数学七下浙教版（2025春）_初中数学_浙教版

定价批准文号：浙发改价格〔2019〕319号、〔2020〕331号 举报电话：12345、12315 定价：13.03元前 言
亲爱的同学：
欢迎你进入新的数学学习之旅，开始七年级下册的学习。
在本册中，我们首先在七年级上册图形的初步知识的基础上，进一步
学习表示基本直线位置关系的图形：相交线与平行线。接着将学习二元
一次方程组。与以前学过的一元一次方程相比，这里不仅未知数和方程
的个数都增加了，其中还渗透了消元、代换等数学思想，为解含有更多未
知数的一次方程组提供方法和范例。整式的乘除、因式分解、分式这三章
主要学习代数式的运算和变形，这是我们进一步学习数学的重要工具。
数据与统计图表是小学所学统计知识的进一步深化和发展，也是学习后
续有关统计知识的基础。
本册教科书保持了七年级上册的体例、结构和理念。“合作学习”让你
与同伴一起探索新的数学知识和数学方法；“探究活动”使你亲身经历知
识的发生过程，体验“发现”的快乐；“阅读材料”帮助你了解许多有趣的数
学史实，开阔你的数学视野；而“设计题”和“综合实践活动”，则为你发展
提出问题、分析问题和解决问题的能力，并运用数学知识和方法进行探
索、表达和创新提供了机会。
数学是自然科学的重要基础，是学习物理、化学、地理、生物、经济等
学科的必备知识；数学也能培养我们的思考能力，能使人思维缜密、思路
清晰，增强逻辑性和精确性；数学更是认识世界、把握事物本质的学科，具
有简洁之美、朴素之真，具有无穷的魅力。
数学是抽象的，学好它需要有足够的勤奋和毅力；但数学并不神秘，
只要有浓厚的兴趣和正确的学习方法，每个人都可以学好数学。
这套教科书按照教育部制定的《义务教育数学课程标准（2022年版）》
编写，七至九年级共六册。我们殷切希望它能成为你学习数学路上的好
朋友，帮助你掌握数学知识，提高数学能力，欣赏数学魅力，享受学习数学
的乐趣。祝你学习快乐，学业进步
!目 录
相交线与平行线
第1章
1.1 直线的相交 ……………………………………………
6
1.2 同位角、内错角、同旁内角 …………………………
13
1.3 平行线 ………………………………………………
16
1.4 平行线的判定 ………………………………………
19
1.5 平行线的性质 ………………………………………
25
阅读材料 地球有多大 ……………………………………
31
1.6 图形的平移 …………………………………………
32
小结与反思 …………………………………………………
38
目标与评定 …………………………………………………
39
二元一次方程组
第2章
2.1 二元一次方程 ………………………………………
46
2.2 二元一次方程组和它的解 …………………………
49
2.3 解二元一次方程组 …………………………………
53
2.4 二元一次方程组的应用 ……………………………
58
2.5 三元一次方程组及其解法 …………………………
65
阅读材料 《九章算术》中的“方程”………………………
68
综合实践活动 探寻运动会中可以用方程解决的问题 …
69
小结与反思 …………………………………………………
70
目标与评定 …………………………………………………
71第3章 整式的乘除
3.1 同底数幂的乘法 ……………………………………
76
3.2 单项式的乘法 ………………………………………
83
3.3 多项式的乘法 ………………………………………
86
3.4 乘法公式 ……………………………………………
90
3.5 整式的化简 …………………………………………
95
3.6 同底数幂的除法 ……………………………………
98
3.7 整式的除法 …………………………………………
104
阅读材料 杨辉三角与两数和的乘方 …………………
107
小结与反思 ………………………………………………
108
目标与评定 ………………………………………………
109
第4章 因式分解
4.1 因式分解的意义 ……………………………………
114
4.2 提取公因式法 ………………………………………
116
4.3 用乘法公式分解因式 ………………………………
119
小结与反思 ………………………………………………
125
目标与评定 ………………………………………………
126
第5章 分式
5.1 分式的意义 …………………………………………
130
5.2 分式的基本性质 ……………………………………
133
5.3 分式的乘除 …………………………………………
138
5.4 分式的加减 …………………………………………
142
5.5 分式方程 ……………………………………………
147阅读材料 实验与归纳推理 ……………………………
152
小结与反思 ………………………………………………
154
目标与评定 ………………………………………………
155
第6章 数据与统计图表
6.1 数据的收集与整理 …………………………………
160
6.2 条形统计图和折线统计图 …………………………
168
6.3 扇形统计图 …………………………………………
175
6.4 频数与频率 …………………………………………
179
6.5 频数直方图 …………………………………………
188
阅读材料 应用计算机软件绘制统计图 ………………
193
综合实践活动 纸巾用量的估计 ………………………
196
小结与反思 ………………………………………………
197
目标与评定 ………………………………………………
198第1章
相交线与平行线
生活中，经常可以看到两条直线相交
和平行的情景。
两条直线相交所成的角之间有什么
关系？
平行式斜拉桥中的各条斜拉索彼此
平行，你可以用什么方法来检验它们是平
行的？
当高速动车组列车在直道行驶时，列
车上各点的运动有什么共同特征？
本章将学习相交线和平行线、对顶角
的性质、平行线的判定和性质、图形的平
移等。通过本章的学习，我们将找到解决
上述问题的方法。港珠澳大桥
港珠澳大桥的部分桥段
为平行式斜拉桥，每条
斜拉索与索塔和主梁相
交，各条斜拉索之间互
相平行。
索塔
斜拉索
主梁11..11 直直线线的的相相交交
如果把剪刀的构造看成两条相交的直线，
那么这两条直线所成的四个角之间有什么
关系？
1
如果两条直线只有一个公共点，就说这两条直线相交（
intersection
），这
个公共点叫作这两条直线的交点（
intersection point
）。
如图1-1，直线AB与CD相交，其交点是O，∠ 1，∠ 2，∠AOD和∠COB
是AB与CD相交所成的角。我们把其中相对的任何一对角：∠ 1与∠ 2或
∠AOD与∠COB叫作对顶角（
opposite angles
）。
D
A
1 2
O 互为对顶角的两
B 个角有什么特点？
C
图1-1
对顶角的顶点相同,角的两边互为反向延长线（图1-1）。
例1 如图1-2，三条直线相交于一点O，请说出图中的对顶角。
▶
解：对顶角分别是： C A
∠FOA与∠EOB；∠FOC与∠EOD；
E F
∠AOC与∠BOD；∠AOE与∠BOF； O
∠COE与∠DOF；∠COB与∠DOA。 B
D
图1-2
做一做
ZUOYIZUO
A
1. 图中共有几组对顶角？
2. 在图1-1中，如果∠ 1＝55°，那么∠ 2等于多少度？
B C
请说明理由。
（第1题）
6 数学 七年级下册任意两个对顶角，由于它们的补角相同，所以它们是相等的。如图1-1，
∠
1，∠ 2都和∠AOD互补，所以∠ 1＝
∠
2。
一般地，对顶角有下面的性质：
对顶角相等。。
例2 如图1-3，已知直线AD与BE相交于点O，∠DOE与∠COE互
▶
余。若∠COE＝62°，求∠AOB的度数。
解：已知∠DOE与∠COE互余，根据两个角互余的意义，
知∠DOE＋ ∠COE＝90°， C
所以∠DOE＝90°－ ∠COE＝90°－62°＝28°。 E
又因为∠AOB与∠DOE是对顶角，
A O D
所以∠AOB＝ ∠DOE（为什么？），
所以∠AOB＝28°。 B
图1-3
课内练习
KENEILIANXI
1.（1）如图①，O，P是直线AB上的两点，∠ 1＝
∠
2。∠ 1与∠ 2是对
顶角吗？请说明理由。
B
A
C
3
1 P O
A O 2 B 4
D C D
① ②
（第1题）
（2）如图②，已知∠ 3＝
∠
4。∠ 3与∠ 4是对顶角吗？请说明理由。
2. 如图，直线AB与CD相交于点O。已知 C A
∠BOC＝60°，说出下列各个角的度数。
O
（1） ∠BOD；
B D
（2） ∠AOD。
（第2题）
第1章 相交线与平行线 7作业题
ZUOYETI
A组 1. 说出图中的对顶角。
M
E
O J C
I B
K L O
P
A
N D
（第1题） （第2题）
2. 如图，直线AB，CD相交于点O，射线OE平分∠COB。已知∠COE
＝60°，求∠AOD和∠BOD的度数。
3. 如图，点O在直线AB上，且∠AOC＝ ∠BOD，则∠BOD与∠BOC
互为补角。请说明理由。
D C B
E
A B
O O
C A D
（第3题） （第4题）
B组 4. 如图，直线 AB，CD 相交于点 O，OE 平分∠BOD，且∠AOC＝
∠COB－30°，求∠AOE的度数。
C组 5. 如图，在正方形网格图中，A，B，C，D，E，F，G，H八棵树都在正方形
的顶点上。
（1）小亮用绳子连结EF，DE，量得
∠FEG=∠BED= 45 °，你能说 A F
明D，E，F三点在同一条直线
上吗？
B
（2）请设计一个方法,说明A，B，C E G
三点在同一条直线上,并说明 H
D
C
理由。
（第5题）
8 数学 七年级下册2
把一张正方形纸片按图1-4折叠，就得到一个角∠ 1。∠ 1是什么角？
A
沿折痕 C
任意折
D O
1
B
图1-4 图1-5
把这张纸展开（图1-5），AB，CD表示两条折痕，AB与CD相交于点O，
则∠AOC，∠AOD，∠BOC，∠BOD与∠ 1有什么关系？它们是什么角？
由此你发现这两条相交直线是一种怎样的特殊情况？
当两条直线相交所构成的四个角中有一个是直角时，我们就说这两条
直线互相垂直（
perpendicular
），其中的一条直线叫作另一条直线的垂线
（
perpendicular line
），它们的交点叫作垂足（
perpendicular foot
）。在生活中，
你能找到哪些可看成两条直线互相垂直的例子？
垂直是相交的一种特殊情况。如图1-6，直线AB与CD垂直，记作
AB⊥CD（或CD⊥AB）。如果用l，m分别表示这两条直线，那么直线l与m
垂直，记作l⊥m。交点O是垂足。
m C
A
A
l
l
A O B
D l
图1-6 图1-7 图1-8
图1-7和图1-8分别表示用三角尺和量角器过直线l外一点A画直线l
的垂线的方法。当点A在直线l上时，可以怎么画？
第1章 相交线与平行线 9做一做
ZUOYIZUO
如右图，A是直线l上一点，B是直线l外 BB
一点。分别过点A，B画直线l的垂线。这样的 ll
AA
垂线能画几条？
（请与你的同伴交流）
一般地，在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线
垂直。。
例3 如图1-9，直线AB与直线CD相交于点O，OE⊥AB。已知
▶
∠BOD＝45°，求∠COE的度数。
解：因为 OE⊥AB，所以∠AOE＝90°（为 E
D
什么？）。
又因为∠AOC与∠BOD是对顶角，根据“对顶
A B
O
角相等”，得∠AOC＝ ∠BOD＝45°，
所以∠COE＝ ∠AOC＋ ∠AOE＝45°＋90° C
＝135°。 图1-9
合作学习
HEZUOXUEXI
如图1-10，P是直线l外一点，画PO⊥l于点
P
O，线段PO称为点P到直线l的垂线段。点P与
直线l上所有各点之间的距离中，哪一个距离最
l
小？请设计一个实验来验证。 B B BO A A A
3 2 1 1 2 3
（请与你的同伴交流） 图1-10
一般地，连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段
最短。。
从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离。如
图1-10中，垂线段PO的长度就是点P到直线l的距离。
10 数学 七年级下册课内练习
KENEILIANXI
1. 如图，CD⊥EF，∠ 1＝ ∠ 2，则AB⊥EF。请说明理由（补全解答过程）。
解：因为CD⊥EF，
A
F
根据 ，
C
2
所以∠ 1＝ 。
1 B
因为∠ 2＝ ∠ 1＝ ，
E
根据 ， D
所以AB EF。 （第1题）
2. 工人师傅常用角尺来画工件边缘的垂线（如图）。你能说明其中的
理由吗？
A C D
E F
B
P
B
O A
（第2题） （第3题）
3. 如图，P是∠AOB内的一点。画出点P到∠AOB两边的垂线段，并
量出点P到∠AOB两边的距离（精确到1
mm
）。
作业题
ZUOYETI
A组 1. 如图，已知直线a，b，点P在直线a上。过
a
点P分别画直线a，b的垂线。
2. 体育课上，老师是怎样测量跳远成绩的？ P b
请在图中画出表示测量成绩的线段。 （第1题）
起跳线
（第2题）
第1章 相交线与平行线 113. 如图，点D在线段AB上，∠ACD与∠BCD互余，∠CDA与∠CDB
相等。找出图中互相垂直的直线，并用符号“⊥”表示。
4. 在第3题图中，点A到BC的距离是线段 的长；点B到AC的
距离是线段 的长；点C到AB的距离是线段 的长。
A
D
C
D
B C A P B
（第3题） （第5题）
B组 5. 如图，P是直线AB上一点，DP⊥PC，∠APC＝140°。求∠BPD的
度数。
6. 如图，直线l表示一段河道，点A表示集镇，图上距离与实际距离之
比为1∶2 000 000。现要从河道l向集镇A引水，问：沿怎样的路线
开挖水渠，才能使水渠的长最短？请画出水渠的开挖路线，算出水
渠的最小长度，并用量角器量出水渠的开挖方向。
北
A
l
（第6题）
12 数学 七年级下册11..22 同同位位角角、、内内错错角角、、同同旁旁内内角角
相传中国最早的风筝是由古代哲
学家墨翟（约前468～前376）制作的。
风筝的骨架构成了许多角（如图），这
些角之间有怎样的位置关系？
如图1-11，两条直线l ，l 被第三条直线l 所截， l
1 2 3 3
构成了8个角。它们之间有多种位置关系，如∠ 1与 2 1
l
4 1
∠
3，∠ 2与∠ 4，∠ 5与∠ 7，∠ 6与∠ 8分别是对顶角。 3
5
下面我们来认识另外几种新的关系。 6 l
8 2
1 . 观察∠ 1与∠ 5的位置，它们都在第三条直线l 3 7
图1-11
的同侧，并且分别在直线l ，l 的同侧，这样的一对角
1 2
叫作同位角（
corresponding angles
）。想一想，∠ 2与∠ 6是同位角吗？图1-11
中还有其他同位角吗？
2 . ∠ 3与∠ 5分别在第三条直线l 3 的异侧，并且都在两条直线l 1 与l 2 之
间，这样的一对角叫作内错角（
alternate interior angles
）。
3 . ∠ 3与∠ 6都在第三条直线l 3 的同侧，并且在直线l 1 与l 2 之间，这样的
一对角叫作同旁内角（
same⁃side interior angles
）。
做一做
ZUOYIZUO
1. 如图1-11。
（1）
∠
4与∠ 8是同位角吗？还有哪几对是同位角？
（2）
∠
4与∠ 6是内错角吗？内错角一共有几对？
（3）除∠ 3与∠ 6外，还有其他同旁内角吗？
2. 如图，两只手的食指和拇指在同一平面
内，它们构成的一对角可以看成什么
角？类似地，你还能用两只手的手指构
成同位角和同旁内角吗？ （第2题）
第1章 相交线与平行线 13例 如图1-12，直线DE交∠ABC的边BA于点F。如果内错角∠ 1与
▶
∠
2相等，那么同位角∠ 1与∠ 4相等，同旁内角∠ 1与∠ 3互补。请说明理由。
解：因为∠ 2与∠ 4是对顶角，
A
所以∠ 2＝ ∠ 4。
D F 4 E
又已知∠ 1＝ ∠ 2，所以∠ 1＝ ∠ 4。 2 3
因为∠ 2与∠ 3互为补角， 1
B C
所以∠ 2＋ ∠ 3＝180°，
图1-12
所以∠ 1＋ ∠ 3＝180°，即∠ 1与∠ 3互补。
课内练习
KENEILIANXI
1. 已知直线l，l，l，l （如图）。
1 2 3 4
（1）当哪两条直线被哪条直线所截时，∠ 1与∠ 3是同位角？当哪
两条直线被哪条直线所截时，∠ 1与∠ 4是内错角？
（2）请说出图中一对同位角、一对内错角、一对同旁内角，并分别说
明是哪两条直线被哪条直线所截而成的。
l
G F
l l 4 A 6 B
3 45
l 3
1
1
4 7 1 2
2 C D
3 5
l
8 6 2 E H
（第1题） （第2题）
2. 一个风筝的骨架如图所示。
（1）
∠
1与∠ 5是一对什么角？如果∠ 1＝
∠
6＝45°，那么∠ 5等于
多少度？根据什么？∠ 5与∠ 1相等吗？
（2）
∠
2与∠ 3是一对什么角？如果∠ 2＝
∠
4＝45°，那么∠ 3等于
多少度？根据什么？∠ 2＋ ∠ 3等于多少度？
14 数学 七年级下册作业题
ZUOYETI
A组 1. 如图，直线AB，CD被直线EF所截。请找出一对同位角、一对内错
角和一对同旁内角。
A
B D
F E 1
Q 3 D
E P
2 4
A C B F C
（第1题） （第2题）
2. 看图填空：
（1）若ED，BF被AB所截，则∠ 1与 是同位角；
（2）若ED，BC被AF所截，则∠ 3与 是内错角；
（3） ∠ 1与∠ 3是AB和AF被 所截构成的 角；
（4） ∠ 2与∠ 4是 和 被BC所截构成的 角。
3. 如图，CD交∠AOB的边AO于点E，∠ 1＝ ∠ 2。找出图中和∠ 2相等
的角，以及和∠ 2互补的角，并说明理由。
E
A D
E
C D
1 C
A
B
2
O B F
（第3题） （第4题）
B组 4. 找出图中所有的同位角、内错角和同旁内角。
5. 如图，直线MN，EF被AB所截。已知∠ 1＝
A
M N
∠ 2，∠ 4＝2 ∠ 3，求∠ 3，∠ 4的度数。 1 4
3
E F
2 B
C
（第5题）
第1章 相交线与平行线 1511..33 平平行行线线
你能说出生活中一些具有平行线形象的实际例
子吗？
我们知道，在同一个平面内，不相交的两条直线叫作平行线（
parallel
lines
）。如两条平直铁轨、双杠等都给我们以平行线的形象。在教室里，你能
找到哪些具有平行线形象的例子？
D
“平行”用符号“∥”表示，如图1-13，直线AB和 C
B
CD是平行线，记作AB∥CD（或CD∥AB），读作“AB
A
平行CD”（或“CD平行AB”）。
图1-13
做一做
ZUOYIZUO D C
如右图，在长方体中，与AA′平行的棱有
B
几条？与AB平行的棱有几条？请用符号把 A
D′ C′
它们表示出来。
A′ B′
下面介绍一种用三角尺和直尺画平行线的方法。
合作学习
HEZUOXUEXI
1
.
如图1-14，用三角尺和直尺画直线b与已知直线a平行。请你按图示
方法画一画。你能概括出这种画法的基本步骤吗？
b
a a a a
图1-14
16 数学 七年级下册2
.
如图1-15，已知直线l和直线外一点P。用三角尺和
直尺画四条和直线l平行的直线，并要求其中有直线经过
点P。 P
l
3 . 议一议：画已知直线的平行线，可以画多少条？过已
图1-15
知直线外一点画已知直线的平行线，可以画多少条？
（请与你的同伴交流）
一般地，有以下的基本事实：
经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。。
例 如图1-16，点M，N代表两个城市，MA，MB是两条公路。现规划
▶
建造两条经N市的公路，这两条公路分别与MA，MB平行，并在与MB，MA
的交会处分别建一座立交桥。请在图中画出规划建造的两条公路及立交桥
的位置。
B
B
P N
N
M A M Q A
图1-16 图1-17
解：如图1-17，过点N分别作直线NP∥MA，交MB于点P；作直线
NQ∥MB，交MA于点Q。NP，NQ分别为规划建造的两条经N市的公路，立
交桥应分别建在P，Q处。
课内练习
KENEILIANXI
1. 在同一个平面内，两条直线有哪几种位置关系？
2. 用符号“∥”表示图中平行四边形的两组 D C
分别平行的对边。
A B
（第2题）
第1章 相交线与平行线 173. 如图，在三角形ABC中，P是AC边上一点。过点P分别画AB，BC
的平行线。
A
P
B C
（第3题）
作业题
ZUOYETI
A组 1. 请举三个现实生活中体现平行线的例子。
2. 已知直线l（如图），任意画两条直线，使它们都和直线l平行。
C
l A B
（第2题） （第3题）
3. 如图，AB，BC是一个平行四边形相邻的两边。请把这个平行四边
形补画完整。
B组 4. 找出图中各对互相平行的直线，并用符号“∥”把它们表示出来。
A D
F
O I
E
G
B H C
（第4题） （第5题）
5. 我们把如图图形叫作2×2斜方格，它由四个边长都为1 cm、较小内
角为45°的平行四边形组成。请你画一个3×3斜方格。
18 数学 七年级下册11..44 平平行行线线的的判判定定
游泳池里的泳道线给我们以平
行线的形象。怎么判断它们是平
行的？
1
我们已经学习过用三角尺和直尺画平行线的方
A
l
法，请按图1-18所示方法画两条平行线，然后讨论下 2
面的问题：
l
1
（1）在画图过程中，怎样操作才能使画出的直线
B
l 平行于l ？
2 1
图1-18
（2）如图1-18，直线l ，l 看成被直尺边AB所在的
1 2
直线所截，那么在画图过程中，三角尺起了什么作用？
由此能发现判定两直线平行的方法吗？
人们在长期实践中总结出以下基本事实：
两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直
线平行。。简单地说，同位角相等，两直线平行。。
▶
例1 如图1-19，直线l
1
，l
2
被直线l
3
所截，∠ 1＝45°，∠ 2＝135°。判断
l 与l 是否平行，并说明理由。
1 2
l
解：l 1∥l
2
。理由如下： 2
1
3
3
如图1-19，因为∠ 2＋
∠
3＝180°，
l
l 1
所以∠ 3＝180°－ ∠ 2＝180°－135°＝45°。 2
图1-19
又因为∠ 1＝45°，所以∠ 1＝ ∠ 3。
因为∠ 1与∠ 3是直线l
1
，l
2
被l
3
所截的一对同位角，根据“同位角相等，两
直线平行”，得l 1∥l
2
。
第1章 相交线与平行线 19例2 如图1-20，AB⊥EF，CD⊥EF，E，F分别为垂足。直线AB与
▶
CD平行吗？请说明理由。
解：AB∥CD。理由如下：
A
1
B
E
由已知AB⊥EF，CD⊥EF，
2
根据垂直的意义，得∠ 1＝ ∠ 2＝ Rt∠。 C D
F
所以AB∥CD（根据什么？）。
图1-20
由例2可以得到：
在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。。
课内练习
KENEILIANXI
1. 如图，直线l 1 ，l 2 被直线l 3 所截，且∠ 1＝ ∠ 2。 l 1 与l 2 平行吗？请说明
理由。
l
l 2
1
1 2 l 3 A B
15° C
（第1题） （第2题）
2. 小王骑自行车从A地出发，沿正东方向前进至B地后，右转15°，沿
直线向前骑行到C地（如图）。这时他想仍向正东方向前进，那么他
应怎样调整骑行方向？请画出他继续骑行的路线，并说明理由。
作业题
ZUOYETI
A组 1. 如图，舟山西堠门大桥是一座钢箱梁悬索桥，桥中的吊索互相平行。
你有哪些方法判断它们是平行的？
桥塔
主缆
吊索
桥面
舟山西堠门大桥 （第1题）
20 数学 七年级下册2. 如图为一座房屋屋顶梁架结构剖面示意图，∠ABC＝34°。要使横
梁DE与BC平行，则∠ADE应为多少度？
2
A l
1 1
A
D E B l 2
C
B C
（第2题） （第3题）
3. 如图，已知直线l
1
，l
2
被直线AB所截，AC⊥l
2
于点C。若∠ 1＝50°，
∠ 2＝40°，则l 1 与l 2 平行吗？请说明理由。
B组 4. 已知直线AB和直线外一点C（如图）。你能用一把三角尺过点C画
AB的平行线吗？如果能，说明方法，并画出图形。
F
C
A A 60°
E
G
30°
C D
B
B
（第4题） （第5题）
5. 如图，AB⊥CD于点 B，AE与 BF相交于点 G，且∠FGE＝60°，
∠ABG＝30°。判断AE与CD是否平行，并说明理由。
2
合作学习
HEZUOXUEXI
如图1-21，直线AB，CD被直线EF所截。除了
E
由同位角关系可以判定两条直线平行外，能否利用内 1
A B
3
错角或同旁内角的关系判定两条直线平行？ 4
2
C D
可以从以下几个方面考虑：
F
（1）我们已经有哪些判定两条直线平行的方法？
图1-21
（2）图中∠ 1，∠ 2，∠ 3和∠ 4四个角中，两角之间
存在哪些关系？
第1章 相交线与平行线 21（3）当内错角满足什么关系时，能得出有一对同位角相等？同旁内角呢？
由此你又获得了哪些判定平行线的方法？
（请与你的同伴交流）
一般地，判定两条直线平行还有下面的方法：
两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线
平行。。简单地说，内错角相等，两直线平行。。
两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直
线平行。。简单地说，同旁内角互补，两直线平行。。
做一做
ZUOYIZUO
1. 如图为三块相同的三角尺拼接成的图形，说出其中的平行线，并说
明理由。
A B
l l
2 1 1
l
2 3
D
C
3
l
4
E
（第1题） （第2题）
2. 如图，已知∠ 1＝121°，∠ 2＝120°，∠ 3＝60°。说出其中的平行线，并
说明理由。
例3 如图1-22，AC⊥CD，垂足为C，∠ 1与∠ 2互余。判断AB，CD
▶
是否平行，并说明理由。
A B
解：AB∥CD。理由如下：
1
如图1-22，由已知AC⊥CD，
根据互余的意义，得∠ 2与∠ 3互余。 2
3
又已知∠ 1与∠ 2互余， C D
根据“同角的余角相等”，得∠ 1＝ ∠ 3。
图1-22
根据“内错角相等，两直线平行”，可得AB∥CD。
22 数学 七年级下册例4 如图1-23，AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，∠ 1＋ ∠ 2＝90°。
▶
判断AB，CD是否平行，并说明理由。
A
B
1
解：AB∥CD。理由如下：
P
如图1-23，由已知AP平分∠BAC，CP平分
2
∠ACD，根据角平分线的意义，知 D
C
1 1
∠ 1＝ 2∠BAC，∠ 2＝ 2∠ACD， 图1-23
所以∠BAC＋ ∠ACD＝2（
∠
1＋
∠
2）＝2×90°＝180°。
根据“同旁内角互补，两直线平行”，得AB∥CD。
课内练习
KENEILIANXI
1. 如图，直线a，b被直线l所截。
（1）若∠ 1＝75°，∠ 2＝75°，则a与b平行吗？根据什么？
（2）若∠ 2＝75°，∠ 3＝105°，则a与b平行吗？根据什么？
E
a b
2
A D
1
3
3 2 l
1
B C
（第1题） （第2题）
2. 如图，∠ 1＝ ∠ 2＝ ∠ 3。填空：
（1）已知∠ 1＝ ∠ 2，根据 ，
可得 ∥ ；
（2）已知∠ 2＝ ∠ 3，根据 ，
可得 ∥ 。
3. 如图，已知直线l 1 ，l 2 被直线l 3 所截，∠ 1＋ ∠ 2 l 3
＝180°。请说明l 与l 平行的理由。 l 1
1 2
1
l
2
2
（第3题）
第1章 相交线与平行线 23探究活动
TANJIUHUODONG
有一条纸带，如图1-24所示。如果工具只有量角器，怎样检验纸带的两条边线
是否平行？
图1-24
如果没有工具呢？请说出你的方法和依据。
（可尝试用折叠的方法，与你的同伴交流）
作业题
ZUOYETI
A组 1. 如图，直线a，b被直线l所截。若∠ 1＝62°，∠ 2＝118°， l a
则a与b平行吗？请说明理由。
1
D C 2. 电子屏幕上显示的数字“9”的形状如图所示，填空： b
3
（1）如果∠ 1＝ ∠ 2，那么根据 ， 2
4 2 可得 ∥ ；
E F
5 （2）如果∠ 4＝ ∠ 5，那么根据 ， （第1题）
1 可得 ∥ ；
A B
（3）如果∠ 1＋
∠
3＝180°，那么根据 ，
（第2题） 可得 ∥ 。
B组 3. 如图，∠DAC＝2 ∠C，AE平分∠DAC。判断AE与BC是否平行，
并说明理由。
D
E D
A E
1
2
B C B C
（第3题） （第4题）
4. 如图，DE⊥EB于点E，∠ 1＝ ∠C，∠ 2与∠C互为余角。判断DE与
BC是否平行，并说明理由。
24 数学 七年级下册11..55 平平行行线线的的性性质质
β
α γ
如图放缩尺（局部）的各组对边互相平
行。图中∠ α，∠ β，∠ γ相等吗？
1
利用同位角相等，可以判定两条直线平行。反过来，如果两条直线平
行，同位角之间有怎样的关系？
合作学习
HEZUOXUEXI
任意画两条互相平行的直线，再任意画一条直线与这两条平行线相交。
测量同位角的度数，你发现了什么？与其他同学的发现相同吗？
用数学绘图软件画出如图1-25的图形，直线EF∥GH，直 A
E B F
线AD与直线EF，GH分别相交于点B，C。
（1）测量∠ABF，∠ACH。然后转动直线AD，观察并比较
G H
∠ABF和∠ACH的大小。你发现了什么？ C
（2）如果设置直线EF与GH不平行，（1）中所得的结论仍成 D
立吗？请作图验证。 图1-25
一般地，平行线有下面的性质：
两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。。简单地说，两直线
平行，同位角相等。。
例1 如图1-26，梯子的各条横档互相平行，∠ 1＝
▶
100°。求∠ 2的度数。
解：已知AB∥CD，根据“两直线平行，同位角相等”，
A
2
B
得∠ 3＝ ∠ 1＝100°。 C 3 D
由平角的意义，得∠ 2＋ ∠ 3＝180°， 1
所以∠ 2＝180°－ ∠ 3＝180°－100°＝80°。 图1-26
第1章 相交线与平行线 25例2 如图1-27，已知∠ 1＝ ∠ 2。若直线b⊥m，则直线a⊥m。请说明
▶
理由。
解：如图1-27，已知∠ 1＝
∠
2，根据“同位角相
n m
1 3
等，两直线平行”，得a∥b。 a
由a∥b，再根据“两直线平行，同位角相等”，得
2 4
∠
3＝
∠
4。 b
又已知b⊥m，根据垂直的意义，知∠ 4＝90°，
图1-27
所以∠ 3＝90°，所以a⊥m（根据什么？）。
课内练习
KENEILIANXI
1. 如图，已知直线l 3∥l
2
，∠ 1＝40°。求∠ 2的度数。
l
3
3
l
1 1
2
1 l 1 2 4
l
2
l 3 l 2 l
4
（第1题） （第2题）
2. 如图，已知直线l 1 ，l 2 ，l 3 ，l 4 。若∠ 1＝ ∠ 2，则∠ 3＝ ∠ 4。完成下面的
说理过程（填空）。
解：已知∠ 1＝ ∠ 2，
根据 ，得 ∥ 。
再根据 ，得∠ 3＝ ∠ 4。
3. 如图，已知a，b，c，d四条直线。
（1）图中哪些直线互相平行？哪些直线相交？
（2）说出∠α的度数。
b
a
76°
76°
c
77°
αd
（第3题）
26 数学 七年级下册作业题
ZUOYETI
A组 1. 如图，AB∥CD，∠ 1＝60°，则∠ 2＝ ，∠ 3＝ ，∠ 4＝ 。
E
A
1
A B
2 3 D E
4
C D
F B C
（第1题） （第2题）
2. 如图，D，E分别是AB，AC上的点。已知∠AED＝60°，∠C＝60°，
∠ADE＝40°。
（1）DE与BC平行吗？请说明理由。
（2）求∠B的度数。
3. 如图，∠A＋ ∠D＝180°，则∠DCE＝ ∠B。完成下面的说理过程。
解：已知∠A＋ ∠D＝180°，
根据 ，得 ∥ 。
又根据 ，得∠DCE＝ ∠B。
A
E
D
D C G
1
2 3
B
A B E C F
（第3题） （第4题）
B组 4. 如图，∠B＝ ∠ 2，∠F＝ ∠ 3，点B，E，C，F在同一条直线上。找出图
中的平行线，并说明∠A＝ ∠ 1＝ ∠D的理由。
5. 如图，在三角形ABC中，D，E，F分别是
A
三边上的点，且DE平分∠ADF，DE∥
BC。若∠B＝50°，求∠BDF的度数。
D E
B C
F
（第5题）
第1章 相交线与平行线 272
合作学习
HEZUOXUEXI
如图1-28，直线AB∥CD，并被直线EF所截。除
E
了同位角相等外，内错角或同旁内角具有怎样的数量 1
A B
3
关系？
4 2
建议从以下几方面思考： C D
（1）根据已经知道的平行线的性质，可以得出图 F
1-28中哪一对角相等？
图1-28
（2）
∠
2与∠ 3是一对内错角，它们的大小有什么关系？
（3）
∠
3与∠ 4是一对同旁内角，它们的大小又有什么关系？
你发现平行线还有哪些性质？
（请与你的同伴交流）
一般地，平行线还有下面的性质：
两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。。简单地说，两直线
平行，内错角相等。。
两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。。简单地说，两直
线平行，同旁内角互补。。
做一做
ZUOYIZUO
如图，AB，CD被EF所截，AB∥CD，∠ 1＝120 °。求∠ 2，∠ 3的大小
（填空）。
解：已知AB∥CD，根据 ，
得∠ 2＝ ＝ 。
A C
又根据 ，
得∠ 3＝ － ∠ 1＝ 。 2
E F
1 3
B D
28 数学 七年级下册例3 如图1-29，已知AB∥CD，AD∥BC。判断∠ 1与∠ 2是否相等，
▶
并说明理由。
解：∠ 1＝ ∠ 2。理由如下：
已知AB∥CD，根据“两直线平行，同旁内角互补”，得∠ 1＋ ∠BAD＝180°。
同理，由AD∥BC，得∠ 2＋ ∠BAD＝180°。
根据“同角的补角相等”，得∠ 1＝ ∠ 2。
D C
1
图中还有哪些
2 与∠ 1相等的角？它
A B
们与∠ 1有怎样的位
置关系？
图1-29
例4 如图1-30，已知∠ABC＋ ∠C＝180°，BD平分∠ABC。∠CBD
▶
与∠D相等吗？请说明理由。
解：∠CBD＝ ∠D。理由如下：
因为∠ABC＋ ∠C＝180°，根据“同旁内角互补，两 A B
直线平行”，得AB∥CD。
再根据“两直线平行，内错角相等”，得∠D＝ ∠ABD。
D C
因为BD平分∠ABC，所以∠CBD＝ ∠ABD。
图1-30
所以∠CBD＝ ∠D。
课内练习
KENEILIANXI
1. 如图，在墙面上安装某一管道需经两次拐弯，
B
拐弯后的管道与拐弯前的管道平行。若第一
A
个弯道处∠B＝142°，则第二个弯道处∠C为 C
多少度？为什么？ （第1题）
2. 如图，已知AB∥CD，AD∥BC。填空：
（1）已知AB∥CD，根据“两直线平行，
A
1 D
2
内错角相等”，得∠ 1＝ ；
（2）已知AD∥BC，根据
B C
，得∠ 2＝ 。
（第2题）
第1章 相交线与平行线 293. 如图，已知∠ 1＝ ∠ 2，∠ 3＝65°。求∠ 4的度数。
a
1 3
作业题 2 4
b
ZUOYETI
c d
A组 1. 如图。
（第3题）
若∠ 1＝ ∠ 2，根据 ，
可得 ∥ 。
再根据“两直线平行，内错角相等”，可得 ＝ 。
B
A
D
3
4 D 1 E
1 2
A 2
C E B C
（第1题） （第2题）
2. 如图，D，E分别是AB，AC上的点。若∠ 1＝ ∠ 2，则∠EDB＋ ∠ABC
＝180°。完成下面的说理过程。
已知∠ 1＝ ∠ 2，根据 ，
得 ∥ 。
又根据 ，
得∠EDB＋ ∠ABC＝ 。
3. 如图，已知AD∥BC，∠BAD＝ ∠BCD。说明AB与CD平行的理由。
A
A D
E
F
B C B D C
（第3题） （第4题）
D
B组 4. 如图，D是BC上一点，DE∥AB，交AC于点
E；DF∥AC，交 AB 于点 F。若∠B＋ ∠C＝
C 北
120°，求∠FDE的度数。 E
北
5. 小明参加定向比赛，如图，从A地沿北偏东 B
50°方向到B地，再从B地沿北偏西25°方向到
C地。从C地沿什么方向跑，可以保持与AB
A
的方向一致？
（第5题）
30 数学 七年级下册阅读材料
YUEDUCAILIAO
地球有多大
地球有多大？这对于今天的人们已不再陌生：地球的
平均半径约6 371千米，赤道周长约40 075千米，子午线
所在圆的周长约40 008千米……然而在古代，这可是个
难题。
2 000多年前，被称为“地理学之父”的古希腊地理
学家埃拉托色尼（ ，约前276～前194）想
Eratosthenes
出了一个巧妙测算地球周长的方法。 埃拉托色尼
在塞尼城（ ，今埃及阿斯旺附近）有一口深井，如图1-31所示的
Syene
A处，夏至日中午12时，太阳光可直射井底。亚历山大城与塞尼城几乎同
在一条子午线上。在一个夏至日的正午，埃拉托色尼在亚历山大城竖起一
根小木棍，利用小木棍在地面上的投影测出小木棍与太阳光之间的夹角
α为7
.
