数学八上湘教版（2025秋）(1)_初中数学_湘教版

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数数数数数数数 学学学学学学学
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数数数数数数数学学学学学学学
ISBN 978-7-5539-9994-4
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定价：12.42元
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YIWU JIAOYU JIAOKESHU
数 学
SHUXUE
八年级上册顾 问 袁亚湘 郑志明
主 编 丘维声
副 主 编 柳 彬
编写人员 王新茂 成礼智 李建利 李超贵 邹楚林
陈金红 周大明 赵雄辉
著作权所有，请勿擅用本书制作各类出版物，违者必究。
图书在版编目（CIP）数据
义务教育教科书. 数学八年级上册 / 丘维声主编. —长沙：
湖南教育出版社，2025.6
ISBN 978-7-5539-9994-4
Ⅰ. ①义… Ⅱ. ①丘… Ⅲ. ①中学数学课—初中—教材
Ⅳ. ①G634
中国国家版本馆CIP数据核字（2024）第039730号
义务教育教科书
数 学
八年级上册
YIWU JIAOYU JIAOKESHU
SHUXUE
BANIANJI SHANGCE
责任编辑：易星星 李漫溢
美术编辑：张婷婷
湖南教育出版社出版(长沙市韶山北路443号)
电子邮箱：hnephmath@126.com
客服电话：0731-85486740
湖 南 出 版 中 心
湖南省新华书店发行
湖南天闻新华印务有限公司印刷
787 mm×1092 mm 16开 印张：12.5 字数：204 000
2025年6月第1版 2025年6月第1次印刷
ISBN 978-7-5539-9994-4
定价：12.42元（2025秋）
如有质量问题，影响阅读，请与湖南出版中心联系。
联系电话：0731-88388986前 言
亲爱的同学，欢迎你开启八年级的学习生活，并在数学世界里
继续成长！先来了解本学期数学的主要学习内容吧.
在七年级下学期，你已经学习了整式的乘法，知道几个多项式
的乘积结果可用一个多项式表示. 反过来，一个多项式能否分解为
几个多项式的积呢？如果能，又如何分解？在第
1
章“因式分解”
中，你将找到答案.
进入初中后，你已经体验了由“数”到“式”的学习. 在第 章
2
“分式”中，你将类比分数的概念、性质及其加减乘除运算，学习分
式的概念、性质及其加减乘除运算. 你还将学习运用可化为一元一
次方程的分式方程解决一些实际问题，进一步发展你的模型思想.
你已经知道，对于实数a，如果a>0 ，那么它有两个平方根.
数学上把形如 a（a≥0 ）的式子叫作二次根式. 在第
3
章“二次根
式”中，你将学习二次根式的性质，如何化简二次根式，以及二次
根式的加减乘除运算等.
生活中常常见到能完全重合的三角形（即全等三角形）. 如何判
断两个三角形全等？全等的两个三角形又具有哪些性质？等腰（等
边）三角形作为一种特殊三角形，具有什么特殊性质？如何判断一个
三角形是等腰（等边）三角形？这些都是第
4
章“三角形”中你将学
习的主要内容.
直角三角形作为一类特殊三角形，是否具有特殊性质？如有，
又是怎样的性质呢？如何判定一个三角形是直角三角形？判定两个
直角三角形全等是否有特殊方法？这些问题，你在学完第
5
章“直
角三角形”后就会迎刃而解.
在“综合与实践”专栏，你将体验到《空瓶换汽水》《利用拼接
1探究勾股定理》的奇妙.
在“数学文化”专栏，你将认识《陈景润：勇攀科学高峰的典
范》，了解《欧几里得与〈原本〉》《〈周髀算经〉与勾股定理》.
本学期，建议你认真学习新知，注重新旧知识的比较，寻找它
们之间的区别与联系，促进知识的变通和转化. 同时，深入钻研、
勤思多问，学会讲道理，对所学知识、方法、技巧和规律进行归纳
总结，不断增强探究能力.
无论七年级的学习效果是否令自己满意，你都不能气馁，更不
能失去信心. 只要你认真做了，只要你比昨天做得好，就应为自己
喝彩，为自己加油鼓掌！只要你每天前进一小步，就会离自己的梦
想更近一步. 蕴藏着无限潜力的你，向着目标继续加油努力吧！
2目目 录录
231
第第第 章章章 因式分解 1
1.1 多项式的因式分解 2
1.2 提公因式法 5
1.3 公式法 9
■ 多知道一点 十字相乘法与分组分解法 14
■ 小结与评价 16
■ 复习题1 17
■ 数学文化 陈景润：勇攀科学高峰的典范 20
223
第第第 章章章 分 式 23
2.1 分式的概念及基本性质 24
2.2 分式的加法和减法 30
2.3 分式的乘法和除法 38
2.4 整数指数幂 43
2.5 可化为一元一次方程的分式方程 52
■ 小结与评价 58
■ 复习题2 60
综合与实践 空瓶换汽水 62
3
第 章 二次根式 64
3.1 二次根式的概念及性质 65
3.2 二次根式的乘法和除法 70
3.3 二次根式的加法和减法 75
1■ 小结与评价 81
■ 复习题3 82
4
第 章 三角形
85
4.1 认识三角形 86
4.2 命题与证明 95
4.3 全等三角形 104
■ 多知道一点 利用平移、轴对称和旋转证明角边角
与边边边定理 121
4.4 尺规作图 124
4.5 等腰三角形 129
4.6 线段的垂直平分线 137
■ 现代技术应用 用计算机探究“将军饮马”问题 144
■ 小结与评价 146
■ 复习题4 148
■ 数学文化 欧几里得与《原本》 153
25
第第 章章 直角三角形 156
5.1 直角三角形的性质定理 157
5.2 勾股定理及其逆定理 164
5.3 直角三角形全等的判定 174
5.4 角平分线的性质 177
■ 现代技术应用 用计算机探究勾股定理 183
■ 小结与评价 185
■ 复习题5 187
■ 数学文化 《周髀算经》与勾股定理 190
综合与实践 利用拼接探究勾股定理 192
2第 1 章
因 式 分 解
我们知道，将一个整体分成它的几个组成部分称为分解.
类似地，可以将一个多项式分解成几个多项式的乘积. 例
如，把平方差公式从右到左地写，得到x2-y2=（x+y）（x-y），
于是称多项式x2-y2可以分解成多项式x+y与x-y的积. 又
如，将完全平方公式（x+y）2=x2+2xy+y2从右到左地写，得
到x2+2xy+y2=（x+y）2，于是称多项式x2+2xy+y2可以分
解成x+y与x+y的积.
数学中，为了解决某些问题，常需要将一个多项式分解为几
个多项式的积，如何分解呢？本章将进行学习.x2-5x+6=(x-2)(x-3)
1.1 多项式的因式分解
做一做
（1）因为（x+1）2= ，所以x2+2x+1=（x+1）（ ）；
（2）因为x（x- 3）= ，所以x2- 3 x=x（ ）.
（1）因为（x+1）2=x2+2x+1，
所以x2+2x+1=（x+1）2=（x+1）（x+1）.
（2）因为x（x- 3）=x2- 3 x，
所以x2- 3 x=x（x- 3）.
抽 象
一般地，对于多项式①f与g，如果有多项式h使得f=gh，那么把g叫作f
的一个因式. 此时，h也是f 的一个因式.
由于x2+2x+1=（x+1）2，则x+1是多项式x2+2x+1的因式.
类似地，由于x2- 3 x=x（x- 3），则x和x- 3 都是x2- 3 x的
因式.
一般地，把一个多项式表示成若干个多项式的乘积形式，称为把这个多
项式因式分解，也称为分解因式.
例1 填空：
因为（x-2）（x-3）= ，
所以 =（x-2）（x-3）是多项式 的因式分解.
解 （x-2）（x-3）=x2-3x-2x+（-2）×（-3）
=x2-5x+6，
因此三个空格都填写x2-5x+6 .
①在现代数学文献中，也可把单项式看作是只有一项的多项式.
2第1章 因式分解
议一议
多项式的因式分解与多项式的乘法之间有什么关系？与同学交流你
的想法.
多项式的因式分解与多项式的乘法运算是不同的. 多项式的因式分解是把
一个多项式化成几个多项式的乘积， 而多项式的乘法运算是把几个多项式的乘
积化成一个多项式.
多项式的因式分解与多项式的乘法运算是互逆的变形过程，可以利用多项
式的乘法运算检验因式分解的结果是否正确. 例如：
因式分解
x2-y2 （x+y）（x-y）.
多项式的乘法
例2 下列各式从左边到右边的变形是因式分解吗？若是，说明理由并指
出它的因式；若不是，说明理由即可.
（1）x（x-2y）=x2-2xy；
（2）x2-2x+1=x（x-2）+1；
（3）3x2- 5 x=x（3x- 5）；
（4）xy-x-y+1=（x-1）（y-1）.
解 （1）不是因式分解. 理由：它是整式的乘法.
（2）不是因式分解. 理由：等式右边不是几个多项式的乘积形式.
（3）是因式分解. 理由：等式右边是两个多项式的乘积形式，且x（3x-
5）=3x2- 5 x，因而符合因式分解的定义 . 3x2- 5 x 的因式为 x 和
3x- 5 .
（4） 是因式分解. 理由：等式右边是两个多项式的乘积形式，且（x-
1）（y-1）=xy-x-y+1，因而符合因式分解的定义. xy-x-y+1的因式
为x-1和y-1 .
把多项式因式分解的重要用处之一是：可以较简便地求出关于x的多项式
中，x用哪些数代入能够使得这个多项式的值为0 . 这将为后面学习一元二次方
3数学 八年级上册
程的解法做铺垫. 当然，在下一章分式运算的学习中，也需要用到多项式的因
式分解.
练 习
1 填空：
因为（x-4 ）（x+5 ）
=
，
所以
=
（x-4 ）（x+5 ）是多项式 的因式分解.
2 下列各式从左边到右边的变形是因式分解吗？若是，说明理由并指出它的
因式；若不是，说明理由即可.
（ 1 ）（x+1 ）（x+2 ） =x2+3x+2 ；
（
2
） 2x2y+4xy2=2xy（x+2y）；
（
3
）x2-2= （x+1 ）（x-1 ）
-1
；
（ 4 ） 4x2-4x+1= （ 2x-1 ）2.
习题1. 1
学而时习之
１ 下列各式从左边到右边的变形是因式分解吗？若是，说明理由并指出它的
因式；若不是，说明理由即可.
（
1
）x2+xy=x（x+y）；
（
2
） 4x2-8x-1=4x（x-2 ）
-1
；
（
3
）ax2-bx2-x=x（ax-bx-1 ）；
（ 4 ） 2xy+2x-y-1=（ 2x-1 ）（y+1 ）.
温故而知新
2 检验下列因式分解是否正确.
（
1
）x2-x=x（x-1 ）； （
2
）x2-1= （x+1 ）（x-1 ）；
（ 3 ）x2-5x-6= （x-2 ）（x-3 ）； （ 4 ） 2x2-y2= （ 2x+y）（ 2x-y）.
41.2 提公因式法
说一说
分别说出xy，3xz中次数大于0的因式，其中有相同的因式吗？
xy中，次数大于0的
因式有x，y； xy与3xz有相同的
3xz中，次数大于0的 因式x.
因式有x，z.
几个多项式的相同因式称为它们的公因式.
由于x（y+3z）=xy+3xz，
故xy+3xz=x（y+3z）是多项式xy+3xz的因式分解.
像上面这样，如果一个多项式的各项有公因式，从右到左使用多项式的乘
法对加法的分配律，可以把所有公因式提到括号外面. 这种把多项式因式分解
的方法叫作提公因式法.
例1 把多项式4x2-6x3因式分解.
分析 多项式由 4x2和 -6x3这两项组成，它们的系数分别为
4
，
-6
，不考
虑其符号，则
4
与
6
的最大公因数是
2
；这两项都含有字母x，且x的最低次数
为
2
. 因此，可提出公因式 2x2.
解 4x2-6x3=2x2（2-3x）.
例2 把多项式8x2y4-12xy2z因式分解.
解 8x2y4-12xy2z=4xy2 ⋅ 2xy2-4xy2 ⋅ 3z
=4xy2（2xy2-3z）.
5数学 八年级上册
议一议
三名同学对多项式2x2+4x进行因式分解，结果如下：
（1）2x2+4x=2（x2+2x）； （2）2x2+4x=x（2x+4）；
（3）2x2+4x=2x（x+2）.
上述结果正确吗？用提公因式法分解因式时，你认为应注意什么？
例3 把多项式5x2-3xy+x因式分解.
分析 多项式由 5x2， -3xy和x这三项组成，
它们的系数分别为 ， ， ，不考虑其符号，则
5 -3 1
5
，
3
，
1
的最大公因数是
1
；这三项都含有字母x，
提公因式后，第三
且x的最低次数为
1
. 因此，可提出公因式x.
项还剩下数字1.
解 5x2-3xy+x=x（5x-3y+1）.
例4 把多项式-3x2+6xy-3xz因式分解.
分析 多项式 -3x2+6xy-3xz的首项系数为负数，一般先将负号提取
出来，此时括号内各项都要改变符号，然后进行因式分解.
解 -3x2+6xy-3xz=-（3x2-6xy+3xz）=-3x（x-2y+z）.
练 习
1 说出下列多项式中各项的公因式：
（
1
） 5x+2xy； （
2
） πx3+πx2；
（
3
） -12x2y+18xy-15y.
2 在下列括号内填写适当的多项式：
（
1
） 3x4-2x3+x=x（ ）；
（
2
） -30x3y2+48x2yz=-6x2y（ ）.
3 把下列多项式因式分解：
（
1
） 3xy-15y2+9y； （
2
） 7x3y-4x2y3+18xy2；
（
3
） 12x4y2z3+4x3yz2-8x2yz4； （
4
） -6x3y2-4x2y3+10x2y2.
6第1章 因式分解
做一做
把下列多项式因式分解：
（1）x（x-2）-y（x-2）；
（2）x（x-2）-y（2-x）.
对于（1），可以直接提出公因式x-2；对于（2），将2-x变形为-（x-2），
再提出公因式x-2 .
（1）x（x-2）-y（x-2）=（x-2）（x-y）.
（2）x（x-2）-y（2-x）=x（x-2）-y［-（x-2）]
=x（x-2）+y（x-2）
=（x-2）（x+y）.
例5 把多项式12xy2（x-y）2-18x2y（y-x）2因式分解.
解 12xy2（x-y）2-18x2y（y-x）2
=12xy2（x-y）2-18x2y（x-y）2
=6xy（x-y）2 ⋅ 2y-6xy（x-y）2 ⋅ 3x
=6xy（x-y）2（2y-3x）.
例6 把多项式2 3 x3y-10 3 xy2因式分解.
分析 ， ，所以公因式的系数为 .
2 3 =2× 3 10 3 =10× 3 2 3
解 2 3 x3y-10 3 xy2
=2 3 xy ⋅ x2-2 3 xy ⋅ 5y
=2 3
xy（x2-5y）.
议一议
4 2
将多项式 x3y2- x2y3因式分解，对比其他同学的答案，你们的
9 3
结果一样吗？
7数学 八年级上册
练 习
把下列多项式因式分解：
（
1
）x（x-y）+y2（x-y）； （
2
）x（x-y）+y2（y-x）；
（
3
）a2（x-y）2+ab（y-x）2； （
4
） 4x2y（x-y）-6xy2（x-y）；
（ 5 ） 8 2 x2-12 2 x； （ 6 ） 4 3 x3y-2 3 x2y2.
习题1. 2
学而时习之
1 在下列括号内填写适当的多项式：
（1）-2x2+10x-6xy=-2x（ ）；
（2）πx3+πx2y=πx（2 ）；
（3）6 5 x4y2+14 5 x2y=2 5 x2y（ ）.
2 把下列多项式因式分解：
（1）-4x2+10x； （2）-5xy+3y2-y；
（3）3x4y2-x2y3； （4）15x3y-21x2y3+6x2y2；
（5）x（x+y）（y-x） -y（x+y）（x-y）.
温故而知新
3 把下列多项式因式分解：
（1）（x-1 ）（x2+x+1 ）
+
（x+1 ）（x2+x+1 ）；
（2）x（y-3 ） - （ 2y-6 ）；
（3）（y-x）2（x+y）2- （x-y）2（x+y）；
（4）x（x2-xy）
-
（ 4x2-4xy）；
（5）2x3y2- 2 x2y3.
4 已知x2+3x=-2 ，求 5xn+2+15xn+1+10x（n n为正整数）的值.
81.3 公式法
前面学习了用提公因式法把一个多项式因式分解，下面我们来探索因式分
解的另一种基本方法.
说一说
请说出平方差公式.
（x+y）（x-y）=x2-y2.
我们已经知道，上述公式中的x，y，可以分别用任何数或任意多项式代
入. 例如，在平方差公式中，将y用5代入得到等式：
（x+5）（x-5）=x2-52=x2-25 .
把这个等式从右到左使用，就可以把多项式x2-25因式分解：
x2-25=x2-52=（x+5）（x-5）.
像上面那样，把乘法公式从右到左使用，就可以把某些形式的多项式因式
分解. 这种因式分解的方法叫作公式法.
例1 把多项式25x2-4y2因式分解.
分析 由 25x2=（5x）2和 4y2=（2y）2可知， 25x2-4y2=（5x）2-（2y）2，于是
从右到左使用平方差公式，就可以把 25x2-4y2因式分解.
解 25x2-4y2=（5x）2-（2y）2=（5x+2y）（5x-2y）.
做一做
把多项式（x+y）2-（x-y）2因式分解.
9数学 八年级上册
由平方差公式得
[（x+y）+（x-y）][(x+y) -(x-y)]=(x+y)2 -(x-y)2，
于是（x+y）2-（x-y）2=［（x+y）+（x-y）］［（x+y）-（x-y）］
=2x ⋅ 2y=4xy.
议一议
与同学交流，具有什么特征的多项式可用平方差公式分解因式？
例2 把多项式x4-y4因式分解.
解 x4-y4=（x2）2-（y2）2
=（x2+y2）（x2-y2）
=（x2+y2）（x+y）（x-y）.
例3 把多项式x5-x3y2因式分解.
分析 多项式x5-x3y2的各项有公因式x3，故应先提公因式，然后运用公
式法进行因式分解.
解 x5-x3y2=x3（x2-y2）=x3（x+y）（x-y）.
例4 把多项式x4-9因式分解.
解 x4-9=（x2）2-32
=（x2+3）（x2-3） 在进行因式分解时，
必须进行到每一个因式
=（x2+3）［x2-（ 3）2］
都不能分解为止.
=（x2+3）（x+ 3）（x- 3）.
做一做
用简便方法计算：
（1）6. 12-3. 92； （2）0. 122-0. 882.
10第1章 因式分解
练 习
1 把下列多项式因式分解：
（1）1-25y2； （2）x2-16y2；
（3）（x-y）2-（x+y）2； （4）x4-81y4；
（5）x3-xy2； （6）x6-3x4.
2 用简便方法计算：
（1）49. 62-50. 42； （2）13. 32-11. 72；
（3）0. 152-0. 352.
说一说
请说出完全平方公式.
完全平方公式1：（x+y）2=x2+2xy+y2，
完全平方公式2：（x-y）2=x2-2xy+y2.
我们已经知道，上述公式中的x，y，可以分别用任何数或任意多项式
代入.
例如，在完全平方公式1中，将y用2代入得到等式
（x+2）2=x2+4x+4 .
把这个等式从右到左使用，就可以把多项式x2+4x+4因式分解：
x2+4x+4=（x+2）2.
例5 把多项式9x2-6x+1因式分解.
分析 由于 9x2= （ 3x）2， 1=12， 2 ⋅ 3x ⋅ 1=6x，因此 9x2-6x+1 符合完
全平方公式 2 右边的形式，于是从右到左使用完全平方公式 2 ，就可把 9x2-
6x+1 因式分解.
解 9x2-6x+1=（3x）2-2 ⋅ 3x ⋅ 1+12=（3x-1）2.
11数学 八年级上册
议一议
与同学交流，具有什么特征的多项式可以运用完全平方公式分解因式？
例6 把下列多项式因式分解：
（1）-4x2+12xy-9y2； （2）x5+2x3y+xy2.
解 （1） -4x2+12xy-9y2
=-（4x2-12xy+9y2）
=-［（2x）2-2 ⋅ 2x ⋅ 3y+（3y）2］
=-（2x-3y）2.
（2） x5+2x3y+xy2
=x（x4+2x2y+y2）
=x［（x2）2+2 ⋅ x2 ⋅ y+y2］
=x（x2+y）2.
例7 把多项式x4-2x2+1因式分解.
解 x4-2x2+1
=（x2）2-2 ⋅ x2 ⋅ 1+12
=（x2-1）2
=［（x+1）（x-1）］2
=（x+1）2（x-1）2.
做一做
可以利用完全平方公式把多项式（x+y）2-4（x+y）+4因式分解吗？
试一试.
将x+y看作一个整体，则
（x+y）2-4（x+y）+4
=（x+y）2-2 ⋅（x+y）⋅ 2+22
=（x+y-2）2.
12第1章 因式分解
练 习
1 下面的多项式能否用完全平方公式分解因式？说明理由.
（
1
）x2-12xy+36y2； （
2
）x2-10x-25 ；
（ 3 ） 9x2y2-3xy+1 ； （ 4 ） -2xy-x2-y2.
2 把下列多项式因式分解：
（
1
）x2+2x+1； （
2
）x2+8x+16；
（ 3 ）x2-10x+25； （ 4 ） 16y2-24y+9 ；
（
5
）x4+2x2+1； （
6
） 3x4+6x3y+3x2y2.
习题1. 3
学而时习之
1 把下列多项式因式分解：
（
1
）x2-49； （
2
）x2-y2；
（ 3 ） 9（x-y）2-25； （ 4 ）（x2-y）2-（2y-2）2；
（
5
）x4-81； （
6
） 3x6-3x2.
2 把下列多项式因式分解：
（
1
）x2+14x+49； （
2
） 25x2+20xy+4y2；
（
3
） -x2+14xy-49y2； （
4
）x4-2x3+x2；
（
5
）x4-8x2y2+16y4； （
6
）（x+y）2+12（x+y）+36.
温故而知新
3 把下列多项式因式分解：
（
1
） 4x2-（y2-2y+1）； （
2
）（x4+4x2+4）-4y2；
（
3
）（x+4）（x+1）+3x+12 ； （
4
）（x-y）2+6（x-y）+9 .
4 两个连续奇数的平方差能被 整除吗？说明理由.
8
5 当a取什么值时，多项式 9x2+ax+16 能利用完全平方公式进行因式分解？
13数学 八年级上册
十字相乘法与分组分解法
能运用提公因式法或公式法把多项式x2+5x+6 因式分解吗？
由于x2+5x+6 不符合提公因式法和公式法的特征，因而不能直接
运用这两种方法进行因式分解.
但是，由于
（x+p）（x+q） =x2+ （p+q）x+pq，
因而
x2+ （p+q）x+pq= （x+p）（x+q）. ①
利用 式可以将某些二次项系数是 的二次三项式因式分解. 例如，
① 1
对于x2+5x+6 ，由于这个式子的二次项系数是
1
，常数项
6=2×3
，
一次项系数
5=2+3
，因此这是一个x2+ （p+q）x+pq型的式子. 利用
①
式可得x2+5x+6= （x+2 ）（x+3 ）.
多项式x2+5x+6 分解因式的过程，也可以用十
字相乘的形式形象地表示：
先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角
和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上
角和右下角；然后交叉相乘并求和，使其等于一次项系
图1
数（如图 ）.
1
这样，我们也可以得到x2+5x+6= （x+2 ）（x+3 ）.
一般地，对于二次多项式ax2+bx+c，画一个十
字交叉线，使得左边两个数d，e的乘积等于二次项系
数a，右边两个数m，n的乘积等于常数项c，交叉数的
图2
乘积之和dn+em等于一次项系数b，如图
2
所示，则
ax2+bx+c= （dx+m）（ex+n）.
这种把二次多项式因式分解的方法叫作十字相乘法.
14第1章 因式分解
例1 把多项式x2-5x+6 因式分解.
解 如图 ，左边两个数为 ， ，它们的乘积等于二
3 1 1
次项系数 ，右边两个数为 ， ，它们的乘积等于常
1 -2 -3
数项 ，交叉数的乘积之和为 （ ） （ ） ，
6 1×-3 +1×-2 =-5
图3
它是一次项的系数，因此
x2-5x+6= （x-2 ）（x-3 ）.
例2 把多项式 10x2+23x+12 因式分解.
解 如图 ，在十字交叉线的左上角和左下角分别写
4
， ，右上角和右下角分别写 ， ，左边两个数的乘积
2 5 3 4
等于二次项系数 ，右边两个数的乘积等于常数项 ，
10 12
图4
交叉数的乘积之和为 ，它是一次项的
2×4+5×3=23
系数，因此
10x2+23x+12= （ 2x+3 ）（ 5x+4 ）.
例3 把多项式x3-x2-x+1 因式分解.
分析 x3-x2-x+1 既不能直接使用提公因式法或公式法进行因式
分解，也不能运用十字相乘法. 但若将其恰当分组，如分为x3-x2与
-x+1 两组，则可继续进行因式分解.
解 x3-x2-x+1= （x3-x2） - （x-1 ） =x2（x-1 ） - （x-1 ）
= （x-1 ）（x2-1 ） =(x-1 （ ) x+1 ）（x-1 ）
=
（x+1 ）（x-1 ）2.
像例 那样，利用分组来分解因式的方法叫作分组分解法.
3
练习 把下列多项式因式分解：
（ 1 ）x2-4x-5 ； （2）6x2+7x+2 ；
（3）x2-y2-3x-3y； （
4
）x2-10x+25-y2.
15数学 八年级上册
小 结
与 评 价
知识图谱
思考回顾
. 什么叫作多项式的因式分解？
1
. 多项式的因式分解与多项式的乘法有什么关系？
2
. 如何找出多项式各项的公因式？
3
. 举例说明如何利用提公因式法进行因式分解.
4
. 举例说明如何利用平方差公式进行因式分解.
5
. 举例说明如何利用完全平方公式进行因式分解.
6
注意事项
.. 多提项公式因因式式法分是解把的多结项果式一的定乘是法乘对积加形法式的.分配律从右到左使用，首
11
先要找. 出多多项项式式的各乘项法的运公算因可式以，检然验后因把式公分因解式的提结到果括是号否外正面确..
2
.. 公提式公法因是式把法乘是法把公多式项从式右的到乘左法使对用加，法从的而分把配多律项从式右因到式左分使解用.，首
23
先要找. 出在多进项行式因各式项分的解公时因，式必，须然进后行把到公每因一式个提因到式括都号不外能面分. 解为止. 如
3
x4-41 .可公以式分法解是为把（乘x法2+ 公 1 ）式（x从2- 右到 1 ），左但使用是，x2从 - 而 1 把还多可项以式分因解式为分（解x+ . 1 ） ⋅
（x-51 ）. ，在于进是行x因4- 式
1
分
=
解（x时2+ ，必
1
）（须x进
+
行
1
）（到x每
-
一
1
）个. 因式都不能分解为止. 如
x4-41 .可多以项分式解的为乘（法x运2+ 算 1 ）可（x以2- 检验 1 ），因但式分是解x2的 - 结 1 果还是可否以正分确解. 为（x+1 ） ⋅
（x-1 ），于是x4-1= （x2+1 ）（x+1 ）（x-1 ）.
16第1章 因式分解
自评互评
• 自评
通过本章的学习，你对以下几方面的学习内容掌握得怎么样？根据
自己的学习情况，点亮属于你的小星星，然后请同学和老师对你的自评
进行恰当评价.
. 能用提公因式法进行因式分解（指数为正整数）
1
. 能用公式法进行因式分解（指数为正整数）
2
. 能通过多项式的乘法运算与因式分解互逆转化的过程，体会类比转化
3
的思想，增强符号意识，进一步发展抽象能力与运算能力
• 自评 / 互评
请完成下面两项评价，先自评再在小组内进行互相评价. 其中评价
由低到高分为 ， ， ， ， 五个等级.
1 2 3 4 5
. 能主动将本章知识与整式乘法进行比较，积极参加各种教学活动，能
1
独立解决学习中的问题
( )/( )
. 基于对本章知识结构的理解，画出一个思维导图，并在组内展示，对
2
自己和同学画出的思维导图进行恰当评价
( )/( )
你对本章的学习及评价还满意吗？对数学的学习是一个不断尝试与
探索的过程，不仅需要积极主动的学习态度，还要对学习充满自信，这
样才能不断提升自己！
复习题1
学而时习之
1 把下列多项式因式分解：
（
1
）x2-xy； （
2
）x2y-xy2+xy；
（
3
） 9xy2-21x3y2+12x2y； （
4
）x2（x-y） +y2（x-y）；
17数学 八年级上册
（ 5 ） 3 5 x3-2 5 x2+ 5 x.
2 把下列多项式因式分解：
（
1
）x2-9 ； （
2
） 49x2-81y2；
（ 3 ）x4-49 ； （ 4 ） 9x4-16 .
3 把下列多项式因式分解：
（ 1 ）x2-4x+4 ； （ 2 ） 4x2+20x+25 ；
（
3
）x4+6x2+9 ； （
4
）x4-18x2+81 ；
（ 5 ） 4x4-12x2y2+9y4； （ 6 ）x2-2 5 x+5 .
4 把下列多项式因式分解：
（ 1 ） 2x2+4x+2 ； （ 2 ） -6x2+12x-6 ；
（
3
） -9x2+24xy-16y2； （
4
）（x+y+1 ）2- （x-y+1 ）2；
（
5
）x4-16y4； （
6
）x6-25x2.
5 用简便方法计算：
（） ；
1 17×0. 11+37×0. 11+46×0. 11
（
2
） 2562-1562；
（
3
） 172-34×117+1172.
温故而知新
6 把下列多项式因式分解：
（
1
）（a-b）（x-y）
-
（b-a）（x+y）；
（
2
）x2（x-y） +2xy（x-y） +y2（x-y）；
（
3
）（x+y）2-4 （x+y-1 ）；
（
4
）（x+y）2+2 （x+y）（x-y）
+
（x-y）2.
7 日常生活中，如取款、上网都需要密码. 有一种用因式分解产生的密码，
方便记忆. 其原理是：对于多项式x4-y4，其因式分解的结果是（x2+y2）
⋅
（x+y）（x-y），若x用
9
代入，y用
9
代入，则各个因式的值分别是
162
，
18
，
0
，于是就把“
162180
”作为一个六位数的密码. 对于多项式x3-xy2，
18第1章 因式分解
若x用
21
代入，y用
5
代入，用上述方法产生的密码是多少？
8 把下列多项式因式分解：
（
1
）x2-4y2+x+2y； （
2
）ax-bx-ay+by；
（
3
）xn+1-2xn +xn-1（n>1 ）.
