数学思维
目标S 班
五年级（全国版）·暑期
学而思网校教研中心 编著
前言PREFACE
学而思网校为6 ～18 岁的学生提供小学、初中、高中全学科课外学习课程。学而思网校拥
有十余年教学经验，采用在线双师直播教学模式，用AI 技术来辅助教学。学而思网校课堂互动
多，线上课程有回放，教师及时答疑，学生不满意可随时退费。
2016 年5 月，学而思网校提出“在线学习更有效”的品牌主张，并正式推出在线双师直播教
学模式，通过实时在线的互动教学、图文并茂的随堂讲义、科学的学业测评，以及教师多方位的
学习辅导，保障学生的学习效果。
2016 年7 月，
“IDO 个性化学习体系”正式上线，体系拥有动态学习报告、错题订正等功能，
为教师、学生和家长之间建立起更有效的沟通平台。2017 年7 月，
“IDO 个性化学习体系”升级
为“IDO 个性化学习体系2.0”（简称“IDO2.0”）。
“IDO2.0”拥有个性化学习任务系统（IMS），并首
次将人脸识别、语音识别、触感互动等技术引入在线课堂，让在线学习有更多可被量化的数据和
可追踪的学习轨迹，甚至有更多动手实践的机会。有效的科技手段逐渐缩小了线上线下的学习
体验差异。
2018 年，学而思网校课程体系全面升级，Amazing English、大语文、数学思维、大科学等课程
更注重对学生综合素质能力的培养。同时，学而思网校推出的故宫、音乐、魔方、儿童安全、历史
等素养类课程让学生可以多维、立体化成长。学而思网校自主研发的“AI 老师”通过自然语言处
理（NLP）、图像文字识别（OCR）等技术精准分析学生的语义、情感、笔迹等，形成完整高效的
“课堂学习链”，让在线课堂学习体验更美好，让教学更高效，学习更有效。未来，学而思网校将进
一步承担起用科技推动教育进步的重任，不断致力于教育资源的均衡发展，实现从教到育、从学
到习的全面提升。
学而思网校教研中心
目录
CONTENTS
第1 讲
因数与倍数.......................................... 1
第2 讲
分数加减........................................... 15
第3 讲
分数乘除........................................... 33
第4 讲
消与长.............................................. 49
第5 讲
从数数到计算进阶................................ 63
第6 讲
数阵图进阶........................................ 79
第7 讲
能不能与为什么.................................. 97
第8 讲
排个队照个相.................................... 115
第9 讲
选人以后再排队................................. 131
第10 讲
比和比例......................................... 149
第11 讲
比例法解决图形问题（一）................... 165
第12 讲
包含与排除的探索.............................. 183
第13 讲
因倍质合综合（一）............................ 197
第14 讲
游戏与策略...................................... 213
第15 讲
温故知新......................................... 231
阿丘学堂参考答案................................................ 236
第1 讲
因数与倍数
1
因数与倍数
学而思数学思维
目标S 班·五年级（全国版）「暑」
2
PART
1
最大公因数与最小公倍数初步
因数与倍数的基本概念：
因数和倍数的定义：如果一个自然数a 能被自然数b 整除，那么称a 为b 的倍数，b 为a 的因
数（或约数）．
因数的找法：因数一般都是成对出现的，一个自然数的每一对因数之积都等于这个自然数本身．
若自然数a，满足：a÷b = c，那么，b 是a 的因数．如60 包含因数：1 和60；2 和30；3 和20；4
和15；5 和12；6 和10．
（特殊情况，完全平方数，如25 有因数5，不成对．）
最大公因数的定义：如果一个自然数同时是若干个自然数的因数，那么称这个自然数是这若干
个自然数的公因数．在所有公因数中最大的一个公因数，称为这若干个自然数的最大公因数．
例如：(8，12) = 4，(6，9，15) = 3．
互质的定义：若几个整数的最大公因数是1，则称这几个整数互质．
最小公倍数的定义：如果一个自然数同时是若干个自然数的倍数，那么称这个自然数是这若干
个自然数的公倍数．在所有公倍数中最小的一个公倍数，称为这若干个自然数的最小公倍数．
例如：[8，12] = 24，[6，9，15] = 90．
求两个数的最大公因数、最小公倍数的短除法：
其实是同时给两个数分解质因数，直到商互质为止．如：
所以(12，18) = 2×3 = 6；[12，18] = 2×3×2×3 = 36
“最大公因乘一边，最小公倍乘半圈”
第1 讲
因数与倍数
3
例题1
9 的因数有
、
、
；
18 的因数有
、
、
、
、
、
；
9、18 共同的因数有
、
、
。（请按照从小到大的顺序填写）
互动题1
20 的因数有
个，25 的因数有
个，20 和25 共同的因数有
个。
学而思数学思维
目标S 班·五年级（全国版）「暑」
4
例题2
计算下列各组数的最大公因数与最小公倍数。
（4，5）=
[4，5]=
（7，21）=
[7，21]=
（10，12）=
[10，12]=
（42，56）=
[42，56]=
互动题2
计算下列各组数的最大公因数与最小公倍数。
(12,7) =
；[12,7] =
；
(15,25) =
；[15,25] =
；
(21,28) =
；[21,28] =
。
第1 讲
因数与倍数
5
例题3
(30,1155) =
；(42,3675) =
。
互动题3
(66,10395) =
。
学而思数学思维
目标S 班·五年级（全国版）「暑」
6
PART
2
应用题综合
例题4
（1）某班开学一共买了38 朵红花和49 朵蓝花，分别平均分给新同学，最后发现红花剩下2 朵，
蓝花还剩4 朵，一共最多有
个新同学。
（2）冥王星有3 颗卫星。卫星①绕冥王星一周为6 天，卫星②为10 天，卫星③为15 天。
从图中所示的位置开始，三颗卫星最少需要
天才能同时回到原来的位置。
互动题4
现在有25 个苹果，15 个梨，分给若干名小朋友，使得每人分得的苹果数量相同，分得的梨的数
量也相同，且苹果和梨都恰好分完，那么最多有
名小朋友。
笔记页
7
学而思数学思维
目标S 班·五年级（全国版）「暑」
8
课堂巩固
1 (12,11) =
；(24,36) =
。
2 [12,11] =
；[24,36] =
。
第1 讲
因数与倍数
9
3 甲数= 2×3×5，乙数= 2×3×3，甲数和乙数的最大公约数是
，最小公倍
数是
。
4 能同时被2、3、5 整除的最小三位数是
。
5 [30,60,75] 的值是
。
学而思数学思维
目标S 班·五年级（全国版）「暑」
10
阿丘学堂
1. 如果两个数的最大公因数是1，那么最小公倍数一定是它们的乘积。
（判断对错）
2. 成为互质数的两个数没有公因数。
（判断对错）
3. 5 和8 的最大公因数是
，最小公倍数是
。
4. 28 的因数有
；42 的因数有
；它们的公因数有
；最大公因数是
。(按照从小到大的顺序写出)
第1 讲
因数与倍数
11
5. 36 和48 的最大公约数是12，公约数是1、2、3、4、6、12。
（判断对错）
6. (36，37) =
；(24，25) =
；(17，34) =
；(42，24) =
。
7. [6，7] =
；[10，40] =
；[18，20] =
；[35，14] =
。
8. [2，8，10] =
；[8，12，16] =
。
9. 已知A，B，C 三数的分解质因数的形式如下：
A = 23 ×32 ×54，B = 22 ×3×52，C = 2×32 ×53
请给下列各组数列出适当的算式．
(A,B,C)
[A,B,C]
学而思数学思维
目标S 班·五年级（全国版）「暑」
12
10. 观察下列表格：
11. 有三根绳子，第一根长24 米，第二根长36 米，第三根长48 米。现在把三根长绳截成长度
相等的小段，每段最长是
米，一共可以截成
段。
12. 一盒钢笔可以平均分给2，3，4，5，6 个同学，这盒钢笔最少有
支。
13. 老师将301 个笔记本、215 支铅笔和86 块橡皮分给班里的同学，每个同学得到的笔记本、
铅笔和橡皮的数量都相同。那么，每个同学各拿到笔记本
个，铅笔
支，
橡皮
块。
第1 讲
因数与倍数
13
14. 幼儿园买来桃93 个，杏123 个，橘子150 个，分给大班的小朋友，每人要分得一样多，结果
桃、杏各剩下3 个，橘子恰好分完。大班小朋友最多有
人，每人分到
个
桃，
个杏，
个橘子。
15. 甲、乙、丙三人沿着200 米的环形跑道跑步，甲跑完一圈要1 分30 秒，乙跑完一圈要1 分
20 秒，丙跑完一圈要1 分12 秒。三人同时、同向、同地起跑，最少经过
分钟又在同一
起跑线上相遇。相遇时甲、乙、丙三人各跑了
圈、
圈、
圈。
第2 讲
分数加减
2
分数加减
学而思数学思维
目标S 班·五年级（全国版）「暑」
16
PART
1
分数的意义、分类及性质
分数的意义
1、分数的基本意义: 将单位“1”平均分成m 份, 取其中n 份, 那么取出的部分占单位“1”的n
m.
