文档文本内容
数数学学
七
年
级
七年级
下册
义
SHUXUE
务
教
育
教
科
书
数学
七年级 下册 数
学
下
册
义务教育教科书
（五·四学制）
（
五
·
四
学
制
）
定 价： 10.50 元义务教育教科书
(五·四学制)
数学
七年级
下册
主编 李大潜主 编：李大潜
本册主编：徐斌艳
本册编写人员：金荣生 王春明 应坚刚 王松萍 胡 军 周子翔 陶志诚 王 鼎
责任编辑：项征御 周明旭
装帧设计：王 捷 周 吉
本册教科书中的图片由视觉中国、图虫·创意、壹图等图片网站提供
义务教育教科书（五·四学制） 数学 七年级下册
出 版 上海教育出版社（上海市闵行区号景路159弄C座）
发 行 上海新华书店
印 刷 ****印刷有限公司
版 次 2024年12月第1版
印 次 2024年12月第1次印刷
开 本 787 毫米×1092 毫米 1/16
印 张 10.25
字 数 155 千字
书 号 ISBN 978-7-5720-3213-4/G·2840
定 价 10.50 元
版权所有·未经许可不得采用任何方式擅自复制或使用本产品任何部分·违者必究
如发现内容质量问题，请拨打 021-64319241
如发现印、装问题，请拨打 021-64373213，我社负责调换
价格依据文件：沪价费〔2017〕15 号
声明 按照《中华人民共和国著作权法》第二十五条有关规定，我们已尽量寻找著作权人支付稿酬。著作
权人若有关于支付稿酬事宜可及时与出版社联系。主编的话
世间的万事万物都有数和形这两个侧面，数学这门学科是忽略了事物的其他属性
仅仅从数量关系和空间形式的角度来研究现实世界的.
初中的数学，介于小学数学与高中数学之间，以往偏向于直观的数学教学将开始逐步
走向理性的阶段，对学生逻辑思维的训练会提出较高的要求，其认识也将不断得到深化.
数学是一门重理解和思考的学科. 数学学得好，主要看三条：一是理解要深入，
二是运作要熟练，三是表达要清晰. 这儿所提的“运作”，泛指推理及计算. 这三者中
最重要的是理解，只有理解深入，才能实现运作熟练和表达清晰这样一些外在层面上
的表现，才能真正掌握数学的精髓.
这些年参加了上海市的一些基础数学教科书的编写工作，常常听到一种说法：数
学是绝大多数学生一生中学得最多的一门功课，不少学生对数学是喜欢和热爱的，但
不太注意对数学真正的理解和感悟，花费了不少时间去刷题，学习负担虽重，却远未
达到应有的收获；还有相当一部分学生觉得数学抽象、难懂、神秘，从而望而生畏，甚
至避之唯恐不及. 所有这些，都不是我们希望看到的.
我们希望通过教师及学生的共同努力，使数学成为一门容易为学生接受，真正喜
闻乐见、可近可亲的课程；不仅负担不重而且愈学愈想学，愈学愈有趣味，愈学愈觉得
数学内容丰富、奥妙无穷，深深地为其吸引和陶醉. 这是我们的一个理想，并相信它
是一定可以实现的.
为了实现我们的理想，我们希望这套教科书能真正抓住初中数学的真谛，用朴实
无华且单刀直入的方式展现初中阶段应该学习的基本数学内容，努力给学生带来明确
而清晰的印象，真正帮助他们理解与掌握有关的数学内容，使学生的数学知识随着年
龄的增长逐步增进，充分体现数学学科的育人价值.
本册包含 4 章及 2 个实践活动. 在“一元一次不等式”这一章中，将学习不等式
的性质，并以此为基础解一元一次不等式与一元一次不等式组. 在“相交线与平行
线”“三角形”“等腰三角形”这三章中，将以平面几何为载体，开始学习演绎推理与
论证. 除了要学一些具体的几何知识，更要着重学习概念的定义、命题的陈述及证明
过程的展现. 在“综合与实践”中，将动手叠积木，从数学角度讨论在什么条件下所叠
积木不倒塌，还将研究田径比赛中的数学.目 录
第 15 章 一元一次不等式
15.1 不等式及其性质 2
15.2 一元一次不等式 7
15.3 一元一次不等式组 15
内容提要 21
复习题 22
第 16 章 相交线与平行线
16.1 相交线 25
16.2 平行线 35
16.3 命题与证明 53
阅读材料 59
证明的必要性
内容提要 60
复习题 61
第 17 章 三角形
17.1 三角形的有关概念 65
17.2 三角形的内角和 72
17.3 全等三角形及其性质 82
17.4 三角形全等的判定 86
内容提要 108
复习题 109第 18 章 等腰三角形
18.1 等腰三角形的性质 114
18.2 等腰三角形的判定 122
18.3 等边三角形 128
18.4 线段的垂直平分线 132
阅读材料 139
到三个定点距离之和最小的点
内容提要 141
复习题 142
综合与实践
积木可以叠多远? 146
田径比赛中的数学 151
附录 部分中英文词汇索引 154１５
第 章
一元一次不等式
数量之间可能相等，也可能不相等．相等关系与不等关系是最基
本的数量关系，等式与不等式分别是表示相应数量关系的基本工具．
本章将类比等式的情形学习不等式的性质，并以此为基础解一元
一次不等式与一元一次不等式组．要注意等式性质和不等式性质的异
同，等号没有“方向”，而不等号有“方向”：不等式的两边同乘一个负
数，不等号的方向改变．
本章内容可用于解决一些简单的实际问题，也是学习后续数学知
识的必要基础．
书书书１５．１
不等式及其性质
在自然界和日常生活中存在着各种大小关系，如月球的质量比地球的小，
飞机的速度比汽车的快，直角大于锐角，商品打折后的价格比原价低，等等．
可以说，数量的大小比较无处不在，而表示数量的大小关系需要用到不等式．
对于数犪、犫，符号犪＞犫表示犪大于犫；符号犫＜犪表示犫小于犪．犫＜犪就
是犪＞犫．
除“＞”和“＜”外，不等号还有“≥”和“≤”．犪≥犫表示犪＞犫或犪＝犫，
读作“犪大于（或）等于犫”．同样地，犪≤犫表示犪＜犫或犪＝犫，读作“犪小于（或）
等于犫”．
用等号“＝”连接的式子叫作等式，类似地，用不等号“＞”“＜”“≥”
“≤”连接的式子，叫作不等式．不等式与等式一样，都是研究数量关系的
工具．
例１ 用适当的不等式表示下列关系：
（１）狓的２倍大于１；
（２）犪的绝对值大于等于犪；
（３）圆周率π大于３且小于４．
解 （１）２狓＞１．
（２）｜犪｜≥犪．
（３）３＜π＜４．
数的大小关系可以用其在数轴上对应的点的位置关系来表示．数轴上右边
的点所表示的数比左边的点所表示的数大．设数犪、犫、犮在数轴上对应的点分
别为犃、犅、犆，点犃或者在点犅的右边、或者在点犅的左边、或者与点犅
重合．由此可以得出：
不等式性质１ 对于任意给定的两个数犪、犫，在犪＞犫、犪＜犫、犪＝犫
三种情形中，有且只有一种情形成立．
１５
２
第 一元一次不等式
章若点犃在点犅的右边，点犅在点犆的右边，则点犃在点犆的右边．由此
可以得出：
不等式性质２ 如果犪＞犫，犫＞犮，那么犪＞犮．
如同相等关系具有传递性，不等式性质２表明大于关系也具有传递性．同
样地，“≥”“≤”与“＜”也具有传递性．
写出用不等号“＜”表示的传递性．
课堂练习１５．１（１）
１．用适当的不等式表示下列关系：
（１）犪与５的和大于－３；
（２）犪的４倍小于等于１２；
（３）犪的３倍减去２的差是一个非负数；
（４）犪的一半小于犪与犫的积．
２．用适当的不等号填空：
（１）如果犪是正数，那么犪 ０；
（２）如果犪是负数，那么犪 ０；
（３）如果犪≥犫，犫≥犮，那么犪 犮．
在等式的两边同加（或减）一个数，等式仍成立；在等式的两边同乘（或除
以不等于０的）一个数，等式仍成立．不等式是否存在类似的性质呢？观察几
个具体例子：
（１）在５＞２的两边同加３，８＞５成立；在１＜８的两边同减３，
－２＜５成立．
（２）在５＞２的两边同乘３，１５＞６成立；在１２＞－８的两边同除以４，
３＞－２成立．
３
１５．１ 不等式及其性质（３）在５＞２的两边同乘－１，发现－５＜－２；在－１０＜４的两边同除以
－２，发现５＞－２．
一般地，不等式有下述性质．我们以“＞”为例表述这些性质，其他不等号
类似．
不等式性质３ 不等式的两边同加（或减）一个数，不等号的方向不变．
比如，如果犪＞犫，那么犪＋犿＞犫＋犿，犪－犿＞犫－犿．
不等式性质４ 不等式的两边同乘（或除以）一个正数，不等号的方
向不变．
犪 犫
比如，如果犪＞犫，犿＞０，那么犪犿＞犫犿， ＞ ．
犿 犿
不等式性质５ 不等式的两边同乘（或除以）一个负数，不等号的方
向改变．
犪 犫
比如，如果犪＞犫，犿＜０，那么犪犿＜犫犿， ＜ ．
犿 犿
不等式的这些性质，是我们研究和求解不等式的基础．
例２ 设犪＜犫，用适当的不等号填空，并说明理由：
（１）犪－犫 ０；
（２）－２犪 －２犫；
（３）２犪＋３ ２犫＋３．
解 （１）填“＜”，即犪－犫＜０．
理由：在犪＜犫的两边同减犫，就得到犪－犫＜０．
（２）填“＞”，即－２犪＞－２犫．
理由：在犪＜犫的两边同乘－２，就得到－２犪＞－２犫．
（３）填“＜”，即２犪＋３＜２犫＋３．
１５
４
第 一元一次不等式
章理由：在犪＜犫的两边同乘２，得２犪＜２犫；再在２犪＜２犫的两边同加３，就
得到２犪＋３＜２犫＋３．
例３ 说明下列表述正确的理由：
（１）如果犪＋犫＞犮，那么犪＞犮－犫；
（２）一个数与正数的和大于其本身．
解 （１）在犪＋犫＞犮的两边同减犫，就得到犪＞犮－犫．
（２）设一个数为犪，犿为一个正数，要说明犪＋犿＞犪．事实上，在不等式
犿＞０的两边同加犪，就得到犪＋犿＞犪．
例３中的（１）表明，不等式一边中的某项可以改变符号后
a b c
移到不等式的另一边，这种变形就是不等式中的移项．
a c b
课堂练习１５．１（２）
１．设犪＞犫，用适当的不等号填空，并说明理由：
（１）－５犪 －５犫；
３ ３
（２）犪＋ 犫＋ ；
８ ８
（３）９犪 ９犫．
２．用适当的不等号填空：
（１）如果犪犫＞０，犫＞０，那么犪 ０；
（２）如果犪＞犫，那么－２犪＋３ －２犫＋３．
习题１５．１
１．用适当的不等式表示下列关系：
（１）犪的３倍与８的和小于－９；
４
（２）狓的 减去１４的差大于等于－７；
５
５
１５．１ 不等式及其性质１
（３）狔的４倍减去 的差是一个非负数．
３
２．下列变形是否正确？如不正确，应该如何改正？
（１）由犪＞犫，得犪＋２犪＞犫－２犪；
１ １
（２）由 狓＋２＜２狓，得 狓＜２狓－２．
３ ３
３．设犪＜犫，用适当的不等号填空，并说明理由：
（１）－０．８犪 －０．８犫；
１ １
（２）犪＋ 犫＋ ；
６ ６
７ ７
（３） （犪－１） （犫－１）．
３ ３
４．用适当的不等号填空：
（１）当犪＞０，犫＜０时，犪犫 ０；
（２）当犪＜０，犫 ０时，犪犫＜０；
（３）当狓＞狔时，１１－狓 １１－狔；
（４）当６狓≤１时，６狓＋４ ５．
５．说明：一个数与负数的和小于其本身．
６．用不等式表示语句：“如果犪是正数，犫是负数，那么犪犫是负数”．
７．设犪＜犫＜０，用适当的不等号填空：
（１）犪犫 犪２ ；
（２）犪犫 犫２ ；
（３）犪２ 犫２．
８．“犪２≥０”是否对任意的有理数犪都成立？请说明理由，并指出等号何时
成立．
１５
６
第 一元一次不等式
章１５．２
一元一次不等式
１．不等式的解和解集
对于方程，我们要研究方程的解和解方程的方法．对于含有未知数的不等
式，同样也要研究不等式的解和解不等式的方法．
类比方程的解的意义，在含有未知数的不等式中，能使不等式成立的未
知数的值，叫作不等式的解．在不等式２狓－１＞３中，将狓＝３，狓＝５．６代入
验算，该不等式都成立，因此这些值都是该不等式的解；但狓＝２，狓＝０却不
能使该不等式成立，因而不是该不等式的解．
只含有一个未知数且未知数的次数是１的不等式叫作一元一次不等式．一
元一次方程只有一个解，但一元一次不等式可能有无数个解．一个不等式的解
的全体叫作不等式的解集．
不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，如不等式狓＜４的解集在数
轴上的表示如图１５２１所示：
在表示４的点上画
空心圈，表示４不包含
5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5
图１５２１ 在解集中．在表示－５
的点上画实心点，表
不等式狓≥－５的解集在数轴上的表示如图１５２２
示－５包含在解集中．
所示：
5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5
图１５２２
求不等式的解集的过程叫作解不等式．
例１ 求下列不等式的解集，并把它们分别在数轴上表示出来：
（１）狓－２＜０；
（２）３狓≥－１５．
７
１５．２ 一元一次不等式解 （１）不等式的两边同加２，得狓＜２．
这个不等式的解集在数轴上的表示如图１５２３所示：
5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5
图１５２３
（２）不等式的两边同除以３，得狓≥－５．
这个不等式的解集在数轴上的表示如图１５２４所示：
5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5
图１５２４
例２ 分别写出一个关于狓的不等式，使其解集在数轴上的表示如
图１５２５、图１５２６所示：
（１）
5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5
图１５２５
（２）
5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5
图１５２６
解 （１）狓＞－３．
（２）狓≤４．
写出两个解集为狓＞－３的不等式．
狓＞－３是不等式２狓＞－６的解集，也是不等式－狓＜３的解集．不同的方
程可能有相同的解，类似地，不同的不等式也可能有相同的解集．
１５
８
第 一元一次不等式
章课堂练习１５．２（１）
１．求下列不等式的解集，并把它们分别在数轴上表示出来：
（１）狓＋１＜３； （２）０．５狓－６．１＞０．１５；
２ ３
（３）３狔－１１＞－２； （４）狕－２ ≤７ ．
５ ５
２．在－３、－１、０、４、８中，找出使下列不等式成立的狓的值：
（１）５狓＋１２＜０； （２）狓－３≥４；
３ １
（３）－４狓≤－１６； （４） 狓＞ 狓－２．
４ ４
３．分别写出一个关于狓的不等式，使其解集在数轴上的表示如图
所示．
（１）
5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5
（第３（１）题）
（２）
5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5
0.5
（第３（２）题）
２．解一元一次不等式
问题 怎样解不等式５狓－１≥２狓＋５？
这是一个一元一次不等式．类比求解一元一次方程的方法，可以运用不等
式的性质，求出解集．
（１）移项，得５狓－２狓≥５＋１；
（２）合并同类项，得３狓≥６；
（３）两边同除以未知数的系数３，得狓≥２．
所以，不等式５狓－１≥２狓＋５的解集是狓≥２．
９
１５．２ 一元一次不等式解一元一次不等式的一般步骤是：
（１）化简不等式（去分母、去括号、移项、合并同类项）成犪狓＞犫（或犪狓＜
犫等）的形式；
（２）两边同除以未知数的系数，得到不等式的解集．
不等式的两边同除以未知数的系数时，要考查系数犪的正负．当犪＞０时，
不等号的方向不变；当犪＜０时，不等号的方向改变．
例３ 解不等式３狓＋１２＞４０－狓，并在数轴上表示出它的解集．
解 移项，得
３狓＋狓＞４０－１２，
即
４狓＞２８．
两边同除以狓的系数４，得
狓＞７．
所以，原不等式的解集是狓＞７．它在数轴上的表示如图１５２７所示：
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
图１５２７
２狓－５ ４狓＋３
例４ 解不等式 ≥ ＋１，并在数轴上表示出它的解集．
１６ ２
解 不等式的两边同乘１６，得
２狓－５≥８（４狓＋３）＋１６．
去括号，得
２狓－５≥３２狓＋４０．
移项、合并同类项，得
－３０狓≥４５．
两边同除以狓的系数－３０，得
３
狓≤－ ．
２
１５
１０
第 一元一次不等式
章３
所以，原不等式的解集是狓≤－ ．它在数轴上的表示如图１５２８所示：
２
5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5
3
2
图１５２８
课堂练习１５．２（２）
１．下列解法中，正确的是 （ ）
Ａ．－狓≥－５，两边同乘－１，得狓≥５；
Ｂ．－狓≤－５，两边同乘－１，得狓≤５；
Ｃ．２狓≥－６，两边同除以－２，得狓≤３；
Ｄ．－２狓≥－６，两边同除以－２，得狓≤３．
２．解下列不等式，并分别在数轴上表示出它们的解集：
（１）７狓＜６狓－３； （２）５狓－１２＜８狓－３３；
５ ８
（３） 狓＋４≤ 狓－１； （４）３（６狓＋７）≥８－２（５狓－９）．
４ ３
３．一元一次不等式的应用
方程和不等式都是解决实际问题的基本工具．
例５ 某校七年级师生共２８４人乘车外出春游，如果每辆车可乘４８人，
那么至少需要多少辆车？
解 设需要狓辆车，根据题意，得
４８狓≥２８４．
解这个不等式，得
７１
狓≥ ．
１２
该解集在数轴上的表示如图１５２９所示：
１ １
１５．２ 一元一次不等式0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
71
12
图１５２９
因为狓应是正整数，所以狓≥６．
答：至少需要６辆车．
例６ 某次知识竞赛共有２５道题，规定答对一道题得４分，答错一道题
扣１分，不答题不得分．在这次竞赛中，小海有２道题没有作答．若希望取得
不低于８０分的成绩，小海至少要答对几道题？
解 设小海答对了狓道题，又因为有２道题没有作答，所以共答错了
（２３－狓）道题．根据题意，得
４狓－１×（２３－狓）≥８０．
１０３
解这个不等式，得狓≥ ．
５
因为狓应是正整数，所以狓≥２１．
答：小海至少要答对２１道题．
例７ 把一些奖品分给若干名学生．如果每人分３个，那么多出７个奖
品；如果每人分５个，那么有一名学生分到的奖品就少于３个．问：学生最少
有几名？奖品至少有多少个？
解 设有狓名学生，则奖品有（３狓＋７）个．
若每人分５个奖品，则最后一名学生分得３狓＋７－５（狓－１）个奖品．
根据题意，得
３狓＋７－５（狓－１）＜３．
９
解这个不等式，得狓＞ ．
２
因为狓应是正整数，所以狓≥５，于是３狓＋７≥２２．
答：学生最少有５名，奖品至少有２２个．
应用一元一次不等式解决实际问题的一般步骤是：
（１）分析实际问题，设未知数，用不等式表示相应的不等关系；
１５
１２
第 一元一次不等式
章（２）解不等式；
（３）结合实际情形，检验并确定最终结论．
课堂练习１５．２（３）
１．一部电梯的额定载重量为１０００ｋｇ，某人用这部电梯把一批相同
质量的货物从底层搬到顶层．该人体重为６５ｋｇ，每箱货物的质量为６０ｋｇ．
问：每次最多能搬运多少箱货物？
２．根据篮球赛的规则，在三分线外投篮命中可得３分，在三分线内
投篮命中可得２分．某球队在一场篮球赛中不算罚篮共投中４０个球，罚
篮得１０分，并且总分超过１００分．该球队至少投中了多少个三分球？
习题１５．２
１．将下列数填入它们所在的解集中：
３
７、－５、３．２、－ 、０、２０２３、－２０．
４
（１）狓≥－５： ；
（２）狓＜５： ．
２．分别写出一个关于狓的不等式，使其解集在数轴上的表示如图所示．
（１）
5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5
（第２（１）题）
（２）
5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5
1
2
（第２（２）题）
１ ３
１５．２ 一元一次不等式３．妈妈让小海去超市买３ｋｇ梨和４ｋｇ苹果．小海先挑了单价为每千克１４
元的梨．由于小海身上只有１００元，因此他在挑苹果时，所买的苹果每千克不
能超过多少元？
４．某校七年级三个班进行爱心捐款，其中（１）班捐款４２０元，（２）班捐款
４６８元．如果这三个班的平均捐款额超过４５０元，那么（３）班的捐款额应超过
多少元？
５．求下列不等式的解集，并把它们分别在数轴上表示出来：
１ １
（１）２狓＋ ＜６ ； （２）０．０３狓≥－０．１８；
４ ４
１
（３） 狔＋２５≤２２； （４）３狕－１７＞－２９．
３
６．根据题意列出不等式，并求解：
２
（１）狓的 与２的和是正数；
３
（２）３与狓的和的２倍不小于１０；
