数学八上浙教版（2025秋）_初中数学_浙教版

亲爱的同学：
欢迎你进入新的数学学习之旅，开始八年级上册的学习。
在本册中，我们首先学习三角形和特殊三角形（如等腰三角形和直角
三角形）。通过这两章的学习，不仅能使我们了解相关图形的判定、性质
以及在现实生活中的应用，还为进一步学习其他几何图形打下基础。在
现实世界中，不等关系远比相等关系多且复杂，一元一次不等式能帮助我
们更好地认识和解决有关问题。图形与坐标告诉我们如何确定物体在平
面上的位置，这是一种新的数形结合的数学方法，为用图象研究函数的性
质作准备。函数是探索具体问题中的数量关系和变化规律的最重要的数
学工具，用一次函数刻画实际问题有着非常广泛的应用。
本册教科书保持了前两册的体例、结构和理念。
“合作学习”，让你与
同伴一起探索新的数学知识和数学方法；
“探究活动”，使你亲身经历知识
的发生过程，体验“发现”的快乐；
“阅读材料”帮助你了解许多有趣的数学
史实，开阔你的数学视野；而“设计题”和“综合实践活动”，则为你提高分
析和解决问题的能力，并在数学中进行探索、实践和创新提供了机会。
数学是自然科学的重要基础，是学习物理、化学、地理、生物、经济等
学科的必备知识；数学也能培养我们的思考能力，能使人思维缜密、思路
清晰，增强逻辑性和精确性；数学更是认识世界、把握事物本质的学科，具
有简洁之美、朴素之真，具有无穷的魅力。
数学是抽象的，学好它需要有足够的勤奋和毅力；但数学并不神秘，
只要有浓厚的兴趣和正确的学习方法，每个人都可以学好数学。
这套教科书按照教育部制定的《义务教育数学课程标准（2022年版）》
编写，七至九年级共六册。我们殷切希望它能成为你学习数学路上的好
朋友，帮助你掌握数学知识，提高数学能力，欣赏数学魅力，享受学习数学
的乐趣。祝你学习快乐，学业进步!
前言
第1章三角形的初步知识
1.1
认识三角形
……………………………………………6
1.2
定义与命题················································13
1.3
证明························································19
阅读材料
费马和他的猜想………………………………24
1.4
全等三角形················································25
1.5
三角形全等的判定·······································28
1.6
线段垂直平分线的性质··································39
1.7
角平分线的性质··········································43
小结与反思…………………………………………………46
目标与评定…………………………………………………47
2.1
图形的轴对称·············································54
2.2
等腰三角形················································59
2.3
等腰三角形的性质定理·································62
2.4
等腰三角形的判定定理·································68
2.5
逆命题和逆定理··········································71
2.6
直角三角形················································74
第2章特殊三角形
目录
3.1
认识不等式················································96
3.2
不等式的基本性质…………………………………100
3.3
一元一次不等式及其解法…………………………104
3.4
一元一次不等式组…………………………………112
阅读材料“糖水不等式”的证明····························115
小结与反思·····················································117
目标与评定·····················································118
4.1
平面直角坐标系……………………………………122
阅读材料
笛卡尔············································129
4.2
用方向和距离确定物体的位置……………………130
4.3
坐标平面内图形的轴对称和平移…………………135
综合实践活动
绘制公园平面地图························143
小结与反思·····················································145
目标与评定·····················································146
2.7
探索勾股定理·············································79
阅读材料
从勾股定理到图形面积关系的拓展…………84
2.8
直角三角形全等的判定·································86
小结与反思…………………………………………………89
目标与评定…………………………………………………90
第3章一元一次不等式
第4章图形与坐标
5.1
常量与变量…………………………………………152
5.2
认识函数……………………………………………155
5.3
一次函数的意义……………………………………166
5.4
一次函数的图象与性质……………………………173
5.5
一次函数的简单应用………………………………180
综合实践活动
选择实惠的手机套餐······················189
小结与反思·····················································190
目标与评定·····················································191
第5章一次函数
在桥梁、铁塔和房顶构造中，你能看
到很多三角形的形象。你知道为什么要
采用三角形的结构吗？
三角形在生产生活中有着广泛的应
用，它是最简单、基本的封闭图形，是进一
步学习其他图形的基础。本章我们将在
小学学习的基础上进一步学习三角形的
概念和性质，全等三角形的有关知识，学
习证明的意义、方法及其表述，以及研究
几何图形的基本方法。
第1章
三角形的初步知识
■重庆长江大桥
数学
八年级上册
1
我们知道，由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形
叫作三角形（triangle）。三角形用符号“△”表示。如
图1-1，顶点是A，B，C 的三角形记作“△ABC ”，读作
“三角形ABC ”。线段AB，BC和CA是三角形的三条
边。在三角形的内部，由相邻两边组成的∠A，∠B，
∠C称为三角形的内角，简称三角形的角。
小学里我们已经学过，三角形的内角有以下性质：
三角形三个内角的和等于180
180°。
做一做
ZUOYIZUO
1. 说出图中所有的三角形，以及每一个三角形
的三条边和三个内角。
2. 计算下面三角形中未知角的度数。这三个
三角形的内角有什么特点？
B
C
A
图1-1
C
30°
A
B
（2）
A
B
C
37°
？
65°
（1）
25°
20°
？
B
C
A
（3）
？
60°
（第2题）
1.1
认识三角形
认识三角形
从输电塔的钢架上我们可以看到许多三角形支
架。你能举出在生活中看到的三角形形象的例子吗？
C
B
D
A
（第1题）
6
第1章
三角形的初步知识
三角形可以按内角的大小分类（图1-2）。
由两点之间线段最短，可以得到如下性质：
三角形的任意两边之和大于第三边。
如图1-3，把△ABC 的三个顶点A，B，C 的对边
BC，AC，AB 分别记为a，b，c，就有b＋c＞a，a＋b＞c，
a＋c＞b。
▶例1
判断下列各组线段中，哪些首尾顺次相接能组成三角形，哪些不
能组成三角形，并说明理由。
（1）a＝2.5 cm，b＝3 cm，c＝5 cm；
（2）e＝6.3 cm，f＝6.3 cm，g＝12.6 cm。
分析：要判断三条线段能否组成三角形，依据“三角形的任意两边之和
大于第三边”，只要把最长的一条线段与另外两条线段的和作比较。如果最
长的一条线段小于另外两条线段的和，那么这三条线段就能组成三角形；如
果最长的一条线段大于或等于另外两条线段的和，那么这三条线段就不能
组成三角形。
解：（1）因为三条线段中，最长线段c＝5 cm，
a＋b＝2.5＋3＝5.5（cm），
得a＋b＞c，所以线段a，b，c能组成三角形。
（2）因为三条线段中，最长线段g＝12.6 cm，
e＋f＝6.3＋6.3＝12.6（cm），
得e＋f＝g，所以线段e，f，g不能组成三角形。
A
C
c
b
a
B
图1-3
三角形的任意
两边之差与第三边
有什么关系？
图1-2
三个内角都是锐角的三角形是锐角
三角形（acute triangle）。
C
有一个内角是直角的三角形是直角
三角形（right triangle）。
A
C
有一个内角是钝角的三角形是钝角
三角形（obtuse triangle）。
A
B
C
三
角
形
B
B
A
7
数学
八年级上册
A
D
B
C
E
（第1题）
A
D
C
B
（第3题）
a
b
c
（第3题）
（第1题）
B
A
E
D
C
A组
B组
课内练习
KENEILIANXI
1. 说出图中的锐角三角形、直角三角形和钝角
三角形。
2. 下列长度的三条线段能组成三角形吗？请
说明理由。
（1）1 cm，2 cm，3.5 cm；
（2）4 cm，5 cm，9 cm；
（3）6 cm，8 cm，13 cm。
3. 如图，在△ABC 中，D 是AB 上一点，且AD
＝AC，连结CD。在下面各空格中填入“＞”
或“＜”，并说明理由。
（1）AB
AC＋BC；
（2）2AD
CD。
作业题
ZUOYETI
1. 如图，AC与BE相交于点D。
（1）图中有几个三角形？把它们写出来。
（2）已知∠ABE＝55°，∠EDC＝70°，求∠A
的度数。
2. 下列长度的三条线段能组成三角形吗？请说明理由。
（1）20 cm，15 cm，8 cm；
（2）7 cm，15 cm，8 cm；
（3）5 cm，15 cm，8 cm。
3. 如图所示三条线段a，b，c 能组成三角形吗？
你是用什么方法判别的？
4. 已知平面内三个点A，B，C 之间的距离满足关系式AB＋BC＝AC。
画图说明点A，B，C的位置关系。
8
第1章
三角形的初步知识
5. 四根木棒的长度分别为12 cm，8 cm，5 cm，6 cm。从中取三根，使它
们首尾顺次相接组成一个三角形。一共有多少种取法？把它们都
列出来。
2
在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边
相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形
的角平分线。如图1-4，∠BAC 的平分线交BC 于点
D，线段AD就是△ABC的一条角平分线。
连结三角形的一个顶点与该顶点的对边中点的线段，叫作三角形的中
线（median）。如图1-5，D 为BC 的中点，线段AD 就是△ABC 的BC 边上的
中线。
从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点与垂足之间
的线段叫作三角形的高线（height）。如图1-6，AD
BC 于点D，线段AD
就是△ABC的BC边上的高线。
做一做
ZUOYIZUO
1. 任意剪一个三角形，用折叠的方法（如图），作出这个三角形的三条
角平分线。你发现了什么？
（请与同伴交流）
B
A
C
D
图1-4
图1-5
图1-6
A
D
C
B
A
C
D
B
（第1题）
A
C'
B
D
C
A
B
C
一个三角形有
几条角平分线？几
条中线？几条高线？
9
数学
八年级上册
（C）
D
C
A
B
C
A
B
（第2题）
A
B
C
F
E
D
Q
P
R
（第3题）
图1-7
A
C
D E
B
2. 任意剪一个三角形，用折叠的方法（如图），找出三条边的中点，作出
三条中线。你发现了什么？
3.（1）用三角尺分别作出锐角三角形ABC，直角三角形DEF 和钝角
三角形PQR的各边上的高线。
（2）观察你所作的图形，比较三个三角形中三条高线的位置，你发
现高线的位置与三角形的类型有什么关系？
▶例2
如图1-7，在△ABC 中，AD 是△ABC 的高线，AE 是△ABC 的
角平分线。已知∠BAC＝80°，∠C＝40°，求∠DAE的大小。
解：因为AE是△ABC的角平分线，且∠BAC＝80°，
所以∠EAC＝1
2∠BAC＝40°。
因为AD是△ABC的高线，
可得∠ADC＝90°。
根据“三角形三个内角的和等于180°”，知
∠DAC＋∠ADC＋∠C＝180°，
故有∠DAC＝180°－∠ADC－∠C
＝180°－90°－40°＝50°。
所以∠DAE＝∠DAC－∠EAC＝50°－40°＝10°。
10
第1章
三角形的初步知识
探究活动
TANJIUHUODONG
A组
作业题
ZUOYETI
1. 如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分
线，则：
BD＝
＝1
2
；
∠ACE＝
＝1
2
。
课内练习
KENEILIANXI
1. 如图，已知△ABC。
（1）用刻度尺画BC边上的中线。
（2）用量角器画以C为一个端点的△ABC的角平分线。
2. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线。
（1）△ABC，△ADC 有没有共同的高线？如果
有，作出这条高线。
（2）△ABD 与△ADC 的面积相等吗？请说明
理由。
（第2题）
C
A
B
D
如图1-8，D，E，F 分别是△ABC 的三条边的中点。
设△ABC的面积为S，求△DEF的面积。
你可以这样考虑：
（1）连结AE。△AEC的面积是多少？
（2）由第（1）题，你能求出△ECF的面积吗？△ADF
和△DBE的面积呢？
D
E
A
C
F
B
图1-8
（第1题）
A
E
B
D
C
C
A
B
（第1题）
11
数学
八年级上册
（第2题）
C
B
D E
A
B
C
D
A
（第3题）
（第4题）
C
B
D
A
F
E
（第5题）
A
E
B
C
F
2. 如图，在△ABC 中，∠ACB＝90° ，∠B＝30°，CD 是AB 边上的高
线，CE 是△ABC的角平分线。求∠ECB，∠ECD的大小。
B组
C组
3. 如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线。已知AB＝7 cm，AC＝
5 cm，求△ABD与△ACD的周长的差。
4. 如图，CE 是△ABC 的角平分线，EF∥BC，交AC 于点F。已知
∠AFE＝64°，求∠FEC的度数。
5. 如图，AD 是△ABC 的中线，DE
AC，DF
AB，E，F 分别是垂足。
已知AB＝2AC，求DE与DF的长度之比。
12
第1章
三角形的初步知识
人们在进行交流、沟通时常需要应用许多名称和术语。为了不产生歧
义，对这些名称和术语的含义必须有明确的规定。例如，商店降低商品的价
格出售商品叫作打折；物体单位面积受到的压力叫作压强；在同一个平面
内，不相交的两条直线叫作平行线。一般地，能明确说明某一名称或术语的
意义的句子，叫作该名称或术语的定义（definition）。
做一做
ZUOYIZUO
说出下列数学名词的定义：
（1）无理数；（2）直角三角形；（3）角平分线；（4）平方根。
比较下列句子在表述形式上，哪些对事情作出了判断，哪些没有对事情
作出判断。
（1）对顶角相等；
（2）画一个角等于已知角；
（3）两直线平行，同位角相等；（4）a，b两条直线平行吗？
（5）鸟是动物；
（6）已知a
2＝4，求a的值；
（7）若a
2＝b
2，则a＝b；
（8）三角形三个内角的和等于180°。
一般地，判断某一件事情的句子叫作命题（statement）。上述句子（1）
（3）
（5）
（7）
（8）都对事件作出判断（不论正确与否），它们都是命题；句子（2）
（4）
（6）没有对事情作出判断，它们不是命题。
我们在数学上学习的命题一般由条件和结论两部分组成。条件是已知
事项，结论是由已知事项得到的事项。这样的命题可以写成“如果……那
“鸟是动物。”
“鸟是动物吗？”这两个句子在表述形
式上有什么区别？
1
1.2
定义与命题
定义与命题
13
数学
八年级上册
么……”的形式，其中以“如果”开始的部分是条件（condition），
“那么”后面的
部分是结论（conclusion）。如“两直线平行，同位角相等”可以改写成“如果两
条直线平行，那么同位角相等”。
▶例1
指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果……那么……”的
形式。
（1）等底等高的两个三角形面积相等；
（2）对顶角相等；
（3）同位角相等，两直线平行。
解：（1）这个命题的条件是“两个三角形有一条边和这条边上的高线对
应相等”，结论是“这两个三角形的面积相等”。可以改写成：
“如果两个三角
形有一条边和这条边上的高线对应相等，那么这两个三角形的面积相等。”
（2）这个命题的条件是“两个角是对顶角”，结论是“这两个角相等”。
可以改写成：
“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等。”
（3）这个命题的条件是“两条直线被第三条直线所截得的同位角相
等”，结论是“这两条直线平行”。可以改写成：
“如果两条直线被第三条直线
所截得的同位角相等，那么这两条直线平行。”
课内练习
KENEILIANXI
1. 给下列各题中的图形命名，并给出名称的定义。
2. 下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？
（1）正数大于一切负数吗？
（2）两点之间线段最短；
（3）
2 不是无理数；
（4）作一条直线和已知直线垂直。
3. 指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果……那么……”的形式。
（第1题）
（2）
（3）
（1）
14
第1章
三角形的初步知识
A组
（第1题）
B组
（1）绝对值相等的两个数相等；
（2）直角三角形的两个锐角互余。
4. 写出四个数学上的命题，并写成“如果……那么……”的形式。
（请与同伴交流）
作业题
ZUOYETI
1. 阅读下面这段叙述：
无人驾驶通过调动感知子系统（由摄像头、激光雷达、全球定位系
统和计算机视觉等组成）、决策子系统和执行子系统分工合作，来完成
障碍物识别、路标识别、路线规划导航以及驾驶决策等多项任务，从而
实现“无人”与“自动驾驶”的最终目标。无人驾驶技术是人工智能技术
高度发展的产物，在国防和国民经济领域具有广阔的应用前景。
要读懂这段叙述，你认为哪些名称或术语需给出定义？
2. 写出4个数学名词的定义。
3. 下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？
（1）将27开立方；
（2）任意三角形的三条中线相交于一点吗？
（3）锐角小于直角；
（4）| a |＜0（a为实数）。
4. 指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果……那么……”的
形式。
（1）内错角相等，两直线平行；
（2）正方形的四条边相等。
5. 把下列命题改写成“如果……那么……”的形式。
（1）同角的余角相等；
（2）同号两数相乘，积为正数。
6. 观察下列整式的次数和项数，找出它们的共同特征，给以名称，并作
出定义。
x
2－2x－1，2x
2＋3x＋1，x
2－2xy＋2y
2，4a
2－4ab＋b
2。
15
数学
八年级上册
2
分别说出下列命题的条件和结论。
（1）三角形的两边之和大于第三边；
（2）三角形三个内角的和等于180°；
（3）两点确定一条直线；
（4）对于任何实数x，x
2＜0。
上述命题中，哪些正确？哪些不正确？
正确的命题称为真命题（true statement）；不正确的命题称为假命题
（false statement）。要判定一个命题是真命题，常常通过推理的方式，即根据
已知事实来推断未知事实；也有一些命题是人们经过长期实践，公认为正确
的。例如，上述四个命题中，命题（1）
（2）通过推理可以判定是正确的，所以是
真命题；命题（3）则是人们经过长期实践后，公认为正确的命题，也是真命题。
因为对于任何实数x，都有x
2≥0，所以命题（4）是不正确的，是一个假命题。
▶例2
判断下列命题的真假，并说明理由。
（1）三角形的一条中线将三角形分成面积相等的两部分；
（2）一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；
（3）
a2＝a（a为实数）。
解：（1）是真命题。理由如下：
如图1-9，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，
则有BD＝CD。过点A作AE
BC，垂足为E。
△ABD 的面积为1
2BD·AE，△ACD 的面积为
1
2CD·AE，可得△ABD 与△ACD 的面积相等。所
以这个命题是真命题。
（2）是假命题。理由如下：
如图1-10，在四边形ABCD 中，AD∥BC，AB＝
DC。但四边形ABCD 不是平行四边形，所以这个命
题是假命题。
E
D
图1-9
A
C
B
B
C
D
A
图1-10
16
第1章
三角形的初步知识
α
β
a
c
b
①
②
（3）是假命题。理由如下：
取a＝－2，则
a2＝(－2)2＝
4＝2≠－2，也就是
a2≠a，所以这个
命题是假命题。
要说明一个命题是假命题，通常可以用举反例的方法。命题的反例是
指具备命题的条件，但不具备命题的结论的实例。例如，上例第（2）题中的
四边形ABCD，第（3）题中的“a＝－2”。
做一做
ZUOYIZUO
判断下列命题的真假，并说明理由。
（1）如图①，已知∠α和∠β，则∠α＞∠β；
（2）两点之间线段最短；
（3）如图②，若a
b，c
b，则a∥c；
（4）会飞的动物是鸟。
本书挑选一部分人们经过长期实践后公认为正确的命题，作为判断其
他命题的依据，这些命题称为基本事实。例如，前面我们已经学习过的基本
事实有：
“两点之间线段最短”
“两点确定一条直线”
“经过直线外一点，有且
只有一条直线与这条直线平行”等。
用推理的方法判断为正确的命题叫作定理（theorem）。定理也可以作为
判断其他命题真假的依据。例如，前面我们已经学过的“对顶角相等”
“三角
形的任意两边之和大于第三边”
“两条直线被第三条直线所截，如果内错角
相等，那么这两条直线平行”等都是定理。
17
数学
八年级上册
2
1
l2
l3
l4
l1
（第6题）
（第2题）
2
1
b
a
2
3
4
1
l1
l2
l4
l3
（第4题）
A组
B组
课内练习
KENEILIANXI
1. 列举两个命题，要求其中一个是真命题，另一
个是假命题。你是用什么方法来判断它们的
真假的？
2. 如图，若∠1＋∠2＝180°，则直线a∥b。用推
理的方法说明它是真命题。
作业题
ZUOYETI
1. 下列命题中，哪些是真命题，哪些是假命题？请说明理由。
（1）同角的补角相等；
（2）一条直线截另外两条直线所得的同位角相等；
（3）有公共顶点且相等的两个角是对顶角；
（4）两个无理数的和仍是无理数。
2. 命题“x＝3 是方程x－3
x2－3＝0 的解”是真命题还是假命题？请说明
理由。
3. 写出三个命题，要求其中两个是真命题，一个
是假命题。
4. 如图，若∠1＝∠2，则∠3＝∠4。用推理的方
法说明它是真命题。
5. 判断下列命题的真假，并说明理由。
（1）若x
2－x＝0，则x＝0；
（2）三角形的三条高线相交于三角形内一点。
6. 如图，若直线l1∥l4，直线l2∥l3，则∠1＋∠2＝
180°。用推理的方法说明它是真命题。
18
第1章
三角形的初步知识
合作学习
HEZUOXUEXI
通过观察，先猜想结论，再验证：
1. 如图1-11，一组直线a，b，c，d 是否互
相平行？
2. 当n=0，1，2，3，4，5时，代数式n
2-3n+
7 的值分别是7，5，5，7，11，17，它们都是质
数，那么，命题“对于自然数n，代数式n
2-
3n+7的值都是质数”是真命题吗？
（请与你的同伴交流）
通过实验、观察、归纳得到的结论可能正确，也可能不正确。因此，要判
断一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基
本事实、定理（包括推论），一步一步推得结论成立。这样的推理过程叫作证
明（proof）。
▶例1
已知：如图1-12，DE∥BC，∠1＝∠E。
求证：BE平分∠ABC。
证明：因为DE∥BC（已知），
所以∠2＝∠E（两直线平行，内错角相等）。
又因为∠1＝∠E（已知），
所以∠1＝∠2，
所以BE平分∠ABC（角平分线的定义）。
E
C
A
D
B
12
图1-12
你认为线段AB 和线段CD 的长度相等
吗？量量看。
图1-11
b
c
d
a
1
B
1.3
证明
证明
D
AC
19
数学
八年级上册
D
F
C
A
E
B
P
图1-13
证明过程中的
每一步推理都要有
依据，依据作为推理
的理由，可以写在每
一步后的括号内。
注意
（第1题）
H
M
A
F
B
2
1
C
N
E
G
（第1题）
（第2题）
E
2
C
D
B
A
1
A
E
B
C
D
A组
▶例2
已知：如图1-13，AB∥CD，EP，FP分别平分∠BEF，∠DFE。
求证：∠PEF＋∠PFE＝90°。
证明：因为EP，FP分别平分∠BEF，∠DFE（已知），
所以∠PEF＝1
2∠BEF，
∠PFE＝1
2∠DFE（角平分线的定义）。
因为AB∥CD（已知），
所以∠BEF＋∠DFE＝180°（两直线平行，同旁内角互补）。
故有∠PEF＋∠PFE＝1
2∠BEF＋1
2∠DFE
＝1
2（∠BEF＋∠DFE）
＝1
2×180°＝90°。
课内练习
KENEILIANXI
1. 已知：如图，在△ABC 中，D，E 分别是AB，AC 上的点，且∠1＝∠2。
求证：∠B＝∠ADE。
2. 已知：如图，∠ACD＝2∠B，CE平分∠ACD。求证：CE∥AB。
作业题
ZUOYETI
1. 已知：如图，直线EF，GH 被直线MN 所截，
AB
GH，B为垂足，∠1＝∠2。
求证：AB
EF（填空）。
证明：由∠1＝∠2（
），
可知EF∥
（
），
所以∠FAB＋∠HBA＝
（
）。
20
第1章
三角形的初步知识
D
C
A
E
B
（第4题）
A
N
M
B
C
图1-14
（第2题）
E
A
B
C
D
（第3题）
你还有其他证
明方法吗？
B组
因为AB
GH（已知），
所以∠HBA＝90°（
），
进而求得∠FAB＝180°－∠HBA＝180°－90°＝90°，
所以AB
EF（
）。
2. 已知：如图，在△ABC 中，∠B＝∠C。D，E 分别是AB，AC 上的点，
且∠ADE＝∠AED。求证：DE∥BC。
3. 已知：如图，直线CD，EF被直线OA，OB所截，∠1＋∠2＝180°。求
证：∠3＝∠4。
4. 已知：如图，BC
AC 于点C，CD
AB 于点D，
∠EBC＝∠A。求证：BE∥CD。
5. 命题“若n 是自然数，则代数式（3n＋1）
（3n＋2）
＋1 的值是3 的倍数”是真命题还是假命题？如
果是假命题，请说明理由；如果是真命题，给出
证明。
2
▶例3
证明命题“三角形三个内角的和等于
180°”是真命题。
已知：如图1-14，∠BAC，∠B，∠C 是△ABC
的三个内角。
求证：∠BAC＋∠B＋∠C＝180°。
证明：如图1-14，过点A作直线MN∥BC，则
∠B＝∠MAB（两直线平行，内错角相等）。
同理，∠C＝∠NAC。
21
数学
八年级上册
图1-15
A
D
C
B
D
F
E
C
B
A
图1-16
故∠BAC＋∠B＋∠C
＝∠BAC＋∠MAB＋∠NAC＝180°。
如图1-15，∠ACD 是由△ABC 的一条边BC 的延
长线和另一条相邻的边CA 组成的角，这样的角叫作
该三角形的外角（exterior angle）。
由∠ACD＋∠ACB＝180°，
∠A＋∠B＋∠ACB＝180°，
得∠ACD＝∠A＋∠B。
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。
这是由三角形的内角和定理直接推理得到的一个推论。推论也可以作
为推理的依据。
证明几何命题时，表述格式一般是：
（1）按题意画出图形。
（2）分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求
证”中写出结论。
（3）在“证明”中写出推理过程。
在解决几何问题时，有时需要添加辅助线。添辅助线的过程要写入证
明中。辅助线通常画成虚线。
▶例4
已知：如图1-16，∠B＋∠D＝∠BCD。求证：AB∥DE。
分析：要证明AB∥DE，根据平行线的判定方法，需要一条截线，即与
AB，DE都相交的直线。如图1-16，延长BC，交DE于点F。只要证明∠B＝
∠CFD，或∠B＋∠BFE＝180°，就能证明AB∥DE。
证明：如图1-16，延长BC，交DE于点F。因为∠BCD是△DCF的外角，
所以∠BCD＝∠D＋∠CFD（三角形的外角等
于与它不相邻的两个内角的和）。
又因为∠B＋∠D＝∠BCD（已知），
所以∠B＋∠D＝∠D＋∠CFD，
即∠B＝∠CFD。
所以AB∥DE（内错角相等，两直线平行）。
22
第1章
三角形的初步知识
（第1题）
A
F
B
C
E
O
A组
B组
课内练习
KENEILIANXI
1. 已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝54°，∠ADC＝72°。
求证：AD平分∠BAC。
2. 已知：如图，O为△ABC内任意一点。求证：∠BOC＝∠1＋∠2＋∠A。
作业题
ZUOYETI
1. 已知：如图，△ABC的两条高线BE，CF相交于点O。
求证：∠BOC＝180°－∠A（填空）。
证明：因为BE，CF是△ABC的两条高线
（
），
所以∠OEC＝∠BFC＝90°（
）。
因为∠ACF＋∠A＝∠BFC＝90°（
），
所以∠ACF＝90°－∠A。
所以∠BOC＝∠OEC＋∠ACF＝90°＋90°－∠A＝180°－∠A。
2. 已知：如图，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，∠BDC＝75°，∠A
＝40°。求证：∠ABC＝∠C。
3. 一张折叠凳的结构如图所示，∠1＝∠2，∠3＝
100°。求∠1的度数。
4. 证明命题“三角形不共顶点的三个外角的和
等于360°”是真命题。
5. 已知：如图，∠B＋∠C＋∠D＝360°。
求证：AB∥DE。
A
C
B
O
1
2
（第2题）
（第1题）
B
D
C
A
（第5题）
D
C
A
E
B
1
3
2
A
B
C
（第3题）
（第2题）
A
B
D
C
23
数学
八年级上册
阅读材料
YUEDUCAILIAO
怀尔斯
费马
费马和他的猜想
费马（Fermat，1601～1665）是17 世纪法国数学家。
大约1637年，费马阅读丢番图的《算术》时，在命题“x
2+
y
2=z
2有无穷多组正整数解”的旁边写道：
“要将一个立
方数分成两个立方数的和，或一个四次幂分成两个四次
幂的和，或更一般地，将一个高于二次的幂分成两个同
次幂的和，都是不可能的。对此，我确信已发现一种美
妙的证法，可惜这里空白太小，写不下。”这段话里隐含
的一个命题是：方程x
n+y
n=z
n（n>2）没有正整数解。
这个命题被称为费马大定理，又叫作费马最后定理。
它的证明经历了许多数学家（包括一些著名数学家，如欧
拉、高斯、柯西等）及数学爱好者三个多世纪的不懈努力。
一直到1995 年，英国数学家怀尔斯（Wiles，1953～）经过8
年奋战，用长达130 页的篇幅完整地证明了费马大定理。
在冲击这个数论世纪难题的过程中，无论是不完全的证明
还是最终完整的证明，都给数学界带来很大影响。其间得
到许多数学结果，甚至产生若干数学分支。
