数学七下湘教版（2025春）_初中数学_湘教版

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教 义务教育教科书
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义务教育教科书
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七年级下册
七
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ISBN 978-7-5539-9993-7
9787553999937>
定价： 元
湘教封面 数学2 改字体.indd 2 2024/3/9 19:16七年级下册
义务教育教科书
YIWU JIAOYU JIAOKESHU
数 学
SHUXUE顾 问 袁亚湘 郑志明
主 编 丘维声
副 主 编 柳 彬
编写人员 成礼智 李建利 李铁安 李超贵 邹楚林
周大明 胡 涛 胡元彬
著作权所有，请勿擅用本书制作各类出版物，违者必究。
图书在版编目（CIP）数据
义务教育教科书. 数学七年级下册 / 丘维声主编. —长沙：
湖南教育出版社，2024.12
ISBN 978-7-5539-9993-7
Ⅰ. ①义… Ⅱ. ①丘… Ⅲ. ①中学数学课—初中—教材
Ⅳ. ①G634
中国国家版本馆CIP数据核字（2024）第039728号
义务教育教科书
数 学
七年级下册
YIWU JIAOYU JIAOKESHU
SHUXUE
QINIANJI XIACE
责任编辑：邹伟华 肖雨峰
美术编辑：张婷婷
湖南教育出版社出版(长沙市韶山北路443号)
电子邮箱：hnephmath@126.com
客服电话：0731-85486740
湖 南 出 版 中 心
湖南省新华书店发行
湖南天闻新华印务有限公司印刷
787 mm×1092 mm 16开 印张：11.75 字数：191 000
2024年12月第1版 2024年12月第1次印刷
ISBN 978-7-5539-9993-7
定价： 元
如有质量问题，影响阅读，请与湖南出版中心联系。
联系电话：0731-88388986前 言
亲爱的同学，很高兴又与你在新学期相会！本学期又要学习哪
些数学知识呢？下面先为你简单解惑.
上学期，你已经学习了整式的加法和减法运算. 这学期你将在
第 章“整式的乘法”中学习整式的乘法运算，以及一些最重要且
1
最基础的乘法公式. 这能帮助你快速地解决一些数学问题.
第 章“实数”将带你认识一种新的数——无理数. 它和有理
2
数统称实数. 实数也可进行加、减、乘、除、乘方运算. 除此之外，
你还将学习两种新的运算——开平方（仅限于非负实数）和开立方.
在第 章“一元一次不等式（组）”，你将类比上学期学习的等式
3
的基本性质和一元一次方程，学习不等式的基本性质、一元一次不
等式（组）的解法及其应用等.
在第 章“平面内的两条直线”，你将开启同一平面内两种位置
4
关系的直线——相交线与平行线的探索之旅. 对于平行线，主要探
索它的性质与判定及其应用. 对于相交线，主要探索一种特殊的相
交线——垂线的判定与性质及其应用.
在小学，你已经初步认识了轴对称与旋转. 在此基础上，第
5
章“轴对称与旋转”将带你进一步认识它们，并了解它们的基本
性质.
在当今及未来时代，“用数据说话”变得越来越重要. 第 章
6
“收集、整理与描述数据”将在你已有知识的基础上，告诉你怎样从
实际问题出发获得数据，以及如何用恰当的方式将这些数据有条理
地呈现出来.
在“综合与实践”专栏，你将体验《统筹时间》《长方体包装盒
的设计与制作》《利用变换设计美丽图形》《家乡变化情况的调查》.
1在“数学文化”专栏，你将了解《无理数的由来》，走近《华罗
庚：“人民的数学家”》，向伟大的数学家致敬.
本学期，建议你努力增强学习数学的兴趣，在总结已有学习方
法的基础上，加强独立思考，深入分析每一个问题，探寻解决思路，
逐渐学会“说点道理”，并及时反思总结，寻找适合自己的科学学习
方法，这样才能高效学好本册知识.
在上学期的学习中，你可能取得了令自己满意的收获，我们真
心地祝贺你，但请戒骄戒躁，继续努力；如果你遇到了困难，还请
认真查找问题在哪儿，并想办法解决. 我们相信，你肯定行
!
2目目 录录
1
第 章 整式的乘法
1
1.1 整式的乘法 2
1.2 乘法公式 15
■ 小结与评价 23
■ 复习题1 24
22
第第 章章 实 数
27
2.1 平方根 28
2.2 立方根 35
2.3 实 数 39
■ 多知道一点 系数为实数的多项式、一次方程（组） 46
■ 现代技术应用 用计算机找一个正数的平方根的近似值 48
■ 小结与评价 49
■ 复习题2 51
■ 数学文化 无理数的由来 53
233
第第第 章章章 一元一次不等式（组） 55
3.1 不等式的意义 56
3.2 不等式的基本性质 59
■ 多知道一点 关于不等式基本性质1的说明 65
3.3 一元一次不等式的解法 66
3.4 一元一次不等式的应用 71
3.5 一元一次不等式组 74
■ 多知道一点 含有绝对值的一元一次不等式 78
■ 小结与评价 79
■ 复习题3 81
■ 数学文化 华罗庚：“人民的数学家” 84
综合与实践 统筹时间 8877
1243
第第第 章章章 平面内的两条直线
89
4.1 平面内两条直线的位置关系 90
4.2 平 移 97
4.3 平行线的性质 103
4.4 平行线的判定 107
4.5 垂 线 113
4.6 两条平行线间的距离 121
■ 多知道一点 两条平行线的所有公垂线段都相等 124
■ 小结与评价 125
■ 复习题4 127
综合与实践 长方体包装盒的设计与制作 131
5
第 章 轴对称与旋转
133
5.1 轴对称 134
5.2 旋 转 140
5.3 平面图形变换的简单应用 145
■ 现代技术应用 用计算机作几何变换图形 149
■ 小结与评价 151
■ 复习题5 153
综合与实践 利用变换设计美丽图形 156
6
第 章 收集、整理与描述数据
158
6.1 抽样调查 159
6.2 统计图 164
■ 现代技术应用 用计算机制作统计图 172
■ 小结与评价 174
■ 复习题6 176
综合与实践 家乡变化情况的调查 180
2第 1 章
整 式 的 乘 法
同学们已经知道整式可以进行加减运算，但在解决一些问题
时可能需要对整式进行乘法运算. 例如，已知光在某种介质中的
传播速度v及传播时间t，求光传播的距离等.
整式具体如何进行乘法运算？比如，单项式与单项式如何相
乘呢？单项式与多项式如何相乘呢？多项式与多项式如何相乘
呢？对于一些特殊的多项式与多项式相乘，是否可以从中总结出
一些利于简便计算的公式呢？本章将主要学习这些内容.^jc^k:^j(k
j k
1.1 整式的乘法
1􀆰 1􀆰 1 同底数幂的乘法
在上学期，我们已经知道an = a ⋅ a ⋅ …⋅ a，其中a是有理数，n为正整数.
n个a
做一做
22×24= ； a2 ⋅ a4= ；
a3 ⋅ am = （m是正整数）.
由乘方的定义可知：
22×24=（ 2×2）×（ 2×2×2×2）=2×2×2×2×2×2=26.
2个2 4个2 （2+4）个2
a2 ⋅ a4=（  a ⋅ a）⋅（  a ⋅ a ⋅ a ⋅ a）= a ⋅ a ⋅ a ⋅ a ⋅ a ⋅ a=a6.
2个a 4个a （2+4）个a
a3 ⋅ am =（  a ⋅ a ⋅ a）⋅（  a ⋅ a ⋅ …⋅ a）= a ⋅ a ⋅ …⋅ a=a3+m.
3个a m个a （3+m）个a
说一说
比较上述三个等式两端的底数和指数，你会发现什么？
底数不变，指数相加.
一般地，若m，n都是正整数，则
am ⋅ an =（  a ⋅ a ⋅ …⋅ a）⋅（  a ⋅ a ⋅ …⋅ a）= a ⋅ a ⋅ …⋅ a=am+n.
m个a n个a （m+n）个a
也就是
am
⋅
an =am+n（m，n都是正整数）．
即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
2第1章 整式的乘法
例1 计算：
（1）105×103； （2）x3 ⋅ x4.
解 （1）105×103=105+3=108.
（2）x3 ⋅ x4 = x3+4 = x7.
议一议
下列计算对不对？如果不对，应怎样改正？
（1）a2 ⋅ a5=a10； （2）a3 ⋅ a3=2a6；
（3）a ⋅ a4=a4.
例2 计算：
（1）-a ⋅ a3； （2）-yn ⋅ yn+1（n是正整数）.
解 （1）-a ⋅ a3 =（-1）⋅ a1+3 = -a4.
（2）-yn ⋅yn+1=（-1）⋅ yn+n+1=-y2n+1.
例3 计算：
（1）y ⋅ y2 ⋅ y4； （2）（-x）×（-x2）×（-x3）.
解 （1）y ⋅ y2 ⋅ y4=（y ⋅ y2）⋅ y4=y3 ⋅ y4=y7.
（2）（-x）×（-x2）×（-x3）= -（x ⋅ x2 ⋅ x3）
= -（x3 ⋅ x3）
=
-x6.
例3还可以这样计算：
（1）y ⋅ y2 ⋅ y4=y1+2+4=y7.
（2）（-x）×（-x2）×（-x3）=-x1+2+3=-x6.
做一做
am ⋅ an ⋅ ak =？（m，n，k都是正整数）
3数学 七年级下册
练 习
1 计算：
（
1
） 56×54； （
2
）x
⋅
x3；
（ 3 ）（ -2 ）3× （ -2 ）4； （ 4 ） -a5 ⋅ a5；
（ 5 ）xm+1 ⋅ xm-（1 其中m>1 ，且 m 是正整数）.
2 计算：
（ 1 ）x2 ⋅ x3 ⋅ x4； （ 2 ）（ -x） ×x3× （ -x5）；
（
3
）xn
⋅
xn+1
⋅
xn+（2 n是正整数）.
1􀆰 1􀆰 2 幂的乘方
做一做
（22）3= ； （a2）3= ；
（a2）m
=
（m是正整数）.
由乘方的定义可知：
（22）3=22 ⋅ 22 ⋅ 22=22+2+2=22×3=26.
（a2）3=a2 ⋅ a2 ⋅ a2=a2+2+2=a2×3=a6.
m个2
（a2）m = a  2 ⋅ a  2 ⋅ …⋅ a2=a2+2+…+2=a2⋅m =a2m.
m个a2
说一说
比较上述三个等式两端的底数和指数，你会发现什么？
底数不变，指数相乘.
一般地，若m，n都是正整数，则
4第1章 整式的乘法
（am）n = a  m ⋅ a  m ⋅…⋅ am
n个am
n个m
=am+m+…+m
=amn.
也就是
（am）n
=
amn（m，n 都是正整数）.
即幂的乘方，底数不变，指数相乘.
议一议
下列计算对不对？如果不对，应怎样改正？
（1）（a2）5=a7； （2）（a3）2=a9.
例4 计算：
（1）（105）2； （2）-（a3）4.
解 （1）（105）2=105×2=1010.
（2）-（a3）4=-a3×4=-a12.
例5 计算：
（1）（xm）4（m是正整数）； （2）（a4）3 ⋅ a3.
解 （1）（xm）4=xm⋅4=x4m.
（2）（a4）3 ⋅ a3=a4×3 ⋅ a3=a12+3=a15.
练 习
1 填空：
（
1
）（ 104）3= ； （
2
）（a3）3
=
；
（
3
）
-
（x3）5= ； （
4
）（x3）m+1= （m是正整数）；
（ 5 ）（x2）3 ⋅ x2= .
2 下列计算对不对？如果不对，应怎样改正？
（
1
）（a5）3=a8； （
2
）（a2）2=a4.
3 自己编写两道幂的乘方运算题，并与同学交流计算过程与结果.
5数学 七年级下册
1􀆰 1􀆰 3 积的乘方
做一做
（3x）2= ； （ab）3= .
由乘方的定义可知：
（3x）2 = 3x ⋅ 3x =（3 × 3）⋅（x ⋅ x）= 9x2.
（ab）3 =（ab）⋅（ab）⋅（ab）
=（a ⋅ a ⋅ a）⋅（b ⋅ b ⋅ b） ……乘法的交换律、结合律
=
a3b3.
思 考
观察上述运算过程，你能推导出下面的公式吗？
（ab）n
=
anbn（n是正整数）.
（ab）n =（

a

b） ⋅（

a

b

） ⋅…⋅（

ab）
n个ab
=（  a ⋅ a ⋅ …⋅ a）⋅（  b ⋅ b ⋅ …⋅ b）
n个a n个b
=anbn（n是正整数）.
于是可以得到：
积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.
议一议
（abc）n =anbnc（n n是正整数）成立吗？试说明理由.
例6 计算：
（1）（-2x）3； （2）（xy2）5；
( )
4
1
（3）（-xy）2； （4）
-
xy2z3 .
3
6第1章 整式的乘法
解 （1）（-2x）3=（-2）3 ⋅ x3=-8x3.
（2）（xy2）5=x5 ⋅（y2）5=x5y10. 括号内每一个
因式都要乘方.
（3）（-xy）2=（-1）2 ⋅ x2 ⋅ y2=x2y2.
( ) ( )
4 4
1 1 1
（4） - xy2z3 = - ⋅ x4 ⋅（y2）4 ⋅（z3）4= x4y8z12.
3 3 81
做一做
下列计算对不对？如果不对，请改正.
（1）（ab3）2=ab6； （2）（2xy）3=6x3y3；
（3）（-3a2b）2=9a4b； （4）（-x3y）5=x15y5.
例7 计算：
（1）（3x5）4-（2x4）5； （2）（-x2y2）3-（4x3y3）2.
解 （1） （3x5）4-（2x4）5
=81x20-32x20
=49x20.
（2） （-x2y2）3-（4x3y3）2 计算结果中如
=-x6y6-16x6y6 有同类项，要合并
同类项.
=-17x6y6.
练 习
1 计算：
( )
3
1
（ 1 ） x ； （ 2 ）（ -xy）4；
2
（
3
）（ -5x3y）3； （
4
）（ -3ab2c3）4.
2 下列计算对不对？如果不对，应怎样改正？
（
1
）（ab3）2=a2b5； （
2
）（ -2ab2）2=4ab4.
3 计算：
-
（xyz）4+ （ 2x2y2z2）2.
7数学 七年级下册
1􀆰 1􀆰 4 单项式的乘法
思 考
怎样计算单项式4xy与单项式-3xy2的乘积？
规定单项式与单项式相乘的法则，目标就是让整式的乘法满足交换律和结
合律.
于是，4xy与-3xy2相乘，应为
4xy ⋅（-3xy2）=［4×（-3）］⋅（x ⋅ x）⋅（y ⋅ y2）
=-12x2y3.
因此，单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘.
例8 计算：
（1）（-2xy2）⋅ 3x2y； （2）（4x）3 ⋅（-5xy3）；
( )
1
（3）8xy ⋅ - xny2（n是正整数）.
6
解 （1） （-2xy2）⋅ 3x2y
=［（-2）×3］⋅（x ⋅ x2）⋅（y2 ⋅ y）
=-6x3y3.
（2） （4x）3 ⋅（-5xy3） 只在一个单项式里含有
的字母，连同它的指数作为
=［43×（-5）］⋅（x3 ⋅ x）⋅ y3
积的一个因式.
=-320x4y3.
( )
1
（3） 8xy ⋅ - xny2
6
( )
éêê
1
ùúú
=êê8× - úú ⋅（x ⋅ xn）⋅（y ⋅ y2）
ë 6 û
4
=-
xn+1y3.
3
8第1章 整式的乘法
做一做
( )
1 2 3
计算 x3y2 ⋅ - xy3z ⋅ xy2z，并将结果与同学交流.
2 3 5
例9 计算：2xy2 ⋅ x3y3+（-5x3y4）⋅（-3xy）.
解 2xy2 ⋅ x3y3+（-5x3y4）⋅（-3xy）
=2x1+3y2+3+15x3+1y4+1
=2x4y5+15x4y5
=17x4y5.
例10 天文学上计算天体之间的距离常用“光年”作为单位， 1光年就是
光在真空中沿直线传播一年所经过的距离. 光在真空中的速度约为3×108m/s，
1年约为3. 15×107 s . 计算1光年约为多少米.
解 根据题意得
3×108×3. 15×107=（3×3. 15）×（108×107）
=9.
45×1015（m）.
答：1光年约为9. 45×1015米.
练 习
1 计算：
( )
1
（ 1 ） 2x2y ⋅ - xy2z ； （ 2 ）（ -3x2y）2 ⋅ 7xy2.
10
2 计算（其中n是正整数）：
( )
2
1
（
1
）（ -2xn+1）
⋅
3xn； （
2
）
-
xny
⋅
4xy2.
5
3 下面的计算对不对？如果不对，应怎样改正？
（ 1 ） 4x2 ⋅ 3x3=12x6； （ 2 ）（ -x2） ⋅ （ 2x）2=4x4.
4 计算：（ -2x2） ⋅ 3xy4-2x2y3 ⋅（-4xy）.
5 某卫星绕地球飞行的速度是 3. 1×103m/s ，求其飞行 3×102s 所走的路程.
9数学 七年级下册
1􀆰 1􀆰 5 多项式的乘法
思 考
怎样计算单项式2x与多项式3x2-x-5的乘积？
规定单项式与多项式相乘的法则，目标是让整式的乘法满足乘法对加法的
分配律. 于是，2x与3x2-x-5相乘，应为
2x ⋅（3x2-x-5）
要将3x2-x-5
=2x ⋅ 3x2+2x ⋅（-x）+2x ⋅（-5） 看作各项的代数和.
=6x3-2x2-10x.
因此，单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式中的每一项，再把所得
的积相加.
例11 计算：
( ) ( )
1 1
（1）2x2 ⋅ 4xy- x+1 ； （2） -3x2+ y2 ⋅（-15xy）.
2 5
( ) ( )
1 1
解 （1）2x2 ⋅ 4xy- x+1 =2x2 ⋅ 4xy+2x2 ⋅ - x +2x2 ⋅ 1
2 2
=8x3y-x3+2x2.
( )
1 1
（2） -3x2+ y2 ⋅（-15xy）=（-3x2）⋅（-15xy）+ y2 ⋅（-15xy）
5 5
=45x3y-3xy3.
议一议
下列计算对不对？如果不对，应怎样改正？
（1）（3x2y-xy2）⋅ x=3x2y-xy2；
（2）（-2x）（x2+3x-1）=-2x3-6x2-2；
( )
1 1
（3）x x- y+z =x2- xy+xz.
3 3
10第1章 整式的乘法
( )
1
例12 （1）计算： - x2 ⋅（4xy-6y2）-4x2 ⋅（-xy）；
2
（2）当x取2，y取-1时，求（1）中多项式的值.
( )
1
解 （1） - x2 ⋅（4xy-6y2）-4x2 ⋅（-xy）
2
( ) ( )
1 1
= - x2 ⋅ 4xy+ - x2 ⋅（-6y2）+4x3y
2 2
=-2x3y+3x2y2+4x3y
=2x3y+3x2y2.
（2）将x用2代入，y用-1代入，（1）中多项式的值为
2×23×（-1）+3×22×（-1）2=-16+12=-4 .
练 习
1 计算：
（ 1 ） 3x ⋅ （ 5x-3y）； （ 2 ）（ -8x2） ⋅ （x-5y）；
（ 3 ）（ 7x2-x+1 ） ⋅ 4x； （ 4 ）（ 2x+1 ） ⋅ （ -6x）.
( )
éêê
1 1
ùúú
2 （ 1 ）计算：（ -2xy） ⋅êê3xy2- x ⋅ - x+4y2 úú；
ë 2 2 û
1
（
2
）当x取
-2
，y取 时，求（
1
）中多项式的值.
2
思 考
怎样计算多项式x-2y与多项式3x+y的乘积？
规定多项式与多项式相乘的法则，目标也是使整式的乘法满足乘法对加法
的分配律.
于是，x-2y与3x+y相乘，应为
（x-2y）（ 3x+y） =x ⋅（3x+y） + （ -2y） ⋅（3x+y）
=x ⋅ 3x+x ⋅ y+ （ -2y） ⋅ 3x+ （ -2y） ⋅ y
=3x2+xy-6xy-2y2
=3x2-5xy-2y2.
11数学 七年级下册
因此，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项
式的每一项，再把所得的积相加.
这样规定多项式的乘法后，可以证明：整式的乘法既满足交换律、结合
律，又满足乘法对加法的分配律.
例13 计算：
（1）（2x+y）（x-3y）； （2）（5x-2）（3x2-x-5）.
解 （1） （2x+y）（x-3y）
=2x ⋅ x+2x ⋅（-3y）+y ⋅ x+y ⋅（-3y）
=2x2-6xy+xy-3y2
=2x2-5xy-3y2.
（2） （5x-2）（3x2-x-5）
=15x3-5x2-25x-6x2+2x+10
=15x3-5x2-6x2-25x+2x+10
=15x3-11x2-23x+10 .
例14 计算：
（1）（x-y）（x2+xy+y2）； （2）（x+y）（x2-xy+y2）.
解 （1） （x-y）（x2+xy+y2）
=x3+x2y+xy2-yx2-xy2-y3
=x3-y3.
（2） （x+y）（x2-xy+y2）
=x3-x2y+xy2+yx2-xy2+y3
=x3+y3.
做一做
（1）设a，b，c都是正数，计算（a+b）（a+c）的结果.
（2）一个长方形的长为a+b，宽为a+c，试着画出这个长方形，并
利用这个长方形解释（1）的结果.
12第1章 整式的乘法
（1）（a+b）（a+c）=a2+ac+ba+bc.
（2）可以按图1.1-1所示将这个长方形划分为四部分，然
后分别计算这四部分的面积再求和，就可得到（1）的结果.
实质上，这就是（1）中等式的几何背景. 图1.1-1
练 习
1 计算：
（
1
）（x-2y）（ 4x+3y）； （
2
）（x-5y）（ 3x-y）；
（
3
）（x+y）（x2+xy+y2）； （
4
）（ 3x-y）（ 2x2+5xy-4y2）.
2 用不同的方法计算右边几何图形的面积，可得等式（ ）
a a b
（ A ）（ 2a+b）（a+b） =2a2+b2
a
（ B ）（ 2a+b）（a+b） =2a2+2ab+b2
b
（ C ）（ 2a+b）（a+b） =2a2+3ab+b2
（ D ）（ 2a+b）（a+b） =2a2+3ab+2b2 （第2题图）
习题1. 1
学而时习之
1 填空：
（ 1 ）a2 ⋅ a3= ； （ 2 ）x ⋅ x3 ⋅ x4= ；
（
3
）（ -x）2
⋅
（ -x）3= ； （
4
）（ -a）3
⋅
（ -a）2
⋅
（ -a）
=
.
2 计算：
（
1
）（a2）4； （
2
）（ -xm）5（m是正整数）；
（
3
）
-
（ 3xy3）2； （
4
）（p2q）n（n是正整数）.
3 计算：
（
1
）（ 2×105）×（ 3×106）； （
2
）（
1.
2×104）×（-2. 5×107）.
4 从太阳系外距地球最近的一颗恒星（比邻星）发出的光，大约需要 年时
4.2
间才能到达地球. 光的速度约为 3×108m/s ， 1 年以 3. 15×107s 计算，求
这颗恒星与地球的大概距离.
13数学 七年级下册
5 计算：
（ 1 ） 2x3 ⋅ 3xy； （ 2 ） 4x2y ⋅ （ -5xy2）；
（
3
）axn-1y
⋅
axyn-1（其中a是非零常数，n>1 ，且n是正整数）.
6 计算：
( )
1
（ 1 ）（ 2x2y-xy） ⋅ 3xy； （ 2 ）（ -2x2） ⋅ 4xy2- xy+1 ；
2
（ 3 ） 3x2 ⋅ （ -2xy）2-x3 ⋅ （xy2-2 ）；（ 4 ） 4x ⋅ （x2y-xy2） -3y ⋅ （ 5x3+x2y）.
7 计算：
（
1
）（ 3x+2y）（ 7x-6y）；
（
2
）（ 2x-5y）（ 2xy-3y2）；
（
3
）（ 4x+3y）（x-2y）
-
（ 3x-2y）
⋅
x；
（ 4 ） 2x ⋅ （x2-4x） - （x2+1 ）（ 2x-3 ）.
8 （
1
）计算：（ 2x-y）（ 3x+2y）
-
（ 4x-3y）（ 2x-5y）；
1
（
2
）当x取
-
，y取
1
时，求（
1
）中多项式的值.
2
温故而知新
9 一个长方体的长是 2. 4×104cm ，宽是 1. 5×103cm ，高是 0. 6×103cm ，
求这个长方体的体积及表面积.
10 填空：
（ 1 ）（ ） ⋅ （ -3xy） =-15x2y3； （ 2 ） 2ab ⋅ （ ） =-8a2bc；
（
3
）（ -x2）
⋅
（ ） =7x2y； （
4
）（a2）2
⋅
（ ） =-2a5b.
11 下列计算对不对？如果不对，应怎样改正？
（
1
）（
[
a+b）2]3= （a+b）5； （
2
）
-[-
（x+y）3]2= （x+y）6.
12 计算：
（ 1 ）（x2+2x+2 ）（x+2 ） + （ -x2+1 ）（x-5 ）；
（
2
）（x+2y）（ 2x-2y）
+
（ 2x-2y）（ 3x+2y）
-8
（x2-y2）.
14u(v u*v : u/ *v/
u (v / : u/ ( /uv ( v/
1.2 乘法公式
1􀆰 2􀆰 1 平方差公式
说一说
多项式x+y与x-y相乘，其积为多少？
（x+y）（x-y）=x2-xy+yx-y2=x2-y2.
由此可得到平方差公式：
（x+y）（x-y）=x2-y2.
即多项式x+y与x-y的乘积，等于多项式x2-y2.
设a，b都是正数，且a>b. 将平方差公式中的x用a代入，y用b代入，
可得（a+b）（a-b）=a2-b2.
该式的几何背景是：
如图1.2-1（1），将边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形，则
剩余部分的面积为a2-b2.
（1） （2）
图1.2-1
将剩余部分沿虚线剪开后，拼成一个如图1.2-1（2）所示的长方形，则这个
长方形的长为a+b，宽为a-b，于是，面积为（a+b）（a-b）.
由此可得（a+b）（a-b）=a2-b2.
15数学 七年级下册
例1 计算：
（1）（2x+1）（2x-1）； （2）（x+2y）（x-2y）.
分析 （）（）中两个多项式的乘法都满足平方
1 2
差公式的特征，因而可利用该公式进行计算.
解 （1）将平方差公式中的x用2x代替，y用1
与不用平方差
代替，可得
公式计算相比，哪
（2x + 1 ）（2x - 1）=（2x）2- 1 2=4x2-1 . 种方法更简便？
（2）将平方差公式中的y用2y代替，可得
（x + 2y）（ x - 2y）= x 2-（2y）2=x2-4y2.