狓＋１
（３） 减去（２狓－１）的差大于２．
２
１ ３
７．当犿满足什么条件时，狓＝３－２犿是不等式 （狓－３）＜狓－ 的一
５ ５
个解？
１５
１４
第 一元一次不等式
章１５．３
一元一次不等式组
问题 一件商品的成本是３０元．若按原价的八八折销售，至少可获得
１０％的利润；若按原价的九折销售，能获得不足２０％的利润．商品的原价满
足什么条件？
分析 设这件商品的原价为狓元，根据题意，狓必须同时满足下列两个
不等式：
８８％狓≥３０＋３０×１０％ 和９０％狓＜３０＋３０×２０％．
烄８８％狓≥３０＋３０×１０％，
可以写为：
烅
烆９０％狓＜３０＋３０×２０％．
由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的一组不等式叫作一元
一次不等式组．
烄狓＋狔＝１，
方程组中的未知数一般多于一个，如二元一次方程组 有两个
烅
烆狓－狔＝２
未知数———狓和狔，但一元一次不等式组中的未知数只有一个．
不等式组中所有不等式的解集的公共部分叫作不等式组的解集．
烄２狓＋１＞３，
例如，对于不等式组
烅
狓＝２同时满足两个不等式，它是这个不
烆狓≤４，
等式组的解．虽然狓＝５满足第一个不等式２狓＋１＞３，但不满足第二个不等
式狓≤４，因此狓＝５不是这个不等式组的解．类似地，狓＝１满足第二个不等
式，但不满足第一个不等式，因此也不是这个不等式组的解．
求不等式组的解集的过程叫作解不等式组．
例１ 利用数轴确定下列不等式组的解集：
烄狓＞４， 烄狓＜４，
（１）
烅
（２）
烅
烆狓＞８； 烆狓＜－３；
烄狓＞４，
烄狓＜４．５，
（３）
烅
（４）
烅 １
烆狓＞－３； 狓＜－３ ．
烆 ２
１ ５
１５．３ 一元一次不等式组解 （１）分别把狓＞４和狓＞８的解集在数轴上表示出来，如图１５３１所示：
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
图１５３１
烄狓＞４，
两个不等式的解集的公共部分是狓＞８，因此不等式组
烅
的解集是
烆狓＞８
狓＞８．
（２）分别把狓＜４和狓＜－３的解集在数轴上表示出来，如图１５３２
所示：
4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6
图１５３２
烄狓＜４，
两个不等式的解集的公共部分是狓＜－３，因此不等式组
烅
的解集
烆狓＜－３
是狓＜－３．
（３）分别把狓＜４．５和狓＞－３的解集在数轴上表示出来，如图１５３３
所示：
5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5
4.5
图１５３３
烄狓＜４．５，
两个不等式的解集的公共部分是－３＜狓＜４．５，因此不等式组
烅
的
烆狓＞－３
解集是－３＜狓＜４．５．
１
（４）分别把狓＞４和狓＜－３ 的解集在数轴上表示出来，如图１５３４
２
所示：
１５
１６
第 一元一次不等式
章4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6
1
3
2
图１５３４
烄狓＞４，
两个不等式的解集没有公共部分，因此不等式组
烅 １
无解．
狓＜－３
烆 ２
解一元一次不等式组的一般步骤：
（１）求出不等式组中各个不等式的解集，并分别在数轴上表示出来；
（２）确定各个不等式的解集的公共部分，得到不等式组的解集．
课堂练习１５．３（１）
１．利用数轴确定下列不等式组的解集：
烄 １
烄狓＞０， 狓＜１ ，
（１）
烅
（２）
烅
２
烆狓＞２；
烆狓＜－５；
烄 １ 烄狓≤－７，
狓≤２ ，
（３）
烅
３ （４）
烅 ２
狓≥２ ．
烆狓＞－０．５； 烆 ３
２．设犪＜犫，求下列不等式组的解集：
烄狓＜犪， 烄狓＞犪，
（１）
烅
（２）
烅
烆狓＜犫； 烆狓＞犫；
烄狓＞犪， 烄狓＜犪，
（３）
烅
（４）
烅
烆狓＜犫； 烆狓＞犫．
烄４狓＞２狓－６， ①
例２ 解不等式组：
烅
烆１０＋３狓＞７狓－３０． ②
解 由①，得
１ ７
１５．３ 一元一次不等式组２狓＞－６．
解得
狓＞－３．
由②，得
－４狓＞－４０．
解得
狓＜１０．
不等式①②的解集在数轴上的表示如图１５３５所示：
4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
图１５３５
两个不等式的解集的公共部分是－３＜狓＜１０，因此原不等式组的解集
是－３＜狓＜１０．
下面，我们来回答本节开头的“问题”．
烄８８％狓≥３０＋３０×１０％，
例３ 解不等式组：
烅
烆９０％狓＜３０＋３０×２０％．
解 不等式８８％狓≥３０＋３０×１０％可化为８８狓≥３０００＋３００，其解集是
狓≥３７．５．
不等式９０％狓＜３０＋３０×２０％可化为９０狓＜３０００＋６００，其解集是狓＜４０．
在数轴上分别将不等式狓≥３７．５和狓＜４０的解集表示出来，如图１５３６所示：
0 10 20 30 40 50
37.5
图１５３６
由此可得，原不等式组的解集是３７．５≤狓＜４０．
因此 ，本节“问题”中商品的原价在３７．５元和４０元之间（含３７．５元，不含
４０元）．
１５
１８
第 一元一次不等式
章课堂练习１５．３（２）
１．解下列不等式组：
烄３狓－５＞２狓－１， 烄５－２狓＜２狓－１，
（１）
烅
（２）
烅
烆５狓－６＞２狓； 烆狓＋３＞２狓．
２．解下列不等式组：
烄１６狓＞２４狓－３２， 烄２（狓－４）≤狓－６，
（１）
烅
（２）
烅
烆９狓＞７狓－６； 烆４＋狓＞５狓－２４；
烄狓－７ 狓－２
＜ ，
１５ ５
（３）
烅
１ ３
狓－１≤３－ 狓．
烆２ ２
习题１５．３
１．根据图示，写出下列数轴上公共部分所表示的关于狓的一元一次不等
式组的解集：
；
5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5
；
5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5
；
5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5
．
5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5
（第１题）
１ ９
１５．３ 一元一次不等式组２．利用数轴确定下列不等式组的解集：
烄 １
烄狓＞－４， 狓≤５ ，
（１）
烅
（２）
烅
４
烆狓＞－２．５；
烆狓＜－２．５；
烄 １ 烄狓≥６，
狓≤４ ，
（３）
烅
２ （４）
烅 １
狓≤－２ ．
烆狓＞－５； 烆 ３
３．解下列不等式组：
烄４狓－１５＞２狓－３， 烄４－３狓＜３狓－２，
（１）
烅
（２）
烅
烆５狓－７＞３狓； 烆狓＋４＞３狓．
４．解下列不等式组：
烄２狓＞３．１４， 烄２狓＋１＜１．４１，
（１）
烅１
（２）
烅２－狓
狓＋３＞５； ＋１≥狓．
烆２ 烆 ３
５．请写出一个不等式组，使它的解集是－１≤狓＜０．你认为这样的不等式
组有多少个？
烄狓＜犿＋１，
６．若关于狓的不等式组
烅
无解，求犿应满足的条件．
烆狓＞２犿－１
７．用浓度分别为１０％和０．９％的两种盐水配制１０ｋｇ新盐水，要求配得的
新盐水的浓度既不低于４％又不超过６％．求浓度为１０％的盐水用量满足的条
件（结果精确到０．０１ｋｇ）．
１５
２０
第 一元一次不等式
章１．基本概念：不等式，一元一次不等式（组），不等式（组）的解集．
２．不等式的性质：
性质１ 对于任意给定的两个数犪、犫，在犪＞犫、犪＜犫、犪＝犫三种情形
中，有且只有一种情形成立．
性质２ 如果犪＞犫，犫＞犮，那么犪＞犮．
性质３ 如果犪＞犫，那么犪＋犿＞犫＋犿，犪－犿＞犫－犿．
犪 犫
性质４ 如果犪＞犫，犿＞０，那么犪犿＞犫犿， ＞ ．
犿 犿
犪 犫
性质５ 如果犪＞犫，犿＜０，那么犪犿＜犫犿， ＜ ．
犿 犿
３．解一元一次不等式的一般步骤：
（１）化简不等式（去分母、去括号、移项、合并同类项）成犪狓＞犫（或犪狓＜
犫等）的形式；
（２）两边同除以未知数的系数，得到不等式的解集．
４．解一元一次不等式组的一般步骤：
（１）求出不等式组中各个不等式的解集，并分别在数轴上表示出来；
（２）确定各个不等式的解集的公共部分，得到不等式组的解集．
２ １
内容提要１．根据题意列不等式（组）：
（１）狓与狔的２倍的和不小于１０： ；
（２）边长为犪的正方形的周长小于半径为犪的圆的周长： ；
（３）狓与狔的和是非负数，且狓与狔的积不小于４： ．
２．用适当的不等号填空：如果犪≤犫，犫≤犮，那么犪 犮．
３．求下列不等式的解集，并把它们分别在数轴上表示出来：
３
（１） 狓－２＜７； （２）０．４２狓≤－０．８４；
２
３狕＋７ ２狕＋１３
（３） ≥ ．
２ ３
４．当犽满足什么条件时，关于狓的方程４（２狓－５犽）－２＝－（狓－７犽）的解
是正数？是负数？
５．解下列不等式组：
烄５（狓－９）≥１５－６（狓－１），
烄３狓＞２１，
（１）
烅
（２）
烅１ ２
烆４狓＋５＞７狓－３１； 狓－２≤４－ 狓．
烆５ ５
６．当狓满足什么条件时，４狓＋６与２狓－１的值都是负数？
７．今年小海１３岁，他的爸爸４５岁，那么小海至少几岁时，他的年龄才
１
能超过爸爸年龄的 ？
３
烄５－２狓 ３－２狓
≤ ，
８．当犪为何值时，关于狓的不等式组
烅
４ ６ 恰有一个解？
烆５狓≤狓－１４＋犪
１５
２２
第 一元一次不等式
章９．一队战士以８ｋｍ／ｈ的速度前进．队尾的通信兵需要把一份急件交给队
首的队长，他以１０ｋｍ／ｈ的速度赶到队首后马上又以同样的速度返回，一共
用时不超过１５ｍｉｎ．求队伍至多有多长．
１０．已知犪≠１，解关于狓的不等式（犪－１）狓≤犪２－１．
２ ３
复习题１６
第 章
相交线与平行线
平面上两条直线，要么相交，要么平行．
关于相交线，可从它们所成角的大小来认识其位置关系．垂直
是相交的特殊情况，在几何中具有特殊的地位．由于直线是无限延
伸的，很难通过直观验证两条直线“不相交”来判断其是否平行，需
要寻找等效的判定依据，因此在讨论平行线时，可以考虑利用两条
直线与第三条直线相交所成的角，来研究平行线的判定依据与性质．
对数学对象的研究，只凭观察、测量、类比、归纳是不能让人
完全信服的．从本章开始，我们要以平面几何为载体，学习演绎推
理与论证．这就是说，要从已知条件出发，依据已被承认的事实（包
括定义、公理、定理等），通过逻辑推理去探索并证明新的事实．为
此，除了学习一些具体的知识，更要着重学习概念的定义、命题的
陈述及证明的展现与表达，加强逻辑推理的训练．
书书书１６．１
相交线
１．对顶角
用一枚钉子将一根木条钉在墙上，木条可以绕着钉子转动，如图
１６１１（１）所示．当用两枚钉子把木条钉在墙上时，木条就被固定住了，
如图１６１１（２）所示．
（１） （２）
图１６１１
这表明，经过一点有无数条直线，如图１６１２（１）所示．经过两点有一条
直线，并且只有一条直线，如图１６１２（２）所示．
（１） （２）
图１６１２
像这样从实践经验中总结出来的事实还有很多．在几何里，挑选其中一些
基本事实，承认其正确性，将其作为用逻辑推理证实其他事实的原始依据．这
些基本事实称为公理．①
公理 经过两点有一条直线，并且只有一条直线．
① 公理的选择方式并不是唯一的，本套教科书中所列出的公理，与欧几里得的《几何原本》中的公
理并不完全一致，与其他教科书中所列出的公理也可能不尽相同，但对学习推理及论证，均能起到同样
的作用．
２ ５
１６．１ 相交线简单地说：两点确定一条直线．
如图１６１３，将两根木条犪、犫用一枚钉子钉在一起，给我们以两条直线
相交的形象．
图１６１３ 图１６１４
当两条直线有一个公共点时，就称这两条直线相交，或称它们是相交直
线．这个公共点叫作它们的交点．在图１６１４中，直线犃犅、犆犇相交，犗是
它们的交点．
如无特殊说明，本
套教科书中两条直线指
两条直线能有两个或两个以上的交
的是两条不重合的直线．
点吗？
两条直线相交，只有一个交点．
原因如下：假设两条直线相交，有两个交点，那么经过这两个交点就有
了两条直线，这与“两点确定一条直线”的公理相矛盾．所以两条直线不可能有
两个或两个以上的交点．
如图１６１５，直线犃犅、犆犇相交于点犗，构成以犗
为顶点的四个角：∠１、∠２、∠３和∠４，它们是直线
犃犅、犆犇相交所成的角．其中∠１与∠３有一个公共顶点
犗，并且∠１的两边犗犃、犗犇分别与∠３的两边犗犅、
图１６１５
犗犆互为反向延长线，具有这种关系的两个角叫作对顶角．
有时也称它们互为对顶角．例如，∠１和∠３是对顶角，∠２和∠４也是对顶角．
这样就明确界定了对顶角这个概念．像这样界定一个概念的语句叫作定
义，一般写成下面的形式．
定义 有公共顶点，且其中一个角的两边分别是另一个角的两边的反向
１６
２６
第 相交线与平行线
章延长线的两个角叫作对顶角．
通过观察，猜想对顶角总是相等的．由于观察及测量总会有误差，怎么才
能说明这个猜想一定是正确的呢？数学上要求从已知条件出发，依据已被确
认的事实（包括定义、公理等），通过逻辑推理说明猜想的正确性，这个过程
叫作证明．被证明的猜想可以作为定理．
定理 对顶角相等．
如图１６１５，已知：直线犃犅、犆犇相交于点犗，∠１和∠３是对顶角．
求证：∠１＝∠３．
证明 因为直线犃犅、犆犇相交于点犗，所以
∠１＋∠２＝１８０°，∠２＋∠３＝１８０°．
根据等式性质，得∠１＝１８０°－∠２，∠３＝１８０°－∠２．
因此，∠１＝∠３．
例１ 如图１６１６，已知直线犃犅、犆犇相交于点犗，∠犃犗犆＝５０°．求
∠犅犗犇、∠犃犗犇的度数．
解 因为直线犃犅、犆犇相交于点犗，所以∠犅犗犇
与∠犃犗犆是对顶角．由“对顶角相等”，可得
∠犅犗犇＝∠犃犗犆＝５０°．
图１６１６
因为点犗在直线犆犇上，所以
∠犃犗犇＝１８０°－∠犃犗犆＝１８０°－５０°＝１３０°．
因此，∠犅犗犇＝５０°，∠犃犗犇＝１３０°．
例２ 如图１６１７，已知直线犃犅、犆犇相交于点
犗，犗犈平分∠犅犗犆，∠犅犗犈＝６５°．求∠犃犗犇的度数．
解 因为犗犈平分∠犅犗犆，∠犅犗犈＝６５°，所以
∠犅犗犆＝２∠犅犗犈＝２×６５°＝１３０°． 图１６１７
２ ７
１６．１ 相交线因为直线犃犅、犆犇相交于点犗，所以∠犃犗犇与∠犅犗犆是对顶角．由“对
顶角相等”，可得
∠犃犗犇＝ ∠犅犗犆＝１３０°．
课堂练习１６．１（１）
１．（１）如图（１），已知犗、犘是直线犃犇上两点，∠１＝∠２．∠１与
∠２是对顶角吗？请说明理由．
（２）如图（２），已知∠３＝∠４，∠３与∠４是对顶角吗？请说明理由．
A
B
1
P A
O 3 O
2 B 4 D
C
D C
（１） （２）
（第１题）
２．一个对顶角量角器如图所示，请说出它的测量依据．
A D
90°
60° 120°
30° 150° E
O
0° 180°
C
B
（第２题） （第３题）
３．如图，已知直线犃犅、犆犇相交于点犗，犗犈平分∠犅犗犇，且
∠犃犗犆＝７２°．求∠犅犗犈的度数．
２．垂线
如图１６１８，木条犪与木条犫相交形成的四个角的
大小随着木条犪的转动而变化．
两条直线相交，形成四个小于平角的角，其中不大
图１６１８
１６
２８
第 相交线与平行线
章于直角的那个角叫作这两条直线的夹角．两条直线相交
的位置特征，可以通过两条直线的夹角来描述．
如图１６１９，直线犃犅、犆犇相交于点犗，∠犃犗犆＝
４０°，那么∠犃犗犆是直线犃犅、犆犇的夹角，其大小 图１６１９
是４０°．
如图１６１１０，直线犃犅、犆犇相交于点犗，∠犃犗犇＝１５０°．求直
线犃犅与直线犆犇的夹角的度数．
图１６１１０ 图１６１１１
在图１６１１１中，转动木条犪到犪′，使得犪′与犫的夹角是９０°，这时称
犪′与犫互相垂直．
定义 如果两条相交直线的夹角为直角，就称这两条直线互相垂直，其
中一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足．
垂直用符号“⊥”表示，两条直线犃犅、犆犇互相垂
直，记作犃犅⊥犆犇，读作“犃犅垂直于犆犇”．
垂直是两条直线相交的一种特殊情况．如图
１６１１２，若已知∠犃犗犇＝９０°，根据垂直的定 图１６１１２
义，可得犃犅⊥犆犇；反过来，若已知犃犅⊥犆犇，
根据垂直的定义，可得∠犃犗犆＝∠犆犗犅＝∠犅犗犇
通常在两条直线的
交点处标上符号“?”，
＝∠犃犗犇＝９０°．
来表示这两条直线互相
垂直．
２ ９
１６．１ 相交线在日常生产和生活中，经常可以遇到两条直线互相垂直的情形．请指出
图１６１１３中互相垂直的直线形象．你还能举出一些生活中的其他例子吗？
（１） （２） （３）
图１６１１３
给定直线犾和点犘，要求过点犘画直线犾的垂线．如图１６１１４（１），
将三角尺的一条直角边紧靠直线犾，另一条直角边经过点犘，并沿着这
条边画直线．这条直线就是直线犾的垂线．如图１６１１４（２），如果点犘
在直线犾上，同样也可以画出直线犾的垂线．
请同学们尝试用量角器画．
（１） （２）
图１６１１４
（１）如图１６１１５（１），在平面上经过直线犾上一点犘画直线犾的
垂线，这样的垂线能画几条？
（２）如图１６１１５（２），在平面上经过直线犾外一点犘画直线犾的
垂线，这样的垂线能画几条？
１６
３０
第 相交线与平行线
章本章研究的图形限
于平面图形，即所有的
点、线都在同一平面上．
（１） （２）
图１６１１５
在平面上，经过任意一个定点犘都能画出一条直线与已知直线犾垂直，
而且只能画出一条直线与已知直线犾垂直．这一基本事实在本套教科书中作为
公理．
公理 在同一平面上，经过一点有且只有一条直线垂直于已知
直线．
如图１６１１６，犘犗⊥犾，垂足为犗，线段犘犗叫作点
犘到直线犾的垂线段．
定义 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，
叫作点到直线的距离．如果一个点在直线犾上，那么
图１６１１６
就说这个点到直线犾的距离为０．
例３ 如图１６１１７，已知：直线犃犅、犆犇分别
交直线犈犉于点犎、犌，犆犇⊥犈犉，∠犉犎犃＝∠犈犌犆．
求证：犃犅⊥犈犉．
证明 ∵ 犆犇⊥犈犉，
∴ ∠犈犌犆＝９０°（垂直的定义）．
图１６１１７
又∵ ∠犉犎犃＝∠犈犌犆，
∴ ∠犉犎犃＝９０°．
∴ 犃犅⊥犈犉（垂直的定义）．①
① 本套教科书在像例３这样的几何计算或证明中，常引进符号“∵”“∴”（分别读作“因为”“所以”，
并与其同义），将推理的条件与结论分行显示，并将一些重要的推理依据用括号注在结论的后面，这样做
是为了便于书写．对于像“对顶角相等”这种定理的证明，则采用了更为正式的数学证明格式．
３ １
１６．１ 相交线例４ 如图１６１１８，已知犃犆⊥犅犆，垂足为犆；
犆犇⊥犃犅，垂足为犇．指出图中线段犃犆、犅犆、犃犇、
犅犇、犆犇的长度分别表示哪个点到哪条直线的距离．
解 线段犃犆的长度表示点犃到直线犅犆的距离；
线段犅犆的长度表示点犅到直线犃犆的距离；
图１６１１８
线段犃犇的长度表示点犃到直线犆犇的距离；
线段犅犇的长度表示点犅到直线犆犇的距离；
线段犆犇的长度表示点犆到直线犃犅的距离．
课堂练习１６．１（２）
１．填空题：
（１）如图，直线 与直线 相交于 C
点犇；
D
（２）如图，直线 垂直于直线 ，
A O B
为垂足． E
（第１题）
２．如图，直线犪、犫的夹角是 °．
a C
P
O
110°
b B Q A
（第２题） （第３题）
３．如图，已知点犘在∠犆犃犅的内部，点犙在边犃犅上．根据下面
的要求画出图形并填空．
（１）过点犘画犘犇⊥犃犅，垂足为犇；
（２）过点犘画犘犈⊥犃犆，垂足为犈；
（３）犘、犙两点间的距离是线段 的长度，线段犘犇的长度
表示 到 的距离；
１６
３２
第 相交线与平行线
章（４）点犘到直线犃犆的距离是线段 的长度；
（５）点犙到直线犃犅的距离是 ．
习题１６．１
１．如图，当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就
是光的折射现象．∠１与∠２是对顶角吗？
（第１题） （第２题）
２．如图，直线犃犅、犆犇相交于点犗，∠犃犗犈＝８０°，且∠犆犗犈＝
３∠犈犗犇．求∠犅犗犆的度数．把以下解答过程补充完整．（注：若∠１的大小是
∠２的犽倍，则用∠１＝犽∠２表示．）
解：∵ 直线犃犅、犆犇相交于点犗，
∴ ∠犆犗犈＋∠ ＝１８０°．
∵ ∠犆犗犈＝３∠犈犗犇，
∴ ＋ ＝１８０°，
即 ∠ ＝ °．
∵ ∠犃犗犈＝８０°，
∴ ∠犃犗犇＝ °．
∴ ∠犅犗犆＝∠犃犗犇＝ °（ ）．