2°。由于太阳离地球非常遥远，因此太阳光线可以看作相互平行。
1
如图1-31， ∠θ＝ ∠α（根据什么？）＝7
.
2°＝
50
×360°。而亚历山大城和
塞尼城之间的路程
约为800千米，应
等于子午线周长的
1
，所以子午线所
50
在圆的周长约等于
城
亚 历 山 大 立 木 棍 800×50＝40000千
直
B α 米。这与我们现在
塞尼城
知道的子午线所在
A井
θ
圆周长约40 008千
地球中心
O
米惊人地接近！可
见当时埃拉托色尼
的测算是相当准
确的。
图1-31
第1章 相交线与平行线 3111..66 图图形形的的平平移移
A
B
缆车在运动过程中，哪些改变了？哪些
保持不变？
在小学，我们已经初步认识了简单图形的平移。如图1-32，滑雪运动员
在平坦的雪地上沿直线滑行，顾客在商场自动扶梯上做升降运动，火车在笔
直的铁轨上行驶，这些都给我们以平移的形象。
图1-32
观察节前图，缆车由A移动到B的运动过程中，它的各部分移动的方向
相同吗？移动的距离怎样变化？
如图1-33，传送带上的箱子由C移动到D的运动有同样的特点吗？
C D
图1-33
一个图形沿某个方向移动，在移动的过程中，原图形上所有的点都沿同
一个方向移动相等的距离，这样的图形运动叫作图形的平移（
translation
）。
32 数学 七年级下册例如，图1-34是用三角尺和直尺画平行线的示 P
A B
意图，将三角尺 ABC沿着直尺 PQ平移到三角尺
A′B′C′的位置，就可以画出AB的平行线A′B′，直 C A′ B′
线A′B′可以看作直线AB经平移后所得的图形。直
C′
线AB平移的方向就是由点A到点A′的方向，平移 Q
图1-34
的距离就是线段AA′的长。
做一做
ZUOYIZUO
1. 下面两组图形的变化，哪一组属于平移？
① ②
（第1题）
2. 你能举出现实生活中一些反映平移的实例吗？
（请与你的同伴交流）
下面我们来思考如何画出一个图形经平移后所得的图形。
例 把长方形ABCD（图1-35）沿箭头所指的方向平移，使点C落在点
▶
C′。画出经这一平移后所得的图形。
C′
D C
A B
图1-35
分析：画平移后的图形，既可以按图1-34中平移三角尺的方法来画，也
可以根据平移的概念来画。
第1章 相交线与平行线 33解：方法一：如图1-36，将透明纸覆盖在长方形ABCD上，画出相同的
图形，然后把透明纸沿箭头所指的方向平移，直到点C与点C′重合（图1-
37）。长方形A′B′C′D′就是长方形ABCD经平移所得的图形。
C′ D′ C′
D C D C A′ B′
A B
A B
图1-36 图1-37
方法二：如图1-38。
1 . 分别过点B，D作AC的平行线BM，DN。
2
.
分别在射线AC′，BM，DN上截取AA′，CC′，BB′，DD′，使AA′＝
BB′＝DD′＝CC′。
3
.
连结A′B′，B′C′，C′D′，D′A′。
长方形A′B′C′D′就是长方形ABCD经平移所得的图形。
N
D′ C′
M
平移后所得的
D C A′ B′
图形与原图形相比，
哪些改变了？哪些
保持不变？连结对
A B 应点的线段之间有
什么关系？
图1-38
一般地，图形的平移有下面的性质：
平移不改变图形的形状和大小。。
一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行
（（或在同一条直线上））且相等。。
要描述一个平移，必须指出平移的方向和移动的距离。
34 数学 七年级下册平移在印染、建筑、雕刻等领域有着广泛应用，利用平移可以设计美丽
的图案。如图1-39中的图案，可以看作由一个或若干个基本图形经过平移
得到。你能用平移设计一幅图案吗？
图1-39
课内练习
KENEILIANXI
1. 先把方格纸中的线段AB向上平移3格，再向右平移2格。在方格
纸中作出经上述两次平移后所得的图形。
7
6
C
D
5
4 B
3 W
A B
2 E
1 A
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
（第1题） （第2题）
2. 图中哪个图形可以经平移后得到图形W？请在图中用箭头标明平
移的方向，并描述这个平移过程。
3. 已知三角形ABC（如图）。把三角形ABC向上平移1 cm，画出经平
移所得的图形。
C
A
B
（第3题）
第1章 相交线与平行线 35作业题
ZUOYETI
A组 1. 作出已知图形经平移所得的图形。
（1）把三角形ABC沿AB方向平移，平移的距离为线段a的长；
（2）把三角形ABC沿AC方向平移，平移的距离为线段a的长。
a
C′
D C
C ）
2
（
（1）
A B A B
（第1题） （第2题）
2. 如图，已知梯形ABCD及梯形外一点C′。平移梯形ABCD，使点C
经平移后所得的点是点C′，作出经这一平移后所得的图形。
3. 如图，分别按下列要求作出经平移所得的图形。
（1）把三角形ABC向右平移3格；
（2）把第（1）题中平移所得的图形向上平移4格；
（3）经（1），（2）两题两次平移后所得的图形，能通过将三角形ABC
经过一次平移得到吗？如果你认为可以，描述这个平移过程。
7 5
6
4
5
Q
3
4
3 2
A
2
1
1 C P
B
0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3
（第3题） （第4题）
4. 如图，怎样平移半圆P，使它平移后的图形与半圆Q组成一个圆？
描述这个平移过程，并画出图形。
36 数学 七年级下册B组 5. 如图，图形W，X，Y，Z是形状和大小相同，且能完全重合的图形。
通过平移这些图形，使它们组合成一个图案，并求出这个图案的面
积（要求描述平移的过程，并画出图案）。
3
2 X
W
1 Z
05
.
Y
0 1 2 3 4 5
（第5题） （第6题）
C组 6. 如图所示的图案由6个圆组成，不考虑颜色，这6个圆可以看成是由
一个圆经过平移得到的。请以圆为“基本图形”，运用图形的平移设
计一个新的图案，并说说这个图案表示的意义。
设计题
SHEJITI
1 如图1-40是一条两岸彼此平行的河，
.
现要在这条河上建一座与河岸垂直的桥。
（1）画出你所建的“桥”的示意图（“桥”
可用线段表示）。
（2）比较你和你的同伴所画的示意图，
“桥”的长度相等吗？由此你发现了什么？你
将用什么方法来证实你的发现？
图1-40
2
.
请你完成这样一项任务：如图1-41，直线l
1
，l
2
B
表示一条河的两岸，且l 1∥l
2
。现要在这条河上建一座
与河岸垂直的桥。桥建在何处才能使从村庄A经桥 l 1
过河到村庄B的路程最短？画出示意图，并用平移的
l
原理说明理由。 2
A
图1-41
第1章 相交线与平行线 37小结与反思
一、知识梳理
本章在小学学过的两条直线位置关系的基础上，进一步探究两条直线的相交
和平行，探索两条直线平行的条件和性质，认识平移和平移的性质。本章学习和问
题解决中常用的思想方法有实验观察、量化分析、推理判断等。
本章学习流程和知识结构如下：
对顶角
两直线相交
垂线及其性质 点到直线的距离
相交线
同位角
两条直线被第
内错角
三条直线所截
同旁内角
平行线的判定
基本事实
平行线
（平行公理）
平行线的性质
图形的平移
二、回顾与反思
1 . 两条直线相交形成的四个角，具有怎样的位置关系和数量关系？什么情况
下两条直线互相垂直？
2 . 两条直线被第三条直线所截，如何找出同位角、内错角、同旁内角？这些角
的数量关系与平行线的性质与判定有什么联系？
3 . 平行线的性质与判定有什么异同？
4 . 平移是基本的图形变化。一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应
点的连线之间有什么关系？你能用平移设计美丽的图案吗？
5 . 在本章的学习中，你还获得了哪些解决问题的方法和经验？有哪些需要注
意的问题？
38 数学 七年级下册目标与评定
A
目目标标 11 ..14节节
★理解对顶角的概念。探索并掌握“对顶角相等”的性质。
★理解垂线、垂线段等概念。能用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线。
★掌握基本事实：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
★理解点到直线的距离的意义，能度量点到直线的距离。
1. 如图，∠ 2分别和∠ 1，∠ 3互为余角。
（1）找出图中各对相等的角，并说明理由。
（2）写出图中各个直角。
2. 如图，P是∠ABC内一点。过点P画两条直线，使它们分别垂直于AB和BC。
C
A
F
B
C D
P
A
D B
C
1 2 3
A
O B E
（第1题） （第2题） （第3题）
3. 如图，直线AE与CD相交于点B，∠DBE＝60°，BF⊥AE。求∠CBF和∠FBD
的度数。
B
目目标标 11..24节节1 . 3节
★识别同位角、内错角、同旁内角。
★理解平行线的概念。
★掌握基本事实：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
★能用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线。
4. 如图，下列说法正确的是 （填写序号）。
①∠
1与∠ 2是同位角；
1
②∠
2与∠ 4是内错角；
5
③∠
4与∠ 5是同旁内角；
2
4 3
④∠
3与∠ 4是同位角。
（第4题）
第1章 相交线与平行线 395. 已知图中有两个平行四边形。请你写出图中的平行线，并用符号“∥”表示。
C
D F C
P
A
Q
A B E B
（第5题） （第6题）
6. 如图，P是∠ABC内一点，点Q在AB上。
（1）过点P画一条直线a平行于BC；
（2）过点Q画一条直线b平行于BC。
C
目目标标 11..44节节
★掌握基本事实：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线
平行。
★探索并证明平行线的判定定理：两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等（或
同旁内角互补），那么这两条直线平行。
7. 填空：
（1）如图甲，已知∠B＝ ∠C，根据 ，
可得 ∥ ；
（2）如图乙，已知∠A＋ ∠C＝180°，根据 ，
可得 ∥ 。
A B A B
C D C D
甲 乙
（第7题）
8. 如图，直线l，l 被直线l 所截。你能添上一个适当
1 2 3 l 2 l
1
的条件，使得l 1∥l
2
吗？ 1
4
2 8
3 7
5
6 l 3
（第8题）
40 数学 七年级下册9. 如图，AB⊥AC，垂足为A，∠ 1＝30°，∠B＝60°。
A D
1
（1）AD与BC平行吗？为什么？
（2）根据题中的条件，能判断AB与CD平行吗？如
B C
果能，请说明理由；如果不能，添加一个条件，使 （第9题）
它们平行。
D
目目标标 11..54节节
★掌握平行线的性质定理Ⅰ：两条平行线被第三条直线所截,同位角相等。
★探索并证明平行线的性质定理Ⅱ：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等
（或同旁内角互补）。
10. 如图，CD平分∠ACB，DE∥AC。若∠ 1＝35°，则∠ 2 A
＝ 度。 D
11. 一艘船沿正东方向航行，行至A处折向南偏东60°方向
1
2
航行，行至B处后，若该船仍向正东方向行驶，应如何 B C
E
调整航向？画出示意图，并说明理由。 （第10题）
12. 如图，已知∠ 1＝ ∠ 2＝ ∠ 3＝55°。求∠ 4的度数。
A
l l
4 1
4
1
l
2 D E
1
F
3 2
l
2 3 B C
H
（第12题） （第13题）
13. 如图，已知AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥AC，∠ 1与∠ 2互补。判断HF与AB是否
垂直，并说明理由。
14. 如图，在同一平面内，AB∥DE，∠ABC＝ ∠DEF。判断BC与EF是否平行，并
说明理由。
A
D
C
B
F
E
（第14题）
第1章 相交线与平行线 41E
目目标标 11..64节节
★通过具体实例认识平移，探索它的性质：一个图形和它经过平移所得的图形中，
两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等。
★认识并欣赏平移在自然界和现实生活中的应用。
★运用图形的平移进行图案设计。
15. 观察下面六幅图案，判断②③④⑤⑥中的哪个图案可以通过平移图案①得到。
① ② ③ ④ ⑤ ⑥
（第15题）
16. 如图，已知线段AB和点A′。平移线段AB，使点A落在A′， A′
作出线段AB经平移所得的线段A′B′。连结AA′，BB′。
说出图中互相平行的线段❶和彼此相等的线段。 A
17. 将方格纸中的图形F先向下平移4格，再向左平移2格，作出
B
这两次平移分别得到的图形。经这两次平移后所得的图形
能通过将图形F经过一次平移得到吗？如果你认为可以，请 （第16题）
描述这个平移过程。
8
7
F
6
5
4
3
2
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
（第17题）
如果两条线段所在的两条直线互相平行，那么我们就说这两条线段是平行线段。
❶
42 数学 七年级下册18. 如图所示的图案由三种不同颜色的“蜥蜴”组成，三种“蜥蜴”的形状、大小完全
相同。
思考：图中同一种颜色的“蜥蜴”能通过平移得到吗？
实践：运用图形的平移，设计一幅自己喜欢的图案。
（第18题）
F
目标
★会运用相交线、平行线和平移的知识解决有关的简单问题。
19. 如图，直线a，b所成的角跑到画板外面去了，你有什么办法量出这两条直线所
成的角的度数？是多少度？
a b
（第19题）
20. 如图，将一条两边沿互相平行的纸带折叠。设∠ 1为x度，
请用关于x的代数式表示∠α的度数。 1
α
21. 一块长为a（ cm ），宽为b（ cm ）的长方形地板中间有一条裂缝
（如图甲）。若把裂缝右边的一块向右平移1
cm
（如图乙），则
（第20题）
产生的裂缝的面积是多少平方厘米？
甲 乙
（第21题）
第1章 相交线与平行线 43第2章
二元一次方程组
一水坝的横截面是梯形，它的面积为
42m2，高为6m，下底比上底的2倍少1m。
这个梯形上底和下底的长各是多少米？
购买面值为0.8元和1.5元的邮票共
7张，恰好花了7元钱，你知道这两种面值
的邮票各买了多少张吗？
本章将学习二元一次方程（（组））的有
关概念，以及二元一次方程组的解法和应
用。通过本章的学习，我们将找到解决上
述问题的方法。22..11 二二元元一一次次方方程程
小杰买了单价分别为2元和3元的练习
本若干本，花了20元。这两种练习本各买了
2元 3元
多少本？
请思考下列问题：
（1）某列车设A，B两种车厢，共576个座位，其中A种车厢每节设33个
座位，B种车厢每节设85个座位。该列车A，B两种车厢各多少节？
在这个问题中，要求的未知数有几个？能列一元一次方程求解吗？如
果设该列车有A种车厢x节，B种车厢y节，你能列出方程吗？
（2）七年级一班女生人数的3倍比男生人数的2倍多7人。设女生有a
人，男生有b人，你能列出怎样的方程？
像33x＋85y＝576，3a＝2b＋7这样，含有两个未知数，且含有未知数的项
的次数都是一次的方程叫作二元一次方程（
linear equation in two unknowns
）。
做一做
ZUOYIZUO
1. 根据题意列出方程。
（1）买5 kg苹果和3 kg梨共需47
.
2元，求苹果和梨的单价。设苹果的
单价为每千克x元，梨的单价为每千克y元。
（2）在高速公路上，一辆轿车行驶2小时的路程比一辆卡车行驶3小
时的路程还多20千米，求轿车和卡车的速度。设轿车的速度为
a千米/时，卡车的速度为b千米/时。
2. 下列各式是二元一次方程的是 。
2 x＋y 1
①x2＋y＝0； ②x＝ y ＋1； ③ 3 －2y＝0；④y＋ 2 x。
46 数学 七年级下册使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫作二元一次
方程的一个解。例如，把x＝1，y＝4代入方程3x＋4y＝19，左边＝3×1＋
4×4＝19＝右边，所以 x＝1，y＝4 就是方程 3x＋4y＝19 的一个解，记作
x＝1，
{
想一想，x＝0，y＝5和x＝5，y＝1也是方程3x＋4y＝19的解吗？
y＝4
。
例 已知方程3x＋2y＝10。
▶
（1）用关于x的代数式表示y。
（2）求当x＝－2，0，3时对应的y的值，并写出方程3x＋2y＝10的三
个解。
分析：要用关于x的代数式表示y，只要把方程3x＋2y＝10看作未知数
是y的一元一次方程。
解：（1）移项，得2y＝10－3x，
3
得y＝5－ x。
2 方程3x＋2y＝10
的解有多少个？
3
（2）当x＝－2时，y＝5－ ×（－2）＝8；
2
3
当x＝0时，y＝5－ ×0＝5；
2
3 1
当x＝3时，y＝5－ ×3＝ 。
2 2
x＝3，
x＝－2， x＝0，{
{ {
由二元一次方程的解的意义， 1 都是方程3x＋
y＝8， y＝5， y＝
2
2y＝10的解。
课内练习
KENEILIANXI
1. 检验下列各组数是不是方程2a＝3b＋20的解。
a＝5，
a＝4， { a＝100，
（1） { （2） 10 （3）{
b＝3； b＝－ ； b＝60
3 。
第2章 二元一次方程组 472. 已知二元一次方程2x＋3y＝2。
（1）用含y的代数式表示x。
（2）根据给出的y值，求出对应的x的值，填入表内。
2
y 0 2 －2 1 …
3
x …
（3）写出方程的五个解。
作业题
ZUOYETI
A组 1. 根据题意列出方程。
（1）长方形的周长是34 cm，求长方形的长与宽。设长方形的长为
a（
cm
），宽为b（
cm
）。
（2）一场篮球赛门票的收入为9 900元。已知门票价格为成人每人
50元，学生每人30元，有多少观众观看了这场篮球赛？其中学生
有多少人？设有x名观众，其中有y名学生观看了这场篮球赛。
2. 已知方程3x－y＝5。
（1）用含x的代数式表示y；
（2）用含y的代数式表示x。
3. 检验下列各组数是不是方程2x－3y＝1的解。
x＝
1
， {
x＝－1
.
5，
x＝1，
（1） { 2 （2） 4 （3） {
y＝－ ； y＝1
y＝0； 3 。
4. 48名同学被分配到大、小不同的两种寝室，大寝室每间住8人，小寝
室每间住4人，刚好住满。求大、小寝室各住了多少间。如果设大
寝室住了x间，小寝室住了y间，请列出方程，并写出方程的两个解。
x＝－2，
{
B组 5. 已知 是方程2x＋3y＝5的一个解，求a的值。
y＝a
x y
6. 已知方程 － ＝5，用关于x的代数式表示y，并写出方程的三个解。
2 3
C组 7. 请解答节前语中的问题。
48 数学 七年级下册22..22 二二元元一一次次方方程程组组和和它它的的解解
一个苹果和一个梨的质量合计200
g
（如图2-1），这个苹果的质量加上
一个10 g的砝码恰好与这个梨的质量相等（如图2-2）。问：苹果和梨的质量
各为多少克？
这个问题中，如果设苹果和梨的质量分别为x（
g
）和y（
g
），你能列出几个
方程？请把它们列出来。
方程x＋y＝200和方程y＝x＋10中，x，y都分别表示同一个未知数，也
就是说，x，y的值必须同时满足上述两个方程，因此可以把两个方程合起来，
x＋y＝200，
{
写成 像这样由两个一次方程组成，并且含有两个未知数的方程
y＝x＋10
。
组，叫作二元一次方程组（
simultaneous linear equations in two unknowns
）。
03
单位：cm
6块同样大小的长方形复合地板刚好拼成一个
大长方形，如图。你能算出每块复合地板的长和
宽吗？
y x 100g 100 g y 10 g x
图2-1 图2-2
第2章 二元一次方程组 49做一做
ZUOYIZUO
1.（1）已知方程x＋y＝200，填写下表。
x … 85 90 95 100 105 …
y
（2）已知方程y＝x＋10，填写下表。
x … 85 90 95 100 105 …
y
（3）有没有这样的解，它既是方程x＋y＝200的一个解，又是方程
y＝x＋10的一个解？
2. 把下列各组数的题序填入图中适当的位置。
1 1
{ x＝1， { x＝－2， { x＝－ 2 ， ì x＝ 2 ，
① ② ③ ④í
y＝0； y＝2；
y＝1； îy＝－
1
2。
方程x＋y＝0的解
方程2x＋3y＝2的解
既是方程x＋y＝0的解，
又是方程2x＋3y＝2的解
（第2题）
3. 对于节前语中的问题，如果设一块长方形复合地板的长为x（ cm ），
宽为y（
cm
），那么可以列出怎样的方程组？
同时满足二元一次方程组中各个方程的解，叫作这个二元一次方程组
{
x＝95，
{
x＋y＝200，
的解。例如， 就是二元一次方程组 的解。
y＝105 y＝x＋10
50 数学 七年级下册例 成都第31届世界大学生夏季运动会，羽毛球、排球、网球三个项
▶
目决赛门票的价格如下表。
表2-1
项目 羽毛球 排球 网球
票价/ （元/张） 280 120 80
小聪购买了排球和网球决赛门票共6张，他发现购买这6张门票的价格
恰好等于2张羽毛球决赛门票的价格。如果设小聪购买的排球和网球决赛
门票分别为x张和y张，请根据问题中的条件列出关于x,y的方程组,并用列
表尝试的方法求两种门票的数量。
x＋y＝6，
{
解：根据条件可列出关于x，y的方程组 因为x，y
120x＋80y＝280×2
。
必须取自然数（为什么？），所以列表尝试如下：
表2-2
x 0 1 2 3 4 5 6
y 6 5 4 3 2 1 0
120x+80y 480 520 560 600 640 680 720
可见，只有x＝2，y＝4符合这个方程组，所以方程组的解是 {
x＝ 2，
y＝
4
。
答：小聪买了排球决赛门票2张，网球决赛门票4张。
课内练习
KENEILIANXI
1. 将下列左侧方程组的解和右侧相应的方程组用线连起来。
x＝1， y＝3－x，
{ {
y＝2 3x＋2y＝8
。 。
x＝3， y＝2x，
{ {
y＝－2 x＋y＝3
。 。
x＝2， y＝1－x，
{ {
y＝1 3x＋2y＝5
。 。
2. 已知两个自然数的和是7，差是3。设这两个自然数分别是x，y，请
列出关于x，y的方程组，并用列表尝试的方法求出这两个自然数。
第2章 二元一次方程组 51作业题
ZUOYETI
A组 1. 两个三角形的边长和周长如图所示，请列出关于未知数a，b的方
程组。
（1） （2）
5
a
4
a a
b
5
a
3b 4
周长为14 周长为12
（第1题）
x＋y＝6，
{
2. 方程组 的解是（ ）。
x－3y＝－2
x＝5， x＝4， x＝－5， x＝－4，
（ A ）{ y＝1 （ B ） { y＝2 （ C ） { y＝－1 （ D ） { y＝－2
3m＋n＝－1，
3. 已知方程组{
2m－3n＝－8
。
（1）m分别取－3，－1，0，2，填写下表。
3m＋n＝－1的解 2m－3n＝－8的解
m －3 －1 0 2 … m －3 －1 0 2 …
n n
（2）写出方程组的解。
4. 某场篮球比赛中，投篮得分是2分或3分，请设计一个问题情境，使
该问题可运用二元一次方程组解决。
{ x＝0， { x－b＝y，
B组 5. 已知 1是方程组 的解。求a，b的值。
y＝－ 5x＋2a＝2y
2
6. 已知节前语中每块复合地板的长和宽都是整厘米数，请用列表尝试
的方法解你所列的方程组。
52 数学 七年级下册22..33 解解二二元元一一次次方方程程组组
我国古代数学名著《孙子算经》中有这
样一道题：今有鸡兔同笼，上有三十五头，
下有九十四足，问鸡兔各几何？你能解决
这个问题吗？
1
x＋y＝200，
{
现在我们以二元一次方程组 为例来寻求二元一次方程组
y＝x＋10
的一般解法。因为两个方程中相同的字母都表示同一未知
x＋y＝200
数，所以根据方程y＝x＋10，方程x＋y＝200中的未知数y
y＝ x＋10
可以用x＋10来替换，这样就得到一元一次方程x＋（x＋
10）＝200，解得x＝95。把x＝95代入方程组中的任何一个 图2-3
方程，就可以求得另一个未知数y的值。
做一做
ZUOYIZUO
{
2y－x＝7，
①
填空：解方程组
x＝3y－1
②
。
解：把②代入①，得 。 2y－x＝7
解得y＝ 。
x＝ 3y－1
把解得的y的值代入②，得 。
x＝ ，
{ ----------------
所以原方程组的解为
y＝
----------------
。
解方程组的基本思想是“消元”，把解二元一次方程组转化为解一元一次
方程。上面这种消元方法是“代入”，这种解方程组的方法称为代入消元法，
简称代入法（
substitution method
）。代入法是解二元一次方程组常用的方法
之一。
第2章 二元一次方程组 53{
2y－3x＝1，
①
▶例1 解方程组
x＝y－1
②
。
解：把②代入①，得2y－3（y－1）＝1，
2y－3x＝1
即2y－3y＋3＝1，解得y＝2。
把y＝2代入②，得x＝2－1＝1。 x＝ y－1
{ x＝1， 图2-4
所以原方程组的解是
y＝2
。
说明：为了检查上面的计算是否正确，可把所求得的解分别代入方程①
②检验。检验过程可以口算，不必写出。
{
2x－7y＝8，
①
▶例2 解方程组
3x－8y－10＝0
②
。
分析：利用其中一个方程，将一个未知数用关于另一个未知数的代数
式表示，就可以用代入法解这个方程组。将其中一个方程的一个未知数用
另一个未知数表示时，通常选择使运算比较简便的方程。
8＋7y
解：由①，得2x＝8＋7y，即x＝
③
2 。
( )
8＋7y
把③代入②，得3×
2
－8y－10＝0，
21 4
去括号，得12＋ y－8y－10＝0，解得y＝－ 。
2 5
( )
4
8＋7× －
4 5 6
把y＝－ 代入③，得x＝ ＝
5 2 5。
6
x＝ ，
ì 5
所以原方程组的解是í
4
îy＝－
5。
用代入法解二元一次方程组的一般步骤是：
1 . 将方程组中的一个方程变形，使得一个未知数能用含有另一个未知
数的代数式表示。
2 . 用这个代数式代替另一个方程中相应的未知数，得到一个一元一次
方程，求得一个未知数的值。
54 数学 七年级下册3 . 把这个未知数的值代入代数式，求得另一个未知数的值。
4 . 写出方程组的解。
课内练习
KENEILIANXI
用代入法解下列方程组：
x＝2y， 2x＋y＝7，
{ {
（1） （2）
2x＋y＝5； 3x－4y＝5；
3x＋y＝1， 2x－3y＝7，
{ {
（3） （4）
x－2y＋1＝0； 4x＋5y＝3
。
作业题
ZUOYETI
A组 1. 用代入法解下列方程组：
3
（1） {
x＝
2
y，
（2）{
2a＋b＝3，
4a－3b＝5；
x＋0
.
5y＝2；
1 2
（3） {
5x＝3y，
（4） {2
x＝－
3
y，
x－y＝4；
2x＋y＝7
。
2. 用代入法解下列方程组：
{
5x＋4y＝－1
.
5，
{
4x－3y－10＝0，
（1） （2）
2x－3y＝4； 3x－2y＝0
。
3x－4（x－y）＝2，
{
3. 解方程组
2x－3y＝1
。
2（x＋y）－（x－y）＝3，
{
B组 4. 解方程组
（x＋y）－2（x－y）＝1
。
5. 请回答节前语中的问题。先列出二元一次方程组，再求解。
x＝2， x＝1，
{ {
C组 6. 已知 和 是方程ax＋by＝15的两个解，求a，b的值。
y＝5 y＝10
第2章 二元一次方程组 552
{
x＋y＝2，
①
观察方程组
x－y＝5
②
。
它的系数有什么特点？你会用什么方法来消元？
完成这个方程组的求解过程（填空）。
解：将方程①②的左右两边分别相加，得 （依据： ），
解得x＝ 。把解得的x的值代入①，得 ，解得y＝ 。
所以原方程组的解是 。
把上述过程中“① ＋ ②”改为“① － ②”，结果将如何？① － ②的依据是什么？
对于二元一次方程组，当两个方程的同一个未知数的系数互为相反数
或相同时，可以通过把两个方程的两边相加或相减来消元，转化为一元一次
方程求解。这种解二元一次方程组的方法叫作加减消元法，简称加减法
（
elimination method
）。加减法也是解二元一次方程组常用的方法之一。
{
2s＋3t＝2，
①
例3 解方程组
▶ 2s－6t＝－1
②
。
1
解：① － ②，得9t＝3，解得t＝
3
。
1 1 1
把t＝ 3 代入① （代入 ② 可以吗？），得2s＋3× 3 ＝2，解得s＝ 2 。
1
s＝ ，
{ 2
所以原方程组的解是
1
t＝
3。
{
3x－2y＝11，
①
例4 解方程组
▶ 2x＋3y＝16
②
。
分析：如果通过方程的变形，能使两个方程中某个未知数的系数的绝
对值相同，就可以用加减消元法求解。
解：① ×3，得9x－6y＝33。 ③
②
×2，得4x＋6y＝32。
④
③
＋ ④，得13x＝65，解得x＝5。
把x＝5代入①，得3×5－2y＝11，解得y＝2。
56 数学 七年级下册x＝5，
{
所以原方程组的解是
y＝2
。
用加减法解二元一次方程组的一般步骤是：
1
.
将其中一个未知数的系数化成相同（或互为相反数）。
2
.