所以, 分数的存在前提, 必须要有单位“1”。
2、分数与除法的联系:a÷b = a
b, 这个结论看似显然, 但是却有值得考究之处。a÷b 可以看成有
a 份东西平均分给b 个人, 我们可以把每份都切成b 小块, 这样一共会有ab 小块, 每个人可以
平均分到a 块, 所以每个人拿到的就是a
b, 与基本意义相符。
真假带分数
1、真分数是分子小于分母的分数, 也可以说是小于1 的分数；假分数是分子大于或等于分母的
分数, 也可以说是大于或等于1 的分数；带分数是正整数与一个真分数之和的形式分数。
2、假分数b
a 化为带分数的流程:b
a = b÷a = p······r ⇒b
a = pr
a，当r=0 时, 结果是整数。
带分数ac
b 化为假分数的流程:ac
b = ab+c
b
分数的约分
1、分数的基本性质: 分数的分子和分母同时乘或除以一个相同非零数, 分数的大小不变。
2、将分数的分子和分母同时除以一个大于1 的公因数, 称为约分, 不能再约分的分数称为最简
分数。
第2 讲
分数加减
17
例题1
（1）下列图形整体看作单位“1”，用分数表示阴影部分，并写出分数的分数单位。
分数：(
)(
)(
)；
分数单位：(
)(
)(
)。
（2）将下列带分数化为假分数。
31
2 = a
b；
13
4 = c
d 。
a =
，b =
，c =
，d =
。
（3）将下列假分数化为带分数：
9
4 = ab
c；
14
5 = d e
f 。
a =
，b =
，c =
，d =
，e =
，f =
。
学而思数学思维
目标S 班·五年级（全国版）「暑」
18
互动题1
将下列假分数化为带分数：
31
5 = ab
c；
50
9 = d e
f 。
a =
，b =
，c =
，d =
，e =
，f =
。
第2 讲
分数加减
19
例题2
（1）填空。
3
5 = 3×( )
5×2
，括号填入
；
5
8 =
5×5
8×( )，括号填入
；
6
7 = ( )
35
，括号填入
；
18
24 =
18÷3
24÷( )，括号填入
；
30
45 =
6
( ) =
2
( )，括号中依次填入
，
。
（2）将下面的分数化简为最简分数。
10
18 = a
b；
16
24 = c
d ；
18
36 = e
f 。
a =
，b =
，c =
，d =
，e =
，f=
。
互动题2
将下面的分数化简为最简分数：
9
15 = a
b；
12
36 = c
d ；
7
21 = e
f 。
a =
，b =
，c =
，d =
，e =
，f =
。
学而思数学思维
目标S 班·五年级（全国版）「暑」
20
PART
2
同分母分数加减法
同分母分数的加减运算
1、真假分数运算:b
a ± c
a = b±c
a
；
2、含有带分数运算: 加法运算, 如果真分数部分相加后得到假分数, 需要进位；减法运算, 如果
真分数部分不够减, 需要先借位, 再相减。
第2 讲
分数加减
21
例题3
（1）计算下列各式。
1
23 + 7
23 = a
b，其中a =
，b =
；
11
16 −4
16 = c
d ，其中c =
，d =
。
（2）计算下列各式。
2 4
21 +110
21 = ab
c，其中a =
，b =
，c =
；
4 5
18 −11
18 = d e
f ，其中d =
，e =
，f =
。
互动题3
计算下列各式。
12
5 +21
5 = ab
c；
22
7 −4
7 = d e
f 。
a =
，b =
，c =
，d =
，e =
，f =
。
学而思数学思维
目标S 班·五年级（全国版）「暑」
22
PART
3
异分母分数加减法
分数的通分
将一些分数的分母变成相同的整数（公分母），这个过程称为通分，通分为约分的反向运算。我
们通常取所有分母的最小公倍数作为公分母。
异分母分数的加减运算
对于异分母分数加减运算，先通分，然后按照同分母分数加减运算进行。
第2 讲
分数加减
23
例题4
（1）计算下列各式。
1
3 + 1
9 =a
b；
4
5 −1
10 = c
d 。
a =
，b =
，c =
，d =
。
（2）计算下列各式。
21
3 +11
4 = ab
c；
54
5 −43
7 = d e
f 。
a =
，b =
，c =
，d =
，e =
，
f =
。
互动题4
计算下列各式。
24
9 −1
6 =ab
c ；
11
4 +31
6 =d e
f 。
a =
，b =
，c =
，d =
，e =
，f =
。
笔记页
24
第2 讲
分数加减
25
课堂巩固
1 5
6 里面有
个1
6；0.6 里面有
个0.1。
2 把5 千克苹果平均装在6 个袋子中，每袋装这些苹果的（ ）。
A. 1
6 千克
B. 1
6
C. 5
6
D. 5
6 千克
学而思数学思维
目标S 班·五年级（全国版）「暑」
26
3 将下列假分数化为带分数。
40
13 = ab
c；
71
23 = d e
f 。
a =
，b =
，c =
，d =
，e =
，
f =
。
4 将下面的分数化简为最简分数。
4
16 = a
b；
27
45 = c
d ；
17
51 = e
f 。
a =
，b =
，c =
，d =
，e =
，
f =
。
第2 讲
分数加减
27
5 计算下列各式。
5
8 −1
8 = a
b；
1
9 + 2
9 = c
d 。
a =
，b =
，c =
，d =
。
学而思数学思维
目标S 班·五年级（全国版）「暑」
28
阿丘学堂
1. 5
13 表示的意义是将单位1 平均分成
份，取其中的
份；
11
17 表示的意义是将单位1 平均分成
份，取其中的
份。
2. 一批货物共25 吨，每天运走6 吨，那么第一天运走了这批货物的
分之
，第二天
运走了剩下货物的
分之
。
3. 将假分数化为带分数，或将带分数化为假分数。
17
5 =
又
分之
；
33
8 =
分之
；
100
9
=
又
分之
；
712
13 =
分之
；
15
3 =
。
第2 讲
分数加减
29
4.（1）填空：
3
5 = 3×□
5×4 方框里填写
；
7
9 = 35
□方框里填写
；
6
10 = 3
□= 9
□方框里填写
、
。
（2）化简下列分数：
4
6 =
分之
；
15
18 =
分之
；
55
20 =
分之
；
14
21 =
分之
；
42
30 =
分之
。
5. 通分、尽量使公分母最小。
（1）3
4 =
分之
；
1
6 =
分之
。
（2）3
10 =
分之
；
2
15 =
分之
。
（3）1 1
14 =
又
分之
；
5
21 =
分之
。
学而思数学思维
目标S 班·五年级（全国版）「暑」
30
6. 计算：
5
11 + 8
11 =
分之
；
3
21 + 7
21 =
分之
；
13
16 −7
16 =
分之
；
37
39 −11
39 =
分之
。
7. 计算：
2 5
13 +4 7
13 =
又
分之
；
212
17 +116
17 =
又
分之
；
211
35 −2 6
35 =
分之
；
4 1
11 −210
11 =
又
分之
。
8. 分母为15，分子为质数的所有最简真分数之和是
分之
。
第2 讲
分数加减
31
9. 计算下列各式。
24
9 −1
18 =ab
c；
52
3 + 1
6 =d e
f 。
a =
，b =
，c =
，d =
，e =
，f =
。
10. 计算：
5
12 + 7
18 =
分之
；
13
15 + 17
45 =
分之
；
35
36 −23
24 =
分之
。
11. 计算：
3 3
34 +4 =
又
分之
；
513
18 +413
24 =
又
分之
；
513
24 −413
18 =
分之
。
学而思数学思维
目标S 班·五年级（全国版）「暑」
32
12. 计算：
10 5
12 −62
3 −23
8 =
又
分之
；
24−
(
35
9 +2 7
12
)
=
又
分之
；
1227
28 +
(
313
14 −25
7
)
=
又
分之
。
13. 计算：
（1）1
2014 +
1
1007 + 1
106 + 1
53 + 1
38 + 1
19 + 1
2 =
分之
；
（2）1
2015 + 1
403 + 1
155 + 1
65 + 1
31 + 1
13 + 1
5 =
分之
。
14. 计算：(1+ 1
2 + 1
3 + 1
4 + 1
5 + 1
6)+(1
2 + 1
3 + 1
4 + 1
5 + 1
6)+(1
3 + 1
4 + 1
5 + 1
6)+(1
4 + 1
5 + 1
6)+(1
5 +
1
6)+ 1
6 =
。
15. 计算：1+(1
2 + 2
2)+(1
3 + 2
3 + 3
3)+···+( 1
20 + 2
20 + 3
20 +···+ 20
20) =
。
第3 讲
分数乘除
3
分数乘除
学而思数学思维
目标S 班·五年级（全国版）「暑」
34
PART
1
分数乘法
分数的意义
分数与除法的联系:a÷b = a
b, 这个结论看似显然, 但是却有值得考究之处。a÷b 可以看成有a
份东西平均分给b 个人, 我们可以把每份都切成b 小块, 这样一共会有ab 小块, 每个人可以
平均分到a 块, 所以每个人拿到的就是a
b, 与基本意义相符。
分数的约分
1、分数的基本性质: 分数的分子和分母同时乘或除以一个相同非零数, 分数的大小不变。
2、将分数的分子和分母同时除以一个大于1 的公因数, 称为约分, 不能再约分的分数称为最简
分数。
分数的乘法运算
分数的乘法法则:b
a × d
c = b×d
a×c
遇到整数或带分数, 可先化成假分数再运用运算法则计算。
第3 讲
分数乘除
35
例题1
（1）计算：
（第一条横线填分子，第二条横线填分母）
3
4 × 5
7 =
/
3
13 × 1
4 =
/
（2）计算：
（第一条横线填分子，第二条横线填分母）
3
5 × 5
6 =
/
3
7 × 14
9 =
/
互动题1
计算下列各式：
3
2 × 2
3 = a；
5
4 × 2
7 = b
c。
a =
，b =
，c =
。
学而思数学思维
目标S 班·五年级（全国版）「暑」
36
例题2