费马有许多有趣的猜想，这些猜想几乎都已被证明正确。不过费马也
有过失误。1640 年，他验证了当n=0，1，2，3，4 时，2
2n+1 的值都是质数，于
是费马断言：对于所有的自然数n，2
2n+1的值都是质数。这却是一个错误的
命题。1732 年，瑞士数学家欧拉发现，当n=5 时，这个猜想就不成立。更有
意思的是，当n≥5 时，在2
2n+1 的值中，再也找不到一个新的质数。有人甚
至给出了一个新的猜想：当n≥5时，2
2n+1的值全都是合数。
要证明一个数学猜想是否为真，不仅需要对数学的兴趣，还需要掌握足
够的数学知识和方法，以及不懈探索和创新的精神。愿你从小就努力学习，
打下良好的知识基础，培养对科学的兴趣。
24
第1章
三角形的初步知识
（第2题）
B
A
C
C'
A'
B'
观察图1-17 中的各对图形，你发现了什么？如果把每一对中的两个图
形叠在一起，它们能互相重合。
能够重合的两个图形称为全等图形（congruent figures）。
做一做
ZUOYIZUO
1. 下面各对图形是不是全等图形？为什么？
（1）边长都是10 cm的两个正方形；
（2）如图所示的两件衣服。
2. 如图，画在透明纸上的
△ABC 和△A'B'C'是全
等图形吗？你是怎么
判断的？
（4）
图1-17
（1）
（2）
（3）
（第1题）
在地毯精美的图案中，你能找到哪些形
状和大小都相同的图形？
1.4
全等三角形
全等三角形
25
数学
八年级上册
能够重合的两个三角形叫作全等三角形（congruent triangles）。
两个全等三角形重合时，能互相重合的顶点叫作全等三角形的对应顶点，
互相重合的边叫作全等三角形的对应边，互相重合的角叫作全等三角形的
对应角。
“全等”用符号“
”表示，如前面“做一做”
第2题中，△ABC 和△A'B'C' 全等，记作“ △ABC
△A'B'C' ”，读作“ 三角形ABC 全等于三角形
A'B'C'”。其中点A 和点A'是一组对应顶点，BC 和
B'C'是一组对应边，∠A和∠A'是一组对应角。
▶例1
如图1-18，△AOC 与△BOD 全等。用符
号“
”表示这两个三角形全等。已知∠A 与∠B 是对
应角，写出其余的对应角和各对对应边。
解：△AOC
△BOD。
因为∠A 与∠B 是对应角，所以其余的对应角
是：∠AOC 与∠BOD，∠ACO 与∠BDO；对应边是：
OA与OB，OC与OD，AC与BD。
由全等三角形的定义可以得到下面的性质：
全等三角形的对应边相等，对应角相等。
▶例2
如图1-19，AD 平分∠BAC，AB＝AC。△ABD 与△ACD 全
等吗？BD与CD相等吗？∠B与∠C呢？先判断，再说明理由。
解：△ABD
△ACD，BD＝CD，
∠B＝∠C。
理由如下：
由AD平分∠BAC，知∠1＝∠2。
因此，将图形（图1-19）沿AD 对折
时，射线AC与射线AB重合。
因为AB＝AC，
所以点C与点B重合，也就是△ACD与△ABD重合（图1-20），
可知△ABD
△ACD（全等三角形的定义）。
用符号“
”表
示两个三角形全等
时，常把对应顶点的
字母写在对应位
置上。
注意
A
D
B
O
C
图1-18
A
C
D
B
1 2
图1-19
A
D
B（C）
图1-20
26
第1章
三角形的初步知识
（第3题）
A
C
D
B
D
A
C
B
O
（第2题）
（第2题）
（第1题）
O
A
D
B
C
A
D
B
C
（第4题）
A组
B组
所以BD＝CD（全等三角形的对应边相等），
∠B＝∠C（根据什么？）。
课内练习
KENEILIANXI
1. 半径相等的两个圆是全等图形吗？你是怎样知道的？
2. 如图，已知△AOC
△DOB。说出它们的对应边和对应角。
作业题
ZUOYETI
1. 如图，△OAD 与△OBC 全等，∠A 与∠B
是对应角。请用符号表示这两个三角形
全等，并写出相等的边和角。
2. 判断下列说法是否正确，并简要说明理由。
（1）长和宽分别相等的长方形都是全等图形；
（2）如图所示两幅剪纸图案全等；
（3）面积相等的两个三角形是全等三角形。
3. 如图，在△ABC 中，AD
BC 于点D，BD＝CD。完成下面说明∠B
＝∠C的理由的过程（填空）。
解：由AD
BC（已知），
得∠ADB＝
＝Rt∠（垂直的定义）。
当把图形沿AD对折时，射线DB与DC
。
由BD＝CD（
），
可知点B与点
重合，
所以△ABD与△ACD
，
即△ABD
△ACD（全等三角形的定义），
所以∠B＝∠C（
）。
4. 如图，BD是长方形ABCD的一条对角线。
（1）△ABD与△CDB全等吗？你是怎样知道的？
（2）如果你认为△ABD 与△CDB 全等，请用符
号表示，并说出它们的对应边和对应角。
27
数学
八年级上册
我们知道，如果两个三角形能够重合，即三条边对应相等、三个角对应
相等，那么这两个三角形全等。想一想，是否必须满足上述六个条件，才能
保证两个三角形全等？如果减少条件，有部分边或角相等，能判定两个三角
形全等吗？
合作学习
HEZUOXUEXI
1. 如图1-21，已知线段a，b，c。用直尺和圆
规在透明纸上作△DEF，使其三边长分别为a，
b，c。
我们已经会作一条线段等于
已知线段。如图1-22，先作线段
EF＝a。想一想，怎样作DE，DF，
使DE＝b，DF＝c？
2. 把你作的三角形与其他同
学所作的三角形进行比较。它们
能互相重合吗？
一般地，我们有如下基本事实：
三边分别相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS
❶”）。
❶“S”是英文单词Side（边）的第一个字母。
图1-22
a
b
c
图1-21
1
1.5
三角形全等的判定
三角形全等的判定
钱塘江大桥由著名桥梁工程师茅以升设
计，建成于1937 年，是我国第一座自行设计、
建造的铁路、公路两用双层桥。桥上有许多
全等的三角形结构。
D'
E
D
F
28
第1章
三角形的初步知识
让我们动手做下面的实验：
如图1-23，把两根木条的一端用螺
栓固定在一起，木条可以自由转动。在
转动过程中，连结另两个端点所成的三
角形的形状、大小随之改变。如果把另
两个端点用螺栓固定在第三根木条
的端点上（图1-24），那么构成的三角形的形状、大小就完全确定。
从上述实验可以看出，当三角形的三条边长确定时，三角形的形状、大
小完全被确定，这个性质叫作三角形的稳定性，这是三角形特有的性质。
三角形的稳定性在生产和日常生活中有广泛的应用。例如，房屋的人
字架、大桥的钢梁、起重机的支架（图1-25）等，都采用三角形结构，以起到稳
固的作用。
▶例1
已知：如图1-26，在四边形ABCD 中，AB＝CD，AD＝CB。求
证：∠A＝∠C。
证明：在△ABD和△CDB中，
因为
ì
í
î
ïïï
ïïï
AB＝CD（已知），
AD＝CB（已知），
BD＝DB（公共边），
所以△ABD
△CDB（SSS）。
所以∠A＝∠C（根据什么？）。
从例1 可以看出，证明两个角相等时，可以通过全等三角形的对应角相
等来解决。
图1-23
图1-24
图1-25
B
A
D
C
图1-26
29
数学
八年级上册
A
B
D
C
O
图1-27
图1-28
A'
B'
D'
C'
O'
l
你还有其他作
法吗？
图1-30
B
A
P
D
C
F
E
图1-29
B
A
P
▶例2
已知∠AOB（图1-27），求作∠A'O'B'，使
∠A'O'B'＝∠AOB。
分析：要作一个角与∠AOB 相等，我们可以应用
“全等三角形的对应角相等”的性质。如图1-27，假设
作出△OCD，再作△O'C'D'与△OCD 全等，那么
∠C'O'D'＝∠COD。
作法：（1）以点O 为圆心，适当长为半径作弧，分
别交OA，OB于点C，D（图1-27）。
（2）作一条射线O'A'。以点O'为圆心，OC 长为半
径作弧l，交O'A'于点C'（图1-28）。
（3）以点C'为圆心，CD长为半径作弧，交弧l于点D'。
（4）过点O'，D'作射线O'B'。
∠A'O'B'就是所求作的角。
事实上，如图1-27和图1-28，连结CD，C'D'。
由作法可知△O'C'D'
△OCD（SSS），
所以∠A'O'B'＝∠AOB。
▶例3
已知直线AB 和直线外一点P（图1-29），用直尺和圆规，过点P
作直线CD，使CD∥AB。
作法：如图1-30。
（1）在直线AB上取一点F，过点P，F作直线PF。
（2）作∠EPD＝∠EFB。
（3）延长DP得直线CD。
则CD∥AB且经过点P，直线CD就是所求作的直线。
30
第1章
三角形的初步知识
（第1题）
D
A
C
B
（第2题）
E
B
C
A
D
1
2
（第3题）
α
E
C
D
A
F
B
（第2题）
A组
课内练习
KENEILIANXI
1. 举出两个应用三角形稳定性的实际例子。
2. 如图，点B，E，C，F 在同一条直线上，且AB＝DE，AC＝DF，BE＝
CF。将下面证明△ABC
△DEF的过程补充完整。
证明：因为BE＝CF（
），
所以BE＋EC＝CF＋EC，即BC＝EF。
在△ABC和△DEF中，
因为
ì
í
î
ïïï
ïïï
AB＝-
-
-
-
- --
- -
-
-
-
（
），
-
-
-
-
- -
--
-
-
-
＝DF（
），
BC＝-
-
-
-
- -
--
-
-
-
，
所以△ABC
△DEF（
）。
作业题
ZUOYETI
1. 已知：如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD 是BC 边上的中线。求证：
AD
BC（填空）。
证明：在△ABD和△ACD中，
因为
ì
í
î
ïïï
ïïï
BD＝CD（
），
AD＝-
-
- -
---
- -
-
（公共边），
-
-
- -
---
- -
-
＝-
-
- -
---
- -
-
（已知），
所以
（
）。
故∠ADB＝
（全等三角形的对应角相等），
进而有∠ADB＝1
2∠BDC＝90°（平角的定义），
所以AD
BC（垂直的定义）。
2. 如图，已知∠α。用直尺和圆规作∠ABC，使∠ABC＝∠α。
3. 如图，已知AB＝AC，BD＝CD。求证：∠1＝∠2。
31
数学
八年级上册
（第4题）
A
C
B
D
A
F
C
E
B
D
（第5题）
C'
A'
B'
C
A
B
图1-32
图1-31
A
B'
C
B
B组
4. 如图，在四边形ABCD 中，AB＝AD，CB＝CD。请通过添加辅助
线，把它分成两个全等三角形，并给出证明。
5. 已知：如图，点A，C，F，D 在同一条直线上，且AB＝DE，BC＝EF，
AF＝DC。求证：BC∥EF。
2
本节继续探索判定两个三角形全等的方法。让我们动手做下面的实验：
如图1-31，把两根木条的一端用螺栓固定在一
起，木条可自由转动，因此连结另两端所成的三角形不
能唯一确定。这就是说，如果两个三角形只有两条边
对应相等，那么这两个三角形不一定全等。例如，图
1-31 中，△ABC与△AB'C不是全等三角形。
如果固定两木条之间的夹角（即∠BAC）的大小，
那么△ABC的形状和大小也随之被确定。
如图1-32，在△ABC 和
△A'B'C′中，∠B＝∠B'，AB＝
A'B' ，BC＝B'C' 。因为∠B＝
∠B'，当把它们叠在一起时，可
以使射线BA 与B'A'重合，射
线BC 与B'C'重合。又因为AB＝A'B'，BC＝B'C'，所以点A 与点A'重合，点
C 与点C'重合，所以△ABC 与△A'B'C'重合，所以△ABC
△A'B'C'。
我们有如下基本事实：
两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（简写成“边角边”
或“SAS
❶”）。
❶“A”是英文单词Angle（角）的第一个字母。
32
第1章
三角形的初步知识
▶例4
已知：如图1-33，AC与BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD。
求证：△AOB
△COD。
证明：在△AOB和△COD中，
因为
ì
í
î
ïïï
ïïï
OA＝OC（已知），
∠AOB＝∠COD（对顶角相等），
OB＝OD（已知），
所以△AOB
△COD（SAS）。
做一做
ZUOYIZUO
如图，把两根钢条AA'，BB'的中点钉在一
起，可以做成一个测量工件内槽宽的卡钳。说明
卡钳的工作原理。
▶例5
已知：如图1-34，AB＝DB，BC＝BE，∠1＝∠2。求证：∠C＝∠E。
分析：∠C 与∠E 分别在△ABC 和△DBE 中，要证∠C＝∠E，只要证
△ABC
△DBE。根据已知AB＝DB，BC＝BE，要判定这两个三角形全
等，只需证明∠ABC＝∠DBE，这可由条件∠1＝∠2推得。
证明：由∠1＝∠2，可得∠1＋∠DBC＝∠2＋∠DBC，即∠ABC＝∠DBE。
在△ABC和△DBE中，
因为
ì
í
î
ïïï
ïïï
AB＝DB（已知），
∠ABC＝∠DBE（已证），
BC＝BE（已知），
所以△ABC
△DBE（SAS），
所以∠C＝∠E（全等三角形的对应角相等）。
课内练习
KENEILIANXI
1. 已知：如图，AB＝AC，点D，E 分别在AC，AB
上，且AD＝AE。
求证：BD＝CE（填空）。
图1-33
D
C
B
A
O
B'
A'
O
A
B
图1-34
D
C
A
E
B
（第1题）
33
数学
八年级上册
探究活动
TANJIUHUODONG
（第2题）
A
B
O
D
C
如果两个三角形有两边和一个角对应相等，那么这两个三角形一定全等吗？
请说明理由。如果对应相等的角是直角或钝角呢？
建议按下列步骤探索：
1. 设计实验来探究。如图1-35，木条AB，AC
的长度确定，均可绕点A转动。若∠B的大小确定，
则△ABC的形状、大小唯一确定吗？
2.用尺规作图来验证你的猜想。
证明：在△ABD和
中，
因为
ì
í
î
ïïï
ïïï
AD＝-
-
-
-
- -
---
- -
-
（已知），
-
-
-
-
- -
---
- -
-
＝-
-
-
-
- -
---
- -
-
-
-
（公共角），
AB＝AC（
），
所以
（
），
所以BD＝CE（
）。
2. 为了测量池塘两端A，B间的距离，小红在地面上
选择了点O，D，C，使OA＝OC，OB＝OD，且点
A，O，C 和点B，O，D 分别都在一条直线上。小
红认为只要量出点D，C 间的距离，就能知道点
A，B 间的距离。你认为正确吗？请说明理由。
A
C
B
图1-35
A组
作业题
ZUOYETI
1. 如图，已知线段a，c和∠α，用直尺和圆规作△ABC，使∠ABC＝∠α，
AB＝c，BC＝a。
2. 已知：如图，AB∥CD，AB＝CD。求证：AD＝BC。
α
a
c
（第1题）
（第2题）
C
A
B
D
34
第1章
三角形的初步知识
α
β
a
图1-36
D
C
A
B
（第3题）
B组
3. 已知：如图，AC＝BD，∠CAB＝∠DBA。求证：
（1）△ABC
△BAD。
（2）BC＝AD，∠C＝∠D。
4. 已知：如图，AB∥DE，AB＝DE，点B，E，C，F
在一条直线上，且BE＝CF。求证：AC∥DF。
5. 已知：如图，AB＝AD，AC＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°。求证：
（1）∠C＝∠E。
（2）ED
BC。
3
有两个角和它们的夹边对应相等的两个三角形一定全等吗？
合作学习
HEZUOXUEXI
已知∠α，∠β 和线段a（图1-36），用
直尺和圆规作△ABC，使∠A＝∠α，∠B
＝∠β，AB＝a。
将你作的三角形与其他同学所作的
三角形进行比较，你发现了什么？
一般地，我们有如下基本事实：
两个角及其夹边分别相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或
“ASA”）。
（第4题）
（第5题）
A
D
F
C
E
B
C
E
B
A
D
35
数学
八年级上册
①
②
③
图1-38
A
A'
C
B
C'
B'
C
B
A
C'
B'
A'
图1-37
如图1-37 ，在△ABC 和△A'B'C'中，∠B＝∠B'，∠C＝∠C' ，BC ＝
B'C'，则△ABC
△A'B'C'。
做一做
ZUOYIZUO
一块三角形玻璃被摔成三片（如
图）。如果只带上其中的一片，玻璃店的
师傅就能重新配一块与原来相同的三角
形玻璃，那么你知道应带哪一片碎玻璃
吗？请说明理由。
▶例6
已知：如图1-38 ，在△ABC 和△A'B'C'中，∠A＝∠A'，∠B＝
∠B'，BC＝B'C'。求证：△ABC
△A'B'C'。
证明：因为∠A＝∠A'，∠B＝∠B'（已知），
∠A+∠B+∠C＝∠A'+∠B'+∠C'＝180°（根据什么？），
所以∠C＝∠C'。
在△ABC和△A'B'C'中，
因为
ì
í
î
ïïï
ïïï
∠B＝∠B'（已知），
BC＝B'C'（已知），
∠C＝∠C'，
所以△ABC
△A'B'C'（ASA）。
能判定两个三角形全等的还有以下定理：
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（简
写成“角角边”或“AAS ”）。
▶例7
已知：如图1-39，AC 与DB 相交于点P，∠1＝∠2，∠ABC＝
∠DCB。求证：AP＝DP，BP＝CP。
分析：要证AP＝DP，BP＝CP，可通过证明△ABP
△DCP 得到。
36
第1章
三角形的初步知识
图1-39
D
P
C
B
A
1
2
而在△ABP 和△DCP 中，只有∠APB＝∠DPC，还缺两个条件，需要通过
证明△ABC
△DCB得到。
证明：在△ABC和△DCB中，
因为
ì
í
î
ïïï
ïïï
∠2＝∠1（已知），
BC＝CB（公共边），
∠ABC＝∠DCB（已知），
所以△ABC
△DCB（ASA），
所以AB＝DC，∠A＝∠D。
在△ABP和△DCP中，
因为
ì
í
î
ïïï
ïïï
∠A＝∠D（已证），
∠APB＝∠DPC（对顶角相等），
AB＝DC（已证），
所以△ABP
△DCP（AAS），所以AP＝DP，BP＝CP。
课内练习
KENEILIANXI
1. 已知：如图，点D，E分别在AC，AB上，∠B＝∠C，AB＝AC。求证：
AE＝AD。
2. 已知：如图，AD平分∠BAC，∠B＝∠C。求证：BD＝CD。
探究活动
TANJIUHUODONG
如图1-40，在△ABC 和△DEF 中，点B，E，C，F
在同一条直线上。下面给出四个论断：
①AB＝DE；
②AC＝DF；
③∠ABC＝∠DEF；④BE＝CF。
任选三个作为已知条件，余下一个作为结论，可得
到几个命题？其中真命题有几个？分别给出证明。
F
A
C
E
B
D
图1-40
D
C
A
E
B
（第1题）
A
C
B
（第2题）
D
37
数学
八年级上册
泰勒斯
B
A
K
O
P
l
（第3题）
C
D
A
B
2
1
3
4
（第2题）
B
D
E
C
A
1
2
（第4题）
D
A
B
C
（第5题）
A组
B组
作业题
ZUOYETI
1. 根据所给条件，下列各题中的两个三角形一定全等吗？若不一定，
请举出反例；若一定，说明理由。
（1）△ABC和△MNP中，∠A＝∠M，AB＝MN；
（2）△RST和△XYZ中，∠R＝∠X，∠S＝∠Y，∠T＝∠Z。
2. 已知：如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4。
求证：AC＝AD。
3. 阅读下面一段文字：
泰勒斯（Thales，约前624～前547）是
古希腊哲学家。相传“两个角及其夹边对应相等的两个三角形全
等”就是由泰勒斯首先提出的。泰勒斯利用这个判定三角形全等
的依据求出了岸上一点到海中一艘船的距离。
如图，A 是观测点，船P 在A 的正前
方。过A作AP的垂线l，在垂线l上截取
任意长AB，O 是AB 的中点。观测者从
点B 沿垂直于AB 的BK 方向走，直到点
K 和船P、点O 在一条直线上，那么BK
的长度即为船离岸的距离。
请给出证明。
4. 已知：如图，∠1＝∠2，∠C＝∠E，AC＝AE。
求证：△ABC
△ADE。
5. 已知：如图，AB∥CD，∠A＝∠C。求证：AD＝BC。
38
第1章
三角形的初步知识
弩箭发射的过程中，两段弓弦AB，AC 有什么关
系？若箭所在的直线为AD，则AD与BC有什么关系？
1.6
线段垂直平分线的性质
线段垂直平分线的性质
A
B
D
C
弩臂
弓
箭
弦
l
B
A
D
图1-41
P
垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线叫作这条线段的垂直平分
线，简称中垂线。如图1-41，直线l
AB 于点D，且AD
＝BD，直线l就是线段AB的垂直平分线。
在直线l上任意取一点P，用圆规比较点P 到点A，
B的距离。你发现了什么？
（请与你的同伴交流）
关于线段的垂直平分线，有如下的性质定理：
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。
下面给出证明。
已知：如图1-42，直线l⊥AB 于点O，且OA＝OB。C 是直线l上的任意
一点。
求证：CA＝CB。
证明：已知OA＝OB，当点C 与点O 为同一点，
即重合时，显然CA＝CB。
当点C与点O不重合时，
因为直线l
AB（已知），
所以∠COA＝∠COB＝90°（垂直的定义）。
在△CAO与△CBO中，
因为
ì
í
î
ïïï
ïïï
OA＝OB（已知），
∠COA＝∠COB（已证）,
OC＝OC（公共边），
图1-42
A
O
B
C
l
39
数学
八年级上册
则有△CAO
△CBO（SAS），
所以CA＝CB（全等三角形的对应边相等）。
▶例1
已知线段AB，用直尺和圆规作线段AB的垂直平分线。
分析：要作线段AB 的垂直平分线，只需找出线段AB 的垂直平分线上
的两个点，这两个点到点A，B的距离分别相等。
作法：如图1-43。
1. 分别以点A，B 为圆心，大于线段AB 长度一半的长为半径作弧，两段
弧相交于点C，D。
2.作直线CD。
直线CD就是线段AB的垂直平分线。
事实上，如图1-44，记CD与AB的交点为O，连结AC，BC，AD，BD。
由作法易得△ACD
△BCD（SSS），
则∠ACO＝∠BCO（全等三角形的对应角相等），
从而可证△ACO
△BCO（SAS），
所以∠AOC＝∠BOC＝90°，AO＝BO。
▶例2
如图1-45，在△ABC 中，AB 比AC 长3 cm，BC 的垂直平分
线交AB 于点D，交BC 于点E。已知△ACD 的周长是15 cm，求AB 和AC
的长。
分析：根据“线段垂直平分线上的点到线段两
端的距离相等”，可得CD＝BD，则△ACD 的周长
可转化为AB＋AC，由此可获得AB 和AC 之间的
数量关系。
A
D
C
E
B
图1-45
A
B
C
D
图1-43
图1-44
A
B
C
D
O
40
第1章
三角形的初步知识
（第3题）
C
B
O
A
m
l
（第1题）
B
A
C
A
C
B
D
E
（第2题）
A组
解：因为DE是BC的垂直平分线，所以CD＝BD，
所以△ACD的周长＝AC＋AD＋CD＝AC＋AD＋BD＝AC＋AB。
由题意，得AB－AC＝3，AB＋AC＝15，
解得AB＝9，AC＝6。
所以AB的长为9 cm，AC的长为6 cm。
课内练习
KENEILIANXI
1. 已知：如图，直线AD 是线段BC 的垂直平分线，连结AB，AC，DB，
DC。求证：△ABD
△ACD。
2. 如图，已知直线l和直线外一点A。用直尺和圆规作过点A的直线l
的垂线。
作业题
ZUOYETI
1. 如图，已知△ABC，用直尺和圆规作中线CD。
2. 如图，在△ABC 中，AB，AC 的垂直平分线分别交BC 于点D，E。
已知△ADE的周长为12 cm，求边BC的长。
3. 已知：如图，直线l 和直线m 分别是线段AB
和线段AC的垂直平分线，O为交点。求证：
点O到点A，B，C的距离相等。
（第1题）
C
B
D
A
（第2题）
l
A
41
数学
八年级上册
4. 有一段关于古代藏宝图的记载（如图）：
“从赤石向一棵杉树笔直走
去，恰好在其连线中点处向右转90°前进，到达唐伽山山脚的一个洞
穴，宝物就在洞穴中。”怎样根据这段记载找到藏宝洞穴的位置？在
图上标出藏宝洞穴的位置。
5. 已知：如图，AD 垂直平分BC，D 为垂足。DM⊥AC，DN⊥AB，M，
N分别为垂足。求证：DM＝DN。
6. 已知：如图，AD 是BC 的垂直平分线，DE
AB 于点E，DF
AC 于
点F。求证：DE＝DF。
B组
（第4题）
池
杉树
唐
伽
山
赤石
（第6题）
D
C
F
A
B
E
C
B
D
M
N
A
（第5题）
42
第1章
三角形的初步知识
我国纸伞的结构十分巧
妙。如图，伞不管是张开还是
收拢，伞柄AP 始终平分同一
平面内两条伞骨所成的角
∠BAC，且AE＝AF，DE＝
DF，从而保证伞圈D能沿着伞
柄滑动。为什么？
D
E
B
A
F
P
C
1.7
角平分线的性质
角平分线的性质
工人师傅用角尺来平分一个角。如图1-46，
∠AOB 是任意角，在OA，OB 上分别取OM＝ON。移
动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，过角
尺顶点C的射线OC就是∠AOB的平分线。想一想，这
种方法的依据是什么？由此你能想到怎样作一个角的
平分线？
▶例1
已知∠BAC（图1-47），用直尺和圆规作∠BAC的平分线AD。
分析：如果能找到∠BAC 的平分线上一点D，那么射线AD 就是
∠BAC 的平分线。由于角平分线把角分成两个相等的角，因此可以想象通
过作两个全等三角形来作出点D。
作法：如图1-48。
1.以点A为圆心，适当长为半径作弧，与角的两边分别交于E，F两点。
2. 分别以E，F 为圆心，大于1
2EF 长为半径作弧，两条弧交于∠BAC 内
一点D。
3.作射线AD。
射线AD就是所求作的∠BAC的平分线。
图1-46
图1-47
B
A
C
D
B
E
A
F
C
图1-48
43
数学
八年级上册
事实上，如图1-49，连结DE，DF。
由作法可得△ADF
△ADE（为什么？），
所以∠1＝∠2（全等三角形的对应角相等），
即AD平分∠BAC。
做一做
ZUOYIZUO
任意作一个角，记为∠BAC，P 是∠BAC 的平
分线上的一点，PB⊥AB 于点B，PC⊥AC 于点C。
比较PB和PC的大小，并证明你的结论。
由上面“做一做”，可得角平分线的性质定理：
角平分线上的点到角两边的距离相等。
▶例2
已知：如图1-50，AB∥CD，PB，PC 分别平分∠ABC，∠DCB，
AD过点P，且与AB垂直。求证：PA=PD。
分析：由AB∥CD，AD⊥AB，可得AD⊥CD，则PA，PD 的长分别是点
P 到AB，CD 的距离。根据角平分线的性质定理可知，它们与点P 到BC 的
距离相等。因此，可先作出点P到BC的垂线段。
证明：如图1-50，作PE⊥BC于点E。
因为AB∥CD（已知），
所以∠BAD+∠CDA=180°（两直线平行，同旁内
角互补）。
由AD⊥AB（已知），
知∠BAD=90°（垂直的定义），
所以∠CDA=180°-∠BAD=180°-90°=90°，
即AD⊥CD（垂直的定义）。
因为PB平分∠ABC（已知），PA⊥AB，PE⊥BC，
所以PA=PE（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
同理，PD=PE。
所以PA=PE=PD。
图1-50
D
P
A
B
E
C
B
A
C
P
D
B
E
A
F
C
1
2
图1-49
44
第1章
三角形的初步知识
A组
B组
课内练习
KENEILIANXI
1. 证明：三角形的两条角平分线的交点到各边的距离相等。
2. 用直尺和圆规过已知直线上一点作已知直线的垂线。
作业题
ZUOYETI
1. 如图，已知△ABC，用直尺和圆规分别作出∠A和∠C的平分线。
2. 已知：如图，AB平分∠CAD，∠C＝∠D＝90°。求证：BC＝BD。
3. 如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AD 平分∠CAB，BD＝2CD。若点D
到AB的距离DE为5.6 cm，求BC的长。
4. 已知△ABC（如图），在△ABC所在的平面内，用直尺和圆规求作一
点D，使点D到AB，AC的距离相等，且DC＝DB。
5. 如图，已知四边形ABDC 的面积为14，AD 平分∠BAC，AB＋AC＝
7。求点D到AB的距离。
（第4题）
A
B
C
（第5题）
A
C
B
D
B
C
D
A
（第2题）
D
A
C
E
B
（第3题）
A
C
B
（第1题）
45
数学
八年级上册
小结与反思
一、知识梳理
本章主要学习了三角形的有关概念和性质，两个图形全等及全等三角形。通
过作图、操作实验、推理等，探索并证明了判定两个三角形全等的条件，以及线段的
垂直平分线和角平分线的性质定理。研究的对象从一个图形延伸到两个及多个图
形的大小、形状与位置关系。
在几何学习中，我们可以通过观察、测量、实验、归纳等方法发现和猜想图形的
性质，但由观察、实验、归纳、猜想得到的结论不一定正确，需要通过推理加以证明。
实验探究、直观发现、推理论证是本章及后续图形性质学习的基本思路和常用的思
想方法。
本章知识结构和学习流程如下：
二、回顾与反思
1.三角形的三边之间有怎样的关系？得出这个结论的依据是什么？
2.如何证明三角形的三个内角和等于180°？
3.全等三角形有什么特征？判定两个三角形全等有哪些方法？
4.如何作一个三角形与已知三角形全等？
5. 在本章学习中，你获得了学习几何图形的哪些方法和经验？有哪些需要注
意的问题？
对应角相等、对应边相等
SSS，SAS，ASA，AAS
性质
判定
全等图形
全等三角形
角平分线的性质
线段垂直平分线的性质
三角形
概念
性质
角平分线
高线
角的性质
边的性质
中线
概念与表示
重要线段
定义
命题
真
命
题
假
命
题
举
反
例
定
理
推
论
证明
基
本
事
实
46
第1章
三角形的初步知识
目标与评定
F
C
A
β
α
（第4题）
D
B（B'）
E
α
（第2题）
C
B
A
（第6题）
★理解三角形及其内外角的概念。会对三角形进行分类。
★探索并证明三角形的内角和定理。掌握其推论：三角形的外角等于与它不
相邻的两个内角的和。
★证明三角形的任意两边之和大于第三边。
1. 下列各组数不可能是一个三角形的边长的是（
）。
（A）5，12，13
（B）5，7，7
（C）5，7，12
（D）101，102，103
2. 一副三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α 的度
数是
。
3. 根据下列条件，判断三角形属于哪一类三角形：
（1）有一个角是直角；
（2）有一个外角是锐角；
（3）三个内角的度数之比为3∶4∶5。
4. 如图，两根竹竿AB 和B'D 斜靠在墙CE 上（点B 与B'重
合）。已知∠CAB，∠CDB的度数分别为α，β。求∠DBF和
∠ABD的度数。
5. 用20 根等长的手工小木棒搭一个三角形（小木棒无剩余、
重叠和折断）。你能摆出几种不同的三角形？
★理解三角形的中线、角平分线和高线的概念。
★会用量角器、三角尺等工具画三角形的中线、角平分线和高线。
6. 已知△ABC（如图）。
（1）用刻度尺画AC边上的中线；
（2）用量角器画∠B的平分线；
（3）用三角尺画BC边上的高线。
目标
1.1节
1.3节
A
目标
1.1节
B
47
数学
八年级上册
7. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是一条角平
分线，它们相交于点P。已知∠APE＝55°，∠AEP＝80°，
求△ABC各个内角的度数。
★了解定义、命题、定理、推论的意义。
★会区分命题的条件和结论。
★会在简单情况下判别一个命题的真假。
★了解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是错误的。
8. 阅读下文，并从中摘出定义和命题：
在大气中，水蒸气、二氧化碳和其他一些气体的作用与玻璃窗类似。这些
气体允许太阳光到达地面，但是阻止热量从地球表面逃逸。这种保持地球表面
热能的作用，称为温室效应。如果没有温室效应，地球就会变冷，平均温度将大
约下降33℃。
9. 下列语句中，哪些是命题？哪些不是命题？
（1）角平分线上的点到角两边的距离相等；
（2）相等的角是对顶角；
（3）作两条相交直线；
（4）∠α和∠β相等吗？
10. 下列各命题是真命题还是假命题？请说明理由。
（1）两个锐角的和是锐角；
（2）等角的余角相等；
（3）同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
