数学七下青岛版（2025春）_初中数学_青岛版

义
务
教
育
教
科
书
数
定价：10.23元
数
学 学
七
年
级
!"1#"$!
"#"$ %&'()(*+,-./0
说明：
1.在使用此标识时，需使用矢量格式文件，不得变更其
图案、文字字体、图文比例、颜色标准等。
2.请按照《义务教育国家课程教材修订规范（试行）》要
求印制在封面左上角位置，标识直径为 30mm，左边距书脊
10mm，上边距上切口10mm。
下
册
中
国
环 境
标
志
C H I N A ENVIRONME N T A L
绿色印刷产品义 务 教 育 教 科 书
七
年级 下册主 编：沈 杰
副 主 编：连四清
本册主编：姜仲平
编写人员（以姓氏笔画为序）：
于芳民 云 鹏 刘 栋 杨 军
张 钊 张 曼 梁全声
书 名 义务教育教科书·数学（七年级下册）
主 编 沈 杰
出版发行 青岛出版社（青岛市崂山区海尔路182号）
本社网址 http://www.qdpub.com
责任编辑 张性阳
印 刷
出版日期 2024年12月第1版 2024年12月第1次印刷
开 本 16开（787mm×1092mm）
印 张 11
字 数 180千
书 号 ISBN 978-7-5736-2083-5
定 价 10.23元
编校印装质量、盗版监督服务电话 400-653-2017 （0532）68068050
印刷厂服务电话：新学期寄语
亲爱的同学：
在这春暖花开的季节，让我们一起学习新的数学知识、数学方法，领略数
学之美。
现实世界里，各种各样的数据等待你去收集、整理、描述。在这一过程中，
你将学会应用统计图表，寻找数据中有价值的信息。它们能让你在做判断与决
策时，不再彷徨，不再迟疑……
相交和平行，是浩瀚宇宙中最常见的位置关系。学会用数学的眼光观察两
条直线的位置关系，理解垂线与垂线段的特点，探索平行线的判定和性质。无
限延伸的平行线会把你的思维引向无穷无尽的宇宙。
再次走进方程的神秘殿堂，你将结识新的朋友——二元一次方程组。它会
带领你学习自然朴素的数学方法，领略古人的数学智慧。二元变一元，看似再
自然不过的转换，却蕴含着重要的数学思想。这将逐渐充盈你的认知世界。
在数学的发展中，从数到式的跨越，闪耀着数学的智慧之光。你将在学习
整式的道路上，重启脚步，再续旅程。理解幂的运算，掌握整式的乘法与除法，
探析美丽的乘法公式，学会多项式的因式分解，全视角俯瞰整式的运算，追寻
代数的简洁与纯粹。
在多姿多彩的图案世界里，三角形、多边形和圆是重要的成员。你将继续
认识、分析、思考这些基本的几何图形，在探索它们的性质的过程中，掌握相
关的研究方法和分析思路，渐渐揭开“推理与证明”的面纱。
在新的学期里，希望你能够善于观察发现，勇于思考交流，巧于概括表达，
敢于探究挑战，在综合实践中提升自身的数学素养。目录
MULU
第 7 章 数据的收集、整理与描述
7.1 数据的收集 3
7.2 数据的整理 7
7.3 数据的描述 10
章小结 23
第 8 章 相交线与平行线
8.1 相交线 29
8.2 平行线及其判定 37
8.3 平行线的性质 47
章小结 50
第 9 章 二元一次方程组
9.1 认识二元一次方程组 55
9.2 解二元一次方程组 58
9.3 二元一次方程组与实际问题 65
9.4 三元一次方程组 72
*
章小结 78
1第 10 章 整式的乘法与除法
10.1 幂的运算 83
10.2 整式的乘法 97
10.3 乘法公式 105
10.4 整式的除法 113
章小结 116
第 11 章 因式分解
11.1 因式分解 121
11.2 提公因式法 124
11.3 公式法 127
章小结 133
第 12 章 平面图形的认识
12.1 三角形 137
12.2 多边形 150
12.3 圆 155
章小结 160
综合与实践
3 最佳路线的选择 163
4 公共健身器材使用现状及影响因素调查 166
2第 7 章 数据的收集、整理与描述
内容提要
◆ 数据的收集
◆ 数据的整理
◆ 数据的描述
……
数据的描述
数据的整理
数据的收集
抽样与数据分析为预估试验田中玉米的长势情况，研究人员对处于生长
期的玉米株高进行监测。为降低监测成本，研究人员选取部
分玉米，收集了这些玉米株高（单位：cm）的数据：
49 52 56 45 59 51 47 51 41 50
50 49 47 57 46 43 55 54 55 48
48 55 57 47 57 49 46 48 42 51
51 48 46 56 45 40 55 52 54 49
如何处理这些数据？
本章，我们将学习收集数据的基本方法，经历整理数据
的过程，并用统计图直观、有效地描述数据，解释数据中蕴
含的信息。

 这里的40 ~ 44表示大于等于40同时小于44。本书类似的记号均表示这一含义。要对生活中的某些问题做出科学的判断和决策 通常需要先调查 收集有
, 、
关数据 再进行统计与分析 收集数据有哪些常用方法呢
, 。 ?
年 我国开展了第七次全国人口
2020 ,
普查 人口普查的目的在于全面查清人口
。
数量 结构 分布等方面的情况 为完善
、 、 ,
我国人口发展战略和政策体系 制定经济
、
社会发展规划 推动经济高质量发展提供
、
准确统计信息支持 普查对象是普查标准
。
时点中华人民共和国境内的自然人以及在
中华人民共和国境外但未定居的中国公
民 普查内容包括性别 年龄 民族 受
, 、 、 、
教育程度 职业等
、 。
为了特定目的收集数据 有时需要对所有考察对象进行全面调查 这种调
, ,
查称为普查 被调查对象的全体称为总体 组成总体的每
(survey)。 (population),
一个调查对象称为个体
(individual)。
你还能举出普查的例子吗
?
通过普查 可以获得全面 详细的数据资料 下列调查工作适合采用普查
, 、 。
方法吗 为什么
? ?
公司质检部门要了解一批电子产品的防水性能
(1) ;
河务部门要了解 月份流经某水文站的黄河河水的泥沙含量
(2) 7 ;
公园管理部门要了解市民对园区内健身器材的喜好程度
(3) 。
3上面三个调查工作不适合采用普查方法来收集
数据。原因分别如下:
()防水性能测试对电子产品有破坏性;
1
()无法测出 月份每一时刻流经该地的黄河
2 7
河水中的泥沙含量;
()调查对象流动性强。
3
对于许多问题 没有必要或难以收集总体的数据时 可以从总体中抽取部
, ,
分个体进行调查 根据个体调查的数据估计总体的情况
, 。
从总体中抽取部分个体进行调查,根据这些调查数据估计总体的情况,
这种调查方法叫作抽样调查( )。从总体中抽取出来的个体组成
samplingsurvey
总体的一个样本,一个样本中个体的数量称为样本容量。
例如 对于 中电子产品防水性能的调查 可以抽取该批次一部分产品
, (1) ,
比如 个 进行防水性能测试 该批次产品的防水性能是总体 每个产品的
( 100 ) 。 ,
防水性能是个体 从中抽取的 个产品的防水性能组成总体的一个样本 样
, 100 ,
本容量是
100。
.要调查下列几个问题 适合采用普查还是抽样调查
1 , ?
了解全班同学的视力情况
(1) ;
了解某市某次下雨 的降水量
(2) 1h ;
调查市场上某种食品的色素含量是否符合国家标准
(3) ;
调查某品牌电脑的抗摔性能
(4) 。
为了解某地区七年级 名学生的身高状况 从中随机抽取 名学生进行调
2. 12000 , 600
查 指出该调查中的总体 个体 样本和样本容量
, 、 、 。
4抽样调查是一种常用的调查方法 怎样才能使抽取的样本较好地反映总体
,
情况呢
?
某中学有 名学生 为了解学生阅读名著的情况 学校准备抽取部分学
1200 , ,
生进行调查 用下面的调查方法取得的结果 能否较好地反映全校学生阅读名
。 ,
著的情况 如果不能 应如何改进
? , ?
方法 从每班抽取 名同学进行调查
1: 1 ;
方法 对文学社团的同学进行调查
2: ;
方法 调查每个班的女同学
3: 。
方法 选取的样本容量太小,不
1
能较好地反映全校同学的情况。
方法 和方法 选取的样本
2 3
不能代表全校同学的一般情况。
抽取样本时 为了使样本尽可能具有代表性 除了样本容量要合适外 还
, , ,
需要避免对特定学生群体的偏向 应使学校中的每一个学生都有相等的机会被
,
抽到 例如 在校园里随机调查 名学生 在全校学生的注册学籍号中 随
。 , 200 ; ,
机抽取 个学籍号 调查这些学籍号对应的学生
200 , 。
抽取样本时,总体中每个个体被抽取到的可能性相同,这种抽样的方法
叫作简单随机抽样
。
5下列调查中 抽取样本的方法合理吗 为什么
1. , ? ?
为了解全校学生的数学学习情况 老师调查了数学兴趣小组的 名学生
(1) , 10 ;
为了解小区 户居民的月均用水情况 小亮调查了自己家和邻居家的月均
(2) 900 ,
用水量
。
用简单随机抽样的方法了解全校学生的视力情况 说一说你是如何抽取样本的
2. , 。
复习巩固
为了调查某批次日光灯管的使用寿命,检测员从该批次日光灯管中随机抽取了
1. 30
支进行试验。下列说法正确的有 。
这批日光灯管的使用寿命是总体;
①
每支日光灯管的使用寿命是个体;
②
支日光灯管中的每一支是总体的一个样本;
③30
样本容量是 。
④ 30
体育委员想了解本班同学分别擅长哪些运动项目,他应该采取哪种调查方法? 为
2.
什么?
某小区有 户居民,小亮想了解该小区居民对 “垃圾分类”的认识情况,他
3. 2000
应该采取哪种调查方法? 为什么?
为了解全校同学的身高状况,小亮调查了自己相邻座位的 名同学,这个调查结
4. 3
果能较好地反映全校同学的身高状况吗? 为什么?
拓展延伸
. 中华姓氏文化源远流长,每个姓都具有独特丰富的文化内涵。请用简单随机抽样
5
的方法,调查全校同学的姓氏情况,并通过查资料的方式,看看全国最常见的
3
个姓氏与你调查的全校姓氏的情况是否一致。
6通过调查可以收集数据 对这些数据进行整理 有利于发现数据中蕴含的
, ,
重要信息
。
商场售货员记录了一天内售出的 双运动鞋的尺码 单位
20 ( :cm):
24.5 27 23.5 24 24.5 25 26 26 24 24.5
23.5 25 24.5 25 24.5 24 25 27 26 24.5
为清楚地了解不同尺码运动鞋的销售量 应怎样整理上面的数据
(1) , ?
将不同号码运动鞋的销售量整理成如下统计表
:
鞋的尺码/
cm 23.5 24 24.5 25 26 27
划记 正
销售量/双
2 3 6 4 3 2
从 的表格中 能得到哪些信息
(2) (1) , ?
销售量最多的是尺码为 的运动
24.5cm
鞋,其次为 的,进货时应多进这两个
25cm
尺码的运动鞋。
除尺码外 销售员还可以按照运动鞋的哪些特征收集 整理数据
, 、 ?
还可以按照颜色、款式等收
集、整理数据。
7通过对数据进行整理 可以比较清晰地了解数据的分布情况
, 。
对数据进行整理,就是将收集到的所有数据,按照一定的标准划分为若
干组。
在一次数学核心素养测评中 学校从七年级 名学生中 随机抽取
, 400 ,
了 名学生的素养测评数据 单位 分
40 ( : ):
89 87 97 92 61 93 75 80 89 73
79 75 76 81 76 88 82 79 64 69
91 85 52 81 60 63 67 82 70 73
64 54 58 62 66 70 54 92 65 63
将上述数据按下列要求分成五组
:
90~100,80~90,70~80,60~70,50~60。
设计统计表整理上面的数据 说说你从表中获得了哪些信息
, 。
解:根据题意 列表如下
, :
分数段 数据/分 划记 人数
正
90~100 97 92 93 91 92 5
正正
80~90 89 87 80 89 81 88 82 85 81 82 10
正正
70~80 75 73 79 75 76 76 79 70 73 70 10
正正
60~70 61 64 69 60 63 67 64 62 66 65 63 11
50~60 52 54 58 54 4
由上表可知 学生素养测评分数在 范围内的人数最多 有 人
, 60~70 , 11 ;
在 范围内的人数最少 有 人 大部分在 之间
50~60 , 4 ; 60~90 。
8统计本班同学的生日 并按出生月份整理数据
1. , 。
通常用空气质量指数表示空气质量状况 对照表如下
2. , :
空气质量指数
0~51 51~101 101~151151~201201~301 ≥301
空气质量指数级别 一级 二级 三级 四级 五级 六级
小莹随机抽取了某市一年中 天空气质量指数的数据
40 :
89 68 80 273 88 194 82 71 161 28
104 36 90 60 62 54 113 68 49 94
60 60 137 54 17 114 27 156 196 22
100 43 32 153 79 55 47 105 118 24
按空气质量指数级别整理数据 说说从中能得到哪些信息
, 。
复习巩固
某班 名学生的英语测试等级如下:
1. 40
C A B A C D A A B A C C A B A B B B A B
B D C A A D B A B A D C A A B C A A B C
将以上数据进行分组整理。
某段公路上的雷达测速仪记录了某时段驶过该公路的 辆汽车的速度(单位:
2. 30
/):
kmh
55 49 61 47 49 54 49 57 59 58
50 51 48 49 79 58 48 54 70 71
62 45 56 65 78 52 60 55 49 75
将以上数据进行分组整理,说说从中能得到哪些信息。
拓展延伸
到附近的商场调查某种品牌的衣服最近一个月内的销售情况,对调查数据进行分
3.
组整理,并为商场该品牌衣服的进货工作提供一些建议。
9用统计图可以直观地描述数据整理后的结果 在小学 我们初步认识了条
。 ,
形统计图 折线统计图 扇形统计图 本节将学习如何制作扇形统计图
、 、 。 。
为调查学生的特长 学校在每个班级随机抽取了 名学生 收集到 份
, 5 , 150
调查结果 整理数据列表如下
, :
特长 声乐 器乐 绘画 书法 球类 田径 其他
人数
15 18 24 21 48 18 6
如图 - 用条形统计图可以直观地描述表中的数据
7.31, 。
图 -
7.31
如何用扇形统计图描述数据呢
(1) ?
分别计算不同特长的人数占被调查总人数的百分比 结果如下表
, :
特长 声乐 器乐 绘画 书法 球类 田径 其他
百分比( )
% 10 12 16 14 32 12 4
10在扇形统计图中,每
部分占总体的百分比
×
该部分所对应的扇
360°=
形圆心角的度数。
计算各个扇形的圆心角度数 结果如下表
, :
特长 声乐 器乐 绘画 书法 球类 田径 其他
圆心角的度数
36° 43.2° 57.6° 50.4° 115.2° 43.2° 14.4°
如图 - 在圆中画出各个扇形 并标上百分比
7.32, , 。
图 -
7.32
制作扇形统计图包括哪些步骤呢
(2) ?
制作扇形统计图的步骤如下:
将数据进行分组整理,列出各组数据所占百分比的表格;
①
分别计算各组数据所对应扇形的圆心角的度数;
②
用圆规画圆,利用量角器画出各圆心角,把圆面分成若干个扇形;
③
分别注明各扇形所代表的分组的名称和占比(多用百分数表示)。
④
扇形统计图中用圆代表总体 每个扇形代表总体的一部分 扇形统计图可
, 。
以直观地反映各部分在总体中所占的比例 例如 从图 - 中可以看出 有球
。 , 7.32 ,
类特长的学生所占比例最大
。
11年 月 日 国家统计局发布 第三次全国国土调查主要数据
2021 8 25 , 《
公报 通报了全国主要地类数据 耕地 万 园地 万
2 2
》, : 12786.19 hm, 2017.16 hm,
草地 万 林地 万 湿地 万 城镇村
2 2 2
26453.01 hm, 28412.59 hm, 2346.93 hm,
及工矿用地 万 交通运输用地 万 水域及水利设施用
2 2
3530.64 hm, 955.31 hm,
地 万 用扇形统计图表示全国各类土地的分布情况 百分比精确到
2
3628.79 hm。 (
圆心角度数精确到
0.1%, 1°)。
解:先计算出全国主要地类总面积 再用计算器计算出全国各类用地占全
,
国总用地的百分比 以及各类用地在扇形统计图中对应扇形的圆心角的度数
, ,
结果如下表
:
水域及
城镇村及 交通运
主要地类 耕地 园地 草地 林地 湿地 水利设
工矿用地 输用地
施用地
数量/万
2
hm 12786.192017.1626453.0128412.592346.93 3530.64955.313628.79
百分比( )
% 16.0 2.5 33.0 35.5 2.9 4.4 1.2 4.5
圆心角的度数
57° 9° 119° 128° 11° 16° 4° 16°
制作出第三次全国国土调查主要地类分布情况扇形统计图 图 -
( 7.33)。
图 -
7.33
为倡导绿色出行 生活委员调查了全班 名同学往返学校的交通方式 其中
, 40 。 ,
骑自行车的有 人 乘公交车的有 人 步行的有 人 其余同学采用其他方
10 , 15 , 10 ,
式 请制作出该班同学往返学校的交通方式的扇形统计图
。 。
12条形统计图 折线统计图和扇形统计图在描述数据方面分别有什么特点
、 ?
地球上的海洋 被陆地分隔成彼此相连的四个大洋 图 - 是四大洋面
, 。 7.34
积的条形统计图和扇形统计图
。
① ②
图 -
7.34
根据图 - 回答下列问题
7.34, :
哪个大洋的面积最大 哪个最小
(1) ? ?
哪个大洋的面积超过 万 哪些大洋的面积超过四大洋总面
2
(2) 10000 km?
积的1
?
4
从这两幅统计图中 还能得到哪些信息 在描述数据时 条形统计图
(3) , ? ,
和扇形统计图各有什么优势和不足
?
从条形统计图中,可以看到
各个大洋的具体面积,还可以直
观地比较面积的大小。
从扇形统计图中,可以看到各大洋面积占世
界四大洋总面积的百分比,也可以直观地比较面
积的大小,但是不能直接看出各大洋的具体面积。
13条形统计图能够表示出各组数据的具体数目,有利于比较各组数据的差
异。扇形统计图有利于体现各组数据占总体的百分比。
某同学根据联合国发布的 世界人口展望 报告制作了
《 2022》 “2050
年各洲人口预测数量统计图 图 - 和 年世界人口总量变化趋
”( 7.35) “1950—2050
势与预测总量统计图 图 -
”( 7.36)。
① ②
图 -
7.35
图 -
7.36
请根据这些统计图 回答下列问题
, :
预测到 年哪个洲的人口占比最大 哪个洲的人口占比最小
(1) 2050 , 。
预测到 年亚洲和非洲的人口数量分别是多少
(2) 2050 。
根据预测 年至 年世界人口总量的变化趋势是怎样的
(3) ,1950 2050 ?
14解: 从图 - 中可以看出 到 年亚洲的人口占比最大 大洋
(1) 7.35① , 2050 ,
洲的人口占比最小
。
从图 - 中可以看出 到 年亚洲人口数量大约达到 亿
(2) 7.35② , 2050 52.90 ,
非洲人口数量大约达到 亿
24.66 。
从图 - 中可以发现 年至 年世界人口总量逐年增加
(3) 7.36 ,1950 2050 。
不同的统计图在描述数据时 有不同的特点 扇形统计图能够清晰地反映
, 。
各洲人口所占的百分比 条形统计图能够准确地反映各洲的人口数量 折线统
, ,
计图能够直观地反映世界人口总量的变化趋势
。
对于下列统计数据 选用哪种统计图描述较为适宜 为什么
1. , ? ?
我国 年每年的国内生产总值
(1) 2010—2020 ;
我国代表团在历届奥运会上获得的金牌数
(2) ;
一周内顾客对某银行营业厅工作人员服务态度的评价 好 一般 差
(3) ( 、 、 )。
如图 你能判断出两所学校哪个学校的男教师更多吗 请说明理由
2. , ? 。
第 题
( 2 )
根据某地区 年汽车销售量的统计图 回答问题
3. 2015—2021 , :
该地区哪一年的汽车销售量最大
(1) ?
与前一年相比 哪一年的汽车销售量的增长量最大
(2) , ?
第 题
( 3 )
15我们已经学习了用条形统计图 扇形统计图 折线统计图描述数据 接下
、 、 ,
来将学习另一种描述数据的统计图 频数直方图
——— 。
在章引言中 研究人员为了预估某试验田中玉米的长势情况 随机测量了
, ,
株玉米的株高 单位 数据如下
40 ( :cm), :
49 52 56 45 59 51 47 51 41 50
50 49 47 57 46 43 55 54 55 48
48 55 57 47 57 49 46 48 42 51
51 48 46 56 45 40 55 52 54 49
抽取的玉米株高的分布情况如何
?
为了预估该试验田玉米的长势情况 需要先了解抽取的玉米株高的分布情
,
况 即哪些株高范围的玉米比较多 哪些株高范围的玉米比较少 这就需要对
, , 。
上述数据进行适当地分组整理 具体做法如下
。 :
求数据中最大值与最小值的差
(1) 。
在上面的数据中 玉米株高的最大值是 最小值是 它们的差为
, 59, 40,
59-40=19。
确定组数和组距
(2) 。
将从小到大排列的数据分段 每段中的数据称为一组数据 组的个数称为
, ,
组数 一般地 样本容量在 以内时 可将数据分成 至 组 每个小组的
。 , 100 , 5 12 。
两个端点之间的距离称为组距 根据解决问题的需要 每组的组距可以相同
。 , ,
也可以不同 通常采用等距分组 如果组数为 那么
, 。 5,
最大值 最小值
组距 - 59-40
= 组数 = =3.8。
5
为方便分组 可以取与 相近的一个整数 作为组距 由此可将数据分
, 3.8 4 。
成如下 组
5 :
40~44,44~48,48~52,52~56,56~60。
16数据分组时,组数太少,不能充分显示数据的分
布情况;组数太多,容易把性质相近的同类数据分散
到各组,也不能较好地显示数据分布的特征和规律。
列出频数分布表
(3) 。
对各个小组范围内的数据进行累计 所得到的各个小组内数据的个数叫作
,
频数 整理可得下面的频数分布表
(frequency)。 :
株高/
cm 40~44 44~48 48~52 52~56 56~60
划记 正 正正 正 正
频数
4 8 14 8 6
画频数直方图
(4) 。
频数直方图 图 - 的横轴表示株高 纵轴表示频数 每个长方形的高表
( 7.37) , ,
示每个小组内数据的频数
。
通过图 - 可以直接比
7.37
较各组频数的差异,即组间玉
米株数的差异,但从中看不到
每组内玉米株高的具体数据。
图 -
7.37
从图 - 中看到 株高在 内的株数最多 有 株 在
7.37 , 48~52cm , 14 , 40~44cm
内的株数最少 有 株 玉米株高大部分集中在 之间
, 4 。 44~56cm 。
根据频数的分布画出的条形统计图叫作频数直方图( )。
frequencyhistogram
17某中学为了解全校学生课外阅读的情况 随机调查了 名学生一
, 50
周内平均每天课外阅读的时间 单位 调查的数据如下
( :min), :
30 10 23 26 42 43 48 18 52 31
33 34 26 44 32 21 45 35 22 34
35 27 39 47 26 37 35 28 32 35
48 23 15 34 36 21 32 46 19 38
44 34 44 13 46 34 39 43 59 25
列出频数分布表 画出频数直方图
, 。
解: 求数据中最大值与最小值的差
(1) 。
数据的最大值是 最小值是 它们的差是
59, 10,
59-10=49。
确定组数和组距
(2) 。
如果取组数为 那么组距为
5,
49
=9.8,
5
取与 相近的一个整数 作为组距 所以将数据分成如下 组
9.8 10 , 5 :
10~20,20~30,30~40,40~50,50~60。
列出频数分布表
(3) 。
组别
1 2 3 4 5
时间/
min 10~20 20~30 30~40 40~50 50~60
频数
5 11 20 12 2
画频数直方图 图 -
(4) ( 7.38)。
图 -
7.38
18为了解七年级学生的体能状况 某学校体育老师随机调查了 名学生 内
, 32 1min
蹲起的次数 数据如下
, :
48 22 54 55 37 35 26 38 51 47 38 32 23 48 32 52
23 46 35 43 37 30 25 43 42 34 21 30 34 38 37 48
列出样本的频数分布表 画出频数直方图
, 。
复习巩固
某中学部分学生参加投篮比赛,
1.
每人投篮 次。将比赛结果整
10
理后,绘制出如图所示的条形
统计图。
()共有多少名学生参加比赛?
