义 务 教 育 教 科 书
义
务
教
YIWU JIAOYU JIAOKESHU 育
教
科
数学
书
八 年 级 上 册
数学
SHUXUE 数
学
八年级
上册
八
年
级
上
册义务教育教科书
数 学
S H U X U E
八年级 上册
主 编 鲍建生 执行主编 董林伟
·南京主 编 鲍建生
:
执行主编 董林伟
:
本册主编 徐德同
:
编写人员 按姓氏笔画排序
:( )
朱建明 孙朝仁 周 超
姜鸿雁 诸士金 疏 嘉
义务教育教科书
数学 八年级上册
策 划 陈卫春
责 任 编 辑 沈 琼 赵 悦
装 帧 设 计 刘旭东
责 任 校 对 仲 敏
出 版 江苏凤凰科学技术出版社
出版社地址 南京市湖南路 号 楼 邮编
1 A , :210009
编 读 信 箱
skjc2022@163.com
重 印 江苏凤凰出版传媒股份有限公司
发 行 江苏凤凰出版传媒股份有限公司
照 排 江苏凤凰制版有限公司
印 刷
开 本
787mm×1092mm 1/16
印 张
11.75
版 次 年 月第 版
1
印 次 年 月第 次印刷
1
标 准 书 号
ISBN978 7 5713 5281 3
定 价 元
审 图 号 号
GS(2024)0739
如发现印 装质量问题 请与凤凰传媒联系 电话
、 , , :400 828 1132致同学
亲爱的同学：
一个学年已经过去了，你的知识也一定增长了.在七年级的数学学习中，
如果你感觉很好，请记住“学无止境”，数学世界的奥秘还有待于进一步探索；
如果你感到有困难，请相信“后来者能够居上”，努力永远不会嫌迟.让我
们充满自信地走进八年级的数学课程吧！
“三角形”将引导你探索三角形的性
三角形这章研究的
质，以及两个三角形全等的条件；学习用
内容很多，在几何
演绎推理的方法证明两个三角形全等. 中一定很重要.
“实数的初步认识”将引入一类新的 小丽
数，叫无理数，你将学习平方根、立方根、
奇怪，为什么叫作
实数的概念及运算.
无理数？
“勾股定理”将介绍人类的文明成
小明
果——勾股定理，进而学习勾股定理的逆
定理，并应用它们解决一些简单的实际
听说勾股定理是数
问题 . 学史上最重要的定
理之一.
“平面直角坐标系”将介绍确定物体
小亮
位置的方法，学习研究数量与位置之间关
系的有效工具——平面直角坐标系.
看起来，平面直角坐
“一次函数”将引导你探索一类事物
标系是联结“数”与
中数量的关系和变化规律，了解研究函数
“形”的桥梁！
的一些基本方法，并初步感受一次函数与
小慧
二元一次方程之间的联系.
充满自信，选择适合自己的学习方法，
函数是数学中最重
会使你的数学学习不断取得成功！
要的概念之一，需
要我们逐步理解函
数的思想方法.
小目 录
第1 章 三角形
三角形中的线段和角 …………………………………………
1.1 4
全等三角形 ……………………………………………………
1.2 11
全等三角形的判定 ……………………………………………
1.3 15
线段垂直平分线与角平分线 …………………………………
1.4 34
等腰三角形 ……………………………………………………
1.5 42
小结与思考……………………………………………………………
52
复习题…………………………………………………………………
53
综合与实践……………………………………………………………
58
第2 章 实数的初步认识
平方根 …………………………………………………………
2.1 62
立方根 …………………………………………………………
2.2 66
实数 ……………………………………………………………
2.3 69
近似值 …………………………………………………………
2.4 77
小结与思考……………………………………………………………
79
复习题…………………………………………………………………
80
综合与实践……………………………………………………………
82第3 章 勾股定理
勾股定理的探究 ………………………………………………
3.1 86
勾股定理的逆定理 ……………………………………………
3.2 93
勾股定理的简单应用 …………………………………………
3.3 97
数学探究 ……………………………………………………………
103
小结与思考 …………………………………………………………
104
复习题 ………………………………………………………………
105
综合与实践 …………………………………………………………
108
第4 章 平面直角坐标系
点的位置与坐标表示 ………………………………………
4.1 112
图形变换与坐标变化 ………………………………………
4.2 120
数学探究 ……………………………………………………………
129
小结与思考 …………………………………………………………
130
复习题 ………………………………………………………………
131
综合与实践 …………………………………………………………
134第5 章 一次函数
变量与函数 …………………………………………………
5.1 138
一次函数的概念 ……………………………………………
5.2 145
一次函数的图象与性质 ……………………………………
5.3 150
用一次函数解决问题 ………………………………………
5.4 161
一次函数与二元一次方程 …………………………………
5.5 169
小结与思考 …………………………………………………………
173
复习题 ………………………………………………………………
174
综合与实践 …………………………………………………………
1781
三角形
三角形是基本的几何图形 .我们把可以完全重合
的两个三角形称为全等三角形 全等三角形的性质和判
,
定是平面几何的重要内容.
在本章中 我们将通过操作活动发现三角形全等的
,
一些基本事实 然后从基本事实出发 推导三角形的相
, ,
关命题 进一步掌握证明的基本形式和规则.
,
全等三角形是解决问题的重要工具 在后续的几何
,
学习中有广泛的应用.全等也是平移 轴对称 旋转三
ABD ACD 、 、
△ ≌△
种图形变换的基本特征 变换前后的两个三角形全等.
:在方格纸中画出可以和给定三角形重合的三角形 并说明
,
如何通过图形变换使其中一个三角形与另一个三角形重合 .
你能画出以下列长度的线段为边的三角形吗 试一试 .
?
.
(1)4,4,4; (2)3,5,7; (3)3,4,5
你在上面画出的三角形是锐角三角形 钝角三角形还是直
、
角三角形
?
每位同学用下列线段画出的三角形都可以重合吗
?第1章 三角形
三角形中的线段和角
1.1
我们已经认识了三角形的概念 .三角形的边 角具有什么性
、
质 边 角之间有什么关系 三角形中还有哪些特殊的线段
? 、 ? ?
三角形的边和角
我们已经知道三角形的三个内角之和为 那么三角形的三
180°,
条边之间有什么关系呢
?
能否画出以下列长度的线段为边的三角形 为什么
? ?
如图 因为BA AC是连接B C
1 1, + ,
两点的折线长度 BC是连接B C两点的线
, ,
段长度 根据基本事实 两点之间的所有连线
, “
中 线段最短 可知BA AC BC.
, ”, + >
同理 AC+CB AB AB+BC AC. 图1 1
, > , >
45
. 1
1 于是 我们得到
, :
三
角
三角形的任意两边之和大于第三边 形
. 中
的
线
如图 在 ABC中 求证 AB BC AC. 段
1 2, △ , : - < 和
角
@ 在 ABC中
△ ,
AC+BC AB(三角形的任意两边之和大于第三边)
∵ > ,
AC+BC-BC AB-BC(不等式的性质).
∴ >
AC AB-BC
∴ > ,
即AB-BC AC.
< 图1 2
根据例 可以进一步发现 三角形的任意两边之差小于第
1, :
三边 .
我们已经知道了三角形的三个角之间的关系 三条边之间的关
、
系 那么三角形的边与角之间有什么关系呢
, ?
如图 在 ABC 中 已知
1 3, △ ,
AB AC B与 C哪一个更大
> ,∠ ∠ ?
图1 3
我们可以通过折纸的方式比较 B
∠ ,
C的大小 .
∠
如图 作 A的平分线AD 把
1 4, ∠ ,
ACD 沿AD 翻折 得到 AC'D 则
△ , △ ,
ACD与 AC'D关于AD成轴对称 .因
△ △
为AB AC 所 以 点 C'在 边 AB 上 图1 4
> , ,
AC'D C.由 AC'D B BDC'
∠ =∠ ∠ =∠ +∠ ,
可得 AC'D B 所以 C B.
∠ >∠ , ∠ >∠
由此可知 在同一个三角形中 较大的边所对的角也比较大 .
: ,第1章 三角形
反过来 在同一个三角形中 较大的角所对的边也比较大吗
, , ?
通过前面的探索 可以得到
, :
在同一个三角形中 较大的边所对的角也比较大 较大的角
, ,
所对的边也比较大 . 简称 大边对大角 大角对大边
( “ , ”)
下列长度的三条线段能否组成三角形? 为什么?
1.
() , , ; () , , ; () , , .
1 1 4 7 2 3 5 8 3 5 6 9
如图,在 ABC中, C ,比较AB,BC的大小,并
2. △ ∠ =90°
说明理由 .
(第2题) (第3题)
如图,在 ABC中, B ,点D在BC上,比较AC,
3. △ ∠ =90°
AD的大小,并说明理由 .
三角形的中线、 角平分线、 高
如图 橡皮筋的一端固定在
1 5,
ABC的顶点A处 另一端在边BC上移
△ ,
动 在这个过程中 橡皮筋 线段 的位置
. , ( )
不断变化 .你认为其中有哪些位置是特
殊的
? 图1 5
67
. 1
1
三
角
形
中
的
线
段
和
在三角形中 连接一个顶点与它的对边 角
,
中点的线段 叫作三角形的中线
, (medianof
例如 在图 中 点D在BC
triangle). , 1 6 ,
上 BD CD 线段AD是 ABC的中线
, = , △ .
图1 6
在三角形中 一个内角的平分线与这个角
,
的对边相交 这个角的顶点与交点之间的线段
,
叫作三角形的角平分线
(angularbisectoroftri-
例如 在图 中 点E在BC上
angle). , 1 7 , ,
BAE CAE 线段AE是 ABC的角平
∠ =∠ , △ 图1 7
分线
.
从三角形的一个顶点向它的对边所在直
线作垂线 顶点与垂足之间的线段叫作三角
,
形的高线 简称三角形
(altitudeoftriangle),
的高 .例如 在图 中 AH BC 垂足
, 1 8 , ⊥ , 图1 8
为H 线段AH是 ABC的边BC上的高 .
, △
如图 过点A分别画出 ABC的中线 角平分线 高 .
1 9, △ 、 、
图1 9第1章 三角形
如图 AD是 ABC的中线 .
1 10, △
求证 ABD和 ADC的面积相等 .
:△ △
@ 如图 过点A作AH BC 垂足为H.
1 11, ⊥ ,
图1 10
AH是 ADC的高 也是 ABD的高 .
△ , △
因为AD是 ABC的中线 所以BD DC.
△ , =
又因为S
△ ABD =
1BD
·
AH
,
S
△ ADC =
1DC
·
AH
,
2 2
所以S S .
ABD ADC
△ = △
图1 11
取一张长方形透明纸 在透明纸上画一个三角形 折出所画三
, ,
角形的三条角平分线 你有什么发现
, ?
如图,在 ABC中,点D在BC上,且 BAD CAD,
1. △ ∠ =∠
E是AC的中点,BE,AD相交于点F.指出图中三角形
的角平分线和中线.
(第1题) (第2题)
如图,在 ABC中, C= ,点D在BC上,DE AB,
2. △ ∠ 90° ⊥
垂足为E.指出图中DE,AC分别是哪些三角形的高.
89
. 1
1
如图,在 ABC中,AD是中线,AE
三
3. △
角
是角平分线,AF是高 .填空:
形
中
的
()BD
1
;
线
1 = = 段
2
和
角
(
2
)
∠
BAE
= =
1 ; (第3题)
2
() AFB ;
3 ∠ = = °
()S .
ABD
4 △ =
下列长度的三条线段能否组成三角形? 为什么?
1.
() , , ; () , , ; () , ,
1 8 8 12 2 7 8 15 3 5 9 16.
如图,点A,B,C,D,E为格点 .以这五个格点中的三点为顶
2.
点画三角形,一共可以画多少个? 其中,哪些是直角三角形、钝
角三角形、锐角三角形? 哪些是等腰三角形?
(第2题) (第3题)
如图,在 ABC中,AB AC
3. △ < .
()比较 B, C的大小,并证明你的结论;
1 ∠ ∠
()若AH BC,比较 BAH, CAH的大小,并证明你的结论
2 ⊥ ∠ ∠ .
如图,在 ABC中, C ,点D,E分别在AC,AB上,
4. △ ∠ =90°
DBE , BED .
∠ =30° ∠ =70°
()分别写出图中的锐角三角形、直角
1
三角形、钝角三角形;
()分别比较BE,BD的大小,AD,
2
AE的大小,并证明你的结论 .
(第4题)第1章 三角形
.如图, ABC是锐角三角形.
5 △
()按要求画图:过点A画BC的垂线,垂足为D;过点A画
1
AB的垂线,交BC的延长线于点E.
()在所画图中,哪些三角形是直角三角形、钝角三角形? AD
2
是哪些三角形的高?
(第5题) (第6题)
如图,BD是 ABC的角平分线, , .
6. △ ∠1=25° ∠2=50°
求证:ED BC.
∥
如图,AD是 ABC的角平分线,点E,F分别在AB,AC上,
7. △
且DE AC,DF AB.求证: .
∥ ∥ ∠1=∠2
(第7题) (第8题)
如图,AD是 ABC的角平分线,E是BC延长线上的一点,
8. △
EAC B.求证: ADE DAE.
∠ =∠ ∠ =∠
你能把一个三角形分成面积相等的四个三角形吗? 试画出相应的
9.
图形,并证明你的结论 .
如图,在 ABC中,点D在边BC上
10. △ .
求证:AC+CB AD+DB.
>
(第10题)
1011
. 1
2
全等三角形
1.2 全
等
三
角
形
如图 ABC分别通过平移 轴对称 旋转得到
1 12,△ 、 、
A'B'C'.变换前后的两个三角形有什么关系
△ ?
(1) (2)
(3)
图1 12
一个三角形经过平移 轴对称或旋转变换后得到另一个三角形
、 ,
这两个三角形可以重合.我们把两个能完全重合的三角形叫作全等三
角形 .
(congruenttriangles)
图 中的 ABC和
1 13 △
A'B'C'是全等三角形 记作
△ ,
ABC A'B'C' 读 作
△ ≌ △ ,
“△ ABC全等于 △ A'B'C' ” . 图1 13第1章 三角形
顶点A和A' B和B' C和C'是对应顶点 AB和A'B' BC
, , ; ,
和B'C' AC和A'C'是对应边 A和 A' B和 B' C和
, ;∠ ∠ ,∠ ∠ ,∠
C'是对应角 .
∠
用符号表示两个三角形全等时 通常把对应顶点的字母写在对
,
应的位置上 .
全等三角形有如下性质
:
全等三角形的对应边相等 对应角相等
, .
如图 已知点B D C F在
1 14, , , ,
同一条直线上 且 ABC EFD.
, △ ≌△
求证 AB EF.
: ∥
图1 14
@ ABC EFD
∵ △ ≌△ ,
B F(全等三角形的对应角相等).
∴ ∠ =∠
AB EF(内错角相等,两直线平行).
∴ ∥
在图 中 当 DEF沿BC所在直线平移时 你可以找到
1 14 , △ ,
哪些始终保持平行的直线
?
1213
. 1
2
如图, ABC CDA,写出图中相等的边和角 . 全
1. △ ≌△ 等
三
角
形
(第1题) (第2题)
如图, ABC A'B'C',求 C的度数
2. △ ≌ △ ∠ .
如图, ABC DCB,AC与BD相交于点E,若 ACB=
3. △ ≌△ ∠
,求 BEC的度数 .
40° ∠
(第3题)
.在方格纸中画出两个全等三角形 .
1
(第1题)
.用不同的方法把图中的长方形分成四个全等三角形 .
2
(第2题)第1章 三角形
.把图中的等腰三角形分成两个全等三角形 .
3
(第3题) (第4题)
如图, OMQ OPN,写出这两个三角形中的对应边和对
4. △ ≌ △
应角 .
如图, ABC DBC, A= , ACD= .求 BCD各
5. △ ≌△ ∠ 45° ∠ 76° △
内角的度数 .
(第5题) (第6题)
如图, ABE ACF,点E在AC上,点F在AB上,BE,
6. △ ≌△
CF相交于点O.
()判断BF与CE是否相等,并证明你的结论;
1
()判断 BFO与 CEO是否相等,并证明你的结论 .
2 ∠ ∠
1415
. 1
3
全等三角形的判定
1.3 全
等
三
角
形
的
判
为一个三角形茶几配一块能与桌面 定
完全重合的玻璃 需要测量哪些量
, ?
从数学的角度看 就是要作一个与
,
给定的三角形全等的三角形 .
三角形中有三条边 三个角 给定三角形中的哪些条件就可以
、 ,
作出一个与之全等的三角形呢
?
“边角边”
用一张长方形纸剪一个直角三角形 怎样剪才能使每个人得到的
1. ,
直角三角形都能够重合
?
图1 15
如图 给定 ABC 在透明纸上用直尺和圆规作 A'B'C'
2. 1 15, △ , △ ,
使得 B' BA'B' AB B'C' BC.这两个三角形全等吗
∠ =∠ , = , = ?第1章 三角形
我们已经知道如何用直尺和圆规作一条线段等于已知线段 作
,
一个角等于已知角 .利用这些经验 可以按下列作法作出所求的三
,
角形
:
作 法 图 形
作 MB'N B
1. ∠ =∠ ;
在射线B'M B'N上分别截取A'B' AB
2. , = ,
B'C' BC
= ;
连接A'C'.
3.
A'B'C'即为所求.
△
在实践的基础上 人们得到了如下基本事实
, :
两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 简写成 边角边
( “ ”
或 SAS
“ ”).
这个基本事实可以用来判定两个三角形全等 .
1617
. 1
3 如图 A B 分别是线段OD OC上的点 OC =OD
1 16, , , , ,
全
OA=OB.求证 OAC OBD. 等
:△ ≌ △ 三
角
形
@ 在 OAC和 OBD中
的
△ △ ,
判
OA=OB 定
,
AOC= BOD
∠ ∠ ,
OC=OD
,
图1 16
OAC OBD .
∴ △ ≌ △ (SAS)
图 中的图形是轴对称图形吗 如果是 你能画出对称
1 16 ? ,
轴吗
?
如图 AB=AC AD=AE = .
1 17, , ,∠1 ∠2
求证 ABD ACE.
:△ ≌ △
ABD和 ACE已有两组对应边相等,只
△ △
要证它们的夹角相等.
@ 图1 17
∵ ∠1=∠2,
+ BAE= + BAE(等式的性质).
∴ ∠1 ∠ ∠2 ∠
即 BAD= CAE.
∠ ∠
在 ABD和 ACE中
△ △ ,
AB=AC
,
BAD= CAE
∠ ∠ ,
AD=AE
,
ABD ACE .
∴ △ ≌△ (SAS)第1章 三角形
我们知道 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 .那么
, ,
两边及其中一边所对角分别相等的两个三角形全等吗
?
如图,AC与BD相交于点O,OA OD,OB OC.求证:
1. = =
OAB ODC.
△ ≌ △
(第1题) (第2题)
如图,点 E,F 在CD 上,且CE = DF,AE=BF,
2.
AE BF.求证: AEC BFD.
∥ △ ≌ △
“角边角”
用纸板挡住两个三角形的一部分 你能画出这两个三角形吗 如
1. , ?
果能 你画的三角形和其他同学画的三角形能完全重合吗
, ?
如图 给定 ABC 在透明纸上用直
2. 1 18, △ ,
尺和圆规作 A'B'C' 使得 B' B
△ , ∠ =∠ ,
C' C B'C' BC.这两个三角形全
∠ =∠ , =
等吗 图1 18
?
1819
. 1
3 下面是 A'B'C'的作法
△ :
全
等
三
作 法 图 形
角
形
的
判
定
作B'C' BC
1. = ;
在B'C'的同侧分别作 MB'C' B
2. ∠ =∠ ,
NC'B' C B'MC'N相交于点A'.
∠ =∠ , ,
A'B'C'即为所求.
△
通过实践 人们得到了如下基本事实
, :
两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 简写成 角边角
( “ ”
或 ASA
“ ”).
这个基本事实可以用来判定两个三角形全等 .第1章 三角形
如图 在 ABC中 D是BC的中点 点E F分别在AB
1 19, △ , , , ,
AC上 且DE ACDF AB.求证 EBD FDC.
, ∥ , ∥ :△ ≌ △
@ DE AC DF AB
∵ ∥ , ∥ ,
EDB= C B= FDC(两直线平
∴ ∠ ∠ ,∠ ∠
行,同位角相等).
D是BC的中点
∵ ,
BD=DC. 图1 19
∴
在 EBD和 FDC中
△ △ ,
EDB= C
∠ ∠ ,
BD=DC
,
B= FDC
∠ ∠ ,
20
EBD FDC .
∴ △ ≌ △ (ASA)
找出图中的全等三角形,并说明理由 .
1.
(1) (2) (3)
(4) (5) (6)
(第1题)
如图, ABC= DCB, =
2. ∠ ∠ ∠1
.求证:AB=DC.
∠2
(第2题)21
. 1
3
全
两角及一边分别相等的两个三角形全等吗 等
? 三
角
形
如果两个三角形中有两组角相等 那么根据三角形内角和定 的
, 判
定
理 第三组角也一定相等 .所以 可以用 角边角 来证明这两个
, , “ ”
三角形全等 .
如图 在 ABC和 A'B'C'中 如果 A = A'
1 20, △ △ , ∠ ∠ ,
C= C'AB=A'B' 那么 B= B' 可以根据 证得
∠ ∠ , , ∠ ∠ , “ASA”
ABC A'B'C'.
△ ≌ △
图1 20
由此可以得到基本事实 角边角 的推论
“ ” :
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
简写成 角角边 或 AAS
( “ ” “ ”).
这个推论可以用来判定两个三角形全等 .第1章 三角形
如图 ABC A'B'C'AD A'D'分别是 ABC和 A'B'C'
1 21,△ ≌△ , , △ △
的高 .求证 AD=A'D'.
:
图1 21
@ ABC A'B'C'
∵ △ ≌ △ ,
AB A'B' B B'
∴ = ,∠ =∠ .
AD A'D'分别是 ABC和 A'B'C'的高
∵ , △ △ ,
ADB= A'D'B'= .
∴ ∠ ∠ 90°
在 ABD和 A'B'D'中
△ △ ,
B= B'
∠ ∠ ,
ADB= A'D'B'
∠ ∠ ,
AB=A'B'
,
22
ABD A'B'D' .
∴ △ ≌ △ (AAS)
AD=A'D'.
∴
在图 中 如果AD A'D'分别是 ABC和 A'B'C'的角
1 21 , , △ △
平分线 或中线 那么AD与A'D'相等吗 证明你的结论 .
( ), ?
.如图, A= D, ACB= DBC.求证:AB=DC.
1 ∠ ∠ ∠ ∠
(第1题) (第2题)
.如图,CB AD,AE DC,垂足分别为B,E,AE,BC
2 ⊥ ⊥
相交于点F,且AB BC.求证: ABF CBD.
