数学七下沪科版（2025春）_初中数学_沪科版

沪科版数学2024.indd 2 2024/11/27 上午10:55义 务 教 育 教 科 书
数 学
七年级 下册
上海科学技术出版社
书书书顾 问 叶向东
(cid:31)(cid:31) (cid:31)
主 编 苏 淳 吴之季
(cid:31)(cid:31) (cid:31) (cid:31) (cid:31) (cid:31)
本册主编 郭要红
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本册核心编写人员 王志刚 李丽娜 陈方勇
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周向荣 冯祖军
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策划编辑 苏德敏
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责任编辑 朱先锋 袁铃雁
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美术编辑 诸梦婷 陈 蕾
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义务教育教科书 数学 七年级 下册
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出 版 上海世纪出版 集团 有限公司 上海科学技术出版社
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上海市闵行区号景路 弄 座 邮政编码
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发 行 新华书店
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印 刷 合肥义兴印务有限责任公司
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版 次 年 月第 版
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印 次 年 月第 次
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开 本
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印 张
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字 数 千字
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书 号
(cid:31)(cid:31) (cid:31)(cid:27)(cid:26)(cid:25)(cid:24)(cid:28)(cid:25)(cid:24) (cid:25) (cid:29)(cid:21)(cid:25)(cid:24) (cid:22)(cid:24)(cid:24)(cid:20) (cid:22)(cid:28)(cid:23)(cid:28)(cid:30)(cid:26)(cid:24)(cid:29)
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审批编号 皖费核 年春季 号
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书书书致 同 学
亲爱的同学
!
伴随着春天的脚步 你将步入新学期的新生活
% &
本册教科书是根据 义务教育数学课程标准 年版 编写的 教
’ "&%&& # ( 0
科书从你熟悉的日常生活情境及社会和科技发展的实际入手 为你提供生动有
%
趣的学习素材 带你遨游奇妙的数学天地 内容包含 实数 一元一次不等
% 0 ) * )
式与不等式组 整式乘法与因式分解 分式 相交线 平行线与平移
* ) * ) * ) + *0
无理数的引入使数的范围扩充到 实数 你将通过类比有理数的学习
) *0 %
研究实数的概念 性质 运算及实数与数轴上点之间的对应关系 体会数的运
+ + %
算的一致性
0
不等式是刻画现实世界中不等关系的重要数学模型 在 一元一次不等式
0 )
与不等式组 中 你将学习不等式 组 的概念 性质和解法 运用不等式
* % " # + %
解决实际问题
0
整式乘法与因式分解 将带你研究幂的运算性质 整式乘法 乘法公式
) * + +
和因式分解 体会数式运算的一致性
% 0
分式 将带你学习分式的概念 性质和运算 体会分式与分数的关联
) * + % %
探究分式方程的解法 运用分式方程解决简单问题
% 0
在 相交线 平行线与平移 中 你将进一步认识 相交 垂直 平
) ! * % ) * ) * )
行 了解平行线的基本事实 研究平行线的判定和性质 学会运用平移设计
*% % %
美丽的图案
0在学习的过程中 相信你会积极参与 观察 操作 思考 交流
!! % ) * ) * ) * ) *
探究 等活动 主动学习 迸发思维的火花 在 做数学 的过程中 更多
) * % % , ) * %
地与同学讨论 交流 促进对数学的理解和运用 感受数学学习的乐趣 逐渐
+ % % %
学会用数学的眼光观察现实世界 用数学的思维思考现实世界 用数学的语言
% %
表达现实世界
0目 录
第 6 章 实数 1
--------------------
*!"! 平方根!立方根 """""""""""""""""" &
*!&! 无理数和实数 """""""""""""""""" $
数学活动 探究将无限循环小数化为分数
! !!!!!! "’
信息技术应用 求槡的近似值
! ’ !!!!!!!!!!! "(
数学史话 无理数漫谈
! !!!!!!!!!!!!!! &%
小结·评价 ---------------------- &&
复习题 """"""""""""""""""""" &.
第 7 章 一元一次不等式与不等式组 26
--------
’!"! 不等式及其基本性质 """"""""""""""" &’
’!&! 一元一次不等式 """"""""""""""""" .+
数学活动 饮品促销方案分析
! !!!!!!!!!!! +%
’!.! 一元一次不等式组 """""""""""""""" +"
小结·评价 ---------------------- +#
复习题 """"""""""""""""""""" +*
第 8 章 整式乘法与因式分解 50
-----------
(!"! 幂的运算 """""""""""""""""""" #"
(!&! 整式乘法 """""""""""""""""""" *#
数学活动 求最大乘积
! !!!!!!!!!!!!!! ’.
(!.! 完全平方公式与平方差公式 """""""""""" ’+
(!+! 因式分解 """""""""""""""""""" (%
数学拓展 巧用因式分解
! !!!!!!!!!!!!! (’
数学史话 杨辉三角
! !!!!!!!!!!!!!!! ($
小结·评价 ---------------------- $"复习题 """"""""""""""""""""" $&
第 9 章 分式 96
-------------------
$!"! 分式及其基本性质 """""""""""""""" $’
数学拓展 类比推理
! !!!!!!!!!!!!!! "%.
$!&! 分式的运算 """""""""""""""""" "%#
$!.! 分式方程 """"""""""""""""""" ""#
数学拓展 两个等式的研究
! !!!!!!!!!!! "&%
小结·评价 ---------------------- "&&
复习题 """""""""""""""""""" "&.
第 10 章 相交线、平行线与平移 127
---------
"%!"!相交线 """""""""""""""""""" "&(
数学活动 怎样铺设节省材料
! !!!!!!!!!! ".#
"%!&!平行线的判定 """"""""""""""""" ".*
"%!.!平行线的性质 """"""""""""""""" "++
"%!+!平移 """"""""""""""""""""" "+(
信息技术应用 探究平移的基本性质
! !!!!!!! "#"
数学活动 钥匙复制原理
! !!!!!!!!!!!! "#&
小结·评价 ---------------------- "#.
复习题 """""""""""""""""""" "#+
综合与实践 简单的排队问题 158
----------
综合与实践 “数”说纳米材料 161
---------
综合与实践 探秘天文景象——火星冲日 164
-----
附录 部分中英文词汇对照表 166
-----------6
实数
第 章
!"!" 年 #! 月 #$ 日!嫦娥五号返回舱首次完成
月球采样任务!返回地球!返回舱返回地球时!是以
接近第二宇宙速度 "的速度进入地球大气层的!"
! !
满足以下关系式"
"! #!$%
!
#其中!$ 取%&’ !"#!! %取(&) &#"( !$!
如何求 "呢% 这就需要学习一种新的运算&&&
!
开方!
边长为# 的正方形的对角线长能用有理数表示
吗% 圆周率呢%
本章将学习平方根、立方根等知识，并在此基
础上认识无理数，进而将数的范围扩充到实数.
嫦娥五号探测器示意图
!!
书书书6
平方根、立方根
.1
1&平方根
问 题 装修房屋 选用了某种型号的正方形地砖 用 块这种地砖正好
! !"* ! ! )
铺 如图 块这种地砖的边长是多少
# !!! ( #! # "
图
( #
设 块正方形地砖的边长为 根据题意 有
# ’!! !
#
’! # !
)
这是已知一个数的平方 求这个数的问题
! !
一般地 如果一个数的平方等于 那么这个数叫作 的 也叫作 的
! (! ( 平方根! (
二次方根!
例如 因为 所以 的平方根是 与 可以
! #"! ##""!#)#"$! ##""! #"" +#" ,#"#
合写为
-#"$!
交流
的平方根是什么
#&#( !
的平方根是什么
!&" !
有没有平方根
.&,% !
第 章 实数
"! " !我们用槡表示 的正的平
**一个正数 ! 的平方根有两个!它们互为相反数" ( (
方根 读作 根号 其中 叫作 这个根也叫作 的 另一
! % (&! ( 被开方数! ( 算术平方根!
个负的平方根记为 槡 槡
,(!! 的平方根是!!! 的算术平方根也是!!即 ! "! "负数
没有平方根"
求一个数的平方根的运算叫作
开平方!
图
( !
由图 可知 开平方是平方的逆运算 根据这种关系 我们可以求出一
( ! ! ! !
些数的平方根
!
!例!1 求下列各数的平方根和算术平方根
* ’
#
##$ #(*#!$ ’#(*#.$ (*#)$ #,.$! !
()
因为 所以 的平方根是 即 槡 的算术平
解*##$ # *#$! ##! # *#! * # #*#(#
方根是
#!
因为 所以 的平方根是 即 槡 的算术平
#!$ # *%$! #’#! ’# *%! * ’# #*%(’#
方根是
%!
因为 ( # ) ! # 所以 # 的平方根是 # 即 槡# # #
#.$ * # ! * ! * #* (
’ () () ’ () ’ ()
的算术平方根是#
!
’
因为 所以 的平方根是 即 槡
#)$ # *.$! #%##).$!! #).$! *.! * #).$! #
的算术平方根是
*.(#).$! .!
平方根 立方根
"#$! ! !#6
利用计算器可以求一个正数的算术平方根或它的近似值
!
!例!2 用计算器求下列各式的值 精确到
* # "&"#$’
槡 槡 槡 槡/
##$ !(*#!$ #’."(*#.$ , "&’$((*#)$ !
$
在计算器上依次键入 显示结果是 精确
解*##$ ’ 槡 * ! 0! #&)#)!#./(!!
到 得槡
"&"#! ! "#&)#!
槡
#!$ #’." ")!&$’!
槡
#.$ ) "&’$( ")"&%)!
在计算器上依次键入
槡
#)$ ’ * # / 1 $ $ 0!
第二宇宙速
即可得 槡/
""&’/! 度是指使人造卫
$
星摆脱地球引力
束缚 并围绕太
本章引言中提到的速度 是第二宇宙速度
"
" !" #
! ! 阳运动所需的最
槡 其中 取 取 用计算器可
!$%! $ %&’ !"#!!% (&) &#"( !!
小发射速度
求得 !
**
槡
"# ! &%&’ &(&) &#"( ###!""#!"#$# ##&!#$!"#$!
!
!例!3 如图 跳水运动员要在空中下落的
* ( .!
短暂过程中完成一系列高难度的动作 如果不考虑空
!
气阻力等其他因素影响 弹跳到最高点后 人体下落到
! !
水面所需要的时间 与下落的高度 之间应遵循下面
+ ,
的公式
’
#
, # $+!!
!
图
( .
第 章 实数
$! " !其中 的单位是 的单位是 取 假设跳板离水面的高度是
, !!+ #!$ %&’!"#!! .!!
运动员在跳板上跳起至高出跳板 处开始下落 那么运动员下落到水面约
#&! ! !
需多长时间 精确到
" # "&"# #$
设运动员下落到水面需 根据题意 得
解* +#! !
#
. -#&! # &%&’+!!
!
! &)&!
+! # !
%&’
因为 所以 槡! &)&!
+."! +# ""&%.!
%&’
因而 运动员下落到水面约需
! "&%. #!
练习
判断正误 在题后的括号内打 或
#! ! "## "2#$%
是 的算术平方根
!#$ ) #( ! !**$
!是)的一个平方根
!!$ ! !**$
. %
的平方根是
!.$ !,/$! ,/ ! !**$
的算术平方根是
!)$ " " ! !**$
求下列各数的平方根 算术平方根 并用式子表示
$! & ’ %
!#$ )%(* !!$ !/ !
用计算器求下列各式的值 精确到
%! ! "&"#$%
槡 槡
!#$ #!$(* !!$ "&(./(
槡# 槡#
!.$ (* !)$ , !
#$% .
平方根 立方根
"#$! ! !%6
2&立方根
问 题 要做一个体积是 的正方体木箱 如
! !#* () %!. !
图 它的棱长是多少
( )! "
设正方体木箱的棱长为 根据题意 有
’%!! !
图
( )
’. #()!
这是已知一个数的立方 求这个数的问题
! !
一般地 如果一个数的立方等于 那么这个数叫作 的 也叫作 的
! (! ( 立方根! (
记作槡 读作 三次根号 其中 叫作 叫作
三次方根! . (! % (&! ( 被开方数!. 根指数!
求一个数的立方根的运算叫作
开立方!
在上面问题中 因为 所以 的立方根是 即
! ). #()! () )!
槡
. () #)!
开立方与立方互为逆运算 根据这种关系 可求出一些数的立方根
! ! !
!例!4 求下列各数的立方根
* ’
##$ !$(***#!$ ,()(***#.$ " !
因为 所以 的立方根是 即
解*##$ .. #!$! !$ .!
槡
. !$ #.!
因为 所以 的立方根是 即
#!$ #))$. #)()! )() ))!
槡
. )() #))!
一般地
因为 所以 的立方根是 即 "
#.$ ". #"! " "!
槡 槡
. )( #). (
槡 对吗
. " #"!** !
第 章 实数
&! " !正数的立方根是一个正数"负数的立方根是一个负数"! 的立方根是! "
利用计算器可以求一个数的立方根或它的近似值
!
!例!5 用计算器求下列各数的立方根 精确到
* # "&"#$’
#.$
##$ !(*#!$ $&$%$(*#.$ ,#$&)/((*#)$ !
.%’
在计算器上依次按键 显示结果是
槡
解*##$ ’ &’()* . * ! 0!
精确到 得槡
#&!/%%!#"/! "&"#! . ! "#&!(!
槡
#!$ . $&$%$ "#&%’!
请同学们自己算出第 题的结果
#.$#)$ !
练习
填表
#! %
! # ’ !$ ()
槡%
! / ( $ ’ % #"
求下列各数的立方根
$! %
!#$ "&$!%(***** !!$ ,"&$!%(*****
# #
!.$ (***** !)$ , !
’ ’
用计算器计算 精确到
%! ! "&#$%
槡 槡
. .
!#$ !’(*** !!$ "&.)/(*
.
槡 槡#
!.$ . ,#$&((* !)$ !
)’
平方根 立方根
"#$! ! !’6
习题 6&1
判断下列各式的正误 在题后的括号内打 或 错的请改正
#! ! "## "2#$’ %
槡
!#$ ) #*!! !**$
槡
!!$ !)($! #)(! !**$
槡
!.$ ! * )$! #)! !**$
求下列各数的平方根 算术平方根
$! & %
!#$ !,)$!( !!$ #"! !
用计算器求下列各式的值 精确到
%! ! "&"#$%
槡 槡 槡 槡
!#$ !’( !!$ "&)(!( !.$ , (/( !)$ - #’&!!
一个正方形的面积扩大到原来的 倍 则它的边长是原来的多少倍
&! % ’ )
求下列各数的立方根
’! %
!#$ $!%( !!$ !,!$.( !.$ !,’$! !
用计算器求下列各式的值 精确到
(! ! "&"#$%
.
槡 槡 槡’ 槡
!#$ . .’$( !!$ . ,#’( !.$ , ( !)$ - . !)"!!
!/
如图 如果一个正方体的体积变为原来的 倍 那么它的棱长发生了怎样的
)! ’ !$ ’
变化
)
第 题 第 题
! $ $ ! ’ $
****
如图 已知一球形储气罐的容积为 球的体积公式为 ) 是
*! ’ ##/ !.’ /# !%.!%
.
球的半径 求这个球形储气罐的半径 精确到
$’ !! "&# !$
第 章 实数
(! " !6
无理数和实数
.2
我们知道 有理数包括整数和分数 整数和分数可统一写成分数的形式 整
! ! #
数可以看作分母为 的分数 也就是说 有理数总可写成0 是整数 且
# $! ! #1! 0 !
1
的形式 例如
1$"$ ! !
!!
! # %
! # ! "&/ # ! )"!’# #) !
# ! ##
任何有限小数和无限循环小数都可以写成分数的形式
!
反过来 任何整数 分数都可以化为有限小数或无限循环小数 因此有理数
! ) !
是有限小数或无限循环小数
!
思考
图 是由 条横线 条竖线构成的方格网 它们相邻的行距 列距
( / ) #/ " #
都是 从这些纵横线相交得出的 个点 称为格点 中 我们可以选择其
#! !" $ % "
中 个格点作为顶点连接成一个正方形 这样的正方形叫作格点正方形
) " !
还有与这些面
积不相同的格点正
方形吗
!
图
( /
有面积分别是 的格点正方形吗
$#% #" )" % !
有面积是 的格点正方形吗 把它画出来
$!% ! ! !
无理数和实数
"#%! !)6
我们看到四个边长为 的相邻正方形的对角线就围成一
#
个面积为 的格点正方形 图 这种正方形的边长是
! # ( ($!
多少
" *
设这种正方形的边长为 则
’! ’! #!!
因为 所以 槡 图
’."! ’# !! ( (
探究
槡是一个怎样的数呢
! !
因为 所以
#! ## 2!! !! #) .!!
槡
# 2 ! 2!! "
这说明槡不可能是整数
! !
在 和 之间的一位小数有 那么槡在哪两个一位小数
# ! #&#! #&!! *! #&%! !
之间呢
"
因为 所以
#&)! ##&%( 2!! #&/! #!&!/ .!!
槡
#&) 2 ! 2#&/! #
同样 在 与 之间的两位小数有 那么槡在哪
! #&) #&/ #&)#! #&)!! *! #&)%! !
两个两位小数之间呢
"
因为 所以
#&)#! ##&%’’# 2!! #&)!! #!&"#() .!!
槡
#&)# 2 ! 2#&)!! $
类似地 可得
!
槡
#&)#) 2 ! 2#&)#/! %
**
第 章 实数
!*! " !像上面这样一直 无限 做下去 我们可以得到
# $ ! ’
槡
! ##&)#)!#./(!*!
槡是一个无限不循环小数 因此它不是有理数
! ! !
此外
!
槡
. ##&$.!"/"’"$*!
槡
. . ##&))!!)%/$"*!
!#.&#)#/%!(/.*!
这些数都是无限不循环小数
!
无限不循环小数叫作
无理数!
无理数可分为正无理数与负无理数 如槡 槡 是正无理数 槡
! !! .! ! (, !!
槡 是负无理数
,.! ,! !
有理数和无理数统称为 这样 我们认识的数的范围又一次扩
实数! !
大了
!*
实数可以按如下方式分类
’
正有理数
有理数 零 有限小数或无限循环小数
负有理数
实数
正无理数
无理数 无限不循环小数
负无理数
有理数 无理数都有正 负之分 因此实数也可以分类为
) ) ! ’
正实数
实数 零
负实数
无理数和实数
"#%! !!!6
练习
把下列各数分类填入图中
#! %
!
# # 槡
"’ .’ ,#’ , ’ ’ "&.’ ,"&!/’ .&#)’ !’ .’
! .
槡
槡 槡 槡 槡 ! 两
. !’ ()’ , #"’,. ’’ ’ "&#’# ’’# ’’’*!
!
个 之间依次增加一个
# ’$!
判断正误 在题后的括号内打 或
$! ! "## "2#$%
无限小数都是无理数
!#$ ! !**$ 第 题
! # $
无限不循环小数是无理数
!!$ ! !**$
无理数是带根号的数
!.$ ! !**$
分数是无理数
!)$ ! !**$
在 槡 槡 槡 槡 和槡 中 介于 和 之间的无理数有
%! %’ #!’ #.’ #( #$ ’ . )
********!*
思考
每一个有理数都可用数轴上的一个点来表示 无理数槡能用数轴上
" !
的点表示吗
!
如图 以数轴上的单位长度为边作一个正方形 以原点为圆心 这个
( $! ! )
正方形的对角线长为半径画圆弧 与数轴正半轴的交点记作 那么 点 表示
! 3! ! 3
什么数
" *
第 章 实数
!"! " !点 是画圆弧
34
时与数轴的另一交
点 它表示什么数
" !
图
( $
一般地 每个无理数都可以用数轴上的一个点来表示 数轴上的点不是表示
! !
无理数就是表示有理数 所以 把数从有理数扩充到实数以后
! ! !实数和数轴上的
即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示 数轴上的每一个点
点一一对应! !
都表示一个实数
!
在实数范围内 相反数 倒数 绝对值的意义与在有理数范围内完全一样
! ) ) !
例如
’
槡与 槡 互为相反数 有槡 槡
! ,! ! ! -#) !$ #"!
槡与 # 互为倒数 有槡 #
! ! ! & ##!
槡 槡
! !
任意一个实数 的绝对值仍然用 表示 如
( 3( 3 !
槡 槡 槡 槡
5. 5# .! 5) . 5# .!
实数和有理数一样 可以进行加 减 乘 除 乘方运算 正数及零可以进行开
! ) ) ) ) !
平方运算 任意一个实数可以进行开立方运算 有理数的运算法则和运算律对
! !
于实数仍然适用
!
!例!1 分别写出
* ’
槡 !的相反数
##$ ,$! (
.
槡 !的倒数
#!$ ,.! (
槡
/
槡 的绝对值
#.$ . ,!$! .&#),! (
绝对值为槡的实数
#)$ / !
无理数和实数
"#%! !!#6
槡 的相反数是槡 !的相反数是 !
解*##$ ,$ $! , !
. .
槡
槡 的倒数是 # !的倒数是 /
#!$ ,. , ! !
槡 槡
. / !
槡 的绝对值是 的绝对值是
#.$ . ,!$ .!.&#) )! !).&#)!
绝对值为槡的实数是 槡
#)$ / -/!
!例!2 近似计算 在实数运算中 如
* ’ "
槡 精确到 果遇到无理数 并且需
##$ . -!*# "&"#$( "
求出结果的近似值 可
槡 槡 精确到 "
#!$ / & $ *# "&#$!
以按照所要求的精确
槡
解 *##$ . -!"#&$.! -.&#)# #)&’$.")&’$!
度用近似的有限小数
槡 槡
#!$ / & $ "!&!. &!&() #/&’’$! "/&%! 代替无理数 再进行计
"
算 在计算过程中
两个实数可以像有理数一样比较大小 即数轴上 ! "
! 舍去 的方法是比计
右边的点所表示的数总是大于左边的点所表示的数 & ’
! 算结果要求的精度多
在实数范围内也有
’ 保留一位小数 最后对
"
正数大于零!负数小于零!正数大于负数" 计算结果四舍五入
!
两个正数!绝对值大的数较大"
两个负数!绝对值大的数反而小"
!例!3 在数轴上作出表示下列各数的点 比较它们的大小 并用 连接
* ! ! %4&
它们
!
槡 槡 槡
)#! !! )!! ) !! 5)! ! 5! /!
解*
图
( ’
由数轴上各点的位置 图 得
# ( ’$!
槡 槡 槡
)! 2) ! 2)# 2 ! 25)! ! 52/!
第 章 实数
!$! " !交流
槡
你会比较 !"# 与 % 的大小吗
!
$ $
练习
如图 已知一个实数 在数轴上的位置为点 则下列说法错误的是
!! ! " #!
!!
"&&#!&
第 题
" % #
的相反数是 的倒数是%
"!# " "" ""# "
"
的绝对值是 的绝对值是
"## " " "$# " ""
近似计算 精确到
"! " ’(’%#$
槡 槡
"%# ! $ ) %&&&&&
% 槡 槡
"## % + &# $ !
*
比较下列各组数中两个数的大小
#! $
槡 槡
"%# ")! "+%&&&&&
槡 槡
"## !! $%&&&&
槡
$"% %
"$# ! !