1
()投篮命中数在 次及以上
2 5
的学生人数占参赛人数的
第 题
百分比是多少? ( 1 )
年,我国全年粮食播种面积为 万 。其中,夏粮播种面积为
2
2.2022 11833.21 hm
万 ,早稻播种面积为 万 ,秋粮播种面积为
2 2
2653.00 hm 475.51 hm 8704.70
万 。请根据以上数据绘制扇形统计图。
2
hm
某校为了解学生做家务的情况,随机调查了 名学生一周内做家务的时长(单位: ):
3. 50 min
153 185 125 195 270 145 152 185 195 275
260 100 162 170 245 140 180 220 155 245
180 180 235 145 194 195 230 188 192 155
299 145 125 195 198 110 198 210 278 178
230 255 180 135 270 195 215 255 258 265
请根据下列不同的分组方法列出频数分布表,画出频数直方图,比较哪一种分组
能更好地说明学生一周内做家务的时长分布:
19()组距是 ,各组是 , ,…;
1 40 100~140 140~180
()组距是 ,各组是 , ,…。
2 20 100~120 120~140
拓展延伸
某商场 至 月的销售额共计 万元,根据下面的统计表和统计图回答问题。
4. 1 5 600
商场 至 月月销售额统计表
1 5
月份 月 月 月 月 月
1 2 3 4 5
商场月销售额/万元
180 90 115 95 120
图 为商场服装部 至 月月销售额占商场当月销售额的百分比统计图,图 为
① 1 5 ②
商场服装部 月各卖区销售额占 月服装部销售额的百分比统计图。
5 5
① ②
第 题
( 4 )
()商场服装部 月的销售额是多少万元? 小亮观察图 后认为,服装部 月的
1 2 ① 3
销售额比 月的销售额减少了,你同意他的看法吗? 请说明理由。
2
()商场服装部下设 , , , , 五个卖区。结合已知信息,绘制 月份商
2 A B C D E 5
场服装部 个卖区销售额的条形统计图。
5
城镇人口占总人口比例的大小可以反映城镇化水平的高低。下表为我国某些年份
5.
中城镇人口占总人口的百分比:
年份
1953 1964 1982 1990 2000 2010 2021
百分比( )
% 13.26 18.30 20.91 26.44 36.22 49.68 63.89
()用适当的统计图描述我国城镇人口占总人口的百分比的变化情况;
1
()观察()中的统计图,你认为我国城镇化水平在哪两个年份之间提高最快?
2 1
20探索创新
某银行为改进服务质量,随机调查了若
6.
干名储户办理业务的等待时间。根据调
查数据画出的频数直方图如图所示。
()这次共调查了多少名储户?
1
()办理业务等待时间少于 的
2 15min
有多少名储户?
()哪个范围内的人数最多? 哪个范围
3 第 题
内的人数最少? ( 6 )
()据调查,顾客对办理业务等待时间的满意度如下表:
4
等待时间/ 顾客满意度
min
满意
0~10
基本满意
10~15
不满意
15~25
结合频数直方图,绘制顾客满意度的扇形统计图。
21用计算机绘制统计图
随着信息科技的发展,人们越来越多地使用计算机进行数据整理与描述。
下面介绍用计算机绘制统计图的方法。
北京冬奥会掀起了冰雪运动的热潮,某校针对学生对冰雪运动的喜欢程度
进行了调查,调查总人数为 人,其中男生 人,女生 人,调查结果如
550 302 248
下表(单位:人):
喜欢程度 不喜欢 比较喜欢 喜欢 非常喜欢
男生
54 43 50 155
女生
33 37 35 143
合计
87 80 85 298
生成扇形统计图。
1.
()打开电子表格,输入上表数据。
1
()选中表格前两行,点击插入,选择工具栏中的 “饼图或圆环图”,选择
2
“二维饼图”,生成扇形统计图(图 -)。
7.39
图 - 图 -
7.39 7.310
生成条形统计图。
2.
选中表格,点击插入,选择工具栏中的 “柱形图或条形图”,选择 “二维柱
形图”,生成条形统计图(图 - )。
7.310
利用电子表格不仅能绘制扇形统计图、条形统计图,还可以绘制折线统计
图、频数直方图等。
22常用的调查方法有哪些? 它们各有什么优势和不足?
1.
简单随机抽样具有什么特点? 如何保证抽取到的样本具有代表性? 请举
2.
例说明。
整理数据的方法和步骤有哪些?
3.
如何制作扇形统计图和频数直方图?
4.
描述数据时,有哪些常用的统计图? 它们在表示数据方面各有哪些特点?
5.
用统计方法了解调查对象的总体情况时,有哪些主要环节?
6.
23复习巩固
为了解全市七年级学生体育测试达标情况,从不同学校随机抽取了 名学生的测
1. 1000
试成绩进行分析,指出这次调查中的总体、个体、样本和样本容量。
社会实践小组为了解本地区老年人的健康情况,分别采用下列四种不同的抽样调查
2.
方法:
在公园里调查 名老年人的健康情况;
① 100
在医院调查 名老年人的健康情况;
② 100
某天早上,在学校门口调查 名送学生上学的老年人的健康情况;
③ 30
随机调查该地区 的老年人(约 人)的健康情况。
④ 1% 200
哪种抽样调查方法比较合理? 为什么?
某学校七年级 班有 名男生,他们校服上衣的尺码型号统计如下:
3. 3 25
180 175 170 170 170 175 175 180 165 180
180 180 180 185 165 165 185 175 165 175
180 170 175 170 175
列表整理以上数据,说一说能获得哪些信息。
为了解学生对历史、科普、文学、动漫类书籍的喜爱情况,随机抽取了若干名学生进
4.
行调查,绘制了如下条形统计图:
第 题
( 4 )
() 本次调查共抽取了多少名学生?
1
()绘制扇形统计图表示学生对各类书籍的喜爱情况。
2
24在某年级 名男生中随机抽取 名同学,他们的百米跑的成绩如下(单位: ):
5. 360 40 s
15.3 14.2 16.3 13.8 12.5 13.6 14.5 13.8 13.5 14.4
15.0 13.4 15.1 13.2 12.9 13.7 13.5 13.9 13.6 14.6
13.8 14.6 14.3 13.1 13.1 13.5 13.4 14.9 13.4 14.0
15.2 12.8 14.9 13.5 13.4 13.8 15.1 15.7 14.2 13.5
将这 名男生的百米跑成绩分组整理,列出频数分布表,画出频数直方图。
40
, 两种理财产品近几年的收益率如下:
6.A B
理财产品 的收益率 理财产品 的收益率
A B
年份 年份
2014 2018 2022 2018 2020 2022
年收益率( ) 年收益率( )
% 3.5 4.5 5.5 % 3.5 4.5 5.5
小亮根据上面的统计表,制作了 , 两种理财产品收益率变化折线统计图(图 ):
A B ①②
理财产品 收益率变化的折线统计图 理财产品 收益率变化的折线统计图
① A ② B
第 题
( 6 )
你认为哪一种理财产品收益率增长较快? 为什么? 这与上面的统计图给你的感觉一
致吗? 为什么?
拓展延伸
根据第七次全国人口普查结果, 岁人口为 万, 岁人口为
7. 0~15 25338 15~60 89438
万, 岁及以上人口为 万。请绘制扇形统计图表示全国人口年龄分布情况。
60 26402
从蔬菜大棚中收集到 株西红柿的果实个数:
8. 50
28 62 54 29 32 47 68 27 55 43
36 79 46 54 25 82 16 39 32 64
61 59 67 56 45 74 49 36 39 52
85 65 48 58 59 64 91 67 54 57
68 54 71 26 59 47 58 52 52 70
用不同的组数分组整理数据,列出频数分布表,绘制频数直方图。比较哪一种分组方
式能更好地说明西红柿的果实个数的分布情况。
25运用语音识别输入软件可以提高文字输入的速度。为了解 , 两种语音识别输入软
9. A B
件的准确性,小亮随机选取了 段话,其中每段话都含 个文字(不计标点符号)。
20 100
在保持相同语速的条件下,他用标准普通话分别朗读每段话来测试这两种语音识别
输入软件的准确性。两种软件每次识别正确的字数记录如下:
A 98 98 92 92 92 92 92 89 89 85
84 84 83 83 79 79 78 78 69 58
B 99 96 96 96 96 96 96 94 92 89
88 85 80 78 72 72 71 65 58 55
() 根据上面的两组样本数据,分别列出频数分布表,画出频数直方图;
1
() 如果以 “识别正确的字数不低于 ”作为评价两种软件性能的标准,哪种软件的
2 85
性能更好? 如果以 “识别正确的字数不低于 ”作为评价标准呢?
80
探索创新
雷达图是在从同一点开始的轴上显示多种数据的统计图,
10.
也称为网络图。如图,从一个点向 个方向作轴,这代
8
表了显示 种数据。 个同心圆代表每一种数据有 个由
8 5 5
低到高的等级,轴外端的数据代表这种数据的最大值。
()查阅资料,了解制作雷达图的方法,仿照制作扇形
1
统计图和频数直方图的学习过程,整理制作雷达图
的步骤; 第 题
( 10 )
()比较雷达图和已学的统计图各自有哪些特点? 雷达图
2
适合描述数据哪方面的信息?
26第 8 章 相交线与平行线
内容提要
◆ 相交线
◆ 平行线及其判定
◆ 平行线的性质
……
平行线
相交线
直线
平面图形
图形的性质生活中，纵横交错的道路、操场上的跑道线、棋盘中的网
格线……都呈现出相交或平行的关系。在下面的桥梁图片中，
你能找到相交线和平行线吗？用什么方法可以判断两条直线是
否平行？
在上学期，我们认识了线段、射线、直线和角等基本图形。
本章我们将在认识相交线与平行线的基础上，探索两直线相交时
所成角的数量关系和位置关系；研究两条直线相交时的特殊情
形——垂直，认识垂线段，并探究点到直线的距离；探究平行线
的判定和性质。我们还将学习通过简单推理得到数学结论的方法，
养成良好的思维习惯。认识了线段 射线 直线 角等基本几何图形 研究了点与直线的位置关
、 、 、 ,
系后 本节我们将研究两条直线的位置关系
, 。
观察图 - 同一平面内的两条直线有什么位置关系
8.11, ?
图 -
8.11
在同一平面内 两条直线的位置关系有相交和平行两种 图 -
, ( 8.12)。
① ②
图 -
8.12
如果两条直线只有一个公共点 我们称这两条直线为相交线
, (intersection
这个公共点叫作它们的交点 如图 - 直线a与直线b相交 点
lines)。 。 8.12①, ,
O是它们的交点
。
在同一平面内 没有公共点的两条直线叫作平行线 如图
, (parallellines)。
- 直线a与直线b平行
8.12②, 。
如图 - 任意画两条直线AB与CD相交于点O
8.13, ,
形成了四个角
图 -
。
8.13
29和 的大小有什么关系 它们的位置有怎样的关系
(1)∠1 ∠2 ? ?
由于 AOB是平角 所以 和 互为补角
∠ , ∠1 ∠2 。
和 具有公共顶点O 有一条公共边OC 它们
∠1 ∠2 , ,
的另一边互为反向延长线 具有这种位置关系的两个
,
角互为邻补角 图 - 中的 和 也互为邻补角
。 8.13 ∠2 ∠3 。
和 有什么位置关系
(2)∠1 ∠3 ?
和 具有公共顶点O 并且 的两边分别是 的两边的反向延长
∠1 ∠3 , ∠1 ∠3
线 具有这种位置关系的两个角互为对顶角 图 - 中的 和 也互为对
, 。 8.13 ∠2 ∠4
顶角
。
比较互为对顶角的两个角的大小 你有什么发现 对顶角为什么具有
(3) , ?
这种数量关系
?
如图 -,因为 与 互补,
8.13 ∠1 ∠2
与 也互补,所以根据同角的补角
∠3 ∠2
相等,得 。同理得 。
∠1=∠3 ∠2=∠4
对顶角的性质 对顶角相等
。
如图 - 直线AB与CD相交于点O 射
8.14, ,
线OE是 BOD的平分线 AOC 求 AOD和
∠ ,∠ =70°。 ∠
BOE的度数
∠ 。
解:根据邻补角的定义 得
,
AOD AOC
∠ =180°-∠ =180°-70°=110°。
根据对顶角相等 得
,
BOD AOC 图 -
∠ =∠ =70°。 8.14
因为射线OE是 BOD的平分线
∠ ,
所以根据角的平分线定义 得
,
BOE 1 BOD 1
∠ = ∠ = ×70°=35°。
2 2
30如图 因为光的折射 铅笔插入水中时 会让我们产生 铅笔发生弯折 的错觉
1. , , , “ ” 。
图中的 与 是对顶角吗
∠1 ∠2 ?
第 题 第 题
( 1 ) ( 2 )
如图 直线AB CD EF相交于点O
2. , , , 。
写出 AOC BOE的邻补角
(1) ∠ ,∠ ;
写出 AOD COE的对顶角
(2) ∠ ,∠ ;
如果 AOC 求 BOD BOC的度数
(3) ∠ =40°, ∠ ,∠ 。
我们认识了两条直线相交所形成的对顶角 接下来将研究两条直线相交的
。
特殊情况 垂直
——— 。
观察图 - 能找出其中的相交线吗 它们有什么特殊的位置关系
8.15, ? ?
图 -
8.15
用数学软件画出图 - 拖动点C 使直线CD绕
8.16, ,
点O转动 观察 BOC的变化情况 当 BOC 时
, ∠ 。 ∠ =90° ,
另外三个角的度数是多少 为什么
? ?
图 -
8.16
31因为 AOC是 BOC的补角,
∠ ∠
所以 AOC BOC 。
∠ =180°-∠ =90°
同理 BOD 。
∠ =90°
因为 AOD是 BOC的对顶
∠ ∠
角,所以 AOD BOC 。
∠ =∠ =90°
两条直线相交所形成的四个角中 如果有一个角是直角 那么就称这两条
, ,
直线互相垂直 其中一条直线叫作另一条直线的垂线 在图 -
(perpendicular), 。 8.16
中 直线AB与CD互相垂直 记作 AB CD 或 CD AB 读作 AB
, , “ ⊥ ” “ ⊥ ”, “
垂直于CD 或 CD垂直于AB 它们的交点O叫作垂足
” “ ”, 。
经过直线l上的一点A 能用三角板或量角器画直线l的垂线吗 画出的
, ?
垂线有几条 经过直线l外的一点B呢
? ?
① ② ③ ④
图 -
8.17
如图 -,将三角板的一条直角边与直线l重
8.17
合,另一条直角边经过点A(B),沿着过点A(B)的
一边画出直线,这条直线就是直线l的垂线。在同一
平面内,过一点只能画直线l的一条垂线。
32基本事实 同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
过直线外一点作一条直线的垂线,这个点与垂足之间的线段叫作垂线段
。
如图 - 在一张半透明的纸上画一条直线l
8.18, ,
在l上任取一点P 能用折纸的方法折出过点P且与
,
l垂直的直线吗 在l外任取一点Q 能折出过点Q
? ,
且与l垂直的直线吗 图 -
? 8.18
填空
1. :
如图 直线AB与CD相交于点O AOC 则 垂足为
(1) ①, ,∠ =90°, ⊥ ,
点
;
如图 CD AB 垂足为点D 那么
(2) ②, ⊥ , , ∠ =∠ = °。
① ②
第 题 第 题
( 1 ) ( 2 )
如图 用三角板或量角器经过点P分别画出直线AB CD的垂线
2. , , 。
垂直是两条直线相交的特殊情况 下面我们来研究垂线段
, 。
在引黄灌溉工程中 图 - 要把黄河水引到农田灌溉口 引水口的位置
( 8.19), ,
在何处时 输水管道的长度最短
, ?
33图 - 图 -
8.19 8.110
将图 - 中的黄河岸堤 引水口 灌溉口分别抽象成直线AB 点P 点
8.19 、 、 、 、
C 将上述问题转化为数学问题 如图 - C为直线AB外的定点 点P
, : 8.110, ,
在直线AB上 P在何处时 线段CP的长度最短
。 , ?
如图 - 画CD AB 垂足为点
8.111, ⊥ ,
D 线段CD是点C到直线AB的垂线段
, 。
在AB上任取点E F G 比较线段CE
, , , ,
CF CD CG的长短 哪一条最短
, , , ? 图 -
8.111
利用数学软件完成
我发现,线段CE,CF,
操作:在直线AB外取
CG的长度都大于线段CD的长
定点C,在直线AB上
度,所以线段CD的长度最短。
取一动点D,作线段
CD。拖动点D,观察线
段CD长度的变化情况。
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短。
简单说成:垂线段最短。
直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫作这个点到这条直线的距离。
图 - 中 过点C作AB的垂线段CD 点D即为黄河岸堤上引水口的
8.110 , ,
位置 此时输水管道的长度最短
, 。
34如图 - A B C三个村庄之间有直通的道路AB AC和
8.112, , , ,
BC 如果AB BC 垂足为点B 那么哪两个村庄之间的距离最远 为什么
。 ⊥ , , ? ?
解:因为AB BC
⊥ ,
所以根据垂线段最短 得
,
AB AC BC AC
< , < 。
所以AB AC BC中AC最长
, , ,
即A C两个村庄的距离最远
, 。 图 -
8.112
如图 用量角器或三角板画图
1. , 。
经过点A画直线BC的垂线
(1) ;
经过点B画直线AC的垂线
(2) ;
经过点C画直线AB的垂线
(3) 。
第 题 第 题
( 1 ) ( 2 )
如图是小亮跳远后沙坑里的脚印示意图 直线l表示起跳线 怎样测量他的跳远成绩
2. , , ?
复习巩固
如图,直线AB,CD,EF相交于点O,已知 DOE , AOC 。求
1. ∠ =89° ∠ =70°
BOF的度数。
∠
第 题 第 题
( 1 ) ( 2 )
如图,直线AB,CD,EF相交于点O,如果OE是 AOC的平分线,那么OF
2. ∠
是 BOD的平分线吗? 为什么?
∠
35如图,用带刻度的直尺分别量出点P到直线AB,BC和AC的距离。
3.
第 题 第 题
( 3 ) ( 4 )
用量角器画 AOB的平分线OC,在OC上任取一点P,经过点P分别画出直线
4. ∠
OA,OB的垂线段,你有什么发现?
拓展延伸
如图,三条直线两两相交, , 。 求 与 的度数。
5. ∠2=2∠1 ∠3+∠2=162° ∠1 ∠4
第 题 第 题
( 5 ) ( 6 )
现需要从海岸l铺设到海岛P的电缆,如何铺设才能使电缆最短? 如果图中比例
6.
尺为 ,那么需要多少千米的电缆?
1∶10000000
探索创新
如图,取一张长方形纸片,按下面的方法折纸,然后回答问题。
7.
第 题
( 7 )
()判断AE与EF的位置关系,并说明理由;
1
()用等式表示 与 的数量关系,并说明理由。
2 ∠1 ∠3
36在同一平面内的两条直线的位置关系除了相交还有平行 生活中还有哪些
。
平行线的例子呢 如何判定两条直线平行
? ?
如图 - 画两条相交的直线AB CD 直线AB绕点A转动的过程
8.21①, , 。
中 直线AB与CD有几种位置关系
, ?
① ②
图 -
8.21
直线AB与CD的位置关系存在两种情况 直线AB与CD相交 图 -
: ( 8.21①),
直线AB与CD不相交 图 - 当直线AB与CD不相交时 它们没有公共
( 8.21②)。 ,
点 也就是直线AB与CD平行 记作 ABCD 读作 AB平行于CD
, , “ ∥ ”, “ ”。
如图 - 已知直线a和直线外一点P 利用三
(1) 8.22, ,
角板和直尺 经过点P怎样画出直线a的平行线
, ?
按照图 - 所示的步骤 可画出经过点P 且平行于
8.23 , , 图 -
8.22
直线a的直线b
。
① ② ③ ④
图 -
8.23
37经过点P可以画出几条平行于a的直线
(2) ?
经过点P只能画出一条平行
于a的直线。
平行线基本事实 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。
Ⅰ
如图 - ab 如果在直线 a b外取一点Q 过点Q画直线c 使得
8.24, ∥ , , , ,
ca 那么直线b与c有什么位置关系
∥ , ?
如果ba,ca,那么bc。
∥ ∥ ∥
图 -
8.24
由此得到 平行于同一条直线的两条直线平行。
:
在如图所示的点阵图中 经过点P分别画出线段a b c的平行线
1. , , , 。①
第 题 第 题
( 1 ) ( 2 )
过点P画PCOA 交OB于点C 过点P画PD OB 交OA于点D
2. ∥ , 。 ∥ , 。
两条射线或线段平行 是指它们所在的直线平行
① , 。
38可以用平行线的定义判定两条直线是否平行 但从定义出发很难直接说明
,
两条直线没有公共点 还有其他判定两条直线平行的方法吗
。 ?
用直尺和三角板 按照图 - 所示的方法 经过直线a外一点P画出a
, 8.25 ,
的平行线b 观察画图过程 能发现ab的条件吗
。 , ∥ ?
⇒
图 -
8.25
由画图过程可以看出 经过点P画直线a的平行线时 三角板沿直尺平
, ,
移 保证了 这说明只要 就可以得到ab
, ∠1=∠2。 ∠1=∠2, ∥ 。
如图 - 两条直线AB CD被第三条直线l所
8.26, ,
截 形成不同的角 观察 与 它们有怎样的位置
, 。 ∠1 ∠2,
关系
?
与 都在直线AB CD的同侧 并且都在直
∠1 ∠2 , ,
线l的同旁 具有这种位置关系的一对角叫作同位角
, 。
图 -
图 - 中 与 与 与 也是同 8.26
8.26 ,∠3 ∠4,∠5 ∠6,∠7 ∠8
位角
。
平行线基本事实 两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那
Ⅱ
么这两条直线平行。
简单说成:同位角相等,两直线平行。
39如图 - PC AB 垂足为点P
8.27, ⊥ , ,
QD AB 垂足为点Q PC与QD平行吗 为什么
⊥ , 。 ? ?
解:PC QD 理由如下
∥ 。 :
因为PC AB QD AB
⊥ , ⊥ ,
所以根据垂线的定义 得 图 -
8.27
,
BPC BQD
∠ =90°,∠ =90°。
所以 BPC BQD
∠ =∠ 。
根据同位角相等 两直线平行 得
, ,
PC QD
∥ 。
找出图中的同位角
1. 。
第 题 第 题 第 题
( 1 ) ( 2 ) ( 3 )
. 如图 将木条a b分别与木条c钉在一起 已知 固定木条
2 , , 。 ∠1=44°,∠2=75°,
b c 将木条a按顺时针方向最少转动多少度 才能使a与b平行 为什么
, , , ? ?
. 如图 AMB ANC MD NE分别是 AMB ANC的平分线 图中有
3 ,∠ =∠ , , ∠ ,∠ 。
哪些平行线 为什么
? ?
两条直线被第三条直线所截 除了形成同位角外 还有其他位置关系的角
, ,
吗 这些角满足什么关系时 才能判定两条直线平行
? , ?
如图 - 直线AB CD被第三条直线l所截
8.28, , ,
与 有怎样的位置关系 与 呢
∠1 ∠2 ? ∠1 ∠3 ?
图 -
8.28
40与 都在直线 AB CD 之间 并且分别在直线l的两旁 具有这种
∠1 ∠2 , , ,
位置关系的一对角叫作内错角
。
除 与 外 图中还有其他的内错角吗
∠1 ∠2 , ?
与 都在直线AB CD之间 并且都在直线l的同旁 具有这种位
∠1 ∠3 , , ,
置关系的一对角叫作同旁内角
。
除 与 外 图中还有其他的同旁内角吗
∠1 ∠3 , ?
我们知道 同位角相等 两直线平行 内错角或同旁内角满足什么关系时
, , 。 ,
两条直线平行
?
如图 - 如果 那么ab吗 为什么
(1) 8.29, ∠1=∠2, ∥ ? ?
因为 ,
∠1=∠2
,
∠2=∠3
所以 。
∠1=∠3
所以ab。
∥
图 -
8.29
如图 - 如果 与 互补 那么ab吗
(2) 8.210, ∠1 ∠2 , ∥ ?
因为 ,
∠1+∠2=180°
,
∠2+∠3=180°
所以 。
∠1=∠3
所以ab。
∥
图 -
8.210
平行线判定定理 两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么
这两条直线平行;如果同旁内角互补,那么这两条直线平行。
简单说成:内错角相等,两直线平行;同旁内角互补,两直线平行。
41如图 - 点E F分别是线段AB
8.211, , ,
DC上的点 点G在BC的延长线上
, 。
如果 D DCG 可以判定哪两条直线
(1) ∠ =∠ ,
平行
? 图 -
8.211
如果 D DFE 可以判定哪两条直线平行
(2) ∠ +∠ =180°, ?
如果 B DCG 可以判定哪两条直线平行
(3) ∠ =∠ , ?