上下而求索
9 （
1
）请给x4+4 添上一个单项式，使得到的多项式能运用完全平方公式分
解因式.
（
2
）根据（
1
）的思路，试将x4+4 因式分解.
（）把下列多项式因式分解：
3
① x2-2x-48 ； ② x4+3x2+4 .
10 现有图
①
所示的A，B，C三种卡片若干，用这些卡片可以拼成一些图形，
并且根据这些图形面积的不同表示可以将一些多项式因式分解.
① ② ③
（第10题图）
例：用
1
张A卡片，
2
张B卡片，
1
张C卡片拼成如图
②
所示的图形，用两
种方法表示该图形的面积，可以得到等式a2+2ab+b2= （a+b）2.
（）请把表示图 面积的多项式因式分解（直接写出等式即可）；
1 ③
（
2
）请利用图
①
的卡片，将多项式 2a2+5ab+3b2因式分解，并画出图形；
（）事实上，拼图不仅限于平面图形，利用立体图形的体积也可以将一些
3
多项式因式分解，请你利用长方体简要说明如何把a3+4a2b+3ab2因式分
解，并写出因式分解的结果.
19数学 八年级上册
数 学
文 化
陈景润：勇攀科学高峰的典范
陈景润（ — ），福建福州人， 数学家，中国科学院院士.
1933 1996
年考入厦门大学数理系， 年到中国科学院数学研究所工作. 他
1950 1956
主要从事解析数论方面的研究， 年获国家自然科学奖一等奖. 发表
1982
研究论文
50
余篇，出版有《初等数论》《组合数学》《哥德巴赫猜想①》
《组合数学简介》等著作.
一、爱好学习，喜欢探索
陈景润自幼就显得有些瘦弱，而且不太善于表达自己，但他爱好学
习，酷爱读书，尤其爱读数学书，常常进入痴迷状态，把所有精力都用
在学习上. 他对待学习分秒必争，走到哪里就学到哪里，连去理发店理
发，要是见到人多，都会找一个空地坐下来，然后从口袋里掏出个小本
子，开始学习.
①1742年，哥德巴赫（Goldbach，1690—1764）在给欧拉（Euler，1707—1783）的信中提出一个猜
想，包括两个命题：（1）每个大于2的偶数都是两个素数之和；（2）每个大于5的奇数都是三
个素数之和. 其中命题（2）是命题（1）的推论. 如果把命题 “每一个大偶数可以表示成一个素
因子不超过a个的数与另一个素因子不超过b个的数之和” 记为 “a+b”，那么 “哥德巴赫猜
想” 就是命题 “1+1”.
20第1章 因式分解
在厦门大学读书期间，他对数学的迷恋和热爱就如痴如醉. 数学书
上的习题，已经被他从头到尾演算过一遍，而且他还要再找课外习题做.
他嗜书如命、舍命苦读的精神，令其他同学惊叹不已，于是，就有人给
他起了个“爱因斯坦”的外号. 正如中国科学院林群院士所说：
科学好比登山，有的人登上一座山，浏览了峰顶的风光，就满足而
归了. 而陈景润却不一样，同样登山，倘若上山有十条小径，他每一条
小径都要去爬一次. 他重视的不全是结果，而是贵在过程. 直到把上山
的路径全摸透了，他才会感到满足. 功底、基础就是这样一步一个脚印
建立起来的.
二、刻苦钻研，勇于攀登
大学毕业参加工作后，由于身体等原因，他不得不辞职回到家乡，
靠摆书摊勉强度日. 时任厦门大学校长王亚南得知后，决定把他调到该
校数学系资料室工作. 重回厦门大学后，除了日常工作外，他夜以继日地
专注于数论研究.
年，在华罗庚的努力下，陈景润来到中国科学院数学研究所，
1956
担任研究实习员，并成为华罗庚的学生.
数学研究几乎是陈景润的全部生活和精神寄托，为了心无旁骛地钻
研学术，他主动申请搬进了数学研究所的一间只有 平方米的废弃锅炉房
6
里. 经过 多个日日夜夜的奋斗，他攻克了世界著名数学难题“哥德
1 000
巴赫猜想”中的“
1+2
”①. 人们不知道他燃尽了多长的灯芯，烧尽了多
少的煤油，也无法知道他经历过多少次失败，只知道最后在他床底下发
现了几麻袋用于演算的手稿纸.
然而，在攻克“哥德巴赫猜想” 中的“ ”后，他并没因此而停
1+2
下脚步，因为他认为：“在科学的道路上我只是翻过了一个小山包，真正
的高峰还没有攀上去，还要继续努力！”或许宛如登山者“它就在那里”
的执念，在陈景润这位新中国“最美奋斗者”的心中，永远燃烧着追求
真理、勇攀数学高峰的豪迈理想和坚定信念.
①任何一个充分大的偶数，都可以表示成一个素数与另一个素因子不超过2个的数之和. 这一成
果也被称为 “陈氏定理”.
21数学 八年级上册
三、胸怀祖国，淡泊名利
陈景润的工作引起了国内外数学同行的重视. 年和 年，他
1978 1982
分别两次被邀请出席国际数学家大会（ ）作 分钟的主题发言. 这是
ICM 45
国际数学界对一名数学家的极大认可，对提高他在国际上的知名度大有
好处. 但由于当时我国在国际数学联合会的席位一直被中国台湾占据着，
于是，他经过慎重考虑，最后决定放弃参加，在答复国际数学联合会主
席的信中表明：“世界上只有一个中国，唯一能代表中国广大人民利益的
是中华人民共和国，台湾是中华人民共和国不可分割的一部分. 因为目
前台湾占据着国际数学联合会我国的席位，所以我不能出席. 如果中国
只有一个代表的话，我是可以考虑参加这次会议的. ”
年，陈景润应美国普林斯顿高级研究所的邀请，去美国做短期
1979
的研究访问工作. 该所条件非常好，但他依旧保持着节俭作风. 每天中
午都是吃自己带去的干粮和水果. 他认为“我们的国家还不富裕，我不
能只想着自己享乐”.
在浩瀚宇宙的灿烂星河中，有一颗小行星——国际永久编号为
7681
的“陈景润星”，那正是永恒闪耀的陈景润数学精神的象征. 正是由于他
不畏艰难、努力拼搏、积极进取、勇攀科学高峰的精神，在中华人民共
和国成立 周年时他被评为“ 位新中国成立以来感动中国人物”之
60 100
一，在庆祝改革开放 周年大会上，他被党中央、国务院授予“改革先
40
锋”称号，获评“激励青年勇攀科学高峰的典范”.
陈景润邮票
22第 2 章
分 式
在小学就已经知道，在解决许多实际问题时，如求某生产车
间的工作效率，就要运用除法运算. 当一个整数不能整除另一个
整数时，一般将其记作分数. 例如，3不能整除8，则把8除以3
8
的结果记作 .
3
对于多项式x2+1与x+1，由于x2+1=（x+1）（x-1）+2，
于是x+1不能整除x2+1 . 类似地，把x2+1除以x+1的结果
x2+1 x2+1
记作 ，它不是多项式，称 是分式.
x+1 x+1
本章将类比分数，学习分式的基本性质、分式的四则运算、
分式的乘方运算以及可化为一元一次方程的分式方程的解法.˙
˙
2.1 分式的概念及基本性质
我们已经知道，6=3×2，于是6÷3=2 .
类似地，由于x2-1=（x+1）（x-1），因此（x2-1）÷（x+1）=x-1 .
8
由于8=3×2+2，于是8不能被3整除，可把8除以3的结果记作 .
3
类似地，由于x2+1=（x+1）（x-1）+2，因此x2+1不能被x+1整除，
x2+1
把x2+1除以x+1的结果记作 .
x+1
抽 象
设f 和g都是多项式，其中g不为零多项式①. 我们把f 除以g的结果记作
f f
，称 是分式，其中f 称为分子，g称为分母.
g g
x-2
例1 已知分式 .
2x-3
x-2
（1）当x取哪个数时， 的值不存在？
2x-3
x-2
（2）当x取哪个数时， 的值等于0？
2x-3
解 （1）由题意可得，若分母2x-3的值为0，则分式的值不存在，解方程
3 3
x-2
2x -3=0，得x= ，因此当x取 时， 的值不存在.
2 2 2x-3
（2）由题意可得，若分子x-2的值为0，则分式的值为0，解方程x-
2=0，得x=2 . 又因为此时分母2x-3的值为2×2-3=1≠0，于是当x
x-2
0
取2时， 的值为 =0 .
2x-3 1
①系数全为0的多项式叫作零多项式，零多项式记作0.
24第2章 分 式
议一议
x2+1
（1）当x取哪个数时，分式 的值不存在？
x+1
x2+1
（2）分式 的值可能等于0吗？为什么？
x+1
x-5
例2 （1）当x取3时，分式 的值是多少？
x+6
x-5
（2）当x取-0. 4时，分式 的值是多少？
x+6
x-5 3-5 2
解 （1）将x用3代入，则 的值为 =- .
x+6 3+6 9
x-5
（2）将x用-0. 4代入，则 的值为
x+6
-0. 4-5 -5. 4 27
= =- .
-0. 4+6 5. 6 28
练 习
1 填空：
（
1
）某村有m个人，耕地面积约为
50
公顷，则该村的人均耕地面积约为
公顷；
（
2
）某工厂接到加工m个零件的订单，原计划每天加工a个，由于技术改
革，实际每天多加工b个，则 天可以完成任务.
x
2 已知分式 .
-2x+3
x
（
1
）当x取哪个数时， 的值不存在？
-2x+3
x
（
2
）当x取哪个数时， 的值等于
0
？
-2x+3
x
（
3
）当x取
-1
时， 的值等于多少？
-2x+3
25数学 八年级上册
a
在小学我们已经知道，对于任意一个分数 ，有
b
a a ⋅ c a a÷c
= ， = （c≠0），
b b ⋅ c b b÷c
其中a，b，c是数.
f
数学上可以证明：对于分式 ，若h不为0，则
g
f ⋅ h f
.
= ①
g ⋅ h g
从右到左看①式，可以发现：分式的分子与分母都乘同一个不为0的多项
式，所得分式与原分式相等.
从左到右看①式，可以发现：分式的分子与分母都除以它们的一个不为0
的公因式，所得分式与原分式相等.
因此，分式具有如下基本性质：
分式的分子与分母都乘同一个不为 的多项式（或除以它们的一个不为 的
0 0
公因式），所得分式与原分式相等.
思 考
下列关于分式的等式是否成立？为什么？
-f f -f f
（1） = ； （2） = .
-g g g -g
-f
（1）分式 的分子与分母都除以-1，根据分式的基本性质得
-g
（-f）÷（-1） f
= ，
（-g）÷（-1） g
-f f
即 = .
-g g
-f
（2）分式 的分子与分母都乘-1，根据分式的基本性质得
g
（-f）⋅（-1） f
= ，
g ⋅（-1） -g
26第2章 分 式
-f f
即 = .
g -g
做一做
利用分式的基本性质填空，并说明理由.
5x
5
.
=
x2-3x （ ）
由于5x=5 ⋅ x，x2-3x=x ⋅ （x-3 ），于是，由分式的基本性质得
5x 5 ⋅ x 5
.
= =
x2-3x x ⋅ （x-3 ） x-3
像这样，利用分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去
（即分子与分母都除以它们的公因式），叫作分式的约分.
在小学就已知道，如果一个分数的分子与分母没有公因数，那么称这个分
数是最简分数.
5x
5
类似地，分式 经过约分后得到 ，约分后其分子与分母没有
x2-3x x-3
公因式. 由此引出下述概念：
如果分式的分子与分母没有公因式，那么称这个分式是最简分式.
例3 把下列分式化成最简分式：
24xy3 x2-2x
（1） ； （2） .
4x2y2 x2-4x+4
分析 化成最简分式的方法是约分. 若分子或分母是多项式，应先将其因
式分解，然后找出分子与分母的公因式，最后约去公因式.
24xy3 4xy2 ⋅ 6y 6y
解 （1） = = .
4x2y2 4xy2 ⋅ x x
x2-2x x（x-2） x
（2） = = .
x2-4x+4 （x-2）2 x-2
27数学 八年级上册
x2-2xy+y2
例4 当x=23，y=17时，求分式 的值.
x2-y2
x2-2xy+y2
解 由于分式 不是最简分式，因此，可将其先化为最简分
x2-y2
式，即
x2-2xy+y2 （x-y）2 x-y
.
= =
x2-y2 （x+y）（x-y） x+y
x-y x-y
将 中的x，y分别用23，17代入，则分式 的值为
x+y x+y
23-17 6 3
.
= =
23+17 40 20
直接将x，y的值
因此，当x=23，y=17时，分式
代入原分式，算一算，
x2-2xy+y2
3 哪个简便？
的值为 .
x2-y2 20
练 习
1 利用分式的基本性质填空：
1-x x-1 x 2x2y
（） ； （） ；
1 = 2 =
6-x2 （ ） y （ ）
2 2 （x-1 ） 2x+2 2
（） ； （） .
3 = 4 =
x+1 （ ） （x+1 ）（x-1 ） （ ）
2 把下列分式化成最简分式：
18x4y3 8x（x-y）
（） ； （） ；
1 2
12x2y4 6y（y-x）
y+5 （x+y）2-z2
（） ； （） ；
3 4
y2+10y+25 x+y+z
x2-xy
（） .
5
x2-y2
x2-9y2
3 当x=41 ，y=13 时，求分式 的值.
x2+6xy+9y2
28第2章 分 式
习题2. 1
学而时习之
x-2
1 当x取哪些数时，分式 的值不存在？
x2-1
3x+7
2 当x取哪个数时，分式 的值等于
0
？
6x-1
3 下列分式中，哪些是相等的？分别写出来.
7x2y3 7x2 7x 7x2（y+1 ） 7x（y+1 ）
， ， ， ， .
3xy4 3y2 3y 3y2（y+1 ） 3y（y+1 ）
4 利用分式的基本性质填空：
-xy （ ） 7x 7xy
（） ； （） ；
1 = 2 =
y-x x-y x-y （ ）
3x2y （ ） （x+y）2 （ ）
（） ； （） .
3 = 4 =
2xy2 2y x2-y2 x-y
5 把下列分式化成最简分式：
7x2y x2-16
（） ； （） ；
1 2
5xyz x+4
y-x 4x2+4xy+y2
（） ； （） .
3 4
x2-y2 4x2-y2
x+2y
6 （
1
）当x=98 ，y=47 时，求分式 的值；
x2-4y2
x2-4y2
（
2
）当x=76 ，y=37 时，求分式 的值.
x2-4xy+4y2
温故而知新
x3（x2+14x+49 ）
7 把分式 化成最简分式.
x4-49x2
x2-16
8 当x为何值时，分式 的值等于
0
？
x3-8x2+16x
29+
+
_
_
2.2 分式的加法和减法
说一说
同分母分数的加法运算法则是怎样的？
同分母的分数相加，分母
不变，把分子相加.
类似地，规定同分母分式的加法运算法则为：
同分母的分式相加，分母不变，把分子相加.
f h f+h
即 + = .
g g g
根据同分母分式的加法运算法则，得
f -f f+（-f）
0
.
+ = = =0
g g g g
-f f
类似于相反数，我们称 与 互为相反分式，即
g g
-f f
.
=- ①
g g
于是可以规定：减去一个分式等于加上这个分式的相反分式.
( )
f h f h f -h
因此 - = + - = +
g g g g g g
f+（-h） f-h
.
= =
g g
由此可规定同分母分式的减法运算法则为：
同分母的分式相减，分母不变，把分子相减.
f h f-h
即 - = .
g g g
30第2章 分 式
议一议
f f
= 吗？与同学交流你的理由.
-
g -g
-f f
根据①式， =- .
g g
-f f f f
又 = ，因此 - = .
g -g g -g
例1 计算：
x y 3x2 3xy
（1） + ； （2） - .
x+y x+y x-y x-y
x y x+y
解 （1） + = =1 .
x+y x+y x+y
3x2 3xy 3x2-3xy
（2） - =
x-y x-y x-y
分式运算的最后
3x（x-y）
= 结果要化成最简分式
x-y
或整式.
=3x.
xz yz
例2 计算： + .
x-y y-x
xz yz xz yz
解 + = +
x-y y-x x-y -（x-y）
xz yz
= -
x-y x-y
（x-y）z
=
x-y
=z.
由于多项式的加减法满足交换律和结合律，因此，同分母分式的加减法也
满足交换律和结合律.
31数学 八年级上册
练 习
1 计算：
7 3 8
x2 y2
（ 1 ） + - ； （ 2 ） - ；
x-1 x-1 x-1 x+y x+y
xz yz
（） .
3 -
x2-y2 x2-y2
2 计算：
3x 2y y x
（） ； （） ；
1 + 2 +
3x-2y 2y-3x x-y y-x
x2 y2
（） .
3 +
x-y y-x
由小学知识可知，异分母的分数相加（减），取各个分母的最小公倍数为
公分母，利用分数的基本性质，把它们化成同分母的分数（即通分），再相
加（减）.
类似地，规定异分母分式的加减运算法则为：
异分母的分式相加（减），取各个分母的所有因式的最高次幂的积作为公分
母（这样的公分母称为最简公分母），利用分式的基本性质，把它们化成同分母
的分式（这个过程叫作通分），然后再相加（减）.
3 5
例３ 把分式 与 通分.
4xy2 6x3y
解 由于4xy2=22⋅ x⋅ y2，6x3y=2×3 ⋅ x3⋅ y，因此，这两个分式的最
简公分母为12x3y2.
于是，利用分式的基本性质得
3
3×3x2 9x2
= = ，
4xy2 4xy2 ⋅ 3x2 12x3y2
5
5×2y 10y
.
= =
6x3y 6x3y ⋅ 2y 12x3y2
32第2章 分 式
做一做
找出下列分式的最简公分母，并将它们通分.
4x 3z 5y
（1） ； （2） ； （3） .
5y2z 4x2y 2xz2
由于5y2z=5⋅ y2⋅ z，4x2y=22⋅ x2⋅ y，2xz2=2⋅ x⋅ z2，因此，这三个分
式的最简公分母为20x2y2z2. 于是，利用分式的基本性质得
4x 4x ⋅4x2z 16x3z
（1） = = ；
5y2z 5y2z ⋅4x2z 20x2y2z2
3z 3z ⋅5yz2 15yz3
（2） = = ；
4x2y 4x2y ⋅5yz2 20x2y2z2
5y 5y ⋅ 10xy2 50xy3
（3） = = .
2xz2 2xz2 ⋅ 10xy2 20x2y2z2
3
5y
例４ 把分式 与 通分.
2x 3（x2-x）
解 由于2x=2 ⋅ x，3（x2-x）=3 ⋅ x（x-1），因此，这两个分式的最简
公分母为6x（x-1）. 于是，利用分式的基本性质得
3
3×3（x-1） 9（x-1）
= = ，
2x 2x ⋅ 3（x-1） 6x（x-1） 先将分母分解因式，
5y 5y ⋅ 2 10y 再找最简公分母.
.
= =
3（x2-x） 3x（x-1）⋅ 2 6x（x-1）
x
1
例５ 把分式 与 通分.
x2-4 4-2x
解 由于x2-4=（x+2）（x-2），4-2x=-2（x-2），因此，这两个分
式的最简公分母为2（x+2）（x-2）. 于是，利用分式的基本性质得
1 1×2 2
= = ，
x2-4 （x+2）（x-2）⋅ 2 2（x+2）（x-2）
x x ⋅[-（x+2）] -x（x+2）
.
= =
4-2x -2（x-2）⋅[-（x+2）] 2（x+2）（x-2）
33数学 八年级上册
练 习
1 分别把下列各组分式通分：
y z
1 1
（） ， ； （） ， ；
1 2
4x 6y 5x2 3y2
y x
7 11 7
（） ， ； （） ， ， .
3 4
8x2y 10xy3 9xy2 6x2 3y
2 分别把下列各组分式通分：
x
1
3x 2y
（） ， ； （） ， ；
1 2
x-2 x+2 2y（x+y） 3x（x+y）
y
1
（） ， .
3
x2-xy y-x
思 考
3 5
如何计算 + ？动手试一试.
4xy2 6x3y
对于异分母分式的加法，应先通分，化为同分母的分式，再相加.
3 5
3×3x2 5×2y
+ = +
4xy2 6x3y 4xy2 ⋅ 3x2 6x3y ⋅ 2y
9x2 10y
= +
12x3y2 12x3y2
9x2+10y
.
=
12x3y2
x y 5z
例６ 计算： - + .
2y 3x 4xy
解 由于最简公分母是12xy，于是
x y 5z x ⋅ 6x y ⋅ 4y 5z ⋅ 3
- + = - +
2y 3x 4xy 2y ⋅ 6x 3x ⋅ 4y 4xy ⋅ 3
6x2-4y2+15z
.
=
12xy
34第2章 分 式
例７ 计算：
1 6
x-1 x-3
（1） + ； （2） - .
x+3 x2-9 x2+x x2-1
1 6 1 6
解 （1） + = +
x+3 x2-9 x+3 （x+3）（x-3）
x-3
6
= +
（x+3）（x-3） （x+3）（x-3）
x+3
=
（x+3）（x-3）
1
.
=
x-3
x-1 x-3 x-1 x-3
（2） - = -
x2+x x2-1 x（x+1） （x+1）（x-1）
（x-1）2 x（x-3）
= -
x（x+1）（x-1） x（x+1）（x-1）
x2-2x+1-（x2-3x）
=
x（x+1）（x-1）
x+1
=
x（x+1）（x-1）
1
.
=
x（x-1）
f
多项式 f 与分式相加（减），用 与分式相加（减）.
1
1
例８ 计算：x+1+ .
1-x
1
x+1
1
解 x+1+ = +
1-x 1 1-x
（x+1）（1-x）
1
= +
1-x 1-x
1-x2+1
=
1-x
2-x2
.
=
1-x
35数学 八年级上册
练 习
1 计算：
1 1 7 11
（） ； （） ；
1 + 2 -
4x 6y 8x2y 10xy3
y x
2 5 3
（） ； （） .
3 + 4 - +
5x2 3yz x 3x 4y
2 计算：
x y
1 1
（） ； （） ；
1 + 2 -
x+2 x-2 y（x+y） x（x+y）
2 1 1
（） ； （） .
3 + 4 1-
x2-4 4-2x 1-x
习题2. 2
学而时习之
1 计算：
x-y y
5
x
（） ； （） ；
1 + 2 +
2x 2x x-5 5-x
5x 5y
（） .
3 -
x2-2xy+y2 x2-2xy+y2
2 通分：
1 2 3 1 2
（） ， ， ； （） ， ；
1 2
2x2y 3x2 4xy2 xy x2y+xy2
x
2
（） ， .
3
x2-4 （x+2 ）2
3 计算：
2 5 1 2 3
（） ； （） .
1 + 2 + -
3x2 6x 2x2y 3x2 4xy2
4 计算：
x
1
y2 x
（ 1 ） - ； （ 2 ） + ；
x-1 x+1 x2-xy y-x
36第2章 分 式
x2+y2 x-y
2 2 1
（ 3 ） - ； （ 4 ） + - ；
x2-y2 2x+2y x2-1 x+1 x-1
y2
（
5
）x-y+ .
x+y
温故而知新
m n x-10
5 若
+ =
，则常数m和n的值分别是（ ）
x+2 x-1 （x+2 ）（x-1 ）
（ ） 和 （ ） 和
A 1 -10 B -10 1
（ ） 和 （ ） 和
C 4 -3 D -3 4
6 计算：
1 1 1
（） ；
1 - +
x+1 x2-1 x+2
1 1
（ 2 ） 1-x+ - .
x+1 x-1
1 1
7 （）计算： .
1 -
x x+1
（
2
）将x用x+1 代入（
1
）的结果，你能得到什么等式？
（
3
）将x用x+2 代入（
1
）的结果，你能得到什么等式？
1 1 1 1
（）计算： .
4 + + +
x x（x+1 ） （x+1 ）（x+2 ） （x+2 ）（x+3 ）
1 1 1 1
（ 5 ）计算： + + +…+ （n为
x x（x+1 ） （x+1 ）（x+2 ） （x+n）（x+n+1 ）
正整数）.
37˙
˙
˙
÷ ˙ (u 0)
≠
2.3 分式的乘法和除法
思 考
前面已经类比分数的加减法学习了分式的加法和减法运算，如果分式
的乘法也类似于分数的乘法，则分式的乘法运算法则应是怎样的？
由小学知识可知，分数相乘，把分子乘分子，分母乘分母.
类似地，规定分式的乘法运算法则为：
分式乘分式，把分子乘分子，分母乘分母.
f u f ⋅ u
即 ⋅ = .
g v g ⋅ v
2x3 3y2
例1 计算： ⋅ .
7y 5x4
2x3 3y2 2x3 ⋅ 3y2 6y
解 .
⋅ = =
7y 5x4 7y ⋅ 5x4 35x
x+1 4x2
例2 计算： ⋅ .
2x x2-1
x+1 4x2 （x+1）⋅ 4x2 2x（x+1） 2x
解 .
⋅ = = =
2x x2-1 2x ⋅（x2-1） （x+1）（x-1） x-1
议一议
类似于分数的除法，分式的除法法则应是怎样的？
由小学知识可知，分数除以分数，把除数的分子、分母颠倒位置后，与被
除数相乘.
类似地，规定分式的除法运算法则为：
分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.
38第2章 分 式
f u f v f·v
即如果u≠0，则 ÷ = · = .
g v g u g·u
3x2 2x
例3 计算： .
÷
x-1 x-1
3x2 2x 3x2 x-1
3
解
÷ = ⋅ =
x.
x-1 x-1 x-1 2x 2
8x2 2x
例4 计算： .
÷
x2+2x+1 x+1
8x2 2x 8x2 x+1 4x
解 .
÷ = ⋅ =
x2+2x+1 x+1 （x+1）2 2x x+1
( )
2 1
x+3
例5 计算： .
- ÷
x-3 x x2-3x
( )
2 1
x+3 2x-（x-3） x+3
解
- ÷ = ÷
x-3 x x2-3x x（x-3） x2-3x
x+3 x（x-3）
= ·
x（x-3） x+3
.
=1
练 习
1 计算：
2x5 6y2 2x 4x2
（） ； （） ；
1 ⋅ 2 ÷
3y x2 x+1 x+1
x2-4
1
x2+4x+4
（
3
）
⋅
； （
4
）（x+2 ）
÷
.
x+1 x-2 x
2 计算：
2x2 x2-1 x2-2xy+y2
（ 1 ） ⋅ ； （ 2 ） ÷ （x-y）；
3
（x-1 ） x x+y
( )
xy+x y2 x
1
y
（） ； （） .
3 ⋅ 4 - ÷
y y2-1 x2-y2 x+y y-x
39数学 八年级上册
思 考
如何进行分式的乘方运算？
由于多项式的乘法满足交换律和结合律，因此，由分式乘法的定义可以证
明：分式的乘法也满足交换律和结合律.
由于分式的乘法满足结合律，因此对于任意正整数n，有
n个f
f f f f ⋅ f ⋅ …⋅ f fn
.
⋅ ⋅ …⋅ = = ①
 g  g  g  g  ⋅  g  ⋅ …  ⋅  g gn
f n个g
n个
g
规定
( )n
f f f f
.
= ⋅ ⋅ …⋅ ②
g g g g

f
n个
g
( )n
f fn
由①式和②式得 = .
g gn
于是，规定分式乘方的运算法则为：
分式的乘方就是把分子、分母各自乘方.
例6 计算：
( x ) 3 ( -4x2y ) 2
（1） ； （2） .
y2 3z
( )
3
x x3 x3
解 （1） = = .
y2 （y2）3 y6
( )
-4x2y 2 （-4x2y）2 16x4y2
（2） = = .
3z （3z）2 9z2
例7 计算：
( x ) 3 ( x2 ) 3 ( y ) 4
（1）x2y÷ ； （2） ⋅ ；
y -y x3
40第2章 分 式
( x ) 2 ( y2 ) 3 ( y ) 4
（3） ⋅ ÷ .
-y x x
( )
3
x x3
解 （1）x2y÷ =x2y÷
y y3
y3
=x2y ⋅
x3
y4
.
=
x
( x2 ) 3 ( y ) 4 （x2）3 y4
（2） ⋅ = ⋅
-y x3 （ -y）3 （x3）4
x6 y4
= ⋅
-y3 x12
y
.
=-
x6
( x ) 2 ( y2 ) 3 ( y ) 4 x2 （y2）3 y4
（3） ⋅ ÷ = ⋅ ÷
-y x x （-y）2 x3 x4
x2 y6 x4
= ⋅ ⋅
y2 x3 y4
=x3.
练 习
1 计算：
( x2 ) 2 ( -xy2 ) 4
（） ； （） .
1 2
y 2z
2 计算：
( x ) 3 ( y ) 3
（ 1 ） 4x2y÷ ； （ 2 ）（x3y2）2⋅ ；
-y x2
( x2 ) 3 ( z ) 3 ( y2 ) 2 ( -y2 ) 2 ( x ) 3 ( x2y ) 2
（） ； （） .
3 ⋅ ⋅ 4 ⋅ ÷
y y z x -y z
41数学 八年级上册
习题2. 3
学而时习之
1 计算：
3x2 y3 -3x
（ 1 ） ⋅ ； （ 2 ） 8x2y3 ⋅ ；
y4 6x 4y5
15x2y4 （x+y）2 （y-x）2
（ 3 ） 10x3y2÷ ； （ 4 ） ⋅ .
-z2 xy-y2 xy+y2
2 计算：
( ) ( )
3 2
10z -3x
（
1
） ； （
2
）
÷6
x2y；
-x2y y2
( y3 ) 2 ( -x ) 3 ( xy2 ) 4 ( z2 ) 3 ( xz ) 5
（） ； （） .
3 ⋅ 4 ⋅ ÷
x 2y2 -z xy -y
3 计算：
x4-1 （x-2y）2
（
1
）
÷
（x2+1 ）； （
2
）（2y-x）÷ .
（x+1 ）2 x+2y
温故而知新
4 计算：
3x2y4 10z2 4x2-y2 2x-y
（） ； （） ；
1 ⋅ 2 ÷
8z3 -3x2y2 3x2y xy
x+y x2-2xy+y2 x2-4y2 2y2-xy
（） ； （） .