( )( )
1 1
例2 运用平方差公式计算： -2x
-
y -2x
+
y .
2 2
1
解 将平方差公式中的x用-2x代替，y用 y代替，可得
2
( )( ) ( )
2
1 1 1 1
-2x- y -2x+ y =（-2x）2- y =4x2- y2.
2 2 2 4
有了平方差公式，x，y分别用任何数代入，或者用任意多项式代入，从平
方差公式可以得到许多有关数或多项式的等式.
例3 运用平方差公式计算：（4a+b）（-b+4a）.
解 （4a+b）（-b+4a）=（4a+b）（4a-b）
将括号内的式子转化
=（4a）2-b2
=16a2-b2. 为平方差公式的形式.
例4 计算：1002×998 .
解 1002×998=（1000+2）×（1000-2）
=10002-22
运用平方差公式可以
=1000000-4
简化一些运算.
.
=999996
16第1章 整式的乘法
练 习
1 运用平方差公式计算：
( )( )
1 1
（ 1 ）（ 3x+y）（ 3x-y）； （ 2 ） m-n m+n ；
2 2
（
3
）（ -1+5x）（ -1-5x）； （
4
）（ -4a-b）（ 4a-b）.
2 计算：
（） ； （） .
1 202×198 2 49. 8×50. 2
1􀆰 2􀆰 2 完全平方公式
做一做
计算：（x+y）2.
由多项式与多项式相乘的法则可得
（x+y）2=（x+y）（x+y）
=x2+xy+yx+y2
=x2+2xy+y2.
于是得到了完全平方公式1：
（x+y）2=x2+2xy+y2.
即多项式x+y的平方等于x与y的平方和加上x与y的积的2倍.
若将完全平方公式1中的y用-y代替，则可得
（x-y）2=x2+2x ⋅ （ -y） +（-y）2=x2-2xy+y2.
于是得到了完全平方公式2：
（x-y）2=x2-2xy+y2.
即多项式x-y的平方等于x与y的平方和减去x与y的积的2倍.
设a，b都是正数，将完全平方公式1中的x用a代入，y用b代入，可得
（a+b）2=a2+2ab+b2.
17数学 七年级下册
如图1.2-2，把一个边长为a+b的正方形分割成四部分，
这四部分的面积分别为ab，b2，a2，ba，
于是（a+b）2=ab+b2+a2+ba=a2+2ab+b2.
实质上，这就是完全平方公式1的几何背景.
图1.2-2
例5 运用完全平方公式计算：
( )
2
1
（1） a
+
； （2）（3m+n）2；
2
（3）（2x-3y）2.
1
解 （1）将完全平方公式1中的x用a代入，y用 代入，可得
2
( ) ( )
2 2
1 1 1
a + = a 2 +2 ⋅ a ⋅ +
2 2 2
1
=a2+a+ .
4
（2）将完全平方公式1中的x用3m代入，y用n代入，可得
（3m + n）2=（3m）2+2 ⋅ 3m ⋅ n + n 2
=9m2+6mn+n2.
（3）将完全平方公式2中的x用2x代替，y用3y代替，可得
（2x - 3y）2=（2x）2 -2⋅ 2x ⋅ 3y +（3y）2
=4x2-12xy+9y2.
有了完全平方公式，x，y分别用任何数代入，或者用任意多项式代入，从
完全平方公式可以得到许多有关数或多项式的等式.
做一做
填表：
算式 与公式中x对应的项 与公式中y对应的项 计算结果
（2a+b）2
（5a-4b）2
18第1章 整式的乘法
说说一一说说
( )
2
1
怎样计算 -x- ？
4
可以直接运用完全平方公式2，也可以将其
( )2
1
变形为 x+ ，再运用完全平方公式1 .
4
例6 计算：
（1）1042； （2）1982.
解 （1）由于1042=（100+4）2，于是可运用完全平方公式1 .
因此1042=（100+4）2
=1002+2×100×4+42
=10000+800+16
.
=10816
（2）由于1982=（200-2）2，于是可运用完全平方公式2 .
因此1982=（200-2）2
=2002-2×200×2+22
运用完全平方公式
=40000-800+4
可以简化一些运算.
.
=39204
练 习
1 运用完全平方公式计算：
( )
2
1
（ 1 ）（ 2x+3 ）2； （ 2 ） 3x + y ；
2
（
3
）（ 5x-2y）2； （
4
）（ -4a-3b）2.
2 计算：
（
1
） 1032； （
2
） 2972.
3 试利用右图解释（a-b）2=a2-2ab+b2. （第3题图）
19数学 七年级下册
1􀆰 2􀆰 3 运用乘法公式进行计算和推理
做一做
运用乘法公式计算：（x+1）（x2+1）（x-1）.
由于多项式的乘法满足交换律和结合律，结合平方差公式，可得
（x+1）（x2+1）（x-1）=［（x+1）（x-1）］（x2+1）
=（x2-1）（x2+1）
=x4-1 .
例7 运用乘法公式计算：
（1）（a+b+c）2； （2）（a-b+c）（a+b-c）.
分析 虽然（）（）都是三项多项式的乘法，但可将其变形，使其满足乘法
1 2
公式的特征.
解 （1）将完全平方公式1中的x用a+b代入，y用c代入，可得
（a+b + c ）2=（a+b）2+2 ⋅（a+b）⋅ c + c 2
=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2.
（2）由于（a-b+c）（a+b-c）=［ a -（b-c）］［ a +（b-c）］，于是可
运用平方差公式.
因此（a-b+c）（a+b-c）=［a-（b-c）］［a+（b-c）］
=a2-（b-c）2
=a2-（b2-2bc+c2）
=a2-b2+2bc-c2.
例8 运用乘法公式计算：
（1）（a+b）2+（a-b）2； （2）（a+b）2-（a-b）2.
解 （ 1 ） （a+b）2+（a-b）2
=a2+2ab+b2+a2-2ab+b2
=2a2+2b2.
20第1章 整式的乘法
（
2
） （a+b）2- （a-b）2
=
（
[
a+b）
+
（a-b）
]
（
[
a+b）
-
（a-b）
]
=2a ⋅ 2b
还有其他方法吗？
=4ab.
例9 运用乘法公式计算：（x+y）3.
解 （x+y）3=（x+y）（x+y）2
=（x+y）（x2+2xy+y2）
=x3+2x2y+xy2+yx2+2xy2+y3
=x3+3x2y+3xy2+y3.
思 考
先填空：（1）152=100×1× +25；
（2）252=100×2× +25；
（3）352=100× × + .
由此猜测：十位数字是a、个位数字是5的两位数可以表示为 ，
它的平方可表示为100× × + .
十位数字是a、个位数字是5的两位数是10a+5 . 由完全平方公式1得
（10a+5）2=（10a）2+2 ⋅ 10a ⋅ 5+52=100a2+100a+25 .
又100a（a+1）+25=100a2+100a+25，
于是（10a+5）2=100a（a+1）+25 .
因此，十位数字是a、个位数字是5的两位数的平方，等于其十位数字a与
a+1的积的100倍，再加上25 . 例如，852=100×8×9+25=7225 .
练 习
1 运用乘法公式计算：
（
1
）（x-2 ）（x+2 ）（x2+4 ）； （
2
）（x+1 ）2（x-1 ）2；
（
3
）（a-b-c）2； （
4
）（x+2y-1 ）（x+2y+1 ）；
（ 5 ）（ 2x+y-1 ）（ 2x-y+1 ）.
21数学 七年级下册
2 运用乘法公式计算：（ 3x-2 ）2-（ 2x+5 ）2.
3 若n是整数，则（n+3 ）2-（ 5n+9 ）一定能被 2 整除. 试说明理由.
习题1. 2
学而时习之
1 运用平方差公式计算：
（ 1 ）（ 2x+5y）（ 2x-5y）； （ 2 ）（ 0. 2x-0. 1 ）（ 0. 1+0. 2x）；
（ 3 ）（ -a-7 ）（a-7 ）； （ 4 ） 102×98 ；
（
5
）（ 2x-y）（ 2x+y）
-
（ 3x+2y）（ 3x-2y）.
2 运用完全平方公式计算：
（
1
）（ 5x+4y）2； （
2
）（ 3x-2y）2；
（
3
）（ -2a+3b）2； （
4
）（ -2a-3b）2；
（
5
）
9.
982.
3 运用乘法公式计算：
（
1
）（ 2x-y）（ 2x+y）
-
（ 2x-y）2； （
2
）（ -a-2b）（a-2b）
+
（a-b）2.
-------
4 一个四位正整数abcd可表示为 1000a+100b+10c+d，若它的各位数字
之和（即a+b+c+d）可以被
3
整除，则这个四位数可以被
3
整除. 试说明
理由.
温故而知新
5 计算： 2[m（m-1 ） +m（m+1 ） ][m（m-1 ） -m（m+1 ）
]
. 若m是任意整
数，观察计算后的结果，你会发现原式表示一个什么数？
6 运用乘法公式计算：（x+2y-3 ）（x+2y+3 ）
-
（x+2y-1 ）2.
|||a b||| |||1
2
|||
7 规定|| || =ad-bc，例如：|| ||
=1×4-2×3=4-6=-2
. 已知
|c d| | |
3 4
|||x+2
3
|||
|| ||
=6
，试求x2+4x+2 的值.
| 2 x+2 |
22第1章 整式的乘法
小 结
与 评 价
知识图谱
思考回顾
1
. am
⋅
an，（am）n，（ab）（n m，n是正整数）应分别怎么计算？
. 单项式与单项式相乘，怎么乘？单项式与多项式相乘呢？多项式
2
与多项式相乘呢？
. 叙述平方差公式，并解释几何背景.
3
. 叙述完全平方公式，并解释几何背景.
4
注意事项
. 同底数幂的乘法和幂的乘方容易混淆，进行运算时要注意区分.
1
. 多项式与多项式相乘，要用一个多项式的每一项分别乘另一个多
2
项式的每一项，注意不要漏乘.
. 平方差公式和完全平方公式都是多项式乘法的重要公式， 其中的
3
字母x，y 可以用任何数或者任意多项式代入.
自评互评
• 自评
通过本章的学习，你对以下几方面的学习内容掌握得怎么样？根据
自己的学习情况，点亮属于你的小星星，然后请同学和老师对你的自评
23数学 七年级下册
进行恰当评价.
. 熟悉指数为正整数的幂的有关运算
1
. 能进行简单的整式乘法运算（多项式乘法仅限于一次式之间和一次式与
2
二次式的乘法）
. 能运用平方差公式和完全平方公式进行简单计算和推理
3
. 能通过类比有理数的乘法掌握整式的乘法，提升归纳能力，感悟运算
4
方法与运算律的关系，进一步发展抽象能力与运算能力
• 自评 / 互评
请完成下面两项评价，先自评再在小组内进行互相评价. 其中评价
由低到高分为 ， ， ， ， 五个等级.
1 2 3 4 5
. 能类比已有数学知识学习整式的乘法，积极参加本章各种教学活动，
1
在运用乘法公式时，如果遇到困难能主动请教老师和同学
( )/( )
. 基于对本章知识的理解，画出思维导图，并在组内展示，对自己和同
2
学画出的思维导图进行恰当评价
( )/( )
你对本章的学习及评价还满意吗？新学期会学习新知识，也一定会
有新的挑战，但只要保持积极认真的学习态度，不断思考，不断积累，
不断总结，就一定能获得更大的进步！
学而时习之
1 计算：
（ 1 ） -b2 ⋅ b5； （ 2 ）x2 ⋅ x3 ⋅ （ -x）4；
( )
1
（ 3 ）（ -3a2b3）3； （ 4 ） - xy2 ⋅ （ -2xy）2.
3
2 计算：
( ) ( )
1 1 1
（ 1 ） 6xy ⋅ - x+ y ； （ 2 ） 5x- xy ⋅ （ -3x）；
3 2 2
24第1章 整式的乘法
（ 3 ）（ 2x+5 ）（x-1 ）； （ 4 ）（x-11 ）（x+11 ）；
（ 5 ）（ -7x-1 ）（ -1+7x）； （ 6 ）（ -4a-5b）2.
3 计算：
（
1
）（x+13 ）（x-13 ）
-
（x+13 ）2；
（
2
）（xy+z）（ -xy+z）；
（ 3 ） 4x2-2x ⋅ （ -x+2y）；
（
4
）（x-2y）（x+2y）
-
（x-2y）2.
4 计算： 5002-499×501 .
5 已知（x+y）2=4 ，（x-y）2=10 ，求x2+y2和xy的值.
6 已知am
=4
，an
=5
（m，n是正整数），求a2m+n的值.
7 （
1
）计算：
2
（x+y）（x-y）
-
（x+y）2+ （x-y）2；
1
（
2
）当x取
2
，y取 时，求（
1
）中多项式的值.
2
温故而知新
8 已知两个正方形的边长之和是
20 cm
，面积之差是 40cm2，求这两个正方形
的边长.
9 （
1
）已知a-b=2 ，ab=1 ，求a2+b2的值；
1 1 1
（
2
）已知a+
=3
，求a2+ 和a4+ 的值.
a a2 a4
10（
1
）试用图
①
解释（a+b）（a-b）＝a2-b2.
（
2
）试用图
②
解释（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.
① ②
（第10题图）
25数学 七年级下册
11 小王说：“ 814-275-97是
5
的倍数.”你赞成他的说法吗？为什么？
12 观察下面的 个等式：
4
32=2+22+3 ， 42=3+32+4 ， 52=4+42+5 ， 62=5+52+6 .
（）写出第 个等式.
1 5
（
2
）如果用n表示正整数，请用含有字母n的等式表示出通过观察发现的规
律，并说明规律成立的理由.
上下而求索
13 计算下列各式：
（x-1 ）（x+1 ）
=
；
（x-1 ）（x2+x+1 ）
=
；
（x-1 ）（x3+x2+x+1 ）
=
.
（
1
）由此可发现：（x-1 ）（xn +xn-1+…+x+1 ）
=
（只
要求写出结果）；
（ 2 ）利用（ 1 ）计算 36+35+34+33+32+4 的值.
14（
1
）已知m，n均为常数，若（x+3 ）2（x2+mx+n）的乘积既不含二次项，
又不含一次项，则m+n的值为多少？
（
2
）已知a，b，c均为常数，若多项式M与多项式x2-3x+1 的乘积为
2x4+ax3+bx2+cx-3 ，则 2a+b+c的值为多少？
26第 2 章
实 数
我国南朝科学家祖冲之（429—500）推算出了圆周率π的
值在3.141 592 6和3.141 592 7之间. 古往今来，数学家们
乐此不疲地寻求π的精确值，如今借助超级计算机，π的值
已经推算到了小数点后万亿位以上，但还是无法穷尽.
除此之外，还有很多像π这样的数，它们都不是有理
数，从而我们需要扩充对数的认识. 将数扩充后，原有的
运算律及运算法则是否适用于新的数？怎样用有理数估计
这些数的大致范围？本章将为你解开上述疑惑..
.
2.1 平方根
说说一一说说
小明将一个长为2、宽为1的长方形纸片，按图2.1-1所示方法剪拼
成了一个正方形. 观察图中过程，由此你能发现这个正方形的面积是多
少吗？它的边长呢？
图2.1-1
正方形的面积是2，但不知道边长.
这个问题的实质就是要找一个数，使它的平方等于给定的数.
抽 象
如果有一个数r，使得 r2=a，那么r叫作a的一个平方根，也叫作二次方
根. 这就是说，
若r2=a，则r是a的一个平方根.
例如，由于22=4，因此2是4的一个平方根.
又因为（-2）2=4，所以-2也是4的一个平方根.
28第2章 实 数
探 究
4的平方根除了2和-2以外，还有其他的数吗？
因为边长大于2的正方形，它的面积一定大于4，所以比2大的数都不是4
的平方根.
类似地，边长小于2的正方形，它的面积一定小于4，从而比2小的正数都
不是4的平方根.
又由于（-b）2=b2，因此，大于-2或小于-2的负数都不是4的平方根.
0显然不是4的平方根.
所以4的平方根有且只有两个：2与-2 .
一般地，如果r是正数a的一个平方根，那么a的平方根有且只有两个：r
与 -r.
正数a的正平方根叫作a的算术平方根，
一个正数有两个平方根，
记作 a，读作“根号a”；正数a的负平方根
且它们互为相反数. 一个正
记作- a，读作“负根号a”. 这样，正数a
数只有一个算术平方根.
的两个平方根可以用“± a”来表示，读作
“正、负根号a”.
于是，4的平方根是± 4，由上可知± 4 =±2 .
同样，2的平方根是± 2 . 由于正方形的边长为正数，因此，本节开篇
“说一说”中拼成的面积是2的正方形的边长为 2 .
思 考
0的平方根是多少？负数有平方根吗？
由于02=0，而非零数的平方不等于0，因此0 的平方根就是 0 本身.
0的平方根也叫作0的算术平方根，记作 0，即 0=0 .
在目前我们所学习的数中，由于同号两数相乘得正数，且02=0，因此，
不存在一个数的平方是负数，从而负数没有平方根.
29数学 七年级下册
求一个非负数的平方根的运算，叫作开平方. 这个非负数叫作被开方数.
根号“ ”可理解为一种运算符号，表示对被开方数进行开平方运算.
开平方与平方互为逆运算，根据这种关系，可以求一个数的平方根.
例如，9的平方根是±3，±3的平方是9；5的平方根是± 5，± 5 的平
方是5 .
例1 分别求下列各数的平方根：
25
（1）36； （2） ； （3）1. 21 .
9
解 （1）由于（±6）2=36，因此36的平方根是6与-6，即
.
± 36 =±6
( )
2
5 25 25 5 5
（2）由于 ± = ，因此 的平方根是 与 - ，即
3 9 9 3 3
25 5
.
± =±
9 3
（3）由于（±1. 1）2=1. 21，因此1.21的平方根是1.1与-1.1，即
.
± 1. 21 =±1. 1
例2 分别求下列各数的算术平方根：
16
（1）100； （2）1. 96； （3） .
25
解 （1）由于102=100，因此 100 =10 .
（2）由于1. 42=1. 96，因此 1. 96 =1. 4 . 正数越大，它的
( ) 2 算术平方根也越大.
4 16 16 4
（3）由于 = ，因此 = .
5 25 25 5
议一议
下列各数有平方根吗？如有，分别是多少？
（1）|
-81
|； （2）（-5）2.
30第2章 实 数
练 习
1 分别求下列各数的平方根：
49
（） ； （） ； （） .
1 64 2 3 6. 25
81
2 分别求下列各数的算术平方根：
25
（） ； （） ； （） .
1 81 2 3 0. 16
64
3 判断下列说法是否正确，并说明理由.
（
1
）
16
的值是
±4
； （
2
）（
-4
）2的平方根是
-4
.
我们已经知道2的一个平方根为 2，这是一个怎样的数呢？下面来研究.
思 考
观察下列结果：
12=1， 22=4；
1. 42=1. 96， 1. 52=2. 25；
1. 412=1. 9881， 1. 422=2. 0164；
1. 4142=1. 999396， 1. 4152=2. 002225；
1. 41422=1. 99996164， 1. 41432=2. 00024449；
… …
（1）分别根据上述结果，估计2的算术平方根 2 的大致范围；
（2）若将 2 写成一个小数，则它是一个怎样的小数？
（1）由于12<2，2<22，所以1< 2 <2 .
由于1. 42<2<1. 52，所以1. 4< 2 <1. 5 . 1< 2 <2
同理可得，1. 41< 2 <1. 42， 表示 2 介于 1
与2之间.
1. 414< 2 <1. 415，
.
1. 4142< 2 <1. 4143
（2）若将 2 写成一个小数，则由（1）可以猜测它应该比1.414 2大，比
31数学 七年级下册
1.414
3小，且是一个小数点后面的位数不断增加的小数.
事实上， 2 =1. 414213562…，是一个无限不循环小数，不可写成整
数和分数的形式①，从而它不是一个有理数. 像这样的无限不循环小数叫作无
理数
􀆰
π=3. 141592653… ， 3 =1. 732050807… ， 5 =2. 236067977… ，
7 =2.
645751311…，它们都是无理数.
类似于有理数分类，无理数也分为正无理数和负无理数.
例如， 2， 3，π是正无理数，- 2，- 3，-π是负无理数.
议一议
下面的说法正确吗？如果不正确，请说明理由.
（1）无限小数都是有理数； （2）无理数都是无限小数；
（3）带根号的数都是无理数； （4）无理数都是带根号的数.
根据实际需要，有时需用一个有限小数来近似地表示一个无理数.
例如π=3. 141592653…，用四舍五入法，分别取到小数点后面第二位，
第三位，…，得到π≈3. 14，π≈3. 142，…，我们称3.14，3.142分别是π的
精确到小数点后面第二位、第三位的近似值.
3.14，3.142，3.141 6，…都是π的近似值，称它们为近似数.
利用计算器可以求一个正数的算术平方根或它的近似值.
例3 用计算器求下列各式的值.
（1） 1024；
（2） 8（结果精确到小数点后面第三位②）.
不同型号的
解 （1）依次按键：
计算器，操作可
显示结果：32 .
能不同.
所以 1024 =32 .
①“ 2不可写成整数和分数的形式” 的证明参见本章末的 “数学文化”.
②“精确到小数点后面第三位” 也可以说成 “精确到0.001” 或 “保留三位小数”.
32第2章 实 数
（2）依次按键：
显示结果：2.828 427 125 .
所以 8 ≈2. 828 .
由于（± a）2=a，则对于任意一个非负数a，先开平方，然后再平方，最
后的结果仍等于a.
做一做
a2 =a成立吗？若不成立，请举例说明.
练 习
1 下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
· · 1 5
， ， ， ， ， .
-2.236 5 0. 101 - 7 -
2 3
2 用计算器分别求下列各数的近似值（结果精确到 ）.
0.001
（） ； （） .
1 11 2 0. 58
习题2. 1
学而时习之
1 分别求下列各数的平方根：
9
（） ； （） ； （） .
1 49 2 2.56 3
100
2 分别求下列各数的算术平方根：
9
（） ； （） ； （） .
1 25 2 0.81 3
16
3 求下列各式的值：
（） ； （） ； （） ；
1 1 2 0. 0049 3 ± 121
33数学 七年级下册
1 49 1
（） ； （） ； （） .
4 - 5 ± 6 2
4 16 4
4 下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
22 ·
， ， ， ， ， …（相邻两个 之间
-3.141 592 6 3. 3 - 5 9 2.151 551 555 1 1
7
逐次增加一个 ）.
5
5 用计算器分别计算：
（） ； （） ； （） .
1 529 2 8. 41 3 729
6 用计算器分别求 ， 的近似值（结果精确到 ）.
12 17 0.001
7 如果b=-169 ，那么 -b有平方根吗？如果有，求出 -b的平方根.
温故而知新
8 已知x的平方根是a+3 与 2a-12 ，求x的算术平方根.
9 计算下表中各式的值，并将结果填在相应的空格中：
式子 … …
0.0009 0.09 9 900 90000
结果 … 3
从中你能发现什么规律？
10 如图，有五个边长为 的小正方形组成的图形纸（图 ），可以把它剪拼成
1 ①
一个大正方形（图 ）.
②
① ② ③
(第10题图)
（）图 中拼成的大正方形的面积是 ，边长是 .
1 ②
（）能把十个小正方形组成的图形纸（图 ）剪拼成一个大正方形吗？ 若
2 ③
能，求出这个大正方形的边长.
343 8
2.2 立方根
说一说
已知一个正方体的体积为8 cm3，如图2.2-1所示，
则它的棱长是多少？
图2.2-1
由于23=8，因此体积为8cm3的
正方体，它的棱长是2cm .
这个问题的实质就是要找一个数， 使它的立方等于给定的数.
抽 象
如果有一个数b，使得b3=a，那么b叫
作a的一个立方根，也叫作三次方根. a的立 立方根符号“3 ”中的
方根记作 3 a，读作“立方根号a”或“三次
数字3不可省略.
根号a”.
例如，由于23=8，因此2是8的一个立方根，即 3 8 =2 .
同理，由于（-2）3=-8，因此-2是-8的一个立方根，即 3 -8 =-2 .
求一个数的立方根的运算，叫作开立方.
开立方与立方互为逆运算，根据这种关系，可以求一个数的立方根.
例1 分别求下列各数的立方根：
8
（1）1； （2） ；
27
（3）0； （4）-0.064 .
35数学 七年级下册
解 （1）由于13=1，因此 3 1 =1 .
( )
3 3
2 8 8 2
（2）由于 = ，因此 = .
3 27 27 3
（3）由于03=0，因此 3 0 =0 .
（4）由于（-0. 4）3=-0. 064，因此 3 -0. 064 =-0. 4 .
一般地，在目前我们所学习的数中，每一个数有且只有一个立方根. 一个
正数有一个正的立方根，一个负数有一个负的立方根，0的立方根是0 .
利用计算器可以求一个数的立方根或它的近似值.
例2 用计算器求下列各数的立方根：
（1）343； （2）-1. 331 .
①
解 （1）依次按键：
显示结果：7 .
所以 3 343 =7 .
（2）依次按键：
显示结果：-1. 1 .
所以 3 -1. 331 =-1. 1 .
实际上，许多有理数的立方根都是无理数，如 3 2，3 3，…都是无理数，
但可以用有理数来近似地表示它们.
例3 用计算器求 3 2 的近似值（结果精确到0.001）.
解 依次按键：
显示结果：1.259 921 050 .
所以 3 2 ≈1. 260 .
① 键是第二功能键，相继按 键，意思是执行 上方所指的3 运算.
36第2章 实 数
议一议
下列等式是否成立？与同学交流你的看法.
（1）（3 a）3=a； （2） 3 a3 =a.
练 习
1 求下列各数的立方根：
125
（） ； （） ； （） .
1 -1 2 3 -0. 125
8
2 用计算器求下列各数的立方根：
（） ； （） ； （） .
1 -512 2 216 3 -3. 375
3 用计算器求下列各数的近似值（结果精确到 ）：
0.001
（） 3 ； （） 3 ； （） 3 .
1 3 2 5 3 -7
习题2. 2
学而时习之
1 判断下列说法是否正确，并说明理由
.
（） 是 的立方根；
1 ±4 64
（） 没有立方根；
2 -64
（
3
）（
-5
）3的立方根是
-5
；
（）互为相反数的两个数的立方根也互为相反数.
4
2 求下列各数的立方根：
125
（） ； （） ；
1 -1000 2
64
（
3
）
-0. 008
； （
4
） 106.
3 计算：
（） 3 ； （） 3 ；
1 - -1 2 -0. 001
3
64
（） ； （） 3 .
3 - 4 -729
125
37数学 七年级下册
4 体积为 500cm3的正方体，它的棱长大约是多少厘米（结果精确到
0.01cm
）？
5 用计算器求下列各数的近似值（结果精确到 ）：
0.001
（） 3 ； （） 3 ； （） 3 .