通过相减（或相加）消去这个未知数，得到一个一元一次方程。
3 . 解这个一元一次方程，得到一个未知数的值。
4 . 将求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程，求得另一个
未知数的值。
5 . 写出方程组的解。
课内练习
KENEILIANXI
用加减法解下列方程组：
2x＋y＝23， 3x＋2y＝13，
{ {
（1） （2）
4x－y＝19； 3x－2y＝5；
4x－5y＝1，
3x－2y＝9， {
{
（3） （4） 1
x－y＝7； 5x－4y＝
2。
作业题
ZUOYETI
A组 1. 用加减法解下列方程组：
1
x－2y＝7，
3k＋b＝7， {2
（1）{ （2）
5k＋b＝9； 1
x－3y＝－8
2 。
2. 用加减法解下列方程组：
x y 1
－ ＝ ，
2m＋7n＝5， 2u－5v＝12， ì3 7 2
（1）{ （2）{ （3）í
3m＋n＝－2； 4u＋3v＝－2； x y 1
î ＋ ＝
3 7 3。
x－y x＋y
＝ ，
B组 3. 解方程组 { 3 2
2x－5y＝7
。
4. 已知2v＋t＝3v－2t＝3，求v，t的值。
第2章 二元一次方程组 5722..44 二二元元一一次次方方程程组组的的应应用用
42m2
本节我们将学习怎样应用二元一次方程组解决有关的实际问题。
合作学习
HEZUOXUEXI
游泳池中有一群小朋友，男孩戴蓝色游
泳帽，女孩戴黄色游泳帽。如果每名男孩看
到蓝色与黄色的游泳帽一样多，而每名女孩
看到蓝色的游泳帽比黄色的多1倍，那么你
知道男孩与女孩各有多少人吗？
要解决这一问题，我们可以从以下几个方面进行思考：
（1）问题中所求的未知数有几个？
（2）有哪些等量关系？
（3）怎样设未知数？可以列出几个方程？
（4）本题能列一元一次方程求解吗？用列二元一次方程组的方法求
解，有什么优点？
（请与你的同伴交流）
当问题中所求的未知数有两个时，用两个字母来表示未知数比较容易
列出方程。要注意的是，必须寻找两个等量关系，列出两个不同的方程，才
能组成二元一次方程组。想一想，上面整个思考过程中，你经历了哪些问题
解决的基本步骤？
例1 用如图2-5中的长方形和正方形木板作侧面和底面，做如图2-6
▶
的竖式和横式两种无盖木箱。现在仓库里有1 000块正方形木板和2 000块
长方形木板，问：两种木箱各做多少个，恰好将库存的木板用完？
m6
一水坝的横截面是梯形，
它的面积为42 m 2，高为6 m，下
底比上底的2倍少1 m。这个
梯形上底和下底的长各是多
少米？
1
58 数学 七年级下册图2-5 图2-6
分析：做一个竖式木箱需要几块长方形木板和正方形木板？做一个横
式木箱呢？请填写下表：
表2-3
类别 x个竖式木箱中 y个横式木箱中 合计
正方形木板的块数 1000
长方形木板的块数 2000
根据上表我们就能列出两个二元一次方程，解这个二元一次方程组得
到所求的解。
解：设做竖式木箱x个，横式木箱y个。根据题意，得
{
x＋2y＝1000，
①
4x＋3y＝2000
②
。
①
×4－ ②，得5y＝2 000，解得y＝400。
把y＝400代入①，得x＋800＝1 000，解得x＝200。
x＝200，
{
所以方程组的解为
y＝400
。
经检验，这个解满足方程组，且符合题意。
答：做竖式木箱200个，横式木箱400个，恰好将库存的木板用完。
一般地，用二元一次方程组解决实际问题有如下基本步骤。
审题，搞清已知和未知，分析数量关系
考虑如何根据等量关系设元，列出方程组
列出方程组并求解，得到答案
检查和反思解题过程，检验答案的正确性以及是否符合题意
第2章 二元一次方程组 59课内练习
KENEILIANXI
1. 如果例1中的条件改为仓库里有正方形木板500块，长方形木板
1 001块，那么能否在做成两种木箱若干个后，恰好把库存的木板用
完？说明你的理由。
2. 甲、乙两人从相距36千米的两地匀速相向而行。如果甲比乙先走
2小时，那么他们在乙出发后经2
.
5小时相遇；如果乙比甲先走2小
时，那么他们在甲出发后经3小时相遇。请分析题中的相等关系，
你会用示意图表示数量关系吗？甲、乙两人每小时各走多少千米？
作业题
ZUOYETI
A组 1. 某工地派96人去挖土和运土。若平均每人每天挖土5 m 3或运土3 m 3，
则怎样分配挖土和运土的人数，才能使挖出的土刚好被运完？
2. 请解答节前语中的问题。
3. 学校乐队193人准备参加文艺会演。现已预备了大客车和中巴车
共8辆，其中大客车每辆可坐51人，中巴车每辆可坐8人，刚好坐
满。学校预备了几辆大客车，几辆中巴车？
B组 4. 假设同种类硬币每枚的质量相同，仅用一架天平和一个10克的砝
码能测量1元硬币和5角硬币的质量吗？小明找来足够多的1元和
5角硬币，经过探究得到以下记录。
编号 天平左边 天平右边 状态
5枚1元硬币，
记录一 10枚5角硬币 平衡
1个10克的砝码
20枚5角硬币，
记录二 15枚1元硬币 平衡
1个10克的砝码
请算一算，一枚1元硬币的质量是多少克？一枚5角硬币的质量是
多少克？
60 数学 七年级下册5. 某家具厂设计的餐桌椅套装，1张桌子
配4把椅子（如图）。该厂一天能生产桌
子17张或椅子32把，决定用25天时间
生产一批这样的餐桌椅。如果要使生
产的桌子和椅子正好配套，那么应分
别安排多少天生产桌子、多少天生产
（第5题）
椅子？
2
例2 一根金属棒在0 ℃时的长度是q（ m ），在一定温度范围内，温度
▶
每升高1 ℃，它就伸长p（
m
）。当温度为（t
℃
）时，金属棒的长度l可用公式l＝
pt＋q计算。已测得当t＝100 ℃ 时，l＝2 . 002 m；当t＝500 ℃ 时，l＝2 . 01 m。
（1）求p，q的值。
（2）若这根金属棒受热后长度伸长到2 . 016 m，则这时金属棒的温度是
多少？
{
100p＋q＝2
.
002，
①
解：（1）根据题意，得
500p＋q＝2
.
01
②
。
②
－ ①，得400p＝0
.
008，
解得p＝0
.
000 02。
把p＝0
.
000 02代入①，得0
.
002＋q＝2
.
002，
解得q＝2。
{
p＝0
.
00002，
所以
q＝2
。
答：p＝0 . 000 02 m，q＝2 m。
（2）由（1），得l＝0
.
000 02t＋2。
金属棒受热后，长度伸长到2
.
016 m，即当l＝2
.
016时，
2
.
016＝0
.
000 02t＋2。
解这个一元一次方程，得t＝800。
答：此时金属棒的温度是800 ℃。
第2章 二元一次方程组 61例3 通过对一份中学生营养快餐的检测，得到以下信息：
▶
①快餐的总质量为300 g；
②快餐的成分：蛋白质、脂肪、碳水化合物、矿物质；
③蛋白质和脂肪含量占50 %；矿物质的含量是脂肪含量的2倍；蛋白质
和碳水化合物含量占85 %。
试分别求出营养快餐中蛋白质、脂肪、碳水化合物、矿物质的质量和所
占百分比。
分析：本题所求量有四个，如何设未知数是解决问题的关键。根据第
③条信息，蛋白质和脂肪的含量与其他未知量均有数量关系，所以可以考虑
设它们的含量分别为x（
g
）和y（
g
）。
解：设一份营养快餐中含蛋白质x（
g
），脂肪y（
g
），则含矿物质2y（
g
），
碳水化合物（300×85
%
－x）（
g
）。由题意，得
{
x＋y＝300×50
%
，
（300×85
%
－x）＋2y＝300×50
%
。
{ x＋y＝150， ① 你还能列出怎
化简，得
样的方程组？
－x＋2y＝－105
②
。
①
＋ ②，得3y＝45，
解得y＝15。
所以x＝150－y＝150－15＝135（
g
），
2y＝2×15＝30（
g
），
300×85
%
－x＝255－135＝120（
g
）。
答：营养快餐中蛋白质、脂肪、矿物质、碳水化合物的质量和所占百分比
如下表。
表2-4
成分 蛋白质 脂肪 矿物质 碳水化合物 合计
各种成分的质量/
g
135 15 30 120 300
各种成分所占百分比/
%
45 5 10 40 100
62 数学 七年级下册课内练习
KENEILIANXI
1. 某村有土地58公顷，计划将12公顷山坡地开辟为茶园，其余的土地
19
种植粮食和蔬菜。已知种粮食的土地面积是种蔬菜的 倍，问：计
4
划种粮食和蔬菜的土地面积各为多少公顷？
2. 下表是小红制作的一份记录表，其中空格处的字迹已模糊不清，但小
红记得7：50～8：00时段内的电动车辆数与8：00～8：10时段内的货
车辆数之比是5∶4。根据这些数据，你能把这份记录表填完整吗？
2023年9月10日光明路7：50～～8：10经过车辆记录表
单位：辆
车辆 电动车 公交车 货车 小汽车 合计
7：50～8：00 7 12 44
8：00～8：10 7 8 40
合计 30 20 20
作业题
ZUOYETI
A组 1. 某校举办教师茶话会。若每桌坐12人，则空出一张桌子；若每桌坐
10人，还有10人没有座位。该校有多少名教师？共准备了多少张
桌子？
2. 浙江省山区居民的人均可支配收入水平与全省平均水平的差距持
续缩小。某山区县2012年居民人均可支配收入为全省人均可支配
收入的70 %，2019年达75 %。已知该县2019年居民人均可支配收
入是2012年的2倍少300元，全省2019年人均可支配收入比2012
年增加23 000元。问：该山区县居民人均可支配收入2019年比
2012年增加了多少元？
声音传播的
3. 声音在空气中传播的速度随温度的变化
温度/
℃ 速度/（
m
/
s
）
而变化。科学家已测得一定温度下声音 －20 318
－10 324
传播的速度如右表。如果用v表示声音
0 330
在空气中的传播速度，t表示温度，则v，t
10 336
满足公式：v＝at＋b（a，b为已知数）。求
20 342
a，b的值，并求当t＝15 ℃时v的值。 30 348
第2章 二元一次方程组 63B组 4. 一块锡铅合金，在空气中称得重为115 kg，在水中称得重为103 kg。
已知在空气中15 kg的锡在水中称得13 kg，在空气中35 kg的铅在水
中称得32 kg。这块合金中含锡和铅各多少千克？
5. 通过一次对某校七年级学生的问卷调查，得到如下统计图。已知最
喜爱观看文艺节目的人数比最喜爱观看新闻节目的人数多48人，
则最喜爱观看文艺节目、新闻节目的各有多少人？接受问卷调查的
学生共有多少人？
某校七年级学生最喜爱观看的节目人数的统计图
最喜爱观看新闻节目的人数
°
96
°
144 最喜爱观看文艺节目的人数
° 最喜爱观看体育节目的人数
120
（第5题）
C组 6. 一条铁路线A，B，C三个车站的位置如图所示。已知B，C两车站之
间相距660千米。火车从B站出发，向C站方向匀速行驶，经过
18分钟，距A站150千米；经过2小时，距A站524千米。问：火车从
B站开出多少时间后可到达C站？
A B C
（第6题）
64 数学 七年级下册22..55 三三元元一一次次方方程程组组及及其其解解法法
❶
一副扑克牌共54张。老师将一副扑克牌分给
甲、乙、丙三名学生。甲拿到的牌数是乙的2倍；若
把丙拿到的牌分一半给乙，则乙的牌数就比甲多2
张。老师分给甲、乙、丙各多少张牌？
我们来讨论节前语中的问题。
（1）这个问题中要求的未知数有几个？你能列出关于这些未知数的几
个方程？请试一试。
（2）根据（1）中列出的方程，你能求出问题的解吗？请试一试。
和二元一次方程类似，含有三个未知数，且含有未知数的项的次数都是
一次的方程叫作三元一次方程。由三个一次方程组成，并且含有三个未知
数的方程组叫作三元一次方程组。
同时满足三元一次方程组中各个方程的解叫作这个三元一次方程组的
x＋y＋z＝54，
x＝20， ì
ìïï ïïïï x＝2y，
解。例如，íy＝10，就是三元一次方程组í 的解。
ïï ïïïï 1
î z＝24 îy＋ z＝x＋2
2
和解二元一次方程组一样，解三元一次方程组的基本思想也是消元。
x＋2y－z＝1，
①
ì
ïï
例1 解三元一次方程组í2x－y＋z＝－2， ②
▶ ïï
î x＝y－z
③
。
3y－2z＝1，
{
解：将③分别代入①②，消去x，得
y－z＝－2
。
本套教科书中，带有选学标志的节或习题为选学内容。
❶
第2章 二元一次方程组 65y＝5，
{
解这个二元一次方程组，得
z＝7
。
y＝5，
将 { 代入③，得x＝－2。
z＝7
x＝－2，
ì
所以原方程组的解是íy＝5，
î z＝7
。
3x＋2y＋z＝13，
①
ì
ïï
例2 解方程组íx＋5y＋2z＝7， ②
▶ ïï
î2x＋3y－z＝12
③
。
解：① ＋ ③，得5x＋5y＝25。 ④
①
×2－ ②，得5x－y＝19。
⑤
④
－ ⑤，得6y＝6，所以y＝1
。
将y＝1代入⑤，得x＝4
。
x＝4，
{
再将
y＝
1
代入①，得z＝－1
。
x＝4，
ì
所以原方程组的解是íy＝1，
î z＝－1
。
由例1、例2可见，解三元一次方程组的消元方法也是代入法或加减法，
通过消元将解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一
元一次方程。
课内练习
KENEILIANXI
1. 解下列三元一次方程组：
x＝y＋1， 3a－b＋c＝4，
ì ïï ì
（1）íx＋2z＝－2， （2）í2a＋b－c＝6，
î ïï y－z＝3； î2a＋3b－c＝12
。
2. 甲、乙、丙三人的年龄之和为20岁，甲年龄的2倍比乙的年龄大1岁，
1 1
乙年龄的 等于丙的 。甲、乙、丙三人各几岁？
3 2
66 数学 七年级下册作业题
ZUOYETI
A组 1. 解下列三元一次方程组：
3x－4y＝4， x＝y＋z，
ìïï ìïï
（1）í5x＋2y＋3z= 2， （2）í2x＋2y－3z＝5，
ïï ïï
î z＝2x－7； î x－y－2z＝－3
。
2. 解下列三元一次方程组：
3x－y＋z＝4， a＋2b＋3c＝2，
ìïï ì
（1）í2x＋3y－z＝12， （2）í3a＋b＋15c＝18，
ïï
î x＋y＋z＝6； î4a－9c＝17
。
3. 球类运动室有篮球、排球和足球共26个。已知篮球比排球多1个，排
球与足球个数的和比篮球多6个。这三种球各有多少个？
B组 4. 解下列三元一次方程组：
1 1
a＋b＋c＝2， x－y＝ z，
ì ì2 3
ïï
（1）í3a－b－2c＝0， （2）
íx－y－1＝z，
î a＋2b－c＝－3；
î
ïïïï
4x－5y＋3z＝5
。
5. 已知代数式ax2＋bx＋c。当x＝1时，它的值是0；当x＝－1时，它的
值是－2；当x＝2时，它的值是4。求a，b，c的值。
C组 6. 小红的储蓄罐里有1角、5角和1元的硬币共33枚,其中1角和5角的
硬币数之比为3∶2，5角和1元的硬币数之比为5∶4。请你算一算，
1角、5角和1元的硬币各有多少枚？储蓄罐中共有多少元？
第2章 二元一次方程组 67阅读材料
YUEDUCAILIAO 《九章算术》中的“方程”
《九章算术》的书名由其内容有九章而来，全书分九章，共246题。其中
第八章专论“方程”，是有史以来首次提出“方程”一词。不过，这里的“方程”
与现代数学中的方程概念有所不同，“方”是指把一个算题用算筹列成方阵
的形式“，程”是度量的总称。
“方程”章中有这样一个问题（用现代语言表述）：
3束上等的稻，2束中等的稻，1束下等的稻，共出谷39斗；2束上等的稻，
3束中等的稻，1束下等的稻，共出谷34斗；1束上等的稻，2束中等的稻，3束
下等的稻，共出谷26斗。问：上、中、下三种稻，每束的出谷量各是多少斗？
（斗为旧时容积单位，一斗为十升）
这是一个三元一次方程组的问题。如设上、中、下等三种稻每束的出谷
量分别为x斗，y斗，z斗，由题意可列出三元一次方程组：
3x＋2y＋z＝39，
①
ì
ïï
í2x＋3y＋z＝34，
②
ïï
î x＋2y＋3z＝26
③
。
在《九章算术》中，这个方程组用算筹布成（图2-7），用现代的阿拉伯数
字表示如图2-8。《九章算术》给出的解法是“遍乘直除”法，“除”即“减”，
类似于现在解方程组的加减消
左 中 右
元法，只不过较为烦琐。在书 行 行 行 1 2 3
中，这种解法还用来解四元一 上禾 2 3 2
中禾 3 1 1
次方程组和五元一次方程组，比
下禾 26 34 39
印度婆罗摩笈多（ ，
Brahmagupta
实
③ ② ①
约 ～约 ）的解法早五百
598 655
图2-7 图2-8
多年。
下面的问题也出自《九章算术》（用现代语言表述）：
用卖2头牛、5头羊的钱来买13头猪，还余钱1 000；用卖3头牛、3头猪的
钱来买9头羊，钱刚好够；用卖6头羊、8头猪的钱来买5头牛，钱还差600。
问：每头牛、羊、猪的售价是多少？
你能解决这一问题吗？
68 数学 七年级下册综合实践活动
探寻运动会中可以用方程解决的问题
运动能增强体质、磨炼意志、增强集体荣誉感，学校每年都会举办运动会。运
动会中有许多与数学有关的问题，有些问题可以建立方程模型来解决，如200米、
400米短跑比赛中，确定不同赛道上起跑线的位置；根据工作量，统筹安排裁判员、
工作人员、志愿者的人数和时长；为班级设计队形方阵等。
运动会中，还有哪些问题可以运用方程的知识来解决？和同学一起探究吧。
任务
1. 提出问题：通过实地体验考察、访谈体育老师等，初步了解运动会中可用
数学解决的问题，从中提出可以用方程解决、有意义且富有挑战性的一项。
2. 制订方案：围绕提出的问题，制订研究和实施操作计划，包括获取数据的
途径、方案实施步骤、方程模型和计算方法的选择等。
3. 解决问题：实施研究计划，开展模拟实验，通过实地测量、访谈等方式采集
数据，建立方程模型解决问题。
4. 成果展示：整理用方程解决问题的过程，形成研究性报告。与同学分享探
究过程和成果。
评价与反思
评价：对本组和其他组的探究过程、结果进行评价，提出改进建议。
反思：回顾探究过程中运用的数学知识和方法，反思并改进本小组的研究报告。
第2章 二元一次方程组 69小结与反思
一、知识梳理
本章主要学习二元一次方程和方程组，它和一元一次方程一样，也是刻画现实
世界中相等关系的数学模型。解二元一次方程组的基本思想是消元，通过消元把
解二元一次方程组转化为解一元一次方程。类似地，通过消元，可以把解三元一次
方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一元一次方程。常用的消元法有
代入消元法和加减消元法。用二元一次方程组解决实际问题的关键是找到数量之
间的两个相等关系。数学建模、消元、转化是本章学习和问题解决中常用的思想
方法。
本章学习流程和知识结构如下：
消元
解法 一元一次方程
转化
二元一次方程 二元一次方程组
应用
实际 抽象
------------
消元
问题
三元一次方程 三元一次方程组
二、回顾与反思
1 . 二元一次方程和一元一次方程有哪些共同的特征？有什么区别？
2 . 用消元法能将二元一次方程组转化为什么方程？怎样选择先消去的元？请
举例说明。
3 . 用二元一次方程组解决实际问题，一般有哪些基本步骤？
4 . 在本章的学习中，你还获得了哪些解决问题的方法和经验？有哪些需要注
意的问题？
70 数学 七年级下册目标与评定
A
目目标标 21..14节节2 . 2节
★能根据现实情境理解二元一次方程及其解的意义。
★能根据现实情境理解二元一次方程组及其解的意义。
1. 张奶奶打算在310 cm长的围墙边放花盆种花，现有两种型号的花盆，长分别为
30 cm和40 cm，宽和高均相等。如果将这两种型号的花盆按长边顺次相接，问：
选用这两种花盆各多少个，正好摆满该围墙墙边？如果设选用长30 cm和40
cm
的花盆各a个和b个，你能列出怎样的方程？你能写出几个解？
30 40
cm cm
（第1题）
2. 下列方程中，哪些是二元一次方程？
（1）2x－3y＝5； （2）xy＝3； （3）x＋y＝0；
1 1
（4）x2＋x＝1； （5）3x－y＝2z； （6） x＋ y＝1。
3 2
x＝2，
{
3. 已知 是方程mx＋3y＝1的一个解，那么m的值是 。
y＝－3
4. 根据下表中给出的x（或y）的值填空，使每对数都是二元一次方程3x－2y＝7的解。
1
x 0 －3
2
19
y 4 0 . 5 － 8
5. 某景区有两种游船，甲种游船能载游客8人，乙种游船能载游客5人。一旅游团
52人租用这两种游船共9条，游客入座后，发现甲种游船有两个空座位，乙种游
船刚好坐满。问：该旅游团租用甲、乙两种游船各几条？设分别租用甲、乙两种
游船x条和y条，请列出满足条件的方程组，并求出它的解。
第2章 二元一次方程组 71B
目目标标 21..34节节
★了解解二元一次方程组的基本思想是通过消元，化二元为一元。
★掌握消元法，能解二元一次方程组。
6. 解下列方程组：
{x＝3y－2，
{
2x＝3y－1，
（1） （2）
y＝2x－y； 4y＝2x＋1
。
7. 解下列方程组：
{
3x－13y＝－12，
{
2x－5y＋13＝0，
（1） （2）
x＋3y＝2； 9x＋6y－8＝0
。
8. 已知代数式x2＋bx＋c。当x＝1时，它的值是2；当x＝－1时，它的值是8。
则b＝ ，c＝ 。
{
3x＋5y＝6，
9. 若方程组 的解也是方程3x＋ky＝10的解，则k＝ 。
6x＋15y＝16
{
3x－5y＝2a，
10. 当a为何值时，方程组 的解x，y的值互为相反数？
2x＋7y＝a－18
C
目目标标 21..44节节
★能针对具体问题列出二元一次方程组；能根据具体问题的实际意义，检验二元一
次方程组的解的合理性。
★会用二元一次方程组解决简单的实际问题。
11. 一组同学一起去种树。如果每人种4棵，还剩下3棵树苗；如果每人种5棵，那
么缺少5棵树苗。求这组同学的人数和需种植的树苗数。
12. 在一定高度范围内，地面上空h（ m ）处的气温t与地面气温s有如下关系：t＝
－kh＋s。现用气象气球测得某时刻离地面200 m处的气温t为8 . 4 ℃，离地面
500 m处的气温t为6 ℃。求k，s的值，并计算此时离地面1500 m高空的气温。
13.（我国古代算题）马四匹，牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹，
牛五头，共价三十八两。问：马、牛各价几何？
14. 某市居民每月缴纳的自来水费包括两个项目：每月使用的净水费和同体积水的
1
污水处理费，其中污水处理费的单价（元/立方米）是净水费的 。小华家5月份
4
用了自来水21立方米，共缴纳42元，求净水费和污水处理费每立方米各多
少元。
72 数学 七年级下册15. 根据下列信息，将统计表填完整。
（1）中国工业用水所占百分比是世界工业用水所占百分比的3倍还多3
.
8个百
分点；
（2）中国农业用水所占百分比比中国工业用水所占百分比多42个百分点；
（3）中国生活用水所占百分比比世界生活用水所占百分比少3
.
6个百分点。
人均可再生淡水资源
三类淡水消费所占百分比/
%
地区
/立方米
农业用水 工业用水 生活用水
世界 6521 82 . 5
中国 2134
D
目目标标 21..54节节
★能解简单的三元一次方程组。
16. 解下列三元一次方程组：
x－z＝4， 3x＋4z＝7，
ìïï ìïï
（1）íx＋y－z＝－1， （2）í2x＋3y＋z＝9，
î î
2y－z＝1； x－y＋z＝8
。
17. 已知代数式ax2＋bx＋c。当x＝－1时，它的值为0；当x＝2时，它的值为3；
当x＝5时，它的值为60。求a，b，c的值。
18. 从王老师家到学校全程3 . 3 km，其中有一段上坡路、一段平路和一段下坡路，
王老师每天步行上下班。如果上坡路的平均速度为3 km/h，平路的平均速度
为4
km
/ h，下坡路的平均速度为5 km/h，那么王老师从家到学校需50分钟，从
学校到家需54分钟。求从王老师家到学校的上坡路、平路和下坡路的路程。
第2章 二元一次方程组 73第3章
整式的乘除
2021年10月16日，神舟十三号载人
飞船与空间站组合体完成自主快速交会
对接。三名航天员进驻天和核心舱，中国
空间站开启有人长期驻留时代。假设空
间站组合体环绕地球飞行一周所需时间
为5.5××103秒，行程为4.22××107米，那么
它的速度为每秒多少米?
从一张长为a，宽为b（（a＞b））的长方形
纸片中裁得一张边长为b的正方形纸片，
裁去部分的面积是多少？
本章将学习整数指数幂的基本性质，
整式的乘法和除法。通过本章的学习，我 a
们将找到解决上述问题的方法。
b
b33..11 同同底底数数幂幂的的乘乘法法
光年是长度单位，1光年是指光经
过一年所行的距离。光的速度大约是
3×105 km/s，若 1年以 365天计，则
1光年大约是多少千米？
1
在数学运算或在处理现实世界中数量之间的关系时，经常会碰到同底
数幂相乘的问题。例如，一颗行星与地球之间的距离约100光年，若以千米
为单位，则这颗行星与地球之间的距离大约为
102×3×105×3
.
15×107＝9
.
45×102×105×10（7
km
）。
根据乘方的意义和乘法运算律，请完成下列问题：
（1）23×22是多少个2相乘？
23×22＝（2×2×2）×（2×2）＝ ＝2（ ）＝2（ ）＋（ ）；
（2）102×105＝（ ）×（ ）
＝ ＝10（ ）＝10（ ）＋（ ）；
（3）a4·a3＝（ ）·（ ）＝ ＝a（ ）＝a（ ）＋（ ）。
你发现同底数幂相乘有什么规律？尝试写出你发现的规律，再用几个
具体例子进行检验。
一般地，am·an＝（ a⋅a⋅…⋅a）（ a⋅a⋅…⋅a）＝ a⋅a⋅…⋅a＝am＋n。
m个 n个 （m＋n）个
这样我们就得到同底数幂的乘法法则：
同底数幂相乘，底数不变，指数相加。。
amm··ann＝＝amm＋＋nn（（mm，，nn都是正整数））。。
例1 计算下列各式，结果用幂的形式表示。
▶
（1）78×73； （2）（－2）8×（－2）7； （3）64×6；
（4）x3·x5； （5）32×（－3）5； （6）（a－b）2·（a－b）3。
76 数学 七年级下册解：（1）78×73＝78＋3＝711；
（2）（－2）8×（－2）7＝（－2）8＋7＝（－2）15＝－215；
（3）64×6＝64＋1＝65；
（4）x3·x5＝x3＋5＝x8；
（5）32×（－3）5＝32×（－35）＝－32×35＝－37；
（6）（a－b）2·（a－b）3＝（a－b）2＋3＝（a－b）5。
做一做
ZUOYIZUO
运用同底数幂的乘法法则计算下列各式，并用幂的形式表示结果。
（1）3×33； （2）105×105；
（3）（－3）2×（－3）3； （4）am·a·n at。
例2 我国自主研发的“神威·太湖之光”超级计算机的实测运算速度
▶
达到每秒9
.
3亿亿次。如果按这个速度工作一整天，那么它能运算多少次？
解：9
.
3亿亿次＝9
.
3×108×108次，24小时＝24×3
.
6×103秒。
由乘法的交换律和结合律，得
＝（9 3×108×108）×（24×3 6×103）
. .
＝（9 3×24×3 6）×（108×108×103）
. .
＝803
.
52×1019
≈
8
.
0×102（1 次）。
答：它一天约能运算8
.
0×1021次。
课内练习
KENEILIANXI
1. 运用同底数幂的乘法法则计算下列各式，并用幂的形式表示结果。
（1）27×23； （2）（－3）4×（－3）7；
（3）（－5）2×（－5）3×54； （4）（x＋y）（3 x＋y）。
2. 下面的计算对吗？如果不对，应怎样改正？
（1）a·3 a3＝2a3； （2）a·2 a3＝a6；
（3）a·a6＝a6； （4）（－7）8×73＝－711。
第3章 整式的乘除 77作业题
ZUOYETI
A组 1. 计算下列各式，并用幂的形式表示结果。
（1）103×105； （2）86×82；
（3）（－11）4×11； （4）（－13）3×（－13）7。
2. 下面的计算正确吗？不正确的请改正。
（1）m·5 m＝m5； （2）b3＋b3＝b6；
（3）（－5）4×（－5）4＝58； （4）（－7）4×（－7）3＝77。
3. 计算下列各式，并用幂的形式表示结果。
（1）－24×23×25； （2）a·2 a·5 a4；
（3）x·x·3 x5； （4）（x＋y）（x＋y）2。
4. 1克水中水分子的个数大约是3 . 34×1022个，请估计在相同条件下
1千克水中水分子的个数（结果用科学记数法表示）。
B组 5. 计算下列各式，并用幂的形式表示结果。
（1）7·4（－7）3； （2）（a＋b）·2（b＋a）3。
6. 用科学记数法表示100光年相当于多少千米。
2
根据乘方的意义、同底数幂的乘法法则及乘法的意义填空：
（1）（32）3＝32×32×32＝3（ ）＋（ ）＋（ ）＝3（ ）×（ ）；
（2）（104）2＝104×104＝10（ ）＋（ ）＝10（ ）×（ ）；
（3）（a3）5＝（ ）×（ ）×（ ）×（ ）×（ ）＝a（）＋（）＋（）＋（）＋（）
＝a（ ）×（ ）。
你能归纳出幂的乘方法则吗？
指数相乘
n个
一般地，（am）n＝am ⋅am ·…⋅am （am）n＝amn
n个
＝am＋m＋…＋m 底数不变
＝amn（m，n都是正整数） 图3-1
。
我们可以得到以下幂的乘方法则：
78 数学 七年级下册幂的乘方，底数不变，指数相乘。。
（（am））n＝＝amn（m，n都是正整数）。。 （am）n与（an）m相
等吗？为什么？
例3 计算下列各式，结果用幂的形式表示。
▶
（1）（107）3； （2）（a4）8； （3）［（－3）6］3； （4）（x3）4×（x2）5。
解：（1）（107）3＝107×3＝1021；
（2）（a4）8＝a4×8＝a32；
（3）［（－3）6］3＝（－3）6×3＝（－3）18＝318；
（4）（x3）4×（x2）5＝x3×4×x2×5＝x12×x10＝x12＋10＝x22。
课内练习
KENEILIANXI
1.（口答）计算下列各式，结果用幂的形式表示。
（1）（a3）4； （2）a·3 a4； （3）（bm）2； （4）bm·b2。
2. 下面的计算对吗？如果不对，应怎样改正？
（1）（43）5＝48； （2）（－28）3＝（－2）24；
（3）［（－3）5］3＝－315； （4）（52）4×5＝58。
3. 计算下列各式，结果用幂的形式表示。
（1）（77）7； （2）－（y2）5； （3）（a2）·3 a4；
（4）（b3）2＋（b2）3； （5）［（－10）3］4； （6）［（x＋1）3］4。
探究活动
TANJIUHUODONG
魔方是深受人们喜爱的玩具。设组成魔方（图3-2）的每一
个小立方块（我们称它为基本单元）的棱长为1，那么一个魔方
的体积是33。现在设想以这种魔方为基本单元做一个大魔方
（图3-3），那么这个大魔方的体积能否用3
的正整数次幂表示？怎样表示？如果再以
图3-2
这个大魔方为基本单元做一个更大的魔方
呢？
图3-3
第3章 整式的乘除 79作业题
ZUOYETI
A组 1. 下面的计算对吗？如果不对，应怎样改正？
（1）（a5）2＝a7； （2）t·5 t2＝t10；
（3）［（－5）3］2＝－56； （4）（x3）3＝x6。
2. 计算下列各式，并用幂的形式表示结果。
（1）（25）3； （2）（q6）5；
（3）［（－5）4］3； （4）－3×（32）3。
3. 你能说明下面每一步计算的理由吗？将它们填在括号内。
＝（p2）·3（p5）2
＝p·6 p10 （ ）
＝p6＋10 （ ）
＝p16。
4. 1米＝109纳米，1立方米相当于多少立方纳米？
B组 5. 计算下列各式，并用幂的形式表示结果。
（1）（m2）·2 m； （2）（－2）2×（－23）4。
6. 化简：
（1）x·（x2）·3（x3）2； （2）y·5（y5）2－2·（y5）3。
3
根据乘方的意义、乘法运算律及同底数幂的乘法法则填空：
（1）（4×6）3＝（4×6）·（4×6）·（4×6）
＝（4×4×4）·（6×6×6）
＝4（ ）×6（ ）；
（2）（4×6）5＝
＝4（ ）×6（ ）；
（3）（ab）4＝
＝a（ ）×b（ ）。
你能归纳出积的乘方法则吗？
80 数学 七年级下册n个
一般地，（ab）n＝（ab）·（ab）·…·（ab）
n个 n个
＝（a a … a）·（b b … b）
· · · · · ·
＝anbn（n是正整数）
。
我们可以得到以下积的乘方法则：
（abc）n＝
积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方方，，
（n为正整数）。为什么？
再再把把所所得得的的幂幂相相乘乘。。
（（ab））n＝＝anbn（n为正整数）。。
例4 计算下列各式：
▶
（1）（2b）5； （2）（3x3）6；
( )4
2
（3）（－x3y2）3； （4） ab 。
3
解：（1）（2b）5＝25b5＝32b5；
（2）（3x3）6＝3（6 x3）6＝36x18＝729x18；
（3）（－x3y2）3＝－（x3）（3 y2）3＝－x9y6；
( )4 ( )4
2 2 16
（4） ab ＝ a4b4＝ a4b4。
3 3 81
例5 木星是太阳系八大行星中体积最大的一颗。木星可以近似看
▶
作球体，它的半径大约是7×104 km。求木星的体积（结果精确到1014位）。
4
解：V＝
3π
×（7×104）3
4
＝ ×73×1012
3π
≈
1
.
4×101（5
km
3）。
答：木星的体积大约是1
.