★知道证明的意义和证明的必要性，知道数学思维要合乎逻辑，知道可以用
不同的形式表述证明的过程，会用综合法的证明格式。
11. 先观察猜想结论，再动手验证。
（1）如图①，圆M和圆N哪个大？
（2）如图②，l，m两条线是直线吗？
目标
1.2节
C
目标
1.3节
D
D
P
A
E
B
C
（第7题）
48
第1章
三角形的初步知识
目标
1.4节
1.5节
E
12. 观察下面的等式是否成立：
1×1
2＝1－1
2；
1
2×1
3＝1
2－1
3；
1
3×1
4＝1
3－1
4；
1
4×1
5＝1
4－1
5。
你获得怎样的猜想？你将用什么方法来判断你的猜想是否正确？
13. 已知：如图，AB∥CD。求证：∠A＋∠C＝∠APC。
14. 求证命题“两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互
补，那么内错角相等”。
15. 判断下列命题的真假，并给出证明。
（1）若a＞b，则a
2＞b
2；
（2）三角形一条边上的中点到另两边的距离相等。
★了解三角形的稳定性。
★了解全等图形的概念。
★理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边和对应角。
★掌握性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。
★掌握基本事实：三边分别相等的两个三角形全等；两边及其夹角分别相等
的两个三角形全等；两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。
★证明定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。
★会运用全等三角形以及相关知识解决简单的实际问题。
N
M
l
m
①
②
（第11题）
D
C
P
（第13题）
B
A
49
数学
八年级上册
②
④
⑩
⑥
⑨
􀃊
􀁉
􀁕
①
③
⑤
⑧
􀃊
􀁉
􀁔
⑦
􀃊
􀁉
􀁓
􀃊
􀁉
􀁖
（第16题）
（第17题）
B
M
N
C
A
（第18题）
A
E
B
C
D
D
B
C
E
A
（第19题）
（第20题）
E
C
A
B
D
F
（第21题）
B
O
D
E
C
A
（第22题）
A
B
16. 下列图形由七巧板拼成，找出这些拼板中的全等图形，用它们的编号表示出来。
17. 如图，已知△ABN
△ACM，∠B 和∠C 是对应角，∠ANB 和∠AMC 是对应
角。BM和CN相等吗？为什么？
18. 如图，已知△ABC
△CDE，∠A 和∠ECD 是对应角，∠ACB 和∠CED 是对应
角。已知∠B＝60°，求∠ACE的度数。
19. 已知：如图，∠BAD＝∠CAE，AB＝AD，AC＝AE。
求证：△ABC
△ADE。
20. 已知：如图，AB∥CD，AB＝CD，CE＝BF。求证：
AE∥DF，AE＝DF。
21. 已知：如图，AB＝AC，BD＝CE。求证：△OBD
△OCE。
22. 如图，有一池塘，要测池塘两岸相对的两点A，B的距
离。请设计一种测量方案，并给出证明。
50
第1章
三角形的初步知识
目标
1.6节
1.7节
F
目标
1.5节
1.6节
1.7节
G
★理解线段垂直平分线的概念。掌握线段垂直平分线的性质定理。
★掌握角平分线的性质定理。
23. 已知：如图，AD 是△ABC 的高线，AD 的垂直平分线分别交AB，AC于点E，F，
连结DE，DF。求证：∠B＝1
2∠AED。
24. 如图，BD 平分∠ABC，DE 垂直AB于点E，△ABC 的面积等于90，AB＝18，BC
＝12，求DE的长。
25. 已知：如图，AD 是△ABC的角平分线，DE
AB于点E，DF
AC于点F，BE＝
CF。求证：AD是BC的中垂线。
★能用尺规作图：作一个角等于已知角，作一个角的平分线。
★能用尺规作图：作一条线段的垂直平分线，过一点作已知直线的垂线。
★能用尺规作图：已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形。
★能用尺规作图：过直线外一点作这条直线的平行线。
26. 如图，已知点A，B以及直线l。
（1）用直尺和圆规作线段AB的垂直平分线，交直线l于点P。
（2）在（1）所作的图中，M，N 是直线l 上的两点。若AM＝PN，BN＝PM。
求证：∠MAP＝∠NPB。
27. 已知△ABC（如图），用三种不同的方法作△PRS，使△PRS
△ABC。
（第26题）
B
A
l
D
C
F
A
E
B
（第23题）
（第25题）
D
F
C
A
E
B
（第24题）
A
D
C
B
E
（第27题）
B
C
A
51
等腰三角形和直角三角形这两种特
殊的三角形有许多有趣的性质，这些性质
使得它们在建筑设计、工业生产等领域都
有广泛的应用。本章将学习图形的轴对
称，等腰三角形、直角三角形的性质和判
定，勾股定理，逆命题和逆定理，以及它们
的一些简单应用。
第2章
特殊三角形
■深圳大运中心体育场
数学
八年级上册
小学里我们已经学过，如果把一个图形沿着一条直线折叠后，直线两侧
的部分能够互相重合，那么这个图形叫作轴对称图形（axial symmetric
figure），这条直线叫作对称轴（axis of symmetry），折叠后重合的点叫作对
称点（symmetric points）。例如，长方形是有两条对称轴的轴对称图形，如
图2-1；正方形是有四条对称轴的轴对称图形，如图2-2；圆也是轴对称图形，
任何过圆心的直线都是它的对称轴，如图2-3。
合作学习
HEZUOXUEXI
1.图2-4中，哪些图形是轴对称图形？怎样判别？
对于以上各轴对称图形，能找出对称轴吗？有哪些方法？
2.如图2-5，AD平分∠BAC，AB＝AC。
图2-1
图2-2
O
图2-3
④
①
②
③
图2-4
2.1
图形的轴对称
图形的轴对称
北京故宫建成于1420 年，整个宫殿
建筑布局沿中轴线向东西两侧展开，呈现
轴对称的结构。由于轴对称给人以美感，
因此被广泛应用于建筑设计上。
54
第2章
特殊三角形
图2-5
D
C
E
A
B
图2-6
C
A
B
m
图2-7
C
A
P
B
m
C'
A'
B'
（1）四边形ABDC 是轴对称图形吗？如果你
认为是，说出它的对称轴。哪一个点与点B对称？
（2）连结BC，交AD 于点E。把四边形ABDC
沿AD 对折，BE 与CE 重合吗？∠AEB 与∠AEC
呢？由此你得到什么结论？
（请与你的同伴交流）
轴对称图形有下面的性质：
对称轴垂直平分连结两个对称点的线段。
▶例1
如图2-6，已知△ABC 和直线m。以直线m 为对称轴，求作以点
A，B，C的对称点A'，B'，C'为顶点的△A'B'C'。
分析：如图2-7，根据“对称轴垂直平分连结两个对称点的线段”的性
质，直线m 垂直平分线段AA'，所以只要过点A 作直线m 的垂线段AP，延长
AP 至A'，使A'P＝AP，则A'便是点A 的对称点。类似地，可以作出点B，C
的对称点B'，C'。
解：如图2-7。
1.作AP⊥m，延长AP至A'，使A'P＝AP。
2.按上述方法作出点B的对称点B'，点C的对称点C'。
3.依次连结A'B'，B'C'，C'A'。
△A'B'C'就是所求作的三角形。
如果把图2-7 沿直线m 折叠，那么△A'B'C'就和△ABC 重合，这时我们
说△A'B'C'与△ABC关于直线m成轴对称。
一般地，由一个图形变为另一个图形，并使这两个图形沿某一条直线折
55
数学
八年级上册
叠后能够互相重合，这样的图形改变叫作图形的轴对称（line symmetry），这
条直线也叫作对称轴。
图形的轴对称有下面的性质：
成轴对称的两个图形是全等图形。
做一做
ZUOYIZUO
1. 如图，已知线段AB和直线l。以直线l为
对称轴，作与线段AB成轴对称的图形。
2. 如图，已知直角三角形ABC。
（1）以直角边AC 所在的直线为对称轴，
作出与直角三角形ABC成轴对称的图形。
（2）第（1）题作出的图形和原图形能组成一个等腰三角形吗？请说
明理由。
▶例2
如图2-8，直线l表示草原上的一条河流。一骑马少年从A地出
发，去河边让马饮水，然后返回位于B 地的家中。他沿怎样的路线骑行，能
使路程最短？作出这条最短路线。
分析：如图2-8，设P是直线上任意一
点，连结AP，BP。以直线l为对称轴，作与
线段AP 成轴对称的线段A'P，则AP＋BP
＝A'P＋BP。显然，当点A'，P，B 同在一直
线上时，A'P＋BP最短，即路程最短。
解：如图2-8，作点A 关于直线l 的对称点A'，连结A'B，交直线l 于点
C，连结AC。骑马少年沿折线A—C—B的路线骑行时路程最短。
下面给出证明：
设P是直线l上任意一点，连结AP，A'P。
由作图知，直线l垂直平分AA'，则
AC＝A'C，AP＝A'P（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）。
则AP＋BP＝A'P＋BP≥A'B，A'B＝A'C+BC＝AC＋BC，
即AP＋BP≥AC＋BC，
所以骑马少年沿折线A—C—B的路线骑行时路程最短。
C
B
A
（第2题）
（第1题）
A
B
l
A'
C
A
B
l
P
图2-8
56
第2章
特殊三角形
A组
课内练习
KENEILIANXI
1. 线段、角是轴对称图形吗？如果你认为是轴对称图形，分别说出它
们的对称轴。
2. 如图，已知图形X 和直线l。以直线l 为对
称轴，图形X的轴对称图形是（
）。
作业题
ZUOYETI
1. 作出下列轴对称图形的所有对称轴。
2. 如图，以直线l1为对称轴，作点P 的对称
点P1；以直线l2为对称轴，作点P 的对称
点P2 。
3. 如图，以直线l 为对称轴，作与所给图形
X成轴对称的图形。
（第2题）
X
l
（B）
（A）
X '
X '
l
l
（D）
（C）
X '
X '
l
l
（1）
（2）
（3）
（第1题）
1
2
3
4
1
2
3
4
5
6
l1
P
l2
（第2题）
X
l
（1）
l
X
（2）
（第3题）
57
数学
八年级上册
B组
4. 如图，五边形ABCDE 是轴对称图形，其中E，
C 是一对对称点。作出五边形ABCDE 的对
称轴，并解答下列问题：
（1）连结EC，则对称轴和线段EC 有怎样的
位置关系？
（2）原图中有哪些相等的角？哪些全等的三
角形？
（3）分别作出点F，G关于所作对称轴对称的点。
5. 如图，P为直线MN上一点，∠APM＝∠BPN。
（1）以MN为对称轴，作与线段BP成轴对称的线段B'P。
（2）点A，P，B'是否在同一条直线上？请说明理由。
6. 如图，在四边形ABCD 中，AC⊥BD 于点E，BE＝DE。若AC＝
30 cm，BD＝20 cm，求阴影部分的面积。
（第6题）
C
D
E
B
A
丄丄丄丄丄丄丄丄丄丄丄
丄丄丄丄丄丄丄丄丄丄丄
丄丄丄丄丄丄丄丄丄丄丄
丄丄丄丄丄丄丄丄丄丄丄
丄丄丄丄丄丄丄丄丄丄丄
丄丄丄丄丄丄丄丄丄丄丄
丄丄丄丄丄丄丄丄丄丄丄
丄丄丄丄丄丄丄丄丄丄丄
丄丄丄丄丄丄丄丄丄丄丄
丄丄丄丄丄丄丄丄丄丄丄丄丄丄丄丄丄丄
丄丄丄丄丄丄丄丄丄丄丄丄丄丄丄丄丄丄
丄丄丄丄丄丄丄丄丄丄丄丄丄丄丄丄丄丄
丄丄丄丄丄丄丄丄丄丄丄丄丄丄丄丄丄丄
丄丄丄丄丄丄丄丄丄丄丄丄丄丄丄丄丄丄
丄丄丄丄丄丄丄丄丄丄丄丄丄丄丄丄丄丄
丄丄丄丄丄丄丄丄丄丄丄丄丄丄丄丄丄丄
丄丄丄丄丄丄丄丄丄丄丄丄丄丄丄丄丄丄
丄丄丄丄丄丄丄丄丄丄丄丄丄丄丄丄丄丄
丄丄丄
丄丄丄
丄丄丄
丄丄丄
丄丄丄
丄丄丄
丄丄丄
丄丄丄
丄丄丄
丄丄丄丄丄丄丄丄
丄丄丄丄丄丄丄丄
丄丄丄丄丄丄丄丄
丄丄丄丄丄丄丄丄
丄丄丄丄丄丄丄丄
丄丄丄丄丄丄丄丄
丄丄丄丄丄丄丄丄
丄丄丄丄丄丄丄丄
丄丄丄丄丄丄丄丄
（第5题）
A
B
N
P
M
（第4题）
B
A
F
E
G
D
C
设计题
SHEJITI
生活中的轴对称
我们在生产、生活中可以发现很多体现轴对称的实际例子。请以4～5 人为一
组，收集5～10 个这样的例子（可以是照片或实物等）。你可以从你的周围生活环
境、报刊书籍或互联网上进行收集。先小组交流，然后在全班作书面或口头报告，
展示收集到的实例。
58
第2章
特殊三角形
在小学我们已经学过，有两边相等的三角形叫作等
腰三角形（isosceles triangle）。如图2-9，在△ABC 中，AB
＝AC，△ABC是等腰三角形。
做一做
ZUOYIZUO
1. 如图，点D 在AC 上，AB＝AC，AD＝BD。你
能在图中找到几个等腰三角形？分别说出每个等腰三角形的腰、底
边和顶角。
2. 已知线段a，b（如图）。用直尺和圆规作等
腰三角形ABC，使AB＝AC＝b，BC＝a。
▶例1
求证：等腰三角形两腰上的中线相等。
已知：如图2-10，在△ABC中，AB＝AC，CD，BE分别是腰AB，AC上的
中线。
求证：BE＝CD。
证明：因为CD，BE分别是AB，AC上的中线（已知），
所以AD＝1
2AB，AE＝1
2AC（三角形中线的定义）。
因为AB＝AC（已知），
则有AD＝AE。
又因为∠A＝∠A（公共角），
可知△ABE≌△ACD（SAS）。
所以BE＝CD（全等三角形的对应边相等）。
图2-9
B
C
A
腰
腰
底角底角
顶
角
底边
（第1题）
A
B
C
D
（第2题）
a
b
A
C
B
图2-10
D
E
等腰三角形的应用在人们的生活中随
处可见。例如，埃及金字塔的四个侧面均为
等腰三角形。
2.2
等腰三角形
等腰三角形
59
数学
八年级上册
合作学习
HEZUOXUEXI
在透明纸上任意画一个等腰
三角形ABC，画出它的顶角平分
线AD（图2-11），然后沿着AD 所
在的直线把△ABC 对折（图2-
12）。你发现了什么？由此你得
出什么结论？
（请与你的同伴交流）
当我们沿着等腰三角形ABC（图2-11）的顶角平分线AD 所在的直线把
△ABC对折时，因为∠BAD＝∠CAD，所以射线AB与AC重合。又因为AB＝
AC，所以点B 与点C 重合，即直线AD 两侧的图形能够完全重合。因此，我
们有下面的结论：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线是它的
对称轴。
我们知道，三条边都相等的三角形叫作等边三角形
（equilateral triangle）。如图2-13，AB＝BC＝AC，△ABC
是一个等边三角形。等边三角形是特殊的等腰三角形。
想一想，等边三角形有几条对称轴？
▶例2
如图2-14，在△ABC 中，AB＝AC，D，E 分
别是AB，AC上的点，且AD＝AE。AP是△ABC的角平
分线。点D，E关于AP对称吗？DE与BC有怎样的位置
关系？请说明你的判断。
解：点D 和点E 关于AP 对称，且DE∥BC。理由
如下：
因为AP 是∠BAC 的平分线，AB＝AC，AD＝AE，所以等腰三角形
ABC 和等腰三角形ADE 都是以直线AP 为对称轴的轴对称图形，点B 和点
C，点D和点E都关于AP对称。根据“对称轴垂直平分连结两个对称点的线
段”，知AP⊥DE，AP⊥BC，所以DE∥BC。
图2-11
图2-12
A
B
D
C
A
D
C（B）
图2-14
A
D
E
B
C
P
图2-13
A
B
C
60
第2章
特殊三角形
（第2题）
C
F
B
E
A
A组
B组
C组
课内练习
KENEILIANXI
1. 已知等腰三角形的两条边长分别为1 cm，3 cm。
求第三条边长。
2. 如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC。
（1）作出△ABC的对称轴AD。
（2）分别作出点E，F关于AD的对称点。
作业题
ZUOYETI
1. 若等腰三角形的两边长分别是4和6，则它的周长是（
）。
（A）14
（B）15
（C）16
（D）14或16
2. 作一个等腰三角形，使它的腰长为3 cm，底边长为2 cm。
3. 已知线段a（如图），用直尺和圆规作等边三角形
ABC，使它的边长为a。然后作出它的所有对称轴。
4. 等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分成15 cm 和
6 cm两部分。求等腰三角形的底边长。
5. 求证：有两条高线长相等的三角形是等腰三角形。
6. 在如图所示的4×4 方格图中，点A，B，C，D，
E，F，G，H 均在小方格的顶点上。以其中三
个点为顶点，能构成多少个等腰三角形？
（第6题）
A
H
D
E
B
G
F
C
（第3题）
a
61
数学
八年级上册
任意画一个等腰三角形，通过折叠、测量等方式，探索它的内角之间有
什么关系。你发现了什么？
（请与你的同伴交流）
等腰三角形性质定理1：等腰三角形的两个底角相等。这个定理也可
以说成在同一个三角形中，等边对等角。
下面给出证明。
已知：如图2-15，在△ABC中，AB＝AC。
求证：∠B＝∠C。
证明：如图2-15，作△ABC的角平分线AD。
在△ABD和△ACD中，
因为
ì
í
î
ïïï
ïïï
AB＝AC（已知），
∠BAD＝∠CAD（角平分线的定义），
AD＝AD（公共边），
可得△ABD≌△ACD（SAS）。
所以∠B＝∠C（全等三角形的对应角相等）。
▶例1
求等边三角形ABC三个内角的度数。
解：如图2-16，在△ABC中，
因为AB＝AC（已知），
所以∠B＝∠C（等腰三角形的两个底角相等）。
同理，∠A＝∠B。
A
B
C
图2-16
将一把三角尺和一个重锤如图放置，就能
检查一根横梁是否水平。你知道为什么吗？
你能根据等腰
三角形的轴对称性
证明上述定理吗？
A
D
C
B
图2-15
1
2.3
等腰三角形的性质定理
等腰三角形的性质定理
62
第2章
特殊三角形
因为∠A＋∠B＋∠C＝180°，
所以∠A＝∠B＝∠C＝1
3×180°＝60°。
由“等腰三角形的两个底角相等”，可以得到以下推论：
等边三角形的各个内角都等于60
60°。
▶例2
求证：等腰三角形两底角的平分线相等。
已知：如图2-17，在△ABC 中，AB＝AC，BD 和CE 是
△ABC的两条角平分线。
求证：BD＝CE。
分析：要证明BD＝CE，只需证明△BCE≌△CBD
（或△ABD≌△ACE）。因为BC 是△BCE 和△CBD 的公共边，所以只需证
明∠ABC＝∠ACB，∠BCE＝∠CBD。这可由已知AB＝AC，BD 和CE 是
△ABC的两条角平分线得到。
上述从所求出发的分析思路可以简明地表示成图2-18。
证明：如图2-17。
因为AB＝AC（已知），
所以∠ABC＝∠ACB（等腰三角形的两个底角相等）。
由BD，CE分别是∠ABC，∠ACB的平分线，
可知∠CBD＝1
2∠ABC，∠BCE＝1
2∠ACB（角平分线的定义），
故有∠CBD＝∠BCE。
又因为BC＝CB（公共边），
所以△BCE≌△CBD（ASA）。
所以BD＝CE（全等三角形的对应边相等）。
BD＝CE
△BCE≌△CBD
AB＝AC
∠ABC＝∠ACB
∠BCE＝∠CBD
BD，CE是△ABC
的角平分线
BC＝CB
图2-18
D
C
B
E
A
图2-17
63
数学
八年级上册
A组
课内练习
KENEILIANXI
1. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ACD＝100°，则∠A的大小为
。
2. 已知：如图，在△ABC 中，AB＝AC，P 为BC 的中点，D，E 分别为
AB，AC 上的点，且AD＝AE。求证：PD＝PE。先将分析的思路表
示在下图中，再写出证明过程。
作业题
ZUOYETI
1. 已知等腰三角形的顶角是底角的2倍，求这个三角形各内角的度数。
2. 如图，AD，BE 是等边三角形ABC 的两条角平分线，AD，BE 相交于
点O。求∠AOB的度数。
3. 如图，已知∠α 和线段a。用直尺和圆规作△ABC，使AB＝AC＝a，
∠B＝∠α。
D
A
E
B
4
1
2
3
C
（第4题）
（第2题）
D
A
E
B
C
O
（第3题）
a
α
A
D
E
C
B
P
（第2题）
D
C
B
A
（第1题）
（要证）
（只需证）
（已知）
PD＝PE
△BPD≌△CPE
（已知）
（已知）
BD＝CE
BP＝CP
AB＝AC
64
第2章
特殊三角形
图2-20
D
E
A
C
B
（第5题）
D
C
B
A
图2-19
D
E
C
B
A
图2-21
B组
4. 已知：如图，在△ABC 中，D，E 分别是AB，AC 边上的点，且AD＝
AE，∠1＝∠2。求证：∠3＝∠4。
5. 如图，在△ABC 中，AB＝AC，CD 是
∠ACB 的平分线，DE∥BC，交AC 于点E，
且∠CDE＝25°。求∠A，∠B的度数。
2
合作学习
HEZUOXUEXI
如图2-19，在△ABC 中，AB＝AC，AD 是角平分线。
在图中找出所有相等的线段和相等的角。由此你发现等
腰三角形还有哪些性质？
（请与你的同伴交流）
用动态几何软件探索等腰三角形底边上的高
线、中线、角平分线三线合一的性质。
如图2-20，在动态几何软件中画直线MN 及
△ABC，使点A，B 在直线MN 上，点C 在直线MN
外，再画△ABC的高线CD，中线CE和角平分线CF。
测量AC，BC的长度。拖动点C，观察AC，BC的
长度关系及D，F，E 三点的位置变化。当AC，BC 的
长度相等时，D，F，E 三点的位置如何？由此你发现
了什么？
等腰三角形性质定理2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和
高线互相重合，简称等腰三角形三线合一。
请你自己写出证明过程。
▶例3
已知：如图2-21，AD平分∠BAC，∠ADB＝∠ADC。
求证：AD⊥BC。
证明：如图2-21，延长AD，交BC于点E。
因为AD平分∠BAC，
所以∠BAD＝∠CAD（角平分线的定义）。
65
数学
八年级上册
图2-22
a
h
A
C
D
l
B
图2-23
B
D
C
F
E
G
A
（第1题）
而AD＝AD（公共边），
∠ADB＝∠ADC（已知），
可得△ABD≌△ACD（ASA），
所以AB＝AC（全等三角形的对应边相等），
由此可得△ABC是等腰三角形（等腰三角形的定义）。
又因为AE是等腰三角形ABC顶角的平分线，
所以AE⊥BC（等腰三角形三线合一），
即AD⊥BC。
▶例4
已知线段a，h（图2-22），用直尺和圆规作
等腰三角形ABC，使底边BC＝a，底边BC 边上的高线长
为h。
分析：要作出等腰三角形ABC，关键是作出顶点
A。设底边BC 上的高线为AD，根据“等腰三角形三线
合一”的性质，AD 也是底边BC 上的中线。因此，只要作
BC 的垂直平分线l，然后在l 上截取DA＝h，连结AB，
AC，就得到所求作的等腰三角形。
作法：如图2-23。
1.作线段BC＝a。
2.作线段BC的垂直平分线l，交BC于点D。
3.在直线l上截取DA＝h，连结AB，AC。
△ABC就是所求作的等腰三角形。
课内练习
KENEILIANXI
1. 已知：如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD⊥BC 于点
D。E 为AD 上一点，EF⊥AB，EG⊥AC，F，G 分别
为垂足。求证：EF＝EG。
2. 解答本节节前语中的问题。
66
第2章
特殊三角形
D
C
B
A
1 2
（第1题）
A组
B组
作业题
ZUOYETI
1. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上。
（1）若∠1＝∠2，则AD
。
（2）若AD⊥BC，则AD
。
（3）若BD＝CD，则AD
。
2. 已知∠α 和线段a（如图），用直尺和圆规作等腰三
角形ABC，使顶角∠BAC＝∠α，底边BC＝a。
3. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D。若AB＝5，BD＝4，
求△ABC的周长。
4. 已知：如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD 是BC 边上的中线，E 是AB
上一点，且DE＝AE。求证：DE∥AC。
5. 已知：如图，在△ABC 中，AB＝AC，D 为CA 延长线上一点，DE⊥
BC，交AB于点F。求证：∠D＝∠AFD。
（第2题）
a
α
D
C
B
A
（第3题）
（第4题）
E
A
B
D
C
D
F
B
E
C
A
（第5题）
67
数学
八年级上册
根据等腰三角形的定义，如果一个三角形的两条边相等，那么就可判定
这个三角形是等腰三角形。除此之外，还有其他判定方法吗？
合作学习
HEZUOXUEXI
在纸上任意画线段BC，分别以点B 和点C 为顶点，以BC 为一边，在BC
的同侧画两个相等的锐角，两角的另一边相交于点A。量一量，线段AB 与
AC相等吗？其他同学的结果与你的相同吗？你发现了什么规律？
等腰三角形的判定定理：
有两个角相等的三角形是等腰三角形。
下面我们给出证明。
已知：如图2-24，在△ABC中，∠B＝∠C。
求证：△ABC是等腰三角形。
证明：如图2-24，作△ABC的角平分线AD。
在△ABD和△ACD中，
因为
ì
í
î
ïïï
ïïï
∠1 = ∠2（角平分线的定义），
∠B = ∠C（已知），
AD = AD（公共边），
可得△ABD≌△ACD（AAS），
从而有AB＝AC（全等三角形的对应边相等），
所以△ABC是等腰三角形。
上述判定定理可以简单地说成：在同一个三角形中，等角对等边。
图2-24
B
C
1 2
D
A
如图所示，量出AC的长，就可算出河的宽
度AB。你知道为什么吗？
2.4
等腰三角形的判定定理
等腰三角形的判定定理
B
C
60° A
30°
68
第2章
特殊三角形
▶例
一次数学实践活动的内容是测量河宽，如图2-25，即测量点A，B
之间的距离。同学们想出了许多方法，其中小聪的方法是：从点A 出发，沿
着与直线AB 成60°角的AC 方向前进至C，在C 处测得∠C＝30°。量出AC
的长，它就是河的宽度（即点A，B 之间的距离）。这个方法正确吗？请说明
理由。
解：这个方法正确。理由如下：
因为∠CAD＝∠B＋∠C（三角形的外角等于
与它不相邻的两个内角的和），
而∠B＝∠CAD－∠C＝60°－30°＝30°，
则∠B＝∠C，
所以AB＝AC（在同一个三角形中，等角对等边）。
等边三角形的判定定理：
三个角都相等的三角形是等边三角形。
（请你自己给出证明）
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
下面给出证明。
因为已知60°的角可能是等腰三角形的底角，也可能是顶角，所以分两
种情形：
（1）若60°的角是等腰三角形的底角，则另一个底角也等于60°，所以顶
角为180°－2×60°＝60°，可得这个等腰三角形的三个角都相等，所以这个等
腰三角形是等边三角形。
（2）若60°的角是等腰三角形的顶角，则它的两个底角都等于180°－60°
2
＝60°，可得这个等腰三角形的三个角都相等，所以这个三角形是等边三
角形。
课内练习
KENEILIANXI
1. 已知一个三角形的两个角的度数分别为43°，94°，这个三角形是不
是等腰三角形？请说明理由。
2. 已知：如图，在△ABC 中，D，E 分别是AB，AC 上的点，DE∥BC，
∠1＝∠2。求证：△ABC是等腰三角形。
60°
C
A
B
D
图2-25
C
D
E
1
2
A
B
（第2题）
30°
69
数学
八年级上册
探究活动
TANJIUHUODONG
（第1题）
A
B
C
北
52°
26°
A组
B组
作业题
ZUOYETI
1. 如图，上午8 时，一艘船从A 处出发，以15 海里/时的速度向正北方
向航行，9 时45 分到达B 处。从A 处测得灯塔C 在北偏西26°方向，
从B处测得灯塔C在北偏西52°方向。求B处到灯塔C的距离。
2. 如图，AD 平分△ABC 的外角∠EAC，AD∥BC。△ABC 是等腰三
角形吗？证明你的判断。
3. 如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠1＝∠2。△ABD 与△ACD 全等
吗？证明你的判断。
4. 如图，BD 是等腰三角形ABC 的底边AC 上的高线，DE∥BC，交AB
于点E。判断△BDE是不是等腰三角形，并证明你的判断。
5. 风力发电机风轮的三个叶片的长度相等，每两个叶片（中心线）所成
的角为120°。如果用线段把每两个叶片的外端连结起来，那么所得
如图2-26，有甲、乙两个三角形。甲三角形的内角分别为10°，20°，150°；乙三角
形的内角分别为80°，25°，75°。你能把三角形甲、乙分别分成两个等腰三角形吗？
画一画，并标出各角的度数。
进一步探究：如果一个三角形能被分成两个等腰三角形，那么这个三角形的三
个内角具有怎样的特征？
75°
80°
25°
乙
150°
10°
20°
甲
图2-26
C
A
E
B
D
1
2
3
（第4题）
C
B
A
D
E
（第2题）
A
B
C
D
1
2
（第3题）
70
第2章
特殊三角形
C组
的三角形是等边三角形吗？请说明理由。
6. 把一张顶角为36°的等腰三角形纸片剪两刀，分成三张小纸片，使每
张小纸片都是等腰三角形。你能办到吗？请画示意图说明剪法。
B
O
C
A
（第5题）
请仔细阅读表2-1中的四个命题，填写并思考：命题（1）和命题（2），命题
（3）和命题（4），它们的条件和结论有什么关系？
表2-1
命题
（1）两直线平行，同位角相等。
（2）同位角相等，两直线平行。
（3）如果a＝b，那么a2＝b2。
（4）如果a2＝b2，那么a＝b。
条件
结论
命题真假
对于两个命题，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个
命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题互为逆命题。如果把其
中一个命题叫作原命题（original statement），那么另一个命题就叫作它的逆
考虑两个命题：
“等腰三角形是轴对称图
形。”
“轴对称图形是等腰三角形。”这两个命题有
什么不同？有什么联系？它们都是真命题吗？
2.5
逆命题和逆定理
逆命题和逆定理
71
数学
八年级上册
命题（converse statement）。例如，表2-1 中，命题（1）与命题（2），命题（3）与
命题（4），它们都是互逆命题。
每个命题都有它的逆命题，但真命题的逆命题不一定是真命题。例如，
表2-1 中，命题（3）是真命题，而它的逆命题（4）是假命题。如果一个定理的
逆命题能被证明是真命题，那么就称之为原定理的逆定理（converse
theorem），这两个定理互为逆定理。
做一做
ZUOYIZUO
1. 说出下列命题的逆命题，并判定逆命题的真假。
（1）长方形有两条对称轴；
（2）正数大于零。
2. 说出两对互逆的定理。
▶例1
说出定理“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆
命题，并证明这个逆命题是真命题。
解：这个定理的逆命题是：到线段两端距离相等的点在线段的垂直
平分线上。下面给出证明。
已知：AB是一条线段，P是一点，且PA＝PB。
求证：点P在线段AB的垂直平分线上。
分析：要证明点P 在线段AB 的垂直平分线上，可以过点P 作AB 的垂
线，然后证明它恰好平分线段AB。
证明：（1）当点P在线段AB上时，结论显然成立。
（2）当点P不在线段AB上时，如图2-27，
作PC⊥AB于点O。
由PA＝PB，PO⊥AB，
可得OA＝OB（根据什么？），
故PC是AB的垂直平分线。
所以点P 在线段AB的垂直平分线上。
可见，线段垂直平分线性质定理的逆命题是真命题，我们把它叫作线段
垂直平分线性质定理的逆定理。
图2-27
O
C
B
A
P
72
第2章
特殊三角形
A组
B组
▶例2
说出命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题，判断这个逆
命题的真假，并说明理由。
解：逆命题是：
“如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全
等。”这个逆命题是假命题。举反例如下：
如图2-28，在△ABC 中，AB≠AC，AD 为BC 边
上的中线，则△ABD 与△ACD 的面积相等，但它们
不全等（为什么？）。所以这个逆命题是假命题。
课内练习
KENEILIANXI
1. 写出下列各命题的逆命题，并判断原命题和逆命题的真假。
（1）同位角相等；
（2）如果
|
| a ＝
|
| b ，那么a＝b。
2. 下列定理中，哪些有逆定理？如果有，说出它的逆定理。
（1）等腰三角形的两个底角相等；
（2）内错角相等，两直线平行；
（3）等边三角形的三个角都是60°；
（4）对顶角相等。