1 6 2 11 3 -10
温故而知新
6 如图，将一个棱长为 的正方体盒子装满水，然后将水全部倒入一个侧面
4
为正方形，长为侧面边长 倍的长方体盒子中. 如果长方体盒子正好被装
2
满，求长方体盒子的长（结果精确到 ）.
0.1
（第6题图）
7 计算下表中各式的值，并将结果填在相应的空格中：
式子 … 3 3 3 3 …
0.000216 0.216 216 216000
结果 … …
由此你能发现什么规律？
38. 2
1.414，0.1， 9，- ，
3
3 2，0.101001…
2.3 实 数
22􀆰􀆰 43􀆰􀆰 11 整认式识的实加数法
说一说
在七年级上册已经认识了有理数，它是如何分类的？
ì整数
有理数í
î分数
做一做
下列各数中，哪些是无理数？
· 2 π
0.1， 9，
-
，3 2，
-
，0.101 001…（相邻两个1之间逐次增加
3 5
一个0）.
由无理数的定义可知，
π
3 2，
-
，0.101 001…（相邻两个1之间逐次增加一个0）是无理数.
5
到目前为止，我们认识了有理数和无理数，并将有理数和无理数统称为
实数
􀆰
于是实数可以分类如下：
整数
ì
ì
有理数í
ïïïï î分数 你还有其他分类
实数í
î
ïïïï
无理数
方法吗？
39数学 七年级下册
思 考
每一个有理数都可以用数轴上唯一的点来表示，那么每一个无理数
（如 2）是否也可以用数轴上唯一的点来表示呢？
前面已经构造出了一个边长为 2 的正方形（图2.1-1）. 于是，以1为单位长
度，画一根数轴，以数轴的原点为圆心，以该正方形的边长为半径画弧，则会与
数轴相交于A，B两点，如图2.3-1所示.
图2.3-1
于是，数轴上有唯一的点A和点B分别表示 2 和- 2 .
事实上，每一个无理数都可以用数轴上唯一的点来表示.
综上可知：
每一个实数都可以用数轴上唯一的点来表示.
反过来，还可以说明：
数轴上每一个点都表示唯一的实数.
将上面两个结论合起来，可以简洁地说成：
实数和数轴上的点一一对应.
实数分为正实数、零、负实数. 与规定有理数的大小一样，规定正实数都
大于0，负实数都小于0 . 数轴上表示正实数的点在原点右边，表示负实数的点
在原点左边.
与有理数一样，如果两个实数只有符号不同，那么其中的一个数叫作另一
个数的相反数，也称它们互为相反数.
例如， 2 和- 2 互为相反数，0的相反数是0 . 我们把实数a的相反数
记作-a.
实数的绝对值意义也与有理数一样：
正实数的绝对值是它本身，
负实数的绝对值是它的相反数，
的绝对值是 .
0 0
40第2章 实 数
| | | |
例如， 2 = 2， - 2 = 2􀆰
设a表示一个实数，则
ìa，当a>0时，
ïï
ïï
|a| =í0，当a=0时，
ïï
î ïï -a，当a<0时.
例1 求下列各数的相反数和绝对值：
3
（1） π； （2）- 3 .
2
3 3
|||
3
|||
3
解 （1） π的相反数是 - π，|| π || = π .
2 2 | 2 | 2
| |
（2）- 3 的相反数是 3， - 3 = 3 .
练 习
1 把下列各数填入相应的框内：
3 25 · ·
， ， ， ， ， ， ， ， ，3 ， .
-π -3. 14 7 - 3 1.732 0 18 5 - 16
10 36
… …
有理数 无理数
2 判断（正确的画“ ”，错误的画“ ”）：
√ ✕
（）任何一个无理数的绝对值都是正数； （ ）
1
（）不带根号的数都是有理数； （ ）
2
（）实数可以分为正实数和负实数两类. （ ）
3
3 求下列各数的相反数和绝对值：
（） 3 ； （） π ； （） 2 .
1 2 - 3 -
2 2 5
41数学 七年级下册
22􀆰􀆰 43􀆰􀆰 12 整实式数的的加运法算
把数从有理数扩充到实数以后，实数也可以进行加、减、乘、除、乘方运
算，而且非负数可以进行开平方运算，任意实数都可以进行开立方运算.
在进行实数的运算时，有理数的运算法则、运算律等，对于实数仍然成
立. 前面所学的有关数、式、方程（组）的性质、法则和解法，对于实数仍然
成立.
做一做
填空（a，b，c是任意实数）：
（1）a+b= （加法交换律）；
（2）（a+b）+c= （加法结合律）；
（3）ab= （乘法交换律）；
（4）（ab）c= （乘法结合律）；
（5）a（b+c）= （乘法对加法的分配律），
（b+c）a= （乘法对加法的分配律）；
（6）实数的减法运算规定为a-b=a+ ；
（7）实数的除法运算规定为a÷b=a⋅ （b≠0）；
（8）如果a≠0，b≠0，那么ab 0；
（9）若ab=0，则a= 或b= .
议一议
对于实数a，它有几个平方根，几个立方根呢？
在实数范围内，每个正实数a有且只有两个平方根，分别为± a，且它们
互为相反数，其中 a 是a的算术平方根；0的平方根是0；负实数没有平方根.
当a为非负实数时，根据平方根的定义得（ a）2=a，（- a）2=a.
设a是非零实数，由于（-a）2=a2，因此a和-a是a2的两个平方根.
每个实数a有且只有一个立方根，记作 3 a，且（3 a）3=a.
42第2章 实 数
实数也可以比较大小. 对于实数a，b：
若a-b>0，则称a大于b（或者b小于a），记作a>b（或b<a）；
若a-b<0，则称a小于b（或者b大于a），记作a<b（或b>a）；
若a-b=0，则称a等于b，记作a=b.
要注意的是，对于任何实数a，b，在a>b，a=b，a<b这三种关系中，
有且只有一种成立. 对于实数有：正实数大于一切负实数；两个负实数，绝对
值大的数反而小；数轴上右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大.
一般地，对于两个正实数a，b，若a>b，则 a > b，反过来也成立.
对于两个正实数a，b，若a>b，则 3 a > 3 b，反过来也成立.
例2 比较下列各组数的大小.
（1）2.5与 7； （2）3与 3 25；
（3）-3与- 3 25 .
解 （1）因为2. 52=6. 25，（ 7）2=7，又6. 25<7，所以2. 5< 7 .
（2）因为33=27，（ 3 25 ）3=25，又27>25，所以3> 3 25 .
| |
（3）因为| -3 | =3，- 3 25 = 3 25，由（2）知3> 3 25，所以-3<- 3 25 .
在进行实数的计算时，有时需要估计实数的范围或者按一定的精确度求结
果的近似值.
思 考
不用计算器，分别估计 115 与 3 121 在哪两个相邻整数之间.
由于102=100<115，（ 115）2=115，112=121>115，所以 115 应介
于10和11之间，即10< 115 <11 .
由于43=64<121，（3 121）3=121，53=125>121，所以 3 121 应介于4
和5之间，即4< 3 121 <5 .
43数学 七年级下册
例3 用计算器计算：2× 5（结果精确到0.01）.
解 依次按键：
2× 5＝2 5 .
显示结果：4.472 135 955 .
所以2× 5 ≈4. 47 .
在实数的运算中，当遇到无理数并且要求出结果的近似值时，可以按照精
确度用相应的近似有限小数（一般比计算结果要求的精确度多保留一位）去代替
无理数进行计算，最后再四舍五入.
例4 利用 2 =1. 414213562…和 7 =2. 645751311…计算 2 + 7
的值（结果精确到0. 001）.
解 由于需精确到0.001，于是只需取 2 ≈1. 4142， 7 ≈2. 6457，
故 2 + 7 ≈1. 4142+2. 6457=4. 0599≈4. 060 .
练 习
2
1 比较 与 的大小.
-2 - 7
3
2 不用计算器，分别估计 与 3 在哪两个相邻整数之间.
37 36
3 利用 3 …和 …计算 3 的值（结
2 =1. 259921049 5 =2. 236067977 2 + 5
果精确到 ）.
0.001
习题2. 3
学而时习之
1 判断（正确的画“ ”，错误的画“ ”）：
√ ✕
（
1
） -a一定没有平方根； （ ）
π
（） 是一个分数； （ ）
2
3
（） 是无理数. （ ）
3 361
44第2章 实 数
2 求下列各数的相反数和绝对值：
（） 3 ； （） 5 ；
1 2 2
2
（） ； （）
3 10 -2. 8 4 π-3. 1415􀆰
3 比较下列各组数的大小：
1
（） 与 ； （） 与 3 .
1 -2 - 5 2 -4 - 61
4
4 不用计算器，分别估计 与 3 在哪两个相邻整数之间.
50 196
3
7 5 7
5 利用 …和 ＝ 计算
=0. 733799385 - -0. 854987973… 2 +
13 8 13
3
5
的值（结果精确到 ）.
- 0.001
8
温故而知新
6 （多选题） 已知实数 a，
b，c，d在数轴上对应点
的位置如图所示，则下 （第6题图）
列说法正确的有（ ）
（
A
）a>-3 （
B
）b+c>0 （
C
）bc>0
（
D
）|a|
>
|d| （
E
）b-a>0
7 若a-2 的平方根是 ±2 ， 2a+b+7 的立方根是 3 ，求a2+b2的算术平方根.
8 我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两
乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为一组“完美组合数”.
例如，对于 ， ， 这三个数，由于 （ ）（ ） ， （ ）（ ）
-9 -4 -1 -9×-4 =6 -9×-1 =
， （ ）（ ） ，又 ， ， 都是整数，所以 ， ， 这三个数
3 -4 ×-1 =2 6 3 2 -9 -4 -1
是一组“完美组合数”.
（） ， ， 这三个数是一组“完美组合数”吗？请说明理由.
1 -18 -8 -2
（
2
）若三个数
-3
，m，
-12
是一组“完美组合数”，且其中有两个数乘积
的算术平方根为
12
，求m的值.
45数学 七年级下册
系数为实数的多项式、一次方程（组）
前面所学的同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方对于底数为实数
的情况也成立.
系数为实数的多项式和系数为有理数的多项式一样，可以进行加法、
减法和乘法运算，且满足同样的运算律，也可以运用平方差公式和完全
平方公式等进行计算.
例1 用乘法公式计算：
（ 1 ）（x+ 2 ）（x- 2 ）； （ 2 ）（ 3x+ 5y）（ 3x- 5y）；
（ 3 ）（ 2x+3y）2； （ 4 ）（ 3x- 2y）2.
解 （）由平方差公式得
1
（x+ 2 ）（x- 2 ） =x2- （ 2 ）2=x2-2 .
（）由平方差公式得
2
（ 3x+ 5y）（ 3x- 5y） = （ 3x）2- （ 5y）2=3x2-5y2.
（）由完全平方公式 得
3 1
（ 2x+3y）2= （ 2x）2+2 ⋅ 2x ⋅ 3y+ （ 3y）2=2x2+6 2xy+9y2.
（）由完全平方公式 得
4 2
（ 3x- 2y）2= （ 3x）2-2 ⋅ 3x ⋅ 2y+ （ 2y）2=9x2-6 2xy+2y2.
例2 用乘法公式计算：（x+ 2x+1 ）（x+ 2x-1 ）.
解 （x+ 2x+1 ）（x+ 2x-1 ）
= （ [ x+ 2x） +1] （ [ x+ 2x） -1]
=
（x+ 2x）2-12
=x2+2 2x2+2x2-1
=
（
3+2 2
）x2-1 .
46第2章 实 数
系数为实数的一元一次方程、二元一次方程组的解法与系数为有理
数的一元一次方程、二元一次方程组的解法一样.
ì ïï 2 x+3y=4 ， ①
例3 解二元一次方程组：í
î ïï 3x- 2 y=- 2 . ②
解 ①× 2 ，得 2x+3 2 y=4 2 . ③
②×3 ，得 9x-3 2 y=-3 2 . ④
③+④，得 11x= 2 ，
解得 x= 2 .
11
把x用 2 代入方程 ① ，得 2 × 2 +3y=4 ，
11 11
14
解得 y= .
11
ì
ïïx= 2 ，
ïï
11
因此，í 是原二元一次方程组的解.
ïï 14
ïïy=
î
11
练习
. 用乘法公式计算：
1
（ 1 ）（ 2x+ 3y）（ 2x- 3y）； （ 2 ）（ 3x-2y）2；
（
3
）（x+1+
2
）（x+1-
2
）.
ì ïï2x+ 3 y=5 ，
2
. 解二元一次方程组：í
î ïï 3 x-2y=- 3 .
47数学 七年级下册
用计算机找一个正数的平方根的近似值
对于任何正数，我们可以用计算器直接求出它的平方根的近似值，也可以
借助计算机软件来估计一个正数的平方根的近似值.
下面以估计 的近似值为例，介绍如何利用计算机软件找一个正数的平
8
方根的近似值.
我们知道， 22=4<8 ，（ 8 ）2=8 ， 32=9>8 ，所以 8 应介于 2 与 3
之间.
具体步骤
. 打开某计算机软件，在单元格 中，输入一个介于 与 之间的数
1 A1 2 3
值，然后在单元格 中输入“ ”，得到 中数值的平方；再在单元
B1 =A1^2 A1
格 中输入“ （ ）”，得到 与 中数值的差的绝对值.
C1 =abs 8-B1 8 B1
. 如果 中的数值比较大，说明最初输入 中的数与 相差较大，需
2 C1 A1 8
再作调整（如下图），不断改变 中的数字，就可根据需求找到 的近似值.
A1 8
为得到更准确的
近似值，可在某个单
元格中点击右键菜单，
选择“设置单元格格
式”，点击“数值”后
即可修改小数位数.
由上可知， 介于 与 之间.
8 2.828 42 2.828 43
操作与思考
. 仿照上述方法求出 的近似值（结果精确到 ）.
1 10 0.000 01
. 从 以内的质数中任选一个，仿照上述方法求出这个质数的平方根的
2 100
近似值（结果精确到 ）.
0.000 01
48第2章 实 数
小 结
与 评 价
知识图谱
思考回顾
. 举例说明什么是一个数的平方根、算术平方根、立方根.
1
. 举例说明乘方与开方的关系.
2
. 什么叫无理数？有理数和无理数的区别是什么？
3
. 实数如何分类？
4
. 实数能进行哪些运算？运算过程中遇到无理数，如何进行近似
5
计算？
. 同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方在底数为实数时是否也成立？
6
注意事项
. 把数扩充到实数后，我们现在说的“数”，通常指实数.
1
. 在实数范围内，负实数没有平方根. 求一个正实数的平方根时，
2
不要漏掉其中的负平方根.
. 在实数范围内，任何实数有且只有一个立方根.
3
. 乘法公式也适用于系数为实数的多项式.
4
49数学 七年级下册
自评互评
• 自评
通过本章的学习，你对以下几方面的学习内容掌握得怎么样？根据
自己的学习情况，点亮属于你的小星星，然后请同学和老师对你的自评
进行恰当评价.
. 知道实数由有理数和无理数组成，感悟数的扩充
1
. 能比较实数的大小，会求实数的相反数、绝对值
2
. 知道平方根、算术平方根、立方根的概念，会求百以内完全平方数（能
3
表示成某个整数的平方的数）的平方根（算术平方根）和千以内完全立方
数（能表示成某个非负整数的立方的数）及其相反数的立方根
. 能用有理数估计一个无理数的大致范围，能用计算器进行近似计算
4
. 能通过实数与数轴上的点一一对应体会数形结合思想，能基于含有实
5
数的运算和推理，掌握实数的运算法则，感悟运算方法与运算律的关
系，进一步提升运算能力和推理能力
• 自评 / 互评
请完成下面两项评价，先自评再在小组内进行互相评价. 其中评价
由低到高分为 ， ， ， ， 五个等级.
1 2 3 4 5
. 在合作探索实数有关知识的过程中能有条理、准确地表达自己的观点，
1
能独立思考，并借助问题的解决，学会反思自己的不足
( )/( )
. 基于对本章知识的理解，画出思维导图，并在组内展示，对自己和同
2
学画出的思维导图进行恰当评价
( )/( )
你对本章的学习及评价还满意吗？数学不仅需要学会总结，更要学
会如何反思自己不足的地方，同时还要学会肯定自己的付出和努力. 只
有这样不断地学数学、用数学，才能收获满满，不断成长！
50第2章 实 数
复习题2
学而时习之
1 把下列各数填在相应的横线上：
1 π
， 3 ， ， ， ， 3 ， ， …（相邻两个
- 12 0. 7 - 3 -27 0 0. 6868868886 6
9 2
之间 的个数逐次加 ）.
8 1
（）正数： ；
1
（）负数： ；
2
（）有理数： ；
3
（）无理数： .
4
2 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的平方根和立方根中，哪些是有理数？哪
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
些是无理数？
16
3 分别求 ，（
-4
）2，
81
的平方根.
81
4 用计算器计算 ， ， 的近似值（结果精确到 ）.
481 0. 357 8. 26 0.001
3
5 分别求（
-4
）3，
-3
，
64
的立方根.
8
6 填空：
（ 1 ）（ 81 ）2= ； （ 2 ） ± 169= ；
（ 3 ）（3 27 ）3= ； （ 4 ） 3 -512= .
7 填空：
（）一个数的平方根等于它本身，这个数是 ；
1
（）一个数的立方根等于它本身，这个数是 .
2
8 求下列各数的相反数和绝对值：
（） 2 ； （） ；
1 2 - 5
3
π
（） ； （） .
3 - 4 4- 15
4
51数学 七年级下册
9 求下列各式的值：
25
（ 1 ） 3 -1 ； （ 2 ） ；
121
3
4 125
（ 3 ） - ； （ 4 ） .
81 27
10 比较下列各组数的大小：
9
（） 和 ； （） 和 ；
1 6 2.4 2 - 5 -
4
（） 3 和 .
3 - 28 -3
11 大于 且小于 的整数有哪些？
3 17
温故而知新
12 用计算器计算（结果精确到 ）：
0.01
2
（） ； （） 3 .
1 3 × 5 +2 2 × 6
3
13 已知a2=9 ，b3=1 ，求|a+b|的值.
14 某地欲建一个面积为
100
m2用栏杆围住的花坛，从节省材料的角度考虑，
应该建成正方形还是圆形？
上下而求索
15（）请你按照下述规律写出 个数：第 ， 个数都是 ，从第 个数起，
1 16 1 2 1 3
每个数都是与它相邻的前面两个数的和；
（）对于上述 个数，求每一个数与跟它相邻的后面一个数的比值（结果
2 16
精确到 ）；
0.001
5 -1
（）用计算器计算 （结果精确到 ）；
3 0.001
2
（）观察（）（）的计算结果，你能作出什么猜测？
4 2 3
52第2章 实 数
数 学
文 化
无理数的由来
无理数的概念最早源于古希腊时期，其发现与古希腊的毕达哥拉斯
学派成员有关. 毕达哥拉斯学派由古希腊数学家和哲学家毕达哥拉斯
（ ，前 至前 之间—约前 ）及其信徒组成，由于毕达哥
Pythagoras 580 570 500
拉斯本人没有著作传世，所以今天所说的毕达哥拉斯学派的数学成就是
该学派成员的共同成果，这些成果大部分都收录在欧几里得的《原本》
中. 毕达哥拉斯学派注重对数和几何的研究，并强调“万物皆数”的基
本信条. 他们认为，人们所知道的一切事物都包含数，如果没有数，则
既不可能表达也不可能理解任何事物.
实际上，毕达哥拉斯学派相信任何量都可以表示成两个整数的比.
从几何学上来看，也就是说，对任何两条给定的线段，总能找到第三条
线段，以它为单位线段可以将给定的两条线段划分为整数段. 这两条给
定线段被称为“可公度量”，意即这两条线段可用公共度量单位量尽.
线段EF是线段AB与CD的最大公度量
可真的是这样吗？在后来的研究中，毕达哥拉斯学派有了新的发现：
并不是任何两条线段都是可公度量. 例如，边长为 的正方形的对角线长
1
与边长 就是不可公度量，也就是说 不能写成两个整数的比.
2 1 2
下面来说明 不能写成两个整数的比，即 不可写成分数的形式：
2 2
p
假设
2
能写成分数的形式，则
2 =
（p，q为正整数，且p，q
q
互质）.
53数学 七年级下册
于是p2=2q2，从而p为偶数.
设p=2m（m为正整数），则p2=4m2.
因而 4m2=2q2，即 2m2=q2.
因此，q是偶数. 这与p，q互质矛盾.
从而 不是分数.
2
同样，我们可以说明 不是整数：
2
假设
2
是整数，则
2
＝n，其中n是正整数.
根据平方根的定义得，n2=2 .
由于 12=1 ， 22=4 ，因此不存在正整数n满足n2=2 .
所以 不是整数.
2
综上所述， 不是有理数，因此 是无理数. 很快人们发现了和
2 2
一样的其他“无理数”，这些发现动摇了古希腊数学信仰的基础，也
2
正是无理数的引入，引发了西方数学史上的第一次数学危机.
由此，无理数的发现促进了人们对数的认识，大大推动了数学的
发展.
54第 3 章
一元一次不等式（组）
随着我国综合国力的提升，我国的高速公路通车里程已经位
居世界第一. 在高速公路上，你常能见到限速标志，如右上图所
示. 图中标志表明小型客车的速度不得超过120 km/h，也不得低
于60 km/h .
不得超过以及不得低于，在数学上可用不等号来表示. 用不
等号连接的式子称为不等式. 类比等式，不等式有哪些基本性
质？如何求解含有一个未知数且未知数的次数为1的不等式？如
何利用这些知识解决一些实际问题？一起学习本章知识来解决上
述问题吧.3.1 不等式的意义
现实生活中，数量之间存在着相等与不相等的关系. 对于不相等关系的问
题，如何用式子来表示呢？
例如，小华的身高为155 cm，小楠的身高为156 cm，则可以用不等号
“>”或“<”来表示他们身高之间的关系，如156>155或155<156 .
思 考
（1）在处于平衡状态的托盘天平的左盘放上一
个网球、右盘放上一个质量为20 g的砝码后，天
平向左倾斜，如图3.1-1所示. 问网球的质量m g
与砝码的质量20g之间具有怎样的关系？
（2）一辆轿车在一条规定车速不低于60km/h，
图3.1-1
且不高于100 km/h的高速公路上行驶，如何用式
子来表示轿车在该高速公路上行驶的路程（s km）与
行驶时间（t h）之间的关系呢？
（1）中存在不等量关系：网球的质量>砝码的质量，即m>20 .
（2）中存在不等量关系：s≥60t，且s≤100t.
像 156>155，155<156，m>20，s≥60t，s≤100t 这样，用不等号
（>， <，≥，≤）①连接而成的式子叫作不等式.
例1 用不等式表示下列数量关系：
（1）a的5倍大于-7；
（2）a与b的和的一半小于-1；
（3）长、宽分别为b cm，c cm的长方形的面积小于边长为a cm的正方形
①符号 “≥” 读作 “大于或等于”，也可读作 “不小于”；符号 “≤” 读作 “小于或等于”，也可读作
“不大于”. 另外，还有一个表示不等于的符号 “≠”，读作 “不等于”.
56第3章 一元一次不等式（组）
的面积.
解 根据题意分别可得如下不等式：
a+b
（1）5a>-7 . （2） <-1 . （3）bc<a2.
2
例2 已知一支圆珠笔的售价为1. 5元，签字笔与圆珠笔相比每支贵2元.
小华带了50元，买了x支圆珠笔和10支签字笔. 请用含有x的不等式表示小华
支付的金额与50元之间的关系.
解 由于小华只带了50元，因此他买x支圆珠笔和10支签字笔支付的金
额不超过50元，则有以下不等量关系：
1. 5x+（1. 5+2）×10≤50，
即 1. 5x+35≤50 . ①
例2中的①式是含有未知数x的不等式，表示x用哪些数代入，能够使得
①式成立，即左边的多项式1. 5x+35的值小于或等于右边的值50 .
根据生活常识可知，①式中x只能取正整数，于是
若x取1，将其代入①式，得
.
1. 5×1+35=36. 5<50
……
若x取9，将其代入①式，得
.
1. 5×9+35=48. 5<50
若x取10，将其代入①式，得
.
1. 5×10+35=50
若x取11，将其代入①式，得
.
1. 5×11+35=51. 5>50
因此，小华至多能买10支圆珠笔.
做一做
例2中，如果小华带了60元，他至多能买多少支圆珠笔？
57数学 七年级下册
练 习
1 用不等式表示下列数量关系：
（
1
）a是非负数； （
2
）实数m减去实数n 的差大于
5
.
2 奥运会射箭比赛的胜负是以射中箭靶的环数来决定的，命中靶的箭越靠近
中心，所得环数越高，最高为 环 某选手在参加比赛时，前十箭中最低
10 .
为
7
环，求该选手前十箭的总环数s应满足的条件
.
习题3. 1
学而时习之
1 已知江西石狮隧道限高 ，若
4.5m
某型车能够安全进入该隧道，则
该型车的高度h（
m
）与限高
4.5 m
之间的关系是怎样的？
2 用不等式表示下列数量关系：
（
1
）a的
2
倍与
1
的差不小于
3
；
（
2
）a与b的和的平方大于
100
；
（
3
）a与b的积与a的和大于
12
.
石狮隧道
3 通过测量一棵树的树围（树干离
地面 处的周长）可以估算出它的树龄. 某树栽种时的树围为 ，在
1.5 m 6 cm
一定生长期内每年增加约 . 设经过若干年（生长期内）后这棵树的树围
3 cm
超过 ，请估算出该树至少栽种了多少年.
30 cm
温故而知新
4 某商场 型冰箱的售价是 元 台，为了减少库存，商场决定对 型冰
A 2 190 / A
箱降价销售. 已知 型冰箱的进价为 元 台，商场规定销售利润率不
A 1 700 /
低于 ，试用不等式表示 型冰箱的降价范围.
3% A
583
3
x
x
-
<
2
2
x
x
<
-
2
2 x-2-2x
3.2 不等式的基本性质
做一做
已知2<3，先用“>”或“<”填空：
1 1
2+ 3+ ，2- 2 3- 2（ 2 ≈1. 414），
2 2
再观察结果，由此可猜测出什么结论？
1 5 1 7 5 7
由于2+ = ，3+ = ， < ，
2 2 2 2 2 2
1 1
所以2+ <3+ .
2 2
由于2- 2 ≈0. 586，3- 2 ≈1. 586，
所以2- 2 <3- 2 .
由此可猜测：若a，b，c都是实数，且a<b，则a+c<b+c，a-c<
b-c.
下面来说明这个猜测是真的.
设a，b，c都是实数.
若a<b，则a-b<0，从而
（a+c）-（b+c）=a+c-b-c=a-b<0，
因此 a+c<b+c.
类似地，有a+（-c）<b+（-c），即a-c<b-c.
