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第
0
讲
请
设
置
边
文
内
容
2
“
”
很开心能见到你，本书将带领你进入全新的领域。在过去
的学习中，无论你是卓越还是略有失意，此刻将是新的征途的开
始。你是否已准备好谱写新的辉煌？
在这里，你会知道许多著名数学家的趣事。你也会揭开数学
神秘的面纱，了解数学之美。
大数学家高斯说：“数学是一切科学的皇后。”如果说物理是
上帝的游戏，那数学就是上帝的游戏规则。数学是通往星辰大海
的秘钥，是国防科技的护盾，是我们脚下这片土地的未来。华罗
庚说过：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之
变，生物之谜，日用之繁，数学无处不在。”
现在的你，肯定已迫不及待想要扬帆起航。但睿智的你肯定
也明白，学习的事，容不得半点含糊。
亲爱的同学：
第一，凡事预则立，不预则废。
第二，认真听课，积极互动。认真做笔记，总结解题方法、技巧。
第三，温故而知新，可以为师矣。不忘温习，方得始终。
第四，及时完成随堂练习。今朝有题今朝做，明朝又有明朝事。
第五，整理错题，学会总结。聪明人知错就改，糊涂人有错就瞒。
最后，青春的帆已扬起，只待你乘风破浪，勇往直前。
对于初中直播课学习，给你一些建议：
序言
华
罗
庚
高
斯
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第
0
讲
请
设
置
边
文
内
容
3
1
心形函数曲线
π
5
2
3
4
金字塔
有趣的黄金分割线
对称美
古希腊哲学家毕达哥拉斯曾说过：“美的线条和其他一切
美的形体都必须有对称的形式。”对称本身即具有和谐的
整体美。
早在南北朝时期，大数学家祖冲之就利用割圆术将圆周
率π精算到小数点后七位，直到15世纪，阿拉伯数学
家阿尔·卡西才打破了这一纪录。
金字塔，是古埃及人智慧代表的巅峰之作。早在古希腊
时期，几何学家泰勒斯就可以根据投影与相似三角形定
理，测量出金字塔的高度。
0.618比1，著名的“黄金分割比”。意大利著名画家
达·芬奇笔下的《蒙娜丽莎》就多次应用黄金分割比，
蒙娜丽莎之所以越看越美，就是因为她的脸型、身材均
符合黄金矩形。
笛卡尔给公主的信中，只有一道函数公式：r=a(1-sinθ）。
而极具浪漫色彩的是，当公主把函数图象画出来后，一颗饱满
的心跃然纸上。这就是著名的“心形线”。
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【相交线与平行线】 能熟练运用平行线
的性质和判定来解决平
行线的证明、平行线间
的动点问题；
【数域拓展课】 实数易错概念辨析
【数形思想课】 平面直角坐标系中的面
积问题
【数形思想课】 平面直角坐标系中的规
律探究
【运算能力课】 含参二元一次方程（组）
【运算能力课】 含参不等式（组）
【实际应用课】 列方程、不等式解应用
题
【动态探究课】 平面直角坐标系中的动
点问题
【运算能力课】 有理数的运算技巧
【数形思想课】 有理数与数轴结合、分
类讨论、绝对值的代数
意义与几何意义
【动态探究课】 数轴上的动态问题
【运算能力课】 整式与整体思想、巧解
一元一次方程与含参一
元一次方程
【实际应用课】 方案选择与阶梯计价
【几何思维课】 线与角的分类讨论、动
态问题
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第
0
讲
请
设
置
边
文
内
容
7
希望学教研团队
亲爱的同学：
当你翻开这本书的时候，你又开始了一段新的学习之旅。
本书由希望学教研团队编写而成。团队有多年的教研沉淀，致力于
为同学们提供小学、初中和高中全学科的课外有益补充，培养学生分
析问题和自主解决问题的能力。锻炼思维，开拓视野，由“知识型”
向“能力型”转化。
下面我们将向你介绍本书的诞生过程：
1、对标教材和课程标准建立课程大纲
希望学教研团队根据教育部审定的最新中学教材，选取重难点模
块，收集各地区题目，精心敲定教学大纲。
2、依据大数据、编撰高标准
①依托多年教研沉淀，精品题库、讲义素材、课件切片等四大库教
研基建，为讲义编撰提供优质素材；
②希望学大数据核心算法定位学习中的薄弱环节；
③百人教研团队，历经1000+小时，严格按照大纲目录进行编写，
三轮审核三轮校对。
3、三审三校
初稿经由希望学教研中心内部一审，学科产品、教学中心、主讲老
师集中二审，外部专家专业三审后进入校对环节。
由编者一次精校；教研中心资深教研员二次精校；排版团队三次精
校。只有经过全面的三审三校，这本书才能发送给我们的用户！
4、排版
编撰与审校结束后，会安排专业团队进行排版印刷。模板和风格由
专业设计师进行设计，并不断更新迭代，紧跟审美风向标，提升可读
性。由供应部门统一调配和发货，这本书就会到达你的手中啦！
路漫漫其修远兮，吾将上下而求索！接下来的每一天，我们都会在
你的见证下不断精进，不断成长。
未来，希望学也会继续承担起用科技推动教育进步的重任，不断致
力于教育资源的均衡发展。伴随着你的成长，见证着你的成功，每天
进步一点点，一起做更好的自己！
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目录
第1 讲
一轮基础梳理——三角形
1
模块一
特殊三角形
3
模块二
全等三角形
9
模块三
相似三角形
15
第2 讲
一轮基础梳理——四边形
21
模块一
四边形性质与判定
23
模块二
四边形综合
25
第3 讲
一轮基础梳理——圆
35
模块一
圆的基础
37
模块二
圆的综合
41
第4 讲
一轮基础梳理——方程与
不等式
49
模块一
方程
51
模块二
不等式
54
模块三
方程与不等式综合
57
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第5 讲
一轮基础梳理——一次函
数与反比例函数
65
模块一
一次函数
67
模块二
反比例函数
71
模块三
一次函数与反比例函数综合
75
第6 讲
一轮基础梳理——二次函数83
模块一
二次函数基础
85
模块二
二次函数最值
89
模块三
二次函数综合
92
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第1 讲
轮基础梳理
一轮基础梳理——
三角形
模块一
特殊三角形
模块二
全等三角形
模块三
相似三角形
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第
1
讲
三
角
形
2
本讲概述
模块
知识模型
难度
对应例题
对应随堂练习
特殊三角形
特殊三角形
★★★★
例1-4
随堂练习1
全等三角形
全等模型
★★★
例5
随堂练习2
全等辅助线构造
★★★★
例6
相似三角形
相似三角形
★★★★
例7、8
随堂练习3
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第
1
讲
三
角
形
3
模块一
模块一
特殊三角形
知识梳理
三角形复习
1. 三角形的三边关系：两边之差< 第三边< 两边之和
2. 三角形的角：
（1）三角形内角和等于180∘（直角三角形两锐角互余），外角和等于360∘
（2）三角形的外角等于与它不相邻两个内角的和
3. 三角形中的特殊线段：
（1）角平分线→角平分线模型
（2）中线→倍长中线
（3）高线→分类讨论（锐角& 钝角三角形）
（4）中位线→三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半
4. 三角形中的特殊点：
（1）内心→角平分线交点，内切圆圆心，到三边距离相等
（2）外心→中垂线交点，外接圆圆心，到三个顶点距离相等
（3）重心→中线交点
（4）垂心→高线交点
5. 三角形的倒角模型
（1）飞镖模型： （2）8 字模型：
∠𝐵𝐷𝐶= ∠𝐴+∠𝐵+∠𝐶
∠𝐴+∠𝐵= ∠𝐶+∠𝐷
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第
1
讲
三
角
形
4
（3）角平分线模型：
∠𝑃= 90∘+ 1
2∠𝐴
∠𝑃= 90∘−1
2∠𝐴
∠𝑃= 1
2∠𝐴
等腰三角形
1．等腰三角形的两大特性
2．四种构造等腰三角形的方法
等腰三角形存在性：两圆一中垂
3. 五种特殊等腰三角形
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第
1
讲
三
角
形
5
直角三角形
1．直角三角形的边角关系
(1) 直角三角形的两锐角互余
(2) 三边满足勾股定理
(3) 边角关系满足锐角三角函数
2．特殊直角三角形
3．直角三角形中的特殊线
4．直角三角形中常用求线段的方法
(1) 勾股定理
(2) 等面积法
(3) 利用锐角三角函数
5. 直角三角形存在性：两垂一圆
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第
1
讲
三
角
形
6
锐角三角函数
1. 定义
2. 解三角形
（1）含特殊角，如30∘,45∘,60∘,120∘,135∘,150∘：
（2）构造法求半角的三角函数
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第
1
讲
三
角
形
7
知识模型
特殊三角形
典型例题1
如图，在边长为6√3 的正六边形𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹中，连接𝐵𝐸，𝐶𝐹，其中点𝑀，𝑁分别为𝐵𝐸和
𝐶𝐹上的动点．若以𝑀，𝑁，𝐷为顶点的三角形是等边三角形，且边长为整数，则该等边三
角形的边长为
．
典型例题2
在Rt△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90∘，𝐴𝐷平分∠𝐶𝐴𝐵，𝐵𝐸平分∠𝐴𝐵𝐶，𝐴𝐷、𝐵𝐸相交于点𝐹，且𝐴𝐹=
4，𝐸𝐹= √2，则𝐴𝐶=
．
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第
1
讲
三
角
形
8
典型例题3
在五边形𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸中，∠𝐴= ∠𝐸= ∠𝐶= 105∘，∠𝐴𝐵𝐶= 90∘，𝐴𝐵= 2√3，𝐷𝐸= 2，点𝑃在𝐴𝐸
上，∠𝐴𝐵𝑃= 30∘，𝑃𝐸= √2，五边形𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸的面积为
．
典型例题4
如图，已知在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，tan𝐵= 2，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶于点𝐷，𝐺是△𝐴𝐵𝐶的重心．将
△𝐴𝐵𝐶绕着重心𝐺旋转，得到△𝐴1𝐵1𝐶1，并且点𝐵1 在直线𝐴𝐷上，连接𝐶𝐶1，那么
tan∠𝐶𝐶1𝐵1 的值等于
．
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第
1
讲
三
角
形
9
模块二
模块二
全等三角形
知识梳理
全等图形及全等三角形
1. 全等图形：能够完全重合的两个图形就是全等图形．
2. 全等三角形：能够完全重合的两个三角形就是全等三角形．
完全重合时，互相重合的顶点为对应顶点，互相重合的角为对应角，互相重合的边为对
应边．
注：全等用“≌”表示，读作“全等于”．如：△𝐴𝐵𝐶全等于△𝐷𝐸𝐹，写作：△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹．
全等三角形的性质
1. 全等三角形的对应边相等；
2. 全等三角形的对应角相等；
3. 全等三角形的周长相等、面积相等；
4. 平移、对称、旋转前后的图形全等．
全等三角形的判定
SSS，SAS，ASA，AAS，HL.