作业题
ZUOYETI
1. 下列说法对吗？请说明理由。
（1）每个定理都有逆定理；
（2）每个命题都有逆命题；
（3）假命题没有逆命题；
（4）真命题的逆命题是真命题。
2. 写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）等边三角形有一个角等于60°；
（2）等腰三角形两腰上的高线长相等。
3. 下列定理中，哪些有逆定理？如果有，写出它的逆定理。
（1）同旁内角互补，两直线平行；
（2）三角形的两边之和大于第三边。
4. 写出定理“等腰三角形底边上的高线与中线互相重合”的逆命题，并
证明这个逆命题是真命题。
5. 求证：三角形三条边的垂直平分线相交于一点。
A
C
D
B
图2-28
73
数学
八年级上册
我们知道，有一个角是直角的三角形叫作直角三角形
（right triangle），直角三角形可以用符号“Rt△”表示，如图
2-29的三角形可记为Rt△ABC。
在现实生活中，我们常常会接触到各种各样的直角
三角形，如广告牌的支架、雨棚骨架（图2-30）等。
因为“三角形三个内角的和等于180°”，直角三角形两个锐角的和为
180°－90°＝90°，所以直角三角形有以下性质定理：
直角三角形的两个锐角互余。
做一做
ZUOYIZUO
1. 已知直角三角形两个锐角的度数之比为3∶2，求这两个锐角的度数。
2. 已知：如图，D 是Rt△ABC 斜边AB 上的一点，BD＝
CD。求证：AD＝CD。
从本题中，你发现直角三角形斜边上的中线有什么
性质？
A
C
B
斜边
直
角
边
直角边
图2-29
图2-30
雨
棚
骨
架
广
告
牌
支
架
（第2题）
A
B
C
D
这个图案是由七巧板拼成的。你能从图中
找出多少个直角三角形？
1
2.6
直角三角形
直角三角形
74
第2章
特殊三角形
A组
直角三角形还有以下性质定理：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
▶例1
如图2-31，一名滑雪运动员沿着倾斜角
为30°的斜坡，从A 滑行至B，已知AB＝200 m。问：
这名滑雪运动员的高度下降了多少米？
分析：如图2-31，作AC⊥BC 于点C，这样问题
就归结为求直角边AC 的长。已知AB＝200 m，由
“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，可得斜
边上的中线等于100 m。添上这条中线后，就构成含
已知线段和所求线段的新三角形ADC，由此就能找
到未知量和已知量之间的关系。
解：如图2-32，作Rt△ABC斜边上的中线CD，
则CD＝AD＝1
2AB＝1
2×200＝100（m）（直角三角形斜边上的中线等
于斜边的一半）。
因为∠B＝30°，
所以∠A＝90°－∠B＝90°－30°＝60°（直角三角形的两个锐角互余）。
进而可得△ADC是等边三角形（为什么？），
故AC＝AD＝100（m）。
答：这名滑雪运动员的高度下降了100 m。
课内练习
KENEILIANXI
1. 如图，在Rt△ABC中，AC⊥BC，CD⊥AB。
找出所有互余的角。
2. 已知在Rt△ABC 中，斜边上的中线CD＝
5 cm，求斜边AB的长。
作业题
ZUOYETI
1. 在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝3∠C。求∠B，∠C的度数。
B
A
C
D
（第1题）
A
C
30°
图2-31
B
A
D
C
B
30°
图2-32
75
数学
八年级上册
B组
2. 用一副三角尺拼出甲、乙两个图形，求：
（1）图甲中，∠ABD的度数。
（2）图乙中，∠DCF，∠CFD，∠AEF的度数。
3. 已知：如图，△ABC是等腰三角形，AC⊥BC，CD⊥AB。
（1）求∠A，∠B的度数。
（2）求证：AD＝CD＝BD。
4. 如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝1.5。D 为斜边
AB的中点，连结CD。求AC，CD的长。
5. 如图，在Rt△ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，∠CDA＝80°。求
∠A，∠B的度数。
6. 如图，已知AD⊥BD，AC⊥BC，E 为AB 的中点。试判断DE 与CE
是否相等，并给出证明。
A
E
C
F
B
乙
D
D
C
A
B
甲
（第2题）
D
C
A
B
（第5题）
A
D
C
B
（第6题）
E
C
B
D
A
（第3题）
C
D
B
A
（第4题）
76
第2章
特殊三角形
2
说出定理“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题。这个逆命题正确
吗？你是怎样判定的？
直角三角形的判定定理：
有两个角互余的三角形是直角三角形。
事实上，根据“三角形三个内角的和等于180°”，当一个三角形中有两个
角互余时，它的第三个角就等于90°，所以这个三角形是直角三角形。
做一做
ZUOYIZUO
根据下列条件判断△ABC 是不是直角三
角形，并说明理由。
（1）有一个外角为90°；
（2）∠A＝36°，∠B＝54°；
（3）如图，∠1与∠2互余，∠B＝∠1。
▶例2
已知：如图2-33，在△ABC中，CD是AB边上的中线，CD＝1
2AB。
求证：△ABC是直角三角形。
证明：由CD是AB边上的中线（已知），
可知AD＝BD＝1
2AB（三角形中线的定义）。
又因为CD＝1
2AB（已知），
所以CD＝AD，
所以∠A＝∠ACD（在同一个三角形中，等边对等角）。
同理，∠B＝∠BCD。
因为∠A+∠B+∠ACD+∠BCD＝180°（为什么？），
所以∠A+∠B＝∠ACD+∠BCD＝1
2×180°＝90°，
所以△ABC是直角三角形（有两个角互余的三角形是直角三角形）。
D
C
B
A
1
2
［第（3）题］
D
B
C
A
图2-33
77
数学
八年级上册
（第2题）
A
B
D
1 2
C
（第1题）
（第2题）
D
A
C
B
1
（第3题）
D
B
C
A
E
B
D
A
C
E
1
2
（第4题）
D
G
C
B
F
A
E
2
1
（第5题）
A组
B组
课内练习
KENEILIANXI
1. 在如图的方格纸上画三个互不全等的直角三角形，使其顶点都在格
点上，并用符号“Rt△”和字母将它们表示出来。
2. 已知：如图，在△ABC 中，D 是AB 上一
点，∠1＝∠B，∠A＝∠2。求证：△ABC
是直角三角形。
作业题
ZUOYETI
1. 根据下列条件判断△ABC是不是直角三角形，并说明理由。
（1）∠B＝50°，∠C＝40°；
（2）∠B＝∠C＝45°；
（3）∠A，∠B，∠C的度数比为5∶3∶2。
2. 如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD⊥BC 于点D，∠1＝∠C。求∠B，
∠C，∠BAC的度数。
3. 如图，AB∥CD，AC 平分∠BAD，BD 平分∠ADC，AC 和BD 交于点
E。写出图中所有的直角三角形（不要求证明）。
4. 已知：如图，A，B，D 在同一条直线上，∠A＝∠D＝Rt∠，AC＝BD，
∠1＝∠2。求证：△BEC是等腰直角三角形。
5. 已知：如图，BD⊥AC，E 为垂足，△ABE 的中
线FE 的延长线交CD 于点G，∠1＝∠2。求
证：△CGE是直角三角形。
78
第2章
特殊三角形
合作学习
HEZUOXUEXI
（1）剪四个全等的直角三角形纸片（图2-34），把它们按图2-35 放入一
个边长为c的正方形中。这样就拼成了一个形如图2-35的图形。
（2）设剪出的直角三角形纸片的
两条直角边长分别为a，b，斜边长为c。
分别计算图2-35 中的蓝色部分的面积
和大、小两个正方形的面积。
（3）比较图2-35中蓝色部分和大、
小两个正方形的面积，你发现了什么？
你还有其他拼图方法得到这些结论吗？请与你的同伴交流。
一般地，直角三角形的三条边长有下面的关系：
直角三角形两条直角边长的平方和等于斜边长的平方。
如果a，b为直角三角形的两条直角边的长，c为斜边的长，那么
a
2＋b
2＝c
2。
我国早在三千多年前就知道直角三角形的这个性质。古人称直角三角
形的直角边中较短的一边为勾，较长的一边为股，斜边为弦，因此这一性质
也称为勾股定理。
勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系，是数学中最著名的定理
之一，在图形研究、生活生产实践中有着广泛的应用。
图2-34
A
b
B
a
C
c
a
c
b
图2-35
如图是在北京召开的第24 届国际数学家大会
（ICM-2002）的会标。它的设计思路可追溯到3 世
纪中国数学家赵爽使用的弦图。用弦图证明勾股
定理在数学史上有着重要的地位。
1
2.7
探索勾股定理
探索勾股定理
79
数学
八年级上册
▶例1
已知在△ABC中，∠C＝Rt∠，BC＝a，AC＝b，AB＝c。
（1）若a＝1，b＝2，求c；
（2）若a＝15，c＝17，求b。
解：（1）根据勾股定理，得c
2＝a
2+b
2＝1
2+2
2＝5。
因为c＞0，所以c＝
5。
（2）根据勾股定理，得b
2＝c
2-a
2＝17
2-15
2＝64。
因为b ＞0，所以b＝8。
▶例2
图2-36是一个长方形零件图。根据所给的尺寸（单位：mm），求
两孔中心A，B之间的距离。
分析：解决问题的关键是构造出含所求
线段的直角三角形，然后用勾股定理求解。
解：过A 作铅垂线，过B 作水平线，两线
交于点C，则∠ACB＝90°，
AC＝90－40＝50（mm），
BC＝160－40＝120（mm）。
在Rt△ACB中，由勾股定理，得
AB
2＝AC
2＋BC
2＝50
2＋120
2＝16 900（mm
2）。
因为AB＞0，所以AB＝130（mm）。
答：两孔中心A，B之间的距离为130 mm。
课内练习
KENEILIANXI
1. 在△ABC中，∠C＝Rt∠，AB＝c，BC＝a，AC＝b。
（1）若a＝4
5，b＝3
5，求c；
（2）若a＝12，c＝13，求b；
（3）若c＝34，a∶b＝8∶15，求a，b。
2. 利用圆规和图中数轴上方的正方形网格线，在数轴上表示
5，13
的点。
40
A
B
C
90
40
160
图2-36
（第2题）
80
第2章
特殊三角形
A
D
C
（第3题）
B
A组
B组
（第6题）
作业题
ZUOYETI
1. 在△ABC中，∠C＝Rt∠，BC＝a，AC＝b，AB＝c。
（1）若a＝9，b＝12，求c；
（2）若a＝9，c＝41，求b；
（3）若c＝10，b＝7，求a。
2. 利用圆规和图中数轴上方的正方形网格线，在数轴上表示
10 的点。
3. 如图，在△ABC 中，AB＝AC，AB＝17，BC＝16。
（1）求BC边上的中线AD的长。
（2）求△ABC的面积。
4. 如图，甲船以15 千米/时的速度从港口A 向正南方向航行，乙船以
20 千米/时的速度同时从港口A 向正东方向航行。行驶2 小时后，两
船相距多远？
5. 一个屋架的形状如图。已知AC＝10 m，BC＝12 m，AC⊥BC，CD⊥
AB于点D。求立柱CD的长和点D的位置（结果精确到0.1 m）。
6. 《九章算术》中记载了一道有趣的数学题：
“今有池方一丈，葭生其中
央，出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐。问：水深、葭长各几何？”这道题
的意思是说：有一个边长为1 丈的正方形水池，在池的正中央长着一
根芦苇，芦苇露出水面1 尺。若将芦苇拉到池边中点处，芦苇的顶端
恰好与水面齐平。问:水有多深，芦苇有多长？
（1 丈＝10 尺）请你解决
这两个问题。
（第2题）
A
B
C
北
（第4题）
A
C
D
B
（第5题）
81
数学
八年级上册
设计题
SHEJITI
勾股定理的证明
勾股定理是数学中一个非常重要的定理，它的证明方法已超过五百种，是至今
为止证明方法最多的定理之一。
中国古代数学家很早就发现了勾股定理，三国时期的
赵爽创制了一幅“弦图”
（图2-37），创造性地证明了勾股
定理。
勾股定理在西方文献中称为毕达哥拉斯定理，其有据
可查的证明见于欧几里得的《原本》。
以4～5 人为一组，查阅有关资料，写一篇关于勾股定
理证明的数学小论文。
图2-37
朱
实
弦实
股四
勾
三
弦五
2
说出勾股定理的逆命题。这个逆命题正确吗？
合作学习
HEZUOXUEXI
（1）作三个三角形，使其边长分别为3 cm，4 cm，5 cm；1.5 cm，2 cm，2.5
cm；5 cm，12 cm，13 cm。
（2）算一算较短两条边的平方和与最长一条边的平方是否相等。
（3）量一量所作每一个三角形最长边所对角的度数。
由此你得到怎样的猜想？用命题的形式表述你的猜想。
（请与你的同伴交流）
一般地，我们有下面勾股定理的逆定理：
如果三角形中两边长的平方和等于第三边长的平方，那么这个三
角形是直角三角形。
证明略。
82
第2章
特殊三角形
▶例3
根据下列条件，分别判断以a，b，c为边的三角形是不是直角三角形。
（1）a＝7，b＝24，c＝25；
（2）a＝2
3，b＝1，c＝2
3。
解：（1）因为7
2+24
2＝25
2，所以以7，24，25为边的三角形是直角三角形。
（2）因为( )
2
3
2
+( )
2
3
2
＝8
9≠1
2，也就是较小两边的平方和不等于较大边
的平方，可知a，b，c 中任何两边的平方和都不等于第三边的平方，所以以
2
3，1，2
3 为边的三角形不是直角三角形。
▶例4
已知△ABC的三条边长分别为a，b，c，且a＝m
2－n
2，b＝2mn，c＝
m
2＋n
2（m＞n，m，n是正整数）。△ABC是直角三角形吗？证明你的判断。
解：△ABC是直角三角形。证明如下：
已知a＝m
2－n
2，b＝2mn，c＝m
2＋n
2（m＞n，m，n是正整数），
因为a
2＋b
2＝（m
2－n
2）
2＋（2mn）
2＝m
4－2m
2n
2＋n
4＋4m
2n
2
＝m
4＋2m
2n
2＋n
4＝（m
2＋n
2）
2＝c
2，
所以△ABC是直角三角形（勾股定理的逆定理）。
课内练习
KENEILIANXI
1. 根据下列条件，判断以a，b，c为边的三角形是不是直角三角形。
（1）a＝20，b＝21，c＝29；
（2）a＝5，b＝7，c＝8；
（3）a＝
7，b＝
3，c＝2。
2. 如图，以△ABC 的每一条边为边作三
个正方形。已知这三个正方形构成的
图形中，绿色部分的面积与蓝色部分
的面积相等，则△ABC 是直角三角形
吗？请证明你的判断。
（第2题）
A
B
C
83
数学
八年级上册
A
B
C
D
（第4题）
C
B
D
A
（第3题）
A组
B组
作业题
ZUOYETI
1. 根据下列条件，判断以a，b，c为边的三角形是不是直角三角形。
（1）a＝7，b＝8，c＝10；
（2）a＝35，b＝12，c＝37；
（3）a＝
41，b＝4，c＝5；
（4）a＝3n，b＝4n，c＝5n（n为正整数）；
（5）a∶b∶c＝5∶12∶13。
2. 已知：如图，最大正方形的面积等于较小两个
正方形面积的和。求证：这三个正方形的
边构成的△ABC是直角三角形。
3. 如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝2，BD＝1，
CD＝
3。判断下列结论是否正确，并说明
理由。
（1）CD⊥AB；
（2）AC⊥BC。
4. 如图，在四边形ABCD 中，AB＝3，BC＝4，
CD＝12，AD＝13，∠B＝90°。求四边形ABCD
的面积。
5. 请结合本节例4，说出三个互不全等的直角三角形的边长，且要求它
们的边长均为正整数。
（第2题）
A
B
C
b
a
c
阅读材料
YUEDUCAILIAO
从勾股定理到图形面积关系的拓展
我们知道，勾股定理反映了直角三角形三条边
之间的关系：a
2＋b
2＝c
2。而a
2，b
2，c
2又可以看成以
a，b，c 为边长的正方形的面积，因此，勾股定理也可
以表述为：分别以直角三角形两条直角边为边长的
两个正方形的面积之和，等于以斜边为边长的正方
形的面积。如图2-38，S1＋S2＝S3。
C
A
B
a
b
c
S3
S2
图2-38
S1
84
第2章
特殊三角形
F
A
B
C
E
D
a
b
c
S3
S1
S2
图2-39
图2-40
S3
S1
S2
C
A
B
S3
S1
S2
C
A
B
图2-41
S3
如果以直角三角形的三条边a，b，c为边，向形
外分别作等边三角形（图2-39），那么是否存在
S1＋S2＝S3呢？
根据等边三角形的性质和勾股定理，不难求
得等边三角形BCD 的高线长为
3
2 a，于是S1＝
1
2 ⋅a ⋅
3
2 a＝
3
4 a
2。
同理，S2＝
3
4 b
2，S3＝
3
4 c
2。
则S1＋S2＝
3
4 a
2＋
3
4 b
2＝
3
4（a
2＋b
2）。
因为a
2＋b
2＝c
2，所以S1＋S2＝
3
4 c
2＝S3。
这说明，分别以直角三角形的三条边a，b，c 为边向形外作正三角形，也
存在S1＋S2＝S3。
类似地，上述结果是否适用于其他图形？
例如，图2-40 是分别以直角三角形的三边为
直径作三个半圆，则S1＋S2＝S3成立吗？
再画几个类似的图试一试，结论成立吗？由
此，我们可以发现一个有趣的结论。其实，在欧几
里得时代，人们就已经知道了勾股定理的一些拓
展。例如，
《原本》第六卷命题31 提及：
“在一个直
角三角形中，在斜边上所画的任何图形的面积，等于在两条直角边上所画的
与其相似的图形的面积之和。”
公元前约400 年，古希腊的希波克拉底（约前
460～约前370）研究了他自己所画的形如图2-41
的图形，得出如下结论：
“两个月牙形的面积之和，
等于△ABC 的面积，即S1＋S2＝S3。”你能说明理
由吗？
85
数学
八年级上册
l1，l2，l3三条道路两两相交。你能找出一点，使
它到三条道路的距离都相等吗？
合作学习
HEZUOXUEXI
（1）回顾：要判定两个三角形全等，我们已经有哪些方法？
（2）有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等吗？如果对应角是
直角呢？可以通过作图、叠合等方法进行探索。
（请与你的同伴交流）
直角三角形全等还有下面的判定定理：
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成
“斜边、直角边”或“HL”）。
下面我们给出证明。
已知：如图2-42，在△ACB 和△A'C'B'中，∠C＝
∠C'＝Rt∠，AB＝A'B'，AC＝A'C'。
求证：Rt△ABC≌Rt△A'B'C'。
分析：因为AC＝A'C'，所以可考虑以AC 为一
边作一个直角三角形，使它和Rt△A'B'C'全等，然后
只要证明所作的直角三角形和Rt△ABC全等。
证明：如图2-43，延长BC 至D，使CD＝B'C'，
连结AD。
由AC＝A'C'（已知），∠ACD＝Rt∠＝∠C'，
得△ADC≌△A'B'C'（SAS），
故有AD＝A'B'（全等三角形的对应边相等）。
因为A'B'＝AB（已知），
D
A
B
C
图2-43
A
C
B
B'
C'
A'
图2-42
2.8
直角三角形全等的判定
直角三角形全等的判定
l1
l2
l3
86
第2章
特殊三角形
所以AD＝AB。
又因为AC⊥BD，AC是等腰三角形ABD的高线，
所以BC＝CD（等腰三角形三线合一）。
而AC＝AC（公共边），
可得△ADC ≌△ABC（SSS），
所以△ABC ≌△A'B'C'。
做一做
ZUOYIZUO
已知线段a，c（如图），用直尺和圆规作
Rt△ABC，使∠C＝Rt∠，BC＝a，AB＝c。
▶例
已知：如图2-44，P 是∠AOB 内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，D，E 分
别是垂足，且PD＝PE。求证：点P在∠AOB的平分线上。
分析：如图2-45，要证明点P在∠AOB的平分线上，可以转化为证明射
线OP平分∠AOB。
证明：如图2-45，作射线OP。
由PD⊥OA，PE⊥OB（已知），
可得∠PDO＝∠PEO＝Rt∠。
又因为OP＝OP（公共边），PD＝PE（已知），
所以Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）。
所以∠1＝∠2，即点P在∠AOB的平分线上（角平分线的定义）。
由此，我们可得到角平分线性质定理的逆定理：
角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上。
a
c
A
D
O
P
E
B
图2-44
你有其他证明
方法吗？
A
D
O
P
E
B
1
2
图2-45
87
数学
八年级上册
A组
B组
课内练习
KENEILIANXI
1. 已知：如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，
DE⊥AB 于点E，DF⊥AC 于点F，且DE＝
DF。求证：AB＝AC。
2. 已知△ABC（如图），用直尺和圆规作一点
P，使它到三边的距离都相等（只要求作出图形，并保留作图痕迹）。
作业题
ZUOYETI
1. 具有下列条件的Rt△ABC 与Rt△A'B'C'（其中∠C＝∠C'＝Rt∠）
是否全等？如果全等，写出理由。
（1）AC＝A'C'，∠A＝∠A'；
（2）AC＝A'C'，BC＝B'C'；
（3）∠A＝∠A'，∠B＝∠B'；
（4）AB＝A'B'，∠B＝∠B'；
（5）AC＝A'C'，AB＝A'B'。
2. 已知：如图，AB⊥BD 于点B，CD⊥BD 于点D，P 是BD 上一点，且
AP＝PC，AP⊥PC。求证：△ABP≌△PDC。
3. 已知：如图，∠B＝∠E＝Rt∠，AB＝AE，∠1＝∠2。求证：∠3＝∠4。
4. 已知：如图，∠ABD＝∠ACD＝90°，∠1＝∠2。
求证：AD平分∠BAC。
5. 已知：如图，在△ABC 中，AD⊥BC 于点D，
E 为AC 上一点，且BF＝AC，DF＝DC。求
证：BE⊥AC。
A
B
C
D
A
B
C
E
F
（第1题）
B
A
C
D
1
2
（第4题）
D
C
B
A
E
F
（第5题）
B
C
D
E
A
1
2
3
4
（第3题）
A
B
P
D
C
（第2题）
（第2题）
88
第2章
特殊三角形
小结与反思
一、知识梳理
本章我们主要学习了两类特殊三角形：等腰三角形和直角三角形。等腰三角
形是典型的轴对称图形，等腰三角形的性质反映了轴对称图形的特性，在认识轴对
称图形的基础上，我们能更好地理解等腰三角形的性质。直角三角形的两锐角关
系、三边关系是几何领域最重要的数量关系之一。
本章学习流程和知识结构如下：
二、回顾与反思
1.轴对称图形有什么性质？成轴对称的图形有什么特点？
2.等腰三角形有哪些性质？等边三角形有哪些特殊的性质？如何判定一个三
角形是等腰三角形或等边三角形？
3. 直角三角形的边、角之间分别存在着怎样的关系？如何判断一个三角形是
直角三角形？如何判定两个直角三角形全等？
4.写出线段垂直平分线性质定理和角平分线性质定理的逆定理。
5.请举例说明“一个命题成立，它的逆命题不一定成立”。
6.在本章学习中，你还获得了哪些解决问题的方法和经验？
一
般
三
角
形
特
殊
三
角
形
等腰三角形
等边三角形
直角三角形
轴对称图形
性质
判定
逆命题、
逆定理
性质
性质
判定
性质
判定
全等的判定
勾股定理及
其逆定理
线段垂直平分线性质
定理的逆定理
角平分线性质定理的
逆定理
89
数学
八年级上册
目标与评定
目标
2.1节
2.2节
A
★认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形。理解轴对称图形的概念。
★通过具体实例理解图形的轴对称的概念，探索它的基本性质。
★能画出简单平面图形关于给定对称轴的对称图形。
★理解等腰三角形的概念。探索等腰三角形的轴对称性。
1. 如图所示的“天平”是轴对称图形吗？如果是，作出它的对称轴。
2. 在图形T上补一个小正方形，使它成为一个轴对称图形，并画出对称轴。你有几
种方法？
3. 如图，直线l1，l2，l3相交于一点O，每两条直线之间所成的锐角均为60°。
（1）先以直线l2为对称轴，作与图形Y 成轴对称的图形Y '；再以直线l1为对称
轴，作与图形Y'成轴对称的图形Y″。
（2）以直线l3为对称轴，作与图形Y成轴对称的图形。你发现了什么？
（3）设计一组图形的轴对称，使图形Y最终回到原来的位置，并描述这个过程。
4. 如图是一幅镶嵌图。该镶嵌图可以由图形F经多次平移和轴对称得到吗？如果
你认为可以，简要地描述平移和轴对称过程；否则说明理由。
5. 如图所示的图案是一个轴对称图形（不考虑颜色），直线l 是它的一条对称轴。
已知圆的半径为r，求绿色部分的面积。
6. 如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC。先作出它的对称轴，然后作点E的对称点。
（第3题）
l3
O
l2
l1
Y
（第1题）
T
（第2题）
（第4题）
F
C
B
A
E
（第6题）
l
（第5题）
90
第2章
特殊三角形
目标
2.3节
2.4节
2.5节
B
7. 已知等腰三角形的一边长为3，另一边长为6，求它的周长。
8. 用两块同样大小的含30°角的直角三角尺拼出等腰三角形。你有多少种不同的
方法？分别画出示意图，并说明理由。
★探索并证明等腰三角形的性质定理；探索并掌握等腰三角形的判定定理。
★探索等边三角形的性质定理和判定定理。
★结合具体例子，了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，并知道原命题成
立，其逆命题不一定成立。
★探索并证明线段垂直平分线性质定理的逆定理：到线段两端距离相等的点
在线段的垂直平分线上。
9. 已知等腰三角形一个内角的度数为54°，求其余各个内角的度数。
10. 已知：如图，B，D，E，C在同一直线上，AB＝AC，AD＝AE。求证：BD＝CE。
11. 已知：如图，AB＝AE，∠B＝∠E，BC＝ED，CF＝DF。求证：AF⊥CD。
12. 如图，在△ABC 中，AC＝BC，D，E 分别在AB，AC 上，
且DE∥BC。判断△ADE 是不是等腰三角形，并给出
证明。
13. 求证：有两条高线相等的三角形必有两个内角相等。
14. 已知：△ABC 的边BC 上的中线是△ABC 的一条角平分
线。求证：△ABC是等腰三角形。
15. 已知：如图，O 为等边三角形ABC 的两条角平分线的交
点。求证：
（1）OC平分∠ACB。
（2）OA＝OB＝OC。
A
E
D
F
C
B
（第11题）
D
E
C
B
A
（第10题）
C
D
B
O
A
E
（第15题）
D
E
A
B
C
（第12题）
91
数学
八年级上册
目标
2.6节
2.7节
2.8节
C
16. 如图，在等边三角形ABC 的AC，BC 边上各取一点P，Q，使AP＝CQ，AQ，BP
相交于点O。求∠BOQ的度数。
17. 已知：如图，点A'，B'，C'分别在等边三角形ABC 的三边上，且AC'＝BA'＝CB'。
求证：△A'B'C'是等边三角形。
18. 说出下列命题的逆命题，并判断原命题和逆命题的真假。
（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
（2）直角三角形只有两个锐角；
（3）有一条边和这条边上的中线对应相等的两个三角形全等。
★理解直角三角形的概念。
★探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余；直角三
角形斜边上的中线等于斜边的一半。
★掌握直角三角形的判定定理：有两个角互余的三角形是直角三角形。
★探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题。
★探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理。
★探索并证明角平分线性质定理的逆定理：角的内部，到角两边距离相等的
点在这个角的平分线上。
19. 在Rt△ABC中，∠C＝Rt∠。
（1）若AB＝5，BC＝3，则AC＝
；
（2）若BC＝
2，AC＝2，则AB＝
。
20. 用刻度尺和圆规作一条长度为
5 cm的线段。
21. 在Rt△ABC 中，∠C＝Rt∠，AB＝5，BC＝3。求斜边上的
高线及中线的长。
22. 已知：如图，AD 是△ABC 的高线，E 是AB 上一点，CE 交
AD于点F，∠AFE＝∠B。求证：CE⊥AB。
A'
B'
C'
B
C
A
（第17题）
Q
C
B
A
P
O
（第16题）
C
D
B
E
A
F
（第22题）
92
第2章
特殊三角形
目标
D
23. 已知：如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高线，
CE 是AB 边上的中线，DG⊥CE 于G，CD＝AE。
求证：CG＝EG。
24. 已知△ABC 的三边a＝m－n（m＞n＞0），b＝
2
mn，c＝m＋n。
（1）求证：△ABC是直角三角形。
（2）利用第（1）题的结论，写出两个直角三角形的边长，要求它们的边长均为正
整数。
25. 如图，CD＝BE，DG⊥BC，EF⊥BC，垂足分别为点G，
F，且DG＝EF。判断下列结论是否正确，并给出
证明。
（1）BG＝CF；
（2）BD＝CE。
26. 已知∠O 及其边上两点A 和B（如图）。用直尺和圆规
作一点P，使点P 到∠O 两边的距离相等，且到点A，B
的距离也相等。
★初步学会综合运用等腰三角形和直角三角形的知识解决一些简单的实际
问题。
27. 如图所示的钢架中，∠A＝20°，焊上等长的钢条P1P2，P2P3，P3P4，P4P5…来加固
钢架。若P1A＝P1P2，这样的钢条至多需要多少根？
28. 如图，一架2.5 米长的梯子AB 斜靠在竖直的墙AC 上，这时B 到墙底端C 的距
离为0.7米。如果梯子的顶端沿墙面下滑0.4米，那么点B将向外移动多少米？
D
C
E
B
A
G
（第23题）
D
E
G
B
F
C
（第25题）
A
B
O
（第26题）
P1
P3 P5
P2
P4
B
C
A
20°
（第27题）
A
A1
B
B1
C
（第28题）
93
等式与不等式表示了现实世界中量
的比较关系，等式表示数量之间的相等关
系，不等式则表示数量之间的不等关系。
日常生活中存在大量涉及不等关系的问
题。例如：
某种礼花弹导火索的燃烧速度为
0.02 m/s，点燃导火索的人需在礼花燃放
前跑到15 m 以外的安全区域。如果人离
开的速度为3 m/s，那么导火索至少应
多长？
本章我们将类比等式和方程，学习不
等式及其基本性质、一元一次不等式（组）
及其解法。通过本章的学习，我们将找到
解决上述问题的方法。
第3章
一元一次不等式
数学
八年级上册
水电站水库的水位x（米）太低或
太高时，都将影响发电机的运作。如
何刻画水位的安全高度呢？
我们以前学习的量与量之间的关系大多是相等关系。在现实生活中，
除了相等量的情况外，还经常遇到不等量的情况。如何表示量与量之间的
不等关系呢？
合作学习
HEZUOXUEXI
下列问题中的数量关系能用等式表示吗？若不能，
应该用怎样的式子表示？
（1）图3-1 是公路上汽车的限速标志，表示汽车在该
路段行驶的速度不得超过80 km/h。用v（km/h）表示汽
车的速度，怎样表示v与80之间的关系？
（2）据科学家测定，太阳表面的温度不低于6 000 ℃。设太阳表面的温
度为t（℃），怎样表示t与6 000之间的关系？
（3）如图3-2，天平左盘放3 个乒乓球，右盘放5 g 砝码，天平向左倾斜。
设每个乒乓球的质量为x（g），怎样表示x与5之间的关系？
（4）如图3-3，小聪与小慧玩跷跷板。两人都不用力时，跷跷板左低右
高。已知小聪的身体质量为p（kg），他所背书包的质量为2 kg，小慧的身体
质量为q（kg），怎样表示p，q之间的关系？
图3-1
图3-2
x
5 g
图3-3
小聪
小慧
3.1
认识不等式
认识不等式
96
第3章
一元一次不等式
（5）要使代数式x＋3
x－3 有意义，x的值与3之间应满足什么关系？
请仔细观察这些数学式子，它们有什么共同特点？
（请与你的同伴交流）
像v≤80，t≥6 000，3x＞5，p＋2＞q，x≠3 这样，用符号“＜”
（或“≤”），
“＞”
（或“≥”），
“≠”连接而成的数学式子，叫作不等式（inequality）。这些用
来连接的符号统称不等号（inequality symbol）。
▶例1
根据下列数量关系列不等式：
（1）a是正数；