# #
无理数和实数
!"#$ $!"
书书书6
习题 6!2
选择
!! !
下列实数中 无理数的个数有
""# $ "###!
!!
槡 (( 槡
!$ $ %&$ ’!(%$ $ % *$ %!"+"&!
)
个 个
"!# " ""# (
个 个
"## % "$# +
与数轴上所有的点一一对应的是
"(# "###!
全体有理数 全体整数
"!# # ""#
全体自然数 全体实数
"## # "$#
写出两个介于 和 之间的无理数
"! + * !
求下列各数的相反数和绝对值
#! !
槡
槡 % 槡 槡 槡 槡
$*$ $ % $"$ !$%!"+$ *$)$ %$"!)%!
(
比较下列各组数的大小
$! !
!
和
""# $%!" $%!"%####
"和
"(# $ $!%
"’
槡
槡 和 *
"%# ( %
(
槡 和
"+# (, *!% !
近似计算 精确到
%! " ’!’"#!
槡 槡 槡
""# % " * #( ) %
槡 槡
"(# (!" % " (# !
第 章 实数
!"! " !
书书书数学活动
探究将无限循环小数化为分数
请你将下列分数化成小数形式
##"! !
" "( "’(
- - -
, ,, ,,,
% "% ("%
- - -
, ,, ,,,
交流
观察上面各算式 你发现了什么规律
" #
请根据你发现的规律将下列小数写成分数形式 并验算结果是否正确
(! " !
!! !! ! !
’!", - ’!"(* - ’!"((% -
探究
! !!
’!% -’!%%%%$" ’!", -’!",",",",$"
! !!
%!% -%!%%%%$" ",!", -",!",",",",$!
上下两行数字具有怎样的数量关系 如果设上一行的数分别为 和
# $ %"
你能否利用方程的方法 写出它们的分数形式
" #
请你利用上面解一元一次方程的方法 写出下面混循环小数的分数形式
%! " !
! !!
’!’% - ’!("" , -
无理数和实数
"#$! !!#6
信息技术应用
槡
求 7的近似值
在科学研究 生产生活中经常遇到涉及无理数运算的问题 人们常常根据需
% "
要取无理数的近似值参与计算
!
使用计算器等工具 我们可以很容易得到一些无理数的近似值 但我们并不
" "
了解这些工具的计算原理 教材 节中给出了一种求槡的近似值的方法 我
! &!( ( "
们可以用同样的方法 借助电子表格软件求槡的近似值
" ) !
打开电子表格软件 在 中输入合适的数值 在 中输入 在
" !" " "" !& -!".(’"
中输入 在 中输入 下面各行也按照同样的方法操作
#" !&)’" $" !&-""$#"’! "
就可以求出槡的近似值了 如图
) " & , !
图
& ,
第 章 实数
!$! " !小明同学用图 所示的方法求槡的近似值 你能用这个方法求槡的近
& "’ ) " )
似值吗 精确到千分位
# ( )
因为
## (( &) &%(!
所以 ( & 槡 ) &%!
##
取 和 的中点
( % "( "%# ’( ((!*!
因为
(!*( (&!(* &)!
所以 (!* & 槡 ) &%!
取 和 的中点
(!* % (!)*!
因为
) &(!)*(!
所以 (!* & 槡 ) &(!)*!
取 和 的中点
(!* (!)* (!&(*!
因为
(!&(*( &)!
所以 (!&(* & 槡 ) &(!)*!
取 和 的中点
(!&(* (!)* (!&/)*!
因为
) &(!&/)*(!
所以 (!&(* & 槡 ) &(!&/)*!
取 和 的中点
(!&(* (!&/)* (!&*&(*!
$$
图
& "’
你还能想到其他的方法吗
#
无理数和实数
"#$! !!%6
数 学 史 话
无理数漫谈
一
( ) $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$
公元前 世纪左右 在古希腊哲学家和数学家毕达哥拉斯 前
* " (%&’()*+,)-"
至前 之间 约前 的领导下 成立了一个秘密会社 也就是后人所称
*/’ *)’ * *’’) " "
的毕达哥拉斯学派 这个学派的基本信条是 万物皆数 他们所说的数仅仅指
" & ’!
整数和分数 其中分数被看成两个整数之比
" !
毕达哥拉斯学派发现一个既不是整数 又不是整数之比的数 它就是边长为
" "
的正方形的对角线的长度 这一发现动摇了毕达哥拉斯学派的基本信条 引
" ! "
起数学史上第一次基础理论的危机
!
在此后的 多年里 人们对无理数进行了孜孜不倦的探索 一直到
(’’’ " ! ",
世纪人们才真正对无理数有了一个全面的认识
!
有理数 无理数 这两个名词是由英文翻
& ’& ’
译过 来 的 有 理 数 一 词 的 英 文 是
" & ,)’.+/)0
其中 有两层含义 一是 比
/1234,’" &,)’.+/)0’ ! &
率 二是 合理 从数学含义来说应该取前者
’" & ’! "
所以有理数实际上应该是 比数 而无理数
& ’"
应该是 非比数 在我国 徐
&.,,)’.+/)0/1234,’ & ’! "
光启 李善兰 把它们
("*&(*"&%%)% ("/""*"//()
译成 有理数 无理数 这一译名又流传到日
& ’& ’"
徐光启
本 经过长时间的使用 大家也习惯了 所以沿
! " "
用至今
!
二
( ) $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$
下面给出槡不是有理数的证明
( !
假设槡是有理数 那么有互素的两个正整数 使
( " )" *"
第 章 实数
&’! " !槡 *
( ( "
)
所以有
*(
(("
)(
也就是
*( (()(!
由于上式的右边 是偶数 故左边 也是偶数 因而 应是偶数 可设
()( " *( " * "
取整数 代入上式 得
* ((+(+ )" "
++( (()("
即
(+( ()(!
这就得出 也是偶数 由于 也是偶数 因此 与 不互素 与假设矛盾 即槡
) " * " * ) " " (
不是有理数
!
上述这种证明问题的方法 叫作反证法 它是数学中的一种重要的推理方
" !
法 在以后的学习中我们也会经常用到它
" !
无理数和实数
"#$! !&!6
小结·评价
一 知识体系
## !
 )
D0 
/ )
二 回顾与思考
## !
"!如果一个数的平方等于 ,!那么这个数叫作 , 的####!求一个
数的平方根的运算叫作####!正数 , 的平方根有两个!其中正的平方
根叫作 , 的######!’ 的算术平方根是####!
(!如果一个数的立方等于 ,!那么这个数叫作 , 的####!求一个
数的立方根的运算叫作####!
%!无限不循环小数叫作无理数!有理数和无理数统称为实数!实数可
按如下方式分类"

U K@@@@@@@U U@@@@@@@@@@@@U
) )
) L B ) ) B)
+!实数的加#减#乘#除#乘方#开平方#开立方运算具有与有理数相同
的运算法则和运算律!
三 自评与互评
## !
"!请你举例说明求平方根和求立方根问题在现实生活中的应用!
第 章 实数
&&! " !##(!开方运算与什么运算互为逆运算$ 我们研究运算经历了怎样的
过程$
%!数从有理数扩充到实数后!对解决问题有什么好处$ 和同学交流一
下你的看法!
+!选一个无理数!由你和你的同学分别给出估计的近似值!并交流估
计的结果和方法!
复习题
组
!
求下列各数的算术平方根及平方根
!! !
, ( ()(
""# ’!"&%## "(# %## "%# %+%## "+# $ !
+, %
求下列各数的立方根
"! !
"
""# $ % "(# $’!’’"%
()
"(*
"%# % "+# (& !
/
比较下列各组数的大小
#! !
槡
槡 槡 和 ( 槡 和
""# %$( $ %#### "(# "( %!+%####
%
槡
*$" 和%
"%# !
( *
一个正方形的面积扩大为原来面积的 倍 扩大后正方形的边长是原来边长
$! + $
的多少倍 若面积扩大为原来面积的 倍呢
& * &
计算 精确到
%! " ’!’"#!
槡 槡 槡 槡 槡
""# -% ( # % -"( ( % "(# % & .!’ * !
小结 评价
! !&(6
复习题
组
"
设数轴上点 和点 分别表示数 槡 和槡 哪些整数所表示的点介于
!!""# / 0 $% *$ /$
之间
0 &
槡 和槡 分别介于哪两个相邻的整数之间
%
"(# %* ,, &
如图 一个正方体铁块放入圆柱形玻璃容器后 完全没入容器内水中 使
"! $ $ $
容器中的水面升高 如果容器的底面直径是 求正方体铁块的棱
% 52$ (’ 52$
长 精确到
!" ’!" 52##
第 题
" ( #
把两个半径分别是 的铅球熔化后做成一个更大的铅球 这个大铅球的半
#! %$ * $
径是多少 精确到 球的体积公式是 + 其中 是球的半径
& " ’!"$ 1( !2%$ 2 #
%
第 题
" % #
如图 直径为 的圆从原点沿数轴向右滚动一周 圆上与原点重合的一点
$! $ " $ 3
到达点 点 表示什么数
34$ 34 &
第 题
" + #
第 章 实数
&)! " !复习题
组
#
在方格网 图 中 你能画出面积为 的格点正方形吗 一共可以画几个
!! " & *# $ * & &
用计算器计算 并将结果填在表中 精确到
"!""# $ " ’!’’"#!
槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡
原 式 ’!’’% ’!’% ’!% % %’ %’’ %’’’
结 果
根据槡 能得到槡 槡 槡 槡 槡 的值吗
"(# % !"!)%($ ’!’’%$ ’!’%$ ’!%$ %’$ %’’ &
根据槡 能得到槡 槡 槡 槡 的值吗
% % % % %
"%# % !"!++($ ’!’’%$ ’!’%$ %’$ %’’’ &
下图是两个面积为 的正方形 试对所给图形进行分割 然后拼成面积为 的
#! " $ $ (
大正方形 请在图中画出分割线 并在虚线框内画出拼成的大正方形 写出
! $ $
大正方形的边长
!
第 题
" % #
小结 评价
! !&*一元一次不等式
7
第 章
与不等式组
数量间的关系有!相等"的情况#还有!不等"的
情况!例如#某表演活动推出个人票和团体票#如何
根据观看人数购买门票更合算$ 对于这个问题#常
常先用代数式分别表示两种购票方案的费用!如果
费用相等#可以利用等式来描述%如果费用不等#则
可以用不等式来描述!然后通过解方程和解不等式
来解决问题!
本章将从什么是不等式说起，类比等式的研究
方法来讨论不等式的基本性质，学习一元一次不等
式和不等式组的解法，以及如何运用不等式解决
问题.
国家大剧院
!"! !
书书书7
不等式及其基本性质
.1
在前面的学习中 我们已经知道 两个数或同类的量比较 有相等关系 也有
! ! ! !
不等关系 例如 倾斜的天平两边物体的质量关系是不等关系
! ! !
问 题 用适当的式子表示下列关系
! !"! "
与 的差是负数
#"$ " # !!!!!!!!
的 倍与 的差大于 的 倍
##$ $ $ " $ % !!!!!!!!
与 的和不大于
#%$ #$ % $ !!!!!!!!
问 题 闪电的温度大约是 比太阳表面温度的 倍还要高
! !#! #&’’’ !! ()$ !
设太阳表面温度为 那么 应满足的关系式是
%!! % !!!!!!!!!
问 题 某种药品每片为 说明书上写着 每日用量
! !$! ’)#$ "! "% ’)*$+#)#$ "
包括 和 分 次服用 设某人一次服用 片 那么 应满足的
# ’)*$ " #)#$ "$! % &! $ ! $
关系式是
!!!!!!!!!
用不等号 或 表示不等关系的式子
#,’ "’ -’ ! #$
叫作 不 大 于 即
不等式! !
有一些不等式中不含有未知数 例如 小于或等于 用
! " &#! ’% (’(( !
有一些不等式中含有未知数 例如 表示 不小
! $$’" (%$! #$) "!# $
于 即大于或等
% !$!! !
对于不等式 于 用 表示
#$)% !$" ! ""# !
当 取 时 代入原不等式左边 得
$ ’ ! !
#$)% *# +’ )% *%!
不等式及其基本性质
"#$! !!#7
当 取 时 代入原不等式左边 得
!! ! " ! !
#!"$ ## $" "$ #%%
当 取 时 代入原不等式左边 得
! # ! !
#!"$ ## $# "$ #&%
这就是说 当 取某些值 如 时 不等式 成立 当 取另外一
! ! " ’! "# ! #!"$!% $ !
些值 如 时 不等式 不成立
" ## ! #!"$ !% %
思考
判断下列给出的数中哪些能使 成立
"( #!"$ !% !
&"" ’(%" "(%" &#%
你还能找出使上述不等式成立的其他数吗 找出后在数轴上标出
#( #
来 你有什么发现
" #
一般地 能够使不等式成立的未知数的值 叫作这个 所有这些
! ! 不等式的解%
解的全体称为这个
不等式的解集%
由上可知 不大于 的任何一个实数 如 等 都是不等式 的
! " " ’! " # #!"$ ! %
解 而所有这些解的全体 称为这个不等式的解集
! "!!"# %
不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来 如 可用数轴上表示
% !! "! "
的点以及左边所有点来表示 图
" & "#%
如果
!’""
那么在数轴上把
1 0 1 2
图 表示 的点画成
& " "
空心圆圈
解集 包括 则在数轴上把表示 的点画成实 %
!!" "! "
心点
%!
第 章 一元一次不等式与不等式组
!"! " !
书书书练习
分别求 满足的数量关系
!! % !
甲市某天最低气温为 最高气温为 设该市这天某一时刻
""# ." !$ $ !$
的气温为
%!%
某段长为 的公路 对行驶汽车限速为 不超过
"## %’ #$ ,- " #/’ #$%&$
一辆汽车从 到 的行驶时间为
, - %& !
在 槡 % 这些数中 哪些是不等式 的解
"! "$ ($ #$ .#$ *$ $ ! $ #$’$ &" &
#
用含 的不等式表示下图数轴中所表示的不等式的解集
#! $ !
""# !!!!!!!!"##
1 0 1 2 3 4 5 1 0 1 2 3 4
我们学过利用等式的基本性质解方程 类似地 在求不等式的解集的过程中
! !
也要利用不等式的基本性质 下面我们先来讨论不等式的基本性质
! !
观察
如图 在一台天平两端的托盘中分别放置了质量为 的砝码
* #! "! # !
图中天平倾斜 这直观地说明 这时 如果在两端托盘中同时加上质
! " (#! !
量为 的砝码 天平的倾斜方向会改变吗 这反映的数量关系是什么呢
. ! & &
图
* #
不等式及其基本性质
"#$! !!%7
不等式有如下的基本性质
!! "
!!性质1!不等式的两边都加上!或减去"同一个数!或式子"#不等号的方
向不变#即
如果 ! "##那么 ! $%"# $%# ! &%"# &%’
思考
对于倾斜的天平 如果两边砝码的质量同时扩大相同的倍数或同时
!
缩小为原来的几分之一 那么天平的倾斜方向会改变吗
! &
!!性质2!不等式的两边都乘以!或除以"同一个正数#不等号的方向不
变#即
! #
如果 ! "## %"$#那么 !%"#%# " ’
% %
探究
如果 那么它们的相反数 与 哪个大 你能用数轴上点
"! " (#! ." .# !
的位置关系和具体的例子加以说明吗
&
如果 那么 这个式子可理解为
#! " (#! ’" &’#! %
" +’’"( &# +’’"(!
这样 对于不等式 两边同乘以 会得到什么结果呢
! " (#! .%! &
如果 那么 与 有怎样的大小关系
%! " (#! .&’! ". #. &
第 章 一元一次不等式与不等式组
&’! " !!!性质 3!不等式的两边都乘以!或除以"同一个负数#不等号的方向改
变#即
! #
如果 ! "## %($#那么 !%(#%# ( ’
% %
性质4!如果 ! "##那么 # (!’
例如 由 可得
! % ($! $&%!
观察
如图 设数轴上的三个点 分别表示三个实数 从
* %! ,! -! / "! #! .!
中你能发现不等式的什么性质
&7
练习
如果 用不等号填空
!! " &#$ !
""# ("!!!!(#%!!!!!!"## " ’"’!!!!# ’"’%
" " $ $
"%# "!!!! #% "(# ’ " !!!! ’ #!
% % # #
若 判断下列不等式是否正确
"! 0(1$ !
""# 0’* &1 ’*! "!!#
"## %0&%1! "!!#
"%# ’$0(’$1! "!!#
0 1
"(# ( ! "!!#
0 0
如果 用不等号填空
#! $" 2$ " &’$ # (’$ !
$ 2
""# !!!! %!!!!!!"## #$!!!!#2%
" "
"%# #$!!!!$)2% "(# "#$!!!!"#2!
习题 7)1
用不等式表示下列关系
!! !
是正数 是负数
""# " %!!!!!!!!!! !!"## " %
与 的和是正数 减 的差是负数
"%# " $ %! "(# # $ %
的 倍大于或等于 的一半小于
"$# $ % 0%! "/# 2 % !
下列数中哪些是不等式 的解 哪些不是
"! #$&/ & &
%
.%$ .#)$$ ’$ "$ $ %$ $)$!
#
第 章 一元一次不等式与不等式组
&!! " !已知 判断下列不等式是否成立
#! " &#$ !
""# " ’% &# ’%! "!!#
"## #" &##! "!!#
"%# ’$" &’$#! "!!#
"(# ’(" )# &’(# )#! "!!#
用 或 填空
%! ’,( ’-( !
如果 那么
""# " ’" &# ’"$ "!!#%
如果 那么
"## %" (%#$ "!!#%
如果 那么
"%# ’" &’#$ "!!#%
如果 那么
"(# #" )" &## )"$ "!!#%
如果 那么
"$# " (#$ """ ’##!!#"" ’##!
用 或 填空
&! ’-( ’,( !
当 时
""# " (’$ #!!’ $ "# (’%!!
当 时
"## " (’$ #!!’ $ "# &’%
当 时
"%# " &’$ #!!’ $ "# (’%
当 时
"(# " &’$ #!!’ $ "# &’!
根据不等式的基本性质 将下列不等式化成 或 的形式
’! $ ’ $(" ( ’ $&" ( !
""# $’" &%%!! "## /$&$$’#%!!
$
"%# &$%!! "(# ’($(%!
%
已知实数 满足 请判断 与 的大小
(! "$ #$ . !" )# ).*’$ %" )## ).(’! " .
关系 并说明理由
$ !
不等式及其基本性质
"#$! !&&7
一元一次不等式
.2
问 题 某公司的统计资料表明 科研经费每增加 万元 年利润就增加
! !! ! " !
万元 如果该公司原来的年利润为 万元 要使年利润超过 万元 那
")& ! #’’ ! #($ !
么增加的科研经费应高于多少万元
)
设该公司增加科研经费 万元 那么年利润就增加 万元 因为年利润
$ ! ")&$ !
要超过 万元 所以
#($ !
#’’ )")&$(#($!
这样就得到了含有未知数的不等式 像这种含有一个未知数 未知数的次
! !
数是 且不等号两边都是整式的不等式叫作
" 一元一次不等式!
一般地 利用不等式的性质 采用与解一元一次方程相类似的步骤 就可以
! ! !
求出一元一次不等式的解集
!
对于不等式 根据不等式的性质 两边同时减去
#’’ )")&$(#($! "!
得
#’’!
#’’ )")&$’#’’ (#($ ’#’’!
即
")&$(($!
再根据不等式的性质 两边同时除以 得
#! ")&!
$(#$!
因此 这个不等式的解集为
! $(#$!
像这样求不等式的解集的过程叫作
解不等式!
第 章 一元一次不等式与不等式组
&)! " !%例%1 解不等式 并把它的解集在数轴上表示出来
! "#$)$!*## ’$$! !
去括号 得
!!解! !
#$)$ !"( ’*$!
移项 得
! 解不等式时也
可以 移项 依据
#$)*$!"( ’$!
" #!
合并同类项 得 是什么 移项时
& !
!
是否要改变不等号
0$!0!
的方向
&
系数化成 得
$ "!
$!"!
在数轴上表示不等式的解集 图
# * ($!
图
* (
练习
解下列不等式 并把它们的解集在数轴上表示出来
!! $ !
""# #$(’&%!!!!!!!!!!
"## ’($&#%
"%# $$’( !*$’"%
"(# #$’$ "# )$$!
解下列不等式
"! !
""# %"" ’$# ! $)&%
"## "# ’#$(%"#$’%#!
一元一次不等式
"#%! !&*7
%例%2 解不等式 并把它的解集在数轴上表示出来
! ! "
( )$ $
’" & !
% #
不等式两边同乘以 得
解! /!
##( )$$ ’/ &%$!
去括号 得
!
& )#$’/ &%$!
移项 合并同类项 得
’ !
’$&’#!
系数化成 得
$ "!
$(#!
在数轴上表示不等式的解集 图
# * $$!!
图
* $
交流
一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法有哪些相同点和不同
点 为什么解法会有不同
& &
第 章 一元一次不等式与不等式组
&"! " !练习
解下列不等式
!! !
%$)* #$)" $’%
""# ($’"% "## ( !
$ ’"$ %
当 取什么值时 代数式 的值分别满足下列条件
"! $ $ ($’" !
大于 小于
""# *% "## ’#$)$!
设 表示三种不同的物体 现用天平称了两次 情况如图所示
#! $ $ $ $ $
那么 这三种物体的质量从大到小的顺序排列应为
$ $ "!!#!
第 题
" % #
"(# $ $ ")# $ $
"*# $ $ "+# $ $
%例%3 为拓宽农民增收致富渠道 某村依托自身油菜种植业优势 举办
! ! !
油菜花节 其间进行民俗表演 表演收取门票 个人票每张 元 人以上 含
! ! ! "’ !#’ #
人 的团体票 折优惠 在人数不足 人的情况下 何时买 人的团体票
#’ $ & ! #’ ! #’
比买个人票要便宜
)
一元一次不等式
"#%! !&#7
设人数为 买个人票需要 元 买 人的团体票需要
!!解! $! "’$ ! #’ #’ +"’ +&’!
元 根据题意 得
! !
"’$(#’ +"’ +&’!!
解不等式 得
!
$("/!
因为人数必须是小于 的整数 即 因此 当人数是 时
#’ ! $&#’! ! "*! "&! "0 !
买 人的团体票比买个人票要便宜
#’ !
练习
学校准备用 元购买名著和字典 其中名著每套 元 字典每本
!! #’’’ $ /$ $ (’
元 现已购买名著 套 问最多还能买字典多少本
! #’ $ &
甲步行的速度为 先走 后 乙从甲的出发地沿相同路径追赶
"! $#$%&$ %’$,- $
甲 乙步行的速度最快为 问乙至少需要多少时间才能赶上甲
$ / #$%&$ &
习题 7)2
解下列不等式 并把它们的解集在数轴上表示出来
!! $ !
#
""# ’ $&’(%!!!!!!!!!"## "( ’*$!0 ’#$%
%
"%# ("$’%# !#"$’"#% "(# "" ’%$"#"$’##!
设代数式 的值不大于 求 的取值范围
"! %"".#$# .#$ $ !
解下列不等式
#! !
