
24
典型例题4
如图，菱形𝐴𝐵𝐶𝐷的对角线𝐴𝐶、𝐵𝐷交于点𝑂，且𝐴𝐶= 6，𝐵𝐷= 8．过𝑂的直线𝐸𝐹交
𝐵𝐶于𝐸，交𝐴𝐷于𝐹．把四边形𝐶𝐷𝐹𝐸沿着𝐸𝐹折叠得到四边形𝐶′𝐷′𝐹𝐸，𝐶′𝐷′ 交𝐴𝐶
于点𝐺．当𝐶′𝐷′//𝐵𝐷时，𝐶′𝐺
𝐷′𝐺的值为
，𝐵𝐸的长为
．
第
11
讲
几
何
变
换
综
合
25
模块二
旋转
精讲精练
知识模型
旋转相似
典型例题5
如图，已知Rt△𝐴𝐵𝐶，𝐴𝐶= 𝐵𝐶= 2，将△𝐴𝐵𝐶绕点𝐴沿逆时针方向旋转后得到△𝐴𝐷𝐸，直
线𝐵𝐷、𝐶𝐸相交于点𝐹，连接𝐴𝐹，则下列结论：①𝐴𝐵= 2√2；②△𝐴𝐵𝐷∽△𝐴𝐶𝐸；③∠𝐵𝐹𝐶
= 45∘；④𝐹为𝐵𝐷的中点，其中正确的有（ ）．
A. ①②③
B. ①②④
C. ①②③④
D. ②③④
典型例题6
如图，在Rt△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶= 90∘，𝐴𝐵= 2，𝐵𝐶= 4，点𝐷是𝐵𝐶上的一点，𝐵𝐷= 1，点𝑃
是𝐴𝐶上的一个动点，连接𝐷𝑃，将线段𝐷𝑃绕点𝐷顺时针旋转90∘得到线段𝐷𝑄，连接
𝐵𝑄，则线段𝐵𝑄长的最小值是（ ）．
A. 1
B. 2
C. 3√5
5
D. √5
第
11
讲
几
何
变
换
综
合
26
知识模型
构造旋转相似
典型例题7
如图1，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶= 90∘，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐷是𝐴𝐵边上不与𝐴，𝐵重合的一个定点．
𝐴𝑂⊥𝐵𝐶于点𝑂，交𝐶𝐷于点𝐸．𝐷𝐹是由线段𝐷𝐶绕点𝐷顺时针旋转90∘得到的，𝐹𝐷，
𝐶𝐴的延长线相交于点𝑀．
（1）求证：△𝐴𝐷𝐸∽△𝐹𝑀𝐶．
（2）求∠𝐴𝐵𝐹的度数．
（3）若𝑁是𝐴𝐹的中点，如图2．求证：𝑁𝐷= 𝑁𝑂．
第
11
讲
几
何
变
换
综
合
27
典型例题8
已知△𝐴𝐵𝐶是直角三角形，∠𝐵= 90∘，𝐴𝐵= 3，𝐵𝐶= 5，𝐴𝐸= 2√5，连接𝐶𝐸，以𝐶𝐸为斜边
作直角三角形𝐶𝐷𝐸，且𝐶𝐷= 𝐷𝐸．𝐹是𝐴𝐸边上的一点，连接𝐵𝐷和𝐵𝐹，若∠𝐹𝐵𝐷= 45∘，
则𝐴𝐹的长为
．
第
11
讲
几
何
变
换
综
合
28
随堂练习1
数学课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．如图，小明把矩形𝐴𝐵𝐶𝐷
沿𝐷𝐸折叠，使点𝐶落在𝐴𝐵边的点𝐹处，其中𝐷𝐸= 5√5，且sin∠𝐷𝐹𝐴= 4
5，则矩形
𝐴𝐵𝐶𝐷的面积为（ ）．
A. 80
B. 64
C. 36
D. 18
随堂练习2
如图，在平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐷= 26，点𝐸为𝐶𝐷上一点．将△𝐴𝐷𝐸沿𝐴𝐸翻折至
△𝐴𝐹𝐸，𝐴𝐹，𝐹𝐸分别交𝐵𝐶边于点𝑀，𝐺．若点𝑀为𝐵𝐶中点，且tan∠𝐵𝐴𝑀= 4
5，cos∠𝐴𝑀𝐵
= 5
13，则𝐶𝐺的长为
．
第
11
讲
几
何
变
换
综