３ ３
１６．１ 相交线３．如图，已知点犘在∠犅犃犆的边犃犆上，按下列语句画出图形：
（１）过点犘画犃犆的垂线，交边犃犅于点犇；
（２）过点犘画犃犅的垂线，垂足为犈．
（第３题） （第４题）
４．如图，按下列语句画出图形：
（１）过点犅画直线犃犆的垂线，垂足为犇；
（２）过点犆画直线犃犅的垂线，垂足为犈．
５．如图，直线犪、犫相交，∠１＝３∠２．求直线犪、犫的夹角的度数．
（第５题） （第６题）
６．如图，直线犃犅、犆犇相交于点犗，犗犈平分∠犅犗犇，犗犈⊥犗犉，垂足
为犗．已知∠犃犗犆＝３６°，求 ∠犅犗犉的度数．
１６
３４
第 相交线与平行线
章１６．２
平行线
１．平行公理
笔直的两条铁轨，教科书封面相对的两边，都给我
们平行线的形象．如果画出它们的图形，应是同一平面
上的两条线段（图１６２１）．它们各自向两个方向延长，
总不会相交．
图１６２１
定义 在同一平面上不相交的两条直线叫作平行线．
平行用符号“∥”表示．如果直线犪和直线犫是平行线，那么也称它们互相
平行，记作“犪∥犫”，读作“犪平行于犫”．
下面，我们尝试画平行线．
如图１６２２，已知直线犪和直线犪外一点犘．利用直尺和三角尺
画一条经过点犘且平行于犪的直线．
图１６２２
画法 （１）将三角尺的一边犃犅紧靠直线犪，将直尺紧靠三角尺的另一边
犃犆，如图１６２３（１）所示；
（２）沿直尺推动三角尺，使三角尺紧靠直线犪的一边（边犃犅）经过点犘，
如图１６２３（２）所示；
（３）沿三角尺的这条经过点犘的边，画直线犫，如图１６２３（３）所示．
直线犫就是所要画的直线，如图１６２３（４）所示．
经过点犘可以画出一条、且只能画出一条与已知直线犪平行的直线．我
们把这个基本事实作为公理．
３ ５
１６．２ 平行线E E E
C C C
1
a a a a
A B A B A B
2
b b
P P P P
F F F
（１） （２） （３） （４）
图１６２３
平行公理 经过直线外的一点，有且只有一条直线与该直线平行．
从平行公理可以推出
定理 在同一平面上，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这
两条直线也互相平行．
如图１６２４，已知：直线犪、犫、犮在同一平面
上，犪∥犮，犫∥犮．
求证：犪∥犫．
证明 如图１６２４，假设犪与犫不平行，且相交
于点犘，那么过点犘就有两条直线犪、犫都和直线犮 图１６２４
平行，这与平行公理矛盾．
这说明上述假设是错误的，所以犪∥犫．
这个定理称为平行的传递性．由此，三条直线犪、犫、犮互相平行，可表示
为“犪∥犫∥犮”．
上面这样的证明方式，称为反证法．在本章开头证明“两条直线相交，只有
一个交点”时就已经用过．反证法是数学中常用的一种证明方法，其步骤是：
（１）先假设求证的结论是错误的；（２）由此推导出与已知定义、公理、定理或条
件等相矛盾的结果；（３）从而否定开始的假设，肯定先前求证的结论的正确性．
１６
３６
第 相交线与平行线
章课堂练习１６．２（１）
１．根据下列语句画出图形：
（１）犘是直线犃犅外一点，直线犆犇经过点犘，且与直线犃犅平行；
（２）直线犃犅、犆犇是相交直线，犘是直线犃犅、犆犇外一点，直线
犈犉经过点犘，且与直线犃犅平行，与直线犆犇相交于点犙．
２．填空：已知犃犅∥犈犉，犆犇∥犈犉，根据 ，可得
犃犅∥犆犇．
３．已知直线犪、犫、犮在同一平面上，以下推理是否正确？
（１）因为直线犪与直线犫垂直，直线犫与直线犮垂直，所以直线犪
与直线犮垂直；
（２）因为直线犪与直线犫相交，直线犫与直线犮相交，所以直线犪
与直线犮相交．
２．平行线的判定与性质
如何判断两条直线是否平行？
由于直线是向两边无限延伸的，而我们所能看到的实际上只是直线的一部分，
因此要用“不相交”去判定两条直线平行是十分困难的．于是考虑借助第三条直
线，利用它与这两条直线相交所成的角的大小，来判定两条直线是否平行．
如图１６２５，在同一平面上，直线犪、犫与直线犾
l
分别相交 （也可以说：直线犪、犫被直线犾所截），构成
a 5 7
如图所示的八个角．如∠１与∠２，它们分别在直线犪、
3 1
犫的相同的一侧，并且在截线犾的同侧，这样的一对角
6 8
叫作同位角．∠３与∠４、∠５与∠６、∠７与∠８也分别 b 4 2
是同位角．
图１６２５
前面画平行线（图１６２３）时，将直尺的边看成截
３ ７
１６．２ 平行线线，只要同位角∠１与∠２相等，画出的直线犪、犫就是平行线．我们把这个
基本事实作为判定两条直线平行的公理．
公理 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条
直线平行．
简单地说：同位角相等，两直线平行．
两条直线被第三条直线所截得到的四对同位角中，只要有一对相
等，那么另外三对也一定对应相等．为什么？
例１ 如图１６２６，已知：犪、犫、犮是直线，犪⊥
犮，犫⊥犮．
求证：犪∥犫．
证明 如图１６２６，∵ 犪⊥犮，犫⊥犮，
图１６２６
∴ ∠１＝９０°，∠２＝９０°．
∴ ∠１＝∠２．
∴ 犪∥犫（同位角相等，两直线平行）．
例２ 如图１６２７，已知：直线犾与直线犪、犫、犮
分别相交，且 ∠１＝∠２＝∠３．
求证：犪∥犫∥犮．
分析 由∠１＝∠２，可推出犪∥犫．要证明犪∥犫∥犮，
只要再证犪∥犮（或犫∥犮），而这只要找到一对相等的同位
图１６２７
角即可．
证明 如图１６２７，将∠３的对顶角记作∠４．
∵ ∠１＝∠２，
∴ 犪∥犫（同位角相等，两直线平行）．
∵ ∠３＝∠４（对顶角相等），∠３＝∠１，
∴ ∠１＝∠４．
１６
３８
第 相交线与平行线
章∴ 犪∥犮（同位角相等，两直线平行）．
∴ 犪∥犫∥犮（平行的传递性）．
课堂练习１６．２（２）
１．如图，∠１与∠２是同位角吗？ ∠１与∠３呢？
A
3
2 M N
B C
1 O
（第１题） （第２题）
２．如图，为了加固房屋，要在人字形屋架上加一条横梁犕犖．如果
∠犃犅犆＝２９°，那么∠犃犕犖等于多少度时，横梁犕犖与犅犆平行？
３．如图，如果∠１＝１１０°，∠２＝７０°，那么犃犅∥犆犇吗？为什么？
把以下解答过程补充完整．
解：如图，将与∠１相邻的一个补角记作∠３．
C A
∵ ∠１＝１１０°，
1
∴ ∠３＝１８０°－∠１＝７０°．
E
2 3
F
又∵ ∠２＝７０°，
D B
（第３题）
∴ ．
∴ 犃犅∥犆犇（ ）．
利用同位角相等，可以判定两条直线平行．反过来，如果两条直线平行，
同位角相等吗？我们可以证明下面的平行线的性质定理．
定理 两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等．
简单地说：两直线平行，同位角相等．
３ ９
１６．２ 平行线由于一对同位角相等，可以推出其他三对同位角也对应相等，因此只要
证明一对同位角相等即可．
如图１６２８（１），已知：∠１和∠２是直线犃犅、犆犇被直线犈犉截出的同
位角，犈犉分别交犃犅、犆犇于点犕、犖，犃犅∥犆犇．
求证：∠１＝∠２．
（１） （２）
图１６２８
证明 用反证法．假设∠１≠∠２，那么可以过点犕画一条直线犌犎，使
得∠犈犕犎＝∠２，如图１６２８（２）所示．根据“同位角相等，两直线平行”，可
得到犌犎∥犆犇．又因为犃犅∥犆犇，这样经过点犕存在两条直线犃犅、犌犎都与
直线犆犇平行，与平行公理矛盾．
这说明∠１≠∠２这一假设是不成立的，所以∠１＝∠２．
例３ 如图１６２９，已知：犪、犫、犮是直线，犪∥
a b
犫，犪⊥犮．
求证：犫⊥犮．
1 2
c
证明 如图１６２９， ∵ 犪∥犫，
图１６２９
∴ ∠２＝∠１（两直线平行，同位角相等）．
∵ 犪⊥犮，
∴ ∠１＝９０°．
∴ ∠２＝９０°．
∴ 犫⊥犮．
例４ 如图１６２１０，已知直线犪、犫被直线犾所截，犪∥犫，∠１＝５０°．
求∠２的度数．
１６
４０
第 相交线与平行线
章分析 如图１６２１０，由已知条件犪∥犫，可得∠２＝
∠３，因此要求∠２的度数，只要求出∠３的度数即可，
而这可以由“对顶角相等”得到．
解 如图１６２１０，将∠１的对顶角记作∠３，则
∠１＝∠３（对顶角相等）． 图１６２１０
∵ ∠１＝５０°，
∴ ∠３＝５０°．
又∵ 犪∥犫，
∴ ∠３＝∠２（两直线平行，同位角相等）．
∴ ∠２＝５０°．
课堂练习１６．２（３）
１．如图，已知直线犪、犫被直线犾所截，且犪∥犫，∠１＋∠２＝１２０°．
求∠３的度数．把以下解答过程补充完整．
解：∵ ∠１＝∠２（对顶角相等），
又∵ ∠１＋∠２＝１２０°，
∴ ２∠１＝１２０°．
∴ ∠１＝ °．
∵ 犪∥犫，
∴ ∠１＝∠３（ ）．
∴ ∠３＝ °．
A
a b
D 1 2 E
1 3
l
2
B C
（第１题） （第２题）
２．如图，已知：犇与犈分别是线段犃犅与线段犃犆上的点，犇犈∥犅犆，
∠１＝∠２．求证：∠犅＝∠犆．把以下证明过程补充完整．
４ １
１６．２ 平行线证明：∵ 犇犈∥犅犆，
∴ ∠２＝∠犆（ ）．
同理，∠１＝∠犅． A
∵ ∠１＝∠２，
D E
∴ ．
３．如图，犇、犈分别是线段犃犅、犃犆上的点，犆犇
B C
平分∠犃犆犅，犇犈∥犅犆，∠犃犈犇＝８０°．求∠犅犆犇的 （第３题）
度数．
如图１６２１１，直线犪、犫被直线犾所截，∠１与∠２
l
在直线犪、犫的内侧，且交错在截线犾的两旁，像这样的
a
一对角叫作内错角． 2
1
b
图１６２１１
两条直线被第三条直线所截，可以得到两对内
错角．如果其中一对内错角相等，那么另外一对内
错角是否也相等？
利用同位角相等可以判定两条直线平行，那么是否也可以由内错角相等
来判定两条直线平行呢？结论是肯定的，由此得到平行线的另一种判定方法．
定理 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条
直线平行．
简单地说：内错角相等，两直线平行．
如图１６２１２（１），已知：直线犪、犫被直线犾所截，∠１＝∠２．
求证：犪∥犫．
分析 我们已经知道“同位角相等，两直线平行”，为了证明犪∥犫，从
∠１＝∠２出发，找出一对相等的同位角．
１６
４２
第 相交线与平行线
章（１） （２）
图１６２１２
证明 如图１６２１２（２），将∠１的对顶角记作∠３．因为对顶角相等，所
以∠１＝∠３．又已知∠１＝∠２，从而有∠２＝∠３．
根据“同位角相等，两直线平行”，得犪∥犫．
例５ 如图１６２１３，已知：直线犇犈经过点犃，
∠１＝４０°，∠犅＝４０°．
求证：犇犈∥犅犆．
证明 ∵ ∠１＝４０°，∠犅＝４０°， 图１６２１３
∴ ∠１＝∠犅．
∴ 犇犈∥犅犆（内错角相等，两直线平行）．
当两直线平行时，内错角的大小有什么关系呢？
定理 两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等．
简单地说：两直线平行，内错角相等．
如图１６２１４，已知：∠１与∠２是直线犪、犫被直
线犾所截得到的一对内错角，犪∥犫．
求证：∠１＝∠２．
证明 如图１６２１４，将∠１的对顶角记作∠３．
图１６２１４
由“对顶角相等”，得 ∠１＝∠３．
根据“两直线平行，同位角相等”，由犪∥犫，得∠３＝∠２．
因此∠１＝∠２．
４ ３
１６．２ 平行线例６ 如图１６２１５，已知：犃犅∥犆犇，犃犆∥犅犇．
求证：∠１＝∠犅．
分析 如图１６２１５，要证明∠１＝∠犅，只要分别
证明∠１＝∠２，∠２＝∠犅即可，而这可以由已知条件
犃犅∥犆犇，犃犆∥犅犇得到． 图１６２１５
证明 ∵ 犃犅∥犆犇，
∴ ∠１＝∠２（两直线平行，内错角相等）．
∵ 犃犆∥犅犇，
∴ ∠２＝∠犅（两直线平行，同位角相等）．
∴ ∠１＝∠犅．
课堂练习１６．２（４）
１．填空题：
（１）如图，∵ ∠犅＝∠３，
A D
5
∴ ∥ （ ）； 4
（２）如图，∵ ∠犇＝∠３，
2
1 3
∴ ∥ （ ）；
B C
（３）如图，∵ ∠４＝∠ ， （第１题）
∴ 犃犅∥犇犆（ ）．
２．如图，已知直线犃犅、犆犇被直线犃犈所截，且犃犅∥犆犇，∠１＝
１１０°．问：∠２、∠３和∠４分别等于多少度？为什么？
C
2
A E
1 4 3 D A E
B D B C
（第２题） （第３题）
３．如图，已知直线犇犈经过点犃，犇犈∥犅犆，∠犅＝４２°，∠犆＝
５７°．求∠犇犃犅、∠犆犃犇的度数．
１６
４４
第 相交线与平行线
章例７ 如图１６２１６，已知：直线犪、犫被直线犾所
截，∠１＋∠２＝１８０°．
求证：犪∥犫．
分析 从∠１、∠２出发，去寻找一对相等的同位角
或一对相等的内错角． 图１６２１６
证明 如图１６２１６，将与∠１相邻的一个补角记作∠３，则∠１＋∠３＝１８０°．
∵ ∠１＋∠２＝１８０°，
∴ ∠２＝∠３．
∴ 犪∥犫（同位角相等，两直线平行）．
如图１６２１６，∠１、∠２在直线犪、犫的内侧，且都在截线犾的同旁，像
这样的一对角叫作同旁内角．
本题的结论表明：同旁内角互补，两直线平行．
反过来也是正确的，即：两直线平行，同旁内角互补．
能利用“内错角相等，两直线平行”来证明“同旁内角互补，两直线
平行”吗？如何证明“两直线平行，同旁内角互补”？
例８ 如图１６２１７，已知：犅犈平分∠犃犅犆，∠１＝∠２．
求证：犇犈∥犅犆．
分析 如图１６２１７，将∠犈犅犆记作∠３，要证明
犇犈∥犅犆，只要证明∠２＝∠３．已知犅犈平分∠犃犅犆，
即有∠１＝∠３，又已知∠１＝∠２，由此可得∠２＝∠３．
证明 如图１６２１７， ∵ 犅犈平分∠犃犅犆， 图１６２１７
∴ ∠１＝∠３．
又∵ ∠１＝∠２，
∴ ∠２＝∠３．
∴ 犇犈∥犅犆（内错角相等，两直线平行）．
例９ 如图１６２１８，直线犈犉、犃犅相交于点犃，犃犅∥犇犈，犈犉∥犅犆，
∠犈＝１３０°．求∠犅的度数．
４ ５
１６．２ 平行线分析 由已知犈犉∥犅犆，可得∠犅＋∠犅犃犈＝１８０°，因此要求∠犅，只要
求出∠犅犃犈即可．又因为已知∠犈＝１３０°，只需寻找∠犅犃犈与∠犈之间的关
系，而这可以由已知条件犃犅∥犇犈得到．
解 ∵ 犃犅∥犇犈，
∴ ∠犅犃犈＝∠犈（两直线平行，内错角相等）．
∵ ∠犈＝１３０°，
∴ ∠犅犃犈＝１３０°．
图１６２１８
又∵ 犈犉∥犅犆，
∴ ∠犅＋∠犅犃犈＝１８０°（两直线平行，同旁内角互补）．
∴ ∠犅＝１８０°－∠犅犃犈＝１８０°－１３０°＝５０°．
课堂练习１６．２（５）
１．填空题：
A D
（１）如图， ∵ ∠犅＋∠犅犆犇＝１８０°，
∴ ∥ （
B E
）； C
（第１题）
（２）如图， ∵ 犃犇∥犅犆，
∴ ∠犇＋∠ ＝１８０°（ ）．
２．如图，已知：犃犆与犅犇相交于点犗，∠犃＝∠犃犗犅，∠犆＝
∠犆犗犇．求证：犃犅∥犆犇．
A
C
D 1
E
O
B
A B
C D
（第２题） （第３题）
３．如图，已知：点犇在线段犃犅上，∠１＝∠犃，犇犈∥犃犆．求证：
犇犈平分∠犆犇犅．
１６
４６
第 相交线与平行线
章例１０ 如图１６２１９，已知：∠犅＝∠犇，犃犅∥犆犇．
求证：犇犈∥犅犉．
分析 要证明犇犈∥犅犉，只要证明∠犃犗犈＝∠犅．
因为已知∠犅＝∠犇，所以只需证明∠犃犗犈＝∠犇，而
这可以由已知条件犃犅∥犆犇得到．
图１６２１９
证明 ∵ 犃犅∥犆犇，
∴ ∠犃犗犈＝∠犇（两直线平行，同位角相等）．
又∵ ∠犅＝∠犇，
∴ ∠犃犗犈＝∠犅．
∴ 犇犈∥犅犉（同位角相等，两直线平行）．
例１１ 如图１６２２０，已知：犃犅∥犆犇，∠１＝∠犃．
求证：∠２＝∠犆．
A B
分析 要证明∠２＝∠犆，只要证明犈犉∥犆犇，
1
E F
又因为犃犅∥犆犇，即证犈犉∥犃犅． 2
证明 ∵ ∠１＝∠犃，
C D
∴ 犈犉∥犃犅（内错角相等，两直线平行）．
图１６２２０
又∵ 犃犅∥犆犇，
∴ 犈犉∥犆犇（平行的传递性）．
∴ ∠２＝∠犆（两直线平行，内错角相等）．
例１２ 如图１６２２１，已知：犇、犈、犉分别是线段犃犆、犃犅、犅犆上的
点，犇犉∥犃犅，∠犇犉犈＝∠犃．
A
求证：∠犈犉犅＝∠犆．
E
分析 要证明∠犈犉犅＝∠犆，即证犈犉∥犃犆，只 D
要寻找犈犉与犃犆被直线犃犅（或直线犇犉）所截得到的
B C
F
一对相等的同位角（或一对相等的内错角，或一对互
图１６２２１
补的同旁内角）．
证明 ∵ 犇犉∥犃犅，
４ ７
１６．２ 平行线∴ ∠犅犈犉＝∠犇犉犈（两直线平行，内错角相等）．
又∵ ∠犇犉犈＝∠犃，
∴ ∠犅犈犉＝∠犃．
∴ 犈犉∥犃犆（同位角相等，两直线平行）．
∴ ∠犈犉犅＝∠犆（两直线平行，同位角相等）．
课堂练习１６．２（６）
１．如图，点犈、犉分别在线段犃犇、犅犆上，
D C
G
线段犃犆、犈犉交于点犌，犃犅∥犈犉∥犇犆．找出图 E F
中所有与∠犆犌犉相等的角．
２．如图，已知：犃犅∥犆犇，∠犅＋∠犇＝１８０°． A B
（第１题）
求证：犆犅∥犇犈．
A
D C
C
B
D E A B
（第２题） （第３题）
３．如图，已知： ∠犃＝∠犆，犃犅∥犇犆．求证：犃犇∥犅犆．
习题１６．２
１．如图，已知犘是线段犅犆上一点．
（１）过点犘画犘犇平行于犃犅，交犃犆于点犇；
（２）过点犘画犘犈平行于犃犆，交犃犅于点犈．
（第１题）
１６
４８
第 相交线与平行线
章２．如图，两条直线犾、犾被直线犾所截，图中的同位角有 对，
１ ２ ３
内错角有 对，同旁内角有 对．
（第２题） （第３题）
３．如图，直线犇犈、犅犆被直线犃犅所截，与∠犅成内错角的是 ，
与∠犅成同旁内角的是 ．直线犇犈、犅犆被直线犃犆所截，与∠犆成内
错角的是 ．
４．下列图中不能判定直线犪、犫平行的是 （ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
５．如图，已知：∠１＝∠２＝∠３，求证：犃犅∥犆犇，犈犉∥犕犖．把以下解
答过程补充完整．
解：∵ ∠１＝∠２，
∠１＝∠４（ ），
∴ ∠ ＝∠ ．
∴ 犃犅∥犆犇（ ）．
又∵ ∠１＝∠３，
（第５题）
∴ ∠ ＝∠ ．
∴ 犈犉∥犕犖（ ）．
４ ９
１６．２ 平行线６．填空题：
（１）如图，如果∠１＝∠２，那么 ∥ ，推理依据是
；
（２）如图，如果∠３＝∠４，那么 ∥ ，推理依据是
；
（３）如图，如果∠犃犅犆＋∠犅犆犇＝１８０°，那么 ∥ ，推
理依据是 ．
（第６题） （第７题）
７．如图，点犘在直线犆犇上，已知∠犅犃犘＋∠犃犘犇＝１８０°，∠１＝∠２．
求证：犃犈∥犘犉．
８．如图，已知犃犅∥犇犆，犃犇∥犅犆．请填写恰当
的推理依据．
（１）因为犃犅∥犇犆，根据 ，得
（第８题）
∠７＝∠８；
（２）因为犃犇∥犅犆，所以∠１＝∠２（ ）；
（３）因为犃犅∥犇犆，根据 ，得 ∠犃犅犆＋∠犅犆犇＝１８０°；
（４）因为犃犇∥犅犆，所以 ∠犃犇犆＋∠犅犆犇＝１８０°（ ）．
９．如图，两条直线犪、犫分别与另两条直线犾、犾相
１ ２
交，已知∠１＋∠２＝１８０°，∠３＝１１０°，那么∠４的度数是多
少？为什么？请为以下解答补充恰当的推理依据．
解：由∠１＝∠５，∠２＝∠６（ ），
又 ∠１＋∠２＝１８０°，得 ∠５＋∠６＝１８０°．
（第９题）
１６
５０
第 相交线与平行线
章所以犾∥犾（ ）．
１ ２
由此得 ∠４＝∠７（ ）．
由 ∠７＝∠３（ ），又 ∠３＝１１０°，得 ∠７＝１１０°．
所以 ∠４＝１１０°．
１０．如图，已知犃犅∥犆犇，犈、犅、犉三点共线，∠犇犉犈＝１３５°．那么
∠犃犅犈的度数是多少？为什么？
（第１０题） （第１１题）
１１．如图，已知犃犅∥犆犇，犆犈平分∠犃犆犇，且交犃犅于点犈，∠犃＝
１１８°．那么∠２的度数是多少？为什么？
１２．对于同一平面上的直线犪、犫、犮，如果犪与犫平行，犮与犪相交，那
么犮与犫的位置关系是相交还是平行？
１３．潜望镜是一种从水下观察水面上事物的仪器，它通过两个平行的平面
镜反射实现观察．如图，光线经过镜子反射时，∠１＝∠２，∠３＝∠４．请解释
为什么进入潜望镜的光线和离开潜望镜的光线是平行的．
1
2
3
4
（第１３题）
５ １
１６．２ 平行线１４．如图，已知：∠犆犇犃＝∠犆犅犃，犇犈平分∠犆犇犃，犅犉平分∠犆犅犃，
且∠１＝∠２．求证：犇犈∥犉犅．
（第１４题） （第１５题）
１５．如图，已知：犃犇∥犅犆，∠犅＝∠犇．求证：∠犈＝∠犉．
１６
５２
第 相交线与平行线
章１６．３
命题与证明
１．命题
前面我们见过一些可以判断真假的语句．例如：
（１）两个有理数相乘，同号得正，异号得负；
（２）已知犪、犫是任意两个数，如果犪２＝犫２ ，那么犪＝犫；
（３）对顶角相等；
（４）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行；
（５）两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等．