4×1015
km
3。
第3章 整式的乘除 81课内练习
KENEILIANXI
1. 下列计算对吗？如果不对，请改正。
（1）（3a2）3＝27a5； （2）（－a2b）4＝－a8b4。
2. 计算：
（1）（ab）6； （2）（a2y）5；
（3）（x2y3）4； （4）（－a2）3＋3a·2 a4。
3. 填空：
（1）a6y3＝（ ）3； （2）81x4y10＝（
±
）2。
4. 你能口算2 . 59×48吗？结果是多少？
作业题
ZUOYETI
A组 1. 下列计算对吗？如果不对，请改正。
（1）（ab2）3＝ab6； （2）（3cd）3＝9c3d3；
(
1
)3
1
（3）（－3a3）2＝－9a5； （4） － x3y ＝－ x6y3。
3 27
2. 计算下列各式，结果用幂的形式表示。
（1）（2h）5； （2）（－a2）3； （3）（3×105）2； （4）（a2b）6。
3. 填空：
（1）16a8＝（ ）2； （2）－x5＝（ ）3x2；
（3）25×55＝（ ）5＝10（ ）； （4）46×256＝（ ）6＝10（ ）。
4. 请用简便方法计算下列各题。
1
（1）24×54； （2）45×2 . 54； （3）（2×4）5× 215 。
B组 5. 计算：
（1）（－2x2y）3； （2）（a2）·3（ab）3；
（3）［m（2 x＋1）］3； （4）－b（－b）2－（－b）b2。
6. 太阳的半径大约是地球半径的102倍，太阳的体积大约是地球体积的
多少倍？
82 数学 七年级下册33..22 单单项项式式的的乘乘法法
天安门广场位于北京市中心，呈南北向为
长、东西向为宽的长方形，其面积之大在世界上
屈指可数。一位旅行者想估计天安门广场的面
积，他先从南走到北，记下所走的步数为1 100
步；再从东走到西，记下所走的步数为625步。
请思考下面的问题：
（1）如果节前语中旅行者的步长用a（
m
）表示，你能用含a的代数式表
示广场的面积吗？假设这位旅行者的步长为0 . 8 m，那么广场的面积大约是
多少平方米？
（2）通过解决上述问题，你认为两个单项式相乘应怎样运算？运算的
依据是什么？
一般地，单项式与单项式相乘有以下的法则：
单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，其余
字母连同它的指数不变，作为积的因式。。
例1 计算：
▶
5
（1）3b3× b2；
6
（2）（－6ay3）（－a2）；
（3）（－3x）3·（5x2y）；
（4）（2×104）（6×103）×107（结果用科学记数法表示）。
( )
5 5 5
解：（1）3b3× b2＝ 3× （b3×b2）＝ b5；
6 6 2
（2）（－6ay3）（－a2）＝［（－6）×（－1）］（a·a2）·y3＝6a3y3；
（3）（－3x）3·（5x2y）＝（－27x3）·（5x2y）＝－135x5y；
（4）（2×104）（6×103）×107＝（2×6）（104×103×107）
＝12×1014＝1
.
2×1015。
第3章 整式的乘除 83合作学习
HEZUOXUEXI
一幅画的尺寸如图3-4。 m
（1）用两种不同的方法表示这幅画的面积。
（2）用这两种方法表示的面积应当相等，
你能用运算律加以解释吗？
（3）通过上面的讨论，你能总结出单项式
m
与多项式相乘的运算规律吗？
请举例验证你总结的规律是否成立。
（请与你的同伴交流）
一般地，单项式与多项式相乘有以下法则：
单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把
所得的积相加。。
例如，a（b－2m）＝ab－2am。
例2 计算：
▶
( ) ( )
1 1 3
（1）2a2b ab－3ab2 ； （2） x－ xy·（－12y）。
2 3 4
( )
1 1
解：（1）2a2b ab－3ab2 ＝2a2b· ab＋2a2b·（－3ab2）
2 2
＝a3b2－6a3b3；
( ) ( )
1 3 1 3
（2） x－ xy·（－12y）＝ x·（－12y）＋ － xy·（－12y）
3 4 3 4
＝－4xy＋9xy2。
课内练习
KENEILIANXI
1. 计算：
（1）－3a·（2b）； （2）1
.
5x·2（－2x3）；
( ) ( )
3 1
（3） － st2·－ s2t ； （4）（－2a）·3 2ab2。
2 2
b
a
图3-4
84 数学 七年级下册2. 1 cm 3干洁空气中大约有2 . 5×1019个分子，6×103 cm 3干洁空气中大
约有多少个分子？
3. 计算：
（1）－2（a－b＋c）； （2）（x－3y）·（－6x）；
( ) ( )
4 5 1
（3）－3a2 5a2－ a ； （4）4xy x2－3xy－ y2 。
9 12 4
作业题
ZUOYETI
A组 1. 计算：
( )
5
（1）4y·（－2xy2）； （2） － x2·（－4x）；
2
（3）（3m2）·（－2m3）2； （4）（－ab2c3）·2（－a2b）3。
2. 人类发射最多的宇宙飞船是卫星式载人飞船，这种飞船像卫星一样在
离地面几百千米的近地轨道上飞行。如果卫星式载人飞船的飞行速度
大约是7
.
9×103米/秒（物体能环绕地球最低运行轨道运动所需要的
速度，称为第一宇宙速度），那么它飞行6×102秒所行的路程是多少？
3. 计算：
（1）－5x（xy－2y2）；
（2）（3a2b－2ab2）·3ab。
4. 如图，一张长方形纸片的长为a，宽为b（a>b）。 b
若要从中裁得一张边长为b的正方形纸片，则裁 a
去部分的面积是多少？ （第4题）
B组 5. 计算：
（1）2x（2 －3xy2）－x（x2y2－2x）；
( ) ( )
3x x
（2）－2 1－ －4x 2－ 。
2 4
6. 一家农户有农业和非农业两类收入。今年农业收入为x元，非农业
收入为农业收入的2倍。预计明年农业收入将增加a%，非农业收入
将增加2a%，那么预计明年的总收入为多少元？
第3章 整式的乘除 85一间厨房的平面布局如图3-5，我们可以用下面几种方法表示厨房的总
面积：
由图3-6，得总面积为（a＋n）（b＋m）；
由图3-7，得总面积为a（b＋m）＋n（b＋m）或ab＋am＋nb＋nm。
由此，可以得到：
（a＋n）（b＋m）＝a（b＋m）＋n（b＋m）＝ab＋am＋nb＋nm。
利用分配律可将多项式与多项式相乘转化为单项式的乘法。
一般地，多项式与多项式相乘有下面的法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式
的每一项，再把所得的积相加。。
（（a＋＋n））（（b＋＋m））＝＝ab＋＋am＋＋nb＋＋nm。。
m
b
窗口矮柜
右
侧
矮
柜
a n
图3-5 图3-6 图3-7
m
b
am nm
ab nb
a n
m＋b
33..33 多多项项式式的的乘乘法法
人们越来越重视厨房的设计，不少家庭的厨
房会沿墙做一排矮柜，不仅使厨房的空间得到充
分利用，而且便于清理。
1
a＋n
86 数学 七年级下册例1 计算：
▶
（1）（x＋y）（a＋2b）； （2）（3x－1）（x＋3）。
解：（1）（x＋y）（a＋2b）
＝x·a＋x·（2b）＋y·a＋y·（2b）
注意
＝ax＋2bx＋ay＋2by； 多项式与多项
式相乘的结果中如
（2）（3x－1）（x＋3）
果有同类项，要合
＝3x2＋9x－x－3 并同类项。
＝3x2＋8x－3。
2
例2 先化简，再求值：（2a－3）（3a＋1）－6a（a－4），其中a＝ 。
▶ 17
解：（2a－3）（3a＋1）－6a（a－4）＝6a2＋2a－9a－3－6a2＋24a＝17a－3。
2 2
当a＝ 时，原式＝17× －3＝－1。
17 17
课内练习
KENEILIANXI
1. 计算：
（1）（x－1）（x＋1）； （2）（a－b）（c－d）；
（3）（3x＋y）（x－2y）； （4）（2a－5b）（a＋5b）。
2. 化简：（2x－1）（－3x）－（1－3x）（1＋2x）。
3. 先化简，再求值：（x＋3）（x－3）－x（x－6），其中x＝2。
作业题
ZUOYETI
A组 1. 计算：
（1）（3x＋1）（x＋2）； （2）（4y－1）（y－5）；
( ) ( )
5 2 1
（3） 2x－ y x＋ y ； （4）（2a＋b）2。
2 5 2
2. 化简：2（x－8）（x－5）－（2x－1）（x＋2）。
2
3. 先化简，再求值：5x（1－2x）＋（x＋1）（10x－2），其中x＝－ 。
13
4. 一幅宣传画的长为a（ cm ），宽为b（ cm ）。把它贴在一块长方形木板
（第4题）
上，四周刚好留出2 cm的边框宽。请你算一算这块木板的面积。
第3章 整式的乘除 87B组 5. 如图，有一块边长为a的正方形花圃，两横 b
丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁
丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁
一纵、宽度均为b的三条人行通道把花圃分 丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁
丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁
丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁
隔成6块。该花圃的实际种花面积是多少？ 丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁
丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁
丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁
丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁
丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁
丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁
C组 6. 观察下列各式的计算结果与相乘的两个多 丁 丁 丁 丁 丁 丁 丁丁 丁丁 丁 丁 丁 丁 丁丁 丁丁 丁 丁 丁 丁 丁丁 丁丁 丁丁 丁丁 丁 丁 丁 丁 丁丁 丁丁 丁 丁 丁 丁 丁丁 丁丁 丁 丁 丁 丁 丁丁 丁丁 丁 丁 丁 丁 丁 丁 丁 丁 丁丁 丁丁 丁 丁
丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁
丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁
项式之间的关系： 丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁
丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁a丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁
（x＋2）（x＋3）＝x2＋5x＋6；
（x＋4）（x＋2）＝x2＋6x＋8；
（x＋6）（x＋5）＝x2＋11x＋30。
你发现有什么规律？按你发现的规律填空：
（x＋3）（x＋5）＝x2＋（ ＋ ）x＋ × 。
你能很快说出与（x＋a）（x＋b）相等的多项式吗？先猜一猜，再用多
项式相乘的运算法则验证。
2
例3 计算：
▶
（1）（x－2）（x2－4）； （2）（a－b）（a2＋ab＋b2）。
解：（1）（x－2）（x2－4）＝x3－4x－2x2＋8＝x3－2x2－4x＋8；
（2）（a－b）（a2＋ab＋b2）＝a3＋a2b＋ab2－a2b－ab2－b3＝a3－b3。
例4 代数式ab（10a－3b）－（2a－b）（3ab－4a2）的值与a，b的取值有
▶
关吗？请说明理由。
解：ab（10a－3b）－（2a－b）（3ab－4a2）
＝10a2b－3ab2－（6a2b－8a3－3ab2＋4a2b）
＝10a2b－3ab2－6a2b＋8a3＋3ab2－4a2b＝8a3。
因为这个代数式化简后只含字母a，所以这个代数式的值只与字母a的
取值有关，与字母b的取值无关。
例5 解方程：3x（x＋2）－4（x2＋8）＝（x＋1）（1－x）。
▶
解：两边去括号，得3x2＋6x－4x2－32＝x－x2＋1－x。
合并同类项，得－x2＋6x－32＝－x2＋1。
11
化简，得6x＝33，解得x＝ 。
2
b
b
（第5题）
88 数学 七年级下册课内练习
KENEILIANXI
1. 计算：
（1）（x－2）（x2＋3）； （2）（x－1）（x2＋x＋1）；
（3）（2a2＋b）（a＋2b）； （4）（x＋y）（x2＋2xy）。
2. 化简：3x（x2＋2x＋7）－（x2＋7）（3x－5）。
3. 解方程：（x＋11）（x－12）＝x2－100。
作业题
ZUOYETI
A组 1. 计算：
（1）（a＋1）（a2－2）； （2）（2x＋y）（x2＋y）；
（3）（x－2）（x2＋2x＋4）； （4）（a＋b）（a2－ab＋b2）。
2. 化简：（x－1）（2x2－3x＋2）－x（x＋1）（x－2）。
( )
1
3. 已知s＝－3，能否确定代数式（s－2t）（s＋2t＋1）＋4t t＋ 的值？
2
如果能确定，试求出这个代数式的值。
4. 解方程：x（2x－5）－2（x－1）（x＋7）＝0。
B组 5. 有A，B两个长方体，A长方体的长、宽、高分别是x（ cm ），y（ cm ），
z（ cm ），B长方体的长、宽、高分别比A长方体的长、宽、高大1 cm，那
么B长方体的体积比A长方体的体积大多少立方厘米？
6. 观察下列各式的计算结果与相乘的两个多项式之间的关系：
（x＋1）（x2－x＋1）＝x3＋1；
（x＋2）（x2－2x＋4）＝x3＋8；
（x＋3）（x2－3x＋9）＝x3＋27。
你发现有什么规律？按你发现的规律填空：
（x＋4）（x2－4x＋16）＝（ ）3＋（ ）3＝ 。
你能很快说出（x＋y）与（x2－xy＋y2）相乘所得的积吗？你的依据是
什么？
第3章 整式的乘除 89丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁
丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁
丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁
丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁
丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁
丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁
丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁
丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁
丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁
a 丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁
甲
b－a
请计算：（a＋b）（a－b）＝ 。
比较等号两边的代数式，它们在系数和字母方面各有什么特点？
一般地，我们有以下平方差公式：
（（a＋＋b））（（a－－b））＝＝a22－－b22。。
两数和与这两数差的积等于这两数的平方差。。
做一做
ZUOYIZUO
将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，你能根据两个图形
的面积关系直观地说明平方差公式吗？
b
例1 用平方差公式计算：
▶
( ) ( )
1 1
（1）（3x＋5y）（3x－5y）； （2） b＋a － b＋a 。
2 2
解：（1）（3x＋5y）（3x－5y）＝（3x）2－（5y）2＝9x2－25y2；
b－a
a
b
丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁
丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁 丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁
丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁
丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁
乙
b－a
a
b
33..44 乘乘法法公公式式
靠垫是舒适实用的家庭小点缀，一些心灵手巧
的人喜欢自己动手制作靠垫。图中右下角的靠垫面
子用5块布料拼合而成，应用了哪些数学知识？
1
90 数学 七年级下册( ) ( ) ( ) ( ) ( )2
1 1 1 1 1
（2） b＋a － b＋a ＝ a＋ b a－ b ＝a2－ b
2 2 2 2 2
1
＝a2－ b2。
4
例2 用平方差公式计算：
▶
（1）103×97； （2）59
.
8×60
.
2。
解：（1）103×97＝（100＋3）（100－3）＝1002－32＝10000－9＝9991；
（2）59
.
8×60
.
2＝（60－0
.
2）（60＋0
.
2）＝602－0
.
22＝3600－0
.
04＝3599
.
96。
课内练习
KENEILIANXI
用平方差公式计算：
( ) ( )
y y
（1）（2＋a）（a－2）； （2） x＋ x－ ；
3 3
（3）102×98； （4）50
.
5×49
.
5。
作业题
ZUOYETI
A组 1. 用平方差公式计算：
（1）（x＋7）（x－7）； （2）（－m＋11）（－m－11）；
（3）（10s－3t）（10s＋3t）； （4）（－4x＋y）（y＋4x）。
2. 下列计算对吗？如果不对，请改正。
（1）（2b＋a）（a－2b）＝4b2－a2；
（2）（m－n）（－m－n）＝－m2－n2。
3. 用平方差公式计算：
6 1
（1）112×108； （2）10 ×11 。
7 7
4. 一养鸡专业户有一个边长为a（ m ）的正方形养鸡场，计划纵向扩大
3 m，横向缩短3 m，改建成长方形养鸡场。问：改建后的养鸡场面积
有没有变化？如果有变化，面积增大或减小了多少平方米？
B组 5. 用平方差公式计算：
( )( )
（1） 2 a－ 3b 2 a＋ 3b ； （2）5678×5680－56792。
第3章 整式的乘除 91( ) ( )
1 1 1
6. 当x＝ 时，求x（4x＋3）－ 2x＋ 2x－ 的值。
4 2 2
C组 7. 运用平方差公式计算：
（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）＋1。
2
如图3-8，大正方形的边长为a＋b。请用两种不
同的方法计算这个大正方形的面积。通过计算能得出
什么结论？能否用多项式与多项式相乘的法则推导出
这个结论？请试一试。
一般地，我们有以下两数和的完全平方公式：
（（a＋＋b））22＝＝a22＋＋22ab＋＋b22。。
两数和的平方，等于这两数的平方和，加上这两数积的22倍。。
做一做
ZUOYIZUO
用两数和的完全平方公式计算（填空）：
（1）（a＋1）2＝（ ）2＋2（ ）（ ）＋（ ）2
＝ ；
（2）（2a＋3b）2＝（ ）2＋2（ ）（ ）＋（ ）2
＝ 。
如果把（a－b）2写成［a＋（－b）］2，就可以由两数和的完全平方公式写出
两数差的完全平方公式：
（（a－－b））22＝＝a22－－22ab＋＋b22。。
两数差的平方，等于这两数的平方和，减去这两数积的22倍。。
平方差公式和完全平方公式都是常用的乘法公式，合理运用乘法公式
能简化运算。
b
a
a b
图3-8
92 数学 七年级下册例3 用完全平方公式计算：
▶
（1）（x＋2y）2； （2）（2a－5）2；
（3）（－2s＋t）2； （4）（－3x－4y）2。
解：（1）（x＋2y）2＝x2＋2·x·2y＋（2y）2
＝x2＋4xy＋4y2；
（2）（2a－5）2＝（2a）2－2·2a·5＋52
第（3）题和第（4）
＝4a2－20a＋25；
题能直接用两数和
（3）（－2s＋t）2＝（t－2s）2 的完全平方公式计
算吗？
＝t2－2·t·2s＋（2s）2
＝t2－4ts＋4s2；
（4）（－3x－4y）2＝（－3x）2－2·（－3x）·4y＋（4y）2
＝9x2＋24xy＋16y2。
例4 一花农有两块正方形茶花苗圃，边长分别为30 . 1 m，29 . 5 m，现将
▶
这两块苗圃的边长都增加1 . 5 m。求两块苗圃的面积分别增加了多少平方米。
解：设原正方形苗圃的边长为a（ m ），边长增加1 . 5 m后，新正方形的边
长为（a＋1 . 5） m。
（a＋1
.
5）2－a2＝a2＋3a＋2
.
25－a2＝3a＋2
.
25。
当a＝30
.
1时，3a＋2
.
25＝3×30
.
1＋2
.
25＝92
.
55；
当a＝29
.
5时，3a＋2
.
25＝3×29
.
5＋2
.
25＝90
.
75。
答：两块苗圃的面积分别增加了92
.
55
m
2，90
.
75
m
2。
课内练习
KENEILIANXI
1. 用完全平方公式计算：
（1）（3＋x）2； （2）（y－7）2； （3）（7－y）2；
( )2 ( )2
1 1 1
（4）（－2x－3y）2； （5） 3－ t ； （6） m－ n 。
3 2 5
2. 下列各式的计算错在哪里？应怎样改正？
（1）（a－b）2＝a2－b2；
（2）（a＋2b）2＝a2＋2ab＋2b2。
第3章 整式的乘除 93作业题
ZUOYETI
A组 1. 用完全平方公式计算：
（1）（r－h）2； （2）（4x＋3y）2； （3）（－a－b）2；
( )2 ( )2
1 1 2
（4） m－2 ； （5） x－ y ； （6）（2x－2 . 5）2。
2 4 3
2. 选择适当的公式计算：
（1）（2x－1）（－1＋2x）； （2）（－2x－y）（2x－y）；
（3）（－a＋5）（－a－5）； （4）（ab－1）（－ab＋1）。
3. 一块方巾铺在正方形的茶几上，四边刚好都垂下15 cm。如果设方巾
的边长为a，怎样求茶几的面积？请用关于a的多项式表示茶几的面
（第3题） 积。如果a＝100 cm，茶几的面积是多少平方厘米？
B组 4. 化简：
（1）（2x＋1）2－（2x）2； （2）（2a－3b）2－2a（a－b）。
5. 将一张边长为a（ cm ）的正方形纸板的四角各剪去一个边长为x（ cm ）
的小正方形（如图），然后把它折成一个无盖纸盒，求纸盒的容积（纸
板厚度忽略不计，结果要求用关于a，x的多项式表示）。
（第5题）
C组 6. 小红用五块布料制作靠垫面子。如图甲，其中四周的四块由如图乙
的长方形布料裁成相同的四块得到，正中的一块从另一块布料裁得。
正中一块正方形布料应裁取多大的面积（接缝忽略不计）？
甲 乙
（第6题）
b－a2
2a＋b
94 数学 七年级下册33..55 整整式式的的化化简简
h
丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁
丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁
丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁
r
丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁
一根钢管的横截面如图，r表示内半 丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁
丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁
径，h表示钢管的厚度。怎样表示这个横
丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁
截面的面积？ 丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁
丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁
如图3-9，M是AB的中点，点P在MB上。分别 D C
以AP，PB为边，作正方形APCD和正方形PBEF。 F E
设AB＝4a，MP＝b，正方形APCD与正方形PBEF
的面积之差为S。 A MP B
（1）用关于a，b的代数式表示S。
图3-9
1 1
（2）当a＝4，b＝ 时，S的值是多少？当a＝5，b＝ 时呢？
2 4
上述问题（2）你是怎样计算的？怎样计算比较简捷？
（请与你的同伴交流）
与数的运算规则相同，整式的化简也遵循先乘方、再乘除、最后算加减
的顺序。能运用乘法公式的则运用公式，以简化运算过程。
例1 化简：
▶
（1）（2x－1）（2x＋1）－（4x＋3）（x－6）；
（2）（2a＋3b）2－4a（a＋3b＋1）。
解：（1）（2x－1）（2x＋1）－（4x＋3）（x－6）
＝4x2－1－（4x2－24x＋3x－18）
＝4x2－1－（4x2－21x－18）
＝4x2－1－4x2＋21x＋18
＝21x＋17；
（2）（2a＋3b）2－4a（a＋3b＋1）
＝4a2＋12ab＋9b2－4a2－12ab－4a
＝9b2－4a。
第3章 整式的乘除 95例2 甲、乙两家超市3月份的销售额均为a万元。在4月和5月这两
▶
个月中，甲超市的销售额平均每月增长x%，而乙超市的销售额平均每月减
少x%。
（1）5月份甲超市的销售额比乙超市多多少万元？
（2）若a＝150，x＝2，则5月份甲超市的销售额比乙超市多多少万元？
解：（1）由题意，5月份甲超市的销售额为a（1＋x% ）2万元，乙超市的
销售额为a（1－x% ）2万元，则甲、乙两超市的销售额的差为
a（1＋x% ）2－a（1－x% ）2
( ) ( )
2x x2 2x x2
＝a 1＋ ＋ －a 1－ ＋
100 10000 100 10000 如果不用第（1）
题得到的代数式，你
ax
＝ （万元）。 能直接用数的运算求
25
得第（2）题的答案吗？
ax 哪一种比较方便？
答：5月份甲超市的销售额比乙超市多 万元。
25
ax 150×2
（2）当a＝150，x＝2时， ＝ ＝12。
25 25
答：5月份甲超市的销售额比乙超市多12万元。
课内练习
KENEILIANXI
1. 化简：
（1）（x＋6）2＋（3＋x）（3－x）；
（2）3x（x2＋3x＋8）＋（－3x－4）（3x＋4）。
1
2. 当x＝－ 时，求代数式（3x＋5）2－（3x－5）（3x＋5）的值。
2
3. 求出节前语中钢管的横截面面积。
探究活动
TANJIUHUODONG
观察下列各式：
52＝25，152＝225，252＝625，352＝1225，…
你能口算末位数是5的两位数的平方吗？请用完全平方公式说明理由。
96 数学 七年级下册作业题
ZUOYETI
A组 1. 口算（填空）：
（1）982＝ ；
（2）512＝ ；
（3）101×99＝ ；
（4）1－2×51＋512＝ 。
2. 化简：
（1）（2－a）（3＋a）－（2－a）（2＋a）；
（2）（2x－5y）（2x＋5y）－（4x＋y）2；
（3）（x－2y）（x－2y－3）－x（x＋4y－3）。
1
3. 已知x＝ ，求（－3x－1）（3x＋1）＋（－3x－1）（1－3x）的值。
6
4. 有两个圆，较大圆的半径为r（ mm ），较小圆的半径比r小3 mm。求
两圆的面积之差。当r＝10时，面积之差是多少？当r＝15时呢？
( )
( )2 ( )
1 1 1 1
B组 5. 解方程： x＋ － x－ x＋ ＝ 。
4 4 4 4
6. 有两块底面呈正方形的长方体金块，它们的高都为h（ cm ），较大一块
的底面边长比0 . 5 cm大a（ cm ），较小一块的底面边长比0 . 5 cm小
a（
cm
）。已知金块的密度为19
.
3
g/cm
3，两金块的质量相差多少？若
h＝0
.
8，a＝0
.
2呢？
C组 7. 已知x＋y＝3，xy＝1，你能求出x2＋y2的值吗？（x－y）2呢？
第3章 整式的乘除 9733..66 同同底底数数幂幂的的除除法法
一个32 GB❶（❷32
GB
＝225
KB
）的便携式U盘可以存
储的数码照片张数与数码照片文件的大小有关，文件越
大，存储的张数越少。若每张数码照片文件的大小为
211 KB，则这个U盘能存储多少张照片？
1
在解决实际问题时，有时需要用到同底数幂的除法。例如，要想知
道 32 GB的U盘可以存储多少张大小为211 KB的照片，就需要计算225÷
211。请完成以下填空，概括出同底数幂相除的法则。
（ ）×（ ）×（ ）×（ ）×（ ）
（1）25÷23＝ ＝2（ ）＝2（ ）－（ ）；
（ ）×（ ）×（ ）
（ ）×（ ）×（ ）
（2）a3÷a2＝
（ ）×（ ）
＝a（ ）＝a（ ）－（ ）（a
≠
0）。
一般地，同底数幂相除的法则是：
同底数幂相除，底数不变，指数相减。。
am÷÷an＝＝am－－n（a
≠
0，m，n都是正整数，且m＞n）。。
例1 计算：
▶
❷（1）a9÷a3； （2）212÷27；
（－3）11
（3）（－x）4÷（－x）； （4） 。
（－3）8
指数相等的同
解：（1）a9÷a3＝a9－3＝a6；
底数（不为0）的幂相
（2）212÷27＝212－7＝25＝32； 除，商是多少？你能
举个例子说明吗？
（3）（－x）4÷（－x）＝（－x）4－1＝（－x）3＝－x3；
（－3）11
（4） ＝（－3）11－8＝（－3）3＝－27。
（－3）8
GB是计算机存储信息的容量单位。
❶
在没有特别说明的情况下，除式中的字母都不使除式为零。
❷
98 数学 七年级下册例2 计算：
▶
（1）a5÷a4·a2； （2）（－x）7÷x2；
（3）（ab）5÷（ab）2； （4）（a＋b）6÷（a＋b）4。
解：（1）a5÷a4·a2＝a5－4·a2＝a3；
（2）（－x）7÷x2＝（－x）7÷（－x）2＝（－x）7－2＝－x5；
（3）（ab）5÷（ab）2＝（ab）5－2＝（ab）3＝a3b3；
（4）（a＋b）6÷（a＋b）4＝（a＋b）6－4＝（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2。
课内练习
KENEILIANXI
1.（口答）计算：
（1）s7÷s3； （2）x10÷x8；
（3）（－t）11÷（－t）2； （4）（ab）5÷（ab）；
（5）（－3）6÷（－3）2； （6）a100÷a100。
2. 填空：
（1）x·7（ ）＝x8； （2）（ ）·a3＝a8；
（3）b·4 b·3（ ）＝b21； （4）c8÷（ ）＝c5。
3. 计算：
（1）（7＋x）8÷（7＋x）7； （2）（abc）5÷（abc）3；
( ) ( )
7 3
1 1
（3） ÷ － ； （4）y10÷（y4÷y2）。
2 2
4. 请解答本节节前语中提出的问题。
作业题
ZUOYETI
A组 1. 下列计算对吗？为什么？错的请改正。
（1）a6÷a2＝a3； （2）s3÷s＝s3；
（3）（－c）4÷（－c）2＝－c2； （4）（－x）9÷（－x）9＝－1。
2. 计算：
（1）1010÷108； （2）a7÷a5；
（3）（－b）5÷（－b）2； （4）（－5）5÷（－5）3。
第3章 整式的乘除 993. 计算：
（1）（2b）5÷（2b）3； （2）（－ab）3÷（ab）2；
（3）（a－b）5÷（a－b）2； （4）a2m÷am。
4. 一台计算机用104秒做了1016次运算，平均每秒能做多少次运算？
B组 5. 金星是太阳系八大行星中距离地球最近的行星，也是人在地球上看
到的最亮的一颗星。金星与地球的距离为4
.
2×107千米，从金星射
出的光到达地球需要多少时间（光速为3×105千米/秒）？
6. 计算：
（1）（－a）3m÷（－a）m； （2）（a2）4÷a4；
（3）（－x3）6÷（－x2）4； （4）（－a）9÷（a·3 a2）。
2
合作学习
HEZUOXUEXI
1 . 填空：
33 １ １
（1）53÷53＝ ； （2）33÷35＝ ＝ ； （3）a2÷a5＝ 。
35 3（ ） a（ ）
2 . 讨论下列问题：
（1）对于同底数幂相除的法则am÷an＝am－（n a≠ 0），m，n必须满足什么
条件？
（2）要使53÷53＝53－3也能成立，你认为应当规定50等于多少？更一般
地，a0（a≠ 0）呢？
（3）要使33÷35＝33－5和a2÷a5＝a2－5也成立，应当规定3－2和a－3分别等
于什么呢？
（请与你的同伴交流）
规定：
任何不等于零的数的零次幂都等于11。。
a00＝＝11（（a≠≠ 00））。。
任何不等于零的数的－－p（（p是正整数））次幂，等于这个数的p次幂
的倒数。。
100 数学 七年级下册1
a－－p＝ （aa
≠≠
00，pp是正整数）。。
ap
规定了零指数幂与负整数指数幂的意义，就把指数的概念从正整数推
广到了整数。正整数指数幂的各种运算法则对整数指数幂都适用。
例3 用分数或整数表示下列各负整数指数幂的值。
▶
（1）10－3； （2）（－0
.
5）－3； （3）（－3）－4。
1 1
解：（1）10－3＝ ＝ ；
103 1000
1 1
（2）（－0
.
5）－3＝ ＝－ ＝－8；
（－0 5）3 0 125
. .
1 1
（3）（－3）－4＝ ＝ 。
（－3）4 81
例4 把下列各数表示成a×10n（1 ≤a＜10，n为整数）的形式。
▶
（1）12 000； （2）0
.
002 1； （3）0
.
000 050 1。
解：（1）12 000＝1
.
2×104；
1
（2）0
.
002 1＝2
.
1× ＝2
.
1×10－3；
1000
1
（3）0
.
000 050 1＝5
.
01× ＝5
.
01×10－5。
100000
以上表明，有了负指数幂，我们就可以用科学记数法表示绝对值较小的数。
做一做
ZUOYIZUO
将0
.
00005输入计算器，再将它乘以0
.
000007，观察你的计算器的
显示。它是怎样表示计算结果的？与你的同伴交流计算器是怎样表示
绝对值较小的数的。
例5 计算：
▶
（1）950×（－5）－1； （2）3
.
6×10－3；
（3）a3÷（－10）0； （4）（－3）5÷36。
( )
1 1
解：（1）950×（－5）－1＝1× ＝－ ；
－5 5
第3章 整式的乘除 1011
（2）3
.
6×10－3＝3
.
6× ＝3
.
6×0
.
001＝0
.
003 6；
103
（3）a3÷（－10）0＝a3÷1＝a3；
1
（4）（－3）5÷36＝（－3）5÷（－3）6＝（－3）－1＝－ 。
3
课内练习
KENEILIANXI
1. 用分数或整数表示下列各负整数指数幂的值。
（1）100－2； （2）（－1）－3；
（3）7－2； （4）（－0
.
1）－2。
2. 计算：
( )
0
2
（1）76÷78； （2）4－3× ；
3
（3）（－5）－2×（－5）2； （4）a4÷（a·3 a2）（a≠ 0）。
3. 用科学记数法表示下列叙述中蓝色的数。
（1）天体生物学家在一次试验中发现，气球在41000 m高空捕捉到
大批生存的微生物。如果以全球范围计算，那么意味着天天
都有1 000000 g细菌从太空掉到地球上。
显微镜下的红细胞 （ 2 ）红细胞的平均直径是0 . 000008 m。
探究活动
TANJIUHUODONG
填空：
100＝ ； 10－1＝ ；
10－2＝ ； 10－3＝ ；
10－4＝ ； 10－5＝ 。
你发现用10的负整数指数幂表示 0
.
0

0

01这样较小的数有什么规律吗？
…
n个0
请把你总结的规律写下来。
102 数学 七年级下册作业题
ZUOYETI
A组 1. 下列计算对吗？为什么？错的请改正。
（1）（－7）0＝－1； （2）（－1）－1＝1；
（3）8－1＝－8； （4）a·p a－p＝1（a≠ 0）。
2. 用分数或整数表示下列各负整数指数幂的值。
（1）10－4； （2）（－71）－1； （3）（－5）－3；
（4）（－3）－4； （5）（－1）－20； （6）0
.
1－3。
3. 计算：
( )100 ( )100
1 1
（1） － ÷ － ； （2）30×3－2；
5 5
（3）（－4）8÷410； （4）25×2－7。
4. 用小数表示下列各数。
（1）6×10－6； （2）1
.
2×10－3； （3）－4
.
5×10－5。
5. 用科学记数法表示下列叙述中的数据。
（1）空气的密度（单位体积内空气的质量）是0
.
00129
g/cm
3；
（2）氢气的密度是0
.
00009
g/cm
3；
（3）人体的平均密度是1060
kg/m
3；
（4）人体内许多细胞的长度大约只有0 . 01 mm。
B组 6.（1）1微米＝0 . 001毫米，1微米合多少厘米？多少米？（用科学记数
法表示）
（2）1纳米＝10－9米，1纳米合多少微米？多少毫米？多少厘米？（用
科学记数法表示）
C组 7. 世界上最小、最轻的昆虫是膜翅目缨小蜂科的一种卵蜂，体长仅
0
.
021厘米，其质量也只有0
.
000005克。
（1）用科学记数法表示上述两个数据。
（2）一个鸡蛋的质量大约是50克，多少只卵蜂的质量和与这个鸡蛋
的质量相等？
第3章 整式的乘除 10333..77 整整式式的的除除法法
2021年10月16日，神舟十三号载人
飞船与空间站组合体完成自主快速交会
对接。如果中国空间站组合体环绕地球
飞行一周所需的时间为5
.
5×103秒，行程
为4
.