解: 因为 D DCG
(1) ∠ =∠ ,
所以根据内错角相等 两直线平行 得
, ,
AD BC
∥ 。
因为 D DFE
(2) ∠ +∠ =180°,
所以根据同旁内角互补 两直线平行 得
, ,
AD EF
∥ 。
因为 B DCG
(3) ∠ =∠ ,
所以根据同位角相等 两直线平行 得
, ,
DC AB
∥ 。
如图 当 时 ab 理由是
1. ,∠2=60°, ∠1= ° , ∥ , 。
第 题 第 题 第 题
( 1 ) ( 2 ) ( 3 )
如图 在墙面上安装一条需拐两次弯的管道 若第一个弯道处 B 则第
2. , 。 ∠ =142°,
二个弯道处 C为多少度时 管道CD与AB平行 为什么
∠ , ? ?
如图 分别根据下列条件可以判定哪两条直线平行 说明理由
3. , ? 。
(1)∠1=∠2; (2)∠3=∠4;
B DCE B BAD
(3)∠ =∠ ; (4)∠ +∠ =180°。
42如图 - 直线AF与BD交于点C B ACB 若CD是
8.212, ,∠ =∠ 。
ECF 的平分线 试判断AB与CE的位置关系 并说明理由
∠ , , 。
解:AB CE 理由如下
∥ 。 :
因为CD是 ECF的平分线
∠ ,
所以根据角的平分线的定义 得
,
ECD FCD
∠ =∠ 。
根据对顶角相等 得
,
∠ FCD =∠ ACB 。 图 8.2 - 12
所以 ACB ECD
∠ =∠ 。
因为 B ACB
∠ =∠ ,
所以 B ECD
∠ =∠ 。
根据同位角相等 两直线平行 得
, ,
AB CE
∥ 。
如图 - 台球运动中母球P击中
8.213,
桌边的点A 经桌边反弹后击中相邻的另一桌边
,
的点B 再次反弹经过点C PAD BAE
, ,∠ =∠ ,
ABE CBF BAE ABE 母球P
∠ =∠ ,∠ +∠ =90°,
经过的路线BC与PA一定平行吗
?
说明理由
。 图 -
8.213
解:BC PA 理由如下
∥ 。 :
根据平角的定义 得
,
PAB PAD BAE
∠ =180°-∠ -∠ 。
因为 PAD BAE
∠ =∠ ,
所以 PAB BAE
∠ =180°-2∠ 。
同理 ABC ABE
∠ =180°-2∠ 。
因为 BAE ABE
∠ +∠ =90°,
所以根据等式的基本性质 得
,
PAB ABC BAE ABE
∠ +∠ =360°-2(∠ +∠ )=180°。
根据同旁内角互补 两直线平行 得
, ,
BC PA
∥ 。
43如图 工程技术人员常用丁字尺画平行线 说明这种画法的道理
1. , , 。
第 题 第 题
( 1 ) ( 2 )
如图 点G在直线CD上 BAG AGD AE GF分别是 BAG
2. , ,∠ +∠ =180°, , ∠ ,
AGC的平分线 试说明AE GF
∠ 。 ∥ 。
复习巩固
观察下面的正方体,找出三组互相平行的棱,并用符号表示。
1.
第 题 第 题
( 1 ) ( 2 )
如图,用三角板和直尺分别按下列要求画图。
2.
()过点A画BC的平行线;
1
()过点B画AC的平行线;
2
()过点C画AB的平行线。
3
找出图中所有的同位角、内错角和同旁内角。
3.
① ②
第 题
( 3 )
44如图,一个弯形管道ABCD需要满足AB边与CD边平行,现利用量角器测得
4.
ABC , BCD 。这个零件合格吗? 请说明理由。
∠ =110° ∠ =70°
第 题 第 题
( 4 ) ( 5 )
如图,工人师傅盖房子时,常将房梁设计成如图所示的图形。已知AC是 DAB
5. ∠
的平分线, DAC DCA。可以判定哪两条直线平行? 请说明理由。
∠ =∠
如图, A, B,图中有哪些直线平行? 为什么?
6. ∠1=∠ ∠2=∠
第 题 第 题
( 6 ) ( 7 )
如图,D为线段AC上的点,E是 线 段 AB 上 的 点。添加一个条件,使DE BC,
7. ∥
并说明理由。
拓展延伸
如图,图 是一段花边的基本结构,在图 中,绘制与图 相同的图案。
8. ① ② ①
第 题 第 题
( 8 ) ( 9 )
如图,在正方形方格纸的格点上有一点P,用一把直尺,过点P分别画出线段a,
9.
b所在直线的平行线。
如图,有一条纸带,用什么方法可以检验纸带的对边是否平行?
10.
第 题
( 10 )
45探索创新
光线从空气射入玻璃,或从玻璃射
11.
入空气都会产生折射现象。如图,
光线a从空气中射入玻璃,再从玻
璃中射入空气,形成光线b。已知
, 。判断光线a
∠1=∠4 ∠2=∠3
与光线b是否平行,并说明理由。 第 题
( 11 )
如图,取线段AB的中点D,过点D画BC的平行线交
12.
CA于点E,再过点E画AB的平行线交BC于点F。
()用圆规分别比较线段AE与EC,CF与BF的长短;
1
()用圆规分别比较线段DE与BF,FC的长短,EF
2
与AD,DB的长短,有什么发现? 第 题
( 12 )
直觉可靠吗
观察图 - 中的线段a与b,哪一条长?
8.214
图 - 图 -
8.214 8.215
图 - 是由一些黑白相间的小格子组成的,凭直觉判断一下,图中的
8.215
这些横线平行吗?
你的判断正确吗? 利用刻度尺量一量、测一测,能得到怎样的结论?
要对事物作出某种判断,通常要对这个事物进行观察、实验与思考。观
察要认真仔细,但是仅仅依靠观察得出的猜想不一定正确,还要借助实验进
行检验。
46两条直线被第三条直线所截 由同位角 内错角 同旁内角的数量关系可
, 、 、
以判定两条直线平行 如果两条直线平行 那么同位角 内错角 同旁内角有
。 , 、 、
怎样的关系
?
如图 - 练习本上的横格线都是互相平行的 从中
8.31, ,
任选两条 分别记作a b 画一条直线l分别与直线a b
, , 。 ,
相交 形成八个角
, 。
度量其中的每对同位角 你有什么发现
, ?
任选一对同位角 (如
∠1
与 ),用量角器量出它们的
∠5
图 -
度数,发现 。
8.31
∠1=∠5
平行线性质定理 两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等。
Ⅰ
简单说成 两直线平行,同位角相等。
:
在图 - 中 每对内错角的大小有什么关系 请说明理由
8.31 , ? 。
图中每对内错角分别相等。
因为ab,
∥
所以根据平行线性质定理 ,得 。
Ⅰ ∠1=∠5
又因为 ,所以 。
∠1=∠3 ∠3=∠5
同理, 。
∠4=∠6
47按照小莹的上述方法 探索同旁内角的关系 并说明理由
, , 。
平行线性质定理 两条平行直线被第三条直线所截,内错角相等,同旁
Ⅱ
内角互补。
简单说成:两直线平行,内错角相等;两直线平行,同旁内角互补。
如图 - 直线ab cd 求
8.32, ∥ , ∥ ,∠1=106°,
的度数
∠2,∠3,∠4 。
解:因为ab
∥ ,
所以根据两直线平行 内错角相等 得
, ,
∠2=∠1。 图 -
8.32
因为
∠1=106°,
所以
∠2=106°。
因为cd
∥ ,
所以根据两直线平行 同位角相等 得
, ,
∠3=∠2。
所以
∠3=106°。
根据两直线平行 同旁内角互补 得
, ,
∠4=180°-∠1。
所以
∠4=74°。
如图 ABCD 求 的度数
1. , ∥ ,∠1=110°, ∠2,∠3,∠4 。
第 题 第 题 第 题
( 1 ) ( 2 ) ( 3 )
如图 ABCD AECF A 求 C的度数
2. , ∥ , ∥ ,∠ =50°, ∠ 。
如图 直线ab 直线c b 试判断直线c与a的位置关系 并说明理由
3. , ∥ , ⊥ , , 。
48复习巩固
如图,直线ab,根据图中已知条件,求 和 的度数。
1. ∥ ∠1 ∠2
第 题 第 题 第 题
( 1 ) ( 2 ) ( 3 )
如图,AB DC,AD BC,用数字标出的四个角中,哪些角相等?
2. ∥ ∥
如图,AB CD,AE是 CAB的平分线,与CD交于点D。若 C ,求
3. ∥ ∠ ∠ =100°
CDA的度数。
∠
拓展延伸
如图,ab,将直角三角板的直角顶点放在直线a上。若 ,求 的度数。
4. ∥ ∠1=30° ∠2
第 题 第 题
( 4 ) ( 5 )
. 如图,把一张长方形纸片ABCD沿BD折叠后,点C落在点C'处。判断 与
5 ∠1
的大小关系,并说明理由。
∠2
49用画图或举例的方法解释以下概念:对顶角、垂直、垂线段、同位角、
1.
内错角、同旁内角。
点到直线的距离的相关知识在实际生活中有很多应用,请举例说明。
2.
什么是平行线? 平行线有哪些判定方法? 平行线有哪些性质? 平行线的
3.
判定与性质之间有什么联系和区别?
本章你学会了用直尺、三角板或量角器画哪些图形?
4.
50复习巩固
如图,点B在直线AC上, , ,BE与BD垂直吗? 为什么?
1. ∠1=23° ∠2=68°
第 题 第 题 第 题
( 1 ) ( 2 ) ( 3 )
如图, 的度数是多少?
2. ∠1
如图,已知点A,B,C是网格纸上的三个格点。
3.
()画线段AC和射线AB;
1
()过点B画AC的平行线BE;
2
()过点B画AC的垂线,垂足为点D。
3
如图, C,找出图中的平行线,并说明理由。
4. ∠1=∠2=∠
第 题 第 题 第 题
( 4 ) ( 5 ) ( 6 )
如图,直线a c,b c。若 ,求 的度数。
5. ⊥ ⊥ ∠1=110° ∠2
如图,点E在AB上, D,EC是 AED的平分线。若
6. ∠1=∠ ∠
C ,求 的度数。
∠ =65° ∠1
如图,在小区道闸的平面示意图中,BA垂直地面AE,垂足为
7.
点A,CD平行于地面AE。若 BCD ,求 ABC的度数。
∠ =135° ∠ 第 题
拓展延伸 ( 7 )
将正方形纸片按照以下步骤进行折叠,得到的折痕AB与FG有怎样的位置关系? 为
8.
什么?
51① ② ③ ④
第 题
( 8 )
将直尺和三角板按如图方式摆放,用等式表示 α和
β
的数量关系,并说明理由。
9. ∠ ∠
你还能发现哪些数量关系?
第 题 第 题 第 题
( 9 ) ( 10 ) ( 11 )
如图,D,E,F是线段AB的四等分点,分别经过各等分点画BC的平行线交线段
10.
AC于点D',E',F'。测量比较线段AD',D'E',E'F',F'C的长度。
在潜望镜工作原理示意图中,AB,CD是平行放置在潜望镜里的两面镜子。已知光
11.
线经过镜子反射时,有 , 。判断进入潜望镜的光线l与离开潜望
∠1=∠2 ∠3=∠4
镜的光线m的位置关系,并说明理由。
探索创新
如图,将一副三角板的两个直角顶点C叠放在一起,其中 A , B ,
12. ∠ =60° ∠ =30°
D E 。按住三角板ABC不动,将三角板DCE绕顶点C转动,探究
∠ =∠ =45°
BCD等于多少度时,CE AB。
∠ ∥
第 题 第 题
( 12 ) ( 13 )
如图,AB EF, B E。判断BC和DE的位置关系,并说明理由。
13. ∥ ∠ =∠
52第 9 章 二元一次方程组
内容提要
◆ 二元一次方程组及其解法
◆ 二元一次方程组与实际问题
◆ * 三元一次方程组及其解法 
……
二元一次
方程（组）
方程
未知数
等式
方程与不等式
 标有*的内容为选学内容，不作为考试要求。古有北斗七星指明方向，今有北斗卫星导航系统全球定
位。2020 年7月31日，北斗三号全球卫星导航系统正式开通。
北斗三号全球卫星导航系统由地球中圆轨道卫星（MEO）、
倾斜地球同步轨道卫星（IGSO）、地球静止轨道卫星（GEO）
组成，共计 30 颗。其中，GEO 卫星有 3 颗，MEO 卫星比
IGSO卫星多21颗。那么MEO卫星与IGSO卫星各有多少颗？
上学期我们学习了一元一次方程。在此基础上，本章我
们将通过实际问题认识二元一次方程组，学习运用消元法解
二元一次方程组，并应用二元一次方程组解决一些实际问题，
进一步体会方程是描述现实世界等量关系的重要数学工具。上学期我们应用一元一次方程解决了一些实际问题 如果问题中含有两个
,
未知数 那么直接设两个未知数会使列方程更加容易
, 。
在章引言给出的问题中 存在哪些等量关系 如何列方程呢
, ? ?
问题中存在两个必须同时满足的条件
:
卫星颗数 卫星颗数 卫星颗数 颗
MEO +IGSO +GEO =30 ,
卫星颗数 卫星颗数 颗
MEO -IGSO =21 。
如果设 卫星有x颗,那么
MEO IGSO
卫星有(x )颗。因为 卫星有 颗,
-21 GEO 3
所以可以列出方程x (x ) 。
+ -21+3=30
如果设 卫星有x颗 卫星有y颗 那么可以用方程 直接表
MEO ,IGSO , ①②
示问题中的两个等量关系 即
,
x y
+ +3=30, ①
x y
- =21。 ②
方程 与 有什么共同特点
(1) ① ② ?
这两个方程都含有两个未知数,
且含有未知数的项的次数都是一次。
55两边都是整式 含有两个未知数 并且含有未知数的项都是一次的方程
, , ,
叫作二元一次方程
。
上面的问题中存在两个必须同时满足的等量关系 列出的方程x y
, + +3=30
和x y 中字母x y分别代表相同的未知数 我们可以把这两个方程联立起
- =21 , 。
来 写成
,
x y
+ +3=30,
x y
- =21。
一般而言 由几个一次方程联立的一组方程 叫作一次方程组 含有两个
, , 。
未知数的一次方程组 叫作二元一次方程组
, 。
将满足二元一次方程x y 且符合实际意义的x y的值填入
(2) + +3=30, ,
下表
:
x … …
y … …
x y x y x y 都可以使方程x y
=0, =27; =1, =26;…; =27, =0 + +3=30
两边的值相等 它们都是这个方程的解 如果不考虑方程与实际问题的联系
, 。 ,
x y x y 也都是这个二元一次方程的解
=-1, =28; =0.5, =26.5;… 。
哪一组x y的值同时满足方程x y 呢
(3) , - =21 ?
x y 既满足方程x y 又满足方程x y 是这两个
=24, =3 + +3=30, - =21,
方程的公共解
。
满足二元一次方程的一组未知数的值,叫作这个二元一次方程的一个解。
二元一次方程组中各个方程的公共解,叫作这个二元一次方程组的解。
求方程组的解的过程,叫作解方程组
。
x
x y 是方程x y 的一个解 记作 =0,
=0, =27 + +3=30 , y
=27。
x y x
x y 是二元一次方程组 + +3=30,的解 记作 =24,
=24, =3 x y , y
- =21 =3。
56某中学师生 人分别到甲 乙两地参加社会实践活动 到甲地的人数比到乙地
1. 100 、 ,
的人数的 倍少 人 到两地参加社会实践的师生各有多少人
2 8 , ?
已知x与y的三组值
2. :
x
x x 􀮠 =2,
=0, =15,
y y 􀮡 y 1
=-1; =4; = 。
􀮢 10
57
􀪁􀪁
􀪁􀪁
哪组值是方程x y 的解 哪组值是方程 x y 的解
(1) -3 =3 ? 3 -10 =5 ?
x y
哪组值是二元一次方程组 -3 =3,的解
(2)
x y
?
3 -10 =5
复习巩固
已知二元一次方程 x y ,当 y 分别取 , ,1时,求对应的x的值。
1. 2 +2-5=0 -1 0
3
()根据下列方程,分别求方框内
y
的值。
2. 1
y x ; x y 。
=4 +2 2 -3 =4
y x ,
()从上面的计算中,找出二元一次方程组 =4 +2的解。
2 x y
2 -3 =4
拓展延伸
根据题意,列方程组:
3.
今有鸡兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问鸡兔各几何。
探索创新
用两种盒子装乒乓球,大盒最多装 个,小盒最多装 个。如果将 个乒乓球都
4. 6 4 50
装进盒子里,且每盒都装满,那么有几种不同的装球方法?我们学习了二元一次方程组及其解的概念 本节将研究它的解法
, 。
在解决章引言中的问题时 列出了一元一次方程x x 和二
, +(-21)+3=30
x y
元一次方程组 + +3=30,它们之间有什么关系
?
x y
- =21,
方程x y 可以整理为y x 因为两个方程中两个相同的字母表
- =21 = -21。
示同一个数 所以把方程x y 中的y用x 等量代换 得到一元一
, + +3=30 -21 ,
次方程x x
+(-21)+3=30。
这样就把一个二元一次方程组转化为一元一次方程了 解这个一元一次方
。
程 得x 再将x 代入y x 或者原方程组中任意一个方程 都
, =24。 =24 = -21, ,
x
可以解得y 因此 原二元一次方程组的解是 =24,
=3。 ,
y
=3。
以上解二元一次方程组的基本思路是什么
?
消去二元一次方程组中的一个未知数,转化为一元一
次方程,先求出一个未知数,再求另一个未知数。这种将
未知数的个数由多化少、逐一求解的方法称为消元法。
58将二元一次方程组中一个方程的某一个未知数,用含有另一个未知数的代数
式表示出来,然后将它代入另一个方程中,从而消去一个未知数,就可以将二元
一次方程组转化为一元一次方程求解,这种解方程组的方法叫作代入消元法
。
用代入消元法解方程组
x y
3 + =10, ①
x y
-2 =1。 ②
解:由 得
①,
y x
=10-3 。 ③
将 代入 得
③ ②,
x x
-2(10-3 )=1。
解得
x
=3。
将x 代入 得
=3 ③,
y
=1。
所以原方程组的解是
x
=3,
y
=1。
代入消元法解二元一次方程组的过程如下:
已知二元一次方程x y
1. -5 =3。
用关于x的代数式表示y
(1) ;
用关于y的代数式表示x
(2) 。
59用代入消元法解下列方程组
2. :
x y x y
4 = +9, +2 =8,
(1)
y x
(2)
x y
=3 ; 3 - =3。
除了代入消元法外 还有其他方法解二元一次方程组吗
, ?
x y
观察二元一次方程组 + +3=30, ①
x y
- =21。 ②
这个方程组的两个方程中 y的系数有什么关系 能否利用这种关系解方
, ?
程组呢
?
y
的系数互为相反数。
将方程 的两边分别相加 得
①② ,
x y x y
(+ +3)+(- )=30+21,
即 x
2 +3=51。
解得
x
=24。
将x 代入方程 得
=24 ①,
y
24+ +3=30。
解得
y
=3。
所以原方程组的解是
x
=24,
y
=3。
60x y
如何求方程组2 + =5,的解
?
x y
2 +3 =9
两个方程含x的项的系数相
同,我们可以通过两式相减消去未
知数x,实现消元。
当二元一次方程组的两个方程中同一个未知数的系数相反或相等时,将
两个二元一次方程相加或相减消去一个未知数,就可以将二元一次方程组转
化为一元一次方程求解,这种解方程组的方法叫作加减消元法
。
方程组中有多个未知数时 可用消元法减少未知数的个数 将方程组转化
, ,
为只含有一个未知数的方程
。
用加减消元法解方程组
x y
5 +2 =-9, ①
x y
3 -4 =-8。 ②
解: 得
①×2,
x y
10 +4 =-18。 ③
得
②+③,
x
13 =-26。
依据等式的基本性质,
解得
把方程 的两边同时乘 ,
x ① 2
=-2。 两个方程中含有y的项的
将x 代入方程 得
=-2 ①, 系数就互为相反数了。
y
-10+2 =-9。
解得
y 1
= 。
2
61所以原方程组的解是
x
􀮠 =-2,
􀮡
y 1
= 。
􀮢 2
62
􀪁􀪁
􀪁􀪁
加减消元法解二元一次方程组的过程如下:
用加减消元法解下列方程组
1. :
x y
x y 􀮠2 +3 =-1,
2 -3 =4,
(1)
x y
(2)􀮡1x
y
5 -3 =1; -2 =-3。
􀮢2
􀪁􀪁
􀪁􀪁
现有甲 乙两种 打印机 甲工作 乙工作 共打印 个零件 已知甲
2. 、 3D , 2h, 3h, 38 。
比乙每小时多打印 个零件 两种打印机每小时各打印多少个零件
4 , ?
代入消元法和加减消元法都是解二元一次方程组的一般方法 通过消去一
。
个未知数使二元一次方程组转化为一元一次方程 解二元一次方程组时 要根
。 ,
据方程组的特点选择合适的方法
。
解方程组
x y
+2 =4, ①
x y
2 -3 =15。 ②
解:由 得
①,
x y
=4-2 。 ③
将 代入 得
③ ②,
y y
2(4-2 )-3 =15。
解得
y
=-1。将y 代入 得
=-1 ③,
x
=6。
所以原方程组的解是
x
=6,
y
=-1。
解方程组
x y
3 -4 =7, ①
x y
5 +6 =18。 ②
解: 得
①×3,
x y
9 -12 =21。 ③
得
②×2,
x y
10 +12 =36。 ④
得
③+④,
x
19 =57。
解得
x
=3。
将x 代入 得
=3 ②,
y
15+6 =18。
解得
y 1
= 。
2
所以原方程组的解是
x
􀮠 =3,
􀮡 y 1
= 。
􀮢 2
63
􀪁􀪁
􀪁􀪁
还有其他解法吗 试一试
? 。
解下列方程组
:
x y
􀮠
+ =5,
(1)􀮡2 3
x y
􀮢3 -2 =-6;
􀪁􀪁
􀪁􀪁
x y
3(-1)= +5,
(2)
y x
5(-1)=3(+5);
x y x y
2 +3 =9, + =300,
(3)
x y
(4)
x y
5 -4 =-12; 5% +53% =300×25%。复习巩固
用代入消元法解下列方程组:
1.
x y ,
m n , 􀮠3 +4 =18
() =2 +3 ()
1 m n ; 2 􀮡1x y 。
4 +5 =-1 + =4
􀮢2
第 题
( 4 )
64
􀪁􀪁
􀪁􀪁
用加减消元法解下列方程组:
2.
u v , x y ,
()3 +2 =9 ()9 +2 =15
1 u v ; 2 x y 。
3 -5 =2 3 +4 =10
解下列方程组:
3.
x y
y (x ), 􀮠 4,
() -1=3 -2 () + =
1 y (x ); 2 􀮡4 3 3
+4=2 +1 (x ) (y )。
􀮢5 -9=6 -2
􀪁􀪁
􀪁􀪁
拓展延伸
如图,点O在直线AB上,OC为射线, 比 的
4. ∠1 ∠2
倍还多 。求 , 的度数。
3 20° ∠1 ∠2
一艘船在河道上航行,顺水航行 ,用时 ;逆
5. 45km 3h
水航行 ,用时 。该船在静水中的速度与该河的水流速度分别是多少?
65km 5h
如图,在一台 “数值转换机”上,依次输入数x,y 后,会输出一个新数 (x y) 。
6. 3 +2 -2
若依次输入数a,b,输出的新数是 ;若依次输入数a,b,输出的新数是 。求
2 3 28 2 16
a与b的值。
数值转换机
依次输入数x y x y 输出新数
, → 3(+2 )-2 →
第 题
( 6 )
探索创新
m an , m ,
如果关于m,n的二元一次方程组3 - =16的解是 =7那么关于x,y 的
7. m bn n ,
2 - =15 =1
(x y)a(x y) ,
二元一次方程组3 + - - =16的解是什么?
(x y)b(x y)
2 + - - =15认识了二元一次方程组 学习了它的解法后 本节将探究如何应用二元一
, ,
次方程组解决实际问题
。
用长方形和正方形的纸板制作 型 型两种无盖的长方体纸盒 图 -
A 、B ( 9.31),
且长方形的宽与正方形的边长相等 现有正方形纸板 张 长方形纸板 张
。 140 , 360 ,
恰好可以制成多少个 型纸盒 多少个 型纸盒
A ? B ?
图 -
9.31
问题中的等量关系是
:
型 型纸盒所用正方形纸板的数量之和等于正方形纸板总数
A 、B ,
型 型纸盒所用长方形纸板的数量之和等于长方形纸板总数
A 、B 。
设恰好可以制成 型纸盒x个 型纸盒y个 借助下面的表格 可以表
A ,B , ,
示出问题中的等量关系
。
纸板类型 型纸盒 型纸盒 纸板总数
A B
正方形纸板/张 x y
2 140
长方形纸板/张 x y
4 3 360
解:设恰好可制成 型纸盒x个 型纸盒y个 根据题意 得
A ,B 。 ,
x y
+2 =140,
x y
4 +3 =360。
65解方程组 得
,
x
=60,
y
=40。
所以 恰好可以制成 型纸盒 个 型纸盒 个
, A 60 ,B 40 。
应用二元一次方程组解决实际问题的一般过程包含哪些步骤呢
?