若a>b，同理可得a+c>b+c，a-c>b-c.
类似地，可以证明：在不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等号的
方向不变.
综上可得不等式的基本性质1：
不等式的两边都加上或减去同一个数（或同一个整式），不等号的方向
不变.
59数学 七年级下册
例1 用“>”或“<”填空：
（1）已知a>b，则a+ 7 b+ 7；
（2）已知3<7，则3-x 7-x.
解 （1）因为a>b，根据不等式的基本性质1得，a+ 7 >b+ 7 .
（2）因为3<7，根据不等式的基本性质1得，3-x<7-x.
做一做
已知3<5，先用“>”或“<”填空：
3 5
3π 5π， ，
2 2
再观察结果，由此可猜测出什么结论？
由于π≈3. 14，3π=3×π≈9. 42，5π=5×π≈15. 7，
3 5
于是3π<5π， < .
2 2
a b
由此猜测：若a，b，c都是实数，且a<b，c>0，则ac<bc， < .
c c
下面来说明上述猜测是真的.
已知a<b，于是 a-b<0 .
又c>0，于是 （a-b）c<0，
从而有 ac-bc<0，
因此 ac<bc.
1 1 1
又 >0，同理可得a ⋅ <b ⋅ ，即
c c c
a b
.
<
c c
对于实数a，b，c，若a>b，c>0，类似地，可以得到
a b
ac>bc， > .
c c
综上可得不等式的基本性质2：
不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.
60第3章 一元一次不等式（组）
例2 用“>”或“<”填空：
（1）已知a<b，则aπ bπ；
a b
（2）已知a>b，则 ．
3 3
解 （1）因为a<b，π>0，根据不等式的基本性质2得，
aπ<bπ .
（2）因为a>b，3>0，根据不等式的基本性质2得，
a b
> .
3 3
5 -1 1
例3 利用 5 >2，比较 与 的大小.
2 2
解 因为 5 >2，根据不等式的基本性质1得，
5 -1>2-1，
即 5 -1>1 .
1
又因为 >0，根据不等式的基本性质2得，
2
5 -1 1
.
>
2 2
练 习
1 已知 ，用“ ”或“ ”填空：
3<π > <
（） ； （） ；
1 3+ 2 π+ 2 2 1 π-2
3 π 5 5
（） ； （） .
3 4 π
2 2 2 6
2 已知a<b，用“
>
”或“
<
”填空：
（
1
）a+xy b+xy； （
2
）a-2x b-2x；
a b
（ 3 ） 5a 5b； （ 4 ） .
5 5
37 -1 5
3 利用 ，比较 与 的大小.
37 >6
2 2
61数学 七年级下册
做一做
先用“>”或“<”填空：
4 3，-4 -3，
2
2 2（ 2 ≈1.414），- -1，
2
再观察结果，由此可猜测出什么结论？
显然4>3，-4<-3.
由于 2 ≈1. 414， - 2 ≈-0. 707 ，所以 2 <2， - 2 >-1 .
2 2
a b
由此猜测：若a，b，c都是实数，且a<b，c<0，则ac>bc， > .
c c
下面来说明上述猜测是真的.
已知a<b，于是 a-b<0 .
又c<0，于是 （a-b）c>0，
从而有 ac-bc>0，
因此 ac>bc.
a b
1 1 1
又 <0，同理可得a ⋅ >b ⋅ ，即 > .
c c c c c
a b
若a>b，c<0，类似地，可以得到ac<bc， < .
c c
综上可得不等式的基本性质3：
不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.
例4 用“>”或“<”填空：
a b
（1）已知a<b，则
- -
；
3 3
2a 2b
（2）已知a>b，则
- -
.
3 3
解 （1）因为a<b，两边都除以-3，由不等式的基本性质3，得
a b
.
- >-
3 3
62第3章 一元一次不等式（组）
2
（2）因为a>b，两边都乘
-
，由不等式的基本性质3，得
3
2a 2b
.
- <-
3 3
例5 把下列不等式化为x<a或x>a的形式：
1 1
（1）10x<3x-7； （2）- （x+ 5 ）+1< .
7 3
解 （1）根据不等式的基本性质1，得
10x-3x<3x-7-3x，
为什么不等式
合并同类项，得
7x<-7 .
两边要减去3x？
两边都除以7，根据不等式的基本性质2，得
x<-1 .
（2）两边都乘21，根据不等式的基本性质2，得
1 1
- （x+5 ）×21+1×21< ×21，
7 3 为什么要乘21？
即 -3（x+5）+21<7 .
运用乘法对加法的分配律，得
-3x-15+21<7，
合并同类项，得
-3x+6<7 .
根据不等式的基本性质1，得
-3x+6-6<7-6，
合并同类项，得
-3x<1 .
两边都除以-3，根据不等式的基本性质3，得
1
x>- .
3
对于不等式10x<3x-7，运用不等式的基本性质1，两边都减去3x，得
7x<-7 . 这种变形可看作是把不等式右边的项3x改变符号后移到左边.
63数学 七年级下册
对于不等式-3x+6<7，运用不等式的基本性质1，两边都减去6，得
-3x <1 . 这种变形可看作是把不等式左边的项6改变符号后移到右边.
10x<3x-7， -3x+6<7，
10x-3x<-7 .
-3x<7-6 .
像这样，把不等式一边的某一项改变符号后移到另一边的变形称为移项.
在例5（2）中，将原不等式的两边都乘各个分母的最小公倍数，从而把分母
去掉，这种变形叫作去分母. 有时还需运用乘法对加法的分配律，把不等式中
的括号去掉，这种变形叫作去括号.
练 习
1 已知 ，用“ ”或“ ”填空：
3<π > <
4 4 1 π
（） ； （） ；
1 - - π 2 - -
3 9 3 9
5 π 5 π
（ 3 ） +1 ； （ 4 ） - +2 .
2 2 3 9
2 把下列不等式化为x<a或x>a的形式：
（ 1 ） 5x+8>-2 ； （ 2 ） 2x<x+6 ；
1 1
（ 3 ） - x+1<- ； （ 4 ） 3 （x+4 ） <x+2 .
2 3
习题3. 2
学而时习之
1 用“ ”或“ ”填空：
> <
（ 1 ）由a>b，可得a-3 b - 3 ；
（ 2 ）由m<n，可得 2m m+n􀆰
2 利用不等式的基本性质，把下列不等式化为x>a或x<a的形式：
（ 1 ）x+1<5 ； （ 2 ） 7x<6x+3 ；
（ 3 ） 3x<6 ； （ 4 ） 0. 5x>7 .
64第3章 一元一次不等式（组）
3 已知a>b，用“
>
”或“
<
”填空：
（ 1 ） -5a -5b； （ 2 ） -3-a -3-b；
b a
1 1
（ 3 ） - a+4 - b+4 ； （ 4 ）如果c<0 ，那么 􀆰
4 4 c c
4 把下列不等式化为x>a 或x<a 的形式：
（ 1 ） 2x+5>3 ； （ 2 ） 6x-7<-x；
5 3
（ 3 ） -3 （x+1 ） >1-x； （ 4 ） x+1< x􀆰
3 2
温故而知新
5 （
1
）由a>b得到ac2>bc2的条件是：c
0
；
（
2
）由 4a<3a，可得a
0􀆰
6 设a，b，c都是实数，如果a>b且b>c，那么a>c. 不等式的这一性质
称为传递性，试写出理由.
关于不等式基本性质1的说明
以 3x<2x-2 为例，说明在不等式两边都加上或减去同一个整式，
不等号方向不变.
不等式 3x<2x-2 的含义是：x用哪些实数代入，能够使得左边 3x
的值小于右边 2x-2 的值.
设x用实数a代入，能够使得左边的值小于右边的值，即 3a<2a-2 .
在不等式 3a<2a-2 的两边减去同一个实数 2a，得a<-2 .
显然，满足这一条件的所有实数a，也是使得不等式x<-2 成立的
所有实数.
于是不等式 3x<2x-2 可以变形成不等式x<-2 ，这相当于在
3x<2x-2 的两边都减去 2x，并且不等号的方向不变.
650
3.3 一元一次不等式的解法
类似于一元一次方程的定义，我们把只含有一个未知数，且含未知数的项
的次数是1的不等式，称为一元一次不等式. 例如，6x<5x-3是一个一元一
次不等式.
对于一个未知数为x的一元一次不等式，如果未知数x用实数a代入，能
够使得不等式成立，那么a称为这个不等式的一个解. 这个不等式的解的全体
称为这个不等式的解集.
运用不等式的基本性质把未知数为x的一元一次不等式化为x<a（或
x>a，或x≤a，或x≥a）后，则可用x<a（或x>a，或x≤a，或x≥a）表
示原不等式的解集.
求一个不等式的解集的过程称为解不等式.
做一做
解下列一元一次不等式.
（1）6x<2x-4； （2）-3x+2<-x+1 .
（1）移项，得 6x-2x<-4，
合并同类项，得
这个不等式的
4x<-4，
解集是小于-1的
两边都除以4，得
一切实数.
x<-1 .
（2）移项，得-3x+x<1-2，
合并同类项，得
-2x<-1，
两边都除以-2，得
为什么要改变
x> 1 . 不等号的方向？
2
66第3章 一元一次不等式（组）
思 考
1
如何在数轴上表示出不等式-3x+2<-x+1的解集x> ？
2
1
首先在数轴上标出表示 的点A，由于数轴上右边的点表示的实数比左边
2
的点表示的实数大，因而可以像图3.3-1那样表示不等式-3x+2<-x+1
1 1 1
的解集x> . 要注意的是，由于解集不包括 ，于是把表示 的点A画成空
2 2 2
心圆圈.
图3.3-1
例1 解不等式12-6x≥2（1-2x），并把它的解集在数轴上表示出来.
解 去括号，得
12-6x≥2-4x，
移项，得
-6x+4x≥2-12，
合并同类项，得
解集x≤5中包括5，
-2x≥-10，
所以在数轴上将表示5的
两边都除以-2，得
点画成实心圆点.
x≤5 .
原不等式的解集x≤5在数轴上的表示如图3.3-2所示.
图3.3-2
练 习
解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来：
（ 1 ） -5x≤10 ； （ 2 ） 10x+7<4x+1 ；
（ 3 ） 3x-12>2 （ 1+4x）； （ 4 ） 3 （ 5x+4 ） ≥7x+8 .
67数学 七年级下册
x x
5
例2 解不等式 <- + ，并把它的解集在数轴上表示出来.
3 2 6
解 去分母（原不等式两边都乘各个分母的最小公倍数），
x x
5
×6<- ×6+ ×6，
3 2 6
与解一元一次方程类似，
得
含有分母时，通常先去分母.
2x<-3x+5，
移项，得
2x+3x<5，
合并同类项，得
5x<5，
两边都除以5，得
x<1 .
原不等式的解集x<1在数轴上的表示如图3.3-3所示.
图3.3-3
x-5
3
例3 解不等式 +1≤ x，并把它的解集在数轴上表示出来.
3 2
解 去分母，得
2（x-5）+6≤9x，
去括号，得
2x-10+6≤9x，
移项，得
2x-9x≤10-6，
合并同类项，得
-7x≤4，
两边都除以-7，得
4
x≥- .
7
68第3章 一元一次不等式（组）
4
原不等式的解集x≥- 在数轴上的表示如图3.3-4所示.
7
图3.3-4
议一议
一元一次不等式与一元一次方程的解法有哪些类似之处？有哪些不
同之处？与同学交流你的认识.
1
例4 将x用哪些实数代入，能够使得多项式- x+2的值大于或等于0？
3
其中满足条件的正整数有哪些？
1
解 由题意可知，需先求不等式- x+2≥0的解集.
3
移项，得
1
- x≥-2 ，
3
两边都乘-3，得
x≤6 .
1
因此，当x用小于或等于6的实数代入时，都能使得多项式- x+2的值
3
大于或等于0，其中满足条件的正整数有1，2，3，4，5，6 .
练 习
1 解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来：
x x
1
x+4 2x+3
（） ； （） ；
1 < + 2 ≥
4 6 8 3 2
x+3 3x+5 6x+3 3x+3
（） ； （） .
3 > 4 ≤
2 4 10 4
2x-1 5x+4
2 将x用哪些实数代入，能够使得多项式
-
的值小于或等于
5
？
3 2
其中满足条件的负整数有哪些？
69数学 七年级下册
习题3. 3
学而时习之
1 解下列不等式：
（ 1 ） 3x-4>8 ； （ 2 ） 4x+5<3 （x+1 ）；
（ 3 ） 5x+1≥7x+5 ； （ 4 ） 1-2x>6x+5 .
2 解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来：
2x-1 5x+1 x-1
（ 1 ） ≥ ； （ 2 ） 2 （ 3x+2 ） +1> ；
3 4 2
3 4x-1 4 （ 1+x） 4+x
（ 3 ） x - < ； （ 4 ） -1≤ .
2 3 3 2
3x-2 2x+5
1
3 将x用哪些实数代入，能够使得多项式 的值不大于 ？其
-
7 3 3
中满足条件的负整数有哪些？
温故而知新
4 设a是实数，如果不等式（a+1 ）x>a+1 的解集是x<1 ，那么a应满足什
么条件？
5 （
1
）解不等式：
5
（x-2 ）
+8<6
（x-1 ）
+7
；
（ 2 ）设a是实数，若（ 1 ）中的不等式的最小整数解是方程 2x-ax=3 的解，
求a的值.
703.4 一元一次不等式的应用
思 考
一个人坐着时，不宜提举过
重的重物，以免受伤. 若小明坐
着时，最多只能提举4.5 kg的重
物，现桌上有两本各重1.2 kg的
画册和一批每本重0.4 kg的记事
本. 如果小明想坐着搬动这两本
画册和一些记事本，他最多只能搬动多少本记事本？
上述问题涉及的不等量关系是：
画册的总重量+记事本的总重量≤4. 5kg.
设小明最多能搬动x本记事本，则
1. 2×2+0. 4x≤4. 5.
解这个不等式，得 x≤5. 25.
由于记事本的数目必须是整数，所以x 的最大值为5 .
因此，小明最多只能搬动5本记事本.
例1 一种电子琴的进价为每台1 800元，如果商店按标价的八折出售，所
得利润不低于售价的10%，那么每台电子琴的标价至少是多少元？
分析 本题涉及的不等量关系是：
售价 进价 售价的 .
- ≥ 10%
解 设每台电子琴的标价为x元，那么售出一台电子琴所得的利润不低于
（80%x×10%）元. 根据题意，得
80%x-1800≥80%x×10% .
解这个不等式，得 x≥2500 .
答：每台电子琴的标价至少是2 500元.
71数学 七年级下册
例 2 为增强自身体魄，
（Ⅰ 7km） Ⅲ（13km）
小华等几名同学只要条件允许， Ⅱ（8km）
几乎每个星期天都去登山，一
Ⅳ（11km）
般是上午7点出发，到达山顶
后休息2 h，下午不超过4点回
到出发点. 如果他们去时的平
均速度是3 km/h，回来时的平
出发点
均速度是4 km/h，他们最远能 图3.4-1
登上哪座山顶？（图3.4-1中的
7 km，8 km，13 km，11 km表
示出发点到山顶的路程）
分析 本题涉及的不等量关系是：
去时所花时间 休息时间 回来所花时间 限定的总时间.
+ + ≤
x
解 设从出发点到山顶的距离为xkm，则他们去时所花时间为 h，回来
3
x
所花时间为 h .
4
又他们在山顶休息了2 h，上午7点到下午4点之间相隔9 h，
x x
因而 +2+ ≤9 .
3 4
解这个不等式，得 x≤12 .
答：要满足下午不超过4点回到出发点，小华他们最远能登上山顶Ⅳ .
做一做
用流程图表示运用一元一次不等式解决实际问题的步骤，并与同学
交流结果.
72第3章 一元一次不等式（组）
练 习
1 小明家的客厅长 ，宽 . 现在想购买边长为 的正方形地板砖把
5 m 4 m 60 cm
地面铺满，至少需要购买多少块这样的地板砖？
2 某厂生产某种零件，每个零件的成本为 元，售价为 元，应纳税额为总销
3 5
售额的 . 要使纯利润不低于 万元，则该厂至少要销售多少个此种零件？
10% 3
习题3. 4
学而时习之
1 某工程队计划在 天内修路 . 开始 天受天气影响，每天只能完成
14 1 900 m 4
. 后来天气转好，为了按期或提前完成，天气转好后平均每天至少要
100 m
完成多少米？
1
2 某活动课上，七年级（）班的一半学生在学习乐器， 的学生在学习计算机
2
4
1
实操， 的学生在练习踢足球，还剩不超过 名学生在收集植物样本，则这
6
7
个班上最多有多少名学生？
温故而知新
3 某服装厂生产一种西装和领带，已知西装每套定价 元，领带每条定价
1 200
元. 厂方为促销，特向客户提供两种优惠方案：
200
（）买一套西装送一条领带，超出的领带按定价付款；
1
（
2
）西装和领带均按定价的 90%付款.
某商场采购员现要到该服装厂购买西装
20
套，领带x条（x>20 ）. 请你根据
x取值的不同情况，帮助该采购员选择最省钱的购买方案.
733.5 一元一次不等式组
做一做
生活中有些问题需要同时满足两个或两个以上的不等关系. 例如，
一个长方形足球场的宽为70 m，要求它的周长大于350 m，面积小于
7630m2. 如何写出这个足球场的长应满足的条件？动手试一试.
设足球场的长为x m，则它的周长就是 2（x+70）m，面积为70xm2. 根据
已知条件可知，x的取值必须要使2（x+70）>350和70x<7630这两个不等式
同时成立.
为此，用大括号把上述两个不等式联立起来，得
ì2（x+70）>350， ①
í
î70x<7630 . ②
像上面这样，把含有相同未知数的几个一元一次不等式联立起来，就组成
了一个一元一次不等式组.
思 考
当x在什么范围内取值时，上述一元一次不等式组中的两个不等式同
时成立？
解不等式①，得 x>105 .
解不等式②，得 x<109 .
因而同时满足不等式①②的未知数x的值应该是x>105与x<109的公共
部分，于是先在同一条数轴上把x>105与x<109表示出来，如图3.5-1
所示.
图3.5-1
74第3章 一元一次不等式（组）
由图3.5-1容易发现，它们的公共部分是105
和109之间的数（不包括105和109），记作105< 利用数轴可以确定
不等式组的解集.
x<109，这就是由不等式①②组成的不等式组的
解集􀆰
组成不等式组的各个不等式解集的公共部分，叫作这个不等式组的解集.
求不等式组的解集的过程，叫作解不等式组.
ì3-x≥0，
①
例1 解不等式组：í
î3（1-x）>2（x+9）.
②
解 解不等式①，得 x≤3 .
解不等式②，得 x<-3 .
把不等式①②的解集在数轴上表示出来，如图3.5-2所示.
图3.5-2
由图3.5-2可知，不等式①②的解集的公共部分是x<-3，所以这个不等
式组的解集是x<-3 .
ì4x-7<5（x-1）， ①
ïïïï
例2 解不等式组：íx x-2
ï ïï ï >4- . ②
î3 2
解 解不等式①，得 x>-2 .
解不等式②，得 x>6 .
把不等式①②的解集在数轴上表示出来，如图3.5-3所示.
图3.5-3
由图3.5-3可知，不等式①②的解集的公共部分是x>6，所以这个不等式
组的解集是x>6􀆰
75数学 七年级下册
ìx+5<3， ①
例3 解不等式组：í
îx+6<4x-3 . ②
解 解不等式①，得 x<-2 .
解不等式②，得 x>3 .
把不等式①②的解集在数轴上表示出来，如图3.5-4所示.
图3.5-4
由图3.5-4可以看出，不等式①②的解集没有公共部分. 这时，我们说这
个不等式组无解.
说一说
请说出解不等式组的一般步骤.
先分别求出每个不等式的解集，并将解集在
同一条数轴上表示出来，再确定解集的公共部分，
最后写出不等式组的解集.
练 习
1 填表：
ìx≥-5, ìx>-5, ìx-5<0, ìx-5>0,
不等式组 í í í í
îx>-3 îx≤-3 îx+3<0 îx+3<0
不等式组的解集
2 解下列不等式组：
ì2x-4<x+1 ， ì3x+2>2 （x-1 ），
（
1
）í （
2
）í
î2x-4>- （x+1 ）； î4x-3≤3x-2 ；
ì2x+1<3 ， ì2x<x+2 ，
（
3
）í （
4
）í
î3x+4<2 ； îx+6<4x-3 .
76第3章 一元一次不等式（组）
习题3. 5
学而时习之
1 解下列不等式组：
ì2x+5>3 ， ì6x-7≤0 ，
（
1
）í （
2
）í
î3x-2<4x； î3x≤5x+2 ；
ì1 7
ï
ïï
ï
2
x<
12
，
ì3x-4>11 ，
（
3
）í （
4
）í
ïï 1 1 î5 （x+1 ） >4x.
ïï-
x> ；
î 4 2
ì5x-1>3x-4 ，
ïïïï
2 求不等式组í 的整数解.
1 2
ïïïï- x≤ - x
î 3 3
ìx<3a+2 ，
3 如果关于x的不等式组í 的解集是x<3a+2 ，求实数a应满足
îx<a-4
的条件.
温故而知新
3x-1
4 解不等式 ，并写出它的所有整数解.
2≤ ≤5
4
5 小明和他妹妹两人的年龄相差 岁. 今年，小明的年龄比他妹妹年龄的 倍
8 2
1
大；两年后，他妹妹的年龄比小明年龄的 大. 试问小明和他妹妹今年各
2
多少岁？
77数学 七年级下册
含有绝对值的一元一次不等式
我们已经会解一元一次不等式，那么像|x|
≤5
，|x|
>5
这种含有绝
对值的一元一次不等式如何求解呢？
若实数c是|x|
≤5
的一个解，则其含义是：x用c代入使得|c|
≤5
.
这说明在数轴上表示c的点与原点O的距离小于或等于
5
. 由于到原点O
的距离等于 5 的点表示的实数为 ±5 ，从而 -5≤c≤5 . 因此|x| ≤5 的解
集是 -5≤x≤5 ，在数轴上的表示如图 1 所示.
图1
若实数d是|x|
>5
的一个解，则其含义是：x用d代入使得|d|
>5
.
这说明在数轴上表示d的点与原点O的距离大于
5
，从而d<-5 或d>5 .
因此|x|
>5
的解集是x<-5 或x>5 ，在数轴上的表示如图
2
所示.
图2
于是，可以仿照上述思路来解含有绝对值的一元一次不等式.
例 解不等式：|x-1 |
≤6
.
解 由|x-1 | ≤6 得 -6≤x-1≤6 ，
解得 -5≤x≤7 .
因此，|x-1 | ≤6 的解集是 -5≤x≤7 .
练习 解下列不等式：
（ 1 ）|x+3 | >2 ； （ 2 ）| 2x-1 | ≤3 ；
（
3
）| 1-x|
≥4
.
78第3章 一元一次不等式（组）
小 结
与 评 价
知识图谱
思考回顾
. 不等式的基本性质有哪些？
1
. 举例说明什么是一元一次不等式以及一元一次不等式的解集.
2
. 举例说明如何解一元一次不等式.
3
. 举例说明如何在数轴上表示出一元一次不等式的解集.
4
. 举例说明什么是一元一次不等式组以及一元一次不等式组的解集.
5
注意事项
. 不等式的基本性质与等式的基本性质的不同之处：不等式的两边
1
都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.
. 解一元一次不等式时，应与解一元一次方程进行类比.
2
3
. 一元一次不等式的解集x≤a（或x≥a）包含数a，x<a（或x>a）
不包含数a. 在数轴上表示这两个解集时，分别用实心圆点和空心圆圈来
区分.
. 求一元一次不等式组的解集时，要特别注意利用数轴（数形结合）
4
来求解.
79数学 七年级下册
自评互评
• 自评
通过本章的学习，你对以下几方面的学习内容掌握得怎么样？根据
自己的学习情况，点亮属于你的小星星，然后请同学和老师对你的自评
进行恰当评价.
. 能用不等式的基本性质对不等式进行变形
1
. 能解数字系数的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集
2
. 会用数轴确定两个一元一次不等式组成的不等式组的解集
3
. 能根据具体问题中的不等量关系，列出一元一次不等式，解决简单的
4
实际问题，并建立模型观念
• 自评 / 互评
请完成下面两项评价，先自评再在小组内进行互相评价. 其中评价
由低到高分为 ， ， ， ， 五个等级.
1 2 3 4 5
. 能在运用一元一次不等式相关知识解决实际问题的过程中，积极思考，
1
主动发问，不断总结，逐步提升运用知识的能力
( )/( )
. 基于对本章知识的理解，画出思维导图，并在组内展示，对自己和同
2
学画出的思维导图进行恰当评价
( )/( )
你对本章的学习及评价还满意吗？学好数学在于细心观察，仔细思
考，只要你保持着对数学的好奇心和求知欲，就会发现生活中处处有数
学，从而领略到数学的无穷魅力！
80第3章 一元一次不等式（组）
复习题3
学而时习之
1 叙述下列含未知数的不等式的含义：
1 2
（ 1 ） 2x-1≤3 ； （ 2 ） x+6≥ x-5 .
2 3
2 用“ ”“ ”“ ”“ ”填空：
> < ≥ ≤
c c
（ 1 ）由a<b，可得 3a + 3b + ；
5 5
a-c b-c
（
2
）由a>b，可得 ；
2 2
（ 3 ）由a≤b，可得 -a-c -b-c；
a-c b-c
（
4
）如果a≥b，那么
- - 􀆰
3 3
86 -1
3 利用 ，比较 与 的大小
86 >9 4 􀆰
2
4 指出下列各题中的错误：
2
（ 1 ）因为 -3a<2 ，所以两边都除以 -3 ，得a<- ；
3
1
（
2
）因为
<1
，所以两边都乘a，得a>1􀆰
a
5 解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来：
3 1
（ 1 ） 2-5x≥7-6x； （ 2 ） x+1< +x；
5 5
x-3 x+6 5 （x+2 ）
（
3
）
>
； （
4
） >2x.
2 5 4
6 解下列不等式：
（ 1 ） 10-4 （x-3 ） ≤2 （x-1 ）； （ 2 ） 2 （x-1 ） -3x≥4 （x+1 ） +4 ；
x+5 3x+2 x+1 2x-5
（） ； （） ；
3 -1> 4 ≥ +1
2 2 6 4
1
2x-6 2x+1 2-x x-1
（ 5 ） x-3+ >-3x； （ 6 ） - ≥ 􀆰
4 3 3 6 2
81数学 七年级下册
7 某校组织开展国家安全知识竞赛活动，共 道题，选对得 分，不选或选
25 4
错扣 分. 若得分不低于 分可得奖，则要得奖至少应选对多少道题？
2 60
8 某校积极响应加快建设体育强国的号召，准备扩建乒乓球训练馆，因而需
要新增一些乒乓球拍，并为每副球拍配 个乒乓球. 经询问，得知某家超
3
市有某品牌的乒乓球拍和乒乓球出售，且每副球拍的标价为 元，每个乒
30
乓球的标价为 元. 经协商，该超市同意打九折（按标价的 付费）销售.