合
29
随堂练习3
如图，在直角坐标系中，点𝐴，𝐵的坐标为𝐴(0,2)，𝐵(−1,0)，将△𝐴𝐵𝑂绕点𝑂按顺时针旋
转得到△𝐴1𝐵1𝑂，若𝐴𝐵⊥𝑂𝐵1，则点𝐴1 的坐标为（ ）．
A. (2√5
5 , 4√5
5 )
B. (4√5
5 , 2√5
5 )
C. (2
3, 4
3)
D. (4
5, 8
5)
第
11
讲
几
何
变
换
综
合
30
思维游戏
思维算式
老师在黑板上写了1 至9 的阿拉伯数字，要求用这9 个数字
组成3 个算式，每个数字只能用一次，而且只允许用加号和乘号。
你能列出来吗？
1+7 = 8、2×3 = 6、4+5 = 9。
讲
第
12
【真题易错】几何变换综合
第
12
讲
︻
真
题
易
错
︼
几
何
变
换
综
合
34
进阶拓展1
李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看
问题，形成科学的思维习惯．下面是李老师在“图形的变化”主题下设计的问题，请你解答．
（1）观察发现：如图1，在平面直角坐标系中，过点𝑀(4,0) 的直线𝑙//𝑦轴，作△𝐴𝐵𝐶关
于𝑦轴对称的图形△𝐴1𝐵1𝐶1，再分别作△𝐴1𝐵1𝐶1 关于𝑥轴和直线𝑙对称的图形
△𝐴2𝐵2𝐶2 和△𝐴3𝐵3𝐶3，则△𝐴2𝐵2𝐶2 可以看作是△𝐴𝐵𝐶绕点𝑂顺时针旋转得到
的，旋转角的度数为
；△𝐴3𝐵3𝐶3 可以看作是△𝐴𝐵𝐶向右平移得到的，
平移距离为
个单位长度．
（2）探究迁移：如图2，平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐵𝐴𝐷= 𝛼(0∘< 𝛼< 90∘)，𝑃为直线𝐴𝐵下
方一点，作点𝑃关于直线𝐴𝐵的对称点𝑃1，再分别作点𝑃1 关于直线𝐴𝐷和直线
𝐶𝐷的对称点𝑃2 和𝑃3，连接𝐴𝑃，𝐴𝑃2，请仅就图2 的情形解决以下问题：
①若∠𝑃𝐴𝑃2 = 𝛽，请判断𝛽与𝛼的数量关系，并说明理由；
②若𝐴𝐷= 𝑚，求𝑃，𝑃3 两点间的距离．
第
12
讲
︻
真
题
易
错
︼
几
何
变
换
综
合
35
（3）拓展应用：在（2）的条件下，若𝛼= 60∘，𝐴𝐷= 2√3，∠𝑃𝐴𝐵= 15∘，连接𝑃2𝑃3．当
𝑃2𝑃3 与平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的边平行时，请直接写出𝐴𝑃的长．
讲
第
13
二轮专题训练——直线型
几何综合
模块一
全等综合
模块二
相似综合
第
13
讲
直
线
型
几
何
综
合
38
本讲概况
模块
知识模型
难度
对应例题
对应随堂练习
全等综合
全等模型综合
★★★★
例1、2
随堂练习1
全等三角形的构造
★★★★★
例3、4
随堂练习2
相似综合
相似模型综合
★★★★
例5、6
随堂练习3
构造相似模型
★★★★
例7、8
随堂练习4
构造一般型相似
★★★★★
例9、10
第
13
讲
直
线
型
几
何
综
合
39
模块一
全等综合
精讲精练
知识模型
全等模型综合
典型例题1