构造全等常用辅助线
1. 倍长中线
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第
1
讲
三
角
形
10
2. 截长补短
3. 见角平分线，构造对称型全等
常见全等三角形模型
1. 三垂直模型
可用来研究等腰直角三角形𝐴𝐵𝐶三边，在过直角顶点𝐴的直线上的射影𝐴𝐸，𝐴𝐷，𝐷𝐸
之间的和差关系.
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第
1
讲
三
角
形
11
2. 半角模型
对角互补的四边形𝐴𝐵𝐶𝐷，𝐴𝐵= 𝐴𝐷，∠𝐸𝐴𝐹= 1
2∠𝐵𝐴𝐷，则线段𝐵𝐸，𝐸𝐹，𝐹𝐷之间存在
和差关系.
3. 对角互补模型
对角互补的四边形𝐴𝐵𝐶𝐷，𝐴𝐵= 𝐴𝐷，则∠𝐵𝐶𝐴= ∠𝐷𝐶𝐴.
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第
1
讲
三
角
形
12
4. 手拉手模型
相似的两等腰三角形𝐵𝐴𝐶和𝐸𝐴𝐹共顶角顶点𝐴旋转，会产生△𝐵𝐴𝐸≌△𝐶𝐴𝐹．进一
步地，有结论：
（1）拉手线夹角等于顶角（或其补角）．
（2）拉手线交点与顶角顶点的连线平分拉手线夹角．
5. 婆罗摩笈多模型
如图，已知等腰Rt△𝐴𝑂𝐵和等腰Rt△𝐶𝑂𝐷，则𝑀为𝐵𝐶中点⇔𝑀𝑁⊥𝐴𝐷.
6. 脚拉脚模型
如图，等腰△𝐴𝐵𝐶，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，∠𝐴= 𝛼，等腰△𝐷𝐶𝐸，𝐷𝐶= 𝐷𝐸，∠𝐷= 180∘−𝛼，连接底角
顶点，得线段𝐵𝐸，记𝐵𝐸中点为𝐹，有结论：𝐴𝐹⊥𝐷𝐹.
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第
1
讲
三
角
形
13
知识模型
全等模型
典型例题5
如图，在△𝐴𝐵𝐶、△𝐴𝐷𝐸中，∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸= 90∘，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐴𝐷= 𝐴𝐸，𝐴𝐹是△𝐴𝐷𝐶的
中线，𝐶，𝐷，𝐸三点在一条直线上，连接𝐵𝐷，𝐵𝐸，以下六个结论：①𝐵𝐷= 𝐶𝐸；②𝐵𝐷⊥𝐶𝐸；
③𝐷𝐴平分∠𝐵𝐷𝐸；④∠𝐴𝐶𝐸+ ∠𝐷𝐵𝐶= 45∘；⑤2𝐴𝐹= 𝐵𝐸；⑥𝐵𝐸⊥𝐴𝐹中，正确的个数是
( )．
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
直击中考
全等辅助线构造
典型例题6
在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐵𝐶，点𝑂是𝐴𝐶的中点，点𝑃是𝐴𝐶上的一个动点（点𝑃不与点𝐴，
𝑂，𝐶重合）．过点𝐴，点𝐶作直线𝐵𝑃的垂线，垂足分别为点𝐸和点𝐹，连接𝑂𝐸，𝑂𝐹．
（1）如图1，请直接写出线段𝑂𝐸与𝑂𝐹的数量关系．
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第
1
讲
三
角
形
14
（2）如图2，当∠𝐴𝐵𝐶= 90∘时，请判断线段𝑂𝐸与𝑂𝐹之间的数量关系和位置关系，并
说明理由．
（3）若|𝐶𝐹−𝐴𝐸| = 2，𝐸𝐹= 2√3，当△𝑃𝑂𝐹为等腰三角形时，请直接写出线段𝑂𝑃的长．
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第
1
讲
三
角
形
15
模块三
模块三
相似三角形
直击中考
相似三角形
典型例题7
已知△𝐴𝐵𝐶是直角三角形，∠𝐵= 90∘，𝐴𝐵= 3，𝐵𝐶= 5，𝐴𝐸= 2√5，连接𝐶𝐸，以𝐶𝐸为底作
直角三角形𝐶𝐷𝐸，且𝐶𝐷= 𝐷𝐸．𝐹是𝐴𝐸边上的一点，连接𝐵𝐷和𝐵𝐹，且∠𝐹𝐵𝐷= 45∘，
则𝐴𝐹的长为
．
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第
1
讲
三
角
形
16
典型例题8
如图，在菱形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐴𝐵𝐶是锐角，𝐸是𝐵𝐶边上的动点，将射线𝐴𝐸绕点𝐴按逆时
针方向旋转，交直线𝐶𝐷于点𝐹．
（1）当𝐴𝐸⊥𝐵𝐶，∠𝐸𝐴𝐹= ∠𝐴𝐵𝐶时．
①求证：𝐴𝐸= 𝐴𝐹．
②连接𝐵𝐷，𝐸𝐹，若𝐸𝐹
𝐵𝐷= 2
5，求
𝑆△𝐴𝐸𝐹
𝑆菱形𝐴𝐵𝐶𝐷
的值．
（2）当∠𝐸𝐴𝐹= 1
2∠𝐵𝐴𝐷时，延长𝐵𝐶交射线𝐴𝐹于点𝑀，延长𝐷𝐶交射线𝐴𝐸于点𝑁，
连接𝐴𝐶，𝑀𝑁，若𝐴𝐵= 4，𝐴𝐶= 2，则当𝐶𝐸为何值时，△𝐴𝑀𝑁是等腰三角形．
备用图
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第
1
讲
三
角
形
17
随堂练习
随堂练习1
在等腰△𝐴𝐵𝐶中，已知𝐴𝐵= 𝐴𝐶，中线𝐵𝐷把这个三角形的周长分成12cm 和15cm 两部
分，则底边𝐵𝐶的长是( )cm．
A. 11
B. 8
C. 11 或7
D. 10 或8
随堂练习2
如图，𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，𝐷𝐸⊥𝐴𝐶，垂足为𝐸，𝐵𝐹//𝐴𝐶交𝐸𝐷的延长线于点𝐹，
若𝐵𝐶恰好平分∠𝐴𝐵𝐹，𝐴𝐸= 2𝐵𝐹．给出下列四个结论：
①𝐷𝐸= 𝐷𝐹；②𝐷𝐵= 𝐷𝐶；③𝐴𝐷⊥𝐵𝐶；④𝐴𝐶= 3𝐵𝐹，
其中正确的结论共有( )
A. 4 个
B. 3 个
C. 2 个
D. 1 个
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第
1
讲
三
角
形
18
随堂练习3
已知：在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，点𝐷为𝐵𝐶边的中点，点𝐹是𝐴𝐵边上一点，点𝐸在线段
𝐷𝐹的延长线上，∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐵𝐷𝐹，点𝑀在线段𝐷𝐹上，∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐷𝐵𝑀．
（1）如图1，当∠𝐴𝐵𝐶= 45∘时，求证𝐴𝐸= √2𝑀𝐷．
（2）如图2，当∠𝐴𝐵𝐶= 60∘时，则线段𝐴𝐸、𝑀𝐷之间的数量关系为
．
（3）在(2) 的条件下，延长𝐵𝑀到𝑃，使𝑀𝑃= 𝐵𝑀，连接𝐶𝑃，若𝐴𝐵= 7，𝐴𝐸= 2√7，求
tan∠𝐵𝐶𝑃的值．
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第
1
讲
三
角
形
19
思维游戏
遗产该怎么分
古希腊一位寡妇要同她即将出生的孩子一起分配她丈夫的
3500 元遗产。如果生的是儿子，那么按照古希腊的法律，母亲应分
得儿子份额的一半；如果生的是女儿，母亲就应分得女儿份额的两
倍。可是如果生的是一对双胞胎——一男一女，遗产又该怎么分
呢？这个问题把律师给难倒了。
聪明的你知道遗产该怎么分吗？
那位寡妇应分得1000 元，儿子分得2000 元，女儿500 元。这
样，遗嘱人的遗愿就完全得到履行了，因为寡妇所得恰是儿子的一
半，又是女儿的两倍。
解法：设寡妇得𝑥元，则儿子得2𝑥元，女儿得1
2𝑥元.