1 90%
若采购预算为 元，请制定购买方案，使得购买的乒乓球拍数量最多.
1 000
9 解下列不等式组：
ì2x+3<5 ， ì7-3x>0 ，
（
1
）í （
2
）í
îx≥-1 ； î5-x<2 ；
ì2
ïï x+5>1-x，
ì- （x-1 ） >3 ， ïï3
（
3
）í （
4
）í
î2x+9<3 ； ïï 3 1
ïïx-1< x- .
î 4 8
温故而知新
10（
1
）若a，b，c，d都是正数，且a>b，c>d，则ac>bd. 试写出理由.
（
2
）若a，b，c，d都是实数，且a>b，c>d，则ac>bd成立吗？
11 （
1
）若a，b都是正数，且a>b，则a2>b2. 试写出理由.
（
2
）若a，b都是实数，且a>b，则a2>b2成立吗？
12 已知a，b均为实数，试比较ab与a的大小
􀆰
3
x-6a
13 a为何值时，关于x的方程 x- （x+2a） =3- 的解为正数？
2 5
ì2x-3a<4b，
14 若关于x的不等式组í 的解集是 2<x<9 ，求a，b的值.
î6b-4x<5a
15 某码头现有甲种货物 和乙种货物 拟用 ， 两种集装箱将
1 530 t 1 150 t􀆰 A B
其运走. 已知甲种货物 和乙种货物 可装满一个 型集装箱，甲种货物
35 t 15t A
和乙种货物 可装满一个 型集装箱. 若共使用了 个集装箱，则有哪
25t 35t B 50
几种具体的运输方案？你会怎样设计？
82第3章 一元一次不等式（组）
16 小楠所在学校决定本学期在七年
级 个班级中开展乒乓球单循
13
环比赛（每个班级与其他班分别
进行一场比赛，每班需要进行
场比赛）. 比赛规则为：每场
12
比赛都要分出胜负，胜一场得
3
分，负一场得 分. 假设比赛
-1
结束后，甲班得分是乙班的 倍，甲班获胜的场次不超过 场，且甲班获胜
3 9
场次多于乙班. 问：甲班、乙班各胜几场？
上下而求索
ìx-b>0 ，
17（
1
）求关于x的不等式组í 的解集；
îx-b<1
（ 2 ）若（ 1 ）的解集中任何一个x的值均在 2≤x≤5 的范围内，求b的取值应
满足的条件；
（ 3 ）若（ 1 ）的解集中任何一个x的值均不在 2≤x≤5 的范围内，求b的取值
应满足的条件.
18 某工厂计划m天完成加工
2 160
个零件的任务，若安排
15
名工人每人每天
加工a（a为整数）个零件恰好完成. 实际开工若干天后，其中
3
人外出培训，
如果剩下的工人每人每天多加工 个零件，仍不能按期完成这次任务. 试
2
问a的值至少为多少？
83数学 七年级下册
数 学
文 化
华罗庚：“人民的数学家”
华罗庚（ — ），江苏常州人，数学家，中国科学院院士，是
1910 1985
中国数学史上自学成才的最富传奇色彩的伟大数学家之一. 他是中国解
析数论、多复变函数论、典型群、矩阵几何学等方面研究的创始人与奠
基者. 他一生为我们留下了约 篇学术论文、 部专著，其中 部专著
200 10 8
被国外翻译出版，有些被列入 世纪经典著作之列.
20
一、不屈不挠，发奋自学
年，华罗庚初中毕业，家里好不容易凑齐学费，把他送到上海
1925
的中华职业学校学习. 但是没多久，由于家里情况不太好，没有钱继续
供他读书，华罗庚只好辍学回家. 很长的一段时间里，华罗庚在深夜偷
偷哭泣，他问自己，难道这一生就只能在这个十几平方米的杂货铺里度
过吗？但想起启蒙老师的教诲后，他决定不能就这么放弃，虽然没钱上
学，但是可以自学！只要一直坚持下去，说不定未来会有转机.
于是就算在大冬天，冒着刺骨寒风，擤着鼻涕，他坐在柜台看店的
同时，也不放弃演算数学题，一坐就是一天，晚上的时候还在油灯下看
书演算到深夜. 在这段时间里，华罗庚自学了全部的高中数学和大学数
84第3章 一元一次不等式（组）
学. 岁时，他不幸得了伤寒，病了几个月，病好后落下腿部残疾，但
19
他不向命运低头，潜心钻研数学，并向各大数学杂志投稿.
只要努力就会有回报，机会总是留给有准备的人. 在他 岁时，上
21
海《科学》杂志社发表了他的《苏家驹之代数的五次方程式解法不能成
立之理由》，这篇文章立即引起清华大学数学系熊庆来教授的关注. 在其
引荐下，华罗庚到清华大学当数学系助理员. 在此期间，他发表了近
20
篇论文，后来被破格提拔为助教. 年，华罗庚由清华大学推荐到英
1936
国剑桥大学学习. 在学习研究期间，他破解了许多数学难题，发表多篇
论文，得出著名的“华氏定理”，震惊了剑桥大学，在当时被誉为“剑桥
的光荣”. 至此，华罗庚的名声开始传到海内外数学界.
二、胸怀祖国，服务人民
年，新中国成立的消息传到美国以后，已是美国伊利诺伊大学
1949
终身教授的华罗庚，放弃优厚的薪俸、汽车、洋房、荣誉等，毫不犹豫
地响应祖国的号召，启程回国，准备投身社会主义建设事业. 路过香港
时，他写了一封长达万言的公开信，情真意切地呼吁爱国知识分子放弃
国外优越的物质生活，投入祖国的怀抱. 他在信中说：
朋友们！“梁园虽好，非久居之乡”，归去来兮！……总之，为了抉
择真理，我们应当回去；为了国家民族，我们应当回去；为了为人民服
务，我们也应当回去；就是为了个人出路，也应当早日回去，建立我们
工作的基础，为我们伟大祖国的建设和发展而奋斗！
华罗庚重新回到了清
华大学，新中国给予了他
更大的舞台空间. 他带领
中国数学界，全力将中国
的数学事业推向世界. 在
华罗庚的带领下，一大批
数学天才涌现，包括陈景
润等一批数学家的出现， 1950年华罗庚（后排左二）在回国的轮船上
极大地壮大了中国数学研
85数学 七年级下册
究的力量. 正是有了这位教练的出色带领，王元、
潘承洞、陈景润先后在哥德巴赫猜想研究上取得
国际领先成果. 同时，他还培养了许多其他领域
的人才，推动了中国第一台计算机的研制成功，
促进了中国航天和“两弹一星”事业的发展.
同时，他又致力于将数学理论应用于国民生 华罗庚和他的学生陈景润
产实践. 他深入农村、工厂、三线，哪怕是晚年
积劳成疾，也一直致力于将优选法、统筹法推广到各个地区. 他还根据
中国实情与国际潮流，大力倡导数学知识在生产生活中的应用. 为推广
应用数学知识，他身体力行，深入群众，跟他们交朋友，向他们学习，
然后选择适于他们的数学方法，用群众能懂的语言讲给群众听，为我国
的经济建设作出了重大贡献. 他始终恪守着自己的诺言，为祖国的繁荣
昌盛奋斗不息，向人们展示了他“祖国中兴宏伟，死生甘愿同依”的爱
国之心.
华罗庚在农村推广优选法 华罗庚在工厂推广优选法
年 月 日，华罗庚在
1985 6 12
东京大学作报告的时候，突发疾病
去世. 直到生命的最后一刻，他仍
然在传播数学知识，实现了他在数
学界“生命不息，战斗不止”的
诺言. 华罗庚应用统筹法讲解 “七O九” 工程
他之所以这样做，是因为他发自内心地热爱祖国和人民，希望为提
高祖国的科技水平和人民的生活质量贡献力量. 因此，群众从内心喜欢
他， 给了他最宝贵的桂冠——“人民的数学家”.
86统筹时间
在日常生活中，我们经常遇到需要合理安排，以节约时间的问题. 例如，小楠家
人某天要做饭菜吃，当时除了炒锅没洗，米没淘，菜没洗、没切外，其余都准备就绪.
5 1
min min
切菜 洗炒锅
12 10
min min
炒菜 洗菜
28 2
min min
煮饭 淘米
议 一 议
方案 ：淘好米，开始煮饭；在等待饭熟时，洗菜、切菜、洗炒锅、炒菜；等饭
1
熟了，就可以吃饭.
方案 ：先做好一些准备工作，洗炒锅、淘米；洗菜、切菜；煮饭的同时炒菜；
2
87坐待饭熟，吃饭.
方案 ：淘米、煮饭；饭熟之后洗菜、切菜、洗炒锅、炒菜，菜炒好后吃饭.
3
哪一种办法最省时间？
煮饭一般要先淘米. 炒锅不洗，不能炒菜，因而洗炒锅是炒菜的先决条件，不洗
菜、不切菜，我们也不能炒菜，因而它们的安排顺序可用以下的箭头图来表示：
当然，洗炒锅也可以在洗菜或者切菜之前.
做 一 做
如果小楠家来了一位客人，炒菜所需时间变化为：炒青菜 ，烧鱼 ，烧
3min 12min
汤 ，炒肉 . 假设其余条件都没有发生变化，请你帮小楠制订一个时间安排
6 min 3 min
表，以使客人尽快吃饭.
议 一 议
与其他同学一起讨论你制订的时间安排表，看是否还有更好的方案.
做 一 做
时间统筹可以让你在较短的时间内完成更多的事情，所以，你应该学习如何合理
安排时间，从而使自己在有限的时间内尽可能地得到全面发展. 请你尝试按以下步骤
统筹安排自己的时间：
第一步，记录你的日常活动，弄清自己的时间分配情况；
第二步，分析你的时间是怎么分配的；
第三步，弄清楚哪些地方浪费了时间后，作出调整计划；
第四步，改变用时习惯，开始按计划实施一段时间；
第五步，根据实施结果，再次优化你的安排计划.
88第 4 章
平面内的两条直线
象棋是中华民族的文化瑰宝，源远流长，趣味十足. 观察象
棋棋盘，可以从中找出一些互相平行或垂直的直线. 平行线具有
哪些性质？如何判断两条直线平行？
在棋盘上移动某颗棋子时，你会发现棋子的大小和形状都没
变. 将一个几何图形向某个方向移动一段距离后，它的形状和大
小会改变吗？
上述疑惑都将在本章揭晓.4.1 平面内两条直线的位置关系
4􀆰 1􀆰 1 平行线
我们知道，如果两条直线只有一个公共点，那么称这两条直线相交，也称
它们是相交直线，这个公共点叫作它们的交点.
如果两条直线有两个公共点，那么由“两点确定一条直线”可知，它们一
定重合. 在本套教科书中，如果没有特别说明，两条重合的直线只当作一条.
观 察
图4.1-1是两扇窗页开合的示意图. 把两扇窗页近似地看成在同一平
面内，每扇窗页的四条边所在的直线中，哪些既不相交也不重合？
图4.1-1
由生活常识可得：AB和DC，AD和BC既不相交，也不重合.
由上可知，同一平面内的两条直线有三种位置关系：相交、重合、既不相
交也不重合（即没有公共点）.
在同一平面内，没有公共点的两条直线叫作平行线. 平行用符号“∥”
表示.
如图4.1-2，直线AB与CD平行，记作“AB∥CD”，
读作“AB平行于CD”或“CD平行于AB”或“AB与
CD互相平行”.
图4.1-2
日常生活中平行线的实例随处可见. 例如，一段笔
90第4章 平面内的两条直线
直铁路上的两条铁轨所在的直线，以及一排间隔相同、粗细均匀的栅栏竖条所
在的直线.
铁轨 栅栏
议一议
观察教室黑板的上、下边缘所在的直线，它们可以看作平行线吗？
你还能从教室里找到哪些平行线的实例？将结果与同学交流.
思 考
如图4.1-3，任意画一条直线a，并在直线a
外任取一点P. 请用三角板和直尺画一条过点P
且与直线a平行的直线. 还可以画出其他过点P
且与直线a平行的直线吗？ 图4.1-3
可以按下列步骤画：
（1）把三角板的BC边靠紧直线a，再用直尺
（或另一块三角板）靠紧三角板的另一边AC；
（2）沿直尺推动三角板，使原来和直线a重合
的一边经过点P；
（3）沿三角板的这条边画直线b，则直线b就
是过点P且与直线a平行的直线（如图4.1-4所示）. 图4.1-4
人们从大量的实践经验中抽象出关于平行线的
基本事实：
过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.
91数学 七年级下册
说一说
如图4.1-5，如果直线a和c都与直线b平
行，那么a与c平行吗？为什么？
图4.1-5
若a与c不平行，就会相交于某一点P（如图4.1-5），
那么过点P就有两条直线与b平行，根据平行线的基本
事实，这是不可能的. 因此a∥c.
由此可得：平行于同一条直线的两条直线平行.
即如果a∥b，c∥b，那么a∥c.
提示
一条线段向两端无限延伸就得到一条直线，这说明直线有两个方向，
它们是互为相反的方向，取定其中一个方向，就确定了另一个方向. 在
每条直线上取定一个方向，两条直线平行也就是它们的方向相同或相反；
反过来，方向相同或相反的两条直线也平行，如图 所示.
4.1-6
（a） （b）
图4.1-6
练 习
1 请举出 个生活中的平行线实例.
3
2 如图，在同一平面内，若AB∥CD，EF与AB相交
于点P，EF能与CD平行吗？为什么？
3 过三角形的一个顶点，画另外两个顶点所在直线的
（第2题图）
平行线.
92第4章 平面内的两条直线
4􀆰 1􀆰 2 相交直线所成的角
如图4.1-7，将一把剪刀张开一定的角
度，则可以构成4个角，将其抽象，就可得
到如图4.1-8所示的几何图形.
在图4.1-8中，∠1与∠3有共同的顶点
O，且其中一个角的两边分别是另一个角两边
图4.1-7 图4.1-8
的反向延长线，这样的一对角叫作对顶角.
做一做
比较图4.1-8中∠1与∠3的大小，它们的大小之间有怎样的关系？
从图4.1-8可以看出，∠1与∠2互补，∠3与∠2也互补，即∠1与∠3都
是∠2的补角.
由“同角的补角相等”，可以得出∠1=∠3 .
类似地，∠2=∠4 .
综上可得对顶角的性质：
对顶角相等.
观 察
设直线AB，CD都与第三条直线MN相交（有
时也说直线AB，CD被第三条直线MN所截），则
可以构成8个角，如图4.1-9所示.
（1）∠1和∠5的位置有什么关系？
（2）∠3和∠5，∠3和∠6的位置分别有什么
图4.1-9
关系？
可以发现，在图4.1-9中，∠1和∠5分别在直线AB，CD的同一方（上
方），并且都在直线MN的同侧（右侧）. 具有∠1和∠5这种位置关系的一对角
叫作同位角.
93数学 七年级下册
∠3和∠5都在直线AB，CD之间，并且分别在直线MN的两侧（∠3在直
线MN左侧，∠5在直线MN右侧）. 具有∠3和∠5这种位置关系的一对角叫作
内错角.
∠3和∠6都在直线AB，CD之间，但它们在直线MN的同一旁（左侧）. 具
有∠3和∠6这种位置关系的一对角叫作同旁内角.
议一议
图4.1-9中还有其他的同位角、内错角和同旁内角吗？如有，将它们
分别找出来，并将你的结果与同学的结果进行比较.
例1 如图4.1-10，直线EF与直线AB，CD分
别相交，构成8个角. 指出图中所有的对顶角、同位
角、内错角和同旁内角.
解 由图4.1-10可知，其中对顶角有：
∠1和∠3，∠2和∠4，∠5和∠7，∠6和∠8 . 图4.1-10
同位角有：∠2 和∠5，∠1 和∠8，∠3 和∠6，
∠4和∠7 .
内错角有：∠1和∠6，∠4和∠5 .
同旁内角有：∠1和∠5，∠4和∠6 .
例2 如图4.1-11，直线AB，CD被直线MN所
截，同位角∠1与∠2相等，那么内错角∠2与∠3相
等吗？
解 因为∠1=∠3（对顶角相等），
∠1=∠2（已知），
图4.1-11
所以∠2=∠3（等量代换）.
由上可知：两条直线被第三条直线所截，如果有一对同位角相等，则内错
角相等.
94第4章 平面内的两条直线
练 习
1 请举出生活中对顶角的例子.
2 如图，工人师傅用对顶角量角器量工件a，b边所夹的角，其中
∠1
的度数
可以从仪器上读出. 试说明
∠1
的大小就是a，b边所夹角的大小的理由.
8 7
（第2题图） （第3题图）
3 如图，直线a，b被直线c所截，试找出图中所有的对顶角、同位角、内错
角和同旁内角. 若 ，求其他角的度数.
∠1=∠5=107°
习题4. 1
学而时习之
1 填空：
（）在同一平面内的两条直线，若相交，则有 个公共点；若平行，
1
则有 个公共点；
（
2
）在同一平面内，如果直线a与b相交，且直线a与c平行，则这三条直
线中所有交点的个数为 .
2 如图，三条直线AB，CD，EF相交于点O，分别写出 ∠DOB， ∠DOF，
∠DOA的对顶角.
（第2题图） （第3题图）
3 如图，三条直线AB，CD，EF相交于点O，已知 ∠BOC=90° ，OF是
∠BOC的平分线，求 ∠AOE， ∠EOB的度数.
95数学 七年级下册
4 如图，指出下列各对角分别是什么角，它们分别是由哪两条直线被哪一条
直线所截得到的.
（
1
）
∠1
与
∠2
； （
2
） ∠ABC与 ∠C.
（第4题图） （第5题图）
5 如图，在括号内填写理由：
已知 ，
∠1=∠2
因为 （ ），
∠2=∠4
所以 （ ）.
∠1=∠4
温故而知新
6 如图，在图中分别找出一个角与 ∠α配对，使两个角成为：
（）同位角； （）内错角； （）同旁内角.
1 2 3
并指出它们分别是由哪两条直线被哪一条直线所截得到的.
（第6题图）
964.2 平 移
观 察
图4.2-1是电梯正在运行的示意图，图4.2-2是射击训练移动靶的示
意图.
图4.2-1 图4.2-2
观察上述两图，并思考下列问题：
（1）图4.2-1中的电梯和图4.2-2中的靶子是怎样运动的？
（2）电梯在运动过程中，其上所有点移动的距离相同吗？靶子呢？
由生活常识可知：电梯上下运动时，其上所有点移动的距离相同；靶子左
右移动时，其上所有点移动的距离相同.
抽 象
把图形（Ⅰ）上每一个点沿同一方向移动相同的距
离，得到另一个图形（Ⅱ），我们把图形的这种变换叫 你还能举出
作平移. 它由移动的方向和距离所决定. 生活中应用平移
的例子吗？
在图4.2-2中，点A平移到了点A′，称点A′是点
A的对应点.
原图形（Ⅰ）叫作原像，平移到新位置后的图形（Ⅱ）叫作原图形在平移下的像.
若将点P，Q沿同一方向移动相同距离后，点P的对应点是点P′，点Q的
对应点是点Q′，则
PP′=QQ′，且直线PP′的方向与直线QQ′的方向相同.
97数学 七年级下册
若点Q不在直线PP′上，如图4.2-3（1）所示，由于具有相同方向的两条直
线平行，因此PP′∥QQ′.
(1) (2)
图4.2-3
若点Q在直线PP′上，如图4.2-3（2）所示，则点Q′也在直线PP′上，从而
直线QQ′与直线PP′重合.
从这个例子以及大量实践经验可得平移的基本性质：
一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行（或在同一
条直线上）且相等.
说一说
将三角板ABC的一边紧靠着固定的直尺，然
后平移，得到它的像是三角板A′B′C′，如图4.2-4
所示，则AB=A′B′吗？∠BAC=∠B′A′C′吗？另
外两条边和两个角呢？
图4.2-4
AB=A′B′，BC=B′C′，CA=C′A′，∠ABC=∠A′B′C′，
∠BCA=∠B′C′A′，∠BAC=∠B′A′C′.
从这个例子以及大量的实践经验可以得出：
平移保持任意两点间距离不变，保持角的大小不变.
直线在平移下的像是什么？数学上已经证明：
直线在平移下的像是与它平行的直线（或者与它是同一条直线）.
98第4章 平面内的两条直线
例1 如图4.2-5（1），将三角形ABC（简记为“△ABC”）平移到△A′B′C′
的位置，指出平移的方向，并量出平移的距离（精确到1 mm）.
(1) (2)
图4.2-5
解 由于点A与点A′是一组对应点，因
此，如图4.2-5（2），连接AA′，平移的方向 平移的关键是把握平
移的方向和平移的距离.
就是点A到点A′的方向，平移的距离就是线段
AA′的长度，约1.8cm .
做一做
如图4.2-6，已知小方格的边长为1个单位
长度，将正方形ABCD向右平移4个单位长度，
画出平移后的正方形A′B′C′D′ . 你的结果与其他
同学的结果相同吗？
图4.2-6
例2 如图4.2-7，已知小方格的边长为1个单位长度. 将△ABC向右平
移5个单位长度，画出平移后的图形. 连接各组对应点，并指出相等的线段、
互相平行的线段（即线段所在的直线平行）以及相等的角.
图4.2-7
解 将A，B，C三点分别向右平移5个单位长度，得到它们的对应点分别
为A′，B′，C′，连接A′B′，B′C′，A′C′，即得到△A′B′C′，则△A′B′C′即为所
99数学 七年级下册
求，如图4.2-8所示.
图4.2-8
连接AA′，BB′，CC′ .
于是，相等的线段有AB=A′B′，BC=B′C′，AC=A′C′，AA′=BB′=
CC′；
互相平行的线段有AB∥A′B′，BC∥B′C′，AC∥A′C′，AA′∥BB′∥CC′；
相等的角有∠ABC=∠A′B′C′，∠ACB=∠A′C′B′，∠BAC=∠B′A′C′.
议一议
许多美丽的图案都是用平移的方法绘制而成的. 观察图4.2-9，交流
讨论如何将图（1）用平移的方法拼成图案（2）（3）？
(1) (2) (3)
图4.2-9
练 习
1 如图， ∠A′O′B′ 是由 ∠AOB平移得到的，指出 ∠A′O′B′ 与 ∠AOB之间的
数量关系. 两个角的边所在的直线有什么位置关系？
（第1题图） （第2题图）
2 如图，已知小方格的边长为
1
个单位长度，画出将图中的 △ABC向右平移
100第4章 平面内的两条直线
4
个单位长度后得到的 △A′B′C′，再画出将 △A′B′C′向上平移
3
个单位长度
后得到的 △A′′B′′C′′. △A′′B′′C′′是否可以看成是 △ABC经过一次平移得到
的？如果是，请画出平移的方向并用线段表示出平移的距离.
习题4. 2
学而时习之
1 填空：
我们已经学过用三角板和直尺画平行线
的方法. 如图，直线AB沿 的方
向 到CD，且CD经过点P，由于直
线在平移下的像是与它 ，
因此AB CD.
（第1题图）
2 如图，用第
1
题的方法，过图中的点A画
AE∥BC.
（第2题图） （第3题图）
3 如图，将 △ABC沿OM方向平移一定的距离得到 △A′B′C′ ，则下列结论中
不一定正确的是（ ）
（
A
）AA′∥BB′ （
B
）AA′=BB′
（ C ）BC=B′C′ （ D ） ∠ACB=∠A′B′C′
4 如图，已知小方格的边长为 个单位长度，
1
将图中的图形向右平移 个单位长度，所得
3
的图形与原图形合起来是一个什么英文
字母？
（第4题图）
101数学 七年级下册
温故而知新
5 如图，已知小方格的边长为 个单位长度，将小船向右平移 个单位长度，
1 14
画出原图形平移后的像.
（第5题图）
6 一块长为a
cm
、宽为b
cm
的长方形地板中间有一条裂缝（如图
①
）. 若把裂
缝右边的一块向右平移 （如图 ），则产生的裂缝的面积是多少平方
1 cm ②
厘米？
① ②
（第6题图）
1024.3 平行线的性质
探 究
如图4.3-1，已知AB∥CD.
（1）图中有几对同位角？
（2）比较其中一对同位角的大小，由此你能
猜想出什么结论？
图4.3-1
由图4.3-1可知，图中有4对同位角. 经比较，可以发现每对同位角都相
等，并由此猜想：如果两条平行直线被第三条直线所截，那么同位角相等.
下面来说明这个猜想是真的.
如图4.3-2，直线AB与直线CD平行，它们被直
β
线 EF 所截，交点分别为点 M，N，则 ∠EMB 和
∠END是一对同位角，分别记作∠α和∠β. α
将直线AB平移，移动方向为点M到点N的方向，
移动距离等于线段MN的长度，则点M的对应点是点
图4.3-2
N，射线ME的像是射线NE，直线AB的像是与它平
行且经过点N的直线.
又已知CD∥AB且CD经过点N，根据平行线的
若 AB 与 CD
基本事实得，直线AB的像是直线CD，从而射线MB
不平行，则∠α与
的像是射线ND，于是∠α的像是∠β. ∠β还会相等吗？
根据平移的知识得，∠α=∠β.
由此可得平行线的性质1：
两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等.
通常简单说成：两直线平行，同位角相等.
103数学 七年级下册
思 考
两条平行直线被第三条直线所截，一对内错角的大小有什么关系？
如图4.3-3，两条平行直线AB，CD被直线EF所截，∠1与∠2是内错角.
因为AB∥CD，
所以∠1=∠4（两直线平行，同位角相等）.
又因为∠2=∠4（对顶角相等），
所以∠1=∠2（等量代换）.
由此可得平行线的性质2：
两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等. 图4.3-3
通常简单说成：两直线平行，内错角相等.
议一议
两条平行直线被第三条直线所截，一对同旁内角有什么关系？为什么？
如图4.3-3，∠1与∠3是同旁内角.
因为AB∥CD，
所以∠1=∠4（两直线平行，同位角相等）.
又因为∠3+∠4=180°，
所以∠1+∠3=180（° 等量代换）.
由此可得平行线的性质3：
两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补.
通常简单说成：两直线平行，同旁内角互补.
例1 如图4.3-4，直线AB，CD被直线EF所截，
AB∥CD，∠1=100°，试求∠3的度数.
解 因为AB∥CD，
所以∠1=∠2=100（° 两直线平行，同位角相等）.
又因为∠2+∠3=180°， 图4.3-4
所以∠3=180°-∠2=180°-100°=80° .
104第4章 平面内的两条直线
做一做
在例1中，分别利用平行线的性质2和性质3求出∠3的度数.
例2 如图4.3-5，AD∥BC，∠B=∠D，试问∠A与∠C相等吗？为
什么？
解 因为AD∥BC，
所以根据平行线的性质3可得：
∠A+∠B=180°，∠D+∠C=180° .