（1）计算下列各式：
3× 2
9 = a
b；
2× 3
4 = c
d 。
a =
，b =
，c =
，d =
。
（2）计算下列各式：
11
2 × 8
9 = a
b；
22
3 × 1
6 = c
d 。
a =
，b =
，c =
，d =
。
互动题2
计算下列各式：
31
2 × 8
21 = a
b；
5
12 ×11
5 = c
d 。
a =
，b =
，c =
，d =
。
第3 讲
分数乘除
37
PART
2
分数除法
分数的除法运算
分数的除法法则:b
a ÷ d
c = b
a × c
d = b×c
a×d
遇到整数或带分数, 可先化成假分数再运用运算法则计算。
学而思数学思维
目标S 班·五年级（全国版）「暑」
38
例题3
（1）填倒数。
5 的倒数是
/
；
9
28 的倒数是
/
；
23
7 的倒数是
/
。
（2）计算：
1
7 ÷ 1
9 =
/
；5
2 ÷ 7
3 =
/
；1
30 ÷ 2
7 =
/
。
（3）计算下列各式：
11
3 ÷25
6 = a
b；
1
8 ÷21
6 = c
d 。
a =
，b =
，c =
，d =
。
第3 讲
分数乘除
39
互动题3
（1）计算下列各式：
1
4 ÷ 1
8 =
；
1
12 ÷ 1
24 =
。
（2）计算下列各式：
18
9 ÷1 5
12 = a
b；
31
6 ÷ 19
10 = c
d 。
a =
，b =
，c =
，d =
。
学而思数学思维
目标S 班·五年级（全国版）「暑」
40
PART
3
分数乘除法混合
例题4
计算：500
1001 × 13
5 ÷ 5
11 =
分之
。
互动题4
计算：5
4 ÷ 15
22 × 27
5 = □
□，分母：
，分子：
。
笔记页
41
学而思数学思维
目标S 班·五年级（全国版）「暑」
42
课堂巩固
1 计算下列各式。
3
4 × 3
7 = a
b ；
5
11 × 1
2 = c
d 。
a =
，b =
，c =
，d =
。
2 计算下列各式。
3
4 × 4
3 = a；
3
5 × 4
9 = b
c。
a =
，b =
，c =
。
第3 讲
分数乘除
43
3 计算下列各式：
7× 2
21 = a
b；
9×12
3 = c。
a =
，b =
，c =
。
4 写出下列各数的倒数。
11
7 的倒数是a
b，17 的倒数是c
d ，5 5
12 的倒数是e
f 。
a =
，b =
，c =
，
d =
，e =
，f =
。
学而思数学思维
目标S 班·五年级（全国版）「暑」
44
5 计算下列各式。
1
2 ÷ 1
7 = a
b；
1
3 ÷ 3
7 = c
d 。
a =
，b =
，c =
，d =
。
第3 讲
分数乘除
45
阿丘学堂
1. 计算下列各式：
1
2 × 1
3 = a
b；
2
3 × 5
9 = c
d 。
a =
，b =
，c =
，d =
。
2. 计算：28
75 × 15
49 =
/
。（第一条横线填分子，第二条横线填分母）
3. 计算下列各式：
8× 5
16 = a
b；
4× 7
12 = c
d 。
a =
，b =
，c =
，d =
。
学而思数学思维
目标S 班·五年级（全国版）「暑」
46
4. 计算下列各式。（第一条横线写分子，第二条横线写分母）
32
5 ×21
3 =
/
11
6 ×1 2
11 =
/
5. 计算：
13×100 2
31 =
又
分之
；
125×8 1
124 =
又
分之
；
1001 1
500 ÷ 1
999 =
又
分之
。
6. 计算：11
2 ×11
3 ×11
4 ×11
5 ×11
6 ×11
7 ×11
8 ×11
9 =
。
7. 写出下列各数的倒数：
3
4 的倒数是a
b，3 的倒数是c
d ，21
3 的倒数是e
f 。
a =
，b =
，c =
，
d =
，e =
，f =
。
第3 讲
分数乘除
47
8. 计算下列各式：
1
2 ÷ 1
3 = a
b；
3
2 ÷ 2
5 = c
d 。
a =
，b =
，c =
，d =
。
9. 计算下列各式：1
4 ÷ 1
5 =
/
；2
11 ÷ 5
3 =
/
。（先填分子，后填分母）
10. 计算下列各题：
8
9 × 11
12 = □
□；
17
100 ÷ 34
125 = □
□。
11. 计算下列各式：
21
2 ÷31
7 = a
b；
1
3 ÷11
7 = c
d 。
a =
，b =
，c =
，d =
。
学而思数学思维
目标S 班·五年级（全国版）「暑」
48
12. 计算下列各式：17÷63
8 =
/
；33÷71
3 =
/
。（先填分子，后填分母）
13. 计算：44
9 ÷32
3 =
/
。（第一条横线填分子，第二条横线填分母）
14. 计算：15÷1515
16 = a
b
a =
，b =
。
15. 计算：8
21 ×63
4 ÷ 3
7
第4 讲
消与长
4
消与长
学而思数学思维
目标S 班·五年级（全国版）「暑」
50
PART
1
经典牛吃草
“牛吃草问题”在数学上的应用, 有两个条件: 第一是一头牛一天吃的草量不变, 第二是同样面
积的草场每天生长的速度不变。牛每天吃草, 草每天在不断均匀生长. 所以, 我们假设一头牛一
天吃的草量为1, 就可以解出问题。解题环节主要有三步:
1、求出草的生长速度
2、求出牧场原有草量
3、最后求出可吃天数或牛的头数
相关公式
⑴草的生长速度=(对应的牛头数× 吃的较多天数−对应的牛头数× 吃的较少天数)÷(吃的
较多天数−吃的较少天数)；
⑵原有草量= 牛头数× 吃的天数−草的生长速度× 吃的天数；
⑶吃的天数= 原有草量÷(牛头数−草的生长速度)；
⑷牛头数= 原有草量÷ 吃的天数+ 草的生长速度。
第4 讲
消与长
51
例题1
现有一片草场，原有青草总量1 吨，草每天新生长40 千克。现有一群牛，每头牛的日食量为20
千克。若要25 天吃光草场，需要
头牛。
互动题1
现有一片草场，原有青草总量2 吨，草每天新生长50 千克。现有一群牛，每头牛的日食量为25
千克。若要20 天吃光草场，需要
头牛。
学而思数学思维
目标S 班·五年级（全国版）「暑」
52
例题2
（1）有一块匀速生长的草场，可供12 头牛吃25 天，或可供24 头牛吃10 天。那么可供29 头
牛吃
天。
（2）冬天来了，草每天都在自然减少，一片草地可供12 头牛吃15 天，20 头牛吃10 天，那么30
天吃完，可以放
头牛。
互动题2
有一牧场长满牧草，每天牧草匀速生长，设每头牛每天的吃草量为1。假如放牧18 头牛，则30
天内牧草全部吃完；假如放牧24 头牛，则20 天内牧草将被全部吃完。那么该牧场1 天内生长
的牧草量是
，该牧场现有的牧草量是
。
第4 讲
消与长
53
例题3
早晨6 点，某火车进口处已有一些旅客等候检票进站，此时，每分钟还有若干人前来进口处准
备进站。这样，如果设立6 个检票口，10 分钟可以放完旅客，如果设立7 个检票口，8 分钟可以
放完旅客。现要求5 分钟放完，需设立
个检票口。
互动题3
仓库里原有一批存货，以后继续运货进仓，且每天运进的货一样多。用同样的汽车运货出仓，如
果每天用4 辆汽车，则9 天恰好运完；如果每天用5 辆汽车，则6 天恰好运完。仓库里原有的
存货若用1 辆汽车运，则需要
天运完。
学而思数学思维
目标S 班·五年级（全国版）「暑」
54
PART
2
多变量牛吃草
“多种动物”的牛吃草
通常我们都先将不同动物根据食量统一为同一种动物后再进行计算，一般有如下两种情况：
1、已知动物之间食量的倍数关系，此时可直接转化；
2、未直接告诉动物之间食量的倍数关系，此时需列出关于动物食草量的等式，在同等天数下比
较其倍数关系。
“多块草场”的牛吃草
一般我们要先统一成面积相同的草场再进行计算，需要注意在统一草场面积时，动物数量与草
场面积成正比例。
第4 讲
消与长
55
例题4
有一片草场，草每天的生长速度相同。若14 头牛30 天可将草吃完，70 只羊16 天也可将草吃
完（4 只羊一天的吃草量相当于1 头牛一天的吃草量）。那么，17 头牛和20 只羊
天
可将草吃完。
互动题4
一片牧草，每天生长的速度相同。现在这片牧草可供20 头牛吃12 天，或可供60 只羊吃24 天。
如果1 头牛的吃草量等于4 只羊的吃草量，那么12 头牛与88 只羊一起吃可以吃
天。
笔记页
56
第4 讲
消与长
57
课堂巩固
1（1）假设一头牛每天吃一份草，现在有100 份草，可以供5 头牛吃
天。（不
考虑草的生长）
（2）假设一头牛每天吃一份草，现在有12 头牛吃了12 天，总共吃了
份草。
2 现有一片草场，原有青草总量2.5 吨，草每天新生长50 千克。现有一群牛，每头牛的
日食量为25 千克，若要10 天吃光草场，需要
头牛。
学而思数学思维
目标S 班·五年级（全国版）「暑」
58
3 有一片牧场，草每天都在均匀地生长，每头牛每天吃1 份草。如果在牧场上放养24 头
牛，那么6 天就把草吃完了；如果只放养21 头牛，那么8 天才把草吃完。那么草场原
有
份草，每天新长出
份草。
4 牧场里，牧草每天均匀生长，牧场可供10 只羊吃20 天，或可供14 只羊吃12 天，那么
牧场每天新长的草够2 只羊吃
天。
第4 讲
消与长
59
5 有一块草场，可供12 头牛吃25 天，或可供24 头牛吃10 天。这块草场可供14 头牛
吃
天。
学而思数学思维
目标S 班·五年级（全国版）「暑」
60
阿丘学堂
1. 在一片草原上有50 份草，每天会新长出2 份草，如果每头牛每天吃1 份草，则够
头牛吃10 天。
2. 一片匀速生长的草场长满牧草，可供5 头牛吃30 天，或者可供4 头牛吃40 天。已知每头
牛每天吃1 份草，那么草场原有
份草，每天新长出
份草。
3. 一个牧场长满青草，牛在吃草而草又在不断生长。已知牛27 头，6 天把草吃尽，同样一片牧
场，牛23 头，9 天把草吃尽。如果有牛21 头，
天能把草吃尽。
4. 牧场上有一片匀速生长的草地，可供27 头牛吃6 周，或供23 头牛吃9 周，那么要吃18 周
需要
头牛
5. 由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天以均匀的速度减少。经计算，牧场上的草可供20 头牛