22×107米，那么它的速度为每秒多
少米？
解决节前语中的问题时，你是怎样计算的？由此你能找到计算（3a8）÷
（2a4）的方法吗？计算（6a3b4）÷（3a2b）呢？
本节中，我们将学习整式的除法，包括单项式除以单项式和多项式除以
单项式。我们前面学过的同底数幂相除是单项式相除的特殊情况。
一般地，两个单项式相除，可以转化为系数与系数相除以及同底数幂相
除。例如，
14 a3 b2 x 7 7
（14a3b2x）÷（4ab2）＝
· · ·
＝ a3－1 b2－2 x＝ a2x。
4 a b2 2 · · 2
· ·
我们有以下单项式除以单项式的法则：
单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式；对于
只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。。
例1 计算：
▶
( )
4
（1）－a7x4y3÷ － ax4y2 ；
3
（2）2a2b·（－3b2c）÷（4ab3）。
( )
( 4 ) éêê 4 ùúú 3
解：（1）－a7x4y3÷ － ax4y2 ＝（êê －1）÷ － úú·a7－·1 x4－·4 y3－2＝ a6y；
3 3 4
ë û
3
（2）2a2b·（－3b2c）÷（4ab3）＝［2×（－3）÷4］·a2－1·b1＋2－3·c＝－ ac。
2
104 数学 七年级下册做一做
ZUOYIZUO
先填空，再用适当的方法验证计算的正确性。
（1）（625＋125＋50）÷25
＝（ ）÷（ ）＋（ ）÷（ ）＋（ ）÷（ ）＝ ；
（2）（4a＋6）÷2＝（ ）÷2＋（ ）÷2＝ ；
（3）（2a2－a）÷（－2a）
＝（ ）÷（－2a）＋（ ）÷（－2a）＝ 。
从上述第（2），（3）题的计算中，你能归纳出多项式除以单项式的运
算方法吗？
我们有以下多项式除以单项式的法则：
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，
再把所得的商相加。。
（（a＋＋b＋＋c））÷÷m＝＝a÷÷m＋＋b÷÷m＋＋c÷÷m（（m≠≠ 00））。。
例2 计算：
▶
（1）（14a3－7a2）÷（7a）；
（2）（15x3y5－10x4y4－20x3y2）÷（－5x3y2）。
解：（1）（14a3－7a2）÷（7a）＝（14a3）÷（7a）＋（－7a2）÷（7a）＝2a2－a；
（2）（15x3y5－10x4y4－20x3y2）÷（－5x3y2）
＝（15x3y5）÷（－5x3y2）＋（－10x4y4）÷（－5x3y2）＋（－20x3y2）÷（－5x3y2）
＝－3y3＋2xy2＋4。
课内练习
KENEILIANXI
1. 计算：
（1）（10ab3）÷（5b2）；
（2）3a3÷（6a6）·（－2a4）；
（3）（15x2y－10xy2）÷（5xy）；
（4）（4c3d2－6c2d3）÷（－3c2d）。
第3章 整式的乘除 1052. 填空：
（1）（ ）·3ab2＝－9ab5；
（2）（－12a3bc）÷（ ）＝4a2b；
（3）［3a2－（ ）］÷（－a）＝－3a＋2b；
（4）（ ）·（－2xy）＝4x2y－6xy2。
作业题
ZUOYETI
A组 1. 计算：
（1）（－14s2）÷（8s）； （2）3a5b3c÷（－12a2b）；
（3）（－4a3b2＋8ab3）÷（4ab2）； （4）（5x3－2x2＋6x）÷（3x）。
2. 下列计算错在哪里？应怎样改正？
（1）（12a3b3c）÷（6ab2）＝2ab；
（2）（p5q4）÷（2p3q）＝2p2q3；
（3）（am＋bm＋cm2）÷m＝a＋b＋c；
（4）（2x－4y＋3）÷2＝x－2y＋3。
3. 填空：
（1）（ ）÷（mn）＝3m2；
（2）（ ）·3p2q2＝－5p3q2；
（3）（ ）·2x＝－3x2＋2x－7x3；
（4）（ ）÷（7st2）＝3s＋2t。
4. 一个长方体模型的长、宽、高分别为4a（ cm ），3a（ cm ），2a（ cm ）。某种油
1
漆每千克可漆面积为 2 a（ cm 2），问：漆这个模型需要油漆多少千克？
B组 5. 计算：
（1）（7m2）·（4m3p）÷（7mp）；
（2）－x·（3xy－6x2y2）÷（3x2）。
6. 我们所处的银河系是一个庞大的星系。据科学家探测，银河系的直
径约为97800光年。如果火箭的速度为9×103米/秒，那么火箭从银
河系直径的一端飞到另一端，大约需要多少年（精确到108位）？
106 数学 七年级下册阅读材料
YUEDUCAILIAO
杨辉三角与两数和的乘方
杨辉（13 世纪）是我国南宋时期杰出
一
的数学家，钱塘（今杭州）人，与秦九韶、李
一 一
冶、朱世杰并称“宋元数学四大家”。他在
一 二 一
1261年撰写的《详解九章算法》里记载着类 一 三 三 一
似于图3-10的图表，并说明此图源于北宋时 一 四 六 四 一
一 五 十 十 五 一
期数学家贾宪的“开方作法本源图”。我们
一 六 十 二 十 六 一
五 十 五
把这个表叫作杨辉三角或贾宪三角。
图3-10
在欧洲，法国数学家帕斯卡（ ，
Pascal
1623～1662）于1654年也发现了这一规律。这比我国数学家杨辉的记载晚
了近400年，比贾宪的发现晚了500多年。
我们知道：
（a＋b）1＝a＋b；
（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2。
利用多项式的乘法运算，还可以得到：
（a＋b）3＝（a＋b）（a2＋2ab＋b2）＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3；
（a＋b）4＝（a＋b）（a3＋3a2b＋3ab2＋b3）＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4。
将计算结果中多项式各
（a＋b）1 1 1
项的系数排列成表（简称系
（a＋b）2 1 2 1
数表），如图3-11。
（a＋b）3 1 3 3 1
可以发现，（a＋b）3展开
（a＋b）4 1 4 6 4 1
后的系数1
,
3
,
3
,
1就是杨辉
… …
三角第四行的数字，（a＋b）4 图3-11
展开后的系数1，4，6，4，1就是杨辉三角第五行的数字……实际上，杨辉三角
可以看作两数和的乘方经过分离系数后列出的表。
杨辉三角中的各数还隐含着很多有趣的排列规律，你能再找出一些规
律吗？
第3章 整式的乘除 107小结与反思
一、知识梳理
本章学习了整式的乘法和除法，同底数幂的乘除是整式乘除运算的基础。利
用运算律，多项式的乘法可转化为单项式的乘法，单项式的乘法又转化为系数相乘
和同底数幂的乘法。乘法公式是两个特殊多项式相乘的结果，能使运算更加简便。
本章还规定了零指数和负整数指数幂的意义，把指数的概念从正整数推广到了整
数，使同底数幂的乘除运算转化为幂指数的加、减运算。归纳、演绎、类比、转化、几
何直观等，是本章学习与问题解决中常用的思想方法。
本章学习流程和知识结构如下：
单项式乘单项式
转
化
幂的
整式的乘法 单项式乘多项式
运算
转
化
平方差公式
多项式乘多项式 乘法公式
完全平方公式
单项式除以单项式
转
整式的除法
化
多项式除以单项式
二、回顾与反思
1 . 整数指数幂的运算法则有哪些？怎样用符号语言表示这些法则？
2 . 整式乘法有哪几种类型？举例说明，并说出运算方法。
3 . 本章学习的乘法公式有哪些？请用多项式的乘法法则或图形的面积说明公
式成立。
4 . 零指数幂和负整数指数幂是怎样规定的？举例说明这种规定的合理性。
5 . 整式经过加、减、乘、除运算，得到的结果一定是整式吗？
108 数学 七年级下册目标与评定
A
目目标标 31..14节节
★了解正整数指数幂的意义和基本性质。
★会进行简单的正整数指数幂的计算。
1. 计算：
（1）（－t）6 t2； （2）（a7）6；
·
（3）（a3b2）4； （4）x10－（－x）（x3）3。
2. 计算：［（－x）3］2·（x2）3。
3. 一个立方体的棱长是a3，这个立方体的体积是多少？
B
目目标标 31..24节节33节
.
★能进行简单的整式乘法运算。
4. 我国新一代百亿亿次（ E级）超级计算机“天河三号”原型机自开放应用以来，已
为中国科学院、中国空气动力研究与发展中心等众多单位完成了大规模并行应
用测试。如果按照每秒1百亿亿次的速度工作一整天，它能运算多少次？
5. 计算：
（1）（－x2y5）·（xy）3； （2）4a（a－b＋1）；
（3）（3a＋2）（4a2－1）； （4）3x（3y－x）－（4x－3y）（x＋3y）。
( )
1 1 1
6. 先化简，再求值：（x－2）（3x2－1）－12x x2－ x－3 ，其中x＝－ 。
4 2 5
C
目目标标 31..44节节35节
.
★理解乘法公式（（a＋＋b））（（a－－b））＝＝a2-b2，（（a±±b））2＝＝a2±±22ab＋＋b2。了解公式的几何
背景。
★能利用乘法公式进行简单的计算和推理。
7. 请说明（m＋n）2－4mn＝（m－n）2一定成立的理由。
8. 化简：
（1）（2x－7）（x－1）＋（2x－3）（2x＋3）；
（2）3（m＋1）2－5（m＋1）（m－1）＋2m（m－1）；
（3）（a2－b）2＋2a（ab－1）。
第3章 整式的乘除 1099. 分别准备若干张如图所示的正方形和长方形卡片，用这些卡片拼出新的正方形，
并用不同的方法计算它的面积，验证乘法公式（画出示意图）。
a
b b
a b a
（第9题）
D
目目标标 31..64节节
★了解零指数和负整数指数幂的意义。
★了解整数指数范围内幂的基本性质。
★会进行同底数幂相除的运算。
★会用科学记数法表示绝对值较小的数（（包括在计算器上表示））。
10. 计算：
（1）114÷112； （2）（－5）4÷（－5）6；
（3）（－a）5÷a2； （4）（a－b）4÷（b－a）3。
11. 计算：
( ) ( )－3
0 1
（1） 3 － － ； （2）a×a－1； （3）a4÷a5·（－3a）2。
2
12. 用计算器计算：
( )
－2
2
（1）0
.
5－2×0
.
0115； （2）（－4）3×100－9； （3） － ÷1012。
3
13. 用科学记数法表示下列叙述中蓝色的数：
（1）某种大肠杆菌长度约为00
..
000000000000110099米；
（2）原子的直径一般是00
..
0000000000000011厘米。
E
目目标标 31..74节节
★会进行单项式除以单项式的计算。
★会进行多项式除以单项式的计算。
14. 计算：
（1）（4×1012）÷（－2×1010）； （2）（－6a2b3c）÷（－2ab2）；
（3）（－y3）6÷（－y2）2； （4）（7m2）·（4m3p）÷（7m5）。
110 数学 七年级下册15. 计算：
（1）（8a3b－5a2b2）÷（4ab）；
（2）（12x3－8x2＋16x）÷（8x）。
F
目标
★了解代数推理。
★会综合运用整式的运算解决一些简单的实际问题。
16. 两个奇数的积一定是奇数吗？请说明理由。
17. 中国香港特别行政区的科学家首先研制成世界上最小的纳米硅线，直径只有
1纳米，即10－9米。人体头发的直径大约为0
.
05毫米，问：人体头发的直径大约
是这种纳米硅线直径的多少倍？
18. 某厂生产一种边长为a厘米的正方形地砖，材料的成本价为每平方厘米b元。
如果将地砖的一边扩大3厘米，另一边缩短3厘米，改成生产长方形地砖，这种
长方形地砖每块的材料成本价与正方形地砖相比，是增加了还是减少了？增加
或减少了多少元？
19. 用如图所示的甲、乙、丙三块木板做一个长、宽、高分别为3a厘米，2a厘米和
20厘米的长方体木箱，其中甲块木板锯成两块刚好能做箱底和一个长侧面，乙
块木板锯成两块刚好能做一个长侧面和一个短侧面，丙块木板锯成两块刚好能
做箱盖和剩下的一个短侧面（厚度忽略不计）。
（1）你能用含a的代数式表示这三块木板的面积吗？
（2）如果购买一块长12a厘米，宽120厘米的长方形木板做这个箱子，那么只需
用去这块木板的几分之几？如果a＝15呢？
箱底
箱盖 短侧面
长侧面 长侧面 短侧面
20
2a
甲 乙 丙
3a
（第19题）
第3章 整式的乘除 111第4章
因式分解
生活中经常用到密码。我们可以运
用因式分解的知识设计加密和解密算法，
生成安全性强、不易破解的密码。
把如图所示的卡纸剪开，拼成一张长
方形卡纸，作为一幅精美剪纸的衬底，怎
么剪？
上面的剪拼过程反映了整式的一个
重要变形：
a22－－b22＝＝（（a＋＋b））（（a－－b））。
本章将学习因式分解的概念、方法以
及简单应用。
b
a－b
a
bx
2x2＋3x
x
＋1 =（2x＋1）（x＋1）
1
x
1 x
x
x＋1
1
1
x1
1 ＋
x
x 244..11 因因式式分分解解的的意意义义
在小学时我们学过怎样把一个整数转化为几个
整数的积。在代数中,我们也常常需要把一个多项式
转化为几个整式的积。
前面我们学过整式的乘法，例如两个整式x和x－y相乘的积是x2－xy，
即x（x－y）＝x2－xy。根据等式的性质，可得x2－xy＝x（x－y）。像这样把多项
式x2－xy转化为两个整式x与x－y的积的形式，是一种重要的代数式变形。
观察下列两种代数式变形的例子，它们之间有什么关系？
整式的乘法 多项式转化为几个整式的积
a（a＋1）＝a2＋a a2＋a＝a（a＋1）
（a＋b）（a－b）＝a2－b2 a2－b2＝（a＋b）（a－b）
（a＋1）2＝a2＋2a＋1 a2＋2a＋1＝（a＋1）2
一般地，把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫作因式分解
（
factorization
），有时我们也把这一过程叫分解因式。
做一做
ZUOYIZUO
1. 先写出两个整式相乘（其中至少有一个是多项式）的例子，你能由此得
到相应的多项式的因式分解吗？把结果与你的同伴交流。
2. 下列代数式变形中，哪些是因式分解？
1 1
（1）2m（m－n）＝2m2－2mn； （2） ab2－ab＝ ab（b－2）；
2 2
（3）4x2－4x＋1＝（2x－1）2； （4）x2－3x＋1＝x（x－3）＋1。
因式分解和整式的乘法是过程相反的变形，因此，可以用整式的乘法运
算来帮助我们寻找因式分解的方法，检验因式分解的正确性。
114 数学 七年级下册例 检验下列因式分解是否正确。
▶
（1）x2y－xy2＝xy（x－y）；
（2）2x2－1＝（2x＋1）（2x－1）；
（3）x2＋3x＋2＝（x＋1）（x＋2）。
分析：检验因式分解是否正确，只要看等式右边几个整式相乘的积与
左边的多项式是否相等。
解：（1）因为xy（x－y）＝xy·x－xy·y＝x2y－xy2，所以该因式分解正确；
（2）因为（2x＋1）（2x－1）＝4x2－1
≠
2x2－1，所以该因式分解不正确；
（3）因为（x＋1）（x＋2）＝x2＋2x＋x＋2＝x2＋3x＋2，所以该因式分解正确。
课内练习
KENEILIANXI
1. 检验下列因式分解是否正确。
（1）m2＋nm＝m（m＋n）； （2）a2－b2＝（a＋b）（a－b）；
（3）x2－x－2＝（x＋2）（x－1）。
2. 用简便方法计算下列各题，并说明你的算法。
（1）872＋87×13； （2）1012－992。
作业题
ZUOYETI
A组 1. 下列等式中，哪些从左到右的变形是因式分解？
（1）x＋2y＝（x＋y）＋y； （2）p（q＋h）＝pq＋ph；
（3）4a2－4a＋1＝4a（a－1）＋1； （4）5x2y－10xy2＝5xy（x－2y）。
2. 把相等的代数式用线连起来。
2a2－2a a2＋6a＋9 4－a2 3a2＋12a
（2－a）（2＋a） 2a（a－1） （a＋3）2 3a（a＋4）
3. 检验下列因式分解是否正确。
（1）a3＋a2＋a＝a（a2＋a）； （2）－2a2＋4a＝－2a（a＋2）；
（3）x2＋xy＝x（x＋y）； （4）x2＋x－6＝（x－2）（x＋3）。
B组 4. 用简便方法计算下列各题，并说明你的算法。
（1）242＋24； （2）7
.
52－0
.
52。
第4章 因式分解 115h
b
44..22 提提取取公公因因式式法法
一幢房屋一面墙的形状由一个长
方形和一个三角形组成（如图）。若把
该墙面设计成长方形，面积保持不变，
a
且底边长仍为a，则高度应为多少？
我们知道，m（a＋b）＝ma＋mb，反过来，就有ma＋mb＝m（a＋b）。应用
这一事实，怎样把多项式2ab＋4abc分解因式？
一般地，一个多项式中每一项都含有的相同的因式，叫作这个多项式各
项的公因式。如m是多项式ma＋mb各项的公因式，2ab是多项式2ab＋4abc
各项的公因式。如果一个多项式的各项含有公因式，那么可把该公因式提
取出来进行因式分解。这种分解因式的方法，叫作提取公因式法。
下面讨论如何确定应提取的公因式。
以多项式3ax2y＋6x3yz为例，把各项表示如下：
3ax2y＝3·a·x·x·y，
6x3yz＝2·3·x·x·x·y·z。
另一个因式a＋
显然，为了使提取公因式后，多项式余下的各项
2xz中的a和2xz是
不再含有公因式，应提取的多项式各项的公因式是 如何得到的？
3x2y，所以
3ax2y＋6x3yz＝3x2y（a＋2xz）。
由此我们看到，应提取的多项式各项的公因式必须是各项系数的最大
公因数（当系数是整数时）与各项都含有的相同字母的最低次幂的积。
做一做
ZUOYIZUO
先确定多项式5ab2c＋15abc2各项的公因式，再进行因式分解。
116 数学 七年级下册例1 把下列各式分解因式：
▶
（1）2x3＋6x2；
（2）6pq3＋15p3q； 注意
当首项的系数为
（3）－4x2＋8ax＋2x；
负时，通常应提取负
（4）－3ab＋6abx－9aby。 因数，此时剩下的各
项都要改变符号。
解：（1）2x3＋6x2＝2x（2 x＋3）；
（2）6pq3＋15p3q＝3pq（2q2＋5p2）；
（3）－4x2＋8ax＋2x＝－2x（2x－4a－1）；
（4）－3ab＋6abx－9aby＝－3ab（1－2x＋3y）。
提取公因式法的一般步骤是：
1 . 确定应提取的公因式。
2 . 用公因式去除这个多项式，所得的商作为另一个因式。
3 . 把多项式写成这两个因式的积的形式。
提取公因式后，应使多项式余下的各项不再含有公因式。
例2 把2（a－b）2－a＋b分解因式。
▶
分析：把－a＋b变形成－（a－b），原多项式就转化为2（a－b）2－（a－b）。
若把（a－b）看作整体，原多项式就可以提取公因式（a－b）。
解：2（a－b）2－a＋b＝2（a－b）2－（a－b）
＝（a－b）［2（a－b）－1］
＝（a－b）（2a－2b－1）。
在求解例2时，我们把－a＋b加上括号，变形成－（a－b），而不改变
－a＋b的值，这种方法叫作添括号。一般地，添括号的法则如下：
括号前面添“＋＋”号，括到括号里的各项都不变号；括号前面添
“－－”号，括到括号里的各项都变号。。
课内练习
KENEILIANXI
1. 确定下列多项式的公因式，并分解因式。
（1）ax＋ay； （2）3mx－6nx2； （3）4a2b＋10ab－2ab2。
第4章 因式分解 1172. 添括号（填空）：
（1）1－2x＝＋（ ）；
（2）－x－2＝－（ ）；
（3）－x2－2x＋1＝－（ ）。
3. 下面的因式分解对吗？如果不对，应怎样改正？
（1）2x2＋3x3＋x＝x（2x＋3x2）；
（2）3a2c－6a3c＝3a（2 c－2ac）；
（3）－2s3＋4s2－6s＝－（s 2s2＋4s－6）；
（4）－4a2b＋6ab2－8a＝－2ab（2a－3b）－8a。
4. 解答节前语中的问题。
作业题
ZUOYETI
A组 1. 分解因式：
（1）3a3－2a2＋a＝a（ ）；
（2）－6p3－10p2＋2p＝－2p（ ）。
2. 先写出多项式4a3b2－10a2b3c各项的公因式，然后分解因式。
3. 分解因式：
（1）3x2－9xy； （2）n4－n3；
（3）8ab2－16a3b3； （4）3m2a－12ma＋3ma2。
4. 添括号（填空）：
（1）－x2＋2x－1＝－（ ）；
（2）a2＋4b2－4b＋1＝a2＋（ ）；
（3）2（a＋b）2－a－b＝2（a＋b）2－（ ）。
B组 5. 分解因式：
（1）－8a3p＋12a2p2－16a3；
（2）（2a－b）2－2a＋b。
6. 如图为一隧道横截面的示意图，用关于h，r的多项式
表示隧道横截面的面积。这个多项式能分解因式吗？
若r＝7米，h＝2 π米，计算这个隧道横截面的面积。
（第6题）
h
r
118 数学 七年级下册44..33 用用乘乘法法公公式式分分解解因因式式
单位：m
是
半
环
多
径
形
少
一
为
绿
？
座
化
5 . 5
怎
公
带
m
样
园
的
。
计
建
外
这
算
筑
圆
个
比
的
半
环
较
示
径
形
简
意
为
绿
便
图
化
7
？
如
. 5
带
图
m
的
，
所
内
面
示
积
圆
。
丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁 丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁 丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁 丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁 丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁 丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁 丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁
7
丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁 丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁
.
丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁
5
5
丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁 丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁
.
丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁
5
丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁 丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁 丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁 丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁 丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁 丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁 丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁 丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁 丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁
1
由平方差公式（a＋b）（a－b）＝a2－b2可得：
a22－－b22＝＝（（a＋＋b））（（a－－b））。。
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。。
运用这个公式可以把具有平方差形式的多项式分解因式。
做一做
ZUOYIZUO
下列各式能用公式a2－b2＝（a＋b）（a－b）分解因式吗？a，b分别表
示什么？把下列各式分解因式。
（1）x2－1； （2）m2－9； （3）x2－4y2。
例1 把下列各式分解因式：
▶
（1）16a2－1； （2）－m2n2＋4l2；
9 1
（3） x2－ y4； （4）（x＋z）2－（y＋z）2。
25 16
解：（1）16a2－1＝（4a）2－12＝（4a＋1）（4a－1）；
（2）－m2n2＋4l2＝（2l）2－（mn）2＝（2l＋mn）（2l－mn）；
( )2 ( )2 ( ) ( )
9 1 3 1 3 1 3 1
（3） x2－ y4＝ x － y2 ＝ x＋ y2 x－ y2 ；
25 16 5 4 5 4 5 4
（4）（x＋z）2－（y＋z）2＝［（x＋z）＋（y＋z）］［（x＋z）－（y＋z）］
＝（x＋y＋2z）（x－y）。
一般地，如果一个多项式可以转化为a2－b2的形式，那么这个多项式就
可以用平方差公式分解因式。
第4章 因式分解 119例2 分解因式：4x3y－9xy3。 注意
▶
解：4x3y－9xy3＝xy（4x2－9y2） 多项式的因
式分解要分解到
＝xy［（2x）2－（3y）2］
不能再分解为止。
＝xy（2x＋3y）（2x－3y）。
课内练习
KENEILIANXI
1. 分解因式：
1
（1）25x2－4； （2）121－4a2b2； （3）－ ＋4x2。
9
2. 下列多项式可以用平方差公式分解因式吗？说说你的理由。
（1）4x2＋y2； （2）4x2－（－y）2； （3）－4x2－y2；
（4）－4x2＋y2； （5）a2－4； （6）a2＋3。
3. 分解因式：
（1）4x3－x； （2）a4－81。
作业题
ZUOYETI
A组 1. 分解因式：
（1）25－x2； （2）16a2－9b2；
1
（3）－
4
a2b2＋c2； （4）0
.
01s2－t2。
2. 分解因式：
（1）5a2－20b2； （2）（2n＋1）2－（3n－1）2。
3. 用简便方法计算：
（1）9992－9982； （2）81
.
52－78
.
52。
B组 4. 分解因式：
（1）8a3－2a； （2）a4－81b4； （3）27a3bc－3ab3c。
5. 求节前图中环形绿化带的面积。
6. 运用本节所学知识，把9991分解成两个自然数的积。
1 4
C组 7. 已知x－y＝ ，xy＝ ，求x2y－xy2的值。
2 3
120 数学 七年级下册2
由完全平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2，（a－b）2＝a2－2ab＋b2，可得：
a22＋＋22ab＋＋b22＝＝（（a＋＋b））22；
a22－－22ab＋＋b22＝＝（（a－－b））22。。
两数的平方和，加上（（或者减去））这两数的积的2倍，等于这两
数和（（或者差））的平方。。
我们把多项式a2＋2ab＋b2及a2－2ab＋b2叫作完全平方式。在运用完全
平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式。
例如：
9x2－6x＋1＝（3x）2－2·（3x）·1＋12＝（3x－1）2。
a2 － 2 a b ＋ b2＝（a － b）2
一般地，利用公式a2－b2＝（a－b）（a＋b），或a2±2ab＋b2＝（a±b）2把一
个多项式分解因式的方法，叫作公式法。
做一做
ZUOYIZUO
填写下表：
是不是完全 表示成（a＋b）2或
多项式 a，b各表示什么
平方式 （a－b）2的形式
x2－6x＋9 是 （x－3）2 a表示x，b表示3
4y2＋4y＋1
1＋4a2
1 1
x2＋ x＋
2 4
m2
1＋m＋
4
4y2－12xy＋9x2
第4章 因式分解 121例3 把下列各式分解因式：
▶
（1）4a2＋12ab＋9b2； （2）－x2＋4xy－4y2；
（3）3ax2＋6axy＋3ay2。
解：（1）4a2＋12ab＋9b2＝（2a）2＋2·（2a）·（3b）＋（3b）2＝（2a＋3b）2；
（2）－x2＋4xy－4y2＝－（x2－4xy＋4y2）＝－［x2－2·x·（2y）＋（2y）2］
＝－（x－2y）2；
（3）3ax2＋6axy＋3ay2＝3a（x2＋2xy＋y2）＝3a（x＋y）2。
例4 分解因式：（2x＋y）2－6（2x＋y）＋9。
▶
分析：把（2x＋y）看作一个整体，多项式就是一个关于（2x＋y）的完全
平方式。
解：（2x＋y）2－6（2x＋y）＋9＝（2x＋y）2－2·（2x＋y）·3＋32
＝［（2x＋y）－3］2＝（2x＋y－3）2。
课内练习
KENEILIANXI
1. 分解因式：
（1）9a2－6ab＋b2； （2）－a2－10a－25；
（3）49b2＋a2＋14ab； （4）4x3y＋4x2y2＋xy3；
（5）x4－18x2＋81。
2. 下面的因式分解对吗？为什么？
（1）m2＋n2＝（m＋n）2； （2）m2－n2＝（m－n）2；
（3）a2＋2ab－b2＝（a－b）2； （4）－a2－2ab－b2＝－（a－b）2。
探究活动
TANJIUHUODONG
观察下表，你还能继续往下写吗？
1 1＝12－02
3 3＝22－12
5 5＝32－22
7 7＝42－32
… …
你发现了什么规律？能用因式分解来说明你发现的规律吗？
122 数学 七年级下册作业题
ZUOYETI
A组 1. 按照完全平方公式填空。
（1）a2－10a＋（ ）＝（ ）2；
（2）（ ）＋2ay＋1＝（ ）2；
1
（3） －（ ）＋r2s2＝（ ）2。
4
2. 下列多项式中，哪些是完全平方式？将完全平方式进行因式分解。
（1）m2＋4m＋4；
（2）m2n2－4＋4mn；
x2
（3）x＋1＋ ；
4
（4）9p2－24pq＋16q2。
3. 分解因式：
（1）x2－14x＋49；
（2）－64x2＋16xy－y2；
1
（3）a2＋ab＋ b2；
4
（4）0
.
04a2＋0
.
24a＋0
.
36。
4. 用简便方法计算：20252－4050×2023＋20232。
B组 5. 分解因式：
（1）（a－b）2－10（a－b）＋25；
（2）4a2－3b（4a－3b）。
6. 分解因式：
（1）－ab＋2a2b－a3b；
（2）16m4－8m2n2＋n4。
C组 7. 将4x2＋1再加上一项，使得到的多项式能化为（a＋b）2的形式。你有
几种方法？
第4章 因式分解 123图说因式分解
准备剪刀和一张正方形纸片，记正方形纸片的边长为a。现在进行以下操作。
1
.
从正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，如图4-1，再沿线段AB把纸
片剪开。
2 把剪成的两张纸片拼成如图 - 的长方形。
. 4 2
a b
A
图4-1 图4-2
从上述活动中，你发现了什么代数结论？
请继续进行以下操作。
如图4-3，剪两张边长均为x的正方形纸片，再剪三张长为x，宽为1的长方形纸
片和一张边长为1的正方形纸片。试一试，能否把这些纸片拼成一个长方形？由此
你发现了什么？
b－a
b
a
x x x x x
1
x x 1 1 1 1
图4-3
b
b－a
设计题
SHEJITI
B
124 数学 七年级下册小结与反思
一、知识梳理
本章在整式乘法的基础上学习了因式分解。因式分解与整式乘法是运算过程
相反的一种整式变形，因式分解时，可逆向运用整式乘法法则和乘法公式。因式分
解常用的方法有提取公因式法和公式法。类比、逆向思考是本章学习中常用的思
想方法。
本章学习流程和知识结构如下：
提取公因式法
相反变形
整式乘法 因式分解 平方差公式
公式法
完全平方公式
二、回顾与反思
1 . 举例说明，因式分解和整式的乘法具有怎样的关系？
2 . 因式分解常用的方法有哪几种？运用这些方法时，要注意哪些问题？
3 . 在本章的学习中，你还获得了哪些解决问题的方法和经验？有哪些需要注
意的问题？
第4章 因式分解 125目标与评定
A
目目标标 41..14节节
★了解因式分解的意义。
★了解因式分解与多项式乘法的关系。
1. 下列等式从左边到右边的变形中，哪些是因式分解？
（1）（p－2）（p＋2）＝p2－4；
（2）4x2－4x＋1＝（2x－1）2；
（3）a2＋2ab＋b2－1＝a（a＋2b）＋（b＋1）（b－1）；
（4）（a＋b）（a－b）＋（b－a）＝（a－b）（a＋b－1）。
2. 检验下列因式分解是否正确。
（1）x2＋x－12＝（x－2）（x＋6）；
（2）2a2＋ab－b2＝（2a－b）（a＋b）。
B
目目标标 41..24节节
★能用提取公因式法分解因式。
★理解添括号法则。
3. 分解因式：
（1）8a2bc－4ab； （2）－x2＋3x。
4. 添括号（填空）：
（1）－9a2＋16b2＝－（ ）；
（2）b2－4a2－4a－1＝b2－（ ）；
（3）b－a＋3（a－b）2＝－（ ）＋3（a－b）2。
5. 分解因式：4（a－b）2－8a＋8b。
C
目目标标 41..34节节
★能用平方差公式和完全平方公式分解因式。
6. 下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）。
x2 y2 x2 y2
（
A
）x2＋4y2 （
B
）3x2－4y （
C
）－ ＋ （
D
）－ －
4 9 4 9
126 数学 七年级下册7. 分解因式：
x2 y2
（1） － ；
25 16
1
（2）16x2＋4x＋ 。
4
8. 在等式左边的括号内填上适当的代数式，使之成为完全平方式，再在等式右边的
括号内填入适当的代数式。
（1）x2－（ ）＋16y2＝（ ）2；
（2）16x4＋24x2＋（ ）＝（ ）2。
9. 分解因式：
（1）－3x＋6x2－3x3；
（2）0
.
1a4＋0
.
8a2＋1
.