像这样，用自然语言、符号或式子表达，且可以判断其真假的语句叫作
命题．正确的命题叫作真命题，错误的命题叫作假命题．上述命题中，（１）（３）
（４）（５）都可以被证明是真命题；而（２）是假命题，比如，犪＝１，犫＝－１，虽然
犪２＝犫２＝１，但是犪≠犫．
数学命题通常由条件、结论两部分组成．命题常可以写成“如果……，那
么……”的形式．其中，用“如果”开始的部分是条件，用“那么”开始的部分是结论．
命题（３）“对顶角相等”是一个简洁表述的命题，它也可以改写成“如果……，
那么……”的形式，叙述为“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”．
由观察、实验、归纳和类比等方法得出的命题，可能是真命题，也可能
是假命题．
例１ 说出下列命题的条件和结论，并指出它们是真命题还是假命题：
（１）如果犪＝犫，那么犪＋犮＝犫＋犮；
（２）如果犪＋犮＝犫＋犮，那么犪＝犫；
（３）对顶角相等；
（４）相等的角是对顶角．
解 （１）这个命题的条件是：犪＝犫；结论是：犪＋犮＝犫＋犮．它是真命题．
（２）这个命题的条件是：犪＋犮＝犫＋犮；结论是：犪＝犫．它是真命题．
（３）这个命题的条件是：两个角是对顶角；结论是：这两个角相等．它是
真命题．
５ ３
１６．３ 命题与证明（４）这个命题可以写成：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角．所以，
这个命题的条件是：两个角相等；结论是：这两个角是对顶角．它是假命题．
怎样说明“相等的角是对顶角”是假命题？
例１中，命题（１）的条件和结论恰好分别是命题（２）的结论和条件；命题
（３）的条件和结论也恰好分别是命题（４）的结论和条件．像这样，在两个命题
中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论又
是第二个命题的条件，那么这两个命题叫作互逆命题．如果把其中一个命
题叫作原命题，那么另外一个命题就叫作它的逆命题．
例１中，命题（１）和命题（２）就是互逆命题，如果命题（１）是原命题，那么
命题（２）就是命题（１）的逆命题，这两个命题都是真命题．命题（３）和命题（４）也
是互逆命题，其中命题（３）是真命题，而命题（４）是假命题．
原命题是真命题时，其逆命题不一定是真命题．
课堂练习１６．３（１）
１．请举出一些命题，并指出它们是真命题还是假命题．
２．判断下列命题是真命题还是假命题：
（１）两直线平行，同旁内角互补；
（２）经过直线外一点，有且只有一条直线与该直线平行；
（３）同位角相等；
（４）两个锐角的和是钝角；
１
（５）犪犫与－ 犫犪是同类项；
２
（６）方程５狓－２＝７＋２狓的解是狓＝３．
３．写出命题“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”的
逆命题．这个逆命题是真命题还是假命题？
１６
５４
第 相交线与平行线
章２．证明
我们知道，下列命题都是真命题：
１ １
（１）如果 犪＝ 犫，那么犪＝犫；
３ ３
（２）如果－２犪＝－２犫，那么犪＝犫．
小海由此得到一个猜想：已知任意三个数犿、犪、犫，如果犿犪＝
犿犫，那么犪＝犫．你认为小海的猜想是真命题吗？为什么？
除了公理之外，真命题需要经过证明才能确认．
证明一个命题为真，先明确“已知”“求证”，再“证明”．其中，“已知”是命
题的条件，“求证”是命题的结论，“证明”是在“已知”和“求证”之间建立逻辑
联系的完整推理过程．在初中平面几何中，通常遵循步骤：
（１）根据题意画出示意图；
（２）根据条件和结论，参照示意图，写出“已知”和“求证”；
（３）写出由条件推出结论的完整过程．
下面，我们以证明命题“两条平行直线被第三条直线所截，一对内错角的
平分线互相平行”为例来说明．
如图１６３１，已知：犃犅∥犆犇，直线犈犉分别与犃犅、
犆犇相交于点犌、犎，犌犕、犎犖分别平分∠犃犌犎、∠犇犎犌．
求证：犌犕∥犎犖．
分析 如图１６３１，要证明犌犕∥犎犖，只要证明
∠１＝∠２．由已知条件犌犕、犎犖分别平分∠犃犌犎、
∠犇犎犌，只需证明∠犃犌犎＝∠犇犎犌，而这可以由已知
图１６３１
条件犃犅∥犆犇得到．
证明 如图１６３１，∵ 犃犅∥犆犇，
∴ ∠犃犌犎＝∠犇犎犌（两直线平行，内错角相等）．
又∵ 犌犕、犎犖分别平分∠犃犌犎、∠犇犎犌，
５ ５
１６．３ 命题与证明１ １
∴ ∠１＝ ∠犃犌犎，∠２＝ ∠犇犎犌．
２ ２
∴ ∠１＝∠２，
∴ 犌犕∥犎犖 （内错角相等，两直线平行）．
例２ 如图１６３２，已知：∠犃＝∠犇，∠犆＝∠犉．
求证：∠犉犅犃＝∠犆．
分析 要证明 ∠犉犅犃＝ ∠犆， 只要证明 ∠犉＝
∠犉犅犃，从而只需证明犃犆∥犉犇，而这可以由已知条件
∠犃＝∠犇得到．
图１６３２
证明 ∵ ∠犃＝∠犇，
∴ 犃犆∥犉犇（内错角相等，两直线平行）．
∴ ∠犉＝∠犉犅犃（两直线平行，内错角相等）．
又∵ ∠犆＝∠犉，
∴ ∠犉犅犃＝∠犆．
要判定一个命题是假命题，有时只需举出一个符合命题的条件，但不满
足命题的结论的例子．这样的例子通常称为反例．
例如，前面“思考”中小海猜想的命题 “已知任意三个数犿、犪、犫，如果
犿犪＝犿犫，那么犪＝犫”是假命题，可以举出一个反例：当犿＝０时，有０×２＝
０×４，但是２≠４．
又如，“互为补角的两个角中一定有一个锐角”是假命题，可以举出反例：
两个直角互为补角，但它们都不是锐角．
课堂练习１６．３（２）
１．如图，请利用∠１到∠８这８个角，根据 A D
1 8
2 7
题目中的条件，补全结论，并给予证明．
（１）已知犃犅∥犇犆，可以推出哪些角相等？
6
3
（２）已知犃犇∥犅犆，可以推出哪些角相等？
B
4 5
C
（第１题）
１６
５６
第 相交线与平行线
章２．命题“如果两个角是两条直线被第三条直线所截得到的同旁内角，那
么这两个角一定互补”是真命题吗？为什么？
３．命题“如果｜犪｜＝｜犫｜，那么犪＝犫”．请判断这个命题的真假．若是真
命题，请证明；若是假命题，请举一个反例，再添加一个适当的条件，使
其成为一个真命题．
习题１６．３
１．下列语句中，哪些是命题？
（１）对顶角相等吗？
（２）如果犪＝犫，犪＝犮，那么犫＝犮；
（３）不相交的两条直线是平行线；
（４）过直线犾外一点犗画直线犾的平行线；
（５）两条直线相交只有一个交点．
２．说出下列命题的条件和结论，并指出它们是真命题还是假命题：
（１）如果两个角相等，那么这两个角是直角；
（２）如果犗是线段犃犅的中点，那么犃犗＝犅犗；
（３）如果两条直线被第三条直线所截，那么同位角相等；
（４）内错角相等，两直线平行．
３．一个由４条线段构成的“鱼”形图案如图所示，已
知 ∠１＝６０°，∠２＝６０°，∠３＝１２０°．找出图中所有的平
行线，并加以证明．
（第３题）
４．已知命题 “如图，已知点犅、犉、犆、犈在同一直线上，∠犃＝∠犇，
５ ７
１６．３ 命题与证明则犃犅∥犇犈”．判断这个命题是真命题还是假命题．若是真命题，请证明；若
是假命题，请添加一个适当的条件使它成为真命题，再证明．
（第４题） （第５题）
５．如图，在①犃犅∥犆犇，②∠犃＝３０°，③∠犆犅犇＝
３０°，④∠犆犇犃＝３０°四项中，请选择其中两个作为条件，
一个作为结论，构造一个真命题，并证明．
６．如图，已知：犃犅∥犆犇，犈犉平分 ∠犘犈犅，犌犎
平分 ∠犈犌犇．求证：犈犉∥犌犎．
（第６题）
对于这道题，小华的证明过程如下：
１６
５８
第 相交线与平行线
章
证明：∵ 犃犅∥犆犇，
∴ ∠犘犈犅＝∠犈犌犇（两直线平行，同位角相等）．
∵ 犈犉平分 ∠犘犈犅，犌犎平分 ∠犈犌犇，
１ １
∴ ∠犉犈犅＝ ∠犘犈犅，∠犎犌犇＝ ∠犈犌犇．
２ ２
∴ ∠犉犈犅＝∠犎犌犇．
∴ 犈犉∥犌犎（同位角相等，两直线平行）．
（１）请找出小华出错的地方，并指出错误的原因；
（２）请写出本题正确的证明过程．证明的必要性
有学生认为，以前我们通过观察、实验和猜想就可以得到正确的结论，
那么为什么还要学习证明呢？
小海通过多个例子得到一个猜想：已知任意三个数犿、犪、犫，如果犿犪＝
犿犫，那么犪＝犫．但当犿＝０时这个猜想是不对的，所以这样的归纳推理是不
可靠的．
图１ 图２
观察：图１是一个由４个不同的小块（用不同颜色区分）拼成的图形；图２
是把图１中的４个小块打乱顺序后，重新拼成的图形．图１和图２都是由相同
的四个小块拼成的，为什么看起来图１会少了一个小正方形呢？这个消失的小
正方形去哪里了呢？实际上，在图１和图２中，红色三角形与蓝色三角形的斜
边并不在同一直线上，目测不容易察觉，容易误认为图１和图２这两个拼成的
图形都是三角形．
这就是著名数学科普作家马丁·加德纳（ＭａｒｔｉｎＧａｒｄｎｅｒ，１９１４—２０１０）于
１９５６年发表的一道数学趣题———消失的正方形．这个例子告诉我们一个道理：
“眼见未必为实”．
因此，对于数学命题真假的判断，仅仅通过观察、实验和猜想等是不够
的，还必须借助严密的逻辑推理才能做到“言之有据”，令人信服．
５ ９
阅读材料１．基本概念：对顶角，两条直线的夹角，两条直线互相垂直，点到直线
的距离，平行线，同位角，内错角，同旁内角，命题，真命题，假命题，原
命题，逆命题，互逆命题．
２．相交线：
（１）两点确定一条直线．
（２）对顶角相等．
（３）在同一平面上，经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线．
３．平行线：
（１）平行公理：经过直线外的一点，有且只有一条直线与该直线平行．
（２）平行的传递性：在同一平面上，如果两条直线都和第三条直线平行，
那么这两条直线也互相平行．
（３）平行线的判定：
同位角相等，两直线平行．
内错角相等，两直线平行．
同旁内角互补，两直线平行．
（４）平行线的性质：
两直线平行，同位角相等．
两直线平行，内错角相等．
两直线平行，同旁内角互补．
４．命题与证明：判定一个命题（除公理外）为真，需要证明；判定一个命
题为假的常用方法是举一个反例．
１６
６０
第 相交线与平行线
章１．如图，已知犗犆平分∠犃犗犅．
（１）犘是射线犗犆上一点，过点犘画犘犕⊥犗犃，犘犖⊥犗犅，垂足分别为
犕、犖，比较垂线段犘犕、犘犖的长短；
（２）通过上述操作，你有何发现？
（第１题） （第２题）
２．如图，如果 ，那么犃犅∥犆犇 （请添加一个适当的条件，
使该命题为真命题）．
３．选择题：
（１）如图（１），已知∠１＝∠５，那么与∠２相等的角（不包括∠２本身）共有
（ ）
Ａ．１个； Ｂ．２个；
Ｃ．３个； Ｄ．４个．
（１） （２）
（第３题）
（２）如图（２），已知∠１＝∠２＝∠３＝∠４，那么下列说法中错误的是（ ）
Ａ．∠５与∠８互补； Ｂ．∠７与∠８互补；
Ｃ．∠６与∠７互补； Ｄ．∠５与∠６相等．
６ １
复习题（３）如果两条平行直线被第三条直线所截，那么下列说法中错误的是 （ ）
Ａ．一对同位角的平分线互相平行；
Ｂ．一对内错角的平分线互相平行；
Ｃ．一对同旁内角的平分线互相平行；
Ｄ．一对同旁内角的平分线互相垂直．
４．如图，已知：犃犅、犆犇相交于点犗，∠犃＝∠犅．求
证：∠犆＝∠犇．
（第４题）
５．在下列各图中，直线犮分别与直线犪、犫相交．已知
犪∥犫，分别计算∠１的度数．
（１） （２） （３）
（第５题）
６．已知下面４个命题：①钝角大于直角；②同位角相等，两直线平行；
③相等的角都是钝角；④两直线平行，同位角相等．
回答下列问题：
（１）这些命题中有互逆命题吗？若有，指出哪两个命题是互逆命题 （写出
序号即可）．
（２）这些命题中有假命题吗？若有，指出其中的假命题（写出序号即可）．
７．如图，已知∠犃的两边与∠犇的两边分别平行，且∠犇比∠犃的３倍
少２０°．求∠犇的度数．
（第７题）
１６
６２
第 相交线与平行线
章８．如图，已知：犃犇⊥犅犆，犉犌⊥犅犆，垂足分别为犇、犌，∠１＝∠２．求
证：犈犇∥犃犆．
（第８题） （第９题）
９．用反证法证明．如图，已知：直线犪、犫被直线犮所截，∠１＋∠２≠１８０°．
求证：犪与犫不平行．
证明：假设 ，则根据 ，可得
∠１＋∠２＝１８０°．
这与 矛盾，故假设不成立，犪与犫不平行．
１０．请回答下列问题：
（１）如图（１），已知犃犅∥犆犇，那么 ∠犃＋∠犆等于多少度？为什么？
（２）如图（２），已知犃犅∥犆犇，那么 ∠犃＋∠犃犕犆＋∠犆等于多少度？
为什么？
（３）如图（３），已知犃犅∥犆犇，那么 ∠犃、∠犆及∠犃犕犆有怎样的数量
关系？为什么？
（１） （２） （３）
（第１０题）
６ ３
复习题１７
第 章
三角形
三角形是基本的几何图形．我们在小学已经学过三角形的一些
初步知识，本章将比较系统地学习三角形的有关概念、三边之间的
关系及内角和的性质，严格地证明“三角形的内角和等于１８０°”．
依据三角形全等的判定方法，可识别在不同位置呈现出不同状
态的全等三角形．依据全等三角形的性质，可证明几何图形中某些
线段相等、角相等．这是平面几何研究问题的一种基本思路和方法．
本章还将学习用尺规作图作一些基本图形，并用三角形全等说
明作图的合理性．尺规作图的思想源于古希腊，通过对作图原理的
分析，可以更好地帮助我们将几何直观和逻辑推理结合在一起．
书书书１７．１
三角形的有关概念
定义 不在同一直线上的三点用线段两两连接而成的图形叫作三角形．
其中，三个点叫作三角形的顶点；连接顶点的三条线段叫作三角形的边，边
的长度叫作边长；顶点处两边组成的角叫作三角形的内角，简称三角形
的角．
如图１７１１，线段犃犅、犅犆、犆犃是三角形的
A
边；点犃、犅、犆是三角形的顶点；∠犃、∠犅、∠犆
是三角形的内角． c b
顶点是犃、犅、犆的三角形，记作“△犃犅犆”，读
B C
a
作“三角形犃犅犆”．顶点犃、犅、犆所对的边通常分别
图１７１１
用犪、犫、犮表示，如图１７１１所示．
不在同一直线上的三点可以用线段两两连接构成一个三角形，是不是任
意三条线段都可以组成一个三角形呢？
给定三条线段，尝试用直尺和圆规作出一个三角形．
（１）线段的长分别是７ｃｍ、１２ｃｍ、１５ｃｍ；
（２）线段的长分别是７ｃｍ、９ｃｍ、１５ｃｍ；
（３）线段的长分别是７ｃｍ、８ｃｍ、１５ｃｍ；
（４）线段的长分别是７ｃｍ、７ｃｍ、１５ｃｍ．
通过操作可以知道，第（１）（２）组中的三条线段能作出三角形，第（３）（４）
组中的三条线段不能作出三角形．
三条线段的长度必须具备怎样的条件才能作出一个三角形呢？
如果两条线段之和小于等于第三条线段，那么这三条线段不能组成一个
６ ５
１７．１ 三角形的有关概念三角形，我们基于此给出如下公理：
公理 三角形任意两边的和大于第三边．
此公理也称为“三角不等式”，其确切意思是：如果三角形的三条边长分
别是犪、犫、犮，那么它们必定满足“三角不等式”，即犪＋犫＞犮、犫＋犮＞犪、犮＋
犪＞犫．利用不等式的性质，由上述公理可以推出：
三角形任意两边的差小于第三边．
由这个公理，如果三条线段的长度不满足“三角不等式”，那么它们不能
组成一个三角形；如果三条线段的长度满足“三角不等式”，那么它们可以组
成一个三角形．
例１ 有两根长度分别为５ｃｍ、７ｃｍ的木棒，用长度为１３ｃｍ的木棒与
它们能拼成一个三角形吗？用长度为２ｃｍ的木棒呢？
解 用长度为１３ｃｍ的木棒时，因为５＋７＝１２＜１３，所以这三根木棒不
能拼成三角形．用长度为２ｃｍ的木棒时，因为２＋５＝７，所以这三根木棒也不
能拼成三角形．
图１７１２中各三角形的内角有什么特征？
A
D
G
B C E F H I
图１７１２
观察图１７１２中各三角形的三个角，可以发现，△犃犅犆的三个角均为锐
角；△犇犈犉中有一个角是直角；△犌犎犐中有一个角是钝角．
１７
６６
第 三角形
章定义 三个角都是锐角的三角形叫作锐角三角形；有一个角是直角的三
角形叫作直角三角形；有一个角是钝角的三角形叫作钝角三角形．
这样，三角形可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形这三类，每
个三角形属于且只属于其中的一类．
在直角三角形中，直角的两条边叫作直角边，直角所对的边叫作斜边．直
角三角形可用符号 “Ｒｔ△”表示， 例如直角三角形 犃犅犆可以表示为
“Ｒｔ△犃犅犆”，读作“直角三角形犃犅犆”．
定义 有两边相等的三角形叫作等腰三角形，特别地，三边都相等的三
角形叫作等边三角形．
图１７１３中，△犃犅犆的三边互不相等，不是等腰三角形；△犇犈犉中有两
条边犇犈、犇犉相等，是等腰三角形；△犌犎犐的三边都相等，是等边三角形．
D
A G
5 5
4 5 4 4
B C E F H I
6 2 4
图１７１３
既是等腰三角形又是直角三角形的三角形叫作等腰直角三角形．例如，有
４５°角的三角尺的形状是等腰直角三角形．
课堂练习１７．１（１）
１．下列长度的三根铁条能首尾顺次连接做成三角形框架的是 （ ）
Ａ．２３ｃｍ、１０ｃｍ、８ｃｍ；
Ｂ．１５ｃｍ、２３ｃｍ、８ｃｍ；
Ｃ．１８ｃｍ、１０ｃｍ、２３ｃｍ；
Ｄ．１８ｃｍ、１０ｃｍ、８ｃｍ．
６ ７
１７．１ 三角形的有关概念２．如果一个等腰三角形的一边长为５ｃｍ，周长为１７ｃｍ，那么其他
两边的长分别可能是多少？
定义 给定一个三角形，从一个顶点向它的对
严格地说，三角形
边所在的直线画垂线，此顶点和垂足之间的线段叫
的高、中线与角平分线
作三角形（此边上）的高．连接一个顶点及其对边中 均需明确所在的边或
角，但在不会引起混淆
点的线段叫作三角形（此边上）的中线．三角形一个
时也可以省略．
内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点
与交点之间的线段叫作三角形（此角）的角平分线．
A A A
B C B C B C
D E F
图１７１４
在图１７１４（１）中，犃犇⊥犅犆，垂足为犇，线段犃犇是△犃犅犆的边犅犆上
的高，也可以写成“线段犃犇是△犃犅犆的高”；在图１７１４（２）中，点犈在边
犅犆上，犅犈＝犆犈，线段犃犈是△犃犅犆的中线；在图１７１４（３）中，∠犅犃犉＝
∠犆犃犉，线段犃犉是△犃犅犆的角平分线．
（１）在图１７１５（１）（２）（３）中，分别画三个三角形的三条中线；
（２）在图１７１５（４）（５）（６）中，分别画三个三角形的三条角平
分线；
（３）在图１７１５（７）（８）（９）中，分别画三个三角形的三条高．
１７
６８
第 三角形
章A
D
G
B C E F H I
A
D
G
B C E F H I
A
D
G
B C E F H I
图１７１５
观察所画图形可以发现：
三角形的三条中线相交于三角形内一点．三角形的三条角平分线相交于三
角形内一点．三角形的三条高所在直线相交于一点，它的位置情况如下：锐角
三角形时在三角形内；直角三角形时在直角顶点；钝角三角形时在三角形外．
例２ 如图１７１６，在△犃犅犆中，犃犇是边
A
犅犆上的中线，犃犈⊥犅犆，垂足为犈．
（１）犃犈是图１７１６中哪几个三角形的高？
（２）找出图１７１６中面积相等的两个三角形，
并加以证明． B
D E
C
解 （１）犃犈 是 △犃犅犆、 △犃犅犇、 △犃犅犈、 图１７１６
△犃犇犆、△犃犇犈和△犃犈犆的高．
（２）△犃犅犇与△犃犆犇的面积相等．证明如下：
６ ９
１７．１ 三角形的有关概念∵ 犃犇是边犅犆上的中线，
∴ 犅犇＝犇犆．
１ １
∴ 犅犇·犃犈＝ 犇犆·犃犈．
２ ２
由三角形的面积公式，可知△犃犅犇与△犃犆犇的面积相等．
课堂练习１７．１（２）
１．如图，犃犇、犅犈、犆犉是△犃犅犆的三条中线，那么犃犅＝
１
２ ＝２ ，犅犇＝ ，犃犈＝ ．
２
A
A
E
F E F
B C B C
D D
（第１题）
（第２题）
２．如图，犃犇、犅犈、犆犉是△犃犅犆的三条角平分线，那么∠犅犃犇＝
１
，∠犃犅犈＝ ，∠犃犆犅＝２ ＝２ ．
２
习题１７．１
１．以下列长度的各组线段为边能组成三角形的是 （ ）
Ａ．２ｃｍ、４ｃｍ、６ｃｍ；
Ｂ．２ｃｍ、５ｃｍ、６ｃｍ；
Ｃ．２ｃｍ、９ｃｍ、６ｃｍ；
Ｄ．１０ｃｍ、４ｃｍ、６ｃｍ．
１７
７０
第 三角形
章２．如图，如果犃犇、犃犈、犃犉分别是△犃犅犆的角平分线、中线和高，那
么 ∠ ＝∠ ＝９０°，∠ ＝∠ ，线段 ＝
．
A
A
B C
E D F B C
（第２题） （第３题）
３．如图，画出△犃犅犆的边犃犆上的高犅犇，再写出所得图形中的直角三
角形；画出△犃犅犆的边犃犅上的中线犆犈，再写出所得图形中面积相等的两个
三角形．
４．把一根长为１８ｃｍ的细木棒锯成三段，拼成一个等腰三角形．能拼成多