列二元一次方程组解决实际问题的一般过程是
为绿化校园 某中学购买了杨树苗和柳树苗共 棵 杨树苗 元 棵 柳树苗
1. , 100 。 3 / ,
元 棵 买树苗共用 元 求该校购买两种树苗各多少棵
7 / , 460 。 。
如图 用 块相同的长方形瓷砖拼成一个宽为 的长方形墙面 瓷砖间的缝隙
2. , 8 60cm (
忽略不计 求每块瓷砖的长和宽
)。 。
第 题
( 2 )
66弹簧不挂物体时的长度称为弹簧的自然长度 在弹性限度内 所挂
。 ,
物体的质量每增加 弹簧增加的长度是相同的
1kg, 。
在弹性限度内 某弹簧所挂物体质量与弹簧长度的数据如下表
, :
物体质量/ … …
kg 0.5 3
弹簧长度/ … …
cm 11 16
当所挂物体的质量为 时 该弹簧的长度是多少
5kg , ?
解:设某弹簧的自然长度为x 弹性限度内所挂物体的质量每增加
cm, 1kg
时 弹簧的长度增加y 根据题意 得
, cm。 ,
x y
+0.5 =11,
x y
+3 =16。
解方程组 得
,
x
=10,
y
=2。
当所挂物体的质量为 时 该弹簧的长度为
5kg , 10+5×2=20(cm)。
所以 当所挂物体的质量为 时 该弹簧的长度为
, 5kg , 20cm。
两块试验田去年共产小麦 今年采用新技术实现了增
A,B 500kg。
产 共产小麦 已知 试验田今年比去年增产 试验田今年比去
, 562kg。 A 16%,B
年增产 今年 两块试验田的产量分别是多少
10%。 A,B ?
解:设去年 试验田产小麦x 试验田产小麦y 根据题意 得
A kg,B kg。 ,
x y
+ =500,
x y
(1+16%)+(1+10%)=562。
解方程组 得
,
x 根据问题的具体条
=200,
y 件,可以直接设未知数,
=300。
因为 也可以间接设未知数。
(1+16%)×200=232(kg),
(1+10%)×300=330(kg)。
所以 今年 两块试验田的产量分别为
, A,B 232kg,330kg。
67甲 乙两名同学各有若干零花钱 若乙把自己一半的钱给甲 则甲有 元 若甲
1. 、 。 , 50 ;
把自己2的钱给乙 则乙的钱也为 元 那么甲 乙各有多少元
, 50 。 、 ?
3
某校七年级共有 名学生 他们的体质健康测试及格率为 如果男 女生
2. 180 , 90%。 、
的体质健康测试及格率分别为 那么男 女生各有多少人
85%,94%, 、 ?
长江上一艘游船从沙市出发 船速为
,
经过若干小时到达宜昌 如果船速提高
17km/h, 。
那么用同样多的时间 游船可从沙市到
1km/h, ,
达宜昌上游 处的葛洲坝 图 - 提速前
9km ( 9.32)。 ,
游船从沙市航行到宜昌所用的时间是多少 沙市
?
到宜昌的航程是多少 图 -
? 9.32
分析:借助线段图分析它们之间的关系 图 -
( 9.33)。
图 -
9.33
解:设游船提速前从沙市航行到宜昌所用的时间为x 沙市到宜昌的航程
h,
为y 根据题意 得
km。 ,
x y
17 = ,
x y
(17+1)= +9。
解方程组 得
,
x
=9,
y
=153。
所以 提速前游船从沙市航行到宜昌所用的时间为 沙市到宜昌的航程
, 9h,
为
153km。
68某公司租用甲 乙两种冷柜车运送水果 每次装满水果后由 地运
、 , A
往 地 前两次租用这两种冷柜车的信息如下表
B 。 :
第一次 第二次
甲种冷柜车/辆
2 5
乙种冷柜车/辆
3 6
累计运货量/
t 15.5 35
第三次运送水果时租用了 辆甲种冷柜车和 辆乙种冷柜车 如果每吨水
3 5 。
果的运费为 元 那么第三次运送水果应支付运费多少元
280 , ?
分析:第三次运送水果的费用与运送的吨数有关 所以需要先求出甲 乙
, 、
两种冷柜车每辆每次分别运水果的吨数
。
等量关系是
: =15.5,
=35。
解:设甲 乙两种冷柜车每辆每次分别运水果x y 根据题意 得
、 t, t。 ,
x y
2 +3 =15.5,
x y
5 +6 =35。
解方程组 得
,
x
=4,
y
=2.5。
第三次运送水果所需费用为 元
(3×4+5×2.5)×280=6860( )。
所以 第三次运送水果应支付运费 元
, 6860 。
根据题意 列方程组
1. , :
小亮和小莹练习跑步 如果小亮让小莹先跑 那么小亮跑 就能追上小莹
, 10m, 5s ;
如果小亮让小莹先跑 那么小亮跑 就能追上小莹 两人每秒各能跑多少米
2s, 4s 。 ?
商场用 元购进甲 乙两种玩具 全部销售完后共获利 元 甲种玩
2. 36000 、 , 6000 。
具进价为 元 个 售价为 元 个 乙种玩具进价为 元 个 售价为
120 / , 138 / ; 100 / ,
元 个 该商场购进甲 乙两种玩具各多少个
120 / 。 、 ?
69复习巩固
某校七年级 班为鼓励同学们积极参加锻炼,准备购买一些羽毛球拍和乒乓球拍,
1. 1
购买方案如下图:
第 题
( 1 )
根据图中信息,求每个羽毛球拍和每个乒乓球拍的价格。
《九章算术》“方程”章中记载:今有牛五羊二,直金十两。牛二羊五,直金八两。
2.
问牛羊各直金几何。大意为: 头牛和 只羊,共值金 两。而 头牛和 只羊,
5 2 10 2 5
共值金 两。问 头牛、 只羊各值金几两。请列方程组求解。
8 1 1
校园篮球比赛中每场比赛都要分出胜负,胜一场得 分,负一场得 分。七年级
3. 2 1
班代表队全部比赛完成后的部分统计结果如下表:
1
比赛情况 胜 负 合计
场数 x y
18
积分
26
这次校园篮球比赛中,七年级 班代表队胜了多少场?
1
拓展延伸
某校参加夏令营的学生到餐厅用餐,若每张餐桌安排坐 人,则剩 人没有座位;
4. 7 7
若每张餐桌安排坐 人,则空出一张餐桌。求餐桌数和学生总人数。
9
一张方桌由一个桌面和四条桌腿组成。已知 木料可制作桌面 个,或制作
3
5. 1m 50
桌腿 条。若用 木料制作同样的方桌,恰好用完木料,那么用于制作桌
3
300 5m
面、桌腿的木料量分别是多少?
70探索创新
服装公司统计了第一季度各个月份男装、女装的销售收入,绘制了下面三幅扇形
6.
统计图。 月份男装、女装销售总收入是 万元, 月份男装、女装销售收入比
1 50 3
月份男装、女装销售收入分别增加了 万元和 万元。第一季度男装、女装销
2 6 24
售收入各是多少万元?
第 题
( 6 )
两鼠穿墙
《九章算术》中记载了一个有趣的问题:今有垣厚五尺,两鼠对穿。大鼠日
一尺,小鼠亦日一尺。大鼠日自倍,小鼠日自半,问几何日相逢,各穿几何。
大意为:两只老鼠在一道厚 尺的墙的两边相对打洞。大鼠第一天穿墙
5
尺,以后每天的进度是前一天的 倍;小鼠第一天也穿墙 尺,以后每天
1 2 1
的进度是前一天的一半。问两只老鼠几天后相遇。各穿墙几尺。
第一天,大鼠、小鼠各穿墙 尺,共 尺;第二天,大鼠穿墙 尺,小鼠
1 2 2
穿墙半尺。两天大鼠和小鼠共穿墙 尺,离穿透墙尚差 尺。第三天,大
4.5 0.5
鼠穿墙速度为 尺/天,小鼠为 尺/天,不足一天两鼠即可相遇。设第三天
4 0.25
大鼠穿墙x尺,小鼠穿墙
y
尺,其中的等量关系是:大鼠、小鼠一共穿墙
0.5
尺,该天在相遇时大鼠、小鼠所用的时间相等。请根据以上信息分析解决问题。
71上一节我们学习了应用二元一次方程组解决实际问题 本节将学习三元一
。
次方程组及其解法 并用它解决含有更多未知数的实际问题
, 。
小亮与爸爸 爷爷三人的年龄之和为 岁 爷爷的年龄比小亮与爸爸的
、 120 ,
年龄之和多 岁 爸爸与小亮的年龄之差正好等于爷爷与爸爸的年龄之差 他
12 , 。
们三人的年龄分别是多少
?
这个问题中有哪些未知量 存在哪些等量关系
? ?
这个问题中有三个未知量 小亮 爸爸和爷爷的年龄
: 、 。
设小亮 爸爸和爷爷的年龄分别是x岁 y岁 z岁 根据题意 列出以
、 、 、 。 ,
下三个方程
:
x y z
+ + =120,
z x y
= + +12,
y x z y
- = - 。
这个问题的解必须同时满足上面的三个方程 将这三个方程联立 得到方
, ,
程组
x y z
􀮠 + + =120, ①
z x y
􀮡 = + +12, ②
y x z y
􀮢 - = - 。 ③
72
􀪁􀪁
􀪁􀪁
像这样 含有三个未知数的一次方程组 叫作三元一次方程组
, , (systemof
linearequationswiththreeunknowns)。
用消元法可以将二元一次方程组转化为一元一次方程求解 那么能否用同
,
样的思路解三元一次方程组呢
?观察每一个方程的形式,用代入消元法消
去未知数z,把这个三元一次方程组转化为二
元一次方程组,再进一步转化为一元一次方
程,就可以逐步求出每一个未知数的值了。
将方程 分别代入 和 消去未知数z 得二元一次方程组
② ① ③, ,
x y
+ =54, ④
x y
-2 + =12。 ⑤
解由 组成的二元一次方程组 得
④⑤ ,
x
=14,
y
=40。
代入方程 得
②,
z
=66。
原三元一次方程组的解是
x
􀮠 =14,
y
􀮡 =40,
z
􀮢 =66。
73
􀪁􀪁
􀪁􀪁
所以 小亮 岁 爸爸 岁 爷爷 岁
, 14 , 40 , 66 。
解三元一次方程组的基本思路也是消元。通过消元,把三元一次方程组
转化成二元一次方程组或一元一次方程,再逐一解出未知数的值。
消元的基本方法有代入消元法和加减消元法。解方程组
y z
􀮠 +2 =5, ①
x y z
􀮡 -2 +3 =3, ②
x y z
􀮢2 +3 -2 =-3。 ③
74
􀪁􀪁
􀪁􀪁
解: 得
2×②-③,
y z
-7 +8 =9。 ④
与 组成二元一次方程组
① ④
y z
+2 =5,
y z
-7 +8 =9。
解方程组 得
,
y
=1,
z
=2。
将y z 代入 得
=1, =2 ②,
x
=-1。
所以原方程组的解是
x
􀮠 =-1,
y
􀮡 =1,
z
􀮢 =2。
􀪁􀪁
􀪁􀪁
从甲地到乙地有一段上坡 一段平路 一段下坡 全程是
、 、 , 98km。
汽车从甲 乙两地之间往返行驶 若汽车在平地上的速度为 上坡的
、 , 40km/h,
速度为 下坡的速度为 那么从甲地到乙地需用时 从
20km/h, 30km/h, 2.8h,
乙地到甲地需用时 求从甲地到乙地时 平地 上坡 下坡的路程各有多
2.7h。 , 、 、
少千米
?
解:设从甲地到乙地时 平地为x 上坡为y 下坡为z 则从
, km, km, km,
乙地到甲地 平地为x 上坡为z 下坡为y 根据题意 得
, km, km, km。 ,
x y z
􀮠 + + =98,
x y z
+ + =2.8,
􀮡40 20 30
x y z
+ + =2.7。
􀮢40 30 20
􀪁􀪁􀪁􀪁
􀪁􀪁􀪁􀪁解方程组 得
,
x
􀮠 =80,
y
􀮡 =12,
z
􀮢 =6。
75
􀪁􀪁
􀪁􀪁
所以 从甲地到乙地时 平地为 上坡为 下坡为
, , 80km, 12km, 6km。
解下列方程组
1. :
y x z
􀮠 =5- -3 ,
x y z
(1)􀮡 + + =1,
x y z
􀮢2 - -4 =5;
􀪁􀪁
􀪁􀪁
x y z
􀮠 + - =4,
x y z
(2)􀮡 + + =2,
x y z
􀮢- +2 + =2。
􀪁􀪁
􀪁􀪁
现有一个三位数 三个数位上的数字之和为 个位数字是百位与十位数字之和
2. , 12,
的 倍 百位数字是十位数字的 倍 求这个三位数
2 , 3 。 。
复习巩固
解下列三元一次方程组:
1.
x y ,
􀮠 +2 =5
()y z ,
1 􀮡 -3 =-7
z x ;
􀮢4 + =13
􀪁􀪁
􀪁􀪁
x y z ,
􀮠3 -5 +6 =4
() x y z ,
2 􀮡3 -2 +2 =3
x y z 。
􀮢-3 -3 +5 =-1
􀪁􀪁
􀪁􀪁
已知代数式ax2 bx c。当x 时,代数式的值为 ;当x 时,代数式的值
2. + + =1 0 =2
为 ;当x 时,代数式的值为 。求a,b,c的值。
3 =3 28
某市举行中学生足球联赛,比赛的计分规则为:胜 场得 分,平 场得 分,
3. 1 3 1 1
负 场得 分。某中学足球队在 场比赛中,平和负的场数之和等于胜的场数,
1 0 12
共得 分,该队在联赛中胜、平、负各几场?
21拓展延伸
x y z
已知 ,x y z 1。求x,y,z。
4. = = + - =
2 3 4 12
从下列方程组中,求出x,y 之间的关系,用不含t的式子表示。
5.
x t, t x y,
() =3- ()3+ =5
1 y t ; 2 t x y。
+5= +1 2-3 =2
探索创新
x y a ,
是否存在一个数a,使关于x,y 的方程组2 + =2 +1的解满足x与 y 互为
6. x y a
+2 =5-5
相反数? 若存在,求a的值。再提出一个与这个方程组的解有关的问题并解答。
中国古代的 “方程术”
《九章算术》是中国古代的一部数学经典著作,书中收集了二百余个应用
问题。其中有一章专门以 “方程”命名,内有十八个联立多元一次方程组的
问题,解这些多元一次方程组运用的是一种叫作直除法的方程术。
例如,这一章的第一个问题:今有上禾三秉,中禾二秉,下禾一秉,实
三十九斗;上禾二秉,中禾三秉,下禾一秉,实三十四斗;上禾一秉,中禾
二秉,下禾三秉,实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何。
方程术步骤一:列筹
我国古代用 “筹”进行运算,列筹的方法如下(图 -):
9.41
图 -
9.41
76上禾 束,中禾 束,下禾 束,得实 斗,列在右行;上禾 束,中
3 2 1 39 2
禾 束,下禾 束,得实 斗,列在中行;上禾 束,中禾 束,下禾
3 1 34 1 2
束,得实 斗,列在左行。
3 26
还可以用方程组表达题目中的信息。
设上禾、中禾、下禾每一束得实各为x斗、y 斗、z斗,则有
x y z ,
􀮠3 +2 + =39 ①
x y z ,
􀮡2 +3 + =34 ②
x y z 。
􀮢 +2 +3 =26 ③
77
􀪁􀪁
􀪁􀪁
方程术步骤二:直除法
用 式内x的系数 乘 式中的各项,得
① 3 ②
x y z 。
6 +9 +3 =102 ④
将 式两次 “直除” 式,即两次减去 式的各项,得
④ ① ①
y z 。
5 + =24 ⑤
同样,用 式内x的系数 乘 式中的各项,得
① 3 ③
x y z 。
3 +6 +9 =78 ⑥
将 式 “直除” 式,得
⑥ ①
y z 。
4 +8 =39 ⑦
用算筹演算得结果(图 -)。
9.42
图 -
9.42
这可以得到二元一次方程组
y z ,
5 + =24 ⑤
y z 。
4 +8 =39 ⑦
再用上面的方法消去 y,求得z。
方程术最早见于《九章算术》中,不仅是我国古代数学的伟大成就,也是
世界数学史上的重要成果。什么是二元一次方程? 什么是二元一次方程的解? 它的解有多少组?
1.
什么是二元一次方程组? 什么是二元一次方程组的解? 它的解有多少组?
2.
解二元一次方程组的基本思路是什么? 常用方法有哪些? 这些方法的主
3.
要步骤分别是什么?
同一元一次方程一样,多元一次方程组也是一种重要的数学模型,运用
4.
多元一次方程组解决实际问题的过程是什么?
通过学习一元一次方程和二元一次方程组,你有什么体会? 你认为研究
5.
方程的思路是什么?
78复习巩固
解下列方程组:
1.
x y , x y ,
()5 = +5 () + =-5
1 x y ; 2 x y ;
= -3 3 -5 =9
u v , x y ,
()2 -3 =-10 ()4 -3 =31
3 u v ; 4 x y 。
6 +2 =-8 5 +7 =28
解下列方程组:
2.
x y
􀮠 2,
(x )y , - =
()3 -1= +5 () 3 2 3
1 (x ) ( y) ; 2 􀮡x y
5 -2+3- =-1 13;
- =
􀮢2 5 2
79
􀪁􀪁􀪁
􀪁􀪁
x y ,
􀮠 + =1
* ()y z ,
3 􀮡 + =6
z x ;
􀮢 + =3
􀪁􀪁
􀪁􀪁
x y z ,
􀮠3 + +2 =10
* () x y z ,
4 􀮡2 +3 - =9
x y z 。
􀮢 + + =6
􀪁􀪁
􀪁􀪁
x ay , x ,
已知关于x,y 的二元一次方程组2 - =5 的解是 =1 求a,b的值。
3. bx y y 。
+6 =-1 =-1
某地区前年进出口总额为 亿元,去年进出口总额比前年有所增加,其中进口额增
4. 520
加了 ,出口额增加了 。
25% 30%
注:进出口总额 进口额 出口额。
= +
()设前年进口额为x亿元,出口额为
y
亿元,用含x,y 的代数式填表:
1
年份 进口额/亿元 出口额/亿元 进出口总额/亿元
前年 x y
520
去年
()已知去年的进出口总额比前年增加 亿元,求去年的进口额和出口额。
2 140
某双层游轮的票价是:上层票每张 元,下层票每张 元。已知游轮上共有游客
5. 320 180
人,而且上层票的总票款比下层票的总票款多 元。这艘游轮上下两层的游
350 37000
客人数分别是多少?《九章算术》记载:今有共买物,人出八,盈三;人出七,不足四。问人数、物价各
6.
几何。大意为:若干人共同买一个物品。如果每人付 元,那么多 元;如果每人
8 3
付 元,那么差 元。问有多少人共同买这件物品,这件物品的价格是多少元。
7 4
*
甲、乙、丙三个数的和是 ,甲数的 倍比乙数大 ,乙数的1等于丙数的1。求
7. 35 2 5
3 2
这三个数。
拓展延伸
(m )x (n )y , x ,
已知关于x,y 的二元一次方程组 +1 - -3 =11的一个解为 =1 求
8. mx (n )y y ,
+ +2 =7 =-2
m,n的值。
x y m,
已知关于x,y 的二元一次方程组 +2=5 的解满足方程x y ,求m的值。
9. x y m -2+1=0
6 - =4
, , 三种型号的电脑,每台售价分别为 元、 元、 元。学校计
10.A B C 6000 4000 2500
划投入 元经费用于购买其中两种型号的电脑,共计 台。你能设计出哪些
100500 36
不同的购买方案?
甲、乙两个数的平均数为 ,乙、丙两个数的平均数是 ,甲、丙两个数的平均
*
11. -1 5
数是 。甲、乙、丙三个数分别是多少?
2
探索创新
我国古代的 “洛书”(图 )记载了世界上最古老的数学游戏———幻方(图 )。根据
12. ① ②
图 中各数字的关系,总结幻方需要满足的条件,并利用本章所学的知识将图 的
② ③
幻方填写完整。
① ② ③
第 题
( 12 )
某班举办个人投篮比赛,有 人未进球,有 人各进 球,有 人各进 球,小亮
13. 1 2 1 7 2
和一些同学各进 球,有 人各进 球,没有人进 球以上。小莹和一些同学各进
4 2 5 5 3
球,已知进 球或 球以上的同学平均每人进 球,进 球或 球以下的同学平
3 3 3.5 4 4
均每人进 球。求进 球的人数和进 球的人数。
2.5 3 4
80第 10 章 整式的乘法与除法
内容提要
◆ 幂的运算
◆ 整式的乘法
◆ 乘法公式
◆ 整式的除法
……
整式的乘除
整式的加减
整式
代数式
数与式中国画，简称国画，是我国传统的绘画形式。创作时，
作画者用毛笔蘸水、墨、彩在纸或绢上绘画。为使国画更美观、
易保存，人们通常会把它们装裱起来，以供收藏和观赏。下
图是我国著名画家徐悲鸿的国画作品《群奔》装裱后的效果，
这种横长竖短的长方形裱画样式叫作“横披”。
《群奔》（徐悲鸿纪念馆藏）
如下图，这幅横披的画心宽为 a，长为 b，装裱后画心左
右各增加 c，上下各增加 d。怎样表示整幅横披的面积？有几
种表示方法？不同的表示方法之间有什么关系？
上学期我们学习了整式的加法与减法，本章将研究整式
的乘法与除法，它们都是利用代数运算解决实际问题的重要
基础。幂方便了 大数 的表示 为了解决 大数 的运算问题 我们从同底数
“ ” 。 “ ” ,
幂的乘法开始研究
。
某超级计算机持续运算速度约为 次
16
9.3×10 /s,
它工作 大约可进行多少次运算
4
10s ?
它工作 运算的次数
4
10s
约为 。
16 4
9.3×10 ×10
如何计算
16 4
(1) 10 ×10?
根据乘方的意义 得
,
16 4
10 ×10=(10×10×…×10)×(10×10×10×10)
􀮩􀪁􀪁􀪁􀪁􀮪􀪁􀪁􀪁􀪁􀮫
个
16 10
=10×10×…×10
􀮩􀪁􀪁􀪁􀪁􀮪􀪁􀪁􀪁􀪁􀮫
个
20 10
20
=10 。
计算下列各式 结果写成幂的形式
(2) , 。
4 3 a2 a6
3×3= ; · = ;
m n
1 1 m n为正整数
· = ( , )。
2 2
83当m n为正整数时 如何计算am an
(3) , , · ?
am an a a a a a a
· =(· ·…· )·(· ·…· )
􀮩􀪁􀪁􀪁􀮪􀪁􀪁􀪁􀮫 􀮩􀪁􀪁􀪁􀮪􀪁􀪁􀪁􀮫
m个a n个a
a a a
= · ·…·
􀮩􀪁􀪁􀪁􀮪􀪁􀪁􀪁􀮫
m n个a
(+ )
am
+
n
= 。
同底数幂相乘,底数不变,指数相加,即
am·an am
+
n (m,n为正整数
①
)。
=
根据这一运算性质 可以得出该超级计算机工作 的运算次数约为
4
, 10s
16 4
9.3×10 ×10
20
=9.3×10 。
计算
:
m m
2+
x3 x5 2 2
(1) · ; (2) · ;
3 3
b2 m +1 b2 m -1 a a2 a3
(3) · ; (4) · · 。
解: x3 x5 x3+5 x8
(1) · = = 。
m m m m m
2+ +2+ 2 +2
2 2 2 2
(2) · = = 。
3 3 3 3
b2 m +1 b2 m -1 b2 m +1+2 m -1 b4 m
(3) · = = 。
a a2 a3 a1+2 a3 a1+2+3 a6
(4) · · = · = = 。
怎样计算am an ap
· · ?
计算
1. :
a2 a5 n n +1
(1) · ; (2)2·2 ;
xm xm +1 a2 m a3 m -2 am +2
(3) · ; (4) · · 。
本章中 如果没有特别说明 指数中的字母均为正整数
① , , 。
84已知光在真空中的速度大约是 光年是光在真空中 年 按
8 7
2. 3×10m/s,1 1 ( 3.2×10s
计算 内所走过的距离 中国天眼 在 年探测到一个尺度大约为 万光年
) 。“ ” 2022 200
的原子气体结构 这个原子气体结构的尺度约为多少米
, ?
由乘方的意义 我们可以发现同底数幂相乘 底数不变 指数相加 积的
, , , 。
乘方有什么性质
?
太阳 地球都可以近似地看作球体 它们的半
、 ,
径之比约为 设地球的半径为r 求太阳的
109∶1。 ,
体积
。
地球的半径为r,所以
太阳的半径为 r。所以
球的体积公式
109
地球的体积为4 π r3 ,太阳 是V 4r3 ,其中
3 = π
3
的体积为4 ( r)
3
。 r是球的半径。
π 109
3
在上面的算式中 r3 表示两数积的乘方
,(109) 。
如何计算 r3 呢
(1) (109) ?
