数学八上北京版（2025秋）_初中数学_北京版

义务教育教科书
YIWU JIAOYU JIAOKESHU
(cid:2973) (cid:2022)
(cid:52) (cid:41) (cid:54) (cid:57) (cid:54) (cid:38)
八年级
上册
八
年
数 学
级
SHUXUE
八年级 上册
北
京
出
版
社 北 京 出 版 社
数
上
册
义
义务教育教科书
务
教
育
教
科
书
学
绿色印刷产品
ISBN 978-7-200-19495-1
定价：9.90元
价格依据文件号：京发改规〔2016〕13号 举报电话：12315前言
亲爱的同学：
你知道第一次数学危机吗？有理数不够用了，
它的兄弟—无理数横空出世，“数的家族”扩充至
“实数”．相应的，“式的家族”也有了新成员—根
式．从数学系统的完备性考虑，有了新的体系以后，
原有的支撑体系是否可以继续沿用呢？
一路走来，我们一直在进行“数”与“式”的
对比．在欢迎“式的家族”新成员之前，还需要研究
另一位成员—分式．那么，对分数的研究方法能沿
用到分式身上吗？
你一定在手工活动中剪出过三角形．你有没有
继续尝试一下：如何将这个三角形剪成两个三角形？
如何将这个三角形剪成面积相等的两个三角形？换一
张纸，你能剪出一个等腰三角形吗？再换一张纸，你
能剪出两个形状和大小完全一样的三角形吗？
你知道天气预报中“降水概率”的意义吗？如
%
果说“明天的降水概率是 90 ”，那么明天一定会下
雨吗？这个百分数又是如何得到的呢？实际上，现
实生活中的很多事情预先并不确定是否发生，用定
量的方法研究其发生的可能性，是做出正确决策的
依据.
数学是思维的体操，它可以锻炼我们的思维能
力和创造力．让我们开始奇妙的数学之旅吧！4
数学 八年级 上册目录
第十章 分式 1
一、分式及其性质 ���������������������������������� 2
10.1 分式 ���������������������������������������� 2
习题 10 - 1 ���������������������������������� 5
10.2 分式的基本性质 ������������������������������� 6
习题 10 - 2 ���������������������������������� 8
二、分式的运算 ����������������������������������� 10
10.3 分式的乘除法 ������������������������������� 10
习题 10 - 3 ��������������������������������� 13
10.4 分式的加减法 ������������������������������� 14
习题 10 - 4 ��������������������������������� 19
三、分式方程 ������������������������������������� 21
10.5 分式方程 ����������������������������������� 21
习题 10 - 5 ��������������������������������� 27
◇ 探究学习 调日法与糖水的味道 �������������������� 30
◇ 阅读理解 华罗庚谈“知识、学识、见识” ����������� 33
◇ 回顾与整理 ������������������������������������ 34
◇ 复习题 ���������������������������������������� 35
第十一章 实数和二次根式 39
一、实数 ���������������������������������������� 40
11.1 平方根 ������������������������������������� 4011.2 立方根 ������������������������������������� 43
11.3 用计算器开方 �������������������������������� 44
11.4 无理数与实数 �������������������������������� 45
习题 11 - 1 ��������������������������������� 50
二、二次根式 ������������������������������������� 53
11.5 二次根式及其性质 ���������������������������� 53
11.6 二次根式的乘除法 ���������������������������� 56
11.7 二次根式的加减法 ���������������������������� 61
习题 11 - 2 ��������������������������������� 64
◇ 阅读理解 无理数的故事 ������������������������� 67
◇ 回顾与整理 ������������������������������������ 68
◇ 复习题 ���������������������������������������� 70
第十二章 三角形 73
一、三角形及其性质 ������������������������������� 74
12.1 三角形 ������������������������������������� 74
12.2 三角形的性质 ������������������������������� 75
12.3 三角形中的主要线段 �������������������������� 81
习题 12 - 1 ��������������������������������� 83
二、全等三角形 ����������������������������������� 84
12.4 全等三角形 ��������������������������������� 8412.5 全等三角形的判定 ���������������������������� 86
习题 12 - 2 ��������������������������������� 92
三、等腰三角形与直角三角形 ������������������������ 95
12.6 等腰三角形 ��������������������������������� 95
12.7 直角三角形 �������������������������������� 101
◇ 探究学习 这样的三角形全等吗？ ����������������� 103
习题 12 - 3 �������������������������������� 103
四、尺规作图及轴对称 ���������������������������� 106
12.8 尺规作图 ���������������������������������� 106
12.9 逆命题、逆定理 ����������������������������� 112
12.10 轴对称和轴对称图形 ������������������������ 113
习题 12 - 4 �������������������������������� 116
◇ 阅读理解 傅种孙与几何作图 ��������������������� 118
五、勾股定理 ������������������������������������ 120
12.11 勾股定理 ��������������������������������� 120
12.12 勾股定理的逆定理 �������������������������� 123
习题 12 - 5 �������������������������������� 124
◇ 阅读理解 勾股定理史话 ������������������������ 127
◇ 探究学习 三角形全等的应用 ��������������������� 130
◇ 回顾与整理 ����������������������������������� 131
◇ 复习题 ��������������������������������������� 133综合与实践 小小设计师—用密铺装饰墙面 137
综合与实践 重心在哪里 139
第十三章 事件与可能性 143
一、事件 ��������������������������������������� 144
13.1 必然事件与随机事件 ������������������������� 144
习题 13 - 1 �������������������������������� 146
二、可能性 ������������������������������������� 147
13.2 随机事件发生的可能性 ����������������������� 147
习题 13 - 2 �������������������������������� 149
13.3 求简单随机事件发生的可能性的大小 ������������ 150
习题 13 - 3 �������������������������������� 154
◇ 回顾与整理 ����������������������������������� 155
◇ 复习题 ��������������������������������������� 156
附录 159第十章
分式
北京2008年奥运会，配套建设了奥林匹克森林公园；北京2022年冬奥会，
配套建设了北京冬奥公园. 北京作为世界上首个“双奥之城”，城市绿化建设不
止于此……
在某街心公园，园林设计师计划修建一个面积为100 m2的长方形花坛. 如
果原计划花坛的长是a m，现决定延长15 m，那么，在面积不变的情况下，现
在的宽用代数式怎么表示？这个代数式同前面学习的整式有什么区别？它具有
什么性质，如何进行运算？为了解决上述问题，我们需要掌握分式的相关知识.
类比小学学习的分数，本章我们来认识分式，研究分式的基本性质和运算. 在
认识分式以后，我们能认识更多的数量关系，并从分式方程的角度解决生活中
的问题.一、 分式及其性质
10.1
分式
章前页中的问题用代数式表示为
100 ÷ ( a + 15) .
两个整数相除，可以表示成分数的形式；两个整式相除时，也可以表示成
类似的形式. 这样，上面的问题中，花坛的宽可以表示为
100
. 原来的括号呢？
a + 15
同样的，下面的代数式
10 ÷ b，( x - y ) ÷ y 2，( 2a + 3b ) ÷ ( a - b )
10 x - y 2a + 3b
也可以分别表示为 ， ， .
b y 2 a - b
思 考 与 交 流
上面的代数式还是整式吗？观察它们的结构，归纳概括出它们的共
同特点.
可以看出，代数式
100 10 x - y 2a + 3b
， ， ，
a + 15 b y 2 a - b
都不是整式 . 它们的共同特点是：都有类似于分数的形式，分子和分母都是整
式，并且分母中的整式都含有字母.
思 考 与 交 流
100 10 x - y 2a + 3b
在代数式 ， ， ， 中，字母的取值有什么限制？为什么？
a + 15 b y 2 a - b
2
数学 八年级 上册A
一般地，用A，B表示两个整式，A ÷ B ( B ≠ 0) 可以表示为 的形式. 如果B
B
A
中含有字母，那么式子 ( B ≠ 0) 叫作 . 其中，A 叫作分式的分子，B 叫作
B
分式
分式的分母.
整式和分式统称为 .
有理式
列代数式，并判断它们是不是分式：
例1
( 1 ) 一项工程，由某建筑公司单独完成需要 x 天，那么该建筑公司每天完
成全部工程的多少？
( 2 ) 北京到上海的路程约为 1 200 km . 如果火车行驶的速度为 v km/h ，那
么从北京到上海需要多少小时？
( 3 ) 在北京召开的第 24 届国际数学家大会的会标
取材于我国古代数学家赵爽 ( 汉末三国初 ) 的《勾股圆
方图》. 其中的“弦图”是由四个相同的直角三角形与
中间的小正方形拼成的一个大正方形( 图 10 - 1 ). 如果
a b
直角三角形的两直角边分别为a，b ( a > b )，那么请写出
这四个直角三角形的面积之和与小正方形的面积之比. 图10 - 1
1
：( 1 ) .
解 x
1
因为 x ≠ 0，所以 是分式.
x
1 200
( 2 ) .
v
1 200
因为v ≠ 0，所以 是分式.
v
2ab
( 3 ) .
( a - b ) 2
2ab
因为 a > b，a - b ≠ 0，所以 是分式.
( a - b ) 2
实 践
请你联系生活中的实际问题，列举一个用分式表示的数量关系.
3
第十章 分式当 x 取何值时，下列各式有意义？
例2 只有当分母不等于零时，
3x x - 1
( 1 ) ； ( 2 ) . 式子才有意义.
x - 1 2x + 3
：( 1 )令x - 1 = 0，得
解
x = 1.
3x 3x
可知，当x ≠ 1时， 的分母x - 1 ≠ 0，此时 有意义.
x - 1 x - 1
( 2 )令2x + 3 = 0，得
3
x = - .
2
3 x - 1 x - 1
可知，当x ≠ - 时， 的分母2x + 3 ≠ 0，此时 有意义.
2 2x + 3 2x + 3
一般地，称一个式子为分式时，就隐含了使分母不等于零的条件 . 我们约
定，本书在讨论分式的问题时，不再注明使分母不等于零的条件.
思 考 与 交 流
| x | - 1
1. 如果分式 = 0，怎样确定 x 的取值？
x - 1
2. 在什么条件下，一个分式的值等于零？
2x - 1
当 x 取何值时，分式 的值等于零？
例3 3x + 2
：在使得分式有意义的前提下，分子的值等于零，则分式的值等于零.
分析
2x - 1
：分式 的值等于零的条件是
解 3x + 2
3x + 2 ≠ 0， ① 是否可以不考虑3x + 2 ≠ 0？

2x - 1 = 0 . ②
2
由①，得x ≠ - .
3
1
由②，得x = .
2
1 2x - 1
所以当x = 时，分式 的值等于零.
2 3x + 2
4
数学 八年级 上册练 习
1. 指出下列有理式中，哪些是整式，哪些是分式.
3x + 1 2
( 1 ) ； ( 2 ) ；
6 a
3x a - b
( 3 ) ； ( 4 ) .
x + 2 4
2. 当 x 取何值时，下列各式有意义？
x - 3 2x - 5
( 1 ) ； ( 2 ) .
x + 3 x 2
3. 当 x 取何值时，下列各式的值等于零？
3x - 1 x + 2
( 1 ) ； ( 2 ) ；
2x + 5 x 2 + 7
|x| - 2 2x - 5
( 3 ) ； ( 4 ) .
x + 2 x - 3
-
习 题 10 1
巩 固
1. 当 x 取何值时，下列各式有意义？
1 x + 3 x
( 1 ) ； ( 2 ) ； ( 3 ) .
x 3x + 1 0.2x + 1
2. 当 x 取何值时，下列各式的值等于零？
2x - 3 x
( 1 ) ； ( 2 ) .
x + 2 x - 1
提 升
1. 当 x 取何值时，下列各式有意义？
2x + 1 2x
( 1 ) ； ( 2 ) .
x 2 x 2 + 3
2. 当 x 取何值时，下列各式的值等于零？
x 2 - 1 x 2 - 4 | x | - 3
( 1 ) ； ( 2 ) ； ( 3 ) .
x + 1 x - 2 x - 3
5
第十章 分式拓 展
1. 求满足下列条件的 x 的取值范围：
2x + 1 x - 3 x 2 + 8
( 1 ) > 0 ； ( 2 ) < 0 ； ( 3 ) > 0.
x 2 + 3 x 2 x + 1
1
2. 如图，正方形的边长为 a，白色部分为 的圆，试用代数 A D
4
式表示绿色部分的面积与正方形的面积之比.
a
x + 2b
3. 对于分式 ，当x = - 2时，此分式无意义，当x = 6时，
x + a
此分式的值为零，求ba的值.
B C
(第 2 题)
10.2
分式的基本性质
思 考 与 交 流
回忆一下分数有哪些基本性质，分式也具有类似的性质吗？
由于字母可以表示数，所以分式也具有与分数类似的基本性质.
分式的分子、分母都乘同一个不等于零的整式，分式的值不变.
用式子表示为
A A × M
= ( M ≠ 0 ).
B B × M
分式的分子、分母都除以同一个不等于零的整式，分式的值不变.
用式子表示为
A A ÷ M
= ( M ≠ 0 ).
B B ÷ M
思 考 与 交 流
m 2 + mn
你能把分式 变形为分母是 n 的分式，并且使分式的值不变吗？
mn
6
数学 八年级 上册在括号内填入适当的整式，使分式的值不变：
例1 怎样运用分式的基本
b ( ) a + b a 2 - b 2 a + b
( 1 ) = ； ( 2 ) = . 性质进行分式的变形？
a 2b a 2 a 2 - ab ( )
：( 1 ) a + b. ( 2 ) a.
解
运用分式的基本性质，可以把分式中分子和分母的公因式约去，使分式简
化. 把分式中分子与分母的公因式约去，叫作 .
约分
将下列分式约分：
例2
3x 2y 2xy ( x - y ) 2 y - x与x - y有什么
( 1 ) ； ( 2 ) ；
15xy 2 4x ( y - x ) 关系？
a 2 - 2a + 1
( 3 ) .
2 - 2a 2
：首先要找出分子和分母的公因式.
如何找出分子和分
分析
3x 2y 3xy · x x 母的公因式？
：( 1 ) = = .
解 15xy 2 3xy · 5y 5y
2xy ( x - y ) 2 2x ( y - x ) · y ( y - x ) y ( y - x ) y 2 - xy
( 2 ) = = = .
4x ( y - x ) 2x ( y - x )· 2 2 2
a 2 - 2a + 1 ( a - 1 ) 2 ( a - 1 ) · ( a - 1 ) a - 1
( 3 ) = = - = - .
2 - 2a 2 - 2 ( a 2 - 1 ) ( a - 1 )· 2 ( a + 1 ) 2a + 2
如果一个分式的分子与分母没有公因式，这个分式就叫作 .
最简分式
思 考 与 交 流
1. 约分的步骤是什么？
2. 约分时应该注意什么？
练 习
1. 在括号内填入适当的整式，使分式的值不变：
b ( ) a + b ( )
( 1 ) = ； ( 2 ) = .
a a 2 a a ( a - b )
2. 将下列分式约分：
ab 2xy 2
( 1 ) ； ( 2 ) ；
a 2 - 6x 2y 3
7
第十章 分式y - x - a - b
( 3 ) ； ( 4 ) .
( x - y ) 2 ( a + b ) 2
3. 将下列分式约分：
9x 2 - 6x + 1 4x 2 - 2x
( 1 ) ； ( 2 ) ；
3x 2 - x 4x 2 - 1
x 2 - 10x + 25 2a 2 - 8
( 3 ) ； ( 4 ) .
3x 2 - 75 a2 + 4a + 4
-
习 题 10 2
巩 固
1. 将下列分式约分：
6a 2b 3ab 3
( 1 ) - ； ( 2 ) ；
2ab 2 15a 3b
6m 3n 4 - 3 ( a - b )
( 3 ) ； ( 4 ) .
- 24m 4n 2 12 ( b - a ) 2
2. 在括号内填入适当的整式，使分式的值不变：
2a - 2b 2 3a - 3b 3
( 1 ) = ； ( 2 ) = ；
a2 - b 2 ( ) a 2 - 2ab + b 2 ( )
x 2 - 6x + 9 ( ) 16a 2 + 8ab + b 2 ( )
( 3 ) = ； ( 4 ) = .
2x - 6 2 16a 2 - b 2 4a - b
提 升
1. 不改变分式的值，将下列分式中分子与分母的各项系数都化为整数：
a 0.1x - 0.3y
( 1 ) ； ( 2 ) .
0.5b 1.2x + 0.5y
2. 将下列分式约分：
3x 2 - 12 x 2 - 3x
( 1 ) ； ( 2 ) ；
x 2 - 4x + 4 - x 2+ 6x - 9
2a 2 - 8ab + 8b 2 4b - 10a
( 3 ) ； ( 4 ) .
2a 2 - 8b2 25a 2 - 20ab + 4b 2
3. 从x 2 - 4xy + 4y 2，x 2 - 4y 2，x - 2y三个整式中，任选两个构成一个分式，并
约分.
8
数学 八年级 上册4. 选择：
( 1 ) 下列变形正确的是 ( ) .
x 6 x + m m x 2 + y 2 - x + y
A. = x 3 B. = C. = x + y D. = -1
x 2 x + n n x + y x - y
a + b
( 2 ) 如果将分式 ( a，b 均为正数 ) 中的字母 a，b 的值分别扩大为原来
ab
的2倍，那么分式的值 ( ) .
1
A. 扩大为原来的2倍 B. 缩小为原来的
2
1
C. 不改变 D. 缩小为原来的
4
5. 轴承是一种重要的机械部件 . 如图，其结构可以看作两个半径分别为 R，r
的圆，请用代数式表示：
( 1 ) 大圆与小圆的面积之比；
( 2 ) 圆环与大圆的面积之比.
R
r
( 第5题 )
拓 展
1. 为了美化校园环境，某校八年级学生设计了如图所示的花坛，图中蓝色部分
( 正方形 ) 种绿植，绿色部分种花卉 . 已知图中大长方形的长为 a，宽为 b，
用代数式表示绿色部分的面积与蓝色部分的面积之比.
2. 如图，试用关于a，b的代数式表示绿色部分的面积与各长方形的面积之比.
a
a
b
a a b a
( 第1题 ) ( 第2题 )
a a 2 a 3
3. 已知 a 是非零有理数，求 + + 的值.
| a | | a 2 | | a 3 |
9
第十章 分式二、 分式的运算
10.3
分式的乘除法
思 考 与 交 流
分数的乘除法运算法则是什么？类比分数乘除法的运算法则，怎样
用式子表示分式乘除法的运算法则？
分式的乘除法运算法则
分式乘分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母.
用式子表示为
a c ac
· = .
b d bd
分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.
用式子表示为
a c a d ad
÷ = · = .
b d b c bc
计算：
例1
3b 5c 2 - 4ab ab 2
( 1 ) · ； ( 2 ) ÷ .
2a 3 4d 2 3mn 2 6m 2n
3b 5c 2
：( 1 ) ·
解 2a 3 4d 2
分子、分母转化为整式的
3b · 5c 2
=
2a 3 · 4d 2 乘法运算.
15bc 2
= .
8a 3d 2
- 4ab ab 2
( 2 ) ÷
3mn 2 6m 2n
= -
4ab
·
6m 2n
3mn 2 ab 2
10
数学 八年级 上册4ab · 6m 2n
= -
3mn 2 ·ab 2
同分数运算一样，记得
8m
= - . 约分.
bn
计算：
例2
a 2 + 4a + 4 a 2 y - 2x 4x 2 - 4xy + y 2
( 1 )
a 2 - a
·
a + 2
； ( 2 )
x 2 - y 2
÷
x 2- 2xy + y 2
；
2 x 2 - 4
( 3 ) ÷ ( x + 4 ) · .
x + 2 x + 4
a 2 + 4a + 4 a 2
：( 1 ) ·
解 a 2 - a a + 2
( a + 2 ) 2 a 2
= ·
a ( a - 1 ) a + 2
a ( a + 2 )
=
a - 1
a 2 + 2a
= .
a - 1
y - 2x 4x 2 - 4xy + y 2
( 2 ) ÷
x 2 - y 2 x 2 - 2xy + y 2
为什么化成 ( y - 2x ) 2？
y - 2x ( x - y ) 2
= ·
( x + y ) ( x - y ) ( y - 2x ) 2
x - y
= .
( x + y ) ( y - 2x )
2 x 2 - 4
( 3 ) ÷ ( x + 4 ) ·
x + 2 x + 4
2 1 ( x + 2 ) ( x - 2 )
=
x + 2
·
x + 4
·
x + 4
2x - 4
= .
( x + 4 ) 2
练 习
1. 计算：
4b 25c 3 - 3m 3n
( 1 ) · ； ( 2 ) · ；
5a 6d 2 2n 2 4m 2
14mn 8b
( 3 ) ÷ 12m 2n； ( 4 ) - 4ab 2 ÷ .
3a 3a
11
第十章 分式2. 计算：
3a 2b a 2 - 4b 2 x 2 - 2x + 1 3 - 3x
( 1 ) · ； ( 2 ) ÷ .
2a - 4b 6ab 2x 2 - 18 4x 2 - 12x
思 考 与 交 流
根据乘方的意义和分式乘法的运算法则，你能给出分式的乘方运算法则吗？
根据
(
a
)2
a a a· a a2
= · = = ；
b b b b· b b 2
(
a
)3
= · · = = ；
b
……
当n是正整数时，
(
a
)n
= · ·…· = = .
b
这样，我们就得到
分式的乘方运算法则
分式的乘方是把分式的分子、分母分别乘方. 用式子表示为
(
a
)n
a n
= ( n是正整数 ) .
b b n
计算：
例3
(
3bc
)2 (
3c 2
)3 (
2a
)2
( 1 ) ； ( 2 ) - · - .
2a 2 4ab 3c
(
3bc
)2
( 3bc ) 2 9b 2c 2
：( 1 ) = = .
解 2a 2 ( 2a 2 ) 2 4a 4
( 3c 2 ) 3 ( 2a ) 2
( 2 )原式 = - ·
( 4ab ) 3 ( 3c ) 2
3 3c 6 4a 2
= - ·
4 3a 3b 3 3 2c 2
3c 4
= - .
16ab 3
12
数学 八年级 上册练 习
1. 计算：
( 3b )2 ( - 2x )3 ( 3a 2b )2
( 1 ) - ； ( 2 ) ； ( 3 ) .
a 3y - 4xy
2. 计算：
(
3n
)2 (
m
)3 (
- b
)3
( 1 ) · - ； ( 2 ) 4ab 2 ÷ .
2m n a
-
习 题 10 3
巩 固
1. 计算：
3b 5a - y 3x
( 1 ) · ； ( 2 ) · ；
a 2b x 2y
4ac 2 5b 2b 2
( 3 ) 2a 2b ÷ ； ( 4 ) ÷ .
3b 2 2a 2 3a
2. 计算：
a 2 - 1 2ab 2 x 2 - 4y 2 2x 2 + 2xy
( 1 ) · ； ( 2 ) · .
- a a 2 - 2a + 1 x 2 + 2xy + y 2 x + 2y
3. 计算：
x 2 - 3x x - 3 a - 2b a 2 - 4ab + 4b 2
( 1 ) ÷ ； ( 2 ) ÷ .
x + 2 x 2 - 4 a + b 2a 2 - 2b 2
4. 计算：
(
3n
)2 (
m
)3 (
y
)2 (
x
) (
y
)4
( 1 ) ÷ - ； ( 2 ) · - ÷ - .
2m 2 2n 2 - 3x y 2 x 2
提 升
1. 先化简，再求值：
x 2 - 1 x + 1 1 + x 1
( 1 ) ÷ · ，其中x = - ；
x 2 - 2x + 1 x - 1 1 - x 2
4x 2 - 4xy + y 2 5x + 5y
( 2 ) · ，其中x = - 2， y = 3.
x 2 - y 2 2x - y
13
第十章 分式2. 计算：
( b )2n ( b 2 )n
( 1 ) ( n是正整数 )； ( 2 ) ( n是正整数 ).
- a - a
3. 下列运算是否正确，如果不正确，请予以改正：
a 9 - x + y a - 2b 1 x x + 3
( 1 ) = a 3； ( 2 ) = - 1； ( 3 ) = ； ( 4 ) = .
a 3 x - y 4a - 2b 4 y y + 3
拓 展
b + c c + a a + b
1. 已知a + b + c = 0，且abc > 0，求 + + 的值.
| a | | b | | c |
a 2 3a - 4b
2. 已知 = ，求 的值.
b 3 3a + 4b
a 2
3. 已知a 2 - 3a + 1 = 0，求 的值.
a 4 + 1
10.4
分式的加减法
思 考 与 交 流
能像做分数的加减运算那样进行分式的加减运算吗？
我们可以像做分数的加减运算那样进行分式的加减运算：
( 1 ) 类比同分母分数的加减运算，进行同分母分式的加减运算：
3 1 1 b
+ = ， + = ；
7 7 2a 2a
2 3 2x 3x
- = ， - = .
5 5 m m
( 2 ) 类比异分母分数的加减运算，进行异分母分式的加减运算：
1 1 1 1
+ = = ， + = = ；
2 3 2a 3a
1 2 1 1
- = = ， - = = .
4 3 x y
通过以上分数与分式加减运算的类比，我们可以得到：
在不改变分式值的情况下，把几个异分母的分式化为同分母的分式的变
形，叫作 .
通分
14
数学 八年级 上册分式的加减法运算法则
同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减.
用式子表示为
a b a ± b
± = .
c c c
异分母的分式相加减，先通分化为同分母分式，再进行加减运算.
用式子表示为
a c ad bc ad ± bc
± = ± = .
b d bd bd bd
计算：
例1
b - 1 c + 1 a 2 b 2
( 1 ) + ； ( 2 ) + .
a + 1 a + 1 a - b b - a
b - 1 c + 1
：( 1 ) +
解 a + 1 a + 1
a - b与b - a有什么关系？
( b - 1 ) + ( c + 1 )
=
a + 1
b - 1 + c + 1
=
a + 1
b + c
= .
a + 1
a 2 b 2
( 2 ) +
a - b b - a
a 2 b 2
= -
a - b a - b 分式运算的结果要化为
a 2 - b 2
最简分式.
=
a - b
( a + b ) ( a - b )
=
a - b
= a + b .
练 习
1. 计算：
1 2 b 4
( 1 ) + ； ( 2 ) - ；
a a 3a 3a
2x 2y x - y 2x + y
( 3 ) - ； ( 4 ) + .
x - y x - y x - 2y x - 2y
15
第十章 分式2. 计算：
2x 2 2y 2 2a - b 2b - a
( 1 ) - ； ( 2 ) + ；
x + y x + y ( a + b ) 2 ( a + b ) 2
3x 6 2a + b a + 2b
( 3 ) - ； ( 4 ) - .
x - 2 2 - x a - b b - a
3. 计算：
x 2 - 4x 2x + 1 a 2 - 3ab ab + b 2
( 1 ) ——— - ——— ； ( 2 ) + .
x 2 - 1 1 - x 2 ( a - b ) 2 ( b - a ) 2
思 考 与 交 流
1. 几个异分母的分式，它们所有分母的乘积可以作为它们的公分母吗？
2. 几个异分母分式的公分母是唯一的吗？举出几个例子说明.
3. 异分母分式的公分母中，是否存在一个最简单的公分母？
通分：
例2
1 b 2 5 y x
( 1 ) ， ； ( 2 ) ， ； ( 3 ) ， .
ab 2a 3m 2n 6mn 2 3x ( x - y ) 2 5y ( y - x )
：先确定各分式的公分母.
解
( 1 )公分母可以是2ab.
1 2
= ，
ab 2ab
b b2
= .
2a 2ab
( 2 )公分母可以是6m 2n 2.
2 2 × 2n 4n
= = ，
3m 2n 3m 2n· 2n 6m 2n 2
5 5· m 5m
= = .
6mn 2 6mn 2· m 6m 2n 2
( 3 )公分母可以是15xy (x - y)2.
y y· 5y 5y 2
= = ，
3x ( x - y ) 2 3x ( x - y ) 2· 5y 15xy ( x - y ) 2
x x· 3x ( y - x ) 3x 2 ( y - x )
= = .
5y ( y - x ) 5y ( y - x )· 3x ( y - x ) 15xy ( x - y )2
16
数学 八年级 上册像上面2ab，6m 2n 2，15xy ( x - y ) 2这样的公分母，叫作 .
最简公分母
由例2可以知道，通分的关键步骤是确定最简公分母.
练 习
1. 通分：
1 2 2 y
( 1 ) ， ； ( 2 ) ， ；
2a 5b x x + y
a b y x
( 3 ) ， ； ( 4 ) ， .
a + b a - b 2 ( x - y ) ( y - x ) 2
2. 通分：
1 1 a + 1 a
( 1 ) ———，—————； ( 2 ) —————，——— .
a 2 - 4 a 2 - 4a + 4 a 2 - 2a + 1 a 2 - a
计算：
例3
b 1 y x + y
( 1 ) - ——； ( 2 ) + .
3a 2 6ab x 2 - xy 2x - 2y
b b 1 1
：( 1 )因为 = ， = ，
解 3a 2 3· a 2 6ab 2 × 3· a· b
所以它们的最简公分母是6a 2b.
b 1
- 怎样确定几个分式的
3a 2 6ab
最简公分母？
b· 2b 1· a
= -
3a 2· 2b 6ab· a
2b 2 a
= -
6a 2b 6a 2b
2b 2 - a
= .