/$)" " %
""# #$’( ( % "## $’ "($’"# & %
# # #
( )$ ("$)"# #$’$ $)#
"%# )" " % "(# (%$’ !
# % / (
第 章 一元一次不等式与不等式组
&$! " !根据下列用数轴表示的不等式的解集 写出一个相应的含 的不等式
%! $ $ !
求满足不等式 的所有正整数解
&! %"$’## &"# !
李老师开车从家到学校 如果离家最初的 平均速度为 超过
’! $ / #$$ %’ #$%&$
后 平均速度为 那么 李老师每天从家到学校所需时间不超
/ #$ $ $’ #$%& ! $
过 求李老师家到学校的距离最远是多少
’)$ &$ &
一水果商某次按每千克 元购进一批苹果 销售过程中有 的苹果正常
(! ( $ #’!
损耗 问该水果商把售价定为多少时可以避免亏本
! &
学校举行环保知识竞赛 共有 个问题 答对一题得 分 不答或答错一
)! $ #’ $ $ $
题扣 分 如果王林希望自己的得分不低于 分 那么他至少应答对多
% ! &’ $
少题
&
请举出一个生活中的事例 说明不等式 的实际意义
*! $ #$)$ ("" !
一元一次不等式
"#%! !&%7
数学活动
饮品促销方案分析
小王和小李自主创业 开了家饮品店 他们销售某种饮品 一杯饮品售价为
! ! !
元 成本为 元 现在他们想采用 第二杯半价 的方式进行促销 期望能通过
& ! # ! " # !
提高销售量 扩大利润
! !
按此促销方式 如果一个顾客一次买两杯这种饮品 相当于多少折扣的
’"( ! !
价格优惠
&
假定一杯这种饮品的利润 售价 成本 以前每天平均能售出 杯 要
’#( 1 . ! #’’ !
使现在每天的平均销售利润比以前有所增长 请建立数学模型分析现在每天的
!
平均销售量应满足什么要求
!
第 章 一元一次不等式与不等式组
)’! " !7
一元一次不等式组
.3
问 题 小莉带 元钱去超市买作业本 她拿了 本 付款时钱不够 于是
! !"! $ ! $ ! !
小莉退掉一本 收银员找给她一些零钱 请你估计作业本单价的范围
! ! !
设作业本的单价为 元 那么 本作业本的价格为 元 根据 付款时钱不
$ ! $ $$ ! %
够 可知 退掉一本 即 本作业本的价格应为 元 由于收银员还找了
& $$($! ! ( ($ !
一些零钱 于是 这里 作业本的单价 应同时满足上述两个不等式
! ($&$! ! $ !
把这两个不等式合写在一起 用大括号括起来 就得到一个不等式组
! ! "
$$($! "
($&$! #
问 题 某村种植杂交水稻 去年的总产量是 今年改进
! !#! & &$#! 0(&’’ #" !
了耕作技术 估计总产量比去年增产 包括 和 那么今年水稻
! #!+(!# #! (!$!
平均每公顷的产量将会在什么范围内
)
设今年水稻平均每公顷的产量为 则今年水稻的总产量为 根据题
$#"! &$#"!
意 得
!
&$"0(&’’ +#" )#!$! "
&$!0(&’’ +#" )(!$! #
一元一次不等式组
"#&! !)(7
像上面这样 由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组
!! ! !
叫作 这几个一元一次不等式解集的公共部分 叫作这个一
一元一次不等式组! !
元一次不等式组的
解集!
求不等式组解集的过程叫作
解不等式组!
%例%1 解不等式组
! "
#$)% (’! "
% )$&%$’"! #
解不等式 得
解! "!
$(’")$!
解不等式 得
#!
$(#!
在数轴上分别表示这两个不等式的解集 图
# * /$!
利用数轴来
确定不等式组的
解集 直观简明
! !
图
* /
!
由图 可知 这两个不等式解集的公共部分是
* / !
因此 原不等式组的解集是
$(#! ! $(#!
练习
说出下列不等式组的解集
!! !
槡
$(’$ $&’$$ $(#$ $& #$
""# !!"## !!"%# !!"(#
$(’#% $&’"% $&*% $&")("!
解下列不等式组 并把解集在数轴上表示出来
"! $ !
#$’" " $)"$ $$)/ (($
""# !!!!!!"##
$)& &($)"% "$ )0$&"’ ’($!
第 章 一元一次不等式与不等式组
)!! " !%例%2 解不等式组
! "
$$’# &*$’(! !"
#$’" %$)" !
( ! #
% # !
解不等式 得
解! "!
$("!
解不等式 得
#!
$&’"!
在数轴上分别表示这两个不等式的解
集 图
# * *$!
从图 可知 这两个不等式的解集
* * ! 图
* *
无公共部分 因此 原不等式组无解
! ! !
交流
说一说不等式组的解集有哪几种情况
") &
假设 你能很快说出下列不等式组的解集吗
#) " &#! &
$("! $&"!
#"$ !!!!!##$ 如果你有困难
$(#( $&#( !
就求助于数轴吧
$("! $&"! )
#%$ #($
$&#( $(#!
练习
解下列不等式组 并把解集在数轴上表示出来
!! $ !
$’# $$’# (%"$)"#$
#$)$ ($$)#$ ""$
""# !"## % !"%# * %
#"$’"# (%$% ’ $’""* ’ $!
%$)#"""% # #
一元一次不等式组
"#&! !)&7
解本节开始的问题 中得到的不等式组
"! "$ # !
$$($$ &$"0(&’’ +"" )#!#$
""# !!!!!!!"##
($&$% &$!0(&’’ +"" )(!#!
习题 7)3
解下列不等式组
!! !
#$’% ($’($ #$)" &*$
""# !!!!!!!!"##
$$)" &%$)%% * "%$)(!
解下列不等式组
"! !
$’(
%$&/ )$$$ ""$
""# !!! "## $
($&#"$’"#%
#"$)"# ""’%
$’( "%"$’##$
"%# " )#$ "(# "" &" ’#$&#"!
($’"%
%
某生物兴趣小组要在恒温箱中培养 两种菌种 种菌种生长的温度在
#! ($ ) $(
之间 种菌种的生长温度在 之间 那么恒温箱的温度
%$+%& ! $) %(+%/! $ %!
应该设定在什么范围内
&
黄山素以奇松 怪石 云海 温泉 冬雪 五绝 景观著称于世 境内群峰竞秀
%! ) ) ) ) ’ ( $ $
怪石林立 一位游客在登山时 从某休息处 海拔 准备攀登海拔
! $ " &’’+0’’ $#
约 的最高峰 莲花峰 莲花峰与休息处海拔高度差的范围是
"&/()& $ *** !
多少
&
第 章 一元一次不等式与不等式组
))! " ! 黄山莲花峰小结·评价
一 知识体系
!! !
0 0+ B
 0
 0
03
 03
二 回顾与思考
!! !
"!不等式的基本性质&
’"( !%
’#( !%
’%( !%
’(( !%
’$( !!
#!解一元一次不等式#就是根据不等式的基本性质和运算律#通过
!!!!)!!!!)!!!!)!!!!等步骤#将原不等式变形为不等
式 !"#$’! #’( 的形式#再在不等式两边同除以未知数的系数 "#从而得
到不等式的解集$!!!!’当! #’时(*或$!!!!’当! %’时(+!
%!解不等式组是求不等式组!!!!的过程!
假设 " (##
"#!#
’"( 不等式组 的解集为!!!!!!%
"#$
"%!#
’#( 不等式组 的解集为!!!!!!%
"%$
"%!#
’%( 不等式组 的解集为!!!!!!%
"#$
"#!#
’(( 不等式组 的解集为!!!!!!!
"%$
小结 评价
! !)*7
!!(!不等式’组(是反映现实世界数量之间不等关系的一个数学模型#
建立不等式’组(模型解决实际问题的关键是&
’"( 分析问题中有哪些数量%
’#( 分析这些数量间的关系%
’%( 建立不等式’组(模型!
三 自评与互评
!! !
"!解一元一次不等式’组(过程中#有哪些需要注意的问题$ 与同学
们分享!
#!方程和不等式都是描述现实生活中数量关系的重要模型#你能说说
两者的相同点与不同点吗$
复习题
组
%
填空
!! !
的"与 的差为正数 用不等式表示为
""# $ $ $ !!!!%
%
某种植物生长的适宜温度不能低于 也不能高于 若设该种植
"## "&!$ ##!$
物生长的适宜温度为 请你用含 的不等式表示这种植物生长的适
$!$ $
宜温度范围
!!!!!!%
恩格尔系数是指家庭日常食品支出占家庭消费支出总额的比例 它反映
"%# $
了居民家庭的实际生活水平 根据联合国粮农组织提出的标准 不同类
! $
型家庭的恩格尔系数如下表所示
!
贫穷 温饱 小康 相对富裕 富足 极其富裕
家庭类型
以上 以下
恩格尔系数 /’! $’!+/’! (’!+$’! %’!+(’! #’!+%’! #’!
设恩格尔系数为 请你用含 的不等式表示小康型家庭的恩格尔系数
!! 1$ 1
的范围
!!!!!!%
第 章 一元一次不等式与不等式组
)"! " !如果 那么
"(# " )# (.)#$ "!!.%
如果 且" # 那么
"$# .&’$ ( $ "!!# !
. .
在下列括号内填上不等式变形的依据
"! !
由 得
""# %$’$ ("$ %$(/! "!!!!!!!!!!!!!!!!#
由 得 "
"## ’#$("$ $&’ ! "!!!!!!!!!!!!!!!!#
#
由 得
"%# " ’$&%$ ’$&#! "!!!!!!!!!!!!!!!!#
由 " " 得 $
"(# $( $ $( ! "!!!!!!!!!!!!!!!!#
$ % %
解下列不等式 并在数轴上表示它们的解集
#! $ !
$ $)"’
""# * ’#"$’%# !$$’"%!!!!!!"## " ’ ! !
% #
解下列不等式组
%! !
$’" &’$
""#
" ’$"%%
"## " &($’% &$%
#$’% ($’"$
"%# !!!!!!!
#$)0 &($’"%
%$’$
! $’#$
"(# #
%"$’"# &("$’"#!
去年某市空气质量优良的天数与全年天数 天 之比达到 如果明年
&! "%/$ # *’!$
天 这样的比值要超过 那么明年空气质量优良的天数比去年至少
"%/$ # 0’!$
要增加多少天
&
某乡在遭遇洪水后 为排除局部低洼地的内涝 安排了抽水速度为
’! $ $ #’ $%%$,-
的抽水机 台同时工作 估计积水量为 包括
$ ! ")$ &"’$ ’")& &"’$ 2%" ")$ &
和 问大约需多少时间才能将积水排完
"’$ 2% ")& &"’$ 2%#$ &
小结 评价
! !)#7
复习题
组
!
选择
!% !
由 能得到 则
""# !’. (!-(.$ "!!#%
"!# ( #’!!!! ""# ( !’
"## ( -’!!!! "$# ( ’’
若 则下列各式中 不能成立的是
"## ( ’) ’’$ $ "!!#%
" "
"!# ’ !!!!!! ""# ( &) ’’
) (
( (
"## -" "$# ’"
) )
如图 数轴上 两点对应实数 用 或 填空
"% $ /$ 0 ($ )$ %*& %+& !
""# ( ")!!’’!!!!!!!! "## ()!!’’
"$# ( &)!!’’! ")# 1( 1&1) 1!!’%
第 题
" # #
求不等式组 " "#! 的整数解
#% &# ! !# %
$
)
!-!&#$
求不等式组 $ 的最大整数解和最小整数解
$% %
$!"#
##!""
)
三个连续自然数组成一个自然数组 其和小于 问这样的自然数组共有多
%% $ ",$
少组 把它们分别写出来
( %
第 章 一元一次不等式与不等式组
%"! " !暑假来临 某游泳馆推出会员卡制度 标准如下表
’! $ $ !
会员类型 卡费)元 单次游泳费用)元
( "’ %’
) "’’ "$
小丽准备在该游泳馆购买会员卡游泳 她怎样选择最省钱
$ !
复习题
组
’
如果不等式 的解集是 那么 的取值范围是什么
!! "" ’"#$(" ’" $&"$ " &
如果不等式组 ’$)# &$’/$的解集是 那么 的取值范围是
"! $(($ "
$("
什么
&
方程组 %$)*2*4$ 的解 都是正数 求整数
#! $$ 2 $ 4!
#$)$2*#’
如果 那么 吗 请说明理由
%! " (#$ .(5$ " ).(# )5 & !
小结 评价
! !)%整式乘法与
8
第 章
因式分解
= + +
a b
a
b
(a+b)2
a2 ab
b2
ab
! !
’" )#(# *"# )#"# )##
上图直观地解释了两数和的平方公式#你知道
如何由整式乘法得到它吗$
由右到左运用公式#我们就可以把一个二次三
项式写成两个相同一次式乘积的形式#这种变形方
法是不是与数的分解相类似$
本章我们将学习整式乘法与因式分解的有关知
识，并运用它们解决问题.
*’! !8
幂的运算
.1
1!同底数幂的乘法
问 题 中国设计并制造的 神威
! !" ! "
太湖之光 是世界上首台峰值性能超过每秒
#
亿亿次的超级计算机 峰值运算性能高
#$ !
达 次 它工作
#!%& "#$#’ #!$ #"%(!) "#$( !&
可进行多少次运算
’
"%#!%& "#$#’& "%(!) "#$(&
$#!%& "(!) "#$#’ "#$(
$’
解决这个问题需要研究同底数幂的乘法
!
思考
是两个同底数的幂 简称 同底数幂 怎样计算
%&! %’ ! " #! %&$%’%
先填写下列表格
&
算 式 运算过程 结 果
%% "%( %% "%& "%% "% "%& %&
#$( "#$*
%%"%(
%*"%&
观察上表 同底数幂相乘有什么规律
"" ! %
幂的运算
!"#$ $!"
书书书一般地 如果 都是正整数 那么
"" $ &$ ’ $
%&"%’ $% %"%"("%
      
&"% %"%"("%
个
&
      
&
个
’
$ %"%"("%
      
8
个
%&(’&
$%&(’!
由此得幂的运算性质
#)
"" !"!!#$!"%#%"$ #都是正整数&&
同底数幂相乘$底数不变$指数相加&
!例!1 计算
" )
( #) & ( #) +
%#& " *""""""%%& %)%&% "%)%&’*
% %
%(& %%"%("%)* %*& %)*&("**!
( #) & ( #) + ( #) &(+ ( #) #(
解"%#& " $ $ !
% % % %
%%& %)%&% "%)%&’ $%)%&%(’ $%)%&, $)%,!
%(& %%"%("%) $%%((() $%##!
%*& %)*&("** $%)*(&"** $)%*("**& $)*((* $)*’!
练习
下面的计算是否正确 为什么
!! ! !
"## +( (+( $+)!" """"""""""# """"""""""
"%# +($+( $%+(!"""""""""""#
"(# ,$,( $,(!" """"""""""#
"*# ,(,( $,*!" """"""""""#
第 章 整式乘法与因式分解
!#$ ! $计算
"! %
"## #$& "#$(&"""""""""""%# )%%$%&&
"(# )+($+&& "*# *+$")*#&
"&# ")+#%$+($")+#(& ")# ")*#%$")*#($")*#!
光的速度约为 太阳光照射到地球上大约需要 地
#! ( "#$& #$%!’ & "#$% !’
球距离太阳大约有多远
!
2!幂的乘方与积的乘方
思考
怎样计算
’%&(’%
先完成下表
&
算 式 运算过程 结 果
%&%&( &% "&% "&% &)
%%(&%
%%%&(
%%(&*
观察上表 幂的乘方有什么规律
"" ! %
一般地 如果 都是正整数 那么
$ &$ ’ $
%%&&’ $""""""""
$""""""""
$""""""""!
幂的运算
!"#$ $!$8
由此得幂的运算性质
"" %)
"!"##$!"#%"$ #都是正整数&&
幂的乘方$底数不变$指数相乘&
!例!2 计算
" )
%#& %#$&&(*"""""""""%%& %+*&% !
解"%#& %#$&&( $#$&"( $#$#&!
%%& %+*&% $+*"% $++!
!例!3 计算
" )
%#& %+(&% (+%"+**""" %%& %+%&("%+*&(!
解"%#& %+(&% (+%"+* $+) (+) $%+)!
%%& %+%&("%+*&( $+)"+#% $+#+!
练习
计算
!! %
"## "#$)#(&"""""""""""%# "%(#*&
"(# )"+(#&& "*# "%(#%$"%*#(!
下面的计算是否正确 为什么
"! ! !
"## "+(#% $+&!"""""" """""""""""""#
"%# +($+% $+)!" """""""""""""#
"(# +%$+%$+% $+((%!" """""""""""""#
一个正方体的棱长为 它的体积是多少
#! #$( $$’ !
第 章 整式乘法与因式分解
!%$ ! $思考
怎样计算
’%-(%!’%-((!’%-(*%
’%-(% $’%-($’%-( $’%%($’--( $%%-%)
’%-(( $"""""" $"""""" $"""""")
’%-(* $"""""" $"""""" $""""""!
一般地 如果 是正整数 那么
$ ’ $
我们知道两
%%-&’ $""""""""
个整数相乘时
!
$""""""""
它们都是积的因
$""""""""!
数 类似地 和
由此得幂的运算性质 ! !%
() 相乘时 和
- ! % -
叫作积 的 因
"" "!’##$!#’#%#是正整数&& %-
式
!
积的乘方等于各因式乘方的积&
!例!4 计算
" )
%#& %%+&**""""%%& %)(%-%,(&%!
解"%#& %%+&* $%*"+* $#)+*!
%%& %)(%-%,(&% $%)(&%"%%"%-%&%"%,(&% $,%%-*,)!
!例!5 球的体积公式是 * 为球的半
" .$ !/(%/
(
径 已知地球半径约为 求地球的体积
&! )!* "#$( #$$ !
取
%! (!#*&
*
解" .$ !/(
(
*
" "(!#* "%)!* "#$(&(
(
幂的运算
!"#$ $!!8
*
$ "(!#* ")!*( "#$,
(
"#!# "#$#%%#$(&!
因而 地球的体积约为
$ #!# "#$#% #$(!
练习
下面的计算是否正确 为什么
!! ! !
"## "%(-#( $%)-(!""" """""""""""""#
"%# ")+*#% $#%+%*%!" """""""""""""#
"(# )"(+(#% $,+)!" """""""""""""#
"*# ")%%+%#% $)*%%+*!""""""""""""""#
计算
"! %
"## "% "#$(#(&""""""""%# ")( "#$*#%&
"(# "(&’%#(&" "*# ")%%(-%,#%!
球的表面积公式为 为球的半径 已知地球半径约为
#! 0 $*!/%"/ #! )!* "
求地球的表面积 取
#$( #$’ !"! (!#*#
3!同底数幂的除法
思考
怎样计算
%& 1%’%
先完成下表
&
第 章 整式乘法与因式分解
!&$ ! $算 式 运算过程 结 果
( "( "( "( "(
(& 1(% ((
( "(
*) 1*(
%* 1%%
%& 1%(
观察上表 同底数幂相除有什么规律
"" ! %
一般地 如果 都是正整数 那么
$ &$ ’ %&2’&$
%& 1%’ $""""""""
$""""""""!
由此得幂的运算性质
*)
"" !" (!#$!")#"! #$$ "$ #都是正整数$且 " *##&
同底数幂相除$底数不变$指数相减&
!例!6 计算
" )
%#& %& 1%*""""""""%%& %)+&& 1%)+&%*
%(& %%-&( 1%-* %*& %+)*&, 1%*)+&)!
解"%#& %& 1% $%&)# $%*!
%%& %)+&& 1%)+&% $%)+&&)% $%)+&( $)+(!
%(& %%-&( 1%- $%%-&()# $%%-&% $%%-%!
%*& %+)*&, 1%*)+&) $%+)*&, 1%+)*&) $%+)*&,)) $%+)*&(!
幂的运算
!"#$ $!’8
练习
下面的计算是否正确 为什么
!! ! !
"## %#$ 1%% $%&!"""""" """""""""""""#
"%# +& 1+* $+!" """""""""""""#
"(# %( 1% $%(!" """""""""""""#
"*# ")-#* 1")-#% $)-%!" """""""""""""#
"&# ")+#) 1")+# $+)!" """""""""""""#
")# ")*#( 1*% $*!" """""""""""""#
计算
"! %
"## %#$ 1%&&""""""""""""%# ")+*#( 1")+*#&
"(# "% )-#& 1"- )%#*& "*# "*&#% 1*&!
我国的水资源总量居世界前列 但人均水资源量仅为世界平均水平的四
#! ’
分之一 是全球人均水资源最贫乏的国家之一 年度 中国水资源
’ !%$%# (
公报 显示 年我国水资源总量为 按全国
) ’%$%# %!,)(+% "#$#%$(! #!* "
人计算 我国人均水资源量为多少 结果精确到
#$, ’ ! " # $(#
探究
我们已经得到了当 都是正整数且 时 的运
&! ’ &2’ !%&1%’’%#$(
算性质 那么当 时 又如何计算呢
! &$ ’ !%& 1%’’% #$( %
当被除式的指数等于除式的指数 即 时 例如
%#& % &$’ & $ $
(( 1(($ #$+ 1#$+$ %’ 1%’!
第 章 整式乘法与因式分解
!($ ! $容易看出所得的商都是 另一方面 仿照同底数幂的除法性质进行计
# ! $
算 得
$
(( 1(( $(()( $($$
比较两种算法 你
!
#$+ 1#$+ $#$+)+ $#$$$
有什么发现
%
%’ 1%’ $%’)’ $%$!
这样就出现了零次幂 我们约定
! )
!$ $!%% #$&!
任何一个不等于零的数的零次幂都等于! &
当被除式的指数小于除式的指数 即 时 例如
%%& % &3’ & $ $
(% 1(&$ #$* 1#$+$ %& 1%’!
那么可以通过约分 得
$
(% (% #
(% 1(& $ $ $ $
(& (% "(( ((
#$* #$* #
#$* 1#$+ $ $ $ $
#$+ #$* "#$* #$*
%& %& #
%& 1%’ $ $ $ !
%’ %&"%% %%
另一方面 仿照同底数幂的除法性质进行运算 得
$ $
(% 1(& $(%)& $()($
#$* 1#$+ $#$*)+ $#$)*$
%& 1%’ $%&)’ $%)%!
这样就出现了负整数次幂 一般地 我们约定
! $ )
! 是正整数
!)+ $ %% #$$ 4 &!
!+
幂的运算
!"#$ $!)8
""任何一个不等于零的数的%+!+ 是正整数"次幂#等
正整数次幂
于这个数的 + 次幂的倒数&
有了上述约定 我们再遇到计算 时 就不必限 的运算性质同样
$ %&1%’ $
制 了 这样 幂指数的范围就从全体正整数扩充 适合于零次幂和
&2’ ! $
到全体整数 负整数次幂
! !
!例!7 计算
" )
( #) $ ( #) )%
%#& #$) 1#$)*"""""%%& 1 *
’ ’
%(& %)%&( 1%)%&&!
解"%#& #$) 1#$) $#$))) $#$$ $#!
( #) $ ( #) )% ( #) $)%)%& ( #) % #
%%& 1 $ $ $ !