3 ⋅ 4 ÷
x2-y2 xy x2+6xy+9y2 x2+3xy
5 计算：
( ) ( )
1 1 2 5
2x-4
（ 1 ） - ÷ ； （ 2 ） x +2+ ⋅ ；
x+1 x-1 1-x 2-x 3-x
( )
éêê x+2 x-1 ùúú x-4 10 100 xy 2
（ 3 ）êê - úú ÷ ； （ 4 ） （xy）2÷ z÷ .
ëx2-2x （x-2 ）2û x 81 567 z
422.4 整数指数幂
2􀆰 4􀆰 1 同底数幂的除法
观 察
观察下列计算过程：
x8 x3+5 x3 ⋅ x5
= =
=x3.
x5 x5 x5
由此你能受到什么启发？
从上面的例子受到启发，设m，n都是正整数，且m>n，则
xm x（m-n）+n xm-n
⋅
xn
= =
=xm-n.
xn xn xn
因此，当m>n时，有
xm
=xm-（n m，n都是正整数）.
xn
将x用任意一个非零实数a代入，得
am
=am-（n m，n都是正整数，且m>n）.
an
即同底数幂相除（被除式的指数大于除式的指数），底数不变，指数相减.
例1 计算：
y7 （xy）5
（1） ； （2） ；
y3 （xy）2
（-x）9 x2n+3
（3） ； （4） （n是正整数）.
（-x）4 x3
y7
解 （1） =y7-3=y4.
y3
（xy）5
（2） =（xy）5-2=（xy）3=x3y3.
（xy）2
43数学 八年级上册
（-x）9
（3） =（-x）9-4=（-x）5=-x5.
（-x）4
x2n+3
（4） =x（2n+3）-3=x2n.
x3
例2 计算：
（x-1）13 3x5y7
（1） ； （2） .
（x-1）11 5x2y4
（x-1）13
解 （1） =（x-1）13-11=（x-1）2=x2-2x+1 .
（x-1）11
3x5y7 3 ⋅ x5 ⋅ y7 3 3
（2） = = ⋅ x5-2 ⋅ y7-4= x3y3.
5x2y4 5 ⋅ x2 ⋅ y4 5 5
做一做
表示计算机存储容量的计量单位有字节（B）、千字节（KB）、兆字节
（MB）、吉字节（GB）等. 它们之间的换算关系如下：
1 KB=210 B； 1 MB=210 KB； 1 GB=210 MB=1 024 MB .
一张普通的CD光盘的存储容量约为640 MB，试问：一个320 GB的
移动硬盘的存储容量相当于多少张光盘的存储容量？
练 习
1 计算：
x12 （-x2y）7
（ 1 ） ； （ 2 ） ；
x4 （-x2y）3
x2m+1
（
3
） （m是正整数）.
xm
2 计算：
（a+2b）9 4x8y6
（ 1 ） ； （ 2 ） .
（a+2b）7 3x5y2
44第2章 分 式
2􀆰 4􀆰 2 零次幂和负整数指数幂
思 考
我们已经知道，当n为正整数时，an = a ⋅ a ⋅⋯⋅ a.
n个a
（1）若n为0时，an的意义是什么？
（2）若n为负整数时，an的意义是什么？
xm
1 ⋅
xm
1
xm
（1）根据分式的基本性质得， = = =1 . 受此启发，若把 =
xm 1 ⋅ xm 1 xn
xm-（n m>n，m，n都是正整数）推广到m=n的情形，则有
xm
=xm-m =x0.
xm
于是规定 x0=1（x≠0）. ①
将x用任意一个非零实数a代入，从①式得
a0=1（a≠0）.
即任何非零实数的零次幂都等于
1
.
( )
0
2
例如，20=1，100=1， - =1 .
3
xm
（2）若把 =xm-（n m>n，m，n都是正整数）推广到m=0的情形，则
xn
x0
有 =x0-n =x-n.
xn
x0
1
又利用①式得 = .
xn xn
1
于是规定 x-n = （x≠0，n是正整数）. ②
xn
将x用任意一个非零实数a代入，从②式得
1
a-n
=
（a≠0，n是正整数）.
an
( )n
1 1
由于 = ，
an a
45数学 八年级上册
( )n
1
因此 a-n = （a≠0，n是正整数）.
a
1
特别地，a-1= （a≠0 ）.
a
当引入零次幂和负整数指数幂后，指数的取值范围就推广到了全体整数.
例3 计算：
( )
-2
2
（1）2-3； （2） .
3
1 1
解 （1）2-3= = .
23 8
( ) ( )
-2 2
2 3 9
（2） = = .
3 2 4
例4 把下列各式写成分式的形式：
（1）x-2； （2）2xy-3.
1
解 （1）x-2= .
x2
1
2x
（2）2xy-3=2x· = .
y3 y3
在七年级已经学习了用科学记数法把一些绝对值较大的数表示成a×10 n
的形式，其中n是正整数，1≤ |a| <10 . 例如，-180000=-1. 8×105.
做一做
先填空，再将结果与同学交流.
1
（1）3. 6×10-3=3. 6× =3. 6×0. 001= ；
103
（2） =-1. 2× =-1. 2×0. 0001=-0. 00012 ．
由上可知，对于一些绝对值较小的数，也可利用科学记数法将它们表示成
46第2章 分 式
a×10-n的形式，其中n是正整数，1≤ |a|
<10
.
例5 近年来，我国基础研究和原始创新不断加强，一些关键核心技术实
现突破. 比如，我国科研团队在小尺寸晶体管研究方面取得重大突破，制备出
亚1 nm（纳米）栅极长度的晶体管，其物理栅长为0.000 000 000 34 m，请用科
学记数法表示这个长度（单位：m）.
解 0. 00000000034=3. 4×0. 0000000001=3. 4×10-10，
因此，用科学记数法表示0.000 000 000 34 m即为3. 4×10-10m .
练 习
1 计算：
（
1
）（
-1
）0； （
2
） 10-5；
( ) ( )
-6 -3
1 3
（） ； （）
3 4 􀆰
2 4
2 把下列各式写成分式的形式：
（ 1 ） x-3； （ 2 ） -5x-2y3􀆰
3 用小数表示
5.
6×10-4.
4 中国科学院自主研制的科学仪器“ 超分辨光学显微镜”的空间分辨
STED
率达到 ，请用科学记数法表示该光学显微镜的空间分辨率
0.000 000 02 m
（单位： ）.
m
2􀆰 4􀆰 3 整数指数幂的基本性质
探 究
在七年级下册我们知道，
am
⋅
an =am+（n m，n都是正整数）.
①
引入负整数指数幂后，当a≠0时，上述性质是否仍然成立？
47数学 八年级上册
设a≠0，m，n都是正整数，且m>n.
am am
1 1
由于 =am-n，a-n = ，于是 =am ⋅ =am ⋅ a-n，
an an an an
因此 am ⋅ a-n =am-n =am+ ( -n). ②
n个a
由于
an
=
a⋅a⋅⋯⋅a
=
1
=
1
=a-（m-n） =a（-m）+n，
am  a ⋅ a ⋅⋯⋅a  a ⋅ a ⋅⋯⋅a am-n
m个a （m-n）个a
an
1
且 = ⋅ an =a-m ⋅ an，
am am
所以 a-m ⋅ an =a（-m）+n. ③
类似可得，当m≤n时，等式②③仍成立.
1
又由a-n = 可得
an
1 1 1 1
a-m
⋅
a-n
= ⋅ = =
=a-（m+n） =a（-m）+（-n）.
am an am
⋅
an am+n
由上可知，引入负整数指数幂后，
am ⋅ an =am+（n a≠0，mn≠0且m，n都是整数） ④
仍然成立.
做一做
（1）已知a≠0，m，n都是整数，填空：
①a0 ⋅ an =1×an=a（ ） =a0+（ ），
②am
⋅
a0=am ×1=a（ ） =am+（ ）.
（2）由（1）可猜测：当a≠0，mn=0时，am
⋅
an =a（ ）.
可以证明，引入零次幂后，
am ⋅ an =am+（n a≠0，mn=0且m，n都是整数） ⑤
仍然成立.
由④⑤可得整数指数幂的基本性质1：
am
⋅
an =am+（n a≠0，m，n都是整数）.
48第2章 分 式
我们已经知道，（am）n =amn，（ab）n =an ⋅ bn，其中m，n都是正整数. 引
入负整数指数幂后，当a≠0，b≠0时，上述性质是否仍然成立？下面来进行
研究.
做一做
（1）已知a≠0，b≠0，填空：
1 1
①（a2）-3= = =a（ ） =a2×（ ），
（a2）3 a6
( )
1 3 13 1
②（a-）2 3= = = =a（ ） =a（ ）×3，
a2 （a2）3 a6
( )
-3
1
③（a-）2 -3= =（a2）3=a（ ） =a（-2）×（ ），
a2
1 1 1
④（ab）-2= = · =a（ ） ·b（ ）.
（ab）2 a2 b2
（2）根据（1）的结果，你能猜测出什么结论？
由上可猜测：引入负整数指数幂后，当a≠0，b≠0时，若m，n为整数
且mn≠0，则（am）n =amn和（ab）n =an·bn仍然成立. 数学上已经证明此猜测成
立，并且此结论也适合m，n为整数且mn=0的情形. 由此可得整数指数幂的
基本性质2：
（am）n =am（n a≠0，m，n都是整数）.
以及整数指数幂的基本性质3：
（ab）n =an
⋅
b（n a≠0，b≠0，n是整数）.
例6 设a≠0，b≠0，计算下列各式：
（1）a7 ⋅ a-3； （2）（a-3）-2；
（3）（a-1b）-2.
解 （1）a7 ⋅ a-3=a7+（-3） =a4.
（2）（a-3）-2=a（-3）×（-2） =a6.
a2
（3）（a-1b）-2=a2b-2= .
b2
49数学 八年级上册
设a≠0，b≠0，n是整数，利用整数指数幂的基本性质2和基本性质3得
(
a
)n
an
1
=（a ⋅ b-1）n =an ⋅（b-1）n =an ⋅ b-n =an ⋅ = ，
b bn bn
(
a
)n
an
因此 = （a≠0，b≠0，n是整数）.
b bn
( )
-3
2x
例7 计算： .
y
( 2x ) -3 ( y ) 3 y3 y3
解 .
= = =
y 2x （2x）3 8x3
练 习
1 设a≠0 ，b≠0 ，计算下列各式：
（
1
）（ -a）-1
⋅
（ -a）； （
2
）［（ -a）2］-1 ；
（
3
）（ -a）3
⋅
（a-1）2； （
4
）a-5（a2b-1）3.
( )
y2 -3
2 计算： .
3x4
习题2. 4
学而时习之
1 计算：
a5 （ -x2y3)4
（） ； （） ；
1 2
a3 （ -x2y3）2
（ -x）2m+1 -x5y3
（
3
） （m是正整数）； （
4
） .
（ -x）m+2 2xy2
2 计算：
( )
-3
3
（
1
）
1
0000； （
2
） ；
5
50第2章 分 式
( )
-4
1
（
3
）
-
； （
4
）（x-2y）-3.
2
3 用科学记数法表示下列各数：
（） ； （） .
1 0.000 008 2 -0. 0000108
4 是指大气中空气动力学直径小于或等于 （ ）
PM 2.5 μm 1μm=0. 000001m
2.5
的颗粒物，也称为细颗粒物.
（）假设一种细颗粒物的直径约为 ，相当于多少米？
1 2.5 μm
（）多少个直径为 的球状颗粒物紧密排列能达到 ？
2 2.5 μm 1 m
5 设a≠0 ，b≠0 ，计算下列各式：
（
1
）a-2b
⋅
ab-2； （
2
）（ -ab-1）2；
( )
-2a -2
（
3
）（ 3a2b-2）2
⋅
2a-3b3； （
4
） .
b3
温故而知新
6 计算：
（
1
）（ -x）-3
⋅
（ 2x-1）2； （
2
）（ -x3y-2）-5；
( )
（ -2xy-4）-2 5x2y -2
（） ； （） .
3 4 -
8xy3 6z
7 当a≠0 ，b≠0 ，c≠0 时，计算下列各式：
（
1
）（ -a2b-1c-2）-3； （
2
）（a2b-1c）-2÷2a-1bc；
( )
-2
1
（ 3 ） 3a-2b-3 ⋅ （ -2a2b）-3 ⋅ - ab2 .
6
8 最小刻度为 0. 2nm （ 1nm=10-9m ）的钻石标尺，是目前世界上刻度最小的
标尺.
（）用科学记数法表示这一最小刻度（单位： ）；
1 m
（）吸蜜蜂鸟是世界上最小的鸟类之一，从头到尾的长度大约为
2 5.6~
，问吸蜜蜂鸟的最大身长相当于钻石标尺最小刻度的多少倍？
6.5 cm
512.5 可化为一元一次方程的分式方程
做一做
为了更好地践行“绿水青山就是金山银山”的理念，某村计划组织
村民在荒坡上种9 600棵树，后来由于青年志愿者的支援，每天种树的棵
4
数是原计划的 倍，结果提前4天完成任务. 设原计划每天种x棵树，试
3
用含x的等式表示问题中的等量关系.
上述问题存在以下等量关系：
原计划的天数-实际天数=4.
4
由于原计划每天种x棵树，则实际每天种 x棵树.
3
9600 9600
根据上述等量关系，可以得到含有未知数x的等式：
-
=4，
x 4
x
3
9600 7200
即 - =4 .
x x
像这样，分母中含有未知数的方程叫作分式方程.
思 考
9600 7200
如何求解分式方程
-
=4？
x x
到目前为止，我们能求解的方程其左右两边都是整式，因此，应考虑通过
“去分母”先将上述分式方程转化为两边都是整式的方程，再求解.
由于最简公分母为x，于是将方程两边同乘x，得
9600-7200=4x，
解得 x=600 .
52第2章 分 式
9600 7200
将x用600代入原分式方程，方程左边的值为
-
=4，右边的
600 600
值也是4，从而左边的值=右边的值，
因此，x=600是原分式方程的解.
5 3
例1 解方程： - =0 .
x-2 x
解 由于最简公分母为x（x-2），于是将方程两边同乘x（x-2），得
5x-3（x-2）=0，
解得 x=-3 .
5 3
检验：将x用-3代入原分式方程，方程左边的值为
-
=0，
-3-2 -3
右边的值也是0，从而左边的值=右边的值，
因此，x=-3是原分式方程的解.
1 4
例2 解方程： = .
x-2 x2-4
解 由于最简公分母为（x-2）（x+2），于是将方程两边同乘（x-2）（x+
2），得 x+2=4，
解得 x=2 .
1
检验：将x用2代入原分式方程，方程左边的值为 ，不存在这种数，因
0
此x=2不是原分式方程的解，从而原分式方程无解.
从例2可发现，将x用2代入最简公分母（x-2）（x+2），则它的值为0，
又x=2不是原分式方程的解，于是，只要把所求出的未知数的值代入最简公
分母中，如果它使最简公分母的值为0，那么它一定不是原分式方程的解.
议一议
为什么将求出的未知数的值代入最简公分母，若其值为0，就可判断
它不是分式方程的解呢？
53数学 八年级上册
x
2
例3 解方程： + =5 .
3x-2 2-3x
解 由于最简公分母为3x-2，于是将方程两边同乘3x-2，得
x+（-2）=5（3x-2），
4
解得 x= .
7
4
经检验，x= 是原分式方程的解.
7
由例1、例2、例3可知，解可化为一元一次方程的分式方程的步骤如下：
第一步，求出最简公分母，将方程两边同乘最简公分母，把分式方程化为
一元一次方程；
第二步，解所得到的一元一次方程；
第三步，检验一元一次方程的解是否为原分式方程的解.
练 习
1 解下列方程：
x
5 1 2
（） ； （） ；
1 - =0 2 + =3
2x x-3 2x-1 1-2x
x
1 3 1
（） ； （） .
3 + =1 4 =
x-1 1-x x2-x x2-1
2 解下列方程：
2 4 1 2 1
（） ； （） .
1 - =0 2 - =
x-2 x2-4 3 2x-1 6x-3
思 考
用A，B两种型号的机器人搬运原料.
已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运
200 kg，且A型机器人搬运10 000 kg所用时
间与B型机器人搬运8 000 kg所用时间相等，
求这两种机器人每小时分别搬运多少原料.
54第2章 分 式
上述问题中存在以下两个等量关系：
A型机器人搬运10 000 kg所用时间=B型机器人搬运8 000 kg所用时间.
（1）
A型机器人每小时搬运量=B型机器人每小时搬运量+200 kg . （2）
设B型机器人每小时搬运x kg，则由等量关系（2）可得，A型机器人每小时
搬运（x+200）kg .
再根据等量关系（1），可列出如下方程：
10000 8000
.
=
x+200 x
将方程两边同乘最简公分母x（x+200），得
10000x=8000（x+200），
解得 x=800 .
经检验，x=800是原分式方程的解，且符合题意.
由此可知，B型机器人每小时搬运原料800 kg，A型机器人每小时搬运原
料1 000 kg .
例4 某校八年级学生乘车前往某乡村进行研学实践活动. 现有两条线路
可供选择：线路一全程25 km，线路二全程30km . 若走线路二的平均车速是走
线路一的1.5倍，所花时间比走线路一少用10 min， 则走线路一的平均车速为
多少？
3C
3C

分析 本题涉及的等量关系是：
1
走线路一的时间 走线路二的时间 .
- = h
6
55数学 八年级上册
设走线路一的平均车速为x
km/h
，则可得下表：
线路 平均车速/（km/h） 路程/km 时间/h
25
线路一 x 25
x
30
线路二 1.5x 30
1.5x
解 设走线路一的平均车速为xkm/h，则走线路二的平均车速为1.5xkm/h .
根据等量关系，可列出如下方程：
25 30 1
.
- =
x 1. 5x 6
解得 x=30 .
经检验，x=30是原分式方程的解，且符合题意.
答：走线路一的平均车速为30 km/h .
做一做
用流程图表示利用可化为一元一次方程的分式方程解决有关实际问
题的步骤，并与同学比较你的结果.
用可化为一元一次方程的分式方程解决有关实际问题的流程如下：
分析题目
设出未知数 检验解
实际问题 解方程
找出等量关系 列出方程 的合理性
练 习
1 某单位欲盖一栋楼房，如果由建筑一队施工，那么 天就可盖成； 如果
180
3
由建筑一队、二队同时施工，那么 天能完成工程总量的 . 现若由建筑
30
10
二队单独施工，则需要多少天才能盖成？
2 某特殊教育学校收到某校八年级学生捐助的新年礼物共 件，计划每班分
65
得数量相同的若干件，结果还差 件. 改为每班少分 件，结果剩余 件.
3 1 14
这所学校有多少个教学班？
56第2章 分 式
习题2. 5
学而时习之
1 解下列方程：
3x-1
7
x
（） ； （） ；
1 =-4 2 +3=
x+2 x-1 x-1
1 1 5 1 1
（） ； （） .
3 + = 4 + =0
x 1. 5x 6 x+1 x2+x
2 一艘轮船在两个码头之间航行，顺水航行 所需时间与逆水航行
60 km 48 km
所需时间相同. 已知水流的速度是 ，求轮船在静水中航行的速度.
2 km/h
3 小亮和小青从同一地点同时出发跑 ，小亮的速度是小青的 倍，
800 m 1.25
小亮比小青提前 到达终点. 试问：小亮和小青的速度各是多少？
40 s
4 某校招生录取时，为了防止数据录入出错， 名学生的成绩数据分别由
2 640
两位录入员各向计算机录入一遍，然后让计算机比较两人的录入是否一致.
已知甲的录入速度是乙的 倍，结果甲比乙少用 录完. 问这两个录入员
2 2 h
每小时各能录入多少名学生的成绩？
温故而知新
5 解下列方程：
x-3
3 14 4 10
（） ； （） .
1 +1= 2 = +
x-2 2-x x+8 x 3x+24
6 某商场新进一种商品，第一个月将此商品的进价提高 作为销售价，总
20%
获利 元. 第二个月商场搞促销活动，只按商品的进价提高 作为销
600 15%
售价，第二个月的销量比第一个月增加 件，并且多获利 元. 问该商
40 150
品的进价是每件多少元？商场第二个月售出该商品多少件？
▲
x-1
7 已知分式方程 ，由于印刷问题，数“ ”看不清楚.
+ =1 ▲
x-3 3-x
（）若“ ”表示的数为 ，求分式方程的解；
1 ▲ 8
（）若原分式方程无解，试求出原分式方程中“ ”表示的数.
2 ▲
57数学 八年级上册
小 结
与 评 价
知识图谱
思考回顾
. 举例说明什么是分式. 分式的基本性质有哪些？
1
. 什么是最简分式？如何通过约分把分式化成最简分式？
2
. 如何进行分式的加法、减法、乘法、除法和乘方运算？
3
. 什么是最简公分母？什么叫作通分？
4
. 如何进行同底数幂的除法运算？
5
. 任何非零实数的零次幂等于多少？整数指数幂的基本性质有哪些？
6
. 解可化为一元一次方程的分式方程的步骤是什么？
7
注意事项
f
1
. 分式 中分母g不为
0
.
g
2
. 任何非零实数的零次幂都等于
1
，即a0=1 （a≠0 ）.
58第2章 分 式
1
3
. 非零实数的负整数指数幂规定为a-n
=
（a≠0 ，n是正整数），特
an
1
别地，a-1= （a≠0 ）.
a
. 解可化为一元一次方程的分式方程时，一定要检验一元一次方程
4
的解是否为原分式方程的解.
自评互评
• 自评
通过本章的学习，你对以下几方面的学习内容掌握得怎么样？根据
自己的学习情况，点亮属于你的小星星，然后请同学和老师对你的自评
进行恰当评价.
. 了解分式和最简分式的概念，能利用分式的基本性质进行约分、通分，
1
并化简分式
. 能对简单的分式进行加、减、乘、除运算并将运算结果化为最简分式
2
. 能根据整数指数幂的基本性质进行幂的运算
3
. 会解可化为一元一次方程的分式方程
4
. 能通过分式（方程）概念的形成体会模型思想，进一步发展符号感，提
5
升抽象能力
. 能通过分式的运算及应用，体会运用类比转化思想解决问题的方法，
6
进一步提升运算能力
• 自评 / 互评
请完成下面两项评价，先自评再在小组内进行互相评价. 其中评价
由低到高分为 ， ， ， ， 五个等级.
1 2 3 4 5
. 能类比分数自主探索分式及其相关知识，积极主动与同学合作交流解
1
决数学问题，并具有质疑问难、自我反思和勇于探索的精神
( )/( )
59数学 八年级上册
. 基于对本章知识结构的理解，画出一个思维导图，并在组内展示，对
2
自己和同学画出的思维导图进行恰当评价
( )/( )
你对本章的学习及评价还满意吗？学习能力的提升在于善学勤思，
希望你认真总结，举一反三，不断更新自己，挑战自己，从而变成更好
的自己！
复习题2
学而时习之
x2-4
1 当x取哪些数时，分式 的值为
0
？
2x-5
2x+6 x-2
2 当x取
3
时，求分式
⋅
的值.
x2-4x+4 x2+3x
x2-9y2
3 当x取
55
，y取
15
时，求分式 的值.
x2+6xy+9y2
4 计算：
x
1
8x y
（） ； （） ；
1 - 2 +
x-2 x+2 x2-y2 xy+y2
x+1 x-1
3 2 1
（） ； （） .
3 - 4 - -
x2-2x+1 x2-1 y2-1 y+1 y-1
5 计算：
-3y
（ 1 ） 6x3y ⋅ ； （ 2 ）（-24x5y3）÷36x4y4；
2x
x2-2xy+y2 x+1 ( xz2 ) 3 ( y2 ) 4 ( xy ) 3
（） ； （） .
3 ⋅ 4 ⋅ ÷
x2+x x2-y2 -y xz -2z
6 计算：
（
1
） -20； （
2
）（ 5x3y5）-1；
( )
-3
1
（
3
）
-
； （
4
）（ -2xy3）-4.
4
60第2章 分 式
7 用科学记数法表示下列各数：
（ 1 ） 0. 000 001 68 ； （ 2 ） 0. 000 000 052 .
8 设a≠0 ，b≠0 ，计算下列各式：
（
1
）（ -a）2
⋅
（ -a）5； （
2
）（-a）7 ⋅（a-1）3；
（
3
）（[ -a）3]-2； （
4
）a-4 ⋅（a3b-2）5.
9 解下列分式方程：
2x+1
2 1
（） ； （） .
1 =-1 2 =
3-x x2-1 x2+x
10 在争创国家卫生城市的活动中，某市青年突击队决定义务清除某工地重达
的垃圾. 开工后，附近居民主动加入义务劳动中，使清除垃圾的速度
100 t
比原计划提高了 倍，提前 完成了任务. 青年突击队原计划每小时清除
1 4 h
多少吨垃圾？
温故而知新
11 解下列分式方程：
3 1 1 4 3 1
（） ； （） .
1 - = 2 = +
2 3x-1 6x-2 x+4 x x+12
12 数学的美无处不在，数学家们研究发现：其他条件一致的情况下，弹拨
琴弦发出声音的音调高低，取决于弦的长度，绷得一样紧的几根弦，如
果长度的比能够表示成整数的比，发出的声音就比较和谐. 例如，三根弦
长度之比是 ∶ ∶ ，把它们绷得一样紧，用同样的力弹拨，它们将
15 12 10
分别发出很调和的乐声 、 、 . 研究 ， ， 这三个数的倒数发
do mi so 15 12 10
1 1 1 1
现 ，我们称 ， ， 这三个数为一组调和数. 现有
- = - 15 12 10
12 15 10 12
一组调和数x，
5
，
3
（x>5 ），则x的值是 .
上下而求索
-x4-x2+3
13 将分式 拆成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式.
-x2+1
61空瓶换汽水





在夏季，有些人喜欢喝汽水. 一些生产商为了促进汽水空瓶的快速回收，提供了
“空瓶换汽水” 方案.
想 一 想
某品牌汽水生产商提出可以用 个空瓶再换回 瓶汽水. 某人买回 瓶汽水，则
3 1 10
他最多可以喝到多少瓶汽水？
假设汽水 瓶 元，则 个空瓶相当于 元，那么使用 个空瓶换回的汽水就只值
1 3 1 1 1
30
元. 买回 瓶汽水，意味着花去 （元），故而最多可以喝到 （瓶）.
2 10 3×10=30 =15
2
然而，很多人认为是 瓶，因为先喝 瓶，用 个空瓶换来 瓶，喝 瓶，还有
14 10 9 3 3
空瓶 （个），然后用 个空瓶再换 瓶，喝掉，最后剩下 个空瓶. 共喝了
3+1=4 3 1 2
（瓶）.
10+3+1=14
实际上，若能找他人借 个空瓶，连同前面剩下的 个空瓶，就有了 个空瓶，于
1 2 3
是又可以换回 瓶汽水，喝完后还 个空瓶给他人. 因此，共喝了 瓶.
1 1 15
俗话说：“有借有还，再借不难.” 请在借多少个空瓶就还多少个空瓶的前提下，
完成以下活动.
做 一 做
填表：
购买汽水的瓶数 实际能喝到汽水的瓶数
1
2
3
4
62续表
购买汽水的瓶数 实际能喝到汽水的瓶数
5
6
7
8
9
10
议 一 议
将购买汽水的瓶数分为奇数与偶数，结合上表中实际能喝到汽水的瓶数的情况，
你能发现什么规律？
当购买的瓶数x为偶数时，可以喝到 1.5x瓶.
当购买的瓶数x为奇数时，可以喝到（ 1.5x-0.5 ）瓶.
做 一 做
当炎热夏季即将结束时，生产商提出 个空瓶换 瓶汽水，则购买汽水的瓶数与
4 1
实际喝到汽水的瓶数之间有怎样的关系呢？
议 一 议
如果在校运动会期间，整个学校师生喝了x瓶汽水，而生产商提出，每y个空瓶
可以换 瓶新的汽水，那么能换多少瓶汽水？
1
做 一 做
为减少环境污染，节约资源，请观察身边还有哪些物品可以回收再利用，并选择
其中一种，查询相关资料，制定你的回收方案.
63第 3 章
二 次 根 式
相传意大利物理学家伽利略
（Galileo Galilei，1564—1642）曾在比
萨斜塔塔顶上做过著名的自由落体实
验，验证得出了物体的下落距离h（m）
与下落时间t（s）之间的关系式：h=
h h
4. 9t2或t= . 像 这样的
4. 9 4. 9
式子叫作二次根式. 如何进行二次根
式的简单四则运算？这就是本章要学
习的主要内容.a2 =|a|
3.1 二次根式的概念及性质
思 考
（1）2，3，5的算术平方根分别是怎样表示的？
（2） 用运载火箭发射航天飞船
时，火箭必须达到一定的速度（称为
第一宇宙速度），才能克服地球的引
力，将飞船送入环地球运行的轨道.
第一宇宙速度v与地球半径R之间存
在如下关系：v2=gR，其中g为重
力加速度. 若已知地球的半径R，则
第一宇宙速度v是多少？（用带有根
号的式子表示）
（3）比较（1）（2）的结果，它们在 中国航天
表达形式上有什么共同特征？
（1）2，3，5的算术平方根分别为 2， 3， 5 .
（2）因为速度一定大于0，所以第一宇宙速度v= gR.
（3） 2， 3， 5 与 gR 等都是形如 a 的式子.
一般地，形如 a 的式子叫作二次根式，根号下的数叫作被开方数.
我们知道：每一个正实数a有且只有两个平方根，分别为 a 和- a，其
中 a 称为a的算术平方根. 同时，在实数范围内，负实数没有平方根，因此，
只有当被开方数是非负实数时，二次根式才在实数范围内有意义①.
例1 当x是怎样的实数时，二次根式 x-1 在实数范围内有意义？
解 由x-1≥0，解得x≥1 .
①在初中，我们都是在实数范围内讨论二次根式有没有意义.
65数学 八年级上册
因此，当x≥1时， x-1 在实数范围内有意义.
对于非负实数a，由于 a 是a的一个平方根，因此
（ a）2=a（a≥0）.
例2 计算：
（1）（ 5）2； （2）（-2 2）2.
解 （1）（ 5）2=5 .
（2）（-2 2）2=（2 2）2=22×（ 2）2=4×2=8 .
做一做
填空：
（1） 22 = ； （2） 1. 22 = ；
（3） （-2）2 = ； （4） （-1. 2）2 = .
由于a的平方等于a2，因此a是a2的一个平方根. 当a≥0时，根据算术平
方根的意义，有 a2 =a，由此得出： a2 =a（a≥0）.
由于-a的平方等于a2，因此-a是a2的一个平方根. 当a<0时，-a>0，
根据算术平方根的意义，可以得到： a2 = （-a）2 =-a（a<0）.
综上可得：
ìa（a≥0），
a2 = |a| =í
î-a（a<0）.