△𝐴𝐵𝐶为等边三角形，𝐴𝐵= 8，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶于点𝐷，𝐸为线段𝐴𝐷上一点，𝐴𝐸= 2√3．以𝐴𝐸
为边在直线𝐴𝐷右侧构造等边三角形𝐴𝐸𝐹，连接𝐶𝐸，𝑁为𝐶𝐸的中点．
（1）如图1，𝐸𝐹与𝐴𝐶交于点𝐺，连接𝑁𝐺，求线段𝑁𝐺的长．
（2）如图2，将△𝐴𝐸𝐹绕点𝐴逆时针旋转，旋转角为𝛼，𝑀为线段𝐸𝐹的中点，连接𝐷𝑁，
𝑀𝑁．当30∘< 𝛼< 120∘时，猜想∠𝐷𝑁𝑀的大小是否为定值，并证明你的结论．
第
13
讲
直
线
型
几
何
综
合
40
（3）连接𝐵𝑁，在△𝐴𝐸𝐹绕点𝐴逆时针旋转过程中，当线段𝐵𝑁最大时，请直接写出
△𝐴𝐷𝑁的面积．
典型例题2
如图1，点𝐸、𝐹分别在正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的边𝐴𝐷、𝐴𝐵上，𝐶𝐸与𝐷𝐹交于点𝐺．已知𝐴𝐸+
𝐴𝐹= 𝐴𝐵．
（1）求证：𝐶𝐸⊥𝐷𝐹．
（2）以点𝐺为圆心，𝐺𝐷为半径的圆与线段𝐷𝐹交于点𝐻，点𝑃为线段𝐵𝐻的中点，连
接𝐶𝑃，如图2 所示，求证：∠𝐵𝐶𝑃+∠𝐷𝐶𝐸= ∠𝐸𝐶𝑃．
第
13
讲
直
线
型
几
何
综
合
41
知识模型
全等三角形的构造
典型例题3
已知△𝐴𝐷𝐸和△𝐴𝐵𝐶都是等腰直角三角形，∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐵𝐴𝐶= 90∘，𝑃为𝐴𝐸的中点，连
接𝐷𝑃．
（1）如图1，点𝐴，𝐵，𝐷在同一条直线上，直接写出𝐷𝑃与𝐴𝐸的位置关系．
（2）将图1 中的△𝐴𝐷𝐸绕点𝐴逆时针旋转，当𝐴𝐷落在图2 所示的位置时，点𝐶，𝐷，𝑃
恰好在同一条直线上．
①在图2 中，按要求补全图形，并证明∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐴𝐶𝑃．
②连接𝐵𝐷，交𝐴𝐸于点𝐹．判断线段𝐵𝐹与𝐷𝐹的数量关系，并证明．
第
13
讲
直
线
型
几
何
综
合
42
典型例题4
在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶= 90∘，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，点𝐷为直线𝐵𝐶上一动点(点𝐷不与𝐵，𝐶重合)，
以𝐴𝐷为边在𝐴𝐷右侧作正方形𝐴𝐷𝐸𝐹，连接𝐶𝐹．
（1）观察猜想
如图1，当点𝐷在线段𝐵𝐶上时，
①𝐵𝐶与𝐶𝐹的位置关系为：
．
②𝐵𝐶，𝐶𝐷，𝐶𝐹之间的数量关系为：
．(将结论直接写在横线上)
（2）数学思考
如图2，当点𝐷在线段𝐶𝐵的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给
予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．
（3）拓展延伸
如图3，当点𝐷在线段𝐵𝐶的延长线上时，延长𝐵𝐴交𝐶𝐹于点𝐺，连接𝐺𝐸．若已
知𝐴𝐵= 2√2，𝐶𝐷= 1
4𝐵𝐶，请求出𝐺𝐸的长．
第
13
讲
直
线