少种有一边长为４ｃｍ的等腰三角形？为什么？
７ １
１７．１ 三角形的有关概念１７．２
三角形的内角和
１．三角形的内角和
将一张三角形纸片的三个角撕下，拼在一起，如图１７２１所示．
你有何发现？
A
A
A
B C B C C B
图１７２１
三角形的内角和定理 三角形的内角和等于１８０°．
已知：∠犃、∠犅、∠犆是△犃犅犆的三个内角．
A
求证：∠犃＋∠犅＋∠犆＝１８０°．
E
分析 要证∠犃＋∠犅＋∠犆＝１８０°，即要证这
B D
三个角能合成一个平角．由以上操作可知，只要将 C
图１７２２
∠犃与∠犅转移到与∠犆共顶点即可，因此过
△犃犅犆的顶点犆作犃犅的平行线，如图１７２２所示． 由于证明的需要，
可以在原来的图形上添
证明 过点犆作犆犈∥犅犃，延长犅犆至犇，如
画一些线，像这样的线
图１７２２所示．由平行线的性质，得 叫作辅助线．辅助线通常
画成虚线，本定理的证
∠犃犆犈＝∠犃，∠犈犆犇＝∠犅．
明过程中添加了辅助线
因为∠犃犆犅＋∠犃犆犈＋∠犈犆犇＝１８０°，所以 犆犇、犆犈，如图１７２２
所示．
∠犃＋∠犅＋∠犃犆犅＝１８０°．
定理说明三角形的内角和与三角形的形状无关，
是一个常量．这是关于三角形的一个基本定理．
１７
７２
第 三角形
章一个三角形的三个内角中最多有几个钝角？几个直角？
例１ 在△犃犅犆中，∠犅＝３５°，∠犆＝５５°．求∠犃的度数，并判断
△犃犅犆的形状．
解 ∵ ∠犃、∠犅、∠犆是△犃犅犆的三个内角，
∴ ∠犃＋∠犅＋∠犆＝１８０°（三角形的内角和等于１８０°）．
又∵ ∠犅＝３５°，∠犆＝５５°，
∴ ∠犃＝１８０°－∠犅－∠犆＝１８０°－３５°－５５°＝９０°．
∴ △犃犅犆是一个直角三角形．
例２ 在△犃犅犆中，∠犃∶∠犅∶∠犆＝１∶２∶３，求∠犃、∠犅、∠犆
的度数．
解 根据题意，可设∠犃、∠犅、∠犆的度数分别为狓°、２狓°、３狓°．
∵ ∠犃、∠犅、∠犆是△犃犅犆的三个内角，
∴ ∠犃＋∠犅＋∠犆＝１８０°（三角形的内角和等于１８０°），
即 狓＋２狓＋３狓＝１８０．
∴ 狓＝３０．
∴ ∠犃＝３０°，∠犅＝６０°，∠犆＝９０°．
课堂练习１７．２（１）
１．已知△犃犅犆中两个内角的度数，判断△犃犅犆的形状：
（１）∠犃＝３０°，∠犅＝４０°；
A
（２）∠犅＝３２°，∠犆＝５８°；
（３）∠犃＝６０°，∠犆＝５０°．
２．如图， 在 △犃犅犆中， ∠犅犃犆＝６０°，
∠犆＝４５°，犃犇 是 △犃犅犆的角平分线．求
B C
D
∠犃犇犆的度数． （第２题）
７ ３
１７．２ 三角形的内角和２．三角形的外角及其性质
如图１７２３，延长△犃犅犆的一边犅犆，
A
得到∠犃犆犇．像这样，三角形一个内角的一
边与另一边的反向延长线所组成的角叫作三角
形（与此内角相邻）的外角．∠犃犆犇是△犃犅犆
B D
C
的一个外角，∠犃犆犅是与它相邻的内角，另 图１７２３
外两个内角∠犃、∠犅是与它不相邻的内角．
在一个三角形中，与一个内角相邻的外角有几个？它们有何关系？
A
如图１７２４，作犅犆的延长线犆犇，作犃犆
的延长线犆犈，可知∠犃犆犇、∠犅犆犈都是与
D
∠犃犆犅相邻的外角．这两个外角是对顶角，它 B
C
们的大小相等． E
图１７２４
如图１７２３，在△犃犅犆中，∠犃＝７５°，∠犅＝４０°，∠犃犆犇是
△犃犅犆的一个外角．可以由∠犃、∠犅求出∠犃犆犇吗？若可以，
∠犃犆犇与∠犃、∠犅之间有怎样的数量关系？任意一个三角形的一个
外角与它不相邻的两个内角是否都有这种关系？
由三角形的内角和定理可以推出下面的结论：
推论 三角形的外角等于与它不相邻的两
推论是由定理直接
推出的结论，可以作为
个内角的和．
进一步推理的依据．
１７
７４
第 三角形
章如图１７２５，已知：∠犃犆犇是△犃犅犆的一个
A
外角．
求证：∠犃犆犇＝∠犃＋∠犅．
证明 因为∠犃犆犇＋∠犃犆犅＝１８０°，又根据三角 B C D
形的内角和定理，有∠犃＋∠犅＋∠犃犆犅＝１８０°，所以 图１７２５
∠犃犆犇＋∠犃犆犅＝∠犃＋∠犅＋∠犃犆犅．从而∠犃犆犇＝
∠犃＋∠犅．
由此，容易得到三角形的外角有如下的性质：
三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角．
例３ 在△犃犅犆中，∠犃＝３０°，∠犆＝５０°．求
A
分别与∠犃犅犆、∠犃犆犅相邻的外角的度数．
解 如图１７ ２ ６，作犆犅的延长线犅犇，则 30°
∠犃犅犇是与∠犃犅犆相邻的一个外角．
50°
∵ ∠犃犅犇＝∠犃＋∠犃犆犅 （三角形的外角等 D B C E
于与它不相邻的两个内角的和）， 图１７２６
又∵ ∠犃＝３０°，∠犃犆犅＝５０°，
∴ ∠犃犅犇＝３０°＋５０°＝８０°．
作犅犆的延长线犆犈，则∠犃犆犈是与∠犃犆犅相邻的一个外角．
∵ ∠犃犆犈＋∠犃犆犅＝１８０°，
∴ ∠犃犆犈＝１８０°－∠犃犆犅＝１８０°－５０°＝１３０°．
例４ 如图１７２７，∠犅犃犆＝７０°，犇是△犃犅犆
A
的边犅犆上一点，且∠犆犃犇＝∠犆，∠犃犇犅＝８０°．
（１）求∠犆的度数；
（２）求∠犅的度数．
B C
分析 考虑到△犃犇犆中与∠犃犇犅不相邻的两 D
图１７２７
个内角∠犆犃犇、∠犆相等，所以利用“三角形的外角
等于与它不相邻的两个内角的和”即可求得∠犆的度数；再求∠犅的度数，只
７ ５
１７．２ 三角形的内角和需在△犃犅犆中利用“三角形的内角和等于１８０°”即可．
解 （１）∵ ∠犃犇犅＝∠犆犃犇＋∠犆（三角形的外角等于与它不相邻的
两个内角的和），
又∵ ∠犆犃犇＝∠犆，∠犃犇犅＝８０°，
∴ ∠犆＋∠犆＝８０°．
１
∴ ∠犆＝ ×８０°＝４０°．
２
（２）∵ ∠犅犃犆＋∠犅＋∠犆＝１８０°（三角形的内角和等于１８０°），
∠犅犃犆＝７０°，∠犆＝４０°，
∴ ７０°＋∠犅＋４０°＝１８０°．
∴ ∠犅＝１８０°－７０°－４０°＝７０°．
课堂练习１７．２（２）
１．求图中狓的值：
70°
70° 2x°
x° 120° 120°
43° x° x°
（第１题）
２．如图，∠１、∠２、∠３是△犃犅犆的三个内角，∠４、∠５是
△犃犅犆的外角．如果 ∠１＝８５°，∠５＝１３０°，求∠２、∠３、∠４的度数．
A
1
5
2 3
B
C
4
（第２题）
１７
７６
第 三角形
章例５ 如图１７２８，在△犃犅犆中，犇是边
A
E
犅犆上一点，且∠犃犇犈＝∠犅．∠１与∠２相等吗？ 1
2
为什么？ B C
D
分析 考虑到 ∠犃犇犆＝ ∠犃犇犈＋ ∠２， 且 图１７２８
∠犃犇犆是 △犃犅犇的一个外角，利用“三角形的外
角等于与它不相邻的两个内角的和”即可推出∠１与∠２相等．
解 ∠１与∠２相等．理由如下：
∵ ∠犃犇犆＝∠犃犇犈＋∠２，
又∵ ∠犃犇犆＝∠犅＋∠１（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和），
∴ ∠犃犇犈＋∠２＝∠犅＋∠１．
又∵ ∠犃犇犈＝∠犅，
∴ ∠１＝∠２．
例６ 如图１７ ２ ９，已知直线犃犅、犆犇相交于点犗，∠犅＝∠犆，
∠犃＝４０°．求∠犇的度数．
C
B
O
A D
图１７２９
分析 要求 ∠犇的度数，根据“三角形的内角和定理”，并利用等量代换
即可．
解 ∵ ∠犃＋∠犆＋∠犃犗犆＝１８０°，
∠犇＋∠犅＋∠犅犗犇＝１８０°（三角形的内角和等于１８０°），
∴ ∠犃＋∠犆＋∠犃犗犆＝∠犇＋∠犅＋∠犅犗犇．
又∵ ∠犃犗犆＝∠犅犗犇 （对顶角相等），∠犆＝∠犅，
∴ ∠犃＝∠犇．
又∵ ∠犃＝４０°，
∴ ∠犇＝４０°．
７ ７
１７．２ 三角形的内角和可否借助“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”求出例６
中∠犇的度数？
对于三角形的每个内角，从与它相邻的两个外角中取一个，这样取得的
三个外角相加所得的和，叫作三角形的外角和．
三角形的内角和等于１８０°，那么三角形的外角和等于多少度？
例７ 如图１７ ２ １０，∠１、∠２、∠３是△犃犅犆的外角，求∠１＋
∠２＋∠３．
A
1
3
B
C
2
图１７２１０
解 ∵ ∠１＋∠犅犃犆＝１８０°，
∠２＋∠犃犅犆＝１８０°，
∠３＋∠犃犆犅＝１８０°，
∴ ∠１＋∠２＋∠３＋∠犅犃犆＋∠犃犅犆＋∠犃犆犅＝３×１８０°＝５４０°．
又∵ ∠犅犃犆＋∠犃犅犆＋∠犃犆犅＝１８０°（三角形的内角和等于１８０°），
∴ ∠１＋∠２＋∠３＋１８０°＝５４０°，
∴ ∠１＋∠２＋∠３＝３６０°．
由此，我们得到：
三角形的外角和等于３６０°．
１７
７８
第 三角形
章课堂练习１７．２（３）
１．如图，在△犃犅犆中，犇是边犅犆上一点，且∠１＝∠犅．∠犅犃犆
与∠２相等吗？为什么？
A
A
1 O
2
B C
D B C
（第１题） （第２题）
２．如图，在△犃犅犆中，∠犃＝７０°，∠犃犅犆、∠犃犆犅的平分线犗犅、
犗犆相交于点犗．求∠犅犗犆的度数．
习题１７．２
１．求下列各三角形中∠犆的度数：
A A
45° 50°
A
120°
60° 30°
B C B C B C
（第１题）
２．下列命题中正确的是 （ ）
Ａ．锐角三角形的三个内角都是锐角；
Ｂ．钝角三角形的三个内角都是钝角；
Ｃ．钝角三角形的内角和大于锐角三角形的内角和；
Ｄ．三角形中最小的两个内角的和必定大于９０°．
７ ９
１７．２ 三角形的内角和３．如图，求∠１、∠２、∠３的度数．
A
115°
1 D
E
1
45° 2 3 B C F
（第３题） （第４题）
４．如图，直线犇犉与△犃犅犆的两边犃犅、犃犆分别相交于犇、犈两点，与
犅犆的延长线相交于点犉，∠犅＝５０°，∠１＝７６°，∠犉＝３０°．求∠犃的度数．
５．如图，已知：在△犃犅犆中，∠犅犃犆＝９０°，
A
犃犇⊥犅犆，垂足为犇，犅犉平分∠犃犅犆，且交犃犇于
E F
点犈，交犃犆于点犉．求证：∠犅犈犇＝∠犃犉犅．把以
B C
下解答过程补充完整． D
（第５题）
解：因为犅犉平分∠犃犅犆，所以∠犃犅犉＝ ．
在△犃犅犉中，
∠犃犉犅＋∠犃犅犉＋∠犅犃犉＝１８０°（ ）．
在△犅犇犈中，
∠犅犈犇＋∠犈犅犇＋∠犅犇犈＝１８０°（ ）．
由犃犇⊥犅犆，得∠犅犇犈＝９０°．
又因为∠犅犃犆＝９０°，所以∠犅犈犇＝∠犃犉犅．
６．如图，犃犇与犅犆相交于点犗．
（１）如果 ∠犃＝∠犆，那么 ∠犅与 ∠犇相等吗？为什么？
（２）如果 ∠犃＝∠犅，∠犆＝∠犇，那么犃犅与犆犇平行吗？为什么？
A B
O
C D
（第６题）
１７
８０
第 三角形
章７．如图，犘是 △犃犅犆内一点，∠犃犅犆＝８５°，∠１＝∠２．求∠犅犘犆的
度数．
A
B
1 D E
P O
2
A C B C
（第７题） （第８题）
８．如图，在△犃犅犆中，犇、犈分别是边犃犅、犃犆上的点，犅犈、犆犇相
交于点犗．如果 ∠犃＝６０°，∠犃犆犇＝３５°，∠犃犅犈＝２５°，求∠犅犇犆和∠犆犗犈
的度数．
８ １
１７．２ 三角形的内角和１７．３
全等三角形及其性质
定义 如果一个图形经过平移、旋转、翻折后，与另一个图形能够完
全重合，那么这两个图形叫作全等形．是全等形的两个三角形叫作全等三
角形．
图１７３１中有四对三角形，每对中的△犃犅犆通过怎样的运动能
与另一个三角形重合？
A B A C
A B
B C C
D B C D
D A
E F E D E
图１７３１
把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫作对应顶点，重合的边叫
作对应边，重合的角叫作对应角．
例如，图１７３１（１）中，△犃犅犆和△犇犈犉是全
等三角形，记作△犃犅犆≌△犇犈犉，符号“≌”表示全
全等三角形指两个
三角形全等．在叙述时，
等，读作“全等于”．其中，点犃和点犇、点犅和点 通常把对应顶点的字母
写在对应的位置上．
犈、点犆和点犉分别是对应顶点；边犃犅和边犇犈、
边犅犆和边犈犉、边犃犆和边犇犉分别是对应边；∠犃和∠犇、∠犅和∠犈、
∠犆和∠犉分别是对应角．
由全等三角形的定义可知：
全等三角形的对应边相等，对应角相等．
１７
８２
第 三角形
章例如，图１７３１（１）中，△犃犅犆≌△犇犈犉，犃犅与犇犈是对应边，由全
等三角形的对应边相等，得犃犅＝犇犈．同样地，我们还可以得到犅犆＝犈犉，
犃犆＝犇犉．由全等三角形的对应角相等，可得∠犃＝∠犇，∠犅＝∠犈，
∠犆＝∠犉．
在图１７３１（２）、图１７３１（３）、图１７３１（４）中，分别都有两个
三角形全等，请分别说出它们的对应边、对应角的相等关系．
由全等三角形的定义可以得到：
如果两个三角形都与第三个三角形全等，那么这两个三角形全等．
这个性质叫作三角形全等的传递性．
例１ 如图１７ ３ ２，已知△犃犅犆≌△犇犈犉，犃犅＝２ｃｍ，∠犃＝６０°，
∠犅＝７０°．求犇犈的长，∠犇和∠犉的度数．
A D
B C F E
图１７３２
解 ∵ △犃犅犆≌△犇犈犉，顶点犃、犅、犆分别与顶点犇、犈、犉对应，
∴ 犃犅＝犇犈（全等三角形的对应边相等），
∠犃＝∠犇，∠犅＝∠犈（全等三角形的对应角相等）．
∵ 犃犅＝２ｃｍ，∠犃＝６０°，∠犅＝７０°，
∴ 犇犈＝２ｃｍ，∠犇＝６０°，∠犈＝７０°．
又∵ ∠犇＋∠犈＋∠犉＝１８０°（三角形的内角和等于１８０°），
∴ ∠犉＝５０°．
∴ 犇犈＝２ｃｍ，∠犇＝６０°，∠犉＝５０°．
８ ３
１７．３ 全等三角形及其性质课堂练习１７．３
１．图（１）（２）（３）中给出的每对三角形都是全等三角形．用符号表示各
对全等三角形，并指出它们的对应边和对应角．
C
H Q
A B P
D
G O N R
S
E F M T
（第１题）
２．如图，已知△犃犅犆≌△犇犈犉，顶点犃、犅、犆分别与顶点犇、
犈、犉对应．求图中狓、狔、狕的值．
D
A
A D
x
y°
2.1
z° F 2.7 z
109°
B
2 C y 50° 65° x°
B C F E
E
（第２题）
习题１７．３
１．分别在方格图中画出一个与△犃犅犆和四边形犃犅犆犇全等的图形．
１７
８４
第 三角形
章A
B
C
A
D
B
C
（第１题）
２．如图，已知△犃犅犆≌△犇犈犉，顶点犃、犅、犆分别与顶点犇、犈、犉
对应．求图中狓、狔的值．
A D
A D
x y°
F
2.1
y 60° 83° x°
B C B C F E
1.6 E
（第２题）
３．如图，已知△犃犅犆≌△犇犈犆，边犃犆和边
C
犇犆、边犆犅和边犆犈分别是对应边．∠犃犆犇和
D
∠犅犆犈相等吗？请说明理由．
A B
E
（第３题）
８ ５
１７．３ 全等三角形及其性质１７．４
三角形全等的判定
我们知道，如果△犃犅犆≌△犃′犅′犆′，那么它们的对应边相等，对应角相
等．反过来，如果△犃犅犆与△犃′犅′犆′的三条边对应相等，三个角对应相等，即
犃犅＝犃′犅′，犅犆＝犅′犆′，犆犃＝犆′犃′，
∠犃＝∠犃′，∠犅＝∠犅′，∠犆＝∠犆′，
那么就能判定△犃犅犆≌△犃′犅′犆′，如图１７４１所示．
A A′
B C B′ C′
图１７４１
能否在上述六组边或角相等的条件中选择部分条件直接判定两个三角形
全等呢？
下面，我们就对判定两个三角形全等的条件进行讨论．
如图１７４２（１），给定一个△犃犅犆．作一
作法
个△犃′犅′犆′，如图１７４２（２），使犃′犅′＝犃犅，
（１）作犃′犅′＝犃犅；
犅′犆′＝犅犆，犆′犃′＝犆犃．将作好的△犃′犅′犆′剪 （２）分别以点犃′、
犅′为圆心，以线段犃犆、
下来，经过平移、旋转、翻折后，能与△犃犅犆
犅犆的长为半径画弧，
完全重合吗？
两弧相交于点犆′；
（３）连 接 犃′犆′、
犅′犆′．
C C′
△犃′犅′犆′就是所求
的三角形，如图１７４
A B A′ B′ ２（２）所示．
图１７４２
１７
８６
第 三角形
章公理 三边对应相等的两个三角形全等 Ｓ为英文中ｓｉｄｅ
（边）的缩写，“ＳＳＳ”即
（简记为“边边边”或“ＳＳＳ”）．
“边边边”．
如图１７４２，在△犃犅犆和△犃′犅′犆′中，已知犃犅＝犃′犅′，犅犆＝犅′犆′，
犆犃＝犆′犃′，那么△犃犅犆≌△犃′犅′犆′．
如果一个三角形的三条边长固定，那么这个三角形的形状和大小就完全
确定了．三角形的这个性质叫作三角形的稳定性．三角形的稳定性在生产实践
中有广泛的应用．例如，桥梁拉杆、电视塔架底座、高压电线塔等都有三角形
结构．
例１ 如图１７４３，已知：在△犃犅犆中，犃犅＝犃犆，犇是犅犆的中点．
求证：△犃犅犇≌△犃犆犇．
分析 要证△犃犅犇≌△犃犆犇，根据上面的公理，只
A
需证这两个三角形的三边对应相等．
证明 ∵ 犇是犅犆的中点，
∴ 犅犇＝犆犇．
在△犃犅犇和△犃犆犇中， B D C
图１７４３
烄犃犅＝犃犆，
∵ 烅犅犇＝犆犇，
烆犃犇＝犃犇，
∴ △犃犅犇≌△犃犆犇 （ＳＳＳ）．
例２ 如图１７４４，已知：点犃、犅、犆、犇在同一直线上，犃犆＝犇犅，
犃犈＝犆犉，犅犈＝犇犉．
求证：△犃犅犈≌△犆犇犉．
８ ７
１７．４ 三角形全等的判定分析 要证△犃犅犈≌△犆犇犉，只需由已知犃犆＝
E
犇犅，推出犃犅＝犆犇，再利用“边边边”即可．
证明 ∵ 犃犆＝犇犅，
A B C D
∴ 犃犆－犅犆＝犇犅－犅犆．
F
∴ 犃犅＝犆犇．
图１７４４
在△犃犅犈和△犆犇犉中，
烄犃犅＝犆犇，
∵ 烅犃犈＝犆犉，
烆犅犈＝犇犉，
∴ △犃犅犈≌△犆犇犉（ＳＳＳ）．
课堂练习１７．４（１）
１．如图，已知：犃犅＝犃犆，犅犇＝犆犈，犃是犇犈的中点．求证：
△犃犅犇≌△犃犆犈．
A(R)
D A E
B D
C
Q P
B C E
（第１题） （第２题）
２．如图，仪器犃犅犆犇可以平分一个角，其中犃犅＝犃犇，犅犆＝犇犆，
将仪器上的点犃与∠犘犚犙的顶点犚重合，调整犃犅和犃犇，使它们落
在∠犘犚犙的两边上，沿犃犆画一条射线犃犈，犃犈就是∠犘犚犙的平分
线．你能说明其中的道理吗？
我们已经能用直尺和圆规作出一个三角形，使它的三边分别等于已知三
角形的三边．你能只使用直尺和圆规作出一个角等于已知角吗？
１７
８８
第 三角形
章例３ 作一个角等于已知角．
如图１７４５，已知 ∠α，作 ∠犃犗犅＝∠α．
分析 设法使已知∠α成为某三角形的一个内角，
再利用直尺和圆规作出一个与该三角形全等的三角形，
α
此三角形中∠α的对应角就是所求的角．
图１７４５
作法
（１）以∠α的顶点为圆心、以任意长度犪为半径作弧，分别交∠α的两边
于点犆、犇，如图１７４６（１）所示；
（２）过点犗作一条任意射线犗犃，以点犗为圆心、以犪的长为半径作弧，
交犗犃于点犕；
（３）以点犕为圆心、以犆犇的长为半径作弧，交前弧于点犖；
（４）经过点犖作射线犗犅．
∠犃犗犅就是所求的角，如图１７４６（２）所示．
B
D N
α
E C O M A
图１７４６
证明 记 ∠α的顶点为犈，连接犆犇、犕犖．
由作法，可知在△犆犇犈和△犕犖犗中，
烄犇犈＝犖犗，
∵ 烅犆犈＝犕犗，
烆犆犇＝犕犖，
∴ △犆犇犈≌△犕犖犗（ＳＳＳ）．
∴ ∠犕犗犖＝∠犆犈犇 （全等三角形的对应角相等），
即∠犃犗犅＝∠α．
８ ９
１７．４ 三角形全等的判定在数学中，把只使用没有刻度的直尺和圆规在有限步之内完成作图的方
法，叫作尺规作图．尺规作图是古希腊数学家提出的一个概念，它对直尺和圆
规的使用方法有着严格的限制：无刻度的直尺只能用来作经过两点的直线，
圆规只能以一个定点为圆心、以给定的线段长为半径作圆．
例４ 过直线外一点作已知直线的平行线．
如无特别说明，本
如图１７４７，已知直线犃犅和直线外一点犕，
章及后续章节中的作图
求作直线犆犇∥犃犅，且使犆犇经过点犕． 题均指用尺规作图，需
保留作图痕迹．
M
A B
图１７４７
分析 可以借助“同位角相等，两直线平行”的公理，构造一对相等的同位
角，以此得到两条平行的直线．尝试过点犕作一条与直线犃犅相交的直线作为
“截线”，然后利用作一个角等于已知角的方法即可实现．
作法
（１）在直线犃犅上取一点犖，作直线犕犖；
（２）过点犕作直线犆犇，使同位角∠犘犕犇＝∠犕犖犅（例３）．
直线犆犇就是所求的直线（图１７４８）．
P
M
C D
A N B
图１７４８
证明 由作法，可知∠犘犕犇＝∠犕犖犅，
所以犆犇∥犃犅（同位角相等，两直线平行）．
１７
９０
第 三角形
章课堂练习１７．４（２）
１．如图，已知线段犪、犫，求作△犃犅犆，使犃犅＝犃犆＝犫，犅犆＝犪．
a
b α β
（第１题） （第２题）
２．如图，已知∠α、∠β ，求作∠狉＝∠α＋∠β．
如图１７４９（１），给定一个△犃犅犆．用直
作法
尺和圆规作△犃′犅′犆′，如图１７４９（２），使
（１）作 ∠犇犃′犈＝
犃′犅′＝犃犅，∠犃′＝∠犃，犃′犆′＝犃犆．将作好 ∠犃；
（２）以点犃′为圆
的△犃′犅′犆′剪下来，经过平移、旋转、翻折
心、以犃犆的长为半径