吃5 天，或可供16 头牛吃6 天。那么，可供11 头牛吃
天。
第4 讲
消与长
61
6. 有一牧场，17 头牛30 天可将草吃完，19 头牛则24 天可以吃完。现有若干头牛吃了6 天
后，卖掉了4 头牛，余下的牛再吃两天便将草吃完。则原来有
头牛吃草（草均匀
生长）。
7. 一片匀速生长的草地，可供5 头牛吃30 天，也可供4 头牛吃40 天。如果4 头牛吃30 天，
又增加了2 头牛一起吃，还可以再吃
天。
8. 东升牧场南面一块2000 平方米的牧场上长满牧草，牧草每天都在匀速生长，这片牧场可供
18 头牛吃16 天，或者供27 头牛吃8 天。在东升牧场的西侧有一块6000 平方米的牧场，
可供
头牛吃6 天。
9. 早晨6 点，某火车进口处已有一些旅客等候检票进站，此时，每分钟还有若干人前来进口处
准备进站。这样，如果设立4 个检票口，15 分钟可以放完旅客，如果设立8 个检票口，7 分
钟可以放完旅客。现要求5 分钟放完，需设立
个检票口。
10. 某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。从开始检票到等候检
票的队伍消失，若同时开5 个检票口则需30 分钟；若同时开6 个检票口则需20 分钟。如
果要使队伍10 分钟消失，那么需同时开
个检票口。
学而思数学思维
目标S 班·五年级（全国版）「暑」
62
11. 一个蓄水池有1 个进水口和15 个出水口，水从进水口匀速注入。当池中有一半的水时，如
果打开9 个出水口，9 小时可以把水排空；如果打开7 个出水口，18 小时可以把水排空。如
果是一满池水，打开全部出水口放水，那么经过
小时
分钟水池刚好被
排空。
12. 上午8 点，某船漏水了，过了一段时间船员们才发现。这时，如果打开1 台抽水机，10 点时
船会进满水而沉没；如果打开2 台抽水机，10 点20 分时船会进满水而沉没；如果打开3 台
抽水机，11 点时船会进满水而沉没。为保证船不沉没，至少要打开
台抽水机。
13. 画展8 : 30 开门，但早有人来排队入场，从第一个观众来到时起，若每分钟来的观众一样多，
如果开3 个入场口，9 点就不再有人排队；如果开5 个入场口，8 点45 分就没有人排队。第
一个观众到达的时间为
:
。
14. 一片茂盛的草地，青草每天的生长速度相同，现在这片青草可供16 头牛可吃15 天，或者
可供100 只羊吃6 天。而4 只羊的吃草量相当于1 头牛的吃草量，那么8 头牛与48 只羊
一起吃，可以吃
天。
15. 学校有一片均匀生长的草地，可以供18 头牛吃40 天，或者供12 头牛与36 只羊吃25
天，如果1 头牛每天的吃草量相当于3 只羊每天的吃草量。那么，这片草地让17 头牛与
只羊一起吃，刚好16 天吃完。
第5 讲
从数数到计算进阶
5
从数数到
计算进阶
学而思数学思维
目标S 班·五年级（全国版）「暑」
64
PART
1
加乘原理综合
一般地，如果完成一件事有k 类方法，第一类方法中有m1 种不同做法，第二类方法中有m2 种
不同做法，…，第k 类方法中有mk 种不同的做法，则完成这件事共有N = m1 + m2 +···+mk
种不同的方法。这就是加法原理。
一般地，如果完成一件事需要n 个步骤，其中，做第一步有m1 种不同的方法，做第二步有m2
种不同的方法，…，做第n 步有mn 种不同的方法，则完成这件事一共有N = m1 ×m2 ×···×mn
种不同的方法。这就是乘法原理。
加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，
这样的问题可以使用加法原理解决。我们可以简记为：
“加法分类，类类独立”。
分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；
其次，分类时要注意满足两条基本原则：
完成这件事的任何一种方法必须属于某一类；
分别属于不同两类的两种方法是不同的方法。
只有满足这两条基本原则，才可以保证分类计数原理计算正确。
在很多题目中，加法原理和乘法原理都不是单独出现的，这就需要我们能够熟练的运用好这两
大原理，综合分析，正确作出分类和分步。
第5 讲
从数数到计算进阶
65
例题1
（1）亮亮去吃午饭，发现附近的中餐厅有9 个，西餐厅有3 个，日式餐厅有2 个。他准备找一家
餐厅吃饭，一共有
种不同的选择。
（2）亮亮进入一家中餐厅后，发现主食有3 种，热菜有20 种。他打算主食和热菜各买1 种，一
共有
种不同的买法。
（3）亮亮进入一家中餐厅后，发现主食有3 种，热菜有20 种。中午吃了一种主食和热菜后，他
觉得午饭很好吃，于是晚上又来了这家中餐厅，打算换一种主食和热菜买一下，共有
种买法。
互动题1
书架上有10 本不同的童话书，8 本不同的图画书，5 本不同的数学书。如果从中取出童话书、
图画书、数学书各1 本，共有
种不同的取法。
学而思数学思维
目标S 班·五年级（全国版）「暑」
66
例题2
红、黄、蓝、白四种颜色不同的小旗，各有4 面，任意取出至多4 面小旗按顺序排成一行，表示一
种信号，则共可以表示
种不同的信号。
互动题2
红、黄、蓝三种颜色不同的小旗，各有3 面，任意取出至多3 面小旗按顺序排成一行，表示一种
信号，则共可以表示
种不同的信号。
第5 讲
从数数到计算进阶
67
例题3
红、黄、蓝、白四种颜色不同的小旗，各有2，2，3，3 面，任意取出三面按顺序排成一行，表示一种
信号，共可以表示
种不同的信号。
互动题3
五种颜色不同的信号旗，各有5 面，任意取出三面按顺序排成一行，表示一种信号，不同顺序代
表不同信号，共可以表示
种不同的信号。
学而思数学思维
目标S 班·五年级（全国版）「暑」
68
PART
2
染色问题
这类题目要求“相邻的颜色不相同”，也就是“不相邻的颜色可以相同”
染色步骤选择的方法：每一步骤所染的区块应该尽量和之前所染的区块相邻
第5 讲
从数数到计算进阶
69
例题4
（1）用5 种不同的颜色给图中的A、B、C、D 四个区域涂色，每个区域只能使用一种颜色，且相
邻区域不能同色，有
种不同的涂色方式。
（2）地图上有A，B，C，D 四个国家（如下图），现用四种颜色给地图染色，使相邻国家的颜色不
同，则有
种染色方法。
互动题4
地图上有A，B，C，D 四个国家（如下图），现有红、黄、蓝三种颜色给地图染色，使相邻国家的颜
色不同，但不是每种颜色都必须要用，则有
种染色方法。
笔记页
70
第5 讲
从数数到计算进阶
71
课堂巩固
1 小豪从A 去C 地，其中A 到B 有3 条路，B 到C 有4 条路。A 经过B 到C 共有
种走法。
2 书架上有5 本不同的童话书，6 本不同的图画书，7 本不同的数学书。
（1）如果从中任取1 本书，共有
种不同的取法。
（2）如果从中取出童话书、图画书、数学书各1 本，共有
种不同的取法。
学而思数学思维
目标S 班·五年级（全国版）「暑」
72
3 亮亮、豆豆、飞飞三人约好每人报名参加运动会的跳远、跳高、100 米跑、200 米跑四项
中的一项比赛，那么报名的结果会出现
种不同的情形。
4 用4 种不同的颜色给图中的A、B、C 三个区域涂色，每个区域只能使用一种颜色，且
相邻区域不能同色，有
种不同的涂色方式。
第5 讲
从数数到计算进阶
73
5 红、黄、蓝、白四种颜色不同的小旗各1 面，任意取出小旗按顺序排成一行，表示一种
信号。则共可以表示
种不同的信号。
学而思数学思维
目标S 班·五年级（全国版）「暑」
74
阿丘学堂
1. 书架上有10 本不同的童话书、6 本不同的图画书、4 本不同的数学书。如果从中任取1 本
书，共有
种不同的取法。
2. 书架上有10 本不同的童话书，6 本不同的图画书，4 本不同的数学书。如果从中取出童话
书、图画书、数学书各1 本，共有
种不同的取法。
3. 从5 幅楷体，3 幅隶书，2 幅草体书法作品中选取不同类型的两幅，共有
种不同
的选法。
4. 如图，甲、乙两地之间有4 条路，乙、丙两地之间有2 条路，甲、丙两地之间有3 条路，那么
从甲地去丙地一共有
条不同的路线。
第5 讲
从数数到计算进阶
75
5. 由数字1，2，3，4 可以组成
个没有重复数字的数。
6. 用0，1，2，3 四个数字可以组成
个没有重复数字的三位偶数。
7. 如图，四张卡片上写有数字2、4、7、8 任取三张卡片，排成一行，就可以组成一个三位数。那
么一共可以组成
个不同的三位数，其中有
个不同的三位奇数。
8. 利用数字1、2、3、4、5 共可组成：
（1）
个数字不重复的三位数；
（2）
个数字不重复的三位偶数；
（3）
个数字不重复的偶数。
学而思数学思维
目标S 班·五年级（全国版）「暑」
76
9. 五面颜色各不相同的小旗，任意取出一面、两面或三面排成一行表示各种信号，并且不同的
顺序表示不同的信号。那么一共可以表示
种不同的信号。
10. 某信号兵用红，黄，蓝，绿四面旗中的三面从上到下挂在旗杆上的三个位置表示信号。每次
可挂一面，二面或三面，并且不同的顺序表示不同的信号。一共可以表示出
种不
同的信号。
11. 红、黄、蓝、白四种颜色不同的小旗，各有2、2、3、3 面，任意取出三面按顺序排成一行，表示
一种信号，白旗不能打头的有
种。
12. 有一只电子表的表面用两个数码显示“时”，用另两个数码显示“分”。则这个电子表从
00 : 00 到23 : 59 之间总共有
分钟表面上显示有数码2。
第5 讲
从数数到计算进阶
77
13. 一个回文数是从前后两头读都相同的整数(例如：28482)。则在100 和10000 之间有
个回文数。
14. 如下图，有A、B、C、D、E 五个区域，现用五种颜色给区域染色，染色要求：每相邻两个区域
不同色，每个区域染一色。有
种不同的染色方式。
15. 某沿海城市管辖7 个县，这7 个县的位置如图。现用红、黑、绿、蓝、紫五种颜色给下图染
色，要求任意相邻的两个县染不同颜色，共有
种不同的染色方法。
第6 讲
数阵图进阶
6
数阵图进
阶
学而思数学思维
目标S 班·五年级（全国版）「暑」
80
PART
1
数阵图进阶
数阵图：将一些数按照一定的要求排列而成的某些图形.