= △ ≌ △23
. 1
3 “边边边”
全
等
我们已经知道 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 两
三
, 、
角
角及其夹边分别相等的两个三角形全等 两角分别相等且其中一组 形
、 的
等角的对边相等的两个三角形全等 那么三边分别相等的两个三角 判
, 定
形全等吗
?
如图 给定 ABC 在透明纸上用直尺和
1 22, △ ,
圆规作 A'B'C' 使得A'B' AB B'C' BC
△ , = , = ,
A'C' AC.这两个三角形全等吗
= ?
图1 22
下面是 A'B'C'的作法
△ :
作 法 图 形
作B'C' BC
1. = ;
分别以点B' C'为圆心 AB AC长为半径作
2. , , ,
弧 两弧交于点A'.分别连接A'B' A'C'.
, ,
A'B'C'即为所求.
△
通过实践 人们得到了如下基本事实
, :
三边分别相等的两个三角形全等 简写成 边边边 或
( “ ”
SSS .
“ ”)
这个基本事实可以用来判定两个三角形全等 .第1章 三角形
已知 如图 在 ABC中 AB AC AD是中线 .
: 1 23, △ , = ,
求证 ABD ACD.
:△ ≌ △
@ AD是中线
∵ ,
BD=CD.
∴
在 ABD和 ACD中
△ △ , 图1 23
AB=AC
,
AD=AD
,
BD=CD
,
24
ABD ACD .
∴ △ ≌ △ (SSS)
已知 如图 点B E C F在同一条直线上 AB=DE AC=
: 1 24, , , , , ,
DF BE=CF.
,
求证 ABC DEF.
:△ ≌ △
@
BE=CF
∵ ,
BE+EC=CF+EC.
∴
即BC=EF. 图1 24
在 ABC和 DEF中
△ △ ,
AB=DE
,
BC=EF
,
AC=DF
,
ABC DEF .
∴△ ≌ △ (SSS)
用三根细木棒钉成一个三角形框架 它的形状会改变吗 为
1. , ?
什么 用四根细木棒钉成的四边形框架呢
? ?
三角形的稳定性在生活中有广泛的应用 .你能举出一些例
2.
子吗
?
25
. 1
3
如图,四边形ABCD是正方形,连接AC.求 BAC的度数. 全
1. ∠ 等
三
角
形
的
判
定
(第1题) (第2题)
如图,点C,D在AB上,PA PB,AC BD,PC PD.
2. = = =
求证: PAD PBC.
△ ≌△
如图 点E在BD上 AB=BC AE=CE.求证 AD=CD.
1 25, , , :
要证两条线段相等(或两个角相等),可以证明它们是两个全等三角
形的对应边(或对应角).
@
在 ABE和 CBE中
△ △ ,
AB=CB
,
BE=BE
,
AE=CE
,
图1 25
ABE CBE .
∴ △ ≌ △ (SSS)
ABE= CBE.
∴ ∠ ∠
在 ABD和 CBD中
△ △ ,
AB=CB
,
ABD= CBD
∠ ∠ ,
BD=BD
,
ABD CBD .
∴ △ ≌ △ (SAS)
AD=CD.
∴第1章 三角形
如图 AB BD ED BD 垂足分别为B D 点C在BD
1 26, ⊥ , ⊥ , , ,
上 AB=CD BC=DE.求证 AC与CE垂直且相等 .
, , :
@ AB BD ED BD
∵ ⊥ , ⊥ ,
B= D= .
∴ ∠ ∠ 90°
在 ABC和 CDE中
△ △ ,
AB=CD
,
B= D
∠ ∠ ,
图1 26
BC=DE
,
26
ABC CDE .
∴ △ ≌ △ (SAS)
A= ECD AC=CE.
∴ ∠ ∠ ,
B=
∵ ∠ 90°,
A+ ACB= .
∴ ∠ ∠ 90°
ECD+ ACB= .
∴ ∠ ∠ 90°
ACE= .
∴ ∠ 90°
AC与CE垂直且相等 .
∴
在图 中 ABC可以通过怎样的图形变换得到 CDE
1 26 ,△ △ ?
如图,在 ABC中,AB=AC,高BD,CE交于点O.求证:
1. △
BO=OC.
(第1题) (第2题)
如图, A= DBE,C= DEB,AB=BD,点E在线段
2. ∠ ∠ ∠ ∠
BC上 .判断线段DE,CE,AC之间的数量关系,并证明
你的结论 .27
. 1
3
关于三角形全等的条件 全
等
三
三角形有三条边、三个角这六个元素 .只有一个或两个元素分别 角
形
相等的两个三角形不一定全等 .两个三角形有三个元素分别相等有下 的
判
定
列几种情况:
三角分别相等;
一边和两角分别相等;
两边和一角分别相等;
三边分别相等.
“三角分别相等”实质上是 “两角分别相等”,不能由此条件判
1.
定两个三角形全等.
“一边和两角分别相等”包括两种情况:两角及其夹边分别相
2.
等、两角分别相等且其中一组等角的对边相等,可以分别通过 “ ”
ASA
和 “ ”判定两个三角形全等.
AAS
“两边和一角分别相等”包括两种情况:如果这个角是两边的夹
3.
角,那么可以通过 “ ”判定两个三角形全等;如果这个角是其中一
SAS
边的对角,那么这两个三角形不一定全等.
“三边分别相等”可以通过 “ ”判定两个三角形全等.
4. SSS
直角三角形全等的判定
直角三角形是特殊的三角形 判断两个直角三角形全等
,
除了 还有没有特殊的方法
“SAS”“SSS”“ASA”“AAS”, ?第1章 三角形
如图 给定直角三角形ABC 其
1 27, ,
中 C 简记为 ABC .用直尺和
∠ =90°, “Rt△ ”
圆规作 A'B'C' 使得 C' A'B'
Rt△ , ∠ =90°, =
AB A'C' AC.这两个三角形全等吗 图1 27
, = ?
下面是 A'B'C'的作法
Rt△ :
作 法 图 形
.作 PC'Q= .
1 ∠ 90°
.在射线C'P上截取A'C'=AC.
2
.以点A'为圆心 AB长为半径作弧 交射线
3 , ,
C'Q于点B'.
A'B'C'即为所求.
Rt△
我们可以证明 ABC A'B'C'
△ ≌△ :
如图 在 ABC和 A'B'C'中 C C'
1 28, Rt△ Rt△ ,∠ =∠ =90°,
AB A'B' AC A'C'.
= , =
图1 28 图1 29
如图 将 ABC和 A'B'C'分别沿BC和B'C'翻折 得
1 29, △ △ ,
到 ABP和 A'B'Q 通过 可证 ABP A'B'Q 由此
△ △ . “SSS”, △ ≌△ ,
可知 A A'.通过 可证 ABC A'B'C'.
∠ =∠ “SAS”, Rt△ ≌Rt△
于是 我们得到如下定理
, :
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 简写
(
成 HL
“ ”).
2829
. 1
3 这个定理可以用来判定两个直角三角形全等 .
全
等
三
角
形
的
判
定
如图 AD BC相交于点O AD=BC C= D= .
1 30, , , ,∠ ∠ 90°
求证 AO=BO CO=DO.
: ,
要证AO=BO,CO=DO,只要证 ACO BDO.
△ ≌△
@ 在 ABC和 BAD中 C= D=
△ △ ,∠ ∠ 90°,
BC=AD
,
AB=BA
,
ABC BAD .
∴Rt△ ≌Rt△ (HL)
图1 30
AC=BD.
∴
在 AOC和 BOD中
△ △ ,
C= D
∠ ∠ ,
AOC= BOD
∠ ∠ ,
AC=BD
,
AOC BOD .
∴ △ ≌ △ (AAS)
AO=BO CO=DO.
∴ ,
.如图,方格纸中有格点A,B,C,D,
1
以其中的三个点为顶点,画出所有的
直角三角形,并找出其中全等的直角
三角形 .
(第1题)第1章 三角形
.如图,AC CB,AD DB,要证明 ACB ADB,还需
2 ⊥ ⊥ △ ≌△
要什么条件?
(第2题) (第3题)
.如图,AD=BC,CA AB,AC CD.求证:AD BC.
3 ⊥ ⊥ ∥
指出图中的全等三角形,并说明理由.
1.
(1) (2) (3)
(4) (5) (6)
(第1题)
如图,AC=BD, = 求证: ABD BAC.
2. ∠1 ∠2. △ ≌ △
(第2题)
3031
. 1
3 工人师傅常用 “卡钳”这种工具测定工件内槽的宽.如图,某卡
3.
全
钳由两根钢条AA',BB'组成,O为AA',BB'的中点.只要量 等
三
出A'B'的长度,就可以知道工件内槽AB的长度.请说明这样测 角
形
的
量的理由 . 判
定
(第3题) (第4题)
如图,C是AE的中点,AB CD,AB=CD 求证:BC DE,
4. ∥ . ∥
BC=DE
.
如图,点D,E分别在AB,AC上,BE,CD 相交于点F,
5.
AB=AC, B= C.求证:BFD CFE.
∠ ∠ △ ≌ △
(第5题) (第6题)
如图,要测量河两岸相对的A,B两点之间的距离,可以在与
6.
AB垂直的河岸BF上取C,D两点,且使BC=DC 从点D出
.
发沿与河岸BF垂直的方向移动到点E,使点A,C,E在一条
直线上 .测量DE的长就能知道A,B两点之间的距离.请说明
理由 .第1章 三角形
如图,在 ABC中,AB=AC,BD,CE是高.求证:BD=CE
7. △ .
(第7题) (第8题)
.如图,在四边形ABCD中,AC,BD相交于点O,AB=DC,
8
=
.求证:AC=DB
∠1 ∠2 .
如图,ED AB,FC AB,垂足分别为D,C,AE BF,AE=
9. ⊥ ⊥ ∥
BF.求证:AC=BD
.
(第9题) (第10题)
如图,在四边形ABCD中,AC,BD相交于点O,AB DC,
10. ∥
AD BC 请在图中找出全等三角形,并说明理由 .
∥ .
如图,点C,D在BE上,BC=ED, = , = 请
11. ∠1 ∠2 ∠3 ∠4.
在图中找出全等三角形,并说明理由 .
(第11题) (第12题)
如图,点A,B,C,D在一条直线上,AC=DB,AE=DF,
12.
BE=CF.求证:AE DF,BE CF
∥ ∥ .
3233
. 1
3 如图,AD,BF相交于点O,AB DF.点E,C在BF上,
13. =
全
BE=FC,AC=DE.求证:AO=DO,BO=FO
等
. 三
角
形
的
判
定
(第13题) (第14题)
如图,已知 ABC
14. △ .
()用直尺和圆规按下列要求作图:
1
作 ABC的角平分线AD;
① △
作 CBE= ADC,BE与CA的延长线相交于点E;
② ∠ ∠
作AF BE,垂足为F
③ ⊥ .
()在()所作图形中,EF,BF相等吗? 证明你的结论 .
2 1
如 图,在 ABC 中,AB = AC,AD 是 高,DE AB,
15. △ ⊥
DF AC,垂足分别为E,F.求证:DE=DF
⊥ .
(第15题)第1章 三角形
线段垂直平分线与角平分线
1.4
全等三角形是研究图形性质的重要工具 .在 图形的变换 一
“ ”
章中 我们曾通过折纸发现线段和角都是轴对称图形 其对称轴分
, ,
别是线段的垂直平分线和角平分线所在直线 .本节 我们利用全等
,
三角形研究它们的性质 .
线段垂直平分线的性质
如图 线段AB的垂直平分线l
1 31,
与AB相交于点O 在l上任意取一点P
, ,
连接PA PB .线段PA 与PB 一定相
,
等吗
? 图1 31
当点P与点O重合时 显然PA PB 当P与点O不重合时
, = ; ,
因为OP是线段AB 的垂直平分线 所以AO BO POA
, = ,∠ =
POB .通过 可证 POA POB 所以PA与
∠ =90° “SAS”, △ ≌△ ,
PB相等 .
于是 我们得到线段垂直平分线的性质定理
, :
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
.
3435
. 1
4
如果一个点到一条线段两端的距离相等 那么这个点一定
线
,
段
在这条线段的垂直平分线上吗 垂
? 直
平
分
如图 当点Q在线段AB上时 线
1 32, , 与
角
如果QA=QB 那么Q是线段AB的中
平
,
分
点 所以线段AB的垂直平分线一定经过 线
,
点Q.
图1 32
如图 当点Q在线段AB外时
1 33, ,
作 QM AB 垂 足 为 M QMA
⊥ , ,∠ =
QMB .如果QA=QB 那么通过
∠ =90° ,
可以证明 QAM QBM
“HL”, Rt△ ≌Rt△ ,
所以AM BM 即M是线段AB的中点
= , , 图1 33
所以QM是线段AB的垂直平分线 即点Q
,
一定在线段AB的垂直平分线上 .
于是 我们得到线段垂直平分线性质定理的逆定理
, :
到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上
.
线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合 .
如图 AB=ADCB=CD AC
1 34, , , ,
BD相交于点E.你能在图中找到哪些相等
的角 证明你的结论 .
?
图1 34
第1章 三角形
如图 在 ABC中 AB AC
1 35, △ , ,
的垂直平分线l l相交于点O.
1,2
求证 点O在BC的垂直平分线上 .
:
图1 35
@ 如图 连接OA OB OC.
1 36, , ,
点O在AB的垂直平分线l 上
∵ 1 ,
OA=OB(线段垂直平分线的性质
∴
定理).
同理 OA=OC.
,
图1 36
OB=OC.
∴
点O在BC的垂直平分线上(线段垂直平分线性质定理的逆定理).
∴
利用网格在图中找一点O,使OA OB OC.
1. = =
(第1题) (第2题)
如图,DE是 ABC的边AC的垂直平分线 .已知BC ,
2. △ =8
AB ,求 EBC的周长 .
=10 △
3637
. 1
4 角平分线的性质
线
段
垂
如图 在 AOB的平分线上 直
1 37, ∠ 平
任意取一点P 异于点O 作PC OA 分
( ), ⊥ , 线
与
PD OB 垂足分别为C D.PC与 角
⊥ , , 平
PD一定相等吗 分
? 图1 37 线
在 DOP和 COP中 由 PDO PCO DOP
△ △ , ∠ =∠ =90°,∠ =
COP OP OP 通过 可以证明 DOP COP 所
∠ , = , “AAS”, △ ≌△ ,
以PC与PD相等 .
于是 我们得到角平分线的性质定理
, :
角平分线上的点到角两边的距离相等 .
如果一个点到一个角的两边的距离相等 那么这个点一
,
定在这个角的平分线上吗
?
如图 点Q在 AOB内 QC OA QD OB 垂足分
1 38, ∠ , ⊥ , ⊥ ,
别为C D 且QC QD.
, , =
作 射 线 OQ 在 OCQ 和 ODQ 中
, △ △ ,
QCO QDO OQ OQ QC QD
∠ =∠ =90°, = , = ,
通过 可以证明 OCQ ODQ
“HL”, Rt△ ≌Rt△ ,
所以 AOQ BOQ 所以点Q在 AOB的
∠ =∠ , ∠
平分线上. 图1 38
于是 我们得到角平分线性质定理的逆定理
, :
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上
.
角平分线是到角两边距离相等的点的集合 .第1章 三角形
如图 ABC的角平分线AD BE相
1 39,△ ,
交于点P 求证 点P在 C的平分线上 .
. : ∠
@ 过点P作PF AB PM BC PN AC
⊥ , ⊥ , ⊥ ,
垂足分别为F M N.
, ,
AD平分 BAC 点P在AD 上 PF 图1 39
∵ ∠ , , ⊥
AB PN AC
, ⊥ ,
PF=PN(角平分线的性质定理).
∴
同理 PF=PM.
,
PM =PN.
∴
PM BC PN AC
∵ ⊥ , ⊥ ,
点P在 C的平分线上(角平分线性质定理的逆定理).
∴ ∠
如图 把直尺的一边落在 AOB
1 40, ∠
的边OA上 沿直尺的另一边画出直线CD
, ;
再把直尺的一边落在 AOB的边OB 上
∠ ,
沿直尺的另一边画出直线EF CD与EF相
;
交于点P.连接OP OP是 AOB的平分
, ∠
线吗 为什么 图1 40
? ?
利用网格画图:
1.
()在BC上找一点P,使点P
1
到AB和AC的距离相等;
()在射线AP上找一点Q,使
2
QB=QC.
(第1题)
3839
. 1
4
如 图,判 断 ABC 的 外 角 线
2. △ 段
BAD, ABE的平分线的交 垂
∠ ∠ 直
平
点是否在 C的平分线上,并
分
∠
线
证明你的结论 . 与
角
(第2题) 平
分
线
如图,河边有两个村庄A,B,要在河岸CD上建一个自来水
1.
厂P,使水厂到A,B两村的距离相等,请确定点P的位置 .
(第1题) (第2题)
如图,AB的垂直平分线分别交AB,AC于点D,E,AC ,
2. =9
AE EC .求点B到点E的距离 .
∶ =2∶1
如图,AB=AE,BC=ED,AF垂直平分CD,垂足为F.
3.
求证: B= E.
∠ ∠
(第3题) (第4题)
.如图,利用网格画图并回答问题:
4
()选定四边形ABCD的两条边,分别画它们的垂直平分线,
1
设两条垂直平分线相交于点O;
()观察点O是否在另两边的垂直平分线上;
2第1章 三角形
()把四边形ABCD的顶点D向左平移 格,还存在与上面
3 6
相同的结论吗?
.如图,AB AC,点D,E分别在AB,AC上,且AD AE,
5 = =
BE,CD相交于点O 求证:点O在线段BC 的垂直平分
.
线上 .
(第5题) (第6题)
.如图,利用网格画图并回答问题:
6
()选定四边形ABCD的两个内角,分别画它们的平分线,
1
设这两条角平分线相交于点O;
()观察点O是否在另两个内角的平分线上;
2
()把四边形ABCD的顶点D向右平移 格,再向下平移
3 4 2
格,还存在与上面相同的结论吗?
.如图,在 ABC中,AB=AC,点D在BC上,DE AB,
7 △ ⊥
DF AC,垂足分别为E,F,且DE DF.求证:D是BC
⊥ =
的中点 .
(第7题) (第8题)
如图, BAC的平分线与BC 的垂直平分线相交于点D,
8. ∠
DE AB,DF AC,垂足分别为E,F.求证:BE CF.
⊥ ⊥ =
4041
. 1
4 如图,某地要修建一个加油站,其设计要求是加油站到A,B
9.
线
两个小镇的距离相等,且到m,n两条公路的距离也相等.请
段
垂
在图中确定加油站的位置 . 直
平
分
线
与
角
平
分
线
(第9题)
如图(), AOB= ,OC是 AOB的平分线 .
10. 1 ∠ 90° ∠
(1) (2) (3)
(第10题)
()如图(),把三角板的直角顶点落在OC的任意一点P
1 2
上,并使三角板的两条直角边分别与OA,OB垂直,垂
足分别为E,F.求证:PE PF.
=
()如图(),把三角板绕点P旋转,三角板的两条直角边分
2 3
别交OA,OB于点E,F.PE与PF相等吗? 请证明你
的结论 .第1章 三角形
等腰三角形
1.5
等腰三角形的性质
如图 把一张长方形纸片对折 沿虚线剪下并展开 得到
1 41, , ,
的三角形有什么特征
?
图1 41
有两条边相等的三角形叫作等腰三
角形 相等的边叫
(isoscelestriangle),
作腰 .
如图 在等腰三角形ABC
1 42,
中 AB AC.
, = 图1 42
作边BC的中线AD.在 ABD和
△
ACD 中 AB = AC BD =CD
△ , , ,
AD=AD 通过 可以证明
, “SSS”,
ABD ACD 所以 B C.
△ ≌△ , ∠ =∠
等腰三角形中两个相等的角叫作底角 .
于是 我们得到等腰三角形的性质定理 1
, :
等腰三角形的两底角相等 简称 等边对等角
( “ ”).
4243
. 1
5 在图 中 根据 ABD ACD 可知 BAD CAD
1 42 , △ ≌△ , ∠ =∠ ,
等
所以AD是 ABC的角平分线 . 腰
△ 三
角
根据 ABD ACD 还可知 ADB ADC 因为 ADB
△ ≌△ , ∠ =∠ , ∠ 形
ADC 所以 ADB ADC .所以AD BC 即
+∠ =180°, ∠ =∠ =90° ⊥ ,
AD是 ABC的高 .
△
于是 我们得到等腰三角形的性质定理 2
, :
等腰三角形底边上的高线 中线及顶角平分线重合 简称 三
、 ( “
线合一
”).
如图 在 ABC中 AB=AC 点D在BC上 且AD=BD.
1 43, △ , , ,
求证 ADB= BAC.
:∠ ∠
@ AB=AC AD=BD
∵ , ,
B= C BAD= B(等边对等角).
∴ ∠ ∠ ,∠ ∠
C= BAD.
∴ ∠ ∠
ADB是 ADC的外角
∵ ∠ △ ,
ADB= C+ CAD.
∴ ∠ ∠ ∠
ADB= BAD+ CAD. 图1 43
∴ ∠ ∠ ∠
ADB= BAC.
∴ ∠ ∠
在 ABC中,AB AC.
1. △ =
()如果有一个角等于 ,那么 A , B
1 120° ∠ = ° ∠ =
, C ;
° ∠ = °
()如果有一个角等于 ,那么另两个角分别等于多少度?
2 50°第1章 三角形
如图,AB AD,CB CD.连接AC,
2. = =
BD.求证:AC BD.
⊥
(第2题)
等腰三角形的判定
我们知道 等腰三角形的两底角相等 .反过来 有两
, ,
个角相等的三角形一定是等腰三角形吗
?
如图 在 ABC中 B= C.作
1 44, △ ,∠ ∠
ABC的角平分线AD.由 BAD= CAD
△ ∠ ∠ ,
B= C AD=AD 可得 ABD ACD.
∠ ∠ , , △ ≌△
所以AB=AC.
图1 44
于是 我们得到等腰三角形的判定定理
, :
有两个角相等的三角形是等腰三角形 简称 等角对等边
( “ ”).
如图 EAC是 ABC的外角 AD平分 EAC AD BC.
1 45,∠ △ , ∠ , ∥
求证 AB=AC.
:
@ AD BC
∵ ∥ ,
EAD= B DAC= C.
∴ ∠ ∠ ,∠ ∠
AD平分 EAC
∵ ∠ ,
EAD= DAC.
∴ ∠ ∠
B= C.
∴ ∠ ∠
AB=AC(等角对等边). 图1 45
∴
4445
. 1
5
等
腰
三
角
形
尺规作图 如图 已知线段a h
: 1 46, , ,
作等腰三角形ABC 使底边BC a 高
, = ,
AD h.
图1 46
=
作线段BC a.