（2）y的2倍与6的和比1小；
（3）x
2 减去10不大于10；
（4）设a，b，c为一个三角形的三条边长，任意两边之和大于第三边。
解：（1）a＞0；
（2）2y＋6＜1；
（3）x
2－10≤10；
（4）a＋b＞c，a＋c＞b，b＋c＞a。
做一做
ZUOYIZUO
解下列各题：
（1）已知x1＝1，x2＝2。请在数轴上表示出x1，x2的位置。
（2）x＜1表示怎样的数的全体？x≥2表示怎样的数的全体？
x＜a 表示小于a 的全体实数，在数轴上对应a 左边的所有点，不包括a
在内（图3-4）
❶；x≥a 表示大于或等于a 的全体实数，在数轴上对应a 右边的
所有点，包括a 在内（图3-5）；b＜x＜a（b＜a）表示大于b 而小于a 的全体实
数，在数轴上对应如图3-6。
❶为了表示a为任意值，如图3-4，图3-5，图3-6这样的数轴中不标注原点和单位长度，下同。
图3-4
a
图3-6
a
b
图3-5
a
97
数学
八年级上册
类似地，你能在数轴上分别标出与x＞a，x≤a 和b≤x＜a（b＜a）对应
的点吗？
▶例2
一座小水电站的水库水位为12～20 m（包括12 m，20 m）时，发
电机能正常工作。设水库水位为x（m）。
（1）用不等式表示发电机正常工作的水位范围，并把它表示在数轴上。
（2）当水位在下列位置时，发电机能正常工作吗？
①x1＝8；②x2＝10；③x3＝15；④x4＝19。
用不等式和数轴给出解释。
解：（1）用不等式表示发电机能正常工作的水位范围是12≤x≤20，在
数轴上表示如图3-7。
（2）把x1＝8，x2＝10，x3＝15，x4＝19表示在数轴上，如图3-8。
显然，x3，x4满足不等式12≤x≤20，而x1，x2不满足。也就是说，当水位
在15 m，19 m 时，发电机能正常工作；当水位在8 m，10 m 时，发电机不能正
常工作。
课内练习
KENEILIANXI
1. 选择适当的不等号填空：
（1）2
3；
（2）－
8
－3；
（3）－a
2
0；
（4）若x≠y，则－x
－y。
2. 根据下列数量关系列不等式：
（1）x的4倍小于3；
（2）y减去1不大于2；
（3）x的2倍与1的和大于x；
（4）a的一半不小于－7。
图3-7
0
2
4
6
8
10
12 14
16
18
20
（单位：m）
图3-8
0
2
4
6
8
10
12 14
16
18
20
（单位：m）
x1
x2
x3
x4
98
第3章
一元一次不等式
A组
B组
3. 在数轴上表示下列不等式：
（1）x＞－3；
（2）x≥－
2；
（3）x＜1.5。
作业题
ZUOYETI
1. 选择适当的不等号填空：
（1）8
11；
（2）－10
11
－9
10；
（3）－
2
－
3；
（4）（a－b）
2
0。
2. 用等式或不等式表示下列问题中的数量关系。
（1）某市身高不超过1.2 m的儿童可免费乘坐公共汽车。记可以免
费乘坐公共汽车的儿童的身高为h（m）。
（2）某农户今年的收入比去年多1.5 万元。记去年的收入为p 万
元，今年的收入为q万元。
3. 根据下列数量关系列不等式：
（1）x的7倍减去1是正数；
（2）y的1
3 与1
3 的和不大于0；
（3）正数a与1的和的算术平方根大于1；
（4）y的20%不小于1与y的和。
4. 在数轴上表示下列不等式：
（1）x＜4；
（2）x≥－3；
（3）－2＜x≤4。
5. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，选择适当的不等号填空。
（1）a
b；
（2）
|
| a
|
| b ；
（3）a+b
0；
（4）a－b
0；
（5）ab
0。
6. 在数轴上表示不等式－2≤x＜
17 以及x 的下列取值：－1，－2，
－2.5，0，4，4 1
2，并利用数轴说明，x 的这些取值中，哪些满足不等
式－2≤x＜
17，哪些不满足。
（第5题）
b
0
a
99
数学
八年级上册
合作学习
HEZUOXUEXI
（1）已知a＜b和b＜c，在数轴上表示如图3-9。
由数轴上a 和c 的位置关系，你能得出什么结论？你能举几个具体的例
子加以说明吗？
（2）若a＞b，则a＋c与b＋c哪个较大？a－c与b－c呢？请分别用数轴
上点的位置关系和具体的例子加以说明。
不等式的基本性质1：a＜b，b＜c⇒a＜c。这个性质也叫作不等式的
传递性。
不等式的基本性质2：不等式的两边都加上（或减去）同一个数，所
得到的不等式仍成立。
a＞b⇒a＋c＞b＋c，a－c＞b－c；
a＜b⇒a＋c＜b＋c，a－c＜b－c。
做一做
ZUOYIZUO
选择适当的不等号填空：
（1）因为0
1，所以a
a＋1（不等式的基本性质2）；
（2）因为（a－1）
2
0，所以（a－1）
2－2
－2（不等式的基本性质2）。
图3-9
a
b
c
对于左图中的问题，你认为ac 是大于bc，还
是小于bc？用几个具体的例子试试看。
3.2
不等式的基本性质
不等式的基本性质
100
第3章
一元一次不等式
现在让我们来考虑不等式的两边都乘（或都除以）同一个不为零的数的
情况。
对于不等式2＜3，两边都乘5（或除以5），所得的不等式2×5＜3×5（或
2
5＜3
5）仍成立吗？若两边都乘－5（或除以－5）呢？再举几个例子试一试，你
有什么结论？
不等式的基本性质3：不等式的两边都乘（或都除以）同一个正数，所
得的不等式仍成立；不等式的两边都乘（或都除以）同一个负数，必须
改变不等号的方向，所得的不等式成立。
a＞b，且c＞0⇒ac＞bc，a
c＞b
c；
a＞b，且c＜0⇒ac＜bc，a
c＜b
c。
▶例
已知a＜0，试比较2a与a的大小。
分析：比较2a 与a 的大小，可以利用不等式的基本性质；也可以利用数
轴，直接得出2a与a的大小。
解法一：因为2＞1，a＜0（已知），
所以2a＜a（不等式的基本性质3）。
解法二：在数轴上分别表示2a和a的点（a＜0），
如图3-10。
2a位于a的左边，所以2a＜a。
课内练习
KENEILIANXI
1. 填空：
（1）若x＋1＞0，两边都加上－1，得
（依据：
）；
图3-10
|a|
a
2a
0
|a|
还有其他比较
2a 与a 的大小的方
法吗？
101
数学
八年级上册
探究活动
TANJIUHUODONG
（2）若2x＞－6，两边都除以2，得
（依据：
）；
（3）若－1
3 x≤1
2，两边都乘－3，得
（依据：
）。
2. 选择适当的不等号填空：
（1）若a－b＞0，则a
b；
（2）若a＞－b，则a+b
0；
（3）若－a＜b，则a
－b；
（4）若－a＞－b，则2－a
2－b；
（5）若a＞0，且（1－b）a＜0，则b
1；
（6）若a＜b，b＜2a－1，则a
2a－1。
比较等式与不等式的基本性质，它们有什么异同点？
例如，等式是否有与不等式的基本性质1类似的传递性？不等式是否有与等式
的基本性质类似的移项法则？你可以用列表的方式进行对比。
（请与你的同伴交流）
表3-1
等式
a＝b，b＝c⇒
…
不等式
a＜b，b＜c⇒
…
102
第3章
一元一次不等式
A组
B组
作业题
ZUOYETI
1. 选择适当的不等号填空：
（1）若a＞b，则b
a；
（2）若a＞b，且b＞c，则a
c。
2. 按下列条件，写出仍能成立的不等式：
（1）
7＞
5，两边都减去
5，得
；
（2）x＋1
2＜0，两边都加上(
)
－1
2 ，得
；
（3）9m
7 ＞4n
3 ，两边都乘21，得
；
（4）－0.9＜－0.3，两边都除以（－0.3），得
；
（5）－8
7x≤1，两边都乘(
)
－7
8 ，得
。
3. 某品牌计算机键盘的单价在60元至70元之间（包括60元和70元），
买3个这样的键盘需要多少钱（用适当的不等式表示）？
4. 若x＞y，比较2－3x与2－3y的大小，并说明理由。
5. 若x＜y，且（a－3）x＞（a－3）y，求a的取值范围。
6. 老王和小张在同一家公司工作。老王每月的工资比小张高，但不到
他的两倍。新一年开始时，公司给他们同时加薪10%，问：加薪后
老王的工资仍不到小张的两倍吗？如果每人各加薪500 元呢？请
说明理由。
103
数学
八年级上册
某种U盘的存储容量为128 G
❶。有一
批视频文件，若每个文件占用空间为2.5 G，
则这个U盘至多能存放多少个这样的文件？
❶G是GB的简称，是计算机储存信息的容量单位。
观察下列不等式：
（1）x＞4；
（2）3x＞30；
（3）2x＋1
3
＜x
2；
（4）1.5x＋12＜0.5x＋1。
它们有哪些共同特征？请将它们与一元一次方程比较。
不等号的两边都是整式，而且只含有一个未知数，未知数的最高次数是
一次，这样的不等式叫作一元一次不等式（linear inequality in one unknown）。
与方程的解类似，我们把使不等式成立的未知数的值叫作不等式的解，
所有这些解的全体称为这个不等式的解集（solution set）。求不等式解集的
过程叫作解不等式。
例如，x＝10.1，11，12 都是3x＞30 的解，3x＞30
的解集是x＞10，表示大于10 的实数的全体，在数轴
上表示如图3-11。
▶例1
解下列不等式，并在数轴上表示解集。
（1）4x＜10；
（2）－3
5x≥1.2。
0
2
4
6
8
10 12 14 16 18
图3-11
把x＝10.1 代入
不等式3x＞30，不等
式成立吗？能否因
此就说该不等式的
解集是x＝10.1？
1
3.3
一元一次不等式及其解法
一元一次不等式及其解法
104
第3章
一元一次不等式
分析：解不等式就是利用不等式的基本性质，把要求解的不等式变形
成“x＞a”
（或“x≥a”），
“x＜a”
（或“x≤a”）的形式。
解：（1）两边都除以4，得x＜5
2。
这个不等式的解集在数轴上的表示如图3-12所示。
（2）两边都除以－3
5，得x≤－2。
这个不等式的解集在数轴上的表示如图3-13所示。
▶例2
解不等式7x－2≤9x＋3，在数轴上表示解集，并求出不等式的
负整数解。
解：先在不等式的两边都加上－9x，再在不等式的两边都加上2，
得7x－9x≤3＋2。
合并同类项，得－2x≤5。
两边都除以－2，得x≥－5
2。
不等式的解集表示在数轴上如图3-14 所示。不等式的负整数解是x＝
－1和x＝－2。
由例2 可以看出，把不等式中的任何一项
的符号改变后，再从不等号的一边移到另一
边，不等式仍成立（图3-15）。也就是说，在解
不等式时，移项法则同样适用。
课内练习
KENEILIANXI
1. 解下列不等式，并把解集表示在数轴上。
（1）1－x＞2；
（2）－1
7x≤1；
（3）6x－1＞9x－4。
7x －2 ≤9x ＋3
7x －9x ≤3 ＋2
图3-15
0
－1
1
2
3
图3-12
5
2
图3-13
0
－1
1
－2
－3
图3-14
0
－1
1
－2
－3
－4
－5
2
2
3
105
数学
八年级上册
A组
B组
2. 下列不等式的解法正确吗？如果不正确，请改正。
（1）－2x＜－4。
解：两边都除以－2，得x＜2。
（2）x＋1＞2x－3。
解：移项，得4＞x，即x＞4。
3. 解不等式2.5x－4＜1
2x－1，把解集表示在数轴上，并求出满足不等
式的正整数解。
作业题
ZUOYETI
1. 填空：
（1）不等式3x＞1 的解集是
，不等式－x＞3 的解
集是
；
（2）不等式x＋1≥3 的解集是
，不等式2＜x－1
的解集是
；
（3）一个不等式的解集在数轴上表示如图，则这个不等式的解集
是
。
2. 解下列不等式，并把解集表示在数轴上。
（1）－1
2x＜1；（2）3x－1≥2x＋4；（3）5x－2＞11x＋3。
3. 解不等式0.5x－3＞－14－2.5x，把解集表示在数轴上，并求出满足
不等式的最小负整数和最小正整数。
4. 写出两个解集为x＞8的不等式。
5. 某批服装的进价为每件200 元，商店标价每件300 元出售。现商店
准备将这批服装降价出售，但要保证毛利润率不低于5%。问：售
价最低可按标价的几折？
2
1
0
4
3
5
－1
－2
－3
（第1题）
106
第3章
一元一次不等式
2
解一元一次不等式与解一元一次方程的步骤类似。解一元一次不等式
的一般步骤和根据如下：
表3-2
1
2
3
4
5
步骤
去分母
去括号
移项
合并同类项，得ax＞b，
或ax＜b（a≠0）
两边同除以a（或乘1
a）
根据
不等式的基本性质3
单项式乘多项式法则
不等式的基本性质2
合并同类项法则
不等式的基本性质3
▶例3
解不等式3（1－x）＞2（1－2x）。
解：去括号，得3－3x＞2－4x。
移项，得－3x+4x＞2－3。
合并同类项，得x＞－1。
▶例4
解不等式1＋x
2
≤1＋2x
3
+1，并把解集在数轴上表示出来。
解：去分母，得3（1＋x）≤2（1＋2x）+6。
去括号，得3＋3x≤2＋4x＋6。
移项，得3x－4x≤2＋6－3。
合并同类项，得－x≤5。
两边都除以－1，得x≥－5。
这个不等式的解集表示在数轴上如图3-16所示。
解一元一次不等式，是根据不等式的基本性质，将不等式逐步化为“x＞
a（或x≥a）”或“x＜a（或x ≤a）”的形式。
－1
－2
－3
－4
－5
－6
0
1
2
3
4
图3-16
当a＜0 时，不
等式中的不等号必
须改变方向。这是
与解一元一次方程
的不同之处。
注意
107
数学
八年级上册
A组
B组
课内练习
KENEILIANXI
解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来。
（1）5x－3＜1－3x；
（2）1
3 y≥1－1
2 y；
（3）3（1－3x）－2（4－2x）≤0；
（4）2x－1
4
－1＋x
6
≥1；
（5）1
6（2－m）－3≥m
10。
作业题
ZUOYETI
1. 解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来。
（1）3x－5＜2（2＋3x）；
（2）3（5－x）＞2（x－2）－4。
2. 解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来。
（1）2＋x
2
≥2x－1
3
；
（2）x－x＋2
2
＜2－x
3
。
3. 求满足不等式3（2＋x）＞2x的最小负整数。
4. 一次垃圾分类知识竞赛一共有20 道题，答对一题得5 分，不答得0
分，答错扣2分。小聪有1道题没答，竞赛成绩超过80分，则小聪至
多答错了几道题？
5. 解下列不等式：
（1）1－0.1x＋1
0.4
＞1－0.15x
0.5
；
（2）x（x－1）≤（x＋1）
2。
108
第3章
一元一次不等式
3
合作学习
HEZUOXUEXI
一部电梯的额定限载量为1 000千克。两人要用电
梯把一批货物从底层搬到顶层，这两人的身体质量分别
为60 千克和80 千克，货物每箱的质量为50 千克。问：
若两人一起乘梯，则每次最多搬运货物多少箱？
建议讨论下列问题：
（1）选择哪一种数学模型？是列方程，还是列不
等式？
（2）问题中有哪些相等的数量关系和不等的数量关系？
应用一元一次不等式可以刻画和解决实际生活中一些数量不等关系的
问题。解决问题的一般过程是：
1.审题：分析题意，找出题中的数量及其相等或不等关系。
2.设元：选择一个适当的未知数用字母表示（例如x）。
3.列不等式：根据不等关系列出不等式。
4.解不等式：求出未知数的取值范围。
5.检验：检查求得的取值范围是否正确和符合实际情形，并得出答案。
▶例5
有一家庭工厂投资2 万元购进一台机器，用于生产某种商品。
这种商品每个的成本是3 元，出售价是5 元，应付的税款和其他费用是销售
收入的10%。问：至少需要生产、销售多少个这种商品，才能使所获利润
（销售收入减去成本、税款和其他费用）超过投资购买机器的费用？
分析：每生产、销售一个这种商品的利润是（5－3－5×10%）元，因此
生产、销售x 个这种商品的利润是（5－3－5×10%）x 元。问题中不等的数
量关系是：
所获利润＞购买机器款。
利用这个不等关系就可以列出关于x的一元一次不等式。
解：设生产、销售这种商品x 个，则所得利润为（5－3－5×10%）x 元。
由题意，得（5－3－5×10%）x＞20 000，
109
数学
八年级上册
解得x＞13 333.3·。
答：至少要生产、销售这种商品13 334个。
▶例6
某中学八年级师生计划包车到研学基地参加社会实践活动，某
长运公司有A型、B型两种客车，它们的载客量和日租金如表3-3：
表3-3
车型
A型客车
B型客车
每辆载客量/人
45
30
每辆租金/元
1 250
1 000
学校根据实际情况，计划租用A，B 型两种客车共8 辆。设租用A 型客
车x辆，根据要求回答下列问题：
（1）用含x的式子完成表3-4：
表3-4
车型
A型客车
B型客车
车辆数/辆
x
载客量/人
租金/元
（2）若要保证租车费用不超过9 000元，最多租用A型客车多少辆？
（3）参加此次活动的总人数为298 人。如果按第（2）题的方案租车，可
行吗？
分析：问题中涉及的量和数量关系有：
A型客车数量＋B型客车数量＝8；
每种车型载客量＝单车载客量×车辆数；
每种车型租金＝单车租金×车辆数；
A型客车租金＋B型客车租金≤9 000。
解：（1）设租用A 型客车x 辆，则A 型客车载客量为45x 人，A 型客车
租金为1 250x元；租用B 型客车（8－x）辆，B 型客车载客量为30（8－x）人，B
型客车租金为1 000（8－x）元。
如表3-5：
表3-5
车型
A型客车
B型客车
车辆数/辆
x
8－x
载客量/人
45x
30（8－x）
租金/元
1 250x
1 000（8－x）
110
第3章
一元一次不等式
A组
B组
（2）租车总费用为［1 250x＋1 000（8－x）]元。
由题意，得1 250x＋1 000（8－x）≤9 000，解得x≤4。
答：若要保证租车费用不超过9 000元，最多租用A型客车4辆。
（3）当x＝4 时，即租A 型客车4 辆，B 型客车为8－4＝4（辆），能载客总
人数为45×4＋30×4＝300（人）。300＞298，所以租A 型客车、B 型客车各4
辆的方案是可行的。
课内练习
KENEILIANXI
1. 在点礼花时，如果导火索燃烧的速度是0.02 m/s，人跑开的速度
是3 m/s，那么要使点导火索的施工人员在点火后能够跑到15 m 以
外（包括15 m）的安全地区，这根导火索的长度至少应取多少米？
2. 写出一个包含不等关系的实际问题，列出一元一次不等式，并求解。
作业题
ZUOYETI
1. 已知一种卡车每辆至多能载3 吨货物。现有100 吨黄豆，若要一次
运完这批黄豆，至少需要这种卡车多少辆？
2. 某企业向银行贷款1 000 万元，一年后归还银行贷款的本利和超过
1 040万元。问：贷款年利率在怎样的一个范围内？
3. 商店里一种20 瓦（即0.02 千瓦）LED 灯的亮度相当于60 瓦（即0.06
千瓦）的节能灯，LED 灯售价30 元/个，节能灯售价15 元/个。如果
电价是0.5 元/千瓦时，问：LED 灯使用多少时间后，总费用（售价加
电费）少于选用节能灯的费用（用电量＝千瓦数×用电时数）？
4. A，B，C，D四座小山的山脚到学校的路程分别是9 km，11 km，12 km，
14 km。学校准备组织一次八年级学生登山活动，计划在上午8时出
发，以平均每小时4 km的速度前进，登山和在山顶活动的时间为1小
时，下山的时间为30 分钟，再以平均每小时3 km 的速度返回，在下
午4 时30 分前赶回学校。你认为学校可计划登哪几座山？请说明
理由。
111
数学
八年级上册
在现实生活中，我们会遇到一个未知数需要同时满足若干个不等式的情
况，如节前语的问题，我们可以列出两个不等式：2（x＋7）＞350，70x＜7 560。
我们将这两个不等式合起来，记作
ì
í
î
2（x＋7）＞350，
70x＜7 560。
一般地，由几个含同一个未知数的一元一次不等式所组成的一组不等
式，叫作一元一次不等式组。例如，
ì
í
î
3x－2＞1－2x，
x ≥0，
ì
í
î
ï
ïïï
3.5x＜5x－2，
1－x
2
＞x－3
3
都是一
元一次不等式组。
组成不等式组的各个不等式解集的公共部分，就是不等式组的解集。
当它们没有公共部分时，我们称这个不等式组无解。
▶例1
解一元一次不等式组
ì
í
î
ï
ïïï
3x＋2＞x，
①
1
3 x ≤2。
②
分析：根据一元一次不等式组的解集的意义，只要分别求出①，②两个
不等式的解集，并把解集表示在同一条数轴上，两个不等式的解集的公共部
分即为不等式组的解集。
解：解不等式①，得x＞－1。
解不等式②，得x≤6。
把①，②两个不等式的解集表示在数轴上，如图3-17。
一个长方形足球训练场的
长为x（m），宽为70 m 。如果
它的周长大于350 m，面积小于
7 560 m
2，你能确定x 的取值范
围吗？
3.4
一元一次不等式组
一元一次不等式组
112
第3章
一元一次不等式
所以原不等式组的解集是－1＜x≤6。
▶例2
解一元一次不等式组
ì
í
î
ïïï
ïïï
3－5x＞x－2（2x－1），①
3x－2
4
＞2.5－x
2 。
②
解：解不等式①，去括号，得3－5x＞x－4x＋2。
移项、整理，得－2x＞－1。
解得x＜1
2。
解不等式②，去分母，得3x－2＞10－2x。
移项、整理，得5x＞12。
解得x＞12
5 。
把①，②两个不等式的解集表示在数轴上，如图3-18。
所以原不等式组无解。
课内练习
KENEILIANXI
1. 利用数轴，求出满足下列各组不等式的x值的公共部分。
（1）
ì
í
î
x＞－3，
x ≤4；
（2）
ì
í
î
x＞－2，
x＞－1；
（3）
ì
í
î
ï
ï
x＜－
10，
x＜－3；
（4）
ì
í
î
ï
ïïï
x＜－1
2，
x ≥1.5。
图3-17
0
1
2
3
4
5
6
7
－1
－2
－3
图3-18
－2
－3
－4
－1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
12
5
113
数学
八年级上册
探究活动
TANJIUHUODONG
2. 解下列一元一次不等式组，并把解集在数轴上表示出来。
（1）
ì
í
î
2x－1＞x＋1，
x＋8＜4x－1；
（2）
ì
í
î
ï
ïïï
5x－2＞3（x＋1），
1
2 x－1 ≤7－3
2 x。
3. 解答本节节前语中的问题，并判断这个足球训练场的尺寸是否符合
国际足球比赛的要求（注：用于国际比赛的足球场的长在100 m 到
110 m之间，宽在64 m到75 m之间）。
解由两个一元一次不等式组成的不等式组，在取各个不等式的解集的公共部
分时，有几种不同情况？
若m＜n，你能说出下列四种情况下不等式组的解集吗？借助数轴来寻找
结果。
（1）{
x＞m，
x＜n；
（2）{
x＞m，
x＞n；
（3）{
x＜m，
x＜n；
（4）{
x＜m，
x＞n。
（请与你的同伴交流）
A组
作业题
ZUOYETI
1. 利用数轴，分别求出满足下列各组不等式的x值的公共部分。
（1）
ì
í
î
x＞－2，
x＞1；
（2）
ì
í
î
x＜－1.5，
x ≤－
2；
（3）
ì
í
î
x ≥－3，
x＜1；
（4）
ì
í
î
ï
ï
x ≤－
3，
x ≥
2 。
2. 解下列一元一次不等式组：
（1）
ì
í
î
3x－2＞4x，
3－5x＞3x－5；
（2）
ì
í
î
5x＋5 ≥3x－2，
1－2x＞3x；
（3）
ì
í
î
2（1－3x）≤4x＋1，
2x－1＞3（1－3x）；
（4）
ì
í
î
ï
ïïï
1－5x
2
≥3x＋1
3
－1，
3（x－1）≤5（x＋1）－2。
114
第3章
一元一次不等式
B组
3. 若不等式组ì
í
î
x＞－a，
x≥－b
的解集为x≥－b，则下列各式正确的是（
）。
（A）a＞b
（B）a＜b
（C）b≤a
（D）a≤b
4. 解下列一元一次不等式组：
（1）
ì
í
î
ï
ïïï
x－2（x－3）＞4，
x
2 －（x＋1）≤2－x；
（2）
ì
í
î
ïïï
ï
ïï
6－5(
)
x－1
5 ＞－7x，
3x－10x－5
5
≥4－2x
2
。
5. 检验游泳池的水质时，要求三次检验的水的pH 的平均值不小于
7.2，且不大于7.8。前两次检验，水的pH 分别是7.4，7.9，那么第三
次检验的水的pH应该为多少才能合格？
阅读材料
YUEDUCAILIAO
“糖水不等式”的证明
小聪有一杯糖水重a克，其中溶有糖b克，他觉得这杯糖水不够甜，又加
了c克糖，感觉比原来甜了许多。
糖水的甜度取决于糖水的浓度(
)
浓度＝糖的质量
糖水的质量。
小聪这杯糖水原来的浓度为b
a，添加c 克糖（c＞0）后，糖水的浓度变成
b＋c
a＋c。生活经验告诉我们，添加糖后，糖水会更甜，利用不等式来表示这种
现象，即b＋c
a＋c＞b
a（a＞b＞0，c＞0）。有人把这个不等式趣称为“糖水不等
式”。这个不等式成立吗？怎么证明呢？
作差法：由a＞b＞0，c＞0，得b＋c
a＋c－b
a＝c（a－b）
a（a＋c）＞0，所以b＋c
a＋c＞b
a。
115
数学
八年级上册
作商法：
b＋c
a＋c
b
a
＝ab＋ac
ab＋bc。由a＞b＞0,c＞0，得ac＞bc＞0，则ab＋ac＞
ab＋bc＞0，所以ab＋ac
ab＋bc＞1，即
b＋c
a＋c
b
a
＞1,从而得b＋c
a＋c＞b
a。
构造长方形法：如图3-19，设长方形ABCD 的长AD＝a，宽AB＝b，BE
＝DM＝c。
由已知a＞b＞0，得S 长方形BEFC＞S 长方形DCHM，
则S 长方形ABCD＋S 长方形BEFC＞S 长方形ABCD＋S 长方形DCHM，
即S 长方形AEFD＞S 长方形ABHM，
从而a（b＋c）＞b（a＋c）,所以b＋c
a＋c＞b
a。
关于“糖水不等式”的证明方法还有很多，你还能想到其他的证明方
法吗？
图3-19
a
b
A
B
E
c
C
b
H
G
F
M
D c
116
第3章
一元一次不等式
小结与反思
一、知识梳理
本章主要学习不等式及其基本性质，以及一元一次不等式的解法和应用。生
产和生活实际中有许多数量之间存在不等关系，不等式是刻画现实世界中数量关
系的重要数学模型。不等式的基本性质和解法与方程类似，但不等式变形时，不等
号的方向有可能改变；不等式的解集是一个范围，利用数轴可以直观表示不等式
（组）的解集。类比、转化、建模、数形结合是本章学习和问题解决中常用的思想
方法。
本章的学习流程和知识结构如下：
二、回顾与反思
1.不等式有哪些基本性质？它与等式的基本性质有什么不同？
2.解一元一次不等式的步骤是什么？它与解一元一次方程之间有什么联系与
区别？
3.如何解一元一次不等式组？结合实例说明数轴在解一元一次不等式（组）中
的作用。
4.结合实例说一说运用不等式解决实际问题的基本过程。
不等式
含有不等关系
的实际问题
不等式的基本性质
解一元一次不等式
一元一次
不等式组
用一元一次不等
式解决实际问题
一元一次
不等式
117
数学
八年级上册
目标与评定
目标
3.1节
3.2节
A
目标
3.3节
3.4节
B
★结合具体问题，了解不等式的意义。
★探索不等式的基本性质。会用不等式的基本性质进行简单的不等式变形。
1. 选用适当的不等号填空：
（1）－
10
－π；
（2）－x
2
0；
（3）m－7
m＋6；
（4）（m＋1）
2
－2（m＋1）
2。
2. 用不等式表示：
（1）0大于－3；
（2）x减去y不大于－4；
（3）a的－2倍与－1的和是非负数；
（4）a的1
2 与b的平方的和为正数。
3. 按照下列条件，根据不等式的基本性质，写出成立的不等式。
（1）x－y＞1，两边同加上y；
（2）－1
6a－1＞1
2b，两边同乘－6；
（3）－0.4＞－0.8，两边同除以－0.4；
（4）6x－3＞1－x，两边同加上x＋3，再同除以7。
4. 在数轴上表示下列不等式：
（1）x＜5；
（2）x≥－3；
（3）－5＜x≤1。
★能解数字系数的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集。
★会用数轴确定两个一元一次不等式组成的不等式组的解集。
5. 解下列一元一次不等式，并把解集在数轴上表示出来。
（1）7－2x＞6；
（2）5x＋3＜3（2＋x）；
118
第3章
一元一次不等式
目标
C
（3）1
3（2x－1）≥3
5x；
（4）x＋1
2
≤2－x
6
＋1。
6. 解下列一元一次不等式组，并把解集在数轴上表示出来。
（1）
ì
í
î
2x＋4＜0，
1－2x＞0；
（2）
ì
í
î
ï
ïïï
3x＋14
4
＋4＞2x－9，
4x＋6 ≥3x＋7。
7. 求满足不等式组
ì
í
î
ïïï
ïïï
2x＋1＜3x＋3，
2
3（x－1）≤1
2 (
)
x＋1
3
的x的整数值。
8. 已知－1＜a＜2，－2＜b＜－1，求a＋2b和a－2b的取值范围。
★能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决简单的应用问题。
9. 小聪用100 元钱购买笔记本和黑色中性笔共30 件。已知每本笔记本5 元，每支
黑色中性笔2元。问：小聪最多能买多少本笔记本？
10. 两根木棒的长分别是5 cm 和7 cm。要选择第三根木棒，将它们首尾相接钉成
一个三角形。若第三根木棒的长为偶数，则第三根木棒长的取值情况有几种？
11. 某业主贷款2.2 万元购进一台机器，生产某种产品。已知产品的成本是每个5
元，售价是每个8元，应付的税款和其他费用是售价的10%。若每个月能生产、
销售2 000个产品，问：至少几个月后能赚回这台机器的贷款？
12. 从报刊、图书、网络等搜集一些能用一元一次不等式解决的问题，分析其中的数
量关系，建立不等式模型加以解决。
119
给你一张国家大剧院的入场券，如何
根据入场券的排号和座号，确定入座的
位置？
人们在生活、生产实践中经常需要确
定物体的位置。利用有序实数对来确定
位置是最常用的方法之一。用有序实数
对表示平面内点的位置是平面直角坐标
系的基本思想。本章将学习平面直角坐
标系、图形的位置与坐标以及图形的运动
与坐标等内容。
第4章
图形与坐标
数学
八年级上册
y
M2
O
M（x，y）
M1
x
图4-1
围棋在我国春秋战国时期已经广为流行。如
图，在围棋盘上画两条数轴，以小方格的边长为单
位长度，并规定列号写在前面，行号写在后面，你将
怎样表示点O，白棋A和黑棋B的位置？
1
4.1
平面直角坐标系
平面直角坐标系
A
B
O
小学里我们已经知道用有序数对来确定物体位置的方法。例如，影院
入场券上的位置是“12排8座”
“8排15座”，为了使这种确定位置的方法更加
简明，规定排号写在前面，座号写在后面，即将其记为一个有序数对（12，8），
（8，15），则每个座位都对应一个有序的数对，在一定范围内每个这样的数对
也都能确定一个座位的位置。
在数学上，我们可以用如下的方法来表示平
面内点的位置。如图4-1，在平面内画两条互相垂
直，并且有公共原点O 的数轴，其中一条叫作x 轴
（x-axis，又叫横轴），通常画成水平，另一条叫作y
轴（y-axis，又叫纵轴），画成与x 轴垂直。这样，我
们就在平面内建立了平面直角坐标系（plane
rectangular coordinate system），简称直角坐标系。
坐标系所在的平面就叫作坐标平面（coordinate plane），两坐标轴的公共原点
O叫作平面直角坐标系的原点。
对于平面内任意一点M（图4-1），作MM1⊥x 轴，MM2⊥y 轴，设垂足
M1，M2 在各自数轴上表示的数分别为x，y，则x 叫作点M 的横坐标
（abscissa），y 叫作点M 的纵坐标（ordinate），有序实数对（x，y）叫作点M 的坐
标（coordinate）。
建立了平面直角坐标系后，对于坐标平面内任何一点，我们都可以确定
它的坐标。反过来，对于任何一个坐标，我们都可以在坐标平面内确定它表
示的一个点。
122
第4章
图形与坐标
象限
第一象限
第二象限
第三象限
第四象限
（x，y）的符号
（＋，＋）
（－，＋）
（－，－）
（＋，－）
表4-1
图4-2
点（2，4）与点
（4，2）是不是同一个
点？点（-2，4）与点
（2，-4）呢？
第二象限
第一象限
第三象限
第四象限
3
2
1
O
－1
－2
－3
－3 －2
1
2
3
－1
y
（－，＋）
（＋，＋）
（－，－）
（＋，－）
x
图4-3
y
O
1
2 3 4 5 6
－6－5－4－3－2－1
1
2
3
4
5
6
－2
－3
－4
－5
－6
M
N
P
L
x
y
O
－1
1
2
3
4
5
6
－2
－3
－4
－5
－6
A
B
C
D
－6－5－4－3－2－1
图4-4
x
1 2 3 4 5 6
－1