例3 计算：
（1） （3-π）2； （2） （ 2 - 3）2.
解 （1） （3-π）2 = | 3-π | =π-3 .
| |
（2） （ 2 - 3）2 = 2 - 3 = 3 - 2 .
66第3章 二次根式
练 习
1 当x是怎样的实数时， 下列二次根式有意义？
（ 1 ） 1-x； （ 2 ） 2x-3 .
2 计算：
( )
2
（
1
）（
-
3）2； （
2
） 5 .
2
3 计算：
（
1
） 72； （
2
） （
-3
）2；
（
3
） （
1- 2
）2； （
4
） （
5 -2
）2.
思 考
（1）填空：
① 4×9 = ， 4 × 9 = ；
② 9×16 = ， 9 × 16 = .
（2）当a≥0，b≥0时，猜想 a ⋅b 和 a ⋅ b 的关系，并说明理由.
一般地，当a≥0，b≥0时，由于
（ a ⋅ b）2=（ a）2 ⋅（ b）2=a ⋅ b，
因此 a ⋅ b = a ⋅ b. 积的算术平方根，
由此得出： 等于积中各因式的算术
平方根的积.
a ⋅ b = a ⋅ b（a≥0，b≥0）.
上述等式就是积的算术平方根的性质. 利用
这一性质，可以化简二次根式.
例4 化简下列二次根式：
（1） 18； （2） 20；
（3） 72 .
解 （1） 18 = 32×2 = 32 × 2 =3 2 .
67数学 八年级上册
（2） 20 = 22×5 = 22 × 5 =2 5 .
化简二次根式时，
（3） 72 = 2×62 = 2 × 62
最后结果要求被开方数
.
= 2 ×6=6 2 不含开得尽方的因数.
例5 化简下列二次根式：
3 5
（1） ； （2） .
5 12
3 3×5 15
解 （1） = =
5 5×5 52
( ) 化简二次根式时，
2
1
= ×15 最后结果要求被开方数
5
不含分母.
15 .
=
5
( )
2
（2） 5 = 5 = 5×3 = 1 ×15 = 15 .
12 22×3 22×32 2×3 6
从例4和例5看到，二次根式经过化简后的结果，具有以下特点：被开方
数不含分母，且不含开得尽方的因数（或因式）. 这样的二次根式叫作最简二次
根式. 在二次根式的运算中，要把最后结果化成最简二次根式.
练 习
1 化简下列二次根式：
（ 1 ） 24 ； （ 2 ） 28 ；
（ 3 ） 32 ； （ 4 ） 54 .
2 化简下列二次根式：
5 7
（ 1 ） ； （ 2 ） ；
2 12
2 3
（ 3 ） ； （ 4 ） .
3 20
68第3章 二次根式
习题3. 1
学而时习之
1 当x是怎样的实数时，下列二次根式有意义？
（ 1 ） 2x-1 ； （ 2 ） 1+x2.
2 计算：
( )
2
5
（
1
）（
-5
2）2； （
2
）
3
.
3
3 计算：
（
1
） （
2- 3
）2； （
2
） （
π-4
）2.
4 化简下列二次根式：
（） ； （） ；
1 96 2 128
（） .
3 243
5 化简下列二次根式：
1 2
（） ； （） ；
1 2
2 7
5
（） .
3
18
温故而知新
6 化简下列二次根式：
（
1
） 9a2； （
2
） a4.
7 若 38-n 是整数，求自然数n所有可能的值.
69a b
⋅
= a b (a 0，b 0)
⋅ ≥ ≥
3.2 二次根式的乘法和除法
说一说
积的算术平方根的性质是什么？
a ⋅b = a ⋅ b（a≥0，b≥0）.
把 a ⋅ b = a ⋅ b 反过来，就可得：
a ⋅ b = a ⋅ b（a≥0，b≥0 ）.
利用上述等式，可以进行二次根式的乘法运算. 要注意的是，运算结果中
的二次根式要化成最简二次根式.
例1 计算：
1
（1） 3 × 6； （2） × 72 .
3
解 （1） 3 × 6 = 3×6 = 32×2 =3 2 .
1 1
（2） × 72 = ×72 = 24 = 22×6 =2 6 .
3 3
例2 计算：
( )
（1）2 3 ×5 21； （2）3 2 × - 18 .
4
解 （1）2 3 ×5 21 =2×5× 3×21 =10 32×7 =30 7 .
( ) ( )
18 1 3
（2）3 2 × - =3× - × 2 × 18 =- 2×18
4 4 4
3 9
=- 22×32 =- .
4 2
70第3章 二次根式
议一议
小玲和小婷两名同学在计算 2 × 18 时，做法分别如下：
（1） 2 × 18 = 2×18 = 36 =6；
（2） 2 × 18 = 2 ×3 2 =6.
你更喜欢哪种做法？
练 习
1 计算：
（） ； （） ；
1 3 × 15 2 6 × 12
（） .
3 3 2 ×2 10 × 5
2 计算：
（ 1 ） 3 ×2 2 ； （ 2 ） 4 3 ×（-3 15 ）.
思 考
计算下列各式，观察计算结果，你发现了什么？
4 4
（1） =---------------- ， =---------------- ；
9
9
（2） 16 =---------------- ， 16 =---------------- .
49
49
1 1
一般地，如果a>0，则 a ⋅ = a ⋅ = 1 =1，
a a
1 1
因此， = （a>0）.
a
a
1
a与 互为倒数.
设a>0，b≥0，则
a
b 1 1 1 b
= b ⋅ = b ⋅ = b ⋅ = .
a a a
a a
因此得出：
71数学 八年级上册
b b
= （a>0，b≥0 ）. （*）
a 商的算术平方根，
a
等于被除式的算术平
上述等式就是商的算术平方根的性质. 利用
方根除以除式的算术
这一性质，可以化简二次根式.
平方根.
例3 化简下列二次根式：
7 9
（1） ； （2） .
16 5
解 （1） 7 = 7 = 7 .
16 4
16
9 9 3
（2） = =
5
5 5 化简二次根式时，
3× 5 最后结果要求分母中
=
不含二次根式.
5 × 5
3 5
.
=
5
把等式（*）反过来，可得：
b b
= （a>0，b≥0 ）.
a
a
利用上述等式，可以进行二次根式的除法运算. 要注意的是，运算结果中
的二次根式要化成最简二次根式.
例4 计算：
3 14
（1） 15 ÷ 3； （2） .
5 6
解 （1） 15 ÷ 3 = 15 = 15 = 5 .
3
3
（2） 3 14 = 3 14 = 3 7 = 3 7×3 = 21 .
5 6 5 3 5 3×3 5
5 6
72第3章 二次根式
议一议
27
小华与小楠两名同学在计算 时，做法分别如下：
3
27 27
（1） = = 9 =3；
3
3
27 3 3
（2） = =3.
3 3
你更喜欢哪种做法？
例5 电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波传播
得越远，从而能接收到电视节目信号的区域就越广.
已知电视塔塔高h（km）与电视节目信号的传播半径
r（km）之间满足关系式r= 2Rh（其中R是地球半径）.
现有两座塔高分别为h =600m，h =450m的电视
1 2
塔，问它们的信号传播半径之比等于多少？
解 设两座电视塔的信号传播半径分别为r ，r .
1 2
因为r= 2Rh，600m=0. 6km，450m=0. 45km，
r 2Rh 2Rh h
所以 1 = 1 = 1 = 1
r
2
2Rh
2Rh
2
h
2
2
0. 6 4 22×3 2
.
= = = = 3
0. 45 3 32 3
练 习
1 化简下列二次根式：
25 162 9
（） ； （） ； （） .
1 2 3
16 169 2
2 计算：
3 2 2 12
（） ； （） ； （） .
1 8 55 ÷2 11 2 3
3 5
73数学 八年级上册
习题3. 2
学而时习之
1 计算：
（） ； （） ；
1 90 × 6 2 4 35 ×3 70
( )
（）（ ） 14 ； （） .
3 -2 42 × - 4 18 ×3 10 ×2 15
7
2 化简下列二次根式：
121 18
（） ； （） .
1 2
225 5
3 计算：
（） ；
1 3 15 ÷ 5
（） 28 ；
2
3
（） ；
3 24 × 12 ÷ 5
（） .
4 18 × 30 ÷2 3
4 如图，在右边的方格中，若要使横、竖、斜对角的
个实数相乘都得到同样的结果，则 个空格中的实
3 3
数之积为多少？ （第4题图）
温故而知新
5 当a=3 ，b=4 时，求下列各式的值：
（）
a3b
； （）
20ab
.
1 2
ab2 5a5
6 解方程： -2 3 x= 24 .
7 如图，从一个大正方形中裁去面积为 12 cm2和 15 cm2
的两个小正方形，求留下部分的面积. （第7题图）
743 8 +5 18
3.3 二次根式的加法和减法
我们可以根据实数加法的交换律和结合律，以及实数乘法的结合律和对加
法的分配律，对最简二次根式中被开方数相同的实数进行运算.
做一做
计算：
（1）（ 3 + 5）- 5； （2）2（ 3 +1）-3 3 .
（1） （ 3 + 5）- 5
= 3 +（ 5 - 5） ……加法结合律
= 3 +0
.
= 3
（2） 2（ 3 +1）-3 3
=2× 3 +2×1-3 3 ……乘法对加法的分配律
=2 3 +2-3 3
=（2-3）× 3 +2 ……加法交换律和结合律，乘法对加法的分配律
.
=- 3 +2
思 考
（1）3 8 +5 18等于多少？ （2）3 8 -8 27 +5 18等于多少？
对于被开方数不相同的二次根式的加法和减法运算，一般先将每个二次根
式化成最简二次根式，再对被开方数相同的二次根式进行运算.
（1）3 8 +5 18 =3×2 2 +5×3 2 =6 2 +15 2
=（6+15）× 2
.
=21 2
75数学 八年级上册
（2）3 8 -8 27 +5 18 =3×2 2 -8×3 3 +5×3 2
=6 2 -24 3 +15 2
.
=21 2 -24 3
1
例1 计算：2 18 - 50 + 45 .
3
1 1
解
2 18 - 50 + 45 =2×3 2 -5 2 + ×3 5
3 3
=6 2 -5 2 + 5
.
= 2 + 5
做一做
1
先计算 0. 5 - ，再将你的结果与同学比较.
32
例2 图3 . 3-1是一土楼的水平切面图，它由两个同心圆构成. 已知大圆
和小圆的面积分别为763. 02 m2和150. 72 m2，求圆环的宽度d（π取3. 14）.
土楼 图3.3-1
解 设大圆和小圆的半径分别为R，r，面积分别为S ，S ，由S =πR2，
1 2 1
S S
S =πr2可知，R= 1 ，r= 2 ，则
2
π π
S S
763. 02 150. 72
d=R-r= 1 - 2 = - = 243 - 48
π π 3. 14 3. 14
=9 3 -4 3 =5
3（m）.
答：圆环的宽度d为5 3 m .
76第3章 二次根式
练 习
1 计算：
（1）3 2 +2 2 - 2； （2）3（ 5 +2）-5 5；
（3）5 2 + 18； （4）4 18 -9 2；
（5）10 2 +3 8 -7 2； （6）5 12 -3 8 -2 27 .
2 计算：
（1） 2 -（3 8 +2 7）； （2）（2 3 -5 8）-（ 75 - 18）；
（3） 24 - 0. 96 .
做一做
计算：
( )
3
（1） 6 - × 0. 5； （2）（2+ 2）（1- 2）.
8
( )
3
（1） 6 - × 0. 5
8
( )
3 1
= 6 - ×
8 2
1 3 1
= 6 × - × 你还有其他方法吗？
2 8 2
1 3 1
= 6× - ×
2 8 2
3
= 3 -
4
3
.
= 3
4
（2） （2+ 2）（1- 2）
=2-2 2 + 2 - 2 × 2
77数学 八年级上册
=2-2 2 + 2 -2
.
=- 2
二次根式的四则运算是根据实数乘法对加法的分配律、实数加法的交换律
和结合律、实数乘法的交换律和结合律进行的.
例3 计算：
（1）（3 2 + 5）（3 2 - 5）； （2）（ 2 - 3）2.
解 （1）由平方差公式得
（3 2 + 5）（3 2 - 5）=（3 2）2-（ 5）2=9×2-5=13 .
（2）由完全平方公式得
（ 2 - 3）2=（ 2）2-2× 2 × 3 +（ 3）2 可以利用乘法
公式，对某些二次
=2-2× 2×3 +3
根式的乘法进行简便
.
=5-2 6
运算.
例4 计算：（ 12 + 2）÷ 2 .
解 （ 12 + 2）÷ 2 = 12 + 2 = 12 + 2 = 6 +1 .
2 2 2
例5 计算：
（1） 5 ； （2） 3 + 2 .
2 +1 2+ 3 2- 3
解 （1） 5 = 5（ 2 -1）
2 +1 （ 2 +1）（ 2 -1） 分子与分母同乘
5 × 2 - 5 2 -1，然后利用平
=
（ 2）2-12 方差公式把分母中的
根号去掉.
5×2 - 5
=
2-1
.
= 10 - 5
78第3章 二次根式
3 2
（2）
+
2+ 3 2- 3
3（2- 3） 2（2+ 3）
= +
（2+ 3）（2- 3） （2- 3）（2+ 3）
3 ×2- 3 × 3 2 ×2+ 2 × 3
= +
22-（ 3）2 22-（ 3）2
2 3 -3 2 2 + 6
= +
4-3 4-3
.
=-3+2 3 +2 2 + 6
练 习
1 计算
:
（ 1 ） 5 ×（ 15 -4 0. 6）； （ 2 ）（ 80 + 40）÷ 5 ；
（ 3 ）（2+ 3）（3- 3）； （ 4 ）（3+ 10）（ 2 - 5）.
2 计算
:
（ 1 ）（ 5 - 2）2； （ 2 ）（ 7 + 2）（ 7 - 2）.
3 计算
:
6 +2 3
（ 1 ） ； （ 2 ）（ 8 - 4）÷ 2 ；
3
（） 3 ； （） 1 1 .
3 4 -
5 -2 3+ 5 3- 5
习题3. 3
学而时习之
1 计算：
9
（） ； （） ；
1 3 12 + 27 2 2 18 -
2
1 1 1
（） ； （） .
3 4 + 4 2 -
2 8 18
79数学 八年级上册
2 计算：
（） ； （） ；
1 5 12 -7 8 + 48 2 80 - 20 + 5
（
3
）
8 -
（
3 32 +2
18）； （
4
）
18 +
（
98 - 27
）.
3 计算：
1
（
1
）
8 - 2
（
2
+2）； （
2
）
0. 5 -8×
.
8
4 计算：
（
1
）（
5 +1
）（
5 -1
）； （
2
）（
12 - 2
）2；
（ 3 ）（ 96 - 24）÷ 3 ； （ 4 ）（ 2 3 +3 2 ）（ 2 3 -3 2 ）.
温故而知新
5 计算下列各式：
1 1
（ 1 ） （ 32 + 64） - （ 50 - 75）；
2 5
( )
1 5
（） .
2 0. 2 - 20 - - 0. 45 + 90
2 4
5 -1
6 如果长方形窗户的宽与高的比值等于 ，则看上去比较美观. 现有按
2
5 +3
此比例制作的一个长方形窗户，已知它的高为 ，求它的宽.
m
2
7 设a=-1+
2
，b=-1-
2
.
b
（
1
）求a+b，ab， 的值；
a
（
2
）求a2+2a-1 ，a2-2ab+b2的值.
80第3章 二次根式
小 结
与 评 价
知识图谱
思考回顾
1 . 二次根式 a 在实数范围内有意义的条件是什么？
2
.（ a）2等于什么？ a2 等于什么？
. 积的算术平方根的性质是什么？商的算术平方根的性质是什么？
3
. 什么是最简二次根式？如何把二次根式化成最简二次根式？
4
. 如何进行二次根式的加、减、乘、除运算？
5
注意事项
1 . 二次根式 a 在实数范围内有意义的条件是a≥0 .
2 . 对于任一实数a，有 a2 = |a|.
3 . 等式 a ⋅ b = a ⋅ b 成立需同时满足a≥0 ，b≥0 .
. 最简二次根式的被开方数不含分母，且不含开得尽方的因数（或因
4
式）. 一般地，运算结果中的二次根式要化成最简二次根式.
. 实数的运算律在二次根式的加、减、乘、除运算中仍然成立.
5
自评互评
• 自评
通过本章的学习，你对以下几方面的学习内容掌握得怎么样？根据
自己的学习情况，点亮属于你的小星星，然后请同学和老师对你的自评
81数学 八年级上册
进行恰当评价.
. 了解二次根式、最简二次根式的概念
1
. 会用二次根式（根号下仅限于数）的加、减、乘、除运算法则进行简单
2
的四则运算
. 能通过二次根式的概念及性质，体会由特殊到一般的思想，提升概括
3
与抽象能力
. 能通过二次根式的四则运算，提升运算能力
4
• 自评 / 互评
请完成下面两项评价，先自评再在小组内进行互相评价. 其中评价
由低到高分为 ， ， ， ， 五个等级.
1 2 3 4 5
1 . 对形如 a 的实数运算有更进一步的认识，积极参加与本章知识有关的
交流与探讨，获得合理简洁的运算策略，学习自信心得到进一步增强
( )/( )
. 基于对本章知识结构的理解，画出一个思维导图，并在组内展示，对
2
自己和同学画出的思维导图进行恰当评价
( )/( )
你对本章的学习及评价还满意吗？学习数学需要持之以恒的态度和
刻苦钻研的精神，在坚持不懈学数学的同时，希望你能不断地去爱数学、
用数学，必将取得成功！
复习题3
学而时习之
1 当x是怎样的实数时，下列二次根式有意义？
（ 1 ） 2-3x； （ 2 ） x2+4 ；
1
（
3
） （ 2-3x）2； （
4
） .
x
82第3章 二次根式
2 计算：
（） ； （） （ ）；
1 5 12 ×3 18 2 -6 45 ×-4 48
（） ； （） （ ）.
3 3 6 ÷6 3 4 8. 5 ÷ - 1. 7
3 计算：
（） ； （） ；
1 2 63 + 28 2 18 -2 8
9 1
（） ； （） .
3 54 -5 6 -2 6 4 - + 8
2 2
4 计算：
（） ； （）（ ） ；
1 50 × 8 + 98 2 3 +2 6 ÷ 3
（）（ ） ； （）（ ）（ ）；
3 91 + 13 ÷ 13 4 9 + 7 9 - 7
（
5
）（
2+3 5
）2； （
6
）（
2 3 -3 2
）2.
5 计算：
（） ； （） ；
1 9 × 16 2 2 × 3 × 6
（） 45 ； （） 5 +1 .
3 4
5 5 -1
6 化简：
1 1 1 1
（） ；
1 + + +…+
1+ 2 2 + 3 3 + 4 99 + 100
1 1 1 1
（） .
2 - + -…+
1- 2 2 - 3 3 - 4 99 - 100
温故而知新
-1+ 5 -1- 5
7 设x
=
，x
=
.
1 2
2 2
x
（ 1 ）求x +x ，x -x ，x x ， 2的值；
1 2 1 2 1 2 x
1
（
2
）求x2+x
-1
，x2+x
-1
的值.
1 1 2 2
83数学 八年级上册
8 现有面积都是 28cm2的长方形、正方形和圆各一个，其中长方形的长是宽
的 倍. 试比较它们的周长大小（ 取 ，可借助计算器进行计算）. 通过
2 π 3.14
比较，你有什么发现？
9 若x表示
10
的整数部分，y表示它的小数部分，求（
10
+x）y的值.
上下而求索
10 判断下列各式是否成立：
2 2 3 3 4 4
； ； .
① 2 =2 ② 3 =3 ③ 4 =4
3 3 8 8 15 15
类比上述式子，试写出几个同类型的式子. 你能猜出其中的规律吗？用字
母n表示这一规律，并验证你的猜想是否正确.
11 我国南宋著名数学家秦九韶在他
的著作《数书九章》一书中，给
出了下面的公式：如果三角形的
三边长为a，b，c，则三角形的面
积为
S= 1 éê ê ê ê ê ê a2b2- ( a2+b2-c2 ) 2ùú úú ú .
4 2
ë û
（ ） 如果已知三角形的三边长为
1 三斜求积——《数书九章》18卷
， ， ，请你根据该公式计算三
4 5 6
角形的面积.
（）古希腊的几何学家海伦（ ），在数学史上以解决几何测量问题而闻
2 Heron
名，在他的著作《度量》一书中，给出了三角形的面积计算公式（海伦
公式）：
S= p（p-a）（p-b）（p-c），
a+b+c
其中a，b，c是三角形的三边长，p= . 试用秦九韶给出的三角形
2
面积公式推导出海伦公式.
84第 4 章
三 角 形
在小学，你通过动手操作已经知道三角形三边之间的关系，
以及三角形的内角和是180°，如何证明这些结论呢？
如果两个三角形的三条边和三个角分别对应相等，则这两个
三角形完全重合. 数学上，把能完全重合的两个三角形称为全等
三角形. 能否用更少的条件来判定两个三角形全等呢？
等腰三角形作为一种特殊三角形，它具有哪些性质？如何判
定一个三角形是等腰三角形？如何用尺规作一个等腰三角形？
为解决上述问题，你需要学习一些演绎推理知识和推理论证
方法，学会用尺规作一些基本几何图形.4.1
认识三角形
议一议
观察图4.1-1，在图中找出几个三角形. 构成这些三角形的三条线段
在同一条直线上吗？这三条线段是怎样连接的？
图4.1-1
不在同一直线上的三条线段首尾相接所构成的图形叫作三角形.
三角形可用符号“△”来表示，如图4.1-2中的
三角形可记作“△ABC”，读作“三角形ABC”. 其
中，A，B，C叫作△ABC的顶点；∠A，∠B，∠C
叫作△ABC的内角（简称△ABC的角）；线段AB，
BC，CA叫作△ABC的边. 通常∠A，∠B，∠C的对
图4.1-2
边BC，AC，AB可分别用a，b，c来表示.
三角形中，有的三边都不相等，有的两边相等，
有的三边都相等. 其中，两条边相等的三角形叫作等
腰三角形. 在等腰三角形中，相等的两边叫作腰，另
外一边叫作底边. 两腰的夹角叫作顶角，腰和底边的
夹角叫作底角，如图4.1-3所示.
三边都相等的三角形叫作等边三角形（或正三角
等腰三角形
形）. 等边三角形是特殊的等腰三角形——腰和底边相 图4.1-3
等的等腰三角形.
86第4章 三角形
思 考
在小学阶段，通过画三角形等操作过程，探索得知：三角形中任意两
边的长度之和大于第三边的长度. 这一结论对任何三角形都成立吗？为
什么？
如图4.1-2，根据“两点之间，线段最短”，得
AB+AC>BC，
同理可得
AB+BC>AC，
AC+BC>AB.
由此得到，三角形三边之间有以下关系：
三角形的任意两边之和大于第三边.
利用不等式的基本性质，对上面的不等式进行移项变形，还可以得到：
三角形的任意两边之差小于第三边.
例1 如图4.1-4，D是△ABC的边AC上一点，
且AD=BD，试判断AC与BC的大小关系.
解 因为AC=AD+DC，
又AD=BD，
则AC=BD+DC. 图4.1-4
在△BDC中，
BD+DC>BC（三角形的任意两边之和大于第三边），
所以AC>BC.
从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂
线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高线，简称
三角形的高.
如图4.1-5，AH⊥BC，垂足为点H，则线段AH
图4.1-5
是△ABC的边BC上的高.
87数学 八年级上册
做一做
如图4.1-6，试用三角板或量角器分别画出图中
△ABC三条边上的高线.
图4.1-6
在三角形中，一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点
之间的线段叫作三角形的角平分线. 如图4.1-7，AD平分∠BAC，交BC于点
1
D，则线段AD是△ABC的一条角平分线，此时∠BAD=∠CAD= ∠BAC.
2
图4.1-7 图4.1-8
在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫作三角形的中线. 如
图4.1-8，E是线段BC的中点，则线段AE是△ABC的边BC上的中线，此时
1
BE=EC= BC.
2
说一说
任意画一个三角形，画出三条边上的中线. 你发现了什么？
它们相交于一点.
事实上，三角形的三条中线相交于一点. 这三条中
线的交点叫作三角形的重心. 如图4.1-9，△ABC的三
条中线AD，BE，CF相交于点G，则点G为△ABC的
重心.
图4.1-9
88第4章 三角形
例2 如图 4.1-10，AD 是△ABC 的中线，AE
是△ABC的高线.
（1）图中共有几个三角形？请分别列举出来.
（2）图中哪些三角形的面积相等？
解 （1）图中有6个三角形，它们分别是：△ABD， 图4.1-10
△ADE，△AEC，△ABE，△ADC，△ABC.
（2）因为AD是△ABC的中线，
所以BD=DC.
因为AE是△ABC的高线，也是△ABD和△ADC的高线，
1 1
所以S △ABD= BD ⋅ AE，S △ADC= DC ⋅ AE，
2 2
因此S △ABD=S
△ADC
.
练 习
1 如图，完成下面的填空：
（
1
）以CD为边的三角形有 ；
（
2
） ∠EFB是 的内角；
（
3
） 在 △BCE中，BE所对的角是 ，
∠CBE所对的边是 ； （第1题图）
（
4
）以 ∠A为内角的三角形有 .
2 已知三角形的两边长为 ， ，则第三边长的取值范围是多少？
6 7
3 利用三角板（或直尺）、量角器任意画出一个三角形，并画出其中一条边上
的中线、高线以及这条边所对的角的平分线.
4 如图，AD是 △ABC的高线，DE是 △ADB的中线，BF是 △EBD的角平分
线. 根据已知条件填空：
（ 1 ） ∠ADB=∠----------------=----------------° ；
1
（
2
）BE=----------------= ；
2
（ 3 ） ∠DBF=∠----------------= 1 ∠ . （第4题图）
2
89数学 八年级上册
探 究
任意三角形的内角和都是180°吗？为什么？
在小学，通过对一个三角形进行折叠（如图4.1-11）、剪拼（如图4.1-12）
等操作，得到三角形的内角和是180° .
图4.1-11 图4.1-12
由图4.1-12受到启发，任画一个△ABC，将边AB所在直线沿点B到点C
的方向平移线段BC的长度，得到直线A'B'，则该直线经过点C，如图4.1-13
所示.
图4.1-13
因为直线在平移下的像是与它平行的直线，
所以A'B'∥AB，
则∠A'CD=∠B，∠ACA'=∠A.
又∠BCA+∠ACA'+∠A'CD=180°，
所以∠BCA+∠A+∠B=180° .
还有其他方法
由此得到：
得出此结论吗？
三角形的内角和等于 .
180°
例3 在△ABC中，∠A的度数是∠B的3倍，∠C比∠B大15°，求∠A，
∠B，∠C的度数.
90第4章 三角形
解 设∠B=x°，则∠A=（3x）°，∠C=（x+15）°，从而
3x+x+（x+15）=180，
解得x=33 .
所以3x=99，x+15=48 .
答：∠A，∠B，∠C的度数分别为99°，33°，48° .
说一说
一个三角形的三个内角中，最多有几个直角？最多有几个钝角？
由于三角形的内角和等于180°，因此，一个
三角形中最多有一个直角或一个钝角.
三个角都是锐角的三角形叫作锐角三角形，有一个角是直角的三角形叫作
直角三角形，有一个角是钝角的三角形叫作钝角三角形，如图4.1-14所示.
（1）锐角三角形 （2）直角三角形 （3）钝角三角形
图4.1-14
直角三角形可用符号“Rt△”来表示，例如，直角三角形ABC可以记作
“Rt△ABC”. 在直角三角形中，夹直角的两边叫作直角边，直角的对边叫作斜
边. 在图4.1-14（2）中，AC与BC都是直角边，AB是斜边.
特别地，两条直角边相等的直角三角形叫作等腰直角三角形.
如图4.1-15，把△ABC的边BC延长，可得到
∠ACD. 像这样，把三角形的一边与另一边的延长
线所成的角叫作三角形的外角.
例如，图4.1-15中的∠ACD就是△ABC的一
个外角. 图4.1-15
91数学 八年级上册
思 考
如图4.1-15，∠ACD是△ABC的一个外角，则∠ACD与内角∠A，
∠B之间有什么关系？
因为∠ACD+∠ACB=180°，
∠A+∠B+∠ACB=180°， 三角形的一个外角
所以∠ACD=180°-∠ACB， 跟与它相邻的内角之间
∠A+∠B=180°-∠ACB. 有什么关系？
于是∠ACD=∠A+∠B（等量代换）.
由此得到：
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
议一议
（1）三角形的外角具有哪些特征？
（2）三角形的一个外角与三角形三个内角之间有怎样的大小关系？
例4 如图4.1-16，已知AD是△ABC的角平分
线，∠ADB=98° ， ∠C=70°，求∠B的度数.
解 因为∠ADB=∠C+∠CAD，
所以∠CAD=∠ADB-∠C=98°-70°=28° .
又∠BAD=∠CAD， 图4.1-16
所以∠BAD=28° .
因此，∠B=180°-∠ADB-∠BAD=54° .
练 习
1 填空：
（ 1 ）在 △ABC中， ∠A=60° ， ∠B=∠C，则 ∠B= ；
（ 2 ）在 △ABC中， ∠A-∠B=50° ， ∠C-∠B=40° ，则 ∠B= .
92第4章 三角形
2 如图，AD是 △ABC的角平分线， ∠B=36° ， ∠C=76° ，求 ∠DAC的度数.
（第2题图） （第3题图）
3 如图， ∠CAD是 △ABC的一个外角，且 ∠CAD=100° ， ∠B=30° ，求
∠C的度数.
习题4. 1
学而时习之
1 如图，点A，B，D在直线l上，点C在直线l
外，那么过A，B，C三点可以作一个三角形
吗？过A，B，D三点呢？为什么？
（第1题图）
2 如图，回答下列问题：
（）图中有几个三角形？请分别列举出来.
1
（
2
）写出 △CDE的边和角.
（
3
）以AD为边的三角形有哪些？以 ∠C为内角
的三角形有哪些？
（第2题图）
3 如图，AD是 △ABC的中线，DE是 △ADC的中线.
（）图中有几对面积相等的三角形？把它们写出来.
1
（
2
）如果S △ABD=24cm2，则S
△ADE=
.
（第3题图） （第4题图）
4 如图，l∥m，
∠1=115°
，
∠2=95°
，求
∠3
的度数.
93数学 八年级上册
5 在 △ABC中， ∠ABC=∠ACB=2∠A，BD是AC边上的高线，求 ∠DBC
的度数.