作弧，交犃′犈于点犆′；
后，能与△犃犅犆完全重合吗？
（３）以点犃′为圆
心、以犃犅的长为半径
E
作弧，交犃′犇于点犅′；
C C′ （４）连接犅′犆′．
△犃′犅′犆′就是所求
的三角形，如图１７４
９（２）所示．
A B A′ B′ D
图１７４９
公理 两边及其夹角对应相等的两个三角 Ａ为英文中ａｎｇｌｅ
（角）的缩写，“ＳＡＳ”即
形全等（简记为“边角边”或“ＳＡＳ”）．
“边角边”．
如图１７４９，在△犃犅犆和△犃′犅′犆′中，已知犃犅＝犃′犅′，∠犃＝∠犃′，
犃犆＝犃′犆′，那么△犃犅犆≌△犃′犅′犆′．
９ １
１７．４ 三角形全等的判定例５ 如图１７４１０，已知：犃犅＝犇犆，∠犃犅犆＝
A D
∠犇犆犅．
求证：△犃犅犆≌△犇犆犅．
证明 在△犃犅犆和△犇犆犅中， B C
图１７４１０
烄犃犅＝犇犆，
∵ 烅∠犃犅犆＝∠犇犆犅，
烆犅犆＝犆犅，
∴ △犃犅犆≌△犇犆犅（ＳＡＳ）．
例６ 如图１７４１１，已知：犃犅与犆犇相交于
A C
点犗，犗犃＝犗犅，犗犆＝犗犇．
O
求证：△犃犗犆≌△犅犗犇．
证明 在△犃犗犆和△犅犗犇中，
D B
烄犗犃＝犗犅， 图１７４１１
∵ 烅∠犃犗犆＝∠犅犗犇 （对顶角相等），
烆犗犆＝犗犇，
∴ △犃犗犆≌△犅犗犇 （ＳＡＳ）．
“两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形全等”是
真命题吗？为什么？
课堂练习１７．４（３）
１．如图，已知：犃犅＝犃犇，犃犆＝犃犈，∠犅犃犆＝
E
A
∠犇犃犈．求证：△犅犃犆≌△犇犃犈．
D
C
B
（第１题）
１７
９２
第 三角形
章２．如图，已知：点犅、犇、犆、犉在同一直
A
线上，犃犆∥犇犈，犃犆＝犈犇，犅犇＝犉犆．求证：
△犃犅犆≌△犈犉犇． B C F
D
E
（第２题）
如图１７４１２（１），给定一个△犃犅犆．用直
尺和圆规作△犃′犅′犆′，如图１７４１２（２），使
作法
（１）作犅′犆′＝犅犆；
∠犅′＝∠犅，犅′犆′＝犅犆，∠犆′＝∠犆．将作好 （２）分 别 以 犅′、
犆′为顶点，在犅′犆′的
的△犃′犅′犆′剪下来，经过平移、旋转、翻折
同侧作∠犇犅′犆′＝∠犅，
后，能与△犃犅犆完全重合吗？ ∠犈犆′犅′＝∠犆，射线
犅′犇、犆′犈的交点记
E D 作犃′．
A
A′ △犃′犅′犆′就是所求
的三角形，如图１７４
１２（２）所示．
B C B′ C′
图１７４１２
公理 两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（简记为“角边角”或
“ＡＳＡ”）．
如图１７４１２，在△犃犅犆和△犃′犅′犆′中，已知∠犅＝∠犅′，犅犆＝犅′犆′，
∠犆＝∠犆′，那么△犃犅犆≌△犃′犅′犆′．
９ ３
１７．４ 三角形全等的判定例７ 如图１７４１３，已知：犃犅与犆犇相交于点
C
犗，犃犗＝犅犗，∠犃＝∠犅．
B
求证：△犃犗犆≌△犅犗犇． A O
证明 在△犃犗犆和△犅犗犇中， D
烄∠犃＝∠犅，
图１７４１３
∵ 烅犃犗＝犅犗，
烆∠犃犗犆＝∠犅犗犇 （对顶角相等），
∴ △犃犗犆≌△犅犗犇 （ＡＳＡ）．
例８ 如图１７４１４，已知：点犅、犈、犉、犇在同
A B
一直线上，∠犅＝∠犇，∠犃犈犅＝∠犆犉犇，犅犉＝犇犈．
求证：△犃犅犈≌△犆犇犉．
F
E
分析 要证△犃犅犈≌△犆犇犉，考虑已知条件，根据
“角边角”，只需将“犅犉＝犇犈”转化为“犅犈＝犇犉”即可． D C
图１７４１４
证明 ∵ 犅犉＝犇犈，
∴ 犅犉－犈犉＝犇犈－犈犉．
∴ 犅犈＝犇犉．
在△犃犅犈和△犆犇犉中，
烄∠犅＝∠犇，
∵ 烅犅犈＝犇犉，
烆∠犃犈犅＝∠犆犉犇，
∴ △犃犅犈≌△犆犇犉（ＡＳＡ）．
课堂练习１７．４（４）
１．如图，已知：∠犃犅犇＝∠犆犇犅，∠犃犇犅＝
A D
∠犆犅犇．求证：△犃犅犇≌△犆犇犅．
B C
（第１题）
１７
９４
第 三角形
章２．如图，已知：∠犅＝∠犇，∠犅犃犈＝
A
∠犇犃犆，犃犅＝犃犇．求证：犅犆＝犇犈．
B C E D
（第２题）
例９ 如图１７４１５，已知：在△犃犅犆和△犃′犅′犆′中，∠犃＝∠犃′，
∠犅＝∠犅′，犅犆＝犅′犆′．
求证：△犃犅犆≌△犃′犅′犆′．
分析 要证△犃犅犆≌△犃′犅′犆′，只需证明∠犆＝∠犆′．
A A′
B C B′ C′
图１７４１５
证明 ∵ ∠犃＋∠犅＋∠犆＝１８０°（三角形的内角和等于１８０°），
∴ ∠犆＝１８０°－∠犃－∠犅．
同理，∠犆′＝１８０°－∠犃′－∠犅′．
又∵ ∠犃＝∠犃′，∠犅＝∠犅′，
∴ ∠犆＝∠犆′．
在△犃犅犆和△犃′犅′犆′中，
烄∠犅＝∠犅′，
∵ 烅犅犆＝犅′犆′，
烆∠犆＝∠犆′，
∴ △犃犅犆≌△犃′犅′犆′（ＡＳＡ）．
本题的结论表明：
定理 两角对应相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
（简记为“角角边”或“ＡＡＳ”）．
９ ５
１７．４ 三角形全等的判定例１０ 如图１７４１６，已知：点犈、犆分别在线
A
段犃犅、犃犇上，犃犈＝犃犆，∠犅＝∠犇．
E C
求证：△犃犇犈≌△犃犅犆．
证明 在△犃犇犈和△犃犅犆中，
烄∠犇＝∠犅，
B D
∵ 烅∠犃＝∠犃， 图１７４１６
烆犃犈＝犃犆，
∴ △犃犇犈≌△犃犅犆（ＡＡＳ）．
“三个角分别相等的两个三角形全等”是真命题吗？为什么？
课堂练习１７．４（５）
１．下列各对三角形是否全等？如果全等，请说明理由．
75°
72°
48°
8 48°
40° 72° 40°
8 75°
57° 60° 75°
75°
4 4 8 12 8 12
60° 57°
（第１题）
１７
９６
第 三角形
章２．如图，已知：∠１＝∠２，犃犇＝犃犈，
∠犅＝∠犃犆犈，且犅、犆、犇三点在同一直线 A
2 E
1
上．求证：犅犇＝犆犈．把以下证明过程补充
完整．
证明：∵ ∠１＝∠２，
B C D
∴ ∠１＋∠犆犃犇＝∠２＋∠犆犃犇． （第２题）
∴ ∠ ＝∠ ．
在△犃犅犇和△犃犆犈中，
烄∠犅＝∠犃犆犈，
∵ 烅∠ ＝∠ ，
烆犃犇＝犃犈，
∴ △犃犅犇≌△犃犆犈（ ）．
∴ 犅犇＝犆犈（ ）．
例１１ 如图１７４１７，已知：犃犅＝犃犆，犃犇＝
B
C
犃犈，∠犅犃犆＝∠犇犃犈．
求证：△犇犃犅≌△犈犃犆．
分析 要证△犇犃犅≌△犈犃犆，已知有两组边对应相 E A
等，根据“边角边”，只需证这两组边的夹角相等即可． D
图１７４１７
证明 ∵ ∠犅犃犆＝∠犇犃犈，
∴ ∠犅犃犆＋∠犅犃犈＝∠犇犃犈＋∠犅犃犈．
∴ ∠犈犃犆＝∠犇犃犅．
在△犇犃犅和△犈犃犆中，
烄犃犅＝犃犆，
∵ 烅∠犇犃犅＝∠犈犃犆，
烆犃犇＝犃犈，
∴ △犇犃犅≌△犈犃犆（ＳＡＳ）．
９ ７
１７．４ 三角形全等的判定例１２ 如图１７４１８，已知：在△犃犅犆中，∠犅犃犆＝９０°，犃犅＝犃犆，
点犃在犇犈上，∠犇＝９０°，∠犈＝９０°．
B
（１）求证：∠犅犃犇＝∠犃犆犈；
C
（２）求证：△犅犇犃≌△犃犈犆．
证明 （１）∵ 点犃在犇犈上，
D A E
∴ ∠犅犃犇＋∠犅犃犆＋∠犆犃犈＝１８０°．
图１７４１８
又∵ ∠犅犃犆＝９０°，
∴ ∠犅犃犇＋∠犆犃犈＝９０°．
∵ ∠犃犆犈＋∠犆犃犈＋∠犈＝１８０°（三角形的内角和等于１８０°），
又∵ ∠犈＝９０°，
∴ ∠犃犆犈＋∠犆犃犈＝９０°．
∴ ∠犅犃犇＝∠犃犆犈．
（２）∵ ∠犇＝９０°，∠犈＝９０°，
∴ ∠犇＝∠犈．
在△犅犇犃和△犃犈犆中，
烄∠犇＝∠犈，
∵ 烅∠犅犃犇＝∠犃犆犈，
烆犃犅＝犃犆，
∴ △犅犇犃≌△犃犈犆（ＡＡＳ）．
课堂练习１７．４（６）
１．如图，已知：在△犃犅犆中，∠犃犅犆＝∠犃犆犅，
A
犅犇、犆犈分别平分∠犃犅犆、∠犃犆犅．求证：犅犇＝犆犈．
把以下证明过程补充完整． E D
证明： ∵ 犅犇、犆犈分别平分∠犃犅犆、∠犃犆犅，
B C
１ １
∴ ∠犇犅犆＝ ，∠犈犆犅＝ ．
２ ２
（第１题）
１７
９８
第 三角形
章∵ ∠犃犅犆＝∠犃犆犅，
∴ ∠犇犅犆＝∠犈犆犅．
在△犅犇犆和△犆犈犅中，
烄 ，
∵ 烅 ，
烆
，
∴ △犅犇犆≌△犆犈犅（ＡＳＡ）．
D
∴ 犅犇＝犆犈（ ）．
２．如图，已知：犈为犃犆上一点，且
A
E C
犃犇＝犃犅，犈犇＝犈犅．
（１）求证：△犃犈犇≌△犃犈犅；
B
（２）求证：△犃犅犆≌△犃犇犆． （第２题）
例１３ 如图１７４１９，已知：犅是线段犃犆的中点，犅犇＝犅犈，∠１＝∠２．
求证：犃犇＝犆犈．
E D
分析 要证犃犇＝犆犈，可以考虑证明这两条线段所
在的两个三角形全等，即证△犃犇犅≌△犆犈犅．
证明 ∵ ∠１＝∠２，
1 2
A B C
∴ ∠１＋∠犈犅犇＝∠２＋∠犈犅犇．
图１７４１９
∴ ∠犃犅犇＝∠犆犅犈．
∵ 犅是犃犆的中点，
∴ 犃犅＝犆犅．
在△犃犇犅和△犆犈犅中，
烄犃犅＝犆犅，
∵ 烅∠犃犅犇＝∠犆犅犈，
烆犅犇＝犅犈，
９ ９
１７．４ 三角形全等的判定∴ △犃犇犅≌△犆犈犅（ＳＡＳ）．
∴ 犃犇＝犆犈（全等三角形的对应边相等）．
例１４ 如图１７４２０，已知：在△犃犅犆中，∠犅＝∠犆，点犇、犈、犉
分别在边犅犆、犃犆、犃犅上，且犅犇＝犆犈，犅犉＝犆犇．
求证：∠犉犇犈＝∠犅．
A
分析 由已知条件可证 △犅犇犉≌ △犆犈犇， 可知
∠犅犉犇＝ ∠犆犇犈．考 虑 到 ∠犉犇犈 是 △犅犇犉 的 外 角
F
∠犉犇犆的一部分，再利用“三角形的外角等于与它不相邻 E
的两个内角的和”即可．
B D C
证明 在△犅犇犉和△犆犈犇中，
图１７４２０
烄犅犇＝犆犈，
∵ 烅∠犅＝∠犆，
烆犅犉＝犆犇，
∴ △犅犇犉≌△犆犈犇 （ＳＡＳ）．
∴ ∠犅犉犇＝∠犆犇犈（全等三角形的对应角相等）．
∵ ∠犉犇犆＝∠犅＋∠犅犉犇（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角
的和），
∴ ∠犉犇犈＋∠犆犇犈＝∠犅＋∠犅犉犇．
∴ ∠犉犇犈＝∠犅．
课堂练习１７．４（７）
１．如图，已知：犅犈与犆犇相交于点犗，且
A
犅犗＝犆犗，∠犃犇犆＝∠犃犈犅．求证：犅犇＝犆犈．
D E
O
B C
（第１题）
１７
１ ００
第 三角形
章２．如图，已知：在△犃犅犆中，点犇、犈、犉
A
分别在边犅犆、犃犆、犃犅上，且犉犇＝犇犈，犅犉＝
F
犆犇，∠犉犇犈＝∠犅．求证：∠犅＝∠犆．
E
B D C
（第２题）
例１５ 如图１７４２１，已知：线段犃犇、犅犆相交
A B
于点犗，犗犃＝犗犇，犗犅＝犗犆，点犈、犉在线段犃犇上，
E
且∠犃犅犈＝∠犇犆犉．
O
求证：犅犈∥犆犉．
F
分析 要证犅犈∥犆犉，只要证∠犅犈犗＝∠犆犉犗．已
C D
知有∠犃犅犈＝∠犇犆犉，又可知∠犅犈犗＝∠犃＋∠犃犅犈，
图１７４２１
∠犆犉犗＝∠犇＋∠犇犆犉，因此只要证∠犃＝∠犇，即证
△犃犗犅≌△犇犗犆即可．
证明 在△犃犗犅和△犇犗犆中，
烄犗犃＝犗犇，
∵ 烅∠犃犗犅＝∠犇犗犆（对顶角相等），
烆犗犅＝犗犆，
∴ △犃犗犅≌△犇犗犆（ＳＡＳ）．
∴ ∠犃＝∠犇 （全等三角形的对应角相等）．
又∵ ∠犃犅犈＝∠犇犆犉，
∴ ∠犃＋∠犃犅犈＝∠犇＋∠犇犆犉．
又∵ ∠犅犈犗＝∠犃＋∠犃犅犈，∠犆犉犗＝∠犇＋∠犇犆犉 （三角形的外角
等于与它不相邻的两个内角的和），
∴ ∠犅犈犗＝∠犆犉犗．
∴ 犅犈∥犆犉（内错角相等，两直线平行）．
１ ０１
１７．４ 三角形全等的判定例１６ 证明：两边对应相等且其中一组等边上的中线相等的两个三角形
全等．
如图１７４２２，已知：在△犃犅犆和△犃′犅′犆′中，犃犅＝犃′犅′，犅犆＝犅′犆′，
犃犇、犃′犇′分别是边犅犆、犅′犆′上的中线，且犃犇＝犃′犇′．
A A′
B D C B′ D′ C′
图１７４２２
求证：△犃犅犆≌△犃′犅′犆′．
分析 要证明△犃犅犆≌△犃′犅′犆′，由于已知犃犅＝犃′犅′，犅犆＝犅′犆′，因
此只需要证明∠犅＝∠犅′．为此考虑证明△犃犅犇和△犃′犅′犇′全等．
证明 ∵ 犃犇、犃′犇′分别是边犅犆、犅′犆′上的中线，
１ １
∴ 犅犇＝ 犅犆，犅′犇′＝ 犅′犆′．
２ ２
又∵ 犅犆＝犅′犆′，
∴ 犅犇＝犅′犇′．
在△犃犅犇和△犃′犅′犇′中，
烄犃犅＝犃′犅′，
∵ 烅犅犇＝犅′犇′，
烆犃犇＝犃′犇′，
∴ △犃犅犇≌△犃′犅′犇′（ＳＳＳ）．
∴ ∠犅＝∠犅′（全等三角形的对应角相等）．
在△犃犅犆和△犃′犅′犆′中，
烄犃犅＝犃′犅′，
∵ 烅∠犅＝∠犅′，
烆犅犆＝犅′犆′，
∴ △犃犅犆≌△犃′犅′犆′（ＳＡＳ）．
１７
１ ０２
第 三角形
章课堂练习１７．４（８）
１．如图，已知：在Ｒｔ△犃犅犆中，∠犃犆犅＝
D
９０°，犆犃＝犆犅．点犇在边犅犆的延长线上，点犈 C
F
在边犃犆上，且犆犇＝犆犈，连接犅犈、犃犇，延长
E
犅犈与犃犇相交于点犉．求证：犃犇＝犅犈．
A B
２．证明：两角对应相等且其中一组等角的平
（第１题）
分线相等的两个三角形全等．
习题１７．４
１．如图，已知：犃犅＝犃犆，犅犇＝犆犇．求证：△犃犅犇≌△犃犆犇．把以下
证明过程补充完整．
证明：在△犃犅犇和△犃犆犇中，
烄 ＝ ，
∵ 烅 ＝ ，
烆 ＝ ，
∴ △犃犅犇≌△犃犆犇 （ ）．
A
M N
D
B C A C B D
（第１题） （第２题）
２．如图，已知：点犃、犆、犅、犇在同一直线上，犃犆＝犅犇，犃犕＝犆犖，
犅犕＝犇犖．求证：△犃犅犕≌△犆犇犖．
１ ０３
１７．４ 三角形全等的判定３．如图，已知∠α和线段犪，求作△犃犅犆，使∠犅＝∠犆＝∠α，犅犆＝犪．
α
a
（第３题）
４．如图，已知∠α和线段犪、犫，求作△犃犅犆，使∠犆＝∠α，犅犆＝犪，
犃犆＝犫．
α
a b
（第４题）
５．如图，已知：点犃、犇、犆、犉在同一直线上，且犃犆＝犉犇，犃犅＝
犉犈，∠犃＝∠犉．求证：犅犆＝犈犇．把以下证明过程补充完整．
证明：在△犃犅犆和△犉犈犇中，
烄 ＝ ，
∵ 烅 ＝ ，
烆 ＝ ，
∴ △犃犅犆≌△犉犈犇 （ ）．
∴ 犅犆＝犈犇 （ ）．
B
D B
F O
A D C
E A C
（第５题） （第６题）
６．如图，已知：犃犅与犆犇相交于点犗，∠犃＝∠犆，犗犃＝犗犆．求证：
△犃犗犇≌△犆犗犅．
７．如图，已知：犈、犉是犃犆上的两点，且犃犉＝犆犈，犅犉＝犇犈，犇犈∥犅犉．
求证：△犃犅犉≌△犆犇犈．
１７
１ ０４
第 三角形
章A
D C
F
D E
E
A B B C
（第７题） （第８题）
８．如图，已知：点犇在犃犅上，点犈在犃犆上，犃犅＝犃犆，∠犅＝∠犆．
求证：犅犇＝犆犈．
９．如图，已知：犃犇是△犃犅犆的角平分线，犇犈⊥犃犅，犇犉⊥犃犆，垂足
分别为犈、犉．求证：犃犈＝犃犉．
A
A
E E
F
B D C
B D C F
（第９题） （第１０题）
１０．如图，已知：犃犇是△犃犅犆的边犅犆上的中线，犆犈⊥犃犇，犅犉⊥
犃犇，垂足分别为犈、犉．求证：△犆犇犈≌△犅犇犉．
１１．如图，已知：犃犆与犅犇相交于点犗，且犗是犅犇的中点，犃犅∥犇犆．
求证：犃犅＝犆犇．
B
D C A
O D E
A B C
（第１１题） （第１２题）
１２．如图，已知：犃犅＝犃犇，犃犆＝犃犈，犃犅⊥犃犇，犃犆⊥犃犈，垂足均为
犃．求证：△犃犅犆≌△犃犇犈．
１ ０５
１７．４ 三角形全等的判定１３．如图，已知：在△犃犅犆中，犃犇⊥犅犆，犇是垂足，犈是线段犃犇上
一点，连接犆犈并延长交犃犅于点犉，且犆犈＝犃犅，∠１＝∠２．求证：
犃犇＝犆犇．
A
A D
F 1
E
E
F
2
B D C B C
（第１３题） （第１４题）
１４．如图，已知：犅犈⊥犃犆，犇犉⊥犃犆，垂足分别是犈、犉，且犃犉＝犆犈，
犅犈＝犇犉．求证：犃犅＝犆犇且犃犅∥犆犇．
１５．如图，已知：点犈、犉在线段犅犇上，犇犈＝犅犉，犃犉＝犆犈，且
犃犇＝犅犆．求证：犃犉∥犈犆．
F
D C
A D
O
E F A B
B C E
（第１５题） （第１６题）
１６．如图，已知：犃犅∥犇犆，犃犅＝犇犆，犗是线段犇犅上一点，过点犗的
直线分别交犇犃和犅犆的延长线于点犈、犉．求证：∠犈＝∠犉．
１７．如图，已知：犃犅∥犆犇，犃犅＝犆犇，犃犇和犅犆相交于点犗，犈犉过点
犗，且与犃犅、犆犇分别相交于点犈、犉．
（１）求证：犗犅＝犗犆；
（２）求证：犗犈＝犗犉．
１７
１ ０６
第 三角形
章A
A E B
D E
O O
C F D B C
（第１７题） （第１８题）
１８．如图，已知：犃犅＝犃犆，犅犈和犆犇相交于点犗，∠犅＝∠犆．求证：
犗犇＝犗犈．
１ ０７
１７．４ 三角形全等的判定１．基本概念：三角形，锐角三角形，直角三角形，钝角三角形，等腰三
角形，等边三角形，三角形的高、中线、角平分线，三角形的外角，全等形，
全等三角形，尺规作图．
２．三角形：
（１）三角不等式：
三角形任意两边的和大于第三边．
三角形任意两边的差小于第三边．
（２）三角形的内角和：
三角形的内角和等于１８０°．
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角．
三角形的外角和等于３６０°．
３．全等三角形的性质：
全等三角形的对应边相等，对应角相等．
如果两个三角形都与第三个三角形全等，那么这两个三角形全等．
４．三角形全等的判定：
三边对应相等的两个三角形全等（ＳＳＳ）．
两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（ＳＡＳ）．
两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ＡＳＡ）．
两角对应相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（ＡＡＳ）．
１７
１ ０８
第 三角形
章１．选择题：
（１）如图（１），已知△犃犅犆的三边长互不相等，犇犈＝犅犆，以犇、犈为
两个顶点画位置不同的三角形，使所画三角形与△犃犅犆全等．这样的三角
形最多可画 （ ）
Ａ．２个； Ｂ．４个；
Ｃ．６个； Ｄ．８个．
A
D
C
A O
D E B
B C E
（第１题）
（２）如图（２），点犅、犆分别在线段犃犈、犃犇上，犅犇与犆犈相交于点犗．
如果犃犅＝犃犆，犃犇＝犃犈，那么图中的全等三角形共有 （ ）
Ａ．２对； Ｂ．３对；
Ｃ．４对； Ｄ．５对．
（３）下列命题中，假命题是 （ ）
Ａ．面积相等的两个三角形全等；
Ｂ．全等三角形的周长相等；
Ｃ．全等三角形的面积相等；
Ｄ．两角对应相等且其中一组等角对边上的高相等的两个三角形全等．
１ ０９
复习题２．如图，已知犃犆＝犇犆，∠１＝∠２，请添加一个适当的
D
条件，使△犃犅犆≌△犇犈犆．
A
３．如图，在△犃犅犆中，犃犇、犃犈将∠犅犃犆三等分，
点犇、犈在犅犆上，∠犅犃犆∶∠犅∶∠犆＝３∶１∶１． E
2
（１）求∠犃犇犈的度数； 1
B C
（２）请写出图中有两个内角相等的所有三角形． （第２题）
A
A
E
1
B D E C B D C
（第３题） （第４题）
４．如图，已知：在△犃犅犆中，犃犇⊥犅犆，垂足是犇，犃犇＝犅犇，
犇犆＝犇犈．求证：∠犆＝∠１．
５．（１）证明：全等三角形对应边上的中线相等；
（２）证明：全等三角形对应角的平分线相等；
（３）证明：全等三角形对应边上的高相等．
６．如图，在△犃犅犆中，∠犃犆犅＝９０°，犃犆＝犅犆，犅犇⊥犆犈，犃犈⊥犆犈，
垂足分别为犇、犈，且犅犇＝３．１ｃｍ，犇犈＝１．９ｃｍ．求犃犈的长．
A
E
D C
2 F
D
E 1
B C A B
（第６题） （第７题）
７．如图，已知：犃犅＝犆犇，犃犅∥犆犇，∠１＝∠２．求证：△犃犇犈≌
△犆犅犉．
１７
１ １０
第 三角形
章８．给定如图所示的图形（不再添线），从①犃犇＝犃犈；
A
②犇犅＝犈犆；③犃犅＝犃犆；④犗犇＝犗犈中选取两个作为
已知条件，通过推理能得到∠犅＝∠犆．这样的两个条件
D E
可以是 ．请填写序号，并与同伴交流你的推理
O
过程．
B C
（第８题）
９．两个全等的直角三角形，可以拼出各种不同的三角形或四边形．图中已
画出其中一个三角形，请画出另一个与它全等的三角形，使所拼成的三角形
或四边形为轴对称图形（尽可能多地画出图形）．
A
E
F
D B C
（第９题） （第１０题）
１０．如图，已知犇是犆犅延长线上一点，点犈在犃犆上，且犇犆＝犃犆，
△犃犅犆≌△犇犈犆．图中还有哪些相等的线段？给出结论，无须证明．
１１．（１）如图（１），已知：犅犇、犆犇分别是△犃犅犆的内角∠犃犅犆、
１
∠犃犆犅的平分线．求证：∠犅犇犆＝９０°＋ ∠犃．
２
A
A A D
B C
D
E F
B C E
B C D
（第１１题）
１ １１