根据乘方的意义 乘法交换律和结合律 得
、 ,
r3 r r r
(109)=109·109·109
r r r
=(109×109×109)·(· · )
3r3
=109 。
计算下列各式
(2) :
b2 bc3
(3)= ; ( )= 。
85如何计算abm
(3) ( )?
abm ab ab ab
( )=( )·( )·…·( )
􀮩􀪁􀪁􀪁􀪁􀪁􀪁􀮪􀪁􀪁􀪁􀪁􀪁􀪁􀮫
m个ab
a a a b b b
=(· ·…· )·(· ·…· )
􀮩􀪁􀪁􀪁􀮪􀪁􀪁􀪁􀮫 􀮩􀪁􀪁􀪁􀮪􀪁􀪁􀪁􀮫
m个a m个b
ambm
= 。
积的乘方等于各因数乘方的积,即
(ab)m ambm (m为正整数)。
=
计算
:
4
x3 1a
(1)(3 ); (2) - ;
2
mn2 ab3
(3)(5 ); (4)(-2 )。
解: x3 3x3 x3
(1)(3 )=3 =27 。
4 4
1a 1 a4 1a4
(2) - = - · = 。
2 2 16
mn2 2 mn2 2 m2 n2 m2n2
(3)(5 )=5·( )=5· · =25 。
ab3 3 ab3 3 a3 b3 a3b3
(4)(-2 )= (-2)·( )=(-2)· · =-8 。
怎样计算abcm
( )?
计算
1. :
3
1m b3
(1) ; (2)(-4);
2
ab2 xy4
(3)(7 ); (4)-( )。
计算
2. :
21
2 2 20 1
(1)8×0.125; (2)4 × - 。
4
86由乘方的意义 我们可以发现积的乘方等于各因数乘方的积 当因数相等
, 。
时 积的乘方有什么性质
, ?
地球可以近似地看作球体 半径约为
3
, 6.37×10km,
它的体积约为多少 结果精确到
10 3
( 10 km)?
根据球的体积公式,地球的体积
约为4 (
3
)
3 3
。
×3.14×6.37×10 km
3
如何计算
3 3
(1) (6.37×10)?
根据积的乘方可知 其中 是幂的乘方
3 3 3 3 3 3 3
(6.37×10)=6.37×(10), (10)
运算 根据乘方的意义和同底数幂的乘法 得
。 ,
3 3 3 3 3 3+3+3 9
(10)=10×10×10=10 =10。
由此可以求出地球的体积约为
12 3
1.08×10 km。
计算下列各式 结果写成幂的形式
(2) , :
4 2 a3 3 am 4
(2)= ; ( )= ; ( )= 。
观察上面的算式以及运算结果 你能发现什么规律
(3) , ?
当m n为正整数时
, ,
am n am am am
( )= · ·…·
􀮩􀪁􀪁􀪁􀪁􀮪􀪁􀪁􀪁􀪁􀮫
n个am
n个m
am􀮣􀪁+􀪁m􀮤+􀪁…􀪁+􀮥m
=
amn
= 。
幂的乘方,底数不变,指数相乘,即
(am)n amn (m,n为正整数)。
=
87计算
:
a2 3 am 2 b4 2
(1)( ); (2)( ); (3)-( )。
解: a2 3 a2×3 a6
(1)( )= = 。
am 2 a2 m
(2)( )= 。
b4 2 b4×2 b8
(3)-( )=- =- 。
计算
:
x4 2 a2b3
(1)(-3 ); (2)(2 )。
解: x4 2 2 x4 2 x8
(1)(-3 )=(-3)·( )=9 。
a2b3 3 a2 3 b3 a6b3
(2)(2 )=2·( )· =8 。
计算
1. :
4 n ab2 3 3 2
(1)(3); (2)(-2 ); (3)(2.5×10)。
下列各式的计算结果是否正确 若不正确 应怎样改正
2. ? , ?
x3 2 x9 x3 3 x6 ab2 4 ab8
(1)( )= ; (2)( )= ; (3)( )= 。
我们学习了同底数幂的乘法的性质 同底数幂的除法有什么性质
, ?
木星有 颗卫星 其中木卫四的质量约为 火星有 颗卫星 其中
23
92 , 10 kg。 2 ,
火卫一的质量约为 木卫四的质量约为火卫一的质量的多少倍
16
10 kg。 ?
木卫四 火卫一
这是同底数幂的
? 除法,可以根据乘方
23 16
10 ÷10 =
的意义计算。
88根据乘方的意义 得
,
个
23 10
􀮣􀪁􀪁􀪁􀪁􀮤􀪁􀪁􀪁􀪁􀮥
23 16
10×10×…×10
10 ÷10 =
10×10×…×10
􀮩􀪁􀪁􀪁􀪁􀮪个􀪁􀪁􀪁􀪁􀮫
16 10
23-16 7
=10 =10。
所以木卫四的质量约为火卫一的质量的 倍
7
10 。
计算下列各式
(1) :
6 2
1 1 5 3
÷ = ; (-3)÷(-3)= ;
2 2
m n m n为正整数 且m n
(-3)÷(-3)= ( , , > )。
对于不为零的有理数a 如何计算am anm n为正整数 且m n
(2) , ÷ ( , , > )?
m个a
a􀮣􀪁􀪁a􀪁􀮤􀪁􀪁􀪁a􀮥
am an · ·…· a a a am - n
÷ =a a a= · ·…· = 。
· ·…·
􀮩􀪁􀪁
m
􀪁􀮪
n
􀪁个a 􀪁􀪁􀮫
􀮩􀪁􀪁􀪁
n
􀮪个a 􀪁􀪁􀪁􀮫 (- )
也可以由除法是乘法的逆运算得到运算结果 由同底数幂乘法的运算性质
。
可知am
-
n an am 所以am an am
-
n
· = , ÷ = 。
同底数幂相除,底数不变,指数相减,即
am
÷
an
=
am
-
n(a
≠0 ①
,m,n为正整数,且m
>
n)。
计算
:
8 6
x6 x3 3 3
(1) ÷ ; (2) ÷ ;
2 2
ab5 ab2 a2 m +3 a2
(3)(- )÷(- ); (4) ÷ 。
解: x6 x3 x6-3 x3
(1) ÷ = = 。
8 6 8-6 2
3 3 3 3 9
(2) ÷ = = = 。
2 2 2 2 4
本书中 如果除式中含有字母 约定除式不等于
① , , 0。
89ab5 ab2 ab5-2 ab3 a3b3
(3)(- )÷(- )=(- ) =(- )=- 。
a2 m +3 a2 a2 m +3-2 a2 m +1
(4) ÷ = = 。
计算
1. :
6 3
1 1 m5 m2
(1) ÷ ; (2)(- )÷(- );
2 2
am am -2 xy6 xy3
(3) ÷ ; (4)( )÷( )。
下列各式的计算结果是否正确 若不正确 应怎样改正
2. ? , ?
m6 m2 m3 a3 a a2
(1) ÷ = ; (2)(- )÷(- )=- ;
am +1 am -1 a2 a2 m am a2
(3) ÷ = ; (4) ÷ = 。
对于同底数幂的除法 当m n时 am an am
-
n 当m n或m n时
, > , ÷ = 。 < = ,
我们又该怎样表示am an的运算结果呢
÷ ?
计算 和 你能发现什么规律
2 2 2 4 3 6
10÷10,10÷10 10÷10, ?
由分数的意义和分数的性质 可进行约分得到
,
2
2 2 10
10÷10= 2=1;
10
2 2
2 4 10 10 1
10÷10= 4= 2 2= 2 ;
10 10×10 10
3 3
3 6 3 6 10 10 1
10÷10=10÷10= 6= 3 3= 3 。
10 10×10 10
这些式子都是同底数幂的除法运算 那么
,
2 2 2-2 0
10÷10=10 =10;
2 4 2-4 -2
10÷10=10 =10 ;
3 6 3-6 -3
10÷10=10 =10 。
于是有 0 -2 1 -3 1
:10=1;10 = 2 ;10 = 3 。
10 10
90任何不等于零的数的 次幂都等于 ,即
0 1
a0
=1
(a
≠0 ①
)。
不等于零的数的 p(p 是正整数)次幂等于这个数的 p 次幂的倒数,即
-
a- p 1(a ,p 是正整数)。
=ap ≠0
计算
:
0 -1 -2
(1)(-3); (2)4 ; (3)(-5) 。
解:
0
(1)(-3)=1。
-1 1
(2)4 = 。
4
-2 1 1
(3)(-5) = 2= 。
(-5) 25
计算
:
0 -4
(1)6; (2)10 ;
-4
-3 1
(3)(-3) ; (4) 。
3
引入零指数和负整数指数后 指数的范围从正整数扩充至整数 正整数指
, ,
数幂的运算性质能否推广到整数指数幂
?
如何计算 和
5 -2 0 -2
(1) 2×2 2÷2 ?
本书中 出现零指数幂或负整数指数幂时 约定底数均不为零
① , , 。
91我发现,可以用整数指数幂的意义计算。
5 -2 5 1 2 5 3 ;
2×2 =2× 2= 2=2=8
2 2
0 -2 1 。
2÷2 =1÷ 2=4
2
我用同底数幂的乘法与除法的性质计算。
( ) ;
5 -2 5+-2 3
2×2 =2 =2=8
( ) 。
0 -2 0--2 2
2÷2 =2 =2=4
由此可见 同底数幂的乘法和除法的运算性质对整数指数幂仍适用
, 。
幂的乘方和积的乘方的运算性质在整数范围内是否适用
(2) ?
引入零指数和负整数指数后,原有的幂的运算性质中指数的范围可以推
广到整数,即
am·an am
+
n(m,n为整数);
=
am an am
-
n(m,n为整数);
÷ =
(am)n amn(m,n为整数);
=
(ab)m ambm(m为整数)。
=
计算
:
4 -2
1 1 -1 -3 -3 2
(1) × ; (2)5 ÷5 ; (3)(3×10 )。
2 2
解:
1
4
1
-2
1
4+(-2)
1
2
1
(1) × = = = 。
2 2 2 2 4
-1 -3 -1-(-3) 2
(2)5 ÷5 =5 =5=25。
-3 2 2 -3 2 -6
(3)(3×10 )=3×(10 )=9×10 。
92计算
:
x5 x-2 a2b a2b-2
(1) ÷ ; (2)(- )÷(- ) 。
解: x5 x-2 x5-(-2) x7
(1) ÷ = = 。
a2b a2b-2 a2b1-(-2) a2b3 a2 3b3 a6b3
(2)(- )÷(- ) =(- ) =(- )=-( ) =- 。
计算
1. :
-2 -3 3 -2 8
(1)2 ×2 ; (2)3×3 ÷3;
x2 x3 x8 a-5 -2 a-6
(3) · ÷ ; (4)( ) ÷ 。
计算 a 3a -1 a -2
2. :(+1)(+1) ÷(+1) 。
我们曾用科学记数法表示绝对值较大的数 那么能否用科学记数法表示绝
,
对值较小的数呢
?
下面的数是否可以用科学记数法表示
(1) ?
某原子的半径约为一百亿分之一米
;
世界上最轻的昆虫的质量约为
0.000005g;
红细胞的平均直径约为
0.0000072m。
1
=1×10
-10
;
10000000000
0.000005=
5
=5×10
-6
;
1000000
0.0000072=
7.2
=7.2×10
-6
。
1000000
用 的负整数指数幂表示 这样的小数有什么规律
(2) 10 0.000…01 ?
n
-
0.000…01=10 。
􀮩􀪁􀪁
n
􀮪个􀪁􀪁􀮫
0
93绝对值小于 的非零数可以记作a - n 的形式,其中 a ,
1 ×10 1≤||<10
n是正整数。
微米 是一种长度计量单位 的长度是 的千分之一
( μm) ,1μm 1mm 。
纳米 是更小的长度计量单位 为 的千分之一 已知某种球菌的
(nm) ,1nm 1μm 。
直径约为 某种病毒的直径约为 用科学记数法表示它们的直径
0.5μm, 22nm, ,
分别约为多少米
?
解:因为
-6 -9
1μm=10 m,1nm=10 m,
-6 -7
0.5×10 =5×10 (m),
-9 -8
22×10 =2.2×10 (m),
所以 这种球菌的直径约为 这种病毒的直径约为
-7 -8
, 5×10 m, 2.2×10 m。
用科学记数法表示下列各数
1. :
(1)0.00004; (2)-0.034;
(3)0.00000045; (4)0.003009。
用小数表示下列各数
2. :
-5 -7
(1)2.1×10 ; (2)-5×10 。
复习巩固
计算:
1.
() 3 2 3 3; () m· 2 m -1 ;
1 × 2 3 3
2 2
() (a)
3
·(a)
4
; ()tm
+2
·tm
+1
。
3 - - 4
计算:
2.
()x8 ·x8 ·x8 ; ()an
+1
·an·a;
1 2
()(t2 )
4
; ()(a4 )
3
。
3 4 -
计算:
3.
()( x)
4
; ()(xyz)
2
。
1 -2 2 3
94计算:
4.
()(xy) 3 ·x2 ; ()(ab2 )m; ()( x2 ) 3 [(x) 2 ] 3 。
1 2 7 3 -3 - 2
一个正方体的棱长为 ,它的体积是多少?
3
5. 2×10cm
计算:
6.
() 6 3 ; ()( ) 7 ( ) 4 ; () 1 7 1 3;
1 0.1÷0.1 2 -3 ÷ -3 3 ÷ -
2 2
()(a b)
5
(a b)
2
; ()(xy)
5
(xy)
3
; ()(m2 )
5
(m3 )
2
。
4 - ÷ - 5 ÷ 6 ÷
计算:
7.
() 0 -2 ; () 2 1 -3。
1 5+4 2 3+
3
计算:
8.
() -2 3 ; ()( -5 ) 2 ; ()a3 a-5 ;
1 3 ×3 2 2 3 ÷
()(x-1y-2 ) -1 ; ()b-3 ·b8 b2 ; ()m3 ·m5 (m-2 ·m9 )。
4 5 ÷ 6 ÷
碳纤维的直径为 ,一个碳纤维机器人的质量为 。用科学
9. 0.000005m 0.000106kg
记数法表示 和 。
0.000005 0.000106
水由水分子构成, 水中约有 个水分子,请估算 水中有多少个
22
10. 1g 3.34×10 1kg
水分子(结果用科学记数法表示)。
将下列各数写成小数的形式:
11.
() ; () 。
-5 -6
1 3.67×10 2 -2.8×10
计算:
12.
n
()( ) 30 ( ) 30 ; ()n 1x 。
1 -2 × 0.5 2 2×
2
拓展延伸
已知 x ,y ,求 xy的值。
+
13. 2=3 2=5 2
已知xn ,求(xn)
2
(x3 )n的值。
14. =2 3 -4
一张数码照片的文件大小是 ,存储量为 ( )的 盘能存
11 20
15. 2 KB 32GB1GB=2 KB U
储多少张这样的数码照片?
我们都知道水滴石穿的道理,若水滴不断滴在一块石头的同一位置上,经过
16. 40
年,石头上形成了一个深为 的小坑,请问小坑的深度平均每月增加
-2
4.8×10 m
多少米(结果用科学记数法表示)?
95探索创新
将x9 写成xm·xn的形式。如果m,n均为正整数,可以写出多少种?
17.
规定:a b a b,如 2 3 5 。
18. ☆ =10×10 2☆3=10×10=10
()求 和 的值;
1 12☆3 4☆8
()(a b)c与a (b c)相等吗? 说明理由。
2 + ☆ ☆ +
计算器里的科学记数法
形如a
-
n的数,可以在计算器上表示。
×10
例如,在计算器上输入 … ,再按 键,可将原数直接化为科学
0.00 03
􀮩􀪁􀪁􀮪个􀪁􀪁􀮫
23 0
记数法的形式: 。
-23
3×10
另外, 可以按照下列按键顺序输入:
-23
3×10
计算器屏幕上显示的结果如图 - 。
10.11①
也可以这样操作:
这时计算器屏幕显示的结果如图 - 。
10.11②
① ②
图 -
10.11
96前面我们已经学习了整式的加法与减法 在此基础上 本节我们从单项式
。 ,
乘单项式开始研究整式的乘法
。
会议室的屏幕由 块相同的液晶屏拼接而成 每块的长为a 宽为
6 , cm,
b 如何表示屏幕的总面积
cm。 ?
每块液晶屏面积为
屏幕的总面
ab 2 ,一共有 块,
积可以表示为 cm 6
所以屏幕的总面积可以
a·b
2
。
3 2 cm 表示为 ab 2 。
6 cm
由此得到 a b ab 等式 a b ab的左边表示单项式 a与单项式
3 ·2=6 。 3 ·2=6 3
b相乘
2 。
对于任意的a b 怎样计算 a b这两个单项式的乘积
(1) , , 3 ,2 ?
a b
3 ·2
a b
=3×2· ·
a b
=(3×2)·(· )
ab
=6 。
97计算下列各式
(2) :
x2 xy3 ac bc2
2 ·3 = ; - ·4 = 。
单项式乘单项式的基本思路是什么
(3) ?
单项式乘单项式就是根据单项式的意
义,以乘法的交换律、结合律和同底数幂的
乘法的运算性质为依据的乘法运算。
单项式与单项式相乘,把它们的系数、相同字母的幂分别相乘,其余字
母连同它的指数不变,作为积的因式。
计算
:
a3 a4 ax2 a2b
(1)4 ·7 ; (2)7 ·(-2 )。
解: a3 a4 a3 a4 a7
(1)4 ·7 =(4×7)·( · )=28 。
ax2 a2b a a2 b x2 a3bx2
(2)7 ·(-2 )=[7×(-2)]·(· )· · =-14 。
计算
:
x2y3 xy2 ab2 a2b3
(1)(-2 )·(2 ); (2)( )·(- )。
解: x2y3 xy2 x2y3 x2y2 x4y5
(1)(-2 )·(2 )=-2 ·4 =-8 。
ab2 a2b3 a2b2 a6b3 a8b5
(2)( )·(- )=( )·(- )=- 。
计算
1. :
xy y a2b3 a3b4
(1)5 ·4 ; (2) ·(-2 );
mn5 m3 xy xy2 x2z
(3)(- )· ; (4)(-5 )·6 ·(- )。
计算
2. :
x2 x2 a2 ab3
(1)(-5 )·4 ; (2)(-3 )·(- );
x2y3 xy2z ab a2b2 ac
(3)(2 )·(-3 ); (4)- ·(2 )·2 。
98前面我们学习了单项式与单项式相乘 那么如何计算单项式乘多项式呢
, ?
用于装裱画的长方形卷轴如图 - 怎样表示整幅卷轴的面积
10.21, ?
图 -
10.21
卷轴面积可以表示为a(b c),也可表示为
+2
ab ac。
+2
因为它们表示的是同一幅卷轴的面积,所以
这两个式子相等,即a(b c)ab ac。
+2 = +2
等式ab c ab ac的左边表示单项式a与多项式b c相乘
(+2)= +2 +2 。
如何计算ab c
(1) (+2)?
a b a c ab ac
= · + ·2= +2 。
计算 a a xx y
(2) : (2 -1)= ; 2 (+2 )= 。
单项式乘多项式的基本思路是什么
(3) ?
单项式与多项式相乘可以按照乘法对
加法的分配律转化成单项式与单项式相乘。
99单项式与多项式相乘,先将单项式分别乘多项式的各项,再把所得的积
相加。
计算
:
xy x2 xy a2x ax2 ax
(1)2 ·( + ); (2)(3 -2 )·(-2 )。
解: xy x2 xy
(1) 2 ·( + )
xy x2 xy xy
=2 · +2 ·
x3y x2y2
=2 +2 。
a2x ax2 ax
(2) (3 -2 )·(-2 )
a2x ax ax2 ax
=3 ·(-2 )+(-2 )·(-2 )
a3x2 a2x3
=-6 +4 。
计算
1. :
x x2 x a2b 3ab 1abc
(1)3 ·( + +2); (2)3 - · - ;
4 3
1xy2 xy yz an an an +1 a
(3) - ·(-3 +9 -1); (4) · (2 -3 + )。
3
先化简 再求值
2. , :
a a2 a a2 a 其中a
3 (2 -4 +3)-2 (3 +4), =-2。
如图 某小区准备在一个长为 a b 宽为 a b 的长方形草坪上修建
3. , (4 +2)m, (3 +2)m
两条宽为b 的小路 求小路的总面积
m , 。
第 题
( 3 )
100计算单项式乘多项式是通过转化为单项式乘单项式来解决的 那么如何计
,
算多项式乘多项式呢
?
如图 - 如何用字母a b c d表示章引言中整幅 横披 的面积
10.22, , , , “ ” ?
图 -
10.22
我列出的算式是(a d)(b c)。
+2 +2
还可以有很多种列法,如b·(a d) c·(a d)
+2 +2 +2
或ab bd ac cd。
+2 +2 +4
由此得到 a db c b a d c a d ab bd ac cd
,(+2 )(+2)= ·(+2 )+2·(+2 )= +2 +2 +4 。
等式a db c ab bd ac cd的左边表示多项式a d与多项式b c
(+2 )(+2)= +2 +2 +4 +2 +2
相乘
。
如何计算a d b c
(+2 )(+2)?
a d b a d c
=(+2 )· +(+2 )·2
ab bd ac cd
= +2 +2 +4 。
101多项式的乘法可以先转化成单项式乘多项式 再转化为单项式乘单项式
, 。
多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的
每一项,再把所得的积相加。
计算
:
x x x y x y
(1)(+2)(-5); (2)(3 - )(+2 );
a b a2 ab b2
(3)(+ )( - + )。
解: x x
(1) (+2)(-5)
x x x x
= · + ·(-5)+2· +2×(-5)
x2 x x
= -5 +2 -10
x2 x
= -3 -10。
x y x y
(2) (3 - )(+2 )
x x x y y x y y
=3 · +3 ·2 +(- )· +(- )·2
x2 xy xy y2
=3 +6 - -2
x2 xy y2
=3 +5 -2 。
a b a2 ab b2
(3) (+ )( - + )
a a2 a ab a b2 b a2 b ab b b2
= · + ·(- )+ · + · + ·(- )+ ·
a3 a2b ab2 a2b ab2 b3
= - + + - +
a3 b3
= + 。
计算
1. :
a a y y
(1)(-4)(-5); (2)(-3)(2 +1);
m n m n x x2 x 1
(3)(2 +3 )(3 - ); (4)(-2) +2 + 。
2
一块长方形装裱用纸的长和宽分别为a b a b 如果将长和宽各
2. cm, cm(>2, >2)。
裁去 请问剩余部分的面积是多少
2cm, ?
102复习巩固
计算:
1.
()x2 ·x; ()xy2 · 5x3yz ;
1 3 4 2 3 -
9
() 1ax2 · 2bx3 ·( a); ()(x2y) 2 ·(xy3 );
3 - - -10 4 4 -
4 5
() m2n· 3n 3; () 1mn2 2·(mn) 3 。
5 16 - 6 - 3
2 6
计算:
2.
()xy(x2y xy); () x(x2 x );
1 3 - 2 -2 -2 +1
()(x y)( x); ()(a2 a ) 1b ;
3 5 - -3 4 3 - -1 -
3
()a2 a( a); ()t(t ) (t2 )。
5 3 +2 5+2 6 +4-3- -1
计算:
3.
()(x )(x ); ()(x )(x );
1 -3 +4 2 2 +1 +2
()x 1 x 1 ; ()(x )(x );
3 + + 4 7 -2 - -1
2 3
()(x a)(x a); ()(x y)(x2 xy y2 )。
5 -2 2 + 6 - + +
先化简,再求值:
4.
(x )(x )x(x ),其中x 。
+2 -3- +1 =-2
多项式x2 x 与mx 的乘积化简后x2 项的系数是 ,求m的值。
5. -2 -3 +2 4
拓展延伸
用若干个图 中三种规格的图形拼成图 ,根据图 直接写出(a b)(a b)的
6. ① ② ② 2 + +
结果,并用学过的知识说明其正确性。
① ②
第 题
( 6 )
103某住房的平面结构如图(单位: )。如果卧室与客厅的地
7. m
面铺木地板,卫生间与厨房的地面铺瓷砖,那么所铺木地
板与瓷砖的面积各是多少?
探索创新
观察: ,
8. 2×8=16
,
12×18=216
第 题
, ( 7 )
22×28=616
,
32×38=1216
…
()用代数式表示其中的规律,并计算 ;
1 122×128
()找出类似的规律,并举例说明。
2
在某月历中,设定如下计算规则:用一个 的方框任意框出 个数,将它们交
9. 2×2 4
叉相乘,再用较大的积减去较小的积。
第 题
( 9 )
()如图,当方框在图中位置时,按规则计算,结果为 ;
1
()改变方框的位置,猜想规律,并用整式的运算进行说明。
2
104对于特殊形式的整式乘法 用乘法公式运算更加简便
, 。
某中学计划对一个边长为x 的正方形花坛进
m
行改造 图 - 如果改造成长为x 宽
( 10.31)。 (+2)m、
为x 的长方形花坛 改造前后花坛的面积
(-2)m ,
相等吗
?