6 （）如果一个等腰三角形的两边长为 和 ，那么此三角形的周长是
1 5 cm 6 cm
多少？
（）如果一个等腰三角形的两边长为 和 ，那么此三角形的周长是
2 3 cm 6 cm
多少？
温故而知新
7 如果a，b，c是 △ABC的三边，化简下式：
|a+b-c|
+
|a-b-c|
-
|c-b-a|.
8 如图，在 △ABC中， ∠A=40° ， ∠ABC与 ∠ACB的平分线相交于点P，
求 ∠BPC的度数.
（第8题图） （第9题图）
9 如图，BD，CD分别是 △ABC的内角 ∠ABC和外角 ∠ACE的平分线，若
∠A=70° ，求 ∠D的度数.
10 如图，在 △ABC中，D是BC边上一点， ∠1=∠2 ， ∠3=∠4 ， ∠BAC=
81°
，求 ∠DAC的度数.
（第10题图） （第11题图）
11 如图，求 ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E等于多少度.
944.2 命题与证明
4􀆰 2􀆰 1 定义，命题
我们已经学习了许多概念，例如，实数、方程、角平分线等. 对一个概念
的含义加以描述说明，或者作出明确规定的语句，叫作这个概念的定义.
例如，“连接两点的线段的长度，叫作这两点的距离”是两点的距离的定
义，“若一个数是一个无限不循环小数，则把这个数叫作无理数”是无理数的
定义.
一般地，常常用陈述句叙述一件事情. 比如：（1）-1是自然数；（2）对顶
角相等. 我们还可发现这两个陈述句中，（1）是错误（假）的，（2）是正确（真）的.
抽 象
叙述一件事情的句子（陈述句）要么是真的，要么是假
可以判断
的，两者必居其一，我们称这个陈述句是一个命题. 如果
真假的陈述句
一个命题叙述的事情是真的，就说它是真命题；如果一个
一定是命题.
命题叙述的事情是假的，就说它是假命题.
说一说
请结合已学数学知识，说出一些命题.
如果|a| =3，那么a=±3.
在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行.
垂线段最短.
95数学 八年级上册
议一议
下列命题的表述形式有什么特点？
（1）如果一个三角形中有一个角是直角，那么这个三角形是直角三
角形；
（2）如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形中有一个角是
直角.
上述命题的表述形式都是“如果……，那么……”.
对于“如果……，那么……”形式的命题，通常把“如果”引出的部分称
为条件，把“那么”引出的部分称为结论.
对于上述命题（1），“一个三角形中有一个角是直角”是条件，“这个三角
形是直角三角形”是结论.
对于上述命题（2），“一个三角形是直角三角形”是条件，“这个三角形中
有一个角是直角”是结论.
不难发现，命题（1）与命题（2）的条件与结论互换了位置，即命题（1）的条
件和结论分别是命题（2）的结论和条件.
对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条
件，则这样的两个命题称为互逆命题，其中一个叫作原命题，另一个叫作它的
逆命题.
命题（1）和命题（2）就是互逆命题. 若把命题（1）称为原命题，则命题（2）是
它的逆命题.
例1 下面两个命题是互逆命题吗？
（1）如果a是整数，那么a是有理数；
（2）如果a是有理数，那么a是整数.
解 命题（1）的条件是“a是整数”，结论是“a是有理数”.
命题（2）的条件是“a是有理数”，结论是“a是整数”.
由于命题（1）的条件和结论分别是命题（2）的结论和条件，于是，命题（1）
与命题（2）是互逆命题.
96第4章 三角形
进一步发现，“议一议”栏目中的原命题与它的逆命题均是真命题. 但是对
于例1，由于整数是有理数，于是命题（1）是真命题. 又0.1是有理数，但0.1
不是整数，于是命题（2）是假命题.
由此可知，当一个命题是真命题时，它的逆命题不一定是真命题.
有时为了叙述简便，对于“如果……，那么……”“若……，则……”形
式的命题也可以省略关联词“如果（若）”“那么（则）”. 例如，“如果两个角是
对顶角，那么这两个角相等”可以简单叙述成“对顶角相等”.
做一做
指出下列命题的条件和结论，并将其改写成“如果……，那么…… ”
的形式.
（1）能被2整除的数是偶数；
（2）平行于同一条直线的两条直线平行.
练 习
1 下列语句中，哪些是命题？
（） 的平方根是 .
1 9 3
（）任何数的平方都大于 吗？
2 0
（
3
）当x用
2
代入时，多项式x2-5x+6 的值为
0
.
2 下列四个命题中（）与（），（）与（）分别是互逆命题吗？
1 2 3 4
（）两条直线被第三条直线所截，如果这两条直线平行，那么内错角相等；
1
（）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行；
2
（）如果两个数相等，那么它们的绝对值相等；
3
（）如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等.
4
3 将下列命题改写成“如果……，那么……”的形式.
（）两直线相交，只有一个交点；
1
（）互为相反数的两个数之和为 .
2 0
97数学 八年级上册
4􀆰 2􀆰 2 证明，举反例
议一议
如何判断一个命题是假命题呢？
由“0. 1是有理数，但不是整数”可知，命题“若a是有理数，则a是整数”
是假命题. 又如，由“0的绝对值是0，不是正数”可判断“有理数的绝对值是
正数”是假命题. 一般地，对于一个命题，如果能举出一个例子，使之符合命
题条件，但不满足命题结论，就可判断该命题为假命题，这种做法称为举反例.
例2 命题“如果ab=0，那么a=0”是真命题还是假命题？
解 1×0=0，但是1≠0，因此“如果ab=0，那么a=0”是假命题.
做一做
用举反例的方法说明下列命题是假命题.
（1）若a2=b2，则a=b；
（2）一个角的余角大于这个角；
（3）若a，b是有理数，则|a+b|
=
|a|
+
|b|；
（4）如果∠A=∠B，那么∠A与∠B是对顶角.
思 考
如何判断一个命题是真命题呢？
判断一个命题是真命题，通常需从命题的条件出发，运用定义、基本事实
以及已经判断其成立的真命题，进行逻辑推理、计算，得出这个命题的结论成
立. 这一过程就是通常所说的证明.
例3 证明：如果实数a≠0或实数b≠0，那么a2+b2≠0 .
证明 若a≠0，则a2为正数.
98第4章 三角形
又b2为正数或0，从而a2+b2是正数，因此a2+b2≠0 .
同理可得，若b≠0，则a2+b2≠0 .
例4 证明：△ABC的三个内角中至少有一个角大于或等于60° .
分析 “至少有一个”意味着“有一个”“有两个”“有三个”，因而应分三
种情况进行证明. 我们可以假设没有一个满足条件，若能推出一个与已知条件
或已有定义、基本事实、已经证明了的真命题等矛盾的结论，就可否定假设，
从而得出所要证明的结论.
证明 假设△ABC的三个内角中没有一个角大于或等于60°，
则∠A<60°，∠B<60°，∠C<60°，
从而∠A+∠B+∠C<60°+60°+60°=180° .
这与“三角形的内角和等于180°”矛盾，故假设不成立.
因此，△ABC的三个内角中至少有一个角大于或等于60° .
像例4这样，当直接从条件出发证明一个
命题比较困难时，可以先假设命题不成立，从 反证法基本步骤：
这样的假设出发，经过推理得出与已知条件、 （1）假设命题不成立；
定义、基本事实、真命题等产生矛盾，得出假
（2）导出矛盾；
设不成立，从而判断所求证命题正确. 这种证
（3）肯定结论.
明方法叫作反证法.
做一做
用反证法证明本节例3 .
练 习
1 命题“两条直线被第三条直线所截，同位角相等”是真命题还是假命题？
2 证明：在同一平面内，如果直线a∥b，l⊥a，那么l⊥b.
3 用反证法证明：如果ab=0 ，那么a=0 或b=0 .
99数学 八年级上册
4􀆰 2􀆰 3 定理，推论
经过证明为真的命题叫作定理.
例如，“三角形的内角和等于180°”称为“三角形的内角和定理”.
利用某个定理直接推导出的真命题叫作这个定理的推论.
例如，利用“三角形的内角和定理”可直接推出“三角形的一个外角等于
与它不相邻的两个内角的和”，于是可将这一结论称为“三角形的内角和定理
的推论”，通常将该推论简称为“三角形外角定理”.
探 究
如图4.2-1，在△ABC中，已知∠BAC=80°，
∠ABC=60°， ∠BCA=40°， ∠ACE， ∠CBD，
∠BAF 是△ABC 的三个外角，问：这三个外角
的和等于多少度？由此你能猜测出什么结论？
图4.2-1
因为∠ACE=180°-40°=140°，∠CBD=180°-60°=120°，∠BAF=
180°-80°=100°，
所以∠ACE+∠CBD+∠BAF=140°+120°+100°=360° .
这启发我们猜测：三角形的三个外角之和等于360° . 下面来证明.
如图4.2-2，△ABC的三个外角分别为∠BAF，
∠CBD，∠ACE.
因为∠BAF=180°-∠BAC，
∠CBD=180°-∠ABC，
∠ACE=180°-∠ACB，
图4.2-2
所以 ∠BAF+∠CBD+∠ACE
=（180°-∠BAC）+（180°-∠ABC）+（180°-∠ACB）
=540°-（∠BAC+∠ABC+∠ACB）
=540°-180°
.
=360°
100第4章 三角形
由此可得：
三角形的外角和等于 .
360°
如果一个定理的逆命题被证明是真命题，那么就称它为原定理的逆定理，
并将这两个定理称为互逆定理.
例如，平行线的性质定理1“两直线平行，同位角相等”与平行线的判定
定理1“同位角相等，两直线平行”是互逆定理.
例5 证明：在一个三角形中有两个角相等，则与第三个角相邻的外角平
分线平行于第三个角的对边.
分析 对于文字证明题，一般先画出图形，再写出已知、求证，然后进行
证明.
已知：如图4.2-3，在△ABC中，∠B=∠C，AE是外角∠CAD的平分
线. 求证：AE∥BC.
证明 根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”可得，
∠CAD=∠B+∠C.
又∠B=∠C，
于是∠CAD=2∠B.
由于AE是∠CAD的平分线，
因此∠CAD=2∠DAE，
图4.2-3
从而2∠B=2∠DAE，
即∠B=∠DAE.
所以AE∥BC（同位角相等，两直线平行）.
证明与图形有关的命题时，一般有以下步骤：
第一步，先根据命题的条件画出图形，写出已知条件；
第二步，根据命题的结论写出求证；
第三步，从命题的条件出发，运用定义、基本事实以及定理进行逻辑推
理、计算，得出需要求证的结论，或者运用反证法证明.
101数学 八年级上册
练 习
1 证明：如图，在四边形ABCD中，如果 ∠A+∠B=180° ，那么 ∠C+
∠D=180° .
（第1题图） （第2题图）
2 如图，直线AB，CD被直线MN所截，且
∠1=∠2
. 求证：
∠3+∠4=
.
180°
3 如图，线段AB与CD相交于点E. 求证： ∠A+∠C=∠B+∠D.
（第3题图）
习题4. 2
学而时习之
1 下列语句是命题吗？
（
1
）如果a+b=0 ，那么a与b互为相反数；
（）有公共顶点的两个角是对顶角；
2
（）在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行吗？
3
2 指出下列命题的条件和结论.
（）如果两个角的和等于 ，那么这两个角互为补角；
1 180°
（）成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分；
2
（）内错角相等，两直线平行.
3
102第4章 三角形
3 下列两个命题是互逆命题吗？
（）两条直线被第三条直线所截，如果这两条直线平行，那么同旁内角
1
互补；
（）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线
2
平行.
4 把下列命题改写成“如果……，那么……”的形式.
（）同位角相等，两直线平行；
1
（）绝对值相等的两个数一定相等.
2
5 四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC. 求证： ∠A=∠C.
6 如图，平行直线AB，CD被直线EF所截，交点分别为G，H，射线GM平
分 ∠EGB，射线HN平分 ∠EHD. 求证：GM∥HN.
（第6题图）
温故而知新
7 如图，在 △ABC中， ∠A=∠ABC，直线EF分别交 △ABC的边AB，AC
和CB的延长线于点D，E，F. 求证： ∠F+∠FEC=2∠A.
（第7题图）
8 求证： △ABC的三个内角中至多有一个角是钝角.
9 查阅梅森素数的故事，分享你对数学证明必要性的理解.
1034.3 全等三角形
4􀆰 3􀆰 1 认识全等三角形
在日常生活中，我们经常可以看到形状、大小完全相同的图形. 图形的形
状和大小是几何研究的重要内容.
做一做
如图4.3-1是两组形状、大小完全相同的图形. 用透明纸描出每组中
的一个图形，并剪下来与另一个图形叠放在一起，它们能完全重合吗？
图4.3-1
由上述操作可知，两组图形分别都能完全重合. 一般地，能够完全重合的
两个图形叫作全等图形. 能完全重合的两个三角形叫作全等三角形.
全等三角形中，互相重合的顶点叫作对应顶点，互相重合的边叫作对应
边，互相重合的角叫作对应角.
如图4.3-2，△ABC和△A′B'C′全等，
则记作“△ABC≌△A′B′C′”.
其中A与A′，B与B′，C与C′是对应
顶点；AB与A′B′，BC与B′C′，CA与C′A′
图4.3-2
是对应边；∠A与∠A′，∠B与∠B′，∠C
与∠C′是对应角.
要注意的是，全等用符号“≌”表示，读作“全等于”. 在表示两个三角
形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上.
我们知道，能够完全重合的两条线段是相等的，能够完全重合的两个角是
104第4章 三角形
相等的. 由此得到：
全等三角形的对应边相等，对应角相等.
反过来，如果两个三角形的三条边和三个角分别对应相等，那么这两个三
角形全等.
例1 如图4.3-3，△ABC≌△DCB，AB=3，DB=4，∠A=60° .
（1）写出△ABC和△DCB的对应边和对应角；
（2）求AC，DC的长及∠D的度数.
解 （1） AB与DC，AC与DB，BC与CB是对应边；
∠A与∠D，∠ABC与∠DCB，∠ACB与∠DBC是对应角.
（2）因为 AC与DB，AB与DC是全等三角形的对应边， 图4.3-3
所以AC=DB=4，DC=AB=3 .
因为∠A与∠D是全等三角形的对应角，所以∠D=∠A=60° .
议一议
（1）如图4.3-4，把△ABC沿点B到点C的方向平移一定距离，得到
△A'B'C'，则△ABC与△A'B'C'全等吗？
/ D
图4.3-4 图4.3-5
（2）如图4. 3-5，把△ABC绕点B逆时针旋
转得到△A'B'C'，旋转角为∠ABA'，则△ABC与
△A'B'C'全等吗？
（3） 如图 4.3-6，把△ABC沿直线 l折叠，
得到△A'B'C'，则△ABC与△A'B'C'全等吗？ 图4.3-6
由平移、旋转、轴对称的知识可知，一个图形经过平移或旋转或轴对称得
到的图形与原图形全等.
105数学 八年级上册
练 习
1 如图， △ABC≌△ADE，且AE∥BD， ∠ADB=42° ，求 ∠BAC的度数.
（第1题图） （第2题图）
2 如图， △ADF与 △CBE全等，顶点A，D，F的对应顶点分别为C，B，E，
AD=4 ，BE=3 ，CE=5 ， ∠B=90° .
（
1
）找出 △ADF和 △CBE的对应边和对应角；
（
2
）求 △ADF的周长及面积.
4􀆰 3􀆰 2 全等三角形的判定定理（边角边）
我们知道，如果两个三角形的三条边和三个角分别对应相等，那么这两个
三角形全等. 能否用更少的条件来判定两个三角形全等？下面来进行研究.
议一议
根据下表给出的△ABC和△A'B'C'的相等条件及对应的图形，判断
△ABC和△A'B'C'是否全等，并把结果写在表格中.
边和角的相等条件 对应的图形 是否全等
BC=B'C'
∠B=∠B'
AB=A'B'
BC=B'C'
106第4章 三角形
续表
边和角的相等条件 对应的图形 是否全等
BC=B'C'
∠B=∠B'
∠A=∠B'A'C'
∠B=∠B'
由上表可知，当两个三角形只有一条边（或一个角）相等时，两个三角形不
一定全等；当只有两条边（或一边一角、两个角）分别对应相等时，两个三角形
也不一定全等. 这启发我们思考：能否再添加适当条件，从而保证两个三角形
全等？
做一做
用量角器和刻度尺画一个三角形， 使它的两条边长分别为2 cm，
2. 5 cm，并且这两条边的夹角为50° . 将自己画的三角形与其他同学画的
三角形叠放在一起，它们完全重合吗？
假设两名同学画出的三角形分别为△ABC和△A'B'C'，其中AB=A'B'=
2.
5cm，BC=B'C'=2cm，∠B=∠B'=50°，如图4.3-7所示.
图4.3-7
把△ABC放到△A'B'C'上，使点B与点B'重合，BC落在射线B'C'上，点A
与点A'在BC的同侧，则由BC=B'C'可得，点C与点C'重合.
又∠B=∠B'，则射线BA与射线B'A'重合，由BA=B'A'可知，点A与点
A'重合.
107数学 八年级上册
于是△ABC与△A'B'C'完全重合，从而△ABC≌△A'B'C'.
由此猜测：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.
**下面我们利用平移、旋转、轴对称知识来证明上述猜测成立.
设在△ABC和△A'B'C'中，BA=B'A'，∠ABC=∠A'B'C'，BC=B'C'，
如图4.3-8所示.
图4.3-8
第一步，如图4.3-9，将△ABC沿射线BB′的方向平移，平移的距离等于
线段BB′的长度. 在这个平移下，将△ABC的像记为△A B C ，则点B的像
1 1 1
（点B）与点B′重合，且△A B C ≌△ABC，
1 1 1 1
从而B C =BC，B A =BA，∠A B C =∠ABC.
1 1 1 1 1 1 1
图4.3-9
第二步，如图4.3-9，将△A B C 绕点B′旋转，旋转角的大小等于∠C B'C'.
1 1 1 1
在这个旋转下，将△A B C 的像记为△A B C ，则点B 的像（点B）与点B′重
1 1 1 2 2 2 1 2
合，点C 的像（点C）在射线B'C'上，且△A B C ≌△A B C ，
1 2 2 2 2 1 1 1
从而B A =B A ，B C =B C .
2 2 1 1 2 2 1 1
又B C =BC，BC=B'C'，
1 1
则B'C =B'C'，于是点C 与点C′重合.
2 2
又∠A B C =∠A B C ，∠A B C =∠ABC，∠ABC=∠A'B'C'，
2 2 2 1 1 1 1 1 1
所以∠A B C =∠A'B'C'.
2 2 2
第三步，如图4.3-9，作△A B C 关于直线B′C′成轴对称的图形，将其
2 2 2
像记为△A B C . 由于点B 与点B′重合，且均在对称轴B′C′上，因此点B 的
3 3 3 2 2
*此定理的证明过程不要求掌握.
108第4章 三角形
像（点B）与点B′重合. 同理可得，点C 的像（点C）与点C′重合.
3 2 3
又△A B C ≌△A B C ，
3 3 3 2 2 2
于是∠A B C =∠A B C .
3 3 3 2 2 2
又∠A B C =∠A'B'C'，所以∠A B C =∠A'B'C'.
2 2 2 3 3 3
又点B ，C 分别与点B'，C'重合，从而∠A B C =∠A B'C'，
3 3 3 3 3 3
于是∠A B'C'=∠A'B'C'，因此射线B'A 与射线B′A′重合.
3 3
又B A =B A ，B A =B A ，B A =BA，BA=B'A'，
3 3 2 2 2 2 1 1 1 1
于是B A =B'A'=B'A ，因此点A 与点A′重合.
3 3 3 3
所以△A B C 与△A′B′C′重合，即△A B C ≌△A'B'C'.
3 3 3 3 3 3
又△ABC≌△A B C ，△A B C ≌△A B C ，△A B C ≌△A B C ，
1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 3
因此△ABC≌△A'B'C'.
我们将上述猜测称为全等三角形的判定定理（边角边）.
提示
今后在解决有关两个三角形全等的问题时，一般只需用全等三角形
的判定定理进行证明即可.
例2 如图4.3-10，AB和CD相交于点O，且
AO=BO，CO=DO. 求证：△ACO≌△BDO.
证明 在△ACO和△BDO中，
ìAO=BO，
ïï
ïï 图4.3-10
í∠AOC=∠BOD（对顶角相等），
ïï
ïï
îCO=DO，
所以△ACO≌△BDO（边角边）.
议一议
“两条边与其中一条边的对角分别对应相等的两个三角形全等”是真
命题还是假命题？与同学交流你的想法.
109数学 八年级上册
练 习
1 将两根钢条AA'和BB'的中点O连在一起，使钢条可以绕点O自由转动，就
形成了测量工件内槽宽度的工具——卡钳，如图所示. 只要量出A'B'的长，
就能得出工件内槽的宽AB. 根据的是什么道理呢？
（第1题图）
2 如图，AD∥BC，AD=BC. △ADC和 △CBA全等吗？为什么？
（第2题图） （第3题图）
3 如图，已知AB=AC，E，F分别是AC，AB的中点. 求证：BE=CF.
4􀆰 3􀆰 3 全等三角形的判定定理（角边角、角角边）
思 考
前面已经学习了利用两边及其夹角分别相等来判定两个三角形全等，
如果两个三角形的两个角和这两个角的夹边分别对应相等，那么这两个三
角形全等吗？
已知△ABC和△A'B'C'，其中BC=B'C'=3cm，∠B=∠B'=40°，∠C=
∠C'=60°，如图4.3-11所示.
图4.3-11
110第4章 三角形
把△ABC放到△A'B'C'上，使点B与点B'重合，BC落在射线B'C'上，点A
与点A'在BC的同侧，则由BC=B'C'=3cm可得，点C与点C'重合.
因为∠B=∠B'=40°，
所以射线BA与射线B'A'重合.
又∠C=∠C'=60°，
故射线CA与射线C'A'重合.
因为C'A'与B'A'，CA与BA都有且只有一个交点，
所以点A与点A'重合.
于是△ABC与△A'B'C'完全重合，从而△ABC≌△A'B'C'.
由此猜测：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.
数学上已经证明上述猜测成立①，并称之为全等三角形的判定定理（角
边角）.
例3 如图4.3-12，点A，F，E，C在同一条直线上，AB∥DC，AB=
CD，∠B=∠D. 求证：△ABE≌△CDF.
证明 因为AB∥DC，
所以∠A=∠C.
在△ABE和△CDF中，
ì∠A=∠C，
ïï
ïï
íAB=CD，
图4.3-12
ïï
ïï
î∠B=∠D，
所以△ABE≌△CDF（角边角）.
例 4 如图 4.3-13，∠1=∠2，∠C=∠E，
AC=AE. 求证：△ABC≌△ADE.
证明 因为∠1=∠2，
所以∠1+∠BAE=∠2+∠BAE，
即∠BAC=∠DAE.
在△ABC和△ADE中， 图4.3-13
①此定理的证明见本节末的 “多知道一点”.
111数学 八年级上册
ì∠BAC=∠DAE，
ïï
ïï
íAC=AE，
ïï
ïï
î∠C=∠E，
所以△ABC≌△ADE（角边角）.
议一议
如果两个三角形有两个角和其中一个角的对边分别对应相等，那么
这两个三角形全等吗？为什么？
如图 4.3-14，在△ABC 与△A'B'C'中，满足 ∠A=∠A'，∠B=∠B'，
BC=B'C'.
图4.3-14
因为∠A+∠B+∠C=180°，∠A'+∠B'+∠C'=180°，
所以∠C=∠C'.
又由于BC=B'C'，∠B=∠B'，
因此△ABC≌△A'B'C（' 角边角）.
由此得到全等三角形的判定定理（角角边）：
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.
例5 如图4.3-15，∠B=∠D，∠1=∠2 . 求证：△ABC≌△ADC.
证明 因为∠1=∠2，
所以∠ACB=∠ACD（等角的补角相等）.
在△ABC和△ADC中，
ì∠B=∠D，
ïï
ïï 图4.3-15
í∠ACB=∠ACD，
ïï
ïï
îAC=AC，
所以△ABC≌△ADC（角角边）.
112第4章 三角形
练 习
1 如图， △ABC≌△A'B'C'，CF，C'F'分别是 ∠ACB和 ∠A'C'B'的平分线，分
别交AB，A'B'于点F，F'. 求证：CF=C'F'.
（第1题图）
2 如图，点B，F，C，E在同一条直线上，AC∥FD， ∠A=∠D，BF=
EC. 求证： △ABC≌△DEF.
（第2题图） （第3题图）
3 如图， ∠1=∠2 ，AE=AD. 求证： △ADC≌△AEB.
4􀆰 3􀆰 4 全等三角形的判定定理（边边边）
思 考
如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等吗？
先用刻度尺和圆规按如下步骤进行操作：
①任意画一条线段BC=4cm；
②以点B，点C为圆心，分别以2. 5 cm，3 cm为半径
画圆弧，两圆弧相交于点A与A'；
③连接AB，AC，A'B，A'C.
于是得到△ABC与△A'BC，如图4.3-16所示.
图4.3-16
将△ABC与△A'BC沿BC折叠，由于BC=BC=4cm，
113数学 八年级上册
则点B与点B重合，点C与点C重合.
又BA=BA'=2. 5cm，则点A在以点B为圆心，以BA'为半径的圆弧上.
又CA=CA'=3cm，则点A在以点C为圆心，以CA'为半径的圆弧上.
从而点A是上述两个圆弧的一个交点.
又因为点A'也是这两个圆弧的一个交点，并且折叠后点A与点A'在直线
BC的同侧，所以点A与点A'重合.
于是△ABC与△A'BC完全重合，从而△ABC≌△A'BC.
由此猜测：三边分别相等的两个三角形全等.
数学上已经证明上述猜测成立①，并称之为全等三角形的判定定理（边
边边）.
例6 如图4.3-17，AB=CD，BC=DA.
求证：∠B=∠D.
证明 在△ABC和△CDA中，
ìAB=CD， 图4.3-17
ïï
ïï
íBC=DA，
ïï
ïï
îAC=CA（公共边），
通常可利用三角形全等来
所以△ABC≌△CDA（边边边）.
证明两个角或两条线段相等.
因此∠B=∠D.
例7 如图4.3-18，AC与BD相交于点O，
且AB=DC，AC=DB. 求证：∠A=∠D.
证明 连接BC.
在△ABC和△DCB中，
ìAB=DC， 图4.3-18
ïï
ïï
íBC=CB（公共边），
ïï
ïï
îAC=DB，
在原来图形上添画的线叫
所以△ABC≌△DCB（边边边）.
辅助线，并且通常画成虚线.
因此∠A=∠D.
①此定理的证明见本节末的 “多知道一点”.
114第4章 三角形
议一议
我们知道，两个角分别对应相等的两个三角形不一定全等，那么三
个角分别对应相等的两个三角形全等吗？为什么？
由全等三角形的判定定理（边边边）可知，只要三角形三条边的长度确定，
那么这个三角形的形状和大小也就固定了，三角形的这个性质叫作三角形的稳
定性.
三角形的稳定性在生产和生活中有着广泛的应用. 如有些房屋的屋顶采用
三角形结构，其道理就是三角形具有稳定性. 又如，自行车车架也利用了三角
形的稳定性.
练 习
1 如图，已知AD=BC，AC=BD. 那么
∠1
与
∠2
相等吗？
（第1题图） （第2题图）
2 如图，点A，C，B，D在同一条直线上，AC=BD，AE=CF，BE=DF.
求证：AE∥CF，BE∥DF.
AC
3 木工师傅做好门框后，为防止变形常常像图中所示那
B D
样钉上两根斜拉的木条（即图中的AB，CD两根木条），
这样做的道理是什么？
（第3题图）
115数学 八年级上册
4􀆰 3􀆰 5 全等三角形的应用
在生活中，有时可以利用全等三角形的有关知识帮助我们解决一些实际
问题.
思 考
为测量河宽AB，小楠从河岸的A点
沿着与AB垂直的方向走到C点，并在
AC的中点E处立一根标杆，然后从C点
沿着和AC垂直的方向走到D点，使点
D，E，B恰好在一条直线上，如图4.3-
19所示. 于是小楠说：“CD的长就是河
图4.3-19
的宽度.”你认为小楠说得对吗？为什么？
如图4.3-19，在△AEB和△CED中，
ì∠A=∠C=90°，
ïï
ïï
íAE=CE，
ïï
ïï
î∠AEB=∠CED（对顶角相等），
所以△AEB≌△CED（角边角）， 从而AB=CD.
即CD的长就是河的宽度. 因此，小楠说得对.
例8 小玲家有一个小口玻璃瓶，她想知道它
A B
的内径是多少，但是尺子不能伸到里边测量，于是
她想了个办法：将两根长度相同的细木条的中点固 O
定在一起，木条可以绕中点转动（如图4.3-20所 D C
示），使CD与瓶底平行，这样只要量出AB的长，
就可以知道玻璃瓶的内径是多少. 你知道其中的理 图4.3-20
由是什么吗（木条的粗细忽略不计）？
分析 只需要说明AB和CD相等即可.
解 如图4.3-20，连接AB，CD，
116第4章 三角形
由题意可知，OA=OB=OC=OD.
在△AOB和△COD中，
ìOA=OC，
ïï
ïï
í∠AOB=∠COD（对顶角相等），
ïï
ïï
îOB=OD，
所以△AOB≌△COD（边角边），从而AB=CD，
即AB的长等于玻璃瓶的内径.
例9 在甲楼底部、乙楼顶部分别安装一盏射灯.
其中A灯恰好照到B灯，B灯恰好照到甲楼的顶部C
处，如图4.3-21所示. 已知AE为水平线，CA⊥AE，
BE⊥AE，如果两盏灯的光线AB，BC与水平线的夹
角相等，那么能否说甲楼高度是乙楼高度的2倍？为
图4.3-21
什么？
解 如图4.3-21，过点B作BF⊥AC，交AC于
点F，则∠CFB=∠AFB=90° .
又 ∠CFB=∠CAE=90°，
所以FB∥AE，从而∠ABF=∠BAE.
因为两盏灯的光线AB，BC与水平线的夹角相等，
所以∠CBF=∠BAE，从而∠CBF=∠ABF.
在△CBF和△ABF中，
ì∠CBF=∠ABF，
ïï
ïï
íBF=BF，
ïï
ïï
î∠CFB=∠AFB，
所以△CBF≌△ABF（角边角），从而CF=AF.
又FA⊥AE，BE⊥AE，且AE∥FB，
所以AF，EB是平行线AE与FB的公垂线段，
故AF=EB，
还有其他方法
从而AC=2AF=2EB.