6a 2b
y y x + y x + y
( 2 ) 因为 = ， = ，所以它们的最简公分母
x 2 - xy x ( x - y ) 2x - 2y 2 ( x - y )
是2x ( x - y ) .
y x + y
+
x 2 - xy 2x - 2y
y x + y
= +
x ( x - y ) 2 ( x - y )
17
第十章 分式y· 2 ( x + y )· x
= +
x ( x - y )· 2 2 ( x - y )· x
2y x ( x + y )
= +
2x ( x - y ) 2x ( x - y )
x 2 + xy + 2y
= .
2x ( x - y )
x 2x - 1
计算： - .
例4 x + 2 x 2 + 4x + 4
x 2x - 1
： -
解 x + 2 x 2 + 4x + 4
x 2x - 1
= -
x + 2 ( x + 2 ) 2
x ( x + 2 ) 2x - 1
= -
( x + 2 ) 2 ( x + 2 ) 2
x ( x + 2 ) - ( 2x - 1) 这个括号是不是必须
=
( x + 2 ) 2 加的？
x 2 + 2x - 2x + 1
=
( x + 2 ) 2
x 2 + 1
= .
( x + 2 ) 2
与分数混合运算的运算顺序一样，分式的加、减、乘、除混合运算也是先
进行乘除运算，再进行加减运算；遇有括号时，先进行括号内的运算.
x - 5 x 2 + 2x + 1 x + 1
计算： - ÷ .
例5 x - 3 x 2 + x x - 2
x - 5 ( x + 1) 2 x - 2
：原式 = - ·
解 x - 3 x ( x + 1 ) x + 1
x - 5 x - 2
= -
x - 3 x
x ( x - 5) ( x - 2) ( x - 3)
= -
x ( x - 3 ) x ( x - 3 )
x ( x - 5) - ( x - 2) ( x - 3)
=
x ( x - 3 )
x 2 - 5x - ( x 2 - 5x + 6)
=
x ( x - 3 )
x 2 - 5x - x 2 + 5x - 6
=
x ( x - 3 )
6
= - .
x ( x - 3 )
18
数学 八年级 上册练 习
计算：
1 b x - 1 x + 2
( 1 ) + ； ( 2 ) - ；
2ab 4a 2 x 2 - 4 x 2 - 4x + 4
( ) ( ) ( )
a + 1 1 - a a + 1 m 2m 1
( 3 ) + · ； ( 4 ) - ÷ 1 - .
a - 1 a + 1 a m - 1 m - 1 m + 1
-
习 题 10 4
巩 固
1. 通分：
1 2 3 2
( 1 ) ， ； ( 2 ) ， ；
2x 3y 2bc 5c 2
1 1 1 1
( 3 ) ， ； ( 4 ) ， .
a ( x - y ) b ( y - x ) b - a a 2 - b 2
2. 通分：
1 1 a b
( 1 ) ， ； ( 2 ) ， ；
x 2 - 2x + 1 x 2 - 1 a 2 - b 2 a 2 + 2ab + b 2
x + 2y x - y a - 2b a + b
( 3 ) ， ； ( 4 ) ， .
x 2 - y 2 2x 2 - 4xy + 2y 2 a 2 - 4ab + 4b 2 a 2 + 2ab + b 2
3. 计算：
x - y x + y a - 1 a + 2
( 1 ) - ； ( 2 ) + ；
a a 3ab 3ab
3x - 1 x + 2 a + b 2a
( 3 ) + ； ( 4 ) + .
2x - 3 3 - 2x a - b b - a
4. 计算：
3 5 x 3
( 1 ) + ； ( 2 ) - ；
a + b a x - 3 x + 3
4a 3a a b 2a 2
( 3 ) - ； ( 4 ) - - .
5 ( a - 3 ) 2 ( a - 3 ) a - b a + b a 2 - b 2
5. 计算：
x - 1 ( 1 ) a b a 2 + b 2
( 1 ) ÷ 1 - ； ( 2 ) - - ；
x x b a ab
19
第十章 分式x 2 + 1 x - 2 x - 2 a 2 + 3a a + 3 2
( 3 ) - ÷ ； ( 4 ) ÷ - .
x 2 - 1 x - 1 x a 2 + 1 + 2a a + 1 a + 2
提 升
1. 某工程队要修一条长 a km 的公路，原计划平均每天修 x km . 实际施工时，
每天比原计划多修了 4 km，结果提前完成了任务 . 请你用代数式表示提前
了多少天.
2. 求代数式的值：
( a + 1 5 a + 3 ) 3 1
- - ÷ ，其中a = - .
2a - 2 2a2 - 2 2a + 2 4a - 4 2
1 1 2x + 3xy + 2y
3. 已知 + = 3，求 的值.
x y x - 2xy + y
拓 展
1. 观察下列各式：
2 × 2 = 4， 2 + 2 = 4；
3 9 3 9
× 3 = ， + 3 = ；
2 2 2 2
4 16 4 16
× 4 = ， + 4 = ；
3 3 3 3
5 25 5 25
× 5 = ， + 5 = ；
4 4 4 4
……
从以上左右两组式子中，你能发现什么规律？用含有字母 n的代数式表示出
来，并验证你发现的规律是否正确.
2. 分子为 1 的真分数叫作“单位分数”，我们注意到某些真分数可以写成两个
5 1 1
单位分数的和，例如： = + .
6 2 3
7
( 1 ) 把 写成两个单位分数的和.
12
13
( 2 ) 研究真分数 ，对于某些 x 的值，它可以写成两个单位分数的和，例
x
13 1 1 13
如当 x = 42 时， = + . 你还能找出多少个 x 的值，使得 可以
42 6 7 x
写成两个单位分数的和？
20
数学 八年级 上册三、 分式方程
10.5
分式方程
1. 分式方程及其解法
：对于章前页中的问题，如果长方形花坛的面积 100 m 2 不变，把原
问题
4
长延长5 m后，宽变为原来的 ，那么原长是多少米？你能通过列方程解决吗？
5
已知长方形的面积为100 m 2.
( 1 ) 如果原长为x m，那么原宽为 m.
( 2 ) 如果把原长延长 5 m，那么现在的长为 m. 现在的宽可以有
几种表示方法？
100 4 100
由此我们可以得到 = × . ①
x + 5 5 x
思 考 与 交 流
方程①与我们以前所学过的方程有什么不同，它还是一元一次方程吗？
方程①不是整式方程，因为在方程里含有分式 . 这种分母里含有未知数的
方程叫作 .
分式方程
探 索
类比一元一次方程的求解过程来研究分式方程的解法.
解下列方程：
x - 1 x + 1 x + 1 1
( 1 ) + = 1； ( 2 ) - = 1 .
2 3 x - 1 x
x - 1 x + 1
：( 1 ) + = 1 .
解 2 3
在方程两边都乘6，去分母，得
3 ( x - 1 ) + 2 ( x + 1 ) = 6 .
21
第十章 分式整理，得
5x = 7.
即
7
x = .
5
7
所以原方程的解是x = .
5
x + 1 1
( 2 ) - = 1 .
x - 1 x
在方程两边都乘x ( x - 1) ，去分母，得
x ( x + 1) - ( x - 1) = x ( x - 1) .
整理，得
x = - 1 . x = - 1是不是原方
程的解呢？
把 x = - 1分别代入原方程的左、右两边检验：
-1 + 1 1
因为左边 = - = 1，右边 = 1，
-1 - 1 - 1
所以左边 = 右边.
所以原方程的解是x = - 1 .
思 考 与 交 流
1. 上面两个方程的求解过程中，去分母时所乘的式子有什么不同？
2. 解整式方程和解分式方程有什么相同点和不同点？解分式方程的
步骤是什么？
解下列方程：
例1
x 2 x x - 1 10
( 1 ) - = 1 ； ( 2 ) - = .
x - 1 x + 1 x - 2 x + 3 ( x - 2) ( x + 3)
：( 1 ) 在方程两边都乘 ( x - 1) ( x + 1)，去分母，得
解
x ( x + 1) - 2 ( x - 1) = ( x - 1) ( x + 1) .
解这个方程，得
x = 3 .
检验：当 x = 3 时，方程左、右两边相等，所以 x = 3 是原方程的解.
所以原方程的解是x = 3.
22
数学 八年级 上册( 2 ) 在方程两边都乘 ( x - 2) ( x + 3)，去分母，得
x ( x + 3 ) - ( x - 1 ) ( x - 2 ) = 10 .
解这个方程，得
x = 2.
检验：当x = 2时，最简公分母( x - 2 ) ( x + 3 ) = 0， 这个步骤可以省略
吗？为什么要检验？
原方程中的分式无意义.所以原方程无解 .
练 习
1. 解下列方程：
4 1 100 4 100
( 1 ) = ； ( 2 ) = × .
x - 4 x + 3 x + 5 5 x
2. 解下列方程：
x - 1 2 6 x + 5
( 1 ) - = 1； ( 2 ) - = 0 .
x + 3 x - 1 x - 1 x 2 - x
2. 可化为一元一次方程的分式方程的应用
某科技公司生产了 A 型、B 型两种芯片，它们的
例 2
数量相同，但单价和总价不同 . 已知 A 型芯片总价为 168 万
元；B 型芯片总价为 114 万元，且单价比 A 型芯片便宜了
4 500元. 问A型、B型两种芯片的单价各是多少万元.
：如果设A型芯片的单价为x万元，那么B型芯片的单价为 ( x - 0.45 )
分析
万元，数量 = 总价 ÷ 单价. 请把表10 - 1中的空白处填写完整.
表10 - 1
单价 / 万元 总价 / 万元 数量 / 个
168
A型芯片 x
x
B型芯片 x - 0.45 114
：设 A 型芯片的单价为 x 万元，则 B 型芯片的单价为 (x - 0.45) 万元，
解
根据题意，得
168 114
= .
x x - 0.45
23
第十章 分式解这个方程，得
x = 1.4.
经检验，x = 1.4是所列方程的解，并且符合实际问题的意义.
当x = 1.4时，有
x - 0.45 = 0.95 .
答：A型芯片的单价为1.4 万元，B型芯片的单价为0.95万元.
为了缓解交通拥堵压力，某市决定修一条轻轨铁路 . 为使工程提前
例 3
2 个月完成，在保证质量的前提下，必须把工作效率提高 10%. 问原计划完成
这项工程需要用多少个月.
：工作效率 = 工作总量 ÷ 工作时间，此题中工作总量可用单位1表示.
分析
1
：设原计划完成这项工程需要用 x 个月，那么原工作效率为 ；实际上
解 x
1
要用( x - 2) 个月完成，则实际工作效率为 . 根据题意，得
x - 2
1 1
( 1 + 10% )· = .
x x - 2
即
11 1
= .
10x x - 2
解这个方程，得
x = 22.
经检验，x = 22是所列方程的解，并且符合实际问题的意义.
答：原计划完成这项工程需要用22个月.
学校组织同学们到距离学校
例 4
15 km 的中国人民抗日战争纪念馆进行
爱国主义教育 . 一部分同学骑自行车前
往，另一部分同学在骑自行车的同学出
发 40 min 后，乘汽车沿相同路线行进，
结果骑自行车的同学与乘汽车的同学同
时到达目的地 . 已知汽车速度是自行车
速度的3倍，求自行车和汽车的速度.
：设自行车的速度是 x km / h，则汽车的速度是3x km / h .
分析
24
数学 八年级 上册时间 = 路程 ÷ 速度. 请填写表10 - 2：
表10 - 2
路程 / km 速度 / ( km / h ) 时间 / h
骑自行车
乘汽车
因为骑自行车的同学出发40 min 后，乘汽车的同学才出发，并且同时到达
2
目的地，这说明行驶15 km，汽车比自行车少用 h.即
3
2
自行车行驶15 km所用的时间 - 汽车行驶15 km所用的时间 = h.
3
：设自行车的速度是 x km / h，则汽车的速度是 3x km / h. 根据题意，得
解
15 15 2
- = .
x 3x 3
去分母，得
45 - 15 = 2x .
解得
x = 15 .
经检验，x = 15是所列方程的解，并且符合实际问题的意义 .
当x = 15时，3x = 3 × 15 = 45 .
答：自行车的速度为15 km / h，汽车的速度为45 km / h.
练 习
1. 小明和小亮练习汉字录入. 小明比小亮每分钟多录入20个汉字，小明
录入300个汉字与小亮录入200个汉字的时间相同. 问小明、小亮每分
钟各录入多少个汉字.
2. 甲、乙两火车站相距 1 280 km，采用“和谐”号动车组提速后，列车
的行驶速度是原来的 3.2倍，从甲站到乙站的运行时间缩短了 11 h，求
列车提速后的速度.
3. 公式的变形
在工程技术和数学、物理、化学等学科中，经常要用到各类公式. 在应用
25
第十章 分式时，又常常要对公式作相应的变形 . 例如：s = vt ( s 表示路程，v 表示速度，t
表示时间)是行程问题中的常用公式，它常变形为
s s
v = ，t =
t v
的形式 .
在海洋馆中漫步“海底世界”，欣赏
例 5
各种海洋生物的同时，你是否注意到水中气泡
p p
大小的变化？这可以粗略地用公式 1 = 2 来
V V
2 1
解释，其中 p ，p 表示气泡内气体的压强，V ，
1 2 1
V 表示气泡内气体的体积，p ，p ，V ，V 均
2 1 2 1 2
不等于零. 试用p ，V ，V 表示p .
1 1 2 2
p p
： 1 = 2 ，
V V
解 2 1
去分母，得
p V = p V .
1 1 2 2
又因为V ≠ 0，所以
2
p V
p = 1 1 .
2 V
2
思 考 与 交 流
p p p V
把公式 1 = 2 变形为 p = 1 1 的过程是否可以看作是解方程的
V V 2 V
2 1 2
过程？如果可以，它和我们解过的方程有什么区别？
在家庭电路中，避免过多家用电器同时工作是保证用电安全的措施
例 6
1 1 1
之一. = + 是电学中的一个公式，表示并联电路中，有两个支路时电
R R R
1 2
路的总电阻与各支路电阻的关系，其中 R 表示并联电路的总电阻，R ，R 表示
1 2
并联电路中各支路的电阻.
( 1 )用R ，R 表示R；
1 2
( 2 )当R = 1.36，R = 2.47时，求R的值( 结果精确到0.01 ).
1 2
26
数学 八年级 上册：( 1 ) 因为R，R ，R 均不等于零，去分母，得
1 2
解
R R = RR + RR ，
1 2 2 1
R ( R + R ) = R R .
1 2 1 2
又R + R ≠ 0，所以
1 2
R R
R = 1 2 .
R + R
1 2
( 2 )当R = 1.36，R = 2.47时，
1 2
1.36 × 2.47
R = .
1.36 + 2.47
用计算器计算：
1. 36 2. 47 1. 36
× ÷ （ ＋
2. 47 enter
0.877075718
所以当R = 1.36，R = 2.47时，R ≈ 0.88.
1 2
练 习
1
已知梯形的面积公式S = ( a + b ) h.
2
( 1 )用含a，b，S的代数式表示h；
( 2 )当a = 1.08，b = 3.15，S = 5.18时，求h的值( 结果精确到0.01 ).
-
习 题 10 5
巩 固
1. 请你举例说明分式运算与解分式方程有哪些异同.
2. 解下列分式方程：
3 2 2x 4
( 1 ) = ； ( 2 ) + = 1；
x + 2 3 - x x - 2 2 - x
x 2 3 2x
( 3 ) - 1 = ； ( 4 ) + = 2 .
x - 1 x x - 1 x + 1
3x - 1 6x + 1
3. 当x为何值时，分式 与 的值相等？
x + 1 2x + 1
27
第十章 分式2x + 9 2
4. 如果代数式 - 的值为2，求x 的值.
x + 3 x - 3
5. 甲、乙两地相距 480 km，货车与客车同时从甲地出发开往乙地 . 已知客车
的速度是货车的 1.2 倍，结果客车比货车早 64 min 到达乙地，求两种车的
速度各是多少.
6. 某校准备购买同样台数的 A 型和 B 型图形计算器 . 已知 A 型图形计算器的
单价比B型图形计算器的单价高50元，购买A型图形计算器花了22 500元，
购买 B 型图形计算器花了 22 000 元 . 请你帮忙计算一下 A，B 两种图形计
算器的单价各是多少.
7. 小明与小亮进行计算机的汉字录入 . 已知小明比小亮每小时少录入 200个汉
字，小明录入 10 000 个汉字与小亮录入 11 000 个汉字所需的时间相同 . 问
小明、小亮每小时各录入多少个汉字.
8. 执行飞行表演任务的一组飞机沿同一方
向水平飞行 . 初始以速度 v 匀速飞行到
0
集结点，然后以加速度 a 加速飞行到目
标点 . 以集结点为起点，在这个加速过
程中的任意时刻 t，飞机飞行的路程 s 可
1
以表示为s = v t + at 2 ( t ≠ 0) . ( 第8题 )
0 2
( 1 )请用s，a，t 表示v ；
0
( 2 )请用s，v ，t表示a.
0
9. 某种弹簧测力计原来的长度为 l ，悬挂重物后的长度 L 可以用公式 L = l +
0 0
m
表示，其中m 是悬挂物的质量，k是常数.
k
( 1 )用L，l ，k 表示m；
0
( 2 )用L，l ，m表示k；
0
( 3 )当L = 25 ，l = 10，m = 20时，求k的值 .
0
提 升
1. 一个两位数，个位、十位上的两个数字之和为 12. 如果把它的两个数字的位
置交换，得到的新数与原数的比是4∶7，求原来的两位数.
2. 学校要举办运动会，小明非常热心地帮助班级购买运动会所需物品 . 如图，
小明家到学校的路程是 0.5 km，到商店的路程是 3 km. 小明原来是步行上
28
数学 八年级 上册学，今天他需要骑自行车从家出发到商店购买物品，10 min 后再骑自行车
去学校. 已知小明骑自行车的速度是他步行速度的 3倍，今天上学要比他平
时步行上学多用30 min，求小明的步行速度和骑自行车的速度各是多少.
商店 小明的家 学校
( 第2题 )
b x
3. 解关于 x 的方程： + 1 = ，其中a ≠ b.
x + a x - a
拓 展
1. 阅读下列解题过程，回答问题.
1 4x 2
解方程 + = .
x + 2 ( x + 2 ) ( x - 2 ) x - 2
解：方程两边都乘( x + 2 ) ( x - 2 )，得
1 4x 2
( x + 2) ( x - 2) + = · ( x + 2 ) ( x - 2 ) . …………… ( A )
x + 2 ( x + 2 ) ( x - 2 ) x - 2
化简，得
( x - 2 ) + 4x = 2 ( x + 2 ) . …………………………………………………………… ( B )
去括号、移项，得
x + 4x - 2x = 2 + 4 . ………………………………………………………………… ( C )
解这个方程，得
x = 2 . ……………………………………………………………………………… ( D )
∴ x = 2 是原方程的解. ………………………………………………………… ( E )
( 1 ) 上述过程是否正确？
( 2 ) 如果有错误，错在哪一步？
( 3 ) 该步错误的原因是什么？
( 4 ) 请将该步改写正确.
2. 观察一列数：0，3，8，15，24，35，…. 设x是这列数的第1 000个数，且x
( ) ( )
1 1
满足M = x 1 - - 1 ，试求M + 1 000 2的值.
1 - x x 2
29
第十章 分式3. 探索并解决问题.
【 计算】
请你计算下列算式，观察并归纳其中的规律：
1
( 1 ) = ；
1 × 2
1 1
( 2 ) + = ；
1 × 2 2 × 3
1 1 1
( 3 ) + + = ；
1 × 2 2 × 3 3 × 4
1 1 1 1
( 4 ) + + + = .
1 × 2 2 × 3 3 × 4 4 × 5
【 归纳】
1
= - .
n ( n + 1 )
这个结果与上面的计算有什么联系吗？
【 应用】
（1）计算：
1 1 1
+ + + … +
n ( n + 1 ) ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 2 ) ( n + 3 )
1
；
( n + 999 ) ( n + 1 000 )
（2）解分式方程：
1 1 1
+ + = 1 .
x - 2 ( x - 2 ) ( x - 3 ) ( x - 3 ) ( x - 4 )
探究学习
调日法与糖水的味道
背景：何承天 ( 370—447 ) 是我国历史上南北朝时期一位杰出的天文
学家，其主要贡献在于编撰了《元嘉历》，开创了利用圭表测影之先河，
对祖冲之 ( 429—500 ) 等后人都有深刻的影响 . 更重要的是，何承天发
明了一种程序化寻找精确分数以表示天文数据或数学常数的方法——调
30
数学 八年级 上册日法 . 国外首次使用这一方法的，是公元 15 世纪的法国数学家休凯 ( N.
Chuquet，约1445—1500 ).
在调日法中，用到了一个分式不等式，为了便于理解，我们先从生
活中的实例来认识它.
实例：如果有两杯糖水，一杯糖水味道很淡，另一杯糖水味道很甜，
那么把这两杯糖水混合在一起，味道如何呢？混合糖水的味道肯定介于
原来两杯糖水的味道之间.
模型：为了便于描述糖水的甜度α，不妨设：
m
α = 糖 ．
m
水
如果两杯糖水中糖的质量分别为 a，c，水的质量分别为 b，d，这样，原
a c
来两杯糖水的甜度 α 和 α 分别可以用 ， 表示 . 那么混合后糖水的甜
1 2 b d
度α应如何表示呢？
于是，我们便得到了下面这个关于分式不等式的命题．
a c a a + c c
如果 < ，那么 < < .
b d b b + d d
( a，b，c，d均为正整数 )
该如何证明这个命题是真命题呢？
提示：证明关于不等式的命题，可以采用作差的方法 ( 由不等式的
基本性质可知：a < b a - b < 0，a > b a - b > 0 )，再结合分式的知识，
就可以证明这个命题了.
进一步，这个不等式可以推而广之：
a c a ma + nc c
如果 < ，那么 < < .
b d b mb + nd d
( a，b，c，d，m，n均为正整数 )
解读：有了上述分式不等式，就可以使用调日法了 . 这是一种分
数插入法．设正数x的不足近似值( 弱率 )和过剩近似值( 强率)分别为
a c a c a + c
和 ( a，b，c，d均为正整数 )，即 < x < ，则 是x的更精确的
b d b d b + d
不足近似值或过剩近似值. 重复这个过程，就会得到越来越逼近x的分数.
应用：祖冲之把圆周率的近似值的计算精度推到了时代的高峰，即
3.141 592 6 < π < 3.141 592 7．
31
第十章 分式22 355
并得到近似分数 和 ，分别称之为约率和密率. 祖冲之计算圆周率以及
7 113
近似分数的方法已经失传. 一般学者认为他是用刘徽的割圆术求得的圆周
率. 由吴文俊( 1919—2017 ) 主编的《中国数学史大系》一书，对祖冲之
的研究进行了多方考证和分析后，认为祖冲之可能是借助何承天的调日法
求得约率和密率的. 我们不妨用何承天的调日法，探求约率和密率.
为取得 π 的分数形式近似表示，取 π 的不足近似值 3 为弱率，过剩
近似值4为强率，则
3 4
由 < π < ，
1 1
3 + 4 7
取π = = = 3.5 > π，以为强率；
1 1 + 1 2
3 7
由 < π < ，
1 2
3 + 7 10
取π = = = 3.333… > π，以为强率；
2 1 + 2 3
3 10
由 < π < ，
1 3
3 + 10 13
取π = = = 3.25 > π，以为强率；
3 1 + 3 4
……
3 5×3 + 4 19
由 < π < = ，
1 5×1 + 1 6
6×3 + 4 22
取π = = ≈ 3.142 857 143.
6 6×1 + 1 7
于是得到祖冲之的约率，这是一个过剩近似值.
再以π 为强率，则
6
3 22
由 < π < ，
1 7
3 + 1×22 25
取π = = = 3.125 < π，以为弱率；
7 1 + 1×7 8
25 22
由 < π < ，
8 7
25 + 22 3 + 2×22 47
取π = = = = 3.133 3… < π，以为弱率；
8 8 + 7 1 + 2×7 15
32
数学 八年级 上册……
3 + 15×22 333 22
由π = = < π < ，
21 1 + 15×7 106 7
3 + 16×22 355
取π = = ≈ 3.141 592 920.
22 1 + 16×7 113
于是得到祖冲之的密率，这是祖冲之的一项重要创造. 在欧洲，有人
称圆周率的这个近似值为“安东尼兹率”，实际上它比祖冲之求得的密率晚
355
了约1 100年. 所以称 为“祖率”是名副其实的.
113
数 学 文 化
阅读理解
华罗庚谈“知识、学识、见识”
下面是著名数学家华罗庚 ( 1910—1985 ) 写的一篇文章的节选，文
章名为《学与识》，出自 1962 年第 12 期《中国青年》. 虽然时隔半个
多世纪，但是依然历久弥新，请你读后与同学交流自己的感受.
人们认识事物有一个由感性认识到理性认识的过程，学习和从事
科学研究，也有一个由“知”到“识”的过程. 我们平常所说的“知识”“学
识”“见识”这几个概念，其实都包含了这方面的意思，反映了认识事
物的两个阶段. “知识”是先知而后识，“学识”是先学而后识，“见识”
是先见而后识 . 知了，学了，见了，这还不够，还要有个提高过程，
即识的过程 . 因为我们要认识事物的本质，达到灵活运用，变为自己
的东西，就必须知而识之，学而识之，见而识之，不断提高. 孔子说：
“学而不思则罔，思而不学则殆 . ”这句话的意思是说，只学，不用心
思考，结果是毫无所得；不学习，不在接受前人成果的基础上去思考，
也是很危险的 . 学和思，两者缺一不可 . 我们不仅应该重视学，更要
把所学的东西上升到识的高度 . 知、学、见是识的基础，而识则是知、
学、见的更高阶段 . 由知、学、见到识，是毛主席所指出的“去粗取
精、去伪存真、由此及彼、由表及里”的过程，非如此，不能进入认
识的领域. 一般来说，衡量知、学、见是用广度，好的评语是广，是博；
衡量识是用深度，好的评语是深，是精 . 因而，我们对知识的要求是
33
第十章 分式既要有广度，又要有深度，广博深精才是对知识丰富的完好评语 . 一
个人所知、所学、所见的既广博，理解的又深刻，才算得上是一个有
知识、有学识、有见识的人.
从“知”“学”“见”到“识”，并不是一次了事的过程，而是不断
提高的过程 . 今天认为有些认识了的东西，明天可能发现自己并未了
解，也许竟把更内在、更实质的东西漏了 . 同时，在知、学、见不断
扩充的过程中，只要我们有“求知欲”，我们的认识就会不断提高，而“识”
的提高又会加深对知、学、见的接受能力，两者相辅相成，如钱塘怒潮，
一浪推着一浪前进，后浪还比前浪高.
回顾与整理 关 注 联 系
本章是“数与代数”领域中“数与式”和“方程与不等
式”主题的主要组成部分 . 在前面学习了整式的四则运算、多
项式的因式分解，以及一元一次方程的解法等知识的基础上，
进一步认识分式，学习与分式有关的知识，研究分式的概念，
通过与分数类比得出分式的基本性质和四则运算法则，并用分
式的有关知识解决可化为一元一次方程的分式方程的解法、公
式变形以及简单的实际问题等 . 在分式的运算中，类比有理
数、整式的运算，理解运算法则、运算方法与运算律的关系，
提升运算能力 . 通过利用分式方程解应用题的学习，进一步理
解方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型，培养分析问题
和解决问题的能力，提高数学的应用意识.
聚 焦 基 础
分式 最简分式 分式有意义的条件 分式值为零的条
件 分式的基本性质 约分 通分 最简公分母 分式乘除
法的运算法则 分式乘方的运算法则 分式加减法运算法则
分式方程
34
数学 八年级 上册明 确 要 求
1. 了解分式和最简分式的概念，类比分数的基本性质，掌
握分式的基本性质，能利用分式的基本性质进行约分和通分.
2. 掌握分式四则运算的性质，能进行简单的分式加、减、
乘、除运算.
3. 掌握可以化为一元一次方程的分式方程的解法，并掌握
验根的方法；会对简单公式进行变形.
4. 列分式方程解应用题，进一步理解方程是刻画现实世界
的一个有效的数学模型.
深 入 思 考
1. 你能复述“聚焦基础”中每一个知识的具体内容吗？
2. 你能举出一个符合某个概念的例子吗？
3. 你能在教科书的例题或练习中找到符合“明确要求”中
的某一条的示例吗？如果找不到，你能编写一个示例吗？
4. 你能发现本章所学知识的内在联系，并用画图的方法显
示出来吗？
复 习 题
巩 固
1. 选择：
x ( x + 2 )
( 1 ) 如果分式 的值为零，那么x的值是 ( ) .
x
A. 0 B. 2
C. - 2 D. - 2 或0
( 2 ) 下列分式中，最简分式是 ( ) .
2x + 4 x + y
A. B.
6x + 8 x 2 - y 2
x 2 - y 2 x + y
C. D.
x 2 - 2xy + y 2 x 2 + y 2
35
第十章 分式a + b
( 3 ) 化简分式 的结果为 ( ) .
b2 - a2
1 1
A. B. -
a - b a - b
C. b - a D. - b - a
2. 当 x 取何值时，下列各式有意义？
x x 2 - 1
( 1 ) ； ( 2 ) .
2x - 1 x 2 + 2x + 1
3. 计算：
1 1 1 1
( 1 ) + ； ( 2 ) - ；
2a 3b n + 1 n + 2
b a a 1 a 2 2
( 3 ) - + ； ( 4 ) - - .