’ ’ ’ ’ *,
# #
%(& %)%&( 1%)%&& $%)%&()& $%)%&)% $ $ !
%)%&% *
练习
计算
!! %
( () ( ( () (
"## 1 &"" "%# (’ 1(,&
+ +
( %) & ( %) )
"(# ) 1 ) & "*# ")&#& 1")&#,&
& &
"&# ")%+*#& 1")%+*#&&" ")# "+*#& 1")+*#%!
用分数或小数表示下列各数
"! %
( %) )%
"## &-(&" ""%# %!# "#$)*&" ""(# ) &" ""*# "-*#-( !
(
把下列各数写成负整数指数幂的形式
#! %
# #
"## $!$$#&"""""%# &"""""(# - !
+# (%
第 章 整式乘法与因式分解
&*$ ! $前面我们学过用科学记数法来表示一些绝对值大于 的数 例如
"" #$ $ $
可记作 那么 绝对值小于 的数如何表示呢 不难得出
%%+$$$$ %!%+ "#$)! $ # ’
# #
$!$$$$$# $ $ $#$))$
#$$$$$$ #$)
)*!( )*!(
)$!$$$*( $ $ $)*!( "#$)*!
#$$$$ #$*
可见 绝对值小于 的数可记成 的形式 其中 是正
$ # 5% "#$)’ $ #$% 3#$$’
整数 等于原数中第一个不等于零的数字前面的零的个数 包括小数点前面的
$’ %
一个零 这种记数方法也是科学记数法
&$ !
!例!8 用科学记数法表示下列各数 并在计算器上把它们表示出来
" $ )
%#& $!$$$’)*"""""""%%& -$!$$$$$#&, !
解"%#& $!$$$’) $’!) "$!$$$# $’!) "#$)*!
在计算器上输入 最后按 键 屏幕显示如图 所示
$!$$$’)$ !.# $ + #%#& !
%#& %%&
"
图
+ #
%%& )$!$$$$$#&, $)#!&, "$!$$$$$# $)#!&, "#$))!
在计算器上输入 最后按 键 屏幕显示如图 所示
-$!$$$$$#&,$ !.# $ + #%%& !
用科学记数法表示绝对值较大或较小的数 有利于按幂的运算性质简化
$
计算
!"
幂的运算
!"#$ $&"8
练习
用科学记数法表示下列各数
!! %
$!$)$%’ -$!$$)$%’ $!$$$$)$%’ #&(!+’ -(*$$$!
水是由氢 氧两种元素组成的 个氢原子的质量约为
"! * ’# #!)’* "#$)%’ #&’
个氧原子的质量约为
#"" %!)&’ "#$)%) #&!
个氢原子与 个氧原子的质量哪个大
# # !
雷达发出的微波以 的速度射向
#! (/#$& #$%!
飞机 飞机再将微波反射回来 经 后
’ ’ #%!)"!
雷达站收到反射微波 飞机与雷达站的距离
’
是多少千米
! " # "!$#$)) !# 第 题
" ( #
习题 8!1
计算
!! %
"## %($%&""""""""""""""%# )-$")-#%&
( #) % ( #) & ( #) (
"(# " " ) & "*# %($%& (%*$%*!
% % %
计算
"! %
"## "%&#(& "%# )"%%#*&
"(# ")%(#(& "*# "%%#($%*&
"&# )+$"+%#(& ")# "+(#* ("+*#(!
计算
#! %
"## "&%%#%&" "%# ")*%(#%&
"(# ")%+%*#&& "*# ")(+%#( ("%+(#%!
第 章 整式乘法与因式分解
&#$ ! $填空
&! %
"## ")%%#( 1")%%# $""""&
"%# "%-#& 1"%-#( $""""&
( #) %
"(# ) 1")%#( 1")%#)% $""""&
%
"*# """" 1"%%-(# $%)-+!
选择
’! %
与 的关系是
"## (-% (% """#!
互为相反数 互为倒数
""’"#"""""""""""""""""""("#""""""
平方相等 绝对值相等
")# """"" "*#
下列运算正确的是
"%# """#!
"’# %& 1%% $%( "(# %$%( $%(
")# "%%#( $%& "*# "%-(#% $%-)
计算
(! %
( %& ) &
"## $!%& "$!)& " &
(
( % ) ##
"%# ""#!&##$ "")###%!
(
若 ( ( ) )% ( !) $ 判断 三个数的大小
)! % $ ) ’ - $ ) ’ ,$$!’& )#’ %’ -’ , !
* %
计算
*! %
"## "%(#% 1%*$%&" "%# +) 1"+* 1+%#&
"(# %%( (%) 1")%#(&" "*# ")&%(#% (")(%%#%$")%%#!
计算
+! %
( %) $ ( #) $
"## ) "#$)%& "%# "*)% "%*&
( +
"(# %)% ""*% "+$#& "*# %%% "%&##!
幂的运算
!"#$ $&$8
据 新时代的中国北斗 白皮书介绍 北斗卫星导航系统服务性能优异 免费
!$! ( ) ’ ’
向全球用户提供定位导航授时服务 授时精度优于 合多少秒
’ %$ +!!%$ +! !
是时间单位 读作纳秒
"+! ’ ’# +!$#$), !#
某种花粉颗粒的直径为 多少颗这样的花粉颗粒紧密排成一列的长度
!!! ($ "$’
为 是长度单位 读作微米
$!( $! ""$ ’ ’# "$$#$)) $#
解决 节中第 页的问题
!"! +!# &# !
已知 求 的值
!#! %’( ",* $(+’ + !
第 章 整式乘法与因式分解 北斗卫星导航系统
&%$ ! $8
整式乘法
.2
1!单项式与单项式相乘
问 题 光的速度大约是 从太阳系以外距离地球最近的一
! !"" ( "#$& #$%!$
颗恒星 比邻星 发出的光 需要约 年才能到达地球 如果 年以 计
% & $ * $ # (!#& "#$’!
算 地球与这颗恒星的距离约为多少千米
$ ’
地球与比邻星的距离应是 这个式子应如
%( "#$&& "%* "(!#& "#$’&#$!
何计算呢
’
"%( "#$&& "%* "(!#& "#$’&
$* "( "(!#& "#$& "#$’
$#% "(!#& "#$#%
$(!’+ "#$#(%#$&!
因而 地球与这颗恒星的距离约为
$ (!’+ "#$#( #$!
交流
上面的运算用了哪些性质
#! %
如果把上面算式中的数字换成字母 例如 该如何计
%! ! -,&$%-,’!
算呢
% "
完成下面计算
(! &
*+%*$(+*% $’* "(($’+%$""($’*$""($"""")
&%-,$’)(%-( $*& "’)((+$’%$ "($’-$ "($,$""""!
从以上的计算过程中 你能归纳出单项式乘法法则吗
! %
整式乘法
!"%$ $&!8
单项式乘法法则
"" )
""单项式相乘$把系数%同底数幂分别相乘$作为积的因式&对于只在一个
单项式里含有的字母$则连同它的指数作为积的一个因式&
!例!1 计算 ( # )
" ) %#& %)*%-,& %- *"%%& %(%&("%)&%-%&!
%
( # ) ( #)
解"%#& %)*%-,& %- $)* " "%%-%,$)%%%-%,!
% %
%%& %(%&("%)&%-%& $%’%("%)&%-%& $)#(&%*-%!
!例!2 年 月 日 时 分 天问一号探测器着陆火星 迈出了我
"%$%# & #& ’ #+ $ $
国星际探测征程的重要一步 也使我国成为第二个成功登陆火星的国家 天问一
$ !
号从地球飞行进入环火轨道的里程相当于绕地球赤道 圈 它的这一飞
#!#+ "#$* $
行里程约为多少千米 地球半径 约 取
’ % / )!* "#$( #$$ ! (!#*&
解"#!#+ "#$* "%!/
"#!#+ "#$* "% "(!#* ")!* "#$(
"*!’* "#$+%#$&!
答 它的这一飞行里程约为
) *!’* "#$+ #$!
第 章 整式乘法与因式分解 天问一号探测器
&&$ ! $练习
计算
!! %
% &
"## %+%$(+(&"""""""""""%# %%-($ %-,&
& )
( # )
"(# ")%!&+%#$")*+#%& "*# ")*+%*#")+*#% ) *( !
%
计算
"! %
"## "* "#$&# ""& "#$)# ""( "#$*#&
"%# %%%$")%%#% ("%%(#$&%!
中国空间站天和核心舱于 年 月
#! %$%# *
日由长征五号 遥二运载火箭在海
%, (
南文昌发射升空 其轨道飞行速度约
!
那么它连续 天大约飞行
’!)+ #$%!’ ,$
了多少千米 中国空间站在轨运行效果图
!
2!单项式与多项式相乘
问 题 一个施工队修筑一条路面宽为 的公路 第一天修筑 长
! !#" ’ $ $ % $ $
第二天修筑 长 第三天修筑 长 天共修筑路面的面积是多少
- $ $ ,$ $( ’
先按题意画图 结合图形考虑有几种计算方法
+ %$ !
图
+ %
整式乘法
!"%$ $&’8
天共修筑路面的总长为 因为路面的宽为 所
方法一"( %% (- (,&$$ ’ $$
以 天共修筑路面
( """""""$% !
先分别计算每天修筑路面的面积 然后相加 则 天共修筑路面
方法二" $ $ (
"""""""$% !
因此 有
$
运用分配律
!
"""""""".""""""""!
把单项式与多项
事实上 因为代数式中的字母都表示数 因此 根据
$ $ $ 式的相乘转化为
分配律 可得到
$ 单项式与单项式
的相乘
’%% (- (,& $’% (’- (’,! !
单项式与多项式的乘法法则
)
""单项式与多项式相乘$用单项式和多项式的每一项分别相乘$再把所得
的积相加&
!例!3 计算
" )
%#& %)%+&%+% )+(#&*
%%& %%%% (%& )%%%% )%&!
解"%#&%)%+&%+% )+(#&
$%)%+&"+% (%)%+&"%)+& (%)%+&"#
$)%+( (%+% )%+!
%%& %%%% (%& )%%%% )%&
$%"%% (%"% )%%"% (%%%
$%( (%% )%( (%%%
$(%%!
第 章 整式乘法与因式分解
&($ ! $练习
计算
!! %
"## &+$"(+(*#&
( * )
"%# &%% ) % (# ")(%#&
(
"(# +"+% ((# (+%"+)(# )(+"+% )+)##&
( # )
"*# ")%#$")%%-# ((%$ %- ) - )# !
(
如图 某长方体的长为 宽为 高为 问
"! ’ % (#’ %’ (’
这个长方体的体积是多少
!
在 中 如果将 换为
#! +",(6#$+,(+6 ’ + "% (-#’
如何计算 写出你的思考过程
"% (-#",(6#! ! 第 题
" % #
3!多项式与多项式相乘
问 题 一块长方形的菜地 长为 宽为 现将它的长增加 宽增加
! !$" $ %$ &! -$
求扩大后的菜地面积
’$ !
先按题意画图 结合图形考虑有几种计算方法
+ ($ !
图
+ (
扩大后菜地的长是 宽是 所以它的面积是
方法一" % (-$ &(’$ """""
"""""!
整式乘法
!"%$ $&)8
先算 块小长方形的面积 再求总面积 扩大后菜地的面积是
方法二" * $ !
""""""""""!"
因此 有
$
%% (-&%&(’& $%&(-&(%’ (-’!
上面的运算还可以把 看作一个整体运用分配律 再根据单项式与多
%% (-& $
项式的乘法法则 得
$
这两个多项
式叫作所得积的
因式
!
多项式与多项式的乘法法则
)
""多项式与多项式相乘$先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一
项相乘$再把所得的积相加&
!例!4 计算
" )
%#& %)%+)#&%(+)%&*" %%& %+(%&%+(-&!
解"%#& %)%+)#&%(+)%&
$%)%+&"(+(%)%+&"%)%& (%)#&"(+(%)#& "%)%&
$))+% (*+)(+(%
$))+% (+(%!
%%& %+(%&%+(-&
$+% (-+(%+(%-
$+% (%% (-&+(%-!
第 章 整式乘法与因式分解
’*$ ! $!例!5 计算
"" " )
%#& %% (-&%%% )%- (-%&*" %%& %*% (*(#&%*(%&!
解"%#& %% (-&%%% )%- (-%&
$%"%% )%"%- (%"-% (-"%% )-"%- (-"-%
$%( (-(!
%%& %*% (*(#&%*(%&
$*( (%*% (*% (%*(*(%
$*( ((*% ((*(%!
练习
计算
!! %
"## "%’ ()#"’ )(#&"""""%# ")(+)##")+% (##!
计算
"! %
"## "(+)*#"(+(*#& "%# "(% (%#"(% )%# ),%"% )##&
"(# "+)*#"+% (+*(*%#&" "*# "+(##"+% )%+((#!
先化简 再求值 其中
#! ’ %"+)*#"+)%# )"+)##"+((#’ +$)%!
习题 8!2
计算
!! %
( ( ) ( % )
"## ")&%%-#"%%-%,#&"""""%# ) %+ ) -+( &
* (
( # )
"(# "% "#$*#") "#$&#& "*# +$%+($")(+%#!
%
计算
"! %
( # ) %
"## "&’#%")&%’#&"" " "%# "%&#( ) & &
*
整式乘法
!"%$ $’"8
( % )
"(# +%*( )%+"*+*(#&" "*# "(&%’#$ &%’% )")#$&#$&(’(!
(
据统计 年全球能源相关的碳排放量约 万吨 则全球 亿人
#! ’%$%% (!)+ "#$) ’ +$
年每人平均碳排放量约为多少吨
%$%% !
计算
&! %
( * )
"## "(*))#")*#&"" "%# ")(+# *+% ) +(# &
(
"(# ")+*#"%+)&*)##&" "*# "**)##"*)&#&
( ( ) ( % )
"&# "%+((#"*+(##& ")# +(# +)( !
* (
化简
’! %
"## &+"%+(*# (+"+)##&
"%# %%"%% ((% )%# )%"%( (%%% )% (##!
先化简 再求值
(! ’ %
其中 #
"## %"- ),# )-",)%# (,"% )-#’ % $ ’ - $)#’ ,$)%&
%
其中
"%# "+)*#"+)%*# )"(+)%*#"+)(*#’ +$*’ *$)#!
解方程
)! %
"## "+)(#"+)%# (#+ $"+(,#"+(##&
"%# "+))#"+% (+(## )+"+(##"+)## $+"% )&+#!
在一个边长为 的正方形地块上 辟出一部分作为花坛 下面给出几种设计
*! % ’ ’
方案 请你分别写出花坛 图中绿色部分 面积 的表达式 并计算当
’ " # 0 ’ % $#$
时面积 的值
0 !
%#& %%& %(& %*&
第 题
" + #
第 章 整式乘法与因式分解
’#$ ! $数学活动
求最大乘积
将数字 组成一个三位数和一个两位数 每个数字仅用一
"% "" #" $" )" % "
次 怎样分这 个数字 使组成的两个数的乘积最大
% % " #
请你任选 个不同的数字 按第 题的要求 组成一个三位数和一个两位
#% % " " "
数 使这两个数的乘积最大 试验时可借助计算器
" $ %%
根据上述问题 猜想合乎要求的三位数和两位数的特点 若这 个数字分
$% " & %
别为 且有 根据你的猜想写出这两
(" )" *" +" ," ( -) -*-+ -,$," ’%"
个数
%!
将第 题和第 题中的要求改为使乘积最小 求所组成的两个数
)% " # " %
整式乘法
#$%! !#$完全平方公式与
8
.3
平方差公式
在进行多项式与多项式相乘时 往往会遇到一些特殊形式的多项式相乘 其
$ $
结果较为简洁
!
由多项式乘法可得
将公式 中
#
的 用 代替就
!! %’"" $!" %"!’ %’"& # - --
得出公式
!! )’"" $!" )"!’ %’"& $
$!
上面两个等式称为
完全平方公式!
完全平方公式用语言叙述是
)
两个数的和!或差"的平方#等于这两个数的平方和加!或减"这两个数乘积
的" 倍&
观察
完全平方公式 除了直接由多项式的乘法得到 还可以通过图形面积
! !
割补的方法得到 观察下面的两幅图 写出所蕴含的等式
! ! !
%% (-&% $%% (%%- (%""&
%#&
第 章 整式乘法与因式分解
’%$ ! $%% )-&% $%% )%""& (-%
%%&
图
+ *
!例!1 利用乘法公式计算
" )
%#& %%+(*&%*"""""%%& %(% )%-&%!
解"%#&
运用公式计
算 要先识别公
!
式中 在具体
%! -
式子中分别表示
什么
!"
%%&
!例!2 利用乘法公式计算
" )%)&)%’&%!
解""%)&)%’&%
还有其他计算
$+)%&(%’&,%
方法吗
$%&(%’&% %
$&% (*&’ (*’%!
完全平方公式与平方差公式
!"&$ $’!8
练习
利用乘法公式计算
!! %
"## "(+(##%&"""" "%# "% )(-#%&
( *) %
"(# %+( & "*# ")%+((*#%!
%
如图 一张正方形的纸片 如果把它沿着各边都
"! ’ ’
剪去 宽的一条 那么所得小正方形的面积
( ,$ ’
比原正方形的面积减少 求原正方形的
+* ,$%’
第 题
边长
! " % #
思考
由多项式乘法计算
#! &
’#( ’(&(#(’(&)#() """" ’%( ’+(%*(’+)%*(!
请你根据上面多项式乘法的规律概括出 的计算
%! ’% (-(’% )-(
公式
!"
这个公式称为 用语言如何表述
平方差公式! %
你能设计一个图形来说明上面公式吗
(! %
!例!3 利用乘法公式计算
" )
%#& %)+((&%)+)(&*"""" %%& #,,, "%$$#!
解"%#& %)+((&%)+)(&
$%)+&% )(%
$+% ),!
第 章 整式乘法与因式分解
’&$ ! $%%& #,,, "%$$#
$%%$$$ )#& "%%$$$ (#&
$%$$$% )#%
$(,,,,,,!
练习
利用乘法公式计算
!! %
( # ) ( # )
"## "%% (&-#"%% )&-#&"""""""%# +)( +(( &
% %
"(# "*)%+#")%+)*#& "*# "+*(##"+*)##!
利用乘法公式计算
"! %
"## &,+ ")$%& "%# ,,,%!
!例!4 计算
" )
%#& %% (- (,&%*"""""%%& %% )-&(!
解"%#& %% (- (,&%
$+%% (-& (,,%
$%% (-&% (%%% (-&,(,%
$%% (%%- (-% (%%,(%-,(,%
$%% (-% (,% (%%- (%%,(%-,!
%%& %% )-&(
$%% )-&%% )-&%
$%% )-&%%% )%%- (-%&
$%( )%%%- (%-% )%%- (%%-% )-(
$%( )(%%- ((%-% )-(!
完全平方公式与平方差公式
!"&$ $’’8
!例!5 利用乘法公式计算
" )%+(*(8&%+)*(8&!
解" %+(*(8&%+)*(8&
$+%+(8& (*,+%+(8& )*,
$%+(8&% )*%
$+% (%+8(8% )*%!
练习
计算
!! %
"## "% (-#(&""""""""""%# "+)##(&"""
"(# "% )- ),#%!
计算
"! %
"## "%% (- (##"%% (- )##&""
"%# "(+(*(8#"(+)*)8#!
习题 8!3
计算
!! %
( #) % ( # ) %
"## *+( &""""""""""%# &)%’ !
% *
计算
"! %
"## "%&((’#"%&)(’#&
( # ) ( # )
"%# )(% ) - )(% ( - &
% %
"(# ")*+(*#"*(*+#&
"*# "+(*#"+)*# ("*)8#"*(8# )"+(8#"+)8#!
第 章 整式乘法与因式分解
’($ ! $计算
#! %
"% )%- )(#"% (%- ((#!
先化简 再求值
&! ’ %
其中 %
"&*(##"&*)## )"&*(%&*%#’ *$ !
&
解方程
’! %
( #) % ( #) ( #) #
"## +( ) +) +( $ &
* * * *
"%# "+(##"+)## )"+(%#% $’!
解不等式
(! %
%"+(*#"+)*# 3"+)%#"%+(&#!
填空
)! %
"## +"""# ("""#,% $*+% ("""# (,*%&
"%# ++("""#,++("""#, $+% ("""# ()&
"(# +% ((+("""# $"+(""#%!
如果多项式 加上一个单项式后能成为一个多项式的完全平方 那么
*! *+% (# ’
这个单项式是什么
!
一个圆的半径为 若半径减少 那么这个圆的面积减少多少
+! /,$’ % ,$’ !
完全平方公式与平方差公式
!"&$ $’)8
因式分解
.4
在小学 我们学过整数的素因数分解 例如
$ $ $
) $% "($ ($ $% "( "&!
类似地 在整式中 也可以把一个多项式化成几个因式乘积的形式 例如
$ $ $ $
%% (%%- (-% $%% (-&%$
%% )%%- (-% $%% )-&%$
%% )-% $%% (-&%% )-&$
’% (’- (’,$’%% (- (,&!
像这样 把一个多项式化为几个整式的积的形式 叫作 也叫作把
$ $ 因式分解$
这个多项式分解因式
!
观察
下列整式乘法与因式分解之间有什么关系
%
’#( &’% (- (,( $&% (&- (&,!
&% (&- (&,$&’% (- (,()
’%( ’% )’(% $%% )#*% (*,!
%% )#*% (*, $’% )’(%)
’(( ’+(((’+)(( $+% ),!
+% ), $’+(((’+)((!
下面介绍因式分解的两种基本方法
!
第 章 整式乘法与因式分解
(*$ ! $1!提公因式法
由 可得
&%% (- (,& $&% (&- (&,$
&% (&- (&,$&%% (- (,&!
我们来分析一下 的特点 它的每一项都含有一个相同因式
&% (&- (&, ) &$
叫作各项的 如果把这个公因式提到括号外面 这样 就
& 公因式! $ &% (&- (&,
分解成两个因式的积 即
&%% (- (,&$
&% (&- (&,$&%% (- (,&!
这种因式分解的方法叫作
提公因式法!
!例!1 把下列各式分解因式
" )
%#& *&% )+&’*"""%%& (%+% ))%+*((%!
解"%#"& *&% )+&’
$*&"&)*&"%’
最后一项
$*&%&)%’&! (%
提 取 后 还 有 因
%%"& (%+% ))%+*((%
数
$(%"+% )(%"%+*((%"# # !"
$(%%+% )%+*(#&!
思考
运用提公因式法时 如何确定各项的公因式
! %
!例!2 把下列各式分解因式
" )
%#& %+%- (,& )(*%- (,&* %%& (’%+)%& (%% )+&!
解"%#"& %+%- (,& )(*%- (,&
$%- (,&%%+)(*&!
因式分解
!"’$ $("8
""%%"& (’%+)%& (%% )+&
与
$(’%+)%& )%+)%& % )+ +)%
有什么关系
$%+)%&%(’ )#&! %
练习
填空
!! %
"## )+( )#++% $"""+)(#&""%# )’%% (%#% $)’%"""""#!
把下列各式分解因式
"! %
"## ’4 )’9&"""""""""""%#")"+("*)+%*% (+*!