① =
作线段BC的垂直平分线MN MN与
② ,
BC交于点D.
在MN上截取DA 使DA h 连接
③ , = ,
AB AC. ABC即为所求 .
, △
如果三角形中从一个顶点出发的中线 高线 角平分线有两条
、 、
重合 那么这个三角形是否一定是等腰三角形
, ?
如图,AC BC, B ,AD平分 BAC,请写出图中
1. = ∠ =72° ∠
的等腰三角形 .
(1) (2)
(第1题) (第2题)
如图,在一张长方形纸片上任意画一条线段AB,将纸片沿
2.
线段AB折叠 .重叠部分的 ABC是等腰三角形吗? 证明
△
你的结论
.第1章 三角形
等边三角形
三边都相等的三角形叫作等边三角形 .
(equilateraltriangle)
等边三角形是特殊的等腰三角形 它除了具有等腰三角
,
形的一切性质 还具有哪些特殊的性质
, ?
如图 在 ABC中 AB=AC=
1 47, △ ,
BC.由AB =AC 可知 B = C 由
, ∠ ∠ ;
BA=BC 可知 C= A.所以 A=
, ∠ ∠ ∠
B= C= .
∠ ∠ 60°
图1 47
于是 我们得到等边三角形的性质定理
, :
等边三角形的各角都等于 60°.
等边三角形的三条边相等 三个角都等于 .反过来 当一
、 60° ,
个三角形的边 角具备哪些条件时 它就是等边三角形呢
、 , ?
通过讨论 我们得到等边三角形的判定定理
, :
三个角都相等的三角形是等边三角形
.
有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形
.
4647
. 1
5 如图 在等边三角形ABC中 DE BC.
1 48, , ∥
等
求证 ADE是等边三角形 . 腰
:△
三
角
@ ABC是等边三角形 形
∵ △ ,
A B C (等边三角形的性质定理).
∴ ∠ =∠ =∠ =60° 图1 48
DE BC
∵ ∥ ,
ADE B AED C .
∴ ∠ =∠ =60°,∠ =∠ =60°
A ADE AED.
∴ ∠ =∠ =∠
ADE是等边三角形(等边三角形的判定定理).
∴ △
如图 用两个含 角的三角板拼成
1 49, 30°
的 ABC是等边三角形吗 在 ABD中
△ ? Rt△ ,
角所对的直角边和斜边有什么关系 证明你
30° ?
的结论 . 图1 49
通过探究 我们可以得到
, :
在直角三角形中 如果一个锐角等于 30° 那么它所对的直
, ,
角边是斜边的一半 .
.如图,BD,CE是等边三角形ABC的中线 .求 , ,
1 ∠1 ∠2
, 的度数 .
∠3 ∠4
(第1题) (第2题)
如图,在等边三角形ABC中,D,E,F分别是三边的中点.
2.
写出图中所有的等边三角形,并说明理由 .第1章 三角形
如图,在 ABC中, ACB , B ,CD
3. Rt△ ∠ =90° ∠ =30° ⊥
AB,垂足为D.求证:AB DA.
=4
(第3题)
如图 取一张直角三角形纸片 先对折一条直角边 再对折另
1 50, , ,
一条直角边 你有什么发现
, ?
图1 50
如图 在 ABC中 ACB 作
1 51, Rt△ ,∠ =90°,
BC的中垂线 交AB于点D 垂足为E 连接
, , ,
CD.
由DE垂直平分BC 可知DB =DC 所以
, ,
B= DCB.由 ACB 根据等角的余角相
∠ ∠ ∠ =90°,
等 可知 ACD = A 于是DA=DC.从而
, ∠ ∠ ,
DA=DB=DC 即CD是斜边AB上的中线 且 图1 51
, ,
CD=1AB.
2
4849
. 1
5 于是 我们得到直角三角形的性质定理
, :
等
腰
三
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
角
.
形
如图 在 ABC中 ACB D
1 52, Rt△ ,∠ =90°,
是边AB 的 中 点 B .求 ACD 的
,∠ =25° ∠
度数 .
图1 52
? 在 ABC中 ACB D是AB的中点
∵ Rt△ ,∠ =90°, ,
CD 1AB AD BD(直角三角形的性质定理).
∴ = = =
2
DCB B .
∴ ∠ =∠ =25°
ACB
∵ ∠ =90°,
ACD ACB DCB .
∴ ∠ =∠ -∠ =90°-25°=65°
.如图,在 ABC中,CD是斜边AB上的中线,DE BC,
1 Rt△ ⊥
垂足为E.
()如果CD= ,那么AB= ;
1 2.4
()写出图中相等的线段和相等的角 .
2
(第1题) (第2题)
.如图,在 ABC中, ABC , A ,D是AC
2 Rt△ ∠ =90° ∠ =60°
的中点 .求证: ABD是等边三角形 .
△第1章 三角形
.已知等腰三角形的周长为 ,一边长为 ,求它的另外两边
1 12 5
的长 .
.在等腰三角形ABC中, A= B,分别根据下列条件求 C的
2 ∠ 4∠ ∠
度数 :
() A是 ABC的顶角;
1 ∠ △
() A是 ABC的底角.
2 ∠ △
.如图,在测平架中,AB=AC,在BC的中点
3
D处挂一重锤,让它自然下垂 .调整架身,
使铅锤线正好经过点A,这样就能确认BC
处于水平位置.为什么?
(第3题)
.在 ABC中,AB=AC, A= ,点D在AB上,分别根据下
4 △ ∠ 40°
列条件求 BCD的度数:
∠
()CD是 ABC的角平分线;
1 △
()CD是 ABC的高;
2 △
()CD AD;
3 =
()CD CB.
4 =
.如图, C= , B= , BAD= .
5 ∠ 36° ∠ 72° ∠ 36°
()求 和 的度数;
1 ∠1 ∠2
()找出图中的等腰三角形,并加以证明 .
2
(第5题) (第6题)
.如图, ABC和 CDE都是等边三角形,且点A,C,E在一条
6 △ △
直线上 .判断AD与BE是否相等,并证明你的结论 .
5051
. 1
5 如图()所示的是某公司入口的双翼闸门,如图(),当它的双翼
7. 1 2
等
展开时,双翼边缘的端点A与B之间的距离为 ,双翼的边 腰
10cm 三
缘AC BD ,且与闸机侧立面夹角 PCA BDQ 角
形
= =54cm ∠ =∠ =
,求当双翼收起时,可以通过闸机的物体的最大宽度 .
30°
(1) (2)
(第7题)
.如图,在 ABC中,AD是高,E,F分别是AB,AC的中点 .
8 △
()若AB= ,AC= ,求四边形AEDF的周长 .
1 10 8
()EF与AD有怎样的位置关系? 证明你的结论 .
2
(第8题) (第9题)
.如图,在 ABC中, ACB= ,AC=BC,D是AB的中点,
9 △ ∠ 90°
点E在AC上,点F在BC上,且AE=CF.求证:DE=DF.小结与思考
本章知识结构
1. :
三角形是平面几何的基本图形 本章的学习展示了研究一个基
,
本图形的一般思路 .我们首先研究三角形的组成元素 边与角 接
( ),
着讨论三角形中的特殊线段 然后探究两个三角形全等的性质 判
, 、
定与应用 .
在探索三角形全等的条件的过程中 我们经历了实验 操
2. , 、
作 猜想 证明的过程 .在证明过程中 必须言必有据 证明过程
、 、 , ,
的表述应清晰 简明 有条理 逐步提高逻辑推理能力 .
、 、 ,
全等三角形是解决几何问题的重要工具.本章中 我们运用
3. ,
全等三角形研究线段垂直平分线的性质 角平分线的性质以及特殊
、
三角形的一些性质 .在后续几何课程的学习中 全等三角形将有更
,
多的应用 .
全等三角形的性质与判定有什么关系
4. ?
52复习题
复习巩固
如图,用直尺和圆规过点A作 ABC的角平分线AD、中线
1. △
AE和高线AF.
(第1题) (第2题)
如图,在 ABC中,DE是边AC的垂直平分线,AD ,
2. △ =5
BD .求BC的长 .
=2
在等腰三角形ABC中, A= .
3. ∠ 80°
()若 A是顶角,求 B的度数;
1 ∠ ∠
()若 B是顶角,求 B的度数;
2 ∠ ∠
()若 C是顶角,求 B的度数 .
3 ∠ ∠
等腰三角形ABC的周长为 ,AB= .
4. 8 3
()若AB是底边,则BC= ;
1
()若 ,则BC= ;
2
()若 ,则BC= .
3
工人师傅常利用角平分仪画一个
5.
角的平分线 .如图所示的是一个
简易的角平分仪,其中,OA
=
OB,AC BC.过 AOB的顶点
= ∠
O的射线OC就是 AOB的平分
(第5题)
∠
线 .为什么?
53如图,在 ABC中,AB=AC,BE,CD是中线 .
6. △
求证:BE=CD.
(第6题) (第7题) (第8题)
如图,AD=BE,AC=DF,AC DF.求证: C= F.
7. ∥ ∠ ∠
.如图, AOD BOC.求证: AOC BOD.
8 △ ≌ △ △ ≌ △
灵活运用
根据下列已知条件,分别指出各个图形中的等腰三角形,并
9.
加以证明 .
(1) (2) (3)
(第9题)
()如图(),BD平分 ABC,点E在BC上,且DE AB;
1 1 ∠ ∥
()如图(),AD平分 BAC,点E在BA的延长线上,且
2 2 ∠
EC AD;
∥
()如图(),AD平分 BAC,点E在BD上,点G在CA
3 3 ∠
的延长线上,且GE AD,GE交AB于点F.
∥
如图,在 ABC中, ABC, ACB的
10. △ ∠ ∠
平分线相交于点O,MN 过点O,且
MN BC,分别交 AB,AC 于点 M,
∥
N.求证:MN=BM+CN.
(第10题)
54.如图, A= D= ,AB=DC,AC,BD相交于点E,
11 ∠ ∠ 90°
找出图中相等的锐角,并加以证明 .
(第11题) (第12题)
如图,点D,E在BC上,且AB=AC,AD=AE.图中还
12.
有哪些相等的线段? 试用不同的方法证明你的结论
.
.如图,CD AB,BE AC,垂足分别为D,E,BE,CD
13 ⊥ ⊥
相交于点O.如果AB=AC,那么图中有几对全等的直角三
角形? 试证明你的结论 .
(第13题) (第14题)
如图, ABC= ADC= ,M,N分别是AC,BD的中
14. ∠ ∠ 90°
点 .求证:MN BD.
⊥
.如图,AC BC,DC EC,AC=BC,DC=EC.图中
15 ⊥ ⊥
AE与BD有怎样的数量关系和位置关系? 试证明你的结论.
(第15题) (第17题)
在一个三角形中,如果一条边上的中线等于这条边的一半,
16.
那么这个三角形是直角三角形吗? 证明你的结论 .
如图,P是 ABC内的一点,连接PA,PB.求证:AP
17. △ +
BP AC BC.
< +
55如图,AB=AC=AD.
18.
()如果AD BC,那么 C和 D有怎样的数量关系? 证
1 ∥ ∠ ∠
明你的结论 .
()如果 C= D,那么你能得到什么结论? 证明你的
2 ∠ 2∠
结论 .
(第18题) (第19题)
.如图, ABC的顶点A,B,C都在格点上,试在方格纸
19 △
上按下列要求画格点三角形:
()所画的三角形与 ABC全等且有一个公共顶点C;
1 △
()所画的三角形与 ABC全等且有一条公共边AB.
2 △
探索研究
将两个全等的 ABC和 DBE按图()方式摆放,其
20. Rt△ Rt△ 1
中 ACB DEB , A D ,点E落在AB
∠ =∠ =90° ∠ =∠ =30°
上,DE所在直线交AC所在直线于点F.
()判断AF,EF与DE的数量关系,并说明理由;
1
()若将图()中的 DBE绕点B按顺时针方向旋转角α,
2 1 △
且 α ,其他条件不变,请在图()中画出变换后
0°< <60° 2
的图形,此时()中的结论仍然成立吗?
1
(1) (2)
(第20题)
56()如图,在 ABC中,
21. 1 △
BAC= ,AB=
∠ 90°
AC,点D在BC上,
(第21题)
且BD=BA,点E在
BC的延长线上,且CE=CA,求 DAE的度数 .
∠
()如果把第()题中 “AB AC”这个条件舍去,其余条
2 1 =
件不变,那么 DAE的度数会改变吗?
∠
()如果把第()题中 “ BAC ”这个条件改为
3 1 ∠ =90°
“ BAC ”,其余条件不变,那么 DAE 与
∠ > 90° ∠
BAC有怎样的数量关系?
∠
折纸,常常能为证明提供思路和方法 .请按下面的步骤,
22.
自己完成折纸并证明折出的图形是等边三角形:
如图(),把正方形纸片ABCD对折后再展开,折痕为
1
EF;如图(),将点A翻折到EF上的 点A'处,且使折痕
2
过点B;如图(),沿A'C折叠,得 A'BC [图()].
3 △ 4
(1) (2)
(3) (4)
(第22题)
57综合与实践
光的传播与最短路径
一、问题情境
生物学家研究火蚁的行为时发现 火蚁在通过两种不同介质
,
的表面时 它们趋向选择用时最短的路径 .火蚁这种选择最短时
,
间路径的现象与科学家费马 在 世
(P.deFermat,1601—1665) 17
纪提出的光的传播原理不谋而合 .一般情况下 光从一点传播到
,
另一点时 总是沿所需时间最短的路径传播 .光沿直线传播 光
, 、
的反射 光的折射都体现了该原理 .
、
火蚁在不同介质中行进的路径 光在不同介质中传播的光路
在生活中 我们常遇到寻找最短路径的问题 这些问题和上述
, ,
光的传播原理有怎样的联系呢
?
二、学习任务
白日登山望烽火 黄昏饮马傍交河 .一位将军需从山峰处
1.“ , ”
返回营地 并在途中经过河边让马饮水 .如图 将军如何行进路
, 1,
径最短
?
58图1
溺水后的黄金救援时间只有几分钟 .当救生员发现溺水者
2.
时 选择怎样的路径可以最快到达溺水者身边
, ?
某位救生员在海滩上的跑步速度与其在海水中的游泳速度的比
例约为 .如图 判断救生员应选择 中的哪条路
6∶1 2, ①,②,③
径 并说明理由 .
,
图2
三、交流展示
结合任务 和任务 讨论光的传播路径与几何问题的关系
1. 1 2, ,
并汇报展示 .
利用基本事实 两点之间的所有连线中 线段最短 还能解
2. “ , ”
决哪些实际问题 与同学交流 .
?
四、应用拓展
光的折射 反射在生活中有广泛的应用.例如 潜望镜的设
1. 、 ,
计中应用了光的反射定律 请你调查 了解潜望镜的模型 并尝试
, 、 ,
制作 .
你能找到生活中应用光的传播原理的其他例子吗 结合数学
2. ?
知识解释其中的道理 .
592
实数的初步认识
通过引入负数 我们认识了有理数 实现了
, ,
数系的第一次扩充 .本章将引入无理数 进一步
,
把有理数扩充到实数 学习实数的表示 运算和
, 、
大小比较.
在学习有理数时 我们建立了有理数和数轴
,
上点的关系 在本章中 数轴同样是一个非常有
; ,
用的工具 实数与数轴上的点是一一对应的 .
,
实数是数学的基本概念 它是后续数学学习
,
的重要基础.如图 一张边长为 的正方形纸片 取四条边的中点A B
, 2cm , , ,
C D 将纸片的四个角分别沿着AB BC CD DA翻折 得到一个
, , , , , ,
小正方形ABCD.
正方形ABCD的面积是多少
?
设正方形ABCD的边长为x 列出关于x的方程 .
cm,
你能说明 x 吗 你能在这个范围里找到一个更接近
1< <2 ?
x的有理数吗
?第2章 实数的初步认识
平方根
2.1
算术平方根
一张正方形纸片的面积为a 它的边长是
,
多少
?
设边长为x 根据正方形的面积公式 得到x2 a.下表中列
, , =
举了一些a的值 请写出边长x对应的值
, :
面积a …
1 2 3 4
边长x …
一般地 如果一个正数x的平方等于a 即x2 a 那么这个正
, , = ,
数x叫作a的算术平方根 .a的算术平方根记作
(arithmeticsquareroot)
a 读作 根号a . 的算术平方根记作 的算术平方根记作 .
, “ ” 2 2,3 3
规定 的算术平方根是 即 .
:0 0, 0=0
求下列各数的算术平方根
:
16
(1)100; (2) ;
25
4.
(3)0.09; (4)10
? 因为 所以 的算术平方根
2
(1) 10=100, 100 100=10;
2
因为 所以 的算术平方根
4 16 16 16 4
(2) ( )= , = ;
5 25 25 25 5
因为 所以 的算术平方根
2
(3) 0.3=0.09, 0.09 0.09=0.3;
因为 2 2 4 所以 4 的算术平方根 4 2.
(4) (10)=10, 10 10 =10
6263
. 2
1
平
根据算术平方根的定义 分别等于多少
2 2 方
,(2),(3) ?
根
求下列各数的算术平方根:
1.
, , 1 , 6 , .
81 0 2 10 0.81
4
填空:
2.
()( ) ; ()( ) ;
2 2
1 9 = 2 5 =
( )2
() 3 ; () ( ) 2 .
3 = 4 -5 =
4
平方根
当x取哪些值时 x2
, =4?
当x 时
2
当x 时
2
所以x可以取
=2 ,2=4; =-2 ,(-2)=4, 2
或 .
-2
一般地 如果x2 aa 那么x叫作a的平方根
, = (≥0), (square
也称为二次方根 .例如 和 是 的平方根 .
root), ,2 -2 4
如果x2 a
= ,
那么 x2 x2 a.
(- )= =
所以x和 x都满足x2 a.
- =
可见一个正数有正负两个平方根 正的平方根就是算术平方
,
根 .例如 的平方根是 与 其中 是 的算术平方根 .
,9 3 -3, 3 9
一个正数有两个平方根 这两个平方根互为相反数
, ;
0的平方根是 0
;
负数没有平方根 .第2章 实数的初步认识
如果a为正数 那么a有两个平方根 a 其中 表示
, ± , ,“±”
可以取正 负两个值 正的平方根是算术平方根a 负的平方根
、 , ,
是 a.
-
求下列各数的平方根
:
(1)100; (2)625;
.
(3)0.0081; (4)2
? 因为 所以 的平方根
2
(1) 10=100, 100 ± 100=±10;
因为 所以 的平方根
2
(2) 25=625, 625 ± 625=±25;
因为 所以 的平方根
2
(3) 0.09=0.0081, 0.0081 ± 0.0081=±0.09;
的平方根是 .
(4)2 ± 2
求一 个 数 的 平 方 根 的 运 算 叫 作 开 平 方
(extractionof
.开平方与平方有下面的关系 如图 所示 .
squareroot) , 2 1
图2 1
如图 将面积为 的正方形纸片放置
1. 2 2, 2
在面积为 的正方形纸片上 据图比较 与 的
3 , 2 3
大小 .
已知a b 类似地 比较 a与b的
2. > >0, ,
大小 . 图2 2
6465
. 2
1
求下列各数的平方根: 平
1. 方
根
( )2
, 25 , , , 1 .
0.01 0 10 -
16 3
如图,填空:
2.
(第2题)
求下列各数的算术平方根:
1.
( )2
, 100 , , 2 .
16 10 -
81 5
求下列各数的平方根:
2.
, , 1 , , , 36 , .
169 225 11 0.16 1.44
4 49
求下列各式中的x:
3.
()x2= ; ()x2=25 ;
1 49 2
64
()x2= ; ()x2= .
3 21 4 4 81
()如果正方形的面积扩大为原来的 倍,那么边长扩大为原来
4. 1 4
的多少倍?
()如果正方形的面积扩大为原来的 倍,那么边长扩大为原来
2 5
的多少倍?
圆的面积扩大为原来的 倍,半径扩大为原来的多少倍?
5. 3
, , ( )的值分别是多少?
2 2 2
6. 2 0 -2第2章 实数的初步认识
立方根
2.2
已知某种植物细胞的形状可以近似地看作棱长为 的正方
1
体 当这样的一个细胞体积增大 倍时 它的 棱长 是多少
, 1 , “ ” ?
当棱长为 时 正方体的体积是 3= .设体积为 的正方体的
1 , 1 1 2
棱长为x 那么x3= .
, 2
一般地 如果x3=a 那么x叫作a的立方根 也
, , (cuberoot),
称为三次方根 .a的立方根记作 3a 读作 三次根号a.
“ ”, “ ”
例如 - 3=- - 是 的立方根 即 3- =- 又
,(3) 27, 3 -27 , 27 3;
如 x3= x是 的立方根 即x=3 .
, 2, 2 , 2
求一个数的立方根的运算叫作开立方 .
(extractionofcubicroot)
在图 中填空
2 3 :
图2 3
开立方与立方互为逆运算 .
6667
. 2
2 下列各数有立方根吗 如果有 求出它们的立方根 .
? ,
立
8 . 方
(1)64; (2)- ; (3)0.027; (4)9; (5)0 根
125
? 个数都有立方根 .
5
因为 所以 的立方根3
3
(1) 4=64, 64 64=4;
3 3
因为 所以 的立方根
2 8 8 8 2
(2) (- )=- , - - =- ;
5 125 125 125 5
因为 所以 的立方根3
3
(3) 0.3=0.027, 0.027 0.027=0.3;
的立方根是3
(4)9 9;
的立方根是 .
(5)0 0
正数的立方根是正数
;
0的立方根是 0
;
负数的立方根是负数 .
根据立方根的定义 3 3 等于多少
3 3
,(2),( -2) ?
求下列各数的立方根:
1.
, , 1 , , .
-8 0.001 -1000 4
125
填空:
2.
()(3 ) 3 ; ()3( ) 3 .
1 -4 = 2 -4 =
两个球形探测气球的体积分别约为 和 ,计算它
3 3
3. 5120m 80m
( )
们的半径比 球的体积公式:V球 4R3 ,R为球的半径 .
= π
3第2章 实数的初步认识
求下列各数的立方根:
1.
, 8 , , , .
-0.027 - 0.125 1 1331
27
计算:
2.
3( )3 3
(3 ) 3 , 1 ,(3 ) 3 , 1.
1.1 -7 - -
4 64
求下列各式中的x:
3.
()x3=- ; ()x3= ;
1 0.064 2 8 125
()x3+ = ; ()(x ) 3 .
3 4 3 4 -1 =27
如果一个正方体的体积扩大到原来的 倍,那么它的棱长扩大
4. 64
到原来的多少倍?
有一个球形容器,它的容积为 ,求这个球形容器的半径
3
5. 36πm
(壁厚忽略不计).
3 ,3 ,3( )的值分别是多少?