x 轴和y 轴把坐标平面分成四个象限（quadrant），如图4-2。象限以数轴
为界，x 轴与y 轴上的点不属于任何象限。四个象限中点的坐标的符号特征
如表4-1。
坐标的思想是法国数学家、哲学家笛卡尔（Descartes，1596～1650）创
立的。
▶例1 （1）如图4-3，写出直角坐标系内点M，N，L，O，P的坐标。
（2）在直角坐标系内画点A（2，4），B（5，2），C（-3.5，0），D（-3.5，-2）。
解：（1）如图4-3，所求各点的坐标分别为：M（2 ，4 ），N（-2 ，2 ），
L（0，-2.5），O（0，0），P（2，-2.5）。
（2）A，B，C，D各点的位置如图4-4。
123
数学
八年级上册
A组
课内练习
KENEILIANXI
如图。
（1）写出图中六边形各个顶点的坐标。它们各在哪个象限内或坐标
轴上？哪些点的横坐标相同？哪些点的纵坐标相同？
（2）作出点G（－2，－1），H（－3，5），M（0，3），N（5，－2），并判断这些
点中哪些在六边形内，哪些在六边形外。
作业题
ZUOYETI
1. 在如图所示的平面直角坐标系内画出下面这些点：
M（－1，0），N（2，2），P（1.5，－1.5），Q（4，－4）。
2. 指出图中点A，B，C，D，E，F，G 分别在哪一个象限内，并写出各点
的坐标。
y
F
B
C
D
G
E
A
8
6
4
2
－2
－4
－4
O
8
6
4
2
－6
－2
x
O
－2
－4
－6
x
y
（第1题）
（第2题）
6
4
2
2
4
6
－6 －4 －2
y
A
F
E
－2
－4
－6 －4
x
B
C
D
O
6
4
2
4
2
－2
6
124
第4章
图形与坐标
x
－2 －1 O
1
2
3
4
4
3
2
1
－1
y
（第4题）
B组
3. 根据图中各点的位置填表。
4. 已知点A（2，15），B（5，3），C（－5，2），
D（－0.5，7）。判断这些点中，哪些
在阴影区域内，哪些不在阴影区域内。
5. 如图是画在方格纸上的我国著名的
水泊梁山的旅游景点简图。
（1）分别写出忠义堂、黑风亭、快活
林、练武场的坐标（精确到0.1）。
（2）点（6，8），
（6.6，3.6），
（7.9，4.4）所表示的地点分别是什么？
（第5题）
陈列馆
北关
快活林
水浒街
檀木关
西关
流财台
试刀石
西南木
黑风口
黑风亭
宋江井
忠义堂
南关
莲花台
石井
西竺和尚墓
东关
点将台
练武场
跑马场
断金亭
4
2
3
5
6
7
8
9
10
11 x
1
8
7
6
5
4
3
2
1
O
y
青龙山
水泊亭
观荷亭
y
B
G
A
D
O
F
E
C
－6 －4 －2
2
4
6
6
4
2
－2
－4
－6
x
（第3题）
点
A
B
C
D
E
F
G
O
坐标
所在象限
或坐标轴
125
数学
八年级上册
200
150
200
50
100
E
D
A
B
单位：mm
C
图4-7
y
x
B
C
A
D
O
2
1
－2
－2
－1
－1
x
B
C
A
D
O
1
2
1
－1
2
3
－2
y
4
图4-6
图4-5
1
2
2
▶例2
对于正方形ABCD，建立如图4-5 的直角坐标系。写出A，B，C，
D 各顶点的坐标。如果把x 轴往下平移2个单位长度，那么A，B，C，D 各顶点
坐标在新坐标系中将怎样变化？
解：顶点A，B，C，D坐标为A（－2，－2），B（2，－2），C（2，2），D（－2，2）。
如果把x 轴往下平移2 个单位长度，如图4-6，那么顶点A，B，C，D 的坐标分
别变为（－2，0），
（2，0），
（2，4），
（－2，4）。
在建立直角坐标系表示给定的点或图形的位置时，应选择适当的点作
为原点，适当的直线作为坐标轴，适当的距离为单位长度，这样往往有助于
解决问题。
▶例3
一个四边形的形状和尺寸如图4-7所示。建立适当的直角坐标
系，在坐标系中作出这个四边形，并标出各顶点的坐标。
分析：如图4-7，为了使这个四边形的各
个顶点坐标容易确定，可以把点E 作为坐标
系的原点，线段AB 画在x轴上，那么DE 就落
在y 轴上。选择适当的比例，求出A，B，C，D
各点的坐标，再描点，用线段连结起来，就得
到所求的图形。
解：如图4-8，选择比例为1∶10，取点E
为平面直角坐标系的原点，使四边形的边AB
在x 轴上，建立平面直角坐标系。可得A，B，
126
第4章
图形与坐标
C，D各点的坐标分别为（－1，0），
（2，0），
（2.5，1.5），
（0，3.5）。
根据上述坐标在直角坐标系中作点A，B，C，D，并用线段依次连结各
点，如图4-8中的四边形就是所求作的图形。
课内练习
KENEILIANXI
1. 已知长方形ABCD 的长为2，宽为1。以AB 所在的直线为x 轴，AB
的中点为原点，建立直角坐标系，如图。求长方形各个顶点的坐标。
2. 已知某镇的镇政府、镇中心小学、镇文化礼堂的位置如图。用线段
连结这三个地点，恰好构成一个等边三角形，且边长为2 km。试选
取适当的比例，建立直角坐标系，在直角坐标系中画出这三个地点
的位置，并标出坐标。
y
x
B
C
－1
D
O
1
A
1
（第1题）
镇政府
镇中心
小学
镇文化
礼堂
（第2题）
D（0，3.5）
A（－1，0）
B（2，0）
C（2.5，1.5）
x/cm
2
3
4
1
3
1
y/cm
2
－1
图4-8
O（E）
4
127
数学
八年级上册
A组
B组
作业题
ZUOYETI
1. 如图，在△ABC 中，AC＝BC＝2 cm，∠C＝
Rt∠。分别按下列条件建立直角坐标系，并
确定△ABC各顶点的坐标。
（1）使AB的中点为原点，AB边在x轴上。
（2）使点C为原点，边AB的中垂线为y轴。
2. 某风景区中古塔、飞瀑、笔峰、望夫石四个景点的位置依次在一个边
长为4 km 的正方形的四个顶点上（如图）。试选取适当的比例，建
立适当的坐标系，确定四个顶点的坐标，并在直角坐标系中标出它
们的位置。
3. 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，BC⊥AB，AB＝5，BC＝4，CD＝3。
在原图中建立适当的直角坐标系，并写出各顶点的坐标。
4. 如图是传说中的一张藏宝图，藏宝人生前通过建立直角坐标系（以
南北方向为纵轴，东西方向为横轴）画出这幅藏宝图。现在我们只
知道图上两块大石头的坐标为A（1，2），B（8，9），而藏宝地的坐标
为（5，7）。在地图上找到宝藏的位置，并表示出来。
A
B
C
（第1题）
（第3题）
C
A
B
D
北
笔峰
飞瀑
古塔
望夫石
（第2题）
B（8，9）
A（1，2）
海洋
北
（第4题）
128
第4章
图形与坐标
笛卡尔
笛卡尔出身于法国贵族家庭，从小好奇心强，勤
奋好学，自学了大量的数学、哲学方面的书籍，这些
积累成为他数学和哲学思想的主要来源。笛卡尔毕
业于法国巴黎普瓦捷大学，获法律学位。毕业两年
后，他不满足于书本知识，决心走向社会，
“去读世界
这本大书”。于是他入伍随军远游，但他始终在专心
思考着数学与哲学问题。笛卡尔认为，希腊人的综
合几何只研究一些非常抽象，而看起来无用的问题，
过于依赖图形，束缚了人的想象力；而对于当时流行
的代数，他认为过于强调法则和公式，不能成为一门有利于增进智力的科学；
他对于三段论逻辑也有看法，认为其不产生任何新的结果。因此，笛卡尔对逻
辑学、几何学和代数学进行了系统思考，从而建立了一种“普遍的数学”。
笛卡尔的数学著作《几何学》是数学史上具有划
时代意义的光辉巨著，标志着解析几何学的诞生。
笛卡尔首先建立了坐标的思想，引入坐标和变量的
概念，使变量数学开始登上历史舞台，从而使数学的
两大基本要素“数”与“形”统一起来。也就是说，可
以用代数方法研究解决几何问题，也可以运用几何
方法来解决代数问题，这对后来牛顿（Newton，1642
～1727）、莱布尼茨（Leibniz，1646～1716）建立微积
分理论起着关键性的作用，也为当时科学的发展提
供了数学的工具，推动了17世纪以来数学的大发展。
《几何学》书影
阅读材料
YUEDUCAILIAO
笛卡尔
129
数学
八年级上册
如图是雷达探测器在一次探测
中发现的五个目标A，B，C，D，E。你
会选择什么方法来表示它们的位置？
在小学里，我们还知道可以用方向和距离来表示物体的位置（或称方
位）。例如，在图4-9 中，航标灯的方位可以用“距小岛15 km”和“在小岛的
南偏西60°方向”这两个数据来表示。我们说航标灯在小岛的南偏西60°方向
的15 km处。
30 km
35 km
25 km
15 km
20 km
40°
25°
60°
航标灯
渔船B
渔船C
渔船A
渔船D
30°
西
北
东
南
小岛
图4-9
做一做
ZUOYIZUO
如图4-9。
（1）渔船A相对于小岛的位置应怎样表述？
（2）小岛的南偏东65°方向，距离小岛35 km处的海面上有什么？
4.2
用方向和距离确定物体的位置
用方向和距离确定物体的位置
180°
D
E
C
B
2
4
2
4
5
0°
90°
270°
A
3
1
1
3
5
单位：千米
130
第4章
图形与坐标
城市局部示意图
少年宫
火车站
电视台
购物中心
图书馆
中心广场
游乐园
东湖
比例尺：1∶100 000
北
医院
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16 17 18
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
O
图4-10
y
x
合作学习
HEZUOXUEXI
图4-10 是城市中某区域局部示意图（各地点用点表示）。借助刻度尺、
量角器，以2～4人为一组合作解决下面的问题：
（1）分别用坐标表示中心广场、少年宫、图书馆和火车站的位置。
（2）购物中心位于中心广场的南偏西多少度的方向上？到中心广场的
图上距离大约是多少厘米？实际距离是多少？
（3）东湖位于中心广场的北偏东多少度的方向上？到中心广场的图上
距离大约是多少厘米？实际距离是多少？
（4）中心广场的南偏东约34°方向上，到中心广场的实际距离约3 600
米处是什么地方？
（5）有一座新建的书店位于中心广场的南偏东53°的2.5 千米处，请在
图中标出它的位置，并说出它的坐标。
课内练习
KENEILIANXI
如图，x 轴的正向表示东，y 轴的正向表示北，每单位长为50 米。请在
直角坐标系中画出下列各地点的位置。
（1）学校的餐厅A（0，-2）。
131
数学
八年级上册
A组
（2）学校的图书馆B，位于餐厅A的正北方向200米处。
（3）学校的教学楼，位于餐厅北偏东53°方向的250米处。
（4）学校的体育馆，位于餐厅北偏西63°方向的100 5 米处。
作业题
ZUOYETI
1. 如图。
（1）写出A，B，C各点的坐标。
（2）写出A，B，C，D，E 各点相对于原点的方位（方位指方向和距
离，可使用量角器）。
（第1题）
x
y
O
2
4
6
2
4
6
－2
－4
－6
A
B
C
D
－6 －4 －2
E
O
1
2
3
4
5
6
－6－5－4－3－2 －1
－1
1
2
3
4
5
6
－2
－3
－4
－5
－6
x
北
y
132
第4章
图形与坐标
180°
D
E
C
B
2
4
2
4
5
0°
90°
270°
A
3
1
1
3
5
单位：千米
（第2题）
体育场
超市
医院
学校
电影院
1
2
3
4
5
6
7
O
6
5
4
3
2
1
北
（第3题）
y
x
B组
2. 用方位表示图中A，B，C，D，E这五个目标的位置。
3. 如图为某区域局部示意图，据图回答下列问题：
（1）写出医院、电影院的坐标。
（2）用相对于原点的方位表示学校、超市的位置。
（3）若直角坐标系的单位长为0.5千米，求超市相对于电影院的方位。
（4）若小明家位于电影院的南偏西60°方向的4 个单位长度处，请
画出小明家的位置，并写出坐标。
4. 某邮轮8：00从A港出发向西航行，10：00折向北航行，平均航速均为
20千米/时。问：11：30时该邮轮在什么位置？请先画出航线示意图，
然后量出邮轮相对于A港的方位，并算出距离（方位角精确到1度）。
133
数学
八年级上册
设计题
SHEJITI
预测台风路径
把我国境内一个地点的东经度写在前面，北纬度写在后面，并用括号括起来，
就组成一对有序的数对，可以用来表示某个地点的位置。如杭州大致位于北纬
30°，东经120°，记作（120，30）（图4-11）。
浙江省是台风灾害多发的地区，准确预报台风的登陆地点和台风的移动路线，
对防台抗台有着重要的作用。气象部门在预报台风移动路线时常用经纬度来表示
台风中心的实时位置，例如，2021 年7 月18 日5 时，台风“烟花”的中心位于北纬
22.4°，东经132.5°。用有序数对表示这一台风中心的实时位置，在图4-11 中标出
来。怎样测量你的家乡在台风中心的哪个方向上？距离台风中心有多远？
图4-11 中的黄色路线表示西北太平洋台风移动的主要路径。
（120，23.7），
（105，30），
（110，21.6）各地点是否位于这几条路径上？
图4-11
134
第4章
图形与坐标
y
x
（a，b）
（－a，b）
（a，－b）
O
图4-13
A
4
3
2
1
y
图4-12
－1
－2
－3
－4
1
2
3
4
－1
－2
－3
O
x
－4
y
B
C
D
O
F
E
x
A（1，3）
如图的零件图关于x轴，y轴都成轴对称，
已知点A（1，3），你能说出B，C，D，E，F各点
的坐标吗？依据是什么？
1
4.3
坐标平面内图形的轴对称和平移
坐标平面内图形的轴对称和平移
运用平面直角坐标系，可以方便地表达和
处理有关图形的轴对称和平移的问题。如图
4-12，先看下面的问题：
（1）写出点A的坐标。
（2）分别作点A关于x轴，y轴的对称点，并
写出它们的坐标。
（3）比较点A 与它关于x 轴的对称点的坐
标，点A 与它关于y 轴的对称点的坐标，你发现
什么规律？
一般地，如图4-13所示：
在平面直角坐标系中，点（a，b）关于x轴的
对称点的坐标为（a，－b），关于y 轴的对称点的
坐标为（－a，b）。
做一做
ZUOYIZUO
在直角坐标系中，已知点A（－1，2），B（1，－
3），C（0，1.5），则点
A 关于x 轴的对称点的坐标是
，关于y 轴的对称点的坐标
是
；点B 关于y 轴的对称点的坐标是
；点C 关于x 轴
的对称点的坐标是
。
135
数学
八年级上册
▶例1
如图4-14。
（1）写出图形轮廓线上各转折点A，O，B，C，D，E，F 的坐标，以及它们
关于y 轴的对称点A'，O'，B'，C'，D'，E'，F'的坐标。
（2）在同一个直角坐标系中描出点A'，O'，B'，C'，D'，E'，F'，并用线段依
次将它们连结起来。
解：（1）图形轮廓线上各转折点的坐标依次是A（0，－2），O（0，0），
B（3，2），C（2，2），D（2，3），E（1，3），F（0，5）。它们关于y 轴的对称点的坐标
相应是A'（0，－2）
❶，O'（0，0），B'（－3，2），C'（－2，2），D'（－2，3），E'（－1，3），
F'（0，5）。
（2）点A'，O'，B'，C'，D'，E'，F '及其连线如图4-15。
合作学习
HEZUOXUEXI
一个零件的横截面如图4-16。请完成以下任务：
（1）按你自己认为合适的比例，建立平面直角
坐标系。
（2）写出轮廓线各个转折点的坐标。在求这些
点的坐标时，你运用了怎样的坐标变化规律？
（3）与你的同伴比较，你们写出的各转折点的
坐标相同吗？为什么？
❶对称轴上的点的对称点定义为它的本身，下同。
100
150
400
100
单位：mm
图4-16
500
如果要把一个
轴对称图形画在直
角坐标系中，怎样画
才简便？
图4-15
y
－2
O
2
4
－4
4
2
A（A'）
（F'）F
D'
B'
B
（O'）
E
D
C'
C
－2
E'
x
图4-14
5
4
3
2
1
－1
－2
－3－2
1
2
3
4
O
y
F
E
D
B
A
C
x
－1
136
第4章
图形与坐标
A组
课内练习
KENEILIANXI
等边三角形ABC 在直角坐标系中的位
置如图所示。
（1）写出△ABC各顶点的坐标。
（2）以x 轴为对称轴，作△ABC 的轴对称图
形，求所得三角形的各顶点坐标。
作业题
ZUOYETI
1. 若点A 的坐标为（－3，4），则点A 关于x 轴的对称点A'的坐标
为
，点A关于y轴的对称点A″的坐标为
。
2. 如图，正方形ABCD 的边长为4，AB∥x 轴，
BC∥y轴，其中心恰好为坐标原点，则四个顶
点的坐标分别是
。
3. 如图。
（1）写出△ABO 各顶点的坐标，以及它们关
于y轴的对称点的坐标，并描点。
（2）以y 轴为对称轴，作△ABO 的轴对称图形，然后将所得图形连
同原图形，以x轴为对称轴再作轴对称图形。
（第2题）
A
x
D
C
B
y
O
x
y
B
O
C
A
－2 －1
2
－1
3
1
1
2
－2
－3
x
B
y
A
O
－2
1
2
3
－3
－3－2－1
1
2
（第3题）
－1
137
数学
八年级上册
B组
4. 如图所示的图案关于y 轴对称。图案上顶点A 与B，C 与D 的坐标
分别有什么关系？已知点E的坐标是（－8，6），写出点F的坐标。
5. 如图，将△AOB 各顶点的横坐标乘（－1），描点，并用线段连结各
点。得到的图形与原图形相比有什么变化？作出所得的图形。
6. 一个机械零件的横截面如图，其中正方形的边
长为30 cm，中孔的圆心位于正方形的中心，孔
的直径为20 cm。选择合适的比例，建立适当
的直角坐标系，并在直角坐标系中作出这个零
件的横截面。
（第6题）
2
－10
8
A（－6，10）
F
O
4
6
8
10
12
－4
－2
－2
－4
－6
－8
6
4
2
x
y
B（6，10）
C（－2，－4）
D（2，－4）
E
10
（第4题）
4
O
A
B
x
y
6
2
4
－4
－6
－2
－4
－6
2
6
－2
（第5题）
138
第4章
图形与坐标
坐标变化
横坐标
加5
纵坐标
不变
2
合作学习
HEZUOXUEXI
如图4-17，将点A（－3，3），B（4，5）分别作以下平移，作出相应的点，并
写出点的坐标。
A（－3，3）
向右平移5个单位长度
（2 ，3 ）
B（4，5）
向左平移5个单位长度
（
，
）
A（－3，3）
向上平移5个单位长度
（
，
）
B（4，5）
向下平移5个单位长度
（
，
）
比较各点平移时的坐标变化，填在表格内。你能发现点平移时坐标变
化的规律吗？
做一做
ZUOYIZUO
1. 已知点A 的坐标为（－2，－3），分别求点A 经下列平移后所得的点
的坐标。
（1）向上平移3个单位长度；
（2）向下平移3个单位长度；
（3）向左平移2个单位长度；
（4）向右平移4个单位长度。
2. 已知点A的坐标为（a，b），点A经怎样平移得到下列各点？
（1）（a－2，b）；
（2）（a，b＋2）。
y
x
B
A
6
4
2
－4
－2
2
4
－2
O
图4-17
8
139
数学
八年级上册
▶例2
如图4-18，在直角坐标系中，平行于x轴的线段AB 上所有点的
纵坐标都是－1，横坐标x 的取值范围是1≤x≤5，则线段AB 上任意一点的
坐标可以用“（x，－1）
（1≤x≤5）”表示。按照类似这样的规定，回答下面的
问题：
（1）怎样表示线段CD上任意一点的坐标？
（2）把线段AB 向上平移2.5 个单位长度，作出所得的线段A'B'。线段
A'B'上任意一点的坐标怎样表示？
（3）把线段CD 向左平移3 个单位长度，作出所得的线段C'D'。线段
C'D'上任意一点的坐标怎样表示？
解：（1）线段CD上任意一点的坐标可表示为（2，y）（－1≤y≤3）。
（2）所得的线段A'B'如图4-19，线段A'B'上任意一点的坐标可表示为
（x，1.5）（1≤x≤5）。
（3）所得的线段C'D'如图4-19，线段C'D'上任意一点的坐标可表示为
（－1，y）（－1≤y≤3）。
▶例3
如图4-20。
（1）分别写出点A，A'和点B，B'的坐标，并比较A 与A'，B 与B'之间的
坐标变化。
（2）图甲怎样平移到图乙？
解：（1）点A，A'的坐标分别为A（－8，－1），A'（－3，4）；点B，B'的坐
标分别为B（－3，－1），B'（2，4）。由A 到A'，横坐标增加5，纵坐标增加5；由
B到B'，横坐标增加5，纵坐标增加5。
（2）由第（1）题知，点A，B都向右平移5个单位长度，且向上平移5个单
3
4
5
6
C
D
B
x
y
4
3
2
1
－2
－1
1
A
O
－1
2
图4-18
x
y
4
3
2
1
1
2
3
4
6
－2
－1
C'
B
D'
A'
B'
C
D
A
－1
5
图4-19
O
140
第4章
图形与坐标
探究活动
TANJIUHUODONG
位长度。从图甲到图乙，可以看作经过了两次平移：一次是向右平移5 个单
位长度，另一次是向上平移5个单位长度。
课内练习
KENEILIANXI
1. 把点A（－1，3）先向右平移3 个单位长度，再向下平移3 个单位长
度，求最后所得点的坐标。
2. 把图4-20中图甲平移，使点A移至点O，求点B的对应点的坐标，并
画出图甲平移后的图形。
如图4-21，在直角坐标系中有三条线段a，b，c。你能通过平移其中两条线段，
使得它们和第三条线段首尾相接组成一个三角形吗？如果能，说出你的平移方法，
以及所得三角形三个顶点的坐标。
从图甲到图乙
可以看作只经过一
次平移得到吗？
y
x
B'
A'
A
B
甲
乙
－6 －4 －2
2
4
6
O
－2
－4
6
4
2
－8
图4-20
y
x
8
6
4
2
O
a
b
c
图4-21
2
4
6
8
141
数学
八年级上册
3
2
1
4
－1
－2
－3
－1
－2
－3
1
2
3
4
O
y
x
A
l
（第1题）
A组
B组
作业题
ZUOYETI
1. 如图，在直角坐标系中，点A 的坐标是
（1.5，2）。根据下列要求作图。
（1）把点A向下平移4个单位长度；
（2）把点A向左平移2.5个单位长度；
（3）把直线l向左平移4个单位长度。
2.（1）把点P（－2，7）向左平移2个单位长度，得点
；
（2）把点P（－2，7）向下平移7个单位长度，得点
；
（3）把以（－2，7），
（－2，－2）为端点的线段向右平移7 个单位长
度，所得图形上任意一点的坐标可表示为
。
3. 如图，分别求一个或一组平移，使：
（1）点D平移到点E；
（2）点A平移到点C；
（3）点B平移到点D；
（4）点（－3，－4）平移到点（1，0）。
4. 如图，把△ABC 平移，使点A 平移到点O。作出△ABC 平移后所
得的△OB'C'，并求△OB'C'的顶点坐标和平移的距离。
5. 把点A（a，－3）向左平移3个单位长度，所得的点与点A 关于y轴对
称，求a的值。
x
1
－1
2
3
4
5
6
－2
－3
－4
－5
－6
－1
－2
－3
－4
－5
1 2 3 4 5 6
O
A
B
D
E
y
C
（第3题）
1
－1
2
3
4
5
6
－2
－3
－4
－5
－6
－1
－2
－4
－5
1 2 3 4 5 6
O
A
C
B
x
y
（第4题）
－3
142
综合实践活动
第4章
图形与坐标
绘制公园平面地图
为满足游客个性化需求，公园常常会提供不同主题的地图，如文化古迹地图、
景观分布图、建筑分布图、植物分布图、定向越野地图等。下面三幅图分别是“西湖
十景”的总平面图（图4-22），十景之一的“花港观鱼”景区平面图（图4-23）和“花港
观鱼”植物景观平面图（图4-24）。公园平面地图绘制时，需要确定景点的位置，用
到测量、比例、平面直角坐标系等数学知识。
图4-22
图4-24
“花港观鱼”植物景观平面图
香樟、桂花
1.悬铃木
2.合欢
3.樱花
4.二桥玉兰
“花港观鱼”景区平面图
西里湖
苏堤
小南湖
杨公堤
南山路
北
1.草坪
2.花港公园
3.牡丹园
4.草坪
1
2
3
4
0 60
240 m
1
1
4
4
2
2
2
3
3
3
3
3
0
5
30 m
15
图4-23
断桥残雪
“西湖十景”地图
平湖秋月
曲院风荷
双峰插云
苏堤春晓
三潭印月
花港观鱼
雷峰夕照
南屏晚钟
柳浪闻莺
143
数学
八年级上册
选择一个公园，综合运用数学、地理、美术等知识，绘制一幅公园平面地图。
任务
1. 资料收集：绘制地图的方法，绘制要点；公园的相关资料，地理区位、地形
图、交通图等。
2. 提炼主题：提炼公园场景特色主题，确定地图上应包含的要素、反映主题的
主要景点。
3. 实地测量：确定主要景点的方位，选择合适的工具开展实地测量活动，获得
相关数据。
4. 绘制地图：选择合适的绘图方法和工具，按适当比例绘制地图，标注主要景
点、地图名称、比例尺等。
5. 成果展示：在班级分享小组作品，介绍作品的制作过程、设计思路以及
收获。
评价与反思
评价：各小组制订评价标准，并根据评价标准对自己小组及其他组的作品进行
评价，提出建议。
反思：回顾绘制地图所用的数学知识和方法，反思改进小组作品，撰写个人综
合实践活动感悟。
144
第4章
图形与坐标
小结与反思
一、知识梳理
本章主要学习平面直角坐标系。平面直角坐标系是连接代数与几何的桥梁。
坐标平面上的点与坐标一一对应，即对于坐标平面内的任何一点，都可以写出与它
对应的坐标（x，y）；反过来，对于任何一个坐标（x，y），在坐标平面内都可以确定它
所表示的点。用坐标可以描述简单几何图形的位置，可以描述图形的轴对称和平
移等变化。借助平面直角坐标系，可以将数和形结合起来分析和解决问题。数形
结合、几何直观、运算推理等是本章学习和问题解决的主要思想和方法。
本章学习流程和知识结构如下：
二、回顾与反思
1.确定平面内物体的位置有哪几种方法？分别需要几个数据？
2.平面直角坐标系有哪几个构成要素？
3. 坐标平面被x 轴和y 轴分成哪些象限？各象限中点的坐标的符号有什么特
征？x轴和y轴上的点的坐标有什么特征？
4. 在平面直角坐标系中，关于x 轴对称的两个点的坐标之间有怎样的关系？
关于y轴对称的两个点的坐标之间有怎样的关系？点经过平移，点的坐标变化有什
么规律？
5.建立直角坐标系解决实际问题时，应注意什么？
图形的位置与坐标
平面内的点与有序实数对一一对应
图形的变化与坐标
轴对称与平移
建立合适的平面直角坐标系
方向和距离（方位）
确定物体
的位置
平面直角
坐标系
145
数学
八年级上册
目标与评定
A
B
C
D
E
F
H
I
L
J
K
G
6
2
－2
y
－4
－2
－4
4
4
O
x
（第2题）
2
目标
4.1节
4.2节
A
★理解平面直角坐标系的有关概念，能画出平面直角坐标系；在给定的平面
直角坐标系中，能根据坐标描出点的位置，由点的位置写出坐标。
★在平面上，运用方位角和距离刻画两个物体的相对位置。
★在实际问题中，能建立适当的平面直角坐标系，描述物体的位置。
★会选择合适的平面直角坐标系，写出简单图形的顶点坐标，体会可以用坐
标表达简单图形。
1. 双休日的一天，小王、小李、小张、小叶、小陈和小丁6人去海滨度假，他们在沙滩
上的位置如图所示：小王和小李位于（34，G），小张和小叶位于（36，K），小陈和
小丁位于（28，I）。请把他们在图上的位置找出来，并标注在图上。
2. 某岛的旅游简图如图。
（1）分别写出地点A，B，C，D，E的坐标。
（2）坐标（－1，－2），
（－2，－1），
（1，－2），
（2，－1）所代表的地点分别是什么？
（第1题）
146
第4章
图形与坐标
目标
4.3节
B
3. 已知长方形的两条边长分别为4，6。建立适当的直角坐标系，使它的一个顶点
的坐标为（－2，－3）。画出示意图，然后写出其他各顶点的坐标。
4. 在方格纸上建立适当的直角坐标系，并写出如图“六角形”6个角顶点的坐标。
5. 在平面直角坐标系中描出点A（－2,5），B（－3，－1），C（3，－1），D（2，5），依次用
线段把它们连起来。说出所连成图形的名称和轴对称性。
6. 如图，在直角坐标系中，△ABC 的边AB＝AC，AB⊥AC。已知点A（－1，0），
B（2，2），求点C的坐标。
7. 若B地在A地的南偏东30°方向，距离A地30 km处，则A地在B地的
方向，距离B地
处。
★在平面直角坐标系中，以坐标轴为对称轴，能写出一个已知顶点坐标的多
边形的对称图形的顶点坐标，知道对应顶点坐标之间的关系。
★在平面直角坐标系中，能写出一个已知顶点坐标的多边形沿坐标轴方向平
移一定距离后图形的顶点坐标，知道对应顶点坐标之间的关系。
★在平面直角坐标系中，探索并了解将一个多边形依次沿两个坐标轴方向平
移后所得到的图形和原来图形具有平移关系，体会图形顶点坐标的变化。
8. 填空：
（1）点P（5，－3）关于x轴对称的点的坐标是
；
（2）点P（3，－5）关于y轴对称的点的坐标是
。
9. 已知在直角坐标系中，点A 的坐标是（1.5，2），则点A 向右平移2 个单位长度后
的坐标是
，点A向下平移3.5个单位长度后的坐标是
。
（第4题）
A
B
F
E
D
C
（第6题）
C
B
O
A
－1
－2
－3
2
3 x
y
1
2
3
1
147
数学
八年级上册
（第13题）
A
B
C
D
y
x
O
新
快
年
乐
－1
－2
1
2
3
4
－3
－4
1
2
3
4
（第10题）
－2
－4
2
l
x
2
4
O
y
－2
O
－1
－2
－3
－4
－5
1
2
3
y
x
2
3
4
5
－1
－2
1
（第11题）
目标
C
10. 如图，直线l上的点的什么坐标都相同？若把直线l上任意一点的坐标记为（－
2，y），则把它向右平移5个单位长度所得图形上点的坐标应怎样表示？在直角
坐标系中作出这个图形。
11. 如图，
“铅笔”图案五个顶点的坐标分别是（1，1），
（4，1），
（5，1.5），
（4，2），
（1，2）。
将该图形向下平移2 个单位长度，作出相应图形，再写出平移后所得图形五个
顶点的坐标。
12. 已知在直角坐标系中，△ABC 的三个顶点A，B，C 的坐标分别为A（0，－4），
B（－4.5，3），C（4.5，5）。
（1）在直角坐标系中画出△ABC。
（2）以y 轴为对称轴，作△ABC 的轴对称图形△A'B'C'，并写出△A'B'C'各个
顶点的坐标。
★能用不同的方式确定物体的位置。
★综合运用图形与坐标的知识解决简单的实际问题。
13. 四盏灯笼悬挂点的位置如图。已知点A，C，B，D 的坐标分别是（－4，b），
（－2.7，b），
（－2，b），
（2，b），问：平移哪一盏灯，可使得y轴两边的灯笼对称？
148
第4章
图形与坐标
14. 如图为某次军事演习敌我双方舰艇模拟对峙图。
（1）对于我方潜艇来说，北偏东40°方向上有哪些目标？要想确定敌方战舰B
的位置，还需要什么数据？这个数据能从图中获取吗？
（2）相对我方潜艇，我方战舰1号在什么位置？
（3）你能用其他方式确定敌我双方战舰的位置吗？
15. 一个零件图如图。选择合适的比例建立直角坐标系，在直角坐标系中画出这个
零件图（只要求画出图形），并求出轮廓线上各个转折点的坐标。
比例尺：1∶1 000 000
我方潜艇
敌方战舰A
敌方战舰B
我方战舰2号
我方战舰1号
小岛
北
40°
（第14题）
（第15题）
600
200
80
140
400
单位：mm
149
函数是刻画客观世界变化的重要数
学模型，它的应用十分广泛。例如，神舟
飞船发射过程中，飞船离地面的高度随时
间变化的规律；跳远运动员助跑速度与跳
远距离之间的关系等，这些量与量的关系
常常用函数来描述。函数可以帮助我们
了解事物的变化规律。
我们还可以用一次函数来解决下面
的问题：一个热气球从海拔5米处出发，以
2米/分的速度上升，同时另一个热气球从
海拔25 米处出发，以1.5 米/分的速度上
升。在某时刻这两个热气球会位于同一
海拔高度吗？
本章将学习常量、变量及函数的初步
知识，学习一次函数的图象和性质，掌握
函数学习的基本方法，初步学会运用函数
解决实际问题。
第5章
一次函数
数学
八年级上册
当我们用数学的眼光观察现实世界的各种现象时，会遇到各种各样的
量和数量关系，如物体运动中的速度、时间和距离；购买商品的数量、单价和
总价；某城市一天中各时间的气温……在某一个过程中，有些量固定不变，
有些量不断改变。为了研究这些量以及数量之间的关系，我们需要对量进
行分类，对研究对象进行合理的分类是重要的数学思想。
讨论下面的问题：
1. 圆的面积公式为S＝πr
2。取r的一些不同的值，算出相应的S的值：
r＝
cm
S＝
cm
2
r＝
cm
S＝
cm
2
r＝
cm
S＝
cm
2
…
…
在计算半径不同的圆的面积的过程中，哪些量改变？哪些量不变？
2. 假设钟点工的工资标准为25 元/时，设工作时数为t（时），应得工资
额为m（元），则m＝25 t。
取一些不同的t的值，求出相应的m的值：
t＝
m＝
t＝
m＝
t＝
m＝
…
…
在根据不同的工作时数计算钟点工应得工资额的过程中，哪些量改变？