2a - b b - 2a 2a - b a + 1 a 2 - 1 1 - a 2
4. 计算：
( 1 1 ) ( 1 ) a 2 + 2a
( 1 ) ( x 2 - 9 ) - - 1 ； ( 2 ) 1 - ÷ .
x + 3 x - 3 1 - a a 2 - 2a + 1
5. 先化简，再求值：
( a - 2 a - 1 ) a - 4
- ÷ ，其中a = - 1 .
a 2 + 2a a 2 + 4a + 4 a + 2
6. 解下列方程：
x + 1 6 5x - 4 2x + 5 1
( 1 ) - = 1； ( 2 ) + = .
x - 1 x 2 - 1 2x - 4 6 - 3x 2
7. 把下列公式按要求进行变形：
( 1 ) 已知V = abc，求a；
r ·r
( 2 ) 已知R = 1 2 ，求r .
r + r 2
1 2
8. 在公式A = πr ( r + L ) 中，所有字母均不等于零，试用代数式表示L .
9. 学校要建两个计算机教室，为此要购买相同数量的A，B 型计算机 . 已知 A
型机比 B 型机每台便宜 400 元，购买 A 型机需用 22.4 万元，购买 B 型机需
用24万元，那么购买A，B型计算机每台各需多少元？
10. A，B 两地相距 50 km . 甲骑自行车从 A 地出发 1.5 h 后，乙骑摩托车从 A
地出发追赶甲. 已知乙的速度是甲的速度的2.5 倍，且乙比甲早1 h 到达 B
地，求甲、乙的速度.
36
数学 八年级 上册提 升
1. 选择：
( 1 ) 下列各式中，一定成立的是( ) .
- a + b a - b - a + b a - b
A. = B. =
a - b a + b a + b - a + b
- a + b a - b - a + b a + b
C. = D. =
a + b - a - b a + b a - b
( 2 ) 下列分式中，无论x取何值，一定有意义的是( ) .
x - 1 x + 1
A. B.
x + 1 x 2
x - 1 1
C. D.
x 2 + 1 | x | - 1
2. 解下列方程：
6x + 12 4 - x 2 x 2
( 1 ) + = ；
x 2 + 4x + 4 x 2 - 4x + 4 4 - x 2
1 2 3
( 2 ) + + = 0.
x 2 - 2x - 3 x 2 - x - 6 x 2 + 3x + 2
3x - 9 A B C
3. 已知 = + + . 试求A，B，C的值.
( x 2 - 1 ) ( x - 2 ) x - 1 x + 1 x - 2
4. 甲、乙二人分别从相距 36 km 的 A，B 两地同时出发，相向而行，甲从 A 地
出发 1 km 后发现有物品遗忘在 A 地，便立即返回，取了物品后立即从A 地
向 B 地行进，这样甲、乙恰在 A，B 两地的中点相遇 . 如果甲每小时比乙多
行0.5 km，求甲、乙二人的速度各是多少.
拓 展
m m + 1
1. 试比较 与 (m，n是正整数)的大小.
n n + 1
2. 阅读下列材料：
( ( ) ( )
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
∵ = 1 - ， = - ， = - ，
1 × 3 2 3 3 × 5 2 3 5 5 × 7 2 5 7
……
( )
1 1 1 1
= - ，
2 003 × 2 005 2 2 003 2 005
1 1 1 1
∴ + + + … +
1 × 3 3 × 5 5 × 7 2 003 × 2 005
37
第十章 分式( )
1 1 1 1 1 1 1 1
= 1 - + - + - + … + - .
2 3 3 5 5 7 2 003 2 005
解答下列问题：
1 1 1
( 1 ) 在和式 + + + …中，第5项为 ，第n项为 .
1 × 3 3 × 5 5 × 7
上述求和的想法是：通过运用 法则，将和式中的各分数转化为
两个数之差，使得除首、末两项外的中间各项可以 ，从而达到
求和目的.
( 2 ) 利用上述结论计算：
1 1 1 1
+ + + … + .
x ( x + 2 ) ( x + 2 ) ( x + 4 ) ( x + 4 ) ( x + 6 ) ( x + 2 004 ) ( x + 2 006 )
3. 甲、乙二人在公园健身步道起点同时进行
健走运动，他们沿着一个方向到同一个终
点 . 甲一半路程以速度 a 行走，另一半路
程以速度 b 行走；乙一半时间以速度 a 行
走，另一半时间以速度 b 行走 . 起点到终
点的路程为s.
( 1 ) 试分别表示甲、乙二人到达终点所需
( 第3题 )
时间t ，t .
1 2
( 2 ) 谁先到达终点？
38
数学 八年级 上册1.414213562373095048801688724209698
0
7
8
5
2
1
2
644121497099935831413222665927505
5
9 2
7
6
9
6
7
1
1 7 3 7 0 5 8 5 5 0 6 3 8 4 2 9 4 2 0 7 9 2 2 1 9 0 3 2 6 4 8 3 1 1 7 8 0 3 4 8 4 0 3 2 9 2 3 2 0 5 5 9 0 6 8 9 1 9 5 8 8 0 4 6 8 1 4 7 3 1 1 0 7 5 7 8 1 3 5 7 3 3 4 0 1 2 2 2 5 7 5 5 3 3 8 5 9 2 7 1 7 6 2 9 9 8 1 7 8 1 6 6 5 6 9 5 2 1 1 1 3 4 3 6 4 8 5 7 5 1 7 0 8 5 5 5 1 2 6 7 8 4 4 5 0 6 4 5 5 1 7 4 7 3 8 4 5 1 8 1 8 5 3 3 4 1 8 7 7 6 7 0 2 9 0 7 4 3 2 0 4 2 5 1 6 2 6 9 0 7 3 7 9 4 4 9 6 3 3 2 9 7 0 8 8 3 9 3 8 8 5 4 0 0 1 7 0 2 9 5 2 6 9 6 3 6 731 1 3188 3 6 6 36 9 9 4 27 2 054 5 7 5 01 1 4 8 6 6 4 3 1 63 8 9 6 2 97 9 6 527 7 0548 0 5 8 638 6 0 68 0 0 96 6 5 38 7 1 0 4 1 6 7 5 1 9 01 4 741 3 3 4 6 968 2 6 6 2 4 81 8 2 9 8 0 1 37 9 70 1 5 4 8 9 1 0 8 5 0 6 0 2 1 4 1 5 8 1 4 7 4 7 7 3 0 3 8 1 6 3 6 3 2 5 5 5 8 6 3 7 5 3 9 7 7 0 7 9 3 0 8 4 5 8 6 6 0 5 2 9 2 8 3 2 9 2 0 2 8 1 6 8 8 8 4 5 6 8 0 4 0 8 3 9 5 5 0 4 1 0 4 0 6 0 1 2 5 1 0 9 8 0 2 8 4 8 2 8 2 4 2 3 1 2 7 3 0 4 6 4 7 8 4 0 5 7 2 4 7 1 5 6 9 8 7 5 3 8 0 8 4 0 2 5 9 1 5 5 421 9 4 5 2 0 8 5 3 9 7 1 4 1202 5 2 1 6 4944 7 1 8 4 0 3 9 4 0 1 8 7 227 7 3 70 8 0 2 9 22 8 1 69 4 41 5 2 0 1 0 27 4 57 4 36 7 2 2 9 7 826 4 30 6 6 1 3 3 2 00 7 59 2 2 4 7 8 8 4 5870 5 4 5 0 4 0 0 31 7 3 2 0 1 4 5 8 6 5 8 2 0 3 8 0 2 1 3 5 6 2 2 0 5 7 5 5 8 3 4 7 4 9 8 2 0 2 5 8 8 4 5 8 5 0 3 9 2 6 6 4 8 1 6 1 6 1 7 2 4 8 9 4 9 8 8 7 2 7 1 1 5 4 4 9 9 5 9 9 7 0 3 6 0 9 8 9 0 0 5 2 4 8 0 1 5 0 7 3 0 5 5 4 9 0 3 4 0 2 7 7 9 8 1 9 6 6 8 7 0 2 5 3 6 3 9 6 1 5 4 6 3 0 7 3 1 8 0 7 8 8 2 2 9 6 4 0 0 6 9 5 5 7 9 9 9 9 1 5 0 5 0 1 1 5 5 2 7 2 8 2 0 6 0 5 5 7 1 4 6 7 0 1 0 9 4 8 8 7 5 3 7 6 9 4 7 8 0 7 3 1 7 6 6 4 7 9 7 3 7 9 9 2 0 7 3
2
=
0.5
第十一章 355
113
实数和二次根式 22
1
7
3
边长为2的正方形的面积是4，面积为2的正方形的边长是多少呢？
棱长为2的正方体的体积是8，体积为2的正方体的棱长是多少呢？
我们已经学习了有理数的加、减、乘、除、乘方五种运算，其中减法是加
法的逆运算，除法是乘法的逆运算. 乘方有没有逆运算呢？
本章我们一方面从乘方的逆运算入手，学习平方根、立方根、无理数，将
数的范围从有理数扩充到实数；另一方面，系统研究二次根式的概念和运算，
将代数式的范围进一步扩大.一、 实数
11.1
平方根
探 索
你能将两个边长为 1 个单位长度的正方形纸片剪一剪、拼一拼，得
到一个面积为2的正方形吗？
如果设新的正方形的边长为 x，那么 x 满足什么条件？你能求出 x
的值吗？
1. 平方根
面积为 2 的正方形的边长是多少呢？这个问题的实质就是要找一个正数，
使这个数的平方等于2.
思 考 与 交 流
如果x 2 = 4，那么 x = ；
16
如果y 2 = ，那么y = ；
25
如果z 2 = 0，那么 z = .
一般地，如果一个数x的平方等于a，那么这个数x就叫作a的 . 也
平方根
就是，如果x 2 = a，那么x叫作a的平方根.
4 4 16
实际上，只有2和- 2的平方等于4，只有 和 - 的平方等于 . 特别地，
5 5 25
16 4 4
0的平方才是0. 于是，4的平方根是2和- 2， 的平方根是 和 - . 特别地，
25 5 5
0的平方根是0.
求一个数的平方根的运算叫作 . 开平方与加、减、乘、除、乘方一
开平方
样，是一种运算，它的运算结果是平方根.
40
数学 八年级 上册求下列各数的平方根：
例1
25
( 1 ) 81； ( 2 ) ； ( 3 ) 0.09 .
16
：( 1 ) 因为9 2 = 81，( - 9 ) 2 = 81，所以81的平方根是9和- 9，也可以说，
解
81的平方根是 ± 9.
(
5
)2
25 25 5
( 2 ) 因为 ± = ，所以 的平方根是 ± .
4 16 16 4
( 3 ) 因为( ± 0.3 ) 2 = 0.09，所以0.09的平方根是 ± 0.3.
由此可知，开平方与平方互为逆运算.
思 考 与 交 流
我们所学过的数都有平方根吗？如果有，有几个？
我们有如下结论：
正数有两个平方根，它们互为相反数；
零的平方根是零；
负数没有平方根 .
练 习
1. 判断：
( 1 ) 1的平方根是1； ( )
( 2 ) - 1的平方根是- 1； ( )
2 4
( 3 ) - 不是 的平方根； ( )
3 9
( 4 ) 0.2是0.4的平方根. ( )
2. 求下列各数的平方根：
9
( 1 ) 64； ( 2 ) ； ( 3 ) 0.001 6； ( 4 ) ( - 13 ) 2 .
4
2. 算术平方根
正数 a 的正的平方根叫作a 的 ，记作 a ( 读作“二次根号 a” )；
算术平方根
另一个负的平方根是 a 的相反数，即 - a . 因此正数 a 的平方根可以记作
± a ，a叫作 .
被开方数
41
第十一章 实数和二次根式：
规定 0的算术平方根是0.
按要求完成下列问题：
例2
( 1 )求49的正的平方根；
4
( 2 )求 的负的平方根；
9
( 3 )求0.04的算术平方根.
：( 1 )因为( ± 7 ) 2 = 49，所以49的正的平方根是7，即
解
49 = 7.
(
2
)2
4 4 2
( 2 )因为 ± = ，所以 的负的平方根是- ，即
3 9 9 3
4 2
- = - .
9 3
( 3 )因为 ( ± 0.2 ) 2 = 0.04，所以0.04的算术平方根是0.2，即
0.04 = 0.2 .
每个式子表示的意义是什么？
求下列各式的值：
例3
25
( 1 ) 36 ； ( 2 ) ± ； ( 3 ) - ( - 11 ) 2 .
9
：( 1 ) 因为 36 表示36的算术平方根，且6 2 = 36，所以 36 = 6.
解
25 25
(
5
)2
25 25 5
( 2 )因为 ± 表示 的平方根，且 ± = ，所以 ± = ± .
9 9 3 9 9 3
( 3 )因为 - ( - 11 ) 2 表示( - 11 ) 2的负的平方根，又因为( - 11 )2 = 121，所
以 - ( - 11 ) 2 = - 121 = - 11 .
练 习
1. 判断：
( 1 ) - 3是9的平方根； ( )
( 2 ) 9的平方根是- 3； ( )
( 3 ) 4 = ± 2； ( )
( 4 ) ( - 17 ) 2 = - 17. ( )
2. 求下列各数的算术平方根：
9
( 1 ) 16； ( 2 ) ； ( 3 ) 0.64； ( 4 ) 16 .
49
42
数学 八年级 上册3. 求下列各式的值：
1
( 1 ) 100 ； ( 2 ) ( - 5 ) 2 ； ( 3 ) - ( - 5 ) 2 ； ( 4 ) - .
10 000
11.2
立方根
思 考 与 交 流
为了建造一个容积为 343 m 3，形状为正方体的蓄水池，它的棱长应
取多少米？
这个问题的实质就是要找一个数，使这个数的立方等于343.
一般地，如果一个数x的立方等于a，那么这个数x就叫作a的 . 也
立方根
就是，如果 x 3 = a，那么 x 叫作 a 的立方根，记作 3 a ( 读作“三次根号 a”)，
3叫作根指数，a叫作被开方数.
求一个数的立方根的运算叫作 . 开立方的运算结果是立方根.
开立方
求下列各数的立方根：
例1
1
( 1 ) 27； ( 2 ) - ； ( 3 ) - 0.001.
64
：( 1 )因为3 3 = 27，所以3是27的立方根，即
解
3 27 = 3 .
(
1
)3
1 1 1
( 2 )因为 - = - ，所以 - 是- 的立方根，即
4 64 4 64
3
1 1
-
64
= -
4
.
( 3 ) 因为( - 0.1 ) 3 = - 0.001，所以 - 0.1是- 0.001的立方根，即
3- 0.001 = - 0.1.
思 考 与 交 流
1. 我们已经知道，一个正数有两个平方根. 一个正数有几个立方根呢？
2. 我们还知道，负数没有平方根. 负数有立方根吗？
43
第十一章 实数和二次根式我们有如下结论：
正数的立方根是正数；
零的立方根是零；
负数的立方根是负数.
求下列各式的值：
例2
( 1 ) 3 0.001 ； ( 2 ) 3- 8 .
：( 1 ) 3 0.001 表示0.001的立方根，因为0.13 = 0.001，所以 3 0.001 = 0.1.
解
( 2 ) 3- 8 表示 - 8 的立方根，因为( - 2 ) 3 = - 8，所以 3- 8 = - 2.
练 习
1. 判断：
( 1 ) - 2的立方根是 - 8； ( )
1 1 1
( 2 ) 的立方根是 和 - ； ( )
8 2 2
( 3 ) 负数没有立方根； ( )
( 4 ) 如果m的立方根是4，那么 - m的立方根就是- 4. ( )
2. 求下列各数的立方根：
( 1 ) - 1； ( 2 ) 0.512 .
3. 填空：
( 1 ) 3 8 = ，3- 8 = ；( 2 ) 3 64 = ，3- 64 = ；
( 3 ) 3 0.125 = ，3- 0.125 = .
你发现了什么规律？用式子表示出来： .
11.3
用计算器开方
用计算器求下列各式的值：
例
( 1 ) 538.24 ；
( 2 ) 23.7 ( 结果精确到0.000 1 )；
( 3 ) 3- 0.02 ( 结果精确到0.000 1 ) .
44
数学 八年级 上册：( 1 ) 2nd x2 538. 24 enter 23.2
解
所以 538.24 = 23.2.
( 2 ) 2nd x2 23. 7 enter
4.868264578
因为计算结果要精确到0.000 1，所以 23.7 ≈ 4.868 3.
( 3 ) 3 2nd — 0. 02 enter - 0.271441762
（ ）
因为计算结果要精确到0.000 1，所以 3- 0.02 ≈ - 0.271 4 .
练 习
用计算器求下列各式的值：
( 1 ) 0.211 6；
( 2 ) 3 4 096 ；
( 3 ) 2.53 ( 结果精确到0.001 )；
( 4 ) 3- 17.576 ；
( 5 ) 3 317 ( 结果精确到0.001 ) .
11.4
无理数与实数
1. 无理数
我们已经知道，面积等于 2 的正方形的边长为 2 ，体积等于 5 的正方体
的棱长为 3 5 . 2 和 3 5 是有理数吗？
实 践
1. 用计算器计算 2 可以得到 .
2. 用计算器计算：
( 1 ) 1.414 213 2 可以得到 ；
你有什么发现？
( 2 ) 1.414 213 562 2 可以得到 ；
( 3 ) 1.414 213 562 373 2 可以得到 .
45
第十一章 实数和二次根式事实上，没有任何一个有理数的平方等于 2. 把 2 写成小数形式， 2 =
1.414 213 562…，它的小数点后面的位数是无限的，而且是不循环的，它是一
个无限不循环小数.
思 考 与 交 流
3 1 1
6， ， ， 都可以写成小数的形式，它们的小数部分各有什么特点？
5 3 7
有理数都可以用有限小数或无限循环小数表示；反过来，有限小数或无限
循环小数也都是有理数. 由此可见，无限不循环小数不是有理数.
无限不循环小数有很多，类似的还有：
3 = 1.732 050 807…，
3 5 = 1.709 975 946…，
- 53 = - 7.280 109 889…，
……
π = 3.141 592 653… .
无限不循环小数叫作 .
无理数
有理数能用数轴上的点表示，那么无理数呢？
探 索
你能在数轴上找到表示 2 的点吗？
从图11 - 1所示的折纸中( 大正方形纸片的边长
为2 )，你能得到什么启发？
图11 - 1
在图11 - 1中，容易知道，绿色正方形的面积为2，
C B
它的边长为 2 .
因此，边长为1的正方形的对角线的长度为 2 .
我们可以利用这个结果在数轴上作出表示 2的点.
：( 1 ) 在数轴 Ox 上以 1 个单位长度的线段 OA O A D x
作法
为一边作正方形OABC，连接OB； 图11 - 2
46
数学 八年级 上册( 2 ) 在Ox轴上截取线段OD = OB，所以OD = 2 .
点D所对应的数即是 2 ( 图11 - 2 ).
与有理数类似，无理数也可以用数轴上的点表示.
练 习
1. 下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
- 3，0， 16， 355 ， 3， π ， 3 7，1.7，- 0.121 221 222 1… .
113 2
2. “形如 a，3 a 的数是无理数”，这个说法对吗？为什么？
3. 在图形计算器中演示：直径为1个单位长度的圆，在一条直线上从点M
滚动一周到点N. 利用这一演示，你能在数轴上找到表示数π的点吗？
A
B
M N
( 第3题 )
2. 实数
通过求一个数的平方根与立方根，我们认识了无限不循环小数，即无理
数. 有理数和无理数统称为 .
实数
思 考 与 交 流
怎样将实数分类？
实数可以分类如下：
正有理数
有理数 零 有限小数或无限循环小数
负有理数
实数
正无理数
无理数 无限不循环小数
负无理数
47
第十一章 实数和二次根式有理数和无理数都能用数轴上的点表示 . 这样，每一个实数都可以用数轴
上唯一的一个点表示；反过来，数轴上的每一个点都表示唯一的一个实数 . 这
说明，实数和数轴上的点是一一对应的.
任何两个实数都是可以比较大小的，数轴上右边的点表示的数比左边的点
表示的数大.
有理数的运算法则和运算律对实数同样适用.
按要求完成下列问题：
例1
( 1 )求实数 3- 29 的相反数和绝对值；
( 2 )求绝对值等于 3 的实数；
( 3 )比较无理数 - 10 和 - π的大小.
：( 1 )∵ 3- 29 = - 3 29 < 0，
解
∴ 3- 29 的相反数是 3 29 ，| 3- 29 | = | -3 29 | = 3 29 .
( 2 )∵ | + 3 | = 3，| - 3 | = 3，
∴ 绝对值等于 3 的实数是 ± 3 .
( 3 )用计算器算得 | - 10 | = 10 = 3.162 2…，| - π | = 3.141 5…，
∴ | - 10 | > | - π | .
∴ - 10 < - π .
某易拉罐饮料的罐上标有“净含量240 mL”字样，量得它的高为
例 2
12 cm . 如果将它近似看成圆柱体，试求易拉罐的底面直径 ( 结果精确到 1 cm，
1 mL = 1 cm 3，圆柱体体积公式为V = πR 2h ) .
20
：由题意，得πR 2 × 12 = 240. 所以直径 = 2R = 2 × .
分析 π
：由题意，得πR 2 × 12 = 240.
解
20
∴ R 2 = .
π
20
∴ R = .
π
20
∴ 直径 = 2R = 2 × .
π
2 2nd x2 20 enter
× ÷ π 5.046265044
∴ 2R ≈ 5 .
48
数学 八年级 上册答：易拉罐的底面直径约为5 cm.
在实际生产和生活中，常要把实数运算中的无理数，通过取各自的近似
值，转化为有理数来运算. 计算器是十分方便、实用的计算工具.
练 习
1. 求下列各实数的绝对值：
( 1 ) 3- 37； ( 2 ) 3 2 - 3 3 .
2. 比较下列各组数中两个数的大小：
( 1 ) - 3 3 和 2； ( 2 ) 3 和 π； ( 3 ) - 3 5 和 - 38 .
3. 生物学研究表明，初中阶段的青少年每天( 24 h )应饮水约1 300 mL .
( 1 ) 如果你用一个高和底面直径相等的圆柱形容器装这些水，那么这个
容器的高约为多少( 结果精确到1 cm ) ？
( 2 ) 找一个圆柱形的水杯，量量它的高和底面直径各是多少. 如果用这
个水杯喝水，一天大约应喝几杯？
探 索
估计 11 介于哪两个连续整数之间，更接近哪个整数.
太阳的体积约是地球体积的130万倍. 如果将它们近似地看成球体，
例3
( )
4
估算太阳的半径约是地球半径的多少倍 球体体积公式为 V = πR 3 .
3
：设太阳的半径是R，地球的半径是r.
解
由题意，有
4 4
πR 3 = πr 3 × 130 × 104.
3 3
(
R
)3
∴ = 1 300 .
10r
R
∴ = 3 1 300 .
10r
又∵ 10 3 = 1 000，11 3 = 1 331，
∴ 估得 3 1 300 介于10和11之间，但更接近11 .
49
第十一章 实数和二次根式R
∴ ≈ 11. 用计算器算一算！再比较一下结果.
10r
∴ R ≈ 110r.
答：太阳的半径约是地球半径的110倍.
练 习
5 - 1
1. 估计 和0.5哪个大.
2
2. 估计 3 5 介于哪两个连续整数之间.
-
习 题 11 1
巩 固
1. 判断下列说法是否正确，并说明理由：
( 1 ) - 49的平方根是- 7； ( 2 ) 3的平方根是± 3；
( 3 ) 9 的平方根是± 3； ( 4 ) 一个数的算术平方根是正数.
2. 求下列各式的值：
( 1 ) 0.36 ； ( 2 ) - 1.21；
9
( 3 ) ± 0.09； ( 4 ) - ；
4
( 5 ) ( - 13 ) 2 ； ( 6 ) - ( - 6 ) 2.
3. 判断下列说法是否正确，并说明理由：
( 1 ) 8的立方根是± 2 ； ( 2 ) 负数开立方没有意义；
( 3 ) 任何数都有立方根； ( 4 ) 3 3 是3的立方根.
4. 求下列各式的值：
3
1
( 1 ) 3 0.001 ； ( 2 ) - ；
27
3
27
( 3 ) - 3 64 ； ( 4 ) .
8
5. 用计算器求下列各式的值( 结果精确到0.000 1 )：
( 1 ) 1 396 ； ( 2 ) 0.34 ；
( 3 ) 3 4 936 ； ( 4 ) 3- 43.4 .
50
数学 八年级 上册6. 判断：
( 1 )带根号的数一定是无理数； ( )
( 2 )无限小数一定是无理数； ( )
( 3 )无理数是无限小数； ( )
( 4 )无理数是开平方或开立方开不尽的数. ( )
7. 下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？哪些是实数？
16 3.141 6， ， 3 ，
9
51
第十一章 实数和二次根式
. . 0.32 ，- 0.571 435 7， π ，- 2 ，3- 8，- 3 4 .
3 3
8. 比较下列各组数中两个数的大小：
( 1 ) 1.654 7 和1.5
. 69
； ( 2 ) 29 和 ；
13
( 3 ) 3 17 和 6.7 .
9. 求下列各数的相反数和绝对值：
2
- 5 ，3- 7， 5 - 7 ，π - 3.14，- .
3
10. 用计算器计算：
( 1 ) 10 + 2.23 - π ( 结果精确到0.01 )；
( 2 ) ( - 4 ) × 7 + 2 36 ( 结果精确到0.001 ).
11. 某种冰淇淋蛋筒可以近似地看成圆锥体. 已知它的高为15 cm，体积为140 cm 3.
1
求这个圆锥体底面圆形纸盖半径的大小 ( 圆锥体体积公式为 V = πR 2h，
3
结果精确到1 cm ).
12. 要剪一块正方形铁皮，使它的面积等于直径为3 cm的圆的面积. 这块铁皮
的边长是多少 ( 结果精确到0.1 cm )？
提 升
1. 求下列各式中x 的值：
( 1 ) x 2 = 25； ( 2 ) x 2 - 81 = 0；
( 3 ) 4x 2 = 49； ( 4 ) 25x 2 - 36 = 0 .
2. 求下列各式中x的值：
( 1 ) x 3 = 0.008 ； ( 2 ) 64x 3 + 1 = 0 ；
3
( 3 ) x 3 - 3 = ； ( 4 ) ( x - 1 ) 3 = 8 .
83. 实数x在什么范围内取值时，下列各式有意义？
( 1 ) 2x； ( 2 ) - x；
二、 二次根式
( 3 ) x 2； ( 4 ) 3x + 2 .
4. a一定有平方根吗？如果有，那么a应该是什么样的数？如果没有，为什么？
5. 如果16的平方根为a，b的绝对值为5，求a + b的值. 11.5
二次根式及其性质
拓 展
1. 有一种型号的长方形复印纸，对折之后形成新长方形的长与宽的比值与对折
思 考 与 交 流
之前长与宽的比值是不变的 . 请你计算一下这种复印纸的长与宽的比值 ( 结 a 表示什么？a需要满足什么条件？
果精确到0.001 ) .
一般地，式子 a ( a 0 )叫作 .
二次根式
2
如 7， ， m 2 + 1， ( x - y ) 2 等都是二次根式. 在实数范围内，由于负
3
数没有平方根，所以 a ( a < 0 )没有意义. 也就是说，二次根式 a 中的字母a
只能表示大于或等于零的实数.
实数x在什么范围内取值时，下列各式表示二次根式？
例1
( 1 ) 2x + 3 ； ( 2 ) 2 - 4x .
：( 1 )由2x + 3 0，得
对折前 对折后
解
3
( 第1题 ) x - .
2
2. 某种球形冰淇淋是用塑料纸包装的，有60 g装和150 g装两种规格. 已知其包 3
所以当x - 时， 2x + 3 表示二次根式.
2
装成本的立方与质量的平方成正比.
( 2 )由2 - 4x 0，得
( 1 ) 如果 60 g装冰淇淋的包装成本为0.6元，求150 g装冰淇淋的包装成本是
1
多少元( 结果精确到0.01元 ) . x .
2
( 2 ) 如果60 g装冰淇淋的售价为4.5元，150 g装冰淇淋的售价为9.75元. 两种
1
所以当x 时， 2 - 4x 表示二次根式.
规格中，买哪种比较合算？ 2
3. 用计算器探索下列各式的值： 根据平方根和算术平方根的意义，我们进一步研究二次根式的性质.
( 1 ) 121 × (1 + 2 + 1) ；
( 2 ) 12 321 × (1 + 2 + 3 + 2 + 1)； 思 考 与 交 流
( 3 ) 1 234 321 × (1 + 2 + 3 + 4 + 3 + 2 + 1) . 1. 式子 2， 3， 5分别表示什么意义？
2. 2， 3， 5的平方分别等于几？为什么？
由此猜想 1 234 567 654 321 × ( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 )
3. 式子 a ( a 0 )的意义是什么？ ( a ) 2等于什么？
的值.
52
数学 八年级 上册二、 二次根式
11.5
二次根式及其性质
思 考 与 交 流
a 表示什么？a需要满足什么条件？
一般地，式子 a ( a 0 )叫作 .
二次根式
2
如 7， ， m 2 + 1， ( x - y ) 2 等都是二次根式. 在实数范围内，由于负
3
数没有平方根，所以 a ( a < 0 )没有意义. 也就是说，二次根式 a 中的字母a
只能表示大于或等于零的实数.
实数x在什么范围内取值时，下列各式表示二次根式？
例1
( 1 ) 2x + 3 ； ( 2 ) 2 - 4x .
：( 1 )由2x + 3 0，得
解
3
x - .