6。
D
目标
★初步会综合运用因式分解知识解决一些简单的数学问题。
10. 把偶数按从小到大的顺序排列，相邻的两个偶数的平方差（较大的减去较小的）
一定是4的倍数吗？为什么？
11. 贴福字是春节传统习俗。小明准备裁开一张长方
形彩纸，为一幅边长为a的正方形福字作品镶边
（如图），要求四周边宽都为b。他应怎样确定这张
长方形彩纸的长与宽，使得彩纸恰好不浪费（接缝
忽略不计）？
12. 生活中我们经常用到密码，如到银行取款。有一
a b
种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原
（第11题）
理是：将一个多项式分解因式，如多项式x4－y4因
式分解的结果是（x－y）（x＋y）（x2＋y2），当取x＝9，y＝9时，各个因式的值是
x－y＝0，x＋y＝18,x2＋y2＝162,于是就可以把“018162”作为一个六位数密
码。类似地，对于多项式4x3－xy2，当取x＝10，y＝10时，用上述方法可以产生
哪些六位数密码？
第4章 因式分解 127第5章
分式
照相机成像应用了一个重要原理，即
1 1 1
＝＝ ＋＋ （（v≠≠f）），其中f表示照相机镜头
f u v
的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示
胶片（（像））到镜头的距离。如果一架照相
机的f已固定，那么就要依靠调整u，v来
使成像清晰。在f，v已知的情况下，怎样
确定u？
一家工艺品厂按计件方式结算工资。
暑假里,大学生小华去这家工艺品厂打
工，第一天得到工资120元，第二天比第
一天多做了10件，得到工资150元。问：
小华第一天做了多少件？如果设小华第
一天做了x件，你将列出怎样的方程？
上面两个问题与数学中的分式和分
式方程有关。分式和分式方程是描述现
实世界的重要数学模型。本章将学习分
式、分式的基本性质、分式的运算以及分
式方程。55..11 分分式式的的意意义义
为了调查珍稀动物资源，动物专家在
p平方千米的保护区内找到7只灰熊。你
能用代数式表示该保护区平均每平方千
米内有多少只灰熊吗？
3
我们知道，两个整数相除可以表示成分数的形式。例如，3÷5＝ ，11÷7
5
11
＝ 。在整式运算时，两个整式相除也可以表示成类似的形式。例如，b÷a
7
b b 7 2x－3
＝ ，b÷（a＋2）＝ ，7÷p＝ ，（ 2x－
3
）÷（x＋2）＝ 。想一想，这些
a a＋2 p x＋2
代数式有什么共同特点？与整式相比有什么不同？
b b 7 2x－3
， ， ， 这些代数式都表示两个整式相除，且除式中含有字
a a＋2 p x＋2
母。像这样的代数式叫作分式（
algebraic fraction
）。
做一做
ZUOYIZUO
1. 下列代数式中，哪些是整式？哪些是分式？
3 1 b 3x＋2y a＋b
，， ， ， 。
2 x a＋1 5 ab
b 2x－3
2. 分式 的分母中的字母a能取任何实数吗？为什么？分式 中
a x＋2
的字母x呢？
分式中字母的取值不能使分母为零。。当分母的值为零时，分式就
没有意义。。❶
在本套教科书中，如果没有特别说明，分式的字母取值都不使分母为零。
❶
130 数学 七年级下册2x＋1
例1 已知分式 。
▶ 3x－5
（1）当x取什么数时，分式有意义？
（2）当x取什么数时，分式的值是零？
（3）当x＝1时，分式的值是多少？
5
解：（1）当分母等于零时，分式没有意义。由3x－5＝0，得x＝ 。
3
5 2x＋1
所以当x取除 以外的任何实数时，分式 有意义。
3 3x－5
（2）当分子等于零而分母不等于零时，分式的值是零。
1
由2x＋1＝0，得x＝－ 。此时，3x－5
≠
0。
2
1 2x＋1
所以当x＝－ 时，分式 的值是零。
2 3x－5
2x＋1 2×1＋1 3
（3）当x＝1时， ＝ ＝－ 。
3x－5 3×1－5 2
例2 甲、乙两人从一条道路的某处出发，同向而行。已知甲每小时行
▶
a千米，乙每小时行b千米，a＞b。如果乙提前1小时出发，那么甲追上乙需要
多少时间？当a＝6，b＝5时，求甲追上乙所需的时间。
解：由题意，乙先行1小时的路程是1×b＝b（千米），
甲比乙每小时多行（a－b）千米，所以甲追上乙所需的时间是
当a＝5，b＝5时，
b b
b÷（a－b）＝ （时）。 分式 有意义吗？
a－b a－b
在本例中，它表示怎
当a＝6，b＝5时，甲追上乙所需的时间是
样一种实际情境？
b 5 甲能追上乙吗？
＝ ＝5（时）。
a－b 6－5
b
答：甲追上乙需要 小时。当a＝6，b＝5时，甲追上乙需要5小时。
a－b
课内练习
KENEILIANXI
1. 填空：
1
（1）当 时，分式 有意义；
x
1－x
（2）当 时，分式 有意义；
4x－8
第5章 分式 1313x－9
（3）当 时，分式 的值是零。
x－2
2. 有些分式的分母中的字母取任何值，分式都有意义，请写出两个这样
的分式。
3. 甲、乙两人分别从A，B两地出发，相向而行。已知甲的速度为v 千
1
米/时，乙的速度为v
2
千米/时，A，B两地相距20千米。若甲先出发
1小时，则乙出发后多少时间与甲相遇？
作业题
ZUOYETI
A组 1. 判断下列各式是不是分式，并说明理由。
2 x2－2 3x＋4y 3x
， ， ， 。
x 1－x 7 2x＋1
2a－1
2. 当a＝0，1，2时，分别求分式 的值。
a2＋1
x－1
3.（1）要使分式 有意义，x的取值应满足 ；若分式
2x＋1
x－1
的值为0，则x的值是 。
2x＋1
x－a
（2）当x＝2时，分式 没有意义，则b＝ 。
x＋b
x－2
4. 要使分式 有意义，x的取值应满足 。
（x－1）（x－2）
5. 已知汽车的速度为v千米/时，甲、乙两地的路程是s千米。
（1）该汽车行驶t小时的路程是 千米，从甲地到乙地需要行
驶 小时。
（2）如果该汽车的速度加快a千米/时，那么从甲地到乙地需行驶
小时，加快后比加快前少用 小时。
2a＋3b
B组 6. 当a＝－2，b＝2时，求分式 的值。
b－a
7. 某工厂原来每天需用煤q（q＞1）吨，从现在开始，计划每天节省1吨
煤，则剩余的p吨煤可用多少天？当p＝10，q＝3时可用几天？
132 数学 七年级下册55..22 分分式式的的基基本本性性质质
一艘游轮在海上匀速航行，如果航
行30海里需要a小时，这艘游轮的速度
如何表示？经过na小时后，游轮航行
30n海里，游轮的速度用含a，n的代数式
又可以怎样表示？
1
合作学习
HEZUOXUEXI
如图5-1，有若干张如图①所示的小长方形纸片，设它的面积为S，长为
x，则它的宽为多少？用n张这样的小长方形纸片拼成如图②的长方形，它的
长是nx，则它的宽可以怎样表示？用（n＋3）张呢？
由此能写出哪些相等的分式？你有什么发现？
（请与你的同伴交流）
x nx （n＋3）x
？ S ？ nS … ？ （n＋3）S …
① ② ③
图5-1
我们已经知道，分数的分子与分母都乘或除以同一个不等于零的数，分
2 2×5 10 16 16÷2 8
数的值不变。例如，＝ ＝ ； ＝ ＝ 。
3 3×5 15 42 42÷2 21
类似地，分式也有下面的基本性质：
分式的分子与分母都乘（（或除以））同一个不等于零的整式，分式的值
不变。。
A
＝
A×M
，，
A
＝
A÷M
（其中M是不等于零的
B B×M B B÷M
下列等式成立
整式）。。 吗？为什么？
x 1 b ab x＋2 1 －a ＝ a ；
例如， ＝ ；＝ ； ＝ 。 －b b
2x 2 a a2（x＋2）2 x＋2
－a a a
＝ ＝－ 。
分式的基本性质是进行分式化简和运算的依据。 b －b b
第5章 分式 133做一做
ZUOYIZUO
1. 不改变分式的值，把下列分式的分子与分母中各项的系数都化为
整数。
1
x＋ y
（1） 3 ； （2） 0 . 2a＋0 . 5b 。
1 0.7a－b
x－y
2
2. 不改变分式的值，把下列分式的分子与分母的最高次项的系数都化为
正数。
－2x－1 3－x
（1） ； （2） 。
x－1 －x2＋2
例1 化简下列分式：
▶
－8ab2c a2＋4a＋4
（1） ； （2） ；
－12a2b －a2＋4
2x2－16x＋32
（3）
8－2x 。
－8ab2c －4ab（2bc） 2bc
解：（1） ＝ ⋅ ＝ （根据什么？）；
－12a2b －4ab（ 3a） 3a
⋅
a2＋4a＋4 （a＋2）2 a＋2
（2） ＝－ ＝－ ；
－a2＋4 （a＋2）（a－2） a－2
2x2－16x＋32 2（x2－8x＋16）（4－x）2
（3） ＝ ＝ ＝4－x。
8－2x 2（4－x） 4－x
把一个分式的分子和分母的公因式约去，叫作分式的约分。约分要约去
分子、分母所有的公因式。分子、分母没有公因式的分式叫作最简分式。例
2bc a＋2
如， ，－ 都是最简分式。
3a a－2
课内练习
KENEILIANXI
1. 不改变分式的值，使下列分式的分子与分母都不含“－”号。
－a －3x －x2
（1） ； （2） ； （3）－ 。
－2b 2y 2a
134 数学 七年级下册2. 不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项系数都是
正数。
1－3x －x2－2x＋3
（1） ； （2） 。
－x－2 x＋1
3. 用分式表示下列各式的商，并约分。
（1）4a2b÷（6ab2）； （2）（3x2＋x）÷（x2－x）。
作业题
ZUOYETI
A组 1. 填空。
2y （ ） ab＋b2 a＋b
（1） ＝ ； （2） ＝ 。
x＋2 3（x＋2）2 ab2＋b （ ）
2. 不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数化为整数。
1
（1） a＋ 3 b ； （2） 0 . 03a－0 . 2b 。
2
a－2b
0
.
08a＋0
.
5b
5
3. 不改变分式的值，使下列分式的分子与分母中x的最高次项系数都
是正数。
2x＋1－x2 －1－3x＋x2
（1） ； （2） 。
－3－2x 2－x2
4. 约分：
－2x3y x2－y2
（1） ； （2） ；
4x2y2 y－x
2x2－10x a2＋6a＋9
（3） ； （4） 。
x2－10x＋25 a2－9
B组 5. 用分式表示下列各式的商，并约分。
（1）14ab÷（－21ab2）；
（2）（3a2＋a）÷（1＋6a＋9a2）。
6. 某市的生产总值从2020年到2023年持续增长，假设每年的增长率都
为p。求2023年该市的生产总值与2021年、2022年这两年生产总值
之和的比。若p＝5 %，这个比值是多少（精确到0
.
01）？
第5章 分式 1352
x2－3xy＋y2
例2 已知x－3y＝0，求分式 的值。
▶ x2＋y2
解：由已知x－3y＝0，得x＝3y。
x2－3xy＋y2 （3y）2－3·3y·y＋y2
所以 ＝ ⋅ ⋅
x2＋y2 （3y）2＋y2
你还有其他解
9y2－9y2＋y2
＝ 法吗？
9y2＋y2
y2 1
＝ ＝ 。
10y2 10
利用分式的意义和分式的约分，还可以进行一些多项式的除法运算。把
两个多项式相除先表示成分式，然后通过分解因式、约分等把分式化简，用整
式或最简分式表示所求的商。
例3 计算：
▶
（1）（4x2－9）÷（3－2x）； （2）（9a2＋6ab＋b2）÷（9a2b－b3）。
4x2－9 （2x＋3）（2x－3）
解：（1）（4x2－9）÷（3－2x）＝ ＝
3－2x 3－2x
＝－（2x＋3）＝－2x－3；
9a2＋6ab＋b2 （3a＋b）2
（2）（9a2＋6ab＋b2）÷（9a2b－b3）＝ ＝
9a2b－b3 b（3a＋b）（3a－b）
3a＋b 3a＋b
＝ ＝
b（3a－b） 3ab－b2。
课内练习
KENEILIANXI
x－y
1. 已知x＝2y，求分式 的值。
2x＋y
x2＋2xy
2. 已知3x－4y＝0，求分式 的值。
3x2－y2
136 数学 七年级下册3. 计算：
（1）（3ab2－2a2b）÷（2a－3b）；
（2）（4a3b－12a2b2＋9ab3）÷（4a2－9b2）。
作业题
ZUOYETI
A组 1. 计算：
（1）（x3＋2x2）÷（x＋2）；
（2）（3a2b－6ab2）÷（2b－a）。
a2＋3b
2. 已知3a－b＝0，化简分式 。
2b－3a
4xy＋y2
3. 已知4x－5y＝0，求分式 的值。
x2－2xy
4. 如图，圆环与长方形的面积相等，求长方形的宽。
a
2r
2r＋a
（第4题）
B组 5. 计算：（a4－8a2＋16）÷（a2＋4a＋4）。
1 1
6. 已知x－ ＝2，求x2＋ 的值。
x x2
1 1 3x－2xy＋3y
C组 7. 已知 ＋ ＝3，求分式 的值。
x y x＋xy＋y
第5章 分式 13755..33 分分式式的的乘乘除除
火车提速后，平均速度v提高到
原来的x倍。那么火车行驶同样的
路程s，时间可缩短到原来的几分
之几？
在解决实际问题时，有时要用到分式的乘除运算。例如，求节前语中时
s s
间可缩短到原来的几分之几，我们可列出算式 ÷ 。
xv v
让我们先回顾分数的乘除法法则。
做一做
ZUOYIZUO
1. 根据分数的乘除法法则计算：
( 2) 4 7 14
（1） － × ； （2） ÷ 。
3 5 6 9
2. 请对照上面分数的计算，完成下列填空：
3 z b 2
（1） · ＝ ； （2） ÷ ＝ 。
x y 3a ab
分数的乘除法法则可以推广到分式的乘除运算。分式的乘除法法则：
分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母；分
式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。。
a c ac a c a d ad
·· ＝＝ ；； ÷÷ ＝＝ ·· ＝＝ 。。
b d bd b d b c bc
例1 计算：
▶
7b 8a3
（1） · ；
6a2 7b2
( )
3b2
（2）2ab÷ － ；
a
138 数学 七年级下册a2＋2a a2－4
（3） ÷ ；
a2－6a＋9 a2－3a
m2－16
（4） ÷（m2＋4m）。
12－3m
7b 8a3 7b·8a3 4a
解：（1） · ＝ ＝ ；
6a2 7b2 6a·2 7b2 3b
( ) ( )
3b2 a 2ab·a 2a2
（2）2ab÷ － ＝2ab·－ ＝－ ＝－ ；
a 3b2 3b2 3b
a2＋2a a2－4
（3） ÷
a2－6a＋9 a2－3a
a（a＋2） a（a－3）
＝ ·
（a－3）2 （a＋2）（a－2）
注意
a2
＝ 整式与分式
（a－3）（a－2）
运算时，可以把整
a2 式看成分母是1的
＝ ；
a2－5a＋6 式子。
m2－16
（4） ÷（m2＋4m）
12－3m
（m＋4）（m－4） 1
＝ ·
3（4－m） m（m＋4）
1
＝－ 。
3m
例2 一个长、宽、高分别为l，b，h的长方体纸箱恰好装满了一层高为
▶
h的圆柱形易拉罐（如图5-2）。求纸箱空间的利用率（易拉罐总体积与纸箱
容积的比，结果精确到1
%
）。
r
图5-2
h
l
r
…
…
…
…
… … … … …
b
第5章 分式 139解：如图5-2，设易拉罐的底面半径为r，由题意得，易拉罐的总数为
l b lb
× ＝ （个）。
2r 2r 4r2
由于纸箱的高度与易拉罐的高度相等，因此易拉罐所占空间的总体积
( )
lb lb· πr·2 h
π
与纸箱的容积之比为 · πr·2 h ÷（lb·h）＝ ＝ ≈79%
4r2 4r·2 lb·h 4 。
答：纸箱空间的利用率约为79 %。
课内练习
KENEILIANXI
1. 下面的计算对吗？如果不对，应怎样改正？
－x 6b 3b
（1） · ＝ ；
2b x2 x
4x a 2
（2） ÷ ＝ 。
3a 2x 3
2. 计算：
x－y
（1）（xy－x2）÷ ；
xy
4x2－1 x＋1 1
（2） · ÷ 。
x2＋x 1－2x x
作业题
ZUOYETI
A组 1. 下面的计算对吗？如果不对，请改正。
b a b
（1） · ＝1； （2） ÷a＝b。
a b a
2. 计算：
3a 16b3 －3ab 21b
（1） · ； （2） ÷ ；
4b2 9a2 4x2y 10xy
2y2 x＋y
（ 3 ）－ 3xy÷ ； （ 4 ） ÷（xy＋x2）。
3x x－y
x2－10x＋25 5－x
3. 计算： ÷ 。
x－1 x2－1
11
4. 解答节前语中的问题。当x＝ 时，答案是多少？
7
140 数学 七年级下册B组 5. 计算：
(
b
)2 (
ax
)
6a
（1） ÷ － × ；
2ax 3b b
x 1
（2） ÷ 。
4x2－4x＋1 2x2－x
6. 把同样多的花种撒播在甲、乙两块土地上（如图中蓝色区域）。求
5
甲、乙两块土地的撒播密度之比。如果a＝ b，那么哪一块地的
3
( )
花种数量
撒播密度较大 撒播密度＝ ？
撒播面积
C组 7. 你听说过著名的牛顿万有引力定律吗？任何两个物体之间都有吸引
力。如果设两个物体的质量分别为m，m，它们之间的距离是d，那
1 2
m m
么它们之间的引力就是F＝G· 1 2（G为常数）。人在地面上所受
d2
的重力近似地等于地球对人的引力，此时d就是地球的半径R。站在
月球上的人所受的月球重力将是他在地球表面上所受地球重力的几
10
分之几？（参考数据：月球的质量约是地球质量的 ，月球的半径约
801
100
是地球半径的 ）
367
a
单位：m
b
a
甲
b
1
）b＋a（
2
1
（a＋b）
2
乙
（第6题）
第5章 分式 14155..44 分分式式的的加加减减
台风中心距A市s千米，正以b千米/时的速度向A
市移动。救援车队从B市出发前往A市，速度为台风中
心移动速度的4倍。已知A，B两地的路程为3s千米，救
援车队能否在台风中心到来前赶到A市？
1
在解决数学或实际问题时，还经常会遇到分式的加减运算。例如，要解
s 3s s 3s
决节前语中的问题，需比较 与 的大小，即计算 － 。
b 4b b 4b
在小学里，我们学过分数的加减。当两个分数的分母相同时，只要将它
们的分子相加减，分母不变。请根据这一法则计算：
1 2 5 3
＋ ＝ ； － ＝ 。
7 7 10 10
这一法则可以推广到分式运算中。同分母分式相加减有以下的法则：
同分母的分式相加减，分式的分母不变，把分子相加减。。
a b a±b
± ＝＝ 。。
c c c
做一做
ZUOYIZUO
1 3 x－1 x
计算 ＋ ， － ，并分别取a＝3，x＝4，检验你的计算是否正确。
a a x＋1 x＋1
例1 计算：
▶
a＋3b a－b 2xy2＋1 1＋2x2y
（1） ＋ ； （2） － 。
a＋b a＋b （x－y）2 （y－x）2
a＋3b a－b a＋3b＋a－b 2（a＋b）
解：（1） ＋ ＝ ＝ ＝2；
a＋b a＋b a＋b a＋b
142 数学 七年级下册2xy2＋1 1＋2x2y 2xy2＋1－（1＋2x2y）
（2） － ＝
（x－y）2 （y－x）2 （y－x）2
2xy2＋1－1－2x2y 2xy2－2x2y 2xy（y－x） 2xy
＝ ＝ ＝ ＝ 。
（y－x）2 （y－x）2 （y－x）2 y－x
x2－1 x－1
例2 先化简，再求值： ＋ ，其中x＝3。
▶ x2－2x 2x－x2
x2－1 x－1 x2－1－（x－1） x2－1－x＋1
解：原式＝ － ＝ ＝
x2－2x x2－2x x2－2x x2－2x
x2－x x（x－1） x－1
＝ ＝ ＝ 。
x2－2x x（x－2） x－2
x－1 3－1
当x＝3时，原式＝ ＝ ＝2。
x－2 3－2
课内练习
KENEILIANXI
1.（口算）计算：
3 12 15 1 －3
（1） ＋ － ； （2） － ；
a a a m m
a a y x
（3） － ； （4） － 。
x－y y－x x－y x－y
2. 计算：
a2 b2 2a b
（1） － ； （2） ＋ ；
a－b a－b 2a－b b－2a
4 x＋2 a－c b－c
（3） ＋ ； （4） － 。
x－2 2－x a2－b2 a2－b2
作业题
ZUOYETI
A组 1. 下列运算对吗？如果不对，请改正。
1 2 3 x y
（1） ＋ ＝ ； （2） － ＝1；
a a 2a x－y y－x
1 2 1 1
（3）1＋ ＝ ； （4） － ＝0。
a a a－b b－a
2. 计算：
x＋y x－y x2＋xy x2－xy
（1） ＋ ； （2） － 。
x x xy xy
第5章 分式 1433. 计算：
1 3 a b
（1） ＋ ； （2） － 。
－a a （a－b）2 （b－a）2
4. 请解决本节节前语所提出的问题。
x2 1 3
B组 5. 先化简，再求值： ＋ ，其中x＝－ 。
x－1 1－x 2
5x－7 4x－10
6. 计算： － 。
x2＋3x x2＋3x
2
7 5
怎样把 － 化为同分母的分数相加减？
12 8
异分母分数加减时，要将异分母化为同分母，再按同分母的分数加减法
则进行计算。
类似地，我们可以把异分母的分式相加减化为同分母的分式相加减。
例如：
1 1 b a b＋a
＋ ＝ ＋ ＝ ；
a b ab ab ab
b b b 2ab b－2ab
－ ＝ － ＝ 。
2a2 a 2a2 2a2 2a2
把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫作通分。经过通分，
异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减，然后按同分母分式的加减
法则进行计算。
通分时，一般取各分母的系数的最小公倍数与各分母所有字母的最高
次幂的积为公分母。
例3 计算：
▶
7 1 x x x2
（1） － ； （2） － ； （3）x－2－ 。
6x2y 3xy2 x－3 x－2 x＋2
解：（1）取6x2y2为公分母，则
7 1 7y 2x 7y－2x
－ ＝ － ＝ ；
6x2y 3xy2 6x2y2 6x2y2 6x2y2
144 数学 七年级下册（2）取公分母为（x－3）（x－2），则
x x x（x－2） x（x－3）
－ ＝ －
x－3 x－2 （x－3）（x－2） (x－3）（x－2）
x（x－2）－x（x－3） x2－2x－x2＋3x
＝ ＝
（x－3）（x－2） （x－3）（x－2）
x
＝ ；
x2－5x＋6
（3）取公分母为x＋2，则
x2 （x－2）（x＋2） x2 x2－4－x2 4
x－2－ ＝ － ＝ ＝－ 。
x＋2 x＋2 x＋2 x＋2 x＋2
4 1
例4 计算： ＋ ，并求当a＝－3时原式的值。
▶ a2－4 2－a
4 1 4 1
解： ＋ ＝ －
a2－4 2－a （a－2）（a＋2） a－2
4 a＋2
＝ －
（a－2）（a＋2）（a－2）（a＋2）
4－（a＋2） 2－a
＝ ＝
（a－2）（a＋2）（a－2）（a＋2）
1
＝－ 。
a＋2
1
当a＝－3时，原式＝－ ＝1。
－3＋2
课内练习
KENEILIANXI
1. 计算：
b2 c 1
（1） － ； （2）1－ 。
4a2 a x＋1
1 m－2
2. 计算： ＋ ，并求当m＝3时原式的值。
m2－m 2m2－2
( )
x x 2－x
3. 用两种不同的运算顺序计算： － · 。
x－2 x＋2 x
第5章 分式 145探究活动
TANJIUHUODONG
商店通常用以下方法来确定两种糖混合销售的价格：设A种糖的单价为a元/
千克，B种糖的单价为b元/千克，则m千克A种糖和n千克B种糖混合销售的单价
ma＋nb
为 元/千克（平均价）。现有甲、乙两种混合方法：甲将10千克A种糖和10
m＋n
千克B种糖混合，乙将100元A种糖和100元B种糖混合，则按哪一种混合方法销
售的单价较高？为什么？
作业题
ZUOYETI
A组 1. 计算：
1 1 5 3
（1） ＋ ； （2） － ；
R R 12a2 8ab
1 2
x＋2 x＋1 a－1 1
（3） － ； （4） － 。
x＋1 x＋2 a＋1 a
2. 计算：
2a 1 a＋2 a＋4
（1） － ； （2） － 。
a2－4 a－2 a2－2a a2－4
x－3 x
3. 计算： ＋ ，并求当x＝2时原式的值。
x2＋6x＋9 9－x2
4. 某工程队要修路m米，原计划每天修n米，实际每天多修了p米，结果
提前完成了任务。问：提前了多少天？
B组 5. 计算：
( )
a b a2＋b2 3x x x2－4
（1） － － ； （2） － · 。
b a ab x－2 x＋2 x
6. 一项工作由甲单独做，需a天完成；如果甲、乙两人合做，则可提前2
天完成。乙每天可完成这项工作的几分之几？
146 数学 七年级下册55..55 分分式式方方程程
某地电信公司调低了电话费收费标准，每分钟
费用降低了25 %。因此，按原收费标准6元话费的
通话时间，在新收费标准下可多通话10分钟。前
后两种收费标准每分钟收费各是多少？
1
合作学习
HEZUOXUEXI
思考节前语所提出的问题。
（1）等量关系是什么？
（2）如果设原来的收费标准是x元/分，那么可列怎样的方程？
（3）该方程与我们已学过的一元一次方程有什么不同？
（请与你的同伴交流）
4 3 1 2 x＋3 2 1
观察 － ＝5， － ＝1， ＝ ，x＋ ＝2，像这样只含分式，或分
x x 2x 3x x＋2 3 x
式和整式，并且分母里含有未知数的方程叫作分式方程（
equation with alge⁃
braic fraction
）。
做一做
ZUOYIZUO
下列方程中，哪些是分式方程？为什么？
x－1 1
（1）2x＋ ＝10； （2）x－ ＝2；
5 x
1 2x x－1
（3） －3＝0； （4） ＋ ＝0。
2x＋1 3 2
x＋3 2
例1 解分式方程： ＝ 。
▶ 2x－3 7
分析：如果方程的两边同乘7（2x－3），就可以把分式方程转化为一元
一次方程来解。
第5章 分式 147解：方程的两边同乘7（2x－3），得7（x＋3）＝2（2x－3）。
去括号，得7x＋21＝4x－6。
移项，合并同类项，得3x＝－27，解得x＝－9。
把x＝－9代入原方程检验：
－9＋3 －6 2
左边＝ ＝ ＝ ＝右边。
2×（－9）－3 －21 7
所以x＝－9是原方程的根。
通过去分母把分式方程化归为整式方程求解，是解分式方程的主要思
想方法。
2－x 1
例2 解方程： ＝ －2。
▶ x－3 3－x
解：方程的两边同乘（x－3），得2－x＝－1－2（x－3）。
化简，得x＝3。
把x＝3代入原方程检验，结果使原方程中分式的分母的值为0，分式没
有意义，所以x＝3不是原方程的根，原方程无解。
当分式方程含有若干个分式时，通常可用各个分式的公分母同乘方程
的两边进行去分母。
必须注意的是，解分式方程一定要验根，即把求得的根代入原方程，或
者代入原方程两边所乘的公分母，看分母的值是否为零。使分母为零的根
我们说它是增根。如例2中的x＝3。增根使分式方程无意义，应该舍去。
课内练习
KENEILIANXI
1. 解下列方程：
2x－3 1 6 3
（1） ＝ ； （2） ＝ 。
x＋6 3 1－x2 1－x
2. 请解答节前语中提出的问题。
2 x
3. 解方程： ＋1＝ 。
1－x 1＋x
148 数学 七年级下册作业题
ZUOYETI
A组 1. 解方程：
x－3
（1） ＝1；
2x－1
1
（2）1－ ＝－1；
x－1
1 1
（3） ＝ ＋2；
3x 2x
x 1
（4） ＝ 。
x－1 x－1
2. 解方程：
3 y
（1） ＝ －5；
1－y y－1
x 2
（2） － ＝0；
x2－2x＋1 x－1
1 5x
（3） ＋ ＝5；
x x＋3
x2 16
（4） ＝ 。
x＋4 x＋4
2 4x
B组 3. 解方程： － ＝0。
x－2 x2－4
2
运用分式方程的思想和方法，可以帮助我们解决有关的实际问题。
例3
科学种植促丰收，我国谷物总产量稳居世界首位，14亿多人的粮
▶
食安全得到有效保障。某水稻种植基地引入袁隆平团队研发的植株高、穗长
粒多的巨型稻，选择两块面积相同的试验田，分别种植巨型稻和普通水稻，结
果巨型稻收获16
.
8吨，普通水稻收获13
.
2吨，巨型稻比普通水稻每公顷多收
获3吨。这次种植试验，巨型稻和普通水稻的产量分别是每公顷多少吨？
解：设巨型稻产量为每公顷x吨，则普通水稻产量为每公顷（x－3）吨。
16 8 13 2
. .
由题意，得 ＝ 。
x x－3
第5章 分式 149解这个方程，得x＝14。
经检验，x＝14是所列方程的根，且符合题意。
普通水稻每公顷产量为14－3＝11（吨）。
答：巨型稻产量是每公顷14吨，普通水稻产量是每公顷11吨。
列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题，在方法、步骤上基本
相同，但解分式方程时必须验根。
1 1 1
例4 照相机成像应用了一个重要原理，即 ＝ ＋ （v≠f），其中
▶ f u v
f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头
的距离。如果一架照相机f已固定，那么就要依靠调整u，v来使成像清晰。
如果用焦距f＝35 mm的照相机，拍摄离镜头的距离u＝2 m的花卉，成像清
晰，那么拍摄时胶片到镜头的距离v大约是多少（精确到0
.
1
mm
）？
1 1 1 1 1 1
解：由 ＝ ＋ ，得 ＝ ＋ ，
f u v 35 2000 v
1 1 1 1 393
则 ＝ － ，即 ＝ ，
v 35 2000 v 14000
14000
解得v＝
≈
35
.
6（
mm
）。
393
答：胶片到镜头的距离约为35 . 6 mm。
课内练习
KENEILIANXI
1. 甲、乙两人每小时一共做35个电器零件。两人同时开始工作，当甲
做了90个零件时，乙做了120个。问：甲、乙每小时各做多少个电器
零件？
1 1 1
2. 对于例4照相机成像的原理公式： ＝ ＋ （v≠f），若已知f，v，怎
f u v
样确定u？
150 数学 七年级下册作业题
ZUOYETI
A组 1. 一家工艺品厂按计件方式结算工资。暑假里，大学生小华去这家工
艺品厂打工，第一天得到工资120元，第二天小华比第一天多做了10
件，得到工资150元。问：小华第一天做了多少件？每件工资是多
少元？
2. 某地发生地震后，受灾地区急需大量赈灾帐篷。某企业接到生产帐
篷的任务后，加大生产投入，提高生产效率，实际每天生产帐篷比原
计划多200顶。已知现在生产3 000顶帐篷所用的时间与原计划生
产2000顶的时间相同，问：该企业现在每天能生产多少顶帐篷？
1
3. 将公式V＝ Sh（S≠ 0）变形成已知V，S，求h的公式。
3
B组 4. 某班同学到距学校12千米的烈士陵园扫墓。一部分同学骑自行车
先行，半小时后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达。已知汽
车的速度是自行车速度的3倍，求自行车和汽车的速度。
5. 现有甲、乙、丙三种糖混合而成的糖50千克，其中各种糖的质量和单
价如下表。
品类 甲种糖 乙种糖 丙种糖
质量/千克 10 20 20
单价/（元/千克） 35 30 25
商店以糖的平均价作为混合糖的单价。要使混合糖的单价每千克提
高1元，需再加入甲种糖多少千克？
b－a
6. 若商品的进价为a，售价为b，则毛利率p＝ （b>a）。把这个公式
b
变形成已知p，a，求b的公式。
第5章 分式 151阅读材料
YUEDUCAILIAO 实验与归纳推理
切一个圆饼，使切痕都两两相交，但任何三条切痕都不相交于同一
点，那么最多能把圆饼分成几块？
如果我们把圆当成“饼”，对圆进行不同次数的“切割”（在圆所在的
平面上画直线），并把分成的块数列表表示如下：
表5-1
切割次数 图形 块数 增加的块数
0 1
1 2 1
2 4 2
3 7 3
4 11 4
152 数学 七年级下册从上表可以看到，每多切割一次，增加的块数依次是连续自然数1，
2，3，4，…，由此归纳出一般的结论：增加的块数恰好等于切割的次数。
若把切割n次所分成的块数记为a ，则
n
n（n＋1）
a ＝1＋1＋2＋3＋…＋n＝ ＋1。
n 2
在数学中经常通过实验的方法来寻找规律，这里所用的推理方法是由
多次的特殊事例而推得一般结论，这样的推理叫作归纳推理。
通过画图数出切割5次把圆分成的块数，可以验证上面通过归纳推理
所得的公式是否正确，请你验证。
由于实验的次数总是有限的，所以可能会出现例外。例如，观察下面
的计算：
2×2＝4， 2＋2＝4；
3 9 3 9
×3＝ ， ＋3＝ ；
2 2 2 2
4 16 4 16
×4＝ ， ＋4＝ ；
3 3 3 3
5 25 5 25
×5＝ ， ＋5＝ 。
4 4 4 4
如果由此归纳出“两数之积等于这两数之和”的结论来，就显然是错
误的，只要举一个反例就可以推翻它：2×3＝6，2＋3＝5，显然2×3
≠
2＋3。所以，由归纳推理得到的结论，一般还需要用其他推理方法给予
证明。
实验法和归纳推理是人们经常用来探索自然、发现真理的有效方法。
我们学过的许多关于数与形的性质都是通过归纳推理的方法得到的。
其实，由上面这组算式可以归纳出下面的结论：
a＋1 a＋1
当a≠ 0时， ×（a＋1）＝ ＋（a＋1）。
a a
你能运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的吗？
第5章 分式 153小结与反思
一、知识梳理
本章学习了分式和分式方程，它们也是描述客观世界的重要数学模型。分式
的基本性质和运算方法与分数类似，因此，我们可以通过类比，得到分式的基本性
质和运算法则。解分式方程的基本思想是转化，通过去分母，将分式方程转化为整
式方程求解。类比和转化是本章学习和问题解决中常用的思想方法。
本章学习流程和知识结构如下：
分式的概念
实际 通分
问题 分式的基本性质
分
约分
式
两个
整式 分式的乘除
相除 分式的运算 同分母分式相加减
分式的加减
异分母分式相加减
分式方程 分式方程的应用
二、回顾与反思
1 . 怎样的代数式叫作分式？分式和分数相比较，有什么相同和不同之处？分
式与整式相比较呢？
2 . 写出分式的基本性质。分式的基本性质有哪些应用？
3 . 分式的运算法则与分数的运算法则有什么异同？请举例说明。
4 . 解分式方程的基本思路是什么？解分式方程为什么必须验根？
5 . 举例说明用分式方程解决实际问题的步骤。
6 . 在本章的学习中，你还获得了哪些解决问题的方法和经验？有哪些需要注
意的问题？
154 数学 七年级下册目标与评定
A
目目标标 51 . .14节节5 . 2节
★了解分式和最简分式的概念。
★能利用分式的基本性质进行约分。
1. 下列分式中，当x等于什么数时，分式的值为零？当x取什么数时，分式没有
意义？
x－3 2x＋3
（1） ； （2） 。
x＋3 4－5x
05x－1
2. 不改变分式 . 的值，把它的分子和分母中各项的系数都化为整数。
03x＋2
.