型
几
何
综
合
43
模块二
相似综合
精讲精练
知识模型
相似模型综合
典型例题5
如图，已知在Rt△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90∘，𝐴𝐶= 3，𝐵𝐶= √3，把Rt△𝐴𝐵𝐶沿着𝐴𝐵翻折得到
Rt△𝐴𝐵𝐷，过点𝐵作𝐵𝐸⊥𝐵𝐶，交𝐴𝐷于点𝐸，点𝐹是线段𝐵𝐸上一点，且tan∠𝐴𝐷𝐹= √3
2 ，
则下列结论：
①𝐴𝐸= 𝐵𝐸；
②△𝐵𝐸𝐷∽△𝐴𝐵𝐶；
③𝐵𝐷2 = 𝐴𝐷⋅𝐷𝐸；
④𝐴𝐹= 2√13
3
．
其中正确的结论是（ ）．
A. ①④
B. ②③④
C. ①②③
D. ①②③④
第
13
讲
直
线
型
几
何
综
合
44
典型例题6
已知：如图(1)，在平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，点𝐸、𝐹分别在𝐵𝐶、𝐶𝐷上，且𝐴𝐸= 𝐴𝐹，∠𝐴𝐸𝐶
= ∠𝐴𝐹𝐶．
（1）求证：四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是菱形．
（2）如图(2)，若𝐴𝐷= 𝐴𝐹，延长𝐴𝐸、𝐷𝐶交于点𝐺，求证：𝐴𝐹2 = 𝐴𝐺⋅𝐷𝐹．
（3）在第(2) 小题的条件下，连接𝐵𝐷，交𝐴𝐺于点𝐻，若𝐻𝐸= 4，𝐸𝐺= 12 ，求𝐴𝐻的长．
知识模型
构造相似模型
典型例题7
如图，在Rt△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90∘，𝐴𝐶= 4，𝐴𝐵= 4√2，𝐸为𝐵𝐶边的中点，连接𝐴𝐸，将△𝐴𝐶𝐸
沿𝐴𝐸折叠得到△𝐴𝐷𝐸，𝐷𝐸交𝐴𝐵于点𝑂，连接𝐵𝐷．则𝑂𝐷
𝑂𝐸的值为
．
第
13
讲
直
线
型
几
何
综
合
45
典型例题8
如图1，这是一个装有货物的长方体形状的木箱沿着坡面装进汽车货箱的立体示意图，图
2 是它的平面示意图．已知汽车货箱高度𝐵𝐺= 2m，货箱底面距地面的高度𝐵𝐻= 0.6m，坡
面与地面的夹角∠𝐵𝐴𝐻= 𝛼，木箱的长（𝐹𝐶）为2m，高（𝐸𝐹）为1.6m，宽小于汽车货箱
的宽度．已知sin𝛼= 3
5，木箱底部顶点𝐶与坡面底部点𝐴重合，则木箱底部悬空部分𝐵𝐹
的长为
m，木箱上部顶点𝐸到汽车货箱顶部𝑁𝐺的距离为
m．
知识模型
构造一般型相似
典型例题9
如图，点𝐸是正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的边𝐵𝐶的中点，𝐴𝐷= 2，连接𝐴𝐸，将△𝐴𝐵𝐸沿𝐴𝐸翻折，得
到△𝐴𝐹𝐸，延长𝐸𝐹，交𝐴𝐷的延长线于点𝑀，交𝐶𝐷于点𝑁．则𝑀𝑁的长度为
．
第
13
讲
直
线
型
几
何
综
合
46
典型例题10
一副三角板按图1 放置，图2 为简图，𝐷为𝐴𝐵中点，𝐸、𝐹分别是一个三角板与另一个三
角板直角边𝐴𝐶、𝐵𝐶的交点，已知𝐴𝐸= 2，𝐶𝐸= 5，𝑀为𝐵𝐶上一点，且满足∠𝐶𝑀𝐸=
2∠𝐴𝐷𝐸，𝐸𝑀=
．
第
13
讲
直
线
型
几
何
综
合
47
随堂练习1
如图，将△𝐴𝐵𝐶沿𝐵𝐶方向平移得到△𝐷𝐸𝐹，使点𝐵的对应点𝐸恰好落在边𝐵𝐶的中