数阵图的分类：辐射型，封闭型，复合型.
辐射型数阵图：从一个中心出发，向外作若干条射线，在每条射线上安放同样多个数，使其和是
一个不变的数.
封闭型数阵图：在正多边形的每条边上安放同样多的数，使它们的和都等于一个不变的数.
复合型数阵图：既要在射线上安放数字，又要在正多边形的边上安放数字，使它们的和都等于
一个不变的数.
数阵图问题要求在数阵中填入了一些数以后，能保证数阵中特定关系线（或关系区域）上的数
的和相等，可以按以下步骤解决这一类问题：
第一步：区分数阵图中的普通点（或方格）和关键点（或方格）
第二步：在数阵图的少数关键点（一般是交叉点）上设置未知数，计算各个点与该点被重复计
算次数之积的和的代数式，即数阵图关系线（关系区域）上和的总和，这个和是关系线（关系
区域）的个数的整数倍．
第三步：判断少数关键点上可以填入的数的余数性质，并得出相应的数阵图关系线（关系区
域）和．
第四步：运用已经得到的信息进行尝试．
第6 讲
数阵图进阶
81
例题1
把1 ∼9 填入图中，使每条线上三个数的和都相等，中心数可以是
，
，
。
互动题1
把5 ∼15 这11 个数分别填入图中各圆圈内，使每条直线上三个圆圈内所填数之和都相等。如
果中心圆圈内填的数相同，那么就视为同一种填法，请写出所有可能的填法。中间数有
种
填法。
学而思数学思维
目标S 班·五年级（全国版）「暑」
82
例题2
将2、4、6、8、10、12、14、16、18 这9 个数分别填入图中的9 个⃝中，使三条边上⃝中的四个
数的和都相等。每条边上四个数的和最小是
。
互动题2
将2 ∼10 这9 个数分别填入图中的9 个⃝中，使三条边上⃝中的四个数的和都相等。每条
边上四个数的和最大是
。
第6 讲
数阵图进阶
83
例题3
（1）如下图所示4 个小三角形的顶点处共有6 个圆圈。如果在这些圆圈中分别填上6 个质
数，它们的和是20，而且每个小三角形三顶点上的数之和相等，那么这6 个质数的积是
。
（2）把1 ∼9 这9 个数分别填入图中的9 个圆圈内，使得三个圆周及三条线段上的3 个数之
和都相等。
学而思数学思维
目标S 班·五年级（全国版）「暑」
84
互动题3
如图，
“好、朋、友、伙、伴、帮、手”这7 个汉字分别代表1 ∼13 中的7 个奇数。已知每条直线上
的3 个数相加、每个圆周上的3 个数相加所得的5 个和相同。那么，
“好”字代表
。
第6 讲
数阵图进阶
85
PART
2
复杂数阵图
例题4
将自然数1 ∼11 填入下图的11 个圆圈内（其中3 和5 已填入），使得每条直线（共10 条）
上的三个数之和都相等。左下角的圆圈中填
。
互动题4
老师将一些数填入下图的圆圈内（每个圆圈内能且只能填一个数），左右两个闭合回路的三个
数之和均为20，上下两个闭合回路的四个数之和均为30。若圆圈X 内填的数为7，则圆圈Y
内填的数为
。
笔记页
86
第6 讲
数阵图进阶
87
课堂巩固
1 把3 ∼7 这五个数分别填入下图的“⃝”中，使得横行三数之和与竖列三数之和都相
等，那么中心数可以有
种。
2 把1，2，4，5，6，8，10 这7 个数分别填入图中的圆圈中，使得每条直线上4 个数的和都
等于20。那么，中间的圆圈填
。
学而思数学思维
目标S 班·五年级（全国版）「暑」
88
3 把10、20、30、40、50、60、70 这七个数填入下面的圆圈里，使每条线上的三个数相加的
和是120，中间的圆圈应填的数是
。
4 将1 ∼8 这8 个数字分别填入下图的八个圆圈内（每个数字只用一次），如果两个大
圆圈上五个圆圈内的数字之和都是22，那么A、B 两个圆圈内不可能填（ ）。
A. 1 和7
B. 4 和8
C. 3 和5
D. 2 和6
第6 讲
数阵图进阶
89
5 将自然数1 ∼7 填入图中的七个圆圈中，使得横、竖、斜的每条直线上的三个数之和都
相等，每条线上的三个数字之和为
。
学而思数学思维
目标S 班·五年级（全国版）「暑」
90
阿丘学堂
1. 把2，3，4，5，6，7，8 这七个数分别填入圆圈中，使得每一条直线上的3 个数的和都等于13。
2. 将1 ∼6 分别填入图中的六个方格内，使得横行三个数之和与竖列四个数之和相等。这个
和最大是多少？并给出一种填法。
第6 讲
数阵图进阶
91
3. 将1 ∼11 这十一个数分别填入图中“六一”图形中的各方框里，每个数只用一次，使每一
行、每一列、每一斜线的和都相等。
4. 把1 至8 填入下图的“□”内，使每一横行、竖列的数字和都相等，那么和最小可以是
。
5. 把1 至9 这九个数字填入“七一”图形中的各“□”内，使每一横行、竖列的数字和都是13。
学而思数学思维
目标S 班·五年级（全国版）「暑」
92
6. 把10 ∼24 中的七个奇数分别填入图中各圆圈内，使每条直线上三个圆圈内所填数之和都
相等，中心数可以填
，
，
。
7. 将1、4、7、10、13、16、19、22、25 这9 个数分别填入图中的9 个⃝中，使三条边上⃝中的
四个数的和都相等。每条边上四个数的和最大是
。
8. 在圆圈内填上1∽8 八个数，使长方形每条边上三个数的和为12。
第6 讲
数阵图进阶
93
9. 把11 ∼22 这12 个自然数填入图中的小圆内，每个数都要用到，且每边上的四个数的和相
等，这个和的最小值是：
，最大值是：
。
10. 如图所示，圆圈中分别填入0 到9 这10 个数，且每个正方形顶点上的四个数之和都是18，
则中间两个数A 与B 的和是
。
11. 把2 ∼11 这10 个数填到下图的10 个方格中，每个数用一次，每格内填一个数，要求图中
3 个2×2 的正方形中的4 个数之和相等。那么，这个和的最小值是
。
学而思数学思维
目标S 班·五年级（全国版）「暑」
94
12. 将1、2、3、5、6、7、9、10、11 填入图中的小圆圈内，使得每条直线上各数之和都等于18。
13. 图中共有10 个圆圈，6 条直线：
（1）能否将1 ∼10 填入图中，使得每条直线上各数之和都相等？
。（如果能，则填
1，如果不能，则填2）
（2）能否将0 ∼9 填入图中，使得每条直线上各数之和都相等？
。（如果能，则填
1，如果不能，则填2）
第6 讲
数阵图进阶
95
14. 将1、3、5、7、9、11、13、15、17 这9 个自然数填入到下图的圆圈中，使得每个正方形的四个
角上的数字之和都相等，则数字和是
。
15. 将1、2、3、4、5、7、8、9 分别填入下图的8 个“⃝”中，使得每个三角形的三个顶点上的数之
和都与中间正方形四个顶点上的数之和相等，最上面和最下面的两个圆圈内的数之和是
。
第7 讲
能不能与为什么
7
能不能与
为什么
学而思数学思维
目标S 班·五年级（全国版）「暑」
98
PART
1
染色覆盖
日字方块覆盖一黑一白，而田字形、长条形、L 形、Z 形都可以看成两个日字方块，因此这些方块
覆盖2 黑2 白．
凸形方块覆盖1 黑3 白或3 黑1 白．
覆盖否证思路：
（这里的覆盖是指不重叠、不遗漏、不超出地覆盖）
（1）黑白染色后，得出实际的黑格数目；
（2）根据覆盖的方块，得出黑格数目的理论数目（可能只得出奇偶性）．
如果两者不符合，则无法覆盖．
第7 讲
能不能与为什么
99
例题1
（1）下列哪些图能被若干个2×1 的“骨牌”（形如
，可以旋转）恰好覆盖？（填“能”或“不
能”）
（2）下面是一个6×6 的方格，能否用9 个
形方块（可以旋转）恰好覆盖？
。
（能的话填“1”，不能的话填“2”。）
互动题1
下面是一个4×4 的方格，能否用4 个
形方块（可以旋转）恰好覆盖？
（能
的话填“1”，不能的话填“2”）
学而思数学思维
目标S 班·五年级（全国版）「暑」
100
PART
2
构造染色
黑白间隔染色★
对无向简单图进行黑白间隔染色，意思是黑白不能相邻．但是要注意，有些图是无法黑白染色
的，例如出现三角形，那么三个点无法黑白间隔染色，此时需要更多颜色．
四色定理：任何一个平面简单图都可以用4 种颜色完成间隔染色．
黑白间隔染色★★
黑白间隔染色后，相邻行走的路径（还有其他一些路径，例如走马）都是黑白相间的，如果首尾
不同色，那么黑白数目相同，如果首尾同色，那么黑白数目相差1. 根据此结论，如果与实际情
况不符，则不存在满足条件的路径．注意：回路的黑白数目相同．
黑白间隔染色★★★
对图形黑白染色后，黑色格数和与白色格数和的差为S. 有一些操作是不会改变S 大小的，如
每次选两个相邻的数加1 或减1.