2
3
所以当x - 时， 2x + 3 表示二次根式.
2
( 2 )由2 - 4x 0，得
1
x .
2
1
所以当x 时， 2 - 4x 表示二次根式.
2
根据平方根和算术平方根的意义，我们进一步研究二次根式的性质.
思 考 与 交 流
1. 式子 2， 3， 5分别表示什么意义？
2. 2， 3， 5的平方分别等于几？为什么？
3. 式子 a ( a 0 )的意义是什么？ ( a ) 2等于什么？
53
第十一章 实数和二次根式由于 a ( a 0 ) 表示非负数a的算术平方根，根据平方根的意义，那么 a
的平方等于a. 这样我们得到了二次根式的一个基本性质：
( a ) 2 = a ( a 0 ) .
用语言表述为：
非负数的算术平方根的平方，等于这个非负数.
计算：
例2
( 1 ) ( 5 3 ) 2； ( 2 ) ( 2 ) 4 ； ( 3 ) ( a 2 + b 2 ) 2 .
：( 1 ) ( 5 3 ) 2 = 5 2 × ( 3 ) 2 = 25 × 3 = 75 .
解 5 3 = 5 × 3 .
2
( 2 ) ( 2 ) 4 = ( 2 ) 2 = 2 2 = 4.
( 3 ) 因为对于任何实数a和b，都有a 2 + b 2 0，所以
( a 2 + b 2 ) 2 = a 2 + b 2 .
探 索
在实数范围内分解因式：
( 1 ) x 2 - 6； ( 2 ) a 3 - 3a .
练 习
1. 下列各式中，哪些是二次根式？
1
( 1 ) ； ( 2 ) - 0.7； ( 3 ) 3 - π； ( 4 ) x 2 + 4x + 4.
2
2. 实数x在什么范围内取值时，下列各式表示二次根式？
x
( 1 ) 2x + 5； ( 2 ) 3 - .
2
3. 计算：
(
2
)2
( 1 ) ( 0.7 ) 2； ( 2 ) ( 7 10 ) 2； ( 3 ) - 5 ； ( 4 ) ( - 3 ) 4.
5
思 考 与 交 流
1. a 2 的意义是什么？字母a可以取怎样的数？
2. a 2 一定等于a吗？为什么？
54
数学 八年级 上册由于 2 2 = 4 = 2， 52 = 25 = 5， 112 = 121 = 11，
2和 - 2，5和- 5，10
02 = 0，…，所以，一般地，当a 0时，有 a 2 = a；
和- 10有什么关系？
由于 ( - 2 ) 2 = 4 = 2， ( - 5 ) 2 = 25 = 5， ( - 10 ) 2 =
100 = 10，…，所以，一般地，当a < 0时， a2 = - a .
综合上面的结果，有
{a ( a 0 )，
a 2 =
- a ( a < 0 ) .
探 索
联想实数绝对值的意义，用一个式子概括 a 2 的化简结果.
二次根式的一个重要性质：
a 2 = a .
用语言表述为：
一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值.
计算：
例3
( 1 ) ( - 1.9 ) 2 ； ( 2 ) ( x 2 + 1 ) 2 ； ( 3 ) ( 3 - π ) 2 ；
( 4 ) 25a 2b 2 ( a 0，b < 0 )； ( 5 ) x 2 - 10x + 25 ( x < 5 ) .
：( 1 ) ( - 1.9 ) 2 = - 1.9 = 1.9.
解
( 2 ) ∵ x 2 0，
∴ x 2 + 1 > 0 .
∴ ( x 2 + 1 ) 2 = x 2 + 1 = x 2 + 1.
( 3 ) ∵ 3 < π，
∴ 3 - π < 0.
∴ ( 3 - π ) 2 = 3 - π = - ( 3 - π ) = π - 3.
( 4 ) ∵ a 0，b < 0，
∴ ab 0.
∴ 25a 2 b 2 = (5ab ) 2 = 5ab = - 5ab.
( 5 ) ∵ x < 5，
∴ x - 5 < 0.
∴ x 2 - 10x + 25 = ( x - 5 ) 2 = x - 5 = - ( x - 5 ) = 5 - x.
55
第十一章 实数和二次根式练 习
1. 下列等式是否成立？为什么？
( 1 ) (- 7 ) 2 = - 7； ( 2 ) 7 2 = 7；
( 3 ) ( - 7 ) 2 = - 7； ( 4 ) ( 7 ) 2 = 7；
（1 1） 2 1 1
( 5 ) 0.3 2 = ± 0.3； ( 6 ) - = - .
3 2 3 2
2. 计算：
( 1 ) ( x - 5 ) 2 ( x 5 )； ( 2 ) ( 2 - x ) 2 ( x 2 )；
( 3 ) p 2 + 6p + 9 ( p < - 3 ) .
思 考 与 交 流
( a ) 2和 a 2表示的意义相同吗？a的取值范围一样吗？
11.6
二次根式的乘除法
1. 二次根式的乘法
实 践
1. 一个长方形的长a = 15 ，宽b = 6，这个长方形的面积是多少？
2. 当a 0，b 0时， a · b 与 ab 相等吗？
两个二次根式相乘，怎样进行计算呢？
下面我们从特殊的例子入手进行研究：
4 × 9 = ， 4 × 9 = ；
4 × 25 = ， 4 × 25 = ；
5 × 7 = ， 5 × 7 = ( 用计算器计算 )；
……
56
数学 八年级 上册一般地，有
二次根式的乘法法则
a· b = ab ( a 0，b 0 ).
用语言表述为：
两个数的算术平方根的乘积等于这两个数的乘积的算术平
方根(被开方数非负) .
计算：
例1
1
( 1 ) 3 × 7； ( 2 ) × 48 .
3
：( 1 ) 3 × 7 = 3 × 7 = 21 .
解
1 1
( 2 )
3
× 48 =
3
× 48 = 16 = 4.
我们把等式 a· b = ab ( a 0，b 0 )反过来写，就得到
ab = a· b ( a 0，b 0 ).
我们可以利用它把二次根式进行化简，使被开方数不含有能开得尽方的因
数或因式.
化简下列二次根式：
例2
( 1 ) 48； ( 2 ) 25m 3； ( 3 ) 17 2 - 8 2.
：( 1 ) 48
解
= 4 2 × 3
= 4 2 × 3
= 4 3 .
( 2 ) 25m 3
= 25 × m 2· m
= 5 m 2 · m
为什么 m2 = m？
= 5m m.
( 3 ) 17 2 - 8 2
= ( 17 + 8 ) ( 17 - 8 )
= 25 × 9
= 25 × 9
= 5 × 3
= 15.
57
第十一章 实数和二次根式计算：
例3
( 1 ) 15 × 6； ( 2 ) - 2 20 × 5 35 .
：( 1 ) 15 × 6
解
= 15 × 6
= 3 2 × 5 × 2
= 3 10 .
( 2 ) - 2 20 × 5 35 被开方数不含能开
得尽方的因数.
= - 10 20 × 35
= - 10 2 2 × 5 2 × 7
= - 100 7 .
练 习
1. 计算：
( 1 ) 3 × 6； ( 2 ) 2 10 × ( - 15 ) .
2. 化简：
( 1 ) 50 ； ( 2 ) - 27 × 15；
( 3 ) 16a 5； ( 4 ) 45ab 2 ( b 0 ) .
3. 估计 2 7介于哪两个连续整数之间.
2. 二次根式的除法
思 考 与 交 流
两个二次根式相除，应该怎样进行计算呢？
一般地，有
二次根式的除法法则
a a
= ( a 0，b > 0 ).
b b
用语言表述为：
两个数的算术平方根的商等于这两个数的商的算术平方根
.
(被开方数非负，分母不为0 )
58
数学 八年级 上册计算：
例4
24 4 1 3
( 1 ) ； ( 2 ) ÷ ； ( 3 ) .
8 3 3 2
24 24
：( 1 ) = — = 3 .
8
解 8
( 2 ) 4 ÷ 1 = 4 ÷ 1 = 4 × 3 = 4 = 2. 被开方数的因数是
3 3 3 3 3
整数.
3 3 3 × 2 6
( 3 ) = = = .
2 2 2 × 2 2
如果一个二次根式满足下列两个条件：
( 1 ) 被开方数的因数是整数，含字母的因式是整式；
( 2 ) 被开方数不含能开得尽方的因数或因式.
那么把这个二次根式叫作 .
最简二次根式
一般地，二次根式运算的结果应化成最简二次根式.
把下列根式化为最简二次根式：
例5
2
( 1 ) 18 ； ( 2 ) ； ( 3 ) 4a 3b ( a < 0 ) .
3
：( 1 ) 18 = 3 2 × 2 = 3 2.
解
2 2 × 3 1
( 2 ) = = 6.
3 3 × 3 3
( 3 ) 4a 3b = ( 2a ) 2· ab = | 2a | ab. 你能够确定b的符号吗？
∵ a < 0，
∴ 4a 3b = - 2a ab .
思 考 与 交 流
1
不用计算器，利用 2 ≈ 1.414计算 的近似值. 下面两位同学的算
2
法中，哪种算法比较简捷？
1 1 1 000 500
甲同学的算法是： ≈ = = ≈ 0.707；
1.414 1 414 707
2
1 1 × 2 2 2 1.414
乙同学的算法是： = = = ≈ = 0.707 .
2 2 × 2 ( 2 ) 2 2 2
59
第十一章 实数和二次根式实际上，首先化去分母中的根号，运算比
化去分母中的根号的依据
较简单. 是什么？
探 索
用化去分母中的根号的方法，完成下列除法运算：
5 3
( 1 ) ； ( 2 ) .
2 7
把分母中的根号化去，叫作分母有理化.
把下列各式的分母有理化：
例6
3 a 2 5
( 1 ) ； ( 2 ) ； ( 3 ) .
5 a + b 18
3 3 × 5 3 × 5 15
：( 1 ) = = = .
解 5 5 × 5 （ 5） 2 5
当分母是m n ( n > 0 )时，
a a · a + b a 分子、分母同乘 n，根
( 2 ) a + b = a + b· a + b = a + b a + b . 据二次根式的性质，可化
去分母中的根号.
2 5 2 5 2 5 × 2 10
( 3 ) = = = .
18 3 2 3 2 × 2 3
计算：
例7
3
( 1 ) 2 12 × ÷ 2；
4
( 2 ) 24 ÷ ( 96 × 2 3 ) .
3 12 × 3 ÷ 2 18 3 2
：( 1 ) 2 12 × ÷ 2 = = = .
解 4 2 2 2
( 2 ) 24 ÷ ( 96 × 2 3 )
= 2 6 ÷ ( 2 96 × 3 )
= 2 6 ÷ ( 2 4 2 × 3 2 × 2 )
= 2 6 ÷ ( 24 2 )
6 ÷ 2
=
12
3
= .
12
60
数学 八年级 上册练 习
1. 计算：
( 1 ) 2 18 ÷ 3； ( 2 ) 8 × 3 ÷ 12；
( 3 ) 18 ÷ ( 18 × 27 )； ( 4 ) 2 ÷ 11 .
2. 把下列根式化成最简二次根式：
3
( 1 ) 5 12； ( 2 ) 6 ；
8
n m
( 3 ) 50a 2b ( a > 0 )； ( 4 ) — ( n < 0 ) .
m n
3. 把下列各式的分母有理化：
6 3 5 2a - 6a 2
( 1 ) ； ( 2 ) ； ( 3 ) ； ( 4 ) .
8 27 a 4ab
11.7
二次根式的加减法
思 考 与 交 流
怎样计算下列各式？结果是什么？
5 + 5 = 5 + 5吗？
( 1 ) 5 + 5 ； ( 2 ) 12 + 3 .
对于算式 ( 1 )，可设 5为 a，那么 a 和 a 是同类项，可按照合并同类项法
则进行运算， 5 + 5 = a + a = 2a = 2 5；
对于算式( 2 )，由于 12 = 2 3，所以 12 + 3 = 2 3 + 3 = 3 3 .
由以上过程可以看出，像 12和 3这样的二次根式之间可以进行加减
运算.
把 18， 8 化为最简二次根式分别得 3 2，2 2，这两个根式的被开方数
相同，称它们为同类二次根式.
一般地，将几个二次根式分别化成最简二次根式以后，如果被开方数相
61
第十一章 实数和二次根式同，就把这几个二次根式叫作 .
同类二次根式
指出下列每组的根式中，哪些是同类二次根式( 字母均为正数 )：
例1
1 1
( 1 ) 27 ， 72， 75， ；
2 50
a 判断同类二次根式
( 2 ) 8ab3， ， 32a3b5 .
2b 要注意什么？
：( 1 ) 因为 27 = 3 2 × 3 = 3 3，
解
72 = 6 2 × 2 = 6 2，
1 1 5
75 = 5 2 × 3 = 3，
2 2 2
1 2 1
= = 2，
50 10 2 10
1 1
所以， 72 和 是同类二次根式， 27 和 75 也是同类二次根式.
50 2
( 2 ) 因为a > 0，b > 0，
8ab3 = 2 2· b 2· 2ab = 2b 2ab，
a a · 2b 1
= = 2ab，
2b 2b · 2b 2b
32a3b5 = 4 2· a 2b 4· 2ab = 4ab 2 2ab，
a
所以， 8ab3， 和 32a3b5 都是同类二次根式.
2b
二次根式的加减运算实际上就是先把每个二次根式化成最简二次根式，再
合并同类二次根式.
计算：
例2
1
( 1 ) 2 18 - 4 + 3 32；
8
( ) ( )
1 1
( 2 ) 32 - 2 - - 75 .
3 8
1
：( 1 ) 2 18 - 4 + 3 32
解 8
= 6 2 - 2 + 12 2
= ( 6 - 1 + 12 ) 2
= 17 2.
62
数学 八年级 上册( ) ( )
1 1
( 2 ) 32 - 2 - - 75
3 8
2 1
= 4 2 - 3 - 2 + 5 3 和多项式的加减法类似！
3 4
15 13
= 2 + 3.
4 3
练 习
1. 下列各组中的二次根式是不是同类二次根式？
1
( 1 ) 63， 28； ( 2 ) 12 ， 27， ；
3
2a
( 3 ) 4a 3，3 a，2 .
3
2. 计算：
2 1
( 1 ) 2 + 8； ( 2 ) 3 40 - - 2 ；
5 10
a
( 3 ) 8ab - 2b ( b > 0 )； ( 4 ) 2x - 8x 3 + 2 2xy 2 ( y < 0 ) .
2b
计算：
例3
( )
8
( 1 ) - 5 3 × 6 ； ( 2 ) ( 5 + 2 6 ) ( 5 2 - 12 ) .
27
( )
8
：( 1 ) - 5 3 × 6
解 27
8
= × 6 - 5 3 × 6
27
8
= × 6 - 5 3 × 6
27
4
= - 15 2.
3
和多项式乘法类似！
( 2 ) ( 5 + 2 6 ) ( 5 2 - 12 )
= 25 2 - 5 12 + 10 6 × 2 - 2 6 × 12
= 25 2 - 10 3 + 20 3 - 12 2
= 13 2 + 10 3.
63
第十一章 实数和二次根式计算：
例4
( 1 ) ( 2 3 + 3 2 ) (2 3 - 3 2 )； ( 2 ) ( 6 - 3 3 ) 2.
：( 1 ) ( 2 3 + 3 2 ) ( 2 3 - 3 2 )
解
= ( 2 3 ) 2 - ( 3 2 ) 2
= 12 - 18
= - 6.
( 2 ) ( 6 - 3 3 ) 2
= ( 6 ) 2 - 2 × 6 × 3 3 + ( 3 3 ) 2 用了什么乘法公式？
= 6 - 18 2 + 27 有什么作用？
= 33 - 18 2.
练 习
计算：
( 1 ) ( 12 - 2 75 ) × 3； ( 2 ) - 3 × ( 6 + 3 2 )；
( 3 ) ( 6 - 3 ) ( 6 + 3 )； ( 4 ) ( 2 3 + 2 ) ( 2 3 - 2 ) ；
( 5 ) ( 5 + 1 ) 2 ； ( 6 ) ( 3 5 - 2 ) 2.
-
习 题 11 2
巩 固
1. 实数a在什么范围内取值时，下列各式是二次根式？
1
( 1 ) a - 7； ( 2 ) 3 - 9a； ( 3 ) 6a； ( 4 ) a + 3.
2
2. 计算：
( 3 )2
( 1 ) ( 13 ) 2； ( 2 ) ( 0.001 ) 2； ( 3 ) ( 2 3 ) 2； ( 4 ) 6 .
4
3. 在实数范围内分解因式：
( 1 ) x 2 - 3； ( 2 ) 2x 2 - 10； ( 3 ) a 4 - 49； ( 4 ) m 3 - 2m.
4. 计算：
( 1 ) 144； ( 2 ) ( 2 - 5) 2；
64
数学 八年级 上册( 3 ) m 2 ( m > 0 )； ( 4 ) ( a - 2 ) 2 ( a 2 ) .
5. 计算：
( 1 ) 15 × 20； ( 2 ) ( - 5 8 ) × ( - 3 2 )；
( )
2 3
( 3 ) - 27 × 6； ( 4 ) 3 5a· ( - 2 10b ) .
3 4
6. 化简：
( 1 ) 84； ( 2 ) 54 .
7. 计算：
( 1 ) 5 14 ÷ ( - 7 )； ( 2 ) 2 18 ÷ 3 2；
8 16 1 3 8
( 3 ) - ÷ ； ( 4 ) 9 45 ÷ 3 × .
5 5 5 2 3
8. 化简：
8 25
( 1 ) ； ( 2 ) ；
7 8
5b a - 5
( 3 ) ( b 0 )； ( 4 ) ( a > 5 ) .
4a a + 5
9. 化简：
5 3 3a a 2 - b 2
( 1 ) ； ( 2 ) ； ( 3 ) ； ( 4 ) .
6 3 15 a a - b
10. 把下列根式化成最简二次根式：
18 2a5b3
( 1 ) 2 48； ( 2 ) 1.5； ( 3 ) ； ( 4 ) ( a 0 ) .
a 125
11. 下列根式中，哪些是同类二次根式( 字母均为正数 ) ？
5 1 4 1
8， 20，- ， ，3 ，- 121a 3，a .
16 18 5 a
12. 计算：
1 4
( 1 ) 3 2 - 5 8 + 4 8 ； ( 2 ) 12 - 3 - 75.
3 5
13. 计算：
3
( 1 ) ( 32 + 2 3 ) ( - 2 )； ( 2 ) ( 12 - 5 8 ) × ；
2
( 3 ) ( 3 5 + 1 ) ( 2 3 - 15 )； ( 4 ) ( 8 - 48 ) ( 12 - 50 ) .
14. 计算：
( 1 ) ( 5 2 - 3 5 ) ( 5 2 + 3 5 )； ( 2 ) ( 3 3 - 2 6 ) 2；
65
第十一章 实数和二次根式（1 ）（ 3）
( 3 ) ( 12 + 8 ) ( 27 - 18 )； ( 4 ) 3 + 8 8 - .
2 4
3x
15. ( 1 ) 已知 x - 3 + ( 4 + y ) 2 + z + 2 = 0，求代数式 的值；
2y + z
b - 3 + 3 - b
( 2 ) 已知a = + 2b，求ab的值.
b
提 升
1. 实数 a 在什么范围内取值时，下列各式有意义？
a + 3
( 1 ) a ( a - 1 )； ( 2 ) ； ( 3 ) a 2 - 2a + 3.
2a + 1
2. 化简：
( 1 ) m 2； ( 2 ) ( m + 1 ) 2；
( 3 ) ( 2m + 3 ) 2； ( 4 ) m 2 - 4m + 4 .
3. 求满足下列条件的实数x的取值范围：
( 1 ) x 2 = x； ( 2 ) x 2 = - x；
x 2 x 2
( 3 ) = 1； ( 4 ) = - 1 .
x x
4. 等式 ( x - 5 ) ( x + 2 ) = x - 5· x + 2 一定成立吗？
5. 如图，从一个大正方形中裁去面积为16 cm2和24 cm2的两个小正方形，求余
下的绿色部分的面积．
6. 一个数值转换器的原理如图所示．
( 1 )当输入的x值为144时，求输出的y值．
( 2 ) 是否存在输入 x ( x 为非负有理数 ) 值后，始终输不出 y 值的情况？若存
在，请写出所有满足要求的x值；若不存在，请说明理由．
输入x
16 cm2
是有理数
取算术平方根
24 cm2 是无理数
输出y
( 第5题 ) ( 第6题 )
66
数学 八年级 上册拓 展
3 - 2 3 + 2
1. 当x = ，y = 时，求代数式x2 + y2 - 5xy 的值.
3 + 2 3 - 2
2. 尽可能多地编写根式化简题，要求满足以下两个条件：
( 1 ) 根式由 2， 3， 5 这三个( 或者其中的两个 )无理数经过各种运算组成；
( 2 ) 化简的结果是一个有理数.
3. 用计算器探索发现：
( 1 ) 计算 11 - 2 ， 1 111 - 22 ， 111 111 - 222 ， 11 111 111 - 2 222 ，…，
你发现了什么规律？能用式子表示吗？
( 2 ) 取一个很大或很小( 小于1 )的正数，多次开平方会出现什么结果？
1 1 1 1
( 3 ) 已知按一定规律排列的一组数： ， ， ，…， . 如果从中
2 3 4 20
选出若干个数，使它们的和大于3，那么至少要选几个数？
4. 你知道如何把循环小数化为分数吗？以
数 学 文 化
阅读理解
无理数的故事
我们已经知道，除去整数、分数这些有理数之外，还有无理数，
如 2， 3，π，37，…. 在两千多年前，古希腊有一个以毕达哥拉斯
( Pythagoras of Samos，约公元前580—前500 )为首的毕达哥拉斯学派，
这个学派传授知识，研究数学，还很重视音乐 . 毕达哥拉斯学派曾在
数学上做出过突出的贡献 . 他们认为数是万物的本源，数产生万物，
数的规律统治万物……他们的基本信条是“万物皆数”，其中的数仅
67
第十一章 实数和二次根式
.
0.3为例，有这样一种方法：
设x =
.
0.3 = 0.333…，①
则10x = 3.333…， ②
1
② - ①得9x = 3，即x = .
3
所以
. 1
0.3 = 0.333… = ．
3
根据上述方法，把下列两数化为分数：( 1 )
.
0.7 ；( 2 )
. .
1.34 .指整数（分数看作两个整数之比）.
可是，该学派遇到了一个伤脑筋的问题：如果 l 2 = 2，那么 l 到底
是多少呢？是整数，还是分数呢？显然 l 不是整数. 因为 1 2 = 1，2 2 = 4，
所以 l 一定比 1 大，比 2 小 . 按照毕达哥拉斯学派对数的认识，l 就一
定是分数了. 可是他们费了九牛二虎之力，也找不到这个分数.
据说，毕达哥拉斯学派的门徒希帕苏斯 ( Hippasus, 约公元前 5 世
纪 )对此问题很感兴趣，他花费了很大的精力去研究这个问题. 经过深
入细致的研究后，他断言，l 既不是整数，也不是分数，而是一种当时
还没有认识的新数 . 希帕苏斯发现了新的数，推翻了毕达哥拉斯学派
关于“万物皆数”的信条，动摇了毕达哥拉斯学派的基础 . 该学派大
为恐慌，立即下令封锁该“发现”，并扬言，谁敢把这一机密泄露给局
外人，就对谁处以极刑 . 真理是封锁不住的，尽管毕达哥拉斯学派内
部纪律严明，希帕苏斯的发现还是被许多人知道了 . 学派追查泄密的
人，结果发现不是别人，正是希帕苏斯自己 . 这还了得，希帕苏斯竟
敢背叛自己所在的学派，一定要受到严惩. 这样，悲剧就发生了.
我们可以采用反证法，假设 2是有理数，于是可以用两个整数 m，
n
n表示为 2 = ，进而得到2m 2 = n 2，这个式子的左边有奇数个因子2，
m
右边有偶数个因子2，矛盾!这就否定了假设.
真理是不可战胜的. 后来人们又发现了类似l 2 = 2的数，这些“怪物”
深深地困惑着古希腊的数学家们，被称为第一次数学危机 . 这些数就
是我们现在所认识的无理数.
回顾与整理 关 注 联 系
本章是“数与代数”领域中“数与式”主题的主要组成部
分 . 在有理数、整式、分式等知识的基础上，本章我们继续学
习了无理数、实数、二次根式等知识 . 先后学习了平方根、立
方根、无理数、实数及其运算、二次根式及其运算等，这些知
识是后续学习其他知识的基础.
在本章学习过程中，经历无理数、实数的形成过程，初步
理解数域扩充的必要性和合理性. 把握数与式的整体性，进一
68
数学 八年级 上册步体会数是对数量的抽象，建立符号意识，理解字母表示数
的意义，感悟数学结论的一般性，发展抽象能力 . 体会实数
与数轴上的点一一对应的数形结合思想，发展几何直观 . 在
实数和二次根式的运算中，类比有理数、整式、分式的运算，
理解运算法则、运算方法与运算律的关系，提升运算能力.
聚 焦 基 础
平方根 算术平方根 立方根 被开方数 根号 根指数
无理数 实数 实数的分类 二次根式 最简二次根式 同
类二次根式 平方根的性质 算术平方根的性质 立方根的
性质 二次根式的性质 开平方 开立方 二次根式的加减
法 二次根式的乘法 二次根式的除法
明 确 要 求
1. 了解无理数和实数，知道实数由有理数和无理数组成，初
步认识实数与数轴上的点具有一一对应关系，感悟数域的扩充.
2. 能用数轴上的点表示一些具体的实数，能比较实数的大小.
3. 能借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求实数的
相反数和绝对值 .
4. 知道平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号
表示数的平方根、算术平方根、立方根 .
5. 知道乘方与开方互为逆运算，会用乘方运算求百以内
完全平方数的平方根和千以内完全立方数的立方根（及对应
的负整数），会用计算器计算平方根和立方根 .
6. 能用有理数估计一个无理数的大致范围 .
7. 初步认识近似数，在解决实际问题中，能用计算器进
行近似计算，会按问题的要求进行简单的近似计算，会对结
果取近似值 .
8. 了解二次根式、最简二次根式的概念，会用二次根式
（根号下仅限于数）的加、减、乘、除运算法则进行简单的四
则运算.
69
第十一章 实数和二次根式复 习 题
巩 固
1. 判断：
125 5 5
( 1 ) 的立方根是 和- ； ( )
512 8 8
( 2 ) 7的算术平方根是± 7； ( )
( 3 ) 9 = ± 3； ( )
( 4 ) 无限小数都是无理数； ( )
( 5 ) 带根号的数都是无理数； ( )
( 6 ) - 7x 一定没有意义； ( )
( 7 ) 1的平方根与立方根相等. ( )
2. 已知下列各数：
5 16 ，0.333…， ， 316，0.61
7
70
数学 八年级 上册
. .
深 入 思 考
1. 你能复述“聚焦基础”中每一个知识的具体内容吗？
2. 你能举出一个符合某个概念的例子吗？
3. 你能在教科书的例题或练习中找到符合“明确要求”中
的某一条的示例吗？如果找不到，你能编写一个示例吗？
4. 你能发现本章所学知识的内在联系，并用画图的方法显
示出来吗？
， 3- 27，3.141 59， 0.25，3.212 112 111 211 11….
这些数中：
( 1 ) 是自然数；
( 2 ) 是整数；
( 3 ) 是有理数；
( 4 ) 是无理数；
( 5 ) 是实数.
3. 两个无理数的和、差、积、商一定是无理数吗？试举例说明.
4. 实数x在什么范围内取值时，下列各式表示二次根式？
( 1 ) 2x - 1； ( 2 ) 3x + 5；1 3
( 3 ) + x 2； ( 4 ) .
2 x 2
5. 实数x在什么范围内取值时，下列各式有意义？
( 1 ) x + - x ； ( 2 ) x + 1 - x - 1 ；
2x + 3
( 3 ) 2x + 1· 1 - 3x ； ( 4 ) .
x + 1
6. 计算：
( 1 ) - 3- 125 ； ( 2 ) ( - 2 ) 2 ；
( 3 ) ( 2 - 5 ) 2 ； ( 4 ) ( a 2 + 1 ) 2.
7. 计算：
1 3 15 1
( 1 ) 5 + 20 - ；
5 2 4 5
( 2 ) 12 + 6
3
-
（
3 -
9
- 24
）
；
2 4
1 1
( 3 ) 4 ÷ ( - 6 ) × 12 ；
2 3
( 4 ) ( 2 + 1 ) ( 6 - 3 ) ；
( 5 ) ( 2 - 3 3 ) 2 ；
( 6 ) ( 2 3 + 15 ) ( 15 - 2 3 ) .
提 升
1. 实数x在什么范围内取值时，下列各式有意义？
3x - 5
( 1 ) ； ( 2 ) 4 - x 2；
3 - 5x
5
2x
( 3 ) ； ( 4 ) .
1 + x x - 1
2. 计算：
( 1 )( 1 + 2 - 3 ) ( 1 - 2 + 3 ) ；
( 2 )( 3 2 - 3 + 5 ) ( 3 2 + 3 + 5 ) ；
( 3 ) ( x + y ) 2 - ( x - y ) 2 .
3. 已知 | 3x + 2y - 4 | + 2x - y - 5 = 0，求实数x和y的值.
4. 化简：
( 1 ) x 2； ( 2 ) ( x - 1 ) 2； ( 3 ) ( x + 1 ) 2； ( 4 ) x 2 - 6x + 9 .