证明AF=EB吗？
因此，可以说甲楼高度是乙楼高楼的2倍.
117数学 八年级上册
练 习
如图，太阳光线AC与A'C'是平行的，同一时刻两根竖立的木杆在太阳光照
射下的影子一样长. 由此能判断这两根木杆一样长吗？为什么？
习题4. 3
学而时习之
1 如图，已知 △ABC≌△AED，写出它们的对应边与对应角.
（第1题图） （第2题图）
2 如图，已知 △ABD≌△EBC，AB=2 ，BC=5 ，点E在BD上.
（
1
）求DE的长.
（
2
）若点A，B，C在同一条直线上，则DB与AC垂直吗？为什么？
3 如图，已知AB=DC，BE=CF， ∠B=∠C. 小莉说：“AF=DE. ”你
认为她的判断对吗？请说明理由.
（第3题图） （第4题图）
4 如图，已知AB=AC，AB⊥AC，AD⊥AE，且 ∠ABD=∠ACE. 求证：
AD=AE.
118第4章 三角形
5 工人师傅不小心把一块三角形玻璃打碎成三块，如图所示，现要到玻璃店
重新配一块与原来一样的三角形玻璃，只允许带其中的一块玻璃碎片去.
请问：应带哪块玻璃碎片去？为什么？
（第5题图） （第6题图）
6 如图，AB∥CD，AD与BC相交于点O，且OA=OD. 求证：OB=OC.
7 如图，
∠1=∠2
， ∠C=∠D，AC与BD相交于点E. 求证：EC=ED.
（第7题图） （第8题图）
8 工人师傅要检查如图所示的人字梁的 ∠B和 ∠C是否相等，但他手边没有量
角器，只有一把刻度尺. 他是这样操作的：
①
在BC上分别截取BD，CE，使BD=CE；
②
在BA和CA上分别截取BF，CG，使BF=CG；
③
量出DF，EG的长.
如果DF=EG，则说明 ∠B=∠C. 他的这种做法合理吗？为什么？
9 如图，AB=AD，BC=DC，点P在AC上. 求证：BP=DP.
（第9题图） （第10题图）
10 如图，点A，D，C，B在同一条直线上，AD=BC，AE=BF，CE=DF.
119数学 八年级上册
求证：（
1
）AE∥FB； （
2
）DE=CF.
温故而知新
11 如图，已知线段AD，BE相交于点C，根据下列各组条件，你可以判断
△ABC≌△DEC吗？
（
1
）AC=DC，BC=EC； （
2
）AC=DC， ∠A=∠D；
（
3
）AB=DE， ∠A=∠D.
（第11题图） （第12题图）
12 如图，AB=AD，AC平分 ∠DAB，点E，F分别在BC，CD上，且CE=
CF. 求证：AE=AF.
13 如图，AB=CD，BC=DA，E，F是AC上的两点，且AE=CF. 求证：
DE=BF.
（第13题图） （第14题图）
14 如图，已知AB=AE，BC=ED， ∠B=∠E，F是线段CD的中点. 求
证：AF⊥CD.
15 如图，四边形ABCD中，点E在边CD上，连接AE，
BE. 给出下列五个关系式： ①AD∥BC； ②DE=CE；
③∠1=∠2
；
④∠3=∠4
； ⑤AD+BC=AB. 将其中
的三个关系式作为条件，另外两个作为结论，构成一个
命题. 用序号写出一个真命题，并给出证明.
（第15题图）
120第4章 三角形
利用平移、轴对称和旋转证明角边角与边边边定理
一、角边角定理的证明
如图
1
，设在 △ABC和 △A'B'C'中， ∠ABC=∠A'B'C'，BC=B'C'，
∠ACB=∠A'C'B'.
图1
第一步，如图
2
，将 △ABC沿射线BB'的方向平移，平移的距离等于
线段BB'的长度. 在这个平移下，将 △ABC的像记为 △A B C ，则点B
1 1 1
的像（点B）与点B'重合，且 △A B C ≌△ABC.
1 1 1 1
所以B C =BC=B'C'， ∠A B C =∠ABC=∠A'B'C'，
1 1 1 1 1
∠A C B =∠ACB=∠A'C'B'.
1 1 1
图2
第二步，如图 2 ，将 △A B C 绕点B'旋转，旋转角大小等于 ∠C B'C'.
1 1 1 1
在这个旋转下，将 △A B C 的像记为 △A B C ，则点B 的像（点B）与
1 1 1 2 2 2 1 2
点B'重合，点C 的像（点C）在射线B'C'上，且 △A B C ≌△A B C .
1 2 2 2 2 1 1 1
所以B C =B C =BC=B'C'，
2 2 1 1
即B'C =B'C'，因此点C 与点C'重合.
2 2
又 ∠A B C =∠A B C =∠ABC=∠A'B'C'，
2 2 2 1 1 1
∠A C B =∠A C B =∠ACB=∠A'C'B'，
2 2 2 1 1 1
121数学 八年级上册
因此 ∠A B C =∠A'B'C'， ∠A C B =∠A'C'B'.
2 2 2 2 2 2
第三步，如图 2 ，作 △A B C 关于直线B'C'成轴对称的图形，将其
2 2 2
像记为 △A B C ，由于点B 与点B'重合，且在对称轴B'C'上，因此点B
3 3 3 2 2
的像（点B）与点B'重合. 同理可得，点C 的像（点C）与点C'重合.
3 2 3
又 △A B C ≌△A B C ，
3 3 3 2 2 2
因此 ∠A B C =∠A B C =∠A'B'C'，即 ∠A B'C'=∠A'B'C'，
3 3 3 2 2 2 3
∠A C B =∠A C B =∠A'C'B'，即 ∠A C'B'=∠A'C'B'，
3 3 3 2 2 2 3
从而射线B'A 与射线B'A'重合，射线C'A 与射线C'A'重合.
3 3
因此点A 与点A'重合.
3
于是 △A B C 与 △A'B'C'重合，从而 △A B C ≌△A'B'C'.
3 3 3 3 3 3
又 △ABC≌△A B C ， △A B C ≌△A B C ，
1 1 1 1 1 1 2 2 2
△A B C ≌△A B C ，
2 2 2 3 3 3
因此 △ABC≌△A'B'C'.
二、边边边定理的证明
设在如图
1
所示的 △ABC和 △A'B'C'中，AB=A'B'，BC=B'C'，
AC=A'C'.
第一步，如图
3
，将 △ABC沿射线BB'的方向平移，平移的距离等于
线段BB'的长度. 在这个平移下，将 △ABC的像记为 △A B C ，则点B
1 1 1
的像（点B）与B'重合，且 △A B C ≌△ABC.
1 1 1 1
所以A B =AB=A′B′ ，B C =BC=B′C′ ，A C =AC=A′C′ .
1 1 1 1 1 1
图3
第二步，如图 3 ，将 △A B C 绕点B'旋转，旋转角大小等于 ∠C B'C'.
1 1 1 1
在这个旋转下，将 △A B C 的像记为 △A B C ，则点B 的像（点B）与
1 1 1 2 2 2 1 2
122第4章 三角形
点B'重合，点C 的像（点C）在射线B'C'上，且 △A B C ≌△A B C .
1 2 2 2 2 1 1 1
所以 B C =B C =BC=B'C'，即 B'C =B'C'，因此点 C 与点 C'
2 2 1 1 2 2
重合.
又B A =B A =BA=B'A'，即B A =B'A'，
2 2 1 1 2 2
且C A =C A =CA=C'A'，即C A =C'A'.
2 2 1 1 2 2
第三步，如图 3 ，作 △A B C 关于直线B'C'成轴对称的图形，将其
2 2 2
像记为 △A B C . 由于点B 与点B'重合，且在对称轴B'C'上，因此点B
3 3 3 2 2
的像（点B）与点B'重合. 同理可得，点C 的像（点C）与点C'重合.
3 2 3
又 △A B C ≌△A B C ，
3 3 3 2 2 2
从而B A =B A =B'A'，C A =C A =C'A'.
3 3 2 2 3 3 2 2
即B'A =B'A'，C'A =C'A'.
3 3
以点B'为圆心，以B'A'为半径画圆，以点C'为圆心，以C'A'为半径
画圆，则A'是这两个圆的一个交点.
由于B'A =B'A'，因此点A 在以点B'为圆心，以B'A'为半径的圆上.
3 3
由于C'A =C'A'，因此点A 在以点C'为圆心，以C'A'为半径的圆上.
3 3
所以点A 也是这两个圆的一个交点，并且点A 与点A'在直线B'C'的
3 3
同侧，因此点A 与点A'重合.
3
于是 △A B C 与 △A'B'C'重合，从而 △A B C ≌△A'B'C'.
3 3 3 3 3 3
又 △ABC≌△A B C ， △A B C ≌△A B C ，
1 1 1 1 1 1 2 2 2
△A B C ≌△A B C ，
2 2 2 3 3 3
因此 △ABC≌△A'B'C'.
1234.4
尺规作图
我们已经会用没有刻度的直尺和圆规作一条线段等于已知线段，下面继续
运用这两种工具来学习几种尺规作图方法.
例1 已知三边作三角形.
如图4.4-1，已知线段a，b，c.
求作△ABC，使BC=a，AC=b，AB=c.
分析 上一节在探索判定三角形全等的边边边定理时，
作出了三条边长分别为 ， ， 的三角形. 由
2.5 cm 3 cm 4 cm 图4.4-1
此受到启发，可采取同样步骤作出所求作的三角形.
作法 （1）如图4.4-2，作线段BC=a；
（2）以点B为圆心，以c为半径画圆弧，再以点C为
圆心，以b为半径画圆弧，两弧在BC的一侧相交于点A；
（3）连接AB和AC，则△ABC为所求作的三角形. 图4.4-2
说一说
上述方法作出的三角形是唯一的吗？为什么？
由全等三角形的判定定理（边边边）可知，这样作出的三角形
都是全等的，因此已知三边能作出唯一的三角形.
例2 作一个角等于已知角.
如图4.4-3，已知∠AOB.
求作∠A′O′B′，使∠A′O′B′=∠AOB.
分析 以点O为顶点，分别在边OA，OB上截取OC，
OD，使OC=OD，连接CD，则构成 △COD. 然后作一
个与 △COD全等的三角形，则该三角形中与 ∠AOB相对 图4.4-3
124第4章 三角形
应的角，就是所求作的角.
作法 （
1
）如图4.4-4，作射线O′A′ ；
（2）如图4.4-3，以点O为圆心，以任意长为半径画
圆弧，交OA于点C，交OB于点D；
（3）如图4.4-4，以点O′为圆心，以OC（或OD）的
图4.4-4
长为半径画圆弧，交O′A′于点C′；
（4）以点C′为圆心，以CD的长为半径画圆弧，交前弧于点D′；
（5）过点D′作射线O′B′，则∠A′O′B′为所求作的角.
议一议
为什么∠A'O'B'就是所求作的角？与同学交流你的理由.
例3 已知两边及其夹角作三角形.
如图4.4-5，已知∠α和线段a，c.
求作△ABC，使∠B=∠α，BC=
a，AB=c.
作法 （1）作∠MBN=∠α；
图4.4-5 图4.4-6
（2） 在射线BM，BN上分别截取
BC=a，AB=c；
（3）连接AC，则△ABC为所求作的
为什么△ABC就是
所求作的三角形？
三角形（如图4.4-6）.
练 习
用尺规完成下列作图（保留作图痕迹，不要求写出作法）.
1 先画线段a，b（其中 2a>b），求作以线段a为腰，线段b
为底边的等腰三角形.
2 如图，在 ∠AOD的内部作射线OB，使 ∠AOB=∠COD.
3 先画一个 ∠α和一条线段a，再求作 △ABC，使得 ∠A=
（第2题图）
∠α，AB=AC=a.
125数学 八年级上册
例4 已知两角及其夹边作三角形.
如图4.4-7，已知∠α，∠β和线段a.
求作△ABC，使 ∠ABC=∠α，∠ACB=
∠β，BC=a.
图4.4-7
作法 （
1
）作线段BC=a；
（2） 在 BC 的同侧，分别作 ∠DBC=∠α，
∠ECB=∠β，BD与CE相交于点A，则△ABC
为所求作的三角形（如图4.4-8）.
图4.4-8
议一议
上述例4中作出的△ABC唯一吗？试说明理由.
做一做
（1）如图4.4-9，已知∠α，∠β和线段a.
求作△ABC，使∠ABC=∠α，∠ACB=
∠β，AB=a.
（2）你根据（1）作出的△ABC与其他同学
图4.4-9
作出的三角形能完全重合吗？为什么？
例5 过直线外一点作这条直线的平行线.
如图4.4-10，已知直线AB，点P不在AB上.
求作过点P且与直线AB平行的直线.
分析 受利用平移三角板画平行线的启发，可先 图4.4-10
过直线外一点P画一条直线与直线AB相交，构造出
∠α，再以点P为顶点作 ∠α的同位角，使它等于 ∠α，
最后根据“同位角相等，两直线平行”可知：在点P处
所作的角的另一边所在直线即为所求作的平行线.
作法 （1）如图4.4-11，过点P作直线EF，与直
线AB相交于点M； 图4.4-11
126第4章 三角形
（2）以点M为圆心，以小于MP的长度为半径画圆弧，交MB于点G，交
MF于点H；
（3）以点P为圆心，以MG（或MH）的长为半径画圆弧，交PF于点C；
（4）以点C为圆心，以HG的长为半径画圆弧，与前弧交于点D；
（5）连接PD，则直线PD为所求作的平行线.
练 习
用尺规完成下列作图（保留作图痕迹，不要求写出作法）.
1 如图，已知 ∠α， ∠β和线段a，b，求作 △ABC，使得 ∠B=∠α， ∠C=
∠β，BC=a-b.
（第1题图） （第2题图）
2 如图，已知直线AB及直线AB外一点P，直线PC与AB交于点C，作
∠DPC=∠PCB（要求 ∠DPC与 ∠PCB为一对内错角）. 判断直线DP与直
线AB是否平行，并说出其中的理由.
习题4. 4
学而时习之
用尺规完成下列作图（保留作图痕迹，不要求写出作法）.
1 如图，已知线段a，求作 △ABC，使AB=AC=2a，BC=a.
（第1题图） （第2题图）
2 如图，已知 ∠α， ∠β，求作 ∠ABC，使 ∠ABC=∠α+∠β.
127数学 八年级上册
3 如图，已知线段a，b和 ∠α，求作 △ABC，使BC=a，AB=b， ∠B=
2∠α.
（第3题图） （第4题图）
4 如图，已知 ∠α和线段 a，求作 △ABC，使 BC=a， ∠B=∠α， ∠C=
2∠α.
温故而知新
5 如图，已知 △ABC，用三种不同的作法作 △DEF，使 △DEF≌△ABC.
比较一下，哪种作法最简便？
（a） （b）
（第5题图） （第6题图）
6 （
1
）如图（
a
），已知直线l及l外一点A，求作等腰三角形ABC，使底边BC
在直线l上. 能作出多少个满足条件的三角形？
（
2
）如图（
b
），已知直线l上一点B及l外一点A，求作等腰三角形ABC，使
它的腰为AB，顶点C在l上. 能作出多少个满足条件的三角形？
1284.5
等腰三角形
等腰三角形作为一种特殊三角形，除了具有一般三角形的性质外，还具有
哪些特殊性质呢？
思 考
在等腰△ABC中，已知AB=AC，AD是△ABC的中线，则∠B=
∠C吗？∠BAD=∠CAD吗？AD是△ABC的高线吗？
如图4.5-1，由于AD是等腰△ABC的底边BC
上的中线，则BD=CD.
在△ABD和△ACD中，
ì
AB=AC，
ïïïï
íBD=CD， 图4.5-1
ïï
ïï
îAD=AD，
所以△ABD≌△ACD（边边边）.
因此∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC=90° .
即AD是△ABC的顶角∠BAC的平分线，是底边BC上的高线.
由此可得等腰三角形的性质定理：
等腰三角形的两个底角相等（简称 “等边对等
你能找出等腰
角”
)
，底边上的高线、中线及顶角平分线重合（简称
三角形的对称轴吗？
“三线合一” .
)
例1 如图4.5-2，在△ABC中，AB=AC，D
为AB的中点，点E在AC上，且BE=BC=AE.
（1）求证：ED⊥AB；
（2）求△ABC各角的度数.
解 （1）因为BE=AE，D为AB的中点，
图4.5-2
129数学 八年级上册
所以ED是等腰△EAB的边AB上的中线，
从而ED⊥AB（三线合一）.
（2）因为AB=AC，BE=BC=AE，
所以∠ABC=∠C，∠C=∠1，∠A=∠2（等边对等角）.
于是∠1=∠A+∠2=2∠A，
从而∠ABC=∠C=∠1=2∠A.
又∠A+∠ABC+∠C=180°，
于是
∠A+2∠A+2∠A=180°，
从而∠A=36°，
因此∠A，∠ABC，∠C的度数分别为36°，72°，72° .
议一议
如图4.5-3所示的三角测平架中，AB=AC，
在BC的中点D挂一个重锤，自然下垂，调整架身，
使点A恰好在铅垂线上.
（1）AD与BC是否垂直？试说明理由.
（2）这时BC处于水平位置，为什么？
图4.5-3
练 习
1 如图，在 △ABC 中，AB=AC，AD 为 BC 边上的高， ∠BAC=49° ，
BC=4 ，求 ∠BAD的度数及DC的长.
（第1题图） （第2题图）
2 如图，在 △ABC中，AB=AD=DC， ∠BAD=30°. 求 ∠B和 ∠C的度数.
130第4章 三角形
根据等腰三角形的定义，如果一个三角形的两条边相等，那么就可判定这
个三角形是等腰三角形. 除此之外，还有其他判定方法吗？
探 究
任意画∠EBC，在线段BC的同侧，以C为顶点
作∠FCB，使 ∠FCB=∠EBC，BE 与 CF 交于点
A，得到△ABC，如图4.5-4所示. 用圆规量一量
AB和AC，它们相等吗？由此，你能发现什么？
图4.5-4
可以发现AB=AC，从而△ABC是等腰三角形.
下面对探究得出的结论进行证明.
如图4.5-5，在△ABC中，∠B=∠C，
以过点A的一条直线为折痕对折，使得射线AC与射线AB重合，折痕与
BC的交点记作D，则AD为∠BAC的平分线.
在△ABD和△ACD中，
ì∠B=∠C，
ïï
ïï
í∠BAD=∠CAD，
ïï
ïï
îAD=AD，
图4.5-5
所以△ABD≌△ACD（角角边）.
从而AB=AC，因此△ABC是等腰三角形.
由此可得等腰三角形的判定定理：
有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称 “等角对等边”）.
例2 如图4.5-6，在△ABC中，AB=AC，D，E分
别是AB，AC上的点，且DE∥BC. 求证：△ADE为等腰
三角形.
证明 因为AB=AC，
所以∠B=∠C（等边对等角）.
图4.5-6
131数学 八年级上册
又因为DE∥BC，
所以∠ADE=∠B，∠AED=∠C.
因此∠ADE=∠AED.
于是△ADE为等腰三角形（等角对等边）.
例3 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三
角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形.
已知：如图4. 5-7，∠CAE是△ABC的外角，∠1=
∠2，AD∥BC. 求证：AB=AC.
分析 要证明AB=AC，可先证明 ∠B=∠C. 因为
图4.5-7
∠1=∠2
，所以应想办法找出 ∠B， ∠C与
∠1
，
∠2
的
关系.
证明 因为AD∥BC，
所以∠1=∠B（两直线平行，同位角相等），
∠2=∠C（两直线平行，内错角相等）.
又因为∠1=∠2，
所以∠B=∠C.
因此AB=AC（等角对等边）.
练 习
1 如图， ∠A=36° ， ∠DBC=36° ， ∠C=72° . 分别计
算 ， 的度数，并找出图中所有的等腰三角形.
∠1 ∠2
2 等腰三角形ABC的底角 ∠ABC和 ∠ACB的平分线相交
于点O. 求证： △OBC为等腰三角形.
（第1题图）
等边三角形是腰和底边相等的等腰三角形，
因而等边三角形也是轴对称图形. 它除了具有 等边三角形有多少条
等腰三角形的全部性质外，应该还有其他特殊 对称轴？
的性质. 下面我们来探索.
132第4章 三角形
探 究
等边三角形的三个内角的大小之间有什么关系呢？
如图4.5-8，△ABC是等边三角形，则AB=AC=BC.
由于AB=AC，则根据等腰三角形的性质定理得，
∠B=∠C.
同理，由于AC=BC，因此∠A=∠B，
从而∠A=∠B=∠C.
根据三角形内角和定理得，∠A+∠B+∠C=180°，
图4.5-8
因此∠A=∠B=∠C=60° .
由此可得等边三角形的性质定理：
等边三角形的各角都等于 .
60°
说一说
由上可知，等边三角形的三个角相等，其逆命题成立吗？
逆命题成立. 如图4.5-9，在△ABC中，由
于∠A=∠B，则AC=BC.
同理可由∠B=∠C得AB=AC.
于是AB=AC=BC.
因此△ABC是等边三角形. 图4.5-9
由此可得等边三角形的判定定理1：
三个角都相等的三角形是等边三角形.
思 考
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形吗？
133数学 八年级上册
如图4.5-10，在△ABC中，AB=AC.
情形1 设∠A=60° .
根据三角形内角和定理得
∠B+∠C=180°-∠A=180°-60°=120° .
由于AB=AC，因此∠B=∠C=60° .
图4.5-10
于是△ABC是等边三角形.
情形2 设∠B=60° .
由于AB=AC，因此∠C=∠B=60°，
从而∠A=180°-∠B-∠C=180°-60°-60°=60° .
因此△ABC是等边三角形.
情形3 设∠C=60° .
与情形2类似，同理可证△ABC是等边三角形.
由此可得等边三角形的判定定理2：
有一个角是 的等腰三角形是等边三角形.
60°
例4 如图4.5-11，△ABC是等边三角形，点D，
E分别在BA，CA的延长线上，且AD=AE. 求证：
△ADE是等边三角形.
证明 因为△ABC是等边三角形，
所以∠BAC=60（° 等边三角形的性质定理）.
图4.5-11
因为∠EAD=∠BAC=60°，AD=AE，
所以△ADE是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）.
练 习
1 在等边三角形ABC内任取一点O，作OE∥AB，
OF∥AC，分别交BC于点E，F， △OEF是等
边三角形吗？为什么？
2 如图，CD平分 ∠ACB，AE∥DC，AE交BC的
延长线于点E，且 ∠ACE=60° . 求证： △ACE （第2题图）
134第4章 三角形
是等边三角形.
3 如图，AB=BC， ∠CDE=120° ，DF∥BA，且DF平分 ∠CDE. 求证：
△ABC是等边三角形.
（第3题图）
习题4. 5
学而时习之
1 在 △ABC中，AB=AC，CD，BE分别是边AB，AC上的中线. 求证：
BE=CD.
2 若等腰三角形的一个内角是 ，求这个等腰三角形的其他内角.
30°
3 如图，在 △ABC中，AB=AC，AD平分 ∠BAC交BC于点D，AD=5 ，
CD=2 ，求 △ABC的面积.
（第3题图） （第4题图）
4 如图， △ABC是等边三角形，点D在线段BC的延长线上，E为线段AC上
一点，且CD=CE，求 ∠D的度数.
5 如图，CD是等腰 Rt△ABC的斜边AB上的高，DE是 △DBC的边BC上的
高，试找出图中所有的等腰直角三角形.
（第5题图）
135数学 八年级上册
6 上午
10
时，一艘船从A处出发以每小时
20
海里①的速
度向正北方向航行，中午
12
时到达B处. 从A，B两
点观望灯塔C，测得 ∠DAC=40° ， ∠DBC=80° ，如
图所示，求从B处到灯塔C的距离.
7 如图，四边形ABCD中 ∠B=∠C，DE∥AB交BC
于点E，EC=ED. 求证： △DEC为等边三角形.
（第6题图）
（第7题图） （第8题图）
8 如图，在等边三角形ABC的边AC上取中点D，BC的延长线上取一点E，
使CE=CD. 求证：BD=DE.
温故而知新
9 如图，在 △ABC中，点D，E在边BC上，BD=CE，
∠1=∠2
，求证：
△ABC是等腰三角形.
（第9题图） （第10题图）
10 如图，在 △ABC中，AB=AC，BD⊥AC，垂足为
1
点D. 求证： ∠DBC= ∠A.
2
11 如图， △ABC是等边三角形，D，E，F分别是边AB，
BC，CA的中点. 求证： △DEF是等边三角形.
（第11题图）
①1海里=1852米.
1364.6
线段的垂直平分线
我们已经知道，成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直
平分.
同时还知道，平面内点P与点P'关于一条直线对称，
则线段PP'被这条直线垂直平分.
垂直并且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平
分线（或中垂线）. 图4.6-1中，直线l就是线段PP'的垂直 图4.6-1
平分线.
探 究
如图4.6-2，在线段AB的垂直平分线l上任取
一点P（点P不在线段AB上），连接PA，PB，则线
段PA与PB的长度相等吗？为什么？由此你能得出
什么结论？
图4.6-2
设D是线段AB的中点，根据线段的垂直平分线的定义可知，点D在直线l
上，并且PD⊥AB，
于是∠ADP=∠BDP=90° .
在△PAD和△PBD中，
ì
AD=BD，
ïïïï
í∠ADP=∠BDP，
ï ïï ï 当点P在线段AB
îPD=PD，
上时，结论还成立吗？
所以△PAD≌△PBD（边角边）.
因此PA=PB.
于是得到线段垂直平分线的性质定理：
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
137数学 八年级上册
说一说
线段垂直平分线的性质定理的条件是什么？结论是什么？它的逆命
题是什么？
条件是：一个点在一条线段的垂直平分线上.
结论是：这个点到这条线段两端的距离相等.
它的逆命题是：如果一个点到一条线段两端的距离相等，
那么这个点在这条线段的垂直平分线上.
下面来证明上述逆命题是真命题.
如图 4.6-3，当点 M 不在线段 AB 上时，连接 MA，
MB，由于MA=MB，则△MAB是等腰三角形.
取AB的中点D，连接MD，则MD是△MAB的底边
AB上的中线，也是AB上的高线.
因此，直线MD是线段AB的垂直平分线，从而点M在
图4.6-3
线段AB的垂直平分线上.
当点M在线段AB上时，则M就是AB的中点，因而点M在AB的垂直平
分线上.
由此得到线段垂直平分线的性质定理的逆定理：
到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
例1 如图4.6-4，在△ABC中，AB，BC的垂直平分
线相交于点O，连接OA，OB，OC. 求证：点O在AC的
垂直平分线上.
证明 因为点O在线段AB的垂直平分线上，
所以OA=OB（线段垂直平分线的性质定理）. 图4.6-4
同理可得OB=OC.
于是OA=OC.
所以点O在AC的垂直平分线上（线段垂直平分线的性质定理的逆定理）.
138第4章 三角形
练 习
1 如图，在 △ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E， ∠B=
30° ， ∠BAC=80° ，求 ∠CAE的度数.
（第1题图） （第2题图）
2 如图，C，D是线段AB外的两点，且AC=BC，AD=BD，AB与CD相
交于点O. 求证：AO=BO.
说一说
已知线段AB，如果要作线段AB的垂直平分线，可以怎样作？根据
是什么？
根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可知，
若能找出到线段AB两端距离相等的两个点，则这两
点确定的直线就是线段AB的垂直平分线.
例2 作一条线段的垂直平分线.
如图4.6-5，已知线段AB.
求作线段AB的垂直平分线.
作法 （1）分别以点A，B为圆心，以相同长度
1
（大于 AB的长）为半径画圆弧，两弧相交于点C和 图4.6-5
2
点D.
也可用此法作
（2）过点C，D作直线CD，则直线CD就是线
线段的中点．
段AB的垂直平分线.
139数学 八年级上册
思 考
如何用尺规过一点P作已知直线l的垂线呢？
若能找到直线l上的一条线段AB，使AB的垂直平分线经过点P，则该垂
直平分线就是所求作的直线.
由于点P与已知直线l的位置关系有两种，于是需分情况来作图.
（1）点P在直线l上.
作 法 图 示
①以点P为圆心，以任意长为半径画圆弧，交直线l于点A，B
1
②分别以点A，B为圆心，以相同长度（大于 AB的长）为半
2
径画圆弧，两弧相交于点C
③过点C，P作直线CP，则直线CP为所求作的直线
（2）点P在直线l外.
作 法 图 示
①以点P为圆心，以大于点P到直线l的距离的长度为半径画
圆弧，交直线l于点A，B
1
②分别以点A，B为圆心，以相同长度（大于 AB的长）为半
2
径画圆弧，两弧相交于点C
③过点C，P作直线CP，则直线CP为所求作的直线
例3 已知底边及底边上的高线作等腰三角形.
如图4.6-6，已知线段a，h.
求作△ABC，使AB=AC，且BC=a，高AD=h. 图4.6-6
分析 由于等腰 △ABC的底边BC上的高线AD也是底边上的中线，从而
直线AD是底边的垂直平分线，因此，首先作出该等腰三角形的底边及底边的
垂直平分线，然后在垂直平分线上以底边中点为一端点，截取长为h的线段就
140第4章 三角形
可确定三角形的另一个顶点.
作法 （1）作线段BC=a；
（2）作线段BC的垂直平分线MN，交BC于点D；
（3）在射线DM（或DN）上截取线段DA，使DA=h；
（4）连接AB，AC，则△ABC为所求作的等腰三角形
（如图4.6-7）.
图4.6-7
例4 求作一个角的平分线.
如图4.6-8，已知∠AOB，求作∠AOB的平分线.
分析 由于等腰三角形的顶角平分线也是底边上的垂
直平分线，故先以 ∠AOB的顶点O为顶点，两腰分别在射
线OA，OB上，构造等腰 △ODE，然后过点O作底边DE
图4.6-8
的垂直平分线OC，则射线OC就是 ∠AOB的平分线.
作法 （1）以点O为圆心，以任意长为半径画圆弧，
分别与OA，OB交于点D，E，连接DE；
1
（2）分别以点D，E为圆心，以相同长度（大于 DE
2
的长）为半径画圆弧，在∠AOB内部两弧交于点C；
（3）作射线OC，则OC为所求作的∠AOB的平分线
图4.6-9
（如图4.6-9）.
练 习
用尺规完成下列作图（保留作图痕迹，不要求写出作法）.
1 如图，在直线l上求作一点P，使PA=PB.
（第1题图） （第2题图）
2 如图，作出 △ABC的边BC上的高.
3 任意画一个钝角，作它的平分线.