第7 讲
能不能与为什么
101
例题2
如图，某个展览区域共有16 个房间，相邻两个房间之间有一扇门可以供出入，现在从左上角进
入展览区，要求经过所有房间各一次，然后从右下角的房间出来。你能做到吗？
互动题2
有一次车展共6×6 = 36 个展室，如图，每个展室与相邻的展室都有门相通，入口和出口如图所
示。参观者
（“能”填“1”，
“不能”填“2”）从入口进去，不重复地参观完每个展室再
从出口出来。
学而思数学思维
目标S 班·五年级（全国版）「暑」
102
例题3
如图是连接14 个城市的道路图，
（“能”或“不能”）有一条路线经过每个城市恰好各
一次。
互动题3
如图，能否沿此图上的线画出一条线，使得每个节点都恰好经过一次？
。（能填1，不
能填2）
第7 讲
能不能与为什么
103
例题4
如图，左图的九宫格内每个格子填了一个数，现在可以随意将相邻的两个格子内的数同时加上
或减掉1，经过若干次操作，最后变成右图。则x 的值是
。
互动题4
如图，左图10 个圆圈连成一个环，每个圆圈内填了一个数，现在可以随机将相邻的两个圆圈内
的数同时加1 或减1，经过若干次操作，最后变成右图。则X 的值是
。
笔记页
104
第7 讲
能不能与为什么
105
课堂巩固
1 将下面的图形的方格染上黑白两色，要求黑色之间不相邻，白色之间不相邻，计算黑白
两色方格数目相差
、
、
。
2 在下图的方格中放入棋子，一个方格中至多放一枚棋子，并且要求任意两枚棋子不能
相邻，至多放
枚。
学而思数学思维
目标S 班·五年级（全国版）「暑」
106
3 能否用25 个如图所示的卡片拼成一个10 × 10 的棋盘？
。（能填“1”，不能
填“2”）
4 如图是由14 个大小相同的方格组成的图形。那么
（“能”填“1”，
“不能”填
“2”）剪裁成7 个由相邻两个方格组成的长方形。
第7 讲
能不能与为什么
107
5 如图，三个图形都是从4×4 的正方形纸片上剪去两个1×1 的小方格后得到的，那么
它们分别
，
，
（能填“1”，不能填“2”）被剪成1×2 的七
个小矩形。
学而思数学思维
目标S 班·五年级（全国版）「暑」
108
阿丘学堂
1. 在下图的方格中放入棋子，一个方格中至多放一枚棋子，并且要求任意两枚棋子不能相邻，
至多放
枚。
2. 下面两幅图，能否用4 个
恰好覆盖？
第7 讲
能不能与为什么
109
3. 用多个
能不重叠地盖住下列哪种正方形？（ ）。
A. 3×3
B. 4×4
C. 5×5
4. 在6×6 的方格中，用若干由3 个单位方格组成的L 形纸片和由4 个单位方格组成的凸形
纸片将其完全覆盖，所用纸片最少
张。
5. 一个8×8 国际象棋棋盘（下图）去掉对角两格后，是否可以用31 个2×1 的“骨牌”（形
如
）把象棋盘上的62 个小格完全盖住？
。（“能”填“1”，
“不能”填“2”。）
学而思数学思维
目标S 班·五年级（全国版）「暑」
110
6. 如图，教室共有25 套单人桌椅，现在有13 名学生需要入座，要求任意两名学生都不相邻
（前后左右视为相邻，斜对角不算作相邻），你应该如何安排座位？如果在标记处必须坐一
名学生，那么你还能办到吗？
7. 将下面的图形的圆圈染上黑白两色，要求黑色之间不相邻，白色之间不相邻，并且计算黑白
两色方格数目相差
。
8. 下图是一座城堡的俯视图，每个拐角处都有一座瞭望台，现要求任意相邻两座瞭望台至多
有一个守卫，那么最多能安排
名守卫。
第7 讲
能不能与为什么
111
9. 如图是某一套房子的平面图，共14 个房间，每相邻两个房间都有门相通，你
从
某个房间出发，不重复地走完每个房间。(填入“能”或者“不能”)
10. 五年级一班有35 名同学，共分成5 排，每排7 人，坐在教室里，每个座位的前后左右四个
位置都叫作它的邻座。如果要让这35 名同学每个人都恰好坐到他的邻座上去，能办到吗？
为什么？
11. 某影院有31 排，每排29 个座位，某天放映了两场电影，每个座位上都坐了一个观众。如果
要求每个观众在看第二场电影时必须跟他前后左右相邻的某一观众交换座位，这样能办到
吗？
。（“能”填“1”，
“不能”填“2”）
学而思数学思维
目标S 班·五年级（全国版）「暑」
112
12. 一只电动老鼠从下图的a 点出发，沿格线奔跑，并且每到一个格点不是向左转就是向右转，
当这只电动老鼠又回到a 点时，甲说它共转动了83 次弯，乙说它共转动了84 次弯，如果
甲、乙二人有一人说对了，那么
对了。
13. 如图，一个正方体有8 个顶点，一只蚂蚁在点A 处，只能沿着正方体的棱爬到点B 处，要求
经过所有的点各一次，你能做到吗？
。（能填“1”，不能填“2”）
第7 讲
能不能与为什么
113
14. 在图⑴的方格表中，对任意相邻的上下或左右两格中的数字同时加1 或减1，这算一次操
作，经过若干次操作后变为图⑵，问：图⑵中的A 格中的数字是几？
15. 在图a 中，有公共边的两个方格称为相邻的。考虑下面的运算操作：取两个相邻的数并加
上同一个整数，能够把图a 经若干次操作变成图b 吗？
第8 讲
排个队照个相
8
排个队照
个相
学而思数学思维
目标S 班·五年级（全国版）「暑」
116
PART
1
从乘法原理到排列
排列：表示把不同元素排成一排的操作。
排列数：Am
n = n(n−1)(n−2)···(n−m+1) =
n!
(n−m)!，表示n 个不同的元素中选出m 个元素
排成一排的方法数。An
n 称为全排列，An
n = n×(n−1)×(n−2)···2×1=n!，也称为n 的阶乘。
n 是几就从几开始乘，m 是几乘几个数。
常用排列数：
A1
1 = 1 ；A2
2 = 2；A3
3 = 6；A4
4 = 24；A5
5 = 120；
A6
6 = 720 ；A7
7 = 5040；A8
8 = 40320；A9
9 = 362880；A10
10 = 3628800。
第8 讲
排个队照个相
117
例题1
（1）用数字2、4、6、8 可以组成
个三位数，可以组成
个没有重复数字的三
位数。
（2）排列数公式为Am
n = n(n−1)(n−2)···(n−m+1) =
n!
(n−m)!，表示从n 个不同的元素中选
出m 个元素排成一排的方法数。例如A3
4 = 4×3×2 = 24。
仿照上面的算法计算：A2
5 =
，A4
4 =
，A4
5 =
，A5
6 =
，
A10
10 =
。
互动题1
计算：
A2
6 =
A4
7 =
A6
8
A6
6
=
A3
8 +A5
5 =
学而思数学思维
目标S 班·五年级（全国版）「暑」
118
PART
2
简单应用
优限法:
在排列或组合时，有时个别位置或对象有特殊要求，比如：甲不站在两边，乙一定要站在中间，
首位不为零，四位数为偶数等，出现这种情况应该先考虑特殊位置或特殊对象，然后再处理其
他，分步进行。
相邻问题—-捆绑法：
对于某些元素要求相邻的排列问题，先将相邻接的元素“捆绑”起来，看作一“大”元素与其余元
素排列，然后再对相邻元素内部进行排列。
不相邻问题—-插空法：
某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法. 即先安排好没有限制条件的
元素，然后再将不相邻接元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入。要求两个元素不相
邻时也可以用排除法，先算出随便排的方法，再算出两元素相邻时的排法，用总排法减去相邻
的排法即为不相邻的排法.