71
第十一章 实数和二次根式5. 如图，长方形内有两个相邻的白色正方形，其面积分别为 2 和 8，求图中绿
色部分的面积．
( 第5题 )
拓 展
1. 已知x = 3 + 2 2，y = 3 - 2 2，求x 2y - xy 2的值.
2. 不用计算器，估计 11 + 17的值在哪两个连续整数之间，比一比谁估计的误
差小.
3. 在比较2 - 3 和 5 - 2两个数的大小时，小明使用了如下方法：
1 1
2 - 3 = ， 5 - 2 = .
2 + 3 5 + 2
∵ 5 + 2 > 2 + 3 > 0，
1 1
∴ > .
2 + 3 5 + 2
∴ 2 - 3 > 5 - 2.
请你参照小明的方法，比较3 - 2 2 和 10 - 3两个数的大小.
72
数学 八年级 上册第十二章
三角形
在以线段为边的封闭几何图形中，三角形是最简单、最基本的，其中蕴含
了边与角这两个基本元素.
我们在小学学习了三角形的相关知识，本章将围绕边与角，进一步学习三
角形的概念、性质，引导大家研究两个三角形能够完全重合的条件，并系统探
索几类特殊的三角形. 你会发现，我们前面学习的逻辑推理有了更广阔的用武
之地，而且作出的几何图形更加规范、美观.一、 三角形及其性质
12.1
三角形
如图12 - 1，由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫作
. 三角形用符号“△”表示. 三角形ABC记作
三角形 A
“△ABC”，读作“三角形ABC”. 其中点A，B，C 叫
作三角形的 ；线段AB，BC，CA叫作三角形的 ；
顶点 边
∠A，∠B，∠C叫作三角形的 ，简称为三角形的角.
B C
内角
图12 - 1
实 践
选取三根长度适当的木条组成一个三角形，使每两根木
条的连接处可以转动 ( 如图12 - 2 ) . 做好之后，用手轻轻推
拉，你能发现什么现象?
图12 - 2
我们发现，这个三角形的形状和大小固定不变了 . 这个特征称为三角形的
稳定性.
如图 12 - 3，新首钢大桥作为斜拉桥的代表，112 根斜拉索与主梁构成了
一个个三角形，就像一件兼具力与美的钢铁艺术品.
斜拉索
主梁
图12 - 3
74
数学 八年级 上册思 考 与 交 流
随着我国航天事业的发展，我们经常会看到火箭发射的情景 . 火箭
发射架被焊接成很多个三角形的形状，你知道其中的道理吗？你还能举
出生活中类似的例子吗？
12.2
三角形的性质
1. 三角形边的性质
思 考 与 交 流
1. 现有长度分别为2 cm，4 cm，6 cm的木条各三根 . 任意选用其中
的三根木条首尾相接，一定可以组成一个三角形吗？说说其中的道理.
2. 一个三角形的三边具有怎样的数量关系？
由“两点之间线段最短”，我们得到三角形三边之间的一个性质：
三角形的任意两边之和大于第三边.
A
如图12 - 4，在△ABC中，AB + AC > BC，AB + BC >
AC，AC + BC > AB.
将上面的不等式作适当变形，便可以得到：BC - B C
AB < AC，AC - BC < AB，AB - AC < BC. 于是可以推 图12 - 4
导出三角形三边之间的又一个性质：
A
三角形的任意两边之差小于第三边. 顶角
我们已经知道，有两边相等的三角形叫作
等腰三角 腰
. 相等的两边叫作 ，另一边叫作 ，两腰的夹角
形 腰 底边
叫作 ，腰和底边的夹角叫作 ，如图12 - 5. 底角
顶角 底角
B C
三边都相等的三角形叫作 .
底边
等边三角形
三边互不相等的三角形叫作 . 图12 - 5
不等边三角形
75
第十二章 三角形三角形按边可以分类如下：
不等边三角形
三角形
底边和腰不等的等腰三角形
等腰三角形
等边三角形
三角形按边分类也可以用图12 - 6来表示.
等腰三角形
不等边三角形
等边三角形
图12 - 6
已知等腰三角形的周长为 12cm，其中一边的长为 3cm，求另外两
例 1
边的长．
：因为长为3cm的边可能是腰，也可能是底边，所以分两种情况计算.
解
( 1 )如果以3cm长的边为底边，设腰长为xcm.
由已知条件，有
x + x + 3 = 12.
解得 x = 4.5.
显然，4.5cm，4.5cm，3cm能组成三角形.
( 2 )如果以3cm长的边为腰，设底边长为xcm.
由已知条件，有
3 + 3 + x = 12．
解得 x = 6.
因为3 + 3 = 6，不符合三角形的任意两边之和大于第三边，所以以3 cm长
的边为腰不能组成三角形．
答：另外两边的长都是4.5cm.
2. 三角形角的性质
在小学时，我们通过把三角形的三个角拼成一个平角 ( 图 12 - 7 )，得出三
角形的三个内角的和等于180°. 现在我们还可以借助图形计算器的测量功能得
出这个结论 ( 图12 - 8 ) .
76
数学 八年级 上册Ⅱ
∠A = 79. 64°
A
∠B = 59. 16°
Ⅰ Ⅲ
∠C = 41. 2°
∠A + ∠B + ∠C = 180°
Ⅱ B
Ⅲ Ⅰ C
图12 - 7 图12 - 8
上面介绍的方法仅仅是通过实验、观察得出的结论，还需要通过推理加以
证明.
受图12 - 7的启发，我们得到下面的证明方法.
已知：△ABC ( 图12 - 9 ) ．
求证：∠A + ∠B + ∠ACB = 180°.
A E 怎样将∠A，∠B移到
与∠ACB相邻的位置？
1
2
B
C D
图12 - 9
：延长BC，过点C作CE // AB.
证明
∴ ∠1 = ∠A，∠2 = ∠B.
∵ ∠1 + ∠2 + ∠ACB = 180°，
∴ ∠A + ∠B + ∠ACB = 180°.
由此，得到三角形三个内角之间的一个性质定理：
三角形三个内角的和等于 180°.
这个定理称为三角形的内角和定理，它的应用十分广泛.
探 索
A
D E
你能用其他添加辅助线的方法证明三
角形的内角和为 180° 吗？ ( 比如：如图
12 - 10，过点 A 作 DE // BC )
B C
请你再用不同的方法进行证明 .
图12 - 10
77
第十二章 三角形以上的各种证明方法，启发我们在添加辅助线时，要利用已经学过的相关
知识. 比如：平角等于180°.
已知：如图12 - 11，在△ABC中，∠A = A
例2
100°，∠B = ∠C. 求∠B，∠C分别等于多少度.
：设∠B的度数为x.
解 B C
∵ ∠B = ∠C， 图12 - 11
∴ ∠C的度数也为 x.
在△ABC 中，∠A + ∠B + ∠C = 180° ( 三角形的内角和定理 )，
又∵ ∠A = 100°，
∴ 100 + x + x = 180，
2x = 80.
∴ x = 40.
∴ ∠B = 40°，∠C = 40°.
练 习
计算下列三角形中标有x的角等于多少度.
A A A
x x x
60° 50° 35° x x
B C B C B C
( 3 )
( 1 ) ( 2 )
如图 12 - 12，D 是△ABC 的边 BC 延长线
A
上的一点，此时，∠ACD是∠ACB的邻补角. 我
们称三角形的每一个内角的邻补角为 . 图中
外角
∠ACD就是△ABC 的一个外角 B C D
.
图12 - 12
思 考 与 交 流
在图 12 - 12 中，∠ACD 与 ∠A，∠B 之间有什么数量关系？试证明
你的发现.
78
数学 八年级 上册根据三角形的内角和定理，可以得到它的推论：
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
如图12 - 13，B，C，D，E是同一直线上的 A
例3
四点，∠B = ∠BAC = 30°，∠CAD = 60°. 求 ∠ADE 等
于多少度.
B C D E
：∵ 在△ABC 中，∠B = ∠BAC = 30°，
解 图12 - 13
∴ ∠ACD = ∠B + ∠BAC ( 三角形的内角和定
理的推论 )
= 30° + 30° = 60°.
又∵ 在△ACD中，∠CAD = 60°，
∴ ∠ADE = ∠ACD + ∠CAD ( 三角形的内角和定理的推论 )
= 60° + 60° = 120°.
还有其他解法吗？
探 索
E B
如图12 - 14，线段AB，CD，EF两两交于点G， H
P，H. 怎样求∠A + ∠C + ∠E + ∠B +∠D + ∠F等 C D
G P
于多少度? A F
图12 - 14
练 习
F
C
如图，∠CAD，∠ABE，∠BCF是△ABC
的三个外角，求它们的和等于多少度. B
D A
E
思 考 与 交 流
1. 三角形的内角中最多能有几个直角？
2. 三角形的内角中最多能有几个钝角？
79
第十二章 三角形三个角都是锐角的三角形叫作 ；
锐角三角形
有一个角是直角的三角形叫作 ；
直角三角形
有一个角是钝角的三角形叫作 .
钝角三角形
这样，三角形按角可以分类如下：
锐角三角形
三角形 直角三角形
钝角三角形
探 索
1. 图 12 - 15 是一个四边形，你能推出 ∠A，∠B，∠C，∠D 四个
角的度数之和吗？
C
D
看看能不能将它分
成两个三角形.
A B
图12 - 15
2. 进一步观察图形，发现规律，并填写表12 - 1：
表12 - 1
图形 内角和
三角形
四边形 ( 4 - 2 ) × 180° = 360°
五边形
六边形
… … …
n边形
80
数学 八年级 上册12.3
三角形中的主要线段
1. 三角形的中线
在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段，叫作这个三角形的
中线.
在图12 - 16中，D是BC的中点，那么线段AD是BC边上的中线.
A
B D C
图12 - 16
探 索
在一块质地均匀的三角形薄板上，画出它的三条中线 . 观察这三条
中线是否交于一点 . 如果这三条中线交于一点，用笔尖托住这个交点，
观察薄板能否保持平衡.
从图 12 - 17 可以看出，一个三角形的三条中线交于一点，这个点叫作三
角形的
重心.
A A A
D G F D G F D F
G
B E C B E C B E C
锐角三角形 直角三角形 钝角三角形
图12 - 17
2. 三角形的角平分线
在三角形中，一个角的平分线与这个角的对边相
A
交，这个角的顶点与交点之间的线段，叫作这个三角
形的
角平分线.
在图 12 - 18 中，AT 是 ∠BAC 的平分线，交边 BC
B T C
于点T，那么线段AT是△ABC 的角平分线.
图12 - 18
三角形的三条角平分线是否交于一点？动手试一试.
81
第十二章 三角形3. 三角形的高 A
由三角形的一个顶点向它的对边所在的直线引垂
线，顶点和垂足之间的线段叫作这个三角形的 ，
高线
简称三角形的 B H C
高.
在图 12 - 19 中，AH ⊥ BC 于点 H，那么线段 AH 图12 - 19
是△ABC的高.
思 考 与 交 流
如图 12 - 20，画出△ABC 中边 BC 上的高线，并说说垂足 H 的位
置有什么不同.
A A A
B C B C B C
图12 - 20
实 践
三角形的三条高( 或所在的直线 )交于一点吗？ 按不同类三角形讨论.
锐角三角形的三条高交于一点，交点在三角形的内部；直角三角形的三条
高交于一点，交点与直角顶点重合；钝角三角形的三条高所在的直线交于一
点，交点在三角形的外部( 图12 - 21 ).
A A A
F
F C E
H E F
B
B D C B C ( H ) D H
锐角三角形 直角三角形 钝角三角形
图12 - 21
82
数学 八年级 上册-
习 题 12 1
巩 固
1. 请举出你观察到的应用三角形稳定性的例子.
2. 已知三角形中，有两条边长分别是3 cm和4 cm. 求第三条边的长度的取值
范围.
3. 三角形的三个内角的度数的比为1∶2∶3. 求这三个内角分别等于多少度.
4. 三角形中一个角的度数等于另外两个角的度数的和. 试判断这个三角形的
形状.
5. 已知：如图，在△ABC中，∠B = ∠C，D是BA延长线上一点，且∠DAC =
100°. 求∠B等于多少度.
6. 已知：如图，在△ABC中，D是CA延长线上一点，AE是∠DAB的平分线，
∠B = 40°，∠C = 60°. 求∠DAE等于多少度.
D
D
E A
A
B C B C
( 第5题 ) ( 第6题 )
7. 已知：如图，D 是BA 延长线上一点，E是CB延长线上一点，F是AC延长
线上一点，∠DAC = 140°，∠ACB = 100°. 求∠ABE等于多少度.
8. 如图，画出△ABC中边BC上的中线AD，高线AH及∠A的角平分线AT.
F
C C
B
D A E A B
( 第7题 ) ( 第8题 )
提 升
1. 有长分别为 2 cm，3 cm，4 cm，5 cm 的四条线段，用其中的三条首尾相接
组成三角形，共有多少种组成方法？请画出这些三角形.
2. 已知三角形的三边长分别为5，8，2a + 1. 求a的取值范围.
3. 在△ABC中，∠A = 2∠B，∠A + ∠B = 2∠C. 求∠A等于多少度.
83
第十二章 三角形4. 已知：如图，∠B = 40°，∠B = ∠1，∠2 = ∠C. 求∠DAC等于多少度.
5. 如图，∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E等于多少度？
1
6. 已知：如图，O是△ABC内一点. 求证：OA + OB + OC > ( AB + BC + CA ) .
2
A
A
A
1 B
E
2 O
B D C D C B C
( 第4题 ) ( 第5题 ) ( 第6题 )
7. 如图，O是△ABC内一点，求证∠BOC > ∠BAC.
8. 如图，在△ABC中，AD是中线，AE是角平分线.
（1）如果∠B = 70°，∠C = 30°，求∠BAE等于多少度；
（2）如果AB = 3 cm，AC = 5 cm，求△ABD与△ACD的周长之差；
（3）求证：△ABD与△ACD的面积相等.
A
A
O
B C
B C E D
( 第7题 ) ( 第8题 )
二、 全等三角形
12.4
全等三角形
小明买了几枚《中国首次火星探测“天问一号”发射成功》纪念邮票，准
备送给朋友 . 他把其中的任意两枚邮票叠放在灯光下一照，发现“天问一号”
的图案能够完全重合在一起( 图12 - 22 ).
84
数学 八年级 上册图12 - 22
像这样能够完全重合的两个图形叫作
全等形.
探 索
在同学们手中的三角板中，能否找到全等的图形？
在图12 - 23中，△ABC和△MPN能够完全重合，我 A M
们说这两个三角形全等.“ 全等”用符号“≌”来表示，读作
“全等于”. △ABC全等于△MPN，记作“ △ABC ≌△MPN” .
当两个三角形重合时，互相重合的顶点叫作 ，
对应顶点 B P
互相重合的边叫作 ，互相重合的角叫作
对应边 对应角.
由上，我们可以得出：
C N
全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等. 图12 - 23
思 考 与 交 流
1. 在图 12 - 24 中，△DEF 是由△ABC 沿 BC 平移得到的，那么
△ABC ≌ . 指出对应顶点、对应边和对应角.
A D
B E C F
图12 - 24
85
第十二章 三角形2. 在图 12 - 25 中，△ADC 是由△ABC 沿 AC 翻折得到的，那么
△ABC ≌ . 指出对应顶点、对应边和对应角.
3. 在图12 - 26中，△CDB是由△ABD绕BD的中点O旋转得到的，
那么△ABD ≌ . 指出对应顶点、对应边和对应角.
B
D C
A C
O
D
A B
图12 - 25 图12 - 26
12.5
全等三角形的判定
思 考 与 交 流
B
你能通过什么办法画一个三角形，使它和
图12 - 27中的三角形全等？
C A
图12 - 27
实 践
已知线段c，角α，角β，如图12 - 28. 请画一个△ABC，使它满足：边AB
为c，∠A为α，∠B为β. 然后把△ABC 剪下来，并与同学的三角形互相叠放
在一起，它们能完全重合吗？
c
α β
图12 - 28
86
数学 八年级 上册我们发现，它们能完全重合在一起，也就是说，它们是全等三角形.
由此总结出基本事实：
两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.
简记为：角边角或 ASA.
如图12 - 29，在△ABC和△A′B'C'中，如果∠B = ∠B'，∠C = ∠C'，BC = B'C'，
那么，△ABC ≌ △A'B'C'.
A A'
B C B' C'
图12 - 29
已知：如图12 - 30，AC // BD，AB交CD于点O，且AC = BD.
例1
求证：△AOC ≌ △BOD.
：∵ AC // BD，
证明
∴ ∠A = ∠B，∠C = ∠D.
D
A
在△AOC和△BOD中，
O
｛∠A = ∠B，
AC = BD，
B
C
∠C = ∠D， 图12 - 30
∴ △AOC ≌ △BOD ( ASA ) .
练 习
1. 已知：如图，PC = PD，∠C = ∠D. 求证：△PCB ≌ △PDA.
C
A D
A
P
B B C
D
( 第1题 ) ( 第2题 )
2. 已知：如图，∠ABC = ∠DCB，∠DBC = ∠ACB. 求证：△ABC ≌△DCB.
87
第十二章 三角形类似的，已知两边和夹角画出的三角形也是唯一的，我们总结出基本事实：
两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 .
简记为：边角边或 SAS.
如图 12 - 31，在△ABC 和△A'B'C' 中，如果 AB = A'B'，AC = A'C'，∠A =
∠A'，那么△ABC ≌△A'B'C'.
A A'
B C B' C'
图12 - 31
已知：如图12 - 32，AC = AD，AB平分∠CAD.
例2 C
求证：( 1 )△CAB ≌△DAB；( 2 ) ∠C = ∠D.
：( 1 )∵ AB 平分∠CAD，
证明 A B
∴ ∠CAB = ∠DAB.
在△CAB和△DAB中，
D
｛ AC = AD， 图12 - 32
∠CAB = ∠DAB，
AB = AB，
∴ △CAB ≌△DAB ( SAS ) .
( 2 )∵ △CAB ≌△DAB，
∴ ∠C = ∠D.
练 习
1. 已知：如图，AB，CD 相交于点 O，AO = CO，OD = OB.
求证：△AOD ≌△COB.
2. 已知：如图，AB // CD，且AB = CD. 求证：△ADB ≌△CBD.
D
D C
A
O
C A B
B
( 第1题 ) ( 第2题 )
88
数学 八年级 上册类似的，已知三边所画的三角形也是唯一的，我们还总结出基本事实：
三边分别相等的两个三角形全等.
简记为：边边边或 SSS.
如图 12 - 33，在△ABC 和△A'B'C' 中，如果 AB = A'B'，AC = A'C'，BC =
B'C'，那么△ABC ≌△A'B'C'.
A A'
B C B' C'
图12 - 33
已知：如图12 - 34，在△ABC中，AB = AC，D为BC的中点.
例3
求证：AD 平分∠BAC.
A
：∵ D为BC 的中点，
证明
∴ BD = CD .
在△ABD和△ACD中，
｛AB = AC，
BD = CD，
B D C
AD = AD，
图12 - 34
∴ △ABD ≌△ACD ( SSS ) .
∴ ∠BAD = ∠CAD，
即AD平分∠BAC.
练 习
1. 已知：如图，E，F是线段BC 上两点，AB = DC，AF = DE，BE = CF. 求
证：△ABF ≌△DCE.
2. 已知：如图，AB = CD，AD = CB. 求证：△ABC ≌△CDA.
A B A D
E
F
B C
C D
( 第1题 ) ( 第2题 )
89
第十二章 三角形思 考 与 交 流
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形是否全等？
如图12 - 35，在△ABC 和△A'B'C'中，满足条件∠A = ∠A'，∠B =
∠B'，BC = B'C'. △ABC 和△A'B'C'是否全等？请给出证明.
A A'
A
B C B' C'
图12 - 35
由此推导出判定两个三角形全等的定理：
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.
简记为：角角边或 AAS.
如图12 - 35，在△ABC和△A'B'C'中，如果∠A = ∠A'，∠B = ∠B'，BC = B'C'，
那么△ABC ≌△A'B'C'.
已知：如图12 - 36，∠C = ∠D = 90°，AB平分 ∠CAD.
例4
求证：AC = AD.
：∵ AB平分∠CAD， C
证明
∴ ∠1 = ∠2.
在△CAB和△DAB中，
1
｛∠C = ∠D， B 2 A
∠1 = ∠2，
AB = AB，
D
∴ △CAB ≌△DAB ( AAS ) .
图12 - 36
∴ AC = AD.
思 考 与 交 流
A D
如图 12 - 37，∠ACB = ∠DBC，再增加一
个什么条件，可以判定△ABC ≌△DCB?
B C
图12 - 37
90
数学 八年级 上册已知：如图12 - 38，在四边形ABCD中，AB // CD，AD // BC.
例5
求证：( 1 ) AB = CD； ( 2 ) ∠B = ∠D.
D C
2
3
4 连接AC 试一试.
1
A B
图12 - 38
：( 1 )连接AC.
证明
∵ AB // CD，
∴ ∠1 = ∠2.
∵ AD // BC，
∴ ∠3 = ∠4.
在△CAB和△ACD中，
｛∠1 = ∠2，
CA = AC，
∠3 = ∠4，
∴ △CAB≌△ACD ( ASA ) .
∴ AB = CD.
( 2 ) ∵ △CAB ≌△ACD，
∴ ∠B = ∠D.
练 习
1. 已知：如图，在△ABC 中，D为BC的中点，BE ⊥ AD，交AD的延长
线于点E，CF ⊥ AD 于点F. 求证：BE = CF.
2. 已知：如图，在△ABC 中，AB = AC，AD 平分 ∠BAC，交 BC 于点 D.
求证：AD ⊥ BC.
A A
F
B D C
E B D C
( 第1题 ) ( 第2题 )
91
第十二章 三角形-
习 题 12 2
巩 固
1. 如图，在两个全等三角形中，A 和 E 是一组对应顶点，写出其余的对应顶
点、对应边和对应角.
2. 已知：如图，在△ABC 中，∠B = ∠C，AD ⊥ BC于点D. 求证：BD = CD.
A
A
D
B C
B D C
E
( 第1题 ) ( 第2题 )
3. 已知：如图，C是BE 的中点，AB // DC，AB = DC. 求证：∠A = ∠D.
4. 已知：如图，点C在BE上，AB ⊥ BE，DE ⊥ BE，且 AB = CE，BC = ED. 求证：
AC ⊥ CD.
A D A
D
B C E B C E
( 第3题 ) ( 第4题 )
5. 已知：如图，AC = AE，B是AC 的中点，D是AE的中点. 求证： ∠C = ∠E.
6. 已知：如图，AB // CD，AB = DC，AD交BC于点O. 求证：OA = OD，OB = OC.
B C A B
A O
D
E C D
( 第5题 ) ( 第6题 )
7. 已知：如图，E是AC 的中点，DE // AB，EF // BC . 求证：FE = DC.
8. 已知：如图，AC，BD 交于点O，且OA = OC，OB = OD. 求证：AB // CD，
AD //BC.
A
D C
F E
O
A B
B D C
( 第7题 ) ( 第8题 )
92
数学 八年级 上册9. 已知：如图，AB = CD，AD = BC. D C
求证：AB // CD，AD // BC.
A B
( 第9题 )
提 升
1. 已知：如图，D，E分别是AB，AC上的点，AD = AE，∠1 = ∠2. 求证：AB = AC.
2. 已知：如图，在△ABC中，D，E是BC上两点，AB = AC，AD = AE，BD = CE.
求证： ∠BAE = ∠CAD.
A A
D E
1 2
B C B D E C
( 第1题 ) ( 第2题 )
3. 已知：如图，EB ⊥ AC于点B，AB = EB，D是EB上一点，DB = CB，AD的
延长线交EC 于点F. 求证：AF ⊥ EC.
4. 已知：如图，∠A = ∠D，∠1 = ∠2. 你能证明图中哪些线段相等，哪些角相等吗？
E
A D
F E
D
1 2
B C
A B C
( 第3题 ) ( 第4题 )
5. 已知：如图，E是AC上一点，AD = AB，CD = CB. 你能证明图中哪些线段
相等，哪些角相等吗？
6. 已知：如图，在△ABC中，∠A = 90°，BD是∠ABC的平分线，DE ⊥ BC于点E，
且BE = EC. 求证：AB = EC.
D
A
D
A C
E
B B E C
( 第5题 ) ( 第6题 )
93
第十二章 三角形7. 已知：如图，E，C是BF上两点，且BE = CF，AB = DE，AC = DF. 求证：AB // DE，
AC // DF.
三、 等腰三角形与直角三角形
8. ( 1 ) 已知：如图，△ABC ≌△A'B'C'，D是BC的中点，D'是B'C'的中点. 求证：
AD = A'D'.
( 2 )试用一个命题来表述( 1 )的结论，你能找一个类似的猜想吗？ 12.6
等腰三角形
A D
A A'
1. 等腰三角形
如图12 - 39，△ABC是一个等腰三角形，AB = AC . 其
B E C F B D C B' D' C'
中，AB，AC是腰，BC是底边. ∠A是顶角，∠B，∠C是底角.
( 第7题 ) ( 第8题 )
等腰三角形由于造型美观，因此在建筑上有着广泛的应
9. 如图，在△ABC中，D为BC的中点，过D点的直线GF交AC于点F，交AC
用 . 比如，北京的故宫博物院 ( 图 12 - 40 )，巴黎的卢浮宫
的平行线BG 于点G，DE ⊥ GF 并交AB于点E，连接EG，EF .
的玻璃金字塔( 图12 - 41 ).
( 1 )求证：BG = CF.
( 2 ) 请你猜想 BE + CF与EF的大小关系，并说明理由.
A
E
F
B C 图12 - 40 图12 - 41
D
G
( 第9题 )
实 践
拓 展 一个平面的五角星里面有许多等腰三角形. 下面通过折纸条的方法画一个
1. 从你所学的三角形全等的判定方法中任选一种，自编一道判定两个三角形 五角星，并进行观察.
全等的题目，先画出图形，再写出已知、求证，并完成证明. 先裁一张宽窄一样的纸条，照图12 - 42的顺序打一个纸结，然后拉紧、压平；
2. 刘大伯承包了一个鱼塘（如图），他想知道鱼塘的宽 AB究竟是多少. 把它的五个顶点描在纸上，将不相邻的两个点用线段连接，便得到一个五角星.
请你设计一种测量鱼塘宽度AB的方案，帮助刘大伯解决这个问题.
A B 图12 - 42 图12 - 43
请你通过测量和观察，指出图12 - 43中的五角星中一共有多少个等腰三角形.
( 第2题 )
94
数学 八年级 上册三、 等腰三角形与直角三角形
12.6
等腰三角形
1. 等腰三角形 A
如图12 - 39，△ABC是一个等腰三角形，AB = AC . 其
中，AB，AC是腰，BC是底边. ∠A是顶角，∠B，∠C是底角.
等腰三角形由于造型美观，因此在建筑上有着广泛的应
用 . 比如，北京的故宫博物院 ( 图 12 - 40 )，巴黎的卢浮宫 B C
图12 - 39
的玻璃金字塔( 图12 - 41 ).
图12 - 40 图12 - 41
实 践
一个平面的五角星里面有许多等腰三角形. 下面通过折纸条的方法画一个
五角星，并进行观察.
先裁一张宽窄一样的纸条，照图12 - 42的顺序打一个纸结，然后拉紧、压平；
把它的五个顶点描在纸上，将不相邻的两个点用线段连接，便得到一个五角星.
图12 - 42 图12 - 43
请你通过测量和观察，指出图12 - 43中的五角星中一共有多少个等腰三角形.
95
第十二章 三角形2. 等腰三角形的性质
如图12 - 44，用一张长方形纸片对折、剪开，展开后就得到等腰三角形.
图12 - 44
可以看出，折痕两侧的部分完全重合 . 因此可以判断，等腰三角形是一个
轴对称图形，它的两个底角相等.
利用图形计算器，也可以
直观地看到：不同形状的等 ∠ABC = 65.05°
∠ACB = 65.05°
腰三角形，它的两个底角的
A
∠A'BC = 56.26°
度数都相等，如图12 - 45. A' ∠A'CB = 56.26°
∠A''BC = 44.19°
下面我们来证明等腰三角 A''
∠A''CB = 44.19°
形的两个底角相等. A'''
∠A'''BC = 21.25°
已知：如图 12 - 46，在 B C ∠A'''CB = 21.25°
△ABC中，AB = AC. 图12 - 45
求证：∠B = ∠C.
：作∠BAC 的平分线，交BC于点D. A
证明
∵ AD平分∠BAC，
∴ ∠BAD = ∠CAD.
在△BAD 和△CAD中，
你还有其他证明
｛AB = AC，
方法吗？
∠BAD = ∠CAD， B D C
AD = AD， 图12 - 46
∴ △BAD ≌△CAD ( SAS ) .
∴ ∠B = ∠C.
由此得出等腰三角形性质定理1：
等腰三角形的两个底角相等 ( 简记为：等边对等角 )
. A
已知：如图12 - 47，在△ABC中，AB = AC，
例1
∠A = 120°. 求∠B，∠C分别等于多少度.
B C
：∵ 在△ABC 中，AB = AC， 图12 - 47
解
96
数学 八年级 上册∴ ∠B = ∠C ( 等边对等角 ).
在△ABC 中，∠A + ∠B + ∠C = 180°，
∠A = 120°，
∴ ∠B + ∠C = 180° - 120° = 60°.
∴ 2∠B = 60°.
∴ ∠B = 30°，∠C = 30°.