2－x
3. 不改变分式的值，使分式 的分子、分母中最高次项的系数变为正数。
－3x2＋1
4. 约分：
－21x 2（a2－ab）
（1） ； （2） 。
9x2 b2－a2
5. 计算：
（1）（3ab2－7a2b）÷（7a－3b）；
（2）（9－x2）÷（x2－6x＋9）。
1 3ab＋3b
6. 已知b－ a2＝0，化简： 。
2 a2＋b
B
目目标标 51 .. 34节节 5 . 4节
★能利用分式的基本性质进行通分。
★能对简单的分式进行加、减、乘、除运算。
7. 计算：
( )
20a5y4
（1）16a2y3÷ － ；
3x
(
2y
)2
x
（2） × 。
x 4y3
第5章 分式 1558. 计算：
2 3
（1） ＋ ；
3a 2a
1 2
（2） ＋ ；
2x－1 1－2x
1－2ab
（3）－2ab＋ ；
ab－1
1 2
（4） ＋ 。
x2－y2 （x－y）2
( )
a＋b a b 1 1
9. 先化简，再求值： ÷ － ，其中a＝ ，b＝ 。
ab b a 3 2
C
目目标标 51 . .54节节
★了解分式方程的概念。
★能解可化为一元一次方程的分式方程。
★能根据方程及具体问题的实际意义，检验结果是否合理。
10. 解方程：
2 1
（1） － ＝1；
3x 2x
x －3
（2） －2＝ 。
x－3 3－x
x＋1 2
11. 解方程： ＋ ＝0。
x2－2x＋1 x－1
12. 某企业生产、销售A，B两类产品。今年A类产品与B类产品的销售额之比为5∶3，
计划明年将A类产品的销售额增加20 %。B类产品的销售额需增加百分之多
少，才能使两种产品的销售额之比变为4∶3？
13. 一项工作，甲、乙两人合做，4天可以完成。他们合做了3天后，乙另有任务，甲
3
单独又用了 天才全部完成。问：甲、乙两人单独做，各需几天完成？
2
156 数学 七年级下册D
目标
★会综合运用分式的知识解决一些简单的实际问题。
14. 年出生人数减年死亡人数的差与年平均人口数❶的比，叫作年人口自然增长率。
如果用p表示年出生人数，q表示年死亡人数，s表示年平均人口数，k表示年人
p－q
口自然增长率，那么年人口自然增长率k＝ 。
s
（1）把公式变形成已知k，s，q，求p的公式。
（2）把公式变形成已知k，p，q，求s的公式。
（3）据统计，2021年我国全年出生人口约1 062万人，死亡人口约1 014万人，
自然增长率约为0
.
034 %，则该年全国年平均人口数约为多少（精确到
万人）？
15. 某商店3月份购进一批T恤衫，进价合计12万元。因该T恤衫畅销，商店又于
4月份购进一批同品牌的T恤衫，进价合计18
.
75万元，数量是3月份的1
.
5倍，
但每件进价涨了5元。这两批T恤衫开始都以每件180元出售，到5月初，商店
把剩下的100件打八折出售，很快售完。商店共获毛利润（销售收入－进价）多
少元？
年初人口数＋年末人口数
年平均人口数＝ 。
❶ 2
第5章 分式 157第6章
数据与统计图表
要了解一个地区鸟类的生存情况，就
需要收集该地区不同时期各种鸟类的栖
息数据，并对数据进行整理分析。
新生儿的体重大多在哪一个范围？
体重在3千克以下的所占的比例是多少？
要解决这些问题，就需要学习新的统
计知识。本章将学习数据的收集与整理，
抽样，频数和频率，以及统计图表的有关
知识。
在本章末，我们将完成一项关于“纸
巾用量的估计”的综合实践活动。为完成
这项活动，我们将经历收集数据、整理数
据，选择合适的统计图表来描述数据等
过程。66..11 数数据据的的收收集集与与整整理理
要了解一个地区鸟的种类和数量，需收集
哪些数据？怎样整理这些数据？
1
鸟是人类的朋友。为普及鸟类知识，提高青少年爱鸟、护鸟意识，杭州
市举办小学生观鸟比赛。表6-1是一观鸟小组记录的杭州西溪湿地部分鸟
类观察数据。
表6-1 鸟的种类和数量记录表
鸟的 珠颈 红嘴 黑尾蜡 红脚苦
八哥 雉鸡 黑水鸡 白鹭 白鹡鸰
种类 斑鸠 蓝鹊 嘴雀 恶鸟
观察
正 正正 正 正
记录
数量 6 1 11 4 6 8 4 1 3
（1）这些数据是通过什么方法收集的？
（2）从这些数据中，你能获得有关杭州西溪湿地鸟类的哪些信息和结论？
可参考以下思路收集数据。
1 . 确定数据收集的目的、对象和范围。
2 . 根据所要收集的数据，决定数据收集的手段与途径。可以通过观察、
测量、调查和实验等直接途径，也可以通过查阅资料等间接途径获取数据。
3 . 选择或设计恰当的数据记录工具。当用直接观察、测量、调查和实验
等手段收集数据时，往往需要事先设计记录数据的表格，如表6-1，并用适当
的方法记录。表6-1是用划记法（
tallying
）记录数据的，“正”字的每一划（笔
画）代表一个或一次。例如，八哥每出现一次记一划，最后记为“正 一 ”，表示
共出现6次。
160 数学 七年级下册例1 某校为了解学生的身高，通过测量，获得20名学生的身高数据
▶
如下（单位：cm ）：
154
.
0， 157
.
5（女）， 149
.
0（女）， 171
.
2， 165
.
2，
151
.
0（女）， 168
.
5， 152
.
5（女）， 155
.
3（女）， 154
.
0（女），
162
.
0， 166
.
4， 158
.
6（女）， 164
.
0， 156
.
5，
155
.
5， 160
.
6（女）， 162
.
3（女）， 150
.
2， 163
.
5（女）。
（1）设计一个能记录上述测量数据的表格，并将数据填入表中（学生可
用序号表示）。
（2）为更直观地比较男、女生的身高，应怎样整理数据？
解：（1）如表6-2。
表6-2 20名学生身高记录表
学生（序号） 性别 身高/ cm 学生（序号） 性别 身高/ cm
1 男 154 . 0 11 男 162 . 0
2 女 157 . 5 12 男 166 . 4
3 女 149 . 0 13 女 158 . 6
4 男 171 . 2 14 男 164 . 0
5 男 165 . 2 15 男 156 . 5
6 女 151 . 0 16 男 155 . 5
7 男 168 . 5 17 女 160 . 6
8 女 152 . 5 18 女 162 . 3
9 女 155 . 3 19 男 150 . 2
10 女 154 . 0 20 女 163 . 5
（2）如果我们把上面的数据按男、女生分类，并按从小到大的顺序排列
（如表6-3），那么就能较容易地比较出男、女生的身高。
表6-3 20名学生身高记录表
单位：cm
男生 150 . 2 154 . 0 155 . 5 156 . 5 162 . 0 164 . 0 165 . 2 166 . 4 168 . 5 171 . 2
女生 149 . 0 151 . 0 152 . 5 154 . 0 155 . 3 157 . 5 158 . 6 160 . 6 162 . 3 163 . 5
原始数据往往需要进行整理、分析，从中寻找规律，才能发现有用的信
息。将数据分类、排序是整理数据的常用方法。经过整理的数据可用统计
表的形式简洁明了地表达出来。
第6章 数据与统计图表 161做一做
ZUOYIZUO
1. 如何根据表6-3比较男、女生的身高？身高在155 cm以上的男、女生
分别在男、女生中占百分之几？身高在160 cm以上的呢？
2. 在班内选出男、女生各5名，测量他们的臂展（如图）。记录测量数据，
（第2题） 并进行适当整理。通过比较每名同学的身高与臂展，你发现了什么？
例2 某科学家通过一项实验来了解不同体重的人在进行不同活动
▶
时消耗的热量。下面是不同体重的人活动30分钟消耗的热量（单位：焦❶）的
实验数据：
体重为30千克：骑自行车252焦，打篮球504焦，看电视88焦；
体重为40千克：骑自行车323焦，打篮球689焦，看电视113焦；
体重为50千克：骑自行车399焦，打篮球865焦，看电视139焦；
体重为60千克：骑自行车479焦，打篮球1 024焦，看电视160焦。
（1）请制作能反映实验情况的统计表。
（2）实验中，哪一类活动消耗热量最多？哪一类活动消耗热量最少？
（3）体重对活动时热量的消耗有什么影响？
分析：本题涉及“体重”和“活动”两个类型，因此统计表要设计成双向
细目的形式，如纵向为“体重”，横向为“活动30分钟消耗的热量”。
解：（1）所求作的统计表如表6-4。
表6-4 不同体重的人活动30分钟消耗热量的统计表
活动30分钟消耗的热量/焦
体重/千克
骑自行车 打篮球 看电视
30 252 504 88
40 323 689 113
50 399 865 139
60 479 1024 160
（2）打篮球消耗热量最多，看电视消耗热量最少。
（3）对于同一种活动类型，体重越大，所消耗的热量就越大。
物理学中表示功和能量的单位。
❶
162 数学 七年级下册课内练习
KENEILIANXI
1. 以下是某校七年级男、女生各10名右眼裸视的检测结果。
0
.
2， 0
.
5， 0
.
7（女），1
.
0，0
.
3（女），1
.
2（女），1
.
5，
1
.
2， 1
.
5（女），0
.
4（女），1
.
5，1
.
1， 1
.
2（女），0
.
8（女），
1
.
5（女），0
.
6（女），1
.
0（女），0
.
8，1
.
5， 1
.
2。
（1）这组数据是用什么方法获得的？
（2）学生右眼视力跟性别有关吗？为了回答这个问题，你将怎样处
理这组数据？你的结论是什么？
2. 人类的血型一般可分为A，B，AB，O型四种。某校七年级两个班学
生参加体检，第一班共有学生40名，测定血型的结果为：A型16人，B
型5人，O型占45 %，其余都是AB型；第二班共有学生45名，测定血
型的结果为：A型占40 %，AB型2人，O型20人，其余都是B型。请
制作能反映这两个班各种血型人数的统计表。
作业题
ZUOYETI
A组 1. 某足球比赛中，甲队与乙队一场比赛的技术统计数据如下表。
不同队的技术数据
技术类型
甲 乙
进球 1 1
射门 5 14
犯规 20 15
控球时间 34 % 66 %
（1）统计员通过什么方法获得表中的数据？
（2）你从这些数据中获得了关于这场比赛的哪些信息和结论？
2. 我国的陆地面积约为960万平方千米，地形由高原、山地、丘陵、盆地
和平原组成。请完成下表（结果精确到个位）。
我国陆地面积地形分布统计表
地形 高原 山地 丘陵 盆地 平原
面积/万平方千米 317 250 115
百分比 10 % 19 %
第6章 数据与统计图表 1633. 小明从互联网上查到，在第31，32届奥运会上获金牌数较多的10个
参赛队及它们的金牌数如下：
中国（26枚，38枚）； 日本（12枚，27枚）；
英国（27枚，22枚）； 法国（10枚，10枚）；
俄罗斯（19枚，20枚）； 美国（46枚，39枚）；
荷兰（8枚，10枚）； 意大利（8枚，10枚）；
德国（17枚，10枚）； 澳大利亚（8枚，17枚）。
为了更清楚地反映各个参赛队金牌数的增减和名次的变化，你认为
应怎样重新整理这些数据？
4. 下面是七年级二班第一小组同学去年的志愿服务时长（单位：时）：
25，22，28，23，20，18，24，27，16，22，21，13。
（1）请将上述数据按以下时长段分组：
15以下，15～19，20～24，25～29，
并制作能反映各时长段人数的统计表。
（2）根据规定，注册志愿者每年的志愿服务时间累计不少于20小
时。该小组有多少同学去年的志愿服务时长符合规定？
B组 5. 某服装厂去年童装生产情况如下：上半年原计划产量为1 . 5万套，实
际产量为1
.
5万套，完成计划的100 %；下半年实际产量为2
.
4万套，
完成计划的120 %。请制作反映该厂上半年、下半年的计划生产数、
实际生产数和计划完成率的统计表。
6. 某市去年6月每天最高气温情况统计如下表（单位：℃ ）。
日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
温度 29 28 30 25 30 32 31 29 31 26
日期 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
温度 30 32 28 31 34 31 33 29 22 23
日期 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
温度 26 29 30 33 32 29 27 30 31 29
将日最高气温分成4段，制作每段所占天数的统计表，并根据统计表
写出两条有关该市去年6月份日最高气温情况的信息。
164 数学 七年级下册2
要了解全国初中生的视力情况，有人设计了下面三种调查方法：
（1）对全国所有的初中生进行视力测试；
（2）对某一所中学的初中生进行视力测试；
（3）在全国按东、西、南、北、中分片，每片各抽3所中学，对这15所中学
的全部初中生进行视力测试。
你认为采用哪一种调查方法比较合适？
人们根据研究自然现象或社会现象的需要，对所有的考察对象作调查，
这种调查叫作全面调查。例如，国家的人口普查是全面调查。但在许多情
况下，因为不方便、不可能或不必要对所有的对象进行调查，所以从所有对
象中抽取一部分作调查分析，这就是抽样调查（
sampling survey
）。
做一做
ZUOYIZUO
1. 某机构要调查一手机生产厂家的手机质量，是否需要对该厂生产的所
有手机进行检测？
2. 要了解初中生中有多少学生知道父母的生日，有没有必要对你校初中
各年级所有学生进行调查？有没有必要对全国初中学生进行调查？
若采用抽样的方法，请设计一个抽样方案。
在统计中，我们把所要考察的对象的全体叫作总体（
population
），把组成
总体的每一个考察对象叫作个体（
element
）。例如，调查某县农民家庭情况
时，该县的全体农户是总体，每一农户就是个体。从总体中取出的一部分个
体叫作这个总体的一个样本（
sample
），样本中个体的数目叫作样本容量。在
统计中，我们也经常把要考察的全体对象的数据整体叫作总体，把从中取出
的一部分个体的数据集体叫作样本。
第6章 数据与统计图表 165总体：全体农户 个体：每一农户
样本：从总
体中抽取的一部
分个体
图6-1
例3 （1）发源于浙江省嵊州市的越剧是我国五大戏曲剧种之一。
▶
为了解越剧在群众中的受欢迎程度，需要对全体居民进行调查吗？对一所
中学学生的调查结果能否反映越剧的受欢迎程度？
（2）对某校七年级学生是否喜欢越剧的调查结果，能代表这所学校全
体学生的意见吗？如果不能，应如何改进调查方法？
解：（1）为了解越剧在群众中的受欢迎程度，不需要对全体居民进行
调查，可以进行抽样调查。对一所中学学生的调查结果不能反映越剧的受
欢迎程度，因为调查对象只有一所中学的学生，缺乏代表性。
（2）对一所学校七年级学生是否喜欢越剧的调查结果不能代表该校全
体学生的意见，因为不同年级的学生，在年龄、兴趣爱好等方面都有差异。
改进方法可以是：在上学或放学时段，在学校门口任意选择经过的学生进行
询问，或先任意选定一些学号，然后询问这些学号的学生。
在选取样本时，样本中的个体要有代表性，样本容量要合适。在抽样
时，如果每一个个体被抽到的机会都相等，那么这样的抽样方法叫作简单随
机抽样（
simple random sampling
）。例如，要从10名学生中任意抽取1人参
加夏令营，可把每名学生的名字写在相同的纸条上，将这10张纸条放在盒子
内搅匀，从中任意抽出1张。这样的抽样方法属于简单随机抽样。
合作学习
HEZUOXUEXI
为传承中华优秀传统文化，某地举办了中学生经典诗词大赛，约12 000
名学生参加。为了了解中学生对经典诗词的掌握情况，从中抽取600份答
166 数学 七年级下册卷，统计分析每部分内容的作答情况。应怎样抽取这600份答卷，才能使获
取的数据具有代表性？
已知有关信息如下：
（1）每30名学生的答卷装订成一叠放入一个答卷袋，答卷袋上写有
编号。
（2）同一所学校的答卷袋连续编号。
建议先以小组为单位制订抽样方案，然后各组由一名代表向全班介绍
本组的抽样方案，全班进行评议、总结、反思。
课内练习
KENEILIANXI
1. 要了解市民对自来水水质的满意程度，是否需要对所有市民进行全
面调查？对一个居民区住户的调查结果能否代表全市市民的意见？
你认为应作怎样的抽样调查？
2. 为了了解学生对学校伙食的满意程度，小慧访问了50名女生；小聪
访问了50名男生；小明访问了24名男生和24名女生，其中七、八、
九三个年级的男生和女生各8名。你认为小慧、小聪、小明三人的
抽样方法哪一种比较好？为什么？
作业题
ZUOYETI
A组 1. 请指出下列调查哪些应作全面调查，哪些应作抽样调查。
①日光灯管厂要检测一批灯管的使用寿命；
②了解居民对废电池的处理情况；
③了解初中生的主要娱乐方式；
④某公司对退休职工进行健康检查。
2. 要对大批量生产的商品进行检验，你认为下列做法哪种比较合适？
为什么？
①逐件检验所有商品；
②从中抽取1件进行检验；
③从中挑选几件进行检验；
④从中按抽样规则抽取一定数量的商品进行检验。
第6章 数据与统计图表 1673. 质检部门要对某厂生产的一批袜子进行质量检查。这批袜子共有
100箱，每箱有10盒，每盒有10双。设定抽取的袜子总量为100双，
请你为该部门制订一个抽样方案。
B组 4. 有下面几个样本用以统计某路口在学校放学时段的车流量。你认为
哪些合适，哪些不合适？
①抽取两天为一个样本；
②以全年每一天为样本；
③选取每周星期日为样本；
④春、夏、秋、冬每个季节各选两周为样本。
5. 一厂家在某市三个经销该厂产品的商场进行调查，发现该厂产品的
销售量占这三个商场同类产品销售量的40 %。于是该厂声称，他们
的产品占国内同类产品销售量的40 %。你认为这个说法可信吗？为
什么？
66..22 条条形形统统计计图图和和折折线线统统计计图图
据中华人民共和国国家统计局公报，以2020年
11月1日零时为标准时点，第七次全国人口普查结果
为1443497378人。
根据数据统计表，我们可以比较方便地绘制各种形式的统计图，把数据
和数据的变化用图形直观、生动地表示出来。本节我们将在小学已学知识
的基础上，进一步学习条形统计图（
bar graph
）和折线统计图（
line graph
）这
两种常用的统计图。
条形统计图一般由两条互相垂直的数轴和若干长方形组成，两条数轴
分别表示两个不同类别的标目，长方形的高表示其中一个标目的数据。
168 数学 七年级下册例1 根据2020年第七次全国人口普查结果，我国四个直辖市北京、
▶
上海、天津、重庆的人口依次约为2 189万人，2 487万人，1 387万人，3 205万
人。绘制第七次全国人口普查中四个直辖市人口的条形统计图。
解：列出统计表如表6-5。画出条形统计图如图6-2。
表6-5 第七次全国人口普查中四个直辖市的人口统计表
直辖市 北京 上海 天津 重庆
人口/万人 2189 2487 1387 3205
第七次全国人口普查中四个直辖市的人口统计图
人口/万人
3500 3205
3000
2487 注意
2500 2189
2000 画统计图时要写
1500 1387 上统计图的名称。
1000
500
0
北京 上海 天津 重庆 直辖市
图6-2
稻米
做一做 50000
人类
ZUOYIZUO
25000
基因的发现是20世纪生物领域的一项重 拟南芥植物
25500
大成就，探索生命奥秘的基因工程由此开始飞
速发展。右图中的数据表示稻米、人类、拟南 蠕虫
17800
芥植物、蠕虫、果蝇、流感病毒的基因数量，请 果蝇
13600
根据图中的数据画出相应的条形统计图。
流感病毒
1750
折线统计图由两条代表不同标目的数轴和折线组成，折线上被线段连
接的各点同时反映不同的标目。
合作学习
HEZUOXUEXI
以下是金砖国家成员国中国、巴西和南非的三大城市北京、巴西利亚和
比勒陀利亚的每月平均气温的折线统计图（图6-3，图6 - 4，图6-5）。
第6章 数据与统计图表 1691 . 如图6-3，该城市9月的日平均最高气温为 ，日平均最低气
温为 ，两者温差是 。
图6-3 图6-4
2 . 如图6-4，该城市日平均最高气温的最高值在 月，日平均最低
气温的最低值在 月。
3 . 北京位于北纬40 °，比勒陀利亚位于南纬25 °，巴西利亚位于南纬15 °。
把三个城市和三个气温图配对。
图6-3： ；图6-4： ；图6-5： 。
图6-5
4 . 请说出两条有关这三个城市全年气温变化以及季节的特征。
（请与你的同伴交流）
折线统计图能直观反映数据变化的趋势和若干组不同类别数据之间的
相互关系。
170 数学 七年级下册例2 近年来，我国新能源汽车产业实现高质量发展。表6-6是某汽
▶
车厂2022年1～6月新能源车的产量。
表6-6 某汽车厂2022年1～～6月新能源车产量的统计表
月份 1 2 3 4 5 6
月产量/万辆 9
.
17 8
.
91 10
.
67 10
.
75 11
.
81 12
.
48
请根据表6-6绘制折线统计图，并回答下面的问题：
（1）相邻的两个月中，哪两个月的月产量增长最快？这两个月之间月
产量的增长率是多少（精确到0
.
1
%
）？
（2）第二季度比第一季度的产量增加了百分之几（精确到0
.
1
%
）？
解：所求折线统计图如图6-6。
某汽车厂2022年1～～6月新能源车
产量的折线统计图
图6-6
（1）如图6-6，折线的各条线段中，2月至3月间的线段最陡，也就是
说，从2月到3月的月产量增长最快，这两个月月产量的增长率为
10 67－8 91
.
. ≈ 19 . 8 %。
8 91
.
（10 75＋11 81＋12 48）－（9 17＋8 91＋10 67）
（2） . . . . . .
9 17＋8 91＋10 67
. . .
35 04－28 75
＝ . . ≈ 21 . 9 %。
28 75
.
答：第二季度比第一季度的产量约增加21 . 9 %。
第6章 数据与统计图表 171图6-6不仅呈现了该厂1～6月新 某汽车厂2022年1～～6月新能源车
产量的统计图
能源车各月的产量，还呈现了该厂
1～6月新能源车产量的整体变化趋
势，这是折线统计图的一个独特优势。
为更直观地反映数据的变化趋势，还
可以在折线图的基础上，或在表示数
据的各点描出之后，画一条尽可能与
比较多的点靠近的直线或曲线，整体
描述这组数据随时间变化的趋势。
如图6-7，红线表示新能源车1～6月 图6-7
产量趋势，这样的图叫作趋势图。
课内练习
KENEILIANXI
下面的统计图反映了2019～2023年某公司对外贸易进出口总额
的数据。
2019～～2023年某公司对外贸易进出口总额统计图
总额/万美元
3500 3256
2952
3000 2492 2662
2500 2251 2436
2000 1837 1949
1657
1402
1500
1000
500
0
2019 2020 2021 2022 2023 年份
（1）根据统计图填写下表，并说出两条有关该公司对外贸易进出口总
额情况的结论。
2019～～2023年某公司对外贸易进出口总额统计表
年份 2019 2020 2021 2022 2023
出口总额/万美元
进口总额/万美元
（2）绘制2019～2023年该公司对外贸易进出口总额的折线统计图。
172 数学 七年级下册探究活动
TANJIUHUODONG
图6-8表示某地2022年每月的平均气温，图6-9表示该地一家庭2022年每月
的用电量。根据统计图，你能描述该家庭用电量与气温间的一些关系吗？
某地2022年月平均气温统计图 某家庭2022年月用电量统计图
气温/℃ 用电量/千瓦时
30 120
25 100
20 80
15 60
10 40
5 20
0 0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112 月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112月份
图6-8 图6-9
作业题
ZUOYETI
A组 1. 一天小红统计某路口在高峰时间7：40～7：55各 统计板
摩托车：正
种机动车的通过数量，记录如图。根据图中记 小汽车：正正正
大客车：正正正
录的数据列出统计表，绘制条形统计图。 货 车：
2. 根据所给统计图回答下面的问题： （第1题）
（1）哪个月的平均最高气温最高？哪个月的平均最高气温最低？
（2）哪两个月之间的平均最高气温上升得最快？哪两个月之间的平
均最高气温下降得最快？
杭州市2021年月平均最高气温统计图
 P!#


 
 






  

 



           
（第2题）
第6章 数据与统计图表 1733. 根据2022年国家卫生健康委员会制定的《7岁以下儿童生长标准》，
1～6岁男童、女童中等水平身高如图所示。
1～～6岁男童、女童中等水平身高条形统计图
（第3题）
（1）根据条形统计图画出折线统计图。
（2）根据折线统计图说明儿童身高增长特点。
B组 4. 为了解北京、上海、天津、重庆四个直辖市的空气质量，小聪查阅资料
并绘制了2022年四个直辖市的PM 2
.
5浓度折线统计图。请回答以
下问题：
（1）北京PM 2
.
5浓度的最高水平和最低水平分别是多少？分别在
几月份达到的？上海在几月份达到了最高水平和最低水平？
（2）比较四个直辖市PM 2
.
5浓度值，你能得到哪些结论？PM 2
.
5浓
度在一年中有怎样的变化趋势？
2022年四个直辖市PM2.5浓度折线统计图
（第4题）
174 数学 七年级下册66..33 扇扇形形统统计计图图
2019年全球稀土资源储量分布统计图
稀土是许多科技行业中不可或缺的一类元
素。2019年全球稀土资源储量分布情况如图所
示，我国是稀土资源最丰富的国家。你知道各扇
形的圆心角❶度数是怎样确定的吗？
合作学习
HEZUOXUEXI
观察图6-10，并回答下面的问题：
某种学生快餐（（300g））营养成分统计图
10 % 40 %
5
%
45
%
图6-10
（1）这种快餐中，脂肪占百分之几？有多少克？
（2）这种快餐中，哪一种营养成分最多？哪一种最少？最多的营养成
分是最少的多少倍？
（3）表示蛋白质的扇形的圆心角是多少度？你是怎样计算的？
（请与你的同伴交流）
像图6-10这样，用圆和扇形分别表示关于总体和各个组成部分数据的
统计图叫作扇形统计图（
pie chart
）。扇形统计图的特点是能直观地反映各
部分在总体中所占的比例。
顶点在圆心的角称为圆心角。
❶
第6章 数据与统计图表 175做一做
ZUOYIZUO
某班同学参加课外兴趣小组情况 某班同学参加课外兴趣
小组情况统计图
的统计图如图所示（假设每人只参加一
个课外兴趣小组）。根据统计图回答下
面的问题： 30
%
（1）参加文艺、体育、美术三个课 60 %
10
%
外兴趣小组的人数比是多少？
（2）参加人数最多的是哪一个课外
兴趣小组？参加人数最少的呢？如果参加人数最多的课外兴趣小组比参
加人数最少的多20人，那么一共有多少学生参加这三个课外兴趣小组？
绘制扇形统计图的一般步骤是：
1 . 画一个圆。
2 . 按各组成部分所占的比例算出各个扇形的圆心角的度数。
3 . 根据算得的各圆心角的度数，画出各个扇形，并注明相应的百分比。
各组成部分的名称可以注在图上，也可以用图例表明（如图6-10）。
例 表6-7是某市2023年6月的气象资料。
▶
表6-7 某市2023年6月天气状况的统计表
星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六
1 2 3
4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17
18 19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30
晴 阴 雨
176 数学 七年级下册（1）请根据表6-7计算晴天、阴天、雨天的天数和它们各自占总天数的
百分比（精确到0
.
1
%
）。
（2）绘制扇形统计图。
解：（1）由表可得，该市2023年6月晴天8天，阴天5天，雨天17天，它
们占总天数的百分比分别为26 . 7 %，16 . 7 %，56 . 7 %。
（2）先求出有关扇形的圆心角的度数。
8 5 17
360 ° × ＝96 °；360 ° × ＝60 °；360 ° × ＝204 °。
30 30 30
即表示晴天、阴天、雨天所占天数比例的扇形的圆心角度数分别为96 °，
60 °，204 °。
扇形统计图如图6-11。
某市2023年6月晴天、阴天、雨天天数的扇形统计图
还可以用其他
统计图来表示本例
中这个月的天气情
况吗？不同的统计
图各有什么优缺点？
图6-11
课内练习
KENEILIANXI
根据第七次全国人口普查数据公报，我国人口中0～14岁的占
17 . 95 %，15～59岁的占63 . 35 %，60岁以上（含60岁）的占18 . 70 %。
请根据上述数据绘制扇形统计图。
作业题
某养殖户养殖情况
ZUOYETI
统计图
A组 1. 某养殖户养殖鸡、鸭、鹅数量的扇形统
计图如图所示。 10 鸡
% 30
%
（1）统计图中各个扇形的圆心角分别 鸭
鹅
是多少度？
60
%
（2）如果这个养殖户养鸭150只，那么
养鸡、鹅各多少只？
（第1题）
第6章 数据与统计图表 1772. 2021年，我国国内生产总值为1143670亿元，比上年增长8 . 1 %。其
中第一产业（农、林、牧、渔业）为83086亿元，第二产业（采矿业，制
造业，电力、燃气及水的生产和供应业，建筑业）为450904亿元，第三
产业（除第一、第二产业以外的其他各业）为609 680亿元。为了比
较各个产业所占份额，你选择哪一种统计图？请绘制相应的统计图。
3. 在七年级上册学习有理数的运算时，同学们已经为自己建了一本账
册。根据你的账册统计最近一个月或一个季度的消费情况，填写下
表，并绘制扇形统计图。根据你绘制的统计图，说明你的零花钱主
要用在哪个方面。
消费项目 学习用品 生活用品 零食 其他 合计
消费金额/元
B组 4. 对若干名青少年进行最喜爱的运动项目的问卷调查，得到如图的统
计图，其中统计图中没有标注相应人数的百分比。
（1）你能根据图形求出这些百分比吗？
（2）如果最喜爱足球的人数比最喜爱游泳的人数多40人，那么这次
参加问卷调查的总人数是多少人？
青少年最喜爱的运动项目
的扇形统计图
60
120
°
°
90
° 90
°
（第4题）
C组 5. 下面两个扇形统计图反映了我国四个直辖市2021年末常住人口比
例和2021年地区生产总值比例。
（1）哪个市的常住人口数最多？哪个市的地区生产总值最高？
（2）上海市的人均生产总值（人均生产总值＝地区生产总值÷常住
人口数）分别是天津市和重庆市人均生产总值的多少倍（精确
到0
.
01）？
178 数学 七年级下册北京、上海、天津、重庆四市2021年末 北京、上海、天津、重庆四市2021年
常住人口比例统计图 地区生产总值比例统计图
（第5题）
66..44 频频数数与与频频率率
为了避免拥挤，学校打算实行分时
段用餐。你认为要进行怎样的调查统
计，才能作出合理的安排？
1
人们在获得一组数据以后，经常需要了解数据的分布情况。下面我们用
一个具体的例子来说明反映数据分布情况的统计方法。
从某医院获得去年10月份出生的20名新生儿的体重如下（单位：kg ）：
4
.
7， 2
.
9， 3
.
2， 3
.
5，
3
.
6， 4
.
8， 4
.
3， 3
.
6，
3
.
8， 3
.
4， 3
.
4， 3
.
5，
2
.
8， 3
.
3， 4
.
0， 4
.
5，
3
.
6， 3
.
5， 3
.
7， 3
.
7。
为了了解这批数据的分布情况，如体重在哪一个范围内的人数最多、在哪
一个范围内的人数最少、体重在3 . 55～3 . 95 kg范围内的新生儿有多少人、体重
在4 . 35 kg以上的新生儿有多少人等，首先我们将数据按从小到大适当地分
第6章 数据与统计图表 179组，并制作如表6-8的统计表。其中每一组的后一个边界值与前一个边界值
的差叫作组距，通常各组的组距应相等。例如表6-8中，各组组距都为0 . 4 kg。
表6-8 某医院去年10月新生儿体重统计表
组别/ kg 划记 人数
2 75～3 15 2
. .
3 . 15～3 . 55 正 7
3 . 55～3 . 95 正 6
3 95～4 35 2
. .
4 35～4 75 2
. .
4 75～5 15 1
. .
合计 20
从表6-8中我们可以看到，新生儿体重在3 . 15～3 . 55 kg范围内的人数最
多；体重在4 . 75～5 . 15 kg范围内的人数最少；体重在3 . 55～3 . 95 kg范围内的
新生儿有6人；体重在4
.
35 kg以上的新生儿有3人。
数据分组后落在各小组内的数据个数称为频数（
frequency
）。例如，表6-8
中，3 . 15～3 . 55 kg这一组的频数为 7，4 . 75～5 . 15 kg这一组的频数是 1。
如表6-8这种反映数据分布情况的统计表叫作频数统计表，也称频数表
（
frequency table
）。
有时我们还可以将事件按类别进行分组，这时，频数就是各类事件发生
的次数。例如，抽查20名学生的血型，结果如下：
A，B，A，B，B，O，AB，A，A，O，A，B，A，A，B，AB，O，A，B，A。
根据上述结果，可以列出如表6-9的频数表。
表6-9 20名学生血型的频数表
组别 划记 频数
A型 正 9 各组频数的总
和与什么相等？
B型 正 6
AB型 2
O型 3
列频数统计表的一般步骤如下：
最大值－最小值
1 . 选取组距，确定组数。组数通常取大于 的最小整数。
组距
180 数学 七年级下册4 8－2 8
如表6-8，取组距为0 . 4 kg，则 . . ＝5，大于5的最小整数为6，所以确定
0 4
.
组数为6。数据在100个以内时，通常可按照数据的多少分成5～12组。
2 . 确定各组的边界值。第一组的起始边界值通常取得比最小数据要小
一些，如表6-8，因为最小数据为2
.
8，所以取起始边界值为2
.
75。为了避免数
据落在边界上，边界值可以比实际数据多取一位小数❶。确定起始边界值后，
就可以根据组距写出各组的边界值。
3
.
列表，填写组别和统计各组频数，如表6-8，表6-9。
合作学习
HEZUOXUEXI
研究七年级男生、女生的身高和所穿运动鞋鞋码的数据分布情况。
要求：
1 . 以直接或间接的方式了解本班男生、女生的身高和鞋码，获得数据。
2
.