由题意得：𝑥+2𝑥+ 1
2𝑥= 3500
𝑥= 1000
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第2 讲
轮基础梳理
一轮基础梳理——
四边形
模块一
四边形性质与判定
模块二
四边形综合
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第
2
讲
四
边
形
22
本讲概述
模块
知识模型
难度
对应例题
对应随堂练习
四边形
的性质
与判定
四边形的性质与判定综合
★★★
例1
随堂练习1、2
正方形
★★★★
例2
四边形
综合
中点四边形
★★★
例3
随堂练习3
四边形中的动态问题
★★★★
例4
随堂练习4
半角模型
★★★★★
例5
四边形与面积问题
★★★★★
例6
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第
2
讲
四
边
形
23
模块一
模块一
四边形性质与判定
知识梳理
平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系：
（如图）
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第
2
讲
四
边
形
24
知识模型
四边形的性质与判定综合
典型例题1
如图，分别以直角△𝐴𝐵𝐶的斜边𝐴𝐵，直角边𝐴𝐶为边向△𝐴𝐵𝐶外作等边△𝐴𝐵𝐷和等边
△𝐴𝐶𝐸，𝐹为𝐴𝐵的中点，𝐷𝐸与𝐴𝐵交于点𝐺，𝐸𝐹与𝐴𝐶交于点𝐻，∠𝐴𝐶𝐵= 90∘，∠𝐵𝐴𝐶=
30∘．给出以下结论：①𝐸𝐹⊥𝐴𝐶；②四边形𝐴𝐷𝐹𝐸为菱形；③𝐴𝐷= 4𝐴𝐺；④𝐹𝐻= 1
4𝐵𝐷，其
中正确结论的序号是
．
知识模型
正方形
典型例题2
如图，在正方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵= 6，𝐸是对角线𝐴𝐶上的一点，连接𝐵𝐸，过点𝐸作𝐸𝐹⊥𝐵𝐸
交𝐴𝐷于点𝐹．△𝐵𝐶𝐸和△𝐴𝐸𝐹的面积分别为𝑆1 和𝑆2，若2𝑆1 = 3𝑆2，则𝐶𝐸的长
为
．
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第
2
讲
四
边
形
25
模块二
模块二
四边形综合
知识梳理
中点四边形
顺次连结一个四边形四边中点所得四边形称为中点四边形．
如图，四边形𝑀𝑁𝑃𝑄是顺次连结四边形𝐴𝐵𝐶𝐷四条边中点所形成的四边形. 称之为原
四边形的中点四边形．
中点四边形题型思路是作出四边形对角线，构造三角形中位线进行求解或证明．
探索中点四边形是否为特殊的平行四边形取决于原四边形的两条对角线是否相等或垂
直．
平行四边形的中点四边形是
；
矩形的对角线
，它的中点四边形是
；
菱形的对角线
，它的中点四边形是
；
正方形的对角线
，它的中点四边形是
；
等腰梯形的对角线
，它的中点四边形是
．
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第
2
讲
四
边
形
26
知识模型
中点四边形
典型例题3
如图，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐶= 𝑎，𝐵𝐷= 𝑏，且𝐴𝐶⊥𝐵𝐷，顺次连接四边形𝐴𝐵𝐶𝐷各边中点，得
到四边形𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1，再顺次连接四边形𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1 各边中点，得到四边形𝐴2𝐵2𝐶2𝐷2，
⋯，如此进行下去，得到四边形𝐴𝑛𝐵𝑛𝐶𝑛𝐷𝑛．下列结论正确的有( )．
①四边形𝐴2𝐵2𝐶2𝐷2 是矩形；
②四边形𝐴4𝐵4𝐶4𝐷4 是菱形；
③四边形𝐴5𝐵5𝐶5𝐷5 的周长是𝑎+𝑏
4
；
④四边形𝐴𝑛𝐵𝑛𝐶𝑛𝐷𝑛的面积是
𝑎𝑏
2𝑛+1．
A. ①②
B. ②③
C. ②③④
D. ①②③④
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第
2
讲
四
边
形
27
直击中考
四边形中的动态问题
典型例题4
已知：如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷和Rt△𝐸𝐵𝐹中，𝐴𝐵//𝐶𝐷，𝐶𝐷> 𝐴𝐵，点𝐶在𝐸𝐵上，∠𝐴𝐵𝐶=
∠𝐸𝐵𝐹= 90∘，𝐴𝐵= 𝐵𝐸= 8cm，𝐵𝐶= 𝐵𝐹= 6cm，延长𝐷𝐶交𝐸𝐹于点𝑀．点𝑃从点𝐴出
发，沿𝐴𝐶方向匀速运动，速度为2cm/s；同时，点𝑄从点𝑀出发，沿𝑀𝐹方向匀速运动，
速度为1cm/s．过点𝑃作𝐺𝐻⊥𝐴𝐵于点𝐻．交𝐶𝐷于点𝐺．设运动时间为𝑡(s)(0 < 𝑡< 5)．
解答下列问题：
（1）当𝑡为何值时，点𝑀在线段𝐶𝑄的垂直平分线上？
（2）连接𝑃𝑄，作𝑄𝑁⊥𝐴𝐹于点𝑁，当四边形𝑃𝑄𝑁𝐻为矩形时，求𝑡的值.
（3）连接𝑄𝐶，𝑄𝐻，设四边形𝑄𝐶𝐺𝐻的面积为𝑆(cm2)，求𝑆与𝑡的函数关系式．
（4）点𝑃在运动过程中，是否存在某一时刻𝑡，使点𝑃在∠𝐴𝐹𝐸的平分线上？若存在，求
出𝑡的值；若不存在，请说明理由．
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第
2
讲
四
边
形
28
知识模型
半角模型
典型例题5
如图，已知正方形𝐴𝐵𝐶𝐷，𝑀，𝑁分别是𝐵𝐶，𝐶𝐷上的点，∠𝑀𝐴𝑁= 45∘，连接𝐵𝐷分别交
𝐴𝑀，𝐴𝑁于𝐸，𝐹，下面结论错误的是
．
①△𝐶𝑀𝑁的周长等于正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的边长的两倍；
②点𝐴到𝑀𝑁的距离等于正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的边长；
③𝐸𝐹2 = 𝐵𝐸2 +𝐷𝐹2；
④△𝐸𝑀𝑂与△𝐹𝑁𝑂均为等腰直角三角形；
⑤𝑆△𝐴𝑀𝑁= √2𝑆△𝐴𝐸𝐹；
⑥𝑆正方形𝐴𝐵𝐶𝐷∶𝑆△𝐴𝑀𝑁= 2𝐴𝐵∶𝑀𝑁；
⑦当𝐵𝑀= 𝐷𝑁时，𝑆△𝐶𝑀𝑁最大．
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第
2
讲
四
边
形
29
知识模型
四边形与面积问题
典型例题6
请回答下列各题：
（1）如图，菱形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵= 4，∠𝐴𝐵𝐶= 60∘，点𝑀，𝑁分别为边𝐴𝐷，𝐷𝐶上的动点，且
𝐷𝑀+𝐷𝑁= 4，则四边形𝐵𝑀𝐷𝑁的面积为
．
（2）如图，平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵= 3，𝐵𝐶= 5，∠𝐴𝐵𝐶= 60∘，点𝑀，𝑁分别为边𝐴𝐷、
𝐷𝐶上的动点，且𝐷𝑀+𝐷𝑁= 4，则四边形𝐵𝑀𝐷𝑁的面积是否为定值？若是，求出定
值；若不是，请求出最值．
（3）如图，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵= 𝐴𝐷，𝐶𝐷= 1，∠𝐴= ∠𝐶= 90∘，∠𝐴𝐵𝐶= 60∘，点𝑀、𝑁分
别为边𝐴𝐷、𝐷𝐶上的动点，且𝐷𝑀+𝐷𝑁= 2，是否存在𝑀、𝑁，使得四边形𝐵𝑀𝐷𝑁面
积最大且△𝐷𝑀𝑁的周长最小？若存在，求出△𝐷𝑀𝑁的周长最小值；若不存在，请
说明理由．
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第
2
讲
四
边
形
30
随堂练习
随堂练习1
如图，平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的周长是26cm，对角线𝐴𝐶与𝐵𝐷交于点𝑂，𝐴𝐶⊥𝐴𝐵，𝐸是𝐵𝐶
的中点，△𝐴𝑂𝐷的周长比△𝐴𝑂𝐵的周长多3cm，则𝐴𝐸的长度为( )
A. 3cm
B. 4cm
C. 5cm
D. 8cm
随堂练习2
在平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，对角线𝐴𝐶、𝐵𝐷相交于点𝑂，𝐵𝐷= 2𝐴𝐷，𝐸、𝐹、𝐺分别是𝑂𝐶、
𝑂𝐷、𝐴𝐵的中点．下列结论：①𝐸𝐺= 𝐸𝐹；②△𝐸𝐹𝐺≌△𝐺𝐵𝐸；③𝐹𝐵平分∠𝐸𝐹𝐺；④𝐸𝐴平
分∠𝐺𝐸𝐹；⑤四边形𝐵𝐸𝐹𝐺是菱形．其中正确的是
（填序号）．
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第
2
讲
四
边
形
31
随堂练习3
如图，在△𝐴𝐵𝐶和△𝐷𝐶𝐸中，𝐵𝐶= 𝐴𝐶，𝐷𝐶= 𝐶𝐸，∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐷𝐶𝐸= 90∘，且𝐴𝐵、𝐵𝐸、𝐸𝐷、
𝐷𝐴的中点分别是点𝑀、𝑁、𝑃、𝑄．求证：四边形𝑀𝑁𝑃𝑄是正方形．
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第
2
讲
四
边
形
32
随堂练习4
（1）如图1，菱形𝐴𝐸𝐺𝐻的顶点𝐸、𝐻在菱形𝐴𝐵𝐶𝐷的边上，且∠𝐵𝐴𝐷= 60∘，请直接写