点上，点𝐶的对应点𝐹在𝐵𝐶的延长线上，连接𝐴𝐷．下列结论.一.定正确的是（ ）．
A. ∠𝐵= ∠𝐹
B. 𝐴𝐶⊥𝐷𝐸
C. 𝐵𝐶= 𝐷𝐹
D. 𝐴𝐶平分𝐷𝐸
随堂练习2
如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐴𝐵𝐶= 90∘，𝐴𝐵= 3，𝐵𝐶= 4，𝐶𝐷= 5，𝐷𝐴= 5√2，连接𝐵𝐷，则
𝐵𝐷的长为
．
第
13
讲
直
线
型
几
何
综
合
48
随堂练习3
如图是中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图的示意图，它是由四个全等的直角
三角形和一个小正方形𝐸𝐹𝐺𝐻组成，恰好拼成一个大正方形𝐴𝐵𝐶𝐷．连接𝐸𝐺并延长交
𝐵𝐶于点𝑀．若𝐴𝐵= √13，𝐸𝐹= 1，则𝐺𝑀的长为（ ）．
A. 2√2
5
B. 2√2
3
C. 3√2
4
D. 4√2
5
随堂练习4
如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶= 90∘，𝐴𝐵= 𝐵𝐶= 6，延长𝐵𝐶到点𝐷，𝐶𝐷= 4，点𝐸是𝐴𝐷的
中点，𝐵𝐸交𝐴𝐶于点𝐹，则△𝐴𝐸𝐹的面积为（ ）．
A. 15
4
B. 15
2
C. 13
4
D. 13
2
第
13
讲
直
线
型
几
何
综
合
49
思维游戏
轮胎如何换
有一个跑长途运输的司机要出发了。他用作运输的车是三轮
车，每个轮胎的寿命是2 万公里。现在他要进行5 万公里的长途
运输，计划用8 个轮胎就完成运输任务，怎样才能做到呢？
如果给8 个轮胎分别编号为1 ∼8 号，每5000 公里换一次轮
胎，可以用下面的组合：
123（行驶1 万公里）、124、134、234、456、567、568、578、678。
（答案不唯一，你还能找出其他组合方式吗？）
讲
第
14
【真题易错】直线型几何
综合
第
14
讲
︻
真
题
易
错
︼
直
线
型
几
何
综
合
52
进阶拓展1
如图，在矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐷= 3，点𝐸在𝐴𝐵上，𝐴𝐸= 1，𝐶𝐸= 𝐶𝐷，𝐷𝐹⊥𝐶𝐸于点𝐹，𝑀，𝑁
分别是线段𝐶𝐵，𝐶𝐹上的点，且满足𝐶𝑀
𝐹𝑁= 5
3，设𝐶𝑀= 𝑥，𝐸𝑁= 𝑦．
（1）求𝐶𝐸的长．
（2）求𝑦关于𝑥的函数表达式．
（3）连接𝑀𝑁，过点𝑀作𝑀𝐻//𝐶𝐸交𝐴𝐵于点𝐻，连接𝑁𝐻．
①在△𝑁𝐻𝑀中，以𝐻𝑀为一边的角等于∠𝐴𝐷𝐹时，求𝑦的值．
②作点𝐻关于𝑀𝑁的对称点𝐻′，当点𝐻′ 落在边𝐵𝐶上时，求𝐶𝐻′
𝐵𝐻′ 的值．
讲
第
15
二轮专题训练——圆综合
模块一
圆的性质综合
模块二
辅助圆
第
15
讲
圆
综
合
56
本讲概况
模块
知识模型
难度
对应例题
对应随堂练习
圆的性质综合
圆性质综合
★★★★
例1、2
随堂练习1
圆切线综合
★★★★
例3、4
随堂练习2
圆与相似
★★★★★
例5
随堂练习3
辅助圆
构造辅助圆
★★★★
例6、7
随堂练习4
★★★★★