哪些量不变？
马术比赛，马从起点跑向终点的过程
中，涉及路程、时间、速度等量，其中哪些量
在改变？哪些量不变？
5.1
常量与变量
常量与变量
152
第5章
一次函数
在一个过程中，固定不变的量称为常量（constant），可以取不同数值
的量称为变量（variable）。如上面两题中，圆周率π 和钟点工的工资标准
25 元/时是常量；半径r和圆面积S，工作时数t和工资额m 都是变量。又如，
购买同一种商品时，商品的单价是常量，购买的商品数量和相应的总价是
变量。
▶例
一家快递公司的收费标准如图5-1。用t表示邮件的质量，p 表示
每件邮件的快递费，n表示邮件的件数。
（1）填写下表。
表5-1
（2）在投寄快递的事项中，t，p，n 是常量，还是变量？若0＜t≤10，投寄
n件邮件的快递费记为w元，此时t，p，n，w中，哪些是常量？哪些是变量？
分析：要判断一个量是常量还是变量，就是要看在这个过程中量的取
值有无改变。
解：（1）如表5-2。
表5-2
（2）在投寄快递邮件的事项中，t，p，n 是变量。
若0＜t ≤10，则p为常量，t，n，w为变量。
快递费p/元
12
10
8
6
4
2
10 11 12 13 14 15 16
邮件质量
t/千克
1
2
3
4
5
6
7
8
9
O
图5-1
如果0＜t≤15，
那么p 还是常量吗？
为什么？
t/千克
p/元
3
6
10
11
12.5
13
t/千克
p/元
3
6
6
6
10
6
11
7
12.5
9
13
9
153
数学
八年级上册
A组
B组
C组
课内练习
KENEILIANXI
1. 举两个常量和变量的实际例子。
2. 某水果店橘子的价格为4.5元/千克，记买k千克橘子的总价为s元。
说出其中的常量和变量。
作业题
ZUOYETI
1. 圆周长C 与圆的半径r 之间的关系为C＝2πr。对于各种不同大小
的圆，指出C＝2πr中的变量和常量。
2. 声音在空气中传播的速度v（m/s）与温度t（℃）之间有关系式v＝
331＋0.6t。说出其中的常量和变量。
3. 设A，B 两城市的铁路路程为s（km），列车行驶的平均速度为
v（km/h），驶完这段路所需的时间为t（h）
（不包括中途停车的时
间），则t＝s
v。其中哪些量是常量？哪些量是变量？如果v＝220呢？
4. 判断下列问题中，字母表示的是常量还是变量。
（1）某段河道某天的水位记录如下表，其中t 表示时刻，h 表示水位
（以警戒线为基准，高出警戒线为正）。
（2）物理学家爱因斯坦（Einstein，1879～1955）发现了著名的质能
转换公式E＝mc
2，其中E 表示能量，m 表示质量，c 是光在真空
中的传播速度。
5. 通过报刊、互联网等途径查找资料，写一段涉及多个量的短文，找出
其中的变量和常量，并说明你的理由。
一
一一
一一
一一
一一
一一
一
t/时
h/米
0
1
5
0.8
10
0.4
12
0
15
－0.2
20
－0.4
154
第5章
一次函数
根据经验，跳远的距离s＝0.085v
2（v 是助跑
速度，0＜v＜10.5 m/s），其中变量s随着哪个量的
变化而变化？
图5-2
1
5.2
认识函数
认识函数
用数学方法分析运动变化的规律，就是要研究变化过程中变量之间的
数量关系，分析一个变量随另一个变量变化而变化的规律。
合作学习
HEZUOXUEXI
1. 小明的哥哥是一名大学生，他利用暑假去一家公司实习，报酬按
20 元/时计算。设小明的哥哥这个月工作的时间为t小时，应得报酬为m元，
填写下表：
表5-3
工作时间t/时
报酬m/元
6
8
12
16
24
…
t
…
表中m 的值是否随t 的值的变化而变化？怎样用关于t 的代数式表
示m？
2. 如图5-2，在边长为1 的正方形ABCD 中，E
为边BC 的中点，点F 在线段DC 上。用x 表示线段
CF 的长度，用y 表示△AEF 的面积。则变量x 的取
值范围是什么？当x的值分别为0.2，0.4，0.6，0.8时，
面积y 的值分别为多少？y 的值是否随x 的变化而
变化？
3. 图5-3 是杭州市7 月某天24 小时气温图。根据这个图象，气温W 是
否随时刻T 的变化而变化？对于这天的每一个时刻，能否确定这时的气温？
为什么？
155
数学
八年级上册
以上三个问题虽然背景不同，但有共同之处。对于其中的一个变量（如
t，x，T），任取一个值，另一个变量（如m，y，W）相应有几个值？你还能举出
符合这种特征的例子吗？
（请与你的同伴交流）
我们可以发现，上述问题都具有以下共同特征：都有两个变量，假设记
为x，y，变量y随x的变化而变化；当x取某个值时，y的值也唯一确定。
一般地，在某个变化过程中，如果有两个变量x，y，并且对于x 的每一个
确定的值，y 都有唯一确定的值与之对应，那么就说y 是x 的函数（function），
x叫作自变量（independent variable）。
例如，上述问题1中，m是t的函数，t是自变量；问题2中，y是x的函数，x
是自变量。如m＝20t，y＝1
4x＋1
4 ，用等式表示函数与自变量之间的关系，这
种等式叫作函数表达式（analytic expression），简称为函数式。用函数表达式
表示函数的方法也叫解析法。
除了用函数表达式表示函数关系外，还有以下两种常用的函数表示法。
1．如图5-3，在直角坐标系中，用图象表示变量W 和t 的函数关系，称
为图象法。表示函数关系的图象简称函数图象。
2．把自变量的所有取值与对应的函数值列成一张表，这种表示函数的
方法称为列表法。如表5-4 表示的是一年内某城市月份与平均气温的函数
关系。
杭州市7月某天24小时气温图
P（16，36）
图5-3
156
第5章
一次函数
月份x
平均气温y/℃
1
3.8
2
5.1
3
9.3
4
15.4
5
20.2
6
24.3
7
28.6
8
28.0
9
23.3
10
17.1
11
12.2
12
6.3
图5-4
A（t0，y0）
B（10，280）
D
C
E
潮高为200 cm
的时间分别是几时
几分？
表5-4
若函数用解析法表示，只需把自变量的值代入函数式，就能得到相应的
函数值。例如，函数m＝20t，当t＝8 时，把它代入函数表达式，得m＝20×
8＝160（元）。m＝160 称为当自变量t＝8 时的函数值。若函数用列表法表
示，函数值可以通过查表得到。如表5-4 中，当x＝2 时，对应的平均气温
y＝5.1℃。函数用图象法表示时，对给定的自变量的值，如图5-3，若t＝
16，只要过点（16，0）作x 轴的垂线，垂线与图象交点P（16，36）的纵坐标就
是当t＝16时的函数值，即W＝36℃。
▶例1
北仑港某一天潮汐高度随时间变化如图5-4所示。
请观察图象，解答下列各题：
（1）潮高y（cm）是时间t（h）的函数吗？为什么？
（2）求当t＝10时的函数值，并说明函数值的实际意义。
（3）一天内，有几次潮高为200 cm？
解：（1）在0≤t ≤24 的范围内，任意取一个t 的值t0时，过点（t0，0）作t
轴的垂线，垂线和图象有唯一的公共点A（t0，y0），也就是潮高y 有唯一的确
定值y0，所以潮高y（cm）是时间t（h）的函数。
（2）过点（10，0）作t 轴的垂线，交图象于点B
（10，280）。所以当t＝10时，函数值为y＝280（cm），
它的实际意义是10：00时的潮高为280 cm。
（3）过点（0，200）作垂直于y 轴的直线，交图象
于C，D，E三点，所以一天内有3次潮高为200 cm。
157
数学
八年级上册
A组
课内练习
KENEILIANXI
1. 某市居民生活用水的价格是2.9 元/立方米。设某户居民这个月的
用水量为n立方米，应付水费为m元。在这个问题中，m关于n的函
数表达式是
。当n＝15 时，函数值是
，这一
函数值的实际意义是
。
2. 骑自行车30分钟，热量消耗W（焦）与体重x（千克）之间的函数关系
如图所示。
（1）请说出体重为30 千
克和50 千克时，热量
消耗W（焦）的值。
（2）当W＝336 焦时，自
变量x的值约为多少？
这个值的实际意义
是什么？
作业题
ZUOYETI
1. 某市民用电费的价格是0.538元/千瓦时。设用电量为x千瓦时，应
付电费为y元，则y关于x的函数表达式是
。当x＝40
时，函数值是
，它的实际意义是
。
若某用户的用电量为65千瓦时，则该用户应付电费为
元。
2. 求下列函数当x＝4时的函数值。
（1）y＝2x
2；
（2）y＝
1
2x＋1。
3. 已知△ABC 的底边BC 上的高线长是6 cm。当BC 的长改变时，三
角形的面积也将改变。
（1）若△ABC的底边BC的长为x（cm），则△ABC的面积y（cm
2）可
表示为
。
（2）当底边BC 的长x 从12 cm 变化到3 cm 时，三角形的面积
y 从
cm
2变化到
cm
2。
骑
自
行
车
30
分
钟
消
耗
的
热
量
体重x/千克
P（50，399）
O
（第2题）
W/焦
158
第5章
一次函数
B组
4. 某小区临时停车收费规则如下：半小时内（含半小时）收费5 元；超
过半小时，每小时收费10 元（不足1 小时按1 小时计）；每天不超过
40元。如果停车时间为x（h），停车费为y（元）。
（1）y是关于x的函数吗？为什么？
（2）分别求当x＝0.5，1，3.4，6时的函数值，并说明它们的实际意义。
5. 下图是某水库的库容曲线图，其中x 表示水库的平均水深（米），V
表示水库的库容（万立方米）。根据图象回答下面的问题。
（1）这个函数反映了哪两个变量之间的关系？
（2）填表：
x/米
V/万立方米
5
10
15
20
25
（3）当平均水深取5 m至25 m之间的一个确定的值时，相应的库容
V确定吗？
（4）库容V可以看成平均水深x的函数吗？
（5）求当x＝18时的函数值，并说明它的实际意义。
2
下面我们看两个求函数表达式及其应用的简单例子。
▶例2
等腰三角形ABC的周长为10，底边BC长为y，腰AB长为x。
（1）求y关于x的函数表达式。
（2）写出自变量x的取值范围。
（3）当腰长AB＝3时，底边BC的长为多少？
（第5题）
300
250
200
150
100
50
O
5
10
15
20
25
30
35
平均水深x/米
库容V/万立方米
159
数学
八年级上册
当x＝6 时，y＝
10－2x 的值是多少？
对本例有意义吗？
当x＝2呢？
分析：求函数表达式，关键是寻找自变量x与函数y之间的数量关系。
解：（1）因为三角形的周长为10，得2x＋y＝10，所以函数表达式为y＝
10－2x。
（2）因为x，y是三角形的边长，
所以x＞0，y＞0，2x＞y（为什么？）。
故{
10－2x＞0，
2x＞10－2x，解得2.5＜x＜5。
所以自变量x的取值范围是2.5＜x＜5。
（3）当AB＝3，即x＝3时，y＝10－2×3＝4。
所以当腰长AB＝3时，底边BC的长为4。
▶例3
游泳池应定期换水。某游泳池在一次换水前存水936 立方米，
换水时打开排水孔，以每小时312 立方米的速度将水放出。设放水时间为t
小时，游泳池内的存水量为Q立方米。
（1）求Q 关于t 的函数表达式和自变量t
的取值范围。
（2）放水2 小时20 分后，游泳池内还剩多
少立方米的水？
（3）放完游泳池内全部水需要多少时间？
解：（1）Q关于t的函数表达式是Q＝936－312t。
因为Q≥0，t≥0，所以ìí
î
t ≥0，
936－312t ≥0，解得0≤t ≤3。
所以自变量t的取值范围是0≤t ≤3。
（2）放水2小时20分，即t＝7
3（时）。
把t＝7
3 代入Q＝936－312t，得Q＝936－312×7
3＝208（立方米）。
所以放水2小时20分后，游泳池内还剩208立方米的水。
（3）放完游泳池内全部水时，Q＝0，即936－312t＝0，解得t＝3。
所以放完游泳池内全部水需要3小时。
160
第5章
一次函数
探究活动
TANJIUHUODONG
课内练习
KENEILIANXI
1. 求下列函数自变量的取值范围（使函数式有意义）：
（1）y＝
1
x－1；
（2）y＝x－1。
2. 如图，正方形EFGH 的四个顶点分别在边长为
1 的正方形ABCD 的四条边上。设AE＝x，试
求正方形EFGH 的面积y 关于x 的函数表达
式，写出自变量x 的取值范围，并求当AE＝1
4
时，正方形EFGH的面积。
如图5-5，每个图形都是由若干枚棋子围成的正方形图案，图案的每条边（包括
两个顶点）上都有n（n≥2）枚棋子，设每个图案的棋子总数为S。
图5-5 中，棋子的排列有什么规律？S 与n 之间能用函数表达式表示吗？自变
量n的取值范围是什么？
n＝5
S＝16
n＝2
S＝4
n＝3
S＝8
n＝4
S＝12
图5-5
C
A
D
B
G
H
F
x
E
（第2题）
A组
作业题
ZUOYETI
1. 已知直角三角形两锐角的度数分别为x，y，则y 与x 的函数关系
是
。
2. 一小汽车的油箱可装汽油50 升，油箱中有汽油10 升。现在再加汽
油x（升）。已知每升汽油8.75元，求加油的费用y（元）关于x（升）的
函数表达式，并求自变量x的取值范围。
3. 如果1 cm
3的钢的质量是7.8 g，求一个立方体钢块的质量y（g）关于
棱长x（cm）的函数表达式。
161
数学
八年级上册
B组
4. 设y（cm
2）表示周长比12 cm小x（cm）的正方形面积，求：
（1）y关于x的函数表达式和自变量x的取值范围。
（2）当x＝8时函数y的值。
5. 已知一条钢筋长100 cm，把它折弯成长方形（或正方形）框，其一条
边长记为x（cm），围成的面积记为S（cm
2）。
（1）求S关于x的函数表达式和自变量x的取值范围。
（2）分别求当x＝20，25，28时，函数S的值。
3
把一个函数的自变量x 的值与函数y 的对应值分别作为点的横坐标和
纵坐标，在直角坐标系中描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫作这个
函数的图象（graph）。函数的图象能直观地反映函数的性质和函数的变化趋
势，是研究和处理有关函数问题的重要工具。
▶例4
根据卫生要求，游泳池必须定期换水、清洗。某游泳池在上午
9：00打开排水口开始排水，排水口的排水速度保持不变，其间因清洗游泳池
需要暂停排水，游泳池的水在12：00全部排完。
游泳池内的水量Q（m
3）是排水时间t的函数，函
数图象如图5-6所示。根据图象回答下列问题。
（1）开始排水前，游泳池内的水量有多少？
（2）几时该游泳池开始暂停排水进行清
洗？暂停排水时间有多长？
（3）排水口的排水速度是多少？暂停排
水时游泳池内还剩多少水量？
解：（1）根据函数图象，开始排水前，游泳池内的水量是900 m
3。
（2）经过1.5 h，即10：30开始暂停排水，暂停排水的时间为0.5 h。
（3）实际排水的时间为2.5 h，共排放水900 m
3，900÷2.5＝360（m
3/h），
所以排水的速度是360 m
3/h。
900－360×1.5＝360（m
3），所以暂停排水时游泳池内还剩360 m
3的水量。
图5-6
162
第5章
一次函数
图5-7
▶例5
某校八年级组织了一场趣味运动会，其中“背夹球竞走”项目的
规则是：每组选出男、女同学各一名，背靠背中间夹一个气球，在直道上侧身
走完规定的路程，气球不能落地。若途中气球掉落，须捡回并在掉落处继续
前行。用时少者胜。甲、乙两组参加比赛，结果甲组在途中掉了球，乙组则
顺利走完全程。
图5-7 反映了比赛过程中，两组同学距离出发点的距离y（m）与比赛时
间x（s）的函数关系。
根据函数图象，回答下列问题：
（1）这项比赛的总路程是多少？
（2）哪一组同学获胜？
（3）线段AB表示的实际意义是什么？
（4）比赛途中两组同学相遇了几次？在哪个时间段内他们第一次相遇？
分析：由函数图象可以知道，背夹球的比赛是折返跑，跑到距离起点
40 m 处折返。图象中线段AB 平行于x 轴，表明出现了停顿。因此折线
OABCD是甲组的函数图象，折线OEF是乙组的函数图象。
解：（1）由点E，C 的纵坐标可以看出，比赛单程为40 m，往返全程为
80 m。
（2）由点D，F的横坐标可以看出，甲组比赛用时55 s，乙组比赛用时60 s，
所以甲组获胜。
（3）线段AB表示甲组在比赛开始15 s时掉球，5 s后继续比赛。
（4）两个函数图象除原点外有两个交点，说明比赛途中两组同学相遇
了两次。从图象可知，第一次相遇发生在25 s至35 s之间。
163
数学
八年级上册
A组
B组
课内练习
KENEILIANXI
1. 根据函数图象（如图），描述一个符合图象所表示的函数关系的
情景。
2. 小鹏某天上学途中离开家的距离y（km）与时间x（min）的函数图象
如图所示，请你根据图象描述小鹏在上学途中的过程。
作业题
ZUOYETI
1. 放学后，小明骑自行车回家，他经过的路
程s（km）与所用时间t（min）的关系如图所
示，那么小明的骑车速度是
。
2. 均匀地向一个茶壶倒入开水，最后茶壶内注满水。茶壶中水面的高
度h 是注水时间t 的函数。如图两个函数图象中，哪个符合茶壶中
水面高度h随注水时间t变化的规律？请说明理由。
3. 北京某日8时至次日8时（次日的时间前面加0表示）的温度变化趋
势如图所示。根据图象回答下列问题。
（1）写出这个时间段内温度的变化范围。
（2）估计11时所对应的温度。
（第1题）
（第2题）
O
（第1题）
①
②
（第2题）
164
第5章
一次函数
C组
4. 如图表示的是距离y（米）关于时间x（分）的函数图象，请你给这个
函数图象写一件事，使得事件发生过程中两个变量之间的关系符合
这个函数图象。
5. 我国古代发明了利用水流作动力取水灌田的筒车，它是我国古代劳
动人民智慧的结晶。筒车中的转轮可以抽象成一个圆，圆上一点离
水面的高度y（m）与旋转时间x（min）之间的关系如图所示。
（1）根据图象填表：
x/min
y/m
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
（2）变量y是x的函数吗？为什么？
（3）根据图中的信息写出转轮旋转一周需要的时间和转轮的半径。
（第4题）
（第5题）
（第3题）
温度/℃
22
24
26
28
30
O
8
12
14
16
18
20
22
24
02
04
06
08 时间/时
26
29
31
31
30
28
27
26
26
25
24
24
26
32
10
165
数学
八年级上册
国家大力发展风力发电等清洁能源。表5-5 是某地区6 年风力发电装
机容量统计表。
表5-5
年份
风力发电装机容量/万千瓦
2017
18
2018
22
2019
26
2020
30
2021
34
2022
38
该地区风力发电装机容量每年的增长有什么规律？这种规律能否用函
数表示？
由表5-5，该地区风力发电装机容量每年的增长量是常数，通过增长量
分析变量的变化情况是一种重要的数学方法。将2017年记为第1年，用x表
示从第1 年起的第x 年，y 表示第x 年的风力发电装机容量，那么从第1 年到
第x 年经过了（x－1）年。因为每一年风力发电装机容量都增加4 万千瓦，
所以y＝4（x－1）＋18，即y＝4x＋14。
一般地，函数y＝kx＋b（k，b 都是常数，且k≠0）叫作一次函数（linear
function）。当b＝0 时，一次函数y＝kx＋b 就成为y＝kx（k 是常数，k≠0），叫
作正比例函数（function of direct proportion），常数k 叫作比例系数（constant
of variation）。
做一做
ZUOYIZUO
下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？系数k 和常
数b的值各是多少？
C＝2πr，y＝2
3x＋200，t＝200
v ，y＝2（3－x），s＝x（50－x）。
1
5.3
一次函数的意义
一次函数的意义
塞罕坝从一棵树到一片“树海”，创造了
我国生态文明建设的奇迹。如何运用函数
模型来预测植树造林对森林面积的影响？
166
第5章
一次函数
▶例1
求下列各题中x与y之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函
数？是否为正比例函数？
（1）某农场种植玉米，每平方米种玉米6 株，玉米株数y（株）与种植面
积x（m
2）之间的关系；
（2）正方形的面积y与周长x之间的关系；
（3）等腰三角形ABC 的周长为16（cm），底边BC 长为y（cm），腰AB 长
为x（cm）。y与x之间的关系。
解：（1）y＝6x，y是x的一次函数，也是正比例函数；
（2）y＝( )
x
4
2
，y不是x的一次函数，也不是正比例函数；
（3）y＝16－2x，y是x的一次函数，但不是x的正比例函数。
▶例2
按国家2019 年1 月1 日起实施的有关个人所得税的规定，个人
全年所得收入中，年应纳税所得额
❶不超过36 000 元的税率为3%，超过
36 000元至144 000元的部分的税率为10%。
（1）设全年应纳税所得额为x 元，且36 000＜x≤144 000，应纳个人所
得税为y元，求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围。
（2）小聪妈妈去年应纳税所得额为60 000 元，则她去年应缴个人所得
税多少元？
分析：由于个人所得税根据应纳税所得额的多少采用不同的税率，所
以需要根据应纳税所得额确定相应的税率。
解：（1）y＝36 000×3%＋（x－36 000）×10%
＝0.1x－2 520（36 000＜x≤144 000）。
所求的函数表达式为y＝0.1x－2 520，自变量x 的取值范围为36 000＜
x≤144 000。
（2）将x＝60 000代入函数表达式，得
y＝0.1×60 000－2 520＝3 480（元）。
答：小聪妈妈去年应缴个人所得税3 480元。
❶应纳税所得额＝个人全年所得收入－60 000元－专项扣除－专项附加扣除－其他扣除。
167
数学
八年级上册
A组
B组
课内练习
KENEILIANXI
1. 已知正比例函数y＝kx，当x＝－2时，y＝6。求比例系数k的值。
2. 某市出租车按里程收费：在规定的里程内按定额收费（起步价），超
出规定里程部分，车费与超出的整千米数（不足1 千米按1 千米计
算）成正比例。该市出租车的起步价里程为4 km，起步价为10 元
（不计等待时间）。
（1）小明一次在该市乘车，从计费表上看乘车里程和车费分别为
6 km，14.00 元。用函数表达式表示出租车超出起步价里程时
的计费方法。
（2）如果你在该市乘坐出租车的里程为3 km，那么需付多少车费？
如果乘车里程为8 km呢？
作业题
ZUOYETI
1. 写出下列各题中y 关于x 的函数表达式，并判断：y 是否为x 的一次
函数？是否为正比例函数？
（1）黑色中性笔每支3 元，购买这种中性笔的总价y（元）与购买支
数x（支）之间的关系；
（2）甲、乙两地之间的路程为300 千米，汽车从甲地出发开往乙地
的速度y（千米/时）和到达乙地所需时间x（时）之间的关系。
2. 写出下列一次函数的一次项系数k和常数项b的值。
（1）y＝3x＋7；
（2）s＝－t＋4；
（3）m＝0.4 n；
（4）y＝－2（x－1）＋x。
3. 已知y是x的正比例函数，当x＝－2时，y＝8。求y关于x的函数表
达式，以及当x＝3时的函数值。
4. 一种移动电话服务收费标准为：每月基本服务费为30 元，每月免费
通话时间为120 分钟，以后每分钟收费0.4 元（不到1 分钟的按1 分
钟计）。
（1）写出每月话费y（元）关于通话时间x（分）（x＞120）的函数表
达式。
168
第5章
一次函数
C组
（2）分别求出每月通话时间为100分钟，200分钟的话费。
5. 某种气体在0 ℃时的体积为100 L，温度每升高1 ℃，它的体积增加
0.37 L。
（1）写出气体体积V（L）与温度t（℃）之间的函数表达式。
（2）求当温度为30 ℃时气体的体积。
（3）当气体的体积为107.4 L时，温度为多少摄氏度？
6. 如图，在△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的
平分线交于点P，设∠A＝x°，∠BPC＝
y°。当∠A 变化时，求y 关于x 的函数表
达式。判断y是不是x的一次函数，写出
自变量x的取值范围。
2
我们可以通过求y＝kx＋b（k≠0）中的系数k和b的值，来确定一次函数
的表达式。
▶例3
已知y是x的一次函数，当x＝3时，y＝1；当x＝－2时，y＝－14。
求这个一次函数的表达式。
解：因为y是x的一次函数，所以可设所求的表达式为y＝kx＋b（k≠0）。
将x＝3，y＝1和x＝－2，y＝－14分别代入上式，得{
1＝3k＋b，
－14＝－2k＋b。
解这个方程组，得{
k＝3，
b＝－8。
故所求的一次函数的表达式为y＝3x－8。
一般地，若已知一次函数的两对自变量与函数的对应值，则可按以下步
骤求这个一次函数的表达式：
1. 设所求的一次函数表达式为y＝kx＋b，其中k，b 是待确定的常数，
k≠0。
2. 把两对已知的自变量与函数的对应值分别代入y＝kx＋b，得到关于
k，b的二元一次方程组。
（第6题）
169
数学
八年级上册
3.解这个关于k，b的二元一次方程组，求出k，b的值。
4.把求得的k，b的值代入y＝kx＋b，就得到所求的一次函数表达式。
这种求函数表达式的方法叫作待定系数法。
▶例4 “绿水青山就是金山银山”，为改善生态环境，某地区大力开展
植树造林活动。从2013年底开始，森林面积每年以几乎相同的增长量增长。
据统计，到2021年底，该地区的森林面积已从2018年底的421万公顷扩展到
538万公顷。
（1）可选用什么数学模型来描述该地区的森林面积的变化？
（2）如果该地区持续进行植树造林，森林面积每年都按相同的增长量
增长，那么到2035年底，该地区的森林面积将增加到多少万公顷？
分析：由于森林面积每年几乎以相同的增长量增长，可设森林面积每
年的增长量为k万公顷，2013年该地区森林的面积为b万公顷，每经过一年，
森林面积增加k万公顷，经过x年，该地区的森林面积增加到y万公顷，则y＝
kx＋b。因此可选择一次函数模型来描述该地区森林面积的变化。
解：（1）设2013 年底该地区森林的面积为b 万公顷，森林面积每年增
加k 万公顷，经过x 年，该地区的森林面积增加到y 万公顷。由题意，得y＝
kx＋b，且当x＝5 时，y＝421；当x＝8 时，y＝538。把这两对自变量和函数的
对应值分别代入y＝kx＋b，得{
421＝5k＋b，
538＝8k＋b，解得{
k＝39，
b＝226。
所以该地区森林面积随时间变化的规律可由一次函数y＝39x＋226 来
描述。
（2）把x＝22代入y＝39x＋226，得
y＝39×22＋226＝1 084（万公顷）。
答：到2035年底，该地区森林面积将增加到1 084万公顷。
课内练习
KENEILIANXI
1. 铜的质量m 与体积V 成正比例关系。已知当V＝5 cm
3 时，m＝
44.5 g，求：
（1）铜的质量m（g）关于体积V（cm
3）的函数表达式。
（2）体积为0.3 dm
3的铜棒的质量。
170
第5章
一次函数
A组
B组
2. 已知y 是x 的一次函数，当x＝－2 时，y＝7；当x＝3 时，y＝－8。求
这个一次函数的表达式。
作业题
ZUOYETI
1. 已知函数y＝－2x＋b。当x＝－1
2 时，y＝－1，求常数项b。
2. 已知y是x的一次函数，且当x＝－4时，y＝9；当x＝6时，y＝－1。求：
（1）这个一次函数的表达式和自变量x的取值范围。
（2）当x＝－1
2 时，函数y的值。
（3）当y＝7时，自变量x的值。
（4）当y＜1时，自变量x的取值范围。
3. 某饮料厂生产一种饮料，经测算，在其他成本不变的情况下，用1 吨
水生产的饮料所获利润y（元）是水价x（元/吨）的一次函数。根据
下表提供的数据，求y 关于x 的函数表达式。当水价为每吨10 元
时，1吨水生产的饮料所获的利润是多少？
4. 某航空公司规定旅客可免费托运一定质量的行李，超过规定质量的
行李需要买行李票，行李票价格y（元）是行李质量x（kg）的一次函
数。已知当行李质量分别为20 kg，40 kg 时，需支付的行李票价格
为15元和45元。求y关于x的函数表达式。
5. 已知y＋m与x－n成正比例（其中m，n是常数）。
（1）y是关于x的一次函数吗？
（2）如果当x＝－1 时，y＝－15；当x＝7 时，y＝1。求y 关于x 的函
数表达式。
每吨水价x/元
利润y/元
4
200
6
198
171
数学
八年级上册
设计题
SHEJITI
阶梯式水费的计算
为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费。水价分三个等级：第一级为月
用水量17 m
3以下（包括17 m
3）；第二级为月用水量超过17 m
3但不超过30 m
3；第三
级为月用水量超过30 m
3（不包括30 m
3）。下面是某户居民收到的一张水务公司消
费明细。
（1）从这张水费明细中你能获得哪些与水费计算有关的信息？设某居民用户
的月用水量为x（m
3）（17 < x ≤30 )，应付水费为y元，求y关于x的函数表达式。根
据明细中的信息，你能计算月用水量超过30 m
3时的水费吗？为什么？
（2）通过收集水费明细、询问水务公司等途径，了解你所在县（市、区）水费的
计算方法。根据你家前几个月的用水量，你能得到你家需付水费的计算公式吗？
估计你家当月的用水量，并用公式估计水费。
居民生活用水消费明细
计费日期2023-10-01至2023-10-31
上期抄见数
587
自来水费（含水资源费）
用水量/m3
阶梯一：17
阶梯二：8
本期实付金额
（大写）
单价/（元/m3）
3.80
4.65
壹佰叁拾伍元捌角零分
￥135.80
本期抄见数
612
金额/元
64.60
37.20
加原表用水量/m3
污水处理费
用水量/m3
阶梯一：17
阶梯二：8
单价/（元/m3）
1.36
1.36
本期用水量/m3
25
金额/元
23.12
10.88
（注：居民生活用水水费=自来水费+污水处理费）
172
第5章
一次函数
1
s/m
100
50
O
1212.5
t/s
甲乙
根据甲、乙两人赛跑中
路程s与时间t的函数图象，
你能获取哪些信息？
函数图象能直观反映两个变量之间的对应关系，可以借助函数图象了
解函数的性质。
合作学习
HEZUOXUEXI
对一次函数y＝2x与y＝2x＋1作如下研究：
1. 分别选择若干对自变量与函数的对应值，列成下表（请在空格内填入
合适的数，完成表5-6）。
表5-6
x
y＝2x
y＝2x＋1
…
…
…
－2
－4
－3
－1
－2
0
0
1
2
…
…
…
2. 分别以表中x的值作点的横坐标，对应的y值作纵坐标，得到两组点，
写出用坐标表示的这两组点。
3. 建立一个直角坐标系，并在直角坐标系中画出这两组点。
4. 观察所画的两组点，你发现了什么？
（请与你的同伴交流）
我们发现，如图5-8，坐标满足一次函数y＝2x 的各点（－2，－4），
（－1，－2），
（0，0），
（1，2），
（2，4）…都在直线l1上；而坐标满足一次函数y＝
2x＋1的各点：
（－2，－3），
（－1，－1），
（0，1），
（1，3），
（2，5）…都在直线l2上。
5.4
一次函数的图象与性质
一次函数的图象与性质
173
数学
八年级上册
图5-9
1
2
3
4
－3
1
O
y=-3x＋2
y=3x
（0，0）
y
x
－2 －1
－1
－2
2
3
（1，－1）
（0，2）
（1，3）
1
2
3
4
－1
－2
－3
－4
1
－2
－4
－3
－1
2
3
4
5
x
y
y＝2x
y＝2x＋1
l2
O
－5
l1
图5-8
反过来，在直线l1或l2上取一些点，这些点的坐标分别满足y＝2x或y＝2x＋1
（不妨试一试）。
由此可见，一次函数y＝kx＋b（k，b 都为常数，且k≠0）可以用直角坐标
系中的一条直线来表示，这条直线叫作一次函数y＝kx＋b的图象。
▶例1
在同一直角坐标系中画出下列函数的图象，并求出它们与坐标
轴交点的坐标：y＝3x，y＝－3x＋2。
分析：因为一次函数的图象是直线，根据两点确定一条直线可知，只要
画出图象上的两个点，就能画出一次函数的图象。
解：对函数y＝3x，
取x＝0，得y＝0，得到点（0，0）；
取x＝1，得y＝3，得到点（1，3）。
过点（0，0），
（1，3）画直线，就得到函数
y＝3x 的图象，如图5-9。从图象可以看出，它
与坐标轴的交点是原点（0，0）。
同理，对函数y＝－3x＋2，
取x＝0，得y＝2，得到点（0，2）；
取x＝1，得y＝－1，得到点（1，－1）。
过点（0，2），
（1，－1）画直线，就得到函数y＝－3x＋2 的图象，如图