出𝐻𝐷∶𝐺𝐶∶𝐸𝐵的结果(不必写计算过程)．
（2）将图1 中的菱形𝐴𝐸𝐺𝐻绕点𝐴旋转一定角度，如图2，求𝐻𝐷∶𝐺𝐶∶𝐸𝐵．
（3）把图2 中的菱形都换成矩形，如图3，且𝐴𝐷∶𝐴𝐵= 𝐴𝐻∶𝐴𝐸= 1 ∶2，此时𝐻𝐷∶𝐺𝐶∶𝐸𝐵
的结果与(2) 小题的结果相比有变化吗？如果有变化，直接写出变化后的结果(不必
写计算过程)；若无变化，请说明理由．
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第
2
讲
四
边
形
33
思维游戏
过关
在古代欧洲某个地方有这样一个规定：商人带着商品每经过
一个关口，就要被没收一半的钱币，再退还一个。有一个商人，在经
过10 个关口之后，只剩下2 个钱币了，你知道这个商人最初有多
少个钱币吗？
商人最初就只有2 个钱币。
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第3 讲
轮基础梳
一轮基础梳理——
圆
模块一
圆的基础
模块二
圆的综合
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第
3
讲
圆
36
本讲概述
模块
知识模型
难度
对应例题
对应随堂练习
圆的基础
圆的性质
★★★
例1、2
随堂练习1、2
内切圆和外接圆
★★★★
例3
圆的综合
辅助圆
★★★★
例4
圆中的计算与证明
★★★★★
例5-7
随堂练习3
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第
3
讲
圆
37
模块一
模块一
圆的基础
知识梳理
圆中三大基本定理
点和圆的位置关系
点和圆的位置关系有三种：点在圆外、点在圆上、点在圆内．
如图，设⊙𝑂的半径为𝑟, 点𝑃到圆心𝑂的距离为𝑑
点在圆外⇔𝑑> 𝑟
点在圆上⇔𝑑= 𝑟
点在圆内⇔𝑑< 𝑟
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第
3
讲
圆
38
直线与圆的位置关系
设⊙𝑂的半径为𝑟，圆心𝑂到直线𝑙的距离为𝑑，则直线和圆的位置关系如下表：
三大切线定理
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第
3
讲
圆
39
知识模型
圆的性质
典型例题1
一个玻璃球体近似半圆𝑂，𝐴𝐵为直径，长度为8，一个玻璃镜与其相切，𝐻为切点，𝑀是
线段𝑂𝐵上的动点，𝑀𝐻为入射光线，∠𝐻𝑂𝑀= 50∘，𝐻𝑁为反射光线，交半圆形于点𝑁，在
𝑀从𝑂运动到𝐵的过程中，求𝑁点的运动路径长．
典型例题2
如图，以𝐴𝐵为直径的半圆𝑂内有一条弦𝐴𝐶，𝑃是弦𝐴𝐶上一个动点，连接𝐵𝑃并延长
交半圆𝑂于点𝐷．若𝐴𝐵= 5，𝐴𝐶= 4，则𝐷𝑃
𝐵𝑃的最大值是
．
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第
3
讲
圆
40
知识模型
内切圆和外接圆
典型例题3
如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶= 60∘，其周长为20，⊙𝐼是△𝐴𝐵𝐶的内切圆，其半径为√3，则
△𝐵𝐼𝐶的外接圆直径为
．
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第
3
讲
圆
41
模块二
模块二
圆的综合
直击中考
辅助圆
典型例题4
如图，在矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵= 4，𝐵𝐶= 3，𝐸，𝐹分别为𝐴𝐵，𝐶𝐷边的中点．动点𝑃从点𝐸出
发沿𝐸𝐴向点𝐴运动，同时，动点𝑄从点𝐹出发沿𝐹𝐶向点𝐶运动，连接𝑃𝑄，过点𝐵作
𝐵𝐻⊥𝑃𝑄于点𝐻，连接𝐷𝐻．若点𝑃的速度是点𝑄的速度的2 倍，在点𝑃从点𝐸运动至
点𝐴的过程中，线段𝑃𝑄长度的最大值为
，线段𝐷𝐻长度的最小值为
．
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3
讲
圆
42
知识模型
圆中的计算与证明
典型例题5
如图，𝐴𝐵为⊙𝑂的直径，𝐶为⊙𝑂上一点，连接𝐴𝐶，𝐵𝐶，𝐷为𝐴𝐵延长线上一点，连接
𝐶𝐷，且∠𝐵𝐶𝐷= ∠𝐴．
（1）求证：𝐶𝐷是⊙𝑂的切线．
（2）若⊙𝑂的半径为√5，△𝐴𝐵𝐶的面积为2√5，求𝐶𝐷的长．
（3）在（2）的条件下，𝐸为⊙𝑂上一点，连接𝐶𝐸交线段𝑂𝐴于点𝐹，若𝐸𝐹
𝐶𝐹= 1
2，求𝐵𝐹
的长．
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第
3
讲
圆
43
直击中考
典型例题6
如图1，𝐵𝐷是半径为3 的⊙𝑂的一条弦，𝐵𝐷= 4√2，点𝐴是⊙𝑂上的一个动点（不与点
𝐵，𝐷重合），以𝐴，𝐵，𝐷为顶点作平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷．
（1）如图2，若点𝐴是劣弧
⌢
𝐵𝐷的中点．
①求证：平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是菱形．
②求平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积．
（2）若点𝐴运动到优弧
⌢
𝐵𝐷上，且平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷有一边与⊙𝑂相切．
①求𝐴𝐵的长．
②直接写出平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷对角线所夹锐角的正切值．
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第
3
讲
圆
44
典型例题7
已知：⊙𝑂是△𝐴𝐵𝐶的外接圆，𝐴𝐷为⊙𝑂的直径，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，垂足为𝐸，连接𝐵𝑂，延长𝐵𝑂
交𝐴𝐶于点𝐹．
（1）如图1，求证：∠𝐵𝐹𝐶= 3∠𝐶𝐴𝐷．
（2）如图2，过点𝐷作𝐷𝐺//𝐵𝐹交⊙𝑂于点𝐺，点𝐻为𝐷𝐺的中点，连接𝑂𝐻，求证：
𝐵𝐸= 𝑂𝐻．
（3）如图3，在（2）的条件下，连接𝐶𝐺，若𝐷𝐺= 𝐷𝐸，△𝐴𝑂𝐹的面积为9√2
5 ，求线段𝐶𝐺
的长．
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第
3
讲
圆
45
随堂练习
随堂练习1
如图，𝐵𝐶为⊙𝑂的直径，弦𝐴𝐷⊥𝐵𝐶于点𝐸，直线𝑙切⊙𝑂于点𝐶，延长𝑂𝐷交𝑙于点
𝐹，若𝐴𝐸= 2，∠𝐴𝐵𝐶= 22.5∘，则𝐶𝐹的长度为( )．
A. 2
B. 2√2
C. 2√3
D. 4
随堂练习2
如图，𝑃为⊙𝑂外一点，𝑃𝐴、𝑃𝐵分别切⊙𝑂于𝐴、𝐵，𝐶𝐷切⊙𝑂于点𝐸，分别交𝑃𝐴、𝑃𝐵
于点𝐶、𝐷，若𝑃𝐴= 5，则△𝑃𝐶𝐷的周长为( )．
A. 5
B. 7
C. 8
D. 10
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第
3
讲
圆
46
随堂练习3
如图，在Rt△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90∘，𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶交𝐵𝐶于点𝐷，𝑂为𝐴𝐵上一点．经过点
𝐴，𝐷两点的⊙𝑂分别交𝐴𝐵，𝐴𝐶于点𝐹、𝐸．
（1）求证：𝐵𝐶是⊙𝑂的切线．
（2）已知𝐴𝐷= 2√3，试求𝐴𝐵⋅𝐴𝐸的值．
（3）在（2）的条件下，若∠𝐵= 30∘，求图中阴影部分的面积．
（结果保留𝜋和根号）
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第
3
讲
圆
47
思维游戏
鸭梨怎么分
蕾蕾家里来了5 位同学。蕾蕾想用鸭梨来招待他们，可是家里
只有5 个一样大小的鸭梨，怎么办呢？应该每个人都有份且每份一
样多（蕾蕾也想尝尝鸭梨的味道）。那就只好把鸭梨切开了，可是
又不好切成碎块，蕾蕾希望每个鸭梨最多切成3 块。于是，这就又
面临一个难题：给6 个人平均分配5 个鸭梨，任何一个鸭梨都不能
切成3 块以上？蕾蕾想了一会儿就把问题给解决了。
你知道她是怎么分的吗？
鸭梨是这样分的：先把3 个鸭梨各切成两半，把这6 个半块分
给每人1 块。另两个鸭梨每个切成3 等块，这6 个1
3 也分给每人
1 块。于是，每个人都得到了一个半块和一个1
3 块，也就是说，6 个
人都平均分配到了鸭梨，而且每个鸭梨都没有切成多于3 块。
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第4 讲
轮基础梳理—
一轮基础梳理——
方程与不等式
模块一
方程
模块二
不等式
模块三
方程与不等式综合
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第
4
讲
方
程
与
不
等
式