思 考 与 交 流
A
如图12 - 48，在△ABC 中，AB = AC；在△PBC中，
P
PB = PC. 找出图中相等的角.
B C
图12 - 48
练 习
1. 已知：在△ABC中，AB = AC，∠B = 2 ∠A. 求∠A等于多少度.
2. 已知：在△ABC中，AB = AC，∠B - ∠A = 30°. 求∠A等于多少度.
3. 已知：在△ABC中，AB = AC，∠A = 90°. 求∠B，∠C等于多少度.
思 考 与 交 流
观察图 12 - 49，当△ABC 的顶点 A 在与 BC 平行的直线上移动时，
BC 边上的中线、高线及 ∠A 的平分线会重合吗？当 AB，AC 满足什么
关系时，这三条线互相重合？为什么？
A
A' A A ( A' ) A A'
D
B F ED C B ( E，F ) C B DE F C
图12 - 49
97
第十二章 三角形由此得出等腰三角形性质定理2：
等腰三角形底边上的高线、中线及顶角的平分线重合 ( 简记为：三线合一 )
.
已知：如图12 - 50，在△ABC中，AB = AC. 小明想 A
例2
作∠BAC的平分线，但他没有量角器，只有直尺，他如何作出
∠BAC的平分线？
：取BC 的中点D，连接AD，那么AD平分∠BAC.
解
B D C
理由如下：在△ABC中，AB = AC，AD是底边上的中线，
图12 - 50
根据三线合一，AD 是顶角的平分线.
已知：如图12 - 51，点B，D，E，C在同一直线上，AB = AC，AD =
例 3
AE. 求证：BD = CE.
A
B D F E C
图12 - 51
：取BC 的中点F，连接AF.
证明
在△ABC 中，
∵ AB = AC，
∴ AF ⊥ BC ( 等腰三角形底边上的高线和中线重合 ).
在△ADE中，
∵ AD = AE，
∴ DF = EF ( 等腰三角形底边上的高线和中线重合 ).
∴ BF - DF = CF - EF .
∴ BD = CE .
3. 等边三角形的性质
思 考 与 交 流
1. 等边三角形是等腰三角形吗？
2. 等边三角形的每个角是多少度？
由此得出等边三角形性质定理：
等边三角形的各角都等于60 °.
98
数学 八年级 上册实 践
1. 用等边三角形能拼出图 12 - 52 中的六边形 ( 六条边
相等，六个角也相等 )吗？
2. 能用等边三角形的瓷砖来铺设地面吗？
图12 - 52
思 考 与 交 流
如图 12 - 53，B 是 AC 上一点，△ABD，△BCE 都是等边三角形，
分别连接 AE 和 CD. 图中隐藏着一对全等三角形，你能找出来吗？试
说出道理 .
D
E
A B C
图12 - 53
4. 等腰三角形的判定
思 考 与 交 流
N M
小明用量角器画出 ∠MBC = ∠NCB，其中 BM
和 CN 交于点 A ( 图 12 - 54 )，那么，△ABC 是一 A
个什么形状的三角形呢？
你能应用三角形全等的知识证明你的判断吗？ B C
图12 - 54
甲、乙、丙三位同学在图 12 - 54 的△ ABC 中各添加了一条辅助线
( 图12 - 55 )，你能用哪位同学添加辅助线的方法证明AB = AC？
99
第十二章 三角形A A A
B D C B E C B F C
甲：作 ∠BAC的平分线， 乙：取BC的中点E， 丙：过点A作AF ⊥ BC
交BC于点D 连接AE 于点F
图12 - 55
由此推出等腰三角形判定定理：
有两个角相等的三角形是等腰三角形 ( 简记为：等角对等边 )
.
已 知： 如 图 12 - 56， 在 △ABC 中，AB = AC，∠A = 36°，BD 平 分
例 4
∠ABC. 问图中共有多少个等腰三角形. 试说明理由. A
：图中共有3个等腰三角形，它们是△ABC，△BCD，
解
△DAB.
理由如下： D
由已知条件可以计算出∠ABC = ∠C = 72°，∠ABD = 36°，
∠BDC = 72°. 根据“等角对等边”可以判断图中的 3 个三角 B C
图12 - 56
形都是等腰三角形.
5. 等边三角形的判定
思 考 与 交 流
60°的角是顶角
1. 三个角都相等的三角形是什么三角形？
还是底角？
2. 有一个角是 60° 的等腰三角形是什么三角形？
由此得出等边三角形的判定定理：
三个角都相等的三角形是等边三角形.
有一个角是60 °的等腰三角形是等边三角形.
已知：如图12 - 57，△ABC是等边三角形，DE // BC，DE分别交AB，
例5
AC于点D，E. 试判断△ADE的形状.
：∵ △ABC 为等边三角形，
解
∴ ∠A = ∠B = ∠C = 60°.
100
数学 八年级 上册∵ DE // BC， A
∴ ∠ADE = ∠B = 60°，
∠AED = ∠C = 60°.
D E
∴ ∠A = ∠ADE = ∠AED.
∴ △ADE是等边三角形 ( 三个角都相等的三角形是
B C
等边三角形 ) . 图12 - 57
你还能用其他方法判断出△ADE是等边三角形吗？
12.7
直角三角形
A
1. 直角三角形
如图12 - 58，△ABC是一个直角三角形，∠ACB = 90°，可
以表示为Rt△ABC. 其中AB 是斜边，BC，AC是直角边.
B C
2. 直角三角形的性质与判定
图12 - 58
思 考 与 交 流
直角三角形的两个锐角有什么关系？为什么？
由此得到直角三角形的一个性质定理：
直角三角形的两个锐角互余.
如图12 - 58，在Rt△ABC 中，∠C = 90°，则∠A + ∠B = 90°.
思 考 与 交 流
如果一个三角形有两个角互余，你能判定这个三角形的形状吗？
由此我们可以得到直角三角形的一种判定方法：
有两个角互余的三角形是直角三角形.
101
第十二章 三角形如图 12 - 59，在△ABC 中，如果 ∠A + ∠B = 90°，那么 A
△ABC是直角三角形.
3. 直角三角形全等的判定
在直角三角形中，由于有一个角是直角，在判定两个
直角三角形全等时，除了应用“ASA”、“SAS”、“SSS”或
B C
“AAS”外，还有其他方法吗？ 图12 - 59
实 践
已知线段 a，c，如图 12 - 60．请画一个 Rt△ABC，
a
使它满足：一条直角边 BC 为 a，斜边 AB 为 c. 然后把
c
△ABC 剪下来，并与同学的三角形互相叠放在一起，它们
图12 - 60
能完全重合吗？
由此我们可以得到判定两个直角三角形全等的定理：
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.
简记为：斜边、直角边或HL
. A A'
如图12 - 61，在△ABC和△A'B'C'中，如果∠C =
∠C' = 90°，AB = A'B'，BC = B'C'，那么Rt△ABC ≌Rt△A'B'C'.
已知：如图12 - 62，在△ABC中，BD ⊥ AC
例
于点D，CE ⊥ AB于点E，且BD = CE.
B C B' C'
求证：AB = AC. 图12 - 61
：在△BDC 和△CEB中，
证明
∵ BD ⊥ AC 于点D，CE ⊥ AB于点E， 只要证出∠ABC = ∠ACB即可.
∴ ∠BDC 和 ∠CEB 都是直角 .
在Rt△BDC和Rt△CEB中， A
｛BD = CE，
BC = CB，
E D
∴ Rt△BDC ≌Rt△CEB ( HL ) .
∴ ∠BCD = ∠CBE. B C
图12 - 62
102
数学 八年级 上册∴ AB = AC.
由此可知，两条边上的高相等的三角形是等腰三角形.
探究学习
这样的三角形全等吗？
两条边及其中一边的对角分别相等的两个三角形是否全等？如果全
等，请说明理由；如果不全等，请画出一个反例的图形.
在图12 - 63中，AB = A'B'，AC = A'C'，∠B = ∠B'，显然△ABC ≌△ A'B'C' .
A A'
B C B' C'
图12 - 63
在图12 - 64中，AB = A'B'，AC = A'C'，∠B = ∠B'，显然△ABC ≌△A'B'C' .
A A'
B C B' C'
图12 - 64
通过以上两个例子，你能作出判断吗？
-
习 题 12 3
巩 固
1. 等腰三角形的顶角为140°，求它的每个底角分别是多 D
A
少度.
2. 已知：如图，在△ABC中，AB = AC，D是BA延长线上
B C
一点. 如果∠DAC = 70°，求∠B，∠C分别是多少度.
( 第2题 )
3. 求下列三角形的周长：
( 1 ) 等腰三角形中，一条边的长是1 cm，另一条边的长是2 cm.
( 2 ) 等腰三角形中，一条边的长是2 cm，另一条边的长是3 cm.
103
第十二章 三角形4. 直角三角形中，一个锐角等于另一个锐角的2倍. 求较小的锐角等于多少度.
5. 已知：如图，在△ABC中，∠1 = ∠2，DE // AB. 求证：△ADE是等腰三角形.
6. 已知：如图，在△ABC 中，D，E是BC上两点，且AB = AC，BD = CE. 判
断图中有哪些角相等，哪些线段相等，并证明你的判断.
7. 已知：如图，在△ABC中，AB = AC，D是BC的中点，DE ⊥ AB于点E，DF ⊥ AC
于点F. 求证：DE = DF.
A
A
A
1 2 E F
E
B D C B D E C B D C
( 第5题 ) ( 第6题 ) ( 第7题 )
8. 已知：如图，在△ABC 中，AB = AC，BE，CD 分别是 ∠ABC，∠ACB 的平
分线. 求证：BE = CD.
9. 已知：如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点D，过点D作BC
的平行线，交AB于点E，交AC于点F. 求证：( 1 ) EB = ED；( 2 ) FC = FD；( 3 ) EF =
EB + FC.
10. 已知：如图，在四边形 ABCD 中，AB = AD，CB = CD，AC 与 BD 交于点
E. 求证：( 1 ) ∠1 = ∠2；( 2 ) AC ⊥ BD.
A
A
1 2
A
B D
E
D E
E D F
B C B C C
( 第8题 ) ( 第9题 ) ( 第10题 )
11. 已知：如图，∠A = ∠B，CE // AD. 求证：CB = CE.
12. 已知：如图，△ABC 为等边三角形，D，E，F 分别是 AB，BC，CA 上一
点，且AD = BE = CF. 求证：△DEF是等边三角形.
A
C
D D
F
B E C
A E B
( 第11题 ) ( 第12题 )
104
数学 八年级 上册13. 已知：如图，在△ABC中，AB = AC，D是△ABC内一点，DB = DC. 求证：
∠ABD = ∠ACD.
14. 已知：如图，∠ACB = ∠ADB = 90°，AD = AC，E是AB上一点. 判断图中
有几对相等的角，并证明你的判断.
D
A
E
A B
D
B C
C
( 第13题 ) ( 第14题 )
提 升
1. 求证：等腰三角形两腰上的高相等.
2. 等腰三角形的顶角比每个底角大30°. 求顶角是多少度.
3. 已知：如图，在△ABC中，AB = AC，D是AC上一点，DA = DB = BC. 求∠A等
于多少度.
4. 已知：如图，△ABC 是等边三角形，BD ⊥ AC于点D，延长 BC到点E，使
CE = CD. 求证：DB = DE.
A
B
D
B E
C
C D A
( 第3题 ) ( 第4题 )
5. 已知：如图，在△ABC中，AB = AC，∠BAC = 120°，AD ⊥ AC. 求证：△ABD
是等腰三角形.
1
6. 已知：如图，在△ABC中，AB = AC，BD ⊥ AC于点D. 求证：∠DBC = ∠BAC.
2
B
A
B D C C D A
( 第5题 ) ( 第6题 )
105
第十二章 三角形7. 已知：如图，△ABC为等边三角形，点D，E在直线BC上，且DB = CE = BC.
求证：AD = AE.
8. 已知：如图，△ABC是等边三角形，AD ⊥ BC于点D，CE // AB，且AE ⊥ EC.
求证：AE = AD.
E C
A
D
D B C E A B
( 第7题 ) ( 第8题 )
拓 展
数学小组想检验如图所示的桌子摆放得是否水平，他们运用所学的等腰三角形
的知识解决了这个问题.
请你设计一种检验方案，并说明理由.
四、 尺规作图及轴对称
12.8
尺规作图
我们除了利用直尺、量角器、三角板等工具完成一些作图外，还要学习利
用直尺( 无刻度 )和圆规完成作图，称之为 .
尺规作图
我们知道，直尺( 无刻度 )和圆规可以完成如下基本操作：
( 1 )过两点作直线( 射线、线段 ).
106
数学 八年级 上册( 2 )延长线段成直线( 射线 ).
( 3 )以已知点为圆心，定长为半径作圆( 圆弧 ).
这样，尺规作图问题就可以按照上述基本操作进行有限次的组合来完成
了. 比如，作一条线段等于已知线段.
体会圆规是如何代替
已知：线段a.
“刻度”的.
求作：一条线段，使它等于线段a.
：( 1 )作射线OA； a
作法
( 2 ) 以点O为圆心，a为半径作弧，交OA于点B.
所以线段OB 就是所求作的线段( 图12 - 65 ). O B A
图12 - 65
实 践
a
按要求作三角形：
b
已知：线段a，b，c ( 如图12 - 66 ) .
c
求作：△ABC，使BC = a，AC = b，AB = c. 图12 - 66
1. 作一个角等于已知角
已知：∠AOB．
例1
求作：一个角，使它等于∠AOB．
：欲作一个角等于 ∠AOB，联想到全等三角形的对应角相等，可以先
分析
构造一个以∠AOB为内角的三角形，再作与之全等的三角形.
：( 1 ) 作射线O'A'；
作法
( 2 ) 以点O为圆心，任意长为半径作弧，交OA于点C，交OB于点D；
( 3 ) 以点O'为圆心，OC 的长为半径作弧C'E'，交O'A'于点C'；
( 4 ) 以点C'为圆心，CD 的长为半径作弧，交弧C'E'于点D'；
( 5 ) 过点D'作射线O'B'．
所以∠A'O'B'就是所求作的角( 图12 - 67 ) .
B B'
E'
D D'
为什么∠A'O'B' = ∠AOB？
O C A O' C' A'
图12 - 67
107
第十二章 三角形2. 作角的平分线 B
已知：∠AOB.
例2 E
求作：射线OC，使它平分∠AOB.
C
：( 1 ) 以点O为圆心，任意长为半径作弧，交
O
作法 D A
OA于点D，交OB于点E；
图12 - 68
1
( 2 ) 分别以点D，E为圆心，以大于 DE的长为半
2
为什么有半径“大于
径作弧，两弧交于点C；
1
( 3 ) 作射线OC． DE”的要求？
2
所以射线OC 就是所求作的射线 ( 图12 - 68 ).
思 考 与 交 流
如图12 - 69，OP是∠AOB的 CN = 0.56 cm B
平分线，C是OP上任意一点，CM ⊥ CM = 0.56 cm
P
N
OA于点M，CN ⊥ OB于点N，探
C
究CM与CN 之间的关系. O A
M
图12 - 69
当点 C 在 OP 上移动时，观察 CM 与 CN 的数量关系，你可以得出什么猜
想？试对你的猜想进行证明.
由此可以总结出角平分线的性质：
角平分线上的点到角两边的距离相等.
已知：如图 12 - 70，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，CA = CB，AD 平
例 3
分 ∠BAC，DE ⊥ AB于点E. C
求证：DC = BE.
D
：∵DE ⊥ AB，
证明
∴ ∠C = ∠DEA = 90°.
A E B
又∵ AD平分∠BAC，
图12 - 70
∴ DC = DE ( 角平分线上的点到角两边的距离相等 ) .
∵ ∠C = 90°，CA = CB，
∴ ∠B = 45°.
108
数学 八年级 上册∴ ∠EDB = 180° - 90° - 45° = 45°.
∴ ∠B = ∠EDB .
∴ BE = DE .
∴ DC = BE .
实 践
B
如图12 - 71，P是∠AOB内一点，PC ⊥ OA于点C， D
PD ⊥ OB于点D，且PC = PD. P
O
猜想：点P在什么位置上？你能证明你的猜想吗？ C A
图12 - 71
通过上述活动，我们得到定理：
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
3. 作线段的垂直平分线
垂直于一条线段并过这条线段中点的直线叫作这条线段的 . 又
垂直平分线
称线段的中垂线.
思 考 与 交 流
1. 如图 12 - 72，CD 是线段 AB 的垂直平分线，P 是 CD 上一点，
分别连接 PA，PB. 当点 P 在 CD 上移动时，观察 PA，PB 长度的关系，
可得出什么猜想？能证明你的猜想吗？
2. 如图12 - 73，PA = PB，点P在什么位置上？
C
PA = 2.4 cm
P P
PB = 2.4 cm
A B
D
A B
图12 - 72 图12 - 73
109
第十二章 三角形类比角平分线的两个定理，可以得出线段垂直平分线的两个定理：
1.线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
2.到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上 .
已知：线段AB.
例4
求作：线段AB的垂直平分线.
：欲作线段AB 的垂直平分线，可以分别找到两点，使得这两点到线段
分析
AB 的两个端点距离相等，然后过这两点作直线，就得
到线段AB 的垂直平分线.
C
1
：( 1 )分别以点A，B 为圆心，大于 AB的长
作法 2 A B
为半径作弧，两弧分别交于点C，D；
D
( 2 )作直线CD.
所以直线CD 就是所求作的直线( 图12 - 74 ) . 图12 - 74
练 习
1. 已知直线l以及直线上一点A. 求作：过点A与直线l垂直的直线.
2. 已知直线l以及直线外一点B. 求作：过点B与直线l垂直的直线.
已知：如图12 - 75，AC = AD，BC = BD，E是直线AB上任意一点.
例5
A
E
C D
B
图12 - 75
求证：EC = ED.
：∵ AC = AD，
证明
∴ 点 A 在线段 CD 的垂直平分线上 ( 到线段两端距离相等的点在线段
的垂直平分线上 ) .
同理可证：点B在线段CD 的垂直平分线上.
110
数学 八年级 上册根据两点确定一条直线，可知直线AB是线段CD的垂直平分线.
∵ 点E在直线AB上，
∴ EC = ED ( 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 ) .
练 习
如图，在△ABC中，AB = AC，用尺规作出BC的垂直 A
平分线，看看它是否经过点A.
B C
4. 作三角形 a
已知两边及其夹角，求作三角形. b
例6
已知：线段a，b及∠α ( 图12 - 76 ).
α
求作：△ABC，使BC = a，AC = b，∠C = ∠α. 图12 - 76
：欲作一个三角形，使其两边分别等于a，b，其夹角等于∠α，先作
分析
∠DCE等于∠α，然后在这个角的两条边上分别截取CB = a，CA = b，再连接AB即可.
：( 1 )作∠DCE = ∠α；
作法
E
( 2 )在射线CE 上截取CB = a；
B
( 3 )在射线CD 上截取CA = b；
C A D
( 4 )连接AB.
图12 - 77
所以△ABC 就是所求作的三角形( 图12 - 77 ).
练 习
已知：线段a，b ( 如图 ) .
a
求作：Rt△ABC，使一条直角边AC = a，斜边BC = b .
b
实 践
已知等腰三角形的底边及底边上的高，怎样作出这个等腰三角形？
111
第十二章 三角形12.9
逆命题、逆定理
我们已经知道，一个命题可以写成“如果……，那么……”的形式. 比如：“两
条直线平行，内错角相等”，也可以写成：如果两条直线平行，那么内错角相等.
又如：“对顶角相等”，可以写成：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等.
我们把命题“两条直线平行，内错角相等”的条件和结论写在表12 - 2中：
表12 - 2
条件 结论
两条直线平行 内错角相等
把条件和结论交换一下位置，便得到一个新命题，如表12 - 3：
表12 - 3
条件 结论
内错角相等 两条直线平行
两个命题，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的
结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫作互逆命题 . 如果把其中的一
个命题叫作原命题，那么另一个命题叫作它的逆命题.
思 考 与 交 流
1. 请你把“对顶角相等”这个命题的条件和结论填在表 12 - 4 中，
然后再写出它的逆命题，并判断这两个命题的真假.
表12 - 4
条件 结论
原命题
逆命题
2. 把命题“如果两个三角形全等，那么对应角相等”的条件和结论
填在表12 - 5中，然后再写出它的逆命题.
表12 - 5
条件 结论
原命题
逆命题
112
数学 八年级 上册根据上面的“思考与交流”，请你判断一个真命题的逆命题是否一定是真命题.
定理是能作为推理依据的真命题 . 如果一个定理的逆命题也是定理，就可
以称这两个定理是互逆定理.
想一想，你知道“等边对等角”定理的逆定理吗？
12.10
轴对称和轴对称图形
实 践
A
把一张半透明白纸对折，按照图12 - 78 的样
B
子描出图形，并在对折页上拓出相应图形，然后
C
把纸展开，观察得到的图形有什么特点.
( 1 ) ( 2 )
图12 - 78
我们发现，由图12 - 78 ( 1 ) 得到的图形是一个完整
的图形 ( 如图12 - 79 ) . 当我们把这个图形沿折痕翻折过
来时，图形的两部分能够完全重合，这样的图形叫作
轴
，中间的折痕所在的直线叫作 .
对称图形 对称轴
由于轴对称图形比较美观，所以在现实生活中的应 图12 - 79
用十分广泛，如在建筑物、工艺品、生活用具中均可找到轴对称图形.
思 考 与 交 流
1. 图 12 - 80 所示的交通标志中，哪些是轴对称图形？并画出这些
轴对称图形的对称轴.
图12 - 80
113
第十二章 三角形2. 图 12 - 81 选自历届冬奥会体育项目图标，其中哪些图标是轴对
称图形？并画出这些轴对称图形的对称轴.
图12 - 81
我们再来看图12 - 78 ( 2 ) 打开后的情形 ( 如图12 - 82 ) .
M M
A A' A A'
B B' B B'
C C' C C'
N N
( 1 ) ( 2 )
图12 - 82
△ABC和△A'B'C'是成轴对称的两个图形，互相重合的点叫作 . 连
对应点
接图12 - 82 ( 1 )中的对应点，如图12 - 82 ( 2 )，观察对应点连线与对称轴的关
系，可以得出轴对称的性质：
成轴对称的两个图形中对应点的连线被对称轴垂直平分.
实 践
在图 12 - 83 中，分别画出与△ABC 关于直线 l 成轴对称的图形，并通过
折叠的方法验证你画的是否正确.
l l l
A A A
B
B B
C C C
图12 - 83
将一个平面图形通过翻折得到它的对称图形的图形运动为轴对称 . 实际
上，成轴对称的两个图形中的任何一个可以看作由另一个图形经过轴对称而得
到，一个轴对称图形也可以看作以它的一部分为基础经轴对称而形成.
114
数学 八年级 上册练 习
1. 观察图中两组图案，你能分别说出最后图案的形成过程吗？
( 1 )
( 2 )
( 第1题 )
2. 请你分别在图( 1 ) ( 2 )中画出点P关于直线l 对称的点P′，再画出点P′
1
关于直线l 对称的点P″ .
2
3. 请你在图中的正方形内填充适当的图案，使它们和正方形内的蓝色三
角形关于虚线所在直线对称 .
( 1 ) ( 2 )
( 第2题 ) ( 第3题 )
借助轴对称的有关知识，我们可以从运动的角度更清楚地分析、解决一些
几何问题.
如图12 - 84，点A，B在直线l同侧，点C与 A
例
点 B 关于直线 l 对称，连接 AC 交直线 l 于点 D，求证： B
AD + DB = AC． l
D
：借助轴对称的知识，可知点 C 与点 B 是对 C
分析
应点，DB与DC 能够完全重合. 图12 - 84
：∵ 点C与点B关于直线l对称，
证明
115
第十二章 三角形∴ 直线l是线段BC的垂直平分线.
∵ 点D在直线l上，
∴ DB = DC．
∴ AD + DB = AD + DC.
∵ 点D在线段AC上，
∴ AD + DC = AC.
∴ AD + DB = AC.
-
习 题 12 4
巩 固
1. 用尺规完成以下作图：
( 1 )已知：∠AOB. 求作：一个角，使它等于∠AOB.
( 2 )已知：∠COD. 求作：∠COD的平分线.
( 3 )已知：线段MN. 求作：MN的垂直平分线.
M
O C
O
A B D N
( 1 ) ( 2 ) ( 3 )
( 第1题 )
2. 把下列命题写成“如果……，那么……”的形式：
( 1 )等腰三角形的两个底角相等；
( 2 )等边三角形的每个角都等于60°；
( 3 ) 直角三角形中，两个锐角互为余角.
3. 写出下列命题的逆命题，并判断真假：
( 1 ) 全等三角形的对应边相等；
( 2 )个位数字是5的整数一定可以被5整除.
4. 下列图形中，哪些一定是轴对称图形？
( 1 )长方形； ( 2 )圆； ( 3 )等边三角形； ( 4 )角；
( 5 )线段； ( 6 )等腰三角形； ( 7 )直角三角形.
5. 如图，请先画出△ABC关于直线 l 对称的△A B C ，再画出△A B C 关于
1 1 1 1 1 1 1
直线l 对称的△A B C .
2 2 2 2
116
数学 八年级 上册( 第5题 )
6. 请画出两个轴对称图形并标出对称轴.
提 升
1. 已知下列条件，用尺规作三角形：
( 1 )已知：线段a，b. 求作：等腰三角形，使它的腰长为a，底边长为b.
( 2 )已知：线段a，b. 求作：直角三角形，使它的两条直角边长分别为a，b.
( 3 )已知：线段a. 求作：等边三角形，使它的边长为a.
a a
a
b b
( 1 ) ( 2 ) ( 3 )
( 第1题 )
2. 已知下列条件，用尺规完成下列作图：
( 1 ) 已知： ∠α，∠β，线段a. 求作：△ABC，使AB = a，∠A = ∠α，∠B = ∠β.
( 2 )已知：∠α，∠β. 求作：∠AOB，使∠AOB = ∠α + ∠β.
α β
α β
a
( 1 ) ( 2 )
( 第2题 )
3. 请把“成轴对称的两个图形中对应点的连线被对称轴垂直平分”这个命题的
条件和结论填在表中，然后写出它的逆命题，并判断其真假.
条件 结论
原命题
逆命题
117
第十二章 三角形4. 如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AB = AC + CD . 求证：∠C = 2∠B .
5. 如图，在△ABC中，作线段 BC的对称轴分别交 AB，BC于点 D，E，连接
CD . 如果△ACD的周长是11，BC = 8，求△ABC的周长．
A A
D
B D C B E C
( 第4题 ) ( 第5题 )
拓 展
1. 如图，村庄 A，B分别在笔直公路 l的两侧 . 在公路的什么位置设置车站，
可以使车站到A，B两村庄的距离相等？请找出车站的位置，并说明理由 .
2. 如图，要在燃气管道 l 上修建一个泵站，分别向 A，B 两城镇供气 . 泵站修
在管道的什么位置，可使所用的输气管线最短？
( 第1题 ) ( 第2题 )
3. 为班级设计一枚轴对称图形( 可以有两条以上对称轴 ) 的徽章.
数 学 文 化
阅读理解
傅种孙与几何作图
傅种孙 ( 1898—1962 ) 是我国著名的数学家
和数学教育家，在数理哲学、数理逻辑、几何基
础和数学史方面有深入的研究. 傅种孙在年轻时
已有深厚的文史功底，并且在数学方面兼通中
西，是将数理逻辑和西方数学基础研究引入中国
的第一个数学家. 他培养了大批数学人才，并撰
118
数学 八年级 上册有多部颇具影响的初等数学教材，被誉为数学教育的一代宗师和中国
现代数学教育的先驱.
北京师范大学在百年校庆之际，出版了一套
《教授文库》，收录了知名的革命家、教育家、科学
家和作家的未经公开发表过的著作，其中就包括傅
种孙的《几何基础研究》. 该书主要源于傅种孙在
1930年前后编写的讲义，其中专设“作图”章节来
研究几何作图问题，其论述对我们今天学习几何作
图仍有很大启发. 现摘录部分内容如下.
一、通论
作图与证定理大有相类处：在证定理，无根据不许开口；在作图，
无成法不许动手.
二、分析
思索作法之道，千百其方. 然无论其道何出，于正式作图之先，必须：
( 1 )假定其图既成，绘一草图，备具设定件及求作件.
( 2 )添绘有重要关系之点、线等.
( 3 )尽量考究图中各件之大小、位置及相互之关系，另笔之于图旁，
其有位置既定者用特种颜色或标识记出；其有大小已知者别用特种颜
色或标识记出；其余逐渐推知或算得者逐渐标识之.
( 4 ) 上项工作至求作件之大小位置全然决定而止；如犹未能决定，
复添次要之补助线，继续考究.
此之谓分析.
三、规范
作图题解法分五股：
第一，设定. 罗列题中设定之件，必全必备.
第二，求作. 言明题中求作之图，须备具条件.
第三，作法. 叙述作图之方法. 其敷设或动作之次序务须记载详明.
第四，证明. 证明上述作法所得之图形为求作者.
第五，推究 . 作图题之有解、无解、能解、不能解、定解、不定解、
一解、多解，悉系夫设定件之大小、位置及其相互之关系.
119
第十二章 三角形五、 勾股定理
12.11
勾股定理
还记得吗？我们在认识无理数的时候，曾经用边长为2 的正方形纸片折出
了边长为 2的正方形，发现等腰直角三角形的三边有特殊的数量关系. 那么，
对于任意一个直角三角形的三边，是否也有这种关系呢？
实 践
用直尺和圆规作以下三个直角三角形，使它们的两条直角边分别为 3 cm，
4 cm；6 cm，8 cm；5 cm，12 cm . 然后度量出它们斜边的长.