5-9。从图象可以看出，它与x轴的交点是(
)
2
3 ，0 ，与y轴的交点是（0，2）。
174
第5章
一次函数
图5-10
－3－2－1O
1
2
3
x
1
2
3
y
－1
－2
－3
B
B'
A
（第2题）
▶例2
已知一个函数的图象与函数y＝5x－3 的图象关于y 轴对称，求
这个函数的表达式。
分析：因为函数y＝5x－3 的图象是直线，所以它关于y 轴对称的图象
也是直线，即所求的函数也是一次函数。只需求出函数图象上两个点的坐
标，就能确定这个函数的表达式。
解：因为与函数y＝5x－3 的图象关
于y 轴对称的图象也是直线，所以这个函
数是一次函数，设表达式为y＝kx＋b
（k≠0）。
如图5-10，点A（0，－3），B（1，2）是函
数y＝5x－3 的图象上的两点，点A，B 关于
y轴的对称点是A（0，－3），B'（－1，2），因此
点A，B'在函数y＝kx＋b的图象上。
将A，B'的坐标代入函数表达式，
得到{
－3＝k × 0＋b，
2＝k ×（－1）＋b，解得{
k＝－5，
b＝－3，
所以所求的函数表达式为y＝－5x－3。
想一想，如果函数y＝k1x＋b1与y＝k2x＋b2的图象关于y轴对称，函数的
表达式有什么联系？如果两个函数的图象关于x轴对称呢？
课内练习
KENEILIANXI
1. 在同一直角坐标系中画出下列函数的图象，并说出图象之间的位置
关系，写出它们与坐标轴的交点坐标。
（1）y＝1
2x；
（2）y＝1
2x＋2；
（3）y＝－1
2x＋2。
2. 甲、乙两人在一次跑步中，路程s（m）
与时间t（s）的关系如图所示。这次跑
步甲、乙各跑了多少米？谁先到达终
点？分别求出他们跑步的路程s 关于
时间t的函数表达式。
175
数学
八年级上册
A组
B组
作业题
ZUOYETI
1. 一次函数y＝2x－1的图象大致是（
）。
2. 在同一直角坐标系中画出下列直线。
（1）y＝－1
3x；
（2）y＝2x－3。
3. 已知函数y＝－8x＋16，求该函数图象与坐标轴交点的坐标。
4. 一个长方形的周长是12 cm，一条边长为x（cm），另一条边长为
y（cm）。
（1）求y关于x的函数表达式，以及自变量x的取值范围。
（2）画出这个函数的图象。
5. 已知某函数的图象与一次函数y＝－2x＋10 的图象关于y 轴对称，
求这个函数的表达式。
6. 在直角坐标系中，已知一次函数的图象过M（3，2），N（－1，－6）
两点。
（1）求这个函数的表达式。
（2）画出这个函数的图象。
（3）试判断点P（2a，4a－4）是否在这个函数的图象上，并说明理由。
y
x
O
y
x
y
x
y
O
O
O
x
（A）
（B）
（C）
（D）
176
第5章
一次函数
2
合作学习
HEZUOXUEXI
利用函数的图象分析下列问题：
对于一次函数y＝2x＋3，当自变量x 的值增大时，函数y 的值有什么变
化？对于一次函数y＝－2x＋3呢？
观察图5-11中各个一次函数的图象，你发现了什么规律？
（请与你的同伴交流）
一次函数有下面的性质：
对于一次函数y＝kx＋b（k，b 为常数，且k≠0），当k>0 时，y
随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小。
做一做
ZUOYIZUO
对于下列两个函数，设当x＝x1时，y＝y1；当x＝x2时，y＝y2。用
“>”或“<”填空。
对于函数y＝2x，若x2>x1，则y2
y1；
对于函数y＝－x＋3，若x2
x1，则y2<y1。
图5-11
y
x
10
9
8
7
5
4
3
2
1
－1
－2
－3
－6
－4
－2
1 2 3 4 5 6 7 8 9
O
6
y=2x+3
y=1
2x
y=-2x+3
y=-3
4x+3
177
数学
八年级上册
▶例3
已知一次函数y＝kx＋b（k<0）的系数k，b 满足3k＋b＝0，点
（－1，y1），
（4，y2）在这个函数的图象上，试比较y1，0，y2三个数的大小。
分析：由k<0，－1<4，易知y1>y2。另一方面，把3k＋b 与函数式作
比较，不难发现3k＋b 是该一次函数当x＝3 时的函数值。根据x 的值－1
<3<4 和函数的递减性，就能确定y1，0，y2的大小
关系。
解：因为k <0，所以y＝kx＋b 随着x的增大
而减小。当x＝3 时，函数y＝kx＋b 的值为3k＋b
＝0（图5-12）。因为－1<3<4，所以相应的函数
值y1>0>y2。
▶例4
某公司每月生产A，B 两
种型号的口罩共20 万只，且所有口罩
当月全部售出。两种型号口罩的成
本、售价如表5-7。
（1）设该公司每月生产A 型口罩
x万只，月毛利润为y万元，试写出y关于x的函数表达式。
（2）该公司计划5 月投入口罩生产的成本不超过28 万元，且B 型口罩
每只售价降低2 元，问：应该怎样安排A，B 两种型号口罩的产量，使得当月
销售毛利润最大？并求出最大毛利润。
解：（1）如果当月生产A 型口罩x 万只，那么生产B 型口罩（20－x）万
只，月毛利润y 是x 的函数。
y＝（1.5－1）x＋（6－3）
（20－x），即y＝－2.5x＋60。
所以y关于x的函数表达式是y＝－2.5x＋60，其中0≤x≤20。
（2）每个月生产口罩的成本是x＋3（20－x）。
由题意，x＋3（20－x）≤28，解得x≥16，故有16≤x≤20。
B型口罩降价后，月毛利润为
y＝（1.5－1）x＋（4－3）
（20－x）
＝－0.5x＋20（16≤x ≤20）。
因为－0.5<0，所以函数y随着x的增大而减小，因此，当x＝16时，函数
y的值最大，
图5-12
表5-7
口罩型号
A
B
每只成本/元
1
3
每只售价/元
1.5
6
178
第5章
一次函数
y 最大＝－0.5×16＋20＝12（万元）。
答：应安排生产A型口罩16万只，B型口罩4万只，可使当月的销售毛利
润最大，最大毛利润为12万元。
课内练习
KENEILIANXI
1. 对于函数y＝－2x＋5，当－1< x <2时，
< y <
。
2. 为了清洗水箱，需要放掉水箱内原有的200升水。若8：00打开放水龙
头，放水的速度为2升/分。运用函数表达式和图象解答下列问题。
（1）估计8：55～9：05（包括8：55和9：05）水箱内剩多少升水。
（2）当水箱中储水少于10升时，放水时间已经超过多少分钟？
A组
B组
作业题
ZUOYETI
1. 填空：
（1）已知y＝2x＋7，当x1≤x≤x2时，
≤y≤
；
（2）已知y＝－0.5x＋2，当－3＜x＜3时，
＜y＜
。
2. 已知y 是关于x 的一次函数，这个函数图象上有两点的坐标分别为
（0，－8），
（1，2）。当－3＜y＜3时，求x的取值范围。
3. 已知一次函数的图象经过点（－1,2），且函数y的值随自变量x的增
大而减小，请写出一个符合条件的一次函数的表达式。
4. 一辆汽车加满油后，油箱中有汽油70 L，汽车行驶时正常的耗油量
为0.1 L/km。
（1）求油箱中剩余的汽油量Q（L）关于加满油后已行驶里程d（km）
的函数表达式，确定自变量d 的取值范围（假定该汽车能工作
至油量为1 L），并画出函数图象。
（2）利用图象说明，当已行驶里程超过425 km后油箱内的汽油量。
5. 已知某种商品的进价为30元/件，毛利润的10% 用于缴税和支付其
他费用。若要使净利润保持在成本的11%～20% 之间（包括11%
和20%），问：售出单价应该为多少元（精确到1元）？
179
数学
八年级上册
在日常生活和生产实践中有不少问题的数量关系可以用一次函数来刻
画。在运用一次函数解决实际问题时，首先判定问题中的两个变量之间是
不是一次函数关系。若确定是一次函数关系，可求出函数表达式，并运用一
次函数的图象和性质进一步求得我们所需要的结果。
确定两个变量是否构成一次函数关系的一种常用方法，是利用图象获
得经验公式，这种方法的基本步骤是：
（1）通过实验、测量获得数量足够多的两个变量的对应值。
（2）建立合适的直角坐标系，在坐标系中，以各对应值为坐标描点，并
用描点法画出函数图象。
（3）观察图象特征，判定函数的类型。
这样获得的函数表达式有时是近似的。
C组
6. 要从甲、乙两仓库向A，B工地运送水泥。已知甲仓库可运出100吨
水泥，乙仓库可运出80吨水泥；A工地需70吨水泥，B工地需110吨
水泥。两仓库到A，B两工地的路程和每吨每千米的运费如下表：
（1）设甲仓库运往A 工地水泥x 吨，求总运费y 关于x 的函数表达
式，并画出图象。
（2）当甲、乙两仓库各运往A，B 两工地多少吨水泥时，总运费最
省？最省的总运费是多少？
工地
A工地
B工地
路程/千米
甲仓库
20
25
乙仓库
15
20
每千米运费/（元/吨）
甲仓库
1.2
1
乙仓库
1.2
0.8
现存体形最大的动物是蓝鲸，其体长可
超过33 m。根据生物学家对成熟雄性鲸体
长的测量，其全长和吻尖到喷水孔的长度可
近似地用一次函数表示。
1
5.5
一次函数的简单应用
一次函数的简单应用
180
第5章
一次函数
▶例1
生物学家测得7 条成熟的雄性鲸的全长y 和吻尖到喷水孔的长
度x（图5-13）的数据如下表（单位：m）：
表5-8
吻尖到喷水孔的长度x/m
全长y/m
1.78
10.00
1.91
10.25
2.06
10.72
2.32
11.52
2.59
12.50
2.82
13.16
2.95
13.90
能否用一次函数刻画这两个变量x 和y的关系？如果能，请求出这个一
次函数的表达式。
分析：在直角坐标系中画出以表5-8中各对x与y的对应值为坐标的各
点，观察这些点是否在（或大致在）一条直线上，从而判断y 是不是关于x 的
一次函数。如果是，就可以用待定系数法求出y关于x的函数表达式。
解：在直角坐标系中画出以表5-8 中x 的值为横坐标，y 的值为纵坐标
的7个点（图5-14）。
这7 个点几乎在同一条直线上，所以所求的函数可以看成一次函数，即
可用一次函数来刻画这两个量x和y的关系。
x
图5-13
18
图5-14
（2.95，13.90）
（2.82，13.16）
（2.59，12.50）
（2.32，11.52）
（2.06，10.72）
（1.91，10.25）
（1.78，10.00）
1
2
3
4
5
O
x/m
16
14
12
10
8
6
4
2
y/m
20
181
数学
八年级上册
u
v
0
50
0.5
100
1
155
1.5
207
2
260
2.5
290
3
365
4
470
一
一一
一一
一一
一一
一一
一
摄氏C/℃
华氏F/℉
0
32
10
50
20
68
30
86
40
104
50
122
设这个一次函数为y＝kx+b。
因为较多的点靠近或在点（1.91，10.25），
（2.59，12.50）所确定的直线上，
所以把点（1.91，10.25），
（2.59，12.50）的坐标分别代入y＝kx+b，
得ìí
î
10.25＝1.91k + b，
12.50＝2.59k + b，
解得{
k ≈3.31，
b ≈3.93。
所以所求的函数表达式为y＝3.31x+3.93。
把其余5个点的坐标代入函数表达式进行检验，你发现什么问题？把你
发现的问题提出来，与你的同伴交流。
课内练习
KENEILIANXI
1. 通过实验获得u，v两个变量的各对应值如下表。
判断变量u，v 是否满足或近似满足一次函数关系式。如果是，求v
关于u的函数式，并利用函数式求出当u=2.2时函数v的值。
2. 大多数国家都使用摄氏温度（℃）作为温度计量单位，也有一些国家
（如美国）的天气预报中使用华氏温度（℉）。两种计量单位之间有如
下对应关系：
（1）在直角坐标系中描出以上表中各对C（℃）与F（℉）的对应值为
坐标的点，观察这些点是否在同一条直线上。
（2）求出C（℃）关于F（℉）的函数表达式。
（3）求华氏温度为100℉时的摄氏温度。
（4）华氏温度的值与摄氏温度的值有可能相同吗？请说明理由。
182
第5章
一次函数
A组
作业题
ZUOYETI
1. 小聪上午8：00 从家里出发，骑车去一家超市购物，然后从这家超市
返回家中。小聪离家的路程s（千米）和所经过的时间t（分）之间的
函数关系如图所示。请根据图象回答下列问题：
（1）小聪去超市途中的速度是多少？回家途中的速度是多少？
（2）小聪在超市逗留了多少时间？
（3）小聪在来去途中，离家1千米处的时间是几分？
2. 科学家用一些金鱼做实验，测试不同水温对“鱼的呼吸速率”
（即每
分钟开闭鳃盖的次数）的影响，得到统计图如图所示。若设水温为
t（℃），平均呼吸速率为v（次/分），你能用其他恰当的方式表示v与t
的关系吗？
3. 小明4 岁那年，父亲种下一棵山毛榉和一棵枫树。当时山毛榉高
2.4 m，枫树高0.9 m。现在枫树已经比山毛榉高了，在此期间，山毛
榉平均每年长高0.15 m，枫树平均每年长高0.3 m。问：小明现在的
年龄应超过多少岁？
（第1题）
10 20 30 40 50 60 70
1
2
O
s/千米
t/分
120
110
100
90
0
18
20
22
24
水温t/℃
呼吸速率v/（次/分）
不同水温下金鱼的呼吸速率的统计图
（第2题）
山毛榉
枫树
（第3题）
183
数学
八年级上册
图5-15
10 km
25 km
10 km
55
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.51.75 2
t/h
s/km
O
s=30t
s=20t+10
图5-16
4. 让我们来解决章前语中提出的问题。一个热气球从海拔5 m 处出
发，以2 m/min 的速度上升，同时，另一个热气球从海拔25 m 处出
发，以1.5 m/min 的速度上升，这两个热气球会在某时刻位于同一
高度吗？
5. 三名教师带领若干名学生去旅游，联系了标价相同的两家旅游公
司。经洽谈，甲公司给出的优惠条件是：教师全额收费，学生按七折
收费；乙公司给出的优惠条件是：全部师生按八折收费。请自行选
择常量和变量建立函数，探究选哪家公司，师生花费总额较少？
2
▶例2
小聪和小慧去某风景区游览，约好在飞瀑见面。上午7：00，小聪
乘电动汽车从古刹出发，沿景区公路（图5-15）去飞瀑，车速为30 km/h。小慧
于上午7：00从塔林出发，骑电动自行车沿景区公路去飞瀑，车速为20 km/h。
（1）当小聪追上小慧时，他们是否已经过了草甸？
（2）当小聪到达飞瀑时，小慧离飞瀑还有多少千米？
解：设经过t 小时，小聪与小慧离古刹的路程分别为s1，s2，由题意，得
s1=30t，s2=20t+10。
在直角坐标系中画出直线s=30t 和直线s=20t+10（图5-16）。观察图
象得：
（1）两条直线s=30t，s=20t+10 的交点坐标为（1，30），所以当小聪追
上小慧时，s=30 km，即离古刹30 km，小于35 km，也就是说，他们还没到
B组
184
第5章
一次函数
草甸。
（2）如图5-16，当小聪到达飞瀑时，即s1=45 km，此时s2=40 km。所以
小慧离飞瀑还有45－40=5（km）。
上例第（1）题中，两条直线的交点坐标（1，30）应同时满足两条直线的表
达式，即是二元一次方程组{
s = 30t，
s = 20t + 10的解。由此可见，我们可以用两个
一次函数的图象，通过观察确定两条直线的交点坐标，求出由两个一次函数
式组成的方程组的解（注意：这样得到的解可能是近似解）。反之，也可以通
过解由两个一次函数式组成的二元一次方程组来求得两个一次函数图象的
交点坐标。
▶例3
如图5-17，在直角坐标系中，O 是原点，已知梯形ABCD 的顶点
A，B，D 的坐标分别为A（－3，0），B (
)
－1，－4
3 ，D（0，2），AB∥CD，BC 经过
点O。
（1）求证：BO＝CO。
（2）求梯形ABCD的面积。
分析：如图5-17，图中没有以BO，CO 为对应边的两个全等三角形，不
妨尝试通过添辅助线来构造一对合适的三角形。如图5-18，延长AB，交y
轴于点E。若能证明△CDO≌△BEO，就能证明BO＝CO。由此，求梯形的
面积就转化为求△AED的面积。
x
y
C
D
A
B
O
－1
－2
－3
1
2
1
2
－1
－2
图5-17
x
y
C
D
A
B
E
O
－1
－2
－3
1
2
1
2
－1
－2
图5-18
185
数学
八年级上册
解：（1）如图5-18，延长AB，交y 轴于点E。设直线AB 的函数表达式
为y＝kx+b，由点A，B的坐标分别为A（－3，0），B(
)
－1，－4
3 ，得
ì
í
î
ï
ïïï
－3k + b＝0，
－k + b＝－4
3，解得
ì
í
î
ï
ï
k＝－2
3，
b＝－2。
所以直线AB的函数表达式为y＝－2
3x－2。
令x＝0，得y＝－2，则点E的坐标为（0，－2），
所以OD＝OE＝2。
由AB∥CD，得∠CDO＝∠BEO。
又因为∠DOC＝∠EOB，
所以△CDO≌△BEO（ASA），
所以BO＝CO（全等三角形的对应边相等）。
（2）因为△CDO≌△BEO，
所以S△CDO＝S△BEO，
所以S 梯形ABCD＝S△ADE＝1
2DE×AO＝1
2×4×3＝6。
答：梯形ABCD的面积为6。
从上例我们可以看到，在学习了直角坐标系、一次函数等知识之后，我们
还可以建立直角坐标系，借助图象，采用数形结合的方法来解决平面几何中
的一些论证和求值等问题。
课内练习
KENEILIANXI
1. 利用一次函数图象，求二元一次方程组ì
í
î
2x + y = 0，
y = x + 6
的解。
2. 一次招聘会上，A，B两公司都在招聘销售人员。A公司给出的工资
待遇是：每月3 280元基本工资，另加销售额的2%作为奖金；B公司
给出的工资待遇是：每月2 840元基本工资，另加销售额的4% 作为
奖金。如果你去应聘，那么你将怎样选择？
186
第5章
一次函数
A组
B组
作业题
ZUOYETI
1. 如图，由图象得ì
í
î
5x - 2y + 4 = 0，
3x + 2y + 12 = 0 的解是
。
2. 已知A，B 两地相距80 km，甲、乙两人沿同一条公路从A 地出发到
B 地，甲骑摩托车，乙骑自行车。图中DE，OC 分别表示甲、乙离开
A 地的路程s（km）与乙离开A 地的时间t（h）的函数关系的图
象，根据图象填空。
（1）乙先出发，甲后出发，相差
h。
（2）大约在乙出发后
h两人相遇，相遇地点离开A地
km。
（3）甲到达B地时，乙在离A地约
km处。
（4）甲的速度为
，乙的速度为
。
（5）乙离开A 地的路程s（km）关于时间t（h）的函数表达式为
。
（6）甲离开A 地的路程s（km）关于时间t（h）的函数表达式为
。
3. 利用一次函数的图象求二元一次方程组ì
í
î
x - y = 1，
2x - 3y = 1的解。
4. 某销售公司推销一种产品，设x（件）是售出产品的数量，y（元）是付
给推销员的月报酬。公司付给推销员月报酬的两种方案如图所示，
推销员可以任选一种与公司签订合同。看图解答下列问题：
y=5
2x+2
y
x
7
6
5
4
3
2
1
－6 －4 －2
2
4
6
O
y=－3
2x－6
－1
－2
－3
－4
－5
－6
－7
（第1题）
（第2题）
t/h
O
1
2
3
D
40
80
F
C
s/km
120
E
187
数学
八年级上册
（1）求两种付酬方案的报酬
y关于x的函数表达式。
（2）根据图中表示的两种方
案，说明公司是如何支付
推销员报酬的。
（3）如果你是推销员，你会
选择哪种方案？
5. 某商场要印制商品宣传材料，甲印刷厂的收费标准是：每份材料收
1 元印制费，另收1 500 元制版费；乙印刷厂的收费标准是：每份材
料收2.5元印制费，不收制版费。
（1）分别写出两厂的收费y（元）与印制数量x（份）之间的关系式。
（2）在同一直角坐标系中画出它们的图象。
（3）根据图象回答下列问题：印制800 份宣传材料时，选择哪一家
印刷厂比较合算？商场计划花费3 000 元用于印刷宣传材料，
找哪一家印刷厂能印制宣传材料多一些？
6. 如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AB＝2，
AC＝1。AB的垂直平分线分别交AB，BC，AC
的延长线于点D，E，F。
（1）请建立适当的直角坐标系，并写出点A，B，
D，F的坐标，以及直线DF的函数表达式。
（2）求证：BE＝2CE。
（第6题）
A
D
B
E
F
C
l
方案一
10
20
30
40
50
60
1 200
1 000
800
600
400
200
x/件
y/元
O
方案二
（第4题）
设计题
SHEJITI
探索弹簧测力计的原理
用弹簧测力计称重时，在弹簧上悬挂物体，弹簧会伸长。弹簧伸长的长度和悬
挂物体的质量之间有什么关系？请以4～6人为一组通过实验探讨上述问题。建议：
1.可找2～3根弹簧，在弹性限度内不断改变各弹簧所挂物体的质量，量出相
应的弹簧长度，并把记录的数据列成表格。
2. 观察数据，或以各组数据为坐标在直角坐标系内描点，判断函数关系的类
型。若是一次函数，则求出函数的表达式。
3. 就有关实验和探究过程、发现的结果写一份简要报告，举例说明所发现的结
果在人们生活中的应用及意义。
188
综合实践活动
第5章
一次函数
选择实惠的手机套餐
智能手机具备通话、短信、即时通信、定位导航等丰富的功能，让生活更加便
捷。不同用户对手机功能的需求不同，如有的人需要更长的通话时间，有的人则需
要更多的网络流量。通信公司一般会推出一些收费套餐，将一定数量的通话、短
信、上网流量等服务打包提供给用户，例如某公司推出的两种套餐如下表所示。如
何确定选择哪种套餐更实惠？
套餐
A
B
月租费
58元/月
88元/月
流量
8GB，超出部分0.29 元/MB，
每GB最高计费10元
20GB，超出前3GB 按5 元/
GB 计费，之后按3 元/GB 计
费（不足1GB按1GB收取）
通话
国内主叫150 分钟，超
过按0.25元/分计费
国内主叫350 分钟，超
过按0.20元/分计费
短信
按每条0.2元计费
200 条以内免费，
超出按每条0.1 元
计费
任务
1. 了解套餐：通过走访、查阅资料等，了解通信公司的各种收费套餐和计费标
准。可到服务大厅或在网络营业厅进行调查。
2. 收集数据：选择部分手机用户，了解他们的手机使用情况，包括所属的通信
公司、近半年的手机流量、通话时间、短信数量、总费用等情况。
3. 比较资费：分析研究对象的消费习惯，比较不同套餐的收费差异。如果改
用其他的通信公司，是否有更优惠的计费方式或套餐服务？
4. 成果展示：总结选择通信公司及收费套餐需要考虑的因素，根据不同的需
求提出合理选择计费方式或收费套餐的建议，写一份手机收费套餐选择研究报告，
并向全班同学介绍研究过程和取得的成果。
评价与反思
评价：制订统一的评价标准，对各小组的研究过程和成果进行评价，提出建议。
反思：回顾研究所用的数学知识和方法，进一步改进小组研究报告，撰写个人
综合实践活动感悟。
189
数学
八年级上册
小结与反思
一、知识梳理
本章我们结合实际问题，知道函数是描述一个变化过程中两个变量关系的重
要数学模型。一次函数y＝kx＋b（k≠0）是最基本的函数，正比例函数y＝kx（k≠0）
是特殊的一次函数。一次函数刻画了匀速变化的变化规律。描点法是画函数图象的
基本方法，函数图象能够直观表现函数性质。
一次函数的图象是一条直线，它在平面直角坐标系中的位置与系数k，b 的值
有关。利用一次函数的图象可以直观分析一次函数的增减性。认识一次函数图象
上点的坐标与相应的二元一次方程解之间的关系，有助于我们从形的角度认识二
元一次方程。通过分析实际问题中变量之间的对应关系建立函数模型，是运用函
数解决实际问题的关键。从一般到特殊、几何直观、数形结合、建立模型等是本章
学习和问题解决的主要思想和方法。
本章学习流程和知识结构如下：
二、回顾与反思
1.什么是函数？函数有哪几种表示方法？
2. 什么是一次函数？一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象是什么图形？k的正负
对图象有什么影响？一次函数的主要性质有哪些？
3.一次函数有哪些应用？你能举出几个一次函数应用的例子吗？
4.本章主要研究一次函数的哪些方面？是怎样开展研究的？
函数
正比例函数
定义
表示
增减性
解析法
图象法
列表法
解析式
图象
一次函数
变量与常量
性质
与二元一次方程的关系
应用
190
第5章
一次函数
目标与评定
目标
5.1节
5.2节
A
★探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义；了解函数
的概念和表示法，能举出函数的实例。
★能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析。
★能确定简单实际问题中的函数自变量的取值范围，会求函数值。
★能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系，理解函数值
的意义。
★结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨论。
1. 一列行驶中的火车的速度为每小时160 千米，用t（时）表示行驶的时间，s（千米）
表示行驶的路程。其中常量是
，变量是
，s关于t的函
数表达式是
。当t＝2.5时，函数s的值是
，它的
实际意义是
。
2. 专家建议，每人每天的食盐摄入量以不超过5 g 为宜。为控制食盐摄入，某单位
向员工发放一个小盐勺（容量为1 g）。设家庭人数为x，家庭每天应摄入食盐勺
数的最大值为y。
（1）写出y与x的函数关系式和自变量x的取值范围。
（2）当x＝3时，y的值是多少？说明此时函数值的实际意义。
3. 如图，设正方形的面积为y（cm
2），边长为x（cm）。
（1）求y关于x的函数表达式，并求自变量x的取值范围。
（2）分别求当x＝5，10时，函数y的值。
4. 某城市12个月平均最高气温t（℃）与月份的函数关系如图。
（1）求该城市1 月，7 月的平均最
高气温。
（2）分析该城市1 月到12 月的气
温变化情况，并说明哪个月最
冷、哪个月最热。
y
x
（第3题）
（第4题）
平均最高气温t/℃
5
O
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
10
15
20
25
30
35
40
月份
191
数学
八年级上册
目标
5.3节
B
★结合具体情境，体会一次函数的意义，理解正比例函数。
★能根据已知条件确定一次函数的表达式，会用待定系数法确定一次函数的
表达式。
★会求一次函数的值，会根据已知一次函数的值求对应的自变量的值。
5. 设y是关于x的一次函数。当x＝1时，y＝－5；当x＝－2时，y＝－20。求：
（1）y关于x的函数表达式。
（2）当x＝1.4时，y的值。
（3）当y＝10
3 时，x的值。
6. 图中两个时钟的指针分别表示同一时间的北京时间和东京时间。设北京时间为
t（时），东京时间为y（时），就0≤t ≤12 的范围，求y 关于t 的函数表达式，并填写
下表（同一时刻的两地时间）。
北京时间
东京时间
8：30
12：10
4：30
7. 已知y 是关于x 的一次函数，下表列出部分对应值，表中m 的值是多少？写出该
函数的表达式，并说明它是哪种一次函数。
8. 某市居民用电采用分段计费，即每月用电量不超过240千瓦时的部分，按每千瓦
时0.488 3元计费；每月用电量超过240千瓦时但不超过400千瓦时的部分，按每
千瓦时0.538 3 元计费；每月用电量超过400 千瓦时的部分，按每千瓦时0.788 3
元计费。
（1）设每月用电x（x＞100）千瓦时，应缴电费y元，写出y关于x的函数关系式。
（2）小明家一月份用电量为320千瓦时，应缴电费多少元？
（第6题）
东京时间
北京时间
一一
一一一一
一一一一
一一
x
y
1
3
0
m
2
5
192
第5章
一次函数
★能画一次函数的图象。根据一次函数的图象和表达式y＝kx＋b（k≠0），
探索并理解k＞0 和k＜0 时图象的变化。
9. 在同一坐标系中画出下列函数的图象。
（1）y＝－3
7x；
（2）y＝8x－4；
（3）y＝－3x＋6。
10. 已知（－1，y1），
（－0.5，y2），
（17，y3）是直线y＝－9x＋b（b 为常数）上的三个点，
则y1，y2，y3的大小关系是（
）。
（A）y3＞y2＞y1
（B）y1＞y2＞y3
（C）y1＞y3＞y2
（D）y3＞y1＞y2
11. 已知y与x＋b成正比例，且当x＝4时，y＝6；当x＝2时，y＝2。
（1）求y关于x的函数表达式。
（2）若－2＜y＜8，求x的取值范围。
12. 春天到了，某服装店将冬装一律四折（原售价的40％）出售。估算一件原价为
300～350元的冬装现价为多少元。你能用正比例函数的增减性加以说明吗？
★体会一次函数与二元一次方程组的关系。
★能用一次函数解决简单实际问题。
13. 小明放学步行回家过程中，路程s（千米）与时间t（分）的关系如图。请根据图象
回答下面的问题：
（1）开始10分钟内速度是多少？最后5分钟内呢？
（2）经过15分钟后，离家的路程还有多远？
（3）小明回家途中有没有停留？若有，停留了多少时间？
目标
5.4节
C
目标
5.5节
D
（第13题）
193
数学
八年级上册
14. 已知甲、乙两物体沿同一条直线同时、同向匀速运动，它们所经过的路程s与所
需时间t 之间的函数表达式分别为s＝v1t＋a1和s＝v2t＋a2，图象如图所示。
（1）说出甲、乙两物体的初始位置，并说明开始时哪个物体在前。
（2）哪个物体运动得快一些？从物体运动开始，2 秒以前哪个物体在前？2 秒
以后呢？
（3）求v1，v2的值，并写出两个函数表达式。
（4）根据图象确定何时两物体处于同一位置，并通过解二元一次方程组予以
验证。
15. 酒精的体积与温度之间的关系在一定范围内近似地符合一次函数的关系。现
测得一定量的酒精在0℃时的体积是5.250 L，在40℃时的体积是5.481 L。
（1）估计这些酒精在20～30℃时的体积（精确到0.001 L）。
（2）如果用容积为5.3 L的容器来盛这些酒精，为了不使酒精溢出，酒精的温度
应保持多少摄氏度（精确到1℃）？
16. 某校举行八年级英语演讲比赛，购买A，B 两种笔记本作为奖品，A，B 两种笔记
本的单价分别是12 元和8 元。根据比赛设奖情况，需要购买两种笔记本共30
本，并且购买A 笔记本的数量要少于B 笔记本数量的2
3，但又不少于B 笔记本
数量的1
3。设买A种笔记本n本，买两种笔记本的总费用为W元。
（1）写出W（元）关于n（本）的函数表达式，并求出自变量n的取值范围。
（2）购买这两种笔记本各多少本时，费用最少？最少费用是多少元？
（第14题）
O
1
2
3
4
1
2
3
4
5
s/米
乙s=v2t+a2
甲s=v1t+a1
t/秒
194
本套教科书吸收了我国基础教育和课程教材研究的经验，继承前两
版教科书的精华，又汲取了近阶段基础教育课程改革和最新研究成果，凝
聚着数学教育专家、教学研究人员和一线教师的集体智慧。
教材编写团队对教科书的结构、体系、内容及文字等做了大量辛勤、
认真的工作，力求使本套教科书能充分落实《义务教育数学课程标准
（2022 年版）》的理念，以核心素养为导向，进一步强调学生获得数学基本
知识、基本技能、基本思想和基本活动经验，发展运用数学知识与方法发
现、提出、分析和解决问题的能力，注重反映社会进步对学校数学的新要
求，并适当体现现代的、新的教学思想和教学方法，为学生提供数学活动
和自主学习的空间。编写者还提供了丰富的课程资源，努力使本套教科
书具有较强的时代感和拓展性。
本套教科书的编写，得到前版副主编岑申、核心作者金才华等老师的
大力支持，他们提供了宝贵的经验。我们还得到全国许多专家、学者和中
学一线教师的帮助和支持，对此，我们深表感谢。
为了编好这套教科书，我们在教科书中引用了不少资料和图片，得到
了原作者的支持，对此我们也诚挚地表示感谢。
欢迎您对本书的内容、栏目、装帧、印刷质量等提出意见或建议，我们
将认真对待并努力改进。我们的联系方式是：信件寄送至浙江省杭州市
环城北路177号浙江数字出版大楼20层，浙江教育出版社沈老师；也可以
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版
次
2025年7月第1版
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2025年7月第1次印刷
标准书号
ISBN 978-7-
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义务教育教科书
数
学
八年级上册
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