50
本讲概述
模块
知识模型
难度
对应例题
对应随堂练习
方程
解方程
★★★★
例1
随堂练习1
构造方程
★★★★
例2
不等式
含参不等式
★★★★
例3-6
随堂练习2、3
方程与不等式综合
方程与不等式综合
★★★★
例7-10
随堂练习4
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第
4
讲
方
程
与
不
等
式
51
模块一
模块一
方程
知识梳理
一、方程
1. 定义
方程：含有未知数的等式叫做方程．
方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解．
(1) 一元一次方程：含有一个未知数且所含未知数的项的最高次数为1 的整式方程叫
做一元一次方程．
(2) 二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1 的方程叫做二
元一次方程．
(3) 二元一次方程组：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1，共有两个方
程，像这样的方程组叫做二元一次方程组．
(4) 一元二次方程：含有一个未知数且所含未知数的项的最高次数为2 的整式方程叫
做一元二次方程．
(5) 分式方程：分母里含有未知数的方程叫做分式方程．
（解分式方程时注意验根）
2. 解的情况
对于形如𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐= 0 的方程：
(1) 当𝑎= 0 且𝑏≠0 时，方程有唯一解．
(2) 当𝑎= 0 且𝑏= 0、𝑐= 0 时，方程有无数解．
(3) 当𝑎= 0 且𝑏= 0、𝑐≠0 时，方程无解．
(4) 当𝑎≠0 时，方程为一元二次方程．
①当Δ > 0 时，方程有两个不相等的实数根；
②当Δ = 0 时，方程有两个相等的实数根；
③当Δ < 0 时，方程无实数根．
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第
4
讲
方
程
与
不
等
式
52
3. 特殊根
对于关于𝑥的方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐= 0(𝑎> 0)
(1) 当方程有一根为1 时，则𝑎+𝑏+𝑐= 0．
(2) 当方程有一根为−1 时，则𝑎−𝑏+𝑐= 0．
(3) 当方程有一根为0 时，则𝑐= 0．
(4) 当方程两根互为相反数时，则𝑏= 0．
(5) 当方程有一根大于零一根小于零时，则𝑐< 0．
(6) 当方程两根都大于零时，则𝑏< 0 且𝑐> 0．
(7) 当方程两根都小于零时，则𝑏> 0 且𝑐> 0．
(8) 当方程有一根𝑥1 大于1，一根𝑥2 小于1，则(𝑥1 −1)(𝑥2 −1) < 0．
4. 整数根
关于𝑥的一元二次方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐= 0(𝑎≠0) 有整数根必须具备两个条件：
(1)𝑏2 −4𝑎𝑐是完全平方数；(2)−𝑏±√𝑏2 −4𝑎𝑐是2𝑎的整数倍．
知识模型
解方程
典型例题1
（1）已知𝑥、𝑦满足方程组
⎧{{
⎨{{⎩
3𝑥2 −2𝑥𝑦+12𝑦2 = 47①
2𝑥2 +𝑥𝑦+8𝑦2 = 36②
．
(I) 求𝑥2 +4𝑦2 的值；
(II) 求1
𝑥+ 1
2𝑦的值．
（2）设[𝑥] 表示不超过𝑥的最大整数，如[1.25] = 1，则方程3𝑥−2[𝑥]+4 = 0 的解
．
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第
4
讲
方
程
与
不
等
式
53
直击中考
构造方程
典型例题2
阅读材料，解答问题：
材料1
为了解方程(𝑥2)
2 −13𝑥2 +36 = 0，如果我们把𝑥2 看作一个整体，然后设𝑦= 𝑥2，则原方
程可化为𝑦2 −13𝑦+36 = 0，经过运算，原方程的解为𝑥1,2 = ±2，𝑥3,4 = ±3．我们把以上这
种解决问题的方法通常叫做换元法．
材料2
已知实数𝑚，𝑛满足𝑚2 −𝑚−1 = 0，𝑛2 −𝑛−1 = 0，且𝑚≠𝑛，显然𝑚，𝑛是方程𝑥2 −𝑥−1 = 0
的两个不相等的实数根，由韦达定理可知𝑚+𝑛= 1，𝑚𝑛= −1．根据上述材料，解决以下问
题：
（1）直接应用：
方程𝑥4 −5𝑥2 +6 = 0 的解为
．
（2）间接应用：
已知实数𝑎，𝑏满足：2𝑎4 −7𝑎2 +1 = 0，2𝑏4 −7𝑏2 +1 = 0 且𝑎≠𝑏，求𝑎4 +𝑏4 的值．
（3）拓展应用：
已知实数𝑥，𝑦满足：1
𝑚4 + 1
𝑚2 = 7，𝑛2 −𝑛= 7 且𝑛> 0，求
1
𝑚4 +𝑛2 的值．
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4
讲
方
程
与
不
等
式
54
模块二
模块二
不等式
知识梳理
一、不等式的基本性质
1．不等式的性质1：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式
子，不等号的方向不变;
2．不等式的性质2：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变;
3．不等式的性质3：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.
二、一元一次不等式的定义
只含有一个未知数且未知数的次数是一次的不等式叫做一元一次不等式.
三、解一元一次不等式的步骤
去分母→去括号→移项→化成𝑎𝑥> 𝑏（或𝑎𝑥< 𝑏等）的形式（其中𝑎≠0）→两边同
除以未知数的系数，得到不等式的解集(化成𝑥> 𝑏
𝑎或𝑥< 𝑏
𝑎的形式)．
四、一元一次不等式组的定义
由几个含有同一个未知数的一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组.
五、不等式组的解集
不等式组中所有不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集．
当几个不等式的解集没有公共部分时，称这个不等式组无解．
六、一元一次不等式组解集的基本类型
由两个一元一次不等式组成的不等式组，经过整理可以归结为下述四种基本类型（表中
𝑎> 𝑏）
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第
4
讲
方
程
与
不
等
式
55
直击中考
含参不等式
典型例题3
若不等式组
⎧{{
⎨{{⎩
2𝑥< 3(𝑥−3)+1
3𝑥+2
4
> 𝑥+𝑎
恰有四个整数解，则𝑎的取值范围是
．
典型例题4
若关于𝑥的一元一次不等式组
⎧{
⎨{⎩
𝑥−1 ⩾4𝑥−1
3
5𝑥−1 < 𝑎
的解集为𝑥⩽−2，且关于𝑦的分式方程
𝑦−1
𝑦+1 =
𝑎
𝑦+1 −2 的解是负整数，则所有满足条件的整数𝑎的值之和是( )．
A. −26
B. −24
C. −15
D. −13
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4
讲
方
程
与
不
等
式
56
典型例题5
若整数𝑥，𝑦满足方程组
⎧{
⎨{⎩
𝑦−𝑚= 𝑥2
𝑥−𝑚= 𝑦2 ，且−2 ⩽𝑥⩽4，𝑥≠𝑦，则𝑚的最大值为( )．
A. 0
B. −1
C. −2
D. −3
4
典型例题6
解关于𝑥的不等式：(𝑎𝑥−1)(𝑎+1) < 0．
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4
讲
方
程
与
不
等
式
57
模块三
模块三
方程与不等式综合
知识模型
方程与不等式综合
典型例题7
设一元二次方程(𝑥−1)(𝑥−2) = 𝑚(𝑚> 0) 的两实根分别为𝛼、𝛽，且𝛼< 𝛽，则𝛼、𝛽满足
( )
A. 1 < 𝛼< 𝛽< 2
B. 1 < 𝛼< 2 < 𝛽
C. 𝛼< 1 < 𝛽< 2
D. 𝛼< 1 且𝛽> 2
直击中考
典型例题8
对于一个各数位上的数字均不为0 的三位自然数𝑁，若𝑁能被它的各数位上的数字之
和𝑚整除，则称𝑁是𝑚的“和倍数”．
例如：∵247÷(2+4+7) = 247÷13 = 19，∴247 是13 的“和倍数”．
又如：∵214÷(2+1+4) = 214÷7 = 30⋯⋯4，∴214 不是“和倍数”．
（1）判断357，441 是否是“和倍数”，说明理由．
（2）三位数𝐴是12 的“和倍数”，𝑎，𝑏，𝑐分别是数𝐴其中一个数位上的数字，且𝑎> 𝑏> 𝑐．
在𝑎，𝑏，𝑐中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为𝐹(𝐴)，最小的两位数记为
𝐺(𝐴)，若𝐹(𝐴)+𝐺(𝐴)
16
为整数，求出满足条件的所有数𝐴．
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4
讲
方
程
与
不
等
式
58
典型例题9
已知方程𝑥2 −𝑎𝑥+4𝑎= 0．