3 3 3
6. 2 0 -2
6869
. 2
3
实数
2.3 实
数
无理数
我们知道 有理数包括整数和分数 所有的分数可以写成有限
, ,
小数或者循环小数的形式 .例如
:
是不是所有的数都可以写成整数 有限小数或者循环小
、
数呢
?
事实上 有很多数都不
,
能够用有限小数或者循环小
数的形式表示 例如圆周率
,
. 就是一个无限不循环
π π
小数 .
无限不循环小数叫作无理数 .
(irrationalnumber)
因为分数都可以转化为有限小数或者循环小数 所以无理数不
,
m
能写成分数形式 m n是整数 n .
n( , , ≠0)
和有理数类似 无理数分为正无理数和负无理数 .
,第2章 实数的初步认识
由于无理数是无限不循环小数 我们不可能写出一个无理数的
,
小数点后的所有数字 但我们可以用有理数来确定一个无理数的范
,
围 如 .
, 3.14<π<3.15
事实上 也是无理数 如何估计 的范围呢
, 2 , 2 ?
根据章头的问题 可以判断 .由
2
进一步可
, 1< 2<2 (2)=2,
以得到
:
因为 2 2 所以 2 2.
1.4=1.96,1.5=2.25, 1.4<2<1.5
所以 .
1.4< 2<1.5
因为 2 2 所以 2 2.
1.41=1.9881,1.42=2.0164, 1.41<2<1.42
所以 .
1.41< 2<1.42
因为 所以
2 2 2
1.414 =1.999396,1.415 =2.002225, 1.414 <
2.
2<1.415
所以 .
1.414< 2<1.415
……
如此下去 我们可以越来越精确地用有理数估计 的范围 .
, 2
判断下面哪个无理数大于 并且小于
4, 5:
.
15, 17, 26
? 这三个数中 大于 且小于 .理由如下
, 17 4 5 :
因为 而 所以 即
2
(15)=15, 15<16, 15< 16, 15<4;
因为 而 所以 即
2
(17)=17, 16<17<25, 16< 17< 25,
4< 17<5;
因为 2 而 所以 即 .
(26)=26, 26>25, 26> 25, 26>5
是否为无理数 为什么
π-3,2+1 ? ?
7071
. 2
3
判断下列哪个无理数大于 且小于 :
实
1. -2 -1 数
, π.
-π -
2
判断下列哪个无理数大于 且小于 :
2. 3 4
, .
7 10
依次按 各键 计算器显示的结果为
,
这是 的近似值.
1.41421356237, 2
证明 2是无理数
我们可以用反证法证明 是无理数:
2
假设 不是无理数,那么 是有理数 .有理数都可以写成分数形
2 2
m m
式 (m,n是整数,n ),所以 可以写成 (m,n是正整数,且没
n ≠0 2 n
m
有大于 的公约数),即 .
1 2=n
根据平方根的意义,
(m)2
= ,即
m2
= ,n2=m2.
n 2 n2 2 2
由于上式左边n2 是偶数,所以右边m2 也是偶数,从而可知m是偶数.
2
设m= p(p 是正整数),
2
把m= p 代入 n2=m2 ,得 n2= p2 ,即n2= p2.
2 2 2 4 2
因此n也是偶数.
于是,m,n都是 的倍数,这与m,n没有大于 的公约数相矛盾.
2 1
因此假设不成立, 不是有理数,它是无理数.
2
我们已经知道了 是无理数,你能用反证法证明 也是无理
2 2-1
数吗?第2章 实数的初步认识
有理数和无理数统称为实数 .实数可以分类
(realnumber)
如下
:
正实数
实数
0
负实数
72
我们知道 有理数可以用数轴上的点来表示 事实上 无理数
, , ,
也可以用数轴上的点来表示 .
如何在数轴上找到表示 的点
2 ?
在章头活动中 我们知道 是图 中四个边长为 的小正方
, 2 2 4 1
形的对角线的长 .
图2 4 图2 5
如图 以 个单位长度为边长画一个正方形 这个正方形
2 5, 1 ,
的对角线长为 .以数轴原点为圆心 正方形的对角线的长为半径
2 ,
画弧 与数轴正半轴的交点就表示 .可见 数轴上并不是所有点
, 2 ,
都表示有理数 .73
. 2
3
实
事实上 每一个实数都可以
数
,
用数轴上的一个点来表示 反过
;
来 数轴上的每一个点都可以表
,
示一个实数 .
实数与数轴上的点一一对应 .
和有理数一样 可以根据数轴上点的位置 比较它们表示的实
, ,
数的大小 .数轴上的任意两个点 右边的点表示的实数比左边的点
,
表示的实数大 .
找出下列各数中的无理数 并把它们填入图 的方框中 .
, 2 6
9 22 3
,- , 3, 8,- 2,π+3
16 7
图2 6
找一个有理数a 使 a .
, 2< < 3
因为
? 2
2<1.5<3,
所以 .
2<1.5< 3
所以可以取a .
=1.5
你能找到一个无理数a 使 a 吗
, 2< < 3 ?
第2章 实数的初步认识
把下列各数填入相应的横线上:
1.
·
1 , 3 , , ,3 , , π , 16 ,
4 - 9 0.6 0.25 -64 27 -
3 4 49
…(相邻的两个 之间依次多一个 ).
0.01001000100001 1 0
()有理数: ;
1
()无理数: ;
2
()正实数: ;
3
()负实数: .
4
在数轴上标出表示无理数 , 的点的大概位置,并在这两
2. 7 π
个点之间找一个表示有理数的点 .
用计算器进行实数运算
在实数范围内 不仅可以进行加 减 乘 除 乘方运算 而
, 、 、 、 、 ,
且可以进行开立方运算 任何非负实数还可以进行开平方运算 .有
,
理数的绝对值 倒数 相反数的意义 有理数的运算律和运算法则
、 、 、
在实数范围内仍然适用 .
用计算器比较3 与 . 的大小 .
9 43265
? 依次按以下各键
: ,
计算器显示的结果为 .
2.080083823
依次按以下各键
: ,
计算器显示的结果为 .
2.080024038
因为
2.080083823>2.080024038,
所以3 .
9> 4.3265
7475
. 2
3 用计算器计算
:
实
数
3 .
(1)- 5-π; (2)3× 2- 2
依次按以下各键
?
(1) : ,
计算器显示的结果为 即
-5.377660631,
- - -
5 π≈ 5.377660631;
依次按以下各键
(2) : ,
计算器显示的结果为 即
2.982719637,
× -3 . .
3 2 2≈2982719637
比较下列各组数的大小,并用计算器验证:
1.
()3 与 ; () 与
1
;
1 4 4 2 13
3
() 与 1 .
3 0.04
0.04
用计算器计算:
2.
() ; () 3 ;
1 3× 2-2π 2 -2× 5+5× 2
() (3 3 ).
3 2- 5+ 2
把下列各数填入相应的圈内:
1.
,3 , ,3 , , 25 , .
125 -125 2 9 - 13 -π
81
有理数 无理数第2章 实数的初步认识
填表:
2.
实 数 相 反 数 绝 对 值 倒 数
2.5 - 2.5
1
-
π
3
0.9
aa
(>0)
aa
(<0)
在数轴上画出表示 的点.
3. -2
用计算器计算:
4.
() ; () ;
1
1 6+ -π 2 5-7
4
() (3 ).
3 π- 3+π
判断下列说法是否正确,如果不正确,请举例说明.
5.
()两个有理数的和一定是有理数;
1
()两个无理数的和一定是无理数;
2
()一个有理数与一个无理数的积一定是无理数.
3
7677
. 2
4
近似值
2.4 近
似
值
生活中 有些数据是准确的 有些数据是近似的 .例如 某班
, , ,
有 人 这里 是全班人数的准确值 据第七次全国人口普查数
40 , 40 ;
据 全国总人口为 亿人 这里 亿是全国总人口的近似值
, 14.4 , 14.4
.
(approximatenumber)
生产 生活中的许多数据都是近似值.例如 用度量工具测出
、 ,
的长度 质量 时间 速度等数据都是近似值 .
、 、 、
取近似值时 一般采用四舍五入的方法 .例如 对于圆周率
, ,
如果要求精确到 结果精确到百分位 取
3.1415926…, 0.01( ), 3.14;
如果要求精确到 结果精确到千分位 取 .
0.001( ), 3.142
请举出一些应用近似值的实际例子 并说说为何用近似值 .
,
在解决实际问题时 对于像 这样的无理数 计
, π,2,3,… ,
算时应根据具体的要求取它们的近似值.
用计算器求下列各式的近似值 结果精确到
( 0.001):
5-1 3 1.
(1) ; (2)2-
2 3
?
依次按以下各键
(1) : ,
计算器显示的结果为 即
0.61803398875,
-
5 1
≈0.618;
2
依次按以下各键
(2) : ,
计算器显示的结果为 即
0.92658771656,
3 1 .
2- ≈0.927
3第2章 实数的初步认识
已知地球的半径约为 估计地球赤道的周长 结果精确到
6400km, (
.
1000km)
? 地球赤道的周长 R .
=2π =2π×6400 (km)
计算器显示结果为
40212.3859659,
地球赤道周长约为 即 4 .
40000km, 4.0×10km
近似值 与 有区别吗 为什么
0.1 0.10 ? ?
下列数据中,哪些是准确值? 哪些是近似值?
1.
()某词典有 页;
1 1754
()一箱矿泉水有 瓶;
2 24
()截至 年 月,男子短跑 亚洲纪录为 ;
3 2021 8 100m 9.83s
()截至 年 月,世界人口为 亿 .
4 2022 11 80
长江江豚是国家一级重点保护野生动物,有一头成年长江江豚
2.
体重为 ,将该数据分别精确到 , , .
63.96kg 10kg 1kg 0.1kg
用计算器计算3 ,并将结果分别精确到 , , ,
1. 4 0.1 0.01 0.001
.
0.0001
指出下列由四舍五入法得到的近似值的精确程度:
2.
()某只成年丹顶鹤身高为 ;
1 1.52m
()月球在 年前仍存在岩浆活动;
9
2 1.96×10
()组成云的小水滴很小,最大的直径约为 ;
3 0.2mm
()某种显微镜的分辨率为 -4 .
4 1.4×10 cm
78小结与思考
.本章知识结构
1 :
79
实数
概念
有理数 无理数
表示
与数轴上的点
一一对应
运算
开方
平方根 立方根
加 减 乘 除 乘方
、 、 、 、
大小比较
本章中 我们通过实例 引入了平方根 算术平方根 立方根
, , 、 、
等概念 进而将有理数扩充到实数 并经历了研究实数的概念 表
, , 、
示 运算和大小关系的过程 .
、
.实数包括有理数 无理数.每一个实数都可以用数轴上的一
2 、
个点来表示 而数轴上的每一个点都表示一个实数 实数与数轴上
, ,
的点是一一对应的 .数形结合的方法可以帮助我们理解实数的相关
概念 比较实数的大小 .此外 还可以用有理数估计一个无理数的
、 ,
大致范围 .
本章的学习可以帮助我们理解数系扩充的必要性 理解逼近思
,
想在认识无理数中的价值 进一步发展数感和抽象能力 .
,
无理数有无穷多个 可以用有理数来 构造 无理数 .例
3. , “ ”
如 把所有大于零的自然数按照从小到大的顺序排在小数点后面
, ,
得到一个小数 这是一个无理数吗
0.1234567891011121314…, ?
你能 构造 出一些无理数吗
“ ” ?复习题
复习巩固
3 ·
在
2
,
π
, ,
1
, , ,
22
,3 中,哪些
1. 1.732 - 0.3 16 - 0.8
2 4 27 7
数是无理数?
求下列各数的平方根:
2.
, , , 9 , 9.
81 6.25 10 1
144 16
求下列各数的立方根:
3.
, , 27 , , 3.
-8000 0.125 - -9 3
64 8
求下列各式的值:
4.
(3 )3 ( )2
( ) 2 , 1 , 1 ,3( ) 3 , ( ) 2 , 3( ) 3.
2.5 - - -10 - -5 - -2
4 2
求下列各式中的x:
5.
()x2 ; ()x3 ;
1 4 =12 2 -2=25
()(x) 2 ; ()(x ) 3 .
3 2 =0.25 4 +4 =-1
求下列各数的相反数和绝对值:
6.
3 , , , , .
-2 -36 5-π 3- 3 1.3- 2
用计算器计算(结果精确到 ):
7. 0.001
3
, , ,3 , 8.
22.4 1.027 0.04363 0.106
5
用计算器计算(结果精确到 ):
8. 0.01
() ; () 3 355 .
1 2× 3-3× 2+ 5 2 - +2π- 2
2 113
估算 , ,3 ,3 的值(结果精确到 ).
9. 16 34 9 50 0.1
80比较下列各组数的大小:
10.
·
() 与 …; () 3 与 3 ;
1 2.02 2.020020002 2 - 3 - 2
() 与 ; () 与 .
3 | 3- 5| 5- 3 4 π-3 0.14
灵活运用
能否找到满足下列条件的数? 若能,找到具体的数 .
11.
()最小的自然数; ()最小的正有理数;
1 2
()最大的实数; ()绝对值最小的实数.
3 4
算术平方根等于本身的数是什么? 平方根等于本身的数是
12.
什么? 立方根等于本身的数是什么?
海啸是一种破坏力极强的海浪,在广阔的海面上,海啸的
13.
行进速度可按公式v gd计算,其中v表示海啸的行进速
=
度(/),d为海水的深度( ),g 表示重力加速度,g 取
ms m
/ 2.若在海洋深度为 的海面处发生海啸,求其
9.8ms 980m
行进速度 .
.要使人造地球卫星能够围绕地球运转,必须使它的速度大
14
于第一宇宙速度而小于第二宇宙速度 .第一宇宙速度的
计算公式是v gR(/),第二宇宙速度的计算公式是
1= ms
v gR(/),其中 g 表示重力加速度,R表示地球半
2= 2 ms
径,g 取 /
2
,R
6
.求第一、第二宇宙速
9.8ms =6.4×10 m
度(结果精确到 /).
100ms
探索研究
.回答问题,并说明理由 .
15
()当a2=b2 时,是否一定有a=b?
1
()当a2 b2 时,是否一定有a b?
2 > >
()当a b 时,是否一定有 a2 b2 ?
3 < <0 >
81综合与实践
估计圆周率 的范围
π
一、问题情境
圆周率 是人类认识的第一个特殊常数 古今中外很多数学家
π ,
都寻求过计算 值的方法 .约公元前 年 莱因德纸草书中取
π 1650 ,
4
约公元前 年 阿基米德 前 前
4
π=( ) ; 240 , (Archimedes, 287— 212)
3
算得 我国魏晋时期数学家刘徽 约 约 用更
10 1
3 <π<3 ; ( 225— 295)
71 7
简便 科学的方法求出了 南北朝数学家祖冲之
3927
、 π≈ ; (429—
1250
进一步将 精确到小数点后 位
500) π 7 :3.1415926<π<3.1415927,
这一数值精度的纪录直到约 年后才被打破 . 年 数学家
1000 1776 ,
朗伯 证明圆周率不能精确表示为有限
(J.H.Lambert,1728—1777)
小数或循环小数 .从圆周率的出现 到确认它是无理数 人类花了
, ,
三千多年的时间 .
你能自己估计出圆周率的范围吗
?
二、学习任务
设圆的半径为 则圆的面积为 .可以
1, π
通过圆的面积估计圆周率 的范围 .
π
如图 在圆的内部和外部分别作正
(1) 1,
方形ABCD和正方形A'B'C'D' 其面积分别
,
B@
记为S正方形 和S'正方形 可得
,
图1
S正方形 S'正方形 .
<π<
计算S正方形 和S'正方形 .
82如图 在圆的内部和外部分别作正六边
(2) 2,
形 其面积分别记为S正六边形 和S'正六边形 .可得
,
S正六边形 S'正六边形 .
<π<
把内部的正六边形分成六个全等的正三角
形 每个正三角形的边长等于圆的半径 高为
图2
, ,
把外部的正六边形分成六个全等的正三
1
× 3;
2
角形 每个正三角形的高等于圆的半径 边长为 2 .
, , × 3
3
利用计算器计算两个正六边形的面积 精确到 估计
( 0.0001),
的范围 并与 中 的范围比较 你有什么发现
π , (1) π , ?
类似地 在圆的内部和外部分别作正十二边形 正二十四
(3) , 、
边形 每一组正n边形正好 夹住 了圆 其面积如下表 在表
…… “ ” , ,
中用不等式表示 的范围 .
π
正n边形的面积(结果精确到0.0001)
n π的范围
圆内部 圆外部
12 3.0000 3.2154
24 3.1058 3.1597
48 3.1326 3.1461
三、交流展示
说一说上述方法的道理 .为什么随着正n边形边数的增加
1. ,
的范围越来越精确
π ?
还有哪些估计圆周率的方法 与上述方法相比 它们各有什
2. ? ,
么优点
?
四、应用拓展
查阅与圆周率有关的科普著作或网络资源 了解古今中外数
1. ,
学家不断追求圆周率精确范围的故事 .
圆周率在天文学 计算机信息加密 交流电及无线电传播计
2. 、 、
算等多个领域都有重要应用.查阅资料 了解圆周率更多的估算和表
,
示方法 以及它在其他学科和生活中的价值 进行整理 交流和分享.
, , 、
833
勾股定理
直角三角形是一种特殊三角形 我国古代将
,
其较短的直角边称为 勾 较长的直角边称为
“ ”,
股 斜边称为 弦 . 本章将学习这三者之间
“ ”, “ ”
的一种特殊关系 即勾股定理.
,
两千多年来 勾股定理的证明一直让人们着
,
迷 至今已有数百种证法 其中多数用到了图形
, ,
剪拼中的面积相等关系.
a2 b2 c2 勾股定理不仅在数学史上具有重要的里程碑
+ =
意义和文化价值 而且在生活中也有重要的实用
,
价值.分割一个边长为a b的大正方形 图 可以有以下两种方
+ ( 1),
法 一种是分割成甲 乙两个正方形和 个直角三角形 图 另
: 、 4 ( 2),
一种是分割成四边形丙和 个直角三角形 图 .
4 ( 3)
图1
图2 图3
图 图 中的 个直角三角形全等吗
2、 3 8 ?
四边形丙是正方形吗 甲 乙 丙三个四边形的面积有怎
? 、 、
样的数量关系 你能在a b c之间建立怎样的等式
? , , ?
对于任意的直角三角形 记两条直角边长分别为a b 斜
, , ,
边长为c 上面建立的等式还成立吗
, ?第3章 勾股定理
勾股定理的探究
3.1
勾股定理的发现
如图 以 ABC的三边为边分别向外画一个正方
3 1, Rt△
形 所画的三个正方形面积之间有怎样的数量关系
, ?
图3 1
正方形BHIC 正方形ACFG的面积分别为 和 正方形
、 9 16,
AEDB的面积为 三个正方形面积之间的关系为
25,
S正方形AEDB S正方形BHIC S正方形ACFG .
= +
因为S正方形AEDB
=
AB2
,
S正方形BHIC
=
BC2
,
S正方形ACFG
=
AC2
,
所以 AB2 BC2 AC2
= + ,
即 ABC两条直角边的平方和等于斜边的平方 .
Rt△
8687
. 3
1 在下面的方格纸上 任意画一个顶点都在格点上的直角三角形 并
, ,
勾
分别以这个直角三角形的各边为一边向三角形外部作正方形 仿照
股
,
定
上面的方法找出三个正方形面积之间的关系 并与同学交流 . 理
,
的
探
究
根据上面的活动 可以猜想 直角三角形两条直角边的平方和
, :
等于斜边的平方 .
直角三角形这一特殊的三边关系 我国古代称之为勾股定理 .
,
据 周髀算经 记载 西周时期的商高 约前 在与周公 约前
《 》 : ( 1100) (
的对话中 就提出了 勾三股四弦五 .勾股定理的证明从古
1100) , “ ”
至今已有数百种方法 .公元 世纪初 我国数学家赵爽 世纪前
3 , (3
期 用剪拼图形的方法完成了证明 .
)
勾股定理
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 .
如果 ABC的两条直角边分别为a b 斜边为c图
Rt△ , , ( 3 2),
那么a b c之间满足
, ,
a2 b2 c2.
+ =
图3 2第3章 勾股定理
如图 已知直角三角形的两边长 求第三边的长 .
3 3, ,
(1) (2)
图3 3
? 根据勾股定理 得
(1) ,
2+ 2=c2
12 5 ,
即c2= .所以c= = .
169 169 13
根据勾股定理 得
(2) ,
2+b2= 2
2 5,
即b2= .所以b= .
21 21
在数轴上画出 对应的点 .
5
? 如图 画一个直角边分别为 和 的直角三角形 .
3 4, 2 1
图3 4
由勾股定理知 斜边为
2 2
.以原点为圆心 斜边长为半
, 2+1 = 5 ,
径画弧 与数轴正半轴交于点P 则P为 对应的点 .
, , 5
求图中x的值 .
1.
(1) (2) (3)
(第1题)
8889
. 3
1
求图中x,y 的值 . 勾
2. 股
定
理
的
探
究
(1) (2) (1) (2)
(第2题) (第3题)
求图中x的值 .
3.
勾股定理的证明
两千多年来 勾股定理的证明一
,
直令人着迷 .公元 世纪初 数学家
3 ,
赵爽通过 弦图 证明了勾股定理 .
“ ”
根据 弦图 的思路 用 张如图 所示的直角三角形
“ ” , 4 3 5
纸片构成一个边长为c的大正方形 图 .你能用这个图形
( 3 6)
证明勾股定理吗
?
图3 5 图3 6第3章 勾股定理
如图 大正方形的边长为c 则
3 6, ,
S正方形ABCD c2.
=
因为大正方形是由 个直角三角形和 个边长为b a的小正方
4 1 -
形组成的 所以 大正方形的面积是 个直角三角形面积与小正方
, , 4
形面积的和 .
即 S正方形ABCD
=4×
1ab
+(
b
-
a
)
2
2
ab b2 ab a2
=2 + -2 +
a2 b2.
= +
所以
a2 b2 c2.
+ =
用 张如图 所示的直角三角形纸片构成如图 所示的大正
1. 4 3 5 3 7
方形 你能用这个图形证明勾股定理吗
, ?
图3 7 图3 8
连接图 中小正方形的对角线 可以得到图 .试利用图
2. 3 7 , 3 8
中的面积关系证明勾股定理 .
3 8
利用章头活动中的图形,证明勾股定理 .
9091
. 3
1 求图中x的值 .
1.
勾
股
定
理
的
探
究
(1) (2) (3)
(第1题)
.如图,长 的梯子靠在墙上,梯子的底端离墙脚线的距离为
2 2.5m
.求梯子顶端距地面的高度h.
1.5m
(第2题) (第3题)
如图,设每个小方格的面积为 ,在图中画出以格点为端点且长
3. 1
度分别为 , , 的线段 .