改造后的面积为
x x x2 x x 2 x2 图 -
(+2)(-2)= -2 +2 -2= -4。 10.31
可见 改造前后花坛的面积不相等 x x 表示x与 的和乘x与
, 。(+2)(-2) 2
的差 这是一种特殊形式的整式乘法
2 , 。
计算下列算式
(1) :
m m
( +3)( -3)= ;
x x
(2 +1)(2 -1)= 。
观察上面的算式及其运算结果 你有什么发现
(2) , ?
上面的运算都是形
运算结果
如a b的多项式与形
是两个数的平
+
如a b的多项式相乘。
方差。
-
105若a b是有理数 利用多项式的乘法计算
, , :
a b a b
(+ )(- )
a2 ab ab b2
= + - -
a2 b2
= - 。
由上述计算发现 两个数的和与这两个数的差的积 可以直接写成这两个
, ,
数平方的差 由此得到简化这类运算的公式
。 。
平方差公式 两个数的和与这两个数的差的乘积等于这两个数的平方差,
即
(a b)(a b)a2 b2 。
+ - = -
当a b均表示正数且a b时 图 - 中的面积关系可以解释平方差公式
, > , 10.32 。
图 -
10.32
利用平方差公式计算
:
x x m n m n
(1)(2 +5)(2 -5); (2)(7 -2 )(7 +2 );
x 1 x 1
(3)3 - -3 - 。
4 4
解: x x
(1) (2 +5)(2 -5)
x2 2
=(2 )-5
x2
=4 -25。
m n m n 平方差公式中
(2) (7 -2 )(7 +2 )
m2 n2
的a,b可以是数,
=(7 )-(2 )
也可以是代数式。
m2 n2
=49 -4 。
106x 1 x 1
(3) 3 - -3 -
4 4
1 x 1 x
= - +3 - -3
4 4
2
1 x2
= - -(3 )
4
1 x2
= -9 。
16
利用平方差公式计算
103×97。
解:
103×97
=(100+3)×(100-3)
2 2
=100-3
=9991。
利用平方差公式计算
1. :
x x x x
(1)(+6)(-6); (2)(-1+ )(-1- );
x x
a b b a 2 2
(3)(-2)(2+ ); (4) -4 -4- 。
3 3
利用平方差公式计算
2. 202×198。
类比平方差公式的学习过程 下面我们将研究另一种特殊形式的整式乘法
, 。
如图 - 某中学计划将一个边长为x 的正方形
10.33, m
花坛每条边的长度都增加 新花坛的面积是多少 如
2m, ?
果都减少 呢
1m ?
由于新花坛依然呈正方形 因此改造后的花坛面积分
,
别为x
2 2
和x
2 2
运用多项式的乘法计算得
(+2)m (-1)m, :
图 -
10.33
107x 2 x 2
(+2) (-1)
x x x x
=(+2)(+2) =(-1)(-1)
x x x x x x x x
= · + ·2+2· +2×2 = · - ·1-1· -1×(-1)
x2 x x x2 x x
= +2 +2 +4 = - - +1
x2 x x2 x
= +4 +4; = -2 +1。
x 2 和x 2 分别表示两个相同多项式的积 这也是一种特殊形式的
(+2) (-1) ,
整式乘法
。
计算下列算式
(1) :
x 2
(+5)= ;
y 2
(2 -1)= 。
观察上面的算式及其运算结果 你有什么发现
(2) , ?
上面的运算表示的是两数和 差 的平方
( ) 。
若a b是有理数 利用多项式的乘法计算
, , :
a b2 a b2
(+ ) (- )
a b a b a b a b
=(+ )(+ ) =(- )(- )
a2 ab ba b2 a2 ab ba b2
= + + + = - - +
a2 ab b2 a2 ab b2
= +2 + ; = -2 + 。
由上述计算发现 可以直接写出两个数的和或差的平方的运算结果 由此
, 。
得到简化这类运算的公式
。
完全平方公式 两个数的和(差)的平方,等于这两个数的平方和加上(减
去)它们乘积的 倍,即
2
(a b) 2 a2 ab b2 ,
+ = +2 +
(a b) 2 a2 ab b2 。
- = -2 +
108当a b均表示正数时 图 - 中的面积关系
(3) , , 10.34
可以解释公式a b2 a2 ab b2
(+ )= +2 + 。
怎样设计图形解释公式a b2 a2 ab b2
(- )= -2 + ?
利用完全平方公式计算
:
x 2 m n2
(1)(+3); (2)(2 -3 );
图 -
2 10.34
1x 2y
(3) - - 。
2 3
解: x 2
(1) (+3)
x2 x 2
= +2· ·3+3
x2 x
= +6 +9。
m n2
(2) (2 -3 )
m2 m n n2
=(2 )-2×2 ·3 +(3 )
m2 mn n2
=4 -12 +9 。
2
1x 2y
(3) - -
2 3
2
1x 2y
= +
2 3
2 2
1x 1x 2y 2y
= +2× · +
2 2 3 3
1x2 2xy 4y2
= + + 。
4 3 9
利用完全平方公式计算
2
101。
解:
2
101
2
=(100+1)
2 2
=100+2×100×1+1
=10000+200+1
=10201。
利用完全平方公式计算
1. :
x 2 x 2
(1)(+6); (2)(2 -1);
2
a b2 3x 2y
(3)(3 -2); (4) - - 。
4 3
109利用完全平方公式计算
2. :
2 2
(1)100.1; (2)98。
利用乘法公式计算
:
x x x x
(1)(-4)(+4)-(-8)(+2);
x2 x x
(2)4(3- )+(1-2 )(2 +1)。
解: x x x x
(1) (-4)(+4)-(-8)(+2)
x2 x2 x
= -16-( -6 -16)
x2 x2 x
= -16- +6 +16
x
=6 。
x2 x x
(2) 4(3- )+(1-2 )(2 +1)
x x2 x2
=4(9-6 + )+1-4
x x2 x2
=36-24 +4 +1-4
x
=-24 +37。
利用乘法公式计算
:
a b 2 x y x y
(1)(+ -1); (2)(2 + -5)(2 + +5)。
解: a b 2
(1) (+ -1)
a b 2
=[(+ )-1]
a b2 a b 2
=(+ )-2(+ )+1
a2 ab b2 a b
= +2 + -2 -2+1。
x y x y
(2) (2 + -5)(2 + +5)
x y x y
=[(2 + )-5][(2 + )+5]
x y2 2
=(2 + )-5
x2 xy y2
=4 +4 + -25。
利用乘法公式计算
:
xx x 1 x 1 x 2 x x
(1) (-1)- - + ; (2)(+5)-(-2)(-3);
3 3
x y x y a b c2
(3)(+2 +1)(+2 -1); (4)(- + )。
110复习巩固
利用平方差公式计算:
1.
()(xy )(xy ); ()(m n)(m n);
1 2 +8 2 -8 2 9 - 9 +
()( a )( a); () a 1b a 1b 。
3 -2 +5 5+2 4 3 + 3 -
4 4
利用完全平方公式计算:
2.
()(m ) 2 ; ()( a b) 2 ;
1 2 +3 2 -3 +2
()( p q) 2 ; () 3x 1y 2。
3 -2 -7 4 -
2 3
先化简,再求值:(x y)
2
(x y)(x y),其中x 1,y 1。
3. +2 + +2 -2 = =-
2 3
利用乘法公式计算:
4.
() ; () 。
2
1 100.2×99.8 2 63
计算:
5.
()(x y)
2
(x y)(x y); () ( y)
2
(y )
2
;
1 2 - -4 - +2 2 32- -4 +5
()(m n )(m n ); ()(x y z) 2 。
3 -2 -1 -2 +1 4 2 -3 -
拓展延伸
如图,某公园要在一块直径为(a b) 的圆形空地上,建两
6. + m
个直径分别为a 与b 的圆形花坛,其余部分铺设草坪。
m m
求草坪的面积。
已知a2 b2 ,ab ,求(a b) 2 和(a b) 2 的值。
7. + =5 =2 + -
探索创新
第 题
观察下列等式: ( 6 )
8.
,
2 2
3=2+2+3
,
2 2
4=3+3+4
,
2 2
5=4+4+5
,
2 2
6=5+5+6
…
()写出第 个等式;
1 5
()n为正整数,用含有n的等式表示其中的规律。
2
111奇妙的 “贾宪三角”
“贾宪三角”是一个神奇的 “三角形”,由
我国北宋数学家贾宪(生卒年不详)首先创造
(图 -)。这个三角形有什么奇妙之处呢?
10.35
()三角形第 行有 个数,第 行有
1 1 1 2
个数……第n行有n个数。
2
()从第一行开始,每行中的数字之和依
2
次为:
图 -
, , , , ,… 10.35
0 1 2 3 4
2 2 2 2 2
第n行中的数字之和是 n
-1
。
2
()每行中的数字呈左右对称,由 开始由小变大,然后由大变小,最
3 1
后回到 。
1
()三角形两腰上的数字都是 “”。除 之外,其余每个数字都是它
4 1 1
“双肩”上的两个数字之和,如 , , 。
2=1+1 10=4+6 35=15+20
不仅如此,这个三角形第n 行中的数竟与(a b)n (n是正整数)展
+1 +
开式各项的系数完全吻合。例如,当n为 , 时,
2 3
(a b) 2 a2 ab b2 ,
+ = +2 +
(a b) 3 a3 a2b ab2 b3 。
+ = +3 +3 +
展开式中各项的系数 , , ; , , , 恰为三角形中第 行和第
1 2 1 1 3 3 1 3 4
行的数。类似地,
(a b) 4 a4 a3b a2b2 ab3 b4 ,
+ = +4 +6 +4 +
(a b) 5 a5 a4b a3b2 a2b3 ab4 b5 。
+ = +5 +10 +10 +5 +
通过观察上述四式,我们还可以猜测(a b)n的展开式有以下特点:展
+
开式的项数为n ,每一项的次数都是n,各项中a的指数由n逐项减少到
+1
,b的指数由 逐项增加到n。
0 0
(a b)n展开式中项数、各项系数和次数的规律,将在高中学习二项式
+
定理时,予以证实。
按照上面所说的规律,写出(a b)
7
的展开式。
+
112前面我们学习了同底数幂的除法 在此基础上 我们将研究一些特殊的整
。 ,
式除法
。
(1)
如何计算
12
x3y
÷4
x
?①
计算 x3y x,可能与单项式乘法类似,我想应
12 ÷4
该这样计算: x3y x ( )(x3 x)y x2y。
12 ÷4 =12÷4 ÷ =3
我认为小亮的答案是对的。因为除法是乘法的逆运
算,计算 x3y x就是找到一个单项式,使它与 x
12 ÷4 4
的积等于 x3y。我验证了,x2y·x确实等于 x3y。
12 3 4 12
举两个单项式相除的例子 检验小亮的上述计算方法是否正确
(2) , 。
单项式相除,把系数、同底数幂分别相除后,作为商的因式;对于只在
被除式里含有的字母,则连同它的指数一起作为商的一个因式。
x3y x就是 x3y x的意思
①12 ÷4 (12 )÷(4 ) 。
113计算
:
x5y13 xy8 ab2 3 ab
(1)9 ÷3 ; (2)(-2 )÷4 。
解: x5y13 xy8
(1) 9 ÷3
x5-1 y13-8
=(9÷3)· ·
x4y5
=3 。
ab2 3 ab
(2) (-2 )÷4
a3b6 ab
=-8 ÷4
a3-1b6-1
=(-8÷4)
a2b5
=-2 。
计算
:
x6 x2 x2y3 xy2
(1)8 ÷2 ; (2)2 ÷(- );
a5b3c a4b x4y3 x2y2
(3)-5 ÷15 ; (4)-21 ÷(-3 )。
我们已经学习了两个单项式相除的计算方法 那么该如何计算多项式除以
,
单项式呢
?
如何计算 x2y x x
(1) (3 +2 )÷ ?
因为(xy )·x x2y x,
3 +2 =3 +2
所以(x2y x)x xy 。
3 +2 ÷ =3 +2
我发现,x2y x x x xy ,
3 ÷ +2 ÷ =3 +2
所以(x2y x)x x2y x x x。
3 +2 ÷ =3 ÷ +2 ÷
根据小博士的上述说法 计算下列各式
(2) , :
ac bc c ab2 ab ab
( + )÷ = ; ( -2 )÷ = 。
像这样 多项式除以单项式的问题可以转化为单项式除以单项式的问题
, 。
114计算
:
y3 y2 y y a3b3 a2b3 ab2
(1)(3 +12 +6 )÷3 ; (2)(6 -4 )÷(-2 )。
解:
y3 y2 y y
(1) (3 +12 +6 )÷3
y3 y y2 y y y
=3 ÷3 +12 ÷3 +6 ÷3
y2 y
= +4 +2。
a3b3 a2b3 ab2
(2) (6 -4 )÷(-2 )
a3b3 ab2 a2b3 ab2
=6 ÷(-2 )+(-4 )÷(-2 )
a2b ab
=-3 +2 。
计算
:
ab b b a3 a2 a a
(1)(6 +8)÷2; (2)(27 -15 +6 )÷3 ;
x2y xy2 xy x2y xy2 1xy 1xy
(3)(9 -6 )÷3 ; (4)3 - + ÷ - 。
2 2
复习巩固
计算:
1.
()x2 ( x); ()(x2y)
2
( x4y)。
1 6 ÷ -2 2 3 ÷ -9
计算:
2.
()(a3b2 ab2 ) ab2 ;
1 14 -21 ÷7
()(x6 x4 x3 ) ( x2 );
2 36 -24 +12 ÷ -12
()(a3 a2 a) a。
3 28 -14 +7 ÷7
先化简,再求值:
3.
[(m n)
2
(m n)
2
m(m n)] m,其中m ,n 。
3 - -2 + +5 - ÷5 =2 =-2
拓展延伸
小亮爬山时,第一阶段的平均速度为 v,所用时间为t;第二阶段的平均速度为
4. 2
v,所用时间为1t。求小亮两个阶段爬山的平均速度。
2
长方形的面积为 a2 ab a,若它的一边长为 a,求它的周长。
5. 4 -8 +4 4
115在本章中我们学习了幂的哪些运算性质? 分别举例说明。
1.
引入零指数幂和负整数指数幂的意义是什么? 为什么规定底数不等于零?
2.
整式的乘法分为哪几类? 每类的运算法则是什么? 它们之间有什么关系?
3.
本章我们学习了哪些乘法公式? 它们的结构特点是什么? 在推导这些公
4.
式时用到了哪些数学思想方法?
本章我们学习了哪些特殊类型的整式除法? 举例说明它们的计算方法。
5.
用科学记数法既可以表示较大的数,也可以表示较小的数,如何用科学
6.
记数法表示较大的数或较小的数?
目前,我们学习了哪些整式的运算? 在不同运算中用到了哪些基本原理
7.
或运算性质?
116复习巩固
计算:
1.
()x6 ·x2 ; ()x6 x2 ;
1 2 ÷
()(x3 )
2
; ()(x2y2 )
3
;
3 4 3
() 1x 5 1x 3; ()( ) -2 3 · 0 。
5 - ÷ - 6 10 ÷10 10
2 2
计算:
2.
() m 1 ( mn); ()2mn2 mn 3m2n ;
1 7 - -4 2 5 -
4 5 2
()(x )(x ); ()(y )(y );
3 +1 -5 4 -2 3 +4
()(x y)(x y); ()(a b) 1a 1b 。
5 2 + 3 -2 6 2 +3 - -
2 3
计算:
3.
()(a b)(a b); ()( y x)( y x);
1 3 +7 3 -7 2 -2 +5 -2 -5
()a 2b 2; ()( m n) 2 ;
3 + 4 -3 +4
3
()(m n ) 2 ; ()(a b )(a b )。
5 3 -2 -1 6 -3-3 -3+3
计算:
4.
()( x2y) 5 xy3 ; ()(a b) 4 (a b) 2 ;
1 -2 ÷4 2 +2 ÷ +2
()(xy xy2 ) xy; ()( a3 a2b ab2 ) ( a)。
3 6 -3 ÷3 4 -2 +3 +2 ÷ -2
先化简,再求值:
5.
()( b)
2
(a b)(a b) ,其中a ,b 3;
1 4-3 + +3 -3 -6 =-2 =
4
()(x )(x )x(x ),其中 x2 x 。
2 +2 3 -1+ 5 -1 2 + =1
利用乘法公式计算:
6.
() ; () 。
2
1 209 2 502×498
已知(a b)
2
,(a b)
2
,求下列各式的值:
7. + =7 - =3
()ab; ()a2 b 2 。
1 2 +
溶度积是指难溶电解质的沉淀溶解平衡常数,常温( )下 (碳酸钙,方解
8. 25℃ CaCO3
石)的溶度积约为 ,用科学记数法表示 。
0.0000000034 0.0000000034
117若 万粒芝麻的质量约为 ,则一粒芝麻的质量是多少千克(用科学记数法表示)?
9. 2 80g
拓展延伸
小亮在做 “化简(x k)(x ) x(x ) x ,并求x 时的值”一题时,
10. 2 + 3 +2-6 +3+5 +16 =2
错将x 看成了x ,但结果却和正确答案一样。试推算k的值。
=2 =-2
已知多项式x 与另一个多项式A的乘积为多项式B。
11. +2
()若A为关于x的一次多项式x a,B中关于x的一次项系数为 ,求a的值;
1 + 0
()若B为x3 px2 qx ,求 p q 的值。
2 + + +2 2 -
探索创新
下表记录了an的计算结果,其中蕴含了怎样的运算规律? 请用幂的运算解释你发现
12.
的规律。
n
a
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
1 1 1 1 1
81 27 9 3 1
3 3 9 27 81
1 1 1 1 1
16 8 4 2 1
2 2 4 8 16
1 1 1 1
2 1 2 4 8 16
16 8 4 2
1 1 1 1
3 1 3 9 27 81
81 27 9 3
用两种不同的方法表示同一平面图形的面积,可以得到一个等式。类似地,用两种
13.
不同的方法表示同一几何体的体积,也可以得到一个等式。
① ②
第 题
( 13 )
()观察图 ,写出一个等式表示(a b)
2
,(a b)
2
,ab之间的数量关系;
1 ① + -
()根据图 ,写出一个等式;
2 ②
()试画出一个几何图形,解释等式(a b)(a b) a2 ab b2 。
3 2 + +2 =2 +5 +2
118第 11 章 因式分解
内容提要
◆ 因式分解
◆ 提公因式法
◆ 公式法
……
因式分解
整式的乘法
整式
代数式
数与式某林场中的森林、草地和湿地每天都能吸收一定量的二
氧化碳。如果它们平均每天吸收二氧化碳的量分别为a，b，c
（单位：t），经过m天后，这个林场吸收的二氧化碳总量有多
少吨？有几种表示方法？这些方法之间有什么关系？
显然，这个林场每天吸收的二氧化碳总量既可以表示为
ma+mb+mc，又可以表示为 m（a+b+c）。这两种表示方法得到
的结果是一样的，即 ma+mb+mc=m（a+b+c），这个等式从左
往右的变形是将多项式ma+mb+mc化成m与a+b+c的乘积形式。
这种将多项式化成整式的乘积形式的变形是本章要学习
的内容。让我们进一步认识整式，为代数式运算及解方程奠
定基础。整式的乘法运算是将整式的乘积化成一个多项式 有时我们需要反过来
。 ,
将一个多项式化成整式的乘积形式
。
能被 整除吗
2
“48+2×48” 50 ?
2
48+2×48
( )
=48×48+2
=48×50
所以 能被 整除。
2
48+2×48 50
解决这个问题的关键是把算式化成几个因数的
乘积形式。
类似地 我们可以将多项式化成整式的乘积形式
, 。
仿照上面的算式 怎样将a2 a化成整式的乘积形式
(1) , +2 ?
a2 a可以化成a·(a ),其中a
+2 +2
与a 是a2 a的因式。
+2 +2
联想平方差公式a b a b a2 b2 怎样将x2 化成整式的乘
(2) (+ )(- )= - , -4
积形式
?
x2 可以化成x x x 与x 是x2 的因式
-4 (+2)·(-2), +2 -2 -4 。
121观察图 - 所示的拼图过程 写出相应的关系式
(3) 11.11 , 。
图 -
11.11
图 - 中,左边几个图形的面积和为
11.11
a2 ab b2 ,右边图形的面积为(a b) 2 。
+2 + +
因为右边图形由左边的几个图形拼接而
成,所以a2 ab b2 (a b) 2 ,a b是
+2 + = + +
a2 ab b2 的因式。
+2 +
把一个多项式化成几个整式的乘积形式,这种式子变形叫作这个多项式
的因式分解( ),也叫作把这个多项式分解因式。
factorization
整式乘法和因式分解是方向相反的代数变形
,
因式分解
x2 x x
-4􀜩􀜑整􀜑式􀜑乘法􀜨(-2)(+2)。
下列各式从左到右的变形 哪些是因式分解 为什么
, ? ?
a2 ab b2 a b2
(1) -2 + =(- );
x2 x x 2
(2) +2 +3=(+1)+2;
x2y xy2 xyx y
(3) - = (- )。
解: 因为右式a b2 是a b与a b的乘积形式 且左式 右式
(1) (- ) - - , = ,
所以这个变形是因式分解
。
因为右式x
2
不是整式的乘积形式 所以这个变形不是因式
(2) (+1)+2 ,
分解
。
因为右式xyx y 是x y x y的乘积形式 且左式 右式 所以
(3) (- ) , , - , = ,
这个变形是因式分解
。
122下列各式从左到右的变形 哪些是因式分解 为什么
, ? ?
xx x2 x
(1) (+1)= + ;
x2y xy2 xyx y
(2)2 -4 =2 (-2 );
x2 y2 x2 x y x y
(3)9 -4 =8 +(-2 )(+2 );
a2 a a 2
(4)4 -4 +1=(2 -1)。
复习巩固
下列各式从左到右的变形,哪些是因式分解? 为什么?
1.
()x2 xy y2 x(x y)y2 ;
1 -2 + = -2 +
()ax2 bx x ax2 x(b );
2 - + = - -1
() ax ay a(x y);
3 12 -24 =12 -2
()m2 m (m )(m )。
4 +4 +3= +1 +3
连一连:
2.
x2 y2 (x ) 2
- +3
x2 y(x y)
9-25 -
x2 x ( x)( x)
+6 +9 3-5 3+5
xy y2 (x y)(x y)
- + -
拓展延伸
判断下列因式分解是否正确:
3.
() mn n n(m );
1 - -8 =- -8
()a2 a (a )(a );
2 -4 +3= +1 +3
()x2 (a b)x (a b) 2 (x a b) 2 。
3 -2 + + + = - -
探索创新
小亮购买苹果、梨、葡萄三种水果,质量分别是 a ,a 和a ,已知这三
4. 4 kg 2 kg kg
种水果每千克的价格分别为x元、y 元、z元。
()他购买这三种水果共花了多少元?
1
()用列出的式子计算总价,需要进行多少次加法运算、多少次乘法运算? 能否
2
通过对式子进行变形,减少运算次数,得出正确的结果?
123因式分解是将一个多项式化成整式的乘积形式 我们如何进行因式分解呢
, ?
观察多项式ma mb mc 它有几项 它的各项有什么共同之处
+ + , ? ?
多项式ma mb mc有ma,mb,
+ +
mc三项,每一项都有因式m。
在一个多项式中 各项都含有的相同因式叫作这个多项式中各项的公因式
, 。
逆用乘法分配律 可以把公因式m提到括号外面 得到
, ,
ma mb mc ma b c
+ + = (+ + )。
这就把多项式ma mb mc进行了因式分解 对多项式ma mb mc进行
+ + 。 + +
因式分解时 把公因式m作为积的一个因式 多项式ma mb mc除以公因式
, , + +
m的商a b c作为积的另一个因式
+ + 。
多项式 a2 ab中各项的公因式是什么 怎样把它进行因式分解
2 +4 ? ?
在多项式 a2 ab中,各项的公因
2 +4
式有 ,a,a。在对 a2 ab进行因
2 2 2 +4
式分解时,把 a作为要提出的公因式,
2
得到 a2 ab a(a b)。
2 +4 =2 +2
124一般地,如果一个多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提取出来,
将多项式化成公因式与另一个因式的乘积的形式,这种分解因式的方法叫作
提公因式法
。
将下列各式因式分解
:
a2 a x2y xy x2
(1)3 +12 ; (2)-4 -16 +8 。
解: a2 a aa
(1)3 +12 =3 (+4)。
x2y xy x2 xxy y x
(2)-4 -16 +8 =-4 ( +4 -2 )。
将下列各式因式分解
:
am bm a b ab a
(1) ( -6)+ ( -6); (2)3(- )+ (- )。
解: am bm m a b
(1) ( -6)+ ( -6)=( -6)(+ )。
a b ab a a b aa b a b a
(2)3(- )+ (- )=3(- )- (- )=(- )(3- )。
用提公因式法进行因式分解,关
键在于找出多项式各项的公因式。
在下列括号内填写适当的多项式
1. :
x3 x2 x x
(1)3 -2 + = ( );
x3y2 x2yz x2y
(2)-30 +48 =-6 ( )。
将下列各式因式分解
2. :
b2 ab ab3 a2b2 a3b
(1)-4 +2 ; (2)6 -2 +4 。
将下列各式因式分解
3. :
x y x y2 m n2 m n
(1) - -(- ); (2)6( - )-3 +3 。
125复习巩固
填空:
1.