我们发现，它们的斜边长分别为5 cm，10 cm和13 cm.
你能从 3 cm，4 cm，5 cm；6 cm，8 cm，10 cm；5 cm，12 cm，13 cm 这三
组数据中发现什么规律吗？
我们看到：
3 2 + 4 2 = 5 2，6 2 + 8 2 = 10 2，5 2 + 122 = 13 2.
由此猜想：
弦 股
在直角三角形中，斜边长的平方等于两条直角边长的平方的和.
以上规律很早就被我国古代劳动人民发现了，他们把直角
三角形较短的直角边叫作勾，较长的直角边叫作股，斜边叫作 勾
图12 - 85
弦( 图12 - 85 ).
我国古代的《周髀算经》①便记载有周
①《 周髀算经》成书于西汉或更
公与商高 ( 殷末周初 ) 的一段对话 . 商高说： 早时期，是长期积累编纂而成的
“……勾广三，股修四，径隅五 . ”其中“勾 数理天文学著作. 原名《周髀》，
唐代李淳风( 602—670 )等加“算
广”就是勾长，“股修”就是股长，“径隅”就
经”两字.
是弦长.
120
数学 八年级 上册由此得到勾股定理：
在直角三角形中，两直角边长的平方和等于斜边长的平方 .
如图12 - 86 ( 1 )，在△ABC中，∠C = 90°，设它的两直角边长分别为a，b，
斜边长为c，那么
a 2 + b 2 = c 2.
b a
a c c b
B 图中有几个正方形？
c
c
c b b
a
a
A C
a b
( 1 ) ( 2 )
图12 - 86
下面我们利用纸片拼图，通过计算面积来证明这个定理.
先作四个全等的直角三角形 ( 如图 12 - 86 ( 1 ) )，然后照图 12 - 86 ( 2 ) 的
样子将它们拼成正方形. 可以得到
1
( a + b ) 2 = 4 × ab + c 2.
2
∴ a 2 + 2ab + b 2 = 2ab + c 2. 为什么？
∴ a 2 + b 2 = c 2.
思 考 与 交 流
从古至今，勾股定理的证明一直吸引着人们去研究和探索，证明方
法也层出不穷.
你想到用什么方法证明勾股定理了吗？
已知：在Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = 8，BC = 3 2 . 求AC.
例1
：在Rt△ABC 中，
解
∵ ∠C = 90°，
∴ BC 2 + AC 2 = AB 2 ( 勾股定理 ).
∴ AC 2 = 8 2 - ( 3 2 ) 2 = 46.
∴ AC = 46 .
121
第十二章 三角形已知：在等边三角形ABC中，AB = 4. 求△ABC的面积.
例2
：作AD ⊥ BC 于点D，如图12 - 87 .
解
∵ △ABC 为等边三角形，
A
∴ AB = AC = BC = 4.
∵ AD ⊥ BC 于点D，
1
∴ BD = BC = 2.
2
B D C
在Rt△ABD 中，
图12 - 87
∵ ∠ADB = 90°，
∴ AB 2 = AD 2 + BD 2 ( 勾股定理 ).
∴ AD = AB 2 - BD 2 = 4 2 - 2 2 = 2 3 .
1
∴ S = · BC· AD = 4 3 .
△ABC 2
实 践
B
欲作长度分别是 2， 3， 4， 5 的线段， B 1 1 2 1 B
1 3
仔细观察图12 - 88，找出表示 2， 3， 4， 5
B
的线段.
1
你还能继续作出表示长度分别为 6， 7 的
C 1 A
线段吗？
图12 - 88
练 习
1. 在Rt△ABC中，已知∠C = 90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c.
( 1 ) 如果∠B = 45°，a = 1，求b，c的长；
( 2 ) 如果∠A = 45°，c = 2，求a，b的长.
2. 在Rt△ABC中，已知∠C = 90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c.
( 1 ) 如果a = 0.3，b = 0.4，求c的长；
( 2 ) 如果a = 9，b = 12，求c的长.
122
数学 八年级 上册3.《 九章算术》“勾股”章有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出
水一尺，引葭赴岸，适与岸齐. 问水深、葭长各几何. 用现代语言可表述如
下：现有一个正方形的水池，边长为1丈，初生的芦苇长在了水池中央，高
出水面1尺①. 将芦苇往岸边引，恰好与岸边相接. 问水有多深，芦苇有多长.
芦苇
水池
①尺、丈为古代计量长度单位.
1丈 = 10尺，1 m = 3尺.
( 第 3 题 )
12.12
勾股定理的逆定理
实 践
1. 写出勾股定理的逆命题，并判断它的真假.
2. 三条线段 a，b，c 的长度分别为 8 cm，15 cm，17 cm. 作出以 a，b，c
为三边的三角形，量一量c边所对的角为多少度.
3. 分别以 3 cm，4 cm，5 cm；5 cm，12 cm，13 cm 两组数据为三角形的
边长作三角形，并判断这两个三角形的形状.
由此得到勾股定理逆定理：
如果三角形的三边a，b，c长满足a 2 + b 2 = c 2，那么这个三角形是直角三角形.
已知：在△ABC 中，AB = c，BC = a，AC = b，
A A'
且a 2 + b 2 = c 2 ( 图12 - 89 ).
求证：∠C = 90°.
：作△A'B'C'，使 ∠C' = 90°，B'C' = BC，
证明
A'C' = AC. B C B' C'
∴ A'B' 2 = a 2 + b 2. 图12 - 89
123
第十二章 三角形∵ c 2 = a 2 + b 2，
∴ A'B' 2 = c 2 = AB 2.
∴ A'B' = AB.
∴ △ABC ≌△A'B'C' ( SSS ) .
∴ ∠C = ∠C' = 90°.
判断下列以a，b，c为边的三角形是否为直角三角形.
例
( 1 ) a = 2，b = 3，c = 13 ；
( 2 ) a = 3，b = 5，c = 7.
：( 1 ) ∵ a 2 = 4，b 2 = 9，c 2 = 13，
解
∵ 4 + 9 = 13，
∴ a 2 + b 2 = c 2.
根据勾股定理逆定理，这个三角形是直角三角形.
( 2 ) ∵ a 2 = 9，b 2 = 25，c 2 = 49，
∵ 9 + 25 ≠ 49，
∴ a 2 + b 2 ≠ c 2.
为什么？
根据勾股定理，这个三角形不是直角三角形.
练 习
如图，边长分别为3，4，5的三个正方形如图摆放，则所
围成的三角形是直角三角形，为什么？
-
习 题 12 5
巩 固
1. 填空：
( 1 ) 直角三角形的两条直角边的长分别为2，4，那么斜边的长为 .
( 2 ) 直角三角形的一条直角边的长为 1，斜边长为 3，那么另一条直角边的
长为 .
( 3 ) 直角三角形的斜边长为5，一条直角边的长为另一条直角边的长的2倍，
124
数学 八年级 上册那么这个三角形的周长为 .
( 4 ) 在△ABC中，∠A = 90°，∠B = 45°，BC = 2，那么AB的长为 .
( 5 ) 等腰三角形的一腰长为4，底边长为2，那么它底边上的高为 .
2. 如图，一棵大树被雷击，折断的一段恰好落在地面上的A处，量得BC = 5 m，AC =
10 m. 试求这棵大树的高度 ( 结果精确到1 m ) .
B
C A
( 第2题 ) ( 第3题 )
3. 如图，长为 4 m 的梯子斜靠在墙上与地面成 45°，工人作业时调整为 60°，
则梯子的顶端沿墙面升高了多少米（结果精确到0.1 m）？
4. 判断下列以a，b，c为边的三角形是否为直角三角形.
( 1 ) a = 5，b = 7，c = 9； ( 2 ) a = 1，b = 2，c = 5；
( 3 ) a = 2，b = 2，c = 2 2； ( 4 ) a = 2，b = 3，c = 5.
5. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，试判断△ABC的形状.
C
A
B
( 第5题 )
提 升
1. 已知：如图，∠B = ∠ACD = 90°，AB = BC = 2，CD = 1. 求AD的长.
2. 已知：如图，∠C = ∠D = 90°，AC = 8，BC = 6，AD = 7. 求BD的长.
C
A
8 6
A B
2
D
1 7
B 2 C D
( 第1题 ) ( 第2题 )
125
第十二章 三角形3. 等腰三角形的一腰长为 4 cm，底边长为 3 cm. 求它的 A D
面积.
4. 利用两个全等的直角三角形，如图所示，将它们拼成
一个梯形. 请根据此图证明勾股定理.
5. 若三角形的三边长分别为 a，b，c，且满足等式 ( a +
E
b ) 2 - c 2 = 2ab，试判断这个三角形的形状.
6. 如图，在四边形ABCD中，AB ⊥ BC，AB = 1，BC = 2， B C
CD = 2，AD = 3，求四边形ABCD的面积. ( 第4题 )
7. 已知：如图，在△ABC 中，AD ⊥ BC 于点 D，AB + CD = AC + BD. 求证：
AB = AC.
A
D
A
B C
B C D
( 第6题 ) ( 第7题 )
拓 展
1. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙上时，梯子底端到左
墙根的距离为 0.7 m，顶端距离地面 2.4 m. 如果保持梯子底端位置不动，将
梯子斜靠在右墙上时，顶端距离地面2 m，那么小巷的宽度为多少米？
2. 如图，在直线上依次摆着 7个正方形，已知倾斜放置的 3个正方形的面积分
别为1，2，3，水平放置的4个正方形的面积分别是S ，S ，S ，S ，则S ，
1 2 3 4 1
S ，S ，S 的和是多少？你发现这7个正方形摆放的规律了吗？用你所发现的
2 3 4
规律继续摆放正方形，一直到S ，那么S，S，…，S ，S 的和是多少？
1 000 1 2 999 1 000
3
2
1
S 1 S 2 S 3 S 4
( 第1题 ) ( 第2题 )
126
数学 八年级 上册数 学 文 化
阅读理解
勾股定理史话
《周髀算经》的开篇，就是商高与周公的对话.
昔者周公问于商高曰：“窃闻乎大夫善数也 . 请问古者包牺立周天
历度. 夫天不可阶而升，地不可将尺寸而度. 请问数安从出. ”
商高曰：“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩 . 矩出于
九九八十一，故折矩 . 以为勾广三，股修四，径隅五 . 既方之，外半
其一矩，环而共盘 . 得成三四五，两矩共长二十有五，是谓积矩 . 故
禹之所以治天下者，此数之所生也. ”
在商高的回答中，不但揭示了勾股定理这一命题，而且给出了勾
股定理的证明方法.
在证明过程中，“折矩”这件事情非常重要 . 如图 12 - 90，把一
个长方形 ( 又名矩形 ) 沿对角线折叠，可以得到两个全等的直角三角
形 . 反之，用全等的直角三角形不但可以拼成长方形，而且还可以拼
成其他图形，变化繁多. 这正是折矩的关键所在.
图12 - 90
“既方之”，给出了证明的思路 . 即分别以直角三角形的勾、股、
弦三边为边作正方形 . 从几何看，得到了三个正方形，不妨称它们为
勾方、股方、弦方 . 从代数看，得到了三边的平方：勾2、股2、弦2. 那
么，想要得到：
勾2 + 股2 = 弦2，
只需证明：
S + S = S .
勾方 股方 弦方
下面，如何构造勾方、股方、弦方，为己所用呢？
首先，以直角三角形的勾、股为边，在直角三角形的外侧作出勾
方和股方，如图 12 - 91. 然后考虑弦方作在什么位置 . 为了便于实现
127
第十二章 三角形对图形的割补，将弦方作在勾方和股方的同侧，
使得三方有公共部分.
弦
股
如图12 - 92，将原直角三角形以股、弦的
交点为旋转中心，逆时针旋转90°到股方中，这 勾
样就得到了弦方的第二条边. 同时，旋转后的直
角三角形可以看作是在股方中折矩出现的，如图
12 - 93，这就是“外半其一矩”. 将折矩直角三 图12 - 91
角形继续变化，“环而共盘”，就作出了弦方，如图12 - 94．
股 股
弦 勾 弦 勾
弦 股 弦 股 弦 股
勾 勾 勾
图12 - 92 图12 - 93 图12 - 94
下面进行割补术，即将弦方之外的勾方、股方“无缝填补”到弦
方中．如图 12 - 95，显然，可以把①添补到②的位置 . 而且可以证明
③④两个三角形全等，故可以先把③添补到④的位置，这样④⑤恰是
一个折矩直角三角形，以股、弦的交点为旋转中心，顺时针旋转 90°
到弦方中，如图 12 - 96. 但是，此时⑥已经有颜色了，可以证明⑦和
⑥的面积相等，这样就填补了最后一片空白⑦，如图12 - 97.
①
② ⑥
③
⑦
⑤
④
图12 - 95 图12 - 96 图12 - 97
这样，就证明了S + S = S ，从而得到了勾2 + 股2 = 弦2.
勾方 股方 弦方
上述方法不但证明了勾股定理，而且还得到了“副产品”. 即弦
方的面积还等于四个折矩直角三角形的面积与中间小正方形 ( 边长为
128
数学 八年级 上册股 - 勾 )面积的和. 于是得到
( 股 - 勾 )2 = 股2 - 2 ×勾×股 + 勾2，
即差的完全平方公式．
如果在弦方外侧“环而共盘”，如图12 - 98，大正方形（边长为
勾 + 股 )面积还等于勾方、股方、四个折矩直角三角形的面积和. 于是得到
( 勾 + 股 )2 = 勾2 + 2 ×勾×股 + 股2，
即和的完全平方公式．
弦
股
勾
图12 - 98
随后，三国时期吴国的数学家赵爽注《周髀算经》，从多个角度证
明了勾股定理，其中著名的“弦图”也是类似前面的证明方法.
三国时期魏国的数学家刘徽注《九章算术》，对勾股定理的证明，
也是“既方之”，区别是勾方和股方的位置不同，如图 12 - 99，然后“勾
自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不移
动也. 合成弦方之幂，开方除之，即弦也”. 如图12 - 100.
朱出
朱方
弦 股 青入
青入
勾
青方
朱入
青出
青出
图12 - 99 图12 - 100
以上的证明均可谓别具匠心，富有创新意识. 用几何图形的截、割、
拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性 . 开
129
第十二章 三角形创了中国古代“以形证数”的方法 . 形数统一、代数和几何紧密结合
的特点在这里得到了印证 . 后来的数学家们大多继承了这一方法并且
有所发展，只是图形的具体分、合、移、补略有不同而已.
在商高与周公对话 500 多年以后，国外也发现了勾股定理，证明
方法同样各具特色，其中也有“既方之”，只是把弦方作到了勾方、股
方的异侧，如图12 - 101，方法还是利用图形的变化.
弦
股
勾
图12 - 101
中国古代数学家对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具
有独特的地位 . 尤其是其中体现的“数形统一”的思想方法，更具有
科学创新的意义 . 正如当代中国数学家吴文俊所说：“在中国的传统数
学中，数量关系与空间形式往往是形影不离地并肩发展着的……17 世
纪笛卡儿( René Descartes，1596—1650 )解析几何的发明，正是这种传
统思想与方法在几百年停顿后的重现与继续. ”
探究学习
三角形全等的应用
利用图形计算器探索.
已知：线段 AB 及平面内任意一点 C，分别以 AC，BC 为边，在 AB
同侧作等边三角形ACE，等边三角形BCD .
( 1 ) 如图 12 - 102 ( 1 )，当点 C 在线段 AB 上移动时，AD = BE 是否
总成立？证明你的结论.
130
数学 八年级 上册( 2 ) 如图12 - 102 ( 2 ) ，拖动点C，使点C在直线AB外，观察AD =
BE 是否仍成立. 证明你的结论.
( 3 ) 如图12 - 102( 3 ) ( 4 ) ，如果△AEC，△BDC均为等腰直角三角形，
AD = BE是否成立？证明你的结论.
E E
D D
C
A C B A B
( 1 ) ( 2 )
E
E D
D
A C B A C B
( 3 ) ( 4 )
图12 - 102
关 注 联 系 回顾与整理
本章是“图形与几何”领域中“图形的性质”主题的主要
组成部分 . 我们从三角形的边角关系开始，先后学习了全等三
角形的判定，以及等腰三角形、直角三角形等图形的性质和判
定. 明确了尺规作图的原理和方法.
在本章的学习过程中，我们需要感悟几何体系的基本框
架：通过定义确定论证的对象，通过基本事实确定论证的起
点，通过证明确定论证的逻辑，通过命题确定论证的结果 . 本
章强调通过实验探究、直观发现、推理论证来研究三角形 . 在
直观理解和掌握三角形有关内容的基础上，经历得到和验证数
学结论的过程，感悟具有传递性的数学逻辑，形成几何直观和
推理能力 . 经历尺规作图的过程，增强动手能力，能想象出通
过尺规作图的操作所形成的图形，理解尺规作图的基本原理与
方法，发展空间观念和空间想象力.
131
第十二章 三角形聚 焦 基 础
三角形 内角 外角 中线 重心 高线 角平分线 线
段垂直平分线 全等三角形 等腰三角形 等边三角形 直
角三角形 轴对称图形 三角形内角和定理及推论 三角形
边的性质定理 全等三角形判定的基本事实及定理 角平分
线的性质定理及其逆定理 线段垂直平分线的性质定理及其逆
定理 等腰三角形性质及判定定理 等边三角形的性质及判
定定理 直角三角形的性质及判定定理 勾股定理及其逆定
理 成轴对称的两个图形的基本性质 尺规作图
明 确 要 求
1. 理解三角形、全等三角形、角平分线、线段垂直平分
线、等腰三角形、直角三角形的概念.了解三角形的稳定性.
2. 探索并证明三角形的内角和定理，掌握它的推论 . 证明
三角形三边的性质.掌握判定三角形全等的基本事实及定理.
3. 探索并证明角平分线、线段垂直平分线的性质定理及逆
定理.
4. 探索并证明等腰三角形的性质定理及判定定理 . 探索等
边三角形的性质定理 . 探索并掌握直角三角形的性质定理及判
定定理 . 探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简
单的实际问题.
5. 理解轴对称的概念，探索它的基本性质 . 能画出简单平
面图形 ( 点、线段、直线、三角形等 ) 关于给定对称轴的对称
图形 . 理解轴对称图形的概念，认识并欣赏自然界和现实生活
中的轴对称图形．
6. 能完成所要求的尺规作图.
深 入 思 考
1. 你能复述“聚焦基础”中每一个知识的具体内容吗？
2. 你能举出一个符合某个概念的例子吗？
132
数学 八年级 上册3. 你能在教科书的例题或练习中找到符合“明确要求”中
的某一条的示例吗？如果找不到，你能编写一个示例吗？
4. 你能发现本章所学知识的内在联系，并用画图的方法显
示出来吗？
复 习 题
巩 固
1. 用长度分别为 2 cm，2 cm，3 cm，4 cm，5 cm 的五条线段中的三条，可以
组成多少个三角形？请画出这些三角形.
2. 在△ABC中，∠A = 100°，∠B的一个外角等于120°．求∠C等于多少度.
3. 三角形的两条边长分别为5 cm和8 cm．求第三边的长度范围.
4. 三角形有一个外角是锐角，判断这个三角形的形状.
5. 三角形的周长为15 cm，三条边的长是三个连续整数. 求这三条边的长.
6. 三角形的一个内角等于其他两个内角的差，试判断这个三角形的形状.
7. 判断：
( 1 )全等三角形的面积相等； ( )
( 2 )面积相等的两个三角形全等； ( )
( 3 )顶角相等的两个等腰三角形全等； ( )
( 4 )有一对角为45°的两个直角三角形全等； ( )
( 5 )底边相等的两个等腰三角形全等； ( )
( 6 )有一条边长相等的两个等边三角形全等. ( )
8. 已知：如图，AB，CD，EF交于点O，且AO = BO，CO = DO．求证：EO = FO．
9. 求证：等腰三角形两腰上的中线相等.
10. 已知：如图，E是AC 上一点，AB = AD，CB = CD. 求证：BE = DE.
11. 已知：如图，在△ABC 中，AB = AC，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB.
求证：DB = DC.
D A
A D
E
E A C
F D
O
B
C B B C
( 第8题 ) ( 第10题 ) ( 第11题 )
133
第十二章 三角形12. 用直尺和圆规作一个45°的角.
13. 写出命题：等腰三角形顶角的平分线也是底边上的中线的逆命题，并判断真假.
14. 已知：如图，∠B = 90°，AB = BC，∠ACD = 90°，AD = 3，CD = 1．求AB的长.
A B
C
D
( 第14题 )
提 升
1. 三角形的两个外角都是钝角，那么这个三角形的形状是( ) .
A. 锐角三角形 B. 直角三角形
C. 钝角三角形 D. 无法确定
D
2. 在三角形的每一个顶点处只取一个外角，那么在三个外角中，
A
最多有多少个锐角？
3. 已知：如图，在△ABC中，AB = AC，D是BA延长线上一点. 求证：
∠DAC = 2∠B.
4. 已知 a，b，c 是三角形的三条边长，a + b + c = 12，a + b = B C
2c，a - b = 2. 试判断这个三角形的形状.
( 第3题 )
5. 写出下列命题的逆命题，并判断真假：
( 1 ) 如果x = 0，那么x ( x + 1 ) = 0；
( 2 ) 在同一个三角形中，等边对等角.
6. 已知：如图，△ABC 是等边三角形，AE = BD，AD 与 CE 交于点 F. 求
∠CFD等于多少度.
A
E
F
B D C
( 第6题 )
7. 等腰三角形的腰长为 m. 求底边长x的取值范围.
8. 等边三角形的边长为 a cm. 求它的面积.
134
数学 八年级 上册9. 已知：如图，AB = AC，BD ⊥ AC 于点D，CE ⊥ AB于点E，BD与CE交于
点F，连接AF. 图中共有多少对全等的三角形？说明理由.
10. 已知：如图，在△ABC中，AB = AC，D是AB上一点，延长AC到点E，使
CE = DB，DE 与BC交于点F. 求证：DF = EF .
A
A
D
E D B C
B F C F
E
( 第9题 ) ( 第10题 )
11. 如图，在△ABC中，∠ACB = 90°，AC = BC，分别过A，B两点向经过顶点
C的直线作垂线AE和BF，垂足分别为E，F . 求证：EF = AE + BF .
12. 如图，在△ABC中，AB = AC，AD是BC边上的中线，AE ⊥ BE于点E，且
1
BE = BC . 求证：AB平分∠EAD .
2
A
E
C
F
E
A B B D C
( 第11题 ) ( 第12题 )
拓 展
1. 如图，四边形ABCD中，AB = AD，点B关于AC的对称点B'恰好落在CD上. 若
∠BAD = α，求∠ACB等于多少度 ( 用含α的式子表示 ).
D
B'
A C
B
( 第1题 )
135
第十二章 三角形2. 如图，将一大一小两个等腰直角三角形拼接起来 ( A，B，D三点共线，AB =
CB，EB = DB，∠ABC = ∠EBD = 90° )，连接AE，CD. 试确定AE与CD的位置
关系与数量关系，并证明你的结论 .
3. 如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E，F分别是边AB，AC上的点，
并且有 ∠EDF + ∠EAF = 180°. 试判断DE和DF的数量关系，并说明理由.
A
C
E
E
F
A B D B D C
( 第2题 ) ( 第3题 )
4. 已知：如图，运用全等三角形的知识，设计一种测量河宽的方案，并证明你设
计的方案的合理性.
( 第4题 )
136
数学 八年级 上册综合与实践
小小设计师—用密铺装饰墙面
项目背景
同学们，你观察过工人师傅用瓷砖装饰地面或者墙面吗？( 图ZH - 1 )
他们用形状相同或者不同的瓷砖，既无缝隙又不重叠地铺满地面或者墙
面 . 在数学中，也有专门研究能够铺满整个平面而
不留空隙的瓷砖图形的分支—密铺.
图ZH - 2是由数学爱好者玛乔丽·赖斯设计的，
她用全等的五边形完成密铺，并制作了美丽的插画图
案. 受此启发，你能用密铺设计一个美丽的图案，装
饰教室内的墙壁吗？
图ZH - 1
图ZH - 2
项目实施
问题 1：识别并描述图ZH - 3中图案是用哪些几何图形密铺而得到
的？举例说说生活中的密铺图案.
( 1 ) ( 2 ) ( 3 )
( 4 ) ( 5 ) ( 6 )
图ZH - 3
137
综合与实践 小小设计师—用密铺装饰墙面问题2：试一试，用全等的正三角形能够密铺吗？用全等的正方形、
正六边形呢？还能找到其他能密铺的正多边形吗？如图 ZH - 4，用纸片
摆一摆，并说说你的发现和其中的道理.
图ZH - 4
问题3：想一想，如果要求选用两种正多边形进行密铺，你能给出一个
密铺的方案吗？进一步思考，能进行密铺的两种正多边形应满足什么条件？
问题 4：通过以上的探索和发现，你想用哪些几何图形来密铺教室
的墙面呢？希望你展开想象的翅膀，设计出美丽而有特色的图案！
项目总结
除了贴瓷砖要用到密铺的知识，密铺在其他方面也有很重要的应
用 . 比如，电脑显卡大都是利用三角形的密铺性质实现渲染的 . 在制造
业，为了减少原材料的浪费，在制作模型时也要尽可能使用密铺的图形.
自然界中，蜜蜂是密铺的高手，如图ZH - 5. 将蜂巢切开，会发现它
的横断面恰是正六边形的密铺！你知道，在正三角形、正方形和正六边形
中，当面积一定时，谁的周长最小呢？当周长一定时，谁的面积最大呢？
图ZH - 5
138
数学 八年级 上册综合与实践
重心在哪里
项目背景
古代，北宋画家王希孟将其热爱祖国江山的情怀深藏于青山绿水中，
完成了传世名画 ；现在，人们将其作画的心路历程写意于舞蹈之中：舞
蹈诗剧《只此青绿—舞绘〈千里江山图〉》把我们带入一个充满传奇色
彩的中国传统美学之旅，展现了中国传统美学之魅力 . 图ZH - 1 是其中
的一个舞蹈动作，你是否知道这舞蹈动作的背后隐藏着的科学知识—
对重心的巧妙运用？
图ZH - 1
我们知道，地球表面附近的物体，由于地球的吸引而受到的力就是
重力 . 对于整个物体，重力作用的表现就好像作用在某一个点上，这个
点就是物体的重心.
实际上，自你出生之日起，无论是第一次翻身、爬行、直立行走，
还是随后进行的各种体育运动，都在有意识无意识地调整你的重心，以
保持身体的平衡 . 此外，重心在工程中也具有重要的意义：飞机的重心
位置决定着它能否安全飞行，舰船的重心位置影响它航行的稳定性，水
坝的重心位置关系到坝体在水压力作用下能否保持平衡，高速旋转机械
的重心位置若不在旋转的轴线上将会产生剧烈的振动……总之，重心与
物体的平衡、物体的运动以及构件受力后能否安全工作有着紧密的联系.
那么，一个物体的重心在什么位置呢？下面我们先将物体抽象成简
单的几何图形开始探索.
139
综合与实践 重心在哪里项目实施
问题1：线段的重心在什么位置？
选取一根质地均匀的细木棒AB，细木棒AB可以近似地看作线段. 在
细木棒上选取一个位置C，用细绳在位置C将细木棒拴住并吊起，观察细
木棒能否在水平位置保持平衡，否则调整C的位置，直到细木棒能在水平
位置保持平衡，如图ZH - 2. 根据杠杆的平衡原
理，对于均匀的细木棒，当支点与重心重合时，
细木棒才能够在水平位置保持平衡状态，所以
位置C就是物体的重心. 测量AC，BC的长度，
A B
并记录. 采用不同长度、质地均匀的细木棒， C
反复实验，并记录. 图ZH - 2
问题2：三角形的重心在什么位置？
复习本册教科书关于“三角形中的主要线段”的知识，其中给出了
确定三角形重心位置的方法，并用笔尖托住了一块质地均匀的三角形薄
板，使之保持平衡.
下面我们用“悬挂法”，探求质地均匀的三角形薄板ABC的重心.
在三角形的每个顶点位置固定一根大头针，作为悬挂点 . 首先在顶
点 A 处系一根铅垂线，将三角形悬挂起来，当三角形稳定后，记下铅垂
线与 BC 边的交点 D，作出线段 AD. 换顶点 B 重复上述操作，作出线段
BE，并记下两条线段的交点 P，如图ZH - 3. ( 在第三个顶点 C 重复上
述操作，观察第三条线段过交点 P 吗 ? ) 在点 Р 处固定一根大头针，再
用细绳拴住大头针，将三角形吊起 . 此时，三角形在水平位置保持平衡
状态 . 根据物理学中二力平衡条件，当三
角形在水平位置处于平衡状态时，物体受
B
到的重力方向与拉力方向在同一条直线
D
上，因此，三角形的重心既在直线 AD上，
又在直线 BE上. 因此，三角形 ABC的重 P C
心在交点 P 处 . 测量 BD，CD，BP，EP
E
的长度，并记录 . 采用不同形状大小、质
A
地均匀的三角形薄板，反复实验，并记
录. 验证之前所学的结论. 图ZH - 3
140
数学 八年级 上册问题3：四边形的重心在什么位置？
当我们遇到新问题时，将新问题转化为相关的旧问题，是一种常用
的解决问题的方法 . 所以，要确定四边形的重心，可以考虑将四边形转
化为三角形，在确定三角形的重心后，再考虑如何“还原”确定四边形
的重心. 请你尝试确定图ZH - 4中四边形ABCD的重心. 然后用“悬挂
法”，通过探求质地均匀的四边形薄板 ABCD 的重心，验证你的猜想是
否正确，如图ZH - 5.