（1）若方程有两个相异的正根，求𝑎的取值范围．
（2）两根为𝑥1，𝑥2，−1 < 𝑥1 < 0 < 𝑥2 < 1，求𝑎的取值范围．
（3）若𝑎> 0，且方程仅有整数根，求𝑎和根的值．
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4
讲
方
程
与
不
等
式
59
典型例题10
已知在关于𝑥的分式方程𝑘−1
𝑥−1 = 2①和一元二次方程(2−𝑘)𝑥2 + 3𝑚𝑥+ (3−𝑘)𝑛= 0②
中，𝑘、𝑚、𝑛均为实数，方程①的根为非负数．
（1）求𝑘的取值范围．
（2）当方程②有两个整数根𝑥1、𝑥2，𝑘为整数，且𝑘= 𝑚+2，𝑛= 1 时，求方程②的整数根．
（3）当方程②有两个实数根𝑥1、𝑥2，满足𝑥1(𝑥1 −𝑘)+𝑥2 (𝑥2 −𝑘) = (𝑥1 −𝑘)(𝑥2 −𝑘)，且𝑘
为负整数时，试判断|𝑚| ⩽2 是否成立？请说明理由．
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4
讲
方
程
与
不
等
式
60
随堂练习
随堂练习1
若关于𝑥、𝑦的方程组
⎧{{
⎨{{⎩
𝑥+2𝑦= 5
2𝑥+𝑎𝑦= 4
的解都是正整数，那么整数𝑎的值有( )．
A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个
随堂练习2
不等式组
⎧{{
⎨{{⎩
𝑥−1
3
−1
2𝑥< −1
4(𝑥−1) ⩽2(𝑥−𝑎)
有3 个整数解，则𝑎的取值范围是( )
A. −6 ⩽𝑎< −5
B. −6 < 𝑎⩽−5
C. −6 < 𝑎< −5
D. −6 ⩽𝑎⩽−5
随堂练习3
关于𝑥的分式方程3𝑥−𝑎
𝑥−3 + 𝑥+1
3−𝑥= 1 的解为正数，且关于𝑦的不等式组
⎧{
⎨{⎩
𝑦+9 ⩽2(𝑦+2)
2𝑦−𝑎
3
> 1
的解集为𝑦⩾5，则所有满足条件的整数𝑎的值之和是( )．
A. 13
B. 15
C. 18
D. 20
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第
4
讲
方
程
与
不
等
式
61
随堂练习4
已知关于𝑥的方程𝑥2 +(2𝑘−1)𝑥+𝑘2 −1 = 0 有两个实数根𝑥1，𝑥2．
（1）求实数𝑘的取值范围．
（2）若𝑥1，𝑥2 满足𝑥2
1 +𝑥2
2 = 16+𝑥1𝑥2，求实数𝑘的值．
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4
讲
方
程
与
不
等
式
62
思维游戏
音乐转灯
有一盏音乐转灯设计很独特：在中心红光外面包着7 层圆筒
壳，每层壳上都有1 个五角星的图案，当7 层壳上的五角星排成一
条直线时，这样中心红光可以透出五角星的图案。如果开始时7 个
五角星是对齐的，然后7 层筒壳一起匀速转动，但是转速却不一样：
每分钟第一层转1 圈，第二层转2 圈，第三层转3 圈，第四层转4
圈，第五层转5 圈，第六层转6 圈，第七层转7 圈。
请问：至少要多长时间以后，可以透出五角星图案来？
给那么多的条件只是为了迷惑你，请你仔细想一下，在一分钟
后，它们各自刚好转了整数圈，肯定又会恰好对齐。
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第5 讲
轮基础梳理——
一轮基础梳理——
一次函数与反比例函数
模块一
一次函数
模块二
反比例函数
模块三
一次函数与反比例函数综合
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第
5
讲
一
次
函
数
与
反
比
例
函
数
66
本讲概述
模块
知识模型
难度
对应例题
对应随堂练习
一次函数
一次函数与不等式
★★★
例1
随堂练习1
一次函数与最值
★★★★
例2
一次函数与新定义
★★★
例3
反比例函数
反比例函数中的几
何性质
★★★★
例4
随堂练习2、3
设坐标计算
★★★★
例5
一次函数与反
比例函数综合
一次函数与反比例
函数综合
★★★★
例6-8
随堂练习4
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第
5
讲
一
次
函
数
与
反
比
例
函
数
67
模块一
模块一
一次函数
知识梳理
一、一次函数的图象及性质
二、一次函数𝑦= 𝑘𝑥+𝑏(𝑘≠0) 图象的变换
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第
5
讲
一
次
函
数
与
反
比
例
函
数
68
三、解决面积问题的常用方法
1. 公式法：三角形、特殊四边形的等面积公式；
2. 割补法：通过割补转化为易求面积的图形；
3. 等积变换法：同底等高的三角形面积相等；
4. 铅垂线法：如图，𝑆△𝐴𝐵𝐶= 1
2𝐴𝑃⋅(ℎ1 +ℎ2)，𝐴𝑃称为铅垂高，ℎ1 +ℎ2 称为水平宽.
知识模型
一次函数与不等式
典型例题1
已知直线𝑦1 = 𝑥，𝑦2 = 1
3𝑥+1，𝑦3 = −4
5𝑥+5 的图象如图所示，若无论𝑥取何值，𝑦总取𝑦1，
𝑦2，𝑦3 中的最小值，则𝑦的最大值为
．
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第
5
讲
一
次
函
数
与
反
比
例
函
数
69
知识模型
一次函数与最值
典型例题2
（1）在平面直角坐标系中，𝑄是直线𝑦= −1
2𝑥+2 上的一个动点，将𝑄绕点𝑃(1,0) 顺时
针旋转90∘，得到点𝑄′，连接𝑂𝑄′，则𝑂𝑄′ 的最小值为
．
（2）如图，在平面直角坐标系中，点𝐴在直线𝑦= √3𝑥的第一象限的图象上运动，点𝐵在
𝑥轴正半轴上运动，在𝐴𝐵右侧以它为边作矩形𝐴𝐵𝐶𝐷，且𝐴𝐵= 2√3，𝐴𝐷= 1，则𝑂𝐷
的最大值是( )．
A. √5+√3
B. √7+2
C. √5+2
D. 2√2+√3
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第
5
讲
一
次
函
数
与
反
比
例
函
数
70
知识模型
一次函数与新定义
典型例题3
在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，对于𝑀，𝑁两点给出如下定义：若点𝑀到𝑥轴，𝑦轴的距离中
的最大值等于点𝑁到𝑥轴，𝑦轴的距离中的最大值，则称𝑀，𝑁两点互为“等距点”．例如：
点𝑃(2,2) 与点𝑄(−2,−1) 到𝑥轴，𝑦轴的距离中的最大值都等于2，它们互为等距点．
已知点𝐴坐标为(1,3)．
（1）在点𝐵(0,−2)，𝐶(−3,2)，𝐷(4,3) 中，点
与点𝐴互为“等距点”．
（2）已知直线𝑙：𝑦= 𝑘𝑥+4𝑘+1．
①若𝑘= 1，点𝐸在直线𝑙上，且𝐴，𝐸两点互为“等距点”，求点𝐸的坐标．
②若直线𝑙上存在点𝐹，使得𝐴，𝐹两点互为“等距点”，求𝑘的取值范围．
（3）若⊙𝑁的圆心为(𝑛,2)，半径为2，⊙𝑁上恰有三个点是点𝐴的“等距点”直接写出𝑛
的值．
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第
5
讲
一
次
函
数
与
反
比
例
函
数
71
模块二
模块二
反比例函数
知识梳理
一、反比例函数的性质
二、比例系数的几何意义（面积不变性）
过反比例函数𝑦= 𝑘
𝑥(𝑘≠0) 图象上一点𝑃(𝑥,𝑦) ，作两坐标轴的垂线，两垂足、原点、𝑃点
组成一个矩形，矩形的面积𝑆= |𝑥|⋅∣𝑦∣= ∣𝑥𝑦∣= |𝑘| ．
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第
5
讲
一
次
函
数
与
反
比
例
函
数
72
1. 矩形面积不变性：
如图，在反比例函数𝑦= 𝑘
𝑥(𝑘≠0) 的图象上任取点𝐴、𝐵、𝐶，过𝐴、𝐵、𝐶向𝑥轴、𝑦轴
引垂线，垂足分别为𝐴1、𝐴2 、𝐵1 、𝐵2 、𝐶1 、𝐶2，则𝑆矩形𝐴𝐴1𝑂𝐴2 = 𝑆矩形𝐵𝐵1𝑂𝐵2 =
𝑆矩形𝐶𝐶1𝑂𝐶2=|𝑘|．
2. 三角形面积不变性：
如图，在反比例函数𝑦= 𝑘
𝑥(𝑘≠0) 的图象上任取点𝐴、𝐵、𝐶，过𝐴、𝐵、𝐶向𝑥轴或𝑦
轴引垂线，垂足分别为𝐴1、𝐵1 、𝐶1 ，则𝑆Rt△𝐴𝐴1𝑂=𝑆Rt△𝐵𝐵1𝑂=𝑆Rt△𝐶𝐶1𝑂=1
2 |𝑘| ．
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第
5
讲
一
次
函
数
与
反
比
例
函
数
73
3. 梯形面积不变性：
如图，在反比例函数𝑦= 𝑘
𝑥(𝑘≠0) 的图象上任取点𝐴、𝐵，过𝐴、𝐵向𝑥轴、𝑦轴引垂线，
垂足分别为𝐴1 、𝐴2 、𝐵1、𝐵2 ，则𝑆梯形𝐴𝐵𝐵1𝐴1 = 𝑆梯形𝐴𝐵𝐵2𝐴2 = 𝑆△𝑂𝐴𝐵．
知识模型
反比例函数的几何性质
典型例题4
（1）如图，点𝐴是函数𝑦= 2
𝑥图象上的任意一点，点𝐵、𝐶在反比例函数𝑦= 𝑘
𝑥的图象上．
若𝐴𝐵//𝑥轴，𝐴𝐶//𝑦轴，阴影部分的面积为4，则𝑘=
．
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第