把下列各式分解因式
#! %
"## ("% (-#% ()"% (-#& "%# &"% )-# )’"% )-#&
"(# )"+)*#( )(*"*)+#%& "*# &’"&)’# )&"’ )&#%!
2!公式法
思考
如何对 进行因式分解
+% )%+(# %
如果把整式乘法中的完全平方公式和平方差公式逆向使用 那么就可以将
$
某些多项式分解因式
!
%% 5%%- (-% $%% 5-&%!
%% )-% $%% (-&%% )-&!
运用公式 完全平方公式和平方差公式 进行因式分解的方法叫作
% & 公式法!
第 章 整式乘法与因式分解
(#$ ! $!例!3 把下列各式分解因式
" )
%#& +% (#*+(*,*"""""""%%& ,%% )($%- (%&-%*
%(& +% )+#* %*& ()%% )%&-%!
解"%#"& +% (#*+(*,
$+% (%"+"’ (’%
$%+(’&%!
%%"& ,%% )($%- (%&-%
$%(%&% )% "(% "&- (%&-&%
$%(% )&-&%!
%("& +% )+#
$+% ),%
$%+(,&%+),&!
%*"& ()%% )%&-%
$%)%&% )%&-&%
$%)% (&-&%)% )&-&!
练习
把下列各式写成完全平方的形式
!! %
#)
"## $!+#+% $"""""#%&""""""%# &%’* $"""""#%&
%&
#
"(# *% )+*(#) $"""""#%& "*# +% (+( $"""""#%!
*
把下列各式分解因式
"! %
"## +% (%+(#&" "%# *% )*&
"(# # ))*(,*%& "*# # )()’%&"
"&# ,’% ()*&% )*+&’& ")# )#) (%%-%!
因式分解
!"’$ $($8
在因式分解的过程中 有时提取公因式与利用公式两种方法都要使用
$ !
!例!4 把下列多项式分解因式
" )
%#& %-% )%,%*
%%& (%+% (%*%+*(*+%*%!
解"%#"& %-% )%,%
提取公因式
$%%-% ),%&"% &
用平方差公式
$%%- (,&%- ),&!"% &
%%"& (%+% (%*%+*(*+%*%
提取公因式
$(%%+% (++*(#)*%&"% &
用完全平方公式
$(%%+(**&%!"% &
!例!5 把下列多项式分解因式
" )
%#& #)+* )+#*""""
%%& +* )%+% (#!
解"%#"& #)+* )+#
用平方差公式
$%*+% (,&%*+% ),&"% &
用平方差公式
$%*+% (,&%%+((&%%+)(&!"% &
%%"& +* )%+% (#
用完全平方公式
$%+% )#&%"% &
用平方差公式
$+%+(#&%+)#&,%"% &
$%+(#&%%+)#&%!
练习
把下列多项式分解因式
!! %
"## %+( )(%+&"""""""""""%# ,%(-( )%-&
"(# &+% )+&+(#)&& "*# )+* (%&)&"
"&# )% (%%% )%(& ")# +#%* )’%%%-% (#)-*!
第 章 整式乘法与因式分解
(%$ ! $!例!6 把下列各式分解因式
"" " )
%#& +% )*% (%+(%**
%%& %% (%%- (-% ),%!
解"%#"& +% )*% (%+(%*
$%+% )*%& (%%+(%*&
$%+(*&%+)*& (%%+(*&
$%+(*&%+)*(%&!
%%"& %% (%%- (-% ),%
$%%% (%%- (-%& ),%
$%% (-&% ),%
$%% (- (,&%% (- ),&!
从本例可以看出 因式分解有时需先分组 再利用提公因式法或公式法进行
$ $
分解
!
探究
你会把 分解因式吗
+% (*+(( %
这个二次三项式可以变形为 再利用公式或者将 拆分成
+% (*+(* )#$ *+
再提取公因式
(+(+$ !
方法一""+% (*+((
还 有 其 他 方
$%+% (*+(*& )#
法吗
$%+(%&% )# % "
$%+(% (#&%+(% )#&
$%+((&%+(#&!
方法二""+% (*+((
$+% ((+(+((
$+%+((& (%+((&
$%+((&%+(#&!
因式分解
!"’$ $(!8
在第 页的例 中 我们根据多项式的乘法法则得到
’$ * $ %+(%&%+(-& $
由等式性质可得 运
+% (%% (-&+(%-! +% (%% (-&+(%- $%+(%&%+(-&!
用这个规律可尝试将上述多项式分解因式 这里一次项系数 常数项
! * $# (($
可得
( $# "(! )
方法三""+% (*+((
$+% (%# ((&+(# "(
$%+(#&%+((&!
练习
把下列各式分解因式
!! %
"## *%% )-% (*% )%-& """"""
"%# +% )%+*(*% )#&
"(# ,+% ()+(%*)*%!
把下列各式分解因式
"! %
"## +% ))+(+&"""""" "%# +% ((+)#$!
习题 8!4
把下列各式分解因式
!! %
"## %+)%*(%8&
"%# )%%- )#&%-% (($%%-%&
"(# #$%"+)*#% )&-"*)+#&
"*# +"% )+#"% )*# )*"+)%#"*)%#!
简便运算
"! %
"## (!#* "’!& ((!#* "%!&&"""%# *!%,+ "(!%&) )(!%&) "(!%,+&
"(# #$$*% ),,)%& "*# )&% (% "(& ")& ((&%!
第 章 整式乘法与因式分解
(&$ ! $把下列各式分解因式
#! %
"## +% ))%+(,%%&"""""" "%# *+% )#$$&
"(# %&&% )+$&()*& "*# $!*,+% )#***%!
把下列各式分解因式
&! %
"## ** )*%& "%# (%+% )(%*%&
"(# *+( )++% (*+& "*# %% )%%"- (,# ("- (,#%!
如图 某串联电路中电流 单位 电阻
’! ’ :" %’#* ;’ ;’
# %
单位 与电压 单位 有下列关系
;" %%# <" %-# % <$
(
当
:; (:; (:;! ; $%#!( %’ ; $*%!& %’ ; $
# % ( # % (
时 求
#)!% %’ :$#!%& ’ ’ < !
若 为整数 那么 一定是偶数 为什么
(! ’ ’ ’% )’ ! !
第 题
" & #
数 学 拓 展
巧用因式分解
年 月 日 岁的数学家欧拉
#’%, #% # !%% ’./012! #’$’,
收到另一位数学家哥德巴赫
#’+(( ’340567,"! #),$,
寄来的一封信 信中有这么一段话
#’)*( ! &
你知道费马 在一本书注中提
" ’812$79! #)$#,#))&(
出的一个素数表达式吗 这就是 一切形如 是
% -
%%’)#
(#’’
正整数 的数都是素数 据我所知 他过世已半个世纪
( . ! !
了 迄今还没有人能证明它 你是否相信这个结论 欧拉
! ! %#
原来 费马在作出上述结论前 曾作过如下验算
! ! &
因式分解
!"’$ $(’8
当 时
’ $# !
"""%%’)# (# $%%$ (# $% (# $()
当 时
’ $% !
"""%%’)# (# $%% (# $&)
当 时
’ $( !
"""%"%’)# (# $%%% (# $%* (# $#’)
当 时
’ $* !
"""%%’)# (# $%%( (# $%+ (# $%&’)
当 时
’ $& !
%%’)# (# $%%* (# $%#) (# $)&&(’!
其结果都是素数 但是 取任何正整数时情况又会怎样呢 费马猜想 可能
! ’ % !
也是素数
!
欧拉收到哥德巴赫的来信后 进行了认真思考 由于当时没有计算机 大
! ! !
于 的任一自然数代入验算都是很繁琐的 欧拉对 时的计算可谓 巧夺
& ! ’ $) "
天工 请看
#! &
当 时
’ $) !
"%%’)#
(#
$%%& (#
$%(% (#
$’% "%’(* (#
$%* "#%+* (#
$’# (#&( "#%+* (#
$*# (& "’#%+ )#%&(+ "#%+* (#
$’# (& "#%+( "#%+* (# )&* "#%+*
$’# (& "#%+( "#%+* (’# (&% "#%+%(’# (& "#%+(’# )& "#%+(
第 章 整式乘法与因式分解
(($ ! $$’# (& "#%+(*#%+* (’# (&% "#%+%(’# )& "#%+(+
$)*# ")’$$*#’!
这里 欧拉用因式分解解决了一个历史悬案 形如 为正整
! ,,,
%%’)#
(#’’
数 的数不一定是素数 从而推翻了费马的猜想 此后 人们把一切形如
( ! ! ! %%’)# (#
为正整数 的数称为 费马数 除了费马算出的前 个之外 目前还没有一
’’ ( " #! & !
个费马数被证明是素数 这些费马数的因子分解是当今数论的热门研究问题
! !
在保密通信中有应用 但这种形式的费马数中究竟有几个素数 几个合数 至今
! / !
仍是一个谜
!
费马猜想是根据几个特殊值计算归纳得出的 这种不完全归纳推理方法是
!
科学研究中常用的思想方法 这个方法对于发现规律 猜想未知十分重要 但是
! / !
由它得到的结论不一定正确 还须进一步得到证明
! !
数 学 史 话
杨 辉 三 角
年 我国宋代数学家杨辉 世纪 写了
#%)# ! ’#( (
一本书 详解九章算法 书中记载了一个用
,,,0 1!
数字排成的三角形 这个三角形数阵图是北宋贾
!
宪 约 世纪上半叶 首创的 开方作法本源图
’ ## ( " #!
后人称之为贾宪三角或杨辉三角
!
杨辉三角实际是二项式乘方展开式的系数
表 如图
! + & !
观察图 右侧的系数表 你发现了什么规
+ & !
律 你能写出 展开式的各项系
% ’% (-(’!’% (-(+
数吗
%
在世界各地 继贾宪之后有不少人都发现了
!
这个三角表 法国数学家帕斯卡
! ’:7!,70! #)%(,
发现这个表后 把它应用于数学的许多方
#))%( ! 永乐大典 书影
( )
因式分解
!"’$ $()8
面 并取得了成果 国外把这个三角表叫作帕斯卡三角 但它比贾宪的发现晚了
! ! !
近 年
)$$ !
图
+ &
第 章 整式乘法与因式分解
)*$ ! $小结·评价
一 知识体系
"" !
MM,
 
+ 
MM,
D 

0 "
' 
MM, " ?
二 回顾与思考
"" !
#!幂的运算性质!
"## %&$%’ $"""" "&% ’ 都是正整数#&
"%# "%&#’ $"""" "&% ’ 都是正整数#&
"(# "%-#’ $"""" "’ 是正整数#&
"*# %& 1%’ $"""" " % #$%&% ’ 都是正整数#!
%!学习整式的乘法%首先研究了幂的运算%接着逐步研究单项式乘以
单项式’""""""和""""""%由特殊到一般%由简到繁%逐步深
入!换而言之%多项式"单项式#乘以多项式%可化归为单项式与单项式相
乘%而单项式乘法是以""""为依据的!
(!乘法公式!
"## "% 5-#% $""""""""&
"%# "% (-#"% )-# $""""!
*!在 %& 1%’ $%&)’ " % #$%&% ’ 都是正整数#中%当 &$’ 时%约定
%$ $""""&当 & 3’ 时%如 &)’ $)4 "4 是正整数#%则约定 %)4 $
""""!"
&!因式分解最基本方法是"" ""和"" ""!
小结 评价
! $)"8
三 自评与互评
"" !
#!整式乘法与因式分解是既有联系又有区别的两种变形%运用这两种
变形的关系%可以由整式乘法的法则或公式得到因式分解的一些方法%并
能检验因式分解的结果是否正确%试举例说明!
%!总结一下因式分解的方法与步骤%并与同学交流!
(!科学记数法%分别在七年级上册(有理数)一章和本章学习%为什么
分这两次学习*
*!两个正数相乘%常可看作某种图形的面积%结合本章学习举出一些
用图形表示某些等式的例子!
复习题
组
%
填空
!! %
"## ")(%-,#")+%-6# $""""&
"%# ")%&%’(#( $""""&
( # )
"(# ) %- ")#$% (&-# $"""""""&
&
( # )
"*# %++% ) +(* $""""""""&
%
"&# "+(##"+((# $""""""""!
计算
"! %
"## "%% )##"% )*# )"% ((#"% )##&
"%# =% )"=(##"=)&#&
"(# "+(##"+% (+(##&
"*# "%+((#"+% )+(##!
第 章 整式乘法与因式分解
)#$ ! $计算
#! %
( # ) % ( # ) %
"## +)* ( +(* &
( (
( #) ( #)
"%# +(%*) +)%*( !
% %
先化简 再求值
&! ’ %
其中 #
"## %+"+% )+(## )+"%+% (%+)(#’ +$) &
%
( # ) ( # ) ( # ) % 其中 #
"%# %+) * %+( *) %+) * ’ +$ ’ *$)#!
% % % *
解方程 组
’! " #%
"## (+"+(%# ("+(##"+)## $*"+% (+#&
+"*)&# )*"+)%# $#%’
"%#
%+")*)## (**"% )%+# $*"+*((#!
求不等式 的正整数解
(! "(+(*#"(+)*# 2,"+)%#"+((# !
下图是一个机器零件的截面 写出它的面积表达式 并计算当 时的
)! ’ ’ % $#$,$
面积
!
第 题 第 题
" ’ # " + #
"""""
如图 有一长方形空地 其长为 宽为 现要在该空地种植两条防风带 图
*! ’ ’ %’ -’ "
中蓝色部分 其中斜向防风带为平行四边形 横向防风带为长方形 用代数
#’ ’ ’
式表示剩余空地的面积
!
小结 评价
! $)$8
填空
+! %
"## ,%*-% )"""" $"(%%- (&,#"(%%- )""""#&
# # ( # ) %
"%# &% ( &’ ("""" $ &("""" !
* ( %
把下列各式分解因式
!$! %
"## +% ()%+(,%%&"""""
"%# "+)%%#% )%"%% )+#!
如果二次三项式 是一个完全平方式 求 的值
!!! *+% (&+(() ’ & !
复习题
组
&
填空
!! %
已知 则
"## "%+)%#% $- (*+% )#%+’ % $""""’ - $""""&
如果 可分解为 则
"%# +% (%+)) "+(-#"+(%#’ % $""""’ - $""""&
如果 在整数范围内可分解因式 则整数
"(# +% )%+(#& ’ % $""""&
如果 那么
"*# %& $)’ %’ $(’ %&(’ $""""""’ %&)’ $""""&
已知 则
"&# "+(*#% $’’"+)*#% $&’ +% (*% $""""’ +*$""""&
")# %$%*% )%$%( "%$%& $""""!
为参加 爱我校园 摄影比赛 小明同学将参与植树活动的照片放大为长
"! - . ’
宽( 的长方形 又在四周加上宽为 的相框 请用代数式表示
% ,$* % ,$ ’ % ,$ !
*
这幅摄影作品 带相框 的面积
" # !
比较 与 的大小
#! %#$$ (’& !
已知 求 的值
&! +(*$(’ +*$#’ +% (*% !
观察下列关于自然数的等式
’! %
(% )* "#% $&’ #
第 章 整式乘法与因式分解
)%$ ! $&% )* "%% $,’ $
’% )* "(% $#(’ &
//
根据上述规律解决下列问题
%
完成第 个等式
"## * %,% )* """""% $""""&
写出你猜想的第 个等式 用含 的式子表示 并说明其正确性
"%# ’ " ’ #’ !
复习题
组
’
分解因式
!! %
#
"## +* )+&""""""""""""%# +* (’+% )+!
%
分解因式
"! %
"## %* )%( (%% )%&""""""""
"%# *%% ),-% (,% )*%,&
"(# "%+(-*#% ("-+)%*#%!
试说明 是整数 能被 整除
#! "’ (’#% )"’ )&#%"’ # %* !
计算
&!"## %
"% )##"% (## $""""&
"% )##"%% (% (## $""""&
"% )##"%( (%% (% (## $""""&
由此 猜想
"%# ’ %"% )##"%,, (%,+ (%,’ (/(%% (% (## $""""&
请你利用上式的结论 求 的值
"(# ’ %#,, (%#,+ (/(%% (% (# !
已知 试比较
’! %>$,+’)&*(%# "#%(*&)’+,’ ?$,+’)&*(%% "#%(*&)’++’ >
与 的大小
? !
小结 评价
! $)!9
分式
第 章
为了满足经济高速发展的需要%我国铁路部门
不断进行技术革新%提高列车运行速度!
兰"甘肃兰州#新"新疆乌鲁木齐#高铁里程全
长约#’’) #$!若某直快列车改为高铁列车后%速
度提高 *+!%运行时间缩短约 ) "%求直快列车的
速度!"
若设直快列车的速度为+#$%"%则直快列车运行
#’’) #’’)
时间为 "%高铁列车运行时间为 "%
+ "#0*+!#+
可以得到方程""""""!
#’’) #’’)
像 % 这样的式子和我们以前
+ "#0*+!#+
学过的整式有什么不同* 得到的方程如何解答*
本章我们将学习分式的性质与运算、分式方程
以及如何运用它们解决一些实际问题.
)&$ $9
分式及其基本性质
.1
问 题 一个长方形的面积为 如果它的长为 那么它的宽为
! !"" %$ $%$ % $$
""""$!"
问 题 某超级杂交稻育种基地有两块稻田 第一块稻田 每公顷
! !#" $ &"$%$
产超级杂交稻 第二块稻田 每公顷产超级杂交稻 则这两块稻田
% #&* ’ "$%$ - #&$
平均每公顷产超级杂交稻
""""#& !
上面问题中 列出的代数式分别为%$ 和 %&(-’ 这些代数式有什么共同
$ !
! &(’
的特征 与整式有什么不同 你还能列出几个这样的式子吗
’ ’ ’
一般地 如果 表示两个整式 并且 中含有字
$ >$ ? $ ?
正如分数可
母 那么式子>叫作 其中 叫作分式的 叫
$ 分式! > 分子$? 看成两个整数相
?
作分式的 除的商一样 分
分母!
!
因为 是分母 所以 所含字母的取值不能使 式是两个整式相
? $ ? ?$$!
整式和分式统称为 即 除的商
有理式$ !
整式
有理式
分式
!例!1 当 取何值时 分式 * 有意义
"%#& + $ ’
+)%
当 是什么数时 分式 +(* 的值为零
%%& + $ ’
%+)(
当分母的值等于零时 分式没有意义 除此以外 分式都有意义
解"%#& $ $ $ !
由
+)% $$$
分式及其基本性质
("#$ $)’9
解得
如无特别说
+$%!
明 本章出现的
因而 当 时 分式 * 有意义 !
$ +#% $ ! 分式都有意义
+)% !
由 即其分母都不等
%%& +(* $$$
解得 于零
!"
+$)*!
当 时
+$)* $%+)( $)+ )( $)## #$!
因而 当 时 分式 +(* 的值为零
$ +$)* $ !
%+)(
练习
下列代数式中 哪些是分式 哪些是整式
!! ’ ! !
# % # % % (- +(% (
’ ’ ’ ) ’ ’ ’ !
% ( +(* + %- +)% !
当 为何值时 分式 +(% 有意义
"! + ’ !
+)(
解下列问题
#! %
一箱苹果售价 元 箱子与苹果总质量为 箱子质量为
"## % ’ &#&’ ’ #& !
每千克苹果的售价为多少元
!
已知轮船在静水中的速度为 水流速度为
"%# % #$%"’ - #$%" "% 2-#’
甲 乙两地的航程为 船从甲地顺江而下到乙地需要多少时
* @#$’
间 从乙地返回甲地需要多少时间
! !
第 章 分式
)($ ( $思考
完成下面等式的填空 并说出从左到右变化的依据
! &
# % ’""(
’#( $ $ ! ’""""""""(
( ’""( #%
) ( ’""(
’%( $ $ ! ’""""""""(
#+ ’""( (
与分数类似 分式有如下的基本性质
$ )
""分式的分子与分母都乘以"或除以#同一个不等于零的整式$分式的值不
即
变$
, ,$. ,1.
$ $ ",$ -$ .都是整式$且 .#$#!
- -$. -1.
!例!2 根据分式的基本性质填空
" )
+% %""& )% %
%#& $ *""""""""%%& $ *
%+* %* )&- %""&
% (- # % %%
%(& $ * %*& $ !
%%- (%-% %"""& % (- %"""&
+% +
解"%#& $ !
%+* %*
)% %
%%& $ !
)&- &-
% (- #
%(& $ !
%%- (%-% %-
% %%
%*& $ !
% (- %% (%-
分式及其基本性质
("#$ $))9
练习
填空
!! %
% )- """# "% )##"% (%# % (%
"## $ &""" """"%# $) &
%- %%- "% ((#"# )%# """#
&&%’% """# +)# #
"(# $ & "*# $ !
&%’ (’%& &(’ +% )%+(# """#
下列等式从左边到右边是怎样得到的
"! !
% %,
"## $ ",#$#&
(- (-,
+"+)*# +
"%# $ &
+% )*% +(*
+(% +% (*+(*
"(# $ "+#)%#&
+)% +% )*
% )- %% )-%
"*# $ !
% (- "% (-#%
分式的基本性质是分式化简和运算的依据
!
根据分式的基本性质 把一个分式的分子和分母的公因式约去叫作分式的
$
约分!
!例!3 约分
" )
当分式的分
++*% %% )-%
%#& *""""""%%& * 子和分母是多项
#%+%* % (-
式时 可先分解
%% )%% +% )# !
%(& *" %*& !
因 式 找 出 公 因
* )%% +% )%+(#
式 再约分
! !
第 章 分式
"**$ ( $#!"$ %!"#$" $"
解!!"" # # $
"$!$" %!"#&! &!
%$ &’$ !% (’"!% &’"
!$" # #% &’$
% (’ % (’
%$ &$% %!% &$" % %
!&" # # #& $
% &%$ &!% ($"!% &$" &!% ($" % ($
!$ &" !!(""!!&"" !("
!%" # # $
!$ &$!(" !!&""$ !&"
像 $" % !(" 这样 分子与分母没有公因式的分式叫作
$ & $ $ 最简分
&! % ($ !&"
分式的约分是把分式化成最简分式或整式
式$ $
练习
约分
!$ !
’!" &&)*
""# $!!!!!!!!!!!!"$# $
$(!$ ))*$
"% &’#$ )%"’ &"#
"&# $!! "%# $
"’ &%#& #%+"" &’#
约分
"$ !
!$ &* !$"(!"$
""# $ "$# $
"!&&#$ !$ &"$
下面的约分对不对 如果不对 应怎样改正
#$ % & %
&% (’ "% &’#$
""# #"$!! "$# #’ &%$
% &’ ’ &%
)$ &*$
"&# #)&*$
)&*
分式及其基本性质
!"#$ $!"!
书书书9
习题 9+1
解下列问题
!$ !
已知三角形的面积为 它的一边长为 那么该边上的高为多
""# , !$& % !&
少米
%
若将一棱长为 的正方体钢坯锻造成底面半径为 的圆柱 则这个
"$# % ! -! &
圆柱的高为多少米
%
一台插秧机的插秧速度相当于 个熟练农民的插秧速度 若一个熟练农
"&# % &
民每小时能插 则一台插秧机插完 的水稻需要多少时间
)"!$& * "!$ %
当 取什么值时 下列分式有意义
"$ ! & %
! !&"
""# $!!!!!!"$# $
$!&& ’!("(
填空
#$ !