141数学 八年级上册
习题4. 6
学而时习之
1 如图，在 △ABC中，AB=AC， ∠A=36° ，AC的垂直平分线分别交AC，
AB于点D，E，且AE=5 . 求 ∠ECB的度数及边BC的长.
（第1题图） （第2题图）
2 如图，点C，D在线段AB的垂直平分线上，连接AC，AD，BC，BD. 求证：
∠CAD=∠CBD.
3 如图，在 △ABC中，BC=9 ，AB的垂直平分线EF交BC于点F，AC的垂
直平分线MN交BC于点N. 求 △AFN的周长.
（第3题图） （第4题图）
4 如图，在 Rt△ABC中， ∠C=90° ， ∠B=30° ，AD平分 ∠BAC，交BC于
点D. 求证：点D在AB的垂直平分线上.
5 如图，求作一点P，使PA=PB，PC=PD（保留作图痕迹，不要求写出
作法）.
（第5题图） （第6题图）
6 如图，已知线段a，h（a>h），求作等腰三角形ABC，使AB=AC=a，
底边BC上的高AD=h（保留作图痕迹，不要求写出作法）.
142第4章 三角形
7 任意画一条线段，用尺规把这条线段四等分（保留作图痕迹，不要求写出
作法）.
8 任意画一个三角形，分别作出该三角形的三条角平分线（保留作图痕迹，不
要求写出作法）. 观察这三条角平分线的交点情况，你有什么发现？
温故而知新
9 如图，在 △ABC中，边AC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E，CD=
3
， △ABE的周长为
13
，求 △ABC的周长.
（第9题图） （第10题图）
10 如图，在 △ABC中，AB=AC，O是 △ABC内一点，且OB=OC. 问：
AO与BC是否垂直？为什么？
11 如图，在 △ABC中，MP，NO分别垂直平分AB，AC，垂足分别为M，
N，交BC于点P，O.
（ 1 ）若AB=AC， ∠BAC=110° ，试求 ∠PAO的度数.
（
2
）在（
1
）中，若无AB=AC的条件，你能求出 ∠PAO的度数吗？若能，
请求出来；若不能，请说明理由.
（第11题图）
143数学 八年级上册
用计算机探究“将军饮马”问题
“将军饮马”问题具体如下：有一位将军从A地出发到河边CD饮马，然后
再回到B地，如图
1
所示. 如何确定饮马地点P，使得路程AP+BP最短？
图1
一、利用计算机通过测量的方法探究饮马地点P的位置
具体步骤
1
. 打开某计算机软件，点击“开始作图”，用画点工具绘制出A（出发
点），B（终点）两点，用直线工具绘制出直线CD（表示河流），然后在直线CD
上取一点P（表示饮马地点），分别连接线段AP，BP（如图
2
）.
图2
2
. 在图
2
中，选择点A，点P，利用底部第九组工具栏中的“计算
|
测量”
工具，测量出线段AP的长度m ，用同样的方法测量出线段BP的长度m . 点
0 1
144第4章 三角形
击底部第九组工具栏中的“计算
|
测量”工具，调出计算面板，计算AP+BP
的值m . 拖动点P，观察m 的值的变化，m 的值越小，说明路程AP+BP
2 2 2
越短.
操作与思考
是否存在某个位置，使得m 的值最小？使得m 的值最小的点P在什么位
2 2
置？有什么办法可以更精准地找到点P的位置呢？
二、利用计算机通过“折化直”的方法探究饮马地点P的位置
具体步骤
1
. 在图
2
中，依次选择点A、线段AP和直线CD，点击底部第七组工具
栏中的“轴对称”，得到对称点A 及对称线段A P，连接线段A B，选择线段
1 1 1
A B和直线CD，利用底部第一组工具栏中的“交点”工具作出交点P ，连
1 0
接AP（如图
3
）.
0
图3
2
. 在图
3
中，仿照前面的方法测量出线段AP ，BP 的长度m 和m ，计算
0 0 3 4
出AP +BP 的值m . 可以发现m <m ，这说明点P 比点P更适合作为饮马
0 0 5 5 2 0
地点.
操作与思考
1.
拖动点P的位置，观察m 与m 的大小关系是否发生变化.
5 2
2.
改变点A或者点B的位置，观察m 与m 是否还有同样的大小关系，并
5 2
解释为什么会有这样的关系.
145数学 八年级上册
小 结
与 评 价
知识图谱
思考回顾
. 三角形的三边之间有怎样的关系？什么是三角形的内角和定理？
1
. 什么是命题？如何判断一个命题是真命题还是假命题？
2
. 什么是互逆命题？原命题是真命题，它的逆命题一定是真命题吗？
3
反证法的基本思路是怎样的？
. 如何判定两个三角形全等？全等三角形有哪些性质？
4
. 什么是等腰三角形的性质定理？什么是等腰三角形的判定定理？
5
等边三角形呢？
. 什么是线段的垂直平分线？线段的垂直平分线的性质定理和它的
6
逆定理分别是什么？
. 举例说明本章学习的几种尺规作图.
7
146第4章 三角形
注意事项
. 一个命题要么是真的，要么是假的，二者必居其一.
1
. 判断一个命题是真的，需要进行证明. 难以直接证明时，常用反
2
证法.
. 判断一个命题是假的，只需要举出一个反例，使之符合命题的条
3
件，但是不满足命题的结论.
. 一个命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题.
4
. 由于全等三角形的对应边相等、对应角相等，因而证明线段相等
5
或角相等时，常常先证明有关的两个三角形全等.
自评互评
• 自评
通过本章的学习，你对以下几方面的学习内容掌握得怎么样？根据
自己的学习情况，点亮属于你的小星星，然后请同学和老师对你的自评
进行恰当评价.
. 能从直观的角度理解三角形及其相关概念
1
. 能从基本事实出发，理解三角形三边的关系，并能借助平移的性质理
2
解三角形的内角和定理，经历图形的分析和比较得出其推论
. 能结合具体实例，了解定义、命题、定理、推论的意义，经历判断命
3
题真假的过程，感悟数学论证
. 能理解全等三角形的概念及性质，会运用全等三角形的判定定理进行
4
逻辑推理
. 能理解等腰三角形的概念，掌握等腰（边）三角形的性质
5
. 能运用线段垂直平分线的性质定理及逆定理解决一些问题
6
. 能完成本章所学的几种尺规作图，动手能力得到增强
7
. 能在直观理解和掌握三角形全等判定定理的基础上，经历得到和验证
8
147数学 八年级上册
数学结论的过程，以及命题发现和证明的过程，体会从特殊到一般的
数学思想，感悟具有传递性的数学逻辑，形成几何直观和推理能力
. 能通过理解尺规作图的基本原理与方法，发展空间观念和空间想象力
9
• 自评 / 互评
请完成下面两项评价，先自评再在小组内进行互相评价. 其中评价
由低到高分为 ， ， ， ， 五个等级.
1 2 3 4 5
. 善于在动手操作的过程中学习本章知识，能独立思考、自主探究全等
1
三角形的有关知识，在学习过程中能主动与同学合作交流，克服困难
的意志力得到增强
( )/( )
. 基于对本章知识结构的理解，画出一个思维导图，并在组内展示，对
2
自己和同学画出的思维导图进行恰当评价
( )/( )
你对本章的学习及评价还满意吗？学习是一个循序渐进的过程，需
要有恒心和毅力加持，还需要汲取他人值得借鉴的经验，并从中不断反
思，自我总结，争取更大的进步！
学而时习之
1 若某三角形的两边长分别为 和 ，则下列长度的线段能作为其第三边
3 4
的是（ ）
（ ） （ ） （ ） （ ）
A 1 B 5 C 7 D 9
2 填空：
（）若等腰三角形的底角是顶角的 倍，则顶角的度数是 ；
1 2
（ 2 ）在 △ABC中，AB=AC，AD是底边BC上的中线， ∠B=70° ，BC=
15 ，则 ∠BAD= ，BD= .
148第4章 三角形
3 如图是一个跷跷板示意图，横板绕它的中点O上下转动，立柱OC与地面
垂直. 当一方着地时，另一方上升到最高点. 问：在上下转动横板的过程
中，两人上升的最大高度AA'，BB'有何数量关系？为什么？
（第3题图） （第4题图）
4 如图， △ABC≌△A'B'C'，BE，B'E'分别是边AC和A'C'上的高. 求证：
BE=B'E'.
5 如图，要判定 △ABC≌△DBC，已知BC=BC（公共边），还需添加两个
条件，一共有 种方法，下面已列出其中一种，请你补充完成其他的方法：
6
（
1
）AB=DB，
∠1=∠2
（边角边）；
（） ， （ ）；
2
（） ， （ ）；
3
（） ， （ ）；
4
（） ， （ ）；
5
（第5题图）
（） ， （ ）.
6
6 撑开的雨伞的纵截面如图所示，伞骨AB=AC，支撑杆OE=OF，AE=
1 1
AB，AF= AC. 当O沿AD滑动时，雨伞开闭. 问：雨伞开闭过程中，
3 3
∠BAD与 ∠CAD有何关系？试说明理由.
（第6题图） （第7题图）
7 如图，在 △ABC中，AB=AC，点D，E在边BC上，且AD=AE. 求证：
BD=CE（至少用两种方法证明）.
149数学 八年级上册
8 如图，P为等边三角形ABC的边BC上一点，且 ∠APD=80° ，AD=AP，
求 ∠DPC的度数.
（第8题图） （第9题图）
9 货轮在海上以每小时
40
海里的速度沿南偏东
40°
的方向航行，已知货轮在B
处时，测得灯塔A在其北偏东
80°
的方向上，航行半小时后货轮到达C处，
此时测得灯塔A在其北偏东
20°
的方向上，如图所示，求C处与灯塔A的
距离.
10 如图，AD⊥BC，BD=DC，点E在BC的延长线上，点C在AE的垂直平
分线上，试问AB，AC，CE的长度有什么关系？
（第10题图） （第11题图）
11 如图，在 △ABC中，AB=AC，DE是AB的垂直平分线，分别交AB，AC
于点D，E，且 △BCE的周长为
24
，BC=10 ，求AB的长.
12 已知 △ABC. 用尺规根据下列要求作图，并回答问题：
（
1
）作 ∠ABC的平分线BD，交AC于点D；
（
2
） 作线段BD的垂直平分线，交AB于点E，交BC于点F，连接DE，
DF；
（）写出你作出的图形中的相等线段.
3
温故而知新
13 如果一个等腰三角形的周长为 ，其一边长为 ，那么它的底边长为多少？
14 4
150第4章 三角形
14 如图，在 △ABC中，D是AC的中点，且BD⊥AC，ED∥BC，ED交AB
于点E，BC=5 ，AC=4 ，求 △AED的周长.
（第14题图） （第15题图）
15 如图，在 Rt△ABC中， ∠ACB=90° ，D，E是边AB上两点，且CE所在
直线垂直平分线段AD，CD平分 ∠BCE，AC=5 ，求BD的长.
16 如图，两只蚂蚁分别位于一个正方形的相邻顶点A，B上，它们分别沿AE
和BF的路线向边BC和CD爬行，如果AE和BF相互垂直，那么到达边BC
和CD时，它们爬行的距离相等吗？
（第16题图） （第17题图）
17 如图，在等腰 Rt△ABC中， ∠C=90° ，D是AB的中点，DE⊥DF，点E，
F分别在AC，BC上. 求证：DE=DF.
18（
1
）如图
①
，在 △ABC中，AD是BC边上的中线，点E在AD的延长线
上，且AD=DE. △ACD与 △EBD全等吗？为什么？
（
2
）如图
②
，已知线段b，c，m，求作 △ABC，使AC=b，AB=c，BC边上
的中线AD=m.
?```````?
（第18题图）
151数学 八年级上册
上下而求索
19 如图，在 △ABC中， ∠C=2∠B，AD平分 ∠BAC，交BC于点D，求证：
AB=AC+CD（请用两种方法进行证明）.
（第19题图） （第20题图）
20 如图，在 △ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，
延长BE交AC于点F，求证：AF=EF（请用两种方法进行证明）.
21 如图，在四边形ABCD中，M是BC边的中点，且 ∠AMD=90° .
（
1
）如图
①
，若AB与CD不平行，试判断AB+CD与AD之间的数量关系.
小楠同学的思路是：延长DM至点E使DM=ME，连接AE，BE，构造全
等三角形，经过推理使问题得到解决. 请你参考小楠的思路，在图 中把
①
图形补充完整，并直接写出AB+CD与AD之间的数量关系.
（
2
）如图
②
，若在原条件的基础上，增加AM平分 ∠BAD，（
1
）中结论还成
立吗？若不成立，写出AB+CD与AD之间的数量关系，并证明.
① ②
（第21题图）
152第4章 三角形
数 学
文 化
欧几里得与《原本》
欧几里得（ ，约前 —前 ）是古希腊最享有盛名的数学家，
Euclid 330 275
以其所著的《原本》而闻名于世. 他用公理化方法将古希腊几何积累起
来的丰富成果整理成一个严密的逻辑系统，使几何学成为一门独立的、
演绎的研究型科学，因此，欧几里得被誉为“几何学之父”.
欧几里得 《原本》残片
《原本》是一部集前人思想和欧几里得个人创造于一体的不朽之作.
这部书囊括了欧几里得及其之前多年的数学研究成果，保存了古希腊早
期的许多几何学理论. 经过欧几里得开创性地系统整理和完整阐述后，
这些远古的数学思想得以发扬光大.
欧几里得的《原本》把人们所公认的一些事实列成公理和公设，并
利用推理从公理（也称“基本事实”）、公设和概念的定义出发来论证命
题，构建了数学公理体系的雏形，奠定了几何学公理体系的基本结构，
这也是人类建立的第一个能够被称为科学的学科体系，为数学甚至物理
学等自然科学构建公理化体系确立了范式.
《原本》有 条公设、 条公理、 个定义和 个命题，构成了历
5 5 119 465
史上第一个数学公理体系. 具体到每卷，定义、公设、公理和命题的分
布详见下表：
153数学 八年级上册
卷次 定义 公设 公理 命题 中心内容
第1卷 23 5 5 48 直线图形
第2卷 2 0 0 14 面积的变换（几何代数）
第3卷 11 0 0 37 关于圆的理论
第4卷 7 0 0 16 圆内接、外切多边形
第5卷 18 0 0 25 一般量的比例理论
第6卷 4 0 0 33 比例理论应用于相似形
第7卷 22 0 0 39 数论（约数、倍数、整数的比例）
数论（等比级数、连比例、
第8卷 0 0 0 27
平方立方数）
数论（素数定理、偶数与
第9卷 0 0 0 36
奇数理论）
第10卷 4 0 0 115 不可公度量
第11卷 28 0 0 39 立体几何
第12卷 0 0 0 18 求积论（穷竭法）
第13卷 0 0 0 18 正多面体
共计 119 5 5 465
其中，定义有：点是没有部分的；线只有长度而没有宽度；一线
（不一定是直线）的两端是点；等等.
公设有：由任意一点到另外任意一点可以画直线；一条有限直线可
以继续延长；凡直角都彼此相等；等等.
公理有：等于同量的量彼此相等；等量加等量，其和仍相等；等量
减等量，其差仍相等；彼此能重合的物体是全等的；整体大于部分；
等等.
《原本》对世界数学的贡献主要有：
建立了公理演绎体系，即用公理、公设和定义进行推理论证；
①
将逻辑证明系统地引入数学中，确立了逻辑学的基本方法；
②
154第4章 三角形
创造了几何证明的方法，如分析法、综合法及归谬法.
③
至此，“欧几里得” 成为几何学的代名词，人们把他创立的这种几何
学叫作欧几里得几何学.
欧几里得所著《原本》共 卷，德国一位神父克拉维乌斯（
13 Christopher
， — ）于 年校订增补为 卷拉丁文评注本《欧几里
Clavius 1538 1612 1574 15
得原本十五卷》.
公元 年，意大利传教士利玛窦（
1607 Matteo
， — ）与明朝数学家徐光启（ —
Ricci 1552 1610 1562
）翻译了拉丁文版本《原本》的前 卷，并命
1633 6
名为《几何原本》，也就是从这个译本开始，中
文的数学名词中有了“几何”一词 . 公元
1857
年，英国人伟烈亚力（ ， —
Alexander Wylie 1815
）和清朝数学家李善兰（ — ）译出了
1887 1811 1882
后 卷. 徐光启等人首创的几何学名词，例如点、
9
利玛窦、徐光启中文译本
线、直线、曲线、平面、四边形、多边形、平行
线、对角线、直角、钝角等，一直沿用至今.
众所周知，几何是研究空间结构及性质的一门科学. 目前，科学史
界与翻译史界一般认为，徐、利二人翻译时使用“几何”一词有两方面
的用意：一方面，是对当时拉丁文“ ”“ ”“ ”
geometria magnitudo quantitae
和英文“ ”的意译，也有学者认为是对英文“ ”的音
magnitude geometry
译；另一方面，在中国传统文化及古汉语中，“几何”意为多少、若干，
而《原本》中有大量的数学命题. 故徐光启和利玛窦用“几何”来翻译
“ ”，既是多种方法的综合使用与兼顾，又反映了数量关系和空
geometria
间形式等，音义兼顾，最终逐渐演化为今天的“几何”之意.
155第 5 章
直 角 三 角 形
直角三角形作为特殊三角形，其三边除了满足一般三角形的
三边关系外，还有什么特殊关系吗？据《周髀算经》记载，西周
时期的数学家商高证明了直角三角形的三边关系——勾股定理.
除勾股定理之外，直角三角形还有哪些特殊性质？如何判定
一个三角形是直角三角形？这些都将在本章等待你去探索.5.1 直角三角形的性质定理
前面已经知道，有一个角是直角的三角形是直角三角形. 直角三角形作为
一种特殊的三角形，除了具有一般三角形的性质外，它还具有一些特殊性质.
下面我们来研究.
说一说
在Rt△ABC中，若∠C=90°，则∠A+∠B=？
如图5.1-1，在Rt△ABC中，因为∠C=90°，
由三角形内角和定理可得：∠A+∠B=90°.
由此得到：
图5.1-1
直角三角形的两个锐角互余.
议一议
（1）“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是什么？
（2）该逆命题是真命题吗？
（1）“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题为“有两个角互余的三角形
是直角三角形”.
（2）该逆命题是真命题.
理由如下：
如图5.1-1，在△ABC中，因为∠A+∠B+∠C=180°，∠A+∠B=90°，
所以∠C=90° .
因此，△ABC是直角三角形.
由此得到：
有两个角互余的三角形是直角三角形.
157数学 八年级上册
思 考
如图5.1-2，用三角板画一个Rt△ABC，取线段
AB的中点D，连接DC. 以点D为圆心，DB为半径
画圆弧，则所画的弧经过点C吗？DC与AB之间有
怎样的数量关系？
图5.1-2
1
可以发现，该弧经过点C，且DC=DB= AB. 下面给出证明.
2
如图5.1-3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线.
过点D作DE∥BC，DF∥AC，分别交AC，BC于点E，F，
于是∠ADE=∠B，∠AED=∠ACB=90°，
∠FDC=∠ECD，∠DFB=∠ACB=90° .
在△ADE与△DBF中，
ì∠AED=∠DFB，
ïï
ïï
í∠ADE=∠B，
ïï
î ïï AD=DB， 图5.1-3
所以△ADE≌△DBF（角角边），从而DE=BF. ①
在△DFC与△CED中，
ì∠DFC=∠CED，
ïï
ïï
í∠FDC=∠ECD，
ïï
ïï
îDC=CD，
所以△DFC≌△CED（角角边），从而CF=DE. ②
由①式和②式得，CF=BF.
因此，直线DF是线段BC的垂直平分线.
根据线段垂直平分线的性质定理得，DC=DB.
1
因此DC=DB= AB.
2
由此可得直角三角形的性质定理
:
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
158第5章 直角三角形
1
例1 如图5.1-4，已知CD是△ABC的边AB上的中线，且CD= AB.
2
求证：△ABC是直角三角形.
1
证明 因为CD= AB=AD=BD，
2
所以∠1=∠A，∠2=∠B.
因为∠A+∠B+∠ACB=180°，
图5.1-4
∠ACB=∠1+∠2，
所以∠A+∠B+∠1+∠2=180°，
从而2（∠A+∠B）=180° .
因此∠A+∠B=90° .
所以△ABC是直角三角形.
练 习
1 在 Rt△ABC中， ∠ACB=90° ，斜边上的中线CD=
2. 5
，则斜边AB的长是多少？
2 如图，AB∥CD， ∠CAB和 ∠ACD的平分线相交于点
H，E为AC的中点，EH=2 . 那么 △AHC是直角三角
形吗？为什么？若是，求出AC的长. （第2题图）
思 考
在一个锐角为30°的直角三角板中，这个锐角所对直角边的长度与斜
边的长度存在怎样的数量关系？
如图5.1-5，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，
取斜边AB的中点D，连接CD.
1
根据直角三角形的性质定理得，CD= AB=BD，
2
于是△DBC是等腰三角形.
由于∠ACB=90°，∠A=30°，
图5.1-5
因此∠B=60° .
159数学 八年级上册
于是△DBC是等边三角形，
1 可以运用轴对称知识证明
因此BC=BD= AB.
2 结论成立吗？试一试.
由此可得：
在直角三角形中，如果一个锐角等于 ，那么它所对的直角边等于斜边
30°
的一半.
例2 在A岛周围20海里水域内有暗礁，一轮船由西向东航行到O处时，
测得A岛在北偏东60°的方向，且与轮船相距30 3 海里，如图5.1-6所示. 若
该轮船继续保持由西向东的航向，会有触礁的危险吗？（已知 3 ≈1. 732）
分析 如图 ，取轮船航向所在的直线
5.1-6
为OB. 过点A作AD⊥OB，垂足为D. AD的长 "F
为A岛到轮船航道的最短距离，若AD大于
20
海
里，则轮船由西向东航行不会有触礁的危险.
解 如图5.1-6，取轮船航向所在的直线为 图5.1-6
OB. 过点A作AD⊥OB，垂足为D，连接AO􀆰
在Rt△AOD中，AO=30 3 海里，∠AOD=30°，
1 1
于是 AD= AO= ×30 3 =15 3 ≈25. 98（海里）.
2 2
因为AD≈25. 98>20，
所以轮船由西向东航行不会有触礁的危险.
1
例3 如图5.1-7，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，若BC= AB，求证：
2
∠A=30° .
证明 （方法一）如图5.1-7，取斜边AB的
中点D，连接CD.
因为CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，
1
所以CD= AB=BD. 图5.1-7
2
160第5章 直角三角形
1
因为BC= AB，所以BC=BD=CD，
2
即△BDC为等边三角形.
于是∠B=60° .
因为∠A+∠B=90°，所以∠A=30°􀆰
（方法二）如图5.1-8，延长BC到F，使CF=BC，连接AF􀆰
因为∠BCA=90°，BC=CF, F
所以AC垂直平分BF，
于是AB=AF（线段垂直平分线上的点到线段
两端的距离相等）􀆰
1 1
又BC= AB，BC=CF= BF，
2 2
图5.1-8
所以BF=AB，
因此BF=AB=AF，即△ABF是等边三角形􀆰
所以∠B=60°，
因此∠CAB=90°-∠B=30°􀆰
由例3得出：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这
条直角边所对的角等于 .
30°
练 习
1 如图，在 △ABC中， ∠ACB=90° ，CD⊥AB，垂足为点D， ∠A=30° .
求证：AB=4BD.
（第1题图） （第2题图）
2 如图，ABCD是一张长方形纸片，且AD=2AB，沿过点D的折痕将 ∠A
翻折，使得点A落在BC上（如图中的点A），折痕交AB于点G，那么
′
∠ADG等于多少度？
161数学 八年级上册
习题5. 1
学而时习之
1 如图，已知 ∠ACB=90° ，CD是 Rt△ABC斜边AB上的中线， ∠CDA=
120°
，求 ∠B的度数.
（第1题图）
1 1
2 在 △ABC中，已知 ∠B= ∠A= ∠C，AB=8 ，求AB边上的中线长.
2 3
3 如图，线段 AE 与 BC 相交于点 D，BD=CD，AD=ED，CA⊥AE，
∠1=30°
，且AB=3. 那么线段BE多长呢？
（第3题图） （第4题图）
4 如图，在 Rt△ABC中， ∠ACB=90° ， ∠B=30° ，AB=2 ，CD是斜边AB
上的中线，CE是高线，F是CD的中点.
（
1
）求CD的长；
（
2
）求证： △EDF为等边三角形.
5 如图是某建筑物屋顶架的示意图，其中AB=8m ，D是AB的中点，BC，
DE都垂直于AC. 如果 ∠ABC=60° ，那么BC，DE，CD各是多少米？
（第5题图）
162第5章 直角三角形
温故而知新
6 如图，在 Rt△ABC中， ∠C=90° ，ED是斜边AB的垂直平分线，分别交
1
AB，AC于点D，E. 若
∠1=
∠ABC，求 ∠A的度数.
3
（第6题图） （第7题图）
7 将一副三角板按如图所示的方式叠放在一起，若AB=14 ，求阴影部分
△ACF的面积.
8 小芳在山下发现正前方山上有个电视塔，测得塔尖的仰角①为
15°
. 小芳朝
正前方笔直行走 ，此时测得塔尖的仰角为 ，如图所示. 若小芳的
400 m 30°
眼睛离地面 ，你能算出电视塔塔尖离小芳所在地面的高度吗？
1.6 m
（第8题图）
①在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫作仰角.
1635.2 勾股定理及其逆定理
我们知道，在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，那么
任意直角三角形三边的长度之间是否存在数量关系？下面来进行研究.
观 察
如图5.2-1，在方格纸上（设小方格的边长为1）
画一个顶点都在格点上的Rt△ABC，使其两直角边
分别为3，4，将斜边AB绕点A旋转，使其处于水
平位置，你发现这条斜边的长度是多少？
图5.2-1
可以发现，两直角边分别为3，4的直角三角形，其斜边为5 .
我国古代数学名著《周髀算经》，把直角三角形较短的直角
边叫作勾，较长的直角边叫作股，斜边叫作弦，并提出“勾三
股四弦五”（如图5.2-2）. 这本著作还指出：勾与股的平方和等
于弦的平方. 对于这一结论，古人称为勾股算法. 实际上，这 图5.2-2
一结论揭示的是直角三角形三边长的平方关系.
由于正方形的面积等于其边长的平方，于是可以借助正方形探究这一结论.
探 究
画一个边长为a+b的正方形，将其分割
成4个小直角三角形和一个四边形，其中小直
角三角形的两直角边都分别为a，b，斜边都为
c，如图5. 2-3所示. 由此，你能探索出a2+
b2=c2这一结论吗？
图5.2-3
164第5章 直角三角形
由于图5.2-3中四边形ABCD的面积S等于大正方形EFGH的面积减去4
个小直角三角形的面积，
1
因而S=（a+b）2- ab×4=a2+2ab+b2-2ab=a2+b2.
2
在△ABE与△BCF中，
ìAE=BF，
ïï
ïï
í∠AEB=∠BFC，
ïï
ïï
îBE=CF，
所以△ABE≌△BCF（边角边），
因此∠1=∠3 .
又∠1+∠2=90°，
所以∠3+∠2=90°，
因此∠CBA=180°-（∠3+∠2）=90° .
同理可证∠DCB=∠ADC=∠BAD=90° .
又BC=CD=DA=AB=c，
因此四边形ABCD是正方形，
所以S=c2.
综上可知，S=a2+b2=c2.
由此可得:
如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2.
这一结论称为勾股定理.
做一做
试通过图5.2-4中两个边长为
a+b的正方形的面积表达式，验
证勾股定理.
(1） (2）
图5.2-4
165数学 八年级上册
例1 在△ABC中，已知∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c.
（1）若a=1，b=2，求c. （2）若a=15，c=17，求b.
解 （1）根据勾股定理得，c2=a2+b2=12+22=5 .
因为c>0，所以c= 5 .
（2）根据勾股定理得，b2=c2-a2=172-152=64 .
因为b>0，所以b=8 .
例2 如图5.2-5，已知在等腰三角形ABC中，AB=
AC=13，BC=10，AD是底边BC上的高线，求AD的长.
解 根据等腰三角形的性质定理得，AD也是底边BC上
1
的中线，因此BD= BC=5 .
2
在Rt△ABD中，由勾股定理得，AD2+BD2=AB2， 图5.2-5
因此AD= AB2-BD2 = 132-52 = 144 =12 .
故AD的长为12 .
练 习
1 当直角三角形的三边长都是正整数时，称这三个数为勾股数. 如： ， ，
3 4 5
都是正整数，且 32+42=52，所以
3
，
4
，
5
是勾股数. 下列各组数中，不
是勾股数的是（ ）
（ ） ， ， （ ） ， ，
A 5 12 13 B 6 8 10
（ ） ， ， （ ） ， ，
C 7 24 25 D 8 15 16
2 求下图中各直角三角形未知的边长.
5 5
(第2题图）
3 已知 Rt△ABC的斜边AC比直角边AB长
2 cm
，另一直角边BC长
6 cm
，求
AC的长.
166第5章 直角三角形
议一议
我们已经知道，实数与数轴上的点一一对应，如何在数轴上作出表
示实数 2 和 3 的点？
如图5.2-6，由勾股定理可知，当两条直角
边都为1时，该直角三角形的斜边OA 长为 2，
1
以原点O为圆心，OA 为半径画圆弧，与数轴的
1
交点就是表示 2 的点；当两条直角边分别为
2，1时，该直角三角形的斜边OA 长为 3，
2
图5.2-6
以原点O为圆心，OA 为半径画圆弧，与数轴的
2
交点就是表示 3 的点.
你能在数轴上作出
利用勾股定理，还可以帮助我们解决一些实
表示 5的点吗？
际问题.
思 考
图5.2-7是一位电工师傅准备利用梯子在墙
上安装电灯的示意图. 假设梯子长4 m，他将梯
子靠在墙上，此时梯脚离墙脚的距离为1.5 m .
他爬上梯子后，发现高度不够，于是将梯脚往墙
脚移近了0.5 m，那么，梯子顶端是否也上移
0.5 m？（已知 13. 75 ≈3. 71， 15 ≈3. 87） 图5.2-7
根据已知条件可抽象出示意图5.2-8，分别在
Rt△ABC和Rt△A'BC'中，运用勾股定理计算出
AB，A'B，则可得出梯子顶端往上移动的距离.
在Rt△ABC中，AC=4m，BC=1. 5m，
于是，AB= 42-1. 52
= 13. 75 ≈3.
71（m）.
图5.2-8
167数学 八年级上册
在Rt△A′BC′中，A′C′=4m，BC′=1m，
由勾股定理得，A′B = 42 - 12
= 15
≈3.87（m），
因此A′A=A′B-AB≈3. 87-3. 71=0. 16（m）.