图4.3-5
又因为∠B=∠D（已知），
所以∠A=∠C.
练 习
1 填空：
（
1
）如图，因为AB∥CD，所以
∠1=
，理
由是 ；
（ 2 ）如图，因为AB∥CD，所以 ∠D= ，理
由是 . （第1题图）
2 如图，AB∥CD∥EF，BC∥ED， ∠B=70° ，求 ∠C， ∠D和 ∠E的度数.
（第2题图） （第3题图）
3 如图，直线 AB，CD 被直线 EF 所截，AB∥CD，
， 求 ， ， 的度数.
∠1=105° ∠2 ∠3 ∠4
4 如图，已知 AB∥CD，AP 平分 ∠BAC，CP 平分
∠ACD， ∠1+∠2=90° 吗？ （第4题图）
105数学 七年级下册
习题4. 3
学而时习之
1 一条公路两次转弯后又回到与原来相同的方向，如图所示. 如果第一次转
弯时 ∠A=140° ，那么 ∠B是多少度？
（第1题图） （第2题图）
2 如图，若AB∥CD∥EF， ∠B=48° ， ∠F=46° ，求 ∠BCF的度数.
3 如图，AB∥CD，EG平分 ∠AEN. 若 ∠EFD=108° ，请分别用平行线的三
条性质求 ∠GEN的度数.
（第3题图）
温故而知新
4 如图，AB∥CD，EB∥CF，问 ∠ABE与 ∠DCF有什么关系？试说明理由.
（第4题图） （第5题图）
5 如图，EF∥OB，AO∥DC.
（） 与 相等吗？为什么？
1 ∠4 ∠2
（） 与 有什么关系？为什么？
2 ∠4 ∠3
1064.4 平行线的判定
由于直线是无限延伸的，因而利用平行线的定义判断两直线互相平行比较
困难. 下面我们来寻求平行线的判定的其他方法.
思 考
如图4.4-1，将直木条a，c固定在水平桌面上，使
c与a在过交点B处的一个夹角β为120° . 将可绕点A旋
α
转的直木条b先与木条c重合，再将木条b绕点A按顺
β
时针方向分别旋转60°，120°，150° . 当木条b旋转的角
度α等于多少度时，a∥b？由此可猜测出什么结论？
图4.4-1
直观上看，当∠α=∠β=120°时，a与b平行.
由此猜测：若同位角相等，则两直线平行.
下面来说明这个猜测是真的.
如图4.4-2，直线AB，CD被直线EF所截，交点分
别为M，N，∠α=∠β.
根据平行线的基本事实可知，过点N可以作且只能
作一条直线PQ，使PQ∥AB. 于是直线PQ，AB被直
线EF所截，∠ENQ与∠α是同位角.
图4.4-2
根据平行线的性质1得，∠ENQ=∠α.
由于∠α=∠β，
因此∠ENQ=∠β，从而射线NQ与射线ND重合，
于是直线PQ与直线CD重合，
因此CD∥AB.
由此可得平行线的判定方法1：
两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.
通常简单说成：同位角相等，两直线平行.
107数学 七年级下册
做一做
任画一条直线，用三角板和直尺画它的一条平行线，并说明该画法
的原理.
例1 如图4.4-3，直线AB，CD被直线EF所截，
∠1+∠2=180°，那么AB∥CD吗？
解 因为∠1+∠2=180°，而∠3是∠1的补角，
即∠1+∠3=180°，
所以∠2=∠3 .
图4.4-3
所以AB∥CD（同位角相等，两直线平行）.
例2 如图4.4-4，直线a，b被直线c，d所截，
∠1=∠2，那么∠4=∠5吗？
解 因为 ∠1=∠2（已知），
∠2=∠3（对顶角相等），
所以∠1=∠3（等量代换）.
所以a∥b（同位角相等，两直线平行）. 图4.4-4
因此∠4=∠5（两直线平行，同位角相等）.
练 习
1 如图，木工用直角尺的一边紧靠木料边缘，沿另一
边画两条直线a，b. 直线a，b平行吗？为什么？
2 请在下面的括号内填写理由：
（第1题图）
如图，已知三条直线a，b，c，
因为 a∥b，b∥c，
所以 ， ，
∠1=∠2 ∠2=∠3
因此 .
∠1=∠3
从而 a∥c（ ）.
（第2题图）
108第4章 平面内的两条直线
探 究
两条直线被第三条直线所截，由同位角相等可以判定两条直线平行，
那么内错角相等可以判定两条直线平行吗？同旁内角互补呢？
如图4.4-5，直线AB，CD被直线EF所截，∠2与∠3是内错角.
若∠2=∠3，
又因为∠3=∠1（对顶角相等），
则∠1=∠2 .
因此AB∥CD（同位角相等，两直线平行）.
由此可得平行线的判定方法2：
图4.4-5
两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.
通常简单说成：内错角相等，两直线平行.
如图4.4-6，直线AB，CD被直线EF所截，∠1与∠2是同旁内角.
若 ∠1+∠2=180°，
又因为 ∠2+∠3=180°，
则 ∠3=∠1 .
因此 AB∥CD（同位角相等，两直线平行）.
由此可得平行线的判定方法3： 图4.4-6
两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.
通常简单说成：同旁内角互补，两直线平行.
例3 如图4.4-7，AB∥DC，∠BAD=∠BCD.
那么AD∥BC吗？
解 因为AB∥DC，
所以∠1=∠2（两直线平行，内错角相等）.
图4.4-7
又因为∠BAD=∠BCD，
所以∠BAD-∠1=∠BCD-∠2，
即∠3=∠4 .
所以AD∥BC（内错角相等，两直线平行）.
109数学 七年级下册
例4 如图4.4-8，∠1=∠2，AD∥BC，那么AB∥DC吗？
解 因为AD∥BC，
所以∠1+∠3=180（° 两直线平行，同旁内角互补）.
又因为∠1=∠2，
所以∠2+∠3=180° .
图4.4-8
所以AB∥DC（同旁内角互补，两直线平行）.
练 习
1 如图，点A在直线l上， ∠B=75° ， ∠C=43° .
（
1
）当
∠1=
时，直线l∥BC；
（
2
）当
∠2=
时，直线l∥BC.
（第1题图） （第2题图）
2 如图， ∠ADE=∠DEF， ∠EFC+∠C=180° ，试问AD与BC平行吗？
为什么？
习题4. 4
学而时习之
1 如图，在下列给出的条件中，可以判定AD∥BC的有 （填写序号）.
；
①∠1=∠2
；
②∠2=∠3
；
③∠3=∠4
④∠DAB+∠ABC=180° ；
⑤∠DCB+∠ABC=180° ； （第1题图）
⑥∠ADC+∠DCB=180° .
110第4章 平面内的两条直线
2 如图，AB∥CD，
∠1=∠2
，那么直线EF与GH有什么位置关系？试说明
理由.
（第2题图） （第3题图）
3 如图，AM∥CN，
∠1=∠2
. 在下面的括号内填写理由：
因为AM∥CN，
所以 ∠EAM=∠ECN（ ）.
又因为 ，
∠1=∠2
所以 ∠EAM+∠1=∠ECN+∠2 （等量加等量，和相等），
即 ∠EAB=∠ECD.
所以AB∥CD（ ）.
4 如图，
∠1=∠2
，直线CB平分 ∠ACD与 ∠ABD，试指出图中有哪些直线
相互平行，并说明理由.
（第4题图） （第5题图）
5 如图， ， . 请在横线上补充过程，并在括
∠1+∠2=180° ∠3+∠4=180°
号内填写理由：
因为 ，
∠1+∠2=180°
所以AB∥ （ ）.
又因为 ，
∠3+∠4=180°
所以 （ ）.
∥
所以AB∥EF（ ）.
111数学 七年级下册
温故而知新
6 教室后墙上有一个长方形的“阅读栏”.
要检验“阅读栏”的边是否与墙的边平
行，可以采用哪些方法？
7 如图， 与 互余， 与 的余角
∠1 ∠3 ∠2 ∠3
互补，那么直线AB与CD有什么位置关
系？试说明理由.
（第7题图） （第8题图）
8 如图.
（
1
）若
∠1+∠3=180°
，能否得出AB∥CD？试说明理由.
（
2
）若
∠2=∠3
，能否得出AB∥CD？试说明理由.
1124.5 垂 线
观 察
将宣传栏的上下边框与两侧边框均看作直线，如图4.5-1所示，则上
下两条直线与左右两条直线分别相交成多少度的角？
图4.5-1
如图4.5-2，在同一平面内的两条直线相交所成的四
个角中，若有一个角是直角（此时可知其余三个角也是直
角），则称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫作另一
条直线的垂线，它们的交点叫作垂足. 垂直用符号“⊥”
表示.
图4.5-2
如图4.5-2，直线AB与CD互相垂直（O为垂足），
记作“AB⊥CD”，读作“AB垂直于CD”.
议一议
两条直线互相垂直的情形在生活中随处可见. 举出教室内一些互相
垂直的实例，并与同学交流.
若两条直线相交所成的四个角中没有直角，则称其
中一条直线为另一条直线的斜线.
如图4.5-3，直线CD是AB的斜线，同样，直线AB
也是CD的斜线.
图4.5-3
113数学 七年级下册
思 考
（1） 如图 4.5-4，在同一平面内，如果直线 a⊥l，b⊥l，那么
a∥b吗？
图4.5-4 图4.5-5
（2） 如图 4.5-5，在同一平面内，如果直线 a∥b，l⊥a，那么
l⊥b吗？
（1）如图4.5-4，因为a⊥l，b⊥l，
在同一平面内，垂直于
所以∠1=∠2=90°，
同一条直线的两条直线平行.
所以a∥b（同位角相等，两直线平行）.
（2）如图4.5-5，因为l⊥a，
所以∠1=90° .
因为a∥b， 在同一平面内，如果一
条直线垂直于两条平行线中
所以∠2=∠1=90°（两直线平行，同
的一条，那么这条直线也垂
位角相等），
直于另一条.
因此l⊥b.
例1 在如图4.5-6所示的简易屋架中，
BD，AE，HF都垂直于CG. 若∠1=60°，求
∠2的度数.
解 因为BD，AE都垂直于CG，
图4.5-6
所以 BD∥AE（在同一平面内，垂直于同
一条直线的两条直线平行），
从而∠2=∠1=60（° 两直线平行，同位角相等）.
114第4章 平面内的两条直线
例2 如图4.5-7，在△ABC中，CD⊥AB于
点D，∠1=∠2，求∠BEF的度数.
解 因为CD⊥AB，
所以 ∠BDC=90° .
又因为 ∠1=∠2，
所以DC∥EF（同位角相等，两直线平行）.
图4.5-7
所以∠BEF=∠BDC=90（° 两直线平行，同位角相等）.
练 习
1 如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD， ∠BOE=60° ，求 ∠AOC的
度数.
（第1题图） （第2题图）
2 如图，DA⊥AB，CD⊥DA， ∠B=56° ，求 ∠C的度数.
做一做
任画一条直线l，用三角板或量角器过任意一点P画直线l的垂线.
若直线l经过点P，则直线l的垂线a的画法如图4.5-8（1）所示.
若直线l不经过点P，则直线l的垂线b的画法如图4.5-8（2）所示.
a b
（1） （2）
图4.5-8
115数学 七年级下册
由此可知，无论点P在直线l上还是在直线l外，过点P都只能画直线l的
一条垂线.
理由如下：
假如过点P还有一条直线c，能使c⊥l，
则c∥a（或c∥b）.
又直线c与直线a（或直线b）有公共点P，因此这是不可能的.
于是，可得关于垂线的基本事实：
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
如图4.5-9，设PO垂直于直线l，O为垂足，线段PO叫作点P到直线l的
垂线段. 经过点P的其他直线分别交直线l于点A，B，C，D，…，线段PA，
PB，PC，PD，…都不是垂线段，称为斜线段.
图4.5-9
说一说
比较图4.5-9中PA，PB，PO，PC，PD五条线段的长度，哪条线
段最短？
通过比较，我发现垂线段PO最短.
数学上已经证明这一发现是正确的. 由此可得：
直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.
通常简单说成：垂线段最短.
从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离. 例如，
在图4.5-9中，垂线段PO的长度叫作点P到直线l的距离.
116第4章 平面内的两条直线
做一做
（1）量出图4.5-10中点P到直线AB的距离.
图4.5-10
（2）某单位要在河岸l上建一个水泵房引水到C处，如图4.5-11所
示，问建在哪个位置才最节省水管？为什么？
l
C
图4.5-11
（3）由（1）（2）你会发现可以怎样求点到直线的距离？
由（1）（2）可知，求点到直线的距离可以转化为求点到点的距离.
例3 如图4.5-12，在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，垂足为点
D，AB=5，BC=12，AC=13 . 求：
（1）点A到直线BC的距离；
（2）点B到直线AC的距离.
解 （1）因为∠ABC=90°，
图4.5-12
所以AB⊥BC，点B为垂足，
所以线段AB即为点A到直线BC的垂线段.
因为AB=5，
所以点A到直线BC的距离为5 .
（2）因为BD⊥AC，垂足为点D，
117数学 七年级下册
所以线段BD的长度即为点B到直线AC的距离.
1 1
因为S △ABC= ⋅BC ⋅ AB= ⋅AC ⋅BD，
2 2
BC ⋅ AB 12×5 60
所以BD= AC = 13 = 13 . 我们常常运用面积相等
的方法来解决一些问题.
60
所以点B到直线AC的距离为 .
13
练 习
1 如图，在 △ABC中， ∠A=90° ，AB=3 ，AC=4 ，BC=5 ，求点A到BC
的距离，点C到AB的距离.
（第1题图） （第2题图）
2 某公园的 条纵横交错的人行道和一喷泉的示意图如图所示（比例尺为
4
1 5000
），其中直线a，b，c，d表示人行道，点P表示喷泉. 量出点P到
∶
条直线的距离，并求出其实际距离.
4
3 如图，体育课上应该怎样测量同学们的跳远成绩？
（第3题图）
118第4章 平面内的两条直线
习题4. 5
学而时习之
1 如图，直线AB，CD相交于点O，射线OF⊥CD于点O，求 ∠AOC+
∠BOF的度数.
（第1题图） （第2题图）
2 如图，OC⊥OD，OB⊥OA，求 ∠AOD+∠BOC的度数.
3 如图，点A，O，B在同一直线上，OD，OE分别平分 ∠AOC和 ∠COB，
那么射线OD与OE有什么位置关系？试说明理由.
（第3题图） （第4题图）
4 填空并在括号内填写理由：
如图，因为AO⊥OB，CO⊥OD，
故 ∠AOB= ， ∠COD= ，
所以 ∠AOB=∠COD，
因此 ∠AOB-∠BOC=∠COD-∠BOC（ ），
即 ∠AOC= .
5 如图，画出点B，点C到直线AD的垂线段BE，CF.
（a） （b）
（第5题图）
119数学 七年级下册
温故而知新
6 （ 1 ） 如图， ∠AOC=60° ，BO⊥OA，CO⊥OD，求 ∠AOD+∠BOC的
度数.
（ 2 ） 将（ 1 ）中“ ∠AOC=60° ”这个条件去掉，其他条件不变，求出
∠AOD+∠BOC的度数.
（第6题图） （第7题图）
7 如图，C 是 ∠AOB 的边 OB 上一点，CD⊥OA 于点 D， ∠OCD=30° ，
CE∥OA，试求 ∠BCE的度数.
8 如图，直线AB，CD相交于点O，OE是 ∠AOD的平分线.
（
1
）在OE上任取一点F，过点F分别画AB，CD的垂线，垂足分别为点
M，N.
（
2
）分别量出点F到AB，CD的距离，你会发现什么结论？
（第8题图）
1204.6 两条平行线间的距离
思 考
画两条互相平行的直线，从其中一条直线上任取两点，比较这两点到
另一条直线的距离. 再多取几个点，结果会发生变化吗？由此你会发现
什么？
如图4.6-1，l ∥l ，在直线l 上任取两点A，C，分
1 2 1
别作AB⊥l ，CD⊥l ，垂足分别为点B，D.
2 2
于是AB⊥l ，CD⊥l .
1 1
与两条平行直线都垂直的直线，叫作这两条平行直线
的公垂线，这时连接两个垂足的线段叫作这两条平行直线 图4.6-1
的公垂线段. 图4.6-1中的线段AB，CD都是平行线l 与
1
l 的公垂线段.
2
比较线段AB与CD的长度，可以发现AB=CD.
再另取几个点，也会发现平行线l 与l 的公垂线段的长度相等，且均等于
1 2
线段AB的长度，由此可得：
两条平行线的所有公垂线段都相等.
数学上已经证明上述结论是真的.①
两条平行线的公垂线段的长度叫作两条平行线间的距离.
由上述结论可以进一步猜测：平行线l 与l 之间的距离等于l 上任一点到
1 2 1
直线l 的距离.
2
下面来说明这个猜测是真的.
如图4.6-1，线段AB是两条平行线l 与l 的公垂线段，从而线段AB的长
1 2
度是直线l 与l 之间的距离.
1 2
又线段AB的长度是点A到直线l 的距离，
2
①本节末的 “多知道一点” 说明了此结论是真的.
121数学 七年级下册
因此，平行线l 与l 之间的距离等于直线l 上的点A到直线l 的距离.
1 2 1 2
由此可知：
两条平行线间的距离等于其中一条直线上任意一个点到另一条直线的
距离.
例1 如图4.6-2，AB∥DC，AB=DC，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分
别为点E，F，那么线段AE与CF相等吗？
解 因为AB∥DC，DE⊥AB，
所以DE⊥DC.
又AB∥DC，BF⊥CD，
于是BF⊥AB.
图4.6-2
因而DE∥FB.
又DF⊥DE，DF⊥FB，EB⊥DE，EB⊥FB，
从而线段DF，EB都是平行线DE与FB的公垂线段.
故DF=EB.
又AB=DC，
所以AB-EB=DC-DF，即AE=CF.
例2 设a，b，c是三条互相平行的直线，如图
4.6-3所示. 已知a与b的距离为5，b与c的距离为2，
求a与c的距离.
解 在a上任取一点A，过点A作AC⊥c，分别与
b，c相交于B，C两点.
图4.6-3
因为a，b，c是三条互相平行的直线，
所以∠1=∠2=∠3=90°，
即AB⊥b，AC⊥a.
因此，线段AB，BC，AC分别是平行线a与b，b与c，a与c的公垂线段.
又AC=AB+BC=5+2=7，
因此，a与c的距离是7 .
122第4章 平面内的两条直线
议一议
若将例2中的“如图4.6-3所示”去掉，a与c的距离会变化吗？将你
的结果与同学交流.
练 习
1 利用平移画一条直线和已知直线l平行，且要求两条平行线间的距离为
，这样的直线可以画几条？
2 cm
（第1题图） （第2题图）
2 如图，MN∥AB，P，Q为直线MN上的任意两点， △PAB和 △QAB的面
积有什么关系？为什么？
习题4. 6
学而时习之
1 如图，在长方形ABCD中， ∠A=∠B=∠C=∠D=90° ，长方形的两组
对边AB和DC，AD和BC分别相等吗？为什么？
（第1题图） （第2题图）
2 如图，ED∥BC，AF⊥ED于点G，交BC于点F，EH⊥BC于点H，且
AF=5 ，EH=2 ，试求点A到ED的距离.
123数学 七年级下册
温故而知新
3 设AB，CD，EF是同一平面内三条互相平行的直线，已知AB与CD的距
离是
6 cm
，EF与CD的距离是
3 cm
，求直线EF与AB的距离.
4 如图，AB∥DC，AC与BD相交于点O.
（
1
） △ABD与 △ABC的面积相等吗？试说明理由.
（
2
） △AOD与 △BOC的面积相等吗？试说明理由.
（第4题图）
两条平行线的所有公垂线段都相等
设直线l ∥l ，在l 上任取两点A，C，过点A作l 的垂线，垂足为点
1 2 1 2
B，过点C作l 的垂线，垂足为点D，如下图所示.
2
由于AB⊥l ，CD⊥l ，因此AB∥CD.
2 2
将直线AB沿点A到点C的方向平移线段AC的长度，则点A的对应
点是点C，直线AB的像是过点C且与AB平行的直线. 根据平行线的基
本事实得，直线AB的像就是直线CD. 于是点B的对应点在直线CD上.
由于l ∥l ，因此l 的方向（从点A到点C的方向）与l 的方向（从点B
1 2 1 2
到点D的方向）相同， 从而在上述平移下，点B的对应点在直线l 上，于
2
是点B的对应点就是直线l 与直线CD的交点D. 因此，线段AB的像是
2
线段CD.
根据平移保持任意两点间距离不变可得，AB=CD.
这就说明了：两条平行线的所有公垂线段都相等.
124第4章 平面内的两条直线
小 结
与 评 价
知识图谱
思考回顾
. 平面内两条直线的位置关系有哪几种？
1
. 如何判断一组角是不是对顶角？一组对顶角的大小相等吗？
2
. 怎样识别同位角、内错角、同旁内角？
3
. 两条什么样的直线叫作平行线？平行线的基本事实是什么？平行于
4
同一条直线的两条直线是否平行？
. 举例说明什么是平移. 平移的基本性质是什么？
5
. 平行线的性质有哪些？
6
. 判定两条直线平行有哪些方法？
7
. 垂线的基本事实是什么？
8
. 怎样度量点到直线的距离？
9
. 怎样度量两条平行线间的距离？
10
125数学 七年级下册
注意事项
. 在同一平面内，没有公共点的两条直线叫作平行线. 必须注意“在
1
同一平面内”这一条件. 在空间中，没有公共点的两条直线可能不平行.
. 平移是图形的一种变换，它把图形上所有的点按同一方向移动相
2
同的距离，平移的方向不一定都是水平或竖直的.
. 注意将平行线的性质与判定进行区分.
3
. 在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 必
4
须注意“在同一平面内”这一条件. 在空间中，这个结论不成立.
. 一般地，两条平行线间的距离可转化为点到直线的距离，进而转
5
化为点到点的距离，这种转化的方法在数学学习中会经常用到.
. 说理时必须言必有据.
6
自评互评
• 自评
通过本章的学习，你对以下几方面的学习内容掌握得怎么样？根据
自己的学习情况，点亮属于你的小星星，然后请同学和老师对你的自评
进行恰当评价.
. 能理解两条直线平行或垂直的关系
1
. 能识别对顶角、同位角、内错角和同旁内角
2
. 能运用平行线的性质和判定进行简单说理
3
. 能度量点到直线的距离和平行线间的距离
4
. 能理解平移的基本性质
5
. 能从生活情境中抽象出平行和垂直的几何关系，形成和发展抽象能力
6
. 能在直观理解和掌握平面上两条直线平行与垂直及其相关的基本事实
7
的基础上，经历简单说理，得出数学结论的过程，感悟数学的逻辑性，
初步形成一定的几何直观和简单说理能力
126第4章 平面内的两条直线
• 自评 / 互评
请完成下面两项评价，先自评再在小组内进行互相评价. 其中评价
由低到高分为 ， ， ， ， 五个等级.
1 2 3 4 5
. 能主动参与本章的各种教学活动，敢于尝试运用本章有关知识去解决
1
生活中的有关问题，学习的自信心得到增强
( )/( )
. 基于对本章知识的理解，画出思维导图，并在组内展示，对自己和同
2
学画出的思维导图进行恰当评价
( )/( )
你对本章的学习及评价还满意吗？学习的方法在于循序渐进，反复
运用. 只要你认真思考，不断提升自己的数学思维，就一定可以活学活
用，学好数学！
复习题4
学而时习之
1 判断（对的画“ ”，错的画“ ”）：
（
1
）在同一平面内，若直线a∥b，直线c与直线a相交，则直线c∥b；（ ）
（）有公共顶点且相等的角是对顶角. （ ）
2
2 如图，AD∥BE，AB∥DC， ∠DCE=78° ，求 ∠A， ∠B， ∠D的度数.
F
（第2题图） （第3题图）
3 如图，AC∥DE，AB∥CD， ∠D+∠E=180° . 填空并在括号内填写
理由：
因为 （已知），
所以 ∠A+∠C=180 （ ° ）.
又因为AC∥DE（已知），
127数学 七年级下册
所以 =∠D（ ）.
所以 ∠A+∠D=180° .
又 ∠D+∠E=180 （ ° 已知），
所以 ∠A=∠E（ ）.
4 如图，直线a，b被直线c，d所截.
（
1
）找出能使a∥b的一个条件，并说明理由；
（
2
）找出能使c∥d的一个条件，并说明理由.
（第4题图） （第5题图）
5 如图， ∠1=∠2 ， ∠A=65° ，求 ∠ADC的度数（用两种方法）.
6 点B在点A北偏东
30°
的方向，点C在点B北偏西
60°
的方
向，且BC=12m ，如图所示. 问点C到直线AB的距离是
多少？
7 根据下列语句画出图形：
（
1
）过 △ABC内一点P，分别作AB，BC，CA的平行线；
（
2
）过直线AB上一点D作AB的垂线段DQ，使得DQ=1cm .
（第6题图）
温故而知新
8 如图，AE∥BC，AE平分 ∠DAC. 填空并在括号内填写理由：
因为 AE∥BC，
所以 ∠B= （ ），
∠C= （ ）.
又因为AE平分 ∠DAC，
所以 （ ）.
=
所以 ∠B=∠C. （第8题图）
128第4章 平面内的两条直线
9 如图，l ∥l ， ∠ABC=120° ，l ⊥AB. 求 ∠α的度数.
1 2 1
（第9题图） （第10题图）
10 如图，已知 .
∠1+∠2=180°
（
1
）判断AB与EF的位置关系，并说明理由；
（ 2 ）若 ∠3=∠B， ∠C=40° ，求 ∠DEC的度数.
11 已知三角形的三个内角的度数之和是 ，如图将两个三角板按不同位置
180°
进行摆放，其中 ∠ACB=∠CDE=90° ， ∠BAC=60° ， ∠DEC=45° .
① ② ③
（第11题图）
（
1
）当AB∥DC时，如图
①
，求 ∠DCB的度数.
（
2
） 当CD与CB重合时，如图
②
，判断BE与AC的位置关系，并说明
理由.
（
3
）当AB∥EC时，如图
③
，求 ∠DCB的度数.
12 如图，直线AB，CD相交于点O，射线OE⊥AB于点O，射线OF⊥CD
于点O，且 ∠AOF=28° . 求 ∠BOC与 ∠EOD的度数.
（第12题图）
129数学 七年级下册
上下而求索
13 下列各图中的MA 与NA（n是正整数）平行.
1 n
① ② ③ ④
（第13题图）
（ 1 ）图 ① 中的 ∠A +∠A = 度，
1 2
图 ② 中的 ∠A +∠A +∠A = 度，
1 2 3
图 ③ 中的 ∠A +∠A +∠A +∠A = 度，
1 2 3 4
图 ④ 中的 ∠A +∠A +∠A +∠A +∠A = 度，
1 2 3 4 5
……
第 10 个图中的 ∠A +∠A +∠A +…+∠A = 度.