" "!!# !&$ "
""# # ""!(#$!!!!!"$# # $
! !" !$ &% "!!#
"& %"& % &’ %$ &’$
"&# # $!!!!!!!! "%# # "% !&’#$
%%! "!!# ’ "!!#
不改变分式的值 将下列分式的分子与分母中各项的系数都化为整数
$$ & !
" "
% &
(+"!&(+$" $ &
""# $ "$# $
(+’!((+&" " "
’ (
% &
不改变分式的值 将下列分式的分子与分母的最高次项的系数化为正数 并
%$ & &
将分子与分母按降幂排列
!
&%$ &" !&!$
""# $ "$# $
" &% " ($!$
&" ($!&!$ &%$ (% &"
"&# $!!!!! "%# $
&$!(" " &% &%$
第 章 分式
!"#$ ! $约分
&$ !
&"’! &$%+$
""# $!!!!!!!!!!!!"$# $
$(!$ &"%%$’+
!&" !$ &*
"&# $ "%# $
""&!#& ) &$!
%$ ($%’ (’$ !$ &"
"’# $! ")# $
%$ &’$ !&!$
先化简 再求值
’$ & !
!$ &’! 其中
""# & !#$+’$
!$ &"(!($’
%$ &*’$ 其中
"$# & % #&%& ’ #$$
%’ (&’$
数 学 拓 展
类 比 推 理
我们学习一元一次不等式的解法 是类比解一元一次方程进行的 由于两
! $
者标准形式类似 解的依据也是类似的基本性质 因此 在学过一元一次方程解
! $ !
法后 很容易通过类比去研究一元一次不等式的解法
! $
分式与分数分别是整式与整式 整数与整数相除的表述形式 当分式中分子
" !
与分母以数值代替字母时 它就是分数 这样可以通过与分数类比 来学习分式
! $ !
的性质与运算
$
由两个对象的某些相同或相似的性质 推断它们在其他性质上也有可能相
!
同或相似的一种推理形式 称作类比
! $
分式及其基本性质
!"#$ $!"$9
类比和归纳一样 也是科学研究中常用的方法 比如 在人类对太空的探索
! $ !
中 发射探测器登陆火星 任务之一是了解火星上是否曾经有水的存在 因为火
! ! $
星与地球同是太阳系中行星 地球上有生物 火星上是否也有呢 从地球上知
! ! #
道 水是生命之源 如果火星上有过水 推测它可能存在过生物
! ! ! $
类比可以启发我们去猜想 去思考 因此 我们要学会用类比的思想方法去
" ! !
发现新问题 探求新规律
" $
思考 整数与整式有类似的属性 请你根据整数中公因数和最大公因数
!! $
的概念 类比推理出整式中公因式和最大公因式的概念
! $
思考 类比求两个整数的最大公因数的方法 求下列各组整式的最大公
"! !
因式
$
%"& !&"! !$"$’
%$& %!&"&$%!&&&! %!&"&%!&$&%!&&&$$
思考 像& ’ # 这样的分子和分母没有公因数的分数叫作最简分
#! ! ! ,
% ) *
数 求最简分数时 只要约去分子和分母的最大公因数 类似地 把分式
$ ! $ !
&%!&"&%!($&%!&’& 化成最简分式时 你要约去的是什么公因式
! #
%!&"&%!&&&%!&’&
第 章 分式
!"%$ ! $9
分式的运算
.2
1. 分式的乘除
思考
你还记得分数的乘除运算吗
"$ #
$ ) ( ’) ( $)
%"& . #!!!!’!!!!%$& & .& #!!!!’
& ’ - ’
& ( &) ( %) $
%&& /& #!!!!’ %%& & / #!!!!$
) % $" -
任给 一组使分式有意义的数值 如
$$ %! ’! +! 0 ! %#$! ’#&! +#&$!
求下面两个式子的值 再任选一组 的值进行计算 从中
0 #&&! ! %! ’! +! 0 $
你能得出什么结论
#
% + %+ % + %0
%"& ( #!!! # ’ %$& / #!!! # $
’ 0 ’0 ’ 0 ’+
与分数乘除类似 分式乘除的法则为
$ %
!!两个分式相乘!用分子的积作为积的分子!用分母的积作为积的分母!
两个分式相除!将除式的分子"分母颠倒位置后!与被除式相乘!
"例"1 计算 分式运算的
! %
结果要化为最简
)! &"("$ *%$’$ &%’&
!"" # &!!!!!!$" / $ 分式或整式
’" &!& $+ #+$ $
分式的运算
!"%$ $!"&9
)! &"("$ )!#!&"("$" %"
解!!"" # # #& $
’" &!& ’"#&!& !$
*%$’$ &%’& *%$’$ #+$ "$%+
!$" / # # # $
$+ #+$ $+ &%’& ’
"例"2 计算 !&" !$ &"
! % / $
!$ &%!(% !$ &% 先约分后相
!&" !$ &" 乘 可使运算简
解!! / !
!$ &%!(% !$ &% 便
$
!&" !$ &%
# #
!$ &%!(% !$ &"
!!&""!!$ &%"
#
!!$ &%!(%"!!$ &""
!!&""!!&$"!!($"
#
!!&$"$!!&""!!(""
!($
# $
!!&$"!!(""
思考
怎样计算( 1)$ ( 1)& ( 1)%
! ! #
2 2 2
( 1) $ 1 1 1$
# ( # ’
2 2 2 2$
( 1) &
#!!!!!!!! #!!!!’
2
( 1) %
#!!!!!!!! #!!!!$
2
第 章 分式
!"’$ ! $一般地 ( 1) * 是正整数
$ # # !* "$
!!!!!!!! !!!!
2
即 (") $
# $
!!!!!!
#
分式乘方的法则为
%
!!分式乘方等于把分子"分母分别乘方!
根据负整数次幂的意义 可知
$ %
( 1) *
#!12&""*$
2
这就是说 分式的乘方 ( 1) * 可以转化为积的乘方
$ !12&""*$
2
练习
计算
!$ !
&%$ "(’$ &%’ $"%$’
""# ’ $!!!!!!!!"$# / $
’’& -%+ %!" "(!$"
$! "$!"
"&# &&!"$’ $! "%# /%"!"#$$
"&"#$ ’
计算
"$ !
$!($ !$ &% !&"
""# ’ $ "$# /"!$ &$!"("$#$
!&$ !(" !("
(’$) & ( !) $ ("$) &
"&# /"&’)+#$ "%# & ’ /"!"#%$
%+ " !
体育课上 李明和王亮进行单人定位投篮练习 李明投 次中 次 王
#$ & $ % ’ &
亮投 次中 次 问李明投篮的命中率是王亮的几倍
) * & %
分式的运算
!"%$ $!"(9
2. 分式的加减
思考
复习分数的加减运算 填空
"$ ! $
& " ( &) "
%"& ( #!!!’!!!!!%$& & & #!!!’
$ $ % %
( $) ( ") ( ") ( ")
%&& & (& #!!!!’ %%& & & ( #!!!!$
’ & $ &
类比分数的加减运算 下面分式的加减运算如何进行
$$ ! #
’ + ’ +
%"& ( ’!!!!! %$& & ’
% % % %
’ % ’ %
%&& ( ’ %%& & $
&% $’ &% $’
与分数类似 在计算异分母分式的加减时 要利用分式的基本性质 先把分
$ $ $
母不相同的分式化成分母相同的分式 再进行加减 化异分母分式为同分母分
$ $
式的过程 叫作分式的
$ 通分$
异分母分式通分时 关键是确定公分母 通常取各分母所有因式的最高次
$ $
幂的积作为公分母 这样的公分母叫作
$ 最简公分母$
"例"3 通分
! %
" " "
!"" $ $ &
&%$’ %%’$ "$%’
" " "
!$" $ $ $
!$ &"$ !$ ($!"("$ !$ (!"
中系数的最小公倍数为 字母 的最高次幂为
解!!"" &%$’$ %%’$$ "$%’ "$$ %
字母 的最高次幂为 故最简公分母为
%$$ ’ ’$$ "$%$’$ $
第 章 分式
!")$ ! $这三个分式通分后分别为 " %’
% # $
&%$’ "$%$’$
" &%
# $
%%’$ "$%$’$
" %’
# $
"$%’ "$%$’$
!$" !$ &"$ #!!&""!!(""$!$ ($!"("$ #!!(""$$!$ (!"#!!!(""$
所以这三个分式的公分母为
!!!(""$!!&""$
这三个分式通分后分别为
%
" !!!(""
# $
!$ &"$ !!!&""!!(""$
" !!!&""
# $
!$ ($!"("$ !!!&""!!(""$
" !!&""!!(""
# $
!$ (!" !!!&""!!(""$
在求最简公分母时应注意
%
如果各分母的系数都是整数时 通常取它们系数的最小公倍数作为最
!"" $
简公分母的系数
&
当分母是多项式时 一般应先分解因式
!$" $ $
练习
通分
!$ !
% ’ + & ’
""# & & $!!!!!!!!!!"$# & $
$’ &% %%’ $!$" &!"$
通分
"$ !
" !&" " " " "
""# & & $! "$# & & $
!(" !$ ($!(" !&" " &! !$ &" !$ (!
分式的运算
!"%$ $!"*9
与分数加减类似 分式加减的法则为
$ %
!!同分母的分式相加减!分母不变!分子相加减!
异分母的分式相加减!先通分!变为同分母的分式后再加减!
"例"4 计算
! %
’ % (’
!"" & &!!!!!!!!!
$% $%
% % &&
!$" ( $
% &" " &%
’ % (’ ’ &!% (’" ’ &% &’ % "
解!!"" & # # #& #& $
$% $% $% $% $% $
% % && % % && % &!% &&"
!$" ( # & #
% &" " &% % &" % &" % &" 注意
$" &%
&
# $ #&%% &"&$
% &"
"例"5 计算
! %
& % )&"’ $
!"" ( &!!!!!!!!!!!$" & $
$!$ ’! )$ &* & &)
& %
解!!"" (
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"’ #!
# (
"(!$ "(!$
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第 章 分式
!!"$ ! $)&"’ $
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练习
计算
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+ + " "
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% ’ !(" !&"
计算
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’ % %’ &! $" )!"
$ ’ $% "
"&# & $ "%# & $
&!$ )! %$ &%’$ % &$’
学校有一块面积为 的操场 七 班的 位同学承担了清除操场杂草
#$ ) & "$# %
的任务 若平均每位同学每小时能清除面积为 的杂草 则全班清除全
$ * &
部杂草需要多少时间 七 班有 位同学 若平均每位同学每小时能
% ""# ’ &
清除面积为 的杂草 则两班合作要比七 班单独完成提前多少时间
3 & "$# %
分式的运算
!"%$ $!!!9
分式的加 减 乘 除 乘方混合运算是先乘方 再乘除 后加减 如果有括号
’ ’ ’ ’ $ $ $ $
先进行括号里的运算
$
"例"6 计算 (!&" ! ) ! ( ! ) $
! % & & / $
! !(" !$ &" !&"
(!&" ! ) ! ( ! ) $
解!! & & /
! !(" !$ &" !&"
!$ &" &!$ ! !!&""$
# & #
!!!("" !$ &" !$
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"
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练习
计算
!$ !
%$ ’$
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"
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!$ &% !($ $ &!
第 章 分式
!!#$ ! $习题 9+2
计算
!$ !
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""# ’ $!!!!!!!!!!"$# / $
%’ *%$ #+$0 $+0$
% &’ %’ !" )!&*"
"&# ’ $ "%# ’ $
’ $% &$’ $!&&" $!$"$
计算
"$ !
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!&!$ " &" !"
计算
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""# & /& $! "$# "&%$#’ & /& $
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计算
$$ !
$!(- !(& &+ &0 (+
""# & $! !! "$# & $
&!(" &!(" +&0 0 &+
计算
%$ !
&!(" $"&" $’$
""# & $!!!!! "$# % (’ ( $
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% &" % " )&&
"&# ( $ "%# ( $
%$ &" % (" )$ &) )$ &"
计算
&$ !
( " ) !&" "
""# !& ’ & $!
" &! ! !
& &% ( ’ )
"$# / % ($ & $
$% &% % &$
若 " 求( %$ &% " ) % (" 的值
’$""# % # & & / $
$ %$ &%% (% % &$ % ($
若 求( %!") ( %!") 的值
"$# !#"((& "#**& !&"( !("& $
!&" !("
分式的运算
!"%$ $!!$9
两地之间的空中航线全程 飞行时间需用 两地之间的铁路线全程是
($ 4#!& % "&
空中航线全程的 倍 火车运行的时间为 求飞机速度是火车速度的多
) & ’ "&
少倍
$
如图 丰收 号 小麦试验田是边长为 的正方形去掉一个边
)$ &( " ) %!"% 5’ 5(#
长为 的正方形蓄水池后余下的部分 丰收 号 小麦试验田是边长为
’ ! &( $ )
的正方形 两块试验田的小麦都收获了 求 丰收 号 的单
"% &’# ! & ’((#$$ ( " )
位面积产量是 丰收 号 的单位面积产量的多少倍
( $ ) $
第 题
" * #
第 章 分式 南繁生物育种专区
!!%$ ! $9
分式方程
.3
在本章引言问题中 我们得到了下列方程
$ %
"--) "--)
& #)$
! !" (%#!"!
即 "--) "--)
& #)$
! "+%#!
像这样 分母中含有未知数的方程叫作
$ 分式方程$
思考
如何解分式方程"--) "--)
& #)#
! "+%#!
方程两边同乘以 得
"+%#!$
"+%# ."--) &"--) ##+##!$
解这个整式方程 得
$
!#*)$
把 代入上述分式方程检验
!#*) %
左边 "--) "--) 右边
# & #) # $
*) "+%# .*)
所以 是该分式方程的根
!#*) $
因而 直快列车的速度为
$ *) #!%" $
分式方程
!"&$ $!!&9
探究
解方程 $ &! " 把解得的根代入原方程中检验 你发现了
# &$! !
!&& & &!
什么
#
去括号 去分母 得 去 分 母 后
’ $ !
分式方程转化为
$ &!#&" &$!!&&"$
整式方程 未知
!
移项 得
数的取值范围扩
$
大了
$
$!&!#&" &$ ()$
解得
!#&$
把 代入原方程检验时 原方程中分式的分母为零 分式没有意义 所以
!#& $ $ $
不是原方程的根 原方程无解
!#& $ $!
是原方程两边同乘以最简公分母变形后 得
!#& $
到的整式方程的根 但不是原分式方程的根 像 想一想为什么
$ $ !#&
这样的根 称为原方程的增根 解分式方程时 去分母 会产生增根
$ $ $ #
可能会产生增根 所以解分式方程必须验根
$ $
"例"1 解方程 !&" !
! % &$ # $
!(& & &!
方程两边同乘以最简公分母 得
解! !!(&"!!&&"$
!!&""!!&&" &$!!(&"!!&&" #&!!!(&"$
第 章 分式
!!’$ ! $展开 得
!! $
!$ &%!(& &$!$ ("# #&!$ &&!$
解方程 得
$
!#$"$
检验 当 时
% !#$" $!!(&"!!&&" !($
所以 原方程的根是
$ !#$"$
解分式方程时 通常在方程两边同乘以最简公分母 验根时 只要把求得的
$ $ $
根代入最简公分母 看它的值是否为零 使它不为零的根才是原方程的根 使它
$ $ $
为零的根即为增根 应舍去
$ $
交流
由以上解方程的过程 你能总结出解分式方程的步骤吗 把你的结
! #
论与同学交流
$
练习
解方程
!$ !
’ &
""# # $!
! !&$
" !&&
"$# " & # $
!&% % &!
防汛期间 县指挥部组织人力到 远的堤上抢修堤坝 人骑摩托
"$ & &( #! &$
车先走 后 大部队乘汽车装载着所需材料出发 结果他们同时到
&"’ !&’ & &
达 已知汽车速度是摩托车速度的 倍 求这两种车的速度
$ "+’ & $
分式方程
!"&$ $!!(9
"例"2 有一并联电路 如图 两电阻阻值分别
!! ! $ * "$
为 总电阻阻值为 三者关系为
6$ 6$ 6$ %
" $
" " "
# ( $
6 6 6
" $
若已知 求
6$ 6$ 6$ 图
" $ * "
方程两边同乘以 得
解! 666$
" $
66 #66 (66$
" $ $ "
即
66 #6!6 (6"$
" $ " $
因为 都是正数 所以
6$ 6 $ 6(6 !($
" $ " $
所以两边同除以 得
!6(6"$
" $
66
" $
6# $
6(6
" $
"例"3
!
七
!""’
七
!$"
两班师生前往郊区参加义务植树活动
$
已知七
!""
班
每天比七 班多种 棵树 如果分配给七 七 两班的植树任务分别是
!$" "( $ !""’ !$"
棵和 棵 问两个班每天各植树多少棵 才能同时完成任务
"’( "$( $ $ (
设七 班每天植树 棵 那么七 班每天植树 棵 七 班
解! !$" ! $ !"" !!("(" $ !""
完成任务需 "’( 天 七 班完成任务需"$( 天
$ !$" $
!("( !
要求同时完成任务 即 应满足下列等式
$ ! %
"’( "$(
# $
!("( !
解方程 得
$
!#%($
经检验 是原方程的根
$!#%( $
此时
!("( #’($
因而 当七 班每天植树 棵 七 班每天植树 棵时 两个班能同时
$ !$" %( $ !"" ’( $
完成任务
$
第 章 分式
!!)$ ! $练习
在公式 7 7 中 用 表示出
" $
!$ # & 7 !(& 7 & 7 & 8 8$
$ " $ " $
8 8
$ "
小华和姐姐都用计算机输入 个汉字 姐姐的输入速度是小华的
"$ " ’(( & &
倍 结果姐姐比小华少用 完成 求他们各自打字的速度
& $( !&’ & $
甲 乙两名工人生产同一种零件 甲每小时比乙多生产 个 甲生产
#$ * & # & ")#
个零件与乙生产 个零件所用的时间相同 问甲 乙两人每小时各生
"%% & *
产多少个零件
%
习题 9+3
某地修建一条轻轨铁路 要使工程提前 个月完成 需将原定的工作效率提高
!$ & & &
如果设原计划完成这项工程用 个月 那么 应满足怎样的方程
"$!$ ! & ! %
已知水流的速度是 轮船顺流航行 与逆流航行 所需时间
"$ & #!%"& )) #! %# #!
相等 设轮船在静水中的速度为 试列出关于 的方程
& !#!%"& ! $
解下列方程
#$ !
) & ! ’
""# & #($!!!!!!!"$# & #"$
!(% !&" $!&’ ’ &$!
!(" !&& $ & )
"&# # $ "%# ( # $
!&$ !&% !(" !&" !$ &"
已知 - 求
$$""# 6( #4"4! 6#& *$
*
已知 )&% 求
"$# 9# "9!&"#& % $
)(%
分式方程
!"&$ $!!*9
车间加工 个零件后 采用了新工艺 工效是原来的 倍 这样 加工同
%$ "$(( & & "+’ & &
样个数的零件就少用了 问采用新工艺前后每小时各加工多少个零件
"( "& %
在争创全国卫生城市的活动中 某市 青年突击队 决定义务清除重达
&$ & ( ) "(( (
的垃圾 开工后 附近居民主动参加到义务劳动中 使清除垃圾的速度比原
$ & &
计划提高了 倍 提前 完成了任务 该 青年突击队 原计划每小时清除多
" & ’ " & ( )
少吨垃圾
%
数 学 拓 展
两个等式的研究
前面我们学过很多等式 例如完全平方公式和平方差公式 通过观察我们会
! !
发现很多等式具有非常有趣的规律 下面给出两个例子 请你通过观察 总结规
$ ! !
律并解答问题
$
我们知道 改变公式写法 得
"+ !%3("&$ #3$ ($3("! !
%3("&$ &3$ #$3("$
对上面的等式 依次令 得
! 3#"! $! &! )! *!
$$ &"$ #& #$ ." ("!
&$ &$$ #’ #$ .$ ("!
%$ &&$ #- #$ .& ("!
’$ &%$ #* #$ .% ("!
))
%* ("&$ &*$ #$* ("$
把这 个式子左右两边分别相加 能得到怎样的结果
%"& * ! #
第 章 分式
!#"$ ! $记 根据上述结果 你能求出 的公式吗
%$& , #" ($ (& ()(*$ ! , #
" "
上面我们从公式 入手 从一般到具体 根据 的
%&& %3("&$ #3$ ($3(" ! ! *
不同取值 得到一系列等式 从而求出 前 个正整数的和 的公式 仿上 记
! ! , % * & $ !
"
请构建一个等式 然后利用它求出
, #"$ ($$ (&$ ()(*$! ! , $
$ $
上题是利用一系列等式相加消项求和 这种方法不仅限于整数求和 还
$+ ! !
有其他应用 如
$
" "
#" & ! !
" .$ $
" " "
# & ! "
$ .& $ &
" " "
# & ! #
& .% & %
" " "
# & ! $
% .’ % ’
!!!!!!!!!!! !!))
继续写出上述第 个算式 并把这些算式两边分别相加 会得到什么
%"& * ! !
结果
#
你能写出下面的求和公式吗
%$& #
" " " "
( ( ()( ’
" .$ $ .& & .% *%* ("&
根据上面的算式 在小于 的正整数中 找出 个数 使得它们的倒
%&& ! "(( ! "( !
数和等于
" $
分式方程
!"&$ $!#!9
小结·评价
一 知识体系
!! !
 
3 0
B
E

K
D0

/ *
二 回顾与思考
!! !
1
"$形如 !1" 2为整式"且2中含有字母#的式子叫作分式$!!!!
2
和!!!!统称为有理式$
$$分式的基本性质$
1%: 1/:
# " # !1" 2" :是整式"且:!(#$
!!!! !!!!
2%: 2/:
&$分式的运算法则$
1 ; 1 ;
!"# 分式的乘除$ % # " / # &
!!! !!!
2 < 2 <
1 ; 2 <
!$# 分式的加减$ = # " = # $
!!! !!!
2 2 1 ;
%$解分式方程的基本思想是把它转化为!!!!方程"在分式方程求
解过程中有可能产生!!!!"所以解分式方程必须!!!!$
第 章 分式
!##$ ! $三 自评与互评
!! !
"$本章从分式的概念’性质到运算法则"都是通过和分数的有关知识
类比得到的$类比是一种重要的数学思想方法"请你举例说明前面哪些知
识的学习运用了这种思想方法$与同学进行交流$
$$解分式方程是通过去分母"化归为整式方程求解$化归同样是一种
重要的数学思想方法$在前面知识的学习中"哪些应用了这种思想方法(
试举例说明"与同学进行交流$
&$解分式方程与解一元一次方程有什么联系和区别(
%$联系实际生活"提出一个可以通过列分式方程解决的问题"与你的
同学共同解决"并对解答给出评价$
复习题
组
!
填空
!$ !