即梯子顶端A点大约向上移动了0.16 m，而不是向上移动0.5 m .
例3 （古代数学问题）“今有池方一丈，
葭（jiā）生其中央，出水一尺. 引葭赴岸，适
与岸齐. 问水深、葭长各几何？”①意思是：
有一个池塘，其水面是边长为10尺的正方
形，一棵芦苇生长在池的中央，其出水部分
为1尺. 如果将芦苇沿与水池边垂直的方向
拉向岸边，它的顶端恰好碰到池边的水面.
武英殿聚珍版《九章算术》
问水深与芦苇长各为多少？
分析 根据题意，先画出水池截面示意图，如图

5.2-9
所示. 设AB为芦苇，BC为芦苇出水部分，长
1
尺，将芦苇拉向岸边，其顶部B点恰好碰到岸边B′ .
解 如图5.2-9，设水深x尺，
则AC=x尺，
AB=AB′=（x+1）尺. 
因为池塘的水面是边长为10尺的正方形， 图5.2-9
所以B′C=5尺.
在Rt△ACB′中，根据勾股定理得，
x2+52=（x+1）2，
解得 x=12 .
故芦苇长为13尺.
答：水深为12尺，芦苇长为13尺.
10
①该问题源自《九章算术》，1丈=10尺= 米.
3
168第5章 直角三角形
练 习
1 一艘渔船以 海里 时的速度由西向东追赶鱼
18 /
群. 在A处测得小岛C在船的北偏东
60°
方向；
40 min
后，渔船行至B处，此时测得小岛C在船
的北偏东
30°
方向，如图所示. 已知以小岛C为
中心，周围 海里以内有暗礁，问：这艘渔船
10 （第1题图）
继续向东追赶鱼群是否有触礁的危险？
2 AE是位于公路边的电线杆，高
12 m
，为了使电
线CDE不影响汽车的正常行驶，电力部门在公
路的另一边竖立了一根高
6 m
的水泥撑杆BD，
用于撑起电线，如图所示. 已知两根杆子之间的
距离为
8 m
，电线CD与水平线AC的夹角为
60°
.
求电线CDE的总长L（A，B，C三点在同一直线
（第2题图）
上，电线杆、水泥杆的粗细忽略不计）.
说一说
我们已经知道勾股定理：“如果直角三角形的两条直角边分别为a，
b，斜边为c，那么a2+b2=c2. ”它的逆命题是怎样的？
逆命题为：如果三角形的三条边a，b，c满足
a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
探 究
如图5.2-10，在△ABC中，已知AB=c，BC=
a，AC=b，且a2+b2=c2，那么△ABC是直角三角
形吗？
图5.2-10
169数学 八年级上册
到目前为止，我们只知道可以利用一个角是直角或两个角互余来判断一个
三角形是直角三角形. 于是，要证明一个三角形为直角三角形，只需证明其有
一个角为直角. 联想到证明角相等的方法，如果能构造一个直角三角形，然后
证明△ABC与所构造的直角三角形全等，即可得△ABC中有一个角为直角，
则可判断△ABC是直角三角形. 下面我们按此思路来探索.
如图5.2-11，作Rt△A'B'C'，使∠C′=90°，B′C′=a，A′C′=b.
在Rt△A'B'C'中，根据勾股定理得，
A′B′2=a2+b2.
因为a2+b2=c2，
所以A′B′2=c2，即A′B′=c.
图5.2-11
在△ABC和△A′B′C′中，
ìBC=B′C′=a，
ïï
ïï
íAC=A′C′=b，
ïï 先构造满足某些条件的图形，
ïï
îAB=A′B′=c，
然后根据需求证的图形与所构造
所以△ABC≌△A′B′C（′ 边边边）.
的图形之间的关系完成证明，这
因此∠C=∠C′=90° .
也是解决问题的常用策略之一.
所以△ABC是直角三角形.
于是，我们可以发现，勾股定理的逆命题是真命题.
由此得到勾股定理的逆定理：
如果三角形的三条边a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三
角形.
例4 判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形.
（1）a=6，b=8，c=10；
（2）a=12，b=15，c=20 .
分析 根据勾股定理的逆定理，判断一个
三角形是不是直角三角形，只要看两条较短边
满足 a2+b2=c2 的
三个正整数称为勾股数.
的平方和是否等于最长边的平方.
解 （1）因为62+82=100，102=100，
所以62+82=102.
170第5章 直角三角形
因此，这个三角形是直角三角形.
（2）因为122+152=369，202=400，
所以122+152≠202.
因此，这个三角形不是直角三角形.
例 5 如图 5.2-12，在 △ABC 中，已知 AB=10，BD=6，AD=8，
AC=17，求DC的长.
解 在△ABD中，AB=10，BD=6，AD=8，
因为62+82=102，
即BD2+AD2=AB2，
所以△ADB为直角三角形，且∠ADB=90° .
所以∠ADC=180°-∠ADB=90° .
在Rt△ADC中，DC2=AC2-AD2， 图5.2-12
所以DC= 172-82 =15 .
练 习
1 判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形.
（
1
）a=1 ，b=
2
，c=
3
；
（
2
）a=8 ，b=15 ，c=17 ；
（
3
）a=10 ，b=24 ，c=25 ；
（
4
）a=9 ，b=40 ，c=41.
2 如图，在边长为
4
的正方形ABCD中，F为CD的中点，E是BC上一点，
1
且EC= BC. 求证： △AEF是直角三角形.
4
（第2题图）
171数学 八年级上册
习题5. 2
学而时习之
1 在 Rt△ABC中， ∠C=90° .
（
1
）若a=2 ，c=3 ，那么b= ；
（
2
）若a=10 ，b=24 ，那么c= .
2 （）等边三角形的边长为 ，求它的中线长，并求出其面积.
1 2 3
（）等边三角形的一条角平分线长为 ，求这个三角形的边长.
2 3
3 如图，一根竹子高 丈，折断后竹子顶端落在竹子底端 尺处，折断处离地
1 3
面的高度是多少？（其中的丈、尺是长度单位， 丈 尺. ）
1 =10
4 判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形.
U
（
1
）a=5 ，b=7 ，c=8 ；
（
2
）a=5 ，b=12 ，c=13 ；
（第3题图）
（
3
）a=20 ，b=21 ，c=29 ；
（
4
）a=3n，b=4n，c=5n（n为正整数）.
温故而知新
5 我国汉末三国初数学家、天文学家赵爽在为天文学著作《周髀算经》作注
解时，用 个全等的直角三角形拼成如下图所示的正方形，并用它证明了
4
勾股定理. 这个图被称为“弦图”. 它体现了中国古代数学的辉煌成就，是
中国古代数学的骄傲. 正因如此，这个图案被选为 年在北京召开的国
2002
际数学家大会的会徽. 请你利用“弦图”证明勾股定理.
弦图
（第5题图）
172第5章 直角三角形
6 如图（
1
），分别以直角三角形的三条边a，b，c为边，向外作正方形，那么
S +S =S 吗？如图（ 2 ），分别以直角三角形的三条边为直径向外作半圆，
1 2 3
是否也存在S +S =S ？如图（ 3 ），如果以三条边向外作等边三角形呢？
1 2 3
(1） (2） (3）
（第6题图）
7 如图为放置在水平桌面上的台灯的示意图，灯臂AB长
40 cm
，灯罩BC长
30 cm ，底座厚度为 2 cm ，灯臂与底座构成的 ∠BAD=60° . 使用时发现，
光线效果最佳时灯罩BC与水平线所成的角为
30°
，求此时灯罩顶端C到桌
面的高度（结果精确到 ）.
0.1 cm
（第7题图）
8 如图，在 △ABC中，AB=AC，点D在CB的延长线上.
（
1
）证明：AD2-AB2=BD
⋅
CD.
（
2
）若点D在线段CB上，上述结论将会如何变化？试证明你的结论.
（第8题图）
1735.3 直角三角形全等的判定
思 考
对于两个直角三角形，已有一个直角相等. 于是，由判定两个三角形
全等的条件可知，若有一锐角和一边分别相等，则由角角边或角边角就可
以判定两个直角三角形全等；若有两直角边分别相等，则由边角边也可以
判定两个直角三角形全等. 若有一条直角边和斜边分别相等，这两个三角
形全等吗？
如图5.3-1，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°，AB=A'B'，
AC=A'C'.
图5.3-1
在Rt△ABC中，由勾股定理得，
BC2=AB2-AC2，
同理，在Rt△A'B'C'中，B'C'2=A'B'2-A'C'2.
由于AB=A'B'，AC=A'C'，
因此BC2=B'C'2，从而BC=B'C'.
在 △ABC与△A'B'C'中，
ìAB=A'B'，
ïï
ïï
íBC=B'C'，
ïï
ïï
îAC=A'C'，
因此△ABC≌△A'B'C（' 边边边）.
由此可得判定直角三角形全等的 “斜边、直角边” 定理：
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.
174第5章 直角三角形
例 1 如图 5.3-2，BD，CE 是△ABC 的高，
且BE=CD. 求证：Rt△BEC≌Rt△CDB.
证明 因为BD，CE是△ABC的高，
所以∠BEC=∠CDB=90° .
在Rt△BEC和Rt△CDB中，
图5.3-2
ì
BC=CB，
í
îBE=CD，
所以Rt△BEC≌Rt△CDB（斜边、直角边）.
例2 已知一直角边和斜边作直角三角形.
如图5.3-3，已知线段a，c（c>a）.
求作Rt△ABC，使得斜边AB=c，一条
直角边BC=a. 图5.3-3
作法 （1） 作一条直线 l，在直线 l 上截
取BC=a；
（2）过点C作直线l的垂线CD；
（3）以点B为圆心，以c为半径画圆弧，交
CD于点A，连接AB，于是△ABC为所求作的
直角三角形（如图5.3-4）.
图5.3-4
练 习
1 下面说法是否正确？为什么？
（）两个锐角对应相等的两个直角三角形全等；
1
（）两条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
2
2 如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的
高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相
等，且AC⊥AB，DE⊥DF. 两个滑梯的倾
斜角 ∠ABC和 ∠DFE的大小有什么关系？
（第2题图）
为什么？
175数学 八年级上册
习题5. 3
学而时习之
1 如图，AB=AD，CB⊥AB于点B，CD⊥AD于点D. 求证：
∠1=∠2
.
（第1题图） （第2题图）
2 如图，在 △ABC中，D为BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
且DE=DF. 试问：AB与AC有什么关系？
3 如图，C为AD的中点，过点C的线段BE⊥AD，且AB=DE. 求证：
AB∥ED.
（第3题图） （第4题图）
4 如图，已知线段a，求作直角三角形，使一直角边为a，斜边为 2a（保留作
图痕迹，不要求写出作法）.
温故而知新
5 求证：有两条高线相等的三角形是等腰三角形.
6 如图，BD⊥AD于点D，AC⊥BC于点C，且
AC=BD. 求证：AD=BC.
（第6题图）
1765.4 角平分线的性质
我们知道，角平分线是一条以角的顶点为端点的射线，并把这个角分成两
个相等的角. 下面来研究角平分线的其他特殊性质.
探 究
如图5.4-1，在∠AOB的平分线OC上任取一
点P，作PD⊥OA， PE⊥OB，垂足分别为点D，
E. 比较线段PD，PE的长度，它们相等吗？由此
你能得出什么结论？
图5.4-1
若将∠AOB沿角平分线OC折叠，则可以发现点D与点E重合，因而PD
与 PE 重合，即PD=PE.
利用圆规，比较它们的长度，也可以发现PD=PE.
由此可猜测：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
下面来证明上述猜测成立.
因为PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，
所以∠PDO=∠PEO=90° .
在△PDO和△PEO中，
ì∠PDO=∠PEO，
ïï
ïï
í∠DOP=∠EOP，
ïï
ïï
îOP=OP，
所以△PDO≌△PEO（角角边）.
因此PD=PE.
由此可得角平分线的性质定理：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
177数学 八年级上册
思 考
角平分线的性质定理的逆命题是什么？它是真命题吗？
如图5.4-2，点P在∠AOB的内部，作PD⊥OA，
PE⊥OB，垂足分别为点D，E，且PD=PE.
过点O，P作射线OC.
因为PD⊥OA，PE⊥OB，
所以∠PDO=∠PEO=90° .
在Rt△PDO和Rt△PEO中， 图5.4-2
ìOP=OP，
í
îPD=PE，
所以Rt△PDO≌Rt△PEO（斜边、直角边），
从而∠AOC=∠BOC.
因此OC是∠AOB的平分线，即点P在∠AOB的平分线OC上.
由此可得：
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
例1 如图5.4-3，∠BAD=∠BCD=90°，∠1=∠2 . 求证：
（1）点B在∠ADC的平分线上；
（2）BD平分∠ABC.
证明 （1）在△ABC中，
因为∠1=∠2，所以BA=BC.
又BA⊥AD，BC⊥CD，
所以点B在∠ADC的平分线上.
（2）在Rt△BAD和Rt△BCD中，
ìBA=BC，
í
îBD=BD，
图5.4-3
所以Rt△BAD≌Rt△BCD（斜边、直角边）.
因此∠ABD=∠CBD，
从而BD平分∠ABC.
178第5章 直角三角形
练 习
1 如图，在线段MN上求作一点P，使点P到 ∠AOB两边的距离相等（保留作
图痕迹，不要求写出作法）.
（第1题图） （第2题图）
2 如图，已知CE⊥AB于点E，BD⊥AC于点D，BD，CE交于点O，且
AO平分 ∠BAC. 求证：OB=OC.
说一说
如图5.4-4，在△ABC中，D，E，F分别是BC，
AB，AC边上的点. 若BE=CF，S △BDE=S
△CDF
，则
点D在∠BAC的平分线上吗？
图5.4-4
由于S △BDE=S
△CDF
，BE=CF，所以点D到BE，
CF的距离相等，因而点D在∠BAC的平分线上.
思 考
如图5.4-5，已知EF⊥CD于点E，EF⊥AB于
点F，MN⊥AC于点N，M是EF的中点. 需要添加
一个什么条件，就可使CM，AM分别为∠ACD和
∠CAB的平分线呢？
图5.4-5
179数学 八年级上册
添加条件MN=ME即可.
因为ME⊥CD，MN⊥AC，MN=ME，
所以点M在∠ACD的平分线上，
添加条件MN=MF
即CM是∠ACD的平分线.
可以吗？
又M是EF的中点，则MF=ME=MN.
同理可证AM是∠CAB的平分线.
例2 如图5.4-6，在△ABC的外角∠CAD的平
分线上任取一点P，作PE⊥DB，PF⊥AC，垂足分
别为点E，F. 试探索BE+PF与PB的大小关系.
解 因为AP是∠CAD的平分线，
又PE⊥DB，PF⊥AC， 图5.4-6
所以PE=PF.
在△EBP中，BE+PE>PB，
因此BE+PF>PB.
做一做
任意作一个△ABC，在△ABC内部找一点P，使其到三边的距离相等.
由角平分线的性质定理不难想到，所求作的点应
在△ABC中任意两个内角的角平分线上. 于是，在
△ABC中分别作∠BAC与∠ABC的平分线，它们交
于点P，如图5.4-7 . 过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，
PF⊥BC，垂足分别为点D，E，F. 图5.4-7
因为AP是∠BAC的平分线，PD⊥AB，PE⊥
AC，所以PD=PE.
因为BP是∠ABC的平分线，PD⊥AB，PF⊥BC，
所以PD=PF.
故PD=PE=PF，因此P为所求作的点.
180第5章 直角三角形
练 习
1 如图，E是 ∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA于点C，ED⊥OB于点D，
求证：（
1
） ∠ECD=∠EDC；（
2
）OC=OD.
（第1题图） （第2题图）
2 如图，AD⊥DE，BE⊥DE，AC，BC分别平分 ∠BAD， ∠ABE，点C在
线段DE上. 求证：AB=AD+BE.
习题5. 4
学而时习之
1 如图，一个工厂在A区，它到公路、铁路的距离相等，并且离公路和铁路
的交叉处O点
500 m
，在图上标出它的位置（比例尺为
1
∶
20 000
）.
（第1题图） （第2题图）
2 如图，在 △ABC中， ∠C=90° ，AC=8m ，
1
DC= AD，BD 平分 ∠ABC，求点 D 到边
2
AB的距离.
3 如图，已知BD平分 ∠ABC，BA=BC，点P
在BD上，作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分
别为点M，N. 求证：PM=PN. （第3题图）
181数学 八年级上册
温故而知新
4 如图，在 ∠AOB内部求作一点P，使PM=PN，且点P到 ∠AOB的两边
OA，OB的距离相等.
（第4题图） （第5题图）
5 如图，已知 △ABC的外角 ∠CBD和 ∠BCE的平分线BF，CF相交于点F，
试问：点F在 ∠A的平分线上吗？（提示：过F分别向BD，BC，CE作垂线.）
6 如图，已知 ∠MAN=120° ，AC是 ∠MAN的平分线，点B，D分别在射线
AN，AM上.
① ②
（第6题图）
（ 1 ）如图 ① ，若 ∠ABC=∠ADC=90° ，则AD+AB=AC是否成立？并
给出证明.
（ 2 ）如图 ② ，若 ∠ABC+∠ADC=180° ，则（ 1 ）中的结论是否仍然成立 ?
若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.
182第5章 直角三角形
用计算机探究勾股定理
我们可以用计算机直观地验证勾股定理.
具体步骤
. 打开某计算机软件，点击“开始作图”，利用左侧工具栏中的“线段”
1
工具绘制线段AB，选择点B和线段AB，点击底部第三组工具栏中的“垂线”，
再选择垂线，点击底部第一组工具栏中的“元素上的点”得到点C，隐藏垂线
并分别连接BC和AC得到 Rt△ABC（如图
1
）.
图1
2
. 在图
1
中选择点C，点击顶部“标记”工具栏中的“标记中心”，选择点
B和线段BC，点击底部第七组工具栏中的“旋转”，在弹出的对话框中“转角”
栏输入“ ”，单位选择“角度”，方向选择“顺时针”，点击“确定”得到线段
90
CD. 同理，将点C和线段CD以点D为中心顺时针旋转
90°
可得线段DE，连接
BE，得到正方形BCDE. 用同样的方法绘制出正方形ABFG和AIHC（如图
2
）.
图2
183数学 八年级上册
3
. 在图
2
中，选择点B和线段IH，点击底部第三组工具栏中的“垂线”，
再选择垂线和线段AC，点击底部第一组工具栏中的“交点”得到点J，选择垂
线和线段IH，点击底部第一组工具栏中的“交点”得到点K. 隐藏垂线，并分
别连接BJ和JK（如图
3
）.
图3
在图
3
中，依次选择点B，C，D，E，点击底部第四组工具栏中的“多边
形”，继续点击底部第九组工具栏中的“计算 测量”，在弹出的对话框中选择
|
“面积”，点击“确定”得到正方形BCDE的面积m . 类似地，分别测量出长方
1
形JKHC，长方形AIKJ和正方形ABFG的面积m ，m 和m .
2 3 4
观察四个四边形的面积，你能得到什么结论？
实际上，通过观察可以发现，四个四边形的面积总满足m =m ，m =m ，
1 2 3 4
所以m
1
+m
4
=m
2
+m
3
，即S
四边形BCDE
+S
四边形ABFG
=S
四边形AIHC
，故BC2+AB2=
AC2，这就验证了勾股定理的成立.
操作与思考
1
. 在图
3
中分别拖动 Rt△ABC的各顶点，你发现的结论还成立吗？
2
. 在图
3
中分别连接EF，GI，HD，然后分别测量出 Rt△ABC， △BEF，
△AGI， △CDH的面积，观察测量结果，你能得出什么结论？如果将 Rt△ABC
改为任意三角形，你发现的结论还成立吗？试说明理由.
184第5章 直角三角形
小 结
与 评 价
知识图谱
思考回顾
. 直角三角形的两个锐角有什么关系？有两个角互余的三角形是直
1
角三角形吗？
. 直角三角形斜边上的中线与斜边有什么数量关系？
2
. 在直角三角形中，如果有一个锐角等于 ，那么它所对的直角边
3 30°
与斜边有什么数量关系？
. 什么是勾股定理？什么是勾股定理的逆定理？
4
. 如何判定两个直角三角形全等？
5
. 已知斜边和一条直角边，如何用尺规作直角三角形？
6
. 角平分线有哪些性质？如何判断一个点在角平分线上？
7
185数学 八年级上册
注意事项
. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，这是直角三角形的重
1
要性质. 从这个性质定理可以推导出：在直角三角形中，如果一个锐角
等于 ，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
30°
. 勾股定理即直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，并
2
且它的逆命题也成立，即如果三角形的三条边a，b，c满足a2+b2=c2，
那么这个三角形是直角三角形.
.“斜边、直角边”定理是仅用于判定直角三角形全等的判定定理，
3
运用的前提是在直角三角形中.
. 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 它
4
与“角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上”是互逆命题.
自评互评
• 自评
通过本章的学习，你对以下几方面的学习内容掌握得怎么样？根据
自己的学习情况，点亮属于你的小星星，然后请同学和老师对你的自评
进行恰当评价.
. 能理解直角三角形的概念，掌握直角三角形的性质定理
1
. 会运用勾股定理及其逆定理解决一些简单的实际问题
2
. 掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理
3
. 能用尺规作直角三角形（已知一直角边和斜边）
4
. 掌握角平分线的性质定理及逆定理
5
. 能通过直角三角形相关定理的发现、探索、证明与应用的过程，从中感
6
悟数学的严谨性，并养成重依据、讲道理的习惯，从而进一步发展几何
直观和推理能力，形成实事求是的科学态度与理性精神
• 自评 / 互评
请完成下面两项评价，先自评再在小组内进行互相评价. 其中评价
由低到高分为 ， ， ， ， 五个等级.
1 2 3 4 5
186第5章 直角三角形
. 在学习直角三角形有关知识的过程中，积极参加各种合作探究过程，
1
主动参与意识强烈，注意挖掘知识背景，愿意与同伴合作运用相关知
识解决问题
( )/( )
. 基于对本章知识结构的理解，画出一个思维导图，并在组内展示，对
2
自己和同学画出的思维导图进行恰当评价
( )/( )
你对本章的学习及评价还满意吗？学习数学需要把握问题的本质，
明晰思维的路径，并在学习过程中学会回顾，学会总结，才能脚踏实地、
稳步前行！
复习题5
学而时习之
1 如图，在 Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若 ∠A=20° ，求 ∠BDC
的度数.
（第1题图） （第2题图）
2 如图，在 Rt△ABC中， ∠C=90° ，D为AB的中点，DE⊥AC于点E，
∠A=30° ，AB=8 ，求DE的长.
3 借助计算器分别求下面两个示意图中线段的长度x（精确到
0.1 m
）.
（第3题图）
187数学 八年级上册
4 判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形.
1 3
（
1
）a= ，b=1 ，c= ； （
2
）a=1.
5
，b=2 ，c=2.
5
.
2 4
5 已知 A，B 两艘船同时从港口 O 出发，船 A 以
15km/h
的速度向东航行，船B以
10km/h
的速度
向北航行，如图所示. 它们离开港口 后，相
2h
距多远？
6 如图，点B，E，C，F在同一直线上， ∠A=∠D=
（第5题图）
90°
，BE=FC，AB=DF. 求证： ∠ACB=∠DEF.
（第6题图） （第7题图）
7 如图，已知 ∠AOB=30° ，P是 ∠AOB的平分线上一点，CP∥OB，交OA
于点C，PD⊥OB，垂足为点D，若PC=4 ，求PD的长.
温故而知新
8 在一棵树的 高处有两只猴子，其中一只猴子爬下来走向离树 处的
5 m 15 m
池塘，而另一只爬到树顶后直扑池塘（假设其下落的轨迹为直线），如图所
示. 如果两只猴子经过的路程相等，那么这棵树有多高呢？
（第8题图）
188第5章 直角三角形
9 已知直角三角形两条直角边的和为 ，斜边长为
6
，求这个直角三角形的面积.
2
10 如图，在 △ABC中， ∠C=90° ，AC=BC，AD
是 ∠BAC的平分线且交BC于点D，DE⊥AB，
（第10题图）
垂足为点E，若AB=12cm ，求 △DEB的周长.
11 小明和小强攀登一无名山峰，他俩在山脚A处测得主峰B的仰角为
45°
，然
后从山脚沿一段倾角为
30°
的斜坡走了
2 km
到达山腰C，此时测得主峰B的
仰角为 ，如图所示. 于是小明对小强说：“我知道主峰多高了. ”请根据
60°
他们提供的数据算出主峰的高度.
（第11题图）
上下而求索
12 下图是一个时钟的钟面垂直固定于水平桌面上的示意图，其中分针上有一点
A，当钟面显示
3
点
30
分时，分针垂直于桌面，A点距桌面的高度为
10cm
.
若此钟面显示 3 点 45 分时，A点距桌面的高度为 16cm. 问：当钟面显示 3
点
50
分时，A点距桌面的高度为多少？
（第12题图）
13 一个直角三角形三边长均为整数，已知它的一条直角边长为 ，求另一条直
7
角边长和斜边长.
189数学 八年级上册
数 学
文 化
《周髀算经》与勾股定理
《周髀算经》是中国古代最早的一部
数学和天文学著作，是《算经十书》①中
的一种，作者不详，成书于西汉或更早时
期. 书中涉及的数学、天文知识，有的可
以追溯到西周. 《周髀算经》在数学上的
主要成就是使用复杂分数进行运算，还证
明了勾股定理.
《周髀算经》中有两个部分谈及“勾
《周髀算经》书影
股定理”. 先是在书的前半部分，提到周公
向商高请教“数”的由来. 于是商高以勾股定理的证明为例，解释数的来
源. 他的证明方法如下：“数之法，出于圆方. 圆出于方，方出于矩，矩
出于九九八十一. 故折矩，以为勾广三，股修四，径隅五. 既方之，外
半其一矩，环而共盘，得成三四五. 两矩共长二十有五，是谓积矩. ”
“既（即皆）方之”是以勾、股、弦为边，都作一个正方形. 接着在
“股方”中构造一个勾股长方形，而“外半其一矩”是指沿着对角线将长
方形分成两半，取外面那个勾股形.“环而共盘”是将外取的半矩环绕弦
方而共成一个大正方形盘（见图 ）.
1
图1
①《算经十书》是指自汉至唐初的《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《张丘建算经》《夏侯阳
算经》《五经算术》《缉古算经》《缀术》《五曹算经》《孙子算经》十部著名的数学著作.
190第5章 直角三角形
对于关键句子“既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五”中
的“环而共盘”还有另外的解读. 例如，“环而共盘”是将所取的勾股形
环绕起来，形成以弦为边作成的方形盘，其相应图示如下（见图 ）：
2
图2
接着，《周髀算经》在后半部分又提到东周数学家陈子与荣方在讨论
如何测量出太阳距地面的高度. 陈子回答时得出了勾股定理的一般公式：
“若求邪（斜）至日者，以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除
之，得邪至日. ”后来，汉末三国初的数学家赵爽在《〈周髀算经〉注》
中，创制了“弦图”，并对上述证明进行了复原（见图 ）.
3
图3 赵爽利用 “弦图” 证明勾股定理
191利用拼接探究勾股定理





说 一 说
（ ）任意两个三角形可以拼成一个四边形吗？如能，请说明理由；否则请举反例.
1
（ ）满足什么条件的两个直角三角形可以拼成一个长方形或正方形？理由呢？
2
我们知道，将一个等边三角形沿任一条角平分线剪开，可将其分割成两个全等的
直角三角形. 对于一个直角三角形，其三边关系满足勾股定理.
勾股定理被誉为几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为 “几何学的基石”. 到目
前为止，有 多种证明勾股定理的方法，是证明方法最多的数学定理之一.
500
想 一 想
你能用四个如图（ ）所示的直角三角形和一个如图（ ）所示的正方形，通过拼接
1 1 1 2
证明勾股定理吗？
（1） （2）
图1 图2
例如，可把四个全等的直角三角形和小正方形拼成如图 所示的图形，则可以证
2
明勾股定理.
说 一 说
请说出上述证明过程.
192议 一 议
分别剪出以一个直角边为a，b，斜边为c的直角三角形以及三个边长分别为a，
b，c的正方形. 如何利用这四个图形，通过拼接证明勾股定理？
例如，把它们拼成如图 所示的图形.
3
图3
其证明过程如下①：
易知G，C，B三点在一条直线上
.
连接BF，CD，过点C作CN⊥DE，交AB于点M，交DE于点N.
因为AF=AC， ∠FAB=∠CAD，AB=AD,
所以 △FAB≌△CAD.
1 1
由于FA∥GB，CN∥AD，则S △FAB= a2，S △CAD= S 矩形ADNM,
2 2
所以S 矩形ADNM=a2.
连接AK，CE. 同理可证，S 矩形MNEB=b2.
又S 矩形ADNM+S 矩形MNEB=S
正方形ADEB
，且S 正方形ADEB=c2.
所以a2+b2=c2.
做 一 做
（
1
）分别剪出以两个直角边为a，b，斜边为c的直角三角形以及一个腰长为c的
等腰直角三角形. 如何利用这三个图形，通过拼接证明勾股定理？
（ ）请你查阅资料，了解几种勾股定理的证明方法与证明过程，并结合上述拼接
2
证明过程，写一篇小论文，介绍你从中获得的启示.
①此法依据欧几里得《原本》第一卷命题47的证明方法修改而成.
193后 记
本册教科书是依据教育部颁布的 《义务教育数学课程标准
（
2022
年版）》编写的.
本册教科书的编写，充分吸收了近十年来义务教育课程改革的
优秀成果，借鉴了
2013
年版《义务教育教科书·数学（八年级上
册）》编写经验，凝聚了广大学科专家、教育专家、教材编写专家、
思政专家、教研人员和一线教师，以及装帧设计专家的集体智慧.
在此对所有为本次编写、出版、试教、审读等提供过帮助和支
持的同仁和社会各界朋友，表示衷心感谢！特别感谢 年版本册
2013
教科书主编严士健先生及所有编写人员！真诚地感谢张伟平院士、
潘建伟院士、周向宇院士、李文林教授、陈大岳教授、邹大海教授
等的帮助！
在本册教科书出版之前，我们通过多种渠道与教科书所选用资
料和图片的作者进行了联系，得到了他们的大力支持. 对此，我们
表达诚挚的谢意！遗憾的是，仍有部分作者未能取得联系，恳请这
些作者尽快与我们联系，以便支付稿酬.
教材建设是一项长期的任务，我们真诚地希望，广大教师、学
生及家长在使用本册教科书的过程中及时将意见或建议反馈给我
们. 我们将集思广益，不断修订，使其趋于完善.
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