2 5 13
图中涂色部分是直角边长为a,b,斜边长为c的 个直角三角
4. 4
形 .试利用这个图形中的面积关系验证勾股定理 .
(第4题)第3章 勾股定理
《几何原本》 中勾股定理的证明
勾股定理是数学史上一个非常重要的定理 .两千多年来,人们对
它进行了大量的研究,至今已有数百种证明方法.
欧几里得的 《几何原本》记录了如下的证明思路:
如图 ,四边形ABFE、四边形AJKC、四边形BCIH分别是以
1
ABC的三边为一边的正方形.
Rt△
过点C作AB的垂线,交AB于点D,交
FE于点G,连接HA,CF.
S正方形BCIH BH·HI S
ABH
,
= =2 △
S长方形BFGD BF·FG S
FBC
.
= =2 △
在 ABH和 FBC中,
△ △
BH=BC,
HBA= CBF, 图1
∠ ∠
BA=BF,
92
ABH FBC.
∴△ ≌△
S S .
ABH FBC
∴ △ = △
S S ,
ABH FBC
∴2 △ =2 △
即S正方形BCIH S长方形BFGD .
=
同理,S正方形AJKC S长方形DGEA.
=
S正方形ABFE S长方形BFGD S长方形DGEA S正方形BCIH S正方形AJKC ,
∴ = + = +
即 c2=a2+b2.93
. 3
2
勾股定理的逆定理
3.2 勾
股
定
理
的
我们知道直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 .反 逆
定
理
过来 如果一个三角形的两条边的平方和等于第三边的平方 那么
, ,
这个三角形一定是直角三角形吗
?
如图 ABC的三边a b c满足a2+b2=c2 能否证
3 9,△ , , ,
明 ABC为直角三角形
△ ?
图3 9 图3 10
我们先作一个 A'B'C' 使 C'= B'C'=a A'C'=b
Rt△ , ∠ 90°, ,
图 再设法证明 A'B'C'与 ABC全等 .
( 3 10), △ △
根据勾股定理 得A'B'2=a2+b2.
,
因为AB2=a2+b2
,
所以A'B'=AB.
根据 可知 ABC A'B'C'.
“SSS”, △ ≌△
于是 C= C'= 即 ABC是直角三角形 .
∠ ∠ 90°, △
勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长分别为a b c 且a2+b2=c2 那么这
, , , ,
个三角形是直角三角形 .第3章 勾股定理
四千多年前 古埃及人在建造金字塔时就已经知道如何构造一
,
个直角三角形 .他们在一根绳子上打上距离相等的结 然后由三人
,
拉成一个三角形 使得每条边被结点分成 段 段 段 .这样
, 3 、4 、5
得到的三角形一定是直角三角形 .
如果三个正整数a b c满足关系a2+b2=c2 则称a b c为
, , , , ,
勾股数 .
写出几组勾股数 说说勾股数有哪些规律 .
,
已知 a b c为正整数 且a2 b2 c2.
: , , , + =
求证 ka kb kc k为正整数 构成勾股数 .
: , , ( )
a2 b2 c2
∵ + = ,
ka2 kb2 k2a2 k2b2
∴ ( )+( )= +
k2a2 b2
= ( + )
k2c2 kc2.
= =( )
a b c k为正整数
∵ , , , ,
ka kb kc为正整数 .
∴ , ,
ka kb kc构成勾股数 .
∴ , ,
9495
. 3
2 如图 AD是 ABC的中线 AD AB BC .
3 11, △ , =24, =26, =20
勾
求AC的长 . 股
定
理
的
逆
? AD是 ABC的中线 BC 定
∵ △ , =20, 理
BD=1BC= .
∴ 10
2
AD= AB=
∵ 24, 26, 图3 11
AD2+BD2= 2+ 2=
∴ 24 10 676,
AB2= 2= .
26 676
AD2+BD2=AB2.
∴
ADB= (勾股定理的逆定理).
∴ ∠ 90°
AD垂直平分BC.
∴
AC=AB= .
∴ 26
下列各组数是勾股数吗? 为什么?
1.
() , , ;
1 12 15 18
() , , ;
2 11 60 61
() , , ;
3 15 36 39
() , , .
4 36 35 12
计算图中四边形ABCD的面积 .
2.
(第2题)
一个三角形三边长的比为
∶ ∶
,它的周长是 .求这个
3. 3 4 5 60
三角形的面积 .第3章 勾股定理
. ABC的三边长分别是a,b,c,且a=n2- ,b= n,c=
1 △ 1 2
n2+ ,n . ABC是直角三角形吗? 证明你的结论 .
1 >1 △
如图,AD BC,垂足为D.如果CD= ,AD= ,BD= ,那
2. ⊥ 1 2 4
么 BAC是直角吗? 证明你的结论 .
∠
(第2题)
已知直角三角形的三边长分别是a,b,c,下列说法是否正确?
3.
()长分别为 a,b,c的三条线段能组成一个直角三角形;
1 2 2 2
()长分别为a,b,c的三条线段能组成一个直角三角形 .
2
9697
. 3
3
勾股定理的简单应用
3.3 勾
股
定
理
的
简
单
应
在日常生活中 勾股定理及其逆定理有广泛的应用 .
用
,
甲 乙两种款式手机屏幕的对角线长分别为 英寸和
、 5.5
英寸 纵横比分别为 和 哪款手机的屏幕面积更
5.4 , 2∶1 16∶9,
大 英寸
? (1 =2.54cm)
设甲手机屏幕的长 宽分别为 x英寸 x英寸
、 2 、 ;
乙手机屏幕的长 宽分别为 y英寸 y英寸 .
、 16 、9
根据勾股定理 得
,
x2 x2 2.
(2 )+ =5.5
y2 y2 2.
(16 )+(9 )=5.4
分别得到x2 y2 29.16.进而分别可以求出甲手机屏
=6.05, =
337
幕的面积为 平方英寸 乙手机屏幕的面积约为 平方英寸.
12.1 , 12.5
所以 乙手机屏幕的面积更大 .
,第3章 勾股定理
九章算术 中有一个 折竹 问题 今有竹高一丈 末折抵地
《 》 “ ” : “ , ,
去根 三 尺 问 折 者 高 几 何 题 意 是 一 根 竹 子 原 高 丈
, ?” : 1
丈 尺 中部有一处折断 竹梢触地面处离竹根 尺 试问
(1 =10 ), , 3 ,
折断处离地面多高
?
图3 12
? 如图 竹子在点B处折断 竹梢点A着地 ABC是直角三
3 12, , ,△
角形.
设BC的长为x尺 则AB的长为 x 尺 .
, (10- )
根据勾股定理 得
,
x2+ 2= -x2.
3 (10 )
解得x= . .
455
答 折断处离地面 尺 .
: 4.55
如图,某校校庆时,从教学楼楼顶的A处向围墙上的B处
1.
拉彩旗 .已知点B和教学楼的水平距离为 ,教学楼高
16m
,围墙BC高 ,问至少需要多长的彩旗带?
15m 3m
(第1题)
9899
. 3
3
如图,在一次消防演习中,梯子斜靠在与地面垂直(垂足为 勾
2. 股
O)的墙上 .当梯子位于AB位置时,AO= ,BO= 定
理
2.4m
的
.如果梯子顶端要下降 (即AC= ),那么
简
1.8m 0.4m 0.4m 单
梯子的底端B应向右滑动多少米(结果精确到 )? 应
0.1m 用
(第2题)
你能利用勾股定理说明 垂线段最短 吗
“ ” ?
如图 点P在直线l外 PA l 垂足为A Q为直线l
3 13, , ⊥ , ,
上不同于点A的任意一点.
因为PA l
⊥ ,
所以 APQ为直角三角形 .
△
根据勾股定理 得
,
PQ2=PA2+AQ2.
图3 13
因为AQ
>0,
所以PQ2 PA2 AQ2 PA2.
= + >
所以PA PQ.
<第3章 勾股定理
如图 CD 为 ABC的斜边AB 上的高 设CD h
3 14, Rt△ , = ,
AD m DB n.求证 h2 mn.
= , = : =
在 ADC中 根据勾股定理 得
Rt△ , ,
AC2=h2+m2.
在 DBC中 根据勾股定理 得 图3 14
Rt△ , ,
BC2=h2+n2.
在 ABC中 根据勾股定理 得
Rt△ , ,
AC2+BC2=AB2.
AB m n
∵ = + ,
h2+m2+h2+n2= m+n2.
∴ ( )
h2 mn.
∴ =
如图 在数轴上点B表示 点C表示 你能在数
3 15, 2, 3……
轴上画出表示 的点吗 试写出a 的值 .
6 ? 99
图3 15
100101
. 3
3
.长度分别为 , , 的三条线段能构成一个三角形吗? 勾
1 3 5 8 股
如果可以,判断这个三角形的形状 . 定
理
的
求边长为 的等边三角形的面积 . 简
2. 2 单
应
用
如图,用起重机吊运物体,BC= . ,AC= . .求AB
1. 75m 195m
的长 .
(第1题) (第2题)
某港口O位于东西方向的海岸线上 .甲、乙两船同时离开港口,
2.
各自沿一固定方向航行 .甲船每小时航行 ( 为海
32nmilenmile
里),乙船每小时航行 .它们离开港口半小时后分别位
24nmile
于点A,B处,且相距 .如果甲船沿北偏东 方向航
20nmile 45°
行,那么乙船沿哪个方向航行?
如图,育苗棚的顶部是矩形,与水平地面的倾角是 ,求育苗
3. 30°
棚顶部塑料薄膜的面积(结果精确到
2
).
0.1m
(第3题)第3章 勾股定理
如图,在 ABC中, C ,AC ,BC .以AB为一边
4. △ ∠ =90° =2 =4
作正方形ABDE,与 ABC位于AB的同侧,图中阴影部分的
△
面积是多少?
(第4题) (第5题)
如图,在 ABC中, ACB ,CD为边AB上的高,CE
5. Rt△ ∠ =90°
为边AB上的中线,AD ,CE ,求CD的长 .
=2 =5
如图,在 ABC中, C ,AC ,BC ,AB的垂直
6. Rt△ ∠ =90° =12 =9
平分线分别交AB,AC于点D,E.求AE,EC的长 .
(第6题) (第7题)
如图,在 ABC中,AB ,AC ,BC ,求点A到BC
7. △ =20 =13 =11
的距离 .
()如图(),以 ABC的三边为直径的三个半圆的面积之间
8. 1 1 Rt△
有什么关系?
()如图(),以 ABC的三边为边的三个正三角形的面积之
2 2 Rt△
间有什么关系?
(1) (2)
(第8题)
102探寻 “勾股数”
活动1 构造勾股数 .
构造勾股数 就是要寻找三个正整数 使它们满足 两个数
, , “
的平方和 或差 等于第三个数的平方 即满足以下形式
( ) ”, :
2 2 2
( )+( )=( ); ①
或
2 2 2.
( )-( )=( ) ②
要满足上述 的形式 不妨从乘法公式入手 .我们已经
①② ,
知道
:
x y2 x y2 xy.
(+ )-(- )=4 ③
如果等式 的右边也能写成 的形式 那么它就符
2
③ “( )” ,
合 的形式 .因此 只要设x m2 y n2 式就可以化成
② , = , = ,③ :
m2 n2 2 m2 n2 2 mn2.
( + )-( - )=(2 )
于是 当m n为任意正整数 且m n时 m2 n2 m2 n2 和
, , , > , + , -
mn就是勾股数 .根据勾股数的这种表达式 就可以找出无数组
2 ,
勾股数 .
活动2 在下表中填写勾股数
:
m n m2 n2 mn m2 n2
- 2 +
6 5 11 60 61
︙ ︙ ︙ ︙ ︙
活动3 一位数学家在他找到的勾股数的表达式中 用 n2
, 2 +
n n为任意正整数 表示勾股数中最大的一个数 你能找出另
2 +1( ) ,
外两个数的表达式吗
?
103小结与思考
本章知识结构
1. :
直角三角形三边之间有特殊的数量关系 本章我们通过对图形
,
面积的探究 发现并证明了勾股定理及其逆定理 从 正 和
, , “ ”
逆 两个方向对直角三角形三边之间的关系进行了刻画 .同时
“ ” ,
了解了古代数学家证明勾股定理的成就 .
勾股定理及其逆定理在数与形之间建立了联系
2. :
勾股定理的证明方法灵活多样 其中蕴含丰富的数学思想方
,
法 .在学习过程中 我们要学会从不同方向研究几何问题 体会研
, ,
究方法的多样性 了解中华优秀传统文化 进一步发展几何直观和
, ,
推理能力 .
利用右图猜想锐角三角形
3. 、
钝角三角形三边之间的关系 .
104复习题
复习巩固
判断由下列线段a,b,c组成的三角形是不是直角三角形 .
1.
()a ,b ,c ; ()a ,b ,c .
1 =15 =17 =8 2 =3 = 6 = 17
如图,树苗加固,AB= . ,BD= . ,求AD的长 .
2. 20m 15m
(第2题) (第3题)
如图,汽车卸货,AC= . ,BC= . ,求AB的长 .
3. 12m 09m
求图中的x值 .
4.
(第4题) (第6题)
()已知直角三角形的两条直角边的长分别为 和 ,求斜
5. 1 3 5
边的长;
()已知直角三角形的两边的长分别为 和 ,求第三边
2 3 5
的长 .
如图,在 ABC中, BAC = ,AB= ,AC = ,
6. △ ∠ 90° 18 24
AD BC,垂足为D.求AD,BD的长 .
⊥
105如图,单杠高AC为 ,拉索的底端B与单杠底端C的
7. 2.55m
距离为 .求拉索AB的长(结果精确到 ).
3m 0.1m
(第7题) (第8题)
如图,如果把南京玄武湖隧道与中央路及龙蟠路组成的图形
8.
近似看成 ABC,其中AB 长为 ,AC 长为
Rt△ 1.36km
,那么从点B到点C,走隧道比绕道中央路BA和龙
2.95km
蟠路AC少多少路程(结果精确到 )?
0.1km
灵活运用
将一副三角板摆成如图所示的位置,已知AB ,求AD
9. =5
的长 .
(第9题) (第10题)
《九章算术》勾股章中有一个 “引葭赴岸”问题:“今有池
10.
方一丈,葭生其中央,出水一尺 .引葭赴岸,适与岸齐 .
问水深葭长各几何?”题意是:有一个池塘,其水面是边
长为 尺( 丈 尺)的正方形,一棵芦苇AB生长在
10 1 =10
它的中央,高出水面部分BC为 尺 .如果把该芦苇沿与
1
106水池边垂直的方向拉向岸边,那么芦苇的顶部B恰好碰到
池边的水面(如图).水深和芦苇长各多少尺?
探索研究
有一根长 的木棒,要放入长、宽、高分别是 ,
11. 70cm 50cm
, 的木箱中,能放进去吗? 说明理由 .
40cm 30cm
葛藤是一种多年生藤本植物,为获得更多的阳光和雨露,
12.
其茎蔓常绕着附近的树干沿最短路线盘旋而上 .如图,如
果把树干看成圆柱体,它的底面周长是 ,当一段葛藤
12cm
绕树干盘旋 圈升高 时,这段葛藤的长是多少?
1 9cm
(第12题)
(第13题)
如图,某人站在岸上用绳子拉船靠岸 .他的手距离水面
13.
,开始时绳子BC的长为 ,几分钟后船到达点D的
2m 17m
位置,此时绳子CD的长为 ,船向岸边移动了多少米
10m
(结果精确到 )?
0.1m
分别将图中的阴影部分剪拼成一个正方形(在图中画出剪拼
14.
的示意图,并用文字说明).
(第14题)
107综合与实践
估算旋梯的长度
一、问题情境
楼梯作为连接上下两个平面的通道 几乎是每个建筑的必备元
,
素 .利用螺旋形式设计的旋梯不仅可以节省建筑内部的使用空间
,
还能赋予建筑独特的艺术感 .
不同空间中旋梯的形状不同 如何计算旋梯的长度
, ?
二、学习任务
如图 所示是某个储存油
1
罐 油罐外设置了旋梯 供操
, ,
作人员上下油罐使用 .
估算油罐底面直径和
(1)
高度等主要的量 .
通过查阅资料或选择图中
合适的参照物 估算油罐底面
,
直径和高度 .
图1
108估算旋梯扶手长度 .
(2)
通过小组讨论 得到旋梯扶手长度l的估算方法与公式 并估
, ,
算出旋梯扶手长度l.
改进估算公式 .
(3)
观察图 旋梯的中间位置有一个平台 将旋梯分成两段 如
1, , ,
果该平台长约为 请据此修正旋梯扶手长度的估算方法与
0.8m,
公式 .
三、交流展示
总结估算旋梯扶手长度的方法与步骤 介绍你分析问题 解
1. , 、
决问题的过程 .
圆柱侧面上两点间的最短距离与平面上两点间的最短距离之
2.
间有什么联系与区别 你还能求出哪些空间物体表面上两点间的最
?
短距离
?
四、应用拓展
生活中你还看到过哪些形状的旋梯 通过查阅资料或实地调
1. ?
查 了解不同形状的旋梯 并思考如何估算其扶手的长度 .
, ,
计算油罐旋梯长度的方法可以用于解决生活中的其他问题
2. ,
例如 观察图 中的粘毛滚筒 研究粘毛纸的形状及其设计思路 .
, 2 ,
这种设计思路在现实生活中还有哪些应用
?
图2
1094
平面直角坐标系
数轴上的点和实数一一对应 .本章将通过平
面直角坐标系建立点和有序实数对之间的一一
对应.
利用平面直角坐标系 一方面可以从数量上描
,
述点的位置关系 另一方面也可以直观地表示两个
,
数量之间的变化规律.
数形结合是一种常用的数学方法 有助于建立
,
数与形之间的联系 能够解决数学和生活中的许多
,
问题.
110如图 在一条索道上 缆车匀速上行 .缆车从起点O开始随
, ,
索道移动的水平距离为OH OH 上升的高度为PH
1, 2,… 1 1,
PH
2 2,…
缆车移动的水平距离x/
m 0 2 4 6 8 …
缆车上升的高度y/
m 0 1 2 3 4 …
在下图中用点表示缆车的位置 .
当缆车移动的水平距离为 时 写出缆车上升的高度 .
12m ,
再多找一些表示缆车位置的点 它们的排列有什么规律
, ?第4章 平面直角坐标系
点的位置与坐标表示
4.1
认识平面直角坐标系
图 是北京市城市地图的一部分 小丽站在点O处 .她
4 1 ,
如何描述西直门相对于点O的位置呢
?
将东西向的长安街和南
北向的北京中轴线看成横
、
纵两条数轴 长安街与中轴
,
线的交点为这两条数轴的公
共原点 图 .西直门在
( 4 2)
中轴线正西方向约
3.7km,
长安街正北方向约 .
3.6km
西直门的位置可以用有序实
数对 来描述.
图4 1 (-3.7,3.6)
图4 2
112113
. 4
1 如图 平面内两条互相垂
4 3,
直的数轴构成平面直角坐标系 简 点
, 的
位
称 为 直 角 坐 标 系
置
(rectangular
与
.水平的数轴称为x轴
坐
coordinates)
标
x 或横轴 向右为正方向 表
( axis) , ; 示
竖直方向的数轴称为y轴
y
( axis)
或纵轴 向上为正方向 两轴的交
, ,
点O称为原点 .
(origin)
在平面直角坐标系中 任意一个
, 图4 3
点的位置都可以用有序实数对表示 .
如图 过点P分别作x轴y轴的
44, 、
垂线 垂足在x轴y轴上表示的数分
, 、
别是ab 有序实数对a b称为点P
,, (, )
的坐标 a称为点P
(coordinates),
的横坐标 b称为点P的纵坐标 .
,
点的坐标通常与表示该点的大
写字母写在一起 如Pa b .原
, (, )
点O的坐标为 . 图4 4
(0,0)
写出图 中点A B C D
4 5 , , , ,
E F的坐标 .
,
? 过点A分别作x轴y轴的垂线
、 ,
得点A的横坐标是- 纵坐标是
4,
于是点A的坐标为 - .
3, (4,3)
类似地 点B C D的坐标分别
, , ,
为 - - - .
(3, 2),(1, 3),(2,1) 图4 5
点E在y轴上 横坐标为 可
, 0,
得点E的坐标为 .类似地 点F的坐标为 .
(0,2) , (-2,0)
如何在平面直角坐标系中找到点Qc d 的位置
(, ) ?
第4章 平面直角坐标系
在平面直角坐标系中 描出下列各点
, :
A- B- -
(1) ( 1,4), ( 4, 2),
C D -
(4,1), (3, 2);
E F- .
(2) (0,1), ( 4,0)
? 如图 过x轴上表示
(1) 4 6,
的点和y轴上表示 的
-1 4
点分别作x轴和y轴的垂
线 两条 垂 线 的 交 点 为
,
A .用类似的方法
(-1,4)
描出点B C D. 图4 6
, ,
过y轴上表示 的点作y
(2) 1
轴的垂线 垂足为E .用类似的方法描出点F.
, (0,1)
建立平面直角坐标系后 平面内的点与有序实数对是一一对应的.
,
如图 在平面直角坐标系中 两条坐标轴将平面分成的四
4 7, ,
个区域称为象限 按逆时针顺序分别记为第一 二 三
(quadrant), 、 、 、
四象限 .
图4 7
坐标轴不属于任何象限 .
第一象限的点的坐标有什么特点 其他象限的点呢
1. ? ?
坐标轴上的点的坐标有什么特点
2. ?
114115
. 4
1
如图,分别写出图中点A,B,C的坐标,并指出各点所在的象限. 点
1. 的
位
置
A
与
坐
标
表
示
(第1题) (第2题)
如图,在平面直角坐标系中描出下列各点:
2.
A(,),B(- ,),C(- ,- ),D( ,- ),E(,- ).
24 2.53 3 2 1.5 3.5 0 1
建立合适的平面直角坐标系
图 是一个景区的游览地图 在图中建立平面直角坐标
4 8 ,
系 并写出碑林的坐标 .
,
图4 8
我们可以以 中心广场 为原点 以正
“ ” ,
东方向为x轴正方向 正北方向为y轴正方
、
向 以小方格的边长为单位长度 建立平面
, ,
直角坐标系 碑林的坐标为A .
, (5,7)第4章 平面直角坐标系
如图 焊孔A B C D恰好为一个正方形的四个顶点 正方
4 9, , , , ,
形的边长为 .为了使机械手把电子元器件准确地插入焊孔 在线
4 ,
路板上建立合适的平面直角坐标系 确定四个焊孔的坐标 .
,
图4 9
?
如图 以A为原点 分别以边
4 10, ,
AB AD所在直线为x轴 y轴 建立
, 、 ,
平面直角坐标系 .可得四个焊孔的坐
标分别为A B C
(0,0), (4,0), (4,4),
D .