复习题（２）如图（２），犅犇、犆犇是△犃犅犆的两个外角的平分线．请探究∠犅犇犆
与∠犃之间有怎样的关系，并证明你的结论．
（３）如图（３），犅犇、犆犇分别是△犃犅犆的一个内角的平分线与一个外角
的平分线．请探究∠犅犇犆与∠犃之间有怎样的关系，并证明你的结论．
１２．如图，已知：犃、犅、犆、犇四点在同一直线
E
上，犃犅＝犆犇，犃犈∥犉犇，犅犉∥犈犆，犃犇和犈犉相
交于点犗．求证：犗犈＝犗犉．
A B O C D
F
（第１２题）
１７
１ １２
第 三角形
章１８
第 章
等腰三角形
等腰三角形是一类特殊且重要的三角形，具有轴对称性．等边三
角形是它的一个特例．它们经常出现在建筑、艺术等设计中．
在本章中，我们将用上一章学习的全等三角形的性质和判定方法，
发现并证明等腰三角形及等边三角形的一些性质和判定方法，并加以
应用．等腰三角形底边上的高、中线及顶角平分线三线合一，这和线
段垂直平分线的性质密切相关．
书书书１８．１
等腰三角形的性质
等腰三角形是有两边相等的三角形．如图１８１１，△犃犅犆是等腰三角形，
犃犅＝犃犆．边犃犅和犃犆是它的腰，犅犆是底边；∠犃是它的顶角，∠犅和
∠犆是底角．
A A
M>
6 6
> > C
B D C (B)
图１８１１ 图１８１２
取一张等腰三角形纸片，把两腰犃犅、犃犆叠合在一起（图１８１２），我们
发现，两个底角互相重合．这说明等腰三角形的两个底角相等．下面我们来证
明这个性质．
定理 等腰三角形的两底角相等．
简单地说：等边对等角．
如图１８１３，已知：在△犃犅犆中，犃犅＝犃犆．
求证：∠犅＝∠犆．
A A
B C B D C
图１８１３ 图１８１４
１８
１ １４
第 等腰三角形
章证明 如图１８１４，作△犃犅犆的顶角平分线犃犇，有∠犅犃犇＝∠犆犃犇．
又由于犃犅＝犃犆，犃犇是公共边，由“边角边”，得△犃犅犇≌△犃犆犇，从而
∠犅＝∠犆．
由△犃犅犇≌△犃犆犇，还可得出犅犇＝犆犇，∠犃犇犅＝∠犃犇犆＝９０°．因此
犃犇平分犅犆，且犃犇⊥犅犆．
由此可见，线段犃犇既是等腰三角形犃犅犆的顶角平分线，又是底边犅犆
上的中线，也是底边犅犆上的高．
等腰三角形的这个性质可表述为：
定理 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相
重合．
简单地说：等腰三角形三线合一．
上面的证明过程还表明：
等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角平分线（底边上的中
线、底边上的高）所在的直线．
例１ 如图１８１５，在△犃犅犆中，犃犅＝犃犆，
∠犅犃犆＝１１０°，犃犇是△犃犅犆的中线．
A
（１）求∠１和∠犅的度数；
1
（２）求证：犃犇⊥犅犆．
B D C
解 （１）∵ 犃犅＝犃犆，
图１８１５
∴ ∠犅＝∠犆（等边对等角）．
又∵ 犃犇是△犃犅犆的中线，
１
∴ ∠１＝ ∠犅犃犆（等腰三角形三线合一）．
２
∵ ∠犅犃犆＝１１０°，
∴ ∠１＝５５°．
１ １５
１８．１ 等腰三角形的性质又∵ ∠犅＋∠犆＋∠犅犃犆＝１８０°（三角形的内角和等于１８０°），
１８０°－１１０°
∴ ∠犅＝ ＝３５°．
２
∴ ∠１和∠犅的度数分别为５５°和３５°．
（２） ∵ 犃犅＝犃犆，犃犇是△犃犅犆的中线，
∴ 犃犇⊥犅犆（等腰三角形三线合一）．
例２ 如图１８１６，已知：犃犅＝犃犆，犇犅＝犇犆．
求证：∠犅＝∠犆．
A A
B C B C
D D
图１８１６ 图１８１７
分析 从已知条件犃犅＝犃犆，犇犅＝犇犆出发，考虑连接犅犆构造两个等
腰三角形．
证明 如图１８１７，连接犅犆．
∵ 犃犅＝犃犆，
∴ ∠犃犅犆＝∠犃犆犅（等边对等角）．
同理，∠犇犅犆＝∠犇犆犅．
∴ ∠犃犅犆＋∠犇犅犆＝∠犃犆犅＋∠犇犆犅．
∴ ∠犃犅犇＝∠犃犆犇．
例２是否还有其他证明方法？
１８
１ １６
第 等腰三角形
章课堂练习１８．１（１）
１．如图，已知：在△犃犅犆中，犃犅＝犃犆，点犇、犈分别在边犃犅、
犃犆上，犃犇＝犃犈．求证：犇犈∥犅犆．
A
A
D E D
B C B C
（第１题） （第２题）
２．如图，在△犃犅犆中，犃犅＝犃犆，点犇在
O
边犃犆上，且犅犇＝犃犇＝犅犆．求△犃犅犆各内角
的度数．
A B
３．如图，已知：犗犃＝犗犅，犃犆＝犅犇，且
犗犃⊥犃犆，犗犅⊥犅犇，垂足分别为犃、犅，点犕
C M D
在线 段犆犇 上， ∠犃犗犕＝ ∠犅犗犕．求 证： （第３题）
犗犕⊥犆犇．
例３ 如图１８１８，已知：在直角三角形犃犅犆中，∠犅犃犆＝９０°，犇是
边犅犆上一点，犃犇＝犃犅．
求证：∠犅犃犇＝２∠犆．
A A
B D C B H D C
图１８１８ 图１８１９
分析 要证明∠犅犃犇＝２∠犆，只要证明∠犅犃犇的一半与∠犆相等．由
于犃犇＝犃犅，可考虑作犃犎⊥犅犆，从而将问题转化为证明∠犅犃犎＝∠犆．
１ １７
１８．１ 等腰三角形的性质证明 如图１８１９，过点犃作犃犎⊥犅犆，垂足为犎．
∵ 犃犇＝犃犅，
∴ ∠犅犃犇＝２∠犅犃犎 （等腰三角形三线合一）．
∵ ∠犅犃犆＋∠犅＋∠犆＝１８０°（三角形的内角和等于１８０°），
∠犅犃犆＝９０°，
∴ ∠犅＋∠犆＝９０°．
同理，∠犅犃犎＋∠犅＝９０°．
∴ ∠犅犃犎＝∠犆．
∴ ∠犅犃犇＝２∠犆．
例３不添辅助线也能证明吗？
我们知道“等边对等角”，那么三角形中不相等的边所对的角有什么大小
关系呢？
例４ 如图１８１１０，已知：在△犃犅犆中，犃犅＞犃犆．
求证：∠犆＞∠犅．
A A
D
B C B C
图１８１１０ 图１８１１１
分析 要证∠犆＞∠犅，可利用“三角形的外角大于任何一个与它不相邻
的内角”．
证明 如图１８１１１，由犃犅＞犃犆，在犃犅上截取犃犇＝犃犆，连接犆犇，
就有
∠犃犇犆＝∠犃犆犇 （等边对等角）．
∵ ∠犃犇犆＞∠犅 （三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角），
∴ ∠犃犆犅＞∠犃犇犆＞∠犅．
１８
１ １８
第 等腰三角形
章上述结论可以简述为：在三角形中，大边对大角．
课堂练习１８．１（２）
１．如图，已知：在△犃犅犆中，犃犅＝犃犆，点犇、
A
犈在边犅犆上，且犃犇＝犃犈．求证：犅犇＝犆犈．
２．小海用如下两种方法作出了互相垂直的两条直
线，你能证明这两种作法的正确性吗？
作法一： B D E C
（第１题）
① 作任意一个角∠犃犗犅；
② 以点犗为圆心、以任意长为半径作弧，交犗犃于点犆，交犗犅于
点犇；
１
③ 分别以点犆和点犇为圆心、大于 犆犇的同样长度为半径作弧，
２
两弧相交于∠犃犗犅内部的一点犘；
④ 分别作射线犗犘及线段犆犇．
从而犆犇与犗犘互相垂直，如图（１）所示．
A D
C
O C
P
D
B
A B
（第２题）
作法二：
１
① 作线段犃犅，再分别以点犃和点犅为圆心、大于 犃犅的同样长
２
度为半径作弧，两弧相交于点犆；
１ １９
１８．１ 等腰三角形的性质② 连接犃犆、犅犆，延长犃犆至点犇，使犆犇＝犆犃；
③ 连接犇犅．
从而犇犅与犃犅互相垂直，如图（２）所示．
３．如图，已知：在线段犃犅、犅犆、犆犇、
D
犇犃中，犃犅＞犃犇，犅犆＞犆犇．求证：∠犃犇犆＞ A
C
∠犃犅犆．
B
（第３题）
习题１８．１
１．填空题：
（１）如果等腰三角形的一个底角为３４°，那么另外两个角的度数分别为
和 ；
（２）如果等腰三角形的底边和一腰长分别为１２ｃｍ和１５ｃｍ，那么这个三
角形的周长为 ｃｍ．
２．如图，在△犃犅犆中，点犇在边犅犆上，且有犃犅＝犃犆＝犅犇，犃犇＝
犇犆．求∠犆的度数．
A A
30°
B D C B D C
（第２题） （第３题）
３．如图， 在 △犃犅犆中， 点犇在边犅犆上，犃犅＝犃犆，犅犇＝犆犇，
∠犅＝３０°．求∠犅犃犇的度数．
１８
１ ２０
第 等腰三角形
章４．如图，已知：在△犃犅犆中，犇是边犅犆上一点，
A
犘是线段犃犇上一点，∠犃犅犘＝∠犃犆犘，∠犅犘犇＝
∠犆犘犇．
（１）求证：犅犇＝犆犇； P
（２）求证：犃犇⊥犅犆．
B D C
（第４题）
５．如图，已知：在△犃犅犆中，犆犇是△犃犅犆的角平分线，犅犆＝犃犆＋
犃犇．求证：∠犃＝２∠犅．
A
B
D
C
P
D
B C A
（第５题） （第６题）
６．如图，已知：犃犅和犆犇相交于点犘，犆犘＞犃犆，犅犇＞犘犇．求证：
∠犃＞∠犅．
１ ２１
１８．１ 等腰三角形的性质１８．２
等腰三角形的判定
等腰三角形的两底角相等的逆命题也是一个真命题，可以作为等腰三角
形的判定定理．
定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．
简单地说：等角对等边．
如图１８２１，已知：在△犃犅犆中，∠犅＝∠犆．
求证：犃犅＝犃犆．
A A
12
B C B D C
图１８２１ 图１８２２
证明 如图１８２２，作∠犅犃犆的平分线犃犇，有∠１＝∠２．又由于∠犅＝
∠犆，犃犇是公共边，由“角角边”，得△犃犅犇≌△犃犆犇，从而犃犅＝犃犆．
是否还有其他证明上述定理的方法？
例１ 如图１８２３，已知：在△犃犅犆中，犅犇、
A
犆犈分别是边犃犆、犃犅上的高，且∠犇犅犆＝∠犈犆犅．
求证：△犃犅犆是等腰三角形．
E D
证明 ∵ 犅犇、犆犈分别是边犃犆、犃犅上的高，
∴ ∠犅犇犆＝∠犆犈犅＝９０°． B C
在△犆犅犇和△犅犆犈中，
图１８２３
１８
１ ２２
第 等腰三角形
章烄∠犅犇犆＝∠犆犈犅，
∵ 烅∠犇犅犆＝∠犈犆犅，
烆犅犆＝犆犅，
∴ △犆犅犇≌△犅犆犈（ＡＡＳ）．
∴ ∠犅犆犇＝∠犆犅犈．
∴ 犃犅＝犃犆（等角对等边），
即△犃犅犆是等腰三角形．
课堂练习１８．２（１）
１．某卡通形象如图所示，其中射线犃犅是△犃犆犇外角的平分线，且
犃犅∥犆犇．你能说出呈现卡通形象头部的△犃犆犇是等腰三角形的理由吗？
A
C D
A B D
1
2
E F B C
（第１题） （第２题）
２．如图，已知：在△犃犅犆中，∠１＝７２°，∠２＝３６°，∠犆＝７２°．
（１）求证：△犅犆犇是等腰三角形；
（２）找出图中其他的等腰三角形，并加以证明．
３．如图，已知：在△犃犅犆中，犅犗平分 A
∠犃犅犆，犆犗平分∠犃犆犅，过点犗作犕犖∥
犅犆分别交犃犅、犃犆于点 犕、犖．求证： M O N
△犃犕犖的周长等于犃犅与犃犆长度的和．
B C
（第３题）
１ ２３
１８．２ 等腰三角形的判定例２ 如图１８２４，已知：在△犃犅犆中，犇是边犅犆的中点，∠１＝∠２．
求证：犃犅＝犃犆．
A A
1 2 1 2
B D C B D C
E
图１８２４ 图１８２５
分析 在△犃犅犇和△犃犆犇中，虽然有∠１＝∠２，犃犇＝犃犇，犅犇＝犆犇
这三个条件，但不能直接推出△犃犅犇和△犃犆犇全等．
证明 如图１８２５，延长犃犇至点犈，使犇犈＝犃犇，连接犆犈．
在△犃犅犇和△犈犆犇中，
烄犅犇＝犆犇，
∵ 烅∠犃犇犅＝∠犈犇犆（对顶角相等），
烆犃犇＝犈犇，
∴ △犃犅犇≌△犈犆犇 （ＳＡＳ）．
∴ 犃犅＝犈犆，∠１＝∠犈（全等三角形的对应边相等，对应角相等）．
又∵ ∠１＝∠２，
∴ ∠２＝∠犈．
∴ 犃犆＝犈犆（等角对等边）．
∴ 犃犅＝犃犆．
是否还有其他证明例２的结论的方法？
例３ 如图１８２６，已知：在△犃犅犆中，∠犆＞∠犅．
求证：犃犅＞犃犆．
１８
１ ２４
第 等腰三角形
章A A
D
B C B C
图１８２６ 图１８２７
证明 如图１８２７，由∠犃犆犅＞∠犅，在∠犃犆犅内部作∠犅犆犇＝∠犅，
犆犇交犃犅于点犇．根据“等角对等边”，有犇犅＝犇犆．
在△犃犆犇中，根据三角不等式，有犃犇＋犇犆＞犃犆，所以犃犅＝犃犇＋
犇犅＝犃犇＋犇犆＞犃犆．
上述结论可以简述为：在三角形中，大角对大边．
如何用反证法证明例３？
课堂练习１８．２（２）
１．如图，已知：在△犃犅犆中，犆犇⊥犃犅，垂足为犇，∠犃＝２∠犅犆犇．
求证：犃犅＝犃犆．
A
A
E D
O
D
B C B C
（第１题） （第２题）
２．如图，已知：在△犃犅犆中，犃犅＝犃犆，犅犇、犆犈分别是边犃犆、
犃犅上的中线，犅犇、犆犈相交于点犗．求证：犗犅＝犗犆．
１ ２５
１８．２ 等腰三角形的判定３．用例３的结论解决以下问题：
（１）在△犃犅犆中，如果∠犃＞∠犅＞∠犆，能判定犃犅、犅犆、犆犃
的大小吗？
（２）如果一个三角形中最长的边所对的角是锐角，那么这个三角形
一定是锐角三角形吗？为什么？
习题１８．２
１．如图，已知：∠犃＝∠犅，犆犈∥犇犃，犆犈交犃犅于点犈．求证：
犆犈＝犆犅．
A
D C
D E
A E B B C
（第１题） （第２题）
２．如图，在△犃犅犆中，∠犃犆犅的平分线犆犇交犃犅于点犇，犇犈∥犅犆．
如果犈是边犃犆的中点，犃犆＝５ｃｍ，求犇犈的长．
３．如图，已知：在△犃犅犆中，点犇、犈在边犅犆上，∠犅犃犇＝∠犆犃犈，
∠犅＝∠犆．求证：犃犇＝犃犈．
A
F
A
E
B D E C B D C
（第３题） （第４题）
１８
１ ２６
第 等腰三角形
章４．如图，已知：在△犃犅犆中，犃犅＝犃犆，犇是边犅犆上一点，作犇犈⊥
犅犆，垂足为犇，交犆犃的延长线于点犉．求证：犃犈＝犃犉．
５．已知：在△犃犅犆中，犃犅＝犃犆，犇是边犅犆延长线上一点，犈是边犃犅
上一点，犇犈交边犃犆于点犉．求证：犃犈＜犃犉．
６．如图，已知：在△犃犅犆中，犆犇是△犃犅犆的
A
角平分线，∠犃＝２∠犅．求证：犅犆＝犃犆＋犃犇．
D
B C
（第６题）
１ ２７
１８．２ 等腰三角形的判定１８．３
等边三角形
等边三角形是一类特殊的等腰三角形，它的三边都是相等的．
等边三角形的三个内角分别等于多少度？
一个三角形的内角满足什么条件时，这个三角形是等边三角形？
由等腰三角形的性质，得到：
定理 等边三角形的每个内角都等于６０°．
由等腰三角形的判定定理，得到：
定理 三个内角都相等的三角形是等边三角形．
请自行证明上面两个定理．
例１ 证明：有一个内角等于６０°的等腰三角形是等边三角形．
分析 在图１８３１中，设犃犅＝犃犆，需要对三个
A
内角分别等于６０°的各种情况进行讨论，其中∠犅＝６０°
和∠犆＝６０°是类似的，故只要分两种情况讨论．
如图１８３１，已知：在△犃犅犆中，犃犅＝犃犆．
（１）当∠犅＝６０°时，求证：△犃犅犆是等边三角形；
B C
（２）当∠犃＝６０°时，求证：△犃犅犆是等边三角形． 图１８３１
证明 （１）∵ 犃犅＝犃犆，∠犅＝６０°，
∴ ∠犆＝∠犅＝６０°（等边对等角）．
又∵ ∠犃＝１８０°－∠犆－∠犅＝６０°（三角形的内角和等于１８０°），
∴ ∠犃＝∠犅＝∠犆．
∴ △犃犅犆是等边三角形 （三个内角都相等的三角形是等边三角形）．
（２）∵ 犃犅＝犃犆，
１８
１ ２８
第 等腰三角形
章∴ ∠犆＝∠犅（等边对等角）．
又∵ ∠犃＋∠犆＋∠犅＝１８０°（三角形的内角和等于１８０°），
∠犃＝６０°，
∴ ∠犅＝∠犆＝∠犃＝６０°．
∴ △犃犅犆是等边三角形 （三个内角都相等的三角形是等边三角形）．
例２ 如图１８３２，已知：在等边三角形犃犅犆的
A
边犅犆上任取一点犇，以犆犇为边向外作等边三角形
犆犇犈，连接犃犇、犅犈．
求证：犅犈＝犃犇．
D
分析 要证犅犈＝犃犇，只需要证明△犅犈犆≌△犃犇犆． B C
证明 ∵ △犆犇犈和△犃犅犆均是等边三角形，
E
∴ 犆犈＝犆犇，犅犆＝犃犆，∠犅犆犈＝∠犃犆犇＝６０°
图１８３２
（等边三角形的每个内角都等于６０°）．
在△犅犈犆和△犃犇犆中，
烄犆犈＝犆犇，
∵ 烅∠犅犆犈＝∠犃犆犇，
烆犅犆＝犃犆，
∴ △犅犈犆≌△犃犇犆（ＳＡＳ）．
∴ 犅犈＝犃犇．
课堂练习１８．３
１．如图，已知：△犃犅犆是等边三角形，犇为
E
A
边犅犆延长线上一点，犆犈平分∠犃犆犇，犆犈＝
犅犇．求证：△犇犃犅≌△犈犃犆．
B C D
（第１题）
１ ２９
１８．３ 等边三角形２．如图，已知：点犅、犆、犈在同一直线上，△犃犅犆、△犇犆犈都
是等边三角形，连接犃犈、犅犇．求证：△犃犆犈≌△犅犆犇．
A
D
D
A 2
F
1
3
B C E B E C
（第２题） （第３题）
３．如图，在△犃犅犆中，点犇、犈、犉分别在边犃犅、犅犆、犆犃上，
△犇犈犉是等边三角形，∠１＝∠２＝∠３．△犃犅犆是等边三角形吗？试说
明理由．
习题１８．３
１．选择题：
（１）已知∠犃犗犅＝３０°，点犘在∠犃犗犅的内部，
A
在图中画出点犘、犘，使得点犘 与点犘关于犗犅对
１ ２ １
称，点犘 与点犘关于犗犃对称，那么以犘、犗、犘
２ １ ２ P
三点为顶点的三角形是 （ ） O B
（第１题）
Ａ．直角三角形；
Ｂ．钝角三角形；
Ｃ．只有两边相等的三角形；
Ｄ．等边三角形．
（２）下列所叙述的两个三角形中，一定全等的是 （ ）
Ａ．含６０°角的两个直角三角形；
１８
１ ３０
第 等腰三角形
章Ｂ．腰对应相等的两个等腰三角形；
Ｃ．边长均为１５ｃｍ的两个等边三角形；
A
Ｄ．顶角对应相等的两个等腰三角形．
２．如图，已知：△犃犅犆是等边三角形，犅犇是 D
边犃犆上的高，犈是边犅犆延长线上一点，∠犈＝３０°．
求证：犇犅＝犇犈． B C E
（第２题）
３．如图，已知：点犇在△犃犅犆的内部，△犃犅犆和
A
△犃犇犈都是等边三角形，连接犈犅、犇犆．求证：犈犅＝
E
犇犆．
D
C B
（第３题）
１ ３１
１８．３ 等边三角形１８．４
线段的垂直平分线
我们已经知道，等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角平分线（底
边上的中线、底边上的高）所在的直线．
C
定义 过线段中点且垂直于这条线段的直线叫作这
条线段的垂直平分线，简称中垂线．
A O B
如图１８４１，如果直线犆犇是线段犃犅的垂直平分
线，垂足为犗，那么犗犃＝犗犅，且犆犇⊥犃犅．
D
图１８４１
我们有下面的线段垂直平分线的性质定理：
定理 线段的垂直平分线上的任意一点到该线段两个端点的距离
相等．
如图１８４２，已知：直线犕犖是线段犃犅的垂直平
M
分线，垂足为犆，点犘在直线犕犖上．
P
求证：犘犃＝犘犅．
证明 因为直线犕犖是线段犃犅的垂直平分线，垂足
A C B
为犆，所以犕犖⊥犃犅，犃犆＝犅犆．
N
如果点犘不在线段犃犅上，由犕犖⊥犃犅，得∠犘犆犃＝
图１８４２
∠犘犆犅＝９０°．又因为犘犆是公共边，由“边角边”，得
△犘犆犃≌△犘犆犅．由此推出犘犃＝犘犅．
如果点犘在线段犃犅上，那么点犘与点犆重合，仍有犘犃＝犘犅．
这个定理的逆命题也是成立的，即有：
定理 与一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平
分线上．
１８
１ ３２
第 等腰三角形
章如图１８４３，已知：线段犃犅和一点犙，且犙犃＝犙犅．
求证：点犙在线段犃犅的垂直平分线上．
Q
A B
图１８４３
分析 要证点犙在线段犃犅的垂直平分线上，可以先经过点犙作线段
犃犅的垂线，然后证明该垂线平分线段犃犅．
证明 如果点犙在线段犃犅上，由犙犃＝犙犅，
也可以先平分线段
可知犙为线段犃犅的中点，即点犙必在线段犃犅的垂
犃犅，如设线段犃犅的
直平分线上． 中点为犆，连接犙犆，
然后证明犙犆垂直于线
段犃犅．
Q
A C B
图１８４４
如果点犙不在线段犃犅上，过点犙作犙犆⊥犃犅，垂足为犆（图１８４４）．
由犙犃＝犙犅，犙犆⊥犃犅，根据“等腰三角形三线合一”，可得犃犆＝犅犆，即犆
是线段犃犅的中点．由此可见，点犙在线段犃犅的垂直平分线上．
例１ 作已知线段的垂直平分线．
如图１８４５，已知线段犃犅，求作线段犃犅的垂直平分线．
A B
图１８４５
１ ３３
１８．４ 线段的垂直平分线分析 根据“与一条线段的两个端点距离相等的点，
E
在这条线段的垂直平分线上”，只需要作出两个点，使
每一个点到线段犃犅的两个端点的距离都相等，这两点
所确定的直线就是线段犃犅的垂直平分线．
作法
A C B
（１）以点犃为圆心、以犃犅的长为半径作弧；
（２）以点犅为圆心、以犃犅的长为半径作弧；
（３）两弧分别相交于点犈、犉，过点犈、犉作直
线犈犉．
F
图１８４６
直线犈犉就是线段犃犅的垂直平分线（图１８４６）．
图１８４６中，由于直线犈犉与线段犃犅的交点
你能根据作法证明
犆就是线段犃犅的中点，因此我们也可以用这种方
直线犈犉是线段犃犅的
法作线段的中点． 垂直平分线吗？
在例１的作图过程中，圆的半径是否必须是犃犅的长？
课堂练习１８．４（１）
１．如图，在△犃犅犆中，犃犅＝犃犆＝２４ｃｍ，犃犆的垂直平分线分别
交犃犅、犃犆于点犈、犉，且△犅犆犈的周长为３４ｃｍ．求底边犅犆的长．
A
F
E
B C A B
（第１题） （第２题）
２．如图，已知线段犃犅，用尺规四等分线段犃犅．
１８
１ ３４
第 等腰三角形
章例２ 过直线外一点作已知直线的垂线．