()a2b ab3 (a b2 );
1 4 +6 = 2 +3
() a2 ab3 a( );
2 -49 +7 =7
() (a )
2
b(a ) (a )( );
3 7 -2 -14 -2=7 -2
()a2b(x y)ab(x y) 2 (a x y)。
4 - + - = + -
将下列各式因式分解:
2.
()a2b ab2 ab; ()x3y xy3 ;
1 -2 + 2 +
()abc bc2 ; ()m3n m2n2 mn3 。
3 8 +4 4 2 +16 +4
将下列各式因式分解:
3.
()a(m n)b(m n); ()(a b)(a b) (b a);
1 + - + 2 + - + +
()m(a )n( a); ()a(a b)
3
b(b a)
2
。
3 -3- 3- 4 - + -
拓展延伸
是 的倍数吗? 为什么?
200 199 198
4.3 -4×3 +10×3 7
某公园计划修建水池,有两种设计方案。方案一是修建两个大圆形水池(图 );
5. ①
方案二是修建一个大圆形水池,内设三个小圆形水池(图 )。现要准备水池围墙
②
的砌墙用料,若两种方案中大圆形水池的直径相等,所有水池的高度相同,则这
两种方案需要的砌墙用料一样多吗? 为什么?
① ②
第 题
( 5 )
探索创新
“回文诗”通常是指可以倒读的诗篇,如 “云边月影沙边雁,水外天光山外树”,
6.
倒过来读,即 “树外山光天外水,雁边沙影月边云”。数学中有正读和倒读都一
样的自然数,这类数被称为 “回文数”,如 , 等。
11 343
()写出一个四位数的回文数。
1
()小莹发现,任意四位数的回文数都是 的倍数。小莹的发现正确吗? 请说
2 11
明理由。
126借助此前所学的乘法公式能进行因式分解吗
?
多项式x2 和m2 n2 它们有什么共同特征
-9 -25 , ?
它们都表示两项的差,且
每一项都可以写成平方的形式。
x2 x2 2 ,
-9= -3
m2 n2 m2 (n) 2 。
-25 = -5
怎样将上面两个多项式因式分解
?
把平方差公式等号两边互换位置,得到
a2 b2 (a b)(a b)。利用它就可以将上
- = + -
面的式子因式分解。
x2 x2 2 x x
-9= -3=(+3)(-3);
m2 n2 m2 n2 m n m n
-25 = -(5 )=( +5 )( -5 )。
两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的乘积,即
a2 b2 (a b)(a b)。
- = + -
127将下列各式因式分解
:
x2 a2 b2
(1)4 -9; (2)16 -81 。
解: x2 a2 b2
(1) 4 -9 (2) 16 -81
x2 2 a2 b2
=(2 )-3 =(4 )-(9)
x x a b a b
=(2 +3)(2 -3)。 =(4 +9)(4 -9)。
将下列各式因式分解
:
x4 y4 a3b ab a b2 a b2
(1) - ; (2)4 - ; (3)(2 + )-(+2)。
解: x4 y4
(1) -
x2 y2 x2 y2
=( + )( - )
x2 y2 x y x y
=( + )(+ )(- )。
a3b ab
(2) 4 -
ab a2
= (4 -1)
ab a a
= (2 +1)(2 -1)。
a b2 a b2
(3) (2 + )-(+2)
a b a b a b a b
=[(2 + )+(+2)][(2 + )-(+2)]
a b a b
=(3 +3)(- )
a b a b
=3(+ )(- )。
因式分解时,所有的因式
要分解到不能再继续分解为止。
如图 - 每个图中先将n2n n为正整数 个边长为 的小正方形
11.31, (≥3, ) 1
拼成一个大正方形 再将右上角的 个小正方形去掉 每个图形中剩下的小正
, 1 ,
方形能够重新拼成一个长和宽都不等于 的长方形吗 为什么
1 ? ?
n n
=3 =4
图 -
11.31
128下列多项式是否可以用平方差公式进行因式分解 如果可以 写出因式分解的
1. ? ,
结果
。
a2 b2 m2 n2 x2 b2
(1) -4 ; (2)-4 + ; (3)4 -(- );
a2 b2 x2 1 x2 1
(4)9 +4 ; (5) - ; (6) + 。
4 4
将下列各式因式分解
2. :
x2 a2 b2
(1)2 -8; (2)56 -14 ;
x4 x2 a b2 a b2
(3)-2 +32 ; (4)(2 - )-(+ )。
手表表盘的外圆直径为 内圆直径为 在外
3. 34mm, 26mm,
圆与内圆之间涂有荧光材料 求涂有荧光材料的圆环的面积
。
怎样计算比较简便
第 题
(π≈3.14)。 ?
( 3 )
利用平方差公式可以进行因式分解 用完全平方公式能进行因式分解吗
, ?
观察多项式x2 x 和m2 mn n2 它们有什么共同特征
+2 +1 -4 +4 , ?
这两个多项式都是三项,都满足
a2 ab b2 或a2 ab b2 的形式。
+2 + -2 +
怎样将上面两个多项式因式分解
?
把(a b) 2 a2 ab b2 或
+ = +2 +
(a b) 2 a2 ab b2 的等号两边互
- = -2 +
换位置,就可以将多项式因式分解。
129运用乘法公式可得
x2 x m2 mn n2
+2 +1 -4 +4
x2 x 2 m2 m n n2
= +2· ·1+1 = -2· ·2 +(2 )
x 2 m n2
=(+1)。 =( -2 )。
两数的平方和,加上(减去)这两数乘积的 倍,等于这两数和(差)的平
2
方,即
a2 ab b2 (a b) 2 ,
+2 + = +
a2 ab b2 (a b) 2 。
-2 + = -
形如a2 ab b2 和a2 ab b2 的式子叫作完全平方式 我们可以利用乘
+2 + -2 + 。
法公式对某些多项式进行因式分解 这种因式分解的方法叫作公式法
, 。
将下列各式因式分解
:
x2 x a2 ab b2
(1) +10 +25; (2)9 -6 + 。
解: x2 x
(1) +10 +25
x2 x 2
= +2· ·5+5
x 2
=(+5)。
a2 ab b2
(2) 9 -6 +
a2 a b b2
=(3 )-2·3 · +
a b2
=(3 - )。
将下列各式因式分解
:
ax2 axy ay2
(1)3 -6 +3 ;
x2 xy y2
(2)- +4 -4 ;
x y2 x y
(3)(2 + )-6(2 + )+9。
解: ax2 axy ay2
(1) 3 -6 +3
ax2 xy y2
=3 ( -2 + )
ax y2
=3 (- )。
x2 xy y2
(2) - +4 -4
x2 xy y2
=-( -4 +4 )
x y2
=-(-2 )。
130x y2 x y
(3) (2 + )-6(2 + )+9
x y2 x y 2
=(2 + )-2·(2 + )·3+3
x y 2
=[(2 + )-3]
x y 2
=(2 + -3)。
将下列各式因式分解
1. :
m2 m 1 x3 x2 x
(1) + + ; (2)9 -18 +9 ;
4
a2 a a2 ab b2
(3)-4 +4 -1; (4)3 +12 +12 。
按照完全平方公式 在括号内填入适当的整式
2. , :
a2 a 2
(1) -12 +( )=( );
b2 2
(2)9 +( )+16=( );
2 xy 2
(3)( )+4 +4=( );
x y2 x y 2
(4)(- )+6(- )+( )=( )。
复习巩固
将下列各式因式分解:
1.
()a2 ; () x2 ;
1 -49 2 25 -36
()x2 x ; ()y2 y ;
3 +8 +16 4 -10 +25
()a2 a ; () m2 mn n2 。
5 9 +6 +1 6 81 -144 +64
将下列各式因式分解:
2.
()x2 ; ()a4 b4 ;
1 3 -12 2 -16
() x2 x ; () a3 a2b ab2 。
3 16 +16 +4 4 - +2 -
将下列各式因式分解:
3.
() (x )
2
; ()(a )
2
(a )
2
;
1 4 -2 -16 2 4 -3 -3 -4
()(p q) 2 (p q) ; ()x2y x3 xy2 。
3 + +4 + +4 4 6 +3 +3
计算:
4.
() ; () ; () 。
2 2 2
1 53-9 2 57+6×57+9 3 101-202+1
131拓展延伸
将下列各式因式分解:
5.
()x2 (x y)y2 (y x); ()a5 1a3 ;
1 - + - 2 -
49
()m2 (m ) ( m)
2
; ()(a2 a)
2
(a2 a) 。
3 -1-41- 4 +2 +2 +2 +1
探索创新
将代数式 x2 加上一个单项式,使它变形为(a b) 2 的形式,你能写出哪些符
6. 4 +1 +
合题意的等式?
() , , , ,…,计算结果都是 的倍数吗? 都是 的倍
2 2 2 2
7. 1 3-1 5-1 7-1 9-1 4 8
数吗? 为什么?
() , , ,…,计算结果都是 的倍数吗? 为什么?
3 3 3
2 2-2 3-3 4-4 6
莱布尼茨的猜想
莱布尼茨( , — )是德国伟大的数学家,
GottfriedWilhelmLeibniz 1646 1716
也是微积分理论的创立者之一。根据特殊情形提出一些猜想是数学家常用的
方法,但仅通过特殊情形得到的猜想不一定是正确的,莱布尼茨通过这样的
方法提出的猜想也不例外。
莱布尼茨曾用因式分解的方法证得:若n是自然数,则n3 n n(n
- = -
)(n )是 的倍数,n5 n n(n )(n )(n2 )是 的倍数,n7 n
1 +1 3 - = -1 +1 +1 5 - =
n(n )(n )(n2 n )(n2 n )是 的倍数。这一系列结论让莱布尼
-1 +1 - +1 + +1 7
茨很兴奋,他宣称,对于任意正奇数k,nk n都是k的倍数。
-
这个猜想是否正确呢? 很快就有人发现了反例: 不是 的倍
9
2-2=510 9
数! 这个例子说明,仅通过特殊情形得到的猜想不一定是正确的。
132什么是因式分解? 它与整式乘法有什么关系? 请举例说明。
1.
因式分解的常用方法有哪些? 怎样将一个多项式因式分解?
2.
在本章的学习过程中,用到了哪些数学思想和数学方法? 请举例说明。
3.
复习巩固
将下列各式因式分解:
1.
()m2n mn2 ; () x2y3 x3y2 ;
1 5 -15 2 -7 +28
()x2 y2 ; () 1m2 ;
3 4 - 4 - +16
25
()x2 xy y2 ; ()a2 a 1。
5 9 +6 + 6 - +
4
将下列各式因式分解:
2.
() x2 ; ()y2 y ;
1 24-6 2 3 -6 +3
()p2q pqr qr2 ; () (x ) 2 ;
3 5 +10 +5 4 3 -3 -12
()(a )(a ) ; ()m2n n(m )。
5 -1 +7+16 6 +7 2 +7
133拓展延伸
如图,在边长为a 的正方形钢板上,挖去 个边长均为b 的小
3. 4
正方形。当a ,b 时,利用因式分解的知识,计算
=9.5 =2.25
剩余部分的面积。
将下列各式因式分解:
4. 第 题
( 3 )
()(a b) 2 a b 1; () x2 (a b) (b a);
1 + + + + 2 - +4 -
4
()x2 (x y) 2 y2 (x y) 2 ; ()x4 x2 。
3 - - - 4 -18 +81
计算: 。
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
5. 1-2+3-4+5-6+7-8+9-10+11
探索创新
判断下列说法是否正确,并说明理由。
6.
() 能被 整除;
12 11 10
1 5 +4×5 -12×5 165
()当n是整数时,(n2 )
2
能被 整除。
2 2 +3 -1 8
我们可以借助拼图将多项式因式分解。如图,剪出正方形和长方形卡片各若干张备用。
7.
第 题
( 7 )
()选取三种不同的方形卡片各若干张,把它们拼成一个长方形或正方形,使其面积
1
分别可以用下列多项式表示。画出拼成的长方形或正方形,并将这些多项式因式
分解。
a2 ab; a2 ab b2 ; a2 ab b2 。
① +2 ② +2 + ③ -2 +
()利用拼图,给出下列多项式因式分解的结果:
2
a2 ab b2 ; a2 ab b2 。
① -3 +2 ②2 +5 +2
134第 12 章 平面图形的认识
内容提要
◆ 三角形的分类
◆ 三角形的内角、外角与三边关系
◆ 多边形的内角和与外角和
◆ 圆的有关概念
……
多边形
三角形
平面图形
图形的性质中国园林在设计时常常把几何元素融入其中，应用三角
形、多边形、圆等几何图形组成寓意丰富的图案。下图中有
一些三角形、多边形、圆的形象，它们有哪些性质？
本章我们将学习三角形、多边形及圆的有关概念，探索三
角形内角、外角的性质及三边之间的关系；研究多边形的内角
和与外角和；初步认识圆的有关概念，了解点与圆的位置关系。
通过本章的学习，我们将初步了解研究几何图形的思路和方法。在初步认识三角形的基础上 我们继续学习与三角形有关的概念及性质
, 。
在图 - 中 你能找到哪些三角形 这些三角形有什么共同特点
12.11 , ? ?
图 -
12.11
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形
组成三角形的线段叫作三角形的边 相邻两边的公共端点叫作三角
(triangle)。 ;
形的顶点 相邻两边组成的角叫作三角形的内角 简称三角形的角
; , 。
如图 - 线段AB BC CA是这个三角形的三条
12.12, , ,
边 点A B C是这个三角形的顶点 A B C
, , , ,∠ ,∠ ,∠
是这个三角形的角 边BC CA AB分别叫作 A B
, , , ∠ ,∠ ,
C的对边 有时也用a b c分别表示 A B C
∠ 。 , , ∠ ,∠ ,∠
的对边 图 -
( 12.12)。 图 -
12.12
常用符号 表示三角形 顶点是A B C的三角
“△” , , ,
形 记作 ABC 读作 三角形ABC
, △ , “ ”。
测量图 - 中每个三角形的角的大小 它们最大的角分别是什么角
(1) 12.13 , ?
按照角的大小 怎样将三角形分类
, ?
137① ② ③
图 -
12.13
三角形最大的角可以是锐角、直角或钝
角,按照角的大小可以将三角形分成三类。
如图 - 三个角都是锐角的三角形叫作锐角三角形 如图 -
12.13①, ; 12.13②,
有一个角是直角的三角形叫作直角三角形 如图 - 有一个角是钝角的
; 12.13③,
三角形叫作钝角三角形
。
图 - 所示的直角三角形ABC记作 ABC 读作 直角三角形
12.13② Rt△ , “
ABC C C的对边AB称为斜边 AC BC称为直角边
”。∠ =90°,∠ , , 。
比较图 - 中每个三角形三条边的长度 你有什么发现 按照边的
(2) 12.14 , ?
特征 怎样将三角形分类
, ?
图 -
12.14
有的三角形三边互不相等,有的三角形
有两条边相等,有的三角形三条边都相等。
138有两条边相等的三角形叫作等腰三角形 如图 -
。 12.15,
在等腰三角形ABC中 相等的边AB AC称为等腰三角
, ,
形的腰 另一边BC称为底边 两腰的夹角 A称为顶
, , ∠
角 两腰和底边的夹角 B C称为底角
, ∠ ,∠ 。
三条边都相等的三角形叫作等边三角形 也称为正
,
三角形
。
按照 边是否相等 可以将三角形分为两类 三边 图 -
“ ” : 12.15
都不相等的三角形和等腰三角形 等边三角形是特殊的等腰三角形
。 。
按照 “角的大小”分类,可以将三角形分为三类:锐角三角形、直角三
角形和钝角三角形。
按照 “边是否相等”分类,可以将三角形分为两类:三边都不相等的三
角形和等腰三角形。等边三角形是三边都相等的等腰三角形。
如图 点D在 ABC的边BC上 连接AD
1. , △ , 。
ABC的三个内角是
(1)△ ;
在 ABD中 B的对边是
(2) △ ,∠ ,
在 ABC中 B的对边是 第 题
△ ,∠ ; ( 1 )
以线段AC为边的三角形有 用符号表示
(3) ( )。
根据下列条件 分别判断 ABC的形状
2. , △ 。
A B C C
(1)∠ =45°,∠ =65°,∠ =70°; (2)∠ =110°;
C AB AC AB BC
(3)∠ =90°; (4) = , > ;
AB BC AC
(5) = = 。
139在小学 我们用测量和拼接的方法验证过 三角形的内角和等于 如
, “ 180°”。
何说明这个结论
?
任意剪出一个三角形纸片 将三角形的三个角撕下 按
, ,
图 - 的方式拼接 会发现三角形的三个内角可以拼成一
12.16 ,
个平角
。
根据拼接过程 你能说明 三角形的内角和等于 吗
, “ 180°” ?
图 -
12.16
可以构造平行线,借助平行线的
性质,说明这个结论。
怎样说明 三角形的内角和等于
(1) “ 180°”?
由图 - 可知 过点A画直线BC的平行线DE
12.16 , ,
可以将 B BAC C拼成一个平角 图 -
∠ ,∠ ,∠ ( 12.17)。
根据平角的定义 得
,
DAB BAC EAC
∠ +∠ +∠ =180°。
根据两直线平行 内错角相等 得 图 -
, ,
12.17
DAB B EAC C
∠ =∠ ,∠ =∠ 。
所以 B BAC C
∠ +∠ +∠ =180°。
由此 可以得到 三角形的内角和等于
, : 180°。
140如图 - 在 ABC中 若 C
(2) 12.18, △ , ∠ =90°,
A与 B有怎样的关系 若 A B 则
∠ ∠ ? ∠ +∠ =90°,
ABC是什么三角形
△ ?
图 -
12.18
因为 A B C , C ,所以
∠ +∠ +∠ =180° ∠ =90°
A B ,即 A 与 B 互余。反过来,
∠ +∠ =90° ∠ ∠
A B ,因为三角形内角和等于 ,所以
∠ +∠ =90° 180°
C ,即 ABC是直角三角形。
∠ =90° △
三角形的内角和等于 。
180°
直角三角形的两个锐角互余;有两个角互余的三角形是直角三角形。
如图 - 在 ABC中 D是边
12.19, △ ,
AB上的一点 A与 ACD互余 请说明 B
,∠ ∠ , ∠
与 DCB互余
∠ 。
解:根据 A 与 ACD 互余 及互余的定
∠ ∠ ,
义 得
, 图 -
12.19
A ACD
∠ +∠ =90°。
根据三角形的内角和等于 得
180°,
ADC A ACD
∠ =180°-(∠ +∠ )=90°。
根据平角的定义 得
,
BDC ADC
∠ =180°-∠ =180°-90°=90°。
根据直角三角形的定义 知 BDC是直角三角形
, △ 。
所以 B与 DCB互余
∠ ∠ 。
141分别计算下图中 的度数
1. ∠1 。
第 题 第 题
( 1 ) ( 2 )
如图 点B E C在同一条直线上 A DEC D BEA A与 D
2. , , , ,∠ =∠ ,∠ =∠ ,∠ ∠
互为余角 试说明 AE DE ABCD
。 :(1) ⊥ ;(2) ∥ 。
我们运用 三角形的内角和等于 的结论继续研究三角形的角
“ 180°” 。
如图 - 将 ABC的三条边分别延长
12.110, △ ,
得到 它们有什么共同的特征
∠1,∠2,∠3。 ?
由三角形的一边与另一边的延长线组成的角 图 -
, 12.110
叫作三角形的外角 三角形的一个外角与相邻的内角互为邻补角
。 。
三角形的一个外角与不相邻的两个内角有什么关系
?
如图 - 为 ABC的三个内角 ACD为 ABC的
12.111,∠1,∠2,∠3 △ ,∠ △
一个外角
。
根据三角形的内角和是 得
180°,
∠1+∠2+∠3=180°。
根据邻补角的定义 得
,
ACD
∠ +∠3=180°。
所以 ACD 图 -
∠1+∠2+∠3=∠ +∠3。 12.111
根据等式的基本性质 得
,
ACD
∠1+∠2=∠ 。
142由 ACD,可以得到
∠1+∠2=∠
ACD 和 ACD 。
∠ >∠1 ∠ >∠2
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角。
如图 - 在 ABC中 BD是 ABC的平分线 ABD A
12.112, △ , ∠ ,∠ =∠ ,
C A
∠ =3∠ 。
求 ABC各内角的度数
(1) △ ;
求 ADB的度数
(2) ∠ 。
解: 根据BD是 ABC的平分线 及角的平分线的定义 得
(1) ∠ , ,
ABC ABD
∠ =2∠ 。
因为 ABD A
∠ =∠ ,
所以 ABC A
∠ =2∠ 。
根据三角形的内角和等于 得
180°,
A ABC C
∠ +∠ +∠ =180°。
因为 C A
∠ =3∠ , 图 -
12.112
所以 A A A
∠ +2∠ +3∠ =180°,
即 A
6∠ =180°。
所以 A
∠ =30°,
所以 ABC C
∠ =60°,∠ =90°。
根据BD是 ABC的平分线 及角的平分线的定义 得
(2) ∠ , ,
DBC 1 ABC
∠ = ∠ =30°。
2
根据 ADB是 DCB的一个外角 及三角形的一个外角等于与它不相邻
∠ △ ,
的两个内角的和 得
,
ADB C DBC
∠ =∠ +∠ =90°+30°=120°。
143探索三角形三个外角的和 你发现了什么规律
, ?
根据图中所给的条件 求 的度数
1. , ∠1,∠2,∠3 。
第 题 第 题
( 1 ) ( 2 )
如图 在 ABC中 B AE是 BAC的平分线 ACD 求
2. , △ ,∠ =40°, ∠ ,∠ =106°,
AEC的度数
∠ 。
我们学习了三角形的内角与外角的关系 下面将探究三角形三条边的关系
, 。
如图 - 任意画一个 ABC 从点B出发 沿三角形的边到点C 可
12.113, △ , , ,
以选择两条路线 哪条路线最短 为什么
, ? ?
根据两点之间线段最短,
可知BA AC BC。
+ >
图 -
12.113
在图 - 中 从 ABC的顶点A出发 沿三角形的边到顶点B或C
12.113 , △ , ,
还可以得到什么结论
?
144AC CB AB,AB BC AC。
+ > + >
三角形的任意两边之和大于第三边。
能用一根长为 的细铁丝围成一个边长为 的等腰三角形
18cm 4cm
吗 为什么
? ?
解:因为长为 的边可能是腰 也可能是底边 所以分两种情况讨论
4cm , , 。
若底边长为 设腰长为x 则
① 4cm, cm,
x
4+2 =18。
解得 x
=7。
因为
4+7>7,7+7>4,
所以底边长为 时能围成三角形
4cm 。
若腰长为 设底边长为x 则
② 4cm, cm,
x
4×2+ =18。
解得 x
=10。
因为
4+4<10,
所以腰长为 时不能围成三角形
4cm 。
由 可知 能围成满足条件的等腰三角形 其腰长为 底边长为
①② , , 7cm, 4cm。
用下列长度的三条线段能否组成三角形 为什么
1. ? ?
(1)3,4,5; (2)4,4,8; (3)5,7,11; (4)2,3,6。
已知等腰三角形的两条边长分别为 和 求这个三角形的周长
2. 4cm 9cm, 。
145我们学习了三角形三边的关系 下面将探究三角形中的主要线段
, 。
三角形一个角的平分线与这个角的对边相交 角的顶点和交点之间的线段
,
叫作三角形的角平分线 如图 - AD是 BAC的平分线 交BC于点
。 12.114①, ∠ ,
D 线段AD就是 ABC的一条角平分线
, △ 。
连接三角形一个顶点与对边中点的线段叫作三角形的中线 如图 -
。 12.114②,
E为BC的中点 线段AE就是 ABC的一条中线
, △ 。
三角形的一个顶点到它的对边所在直线的垂线段叫作三角形的高线 简称
,
三角形的高 如图 - AF BC 垂足为F 线段AF就是 ABC的边
。 12.114③, ⊥ , , △
BC上的高
。
① ② ③
图 -
12.114
在图 - 中 分别画出 ABC所有的角平分线 中线 观察
(1) 12.114①② , △ 、 。
这些线 你能得出什么结论 重新画一个三角形 画出这个三角形所有的角平
, ? ,
分线或中线 你得出的结论还成立吗
, ?
我发现,一个三角形有三条角平分线和
三条中线。三角形的三条角平分线、三条中
线都在三角形的内部,分别交于一点。
146如图 - ABC的三条中线交于点G
12.115,△ ,
点G就是 ABC的重心
△ 。 取一块质地均匀的
三角形木板,用一根木
棒顶在三角形木板的重
心上,木板会保持平衡。
这就是重心的物理性质。
图 -
12.115
在图 - 中 分别画出 ABC所有的高 通过观察你能得出什么
(2) 12.116 , △ ,
结论 重新画一个三角形 并画出这个三角形所有的高 结论还成立吗
? , , ?