某家庭每天需用大米 家中存有 天的用米量 如果每天少用
""# )#$& ! & * #$
的大米 那么存有的大米能用 天
& !!!! $
当 时 分式 %! 有意义
"$# !!!!! & $
!("
当 时 分式 $! 的值为零
"&# !!!!! & $
$ &!
当 时 分式 " 的值为负
"%# !!!!! & $
& (!
计算
"$ !
%$’ (%’$ % &’ " %
""# ’ $!!!!!"$# / $
%$ &$%’ (’$ %’ (’$ !&$ % &!$
小结 评价
! $!#$9
( " ) ( " )
"&# " & &" $
" &! !$
计算
#$ !
!(" !&" % &’ ’ &+ +&%
""# & $!! "$# ( ( $
!&" !(" %’ ’+ +%
$! " ) !&"
"&# &!("$! "%# & & $
!(& !&& !$ &* ) ($!
先化简 再求值
$$ & !
$!() !&$ 其中
/"!(&#’ & !#&$
!$ &%!(% !(&
解方程
%$ !
&!&" $ !&) !&%
""# # $! "$# ( #$$
!($ & !&& !&’
已知 % ’ 求
&$""# ( #" "’ ! "#& !$
! "
已知 "&* 求
"$# 3# "3!(#& !$
!&)
甲 乙两人同时在计算机上输入一份书稿 后 甲因另有任务 由乙又单独
’$ * &% " & &
输入 完成 已知甲输入 的稿件 乙需要输入 问甲 乙单独输入
’" $ ’" & -+’" $ *
完成这份书稿各需要多长时间
%
五一期间 班主任王老师带领全班同学去距离学校 的科技馆研学 一部
($ & $’#! &
分同学在班长的带领下骑自行车提前 出发 另一部分同学在王老师的
#( !&’ &
带领下乘客车前往 结果两队同时到达 若客车速度是自行车速度的 倍 求
& $ & &
各队的速度
$
某村准备发展 大棚蔬菜 负责承建大棚的工程队为了不耽误农时 工
)$ #( "!$ & &
作效率比原计划提高了 倍 结果提前 天完工 求工程队原计划每天建
"+’ & $( $
多少公顷大棚
$
第 章 分式
!#%$ ! $复习题
组
"
填空
!$ !
如果 那么!&"
""# !$ &%!"(%"$ #(& #!!!!$
!("
如果 ! "那么 -!$ &"$
"$# # & #!!!!$
$ & !$ &$!"(&"$
计算
"$ !
"$%’$#&$"%$’#$ !$ ("$ &>$ ($!"
""# $!!!!!!"$# $
"&%&’#$"%’&#&$ !$ &"$ (>$ &$!>
计算
#$ !
( " " ) ( " " )
""# & / ( $
!$ &$!(" !$ ($!(" !(" !&"
" " "
"$# ( ( $
!"!("# "!("#"!($# "!($#"!(&#
% ’ +
"&# ( ( $
"% &’#"% &+# "’ &+#"’ &%# "+&%#"+&’#
某单位将沿街的店面房出租 第一年租给一家公司获租金 万元 第二年租给
$$ & ) &
一些个体经营户获租金 万元 已知第一年每间店面房的租金比第二年少
-+$ $
元 问这两年每间店面房的租金各是多少元
"((( & %
某市自来水公司实行阶梯式收费 收费标准如下表所示
%$ & !
月用水量%&*# %#$( $( ?%#&( % 5&(
收费标准&元·*+# $+%* &+(- (
月份小华家缴纳水费 元 小莉家缴纳水费 元 并且小华家的用
* #-+# & "($+% &
水量恰好是小莉家的# 求月用水量大于 时的收费标准
$ &( !& $
*
小结 评价
! $!#&9
某建工集团下有甲 乙两个工程队 现中标承建一段公路 若让两队合做
&$ * & $ &$%
天可以完工 需要费用 万元 若让两队合做 天后 剩下的工程由乙队
& "$( $ $( &
做 还需 天才能完成 这样只需要费用 万元 问
& $( & ""( $ !
甲 乙两队单独完成此项工程各需要多少天
""# * %
甲 乙两队单独完成此项工程各需要费用多少万元
"$# * %
复习题
组
#
解下列方程组
!$ !
% & % )
( #"(& ( #&&
! " !(" !&"
""# !!!!!!!!"$#
* - * "
& #&’$ & #"$
! " !&" !("
第 章 分式
!#’$ ! $相交线、
10
第 章
平行线与平移
我们身边存在着许多相交线’平行线与平移的
实例"如教室里黑板面相邻的两条边与相对的两条
边’操场上的双杠’棋盘中的横线与竖线’纵横交错
的道路等$你能在下面图片中找到相交线’平行线
与平移的形象吗(
本章我们将研究平面内不重合的两条直线的位
置关系——相交和平行；学习研究几何图形性质的
基本方法——通过简单说理得出数学结论，养成言
之有据的思维习惯；学习平面图形的一种变化——
平移，解决一些简单的实际问题.
港珠澳大桥
$ $!#(10
相交线
.1
观察
!!!!
!"" !$"
图
"( "
观察剪刀剪东西的过程 可以将剪刀的两片刀刃边沿看作是两条相
!
交直线 如图 中虚线所示 把这两条相交直线用图 表
! "( "%"& $ "( "%$&
示 在剪东西的过程中 与 这两个角有怎样的位置关系
! !$1@; $2@< #
在图 中 直线 与 相交于点
"( "!$" $ 12 ;< @$
和 有公共顶点 并且它们的两边分别互为 在图
$" $& @$ "( "%$&
反向延长线 称这样的两个角互为 中 还有其他角能
$ 对顶角$ !
构成对顶角吗
#
探究
在图 中 是直线 与 相交形成的
"( "%$& !$"! $$! $&! $% 12 ;<
个角 很明显 这 个角的和为 与 的大小有什么关系
% $ ! % &)()$$" $$ #
与 呢 你能说明具有这种关系的道理吗
$" $& # #
第 章 相交线 平行线与平移
!#)$ #’ $ "由平角的定义可知 因此 为什么
$" ($$ #"#()$$& ($$ #"#()$ $" #$&$! ( "
由此可得
% 对顶角相等$
练习
判断下列各图中 与 是否为对顶角 并说明理由
!$ $" $$ & $
! !
!"" !$" !&"
! !
!%" !’" !)"
第 题
" " #
如图 两条直线相交 求 和 的度数
"$ & &$" #&’)& $$ $& $
第 题
" $ #
思考
将十字路口的两条道路看作两条直线 如图 中的 和
! "( $%$& 12
它们相交于点 形成 个角 如果 那么其他 个角
;<! @! % $ $1@;#*()! &
的度数各是多少 为什么
# #
!!
!"" !$"
图
"( $
相交线
#’"#$ $!#*10
在两条直线 和 相交所成的 个角中 如
!! 12 ;< % $
果有一个角是直角 就说这两条直线互相垂直 记 反过来 如果
$ $ !
作 读作 垂直于 其中一条直 那 么
)12% ;<*$ )12 ;<*$ 12% ;<!
线叫作另一条直线的 它们的交点 叫作 是多少度
垂线$ @ $1@; #
垂足$!
日常生活中两条直线垂直的例子很多 如图
$ "( &
所示的地砖间的缝隙线 围棋盘上的方格线等
$ $
图
"( &
你能再举出生活中一些两条直线互相垂直的例子吗
(
操作
用折纸方法画垂线
"$ $
仿照图 所示的方法 折出经过点 与直线 垂直的折痕 用
"( % ! A B !
直尺沿折痕画出直线
$
!"" !$" !&"
图
"( %
第 章 相交线 平行线与平移
!$"$ #’ $ "用三角板画垂线
!! !
仿照图 的画图办法 过已知直线 上 或外 的一点 画直
"# $ ! " " # #
线 使它与直线 垂直
! " !
能用量角器画
垂线吗
$
%%
!"" !!"
图
"# $%%%%%%%%%%
通过上面的操作 你知道过一点画已知直线的垂线 能画几条吗
# # $
关于直线的垂线 有如下基本事实
# %
同一平面内!过一点有且只有一条直线与已知直线垂直!
有时 我们说线段 射线与某一条直线互相垂直 是指线段所在直线 射线所
# & # &
在直线与该直线互相垂直
!
画一条线段或射线的垂线 就是画它们所在直线的垂线
# !
练习
C
如图 直线 与 相交于点 且
!! # $% &’ (# !$(&)
那么直线 与 有什么位置关系
!%(&! $% &’ $
为什么
$
A O B
D
第 题
! " "
相交线
!"#!$ $!"!
书书书10
如图 在三角形 中 是 中点 连接
"! # $%& #’ %& # A
请分别画出自点 向 所作的垂线
$’# %# & $’
垂足为点
! *# +"!
B C
D
第 题
! ! "
观察
如图 点 在直线 外 垂
"! "# &! # " !#(""!
足为点 在直线 上任意取一些点 把
(! " $! %! &!
这些点分别与点 连接 得到线段
# ! #$! #%! #&!
观察这些线段 比较它们的长短 其中哪一
! !
条线段最短
图
$ "# &
从直线 外一点 向直线 作垂线 垂足记为点 则线段 叫作点
" # " ! (! (#
到直线 的
# " 垂线段!
点 在直线 外 把一根细绳的一端用图钉固定在点 处 拉紧细
!! # " ! # !
绳 按图 所示步骤进行操作
! "# ’ !
观察细绳上的标记点 垂直拉紧时的垂足 位置的变化 你有什么
(" # !
发现
$
步骤 垂直拉紧 步骤 绕点 转动
"% %%%%% !% #
图
"# ’
连接直线外一点与直线上各点的线段中!垂线段最短!
直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫作
点到直线的距离!
第 章 相交线 平行线与平移
!"#$ !" $ !交流
如图 沙坑中留下一位同学跳远的足印 如何测量这位同学的
"# (! !
跳远成绩 为什么这样量
$ $
图
"# (
练习
如图 已知三角形 用三角板按要求
!! # $%&#
画图
!
画出点 到直线 的垂线段
!"" $ %& %
画出点 到直线 的垂线段 第 题
!!" % $& ! ! " "
如图 直线 表示一条公路 点 是一所学校所在的位置 要修一条从学
"! # " # # #
校到公路的道路 如何修才能使道路最短 画出所修道路的示意图 并
# $ #
说明理由
!
%%%%%%%%
!"" !!"
第 题
! ! "
相交线
!"#!$ $!""10
习题 10)1
如图 直线 相交于点 求 的度数
!! # "# "# " (#!" )+#!# !! )$#!# !* !
" ! *
第 题
! " "
如图 请过点 画线段 或射线 的垂线
"! # # $% $% !
%%%%!""%% %%!!"%%% %%!*"
第 题
! ! "
如图 直线 相交于点 垂足为点 求
#! # $%# &’ (# !$(&)*$!# *(" &’# (#
的度数
!’(%# !%(* !
第 题 第 题
! * " ! + "
%%%%%%
两个完全一样的三角板如图所示放置 其中 在边
$! # !$(%)&#!# !&(%)*#!#
所在直线上任取一点 分别测量点 到边 所在直线的距离 你
(& ,# , ($# (% #
能得到什么结论
$
第 章 相交线 平行线与平移
!"$$ !" $ !数学活动
怎样铺设节省材料
如图 是一条灌溉渠 要铺设管道将渠
"# ,! $% !
水引到 两个用水点
&! ’ !
现有两种方法
%
分别从点 向 作垂线 点 分别为
""# &! ’ $% ! *! +
垂足 沿 铺设管道
! *&! +’ !
连接 交 于点 沿 铺设 图
"!# &’ $% #! #&! #’ "# ,
管道
!%
问这两种铺设管道的方法 哪一种节省材料 为什么
! ! $
相交线
!"#!$ $!"%10
平行线的判定
.2
如图 双杠上的两条木杠 黑板的上下两边 把它们看作直线时 都给
"# "## # # #
我们平行直线的形象
!
在 同 一 平 面
内 两条直线有哪
!
几种位置关系
$
%
!"" !!"
图
"# "#
在同一平面内 不相交的两条直线叫作 如图
# 平行线!
两条直线 和 平行 记作 读作
"# ""# $% &’ # ’$%# &’(#
平行于
’$% &’(!
图
"# ""
操作
如图 点 在直线 外 按照图示的方法过点 画直线 的
"# "!! # " ! # "
平行线 你能画几条
! $
图
"# "!
第 章 相交线 平行线与平移
!"&$ !" $ !关于平行线 有如下的
%% # 基本事实%
过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行!
观察
如图 如果直线 想一想直线
"# "*! -#.! /#.! -
与 有怎样的位置关系
/ $
图
"# "*
通过上面观察有
%
即
如果两条直线和第三条直线平行!那么这两条直线平行!
如果直线 那么直线
- # .# / # .# - # /!
练习
如图 用直尺和三角板过点 画 交
!! # & &*#$% $’
的延长线于点
*!
在直线 的同侧有 三点 如果
"! - ## 0# 1 # #0# -#
第 题
那么 三点 填 在 或
! " "
01#-# ## 0# 1 %%%%! & ’
不在 同一条直线上 理由是
& ’" # %%%%%%%%%%%%%%%%!
四条直线 如果 那么直线 的位置关
#! -# /# .# 2# -#/# /#.# .#2# -# 2
系为
%%%%!
画平行线时 在三角板移动的过程中 图 直尺边 起着 基准线
# ! "# "!"# $% ’ (
的作用 它将保持直线 与直尺边 的夹角 和直线 与直尺边 的夹角
# " $% !" "3 $%
相等 使得所画直线 与直线 平行
!! # "3 " !
现在要研究在同一平面内的两条直线 和 是否平行 同样也需要一条 基
- / # ’
准线 通过它与直线 和 的夹角来进行讨论
(# - / !
平行线的判定
!"#%$ $!"’10
如图 两条直线 和 被第三条直线 相当于
"# "+# - / .!
基准线 所截 其中 和 分别在直线 和 相同的
’ (" # !" !$# - /
一侧 并且位于直线 的同旁 具有这样位置关系的一对角
# . #
叫作
同位角!
同样 与 都在直线 和 之间 并且位于直线
#!* !$ - / #
的两旁 具有这样位置关系的一对角叫作 与
. # 内错角)!+
都在直线 和 之间 并且位于直线 的同旁 具有这 图
!$ - / # . # "# "+
样位置关系的一对角叫作
同旁内角!
$例$1 根据图 填空
% "# "$ %
若直线 被直线 所截 则 和
!"" *’# %+ $% # !"
是同位角
%%%% )
若直线 被直线 所截 则 和
!!" *’# %+ $+ # !*
是内错角
%%%% )
和 是直线 被直线 所截
!*" !" !* $%# $+ %%%%
图
构成的内错角
"# "$
)
和 是直线 被直线 所截
!+" !! !$ $%#%%%% %+
构成的 角
%%%% !
同旁内
解%!"" !! !%!!" !+ !%!*" *’!%!+" $+# !
练习
在图 中还有哪几对同位角 内错角 同旁内角
!! "# "+ ( ( $
如图 直线 被直线 所截 与 成内错
"! # $%# &’ &* # !"
角的是 与 成同旁内角的是
%%%%# !" %%%%%
直线 被直线 所截 与 成内错角的是
$%# &’ ’* # !!
与 成同旁内角的是
%%%%# !! %%%%!
第 题
! ! "
第 章 相交线 平行线与平移
!"($ !" $ !如图 与 与 与 与
#! #!" !’#!" !%#!* !+#!%
与 分别是哪两条直线被哪一条直
!%&’#!! !+
线所截得到的 它们中的每一对角分别叫作什
$
么角
$ %
第 题
! * "
观察
如图 在用三角板和直尺画平行线时 三角板紧靠着直尺移
"# "!! !
动 这时 与 相等 所画直线 与 平行
! !" !! ! "3 " !
如图 在画平行线时 如三角板移动过程中没紧靠直尺 这
"# "&""#! ! "
时 所画直线 与 平行吗
!! -!"#! "3 " $
如图 如果 所画直线 与 平行吗
"# "&"!#! !! 4!" "5 " $
!"" !!"
%%%%
图
"# "&
可以看出 同位角 和 是否相等 决定了直线 与 是否平行 由此我
# !" !! # " "3 !
们得到如下
基本事实%
平行线的判定
!"#%$ $!")10
%%两条直线被第三条直线所截!如果同位角相等!那么这两条直线平行!
简单地说
#同位角相等!两直线平行!
这是判定两条直线平行的第 种方法
" !
还 有 其 他 作
$例$2
%
已知
%
直线
$%
和点
&#
点
&
在直线
$%
外
!
法吗
$ %
求作 直线 使直线
% &’# &’# $%!
分析 根据 同位角相等 两直线平行 可将作平行线的问题转化为作角相
% & ! ’!
等的问题 因此 过点 作一条直线与 相交 作截线 然后作一对同位角相
! ! & $% " #!
等即可
!
如图 过点 作直线 交
作法%") "# "’# & *+ $%
于点
+!
以点 为顶点 为边 在 的右侧作
!) & #&* # *+
!*&’)!*+%!
作直线
*) &’!
直线 就是所求作的直线
&’ !
图
"# "’
练习
木工师傅在画线时 用一种叫作角尺的工具画榫 眼线 如图 把
!! # !!"#" ! #
角尺的一边紧靠木料的边 滑动角尺画出的两条直线 和 就是
$%# &’ *+
平行线 你能说出这样做的依据吗
! $
第 题
! " "
第 章 相交线 平行线与平移
!$*$ !" $ !如图 如果油轮 和油轮 继续沿着这
"! # $ %
两条航线航行 它们会有相撞的危险吗
# $
为什么
$
读语句 画图形
#! # )
点 在直线 外 过点 作直线
!"" $# & " # $ "
的垂线 垂足为点 过点 作直线 第 题
# %# & ! ! "
的平行线 交直线 于点
" &’# $% ’%
直线 相交于点 点 是直线 外一点 直线 经
!!" $%# &’ (# # $%# &’ # *+
过点 且与直线 平行 交直线 于点
## $% # &’ *!
思考
如图 直线 被直线 所截 如
%% "# "(! -! / . !
果内错角 和 相等 你能根据上面的基
!! !+ !
本事实 说明直线 吗
! - # / $
图
"# "(
由于 又 为什么 故 即同位角相等 根据
!! )!+# !! )!"! $ "# !" )!+# #
上面的基本事实 得直线 这样 我们可以得到判定两条直线平行的第 种
# -#/! # !
方法
%
%%两条直线被第三条直线所截!如果内错角相等!那么这两条直线平行!
简单地说
#内错角相等!两直线平行!
平行线的判定
!"#%$ $!$!10
类似地 利用同旁内角 与 之间的关系 根据上面的基本事实 我们
%% # !!* !+" # #
可以得到判定两条直线平行的第 种方法
* %
%%两条直线被第三条直线所截!如果同旁内角互
你能说明道理
简单地说
补!那么这两条直线平行! #同旁内角互
吗 与 同 伴 交 流
$
补!两直线平行!
一下
!%
练习
如图 如果 可以判定哪些直线平行 判
!! # !" )+’!# !! )+’!# !* )+’!# $
定的依据分别是什么
$
如图 若 可以判定哪两条直线平行 判定的依据
"! # !$)&!!# !%)""(!# $
是什么
$ %%%%
第 题 第 题
! " " ! ! "
%%%%
如图 已知 平分 由 平分 得
#! # $& !’$%# !" )!! ! $& !’$%# !".
又 因 为 所 以 所 以
%%%%# !" )!!# !! .%%%% ! $%#
%%%%!%
第 题
! * "
第 章 相交线 平行线与平移
!$#$ !" $ !习题 10)2
读语句 画图形
!! # )
在图 中 画 交 于点 画 交 于点
!"" !"" # ’*# %& $& *# ’+# $& %& +%
在图 中 画 交 于点
!!" !!" # $*# ’& %& *!
%%
!"" !!"
%%%%
第 题 第 题
! " " ! ! "
看图填空
"! )
由 可以得到 依据是
!"" !" )!!# %%%%#%%%%# %%
由 可以得到 依据是
% !!" !* )!+# %%%%#%%%%# %%
由 可以得到 依据是
!*" !$ )!’$%# %%%%#%%%%# %%
要得到 需 依据是
!+" $’# %&# !’$%/%%%%."(#!# %%
要得到 需 依据是
!$" $%#’&# %%%%/%%%%."(#!# %!
如图 如果直线 点 分别为垂足 那么直线 和
#! # $%" *+# &’" *+# %# ’ # $%
平行吗 为什么 由此你能得到什么结论
&’ $ $ $
A C
E F
B D
第 题 第 题
! * " ! + "
%%%%%%%%
如图 已知 与 互补 试指出图中哪几组直线互相平行 并
$! # !" !* # !" )!%# #
说明理由
!
平行线的判定
!"#%$ $!$"10
平行线的性质
.3
观察
如图 练习本上的横线都是相互平
%% "# ",!
行的 从中任选两条分别记为 画一条
! $%! &’(
直线 分别与 相交得 个角
*+ $%! &’ ( !
任选一对同位角 如 与 量一
""# " !" !$#!
量它们的度数 它们的大小有什么关系
! $
再任选一对同位角 如 与 量 图
"!# " !! !&#! "# ",
一量它们的度数 它们的大小有什么关系
! $
由此你能得到什么结论
$
平行线有如下性质
%
本性质在后
两条平行直线被第三条直线所截 同位
%%性质1% !
面学习时将给出
角相等 简单地说 两直线平行 同位角相等
! # ! !
证明
!
探究
在图 中 当 时 内错角 与 的大小有什么关
"# ", ! $%# &’ ! !* !$
系 同旁内角 与 之间又有什么关系 请说明理由
$ !+ !$ $ !
第 章 相交线 平行线与平移
!$$$ !" $ !由平行线的性质 可以推得平行线的另外两个性质
%% "# %
两条平行直线被第三条直线所截 内错角相等 简单地说 两直
%%性质2% ! ! #
线平行 内错角相等
! !
两条平行直线被第三条直线所截 同旁内角互补 简单地说 两
%%性质3% ! ! #
直线平行 同旁内角互补
! !
$例 如图 已知点 分别在三角形
% "# !## ’# *# +
的边 上 且
$%& $%# $&# %& # ’*# %&#!%)+(!!
求 的度数
!"" !$’* )
若 是 的平分线 且 求
!!" +’ !%+* # *+# $%!
的度数
!*’+ !
因为 所以
解%!"" ’*# %&# !$’*)!%)+(!! 图 "# !#
因为 平分 所以 " 由
!!" +’ !%+*# !%+’)!*+’) !%+*! *+#$%#
!
得 且 " 即 因为
!%6!%+*)"(#!# !%+’) !%+*# !%6!!%+’)"(#!!
!
所以 因为 所以
!%)+(!# !%+’)&&!! ’*# %&# !*’+)!%+’)&&!!
练习
看图填空
!! )
由 可以得到
!"" ’*# %&# !$’*.%%%%#
依据是
%%%%%%%%%%%
由 可以得到
!!" ’*# %&# !’+%.%%%%#
依据是
%%%%%%%%%%%
由 可以得到
!*" ’*# %&# !&/%%%%."(#!# 第 题
! " "
依据是
%%%%%%%%%%%
平行线的性质
!"#&$ $!$%10
由 可以得到 依据是
% !+" ’+# $&# !$*’.%%%%# %%
由 可以得到 依据是
!$" ’+# $&# !&.%%%%# %!