例8
第
15
讲
圆
综
合
57
模块一
圆的性质综合
精讲精练
知识模型
圆性质综合
典型例题1
如图1，𝐴𝐵是半圆𝑂的直径，𝐶是半圆𝑂上一点，点𝑂′ 与点𝑂关于直线𝐴𝐶对称，射
线𝐴𝑂′ 交半圆𝑂于点𝐷，弦𝐴𝐶交𝑂′𝑂于点𝐸、交𝑂𝐷于点𝐹．
（1）如图2，𝑂′ 恰好落在半圆𝑂上，求证：
⌢
𝑂′𝐴=
⌢
𝐵𝐶．
（2）如果∠𝐷𝐴𝐵= 30∘，求𝐸𝐹
𝑂′𝐷的值．
（3）如果𝑂𝐴= 3，𝑂′𝐷= 1，求𝑂𝐹的长．
第
15
讲
圆
综
合
58
典型例题2
已知：⊙𝑂的直径𝐴𝐵= 10，𝐶是
⌢
𝐴𝐵的中点，𝐷是⊙𝑂上的一个动点（不与点𝐴、𝐵、𝐶重
合），射线𝐶𝐷交射线𝐴𝐵于点𝐸．
（1）如图1，当𝐵𝐸= 𝐴𝐵时，求线段𝐶𝐷的长．
（2）如图2，当点𝐷在
⌢
𝐵𝐶上运动时，连接𝐵𝐶、𝐵𝐷，△𝐵𝐶𝐷中是否存在度数保持不变的
角？如果存在，请指出这个角并求其度数；如果不存在，请说明理由．
（3）连接𝑂𝐷，当△𝑂𝐷𝐸是以𝐷𝐸为腰的等腰三角形时，求△𝑂𝐷𝐸与△𝐶𝐵𝐸面积的比
值．
第
15
讲
圆
综
合
59
知识模型
圆切线综合
典型例题3
如图，以𝐴𝐵为直径的⊙𝑂上有两点𝐸、𝐹，
⌢
𝐵𝐸=
⌢
𝐸𝐹，过点𝐸作直线𝐶𝐷⊥𝐴𝐹交𝐴𝐹的延
长线于点𝐷，交𝐴𝐵的延长线于点𝐶，过𝐶作𝐶𝑀平分∠𝐴𝐶𝐷交𝐴𝐸于点𝑀，交𝐵𝐸于
点𝑁．
（1）求证：𝐶𝐷是⊙𝑂的切线．
（2）求证：𝐸𝑀= 𝐸𝑁．
（3）如果𝑁是𝐶𝑀的中点，且𝐴𝐵= 9√5，求𝐸𝑁的长．
第
15
讲
圆
综
合
60
典型例题4
如图1，已知𝐴𝐵是⊙𝑂的直径，𝑃𝐵是⊙𝑂的切线，𝑃𝐴交⊙𝑂于点𝐶，𝐴𝐵= 4，𝑃𝐵= 3．
（1）填空：∠𝑃𝐵𝐴的度数是
，𝑃𝐴的长为
．
（2）求△𝐴𝐵𝐶的面积．
（3）如图2，𝐶𝐷⊥𝐴𝐵，垂足为𝐷．𝐸是
⌢
𝐴𝐶上一点，𝐴𝐸= 5𝐸𝐶．延长𝐴𝐸，与𝐷𝐶，𝐵𝑃的延
长线分别交于点𝐹，𝐺，求𝐸𝐹
𝐹𝐺的值．
第
15
讲
圆
综
合
61
知识模型
圆与相似
典型例题5
如图1，在矩形𝑂𝐴𝐵𝐶中，𝑂𝐶= 3𝑂𝐴= 15，对角线𝐴𝐶，𝑂𝐵交于点𝐷，𝐸是𝐴𝑂延长线上
一点，连接𝐶𝐸，𝐷𝐸，已知𝐴𝐸= 𝐶𝐸，𝑀𝑁为半圆𝑂的直径，𝐶𝐸切半圆𝑂于点𝐹．
（1）求证：△𝐴𝐷𝐸∽△𝐴𝑂𝐶．
（2）求半圆𝑂的直径．
（3）如图2，动点𝑃在𝐶𝐹上，从点𝐶出发向终点𝐹匀速运动，同时，动点𝑄从𝑀出发
向终点𝑁匀速运动，且它们恰好同时停止运动．
①当𝑃𝑄与△𝐴𝐵𝐷的一边平行时，求所有满足条件的𝑀𝑄的长．
②作点𝐹关于𝑃𝑄的对称点𝐹′，当点𝐹′ 落在半圆𝑂上时，直接写出𝑃𝑄
𝑃𝐶的值．
第
15
讲
圆
综
合
62
模块二
辅助圆
精讲精练
知识模型
构造辅助圆
典型例题6
如图，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是正方形，点𝐸在边𝐵𝐶的延长线上，点𝐹在边𝐴𝐵上，以点𝐷为中
心将△𝐷𝐶𝐸绕点𝐷顺时针旋转90∘与△𝐷𝐴𝐹恰好完全重合，连接𝐸𝐹交𝐷𝐶于点𝑃，
连接𝐴𝐶交𝐸𝐹于点𝑄，连接𝐵𝑄，若𝐴𝑄⋅𝐷𝑃= 3√2，则𝐵𝑄=
．
典型例题7