1 2 3 11
（ 2 ）第n个图中的 ∠A 1 +∠A 2 +∠A 3 +…+∠A n+1 = 度.
14（ 1 ）如图 ① ，CE平分 ∠ACD，AE平分 ∠BAC， ∠EAC+∠ACE=90° .
请判断AB与CD的位置关系并说明理由.
（
2
）如图
②
，在（
1
）的结论下，P为线段AC上一定点，点Q为直线CD上一
动点，当点Q在射线CD上运动时（点C除外）， ∠CPQ+∠CQP与 ∠BAC
有何数量关系？请写出你的结论并说明理由.
（ 3 ）如图 ③ ，在（ 1 ）的结论下，当 ∠E=90° 保持不变，移动直角顶点E，
使 ∠MCE=∠ECD，当直角顶点E移动时，问 ∠BAE与 ∠MCD是否存在
确定的数量关系？并说明理由.
① ② ③
（第14题图）
130长方体包装盒的设计与制作
我们经常可以看到形形色色的包装盒.
对商品而言，包装盒不仅具有防损、防潮、
方便运输的作用，还给人以美感，能起到推
介商品的作用. 有时我们会发现一部分包装
盒耗材较多，但容量不够大. 于是，为了节
约材料，需要研究在耗材相同的情况下，如
何使包装盒的容量更大.
例如，可以按以下步骤进行操作：
. 成立探索研究小组， 人为一组，选出组长，分好工.
1 3~4
. 制订探索研究计划，明确研究目标，确定研究步骤，提出有效措施.
2
（ ）搜集包装盒样品，查找并记录相关资料.
1
（ ）对搜集的包装盒进行分类，以长方体包装盒为例，探索研究此类包装盒的结
2
构特征，明确设计与制作此类包装盒的思路和步骤，用文字记录研究成果.
（ ）在笔记本上草拟一个设计方案，与小组同学交流方案的可行性.
3
（ ）讨论设计方案中的长方体包装盒是否在耗材相同的情况下容量最大.
4
. 设计、制作长方体包装盒.
3
. 撰写探索研究工作的总结报告.
4
. 向同班同学展示你们组设计的包装盒，并参与全班交流、评比.
5
做 一 做
. 如图 ，在一张 纸的四个
1 1 A4
角剪去大小相同的正方形，然后折成
一个长方体（无盖）容器. 观察这个长
方体容器的棱（长方体相邻两个面的
交线）与棱之间有哪些位置关系.
图1
. 设被剪去的正方形的边长为
2
131x cm ，则长方体容器的长、宽、高各是多少（ A4 纸长 29.7 cm ，宽 21 cm ）？用含x的
代数式表示这个容器的容量，试代入不同的x值计算这个容器的容量，并把结果列成
表格. 通过小组比较，你们所做的长方体容器的最大容量是多少？
. 用一张长方形纸，设计一个长方体包装盒的盒套，运用平移、轴对称、旋转
3
等变换设计包装盒的外观，并将设计过程中的最精彩之处写进总结报告，与同学分享.
议 一 议
请判断图 所示的四个图形中，哪一个可以看作是一个长方体包装盒的表面展
2
开图.
（a） （b） （c） （d）
图2
做 一 做
（ ）准备一张长 、
1 16 cm
宽 的长方形纸板，设
12 cm
计制作一个底面为正方形的
长方体包装盒. 可以有多种
设计制作方案，比一比哪种
设计方案可以使包装盒的容
量最大.
（ ）选择几个你认为最
2
浪费材料的包装盒，重新设
计，说明你做了哪些改进，
并指明改进的理由. 结合你
的改进方案，以 “轻包装、
重品质” 为题，写一封致社
区居民的公开信.
132第 5 章
轴 对 称 与 旋 转
北京故宫是世界上现存规模最大、保存最为完整的木质结构
古建筑之一，它沿着一条南北向中轴线排列，并左右对称.
上图中的水车是我国古代的一种农业灌溉工具，其通过不断
旋转将水往上提.
现代数学中，常常借用轴对称、旋转来理解几何学的本质，
通过本章的学习你将能感悟到图形的变化规律.5.1 轴对称
5􀆰 1􀆰 1 初步认识轴对称图形
议一议
图5.1-1是一组生肖剪纸. 若将它们分别沿虚线对折，会完全重合吗？
图5.1-1
可以发现，若将图5.1-1中的每个图形都沿虚线对折，虚线两侧的部分可
以完全重合.
如果将一个图形沿着一条直线对折，直线两侧的部分能够互相重合，那么
这个图形就是一个轴对称图形，这条直线就是它的一条对称轴.
观 察
l
如图5.1-2，用印章在一张纸上盖一 A A′
个印（a），趁印迹未干之时，将纸张沿着
直线l折叠，得到印（b），随后打开，观
察图形（a）与图形（b）有怎样的关系.
（a） （b）
图5.1-2
抽 象
从上面的例子受到启发，可以引出下述概念：
将图形（Ⅰ）沿着一条直线折叠，得到另一个图形（Ⅱ），我们把图形的这种
变换称为关于这条直线的轴对称，此时称这两个图形关于这条直线对称，也称
134第5章 轴对称与旋转
图形（Ⅰ）与（Ⅱ）成轴对称，这条直线叫作对称轴.
原来的图形（Ⅰ）叫作原像，得到的图形（Ⅱ）叫作原图形在这个轴对称下
的像.
原像的一个点P在轴对称下变成像里的一个点P′，称点P与点P′关于这条
直线对称，称点P′是点P关于这条直线的对称点，也称点P′是点P在这个轴对
称下的对应点.
例如，图5.1-2中，在关于直线l的轴对称下，点A′是点A的对应点.
如果一个图形上的每一个点关于某条直线的对称点都在这个图形上，那么
这个图形叫作轴对称图形，这条直线叫作这个图形的对称轴.
说一说
在图5.1-3中，哪些图形是轴对称图形？
（1） （2） （3） （4）
图5.1-3
图5.1-3中（1）（2）都是轴对称图形.
思 考
如图5.1-4，下列5个图形是轴对称图形吗？若是，它们各有几条对
称轴？
等腰三角形 等边三角形 长方形 正方形 圆
图5.1-4
等腰三角形是轴对称图形，且有1条对称轴.
135数学 七年级下册
等边三角形是轴对称图形，且有3条对称轴.
长方形是轴对称图形，且有2条对称轴.
正方形是轴对称图形，且有4条对称轴.
圆是轴对称图形，且有无数条对称轴.
练 习
1 举出生活中一些关于直线对称的实例.
2 下列三个图案分别关于直线对称吗？如果是，画出它们的对称轴，并标出
一对对应点.
（第2题图）
3 下面是几种常见的垃圾分类标志图片，请找出其中的轴对称图形并画出它
的对称轴.
（第3题图）
5􀆰 1􀆰 2 轴对称
探 究
在图5.1-5中，△ABC和△A′B′C′关
于直线l对称，点P的对应点是点P′，线段
PP′交直线l于点D. 线段PP′与对称轴l之
间有什么关系？
图5.1-5
136第5章 轴对称与旋转
因为△ABC和△A'B'C'关于直线l对称，
所以将△ABC连同直线l沿对称轴l折叠，就得到△A'B'C'连同直线l.
在这个轴对称下，点P的对应点是点P'，点D的对应点是点D自身.
于是线段PD与线段P'D重合，∠1与∠2重合，
从而PD=P'D，∠1=∠2=90° .
因此l⊥PP'，且l平分PP'，即直线l垂直平分线段PP'.
由此得到轴对称的基本性质：
成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分.
因此，若两个图形关于一条直线对称，则其中一个图形上的任意一个点P
与另一个图形上的对应点P'的连线PP'被这条直线垂直平分. 反过来，若两个
图形的任意一组对应点的连线都被同一条直线垂直平分，则这两个图形关于这
条直线对称.
特别地，若点P与点P'关于一条直线对称，则线段PP'被这条直线垂直平
分. 反过来，若线段PP'被一条直线垂直平分，则点P与点P'关于这条直线
对称.
在图5.1-5中，将△ABC沿直线l折叠，在这个轴对称下，点A的对应点
是点A'，点B的对应点是点B'，点C的对应点是点C'.
通过比较可以发现：
AB=A'B'，BC=B'C'，∠ABC=∠A'B'C'.
从这个例子以及大量的实践经验可以得出：
轴对称保持任意两点间距离不变，保持角的大小不变.
例1 如图5.1-6，已知直线l及直线外一点P，画
一点P′，使它与点P关于直线l对称.
解 可以按以下步骤来画：
（1）过点P作PQ⊥l，交l于点O；
（2）在射线OQ上截取OP′=OP，则点P′即为点 图5.1-6
P关于直线l的对称点.
137数学 七年级下册
做一做
如图5.1-7，已知线段AB和直线l，画出
线段AB关于直线l的对称图形.
图5.1-7
例2 如图5.1-8，已知△ABC和直线l，
画出△ABC关于直线l的对称图形.
分析 要画 △ABC关于直线l的对称图形，
只要作出三角形的顶点A，B，C关于直线l的
对称点A′ ，B′ ，C′ ，连接这些对称点即可.
解 （1）如图5.1-8，过点A作直线l的垂 图5.1-8
线，垂足为点O，在垂线上截取OA′=OA，
点A′就是点A关于直线l的对称点；
（2）类似地，分别画出点B，C关于直线l
画好△A′B′C′后，若
的对称点B′，C′； 将纸沿直线l折叠，两个
（3） 连接 A′B′，B′C′，C′A′，所得到的 三角形会重合吗？
△A′B′C′即为△ABC关于直线l的对称图形.
议一议
先过直线l外一点分别画直线l的垂线段与斜线段，再利用轴对称变
换说明垂线段最短，并将结果与同学交流.
练 习
1 已知直线AB和直线l相交于点O，画出直
线AB关于直线l的对称图形.
2 如图， △ABC与 △A′B′C′ 关于直线MN成
轴对称. 指出它们的对应顶点，并分别找出
三对相等的边和相等的角.
（第2题图）
138第5章 轴对称与旋转
习题5. 1
学而时习之
1 下列图形是轴对称图形吗？如果是，画出它的对称轴.
（1） （2） （3） （4） （5）
（第1题图）
2 如图，阴影三角形与哪些三角形关于直线对称？整个图形是轴对称图形吗？
如果是，它有几条对称轴？
（第2题图） （第3题图）
3 如图，以三角形旗帜的旗杆为对称轴，画出
它的对称图形.
4 如图， △ABC和 △A′B′C′ 关于直线l对称，
根据图中给出的条件，求 ∠A′B′C′ 的度数和
△A′B′C′ 的周长.
（第4题图）
温故而知新
5 请仿照下面的方法动手操作，设计一件服装.
（1）对折 （2）画线 （3）裁剪 （4）展开
（第5题图）
1395.2 旋 转
观 察
如图5.2-1，分别观察正在运行的钟表指针、电风扇的叶片和汽车的
雨刮器，你能发现它们都是在绕哪个点旋转吗？
（1） （2） （3）
图5.2-1
钟表的指针绕中心旋转，电风扇的叶片绕电机的中心旋转，汽车的雨刮器
绕支点旋转.
抽 象
类似于上述三个实例，如图5.2-2，将图形
（Ⅰ）上的每一个点，绕这个平面内一定点O按同一 既可逆时针旋转，
个方向旋转同一个角α，即把图形（Ⅰ）上的每一个 也可顺时针旋转.
点与定点的连线绕定点O按同一个方向旋转角α，
得到图形（Ⅱ），我们把图形的这种变换叫作旋转.
这个定点O叫旋转中心，角α叫作旋转角①.
原位置的图形（Ⅰ）叫作原像，新位置的图形
（Ⅱ）叫作图形（Ⅰ）在旋转下的像. 图形（Ⅰ）上的每
一个点P与它在旋转下的像点P′叫作在这个旋转下
的对应点.
图5.2-2
①在本套教科书中，旋转角不大于360°.
140第5章 轴对称与旋转
例 1 如图5.2-3，已知O为△ABC外一
点，以点O为旋转中心，把△ABC顺时针旋转
120°，画出旋转后的三角形.
解 可按如下步骤来画：
（1）连接OA，OB，OC；
图5.2-3
（2） 将OA，OB，OC绕点O顺时针旋转
120°，分别得到OA′，OB′，OC′；
将图形旋转时，必须
（3）连接A′B′，B′C′，C′A′，则△A′B′C′就 指明旋转中心、旋转的方
是所要画的三角形（如图5.2-3）. 向和旋转的角度.
说一说
如图5.2-4，将△ABC绕△ABC外
一点O逆时针旋转角α得到△A′B′C′，其
中点A，B，C的对应点分别是点A′，B′，
C′，且△ABC内的点P在这个旋转下的
对应点是点P′.
（1）比较OA′与OA的长度，它们相
等吗？
图5.2-4
（2）比较∠POP′和∠AOA′的大小，
它们相等吗？
（3）∠AOP与∠A′OP′相等吗？
通过比较可得， 由于∠POP′=∠AOA′，因此
OA=OA′，∠POP′= ∠AOP=∠AOA′-∠POA′
∠AOA′ . =∠POP′-∠POA′
=∠A′OP′.
由上以及大量实践经验可知，旋转具有以下基本性质：
一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，
两组对应点分别与旋转中心的连线所成的角相等.
141数学 七年级下册
做一做
在图5.2-4中.
（1）分别比较AB与A′B′，BC与B′C′，AC与A′C′的长度，它们相
等吗？
（2） 分别比较 ∠ABC 与 ∠A′B′C′，∠BAC 与 ∠B′A′C′，∠BCA与
∠B′C′A′的大小，它们相等吗？
通过比较可以发现，
AB=A′B′，BC=B′C′，AC=A′C′.
∠ABC=∠A′B′C′，∠BAC=∠B′A′C′，∠BCA=∠B′C′A′．
大量实践经验都表明：
旋转保持任意两点间距离不变，保持角的大小不变.
例2 如图5.2-5，将△ABC按逆时针方向
旋转45°，得到△AB′C′ .
（1）图中哪一点是旋转中心？
（2）∠B′AB和∠C′AC有什么关系？它们的
度数是多少？
（3）AB与AB′，AC与AC′有什么关系？ 图5.2-5
（4）BC与B′C′有什么关系？
（5）∠BAC与∠B′AC′有什么关系？
解 （1）点A是旋转中心.
（2）点B，C的对应点分别是点B′，C′. 因为两组对应点分别与旋转中心
的连线所成的角相等，且等于旋转角，所以∠B′AB=∠C′AC=45° .
（3）因为对应点到旋转中心的距离相等，所以AB=AB′，AC=AC′ .
（4）因为旋转保持任意两点间距离不变，所以BC=B′C′.
（5）因为旋转保持角的大小不变，所以∠BAC=∠B′AC′.
142第5章 轴对称与旋转
练 习
1 如图，此图案可看成是由图中的哪一部分经过旋转得到？（用笔把该部分圈
出来）
（第1题图） （第2题图）
2 如图，在 △ABO中， ∠O=90° . 将 △ABO绕点O顺时针旋转 90° ，作出
旋转后的 △A′B′O， △A′B′O是直角三角形吗？它的哪个角是直角？
习题5. 2
学而时习之
1 如图，此图案可看成是由图中的哪一部分经过怎样的变换得到？（用笔把该
部分圈出来）
（第1题图） （第2题图）
2 如图，将该图形绕其中心旋转多少度后，能与原图形
重合？
3 如图，将该图形绕点O旋转，如果OA顺时针旋转了
90°
，那么OB，OC旋转了多少度？
（第3题图）
143数学 七年级下册
4 如图，将 △ABC按逆时针方向旋转角α得到 △ADE.
（）指出图中的旋转中心；
1
（
2
）指出点B和点C在这个旋转下的对应点；
（）说出图中哪些角等于旋转角.
3
（第4题图） （第5题图）
5 如图，画出四边形ABCD绕点O按顺时针方向旋转
120°
所得到的图形.
温故而知新
6 将下列四个图形分别绕其中心旋转一定的度数后都能与原来的图形重合，
其中与其他三个图形旋转的度数不同的是（ ）
（ ） （ ） （ ） （ ）
A B C D
1445.3 平面图形变换的简单应用
做一做
欣赏下列图案（如图5.3-1），说出它们分别可以由图中的哪一部分经
过怎样的变换而得到，并在图中把这一部分图形标出来（或画出来）.
（1） （2） （3）
图5.3-1
图5.3-1（1）可以由正方形图案 经过左右平移和上下平移而得到.
图5.3-1（2）可以由图形 经过轴对称而得到.
图5.3-1（3）是中华人民共和国香港特别行政区区徽中的紫荆花示意图，可
以看作是由一片紫荆花瓣 绕中心点O按顺时针方向依次旋转72°，144°，
216°，288°而得到，如图5.3-2所示.
图5.3-2
145数学 七年级下册
例 以图5.3-3的右边缘所在的直线为轴，将该图形作轴对称，再绕中心
按顺时针方向旋转180°，所得到的图形是（ ）
图5.3-3 （A） （B） （C） （D）
解 将图5.3-3以右边缘所在的直线为轴作轴对称，得到图 ，再
绕中心按顺时针方向旋转180°，于是得到图 .
故选（A）.
做一做
图5.3-4是一块正方形塑料板的示意图.
（1）请用4块这样的塑料板拼一个正方形图案（至少
设计3种不同的图案）；
（2）请用16块这样的塑料板，设计一个轴对称图形.
图5.3-4
练 习
1 下图中三角形 是由三角形 经过平移、旋转和轴对称而得到，分别
②③④ ①
指出这些图形变换的名称，并指出其对应的边.



 
 

（第1题图）
2 如图，在方格纸中有两个形状、大小都一样的图
形. 请说明如何运用平移、轴对称、旋转这三种
变换，使其中一个图形与另一个图形重合.
（第2题图）
146第5章 轴对称与旋转
习题5. 3
学而时习之
1 如图，已知 △ABC和直线PQ.
（
1
）画出 △ABC关于直线PQ对称的三角形；
（
2
）画出 △ABC绕它的顶点B按逆时针方向旋转
90°
后的图形.
（第1题图） （第2题图）
2 如图，此图案可看成由哪一部分经过怎样的变换而得到？
3 如图是小明用等边三角形地砖和正方形地砖拼出的地板的部分图案，请用
这两种地砖拼出不同于该图的图案.
（第3题图）
温故而知新
4 如图，试说明图形 ， ， ， ， 分别可以看成由
2 3 4 5 6
图形 经过怎样的变换而得到.
1
5 某学校计划在一块长方形空地上建一个花坛，现征
集设计方案，要求设计的图案由圆和正方形组成 （第4题图）
147数学 七年级下册
（个数不限），并使长方形场地成为轴对称图形. 请设计出两种方案.
6 如图，在正方形 的一边设计一条曲线，并将这条曲线平移、旋转至各边，
a
得到图形 ，然后将该图形平移即可得到美丽的图案.
b
（第6题图）
请依照上述方法，设计一幅美丽的图案.
148第5章 轴对称与旋转
用计算机作几何变换图形
我们可以利用计算机软件作几何变换图形，从而得到各种美丽缤纷的图案.
具体步骤
. 打开某计算机软件，点击“开始作图”，利用左侧工具栏中的“线段”
1
工具绘制 △ABC，选择A，B，C三点，点击底部第四组工具栏中的“多边
形”，构造三角形内部，填充你喜欢的颜色，便得到一个基本图形（如图 ）.
1
图1
. 用鼠标框选图 中的基本图形，点击底部第七组工具栏中的“平移”，
2 1
在弹出的对话框中选择“两点向量”的平移方式，并依次选择起点A，终点C
（如图 ），再点击“确定”，隐藏部分对象标签，得到平移后的图形（如图 ）.
2 3
图2 图3
3
. 在图
3
中，选择线段AC，点击顶部“标记”工具栏中的“标记轴”，再用
鼠标框选图 中的图形，点击底部第七组工具栏中的“轴对称”，隐藏部分对象
3
149数学 七年级下册
标签，得到如图 所示图形.
4
图4 图5
4
. 在图
4
中，选择点A，点击顶部“标记”工具栏中的“标记中心”，再
用鼠标框选图 中的图形，点击底部第七组工具栏中的“旋转”，在弹出的对话
4
框中“转角”栏输入“ ”，单位选择“角度”，方向选择“逆时针”（如图 ）.
60 5
. 在图 中，点击“确定”后，再直接重复点击底部第七组工具栏中的
5 5
“旋转”和弹出对话框中的“确定” 次，隐藏部分对象标签，得到如图 所示
4 6
图形.
图6
操作与思考
1
. 分别拖动图
6
中点A，点B，点C的位置，观察图案的变化.
. 画一个基本图形，并利用平移、轴对称或旋转变换，设计你喜欢的图案.
2
150第5章 轴对称与旋转
小 结
与 评 价
知识图谱
思考回顾
. 什么样的图形叫作轴对称图形？
1
. 将平面图形怎样运动能得到其轴对称图形？
2
. 轴对称的基本性质是什么？
3
. 旋转是指将平面图形怎样运动？
4
. 旋转的基本性质是什么？
5
注意事项
. 同一平面内的两个图形关于一条直线对称，则其中一个图形上的
1
任意一个点P与另一个图形上的对应点P′的连线段PP′被这条直线垂直平
分. 反之也成立.
2
. 平面内点P与点P′关于一条直线对称，则线段PP′被这条直线垂直
平分. 反之也成立.
. 旋转时一定要指明旋转中心、旋转的方向及旋转的角度.
3
. 轴对称和旋转都保持任意两点间距离不变，保持角的大小不变.
4
151数学 七年级下册
自评互评
• 自评
通过本章的学习，你对以下几方面的学习内容掌握得怎么样？根据
自己的学习情况，点亮属于你的小星星，然后请同学和老师对你的自评
进行恰当评价.
. 理解轴对称和旋转的基本性质
1
. 能画出简单平面图形关于给定对称轴的对称图形
2
. 能够运用图形的平移和轴对称进行图案设计
3
. 会从数学的角度观察现实生活中的图形，会从轴对称、旋转的角度认
4
识一些图形，从中进一步感悟数学的应用价值，增强几何直观能力
• 自评 / 互评
请完成下面两项评价，先自评再在小组内进行互相评价. 其中评价
由低到高分为 ， ， ， ， 五个等级.
1 2 3 4 5
. 能主动通过轴对称、旋转等操作，探索其基本性质，在操作过程中勇
1
于质疑，并积极与同学进行交流，同时能灵活运用所学知识去观察生
活中的一些事物和现象
( )/( )
. 基于对本章知识的理解，画出思维导图，并在组内展示，对自己和同
2
学画出的思维导图进行恰当评价
( )/( )
你对本章的学习及评价还满意吗？知识在于平时积累，对待数学更
是如此，只有不断夯实基础，稳扎稳打，才能使自己取得进一步的突破，
从而帮助自己更好地提升解决问题的能力！
152第5章 轴对称与旋转
复习题5
学而时习之
1 下图是我国几家银行的标志，其中轴对称图形有（ ）
（ ） 个 （ ） 个 （ ） 个 （ ） 个
A 2 B 3 C 4 D 5
中国银行 中国工商银行 中国人民银行 中国农业银行 中国建设银行
（第1题图）
2 下列图形中有且只有三条对称轴的是（ ）
（ ） （ ） （ ） （ ）
A B C D
3 如图， 个英文字母的上半部分不见了，试将其补成关于虚线对称的图形，
6
你将得到一个什么英文单词？
（第3题图）
4 某方块游戏的规则如下
:
（）不同形状的方块会从格子区域的上方开始缓慢落下；
1
（）操控者既可以 为单位旋转方块，也可以格子为单位左右平移方块；
2 90°
（）当方块移到区域最下方或由于被其他方块挡住而无法移动时，就会固
3
定在该处，此时新的方块出现在区域上方并开始落下；
（）当区域中某一行格子全部由方块填满时，该行自动消失，同时操控者
4
得分.
153数学 七年级下册
如果操控者遇到如图所示的情况，要想得分应该 .
（第4题图） （第5题图）
5 如图，将 △ABC绕点O旋转得到 △A′B′C′ ，且 ∠AOB=30° ， ∠AOB′=
，则：
20°
（
1
）点B的对应点是 ；
（
2
）线段OB的对应线段是 ；
（
3
）线段AB的对应线段是 ；
（
4
） ∠AOB的对应角是 ；
（
5
） △ABC旋转的角度是 .
6 分别观察下列各图，每个实线三角形可看成由虚线三角形经过怎样的变换
而得到？将相应的图形变换名称填在横线上.
（1） （2） （3）
120°
（第6题图）
7 图中 △A B C 可以由 △ABC经过怎样的变换而得到？请简要说明变换过程.
1 1 1
（第7题图）
154第5章 轴对称与旋转
温故而知新
8 王师傅用边长相同的六边形地砖和三角形地砖铺
成如图所示的图形，请用这样的地砖铺出更多的
不同图案.
9 如何作出如图所示的图案？图中有互相平行或垂
直的线段吗？若已知圆的面积为 60cm2，则图中
（第8题图）
浅蓝色部分的面积为多少？
（第9题图） （第10题图）
10 将长方形ABCD纸片按如图所示的方式折叠，EF，EG为折痕，试问
∠AEF+∠BEG的度数是多少？
上下而求索
11 如图，在网格中有一个四边形，其中
∠AOC=90° ，OA=OC.
（
1
）请画出该图形绕点O按顺时针方
向分别旋转 ， ， 所得到的
90° 180° 270°
图形；
（
2
）设OA的长度为b，旋转后点A的
对应点依次为A ，A ，A ，求四边形
1 2 3
AA A A 的面积.
1 2 3 （第11题图）
155利用变换设计美丽图形





说 一 说
图 ，图 两个平面图形是如何通过某个基本图形变换而来的？
1 2
图1 图2
例如，图 可看作是由 通过平移、轴对称变换而成的.
1
想 一 想
准备一张红纸，自己动手剪一个 “囍” 字，并说明用到了哪种变换.
议 一 议
我们知道，图形变换除了平移和轴对称两种方式外，还有旋转.
如何通过图形 得到图 和图 ？
3 4
图3 图4
156想 一 想
轴对称变换可以看成是一种特殊角度的旋转变换吗？为什么？
做 一 做
. 利用平移和轴对称设计一个美丽图形，并说明你的设计意图；
1
. 利用平移和旋转设计一个美丽图形，并说明你的设计意图；
2
. 请设计一个利用基本图形通过平移、轴对称、旋转三种变换而得到的图形，
3
并说明你的设计意图.
说 一 说
在日常生活中，我们经常会看到一些可看作是通过轴对称变换、平移变换、旋转
变换而得到的物体，请分别举例说明.