5
讲
一
次
函
数
与
反
比
例
函
数
74
（2）如图，反比例函数𝑦= −12
𝑥的图象与直线𝑦= 1
2𝑥+𝑏(𝑏> 0) 交于𝐴，𝐵两点，过点𝐴
作𝑥轴的垂线，垂足为点𝐶，连接𝐴𝑂，𝐵𝑂，图中阴影部分的面积为12，则𝑏的值
为
．
直击中考
设坐标计算
典型例题5
如图，四边形𝑂𝐴𝐵𝐶为矩形，点𝐴在第二象限，点𝐴关于𝑂𝐵的对称点为点𝐷，点𝐵，𝐷
都在函数𝑦= 6√2
𝑥(𝑥> 0) 的图象上，𝐵𝐸⊥𝑥轴于点𝐸．若𝐷𝐶的延长线交𝑥轴于点𝐹，当
矩形𝑂𝐴𝐵𝐶的面积为9√2 时，𝐸𝐹
𝑂𝐸的值为
，点𝐹的坐标为
．
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第
5
讲
一
次
函
数
与
反
比
例
函
数
75
模块三
模块三
一次函数与反比例函数综合
知识模型
一次函数与反比例函数综合
典型例题6
设双曲线𝑦= 𝑘
𝑥(𝑘> 0) 与直线𝑦= 𝑥交于𝐴、𝐵两点(点𝐴在第三象限)，将双曲线在第一
象限的一支沿射线𝐵𝐴的方向平移，使其经过点𝐴，将双曲线在第三象限的一支沿射线
𝐴𝐵的方向平移，使其经过点𝐵，平移后的两条曲线相交于𝑃、𝑄两点，此时我们称平移后
的两条曲线所围部分(如图中阴影部分) 为双曲线的“眸”，𝑃𝑄为双曲线的“眸径“，当双曲
线𝑦= 𝑘
𝑥(𝑘> 0) 的眸径为6 时，𝑘的值为( )
A. 3
2
B. 2
C. 9
2
D. 3
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第
5
讲
一
次
函
数
与
反
比
例
函
数
76
典型例题7
如图，直线𝑙1 与反比例函数𝑦= 3
𝑥(𝑥> 0) 的图象相交于𝐴、𝐵两点，线段𝐴𝐵的中点为点
𝐶．过点𝐶作𝑥轴的垂线，垂足为点𝐷．直线𝑙2 过原点𝑂和点𝐶．若直线𝑙2 上存在点
𝑃(𝑚,𝑛)，满足∠𝐴𝑃𝐵= ∠𝐴𝐷𝐵，则𝑚+𝑛的值可能为( )．
A. 3−√5
B. 3 或3
2
C. 3+√5 或3−√5
D. 3
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第
5
讲
一
次
函
数
与
反
比
例
函
数
77
典型例题8
如图，在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，一次函数𝑦= −2𝑥+6 的图象与反比例函数𝑦= 𝑘
𝑥的图
象相交于𝐴(𝑎,4)，𝐵两点．
（1）求反比例函数的表达式及点𝐵的坐标．
（2）过点𝐴作直线𝐴𝐶，交反比例函数图象于另一点𝐶，连接𝐵𝐶，当线段𝐴𝐶被𝑦轴分
成长度比为1 ∶2 的两部分时，求𝐵𝐶的长．
（3）我们把有两个内角是直角，且一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形称为“完
美筝形”．设𝑃是第三象限内的反比例函数图象上一点，𝑄是平面内一点，当四边形
𝐴𝐵𝑃𝑄是完美筝形时，求𝑃，𝑄两点的坐标．
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第
5
讲
一
次
函
数
与
反
比
例
函
数
78
随堂练习
随堂练习1
如图，直线𝑦= 𝑥+ 𝑚与𝑦= 𝑛𝑥−5𝑛(𝑛≠0) 的交点的横坐标为3，则关于𝑥的不等式
𝑥+𝑚> 𝑛𝑥−5𝑛> 0 的整数解为( )．
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
随堂练习2
如图，在平面直角坐标系中，函数𝑦= 𝑘𝑥与𝑦= −1
𝑥的图象交于𝐴，𝐵两点，过𝐴作𝑦轴的
垂线，交函数𝑦= 2
𝑥(𝑥> 0) 的图象于点𝐶，连接𝐵𝐶，则△𝐴𝐵𝐶的面积为
．
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第
5
讲
一
次
函
数
与
反
比
例
函
数
79
随堂练习3
如图是反比例函数𝑦= 6
𝑥和𝑦= 2
𝑥在第一象限内的图象，在𝑦= 2
𝑥上取点𝑀，过点𝑀分别
作两坐标轴的垂线交𝑦= 6
𝑥于点𝐴、𝐵，连接𝑂𝐴、𝑂𝐵，则图中阴影部分面积为
．
随堂练习4
如图，在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，已知正比例函数𝑦= 1
2𝑥的图象与反比例函数𝑦= 𝑘
𝑥的
图象交于𝐴(𝑎,−2)，𝐵两点．
（1）求反比例函数的表达式和点𝐵的坐标．
（2）𝑃是第一象限内反比例函数图象上一点，过点𝑃作𝑦轴的平行线，交直线𝐴𝐵于点
𝐶，连接𝑃𝑂，若△𝑃𝑂𝐶的面积为3，求点𝑃的坐标．
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第
5
讲
一
次
函
数
与
反
比
例
函
数
80
思维游戏
盒子里的鸡蛋
往一只盒子里放鸡蛋，假定盒子里的鸡蛋数目每分钟增加一
倍，一小时后，盒子满了。
请问：在什么时候是半盒子鸡蛋？
盒子里的鸡蛋在60 分钟时全满，一分钟之前，即59 分钟的时
候是半盒子鸡蛋。
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第6 讲
轮基础梳理
一轮基础梳理——
二次函数
模块一
二次函数基础
模块二
二次函数最值
模块三
二次函数综合
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第
6
讲
二
次
函
数
84
本讲概述
模块
知识模型
难度
对应例题
对应随堂练习
二次函数基础
二次函数的图象与
性质
★★★
例1
随堂练习1
二次函数图象综合
★★★★
例2
二次函数图系关系
★★★★
例3
随堂练习2
二次函数最值
区间最值
★★★★
例4-6
二次函数最值问题
★★★★
例7
二次函数综合
二次函数综合
★★★★
例8、9
随堂练习3
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第
6
讲
二
次
函
数
85
模块一
模块一
二次函数基础
知识梳理
一、二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐(𝑎≠0) 中的系数：
1. 𝑎决定开口方向及开口大小：𝑎> 0 时开口向上，𝑎< 0 时开口向下；|𝑎| 越小开口越大，
|𝑎| 越大开口越小，|𝑎| 相等时开口大小相同．
2. 𝑎、𝑏共同决定对称轴的位置：对称轴在𝑦轴左侧，则𝑎、𝑏同号；对称轴在𝑦轴右侧，则
𝑎、𝑏异号，简称“左同右异”．
3. 𝑐决定与𝑦轴交点．
二、二次函数解析式的四种表示形式
1. 一般式：𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐(𝑎≠0)；
2. 顶点式：𝑦= 𝑎(𝑥−ℎ)2 +𝑘或𝑦= 𝑎(𝑥+ 𝑏
2𝑎)
2
+ 4𝑎𝑐−𝑏2
4𝑎
(𝑎≠0)；
3. 交点式：𝑦= 𝑎(𝑥−𝑥1)(𝑥−𝑥2)(𝑎≠0)，其中𝑥1，𝑥2 是方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐= 0(𝑎≠0) 的两个
实根．
4. 对称式：𝑦= 𝑎(𝑥−𝑥1)(𝑥−𝑥2)+𝑘(𝑎≠0)，其中(𝑥1,𝑘)，(𝑥2,𝑘) 是二次函数上的两点．
三、二次函数的单调性
1. 当𝑎> 0，𝑥< −𝑏
2𝑎时，𝑦随𝑥的增大而减小；
2. 当𝑎> 0，𝑥> −𝑏
2𝑎时，𝑦随𝑥的增大而增大；
3. 当𝑎< 0，𝑥< −𝑏
2𝑎时，𝑦随𝑥的增大而增大；
4. 当𝑎< 0，𝑥> −𝑏
2𝑎时，𝑦随𝑥的增大而减小．
四、二次函数图象与𝑥轴的交点问题
1. 当𝑏2 −4𝑎𝑐> 0 时，抛物线与𝑥轴有2 个交点，并且关于直线𝑥= −𝑏
2𝑎对称，两交点之
间的距离为√𝑏2 −4𝑎𝑐
|𝑎|
；
2. 当𝑏2 −4𝑎𝑐= 0 时，抛物线与𝑥轴有1 个交点，即为抛物线的顶点；
3. 当𝑏2 −4𝑎𝑐< 0 时，抛物线与𝑥轴没有交点．
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第
6
讲
二
次
函
数
86
五、二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐(𝑎≠0) 的图象变换：
1. 平移变换
平移规律：左加右减自变量，上加下减常数项．
2. 对称变换
(1) 关于𝑥轴对称：得到的解析式为𝑦= −𝑎𝑥2 −𝑏𝑥−𝑐；
(2) 关于𝑦轴对称：得到的解析式为𝑦= 𝑎𝑥2 −𝑏𝑥+𝑐；
(3) 关于原点对称：得到的解析式为𝑦= −𝑎𝑥2 +𝑏𝑥−𝑐．
3. 万能方法
(1) 二次函数关于任意直线(竖直或水平方向) 或任意点的对称，可根据以下方法确定
变换后的解析式：
①确定对称前函数的顶点坐标；
②根据对称性质确定变换后的顶点坐标；
③确定变换后的抛物线开口方向，即𝑎的符号；
④利用顶点式写出变换后的函数解析式．
(2) 降维思想：要研究原图象经过几何变换得到的新图象，可降维到具体的点，通过对
原图象和新图象上对应点的关系来研究.