第8 讲
排个队照个相
119
例题2
（1）甲、乙、丙、丁、戊、己6 个人排成一排照相，有
种不同的排法。
（2）6 个人照相，其中1 个人负责拍照，另外5 个人排成一排，一共有
种不同的排法。
互动题2
班里选出了5 名班委，他们要分别担任班长、学习委员、生活委员、宣传委员和体育委员。则有
种不同的分工方式。
学而思数学思维
目标S 班·五年级（全国版）「暑」
120
例题3
（1）A、B、C、D、E、F6 个人排队照相，C 必须站在最左边，有
种不同的排队方式。
（2）A、B、C、D、E、F6 个人排队照相，D 一定不站在最右边，有
种不同的排队方式。
（3）A、B、C、D、E、F6 个人排队照相，C 必须站在最左边，且D 一定不站在最右边，有
种不同的排队方式。
互动题3
丁丁和爸爸、妈妈、奶奶、哥哥一起照“全家福”，5 人并排站成一排，奶奶要站在正中间，有
种不同的站法。
第8 讲
排个队照个相
121
例题4
（1）4 个男生，2 个女生共6 人站成一排合影留念，如果要求2 个女生紧挨着排有
种
不同的排法。
（2）6 名同学站成一排，其中学学和思思不能紧挨着站，有
种排队的方法。
互动题4
3 男2 女共5 个孩子一起排队，2 个女孩挨在一起的排法共有
种。
笔记页
122
第8 讲
排个队照个相
123
课堂巩固
1 计算：A4
6 =
2 有4 个同学一起去郊游，照相时，必须有一名同学给其他3 人拍照，共可能有
种不同的拍照情况。（照相时3 人站成一排）
学而思数学思维
目标S 班·五年级（全国版）「暑」
124
3 红、橙、黄、绿4 个珠子排成一列，绿色珠子不在左数第二个的排法共有
种。
4 5 个人站成一排，小明不在两端的排法共有
种。
第8 讲
排个队照个相
125
5 3 名男生和3 名女生排成一排，其中女生三人必须排在一起，一共有
种排
法。
学而思数学思维
目标S 班·五年级（全国版）「暑」
126
阿丘学堂
1. 计算：
（1）A2
3 =
；
（2）A3
6 −A2
10 =
。
2. 计算:3A5
6 −A3
3 =
。
3. 计算：4A3
8 +A1
9 −A5
6 =
。
第8 讲
排个队照个相
127
4. 从甲、乙、丙3 名同学中选2 名去参加跳绳比赛和乒乓球比赛，则一共有
种不同
的方法。
5. 4 个人排成一队，共有
种不同的排法。
6. 从5 种蔬菜品种中选出3 种，分别种植在不同土质的3 块土地上进行实验，有
种不同的种植方法.
学而思数学思维
目标S 班·五年级（全国版）「暑」
128
7. 科技兴趣小组一共有9 名同学，如果从中选出3 名同学在第二天的早上、中午、晚上分别
做值日，一共有
种不同的选法.
8. A、B、C、D、E、F、G 七个同学照相，则：七个人排成一排，A、B 两个同学都不能站在边上，有
种站法；七个人站成两排，前排三人，后排四人有
种站法；七个人站成
两排，前排三人，后排四人，A、B 两个同学不在同一排，有
种站法。
9. 用数字2、3、4、5 一共可以组成
个没有相同数字的三位奇数。
第8 讲
排个队照个相
129
10. 一台晚会上有6 个演唱项目和4 个舞蹈项目，若要求4 个舞蹈项目排在一起，则有
种不同的排列顺序。
11. 四年级三班举行六一儿童节联欢活动。整个活动由2 个舞蹈、2 个演唱和3 个小品组成。
请问：如果要求同类型的节目连续演出，那么共有多少种不同的出场顺序？
12. 停车站划出一排12 个停车位置，今有8 辆不同的车需要停放，若要求剩余的4 个空车位
连在一起，一共有
种不同的停车方案。
学而思数学思维
目标S 班·五年级（全国版）「暑」
130
13. 有四对双胞胎，要求每对双胞胎必须站在一起，总共有
种不同的排法。
14. 有五个家庭参加亲子活动排成一排，每个家庭都由爸爸、妈妈、孩子三人组成，要求每个家
庭的成员必须站在一起，总共有
种不同的排法。
15. 由4 个不同的独唱节目和3 个不同的合唱节目组成一台晚会，要求任意两个合唱节目不相
邻，开始和最后一个节目必须是合唱，则这台晚会节目的编排方法共有
种。
第9 讲
选人以后再排队
9
选人以后
再排队
学而思数学思维
目标S 班·五年级（全国版）「暑」
132
PART
1
从排列到组合
1. 组合：从n 个不同的元素中选出m 个元素。
组合数：Cm
n = Am
n
Amm
=
n!
m!(n−m)!，表示n 个不同的元素中选出m 个元素的方法数．组合数有以
下常见公式：
Cm
n = Cm
n−1 +Cm−1
n−1 ；rCr
n = nCr−1
n−1（吸收律）；C0
n +C1
n +C2
n +···+Cn
n = 2n。
二项式定理：(1+x)n = C0
nx0 +C1
nx1 +C2
nx2 +···Cn
nxn，代入x = 1 可以得到有趣结论．
C0
nCk
m +C1
nCk−1
m
+C2
nCk−2
m
+···Ck
nC0
m = Ck
n+m，推论：
(
C0
n
)2 +
(
C1
n
)2 +
(
C2
n
)2 +···+(Cn
n)2 = Cn
2n。
Ck
k +Ck
k+1 +Ck
k+2 +···+Ck
n = Ck+1
n+1
2. 排列数与组合数的区别
排列数的定义是：先选再排，而组合数只有一步：选．所以区分两者的关键是否需要“排”这个步
骤．
第9 讲
选人以后再排队
133
例题1
从A、B、C、D、E 这5 个小朋友中选出3 名小朋友，有C3
5 种方法，再将选出的3 名小朋友
排成一排，有A3
3 种方法。因此，先选再排这两步有C3
5 × A3
3 种方法，应该与A3
5 相等，所以
C3
5 = A3
5
A3
3
= 5×4×3
3×2×1 = 10，仿照此例：
计算：
C2
8 = (
)
(
) =
C6
8 = ( )
( ) =
C3
10 = ( )
( ) =
C7
10 = ( )
( ) =
C2
101 = ( )
( ) =
C99
101 = ( )
( ) =
互动题1
计算：
C4
5 =
C2
9 =
C8
11 =
C79
81 =
学而思数学思维
目标S 班·五年级（全国版）「暑」
134
例题2
（1）老师要从班上8 名同学中选出3 名班干部，分别担任班长、学习委员和生活委员的职务，那
么一共有
种不同的安排方式。
（2）玩具店有8 种不同的玩具，薇儿打算买3 种不同的玩具，有
种购买方案。
（3）12 个人参加一个聚会，每两个人之间握手一次，一共会握
次手。
互动题2
7 个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手
次。
第9 讲
选人以后再排队
135
PART
2
简单应用
分类讨论与排除法：
当我们分步考虑时，比如某一步可能发现A 情形，B 情形，C 情形，…，如果这些情形下，后续的
方法数相同，我们就直接用分步计数即可．但有的时候，A 情形可能与B 情形不同，无法用分
步计数，此时就必须分情况讨论：A 类，B 类，…
学而思数学思维
目标S 班·五年级（全国版）「暑」
136
例题3
（1）从1、2、3、4、5、6、7、8 中不重复地选出3 个数，使得3 个数的和是奇数，有
种选
法。
（2）一个小组有10 名同学，其中男生有4 名，女生有6 名，现从中选出3 名代表，如果要求3
名代表中有1 名女生和2 名男生，一共有
种不同的选法。
互动题3
在1 至12 这12 个自然数中任意挑选出两个不同的数，使得它们的和是偶数，一共有
种不同的挑选方法。
第9 讲
选人以后再排队
137
PART
3
插板法
元素相同问题隔板策略
将n 个相同的元素分成m 份（n，m 为正整数），每份至少一个元素，可以用m−1 块隔板，插
入n 个元素排成一排的n−1 个空隙中，所有分法数为Cm−1
n−1
插板法:
前提:1. 物品相同;2. 人不同;3. 完全分完，并且完整。
结论: m 个相同的物品完全分给n 个人
若每人至少1 个，则共有Cn−1
m−1 种分法;
若每人至少k 个，则共有Cn−1
m−1−n(k−1) 种分法;
若有人可以不得，则共有Cn−1
m+n−1 种分法。
学而思数学思维
目标S 班·五年级（全国版）「暑」
138
例题4
12 个相同的球完全分给3 个小朋友，若每个小朋友至少得1 个，那么共有
种分法。
互动题4
10 个相同的球完全分给3 个小朋友，若每个小朋友至少得1 个，那么共有
种分法。
笔记页
139
学而思数学思维
目标S 班·五年级（全国版）「暑」
140
课堂巩固
1 计算：C2
6 =
2 科学老师要从5 篇优秀科技论文中选出2 篇参加区比赛，一共有
种选法。
第9 讲
选人以后再排队
141
3 8 名学生相互握手，每个人都与其他每个人握一次手，共握手
次。
4 从9、8、7、6、5、4、3、2、1、0 这10 个数字中划去7 个数字，一共有
种划法。
学而思数学思维
目标S 班·五年级（全国版）「暑」
142
5 10 个苹果分给4 个人，每人至少1 个，则共有
种分法。
第9 讲
选人以后再排队
143
阿丘学堂
1. 计算：C3
10 −2×C2
10 =
2. 计算:C7
10=
，C3
10=
。
3. 计算：
C3
9 =
C9
13 =
C999
1000 =
C4
9 −C3
10 =
学而思数学思维
目标S 班·五年级（全国版）「暑」
144
4. 每两个小朋友握一次手（不能重复计数），4 个小朋友一共要握几次手？
5. 10 个小朋友做游戏，每个人都要和其他9 个人拍1 次手，那么这些小朋友一共要拍
次手。
6. 已知从5 名学生中选出三人组成一个3 人工作小组共有k 种不同的组合．则k 的值为
．
第9 讲
选人以后再排队
145
7. 某班有男生15 人，女生16 人，现在需要选出两名男生和一名女生打扫卫生，共有
种不同的选法。
8. 中国男子篮球队今年集训了6 名前锋，如果教练只需要2 名前锋上场比赛，那么教练心中
有
种组合阵容。
9. 从十位同学中任意选取2 名同学，一共有
种选法。从十位同学中任意选取2 名
同学担任班长、副班长职位，一共有
种选法。
学而思数学思维
目标S 班·五年级（全国版）「暑」
146
10. 某铁路线上，在起点和终点之间原有7 个车站，现在新增加了3 个车站，这样需要增加
种不同的车票。
11. 小明家有10 个一样的鸡蛋，要在一周吃完，每天都要吃至少1 个，共有
种吃法。
12. 18 块一样的糖，一周吃完，每天至少吃两块，共有
种不同的吃法。
第9 讲
选人以后再排队
147
13. 把25 个相同的足球分发给8 个学生，每个学生至少分得三个足球，共有
种不同
的分法。
14. 学校新修建的一条道路上有12 盏路灯，为了节省用电而又不影响正常的照明，可以熄灭其
中2 盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的2 盏灯，那么熄灯的方法共有
种。
15. 14 个相同的小球放入编号为1，2，3 的三个盒子内，要求每个盒子的球数不小于它的编号
数，则不同的放法共有
种。
第10 讲
比和比例
10
比和比例
学而思数学思维
目标S 班·五年级（全国版）「暑」
150
PART
1
比的认识
求比值
(1) 比的定义: 两个数相除又叫做两个数的比，如:2÷5 也可以写作2 : 5，读作2 比5，比表示两
个数的相除关系，比号前面的数叫前项，比号后面的数叫后项，比的结果叫比值．因为比也是分
数，所以比的后项不能为0.