做 一 做
自己动手，以 “庆祝 ‘六一’ 儿童节” 为主题，画一幅画或做一份剪纸贴画，要
求运用轴对称、平移、旋转等知识，并能体现节日当天你的活动计划.
157第 6 章
收集、整理与描述数据
我国粮食生产实现连年丰收，人均粮食占有量高于国际公认
的400 kg粮食安全线. 为确保口粮的绝对安全，国家要对粮食进
行质量检查，你认为应该如何检查？
我国粮食作物主要有水稻、小麦、玉米、大豆和薯类五个品
种. 如何用图表呈现每个品种的产量？本章将向你介绍如何选择
恰当的方法收集数据，如何选择恰当的统计图表描述和表达
数据.6.1 抽样调查
思 考
生活中数据无处不在，我们经常要和数据打交道，可是你知道这些数
据是如何得到的吗？
调查是收集数据的一种重要方法.
例如，我国政府为全面掌握全国人口的基本情况，为研究制定人口政策和
经济社会发展规划提供依据，定期进行人口普查.
①
00    33 
 
像上述人口普查这样，为特定目的对全部考察对象进行调查的方法称为全
面调查. 把与所研究的问题有关的全体对象称为总体，把组成总体的每个对象
称为个体.
例如，若想全面了解本班同学每天晚上开始睡觉的时间，就可以采用全面
调查，其中本班全体同学每天晚上开始睡觉的时间是总体，每名同学每天晚上
开始睡觉的时间是个体.
全面调查是通过调查总体中的每个个体来收集数据，调查结果准确，但往
往花费多、工作量大，而且有些调查也不需要或不能使用全面调查.
①全国人口是指大陆31个省、自治区、直辖市和现役军人的人口.
159数学 七年级下册
例如，若想了解本校七年级同学（假设共600人）每天晚上开始睡觉的时间，
就不需要采用全面调查，我们可以随机询问一些七年级同学，例如150名同学，
就可以大概了解本校七年级同学每天晚上开始睡觉的时间.
由此可见，要了解某方面的情况，有时不需要对总体的每个个体进行调
查，只需根据实际需要调查总体中的一部分即可.
像这样，从总体中抽取一部分个体进行调查，然后根据调查数据来推断总
体情况的调查方法称为抽样调查.
从总体中抽取的一部分个体组成了一个样本，样本中个体的数目叫作样本
容量. 例如，在上面的例子中，被询问的150名七年级同学每天晚上开始睡觉
的时间组成了一个样本，样本容量为150 .
说一说
下列调查是用全面调查好，还是用抽样调查好？说说你的理由.
（1）了解你所在小组同学每天的课外阅读时长；
（2）了解全国初中生的课外阅读情况；
（3）了解某品牌灯泡的使用寿命；
（4）了解长江中现有鱼的种类，例如鲤鱼、鲫鱼等.
（1）小组人数不多，可以采用全面调查方式；
（2）采用抽样调查，因为采用全面调查费时、
费力，且不需要.
（3）采用抽样调查，因为这种试验具有破坏性；
（4）采用抽样调查，因为不可能将长江中所有
鱼全部捕获出来.
当不必要或不可能对总体进行全面调查时，可以采取抽样调查，但由于抽
样调查只调查了总体的一部分个体，因此需要寻找一种合适的抽取样本的方
法，使得样本能够客观地反映总体.
160第6章 收集、整理与描述数据
例1 为了了解本校学生暑假期间参加体育活动的情况，学校准备抽取一
部分学生进行调查，你认为用下面的调查方法获得的结果能反映全校学生的一
般情况吗？
方法1：从学校田径队中抽取学生进行调查；
方法2：从学校男学生中抽取学生进行调查；
方法3：从每班随机抽取1名学生进行调查.
解 方法1选取的样本是学校田径队的学生，他们暑假中参加体育活动较
多，不能反映全校学生的一般情况.
方法2只调查男学生，没有调查女学生，故不能反映全校学生的一般情况.
方法3选取的样本容量太小，同样不能反映全校学生的一般情况.
如果在抽样调查时能保证每个个体都有同等的机会被选入样本，那么这种
抽样方法称为简单随机抽样，所得到的样本称为简单随机样本.
一种好的抽样方法不仅希望“精度高”，还希望“花费少”，因此要选取合
适的样本容量. 样本容量太小，就不能很好地代表总体；样本容量太大，虽然
样本具有代表性，但达不到省时、省力的目的.
例2 现要从某班的50名学生中选择5名学生作为代表参加学校组织的
“传承红色基因，争做时代新人”知识竞赛，请设计抽选学生代表的方式，并
保证每个人被选到的机会均等.
地 时 点 间 ： ： 学 6月 校 3 大 0 礼 日 堂 上午9时
161数学 七年级下册
解 给50名学生分别编号为1，2，3，…，50，并将号码写在50张卡片
上，然后用下面的方法得到5个号码，选出对应这5个号码的学生即可.
方案1：把卡片装在一个盒子中，充分混合后，从中抽取5张卡片.
方案2：从1~10号卡片中随机抽出一张，比如抽到3号，然后再依次取
13号，23号，33号，43号，共5个号码.
方案3：使用计算机的随机数发生器产生1~50范围内的5个随机数，比如
产生的5个随机数为49，22，8，12，39，以这5个数作为选出学生的号码.
议一议
怎样才能获得简单随机样本呢？与同学交流你的想法.
练 习
1 分别指出下列抽样调查中的总体、个体、样本和样本容量.
（）为了了解某灯泡厂 月份生产的所有灯泡的使用寿命，从中随机抽取
1 8
只灯泡，测试其使用寿命.
60
（）某校七年级有 名学生，从中随机抽取 名学生测试他们 短
2 700 100 100 m
跑的成绩.
2 某学校想了解全校学生对学校管理工作的意见，让每个班的班长参加座谈
会，这样选取的样本是简单随机样本吗？
3 为了了解某校七年级学生每天完成家庭作业所用时长，该校数学兴趣小组
对此展开抽样调查. 已知七年级共 个班级，每班 名学生.
25 40
（）小明选择对七（）班的全体同学进行调查，小刚选择在学校门口随机抽
1 2
取 名同学. 他们的抽样是否合理？请分别说明理由.
10
（）设样本容量为 ，请设计一个合理的抽样调查方案.
2 100
162第6章 收集、整理与描述数据
习题6. 1
学而时习之
1 某校有 名学生，随机抽取 名学生进行身高调查. 该问题中：
4 000 400
（）总体是 ，个体是 ；
1
（）样本是 ，样本容量是 .
2
2 某社区想了解居民对社区文化活动的意见，让每栋楼的楼长作为代表参加
座谈会，这样选取的样本是简单随机样本吗？
3 为了解某地区老年人的健康状况，三个研究小组的成员分别进行了如下
调查：
甲组：在公园调查了 名老年人；
1 000
乙组：在医院调查了 名老年病人；
1 000
丙组：调查了 名老年邻居.
10
你同意他们的调查方法吗？请说明理由.
4 为了解本校七年级同学的体重情况，试设计一个抽样调查方案，并指出这
个抽样调查的总体、个体、样本和样本容量.
温故而知新
5 某企业为加强管理，修订了员工守则，拟在颁布前发放 份调查问卷，
130
以收集员工的意见. 已知该企业共有员工 人，其中管理部门、研发部
1 300
门和营销部门分别有 人， 人和 人. 你认为应该如何发放问卷才
110 450 740
能使问卷具有代表性？
6 请设计一个抽样调查方案，了解本班的同学是否喜欢某部电视剧.
（）调查结果适用于学校全体学生吗？若不适用，应当如何改进调查方法？
1
（）调查结果适用于你所在地区的电视观众吗？若不适用，应当如何改进
2
调查方法？
1636.2 统计图
我们知道，根据实际问题收集、整理数据后，需要将数据以恰当的方式进
行表示.
做一做
北京市生态环境局发布的数据显示，北京市2014—2022年全年空气
质量优良的天数如下表所示，请根据下表，分别制作一个条形统计图和
一个折线统计图.
年份 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022
天数 172 186 198 226 227 240 276 288 286
为了直观地看出北京市2014—2022年全年空气质量优良天数的情况，可
以画一个条形统计图来表示，如图6.2-1所示.
图6.2-1
为了清楚地表示北京市2014—2022年全年空气质量优良天数的变化趋势，
可以画一个折线统计图来表示，如图6.2-2所示.
图6.2-2
164第6章 收集、整理与描述数据
议一议
（1）从条形统计图6.2-1看出，北京市2014—2022年全年空气质量
优良天数的情况如何？
（2）从折线统计图6.2-2看出，北京市2014—2022年全年空气质量
优良天数的变化趋势如何？与同学交流你的想法.
思 考
如果只需要表示北京市2022年全年空气质量优良的天数占全年365天
的百分比，如何进行直观表示？
习惯上用圆和扇形来表示整体和部分的关系，即用圆表示整体，各个扇形的
大小表示各部分所占的百分比.
由于北京市2022年空气质量优良有286天，约占全年
北京市2022年空
365 天的 78.4% . 又 360°×78. 4%≈282°，于是画一个 气质量优良天数
占全年的78.4%
圆，然后用量角器以圆心为顶点，画角度为282°的扇形，
并且在扇形内注明78.4%，如图6.2-3所示，这样就直观
地表示出了空气质量优良的天数占全年天数的百分比. 像
图6.2-3这样的图叫作扇形统计图. 图6.2-3
例1 2022年8月17日，北京市政府正式批复了《北京市轨道交通线网规划
（2020年—2035年）》，规划线网总规模约2 683 公里，包括区域快线（含市郊铁
路）和城市轨道交通. 其中区域快线总里程约1 058 公里，城市轨道交通总里程
约1 625 公里. 请根据上述信息，绘制扇形统计图.
解 第一步，计算区域快线总里程占规划线网总规模的百分比.
1058
.
×100%≈39. 4%
2683
于是城市轨道交通总里程占规划线网总规模的百分比约为
.
1-39. 4%=60. 6%
第二步，计算各部分扇形的圆心角.
165数学 七年级下册
360°×39. 4%≈141. 8°，
.
360°-141. 8°=218. 2°
第三步，在同一个圆中，根据计算出的圆心角度数画
出各个扇形，并且注明各部分的名称及其相应的百分比
（如图6.2-4）.
图6.2-4
例2 为了解某城市居民日常出行使用交通工具的情况，某研究机构用简
单随机抽样方式进行调查，样本容量为602，调查结果统计如下：
骑自行车、
出行方式 坐公交车 开私家车 坐单位班车
电动车
人数 248 275 70 9
请根据以上调查结果，制作扇形统计图，并在图中标出各出行方式的人数
占总调查人数的百分比.
解 第一步，计算出该简单随机样本中各出行方式的人数占总调查人数的
百分比.
骑自行车、
出行方式 坐公交车 开私家车 坐单位班车
电动车
占总人数的
248 275 70 9
≈41.2% ≈45.7% ≈11.6% ≈1.5%
百分比 602 602 602 602
第二步，计算各部分扇形的圆心角.
360°×41. 2%≈148. 3°，
360°×45. 7%≈164. 5°，
360°×11. 6%≈41. 8°，
.
360°×1. 5%=5. 4°
第三步，在同一个圆中，根据计算出的圆
心角度数画出各个扇形，并注明各部分的名称
及其相应的百分比（如图6.2-5）. 图6.2-5
166第6章 收集、整理与描述数据
练 习
1 牛奶含有丰富的营养成分，下图是某品牌牛奶的营养成分扇形统计图. 每
天喝一袋 的此品牌牛奶，能补充蛋白质多少克？
250 g
(第1题图)
2 地球的表面积约为 亿平方千米，其中陆地面积约为 亿平方千米，
5.11 1.49
海洋面积约为 亿平方千米. 请根据上述信息，绘制扇形统计图.
3.62
有时为了比较同性质的多组数据，需要把多组数据在一个图中表示出来，
这需要用到复式统计图.
说一说
图6.2-6是某校两个班的同学在一次体育课上的活动项目统计图：
这是复式条形
统计图.
图6.2-6
哪个班踢足球的人数较多？哪个班打排球的人数较多？
从图中可以看出：甲班踢足球的人数
较多，而乙班打排球的人数较多.
167数学 七年级下册
思 考
甲、乙两家商店去年各月销售电视机的数量（单位：台）如下：
月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
甲商店 20 15 11 11 10 9 10 12 13 15 16 18
乙商店 20 16 12 10 9 8 10 10 12 13 14 17
（1）为了便于比较这两家商店一年的销售变化趋势，请制作合适的折
线统计图.
（2）甲、乙两家商店这一年销售量的共同趋势是什么？
（3）你还能从图中得到哪些信息？
（1）可以制作出如下折线统计图，如图6.2-7所示.
这是复式折线
统计图.
图6.2-7
（2）由图可知，这一年两家商店的销售高峰都在1月，而12月也是一个小
高峰，同时两家商店具有共同的销售旺季和淡季.
（3）同时还可发现，第一季度甲商店销售量低于乙商店，但甲商店的店主
可能采取了有力的促销措施，从4月份开始，甲商店销售量不再低于乙商店.
做一做
将这两家商店一年的销售情况用复式条形统计图呈现，并与同学交
流比较各自的结果.
168第6章 收集、整理与描述数据
把多组统计数据表示在条形（或折线）统计图上，就得到复式条形（或折线）
统计图. 复式统计图可以直观地比较多组数据在同一方面的不同情况.
议一议
前面已经学过了条形统计图、折线统计图、扇形统计图、复式条形
统计图及复式折线统计图，它们各有什么优点呢？
条形统计图能清楚地表示出事物的数量大小；
折线统计图能清楚地反映事物的变化趋势；
扇形统计图能清楚地表示各部分在总体中所占的百分比；
复式统计图能清楚地对多组同性质的数据作出比较.
在应用统计图描述数据时，要根据调查的目的和数据的性质选择合适的统
计图.
练 习
1 下图是某校七年级 个班级图书角的文学类图书和科普类图书的数量统计
4
图，从图中能获得哪些信息？
(第1题图) (第2题图)
2 广州、武汉、北京、哈尔滨是我国从南到北的 个城市. 上图是这 个城市
4 4
某年 月和 月的平均气温统计图，从图中能获得哪些信息？
1 7
169数学 七年级下册
习题6. 2
学而时习之
1 生命在于运动. 某校为调查七年级学生喜欢球类项目的情况，对七年级（）
1
（）班 名学生进行了全面调查. 经统计，其结果如下图所示，请根据该
2 100
图计算出这 名学生中喜欢各种球类的人数.
100
(第1题图)
2 在一次春耕前，某农业农村局用简单随机抽样方法调查了当地农民预计种
植水稻面积的情况，调查结果是： 的人打算增加种植面积，
19.3% 69.1%
的人种植面积与去年持平， 的人将减少种植面积. 画出扇形统计图
11.6%
表示这一调查结果.
3 去年某市供水总量为 亿立方米，其中生活用水量为 亿立方米，工
41.7 18.7
业生产用水量为 亿立方米，农业生产用水量为 亿立方米，生态用水
3.3 3.7
量为 亿立方米. 请绘制扇形统计图描述这一年该市用水量结构占比情况.
16
4 甲、乙两家公司在 月至 月间的盈利情况统计图如图所示. 下面结论不
1 8
正确的是（ ）
利润/百万元
(第4题图)
（ ）甲公司的盈利正在逐月下跌
A
（ ）乙公司的盈利在 月至 月间上升
B 1 4
（ ）在 月，两家公司获得相同的盈利
C 8
170第6章 收集、整理与描述数据
（ ）乙公司在 月的盈利必定比甲公司多
D 9
5 中国体育代表团在 — 年间的 届奥运会上都取得了令人可喜的成
2000 2020 6
绩，获得的奖牌数情况如下表：
举办年份 2000 2004 2008 2012 2016 2020
金牌数 28 32 48 39 26 38
银牌数 16 17 22 31 18 32
铜牌数 14 14 30 22 26 19
注：数据来自国际奥委会官网.
（）制作适当的统计图，表示中国体育代表团在这 届奥运会上获得的金
1 6
牌数目；
（）制作适当的统计图，表示中国体育代表团在 年奥运会所获的各类
2 2020
奖牌数占该届奥运会所获奖牌总数的百分比；
（）制作适当的统计图，表示中国体育代表团在这 届奥运会上获得的金
3 6
牌和银牌数目.
温故而知新
6 请上网查阅近十年你所在地区人均用水量数据，并制作合适的统计图. 你
能从这个统计图看出近十年你所在地区人均用水量的变化情况吗？
7 请上网查阅近十年你所在地区及相邻某个地区的供水量情况，并以合适的
统计图呈现. 由图你可发现哪些信息？
171数学 七年级下册
用计算机制作统计图
下表是某旅游景点去年 — 月的游客量统计表，利用计算机软件，可以
1 12
快速制作统计图，反映相应的统计意义.
月份 1月 2月 3月 4月 5月 6月
游客量/万人 9.4 10.5 9.8 11.7 15.7 14.6
月份 7月 8月 9月 10月 11月 12月
游客量/万人 21.6 22.9 20.4 23.2 12.8 11.3
具体步骤
打开某计算机软件，将上表的信息输入单元格 至 区域（图 ），用
1. A1 M2 1
鼠标选中这个区域，点击“插入”菜单中的“柱形图”按钮，可得这组数据的
条形统计图（图 ）.
2
图1
#F
图2
172第6章 收集、整理与描述数据
在插入统计图时，选择“折线图”可以得到折线统计图（图 ）.
2. 3
#F
图3
在插入统计图时，选择“饼图”可以得到扇形统计图（图 ）.
3. 4
#F
图4
操作与思考
收集并整理生活中的一组数据. 如收集本班同学每周的课外阅读时间.
1.
依据你收集并整理的数据，用计算机制作不同类型的统计图，并观察不
2.
同的统计图在表达不同统计意义时的优势.
173数学 七年级下册
小 结
与 评 价
知识图谱
思考回顾
. 为什么要进行抽样调查？
1
. 举例说明什么是总体、个体、样本、样本容量.
2
. 什么是简单随机抽样？什么是简单随机样本？
3
. 举例说明怎样才能获得简单随机样本.
4
. 条形统计图反映了数据的什么信息？折线统计图反映了数据的什
5
么信息？
. 扇形统计图反映了数据的什么信息？
6
. 如何绘制扇形统计图？
7
注意事项
. 对于许多问题，不可能或不必要得到总体的所有数据，这就需要
1
进行抽样调查，通过一部分数据（样本）来对总体的情况进行推断. 为了
使样本能够客观地反映总体，需要采用简单随机抽样.
调查所得的数据可以用统计表或统计图来表示，用统计图表示数
2.
据直观明了，不同的统计图有各自的长处，要根据调查的目的和数据的
性质恰当地选择统计图.
174第6章 收集、整理与描述数据
自评互评
• 自评
通过本章的学习，你对以下几方面的学习内容掌握得怎么样？根据
自己的学习情况，点亮属于你的小星星，然后请同学和老师对你的自评
进行恰当评价.
. 知道抽样调查的必要性和简单随机抽样的特点，并会用简单随机抽样
1
收集数据
. 能根据问题的需要，恰当选择条形统计图、折线统计图、扇形统计图
2
描述数据
. 能读懂条形统计图、折线统计图和扇形统计图反映的数据信息，初步
3
体会数据分析的重要性，进一步形成数据观念
• 自评 / 互评
请完成下面两项评价，先自评再在小组内进行互相评价. 其中评价
由低到高分为 ， ， ， ， 五个等级.
1 2 3 4 5
. 能在收集数据的实践探索活动中，认真积极表达自己的观点，主动参
1
与对问题的讨论，能采取不同调查方法进行实践，能运用不同统计图
呈现调查结果，发展实践能力
( )/( )
. 基于对本章知识的理解，画出思维导图，并在组内展示，对自己和同
2
学画出的思维导图进行恰当评价
( )/( )
你对本章的学习及评价还满意吗？想要学好数学，不能操之过急，
还需一步一步地前行，即使前行的步伐慢一点，只要坚持不懈，就一定
能在数学的学习上获得成功！
175数学 七年级下册
复习题6
学而时习之
1 根据下表，调查本班男同学最喜欢参与的体育项目，将相应人数填写在下
表中. 由此能得出什么结论？
体育项目 短跑 足球 排球 篮球 跳远 乒乓球
参与人数
2 下列调查工作适宜采用全面调查方法的是（ ）
（ ）环保部门对长江某段水域的水污染情况的调查
A
（ ）电视台对正在播出的某电视节目收视率的调查
B
（ ）质检部门对各厂家生产的电池使用寿命的调查
C
（ ）某小型企业给在职员工做工作服前进行尺寸大小的调查
D
3 为了解七年级 名学生的体重情况，从中随机抽取 名学生的体重进
1 000 300
行统计. 有下列判断： 这种调查方式是抽样调查； 名学生的体重
① ②1 000
是总体； 每名学生的体重是个体； 名学生是总体的一个样本；
③ ④300
是样本容量. 其中正确的判断有（ ）
⑤300
（ ） 个 （ ） 个 （ ） 个 （ ） 个
A 1 B 2 C 3 D 4
4 为了解各村村民对新农村建设的满意程度，镇政府召集各村村委会主任开
座谈会，了解他们的看法. 这样调查合理吗？为什么？
5 小华想了解本校同学中午的用餐地点，于是他对自己所在班级的 名同学
12
进行了调查，得到如下结果：
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
用餐 家 学校 饮食 家 家 学校 家 家 家 家 家 饮食
地点 里 食堂 店 里 里 食堂 里 里 里 里 里 店
由此，小华认为自己学校的绝大多数同学中午用餐的地点是家里. 你
认同小华的说法吗？说明你的理由.
176第6章 收集、整理与描述数据
6 根据本章复习题第 题的调查结果，制作扇形统计图.
1
7 某校对七年级（）班全体学生的血型做了一次全面调查，列表如下：
1
血型 A B AB O
人数 12 10 5 23
请根据表中数据作出扇形统计图、条形统计图，并指明这两种统计图的优
点及用途.
8 下表是某地区 岁青少年平均身高的数据（单位： ）：
12~16 cm
年龄/岁 12 13 14 15 16
男性 145.8 152.7 159.8 163.4 167.8
女性 147.4 153.4 155.2 156.1 157.2
请根据上表的数据，绘制复式折线统计图，并说明你从中获得的信息.
温故而知新
9 一电脑生产厂对某城市三家经销本厂产品的电脑城进行调查，发现本厂产
品的销量占这三家电脑城同类产品销量的 . 由此在广告中宣称，他们
40%
的产品占国内同类产品销量的 . 请判断该广告中的数据是否可靠，并
40%
说明理由.
10 某市在中心城区范围内，选取重点示范小
区发放问卷进行全市文明状况满意度调
查，将满意度分为不满意、一般、较满
意、满意和非常满意五类，依次以红、
橙、黄、蓝、绿五色标注. 回收、整理好
(第10题图)
全部问卷后，得到右边的统计图，其中标
注橙色与黄色的问卷数之和占整个问卷总
数的 . 结合图中所示信息，解答下列问题：
15%
（）此次总共发放问卷多少份？
1
177数学 七年级下册
（）此次调查结果的满意度能否代表该市文明状况满意度？
2
11 某地区经过统筹谋划，科学推进乡村振兴战略，结合本地自然条件，大力
发展茶叶、蔗糖、水果、药材等产业，取得了良好的经济效益. 经过多年
发展，茶叶、蔗糖、水果、药材成了该地区的重要产业. 图（）（）是根据
a b
该地区去年各项产业统计资料绘制的两幅不完整统计图，请你根据统计图
提供的信息解答以下问题：
（）该地区去年各项产业的总产值为 万元；
1
（）将图（）中蔗糖部分的条形图补充完整.
2 b
（a） （b）
(第11题图)
178第6章 收集、整理与描述数据
上下而求索
12 如果要了解你所在学校七至九年级学生的身高和体重情况，你将怎么办？
写出你的计划（要求计划简单、可行，且包括调查方式、调查问卷内容、数
据的收集和整理、数据的描述等）.
13 图（）是某公司办公室人员小王绘制的折线统计图. 总经理看后觉得不能吸
a
引股东继续投资，要求绘成如图（）的形式.
b
公司历年利润增长图 公司历年利润增长迅猛
2018 2019 2020 2021 2022 2018 2019 2020 2021 2022
（a） （b）
(第13题图)
图（）这样的统计图有误导成分吗？为什么？
b
179家乡变化情况的调查





说 一 说
若需向外地客人介绍自己家乡近年的变化，可以从哪些方面进行介绍？
议 一 议
若从经济方面的人均支出情况进行介绍，则可从食品、衣着、居住、生活用品及
服务、交通通信、教育文化娱乐、医疗保健、其他用品及服务等方面进行调查吗？
与国家统计年鉴中 “全国居民人均支出” 的指标进行对比，看看你的调查要素是
否符合国家统计要素.
想 一 想
你认为只需调查一年的情况还是多调查几年的情况？可以调查家乡 年前的相应
15
情况吗？如果要调查，会遇到哪些问题？有解决方案吗？
议 一 议
邀请本班 名同学组成调查小组，选择自己家附近的 个村或社区进行调
5~7 2~3
查，如何选择才能保证调查结果具有代表性？
180做 一 做
将调查得到的数据进行整理，并以合适的形式表示这些数据.
议 一 议
与同学分析家乡变化的情况，思考还可从哪些角度介绍自己家乡的变化，并就如
何加强哪些方面的建设可以使家乡发生更大变化提出建议.
由此，你经历了一个较为完整的统计过程，其流程如下：
做 一 做
以 “家乡巨变” 为主题，制作一份宣传材料，展示给全校同学.
181后 记
本册教科书是依据教育部颁布的 《义务教育数学课程标准
（
2022
年版）》编写的.
本册教科书的编写，充分吸收了近十年来义务教育课程改革的
优秀成果，借鉴了
2012
年版《义务教育教科书·数学（七年级下
册）》编写经验，凝聚了广大学科专家、教育专家、教材编写专家、
思政专家、教研人员和一线教师，以及装帧设计专家的集体智慧.
在此对所有为本次编写、出版、试教、审读等提供过帮助和支
持的同仁和社会各界朋友，表示衷心感谢！特别感谢 年版本
2012
册教科书主编严士健先生及所有编写人员！真诚地感谢张伟平院
士、潘建伟院士、周向宇院士、李文林教授、陈大岳教授、邹大海
教授等的帮助！
在本册教科书出版之前，我们通过多种渠道与教科书所选用资
料和图片的作者进行了联系，得到了他们的大力支持. 对此，我们
表达诚挚的谢意！遗憾的是，仍有部分作者未能取得联系，恳请这
些作者尽快与我们联系，以便支付稿酬.
教材建设是一项长期的任务，我们真诚地希望，广大教师、学
生及家长在使用本册教科书的过程中及时将意见或建议反馈给我
们. 我们将集思广益，不断修订，使其趋于完善.
联系方式
电话：
0731-85486739/85486740
邮箱：
hnephmath@126.com
湖南教育出版社