六、从二次函数的图象判断系数取值
1. 𝑎：通过图象的开口方向确定；
2. 𝑏：通过抛物线对称轴的位置和𝑎的符号确定，可用“左同右异”原则；
3. 𝑐：抛物线与𝑦轴交点纵坐标
4. 𝑎+𝑏+𝑐：𝑥= 1 时的函数值
5. 𝑎−𝑏+𝑐：𝑥= −1 时的函数值
6. 4𝑎+2𝑏+𝑐：𝑥= 2 时的函数值
7. 4𝑎−2𝑏+𝑐：𝑥= −2 时的函数值
8. 4𝑎𝑐−𝑏2
4𝑎
：顶点纵坐标
9. 2𝑎±𝑏：通过对称轴与直线𝑥= ±1 的位置关系确定正负．
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第
6
讲
二
次
函
数
87
知识模型
二次函数的图象与性质
典型例题1
下列关于二次函数𝑦= −(𝑥−𝑚)2 + 𝑚2 + 1(𝑚为常数) 的结论：①该函数的图象与函数
𝑦= −𝑥2 的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点(0,1)；③当𝑥> 0 时，𝑦随𝑥的增
大而减小；④该函数的图象的顶点在函数𝑦= 𝑥2 +1 的图象上，其中所有正确结论的序号
是
．
直击中考
二次函数图象综合
典型例题2
（1）在平面直角坐标系中，已知点𝐴(1,2)，𝐵(2,3)，𝐶(2,1)，直线𝑦= 𝑥+𝑚经过点𝐴，抛物
线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+1 恰好经过𝐴，𝐵，𝐶三点中的两点．求抛物线的解析式．
（2）已知二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐的图象过点(−1,0)，且对任意实数𝑥，都有4𝑥−12 ≤
𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐≤2𝑥2 −8𝑥+6．求该二次函数的解析式．
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第
6
讲
二
次
函
数
88
（3）设𝑃是抛物线𝑦= 𝑥2 −2𝑥−3 上的动点，𝑂为原点，𝑃′ 为𝑂𝑃的中点．
设直线𝑦= 𝑚(𝑚> −2) 与抛物线及点𝑃′ 所在曲线都有两个交点，交点从左到右依
次为𝐴1，𝐴2，𝐴3，𝐴4，请直接写出线段𝐴1𝐴2，𝐴3𝐴4 之间的数量关系是
．
知识模型
二次函数图系关系
典型例题3
如图，抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐的对称轴是直线𝑥= 1，下列结论：
①𝑎𝑏𝑐> 0；②𝑏2 −4𝑎𝑐> 0；③8𝑎+𝑐< 0；④5𝑎+𝑏+2𝑐> 0；
⑤对任意实数𝑚，都有𝑎(𝑚2 −1)+𝑏(𝑚−1) ⩽0；
⑥对抛物线上任意两点𝑀(𝑥1,𝑦1)，𝑁(𝑥2,𝑦2)，都有𝑎(𝑥1 +𝑥2
2
)
2
+𝑏⋅𝑥1 +𝑥2
2
+𝑐> 𝑦1 +𝑦2
2
，
正确的有( )．
A. 6 个
B. 5 个
C. 4 个
D. 3 个
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第
6
讲
二
次
函
数
89
模块二
模块二
二次函数最值
知识模型
定轴动区间
典型例题4
当𝑎⩽𝑥⩽𝑎+1 时，函数𝑦= 𝑥2 −2𝑥+1 的最小值为1，则𝑎的值为( )
A. −1
B. 2
C. 0 或2
D. −1 或2
知识模型
动轴定区间
典型例题5
当−2 ⩽𝑥⩽1 时，二次函数𝑦= −(𝑥−𝑚)2 +𝑚2 +1 有最大值4，则实数𝑚的值为( )．
A. −7
4
B. √3 或−√3
C. 2 或−√3
D. 2 或√3 或−7
4
知识模型
动轴动区间
典型例题6
已知函数𝑦= −𝑥2+2𝑎𝑥，当𝑥⩽2 时，函数值𝑦随𝑥的增大而增大，且对任意的1 ⩽𝑥1 ⩽𝑎+1
和1 ⩽𝑥2 ⩽𝑎+1，𝑥1、𝑥2 相应的函数值𝑦1、𝑦2 总满足|𝑦1 −𝑦2| ⩽9，则实数𝑎的取值范围是
( )．
A. 2 ⩽𝑎⩽4
B. −2 ⩽𝑎⩽4
C. 𝑎⩾2
D. 2 ⩽𝑎⩽3
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第
6
讲
二
次
函
数
90
知识模型
二次函数最值问题
典型例题7
抛物线𝑦= 𝑥2 −3𝑥−4 与𝑥轴交于𝐴，𝐵两点（𝐴在𝐵的左侧），与𝑦轴交于𝐶点．
（1）已知𝑃是第四象限抛物线上的动点．
①当△𝐶𝐵𝑃面积最大时，求𝑃点坐标．
②设𝐴𝑃和𝐵𝐶交于点𝑀，求𝐴𝑀
𝑃𝑀的最小值．
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6
讲
二
次
函
数
91
③过𝑃点作𝑃𝑁//𝐴𝐶交𝐵𝐶于点𝑁，求𝑃𝑁的最大值．
（2）设𝐸是线段𝐴𝐵上一点，过𝐵点作直线𝑙平行于𝐴𝐶，延长𝐶𝐸交𝑙于点𝐹，求
△𝐴𝐶𝐸与△𝐵𝐹𝐸面积之和的最小值．
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6
讲
二
次
函
数
92
模块三
模块三
二次函数综合
知识模型
二次函数综合
典型例题8
平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，抛物线𝐺：𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐(0 < 𝑎< 12) 过点𝐴(1,𝑐−5𝑎)，𝐵(𝑥1,3)，
𝐶(𝑥2,3)，顶点𝐷不在第一象限，线段𝐵𝐶上有一点𝐸，设△𝑂𝐵𝐸的面积为𝑆1，△𝑂𝐶𝐸的
面积为𝑆2，𝑆1 = 𝑆2 + 3
2．则𝐸点坐标为
．
典型例题9
把二次函数𝑦= 1
4𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐的图象沿𝑦轴向下平移3 个单位长度，再沿𝑥轴向左平移1
个单位长度后，得到抛物线𝑀，其顶点恰好落在𝑦轴上点(0,−1)．
（1）【解决问题】
请直接写出抛物线𝑀的函数表达式，并求𝑏，𝑐的值．
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6
讲
二
次
函
数
93
（2）【探索研究】
小明在抛物线𝑀上任意找了一个点𝑃(𝑚,𝑛)，以点𝑃为圆心，𝑂𝑃长为半径画圆，他
观察发现所画出的圆与过点(0,−2) 且平行于𝑥轴的直线相切，请判断他的发现是
否正确？并说明理由．
（3）【理解应用】
①将抛物线𝑀的图象绕原点𝑂顺时针旋转90∘得抛物线𝑁，𝐶为抛物线𝑁上一
动点，点𝑄的坐标为(1,−1)，求出△𝑂𝐶𝑄周长的最小值．
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6
讲
二
次
函
数
94
②过原点的直线𝑙与抛物线𝑀交于𝐴，𝐵两点，试证明：1
𝐴𝑂+ 1
𝐵𝑂为定值，并求出该
定值．
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6
讲
二
次
函
数
95
随堂练习
随堂练习1
关于二次函数𝑦= 2𝑥2 +4𝑥−1，下列说法正确的是( )
A. 图象与𝑦轴的交点坐标为(0,1)
B. 图象的对称轴在𝑦轴的右侧
C. 当𝑥< 0 时，𝑦的值随𝑥值的增大而减小
D. 𝑦的最小值为−3
随堂练习2
如图，抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐(𝑎≠0) 的对称轴为直线𝑥= −1，给出下列结论：
①𝑏2 = 4𝑎𝑐；②𝑎𝑏𝑐> 0；③𝑎> 𝑐；④4𝑎−2𝑏+𝑐> 0，其中正确的有( )．
A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个
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第
6
讲
二
次
函
数
96
随堂练习3
设二次函数𝑦1 = 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+𝑎−5 （𝑎，𝑏为常数，𝑎≠0），且2𝑎+𝑏= 3．
（1）若该二次函数的图象过点(−1,4)，求该二次函数的表达式．
（2）𝑦1 的图象始终经过一个定点，若一次函数𝑦2 = 𝑘𝑥+ 𝑏（𝑘为常数，𝑘≠0）的图象也
经过这个定点，探究实数𝑘，𝑎满足的关系式．
（3）已知点𝑃(𝑥0,𝑚) 和𝑄(1,𝑛) 都在函数𝑦1 的图象上，若𝑥0 < 1，且𝑚> 𝑛，求𝑥0 的取
值范围（用含𝑎的代数式表示）．
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第
6
讲
二
次
函
数
97
思维游戏
称粮食
大米、小米和玉米分别装在3 只袋子里，它们的重量都在35
斤到40 斤之间。
用一台最小量程为50 斤的磅秤，最少称几次就能称出小米、
大米和玉米各重多少斤？
最少称3 次。把大米和玉米、玉米和小米、大米和小米分别两
袋一起称。把3 次的重量加起来除以2，就得到一袋大米、一袋小
米和一袋玉米的总重量。然后把总重量分别减去大米和玉米、玉米
和小米、大米和小米的重量，就能算出小米、大米和玉米各重多少
了。
其实核心是应用了方程组进行求解。
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