如图１８４７，已知直线犾和犾外一点犘，过点犘 P
求作直线犾的垂线．
分析 只需在直线犾上找出两点犃和犅，使点犘 l
图１８４７
在线段犃犅的垂直平分线上，就可以将问题转化为作
线段犃犅的垂直平分线．
作法
（１）任意取一点犓，使点犓和点犘分别在直线犾
C
的两侧；
P
（２）以点犘为圆心、以犘犓的长为半径作弧，与
直线犾相交于点犃、犅； A B l
K
（３）作线段犃犅的垂直平分线犆犇．
直线犆犇就是所求的垂线（图１８４８）． D
请自行完成证明．
图１８４８
１．例２的作法中，为什么要使所取的点犓与已知点犘在直线犾的
两侧？点犓与点犘必须在直线犾的两侧吗？
２．如何过直线上一点作该直线的垂线？
例３ 已知底边和底边上的高作等腰三角形．
如图１８４９，已知线段犪、犺．求作△犃犅犆，使犃犅
a
＝犃犆，且犅犆＝犪，高犃犇＝犺．
分析 先画出符合条件的示意图，根据犅犆＝犪，可
h
以确定点犅、犆的位置．由“等腰三角形三线合一”，作 图１８４９
犅犆的垂直平分线犕犖，交犅犆于点犇．由犃犇＝犺，可知
点犇到点犃的距离为犺，这就是说，点犃在以定点犇为圆心、以犺为半径的
圆上．因此，这个圆与犕犖的交点就是犃．
１ ３５
１８．４ 线段的垂直平分线作法
M
（１）作线段犅犆＝犪；
A
（２）作线段犅犆的垂直平分线犕犖，犕犖与犅犆相交
于点犇；
（３）以点犇为圆心、以犺的长为半径作弧，交犕犖于
点犃；
B D C
（４）分别连接犃犅、犃犆．
N
△犃犅犆就是所求的三角形（图１８４１０）．
图１８４１０
例４ 如图１８４１１，已知：在△犃犅犆中，犗犕、
犗犖分别是边犃犅、犃犆的垂直平分线，犗犕与犗犖相交于点犗．
求证：点犗在边犅犆的垂直平分线上．
M A
N
O
B C
图１８４１１
证明 如图１８４１２，分别连接犗犅、犗犃、犗犆．
M A
∵ 犗犕、犗犖分别是边犃犅、犃犆的垂直平分线， N
∴ 犗犃＝犗犅，犗犆＝犗犃 （线段垂直平分线的性质
定理）． O
B C
∴ 犗犅＝犗犆．
图１８４１２
∴ 点犗在边犅犆的垂直平分线上 （与一条线段的
两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）．
本题的结论表明：三角形的三条边的垂直平分线相交于一点，这个交点
叫作三角形的外心．
１８
１ ３６
第 等腰三角形
章课堂练习１８．４（２）
１．如图，已知△犃犅犆，求作边犅犆上的高犃犇．
C
A
E
B C A D B
（第１题） （第２题）
２．如图，已知：犆犇垂直平分线段犃犅，犈是线段犆犇上一点，连接
犆犃、犆犅、犈犃、犈犅．求证：∠犆犃犈＝∠犆犅犈．
习题１８．４
１．如图，已知线段犪、犫，求作 Ｒｔ△犃犅犆，使∠犅＝９０°，且犃犅＝犪，
犅犆＝犫．
B
a A
b M N
（第１题） （第２题）
２．如图，已知直线犕犖和直线外的两点犃、犅，在直线犕犖上求作一点
犘，使犘犃＝犘犅．
３．如图，在△犃犅犆中，∠犅＝１１５°．犃犆的垂直平分线与犃犅交于点犇．
连接犆犇．如果∠犅犆犇与∠犇犆犃的度数比为３∶５．那么∠犃犆犅的度数是
多少？
１ ３７
１８．４ 线段的垂直平分线A
B
D
F
A C
B D C E
（第３题） （第４题）
４．如图，已知：犃犇平分∠犅犃犆，犃犇的垂直平分线交犅犆的延长线于点
犈，交犃犇于点犉．求证：∠犆犃犈＝∠犅．
５．如图，在△犃犅犆中，∠犆＝１１０°，边犃犅、犆犅的垂直平分线相交于点
犘，连接犃犘、犅犘．求∠犃犘犅的度数．
C
B
A
A B
P
M N
（第５题） （第６题）
６．如图，要在某天然气管道犕犖上修建一个泵站，分别向犃、犅两镇供
气．泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？
１８
１ ３８
第 等腰三角形
章到三个定点距离之和最小的点
设要建造一座发电厂向附近的三座工厂输电，将发电厂建造在哪里，可
以使从发电厂出发的输电线的总长度最短？
把问题数学化．设三座工厂为平面上的三个点犃、犅、犆，发电厂为点犘，
需确定点犘的位置，使犘犃＋犘犅＋犘犆最小．当点犃、犅、犆共线时，点犘
应取三点中居中的点．当点犃、犅、犆不共线时，若△犃犅犆的三个内角均小
于１２０°，则所求的点犘应满足∠犃犘犅＝∠犅犘犆＝∠犆犘犃＝１２０°；而若△犃犅犆
有一个内角大于或等于１２０°，则所求的点犘应为该三角形最大内角的顶点．
约１６４０年，法国数学家费马（ＰｉｅｒｒｅｄｅＦｅｒｍａｔ，１６０１—１６６５）提出了这个问
题，此问题中求得的点犘也称为费马点．
下面，我们说明三角形最大内角小于１２０°的情况．
如图１，已知：在△犃犅犆中，最大角∠犅犃犆＜１２０°，点犘在△犃犅犆内，
使得犘犃＋犘犅＋犘犆最小．求证：∠犃犘犅＝∠犅犘犆＝∠犆犘犃＝１２０°．
A
P
B C
图１
证明：如图２，将△犅犘犆绕点犅顺时针旋转６０°至△犅犘′犆′的位置，即作
线段犅犆′＝犅犆，使得∠犆′犅犆＝６０°，且点犆′与点犃在直线犅犆的异侧；作线
段犅犘′＝犅犘，使得∠犘犅犘′＝６０°，且点犘′与点犃在直线犅犘的异侧．连接
犆′犘′，这时△犅犘犘′是一个等边三角形，且△犅犘′犆′≌△犅犘犆，于是犘犃＋
犘犅＋犘犆＝犘犃＋犘犘′＋犘′犆′．
１ ３９
阅读材料A A
P
P
B C B C
P′
P′
C′ C′
图２ 图３
因为犃、犆′为定点，欲使犘犃＋犘犅＋犘犆最小，由三角不等式，可知点犘
应在线段犃犆′上．如图３，此时，由于∠犅犘犘′＝∠犅犘′犘＝６０°，可得∠犅犘犃＝
１２０°，∠犅犘犆＝∠犅犘′犆′＝１２０°．所以∠犃犘犆＝３６０°－１２０°×２＝１２０°．
从上面的证明还可以得到△犅犆′犆是等边三角形．
D
由此我们可以快速找到这类三角形的费马点．作法如
下：分别以△犃犅犆的边犃犅、犅犆为边向外作等边三角 A
形犃犅犇和等边三角形犅犆犈，此时犆犇和犃犈交于一点
P
犘，点犘就是所求的费马点，如图４所示．
B C
还可以证明，当∠犅犃犆≥１２０°时，点犃为所求的
费马点．
费马点是到平面上三个给定点的距离之和最小的
点．如果要确定到平面上狀个给定点的距离之和最小的
E
点，问题就复杂多了，但它在公路、铁路的路网设计乃 图４
至集成电路的布线中都有应用．
１８
１ ４０
第 等腰三角形
章１．基本概念：等腰三角形，等边三角形，线段的垂直平分线，三角形的
外心．
２．等腰三角形：
（１）等腰三角形的两底角相等（等边对等角）．
（２）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（等
腰三角形三线合一）．
（３）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角
对等边）．
３．等边三角形：
（１）等边三角形的每个内角都等于６０°．
（２）三个内角都相等的三角形是等边三角形．
４．在三角形中，大边对大角，大角对大边．
５．线段的垂直平分线：
（１）性质定理：线段的垂直平分线上的任意一点到该线段两个端点的距
离相等．
（２）与一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
１ ４１
内容提要１．如图，已知：在△犃犅犆中，犃犅＝犃犆，点犇在边犅犆上，∠１＝∠犅＝
１
∠２．求证：△犃犅犇是等腰三角形．
２
D
A
2 1
A C
B C
D B
（第１题） （第２题）
２．如图，已知：犃犅＝犃犇，∠犃犅犆＝∠犃犇犆．求证：犃犆平分∠犅犃犇．
３．如图，已知：犇犆∥犃犅，犃犆与犅犇相交于点犗，且犗犃＜犗犅．求证：
犗犆＜犗犇．
C B
D C
O
A B A D
（第３题） （第４题）
４．如图，已知：犆犇垂直平分线段犃犅，犃犅平分∠犆犃犇．求证：犃犇∥犅犆．
５．如图，在Ｒｔ△犃犅犆中，∠犃犆犅＝９０°，∠犅＝３６°，点犇、犈在边犃犅
上．如果犅犆＝犅犇，∠犆犈犇＝∠犆犇犅，那么图中的等腰三角形有 个．
１８
１ ４２
第 等腰三角形
章N
A
D
M
E
E F
C B A C B
（第５题） （第６题）
６．如图，已知：犆为线段犃犅上一点，△犃犆犕、△犆犅犖都是等边三角
形，直线犃犖、犕犆相交于点犈，直线犅犕、犆犖相交于点犉．
（１）求证：犃犖＝犕犅；
（２）求证：△犆犈犉是等边三角形．
７．如图，已知：犃犅＝犇犆，犃犆＝犅犇．求证：∠犅＝∠犆．
A D C
D
1
2
B C A B
（第７题） （第８题）
８．如图，已知：在△犃犅犆中，点犇在边犅犆上，∠１＝∠２，犇犃＝犇犅，
１
犃犆＝ 犃犅．求证：犇犆⊥犃犆．
２
９．如图，分别以Ｒｔ△犃犅犆的两条直角边犃犅、犅犆为边作等边三角形
犃犅犈和等边三角形犅犆犉，连接犈犉、犈犆．
（１）在图中找出一对全等三角形，并证明你的结论；
（２）犅犈和犆犉有怎样的位置关系？
C
A
E
B
F
（第９题）
１ ４３
复习题１０．如图，已知：犃犇∥犅犆，犈是线段犆犇的中点，犃犈平分∠犅犃犇．求
证：犅犈平分∠犃犅犆．
A D
E
B C
（第１０题）
１８
１ ４４
第 等腰三角形
章书书书积木可以叠多远？
叠积木是童年时常见的一种益智游戏，能够锻炼我们的手眼协调能力和
耐力．如图１，有若干块长、宽、高分别对应相同且材质均匀、质量相等的积
木，将它们叠在一起并逐块延伸，在不倒塌的情况下，积木可以延伸多远？
图１
准备活动
取５块长度为犾的相同积木，四边对齐叠放，如图２所示．沿平行于积木
长边的方向推动最上面的积木（即积木①）而不触碰其他积木，在不倾倒的前
提下积木①可延伸的最大长度是多少？
A B
0 0
?
A B
1 1
?
A B
2 2
?
A B
3 3
?
A B
4 4
?
A B
5 5
图２
我们知道，材质均匀的长方体形状积木，它的重心在中心的位置，如图
３（１）中的点犖 是积木①的重心．当积木①延伸出的长度犱（即点犅′到点犅
１ １ １ １
的水平距离）小于点犖 到点犅 的水平距离犱 时，积木①不会倾倒．若点犖
１ １ ２ １
超出积木②的边缘，积木①就会倒下来，如图３（３）所示．因此想要积木①延
伸的长度最大，水平方向上点犖 需刚好在积木②的边缘，即点犖 在犅犅
１ １ ５ ２
１ ４６ 综合与实践
书书书犾
的延长线上，如图３（２）所示．由此我们知道：１块积木最远延伸长度为 ．
２
A
A 0 d 2 B 0 A 0 B 0 0 ?
A ? N 1 d 1 B A ? N 1 B A N 1 B 0
A 1 2 ? ? B B 2 1 1 A 1 2 ? ? B B 2 1 1 A 1 2 ? ? B B 2 1 B 1
A 3 ? B 3 A 3 ? B 3 A 3 ? B 3
A 4 B 4 A 4 B 4 A 4 B 4
? ? ?
A B A B A B
5 5 5 5 5 5
（１） （２） （３）
图３ 延伸１块积木的示意图
若干块长、宽、高分别对应相同且材质均匀、质量相等的积木，将它们
如图１（２）所示地叠起来，我们称这是一个长方体积木组合．显然，一个长方
体积木组合可以看作几个长方体积木组合叠在一起，比如图１（２）中的组合可
以看作是上面三块长方体积木叠在一起的组合叠在下面两块积木的组合之上．
对于这样的长方体积木组合，我们进一步给出以下预备知识：
１．一个长方体积木组合的重心的水平位置偏移其最下方长方体积木重心
的水平距离，等于组合中各个长方体积木重心偏移最下方长方体积木重心的
水平距离的平均数．
２．一个长方体积木组合的重心的高度等于组合中各个长方体积木重心高
度的平均数．
３．两个长方体积木组合叠在一起组成一个新的组合，当上方组合的重心
在水平方向上超过下方组合的边缘，就会倒下．
活动１ 延伸２块积木
在图３（２）的基础上，保持积木②和积木①的相对位置不变，按表１中手
指方向推动积木①②的组合．
问题１ 计算积木①②组合的重心的初始位置，即重心的高度和偏移积
木⑤重心的水平距离．
１ ４７
积木可以叠多远？问题２ 当积木①②组合被推出最远时，它的重心位置在哪里？这时积
木①、②的重心位置又分别在哪里？请仿照图３（２），在表１的蓝色框中标注
出积木①②组合的重心位置，记作点犖．
２
问题３ 积木①②组合的最远延伸长度是多少？请填入表１．
表１ 延伸２块积木活动记录表
延伸１块积木至最远 推动积木② 延伸２块积木至最远
A B A B
0 0 0 0
? N ? N
A 1 B A 1 B
1 B 1 1 B 1
? 1 ? 1
A 2 ? B 2 A 2 ? B 2 B 2
A 3 ? B 3 A 3 ? B 3
A 4 ? B 4 A 4 ? B 4
A B A B
5 5 5 5
犾 积木①②组合最远延伸长
积木①最远延伸长度＝
２ 度＝
活动２ 延伸３块积木
与活动１类似，在活动１结果的基础上，保持积木①、②、③的相对位置
不变．按表２中手指方向推动积木①②③的组合．
问题１ 计算积木①②③组合重心的初始位置．
问题２ 当积木①②③组合被推出最远时，它的重心位置在哪里？这时
积木①、②、③的重心又分别在哪里？请仿照表１，在表２的蓝色框中标注出
积木①②③组合的重心位置，记作点犖．
３
问题３ 积木①②③组合的最远延伸长度是多少？请填入表２．
１ ４８ 综合与实践表２ 延伸３块积木活动记录表
推动积木③ 延伸３块积木至最远
A B
0 0
? N
A 1 B
1 B 1
? 1
A B
2 B2
? 2
A B
3 ? B 3 3
A 4 B 4
?
A B
5 5
积木①②③组合最远延伸长度＝
活动３ 延伸４块积木
在活动２结果的基础上，保持积木①、②、③、④的相对位置不变．按表
３中手指方向推动积木①②③④的组合．
问题１ 计算积木①②③④组合重心的初始位置．
问题２ 当积木①②③④组合被推出最远时，它的重心位置在哪里？这
时积木①、②、③、④的重心又分别在哪里？请仿照表２，在表３的蓝色框中
标注出积木①②③④组合的重心位置，记作点犖．
４
问题３ 积木①②③④组合的最远延伸长度是多少？请填入表３．
表３ 延伸４块积木活动记录表
推动积木④ 延伸４块积木至最远
A B
0 0
? N
A 1 B
1 1
? B 1
A B
2 B2
? 2
A B
3 ? B 3 3
A B
4 ? B 4 4
A B
5 5
积木①②③④组合最远延伸长度＝
１ ４９
积木可以叠多远？拓展活动
（１）如果有狀块长度为犾的积木，按照上述的堆叠方式，写出狀块积木可
延伸的最大长度．
（２）如果有足够多的积木，按照上述的堆叠方式，是否可以将积木组合
延伸至无穷远？请说明理由．
１ ５０ 综合与实践田径比赛中的数学
我国田径运动员在国际体育赛事中屡获佳绩，我们在为运动员的精彩表
现鼓掌时有没有想过田径比赛和数学的关系？
田赛项目成绩确定中的数学
活动１ 铅球比赛成绩的确定
学校的铅球场地，由投掷区、抵趾板和落地区组成，如图１所示．运动员
推出的铅球着地后会留下痕迹．裁判员会按照如下步骤测量并给出成绩：
B
I)9%
C.
U;3U
9
图１ 铅球场地平面图
１．将皮尺的零刻度线拉至铅球落点；
２．将皮尺的另一端拉长并经过投掷区的圆心；
３．将皮尺拉直，读取皮尺上落在投掷区抵趾板内沿处的数值，作为运动
员的成绩．
从上面的步骤中，你能找到铅球比赛成绩确定的数学依据吗？请用数学
语言表示铅球运动员的成绩．
活动２ 请查阅资料，叙述跳远比赛成绩的确定方法，并说明其依据的数
学原理．
活动３ 请查阅资料，叙述跳高比赛成绩的确定方法，并说明其依据的数
学原理．
１ ５１
田径比赛中的数学
书书书径赛跑道中的数学
我们在观看田径比赛时，会注意到径赛跑道
上有很多标志线．例如４００ｍ比赛的起跑线在每
个赛道上是不同的，这是为什么呢？
活动１ 请查阅４００ｍ标准跑道的相关数据，
并填空．
图２ 田径赛场
名称（４００ｍ标准跑道） 长度或宽度（单位：ｍ） 数据来源
第一分道（跑道）（最内侧）周长测量线的长度
分道线（白线）的宽度
一条分道的标准宽度（沿跑进方向的右侧分
道线的宽度计入每条分道的宽度）
弯道最内侧半径
一侧弯道最内侧长度（两侧弯道长度相等）
直道长度
径赛规则规定，第一分道（跑道）周长的测量线是距离内突沿的外沿０．３０ｍ
处，其余各条分道的周长测量线是距离里侧分道线的外沿０．２０ｍ处．
3%+3 B%+3 Um
E J
! 3"F
E3
1.22 +3
0.05 0.20
E3
1.22 B/"F 0EUBEU
0.30
E3
/!0.05U U 0E J
! 3"F
注：图中比例未统一，数据仅供参考．
图３ 跑道长度测量点位示意图
（引用：国家市场监督管理总局和国家标准化管理委员会发布．体育场地使用要求及
检验方法第６部分：田径场地．２０２０ １１ １９发布，第１２页．）
１ ５２ 综合与实践活动２ 请根据活动１的数据，通过计算，确定４００ｍ比赛时，第２跑道
的起跑线与第１跑道的起跑线应该相差多少（结果精确到０．０１ｍ）？
活动３ 请通过实际测量，判断你所在学校或附近体育场馆的跑道比赛起
跑线的设置是否规范，如果不规范，请给出合理的修改建议．
绘制示意图
活动１ 测量你所在的学校或附近体育场馆的跑道数据，根据测量所得数
据绘制平面示意图．
活动２ 测量你所在的学校的铅球（或实心球）投掷区的数据，根据测量所
得数据绘制平面示意图．
活动３ 制作展示海报，在班级进行交流，互相学习，总结不足，并改进
示意图．
１ ５３
田径比赛中的数学附 录
部分中英文词汇索引
15. 一元一次不等式
大于 2
greater than
小于 2
less than
不等式 2
inequality
一元一次不等式 7
linear inequality with one unknown
16. 相交线与平行线
公理 25
axiom
定义 26
definition
对顶角 27
vertical angles
证明 27
proof
定理 27
theorem
垂直［的］ 29
perpendicular
垂足 29
foot of a perpendicular
平行线 35
parallel lines
反证法 36
proof by contradiction
同位角 37
corresponding angles
内错角 42
alternate interior angles
同旁内角 45
same side interior angles
命题 53
proposition
逆命题 54
converse proposition
反例 56
counterexample
17. 三角形
三角形 65
triangle
锐角三角形 67
acute triangle
154直角三角形 67
right triangle
钝角三角形 67
obtuse triangle
等腰三角形 67
isosceles triangle
等边三角形 67
equilateral triangle
高［线］ 68
altitude
中线 68
median
（三角形的）外角 74
exterior angle (of a triangle)
全等形 82
congruent figures
全等三角形 82
congruent triangles
18. 等腰三角形
垂直平分线，中垂线 132
perpendicular bisector
155后 记
本套教科书根据教育部颁布的《义务教育数学课程标准（2022 年版）》
编写 .
本册教科书是七年级下册. 在主编李大潜的主持下，由徐斌艳任本册主
编，编写人员分别为：
王春明、应坚刚、金荣生（第15章），王松萍、胡军、周子翔、应坚刚、金荣生
（第 16 章），陶志诚、高洁、应坚刚、金荣生（第 17 章），王松萍、高洁、周子翔、
应坚刚、金荣生（第18章），朱雁、陆立强、王鼎、王海生（综合与实践）.
感谢编写团队的团结协作和不懈努力，并对王建磐教授的协助表示衷心的
谢忱.
编写过程中，上海市课程教育教学研究基地（中小学课程方案基地）、上海
市心理教育教学研究基地、上海基础教育教材建设重点研究基地、两个上海市
数学教育教学研究基地（分别设在复旦大学和华东师范大学）等上海高校“立
德树人”人文社会科学重点研究基地对教科书编写工作给予了大力支持，在此
表示衷心的感谢.
我们要感谢一直支持、关心和帮助我们工作的同志和朋友们. 大家的热忱
指导和帮助，我们定会铭记于心，并化为我们的工作动力.
欢迎广大师生来电来函提出宝贵意见.
联系电话：021-64319241（内容） 021-64373213（印刷或装订）
电子邮箱：jcjy@seph.com.cn
地 址：上海市闵行区号景路159弄C座上海教育出版社（201101）