(0,4)
图4 10
在例 中 小丽 小明建立了下面两种不同的平面直角坐标
3 , 、
系 在这两个平面直角坐标系中 正方形各顶点的坐标有什么
, ,
特点
?
根据实际问题的需要 建立合适的平面直角坐标系 更便于研
, ,
究和解决问题 .
116117
. 4
1
请在图中建立一个平面直角坐标系,使得点A的坐标是 点
1. 的
(, ),点B的坐标是(, ),分别写出图中五角星形五 位
置
0 0 2 1
与
个顶点的坐标,并指出它们所在的象限或坐标轴 . 坐
标
表
示
(第1题)
根据某动物园的平面示意图,以大门所在的位置为原点,
2.
以正东方向为x轴正方向、正北方向为
y
轴正方向,以
为单位长度,建立平面直角坐标系,分别用坐标表示
1cm
猴山、百鸟园、熊猫馆、驼峰的大致位置 .
(第2题)第4章 平面直角坐标系
极坐标系
牛顿( , — )在平面直角坐标系的基础上,发明
I.Newton 1643 1727
了极坐标系.极坐标系是用角度和距离来确定物体位置的,它在航海、
航空中被广泛应用.
如图,在平面上取一点O,由点O出发画一条射线 (如Ox),则平
面内的任意一点M可以用M(
ρ
,θ)来确定 .其中
ρ
表示点M到点O的
距离,θ( θ )表示以Ox为始边,逆时针旋转后 xOM的
0°≤ <360° ∠
大小.这里,点O称为极点,射线Ox称为极轴,(
ρ
,θ)称为点M的极
坐标.
如图,写出平面直角坐标系中的各个三角形的顶点坐标 .
1.
(第1题) (第3题)
在平面直角坐标系中,描出A(, ),B( , ),C(, ),D(,
2. 0 2 -1 0 5 0 3
)四个点,并分别指出各点所在象限或坐标轴 .
4
如图,正方形ABCD的边长为 ,点A的坐标为( , ),AB
3. 4 -1 1
平行于x轴,写出点B,C,D的坐标 .
118119
. 4
1 如图,小明在平面直角坐标系中画了一条 “小船”,他应如何描
4.
点
述这幅图案才可以使别人根据他的描述画出相同的图案?
的
位
置
与
坐
标
表
示
(第4题)
如图是某次越野跑赛道图,小明根据该赛道图绘制了一个平面直
5.
角坐标系 .在这个平面直角坐标系中,站点A和站点B的坐标
分别是(, ),( , ),补给站C恰好位于坐标原点,
4 0.4 -3.2 1.1
请在图中画出补给站C的位置 .
(第5题)第4章 平面直角坐标系
图形变换与坐标变化
4.2
在平面直角坐标系中 如果点的位置发生了变化 那么点的坐
, ,
标也会发生相应的变化 如果点的坐标发生了变化 那么点的位置
; ,
也会随之改变 .本节我们研究图形变换与坐标变化的关系 .
平移与坐标变化
如图 一只甲虫在平
4 11,
面直角坐标系中沿着网格
线运动 .它从点A出发
,
依次爬 到 点B C D E
, , ,
处 .如果把甲虫看作一个
点 根据甲虫的平移过程
, ,
填写下表
: 图4 11
平移路径 平移方向 平移距离 横坐标变化 纵坐标变化
A B 上 不变 增加
→ 4 4
B C
→
C D
→
D E
→
点的横坐标 纵坐标的变化与平移方向 平移距离有什么关系
、 、 ?
从活动中可以发现 当一个点沿着与y轴平行的方向移动时
, ,
它的横坐标不变 沿着与x轴平行的方向移动时 它的纵坐标
; ,
不变 .
120121
. 4
2 如图 在平面直角坐标
4 12,
图
系中 线段AB的端点坐标分
形
,
变
别为A B . 换
(-4,5),(-1,1)
与
将线段AB向右平移 个单 坐
(1) 5 标
位长度 得到线段AB 变
, 1 1, 化
写出点A B 的坐标
1, 1 ;
将线段AB向下平移 个
(2) 4
单 位 长 度 得 到 线 段
,
AB 写出点A B 的
2 2, 2, 2
坐标 . 图4 12
? 点A向右平移 个单位长度 纵坐标不变 横坐标变为
(1) 5 , , :
由此得点A 的坐标为 .同样可得点B 的坐
-4+5=1, 1 (1,5) 1
标为 .
(4,1)
点A向下平移 个单位长度 横坐标不变 纵坐标变为
(2) 4 , , :
由此得点A 的坐标为 .同样可得点B 的
5-4=1, 2 (-4,1) 2
坐标为 .
(-1,-3)
如果将点P先向右平移 个单位长度 再向下平移 个单位长
2 , 3
度 可以得到点Q 那么你能写出点P的坐标吗
, (1,-2), ?
在平面直角坐标系中,将一个四边形中各顶点的横坐标都增
1.
加 ,纵坐标保持不变,该四边形的位置会发生怎样的变化?
2
如图,两架飞机在执行任务时保持编队飞行(飞机的相对位置
2.
保持不变),一段时间后,如果其中一架飞机从点M( , )
-5 6
处飞行到点M'(, )处,那么另一架飞机从点N( , )处
7 1 -8 4
飞行到什么位置?第4章 平面直角坐标系
(第2题)
如图,平移三角形 ,使之与三角形 拼成一个长方形,
3. ① ②
写出三角形 中的点P( , )平移后的坐标 .
① -3 1
(第3题)
轴对称与坐标变化
如图 在透明方格纸上
4 13,
建立平面直角坐标系 并描出
,
点P - .
(1, 3)
作点P关于x轴的对称点
1.
P' 点P'与点P的坐标之
,
间有怎样的关系
?
图4 13
122123
. 4
2 作点P关于
y
轴的对称点P″ 点P与点P″的坐标之间有什么
2. ,
图
关系
形
?
变
点P'与点P″的坐标之间有什么关系 它们关于坐标原点对称吗
换
3. ? ? 与
坐
从活动中可以发现 如果点P的坐标为ab 那么点P关于 标
, (, ), 变
x轴对称的点的坐标为 a b 关于y轴对称的点的坐标为 化
(,- ),
ab 关于坐标原点O对称的点的坐标为 a b .
(- , ), (- ,- )
如果点P与点P'关于x轴对称 点P'与点P″关于y轴对称
, ,
那么点P与点P″是否一定关于原点对称
?
如图 ABC三个顶点的坐标分别为A - B-
4 14,△ (2,4), (4,3),
C- .
( 1,1)
把 ABC沿y轴翻折得到 ABC 画出 ABC并写出顶
(1) △ △ 1 1 1, △ 1 1 1
点的坐标
;
把 ABC沿x轴翻折得到 ABC 画出 ABC并写出顶
(2) △ 1 1 1 △ 2 2 2, △ 2 2 2
点的坐标
;
说明点A与点A 的坐标之间的关系 .
(3) 2
图4 14第4章 平面直角坐标系
? 如图 所示 .
4 15
图4 15
ABC的顶点坐标分别为A B C
(1)△ 1 1 1 1(2,4), 1(4,3), 1(1,1);
ABC 的 顶 点 坐 标 分 别 为A B
(2)△ 2 2 2 2(2,-4), 2(4,-3),
C
2(1,-1);
点A与点A 的横坐标互为相反数 纵坐标也互为相反数 .
(3) 2 ,
将点P 绕原点按逆时针方向分别旋转 可以得
(2,0) 90°,45°
到点P' P″ 你能分别写出点P' P″的坐标吗
, , , ?
分别写出点( , )关于x轴和 y
1. -4 3
轴的对称点的坐标 .
如图,x轴是 AOB的对称轴,y
2. △
轴是 BOC的对称轴,点A的坐
△
标为(, ),写出点C的坐标 .
1 2
(第2题)
124125
. 4
2 生活中 雁阵 无人机表演等形成的图案可以看作点按一定规
, 、
图
律排列而成的 . 形
变
换
与
坐
标
变
化
如图 过点A 分别作x轴和
y
轴的垂线 垂足分别为
1. 4 16, (3,4) ,
B C 直线AB AC上的点的坐标有什么特征
, , , ?
图4 16 图4 17
在图 的平面直角坐标系中 画出两坐标轴正半轴所成角的
2. 4 17 ,
平分线l 射线l上的点的坐标有什么特征
, ?
我们发现 在平面直角坐标系中 垂直于x轴的直线上的点的
, ,
横坐标都相同 垂直于y轴的直线上的点的纵坐标都相同 两坐标
, ;
轴正半轴所成角的平分线上的点的横坐标与纵坐标相同 .
如图 在平面直角坐标系中 已知点A的坐标为 动点
4 18, , (4,0),
P到点O和点A的距离相等 .
画出动点P所形成的图形 .
(1)
动点P的坐标有什么特征
(2) ?第4章 平面直角坐标系
当点P到x轴的距离为 时 写出点P的坐标 .
(3) 3 ,
图4 18 图4 19
? 因为动点P到点O和点A的距离相等 所以动点P形成的图形
(1) ,
是过点 且垂直于x轴的一条直线 图
(2,0) ( 4 19);
动点P的横坐标不变 始终为
(2) , 2;
因为点P到x轴的距离为 所以点P的纵坐标为 或 点
(3) 3, 3 -3,
P的坐标为 或 .
(2,3) (2,-3)
写出一些横坐标与纵坐标之和为 的点的坐标 并把这些
1. 3 ,
点画在图 的平面直角坐标系中 观察这些点的位置 你有什
4 20 , ,
么发现
?
图4 20 图4 21
写出一些横坐标与纵坐标之积为 的点的坐标 并把这些
2. 4 ,
点画在图 的平面直角坐标系中 然后按照横坐标从小到大的
4 21 ,
顺序用光滑的线将它们连起来.多画一些这样的点 你有什么发现
, ?
126127
. 4
2
在平面直角坐标系中,描出点A(,- ),B(, ),C(, ), 图
1. 3 2 3 1 3 4 形
D(- , ),E(, ),F(, ). 变
2 3 1 3 4 3 换
与
()点A,B,C在一条直线上吗? 直线AC与坐标轴有什么位
坐
1
标
置关系? 变
化
()点D,E,F在一条直线上吗? 直线DF与坐标轴有什么位
2
置关系?
请写出一些点的坐标,使得每个点的横坐标是纵坐标的
2. 2
倍,并把这些点画在平面直角坐标系中,观察这些点的位
置,你有什么发现?
已知点P的坐标为( , ),分别写出点P经过下列平移后所得
1. -5 2
点的坐标 .
()向右平移 个单位长度;
1 3
()向下平移 个单位长度;
2 3
()先向上平移 个单位长度,再向左平移 个单位长度 .
3 1 2
如图, ABC 三个顶点的坐标分别为A(, ),B(, ),
2. △ 1 3 6 4
C(, ).把 ABC先向左平移 个单位长度,再向下平移 个
4 1 △ 5 4
单位长度,画出两次平移后所得的 A'B'C',写出其顶点的坐
△
标,并指出平移前后三角形对应顶点坐标的变化情况 .
(第2题)第4章 平面直角坐标系
()如图,写出点A,B,C,D,E
3. 1
以及它们关于 轴对称的点
y
的坐标;
()画出图中所示图形关于
y
轴
2
对称的图形;
()将原图形和()中所画的图形
3 2
看作一个整体,画出整体图
(第3题)
形关于x轴对称的图形 .
如图,点A,B 的坐标分别为
4.
(, ),( , ).
3 4 -1 -2
()将线段AB平移后,点A的
1
对应点A'在
y
轴上,点B的
对应点B'在x轴上,画出线
段A'B',并分别写出点A',
B'的坐标;
()画线段AB关于
y
轴对称的线
2
段A″B″,分别写出点A″,B″ (第4题)
的坐标 .
在平面直角坐标系中依次描出下列各点:
5.
( , ),( , ),( , ),( , ),(, ),
-4 -5 -3 -4 -2 -3 -1 -2 0 -1
(, ),(, ),(, ),(, ),(, ).
1 0 2 1 3 2 4 3 5 4
这些点的排列有什么规律?
在平面直角坐标系中,回答下列问题:
6.
()点P位于第三象限,到两坐标轴的距离都是 ,写出点P的
1 2
坐标;
()线段MN平行于 y 轴,点M的坐标为( , ),且MN ,
2 -1 3 =4
写出点N的坐标 .
128用方向和距离确定位置
在日常生活中 除了通过建立平面直角坐标系确定物体的位
,
置外 还经常用方向和距离来确定物体之间的相对位置 .
,
下图为学校周边平面示意图 .其中小亮家和体育馆都位于学
校正东方向 它们到学校距离分别约为 和 购物中心
, 1km 2km,
位于学校正南方向 距离学校约 .以学校为参照点 怎样
, 1.5km ,
描述图书馆的位置
?
图书馆位于学校北偏西 的方向 .图书馆的位置就可以描
30°
述为 图书馆位于学校北偏西 方向 距离学校 的地方 .
: 30° 、 2km
小亮家位于体育馆的什么位置 体育馆位于小亮家的什么
1. ?
位置
?
用方向和距离表示公园相对于学校的位置.学校相对于公
2.
园的位置如何表示
?
画出位于学校南偏西 方向 距离学校 的新华书
3. 60° 、 1.5km
店的位置 .
129小结与思考
本章知识结构
1. :
平面直角坐标系 平面上的
:
点与有序实数对一一对应
130
点的坐标表示
图形变换的坐标表示
点的运动规律的坐标表示
本章中 我们通过平面直角坐标系将平面上的点与坐标建立了
,
一一对应关系 进而用坐标描述简单几何图形的位置 用坐标表达
, 、
图形的变换和点的运动规律 .
在平面直角坐标系中 四个象限的点的坐标的符号有下列
2. ,
特点
:
平面直角坐标系是数形结合的重要工具 是沟通几何与代数的
,
桥梁 .在解决现实问题时 常常建立合适的平面直角坐标系 用坐
, ,
标描述物体的位置和图形变换 .在学习过程中 要注意体会用代数
,
方法表达图形位置和图形变换的意义 体会数形结合的思想 发展
, ,
几何直观 增强应用意识和创新意识 .
,
举例说明平面直角坐标系在日常生活中的应用 .
3.复习题
复习巩固
在如图所示的平面直角坐标系中,判断下列各点中哪个点可
1.
能被图中的手盖住:
A(,- ),B(- , ),C(, ),D(- ,- ).
3 4 3 2 4 1 6 3
(第1题)
在平面直角坐标系中,已知点P在第二象限,距离x轴 个
2. 3
单位长度,距离 y 轴 个单位长度,请写出点P的坐标 .
1
在平面直角坐标系中,根据下列各组点的坐标,分别描出各
3.
点并顺次连接,以这些点为顶点的图形分别是什么图形?
()A(, ),B(, ),C(, );
1 2 1 4 1 4 5
()A(, ),B(- , ),C(,- );
2 3 4 3 4 0 2
()A(, ),B(, ),C(- , ),D(,- );
3 1 0 0 1 1 0 0 1
()A(- , ),B(, ),C(,- ),D(- ,- ).
4 2 3 3 4 3 4 2 5
在平面直角坐标系中,写出下列各点的坐标:
4.
()点A在
y
轴上,位于原点的下方,距离原点 个单位长度;
1 5
()点B在x轴上,距离原点 个单位长度;
2 3
()点C在
y
轴左侧,在x轴的上方,分别距离x轴、y 轴
3
个单位长度 .
4
已知点P(m ,n).
5. -1
()当m,n满足怎样的条件时,点P在第二象限?
1
()若将点P先向下平移 个单位长度,再向右平移 个单
2 4 3
位长度,得到点P'(, ),求m,n的值 .
2 -1
131如图,在某校简易机器人行走定点赛中,要求选手制作的机
6.
器人从地图上的点M处出发,沿网格线行走,绕过红色障碍
墙,走到点N处,试用坐标描述一条可行的机器人行走路线.
(第6题)
解答下列问题:
7.
()填表:
1
(x,y) (-x,y) (x,-y) (x+2,y-1)
A
(1,0)
B
(1,4)
C
(3,4)
()在平面直角坐标系中,以上表中每一列三个点为顶点
2
分别画三角形,所得三角形与 ABC的位置有什么
△
关系?
灵活运用
小亮在平面直角坐标系中画
8.
了一幅图案(如图),他怎样
描述这幅图案,可以使别人
根据他的描述能画出同样的
图案?
(第8题)
132在平面直角坐标系中有一个轴对称图形,点A(, )与点
9. 2 3
B(,- )是图形中的一对对称点,写出此图形中点
2 3
C(- ,- )的对称点坐标 .
4 1
如图,在平面直角坐标系中,直线
10.
l经过点C(, )并且平行于x轴,
0 1
若 ABC关于直线l对称,点A
△
的坐标是(, ),则 ABC的面积
4 4 △
是多少?
(第10题)
探索研究
在平面直角坐标系中,已知点A(, ),B(, ),点C是 y
11. 0 0 3 0
轴正半轴上一点,且 ABC的面积是 .
△ 6
()求点C的坐标;
1
()若点A,B,C是一个长方形的三个顶点,写出第四个
2
顶点的坐标 .
在平面直角坐标系中,以点A(- , )为一个顶点画长方
12. 1 2
形,使它的两边分别与坐标轴平行,且两边长分别为 , .
3 4
写出所画长方形的其余三个顶点的坐标 .
在平面直角坐标系中,描出点A(, ),B(- , ),并画出
13. 0 0 2 2
直线AB.
()若C是直线AB上任意一点,则点C的横坐标与纵坐
1
标有什么关系?
()将直线AB向上平移 个单位长度得到直线A'B',若
2 1
直线AB上的一点C平移后的对应点是C',则点C'的
横坐标与纵坐标有什么关系?
133综合与实践
设置 “绿波带” 交通控制方案
一、问题情境
一条路上有多个交通信号灯 在 绿波带 驾驶员以 绿波
, “ ”, “
速度 驾驶 往往能一路绿灯通行 . 绿波带 一般设置在城市干
” , “ ”
线道路上 将所有信号交叉口看作一个系统 通过协调控制绿灯亮
, ,
起的时间 使得车辆以某一规定车速行驶时 基本上可以处处遇到
, ,
绿灯 这个车速就是 绿波速度 .设置 绿波带 既可以大大提
, “ ” “ ”,
高交通整体通行效率 也可以优化司机的通行体验 .
,
如何设置某一路段的 绿波 交通控制方案
“ ” ?
二、学习任务
在一段道路上依次有 四个路口 已知这四个路口
A,B,C,D ,
的绿灯持续 红灯持续 其余因素忽略不计 .
30s, 30s,
已知路口 的绿灯亮起 后路口 的绿灯亮起 亮起
1. A 10s C,D ;
后路口 的绿灯亮起 .路口 和路口 的距离分别为
30s B B,C,D A
134.图 为该路段的交通信号示意图 图中
800m,1400m,2400m 1 ,
横轴表示时间 纵轴表示各个路口的位置 .
,
图1
当路口 的绿灯亮起 一辆汽车以 的速度匀速向路
(1) A , 20m/s
口 行驶 它能一路绿灯通过这四个路口吗
D , ?
汽车以怎样的速度匀速行驶 可以一路绿灯通过这四个
(2) ,
路口
?
假定汽车的行驶速度是 请仿照图 画出这四个路
2. 12m/s, 1,
口的红绿灯时长设置方案 使汽车能一路绿灯通过这四个路口 .
,
三、交流展示
结合图象 展示你在上述任务中的红绿灯时长设置方案 并
1. , ,
介绍设计思路 .
与同学交流 在实际的交通路况中 可能会有哪些问题影响
2. , ,
绿波 通行效率 .
“ ”
四、拓展应用
红绿灯的时长设计可能与哪些因素有关 同一路口东西方向
1. ?
与南北方向的红绿灯的时长设计有什么联系
?
数学方法可以帮助人们解决现实生活中的一些优化决策问题 .
2.
通过网络了解一些常见数学优化决策的相关信息 并与同学交流 .
,
1355
一次函数
函数是研究运动变化过程中数量关系和变化
规律的数学工具 .本章将从变量与函数的概念
出发 学习一次函数的定义 图象 性质及其
, 、 、
应用.
函数一般可以用表达式 表格 图象表示
、 、 ,
这三种表示方式各具特点 .数形结合是处理函
数问题的常用方法.
函数是数学中最重要的概念之一 是一种具
,
有普遍意义的数学模型 在分析和解决实际问题
,
时有着广泛的应用.在 乌鸦喝水 的寓言中 乌鸦向装有适量水的罐子中投放小
《 》 ,
石子 随着小石子数量的增加水面随之升高 .
,
可以利用量筒和相同大小的玻璃球进行实验 研究量筒中水面
,
高度与玻璃球数量之间的变化关系 .
根据实验过程填表
:
玻璃球数量x/粒
0 5 10 15 20
水面高度y/
cm 10 11
描点画图
:
若投放 粒玻璃球 则水面高度是多少
28 , ?
若投放x粒玻璃球 则水面高度是多少
, ?
若量筒内水面高度为 则投放了多少粒玻璃球
16cm, ?第5章 一次函数
变量与函数
5.1
函数的概念
某列车在 到 这个时段从甲地匀速驶往乙地 .
13:25 13:30
该时段中涉及哪些量 这些量之间有怎样的关系
? ?
在上述问题中 列车的速度 甲乙两地的距离保持不变 列车
, 、 ;
与甲地的距离随时间的变化而变化 当时间确定时 列车与甲地的
, ,
距离随之确定 .
像这样的情况还有很多 例如
, :
用 长的篱笆靠墙围成一
30m
个长方形小兔乐园 篱笆的长度
,
保持不变 长方形的面积随一边
,
长的变化而变化 .当一边长确定
时 面积随之确定 .
,
购买某种橘子 橘子的单价保持不变 花费的金额随购买数量
, ,
的变化而变化 .当购买数量确定时 花费的金额随之确定 .
,
请你再举出一些类似的实例 并指出其中哪些量是不变的 哪
, ,
些量是变化的 哪个量的数值确定后 另一个量也随之确定 .
; ,
138139
. 5
1 在上述情境中 数值保持不变的量叫作常量 数值
, (constant),
变
发生变化的量叫作变量 . 量
(variable) 与
函
在一个变化过程中有两个变量x和y
,
如果对于x的每一个确
数
定的值 y都有唯一的值与它对应 那么称y是x的函数
, , (func-
x是自变量 .对于自变量x的每一个取值 函数y的对应值
tion), ,
称为函数值 .
(functionvalue)
如果某轮船从甲港以 的速度匀速驶向相距 的
30nmile/h 500nmile
乙港 其与乙港的距离s 是航行时间t 的函数吗 用含t的
, nmile h ?
代数式表示s.
? s是t的函数.轮船与乙港的距离s随航行时间t的变化而变化 当t
,
取一个确定的值时 s有唯一的值与它对应 s是t的函数 t是自变量.
, , ,
s与t之间的函数关系可以表示为s t.