① ② ③
图 -
12.116
我发现,三角形的高可能在三角形的内
部,可能与边重合,也可能在三角形的外
部。三条高所在的直线交于一点。
三角形的三条角平分线、三条中线分别相交于一点,它们都在三角形的
内部。
三角形的三条高所在的直线相交于一点,高及高的交点不一定在三角形
的内部。
147过 ABC的顶点A画出BC边上的中线 高和 A的角平分线
1. △ 、 ∠ 。
第 题 第 题 第 题
( 1 ) ( 2 ) ( 3 )
如图 ABC中 AD是中线 BE是角平分线
2. ,△ , , 。
写出线段BD CD BC的数量关系
(1) , , ;
写出 ABE CBE ABC的数量关系
(2) ∠ ,∠ ,∠ 。
如图 在 ABC中 B AD是角平分线 求 CAD的度数
3. , Rt△ ,∠ =60°, , ∠ 。
复习巩固
如图,在 ABC中,AE BC,点E是垂足,D是边
1. △ ⊥
BC上的一点,连接AD。
()写出 ABE的三个内角;
1 △
()写出图中 ADE的外角;
2 △
()图中哪些是直角三角形? 哪些是锐角三角形? 哪
第 题
3
( 1 )
些是钝角三角形?
如图,在 ABC中,点D,E在边BC上,连接AD,AE。
2. △
() ADE B ,
1 ∠ =∠ +
ADB C AED ;
∠ =∠ + =∠ +
()用 “ ”或 “ ”填空:
2 > <
第 题
AEC ADE, B ADE。 ( 2 )
∠ ∠ ∠ ∠
已知BD是 ABC的中线,AB ,BC 。求 ABD和 BCD的周长的差。
3. △ =5 =3 △ △
148拓展延伸
已知等腰三角形的两边长分别是 和 ,求它的周长。
4. 7cm 8cm
某零件如图所示,按规定 A , B , C 。当检验员量得 BDC
5. ∠ =90° ∠ =32° ∠ =21° ∠
时,会断定这个零件不合格,为什么?
=146°
第 题 第 题
( 5 ) ( 6 )
如图,一艘轮船从A处沿AP方向行驶,C处有一灯塔, BAC 。
6. ∠ =30°
()轮船行至B处时, CBP ,求 ACB的度数;
1 ∠ =70° ∠
()轮船行至距离灯塔最近的点D时,求 ACD的度数。
2 ∠
探索创新
在 ABC中, A为锐角, B, C均不是直角,高BD和CE所在的直线交
7. △ ∠ ∠ ∠
于点H。
()若 A , ABC为锐角三角形,求 BHC的度数;
1 ∠ =45° △ ∠
()若 A , ABC为钝角三角形,求 BHC的度数;
2 ∠ =30° △ ∠
()用等式表示 BHC与 A的数量关系,并说明理由。
3 ∠ ∠
如图,三条公路围出一个三角形区域,管理部门准备把这一区域改造成一个花园,
8.
请设计一个方案,把这个三角形区域分成面积相等的四部分。
第 题
( 8 )
149在认识三角形的基础上 我们将学习多边形的有关概念 并探究多边形的
, ,
内角和
。
在图 - 中 你能找到哪些多边形 这些多边形有什么共同特点
12.21 , ? ?
图 -
12.21
同一平面内 若干条线段首尾顺次相接 且有公共端点的线段不在同一条
, ,
直线上 这样得到的图形叫作多边形 组成多边形的各条线段叫作多
, (polygon)。
边形的边 相邻两条边的公共端点叫作多边形的顶点 相邻两条边所组成的角
, ,
叫作多边形的内角 连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫作多边形的对角线
。 。
由四条边组成的多边形叫作四边形 由五条边组成的多边
(quadrilateral),
形叫作五边形 由n条边组成的多边形叫作n边形n是大于
(pentagon)…… ( 2
的整数
)。
一般地 用四边形的顶点A B C D表示四边形 记作四边形ABCD
, , , , ,
图 - 同样 可以用五边形的顶点A B C D E表示五边形 记作
( 12.22)。 , , , , , ,
五边形ABCDE 图 -
( 12.23)。
用字母表示多边形时,
可以按顶点的顺时针顺序写,
也可以按逆时针顺序写。
图 - 图 -
12.22 12.23
150各边相等 各角也相等的多边形叫作正多边形 图 -
、 (regularpolygon)。 12.24
中的各个正多边形分别称作正三角形 即等边三角形 正四边形 即正方形
( )、 ( )、
正五边形 正六边形和正八边形
、 。
图 -
12.24
三角形的内角和等于 四边形的内角和等于多少度呢 五边形 六边
180°, ? 、
形 n边形的内角和等于多少度
…… ?
四边形 五边形 六边形 n边形
图 -
12.25
我发现,从四边形一个顶点出发的对角线可将四边
形分成 个三角形,从五边形一个顶点出发的对角线可
2
将五边形分成 个三角形……从而求得四边形、五边形、
3
六边形的内角和分别为 , , 。
360° 540° 720°
从n边形一个顶点出发的对角线可将n边形分成n 个三角形 所以n
(-2) ,
边形的内角和等于n
(-2)·180°。
n边形的内角和等于(n )· 。
-2 180°
已知一个多边形的内角和等于 求这个多边形的边数
2700°, 。
解:设这个多边形的边数为n 则
,
n
(-2)·180°=2700°。
解得 n
=17。
所以这个多边形的边数为
17。
151尝试用其他方法说明n边形的内角和等于n
(-2)·180°。
如果从多边形一个顶点出发的所有对角线将多边形分成 个
1. 6
三角形 那么这个多边形是几边形 它的内角和是多少
, ? ?
分别计算九边形 十二边形的内角和
2. 、 。
如图 正方形AMNP的边AM在正五边形ABCDE的边
3. ,
AB上 求 PAE的度数 第 题
, ∠ 。 ( 3 )
我们已经知道多边形内角和的计算方法 下面将探究多边形的外角和
, 。
如图 - 任意画一个四边形ABCD 分别延长各边 得到
12.26, , , ∠1,∠2,
它们有什么共同特征
∠3,∠4, ?
我发现,每个角与相邻的内
角互为邻补角。
图 -
12.26
一般地 多边形一个内角的邻补角叫作多边形的外角 在多边形的每个顶
, 。
点处取多边形的一个外角 这些外角的和叫作多边形的外角和
, 。
如图 - 四边形ABCD的外角和等于多少
(1) 12.26, ?
四边形ABCD的每个外角都与相邻的内角互为
邻补角。 个外角与内角的和是 ,减去四边
4 4×180°
形的内角和 ,得到这 个外角的和为 。
360° 4 360°
152n边形的外角和是多少呢
(2) ?
n边形的每一个内角与相邻的外角互为邻补角 n边形有n个内角 所以
, ,
所有内角与外角的和为n 已知n边形的内角和为n 因此n
·180°。 (-2)·180°,
边形的外角和为
n n
·180°-(-2)·180°
n n
= ·180°- ·180°+2×180°
=360°。
多边形的外角和等于 。
360°
一个多边形的内角和是它的外角和的 倍 求这个多边形的边数
7 , 。
解:设多边形的边数为n 则
,
n
(-2)·180°=7×360°。
解得 n
=16。
所以这个多边形的边数为
16。
尝试用其他方法说明n边形的外角和等于
360°。
一个多边形的内角和是外角和的 倍 这个多边形是几边形
1. 2 , ?
求正八边形一个外角的度数
2. 。
复习巩固
正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一个内角各是多少度?
1.
一个多边形的内角和为 ,求它的边数。
2. 1620°
153一个多边形的内角和与外角和相等,这个多边形是几边形?
3.
若从多边形的一个顶点出发,最多可引 条对角线,那么这个多边形是几边形?
4. 3
一共有多少条对角线? 它的内角和是多少度?
拓展延伸
在如图所示的五角星中,求 A B C D
5. ∠ +∠ +∠ +∠ +
E的度数。
∠
探索创新
机器人从O点出发沿直线行走,每走 ,行走方
6. 10m
向沿原方向顺时针转动 。机器人以这样的方式走
15°
第 题
多少米可以回到O点? ( 5 )
第 题
( 6 )
凸多边形与凹多边形
如图 - ,画出
12.27①
四边形ABCD任意一条边
(例如CD)所在的直线,整
个四边形都在这条直线的同
一侧,这样的四边形叫作凸
四边形 。如图 - ,
①
12.27② ① ②
画出边CD 所在的直线, 图 -
12.27
其他各边不都在这条直线的同一侧,像这样的四边形叫作凹四边形。
凸多边形的每个内角都小于 ,前面我们学习的多边形都是凸多边
180°
形,而凹多边形中至少有一个内角大于 。
180°
如果没有特别说明 本书所说的多边形都是指凸多边形
① , 。
154在小学 我们已经初步认识了圆 本节我们将继续学习圆及其有关概念
, 。 ,
并探索点与圆的位置关系
。
在图 - 中 你能找到哪些圆 这些圆有什么共同特点
12.31 , ? ?
图 -
12.31
如图 - 在平面内 线段OA绕固定的端点O旋转一周 另一个端点
12.32, , ,
A所形成的封闭曲线叫作圆 点O叫作圆的圆心 以点O为圆心的圆记
(circle), 。
作 O 读作 圆O 连接圆心和圆上任意一点的线段叫作半径 用
☉ , “ ”。 (radius),
r 表示 线段OA是 O的一条半径
“” , ☉ 。
连接圆上任意两点的线段叫作弦 经过圆心的弦叫作直径 图 - 中
, 。 12.33 ,
线段AB CD都是 O的弦 其中弦AB是 O的一条直径
, ☉ , ☉ 。
图 - 图 -
12.32 12.33
155如图 - 以O为圆心 画一个半径为 的圆 在圆上任意取A
12.34, , 1.5cm , ,
B两点 连接OA OB
, , 。
OA与OB的长分别是多少
(1) ?
任取一点C 使得OC 点C的位置在圆周上吗
(2) , =1.5cm, ?
如果M N是平面内的两点 且OM ON 你能分别
(3) , , =1.8cm, =1cm,
说出点M N与圆的位置关系吗
, ?
观察平面内的点与圆有几种位置关系
(4) 。
平面内的点与圆有三
种位置关系:点在圆外,
点在圆上,点在圆内。
图 -
12.34
圆上的点具备什么特点 点满足什么条件才会在同一个圆上
(5) ? ?
圆上各点到圆心的距离都等于半径,
到定点的距离等于定长的点在同一个圆上。
因此,圆可以看作是由平面内到定点的距
离等于定长的所有点组成的几何图形。
点在圆外,即这个点到圆心的距离大于半径。
点在圆上,即这个点到圆心的距离等于半径。
点在圆内,即这个点到圆心的距离小于半径。
圆是由平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的几何图形。
156圆上任意两点间的部分叫作弧 用符号 表示 以C D两点为端点
, “⌒” 。 ,
的圆弧记作C︵D 读作 弧CD 直径把圆分成两条弧 每一条弧都叫作半圆
, “ ”。 , 。
大于半圆的弧叫作优弧 用三个字母表示 如C︵BD 图 - 小于半圆的弧
, , ( 12.35),
叫作劣弧 如C︵D 图 -
, ( 12.35)。
一条弧和经过这条弧的端点的两条半径组成的图形叫
作扇形 如图 - 扇形OCAD由半径OC OD与C︵D
。 12.35, ,
组成 扇形OCBD由半径OC OD与C︵BD组成
; , 。
半径相等的圆叫作等圆 图 - 中 O 和 O
。 12.36 ,☉ 1 ☉ 2
的半径都是r 所以它们是等圆 在同圆或等圆中 能够互
, 。 ,
相重合的弧叫作等弧 图 -
。 12.35
图 - 图 -
12.36 12.37
图 - 中的两个圆都以点O为圆心 半径分别是r 和rr r 它们
12.37 , 1 2(1> 2),
的圆心相同 半径不相等 圆心相同 半径不相等的圆叫作同心圆
, 。 , 。
已知 O的半径为 A为平面内一点 当OA符合下列条件时 分别指出
1. ☉ 8cm, 。 ,
点A与 O的位置关系
☉ :
OA
(1) =7.9cm;
OA
(2) =8cm;
OA
(3) =8.01cm。
圆的一条弦所对的弧有几条 怎样区分它们
2. (1) ? ?
如图 图中有几条弧 哪些是优弧 哪些是劣弧
(2) , ? ? ?
第 题
( 2 )
157复习巩固
下列说法正确的是 。
1.
过圆心的线段一定是圆的直径;
①
等圆的半径相等;
②
大于劣弧的弧叫作优弧;
③
若一个圆在另一个圆的内部,则这两个圆是同心圆。
④
如图,某运动员投掷铅球的成绩为 ,则他投出的
2. 8.6m
铅球落在 中的哪个区域?
①~④
在 ABC中,AB ,BC ,CA 。 第 题
3. △ =3cm =4cm =5cm ( 2 )
()以点A为圆心,以 长为半径画圆,确定点B,C与 A的位置关系;
1 3cm ☉
()以点B为圆心,以 长为半径画圆,确定点A,C与 B的位置关系。
2 4cm ☉
拓展延伸
一片草地上有A,B两点,这两点之间的距离为 。在两点处各有一个洒水
4. 18m
器,洒水覆盖区域分别为直径 和 的圆。请画图表示两个洒水器洒水覆
24m 18m
盖的区域(用 代表 )。
1cm 1m
探索创新
()如图 ,将一枚半径为r的硬币沿一条直线从点M出发,滚动一周,到达
5. 1 ①
点N。线段MN的长是多少? 硬币的圆心经过的路程是多少?
()如图 ,取两枚半径都为r的硬币 , ,平放到桌面上,将硬币 固定,
2 ② A B B
硬币 从硬币 的边缘上的一点P出发,沿硬币 的边缘滚动一周,回到
A B B
原来的位置。硬币 的圆心经过的路程是多少? 在滚动时硬币 转了几周?
A A
① ②
第 题
( 5 )
158与圆有关的知识
生活在旧石器时代晚期的山顶洞人,已经开始掌握磨制石器和钻孔技
术,能够从物品两面钻出半径相同的圆孔。新石器时代的半坡人, 建造出半
地穴式的圆形房屋。新石器时代陶器的横截面,大都是圆形。
中国古人认为 “天道曰圆,地道曰方”。在我
国传统文化中,圆被视为一种完美的图形,象征着
圆满、和谐、包容。古希腊数学家毕达哥拉斯
( ,前 至前 之间—前 至前
Pythagoras 580 570 500
之间)也曾说过 “一切立体图形中最美的是球,
490
一切平面图形中最美的是圆”。
古人在搬运重物时发现,通过圆木滚动运送
货物省时省力。受圆木运货的启发,人们制作了圆形车轮。世界上现存最古
老的木制车轮———斯洛文尼亚卢布尔雅那沼泽车轮,距今已有 多年之
5000
久。圆形车轮的发明,极大地提高了货物运输的效率。
159怎样用 “三角形的内角和等于 ”这一结论推导多边形的内角和公式?
1. 180°
什么是三角形的外角? 三角形的外角有哪些性质?
2.
三角形的三边之间有怎样的关系?
3.
三角形中有哪些主要线段? 这些线段有哪些性质?
4.
多边形的内角和公式是怎样推导出来的? 多边形的外角和与它的边数有
5.
关系吗?
什么是正多边形? 正n边形的每一个内角、外角各是多少度?
6.
什么是圆? 如何确定平面内的一个点与圆的位置关系? 画图解释直径、
7.
半径、弦、弧、等弧、等圆、同心圆等概念。
通过本章的学习,你认为研究平面图形的思路和方法有哪些?
8.
160复习巩固
选择题:
1.
()在三角形的三个外角中,钝角最多有( )。
1
. 个 . 个 . 个 . 个
A 0 B 1 C 2 D 3
()一个多边形的内角和不可能是( )。
2
. . . .
A 1800° B 1260° C 1080° D 5100°
填空题:
2.
()在 ABC中,如果 A B C,那么 C的度数是 ;
1 △ ∠ +∠ =2∠ ∠
()如图, A B C D E的度数是 。
2 ∠ +∠ +∠ +∠ +∠
下列说法哪些是正确的?
3.
()三角形中最小的锐角不能大于 ;
1 60°
()三角形的一个外角等于这个三角形的两个内角的和;
2
()三角形任意两个内角的和大于第三个内角;
3 第 题
()直角三角形只有一条高; ( 2 (2))
4
()在同圆中任意两条直径都互相平分;
5
()三角形一边上的高小于这个三角形的其他两边。
6
如图,已知 , ,求 的度数。
4. ∠1=80° ∠2=140° ∠3
第 题 第 题
( 4 ) ( 5 )
如图, ABC中,D,E分别是BC,AD的中点。 ABC的面积是 ,求阴影部分
5. △ △ 20
的面积。
如图,在 ABC中, B , C ,AD是 ABC的角平
6. △ ∠ =54° ∠ =62° △
分线,点E在AC上,且DE AB,求 ADE的度数。
∥ ∠
一个多边形各个内角的度数的平均数是 ,这是一个几边形?
7. 135°
第 题
( 6 )
161如图,线段AC与BD相交于点O,连接AB,CD。 A B与 C D有什么
8. ∠ +∠ ∠ +∠
数量关系? 请说明理由。
第 题 第 题
( 8 ) ( 9 )
如图,AD是 ABC的角平分线, C ADC, B BAD。求 ABC各内角
9. △ ∠ =∠ ∠ =∠ △
的度数。
拓展延伸
已知等腰三角形的周长为 ,且各边长都是整数,求各边的长。
10. 10
小亮家距学校 ,小莹家距小亮家 。如果小亮家、小莹家、学校在同一平
11. 10km 3km
面内,那么小莹家与学校的距离在什么范围内? 请画图表示。
如图,在 ABC中,D,E是边BC上的两点, B EAC, ADC DAC。
12. △ ∠ =∠ ∠ =∠
试说明AD平分 BAE。
∠
第 题 第 题
( 12 ) ( 13 )
如图,在 ABC中, ABC ACB A,BD是 ABC的平分线,交AB边
13. △ ∠ =∠ =2∠ ∠
上的高CE于点F。求 BFC的度数。
∠
探索创新
如图,将一块三角板PMN 放置在 ABC上(P点在
14. △
ABC内部),使三角板PMN的两条直角边PM,PN
△
分别经过点B和点C。
()若 A ,则 ABC ACB , PBC
1 ∠ =50° ∠ +∠ = ∠ 第 题
PCB , ABP ACP 。 ( 14 )
+∠ = ∠ +∠ =
()探究图中 ABP ACP与 A的数量关系。
2 ∠ +∠ ∠
162生活中 我们经常遇到这样的问题 在博物
, :
馆参观时 为提高参观效率 如何安排参观顺序
, , ?
快递员要将快件送往几个地点 为节省配送时间
, ,
如何安排配送路线 在公园游览时 为减少奔波
? ,
时间 如何规划游览路线
, ?
请选择某个景区中的几个景点 合理规划游
,
览路线 使游览效率最高
, 。
活动1 分析影响因素
根据生活经验思考 有哪些影响游览效率的因素
, ?
影响游览效率的因素有很多 如游览路线长度 交通方式 游客流量等
, 、 、 。
用查阅资料 实地考察等方式 结合生活经验分析这些因素对游览效率的影响
、 , 。
活动2 实际问题数学化
游览路线长度是影响游览效率的主要因素 可以将游览路线长度作为研究
,
对象
。
根据选择的景点 画图表示景点位置和景点之间的路线
, 。
活动3 求解最佳路线
在活动 的数学问题中 列举出几条较短的游览路线
2 , 。
实地测量或借助电子地图测量景点间的实际路程 记录数据 制作表格
, , ,
找到最佳游览路线
。
活动4 制作游览攻略
结合活动 中找到的最佳游览路线 制作一份游览攻略
3 , 。
163影响游览效率的因素有游览路线长度 交通方式 游客流量等 以小组为
、 、 。
单位 综合考虑多种因素对游览效率的影响 作出合理假设 用数学的方法得
, , ,
到结果并验证 完善游览攻略
, 。
在课堂上展示实践活动记录。展示应当包括以下内容:
()完整的问题描述、影响因素分析、数学问题的提出和求解过程等;
1
()游览攻略设计;
2
()游览实践记录;
3
()活动总结与反思。
4
可以从以下三个方面展开思考
:
游览攻略是否具有实际应用价值
(1) ;
是否可以呈现问题提出 因素分析 模型建立 模型求解的完整过程
(2) 、 、 、 ;
是否检验了所得结果 并提出改进措施和优化方向
(3) , 。
可以结合老师评价 同伴评价和自我评价 进一步完善小组的游览攻略
、 , 。
164实践活动记录
活动题目 的最佳路线
问题描述
姓名 分工
成员和分工
地图和图例说明
影响因素分析
问题提出
数学推演及路线设计
攻略设计
总结与反思
165为了满足居民的多元化健身需求 农村
,
或城市社区管理单位通常会配置公共健身器
材 这些健身器材的日常使用情况如何 不
。 ?
同因素对器材的正常使用有怎样的影响
?
选取一个农村或城市社区 尝试利用所
,
学知识 调查和分析居民使用公共健身器材
,
的现状及影响因素 对相关管理单位提出建议
, 。
活动1 确定调查内容与方法
对公共健身器材使用现状及影响因素的调查应包含哪些内容 应采用怎样
?
的调查方法
?
调查内容可以包括 调查对象的性别 年龄 文化程度 职业等基本信息
: 、 、 、 ,
调查对象使用器材的目的 以及调查对象每周使用器材进行锻炼的次数 时长等
, 、 。
调查方法可以是 每个学习小组选择一个社区 在相同的时间段 随机选
: , ,
择正在使用器材的居民 进行问卷调查和访谈
, 。
活动2 收集、整理、描述数据
设计问卷并进行调查 收集 整理数据 选择适当的统计图描述数据 记
, 、 , ,
录过程及结果
。
166“公共健身器材使用现状及影响因素调查”实践活动记录
设计者: 设计时间:
锻炼目的 每周锻炼 每周锻炼
序号 性别 年龄
…… 强身健体 陪伴家人 …… 次数 时间
数据
1
收集
2
3
……
统计表:
数据
整理
统计图:
数据
描述
活动3 根据调查提出建议
根据以上调查 总结社区公共健身器材使用现状 分析不同因素对器材使
, ,
用情况的影响 通过合理的调研得到科学的结论 对相关管理部门提出建议
。 , ,
形成一份建议书
。
结合对社区现有公共健身器材使用情况的调查 查阅资料 为不同年龄段
, , 、
不同锻炼目的的居民制定一周的健身器材使用计划
。
167在课堂上展示活动记录,展示应当包括以下内容:
()调查内容与方法;
1
()数据收集,数据整理,数据描述;
2
()建议书;
3
()一周器材使用计划。
4
可以从以下三个方面展开思考
:
是否选择了合适的调查内容与调查方法
(1) ;
是否使用了恰当的统计图表对数据进行整理和描述
(2) ;
所提建议是否具有合理性
(3) 。
可以结合老师与同伴的评价 改进自己的建议书 也可以向所调查社区的
, ,
居民和工作人员等征询意见 进一步完善建议书
, 。
168后 记
本套教科书依据 义务教育数学课程标准 年版 编写完成
《 (2022 )》 。
本套教科书全面贯彻党的教育方针 落实立德树人根本任务 践行 义务教
, , 《
育数学课程标准 年版 的课程理念 以 三会 为主线 注重培养学生的
(2022 )》 , “ ” ,
学习兴趣和提升学生的核心素养 通过 观察与发现 思考与交流 概括与
。 “ ”“ ”“
表达 等栏目 引导学生用数学的眼光观察现实世界 用数学的思维思考现实
” , 、
世界 用数学的语言表达现实世界 本套教科书的编写凝聚了数学教育理论最
、 。
新成果和广大数学教育工作者的智慧
。
在本套教科书的编写过程中 我们得到了关心教材建设的专家 学者以及
, 、
一线教师的悉心指导和倾力帮助 刘向军 白成 邵海磊 滕绪华 杨钰辰等
。 、 、 、 、
同志参与了本书初稿的编写 我们通过多种渠道与教科书选用作品的作者进行
。
了联系 得到了他们的大力支持和配合 在此 我们一并表示衷心的感谢
, 。 , !
欢迎广大师生和家长在使用本套教科书的过程中 提出宝贵的意见和建议
, 。
意见反馈请发邮箱
:qingbanjiaocai@citymedia.cn。
编 者义
务
教
育
教
科
书
数
定价：10.23元
数
学 学
七
年
级
!"1#"$!
"#"$ %&'()(*+,-./0
说明：
1.在使用此标识时，需使用矢量格式文件，不得变更其
图案、文字字体、图文比例、颜色标准等。
2.请按照《义务教育国家课程教材修订规范（试行）》要
求印制在封面左上角位置，标识直径为 30mm，左边距书脊
10mm，上边距上切口10mm。
下
册
中
国
环 境
标
志
C H I N A ENVIRONME N T A L
绿色印刷产品