B
D
A C
A
E
P
C
F
D
B
图ZH - 4 图ZH - 5
问题4：圆的重心在什么位置？
作一个圆，尝试确定圆的重心 . 然后用“悬挂法”，通过探求质地
均匀的圆形薄板的重心，验证你的猜想是否正确.
在此基础上，寻找一个平面图形，使其重心的位置不在这个图形
上 . 然后在质地均匀的薄板上作出这个平面图形，利用这块薄板用“悬
挂法”探求其重心位置.
问题5：长方体、正方体、圆柱的重心分别在什么位置？
“悬挂法”只适用于确定平面图形的重心，对于立体图形无法使用“悬
挂法”. 但是，通过前面的学习，你已经能探究特殊的四边形—平行
四边形、长方形和正方形的重心位置 . 在此基础上，请你通过查阅资料，
尝试在图ZH - 6的立体图形中，作出每个立体图形的重心.
图ZH - 6
141
综合与实践 重心在哪里项目总结
通过以上的实验探究，我们对重心有了新的认识：可以通过数学方
法确定物体的重心位置，并通过物理方法验证其正确性.
重心在数学中有一些特殊的性质，以三角形为例，有下列关于重心
的性质 . 请你先用测量等方法验证，然后通过查阅资料，尝试证明这些
性质.
1. 重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1.
2. 重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等.
另外，有了理论知识，应用于实践就更加得心应手了，下面给出了
几个小实验，请你来试一试.
1. 使身体的一侧从上到下 ( 包括脚 ) ，紧贴竖直的墙壁站好，试试
能否抬起一只脚并坚持一会儿?
2. 空易拉罐直立放在桌面上，很容易被碰倒 . 取适量水注入空易拉
罐，易拉罐不但能站稳，而且还能倾斜站立：调整易拉罐内水量，把易
拉罐倾斜，让其边缘立在桌面上，调整其角度，找到平衡点后，其就会
稳稳地站立于桌面上了 ( ZH - 7 ) .
图ZH - 7
142
数学 八年级 上册第十三章
事件与可能性
元旦期间，商场举行有奖促销活动，凡购物满100元，可获奖券一张，凭
奖券可以参加本商场的幸运抽奖活动. 小明在这个商场购物后，得到一张奖券，
他去抽奖，一定能抽到奖吗？
我们在小学通过试验、游戏等活动，感受了“随机现象发生的可能性”，本章
我们将了解必然事件、不可能事件、随机事件的含义，并对一些简单随机事件发
生可能性的大小作出定量描述. 这样，我们就可以正确地认识上面的抽奖问题了.一、 事件
13.1
必然事件与随机事件
在日常生活中，我们经常需要对一些在一定条件下将要发生的事情作出判
断：哪些事情一定会发生？哪些事情一定不会发生？哪些事情可能会发生？
思 考 与 交 流
表 13 - 1 列举的事件中，哪些一定会发生？哪些一定不会发生？哪
些可能会发生？请你作出判断．
表13 - 1
序号 事件 判断
( 1 ) 掷一枚骰子，朝上一面的点数是3
从分别写有2，4，6三个数字的三张卡片中随机抽出
( 2 )
一张，卡片上的数字能被2 整除
( 3 ) 从装满红球的袋子中随机摸出一个球，是白球
实 践
口袋中装有l角的硬币2枚、5角的硬币l枚，从
中随机摸出2枚硬币，在表13 - 2列举的事件中，哪些
一定会发生？哪些一定不会发生？哪些可能会发生？
表13 - 2
序号 事件 判断
( 4 ) 两枚硬币币值的和正好是2角
( 5 ) 两枚硬币币值的和正好是7角
( 6 ) 两枚硬币币值的和不超过6角
144
数学 八年级 上册上面列举的事件中，事件 ( 2 ) ( 6 ) 一定会发生，像这样的事件称为
必然
．
事件
事件 ( 3 ) ( 5 )一定不会发生，像这样的事件称为 ．
不可能事件
事件 ( 1 ) ( 4 ) 可能会发生，也可能不会发生，像这样的事件称为 ．
随机事件
随机事件是否会发生，是我们预先不能够确定的．
思 考 与 交 流
我们本章研究的事件，按它发生的情况可以怎样进行分类？分为哪
几类？
一定会发生 必然事件
能够确定
是否会发生
事件 一定不会发生 不可能事件
不能够确定
随机事件
是否会发生
练 习
1. 下列事件中，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？
( 1 ) 王叔叔申请了北京市小客车购买指标，在申请后的第一次“摇号”
时就中签；
( 2 )掷一枚硬币，落地后正面和反面同时朝上；
( 3 ) 在只含有4件次品的若干件产品中随机抽出5件，至少有一件是合格品.
2. 一个盒子里只装有4个球，除颜色外都相同，其中有1个红球，3个黄
球. 把下列事件的序号填入下表．
( 1 ) 从盒子里随机摸出1个球，摸出的是黄球；
( 2 ) 从盒子里随机摸出1个球，摸出的是白球；
( 3 ) 从盒子里随机摸出2个球，至少有1个是黄球.
事件 必然事件 不可能事件 随机事件
序号
145
第十三章 事件与可能性-
习 题 13 1
二、 可能性
巩 固
1. 下列事件中，哪些是随机事件？哪些是必然事件？哪些是不可能事件？
( 1 ) 在平面上画一个三角形，其内角的和为360°； 13.2
随机事件发生的可能性
( 2 ) 打开电视机，正在播放排球比赛；
( 3 ) 哥哥的年龄比弟弟的年龄大.
我们来做一个摸球试验.
2. 掷一枚骰子，观察朝上一面的点数 . 下列事件中，哪些是必然事件？哪些是
一个箱子里装有5个除颜色外都相同的球，其中有4个红球，1个黑球.
不可能事件？哪些是随机事件？
( 1 ) 点数小于1；
思 考 与 交 流
( 2 ) 点数大于1；
如果从箱子里随机摸出一个球，摸到的球一定是红球吗？为什么？
( 3 ) 点数大于0；
( 4 ) 点数等于6. ( 第2题 )
3. 如图，是一个转盘，用力转动转盘，当它停止后，指针对准下列数字区域的
事件中，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？（当指针
实 践
对准区域的边线时，规定为它指向的是其右边相邻区域）
每位同学的口袋里只装有4个红球，1个黑球.
( 1 ) 能被8整除的数字；
1 7 每位同学把口袋里的球搅匀后，从中随机摸出一个球，记下球的颜色，统
( 2 ) 奇数数字；
2
6 计全班同学试验的结果填在表13 - 3中：
( 3 ) 小于8的数字；
3
5 表13 - 3
( 4 ) 偶数数字. 4
( 第3题 ) 摸到球的颜色 红 黑
提 升 摸到的人数
书箱里只有10本大小相同、厚薄差不多的书. 从中随机摸出一本，如果“摸出
一本小说”是下列事件，分别确定书箱里小说的数量是多少或在什么范围内：
在我们随机摸一个球时，摸到每个球的机会是相等的 . 但是，摸到哪种颜
( 1 )必然事件；
色的球是不确定的. 因此“摸到红球”与“摸到黑球”都是随机事件.
( 2 )不可能事件；
根据全班同学所摸到的球的颜色统计结果，我们发现摸到红球的同学多，
( 3 )随机事件.
摸到黑球的同学少.
由于口袋里红球的数量( 4个 )比黑球的数量( 1个 )多，因此，摸到红球的机
拓 展
盒子里有除颜色外都相同的6 个球，其中有红球和白球. 搅匀后，如果从中随 会比摸到黑球的机会多，也就是说，摸到红球的可能性比摸到黑球的可能性大.
机摸出 3 个球时“至少有 2 个红球”是随机事件 . 求盒子里的红球可能有多少 由此可见，随机事件发生的可能性是有大小的.
个. ( 写出红球的所有可能个数 ) 如图13 - 1是一个可以转动的转盘. 盘面上有8个全等的扇形区域，
例 1
146
数学 八年级 上册二、 可能性
13.2
随机事件发生的可能性
我们来做一个摸球试验.
一个箱子里装有5个除颜色外都相同的球，其中有4个红球，1个黑球.
思 考 与 交 流
如果从箱子里随机摸出一个球，摸到的球一定是红球吗？为什么？
实 践
每位同学的口袋里只装有4个红球，1个黑球.
每位同学把口袋里的球搅匀后，从中随机摸出一个球，记下球的颜色，统
计全班同学试验的结果填在表13 - 3中：
表13 - 3
摸到球的颜色 红 黑
摸到的人数
在我们随机摸一个球时，摸到每个球的机会是相等的 . 但是，摸到哪种颜
色的球是不确定的. 因此“摸到红球”与“摸到黑球”都是随机事件.
根据全班同学所摸到的球的颜色统计结果，我们发现摸到红球的同学多，
摸到黑球的同学少.
由于口袋里红球的数量( 4个 )比黑球的数量( 1个 )多，因此，摸到红球的机
会比摸到黑球的机会多，也就是说，摸到红球的可能性比摸到黑球的可能性大.
由此可见，随机事件发生的可能性是有大小的.
如图13 - 1是一个可以转动的转盘. 盘面上有8个全等的扇形区域，
例 1
147
第十三章 事件与可能性其中1个是红色，2个是绿色，2个是白色，3个是黄色. 用
绿
力转动转盘，当转盘停止后，指针指向哪种颜色区域的可 黄 白
绿
能性最小？指向哪种颜色区域的可能性最大？ 白
黄
黄
：用力转动转盘，转盘停止后，指针指向每个区
红
分析
域都有相等的机会，只需比较各种颜色区域数量的多少.
图13 - 1
：因为红色区域数量最少( 1个 )，而黄色区域数量最多
解
( 3个 )，所以，指针指向红色区域的可能性最小，指向黄色区域的可能性最大.
思 考 与 交 流
指针指向白色区域与指向绿色区域的可能性有什么关系？
不难看出：由于白色区域和绿色区域的数量相等( 都是2个 )，因此，指针
指向这两种颜色区域的可能性也相等.
掷一枚骰子，观察朝上一面的点数，比较下列事件发生的可能性
例 2
大小.
( 1 )点数小于2； ( 2 )点数是奇数；
( 3 )点数是偶数； ( 4 )点数大于2.
：掷一枚骰子，每个面朝上的机会相等，6个面上的点数分别是：1点、
分析
2 点、3 点、4 点、5 点、6 点 . 因此，只需比较事件中包含这些点数所在面数
量的多少，即可比较这些面出现的可能性的大小.
：掷一枚骰子，每个面朝上的机会相等，“点数小于2”的面有1个，“点
解
数是奇数”和“点数是偶数”的面都有 3 个，“点数大于 2”的面有 4 个 . “点
数小于2”出现的可能性小于“点数是奇数”和“点数是偶数”出现的可能性，
更小于“点数大于 2”出现的可能性 . 其中“点数是奇数”和“点数是偶数”
出现的可能性相等.
练 习
1. 从你们班级同学的学号中随机找出一名同学，这名同学是男生还是女生
的可能性相等吗？如果不相等，哪个大？
148
数学 八年级 上册2. 从一副54张的扑克牌中随机抽出一张，比较下列事件发生的可能性的大小：
( 1 ) 抽到大王或小王； ( 2 ) 抽到梅花；
( 3 ) 抽到方块； ( 4 ) 抽到黑桃A.
-
习 题 13 2
巩 固
1. “事件可能发生”是指事件 ( ) .
A. 一定会发生 B. 也许会发生，也许不会发生
C. 发生的机会很少 D. 发生的机会很多
2. 下面是代号分别为 A，B，C 的三个转盘，每个转盘上有四个全等的区域，
颜色分布如图所示，将转盘的代号字母填在下面各题的空白处.
黄 黄 绿
绿 黄 绿 绿 绿 黄
黄 黄 绿
A B C
( 第2题 )
( 1 ) 转动转盘 ，当转盘停止后，指针指向绿色区域的可能性比指向
黄色区域的可能性大；
( 2 ) 转动转盘 ，当转盘停止后，指针指向绿色区域和指向黄色区域
的可能性相等.
3. 从一副除大王和小王以外的52 张扑克牌中随机抽出一张，比较抽出的牌是
下列结果的可能性的大小：
( 1 ) 红色； ( 2 ) 黑桃； ( 3 ) 梅花； ( 4 ) 方块A.
提 升
1. 在你们学校中随机找出两个人 . 这两个人同时出生在 10 月份的可能性大，
还是同时出生在星期日的可能性大？
2. 口袋里有 10 个除颜色外完全相同的球，其中有 x 个红球、y 个白球，没有
其他颜色的球. 从中随机摸出一个球：
149
第十三章 事件与可能性( 1 ) 如果摸到红球与摸到白球的可能性相等，分别求x和y的值；
( 2 ) 如果摸到红球的可能性大于摸到白球的可能性，分别求x和y的可能值.
拓 展
从有 2 名男生和 3 名女生的 5 名同学的学号中，随机找出 4 名同学 . 试问找出
“2 名男生和 2 名女生”与找出“1 名男生和 3 名女生”的可能性哪个大？请说
明理由.
13.3
求简单随机事件发生的可能性的大小
在前一节的学习中，我们知道，随机事件发生的可能性是有大小的.
这一节，我们来学习求简单随机事件发生的可能性的大小.
例如，口袋里有5个除颜色外都相同的球，其中有4个红球，1个黑球. 我
们给红球编号为①、②、③、④ . 从口袋里随机摸出一个球，通过前一节的摸
球试验我们知道，摸到每个球的机会都相等，因此，摸出一个球的所有可能的
结果有5个，即“红球①”、“红球②”、“红球③”、“红球④”和“黑球”，而且
每个结果发生的可能性相等.
其中，“摸出红球”的可能结果有4个，“摸出黑球”的可能结果有1个.
那么，“摸出红球”和“摸出黑球”事件发生的可能性大小分别是：
4
摸出红球的可能性大小： = 0.8；
5 分子是摸出红球的可能结果个数，分母
是摸出一个球的所有可能的结果个数.
1
摸出黑球的可能性大小： = 0.2.
5
由此可知，事件发生的可能性大小可以用数值表示，通常用P 表示，记作
P ( 事件 ) . 在上面的例子里，“摸出红球”事件发生的可能性大小可以记作：
4
P ( 摸出红球 ) = = 0.8.
5
思 考 与 交 流
从上面的实例分析和计算过程中，你能归纳、概括出计算随机事件
发生的可能性大小的方法和步骤吗？
150
数学 八年级 上册一般地，随机事件发生的可能性大小的计算方法和步骤是：
( 1 )列出所有可能发生的结果，并判定每个结果发生的可能性相等；
( 2 )确定所有可能发生的结果个数n和其中出现所求事件的结果个数m；
( 3 )计算所求事件发生的可能性大小：
m
P ( 事件 ) = .
n
思 考 与 交 流
掷一枚瓶盖，求“盖面朝上”事件发生的可能性大小，能用上面的
公式计算吗？为什么？
罐子里有 10 枚除颜色外完全相同的棋子，其中有 4 枚为黑子，6 枚
例 1
为白子. 从罐子里随机摸出一枚棋子，求下列事件发生的可能性大小：
( 1 )摸出一枚黑子； ( 2 )摸出一枚白子.
：从罐子里随机摸出一枚棋子的所有可能的结果有10个：4个结果是
分析
“摸出黑子”，6个结果是“摸出白子”，而且每个结果发生的可能性相等 .
：因为所有可能发生的结果有 10 个，而且每个结果发生的可能性相
解
等 . 其中，出现“摸出黑子”的结果有 4 个，出现“摸出白子”的结果有 6
个. 所以，“摸出一枚黑子”和“摸出一枚白子”事件发生的可能性大小分别是：
4
P ( 摸出一枚黑子 ) = = 0.4；
10
6
P ( 摸出一枚白子 ) = = 0.6.
10
掷一枚骰子，观察朝上的面上的点数. 求下列事件发生的可能性大小：
例2
( 1 ) 点数是4； ( 2 )点数是奇数.
：朝上面上的点数可能出现的结果有6 个，而且每个结果发生的可能
分析
性相等.
：因为所有可能发生的结果有6个，而且每个结果发生的可能性相等. 其
解
中，“点数是4”的结果有1个，“点数是奇数”的结果有3个. 所以，“点数是4”
和“点数是奇数”事件发生的可能性大小分别是：
1
P ( 点数是4 ) = ；
6
151
第十三章 事件与可能性3
P ( 点数是奇数 ) = = 0.5.
6
思 考 与 交 流
必然事件和不可能事件发生的可能性大小分别有多大？
我们知道，从装有5个相同红球的口袋里随机摸出一个球，“摸出一个红球”
和“摸出一个白球”分别是必然事件和不可能事件. 可以计算出“摸出一个红
球”( 必然事件 )和“摸出一个白球”( 不可能事件 )发生的可能性大小分别是：
5
P ( 必然事件 ) = = 1；
5
0
P ( 不可能事件 ) = = 0.
5
练 习
口袋里有除颜色外完全相同的15个球，其中有1个红球、5个黄球、9个
绿球.
从口袋里随机摸出一个球，那么：
( 1 )摸出红球的可能性大小是 ；
( 2 )摸出黄球的可能性大小是 ；
( 3 )摸出绿球的可能性大小是 ；
( 4 ) 摸出白球的可能性大小是 .
思 考 与 交 流
在日常生活中，会遇到一些求简单事件发生的可能性大小问题，应
当怎样解决呢？
小华有一串形状、大小差不多的钥匙，其中只有2把能开教室门锁，
例3
其余 3 把是开其他门锁的 . 随机摸出 1 把钥匙开门锁，求小华能打开教室门锁
152
数学 八年级 上册的可能性大小.
：从 5 把钥匙中随机摸出 1 把，所有可能摸到的钥匙有 5 种情况，而
分析
且摸到每把钥匙的可能性相等.
：因为所有可能摸到的钥匙有5 种情况，而且摸到每把钥匙的可能性相
解
等. 其中，“能开教室门锁钥匙”有2种情况.
所以，摸到能开教室门锁钥匙的可能性大小是：
2
P ( 摸到能开教室门锁钥匙 ) = = 0.4.
5
答：小华随机摸一把钥匙，能打开教室门锁的可能性大小是0.4.
某演出团在一周 ( 7 天 ) 内的任何一天都有可能来 A 剧场演出节目，
例 4
且每周只来一次 . 试问：在休息日 ( 星期六、星期日 ) 该演出团到 A 剧场演出
节目的可能性大小？
：演出团到A 剧场演出节目的所有可能有7种情况，而且任何一天到
分析
A剧场演出节目的可能性相等.
：因为所有可能到 A 剧场演出节目有 7 种情况，而且任何一天到 A 剧
解
场演出节目的可能性相等 . 其中，“休息日”有 2 种情况，所以，休息日到 A
剧场演出节目的可能性大小是：
2
P ( 休息日到A剧场演出节目 ) = .
7
2
答：演出团在休息日到A剧场演出节目的可能性大小是 .
7
思 考 与 交 流
在日常生活中，我们所说的“不大可能”发生的事件一定不会发生吗？
“很可能”发生的事件一定会发生吗？
事件发生的可能性很小，不一定不会发生. 比如，某地区的体育彩票，中
特等奖的可能性大小是八百万分之一，即0.000 000 125，结果却有人中奖了.
同样，事件发生的可能性很大，不一定就会发生. 比如，乒乓球运动员小
平和小芳的身体条件、技战术水平相当，两人在一局乒乓球比赛中，小芳已经
以 9∶1 遥遥领先于小平，赢得这局比赛的可能性非常大，但是小芳却在最后输
了这局比赛.
153
第十三章 事件与可能性练 习
1. 在50件同种产品中，有5件次品. 检验员从中随机取出了一件进行检验，
求他取出次品的可能性大小.
2. 如果你所在的班级一周内只有一节音乐课，从星期一至星期五每天都可
以上音乐课. 求星期一不上音乐课的可能性大小.
-
习 题 13 3
巩 固
1. 一个质地均匀的正方体，6个面中有1个面是红色的、2个面是黄色的、3个
面是绿色的. 掷一次此正方体，求下列事件发生的可能性大小：
( 1 ) 红色面朝上； ( 2 ) 红色或绿色面朝上；
( 3 ) 黄色面朝上； ( 4 ) 绿色或黄色面朝上.
2. 餐桌上有8个同样型号的杯子，其中有 1杯为矿泉水，有2杯为凉开水，有
5杯为白糖水. 从8个杯子中随机取出1杯，求下列事件发生的可能性大小：
( 1 ) 取到白糖水； ( 2 ) 取到矿泉水；
( 3 ) 取到凉开水； ( 4 ) 取到的不是白糖水.
3. 10人围成一圈玩“击鼓传花”的游戏，其中有2位老人，5位中年人，3位小
孩. 开始击鼓时按顺序传花，鼓声停止时花在谁手中谁就需要表演一个节目.
假设传递速度相同，当鼓声随机停止时，求下列人群表演节目的可能性大小：
( 1 ) 老年人； ( 2 ) 中年人； ( 3 ) 不是老年人.
4. 在100件规格相同的产品中，混有 2件次品，其余均为合格品 . 为了找到这
2 件次品，随机从中抽出一件产品进行检验. 求第一次检验时能够找到次品
的可能性大小.
提 升
1. 某商场为了吸引顾客购物，设立一个转盘. 圆形转盘被等分成21个形状相同、
面积相等的扇形区域，其中7个有奖区域均匀地分布在转盘上，有奖区域中分别
标明奖励购物券的金额. 奖励100元的区域有1个、50元的区域有2个、20元
的区域有4个. 商场规定顾客购买商品满100元，就能获得转动一次转盘的机
154
数学 八年级 上册会. 转盘停止后，如果指针指向某个有奖区域，那么顾客就可以获得这个区域上
所标金额的购物券.
某顾客购买了140元的商品，他获得购物券的可能性大小如何？分别求出他
获得100元、50元、20元购物券的可能性大小.
2. 按要求设计试验：
1
( 1 ) 抛掷试验：掷一个正方体，使得“2”点朝上的可能性大小是 .
3
1
( 2 ) 摸球试验：从口袋里随机摸出一个球，使得摸到红球的可能性大小是 ，
3
1
而摸到黄球的可能性大小是 .
4
( 3 ) 转盘试验：用力转动转盘，当转盘停止后，使得指针指向区域是红色的
1 1
可能性大小为 ，是黄色的可能性大小为 .
2 4
3. 在一批同一型号的零件中，混有5件次品. 从这批零件中随机抽取一件检验，
如果抽取出合格品的可能性大小为0.98，求这批零件中有多少件合格品.
关 注 联 系 回顾与整理
本章是“统计与概率”领域中“随机事件的概率”主题的主
要组成部分. 在小学阶段，我们会定性描述简单随机现象发生可
能性的大小，建立了数据意识. 在初中阶段，通过定量刻画简单
随机事件发生可能性大小的方法，形成和发展数据观念. 本章通
过简单易行的情境，引导我们感悟简单随机事件所有可能发生结
果的个数是有限的，每个结果发生的可能性大小是可以比较的 .
聚 焦 基 础
必然事件 随机事件 不可能事件 求简单随机事件发生的
可能性大小
明 确 要 求
1. 了解必然事件、不可能事件与随机事件的含义.
2. 能描述简单随机事件的特征（可能结果的个数有限，每
155
第十三章 事件与可能性一个结果出现的可能性大小相等）.
3. 能求简单随机事件发生的可能性大小.
4. 理解和表达现实世界中大量存在的随机现象.
深 入 思 考
1. 你能复述“聚焦基础”中每一个知识的具体内容吗？
2. 你能举出一个符合某个概念的例子吗？
3. 你能在教科书的例题或练习中找到符合“明确要求”中
的某一条的示例吗？如果找不到，你能编写一个示例吗？
4. 你能发现本章所学知识的内在联系，并用画图的方法显
示出来吗？
复 习 题
巩 固
1. 下列事件中，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？
( 1 ) 同时掷3枚骰子，面朝上的点数之和小于19；
( 2 ) 同时掷5枚硬币，正面朝上与反面朝上的个数相等；
( 3 ) 科学实验中，前100次实验都失败，第101次实验会成功；
( 4 ) 用长度分别是2 cm，3 cm，6 cm的细木条首尾相连组成一个三角形.
2. 下列说法对不对，为什么？
( 1 ) 在10万次试验中，每次都发生了的事件是必然事件；
( 2 ) 必然事件在10万次试验中，每次都发生；
( 3 ) 在10万次试验中，每次都没有发生的事件是不可能事件；
( 4 ) 不可能事件在10万次试验中，每次都不发生.
3. 如图，从下列罐子中随机摸出一枚棋子，从哪个罐子中摸到白子的可能性最
大，从哪个罐子中摸到白子的可能性最小？
A B C D E
( 第3题 )
156
数学 八年级 上册4. 把转盘面分成 8 个全等扇面，其中 4 个红色、1 个黄色、3 个绿色 . 用力转
动转盘，当转盘停止后，求指针指向下列扇面的可能性大小：
( 1 ) 红色扇面； ( 2 ) 黄色扇面；
( 3 ) 绿色扇面； ( 4 ) 不是红色扇面.
5. 某超市货架上有50瓶鲜牛奶，其中有 45瓶的上市日期为当日，有 5瓶的上
市日期为前一日. 某顾客随机从货架上取出一瓶，求他取出的鲜牛奶的上市
日期是当日的可能性大小.
6. 某人有一块带秒针的手表，随机看一下手表，求这时秒针在下列区域的可能
性大小：
( 1 ) 秒针在3时至4时 ( 包括3时不包括4时 ) 之间；
( 2 ) 秒针在2时至5时 ( 包括2时不包括5时 ) 之间.
提 升
1. 设计一个质地均匀的正方体，在它的各个面上分别标上字母 A 或 B 或空白
不标注，任意掷一次这样的正方体：
1
( 1 ) 使朝上的面上的字母是A或B的可能性大小都是 ，应该如何标各面的字母？
2
1
( 2 ) 使朝上的面上的字母是A或B的可能性大小都是 ，应该如何标各面的字母？
3
1
( 3 ) 使朝上的面上的字母是A或B的可能性大小都是 ，应该如何标各面的字母？
6
1 1
( 4 ) 使朝上的面上的字母是A的可能性大小为 ，是B的可能性大小为 ，应
3 2
该如何标各面的字母？
2. 请统计以下数据：你们班共有 名同学，其中男生 人，喜欢
数学的同学 人，喜欢足球的同学 人. 从你们班同学的学号
中随机抽取一个号，求抽到下列结果的可能性的大小：
( 1 ) 这个学号对应的同学是女生；
( 2 ) 这个学号对应的同学喜欢数学；
( 3 ) 这个学号对应的同学喜欢足球 .
3. 两人进行乒乓球比赛，在一局比赛中，甲已得 9分，乙只得了2分. 某观众
说：“这局甲一定胜. ”这个说法对吗？为什么？
157
第十三章 事件与可能性4. 口袋里有 m 个除颜色外都相同的球，其中有 4 个红球 . 从口袋里随机摸出
一个球，分别求符合下列条件中m的值或m的取值范围.
( 1 ) 摸出红球是必然事件；
1
( 2 ) 摸出红球的可能性大小是 ；
3
( 3 ) 摸出红球是随机事件.
拓 展
元旦将至，请你用本章所学到的知识，为班级设计一个有奖竞猜游戏.
158
数学 八年级 上册附录
部分中英文词汇索引
中文 英文 页码
fraction 3
分式
rational expression 3
有理式
reduction of a fraction 7
约分
changing fractions to a common denominator 14
通分
simplest common denominator 17
最简公分母
square root 40
平方根
irrational number 46
无理数
real number 47
实数
quadratic radical 53
二次根式
triangle 74
三角形
vertex 74
顶点
side 74
边
median 81
中线
barycenter 81
重心
angular bisector 81
角平分线
altitude 82
高线
congruent figures 85
全等形
axially symmetric figure 113
轴对称图形
certain event 145
必然事件
random event 145
随机事件
159
附录后 记
本册教科书依据《义务教育数学课程标准（2022 年版）》对原有的《义
务教育教科书 数学 八年级上册》进行了修订 . 修订时，重点聚焦中国学生
发展核心素养，广泛吸收数学学科的先进教育理念及教学方法与经验，认真
分析和研究各方面提出的建议，致力促进学生的数学学习与全面发展.
在编写阶段，我们得到了学科专家的悉心指导和倾力帮助，他们为教
科书提出了很多宝贵意见 . 在试教试用过程中，我们得到了北京市各教研单
位及学校的大力支持，他们的意见与建议为教科书的进一步完善提供了保
障 . 此外，对教科书的编写、出版提供过帮助的同仁和社会各界朋友还有很
多，在此一并表示诚挚的谢意.
本册教科书出版之前，我们通过多种渠道与教科书选用作品（包括照
片、画作等）的作者进行了联系，得到了他们的大力支持 . 对此，我们表示
衷心的感谢！但仍有部分作者未能取得联系，恳请入选作品的作者与我们联
系，以便支付稿酬.
本册教科书投入使用后，真诚希望广大师生和家长提出宝贵意见，以便
我们进一步完善和提升教科书质量.
联系方式
电话：010-58572314
电子邮箱：jiaocai@bphg.com.cn
北京出版社