如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐶= 𝐴𝐵= 6，𝐵𝐶= 4，△𝐴𝐵𝐶∽△𝐴𝐷𝐸，连接𝐸𝐶，𝐵𝐷，延长𝐸𝐶与𝐵𝐷
交于点𝐹，连接𝐴𝐹，若𝐶𝐹
𝐵𝐹= 1
3，则𝐴𝐹的长为
．
第
15
讲
圆
综
合
63
典型例题8
如图1，已知正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的边长为4√2，点𝐸在𝐵𝐶边上，𝐵𝐸= √2．连接𝐵𝐷，点𝐹、𝐺
分别为𝐵𝐷、𝐶𝐷边上的点，且𝐹𝐺⊥𝐸𝐹．
（1）求点𝐸到𝐵𝐷的距离．
（2）如图2，连接𝐴𝐹，当𝐴、𝐹、𝐺三点共线时，求△𝐹𝐷𝐺的面积．
（3）如图3，过点𝐸作𝐸𝑀⊥𝐵𝐷于点𝑀，过点𝐺作𝐺𝑁⊥𝐵𝐷于点𝑁，求𝑀𝑁的最小值．
第
15
讲
圆
综
合
64
随堂练习1
如图，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷为⊙𝑂的内接四边形，若四边形𝑂𝐵𝐶𝐷为菱形，∠𝐴为（ ）．
A. 45∘
B. 60∘
C. 72∘
D. 36∘
随堂练习2
如图，在平面直角坐标系中，点𝑃的坐标是𝑃(4,5)，⊙𝑃与𝑥轴相切．点𝐴，𝐵在⊙𝑃上，
它们的横坐标分别是0，9．若⊙𝑃沿着𝑥轴向右作无滑动的滚动，当点𝐵第一次落在𝑥
轴上时，此时点𝐴的坐标是（ ）．
A. (7+2𝜋,9)
B. (7+2.5𝜋,9)
C. (7+2𝜋,8)
D. (7+2.5𝜋,8)
第
15
讲
圆
综
合
65
随堂练习3
如图，⊙𝑂是Rt△𝐴𝐵𝐶的外接圆，𝑂𝐸⊥𝐴𝐵交⊙𝑂于点𝐸，垂足为点𝐷，𝐴𝐸，𝐶𝐵的延长线
交于点𝐹．若𝑂𝐷= 3，𝐴𝐵= 8，则𝐹𝐶的长是（ ）．
A. 10
B. 8
C. 6
D. 4
随堂练习4
如图，在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，已知点𝐴(2,0)，𝐵(5,0)，𝐶为平面内的动点，且满足
∠𝐴𝐶𝐵= 90∘，𝐷为直线𝑦= √3𝑥上的动点，则线段𝐶𝐷长的最小值为
．
第
15
讲
圆
综
合
66
思维游戏
扩大水池
图中有一个正方形的水池。水池的4 个角上栽着4 棵垂柳。
现在要把水池扩大，使它的面积增加一倍，但要求仍然保持正方形，
而你又不能移动垂柳的位置，你有什么好办法吗？
（注：此时垂柳所在位置为所在边的中点）.
讲
第
16
【真题易错】圆综合
第
16
讲
︻
真
题
易
错
︼
圆
综
合
70
进阶拓展1
如图1，在Rt△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90∘，𝑃是𝐵𝐶上一点（不与点𝐵，𝐶重合），过点𝑃作
𝑃𝐷⊥𝐴𝐵于点𝐷，连接𝐶𝐷并延长交△𝐴𝐵𝐶的外接圆于点𝐸，连接𝐸𝐴，𝐸𝐵，𝐴𝑃．
（1）求证：∠𝐷𝑃𝐵= ∠𝐶𝐸𝐵．
（2）若𝐶𝐷2 = 𝐶𝑃⋅𝐶𝐵，求证：𝐵𝐷= 𝐵𝐸．
（3）如图2，𝐴𝐶= 2，𝐵𝐶= 4．
①若tan∠𝐸𝐶𝐵= 1
3 ，求𝐴𝑃的长．
②求𝐴𝑃⋅𝐷𝐸的最大值．
11230922583773