=500-30
某轮船从甲港匀速驶向相距 的乙港 全程用时t 是
500nmile , h
速度v 的函数吗 如果要在 内到达 那么速度至少
nmile/h ? 12.5h ,
要达到多少
?
判断下列变量之间的关系是否为函数关系:
1.
()在平静的湖面上投入一粒石子,激起的圆形波纹的面积
1
S 2 和半径r ;
cm cm
()沿倾角为 的斜坡登山,爬升的高度h 和前进的水
2 30° m
平距离l ;
m
()长方形的面积
y
和长x.
3第5章 一次函数
如图是某人在医院体检时心电图的一部分,图上横轴表示
2.
时间t ,纵轴表示心脏的心肌在活动中产生的电压U ,
s mV
电压是时间的函数吗? 为什么?
(第2题)
函数的表示
用一根长 的铁丝围成一个长方形 长方形的一边长为
2m ,
x 另一边长为y 怎样表示y与x之间的函数关系
m, m, ?
可以列式表示
:
y x.
=1-
可以用表格表示
:
x/
m … 0.1 0.2 0.3 …
y/
m … 0.9 0.8 0.7 …
可以在平面直角坐标系中画图表示 图
( 5 1):
图5 1
140141
. 5
1 一般地 函数可以用下面三种方式表示
, :
变
用表达式表示 .如y x y t等 像这样用自变量 量
1. =1- , =30 , 与
和常量组成的表示函数的表达式叫作函数表达式 函
(expressionof 数
.
function)
用表格表示.把自变量的取值写在第一行 对应的函数值写
2. ,
在第二行 .
用图象表示 .如图 把自变量的取值作为横坐标 对
3. 5 1, ,
应的函数值作为纵坐标 在平面直角坐标系中描出对应的点 这些
, ,
点组成的图形叫作函数的图象 .
(graphoffunction)
小明从甲地步行到乙地 图 中的折线表示小明步行的路程s
, 5 2 km
与所用时间t 之间的函数关系 .根据图象回答问题
min :
图5 2
小明全程用了多长时间
(1) ?
小明出发 时 步行的路程是多少
(2) 50min , ?
折线中有一条平行于横轴的线段 它的实际意义是什么
(3) , ?
? 小明全程用了
(1) 70min;
当t 时 s 即小明出发 时 步行的路程为
(2) =50 , =3, 50min , 3km;
当t从 变化到 时 s的值不变 说明小明在途中停留了
(3) 20 40 , ,
.
20min
在实际问题中 自变量的取值通常有一定的范围 .如例 中自变
, 2
量t的取值范围是 t .
0≤ ≤70第5章 一次函数
在太阳和月球引力的影响下 海水定时涨落的现象称为海洋潮
,
汐 涨落的水位高低称为潮位 .图 是江苏省一港口某日的潮
, 5 3
汐图 .
图5 3
图 中的曲线揭示了这一天潮位y 与时间t 之间的函
5 3 cm h
数关系 .根据图 你能得到潮汐的哪些信息
5 3, ?
某书店仓库中有 套辞典,出库x套,剩余 y 套 .y 是
1. 1000
x的函数吗? 如果是,写出
y
关于x的函数表达式及自变量
的取值范围 .
小明和爸爸出门散步,用 匀速走了 后,小明
2. 20min 900m
随即按原速度返回 .而爸爸遇到一位朋友,停下与朋友交
谈 后,用 匀速步行回到家里 .在下列四个图
10min 15min
象中,哪一个表示小明行走路程s 与时间t 之间的函
m min
数关系? 哪一个表示爸爸行走路程s 与时间t 之间的
m min
函数关系?
(1) (2)
142143
. 5
1
变
量
与
函
数
(3) (4)
(第2题)
某种矿泉水每瓶 元,判断销售额
y
元是否是销售数量x瓶的函
1. 2
数,并用含x的代数式表示 y.
声音在空气中的传播速度约 / .
2. 340ms
()判断传播距离d 是否是传播时间t 的函数,并用含t的代
1 m s
数式表示d;
()如果听到雷声比看到闪电延迟了 ,那么雷电大约发生在离
2 7s
观察者多远的高空?
已知从山脚起每升高 ,气温就下降 .测得山脚处的
3. 100m 0.6℃
气温为 ,用x 表示从山脚起上升的高度,y 表示上
14.1℃ m ℃
山过程中的气温,判断
y
是否是x的函数,如果是,写出函数表
达式 .
某容器的截面如图所示,出水阀门在点A处 .如果这个注满水
4.
的容器以固定的流量把水全部放出,下面哪个图象能大致表示水
的深度h 与放水时间t 之间的关系?
cm s
(1) (2)
(第4题)
(3) (4)第5章 一次函数
等腰三角形顶角的度数是x,底角的度数是 y,y 是x的函数吗?
5.
如果是,写出函数表达式及自变量的取值范围.
研究发现,某种蟋蟀平均每分钟鸣叫的次数n次与环境温度t
6. ℃
有关,它们之间近似满足关系:t= +1 (n- ).
10 40
7
()露营时小明记录了这种蟋蟀平均每分钟鸣叫 次,估计此
1 60
时的温度(结果精确到 ).
1℃
()按此关系,温度大约降为多少时,这种蟋蟀会停止鸣叫? (结
2
果精确到 )
1℃
函 数 小 史
近代数学的显著标志是把变量和函数引入数学 .最早将变量思想
引入数学的是法国数学家、哲学家笛卡尔( , — )
R.Descartes 1596 1650.
恩格斯( , — )曾说:“数学中的转折点是笛卡尔的变
F.Engels 1820 1895
数.有了变数,运动进入了数学,有了变数,辩证法进入了数学.”
最早提出 “函数”一词的是德国数学家莱布尼茨( ,
G.W.Leibniz
— ).
1646 1716
瑞士数学家伯努利( , — )把函数定义为:凡是
J.Bernoulli 1667 1748
由变量x和常量构成的式子都叫作x的函数.
瑞士数学家欧拉( , — )曾给出函数三种定义 .由
L.Euler 1707 1783
于函数不一定能用式子表示,所以欧拉曾把坐标系中的曲线叫作函数.
法国数学家柯西( , — )给出了类似于我们课
A.L.Cauchy 1789 1857
本中的函数定义,并首次使用 “自变量”一词.
我国清代数学家李善兰( — )在翻译 《代数学》一书时,把
1811 1882
“ ”译成 “函数”,并沿用至今.书中说:“凡此变数中函彼变数
function
者,则此为彼之函数.”这里 “函”是包含的意思.
德国数学家克莱因( , — )曾称 “函数是数学的灵魂”.
F.Klein 1849 1925
函数是现代数学中的基本概念,是描述客观世界中变量关系和规律的基
本数学语言和工具,在解决实际问题的过程中发挥着重要作用.
144145
. 5
2
一次函数的概念
5.2 一
次
函
数
的
概
念
数学中有各种各样的函数 下面我们从简单的函数开始研究 .
,
某人给汽车加油时的计价屏如图 所示 .加油枪流量是
5 4
加油前油箱中有油 在这个过程中有哪些常量
40L/min, 6L, 、
变量 有哪些函数关系
? ?
图5 4
加油时 金额y元与加油油量x 具有函数关系 可以用函数
, L ,
表达式表示 即
,
y x.
=7.49
油箱中的油量Q 与加油时间t 具有函数关系 可以用函
L min ,
数表达式表示 即
,
Q t .
=40+6
一般地 形如y kx bkb为常数 k 的函数叫作一次函
, = + (, , ≠0)
数 其中x是自变量 y是x的函数 .
(linearfunction), ,
特别地 当b 时 y kxk为常数 k 叫作x的正比例
, =0 , = ( , ≠0)
函数 .
(directproportionfunction)第5章 一次函数
写出下列各个变化过程中两个变量之间的函数表达式 并指出其中
,
的一次函数 正比例函数 .
、
正方形花圃的周长C 随边长x 的变化而变化 .
(1) m m
正方形花圃的面积S 2 随边长x 的变化而变化 .
(2) m m
如图 两站相距 .若火车从 站出发以
(3) 5 5,A,B 200km B
的速度匀速驶向 站 火车与 站的距离y 随行
320km/h C , A km
驶时间t 的变化而变化 .
h
图5 5
如图 搭 条 小鱼 需要 根火柴棒 每多搭 条 小
(4) 5 6, 1 “ ” 8 , 1 “
鱼 就要增加 根火柴棒 .所需火柴棒的根数S随着所搭 小
” 6 “
鱼 条数n的变化而变化 .
”
图5 6
? C x C是x的正比例函数
(1) =4 , ;
S x2 S不是x的一次函数
(2) = , ;
y t y是t的一次函数
(3) =200+320, ;
S n 即S n S是n的一次函数 .
(4) =8+6(-1), =6 +2,
在章头活动中 量筒水面的高度是量筒中玻璃球总体积的一次
,
函数吗 请再举出一些生活中正比例函数 一次函数的实际例子 .
? 、
146147
. 5
2
水池中有水 3 ,每小时排水 3 ,排水t 时,水池 一
1. 465m 15m h 次
中还有水 y
m
3.写出 y 关于t的函数表达式 . 函
数
的
长方形草坪的长为 ,宽为 .将草坪的长减少x ,
概
2. 15m 10m m
念
宽保持不变 .
()写出长方形草坪的面积
y 2
关于x 的函数表达式,并
1 m m
写出自变量x的取值范围 .
()y 是x的一次函数吗? 如果是,写出k,b的值 .
2
求一次函数表达式
一盘蚊香长 点燃后 每小时
105cm, ,
缩短 .
10cm
写出蚊香点燃后的长度y 关于
(1) cm
蚊香燃烧时间t 的函数表达式
h ;
该盘蚊香可燃烧多长时间
(2) ?
蚊香点燃后 每小时缩短 t 将缩短 t 所以y关
, 10cm, h 10cm,
于t的函数表达式为
y t.
=105-10
将y 代入y t 得
=0 =105-10,
t
105-10=0,
解这个方程 得t .
, =10.5
所以该盘蚊香可燃烧 .
10.5h第5章 一次函数
在弹性限度内 弹簧长度y 是所挂物体
, cm
质量x 的一次函数.已知一根弹簧挂
g 10g
物体时的长度为 挂 物体时的长
11cm, 30g
度为 求y关于x的函数表达式 .
15cm,
? 设函数表达式为y=kx+b.
当x 时 y 得
=10 , =11,
= k+b.
11 10
当x 时 y 得
=30 , =15,
= k+b.
15 30
解方程组
k+b=
10 11,
k+b=
30 15,
k=
得 0.2,
b= .
9
所求函数表达式为y= x+ .
0.2 9
像例 这样 先设含有未知系数的函数表达式 再根据条件求
2 , ,
出这些未知系数的值 从而确定函数表达式的方法叫作待定系
,
数法 .
y
是x的一次函数,当x 时,y ;当x 时,
1. =-2 =-1 =-3
y
.求
y
关于x的函数表达式.
=3
某拖拉机的油箱加满油开始工作后,油箱中的剩余油量Q
2. L
与工作时间t 之间为一次函数关系 .已知工作 ,
h 2h 6h
时,油箱剩余油量分别为 , .
30L 10L
()求Q关于t的函数表达式;
1
()求该拖拉机的油箱容量;
2
()一箱油可供该拖拉机工作多长时间?
3
148149
. 5
2 已知三角形的一边长为 ,写出三角形的面积
y
关于这条边上的
1. 12
一
高x的函数表达式,并判断是否为一次函数 . 次
函
某种存款的月利率是 ,存入 元本金后,写出本息 数
2. 0.22% 10000 的
和
y
元关于所存月数x的函数表达式,并判断是否为一次函 概
念
数 .(利息 本金 月利率 月数)
= × ×
向一个底部长 、宽 的长方体空游泳池注水,水位每小
3. 25m 11m
时上升 .
0.32m
()写出游泳池水深d 关于注水时间
1 m
x 的函数表达式 .
h
()如果x 共注水
y 3
,求
y
关于x
2 h m
的函数表达式 .
()如果水深 时游泳池即可开放 (第3题)
3 1.6m
使用,那么需往游泳池注水几小时?
注水多少立方米?
.已知一次函数 y=ax- ,当x= 时, y= .求这个函数表
4 3 1 7
达式 .
某种树苗种植 年内每年增长的高度大致相同 .林业人员种
5. 10
一棵该品种树苗, 年后的高度为 , 年后的高度为
3 2.1m 5
.求:
3.1m
() 年内该树苗的高度h 关于种植时间n年的函数表达式;
1 10 m
()该树苗刚种植时的高度 .
2
如图,在 ABC中,AB AC , BAC ,动点D从点
6. △ = =2 ∠ =120°
B开始在边BC上向点C运动 .写出 ABD的面积
y
关于点D
△
的运动路程x的函数表达式,并写出自变量x的取值范围 .
(第6题)第5章 一次函数
一次函数的图象与性质
5.3
函数图象可以直观地反映函数的变化规律 下面我们研究一次
,
函数的图象与性质 .
正比例函数的图象与性质
我们先研究正比例函数y x的图象 .
=
完成下列操作并回答问题
:
根据函数表达式
y
x填写下表
(1) = :
x
… -2 -1 0 1 2 …
y
… …
以上表中各对x
y
的值为点的坐标 其中x的值作为横坐标
y
(2) , , ,
的值作为纵坐标 在平面直角坐标系中描出各点 图
, ( 5 7);
图5 7
观察所描点的位置特征 猜想这些点的排列规律
(3) , ;
再多取一些x的值作为横坐标 对应的
y
的值作为纵坐标 描出
(4) , ,
对应的点 这些点也满足上面的规律吗
, ?
150151
. 5
3 在描出更多的点后 图 顺次连接这些点 可以发现函数
( 5 8), ,
一
y x的图象是一条直线 这条直线经过原点 图 . 次
= , ( 5 9)
函
数
的
图
象
与
性
质
图5 8 图5 9
点A B 是否在函数y x的图象上 为
(-5.5,-5.5), (3,4) = ?
什么
?
一般情况下 画一个函数的图象需要经过列表 描点 连线
, 、 、
三个步骤 .
在平面直角坐标系中 画正比例函数y=- x的图象 .
, 2
? 列表
:
x
… -2 -1 0 1 2 …
y
… 4 2 0 -2 -4 …
描点 以表中各对x y的值为点的
: ,
坐标 在平面直角坐标系中描
,
出对应的点 .
连线 顺次连接描出的各点 得到函
: ,
数的图象 图 . 图5 10
( 5 10)第5章 一次函数
通过观察可以发现 函数y x的图象也是一条经过原点的
, =-2
直线 .
一般地 正比例函数y kxk为常数 k 的图象是一条经
, = ( , ≠0)
过原点的直线 .
由于两点可以确定一条直线 所以 在画正比例函数的图象时
, , ,
只需描出图象上除原点以外的另一个点 就可以画出函数的图象.
,
在同一平面直角坐标系中,画出下列正比例函数的图象 .
()y x; ()y x; ()y 1x.
1 =2 2 =- 3 =-
2
观察图 中正比例函数y= xy=xy=-xy=-1x
5 11 2 , , ,
2
的图象 你有什么发现
, ?
图5 11
152153
. 5
3 正比例函数y=kxk为常数k 具有以下图象特征和性质
( ,≠0) :
一
函数表达式 y kxk y kxk 次
= (>0) = (<0) 函
数
的
图
函数图象 象
与
性
质
图象经过的象限 一 三 二 四
、 、
函数变化趋势 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小
正比例函数y 3x y 3x
= , =-
2 2
的图象如图 所示 判
5 12 ,
断直线l l 分别是哪个函
1, 2
数的图象 并根据图象说明
,
函数y 3xy 3x的变化
= , =-
2 2
趋势 .
图5 12
? 直线l 是函数y 3x的图象
1 = ,
2
函数值y随自变量x的增大而增大
;
直线l是函数y 3x的图象 函数值y随自变量x的增大而减小.
2 =- ,
2
观察函数y=3xy=-3x的图象 它们有怎样的位置关系
, , ?
2 2
你能说说其中的道理吗
?
在同一平面直角坐标系中,画出下列正比例函数的图象并
回答问题:
y=-1x,y=- x,y=1x,y= x.
3 3
2 2第5章 一次函数
()哪些函数的函数值
y
随自变量x的增大而增大?
1
()当x的取值满足怎样的条件时,函数
y
x对应的函数
2 =-3
值大于函数
y
x对应的函数值?
=3
一次函数的图象与性质
观察一次函数y= x+ 与正比例函数y= x的表达式
2 3 2 ,
猜想它们的图象之间具有怎样的位置关系 .
选取自变量x的几个值 分别计算函数y= x和y= x+ 的
, 2 2 3
函数值 .
x
… -2 -1 0 1 2 …
y x
=2 … -4 -2 0 2 4 …
y x
=2 +3 … -1 1 3 5 7 …
以表格中各对x y的值为点的坐
,
标 在平面直角坐标系中描出相应的
,
点 图 .
( 5 13)
图5 13
154155
. 5
3 顺次连接描出的各点 图 .
( 5 14)
一
次
函
数
的
图
象
与
性
质
图5 14
一般地 一次函数y=kx+b的图象可以由正比例函数y=kx的
,
图象沿y轴向上 b 或向下 b 平移 b 个单位长度得到.
(>0) (<0) | |
所以 我们有下面的结论
, :
一次函数y kx bkb为常数 k 的图象是一条直线
= + (, , ≠0) .
画一次函数的图象只要确定图象上的两个点即可 .
在平 面 直 角 坐 标 系 中 画 出 一 次 函 数
,
y=- x+ 的图象 .图象经过哪些象限
3 3 ?
函数图象与坐标轴的交点的横坐标或纵坐标为
,画图象时可以先找这些交点.
0
? 当x 时 y 当y 时 x .过
=0 , =3; =0 , =1
点 画一条直线 这条直线就
(0,3),(1,0) ,
是一次函数y=-x+ 的图象 图 .
3 3 ( 5 15)
图象经过第一 二 四象限 . 图5 15
、 、第5章 一次函数
在同一平面直角坐标系中画出下列一次函数的图象,并分
1.
别指出图象经过哪些象限 .
()y x; ()y x ; ()y x .
1 =0.5 2 =0.5 -2 3 =0.5 +2
(第1题)
分别判断点A(, ),B( , ),C(
1
,
9
)是否在第 题
2. 2 -1 -4 2 1
2 4
中所画的函数图象上,并说明理由 .
对于一次函数y= x+ 函数值y随自变量x的增大如
1. 2 3,
何变化
?
对于一次函数y=- x+ 函数值y随自变量x的增大
2. 2 3,
如何变化
?
图5 16 图5 17
156157
. 5
3
一
一次函数y=kx+b中b的符号和其图象的特征有什么关系 次
?
函
数
的
图
对于一次函数y kx bk 当b 时 已知正比例函数 象
= + (≠0), =0 , 与
性
y kxk 的图象特征和性质 当b 时 一次函数的图象特征 质
= (≠0) ; ≠0 ,
和性质如下
:
函数表达式 y kx bk y kx bk
= + (>0) = + (<0)
b b b b
>0 <0 >0 <0
函数图象
图象经过的象限 一 二 三 一 三 四 一 二 四 二 三 四
、 、 、 、 、 、 、 、
函数变化趋势 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小
对于一次函数y kx bk b为常数 k k的符号决定了
= + (, , ≠0),
函数的变化趋势 k和b的符号决定了其图象经过的象限 .
,
已知点Pa b Q c 在一次函数y= x+ 的图象上 且
(, ), (1, ) 4 3 ,
a .比较b与c的大小 并说明理由 .
<1 ,
? b c.理由如下
< :
根据一次函数y x 的变化趋势 函数值y随自变量x的增大
=4 +3 ,
而增大 所以当自变量a 时 对应的函数值b c.
, <1 , <第5章 一次函数
利用动态几何软件探索函数y=kx+b的图象随kb取值不
,
同的变化规律 .
利用动态几何软件画出 y=kx+b 的图象 将 k b
(1) “ ” , “”“”
设置为参数 .
如图 保持b的值不变 增大k的值 函数图象如
(2) 5 18, , ,
何变化 减小k的值呢
? ?
如图 保持k的值不变 改变b的值 函数图象如
(3) 5 19, , ,
何变化
?
图5 18 图5 19
下列一次函数中,函数值随着自变量的增大而增大的有
1.
,随着自变量的增大而减小的有 ;函数图象与
y
轴的交点在
y
轴正半轴上的有 ,在
y
轴负半轴上
的有 ;函数图象一定经过第二、三象限的有 .
(填序号)
y=- x+ ; y= .x- ;
① 1.6 4 ② 05 5
y=-3x- ; y= x- .
③ 3 ④ 5 7
2
画出一次函数 y= x- 的图象,并写出当 y 时自变量
2. 2 4 >0
x的取值范围 .
已知A(m,n),B(,b)是一次函数 y=-x+ 图象上的两
3. 1 2 3
点,且m .比较n与b的大小,并说明理由 .
>1
158159
. 5
3 .在同一平面直角坐标系中,画出正比例函数 y= x和 y=- x
1 4 4
一
的图象 . 次
函
正比例函数 y kx的图象如图所示,写出相应的函数表达式 . 数
2. = 的
图
象
与
性
质
(第2题)
在平面直角坐标系中画出正比例函数
y
3x的图象,并说明
3. =-
4
函数的变化趋势 .
在同一平面直角坐标系中,分别画出下列函数的图象,并说明函
4.
数的变化趋势 .
() y=x; () y=- x;
1 2 0.75
() y=-x+ ; () y=3x- .
3 3 4 2
2
已知一次函数的图象经过点( , ),(, ),求这个一次函数
5. -3 0 2 1
的表达式 .
将正比例函数
y
3x的图象分别向上平移 个单位长度、向下
6. =- 2
2
平移 个单位长度,画出平移后的图象,并写出相应的函数表达式.
3
已知一次函数 y=kx+b的图象过点P(, ),并且是由一次函
7. 2 3
数 y=1x- 的图象平移得到的 .
3
2
()求该一次函数的表达式,并在同一平面直角坐标系中画出这
1
两个函数的图象;
()根据一次函数 y=1x- 的图象,写出当 y 时x的取值
2 3 >0
2
范围 .第5章 一次函数
分别根据下列一次函数 y=kx+b的图象,判断k,b的符号 .
8.
(1) (2) (3) (4)
(第8题)
正比例函数 y=kx,y=kx的图象如图所示 .
9. 1 2
()比较k,k 的大小;
1 1 2
()当x 时,比较两个函数对应的函数值的大小 .
2 >0
(第9题)
已知M(a,b),N(c,d)是一次函数 y=-x+ 的图象上的两
10. 2
点,且a c.比较b与d的大小,并说明理由 .
<
160161
. 5
4
用一次函数解决问题
5.4 用
一
次
函
数
解
为了方便运输和销售 生产企业常把相同 决
, 问
题
的纸杯叠放成一摞进行包装 .当一摞纸杯的个
数分别是 时 每摞纸杯的
5,10,15,20,25 ,
总高度分别是多少
?