如图 直线 直线 分别交 于点 交 于点 且
"! # $%# &’# *+ $% *( &’ +#
求 的度数 由此你能得到直线 与直线 有
!$*+),#!# !’+* ! *+ &’
怎样的位置关系
$
第 题 第 题
! ! " ! * "
%%%%%
如图 在四边形 中 试求 的度数
#! # $%&’ #$’# %&# !&)’"!# !’ !
习题 10)3
如图 内有一点
!! #!$(% #)
过点 画直线 交 于点
!"" # #&# (% ($ &%
过点 画直线 交 于点
!!" # #’# ($ (% ’%
写出图中与 相等的角
!*" !( %
写出图中与 互补的角
!+" !( ! 第 题
! " "
看图填空
"! )
由 可以得到 依据
!"" !$)!&# %%%%#%%%%#
是 再由 可
%%%%%%%# %%%% # %%%%#
以得到 依据是
!%)!’# %%%%%%%%%
由 可以得到 依据是
!!" *+#%(# !*+()%%%%# 第 题
! ! "
%%%%%%%%!
第 章 相交线 平行线与平移
!$&$ !" $ !如图 已知 是 的平分线 求
#! # &’ !$&% #’*# %&# !%)’#!# !$&%)$#!#
与 的度数
!*’& !%’& !
第 题 第 题
! * " ! + "
%%%%%%%%
如图 点 在同一直线上 求 的
$! #$’#%&# $%#*&# &# ’# * #!%)&#!# !$’*
度数
!%%%
潜望镜是潜水艇中用来从水下观察水面上事物的一种仪器 它通过两个平行
%! #
的平面镜反射来实现观察 如图 根据光的反射原理 可以得到
! # $%# &’# #
假如某人在观察时 试求 的度数
!" )!!# !* )!+! #!+ )+$!# !" !
%%%
!"" !!"
第 题
! $ "
平行线的性质
!"#&$ $!$’10
平移
.4
如图 传送带上的货物 随着传送带的运动 从一处被移动到另一处
"# !"# # # )
吊车上的物体 随着吊车的运动被上下 或左右 移动 这些都反映了日常生活
# ! " #
中 物体沿着某一方向平行移动的现象
# !
%
!"" !!"
图 %% 图
"# !" "# !!
在用直尺和三角板画平行线时 图 三角板的位置变化 反映了在
! "# !!"# #
平面内一个图形 三角形 沿着一条直线平行移动的情况
! " !
操作
如图 在一张硬纸上剪下一个四边形
"! "# !*""#! !
如图 用剪得的四边形纸片 先在纸上画出四边形
!! "# !*"!#! !
再把直尺靠紧边 将四边形纸片沿着直尺移动到另一位置
$%&’! ’&! !
画出纸片移动后的四边形
$3%3&3’3!
%% %%
!"" !!" !*"
图
"# !*
第 章 相交线 平行线与平移
!$($ !" $ !思考
如图 连接 这些线段的位置 大小分
"# !*"*#! $$3! %%3! &&3! ’’3! )
别有怎样的关系
$
在平面内 一个图形沿某个方向移动一定的距离 这种图形的变化叫作
# # 平移!
平移时 原图形上的所有点都沿同一个方向移动相同的距离 原图形上一点
# ! $
平移后成为点 这样的两点叫作
$3# 对应点!
一个图形和它经过平移后所得的图形中!连接各组对应点的线段互相平行
"或在同一条直线上#且相等!
平移只改变图形的位置!不改变图形的形状和大小!
平移在建筑 印染 雕刻等领域有着广泛的应用 图 中的图案都可
& & ! "# !+
以看作是由一个基本图形经过平移得到的
!
传统花纹图案 %%% 蓝印花布图案
!"" !!"
图
"# !+
练习
如图 由图形 经过平移得到的图形是
!! # # !%%"!
第 题
! " "
%%% %%% %%%
!"" !#" !$" !%"
平移
!"#’$ $!$)10
如图 某公园内一块长方形草地上原有一条 宽的笔直小路 现要将
"! # " & #
这条小路改造成弯曲小路
#
已知改造后小路的上边线
可由它的下边线向上平移
得到 那么改造后小路
" & # 第 题
! ! "
的面积
!%%"!
变大了 变小了 没变 无法确定
!"" %%%!#" %%%!$" %%%!%"
习题 10)4
如图 将图形 平移至新位置 得到图形 请用量角器和直尺测
!! # $%&’ # $3%3&3’3#
量移动方向与水平方向所成的角度以及平移距离
!
第 题
! " "
如图 三角形 中
"! # $%& # $%)! ’&# $&) A D
将三角形 沿射线
* ’&# %&)*)$’&# $%&
方向平移 得到三角形 连接
%& ! ’& ’*+#
求四边形 的周长 B E C F
$’# $&+’ !% 第 题
! ! "
尝试自己应用平移设计制作图案 和同学进行交流
#! # !
第 章 相交线 平行线与平移
!%*$ !" $ !信息技术应用
探究平移的基本性质
利用几何绘图软件 我们可以直观 方便地探究平移的基本性质
! ) !
探究连接各组对应点的线段的长短关系
") !
画五边形 使用 平移 工具 得到平移后的五边形 连
$%&’*! & ’ ! $3%3&3’3*3!
接 和 度量线段 和 的长度 图 它们的大小有什么关系
$$3 %%3! $$3 %%3 " "# !$#! $
拖动五边形 任意改变它的位置 这个关系发生变化吗 请你尝试画
$3%3&3’3*3! ! $
任意多边形 并探究连接各组对应点的线段的长短关系
! !
图
"# !$
探究连接各组对应点的线段所在直线的位置关系
!) !
画五边形 使用 平移 工具 得到平移后的五边形 图
$%&’*! & ’ ! $3%3&3’3*3"
画直线 和 在直线 上任取一点 过点 作直线 的垂
"# !&#! $$3 %%3! %%3 ,! , $$3
线 垂足为点 度量 的大小 它与 有怎样的关系 任意改变
! ,3! !%,,3 ! !,,3$ $
五边形 的位置 这个关系发生变化吗 你能判断直线 和 的位
$3%3&3’3*3 ! $ $$3 %%3
置关系吗
$
图
"# !&
你还能通过什么方法来探究直线 和 的位置关系
$$3 %%3 $
平移
!"#’$ $!%!10
数学活动
钥匙复制原理
观察钥匙复制机 图 复制钥匙的过程 你能说出复制的原理吗
"! " "# !’# ! $
图
"# !’
根据你所发现的复制钥匙的原理 在图 的左边画出与右边钥匙的
!) ! "# !(
形状和大小相同的图形
!
图
"# !(
在工厂里 靠模车床加工特殊形状的工件时 也是根据上述原理来完成的
! ! !
第 章 相交线 平行线与平移
!%#$ !" $ !小结·评价
一 知识体系
%% !
M>
,
'
, %,3+C.
 ,3+
42
=3+
= /
=3+B
二 回顾与思考
%% !
"!什么是对顶角! 对顶角有什么性质!
!!垂线的相关基本事实和性质"
#"$ 同一平面内%过一点有且只有%%%%条直线与已知直线垂直&
#!$ 在连接直线外一点与直线上各点的线段中%%%%%最短!
*!什么是点到直线的距离!
+!平行线的判定方法"
#"$ 两条直线被第三条直线所截%如果%%%%%那么这两条直线平
行!简单地说%%%%%%%%%%%%%&
#!$ 两条直线被第三条直线所截%如果%%%%%那么这两条直线平
行!简单地说%%%%%%%%%%%%%&
#*$ 两条直线被第三条直线所截%如果%%%%%那么这两条直线平
行!简单地说%%%%%%%%%%%%%!
$!平行线的相关基本事实和性质"
#"$ 经过直线外一点%有且只有%%%%条直线与这条直线平行&
#!$ 如果两直线平行%那么同位角%%%%%内错角%%%%%同旁
内角%%%%&
#*$ 如果两条直线和第三条直线平行%那么这两条直线%%%%!
小结 评价
" $!%"10
%%&!平移的概念和性质"
#"$ 什么叫作平移! 确定平移的要素是什么!
#!$ 一个图形和它经过平移后所得的图形%连接各组对应点的线段
%%%% %%%&平移只改变图形的位置%不改变图形的%%%%%%!
三 自评与互评
%% !
"!寻找日常生活中的相交线’平行线的例子或图片%并与同学进行交流!
!!比较本章内容与小学已学过的内容%你有哪些新的认识! 与同
学交流!
*)通过相交线’平行线的学习%你能体会几何图形研究的一般思路和
方法吗!
复习题
组
!
如图 直线 相交于点
!! # $%# &’# *+ ()
写出 的对顶角
!"" !*(’# !*(& %
如果 求 和 的度数
!!" !$(*)*#!# !%(’)&#!# !&(+ !&(% !
第 题 第 题
! " " ! ! "
%%%%%%
第 章 相交线 平行线与平移
!%$$ !" $ !观察图形 回答下列问题
"! # )
的同位角是哪些角
!"" !" $
的内错角是哪些角
% !!" !! $
的同旁内角是哪些角
!*" !* $
如图
#! )
已知 写出图中相等的角与互补的角
!"" ’*# %+# %
写出使 成立的条件 你能写出多少个
!!" ’*# %+ # $
第 题
! * "
如图 直线 与 平行吗 为什么
$! #!" )"*$!# !! )&#!# - / $ $
如图 直线 与直线 相交于点
%! # $%# &’ *+ ## 0# !$#*)!&0*# !$#0)
求 的度数
!!&0*# !$#0# !&0*# !%#+ !
第 题 第 题
! + " ! $ "
%%%%%%%
下列判断两条直线垂直的方法是否正确
&! $
若两条直线相交所成的 个角相等 则这两条直线互相垂直
!"" + # ! !%%"
两条直线相交 若有一组对顶角互补 则这两条直线互相垂直
!!" # # ! !%%"
若一条直线垂直于两条平行直线中的一条 则该直线也垂直于平行直线
!*" #
中的另一条
! !%%"
小结 评价
" $!%%10
如图 且 指出图中的平行线 并给出判定的
’! #$%" %&# &’" %&# !" )!!# #
依据
!%
A
1 E
F
2
3
B C
D
第 题 第 题
! ’ " ! ( "
如图 已知 %%%%%% 试写出图中
(! # !" (!!(!* )!(*(+# !$+*)&#!# !%’*)"!#!#
互相平行的直线 并给出判定的依据
# !
复习题
组
"
如图 点 在点 的北偏西 的方向上 点 在点 的北偏西 的方
!! # & % &#! # & $ *#!
向上
!%
试求 的度数
!"" !& %
若 则点 在点 的什么方向上
!!" $%" %&# $ % $
C

60&

B

30&

A
第 题 第 题
! " " ! ! "
%%%%%%
如图 平分 平分 且 请说明 与
"! #$* !&$%#&* !$&’# !" 6!! ),#!# $% &’
的位置关系
!
第 章 相交线 平行线与平移
!%&$ !" $ !如图 点 在 上 点 在 上 那么 与
#! # % $& # * &+ #%’"%*#!*%&6!&),#!# &+
平行吗 请说明理由
%’ $ !
如图 直线 直线 分别交 于点 平分 交
$! # $%#&’# *+ $%# &’ *# +# *7 !%*+#
于点 已知 求 的度数
&’ 7# !*+7)’!!# !*7+ !
第 题 第 题
! * " ! + "
%%%%%%
复习题
组
#
如图 已知 点 分别是垂足 点 在 的延长线上
!! # $’"%&# *7"%&# ’# 7 # * &$ #
那么 平分 吗 为什么
!7*&)!*# $’ !%$& $ $
第 题 第 题
! " " ! ! "
%%%%%%%
如图 已知 垂足分别为点 且 那么
"! # %’" $&# *+" $&# ’# +# !" )!!#
与 相等吗 请说明理由
!$’7 !& $ !
小结 评价
" $!%’综合与实践
简单的排队问题
在日常生活和生产实践中经常发生排队等待的现象 例如 医院门诊挂号
# # &
银行办理业务等 除了上述有形的排队 还有大量 无形 的排队现象 例如 生
! # ’ ( # #
产线上的原料等待加工 因故障停止运转的机器等待工人维修等 服务机构一
# !
般是按照 先到达先服务 的原则提供服务 如果我们到达时 服务机构的窗口
’ ( ! #
正在工作 我们就需要等待 等候的队伍有时需要一段时间才会消失 有时不仅
# ! #
不会消失而且会越来越长
!
研究任务
知道排队问题中涉及的量 探究排队现象发生的原因并提出解决方案
# !
研究过程
问题
"
某服务机构开设了一个窗口办理业务 该窗口每 服务一位顾客 已知
# !&)* !
窗口开始工作前 没有顾客在排队等候 如果开始办理业务后每 有一位
# ! + &)*
新顾客 到达 排队现象会不会发生 请说明理由
’ ( # $ !
综合与实践 简单的排队问题
!%($ $问题
!
在问题 的情境下 如果当窗口开始工作时 已经有 位顾客在等待 那么
" # # & #
第几位 新顾客 是第一个到达服务机构而不需要排队的顾客
’ ( $
分析 窗口开始工作前已有 位顾客 在排队等候 若
% & 8! 8! 8! 8! 8! 8 !
" ! * + $ &
把顾客 到达的时间看作 表示窗口开
8! 8! 8! 8! 8! 8 # &)*! .! .! .! *
" ! * + $ & " ! *
始工作后到达的 新顾客
& ’!
完成下表
!"" %
顾客 8 8 8 8 8 8 . . . . . . *
" ! * + $ & " ! * + $ &
到达时间")*+ # # # # # # + % % % % *
服务开始时间")*+ # ! + % % % % % % % % *
服务结束时间")*+ ! + & % % % % % % % % *
设 新顾客 到达的时间是 新顾客 服务结束的时间是 当
%%!!" ’ (. :#’ ( ! :#
9 " "#" !
新顾客 到达时排队现象消失 满足什么关系 求 的值
’ (. #:# : $ 9 !
9 " !
如果 是第一个不需要排队的 新顾客 那么在他后面到达的 新顾
!*" . ’ (# ’
9
客 都不需要排队办理业务 也就是说从 开始排队现象消失了 你能说明原
( # . #
9
因吗
$
问题
*
在问题 的情境下 如果当窗口开始工作时 已经有 位顾客在等待 那么
" # # "" #
第几位 新顾客 是第一个到达服务机构而不需要排队的顾客
’ ( $
问题
+
在问题 的情境下 若窗口每 服务一个顾客 当 时 窗口的排队
! # - &)* # $%+ #
现象会不会消失 请说明理由 服务机构要想使窗口在开始办理业务后的一段
$ !
时间内 就能使顾客不用排队 可以通过什么方法来实现
# # $
综合与实践 简单的排队问题
$ $!%)研究结论 依据以上分析 如果服务窗口办理业务的速度为每 服务一
%% % # - &)*
位顾客 新顾客 增加的速度为每 到达一位 服务窗口开始服务前已经有
#’ ( / &)* #
位顾客在等待 从第 位 新顾客 开始不需要排队 当 时
; # 9 ’ ( # %%%%%%%%% #
排队现象消失
!
成果展示
请实地调查身边的银行等服务机构 了解顾客对排队时间的接受程度 并根
# #
据调研情况 给出合理的优化方案 完成调查报告并与同学们交流
# # !
综合与实践 简单的排队问题
!&*$ $综合与实践
“数”说纳米材料
你听说过纳米材料吗 纳米是长度单位 符号为 纳米材
$ # *&#"*&)"#<,&!
料一般是指在三维空间内至少有一维处于纳米尺度范围 并具有
!" ="## *&"
某些新特性的材料
!
图 银白色的银块 图 灰黑的纳米级超细银粉
"% !%
图 和图 分别是普通银块和纳米级超细银粉 普通银块呈现银白色 纳
%%%%%
" ! ! #
米级超细银粉却是灰黑色 除了颜色与银块不同外 纳米级超细银粉还在其他很
# #
多方面展现出独特的性质 纳米级超细银粉是由纳米级银颗粒组成的 相同质
! !
量下 材料中银颗粒的总表面积越大 使得位于颗粒表面活性很强的原子数占总
# #
原子数的比例越高 因此纳米级银粉有了很多奇异特性
# !
研究问题
假设纳米银颗粒为正方体 探究一定质量的纳米银材料 其颗粒尺寸与总表
# #
面积有怎样的关系
$
综合与实践 数 说纳米材料
$# $ $!&!活动实施
活动
"
探究对一定质量的正方体银块进行 细分后 所得的小正方体银块
9 >9 >9 #
的总表面积是多少
!
如果这个正方体银块的质量为 那么它的棱长是多少 表面积是
"! "#!+, +# $
多少 质量 体积 密度 银的密度为
$ ! . 0 # "#!+, +,’&*"
如果将这个正方体银块 切成 个相同的小正方体银块 那么它们
!! # ! >! >! #
的总表面积是多少 切成 个相同的小正方体银块呢 在图 中分别画
$ $ >$ >$ $ *
出切割线 对这两种切割 分别求出各小正方体银块总表面积与原正方体表面
! #
积之比
!
!""%%%%%%%%%%!!"
图
*
如果切成 个相同的小正方体 记它们的总表面积为 试用 表
*! 9 >9 >9 # ?# 9
示 这时 各小正方体银块的总表面积与原正方体银块表面积之比是多少
? ! # $
活动
!
当 足够大时 小正方体银块就变成细小的银颗粒 感受银颗粒尺寸 小正
9 # ! !
方体的棱长 的变化引起的材料中银颗粒总表面积的变化情况
" !
当银颗粒棱长分别为 和 时 材料中银颗粒的总表面积
"! " &&# " !& " *& #
各是多少 你能得出什么结论
? $ $
当银颗粒尺寸进入纳米材料范围时 估计材料中银颗粒的总表面积 在
!! # ?
什么范围
!
综合与实践 数 说纳米材料
!&#$ $# $成果展示
结合上述活动 查阅相关资料 进一步交流纳米材料的奇异特性
# # !
综合与实践 数 说纳米材料
$# $ $!&"综合与实践
探秘天文景象——火星冲日
火星冲日是指火星 地球和太阳几乎排成
&
一线 地球位于火星和太阳之间的天象 届时
# ! #
太阳刚一落山 火星就从东方升起 等到太阳从
# #
东方升起时 火星才在西方落下 因此我们整夜
# #
都可以看见火星 一般来说 冲日时 火星离地
! # #
球最近 它的亮度也是一年中最亮的
# !
研究问题
你知道火星冲日景象发生的规律吗 你能预测下一次火星冲日的时间吗
$ $
你还了解哪些特殊的天文景象
$
活动实施
活动
"
查阅资料 了解火星 地球公转的有关知识 如轨道形状 公转周期等 知
") # & # & #
道最近几次火星冲日的时间 知道火星冲日的周期
# !
综合与实践 探秘天文景象 火星冲日
!&$$ $ %%%思考火星 地球和太阳排成一直线时 它们之间的位置情形有哪几种
%%!) & # $
哪种位置时火星与地球距离较远
$
活动
!
我们把火星 地球的轨道看作是圆 请你运用所学的数学知识预测下一
") & #
次火星冲日的时间 预测如果存在误差 请分析误差产生的原因
! # !
设火星的公转周期为 地球的公转周期为 火星冲日的周期为 推出
!) @# *# ? !
的计算公式
? !
活动
*
了解金星凌日景象 说说它与火星冲日景象的异同点
") # !
了解太阳系八大行星中的冲日景象 思考冲日景象会在地球和什么样的
!) #
行星间发生
$
成果展示
结合上述活动 撰写一篇小论文 向同学们介绍有趣的天文景象
# # !
综合与实践 探秘天文景象 火星冲日
$ %%% $!&%附录 部分中英文词汇对照表
中 文 英 文
平方根
-./0121334
被开方数
105)’0*5
算术平方根
01)46&24)’-./0121334
开平方
27410’4)3* 38-./0121334
立方根
’/921334
根指数
105)’0:27;3*2*4
开立方
27410’4)3* 38’/9)’1334
无理数
)1104)3*0:*/&921
实数
120:*/&921
不等式
)*2./0:)4<
不等式的解集
-3:/4)3* -2438)*2./0:)4<
一元一次不等式
:)*201)*2./0:)4< =)46 3*2/*>*3=*
一元一次不等式组
-<-42&38:)*201)*2./0:)4)2-=)46 3*2/*>*3=*
完全平方公式
831&/:0831462-./01238462-/&
平方差公式
831&/:08314625)88212*’238-./012-
因式分解
80’431)?04)3*
公因式
’3&&3* 80’431
分式
810’4)3*
分子
*/&210431
分母
52*3&)*0431
有理式
104)3*0:27;12--)3*
约分
125/’4)3* 380810’4)3*
附录 部分中英文词汇对照表
!&&$ $续表
" #
中 文 英 文
最简分式
810’4)3* )* :3=2-4421&-
通分
125/’4)3* 38810’4)3*-43 0’3&&3* 52*3&)*0431
分式方程
810’4)3*0:2./04)3*
对顶角
3;;3-)420*+:2-
垂线
;21;2*5)’/:01:)*2
垂足
8334380;21;2*5)’/:01
平行线
;010::2::)*2-
同位角
’3112-;3*5)*+ 0*+:2-
内错角
0:421*042)*421)310*+:2-
同旁内角
)*421)310*+:2-3* 462-0&2-)52
平移
410*-:04)3*
附录 部分中英文词汇对照表
$ $!&’后 记
%%
本套数学教科书在原 义务教育教科书 数学 七年级上册至九年
+ % !
级下册 的基础上 依据教育部颁布的 义务教育数学课程标准
", # + !!#!!
年版 进行了全面修订
", !
为了做好本次的修订工作 我们调整 加强了编写队伍 本套教科
# & !
书编写组由苏淳 吴之季担任主编 叶向东院士担任顾问
& # !
本册编写修订工作主要由郭要红 王志刚 李丽娜 陈方勇 周向荣
& & & & &
冯祖军完成
!
此外 在本册修订过程中 薛凌参与了审读和修订研讨 孙晓莉参与
# # #
了第 章的修改 丁振云 汪佃才参与了第 章的修改 郝亚杰参与了第
"# # & ( #
章的修改 李院德参与了小结与评价的设计与修改
, # !
在编写本套教科书的过程中 我们得到许多专家 学者以及广大数
# &
学教育工作者的大力支持和热情帮助 部分省市的一线教师参与了教科
#
书的试教试用 提出了宝贵的意见和建议 在此 我们表示衷心的感谢
# ! # -
教材建设是一项长期任务 需要不断探索 实践 完善 我们恳请广
# & & !
大师生持续关注和支持本套教科书 在使用过程中提出宝贵的意见和
#
建议
!%
联系电话
% #!" &+(+(#!$!
电子邮箱
% @’1--4;)’*!
编者本书图片提供信息
%
本书中的部分图片由视觉中国 上海飞果信息技术等提供
) A$;6343) !
声明 按照 中华人民共和国著作权法 第二十五条有关规定 我们已尽量
% + , !
寻找著作权人支付报酬 著作权人如有关于支付报酬事宜可及时与出版社
!
联系
!%沪科版数学2024.indd 2 2024/11/27 上午10:55
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