将获得的四种数据（男生身高、男生鞋码、女生身高、女生鞋码）分
组，并制作频数表。
3 . 根据频数表，就七年级男生、女生的身高和所穿运动鞋鞋码情况作简
单分析。学校如果统一订购运动服、运动鞋，应注意哪些问题？
（请与你的同伴合作完成）
课内练习
KENEILIANXI
1. 为统计七年级一班科普知识竞赛成绩，制作了如下频数表（部分空
格未填）。
七年级一班科普知识竞赛成绩的频数表
组别 划记 频数
39 5～49 5 2
. .
49 5～59 5
. .
59 . 5～69 . 5 正
69 . 5～79 . 5 正正正
79 5～89 5 8
. .
89 . 5～99 . 5 正
本套教科书在没有特别说明的情况下，各组边界值都比实际数据多取一位小数。
❶
第6章 数据与统计图表 181（1）请完成上面的频数表。
（2）数据分组时的组距为多少？这次竞赛最高分与最低分的差至
多为多少？
（3）该班有多少同学？
（4）哪一个分数段的人数最多？哪一个分数段的人数最少？80分
以上（包括80分）有多少人？占全班人数的百分之几？
2. 一个样本的数据如下：
8，10，5，6，6，18，11，12，15，16，17，17，9，10，11，12，7，8，20，11。
（1）若取组距为3，列频数表时，应分成多少组？
（2）请制作这个样本的频数表（可取起始边界值为4
.
5）。
作业题
ZUOYETI
A组 1. 某生猪养殖场对60头即将出栏的生猪的质量（精确到0 . 1 kg ）进行统
计，制作如下的频数表（部分空格未填）。
某生猪养殖场即将出栏的生猪的质量的频数表
组别/ kg 划记 频数
64 55～69 55
. .
69 55～74 55 2
. .
74 . 55～79 . 55 正正正正
79 . 55～84 . 55 正正正正正
84 55～89 55 4
. .
89 55～94 55
. .
94 55～99 55 0
. .
99 55～104 55
. .
请完成频数表，并根据频数表回答下面的问题：
（1）表中的组距是多少？数据最大值与最小值的差至多是多少？
（2）这批生猪的质量有在64 kg以下的吗？有在100 kg以上的吗？
（3）这批生猪中，质量在74 . 55～84 . 55 kg范围内的生猪大约占总数
的百分之几？
2. 为了了解学生在校午餐所需的时间，某校抽查了20名同学，获得如
下数据（单位：分）：
10，12，15，10，16，18，19，18，20，38，
22，25，20，18，18，20，15，16，21，16。
182 数学 七年级下册（1）将这些数据分为6组，制作频数表。
（2）频数最小的是哪一组？频数最大的是哪一组？这两组的频数分
别是多少？
（3）根据频数表，你认为校方安排学生午餐时间多长为宜？请说明
理由。
B组 3. 一名射击运动员20次射击的成绩如下（单位：环）。
4，6，8，7，9，10，8，7，8，9，8，8，9，10，8，7，9，8，8，9。
（1）从4至10环，按不同环数分组，制作频数表。
（2）成绩为9环的频数为多少？
（3）频数最大的是几环？
2
为了了解数据分组后各组频数的大小在总数中所占的分量，常常需要求
出各组频数与数据总数的比。每一组数据频数与数据
总数的比叫作这一组数据（或事件）的频率（
relative fre⁃
quency
），频率×100 %即为百分比。例如，表6-8的频数
各组的频率之
和等于几？
表中，新生儿体重在3
.
55～3
.
95 kg这一组的频数为6，
数据总数为20，频率为6÷20＝0
.
3；表6-9中血型为A
9
型的频数为9，数据总数为20，频率为9÷20＝ 。
20
例1 表6-10是七年级某班20名男生100 m跑成绩（精确到0 . 1秒）的
▶
频数表。
表6-10 七年级某班20名男生100m跑成绩的频数表
组别/秒 频数 频率
12 55～13 55 2
. .
13 55～14 55 5
. .
14 55～15 55 7
. .
15 55～16 55 4
. .
16 55～17 55 2
. .
（1）求各组频率，并填入上表。
（2）求其中100 m跑成绩为15
.
5秒或小于15
.
5秒的人数和所占的比例。
第6章 数据与统计图表 183解：（1）2÷20＝0
.
1，5÷20＝0
.
25。
类似地，可得其余各组数据的频率依次为0
.
35，0
.
2，0
.
1（将它们填入表
6-10）。
（2）表中自上而下第一、二、三组的累计频数为2＋5＋7＝14，
14÷20＝0
.
7。
答：其中100 m跑成绩为15
.
5秒或小于15
.
5秒的人数为14人，所占的比
例为70 %。
例2 某袋装饼干的质量的合格范围为50 ± 0 . 12 g。检验某食品厂生
▶
产的200袋该种饼干，各组质量的频数如表6-11。
（1）求各组质量的频率。
（2）请估计该厂生产这种饼干的质量合格率。如果销售这种饼干2 400
袋，那么估计有多少袋质量不能达到合格标准？
表6-11 某食品厂生产的200袋饼干的质量的频数表
组别/g 频数 频率
49 775～49 825 1
. .
49 825～49 875 2
. .
49 875～49 925 1
. .
49 925～49 975 50
. .
49 975～50 025 100
. .
50 025～50 075 40
. .
50 075～50 125 4
. .
50 125～50 175 2
. .
解：（1）1÷200＝0
.
005，2÷200＝0
.
01。
类似地，可得其余各组数据的频率依次为0
.
005，0
.
25，0
.
5，0
.
2，0
.
02，0
.
01
（请将它们填入表6-11）。
（2）合格饼干的质量范围是49 . 88～50 . 12 g。
0 . 005＋0 . 25＋0 . 5＋0 . 2＋0 . 02＝0 . 975＝97 . 5 %。
2400×（1－97
.
5
%
）＝60（袋）。
184 数学 七年级下册答：估计该厂生产这种饼干的合格率约为97 . 5 %。如果销售这种饼干
2 400袋，那么估计有60袋质量不能达到合格标准。
由例2可见，在样本容量足够大的情况下，可以用样本的频数分布情况来
估计总体的频数分布情况。
课内练习
KENEILIANXI
1. 填写下面频数表中未完成的部分。
组别 频数 频率
11 0 11
A .
13
B
C
0 10
D .
合计 1 . 00
2. 某医院体检中心的智能排队系统投入使用后，缩短了体检者排队等
候的时间。小明在心电图体检室门口随机访问了25名体检者，了
解到他们排队等候的时间分别为（单位：分）：
1，2，2，2，1，3，4，2，2，2，2，3，1，3，4，5，3，2，1，
2，2，3，2，3，2。
（1）请填写如下的频数表。
某医院体检中心25名心电图体检者等候体检时间的频数表
组别/分 划记 频数 频率
1
2
3
4
5
（2）求等待时间小于等于3分钟的人数所占的百分比。
第6章 数据与统计图表 185作业题
ZUOYETI
A组 1.（1）若某组数据的频率为0 . 35，样本容量为500，则这组数据的频数
为 。
（2）若某组数据的频数为56，频率为0 . 8，则样本容量为 。
2. 对某厂生产的一批轴随机抽取80根进行检验，检验结果中轴的直径
的各组频数如下表（每组含前一个边界值，不含后一个边界值）。
某厂生产的80根轴的直径的频数表
组别/ mm 频数 频率
29935～29945 1
. .
29945～29955 0
. .
29955～29965 0
. .
29965～29975 5
. .
29975～29985 6
Φ300＋0.25 . .
－0.25 29985～29995 20
. .
29995～30005 40
. .
30005～30015 5
（第2题） . .
30015～30025 2
. .
30025～30035 0
. .
30035～30045 1
. .
（1）求各组的频率，填入上面的频数表。
（2）如图，轴直径的合格标准为Φ300＋0.25。根据所列的频数表，计算
－0.25
这80根轴的直径的合格率。
（3）如果生产800根这种轴，估计有多少根轴的直径不合格。
3. 统计本班不同出生月份的人数，制作频数表，并求出相应的频率。根
据频数表，估计你校七年级同学中，与你出生月份相同的有多少人。
B组 4. 统计某地去年11月份每天的最高气温（ ℃ ），获得如下数据：
10，12，16，10，11，15，17，20，18，22，20，18，19，21，20，22，26，20，18，
19，20，22，21，16，17，15，10，18，20，22。
（1）请填写下面的频数表。
186 数学 七年级下册某地去年11月份日最高气温的频数表
组别/ ℃ 划记 频数 频率
9 5～11 5
. .
11 5～13 5
. .
13 5～15 5
. .
15 5～17 5
. .
17 5～19 5
. .
19 5～21 5
. .
21 5～23 5
. .
23 5～25 5
. .
25 5～27 5
. .
（2）最高气温在20 ℃以上（包括20
℃
）的天数有多少天？占11月份
总天数的百分之几？
（3）日最高气温为14～23
℃
（包括14 ℃和23
℃
）的天数占百分之几？
设计题
SHEJITI
估计鸟群中鸟的数量
憨（hān）鲣（jiān）鸟的飞翔能力很强，它们
一生中的大多数时间都在进行越洋飞行，只在
海滩上着陆筑巢。如果要估计一个鸟群中鸟的
数量，根据你已有的经验，你有什么方法？
看看下面的试验会不会给你带来启迪。
准备一盒珠子（大小、材料均相同，也可以
是纽扣等其他物品），倒出其中一部分珠子，标上记号，记这部分珠子的颗数为n。然
后把这些珠子放回盒子，搅拌均匀，再倒出一些珠子，记颗数为m。数一数其中带有
标记的有多少颗。若带有标记的有l颗，那么下面的公式就可以用来估计盒子里珠
子的总数：
盒子里珠子的总数＝
n×m
。
l
多做几次试验试一试，看看每次获得的结果是否比较接近。你还能用什么方法
来检验上述公式的精确程度？小聪想出的方法是这样的：先倒出50颗珠子，称出质
量，然后称出整盒珠子的总质量，这样也能算出珠子总数的近似值。
现在你有估计憨鲣鸟群中鸟的数量的方法吗？请把你的想法与同伴交流。
第6章 数据与统计图表 18766..55 频频数数直直方方图图
微视频播放时间的频数直方图
频数
19
20
15
15
某校七年级同学在综合实践活动中制作了
10
6 40个介绍中华优秀传统文化的微视频。你能根
5
据左边的统计图说出这些微视频播放时间的三
0
75 125175时间/分 条信息吗？
. . .
根据数据的频数表，我们还可以用统计图把它直观地表示出来（如节前
图）。由若干个宽等于组距，面积表示每一组频数的长方形组成的统计图叫
作频数直方图，简称直方图（
histogram
）。
当各组组距都相等时，我们可以把组距看成“1”，那么各个小长方形的
面积与它的高度在数值上相等，这样我们就可以用纵轴上的刻度表示频数。
我们用下例来说明频数直方图的画法。
例 抽查20名同学每分钟脉搏次数，获得如下数据（单位：次）：
▶
81，73，77，79，80，78，85，80，68，90，80，89，82，81，84，72，83，77，79，75。
绘制表示上述数据的频数直方图。
解：（1）列出频数表，如表6-12。方便起见，我们给出组中值❶的数据。
表6-12 20名同学每分钟脉搏次数的频数表
组别/次 组中值/次 频数
67 5～72 5 70 2
. .
72 5～77 5 75 4
. .
77 5～82 5 80 9
. .
82 5～87 5 85 3
. .
87 5～92 5 90 2
. .
675＋725
每一组的两个边界值的平均数称为该组的组中值。例如，第一组的组中值为 . . ＝70（次）。
❶ 2
188 数学 七年级下册（2）画具有相同原点，横、纵两条互相垂直的数轴，分别表示各组别和
相应的频数。然后分别以横轴上每一组的两边界点为端点的线段为底边，
作高为相应频数的长方形，就得到所求的频数直方图，如图6-12。
20名同学每分钟脉搏次数的频数直方图
频12
数11
注意
10
9 为了使图形
8 清晰美观，频数直
7
方图的横轴上可
6
5 以只标出组中值，
4 不标出组界。
3
2
0
65 70 75 80 85 90 95 脉搏/次
图6-12
合作学习
HEZUOXUEXI
请观察图6-13，思考以下
各种矿泉水pH的频数直方图
问题，并与同学讨论。（每一组
频12
含前一个边界值，不含后一个 数
10
边界值） 8
（1）被检测的矿泉水总数 6
4
有多少种？
2
（2）被检测矿泉水的最低
0
59 63 67 71 75 79 83
pH至少为多少？ . . . . . . . pH
图6-13
（3）组界为6
.
9～7
.
3这一
组的频数、频率分别是多少？
（4）根据我国2022年颁布的《生活饮用水卫生标准》，饮用水的pH应在
6
.
5～8
.
5的范围内。被检测的矿泉水不符合这一标准的有多少种？占总数
的百分之几？
频数直方图能告诉我们哪些信息？与其他统计图相比，它有什么优点？
第6章 数据与统计图表 189课内练习
KENEILIANXI
1. 一次统计七年级若干名学生每分钟跳绳次数的频数直方图如图。
请根据这个直方图回答下面的问题：
（1）参加测试的总人数是多少？
（2）数据分组时，组距是多少？
（3）自左至右最后一组的两个边界值分别是多少？该组的频数、频
率分别是多少？
七年级若干名学生每分钟跳绳次数的频数直方图
频 8
数
6
6
4
4 3
2
2
0
62 87 112 137 跳绳次数
（第1题）
2. 请回答本节节前语中的问题。
作业题
ZUOYETI
A组 1. 某市抽查一些家庭每月水电费的开支（单位：元），得到下面的频数直
方图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值）。请根据该直方
图，回答下列问题：
某市部分家庭每月水电费开支的频数直方图
频
数
12
12 11
10
8 7
6
6
4 3
2 1
0
100150200250300350 开支/元
（第1题）
190 数学 七年级下册（1）被抽查的家庭共有多少户？
（2）数据分组的组距是多少？
（3）频数最大一组的组中值是多少？该组的两个边界值分别是
多少？
（4）自左至右第三组的频数、频率分别是多少？
（5）每月水电费开支在275元以上（含275元）的有多少户？占抽查
总户数的百分之几？若被抽查家庭所在区域有350户家庭，估
计有多少户每月水电费开支在275元以上（含275元）。
2. 统计某天7：00～9：00经过高速公路某测速点的汽车的速度，得到如
下频数直方图。请回答下列问题：
（1）这一天7：00～9：00经过该测速点的车辆总数是多少？
（2）数据分组的组距是多少？
（3）若该路段汽车限速为110 km/h，超速行驶的汽车有多少辆？
占总数的百分之几？
某天7：00～～9：00经过高速公路某测速点的汽车速度的频数直方图
频
数
100 90
80
80
60
40
40
20
20 10 15 5
0
895 955 1015 1075 1135 11951255 速度/（km/h）
. . . . . . .
（第2题）
B组 3. 被誉为“世界八大奇观”之一的秦始皇兵马俑位于我国陕西省，是我
国古代文明中的一颗璀璨明珠。在某处挖掘出36个兵俑的高度分
别为（单位：cm ）：
172，193，172，196，196，175，175，193，
190，181，184，187，181，187，190，181，
184，187，187，184，187，181，187，184，
181，187，184，184，184，187，181，187，
184，187，181，187。
第6章 数据与统计图表 191（1）请填写下表。
36个兵俑高度的频数表
组别/ cm 组中值/ cm 频数 频率
170 5～173 5 172
. .
173 5～176 5 175
. .
（2）画出频数直方图。
4. 统计某市去年6月每天空气污染指数，获得以下数据：
67，68，66，70，68，67，70，85，86，100，88，85，70，68，67，
67，70，72，78，68，70，67，66，67，68，69，70，72，68，67。
（1）将数据适当分组，列出频数表。
（2）画出频数直方图。
192 数学 七年级下册阅读材料
YUEDUCAILIAO
应用计算机软件绘制统计图
随着现代信息技术的发展，绘制统计图的工作已主要在计算机上
完成。
例 科技是第一生产力。国家对科学研究的投入持续加大，研究与
▶
试验（ ＆ ）经费支出逐年上升，大力推动了科技的发展。表6-13列出
R D
了2012～2021年间，我国国内生产总值（ ）、研究与试验（ ＆ ）经
GDP R D
费支出，以及 ＆ 经费支出占 的比重。
R D GDP
表6-13 2012～～2021年我国GDP、R＆D经费支出及其占比统计表 （（单位：亿元））
年份 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021
54036759524464397468905274412783203691928198651510135671143670
GDP
＆ 10298 11847 13016 14170 15500 17606 19678 22144 24393 27864
R D
＆
R D
1 91 1 99 2 02 2 06 2 08 2 12 2 14 2 24 2 41 2 44
. % . % . % . % . % . % . % . % . % . %
占比
要绘制统计图，首先在数据处理软件中输入表6-13中的数据，如图6-14。
注意在首行或首列加上适当名称，以便阅读。
A B C D E F G H I J K L
1 年份 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021
540367 595244 643974 689052 744127 832036 919281 98651510135671143670
2 GDP
3 ＆ 10298 11847 13016 14170 15500 17606 19678 22144 24393 27864
R D
＆
R D
4 191 199 202 206 208 212 214 224 241 244
. % . % . % . % . % . % . % . % . % . %
占比
5
图6-14
然后选中需绘制统计图的数据（如图6-15，选择“年份”和“ ”
GDP
两行数据），点击“插入”—“推荐的图表”—“折线图”，选择合适的统计图
类型和样式进行绘制。若绘制了折线图，还可添加趋势线。如图6-16为
2012～2021年我国 折线统计图。
GDP
第6章 数据与统计图表 193图6-15
2012～～2021年我国GDP统计图
GDP/亿元
1200000
1000000
800000
600000
400000
200000
0
2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021
年份
图6-16
类似地，可以绘制 ＆ 经费支出及其占比变化的折线统计图和趋势
R D
图，如图6-17和图6-18。
2012～～2021年我国R&D经费支出统计图
R ＆ D经费支出/亿元
30000
25000
20000
15000
10000
5000
0
2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021
年份
图6-17
194 数学 七年级下册2012～～2021年我国R&D经费支出占比统计图
R&D经费支出在GDP中占比
30
. %
25
. %
20
. %
15
. %
10
. %
05
. %
0 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021
年份
图6-18
2012～～2021年我国R&D经费支出占比统计图
根据需求，还可绘制其
他统计图，如条形统计图
R&D经费支出在GDP中占比
25
.
（柱形图）、扇形统计图（饼
20
图）、频数直方图（直方图） .
等 ， 如 图 6-19 是 2012～ 15
.
2021年我国 ＆ 经费支出
R D 10
.
占比条形统计图。
05
.
试一试：
七年级数学兴趣小组以 0 . 0
2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021
年份
“初中生最爱看的电视节目”
图6-19
为课题，开展一次调查，获
得如表6-14的数据。请用数据处理软件绘制条形统计图和扇形统计图。
表6-14 各类电视节目最爱看的人数统计表
电视节目名称 新闻节目 文艺节目 体育节目 少儿节目 军事节目
男生/人 51 9 198 6 36
爱看的
人数 女生/人 35 180 45 15 5
合计/人 86 189 243 21 41
第6章 数据与统计图表 195综合实践活动
纸巾用量的估计
纸巾是常见的清洁用品，生产面巾纸、手帕纸等与皮肤接触的纸品，
原料须使用木材、竹子、草类等原生纤维，不得使用回收纸，故需要采伐
大量木材、竹子等。请根据本校学生的纸巾使用情况，估计本校学生一年
要用多少纸巾，以及为了制造这些纸巾需要砍伐多少棵树。
任务
1. 了解原料：到图书馆或上网查阅相关资料，或者实地访问纸巾生产
厂家，了解纸巾的种类，以及制作纸巾所用的原料和原料利用情况（如1
千克木材可以加工出多少克纸浆，制作多少克、多少张纸巾等）。
2. 调查用量：通过问卷调查，收集本校学生使用不同类型纸巾的数量
等相关数据，了解原生木浆纸巾的用量及占比。
3. 分析数据：依据调查数据，估计本校学生一年使用的原生木浆纸巾
需要砍伐木材的数量（木材利用率可以按1 木材生产600 纸巾的比例
kg g
计算）。
4. 对照体验：考查校园树林，选择一棵树。通过实地测量、计算，估计
本校学生一年所用的纸巾量，计算制造这些纸巾需要砍伐多少棵这样的树。
5. 成果展示：撰写估计纸巾用量的研究报告，与同学分享研究过程和
成果，交流研究体会。
建议
1 着重对原生木浆的纸巾加以研究。
.
2 按问题解决的步骤分步进行，先设计详细的研究方案，再实施研
.
究。如纸巾用量的调查阶段，不仅要设计调查方案，还要确定用纸量的计
算方法等；实地对照体验阶段，估计木材需求量，需要设计测量方案、确
定计算方法等。
3 给自己组的研究报告取一个能引起他人关注的标题。
.
评价与反思
评价：对自己小组及他组的研究过程、成果等进行评价，提出改进建议。
反思：回顾研究所用的数学知识和方法，反思改进本组研究报告，撰
写个人综合实践活动感悟。
196 数学 七年级下册小结与反思
一、知识梳理
本章在小学知识基础上，进一步学习了数据的收集、整理和描述。全面调查、
抽样调查是收集数据的两种常用方法，抽样要有代表性。用统计图表描述和表达
数据，有助于探索和发现数据中蕴含的规律，获取数据的有用信息。各种统计图的
适用情况不同，要从实际问题出发，选择恰当的统计图表整理、描述、表达数据。从
特殊到一般，注重调查研究，用样本估计总体等，是统计学习和问题解决中常用的
思想方法。
本章学习流程和知识结构如下：
全面调查
收集数据
抽样调查 简单随机抽样
条形统计图
分
统计图 折线统计图 趋势图
析
数
整理数据 统计表 扇形统计图 据
频数直方图
频数
频率
二、回顾与反思
1 . 常用的调查方法有哪些？分别适合在什么情况下使用？抽样调查选取样本
时要注意什么问题？
2 . 常用的统计图有哪些类型？它们各有怎样的特点？
3 . 什么是频数和频率？两者之间有怎样的关系？
4 . 如何画频数直方图？有哪些主要步骤？请举例说明。
5 . 在本章的学习中，你获得了哪些解决问题的方法和经验？还有哪些需要注
意的问题？
第6章 数据与统计图表 197目标与评定
A
目目标标 61..14节节
★体会抽样的必要性，通过实例了解简单随机抽样。
★进一步经历收集、整理、描述数据的活动，了解数据处理的过程。
1. 下表表示的是去年A，B，C，D，E，F六个城市小轿车的拥有量。
A
B
C
D
E
F
其中 表示1万辆车。
（1）哪个城市的小轿车拥有量最多？约为多少辆？
（2）估计B城市小轿车的拥有量是A城市的百分之几（结果保留一位小数）。
2. 为了考查4名篮球运动员投篮的命中率，让每名运动员投篮10次。
（1）你认为需要获取哪些数据？如何获取这些数据？
（2）记录员记下这4名运动员投篮命中次数如下：
一
甲：正 ；乙：正 ；丙：正 ；丁：正正。
请将数据整理后填写下表。
运动员 甲 乙 丙 丁
命中次数
命中率/
%
3. 为制订某市七、八、九年级学生校服的生产计划，有关部门需要了解这三个年级
男生的身高情况。现有三种调查方案：
①测量参加学校男子篮球、排球队的七、八、九年级共180名男生的身高；
②查阅有关外地七、八、九年级共180名男生身高的统计资料；
198 数学 七年级下册③在该市的市区和郊县均任选3所初中，在这6所学校七、八、九各年级的一班
中，用抽签的方法分别选出10名男生，然后测量他们的身高。
你认为采用上述哪一种调查方案比较合适？为什么？
4. 某市去年7月份果市行情如下：
浙江奉化水蜜桃24
.
00元/千克，浙江嵊州桃形李22
.
80元/千克，
浙江浦江巨峰葡萄12
.
00元/千克，广西田东桂七芒31
.
00元/千克，
贵州六马蜂糖李35
.
50元/千克，广西田阳大青芒12
.
00元/千克，
浙江嘉兴阳光玫瑰葡萄17
.
98元/千克，新疆库尔勒香梨14
.
00元/千克，
湖南炎陵黄桃17
.
60元/千克，山东莱阳秋月梨12
.
00元/千克，
山东蒙阴黄桃8
.
20元/千克，福建建宁黄花梨5
.
60元/千克。
请根据上述文字叙述，按水果品名、品种、产地、价格制作一个统计表。
B
目目标标 61..24节节63节
.
★了解条形、折线、扇形三种统计图的特点和作用。
★会制作扇形统计图，能用统计图直观、有效地描述数据。
★通过表格、折线图、趋势图等，感受随机现象的变化趋势。
5. 小佳同学一周内参加户外活动的时间如下表。
日期 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日
时间/分 70 80 60 70 80 90 140
根据表中的数据，绘制条形统计图。
6. 生活水平的提高和医疗卫生事业的不断发展，对世界人口增长有极大的促进作
用，下表表示世界人口增长经历的时间。
300万 公元前 公元
时间 1600年1800年1930年1960年1976年1999年2011年2021年
年前 7000年 1年
人口总 人类
01 17 54 96 198 298 404 602 700 788
数/亿 出现 . . . . . . . . . .
请根据上表绘制折线统计图，并利用统计图对世界人口的增长作简短评述。
7. 浙江省陆地面积为10 . 55万平方千米，其中山地丘陵占74 . 6 %，平原占20 . 3 %，水
域占5 . 1 %。绘制扇形统计图，表示各部分面积的比例。
第6章 数据与统计图表 1998. 有研究显示，中学生每日食物摄取量应保持均衡，才能更好地生长发育。请用扇
形统计图表示A，B，C，D，E各类食物摄取量所占的比例。
中学生每日食物摄取量
A
B
C
D
E
（第8题）
C
目目标标 61..44节节
★通过实例，了解频数和频数分布的意义。
★会将数据分组，求出每一组的频数、频率，并列出频数表。
★体会样本与总体的关系，会用样本的频数分布估计总体的频数分布。
9. 某商店12月第一周五种不同品牌牙膏的销售量如下表所示：
牙膏品牌 A B C D E
售出支数 6 7 18 34 15
（1）品牌A牙膏销售量的频数是多少？它的实际意义是什么？
（2）品牌D牙膏销售量的频率是多少？它的实际意义是什么？
10. 从某服装厂即将出售的一批休闲装中抽检200件，其中不合格的休闲装有
15件。
（1）抽检样本的样本容量是多少？
（2）抽检中合格的频数、频率分别是多少？
（3）抽检中不合格的频数、频率分别是多少？
（4）销售2000件这种休闲装，大约有多少件不合格的休闲装？
200 数学 七年级下册11. 为了考察七年级学生的目测估计能力，教师任抽一个班级，在班上展示一根筷
子，让每个学生目测它的长度（
cm
），获得以下数据：
28，27，29，28，29，30，31，28，27，26，
28，27，29，29，28，28，28，28，27，28，
29，27，28，29，29，29，24，34，27，28，
29，29，29，28，27，29，30，28，27，28。
（1）该班级共有多少学生？
（2）取组距为2 cm，将这组数据分组，求出每一组的频数和频率，并列出频数
表。根据频数表，你认为这根筷子的长度最有可能是多少厘米？
12. 在某长途汽车站，一社会调查小组随机调查了50名旅客的候车时间，获得如下
数据（单位：分）：
16，2， 37，25，18，7， 14，7， 22，34，40，25，31，19，15，
8， 26，23，19，21，38，30，24，21，18，20，24，26，18，23，
5， 12，19，27，20，21，24，35，18，27，9， 17，26，31，8，
4， 22，20，17，30。
（1）将数据适当分组，列出频数表。
（2）根据所列频数表，候车时间为17～21分钟（含17分钟和21分钟）的候车者
约占百分之几？
D
目目标标 16 ..54节节
★能画频数直方图。
★能利用频数直方图解释数据中蕴含的信息。
13. 统计七年级部分女生的跳远测试成绩，得到如下频数直方图（每组含前一个边
界值，不含后一个边界值）。
七年级部分女生跳远测试成绩的频数直方图
（1）参加测试的总人数是多少人？ 频数
（2）组距为多少？ 20
20
（3）频数最大的是哪一组？说出该 16
13 13
12
组的组中值和组边界值。 8
8
（4）跳远成绩在1
.
46
m
（含1
.
46
m
）
4
以上的有多少人？占总人数的 0
136 156176 196 跳远成绩/m
. . . .
百分之几？
（第13题）
第6章 数据与统计图表 20114. 对一家玩具公司制造的40件不同大小的绒毛玩具的质量（ g ）进行检测，得到如
下的频数表（部分空格未填）。
某玩具公司制造的40件绒毛玩具质量的频数表
组别/g 组中值/g 频数 频率
550 5～600 5 575 5 4
. . .
600 5～650 5 10
. .
675 5 12
.
700 5～750 5 8
. .
775 5 6
.
合计
（1）完成该频数表。
（2）画出频数直方图。
（3）在频数直方图上，把表示质量为600 . 5～750 . 5 g的各长方形涂上同一种颜
色。这部分绒毛玩具的数量约占总数的百分之几？
15. 测量36名老人的血压，获得舒张压数据如下（单位：毫米汞柱）：
100，110，80，88，90， 80， 87，88，90，78，120，80，
82， 84，88，89，72，100，110，90，80，85， 86，88，
90， 88，87，85，70， 80， 88，89，90，92， 85，84。
（1）按组距5毫米汞柱将数据分组，确定每组的组中值，列出频数表。
（2）画出频数直方图。
E
目标
★初步学会用统计图表分析社会生活与科学领域的实际问题。
16. 下表是2017～2021年浙江省人均可支配年收入和人均年消费的统计数据。
年份 2017 2018 2019 2020 2021
人均可支配年收入/万元 4
.
20 4
.
58 4
.
99 5
.
24 5
.
75
人均年消费/万元 2
.
71 2
.
95 3
.
20 3
.
13 3
.
67
（1）请根据上表绘制条形统计图和折线统计图（可利用计算机制作）。
（2）以“居民的收入与消费”为题对浙江省的发展状况作简短评述。
202 数学 七年级下册17. 根据H市快餐公司数量统计图和各快餐公司盒饭年销售量平均数统计图所提
供的信息，回答下面的问题：
2021～～2023年H市快餐公司 各快餐公司盒饭年销售量
数量的统计图 平均数的统计图
数量/个 销量/万盒
80 80 40
70
59
60 30
50
50
40 20
30
20 10
10
0 0
2021 2022 2023 年份 2021 2022 2023 年份
（第17题）
（1）2022年该市销售盒饭共 万盒。
（2）该市盒饭销量最大的年份是 年，这一年的年销量是 万盒。
（3）这三年中该市年平均销售盒饭多少万盒？
18. 对若干只节能灯的使用寿命进行检测，得到如图的频数直方图（每一组含前一
个边界值，不含后一个边界值）。请根据直方图回答下列问题。
被检测节能灯使用寿命的频数直方图
频数
10
8
6
4
2
0
7500 8500 9500 10500 11500 12500 节能灯寿命/时
（第18题）
（1）被检测的节能灯共有多少只？
（2）直方图中的组距为多少？
（3）频数最大的是哪一组？请说出该组的组中值和频率。
（4）使用寿命在10 000小时以上（含10 000小时）的节能灯有多少只？占被检
测节能灯总数的百分之几？
第6章 数据与统计图表 20319. 下面两个频数直方图分别表示我国K市与J市去年4月份的日平均气温分布情
况（直方图中每一组含前一个边界值，不含后一个边界值）。
K市去年4月份日平均气温的 J市去年4月份日平均气温的
频数直方图 频数直方图
频数 频数
10 10
8 8
6 6
4 4
2 2
0 0
4 8 12 16 20 24 日平均 4 8 12 16 20 24 日平均
气温/℃ 气温/℃
（第19题）
（1）K市日平均气温的最大值至少是多少摄氏度？J市日平均气温的最小值至
少是多少摄氏度？
（2）K市和J市日平均气温在14 ℃以上（包括14
℃
）分别有多少天？
（3）你认为K市与J市，哪一个城市去年4月份的日平均气温较高？请说明
理由。
204 数学 七年级下册后 记
本套教科书吸收了我国基础教育和课程教材研究的经验，继承前两
版教科书的精华，又汲取了近阶段基础教育课程改革和最新研究成果，凝
聚着数学教育专家、教学研究人员和一线教师的集体智慧。
教材编写团队对教科书的结构、体系、内容及文字等做了大量辛勤、
认真的工作，力求使本套教科书能充分落实《义务教育数学课程标准
（ 年版）》的理念，以核心素养为导向，进一步强调学生获得数学基本
2022
知识、基本技能、基本思想和基本活动经验，发展运用数学知识与方法发
现、提出、分析和解决问题的能力，注重反映社会进步对学校数学的新要
求，并适当体现现代的、新的教学思想和教学方法，为学生提供数学活动
和自主学习的空间。编写者还提供了丰富的课程资源，努力使本套教科
书具有较强的时代感和拓展性。
本套教科书的编写，得到前版副主编岑申、核心作者金才华等老师的
大力支持，他们提供了宝贵的经验。我们还得到全国许多专家、学者和中
学一线教师的帮助和支持，对此，我们深表感谢。
为了编好这套教科书，我们在教科书中引用了不少资料和图片，得到
了原作者的支持，对此我们也诚挚地表示感谢。
欢迎您对本书的内容、栏目、装帧、印刷质量等提出意见或建议，我们
将认真对待并努力改进。我们的联系方式是：信件寄送至浙江省杭州市
环城北路 号浙江数字出版大楼 层，浙江教育出版社沈老师；也可以
177 20
发送电子邮件到 ；或致电 。
82514130@qq.com 0571 88909737
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浙江教育出版社义务教育教科书
数 学 七年级下册
YIWUJIAOYUJIAOKESHU
SHUXUE QINIANJIXIACE
项目统筹 何黎峰
责任编辑 华 琼 沈子清 责任校对 余晓克
美术编辑 钟吉菲 责任印务 陆 江
出 版 浙江教育出版社
（杭州市环城北路177号 电话：0571 88909737）
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图文制作 杭州兴邦电子印务有限公司
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开 本 787mm 1092mm 1/16
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印 张 13.25
字 数 265000
版 次 2024年12月第1版
印 次 2024年12月第1次印刷
标准书号 ISBN978-7-5722-9267-5
定 价 13.03元
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