如果一个纸杯的高度是 每叠放 个纸杯 纸杯的总高
9.5cm, 1 ,
度增加 那么当纸杯的个数确定时 纸杯的总高度随之确
0.5cm, ,
定 纸杯的总高度y 是纸杯个数x的函数 函数表达式为
, cm ,
y= + x- 其中自变量x取正整数.
9.5 0.5( 1),
只要把函数表达式中x的取值分别用 代入
5,10,15,20,25 ,
就可以得到各摞纸杯的总高度 分别是
, 11.5cm,14cm,16.5cm,
.
19cm,21.5cm
建立一次函数的模型 可以帮助我们解决一类实际问题 .
,第5章 一次函数
某工厂生产一种产品 已知该工厂正常运转的固定成本为 元 天
, 12000 / ,
该种产品的原料及加工成本为 元 件 每天生产的产品以
900 / ,
元 件全部售出 .
1200 /
说明每天的利润y元是生产数量x件的函数 并写出函数表
(1) ,
达式
;
如果某天生产了 件产品 那么这天的利润是多少元
(2) 50 , ?
? 根据题意 利润y元随生产产品的数量x件的变化而变化 当
(1) , ,
产品数量确定时 利润随之确定 y是x的函数 其函数表达
, , ,
式为
y x x .
=1200 -(900 +12000)
即
y x .
=300 -12000
当x 时
(2) =50 ,
y 元 .
=300×50-12000=3000( )
答 这天的利润是 元 .
: 3000
在例 中 要使得该工厂某天的利润超过 元 这天至少
1 , 9000 ,
需要生产多少件产品
?
通过进水管给蓄水池匀速注水,注水时间为 时,蓄水池
1. 1h
中水量达到 ;注水时间为 时,蓄水池中水量达
3
400m 2.5h
到 3.
850m
()说明蓄水池的水量Q
3
是注水时间t 的函数,并写出
1 m h
函数表达式 .
()注水前,蓄水池里有水吗? 如果有,有多少立方米?
2
()当注水时间为多少时,蓄水池中水量可达到 ?
3
3 1000m
162163
. 5
4
书店管理员将一批每本厚度为 的书整理堆放在高度为 用
2. 2.4cm 一
的柜子上 .考虑安全因素,最上面一本书的上表面距 次
函
50cm
数
地面的高度不能高于 . 解
1.4m 决
问
()说明最上面那本书上表面距
题
1
地面的高度 是书的数量
y
cm
x本的函数,并写出函数表
达式及自变量的取值范围;
()每摞最多可以摆放多少本书? (第2题)
2
某农业基地要将一批农产品运往外地 有汽车 火车两种运
, 、
输方式可供选择 .汽车运输的费用和火车运输的费用都是运输
里程的一次函数 用y元表示运输的费用 x 表示运输的里
, , km
程 这两种运输方式的图象如图 所示.你认为哪种运输方
, 5 20
式花费较少
?
图5 20
观察图象可以发现 当x 时 两个函数图象相交于一点
, =80 , ,
此时两种运输方式费用相等 都是 元
, 570 ;
当 x 时 表示汽车运输方式的函数图象位于表示火车
0≤ <80 ,
运输方式的函数图象的下方 所以当里程小于 时 汽车运输
, 80km ,
花费较少
;第5章 一次函数
当x 时 表示汽车运输方式的函数图象位于表示火车运输
>80 ,
方式的函数图象的上方 所以当里程大于 时 火车运输方式
, 80km ,
花费较少 .
图 描述了某列车在甲
5 21 、
乙两站之间的运行状况 列车
,
运行时间为t 运行速度
min,
为v .
km/min
在 这个时间段
(1) 3~10min
列车运行的路程是多少 图5 21
?
列车发车 时的速度是多少
(2) 12min ?
根据列车运行状况的图象,当 t 及 t 时,速度v是时
0≤ ≤3 10≤ ≤14
间t的一次函数;当 t 时,速度v是常数 .
3≤ ≤10
? 由图 可知
5 21, :
当 t 时 v .在 这个时间段列车
(1) 3≤ ≤10 , =5km/min 3~10min
运行的路程为 .
5×(10-3)=35(km)
当 t 时 设函数表达式为v kt b.函数图象经过
(2) 10≤ ≤14 , = +
点 和 .将这两个点坐标分别代入函数表达
(10,5) (14,0)
式 得
,
k b
10 + =5,
k b .
14 + =0
k
解这个方程组 得 =-1.25,
,
b .
=17.5
所以当 t 时 v关于t的函数表达式为
10≤ ≤14 ,
v t .
=-1.25+17.5
当t 时 v .
=12 , =-1.25×12+17.5=2.5(km/min)
所以列车发车 时的速度是 .
12min 2.5km/min
164165
. 5
4 如图 在长方形电子广告屏ABCD中
5 22, ,
用
AB= AD= .动态效果设计如下 一
8m, 6m :
次
动点P从点A出发沿长方形的边AB BC 函
,
数
以 的速度向点C运动 逐渐展开主体 解
2m/s , 决
广告画面 . 问
题
写出屏幕展开面积S
2
关于点P的运动
(1) m 图5 22
时间t 的函数表达式 并画出函数图象
s , ;
当屏幕展开面积达到电子屏面积的 时开始播放广告语 播放
1
(2) ,
3
时间持续 求播放结束时电子屏幕未展开的面积 .
3s,
? 当点P在边AB上运动时
(1) ,
S=1AD×AP=1× ×t= t.
6 2 6
2 2
此时 t的取值范围是 t .
, 0≤ ≤4
当点P在边BC上运动时
,
S=1BP+AD ×AB=1 t- + ×
( ) (2 8 6) 8
2 2
= t- = t- .
4(2 2) 8 8
此时 t的取值范围是 t .
, 4≤ ≤7
所以函数表达式为 图5 23
当 t 时 S t 当 t 时 S t .
0≤ ≤4 , =6; 4≤ ≤7 , =8-8
函数图象如图 所示 .
5 23
当S
1 2
时 开始播放广告语 此时点P在边
(2) = ×8×6=16(m ) , ,
3
AB上运动 则 t 解得t 8.
, 6=16, =
3
当t
8 17
时 广告语播放结束 此时点P在边BC上运动
= +3= (s) , , ,
3 3
则S= ×17- =112 2 .
8 8 (m )
3 3
电子屏幕未展开的面积为 × -112=32 2 .
6 8 (m )
3 3
所以电子屏幕未展开的面积为 32 2.
m
3第5章 一次函数
设计两个不同的情境,使情境中的两个变量x,y 的函数关
1.
系可以用下图表示 .
(第1题)
某市居民用电实行阶梯电价制度,收费标准为:每户居民
2.
每月用电量不超过 · ,按 元/( · )收费;
240kW h 0.5 kW h
用电量超过 · 的部分,按 元/( · )收费 .
240kW h 0.6 kW h
()画出每月应缴纳的电费 y 元关于用电量x · 的函
1 kW h
数图象;
()小明家 月、 月分别用电 · 和 · ,应
2 6 7 200kW h 260kW h
缴纳电费各多少元?
.已知光在空气中传播的速度约是 8 / .
1 3×10 ms
()说明光的传播距离
y
是传播时间t 的函数,并写出函数表
1 m s
达式;
()计算在 高空形成的闪电垂直传播到地面所需的时间.
2 3000m
小明用软件制作演示文稿,设置每张幻灯片停留 ,切换到下
2. 5s
一张需要 .
1s
()说明总播放时间t 是幻灯片数量x张的函数,并写出函数
1 s
表达式;
()如果总播放时间不能超过 ,那么最多可放置多少张幻
2 3min
灯片?
166167
. 5
4 如图,公路上有 , , 三个汽车站,一辆汽车 : 从离
3. A B C 800 A
用
站 的 地出发,向 站匀速行驶, 后离 站
一
10km P C 15min A 次
. 函
30km 数
解
决
问
题
(第3题)
()设出发x 后,汽车离 站
y
,说明
y
是x的函数,并写
1 h A km
出函数表达式 .
()当汽车行驶到离 站 的 站时,接到通知要在 :
2 A 250km B 1200
前赶到离 站 的 站 .汽车按原速度行驶,能否在
B 60km C
规定时间前到达? 如果能,那么汽车何时到达 站?
C
生物学家在给一头刚出生的鲨鱼安装电子观测器时测得其体长为
4.
, 年后再次测得其体长为 .假如该鲨鱼每年体长的
45cm 4 105cm
增加量相同 .
()说明该鲨鱼的体长
y
是时间x年的函数,并写出函数表
1 cm
达式;
()预测 年后该鲨鱼的体长 .
2 11
(第4题)
甲、乙两家公司出租汽车收取的租车费都是用车里程的函数,设
5.
租车费为 y 元,用车里程为x ,它们的图象如图所示 .
km
()用车里程为多少时,甲、乙两公司的租车费相等?
1
()用车里程为多少时,甲公司的租车费比乙公司少?
2第5章 一次函数
()用车里程为多少时,乙公司的租车费比甲公司少?
3
(第5题) (第6题)
如图,正方形ABCD的顶点A,B的坐标分别为A(- ,),
6. 11
B(,),动点P(x,y)从点(, )出发,沿正方形ABCD的边
11 0 1
按顺时针方向以每秒 个单位长度的速度运动t .
1 s
()当 t 时,写出点P的横坐标x关于t的函数表达式;
1 0≤ ≤1
()当 t 时,写出点P的横坐标x关于t的函数表达式 .
2 3≤ ≤5
168169
. 5
5
5.5 一次函数与二元一次方程 一
次
函
数
与
二
元
一次函数y= x- 可以写成二元一次方程 x-y- = 的形 一
次
2 3 2 3 0
方
式 反过来 二元一次方程 x-y- = 也可以写成一次函数y= 程
; , 2 3 0
x- 的形式.
2 3
观察图 中一次函数y= x- 的图象 图象上点的
5 24 2 3 ,
坐标与二元一次方程 x-y- = 的解之间有什么关系
2 3 0 ?
图5 24
事实上 一次函数y= x- 的图象上的点的坐标都是二元一
, 2 3
次方程 x-y- = 的解 反之 以二元一次方程 x-y- =
2 3 0 ; , 2 3 0
的解为坐标的点都在一次函数y= x- 的图象上 .
2 3
x-y- =
二元一次方程组 2 3 0,的解与同一个直角坐标系中一
x-y- =
2 3 0
次函数y= x- y=1x-3 的图象交点坐标之间有怎样的关系
2 3, ?
2 2
第5章 一次函数
一般地 如果两个一次函数的图象有一个交点 那么交点的坐
, ,
标就是相应的二元一次方程组的解 .
已知一次函数y= x- 的图象与正比例函数y=kx k为常数
3 1 ( ,
k 的图象交点的横坐标是 .
≠0) 1
求k的值
(1) ;
x-y=
写出关于x y的方程组 3 1,的解 .
(2) ,
kx-y=
0
? 把x 代入y x 得
(1) =1 =3 -1,
y
=2,
把x y 代入y kx 得
=1, =2, = ,
k .
=2
由 知 一次函数y x 的图象与正比例函数y kx的图
(2) (1) , =3 -1 =
象交点坐标为
(1,2),
x y x
所以 关于x y的方程组 3 - =1,的解为 =1,
, ,
kx y y .
- =0 =2
两地相距 甲列车从 地出发 以 的
A,B 200km, A , 240km/h
平均速度驶向 地 乙列车在甲列车出发 后 从 地出发以
B ; 15min , B
的平均速度驶向 地 .如图 所示是两列车与 地
320km/h A 5 25 A
的距离s 关于时间t 的函数图象 .请
km h
根据图象回答问题
:
甲列车出发多久后与乙列车相
(1)
遇 此时距 地多远
? A ?
甲列车出发多长时间内 其到
(2) ,
地的距离比乙列车到 地的距离
A A 图5 25
更近
?
170171
. 5
5
把下列二元一次方程写成一次函数 y=kx+b的形式: 一
1. 次
()x+y= ; ()x+ y= . 函
1 3 7 2 3 4 13 数
与
如图,l 是函数 y=1x+ 的图象,l 是函数 y=nx+ 的 二
2. 1 1 2 5 元
3 一
图象 . 次
方
程
()求n的值;
1
()当l 对应函数的值大于l 对应函数的值时,写出自变
2 2 1
量x的取值范围 .
(第2题)
已知一次函数 y=kx+ 的图象与 y=- .x+b的图象相交于
1. 1 05
点(, ).求k,b的值 .
2 5
ax+y= , x ,
已知关于x,y 的方程组 3 的解是 =-2 求a,k
2. kx+ y= y ,
2 2 =-1
的值,并在同一平面直角坐标系中画出一次函数 y=-ax+ ,
3
k
y=- x+ 的图象 .
1
2
在七年级下册 “二元一次方程组”一章的复习题中,我们曾研究
3.
过如下问题 .
探索下列二元一次方程组解的情况:
x y , x y , x y ,
() - =1 () - =1 () - =1
1 x y ; 2 x y ; 3 x y .
2 - =3 2 -2 =2 2 -2 =4第5章 一次函数
试利用函数图象,探索上述方程组解的情况,并对解的情况做出
解释 .
元代朱世杰( — )所著的 《算学启蒙》中有这样一道题,
4. 1249 1314
大意:千里马每天跑 里(里 ),普通马每天跑 里 .
240 1 =500m 150
普通马先出发 天,问千里马出发后几天可以追上普通马? 如
12
图是两匹马奔跑路程s里关于时间t天的函数图象,用一次函数
解决这个问题 .
(第4题)
172小结与思考
.本章知识结构
1 :
本章中 通过对简单实际问题中常量 变量及其之间数量关系
, 、
的分析 引入函数的概念和三种表示方法 函数表达式 表格和图
, ( 、
象 然后从具体实例引入正比例函数 一次函数的概念 探讨正
); 、 ,
比例函数 一次函数的图象和性质 并用一次函数解决简单的实际
、 ,
问题 感悟一次函数与二元一次方程的联系 体会函数研究的一般
, ,
方法 .
研究函数时 常按照列表 描点 连线的步骤画出函数的图
2. , 、 、
象 并根据图象研究函数的性质 借助图象表示函数关系 在这个
, , ,
过程中 进一步感受数形结合的思想方法 发展几何直观 提升代
, , ,
数推理能力 .
解决实际问题时 常利用变化关系 把一个变量表示为另一个
, ,
变量的函数 .若已知函数的类型 可以用待定系数法求函数的表达
,
式 .利用函数解决实际问题可以帮助我们逐步建立模型观念 提升
,
应用意识 .
一次函数是一种较为基本的函数 许多变化过程都可用一次
3. ,
函数模型来刻画 .你能想到哪些与一次函数有关的问题情境 请举
?
一些例子 .
173复习题
复习巩固
下列情境中两个变量之间的关系是否为函数关系? 如果是,
1.
请分别写出函数表达式 .
() , 两地相距 ,一列火车以 / 的平均速
1 A B 200km 300kmh
度从 地出发驶向 地,火车行驶时间为t ,行驶路
A B h
程为 y ;
km
()如图,在边长为 的正方形铁皮上剪去一个半径为
2 16cm
r 的圆,剩下铁皮的面积为S 2 ;
cm cm
[第1(2)题]
()一根弹簧长 ,最多可挂质量为 的物体,挂上
3 20cm 20kg
物体后弹簧伸长的长度与所挂物体的质量成正比,挂
上 物体后,弹簧长 ,挂上x 物体后,
5kg 22.5cm kg
弹簧长 y .
cm
已知点P( ,a)在一次函数 y x 的图象上,求a
2. -2 =3 +1
的值 .
已知正比例函数 y kx的图象过点P(, ).
3. = 3 -3
()求这个正比例函数表达式;
1
()若点A(a, )在这个正比例函数的图象上,求a的值 .
2 2
画出一次函数 y x 的图象,求:
4. =3 +12
()当x=- 和x= 时,y 的值;
1 2 0.5
()当 y= 和 y=- 时,x的值 .
2 3 3
174某水池的容积为 ,水池中已有水 ,现按 /
3 3 3
5. 90m 10m 8m h
的流量向水池注水 .
()说明水池中水的体积V
3
是注水时间t 的函数,写出
1 m h
函数表达式及自变量的取值范围;
()画出()中函数的图象 .
2 1
声音在空气中的传播速度(简称声速)y / 与气温x 之间
6. ms ℃
的函数表达式近似为 y=3x+ 求:
331.
5
()声速为 / 时的气温;
1 340ms
()声速超过 / 时的气温范围 .
2 340ms
已知一次函数 y= x+b的图象经过一次函数 y=-x+ ,
7. 2 2 1
y=x+ 图象的交点,求b的值 .
4
灵活运用
已知关于x的一次函数 y=mx+ m- ,解决下列问题:
8. 4 2
()如果这个函数的图象经过原点,求m的值.
1
()如果m
1
,则这个函数的图象经过哪些象限? 如果m
2 = =
3
呢?
1
-
3
某海港某日 : 到 : 的水深 y 随时间t 的变化如图
9. 000 2400 m h
所示:
(第9题)
175()试根据图中提供的信息填表:
1
t
/h
y
/m
()在哪些时段水深持续上涨? 哪些时段水深持续下降? 最
2
深、最浅的水位深度分别是多少米?
()一艘货轮计划 : 进港卸货,已知该货轮进港时的
3 1630
水深必须在 以上,你认为港口能满足该货轮进港
8m
的时间要求吗?
根据所给函数图象,解答下列问题:
10.
()写出m的值;
1
()求k,b的值;
2 x-y=- ,
()解关于x,y 的方程组: 4
3 kx-y=b.
(第10题)
你能构造一个关于x,y 的一次函数,使得对于任意一个有
11.
理数x,函数值
y
都是无理数吗?
探索研究
()一次函数 y=mx+n与 y=mx-n(m,n为常数,
12. 1
m )的图象有怎样的位置关系? 举例说明 .
≠0
()一次函数 y=mx+n与 y=-mx+n(m,n为常数,
2
m )的图象有怎样的位置关系? 举例说明 .
≠0
176, 两家旅行社分别推出家庭旅游优惠活动,两家旅行
13.A B
社的票价均为 元/人,但优惠办法不同 . 旅行社的优
90 A
惠办法:全家有一人购全票,其余人半价优惠; 旅行社
B
的优惠办法:每人均按七折票价优惠 .
()分别说明 , 两家旅行社收费是人数的函数,并写
1 A B
出函数表达式 .
()你选择哪家旅行社? 为什么?
2
小明骑车从学校去市图书馆借书,然后按原速度原路返回
14.
学校 .小丽从学校和图书馆之间的文具店出发,沿与小明
相同的路线,步行前往图书馆.两人距学校的路程
y
关
km
于时间t 的函数图象如图所示 .
min
()小丽的速度是多少?
1
()小明、小丽途中相遇了几次? 相遇时,他们距离学校
2
多远?
()根据图象,你还能提出什么问题?
3
(第14题)
177综合与实践
杆秤中的数学
一、问题情境
杆秤 是中国人发明的人类
,
最早的衡器 它不仅凝聚了古代
,
劳动人民的智慧 更是公平 正
, 、
义 诚信的象征 .秤杆是衡
、 ,
有规范事物保持公平之意 秤砣
;
是权 秤砣虽小 可压千斤
, “ , ”,
权衡 一词便源于此.
“ ”
你知道如何使用 制作杆
、
秤吗
?
二、学习任务
分析杆秤称物的数学原理 .
1.
杆秤称物符合杠杆原理 如图 要使杠杆平衡 作用在杠
(1) : 1, ,
杆上的两个力矩 力与力臂的乘积 大小必须相等 即动力 动力
( ) , ×
臂 阻力 阻力臂 .请用数学语言表示杠杆原理 .
= ×
如图 使用杆秤称物时 哪些量是不变的 哪些量是变化
(2) 2, , ?
的 哪些变量之间具有函数关系 如何表达其中的函数关系
? ? ?
图1 图2
178.利用 的秤砣制作杆秤 .
2 250g
用均匀的材料作为秤杆 确定秤盘和提纽的位置 系好秤
(1) , ,
砣 如何确定 刻度的位置
, 0 ?
利用 的秤砣 根据秤杆长度 确定最大称重值 根据
(2) 250g , , ;
任务 中的变量关系 标出质量的刻度 .
1 ,
.了解实际生活中杆秤的制作方法 辨别其与任务 中制作方
3 , 2
法的优缺点 .
三、交流展示
当杆秤的秤杆确定时 杆秤的最大称重值与秤砣的质量有什
1. ,
么关系
?
在保持秤杆 秤盘和秤砣不变的基础上 如何使称重范围
2. 、 ,
更大
?
四、应用拓展
杆秤历史悠久 请你查阅资料 了解我国杆秤的发展历史
1. , , 、
各种具有地方特色的杆秤制作工艺 以及反映我国劳动人民智慧的
,
故事 并与同学交流 .
,
请你查阅资料 了解下面的传统度量衡器的用途 以及中国
2. , ,
度量衡器的古今发展 .
179后 记
本套教科书依据教育部制定的《义务教育数学课程标准
（2022年版）》编写 .
本套教科书全面落实立德树人根本任务，以学生发展为本，
以核心素养为导向，遵循初中学生的认知规律，着力优化课程结
构、内容组织和栏目设计，创新数学活动设计，提高教学效率，
并推进课程改革 .
本套教科书的编写充分吸收了我国基础教育课程改革的优秀
成果，继承了 2003 年版、2012 年版《义务教育教科书 数学》
（杨裕前、董林伟主编）的经验，借鉴了国内外数学教育与教科
书设计的研究案例，充分调研了教科书的使用情况，《义务教育
数学课程标准（2022年版）》制订组专家对编写给予了悉心的指
导，教材审查组专家提出了中肯的建议 . 本套教科书凝聚了众多
学科专家、课程专家、教研人员、一线教师的智慧 .
鲁小莉、孙学东、严媛、孙永健也参加了本册教科书的编写 .
章建跃、喻平、傅海伦、马敏、王云峰、王红兵、王丽、冯伟、朱
晨菲、庄志红、刘春阳、刘密贵、吴雪英、陈志廉、周红娟、周雪
兵、周斌、赵维坤等对本册进行了细致的审读；还有一大批教研
员、教师、学生参与了系统的试教试用 . 在此，我们对所有为本套
教科书提供帮助和支持的专家、教师及社会各界朋友一并表示衷
心的感谢！
教材建设是一项长期的系统工程，我们热切期望广大教师、
学生及家长为本套教科书的不断完善提出意见和建议，联系电话
为 025 86633140，联系邮箱为 skjc2022@163.com.义 务 教 育 教 科 书
义
务
教
YIWU JIAOYU JIAOKESHU 育
教
科
数学
书
八 年 级 上 册
数学
SHUXUE 数
学
八年级
上册
八
年
级
上
册