(2) 求比值：通过前项除以后项，求出商. 结果可以是整数、小数或分数.
化简比
(1) 比与除法和分数的联系和区别
比也可写成分数的形式:a : b = a
b
(2) 比的基本性质: 比的前项和后项同时扩大或缩小相同的倍数(零除外)，比值不变.
如:3 : 4 = (3×2) : (4×2) = 6 : 8
(3) 化简比：利用比的基本性质，前项和后项同时乘或除以一个不为0 的数，前后项化成互质数.
结果仍然是比的形式．
第10 讲
比和比例
151
例题1
两个数相除又叫做这两个数的比。a ÷ b 写成比的形式是a : b，写成分数的形式是a
b。例
如：3 : 7 = 3 ÷ 7 = 3
7。仿照上面的形式写出下面各式的比值(最终为整数、小数或分数形式)。
（1）10 : 5 =
；10 : 12 =
/
。
（2）0.3 : 0.4 =
/
；0.25 : 1.2 =
/
。
（3）3
8 : 2
9 =
/
；3
10 : 3
8 =
/
。
（4）36g : 18g =
；5m : 1.5km =
/
（先填分子，后填分母）。
互动题1
求比值。（第一个横线填分子，第二个横线填分母）
（1）18 : 36 =
/
；
（2）3
2 : 3
7 =
/
；
（3）0.35 : 0.28 =
/
；
（4）10cm : 1dm =
。
学而思数学思维
目标S 班·五年级（全国版）「暑」
152
例题2
比的基本性质：比的前项和后项同时扩大或缩小相同的倍数（零除外），比值不变。利用比的基
本性质可以将一个比变成两项均为整数且互质的比，这个过程叫化简比。例如：6 : 4 = 3 : 2，仿
照这种方式，化简比。
（1）14 : 21 =
:
16 : 36 =
:
1.2 : 3.6 =
:
（2）7
8 : 1 5
16 =
:
；13
4 : 7
4 =
:
；33
5 : 4 =
:
。
（3）50 克: 25 克=
:
；3 平方米: 150 平方分米=
:
。
互动题2
（1）把1
2 : 4
3 化成最简整数比是
:
；
（2）把1
8 : 0.375 化成最简整数比是
:
。
第10 讲
比和比例
153
PART
2
比例的认识
比例
(1) 比例的定义: 表示两个比相等的式子叫做比例. 如: 12 : 15 = 4 : 5.
组成比例的四个数，叫做比例的项，两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项.
例如:
(2) 比例的基本性质: 在比例中，两个外项的积等于两个内项的积. 如: 在上面的例子中，2.4 ×
40 = 1.6×60 = 96.
(3) 解比例: 根据比例的基本性质，如果我们已知比例中的任何三项，就可以求出这个比例中的
另外一个未知项. 求比例中的未知项，叫做解比例.
(4) 比和比例的区别:
学而思数学思维
目标S 班·五年级（全国版）「暑」
154
例题3
（1）在下面的横线上填上适当的数。
4：3 = 8：
4×
= 3×8
5：
= 15：21
5×21 =
×15
6：10 =
：15
6×15 = 10×
像4：3 = 8：6 这样表示两个比相等的式子叫做比例。组成比例的四个数叫做比例的项，其
中两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。通过上面的观察请回答：
若a：b = c：d，则a×d =
×
。
（2）下面4 个数，能写成比例吗？如果能，请写出全部比例。
3.5，5，7，10。
（3）1 : 2 = 2 : x，则x =
。
2.5 : x = 20 : 100，则x =
。
11
4 : x = 1
2 : 1
5，则x =
/
。
互动题3
若3
4a = 7
8b，则a : b 为
:
。（a 或b̸ = 0）
第10 讲
比和比例
155
PART
3
比例应用题初步
例题4
水果店运来了西瓜和哈密瓜共234 个。如果西瓜和哈密瓜的个数比为5 : 4，那么水果店运来西
瓜有
个，哈密瓜有
个。
互动题4
一块三角形菜地，三条边长度的比是3 : 4 : 5，这块地的周长为84 米，其中最短的边长是
米。
笔记页
156
第10 讲
比和比例
157
课堂巩固
1 如果A : B = 1 : 9，那么(A×9) : (B×9) =（ ）。
A. 1
B. 1
9
C. 1 : 1
D. 无法确定
2 0.5 : 2.5 的比值是（ ）。
A. 0.2
B. 5 : 1
C. 1 : 5
D. 5
学而思数学思维
目标S 班·五年级（全国版）「暑」
158
3 某班女生人数是男生人数的4
5，则女生人数与男生人数的比是（ ）。
A. 5 : 4
B. 4 : 5
C. 4 : 9
D. 5 : 9
4 如果a : 8 = 1.5 : b，那么ab =
；
如果8a = 7b（a、b 均不为0），那么a : b =
:
。
第10 讲
比和比例
159
5 小红帮妈妈包韭菜鸡蛋饺子，韭菜与鸡蛋的质量比是3 : 2，450 克的料中，韭菜、鸡蛋
各有
、
克。
学而思数学思维
目标S 班·五年级（全国版）「暑」
160
阿丘学堂
1. 填空：
1÷3 = ( )
( ) = ( ) : ( )；
2÷7 = ( )
( ) = ( ) : ( )；
24÷144 = ( )
( ) = ( ) : ( )；
48÷32 = ( )
( ) = ( ) : ( )。
2. 计算并写出下列比的比值。
36 : 18 =
；
2 : 12 =
/
(先写分子再写分母)；
15 : 3 =
；
15 : 225 =
/
(先写分子再写分母)；
44 : 121 =
/
(先写分子再写分母)；
144 : 48 =
。
3. 有两根冰棍，巧乐兹长102
3 厘米，可爱多长93
5 厘米，这两根冰棍长度的比值是
/
。(先写分子再写分母)
第10 讲
比和比例
161
4. 化简下列各比：
4 : 6 =
:
；
28 : 96 =
:
；
42 : 16 =
:
；
46 : 69 =
:
；
121 : 1001 =
:
；
999 : 37 =
:
。
5. 化简下列各比。
24h : 96h =
:
；
14 平方米:49 平方米=
:
；
18 毫米:12 毫米=
:
；
84 平方米:126 平方米=
:
；
12
5 千克: 2 克=
:
；
1 吨:3 千克=
:
。
6. 化简下列各比：
3
2 : 2
3 =
:
；
3
8 : 4 =
:
；
15
7 : 17
5 =
:
；
31
3 : 3
2 =
:
；
12
3 : 26
7 =
:
；
31
3 : 22
9 =
:
。
学而思数学思维
目标S 班·五年级（全国版）「暑」
162
7. 试用1，2，3，6 四个数组成比例。
8. 试用1，1
2，1
3，1
6 四个数组成比例。
9. 用1，2，4 及a 可以组成比例，且2，4 为两个外项，则这个比例式可以写成
。
第10 讲
比和比例
163
10. 由3、4、6 及a 可以组成比例，则a 的可能值为
、
、
(从小到大填写)。
11. 解方程：
4 : x = 6 : 9 ⇒x =
；
6 : x = 1
5 : 1
3 ⇒x =
；
x : 24 = 3
4 : 1
3 ⇒x =
；
x : 1
14 = 0.7 : 1
2 ⇒x =
/
(先写分子再写分母)。
12. 解下列比例方程：
（1）(4x+3) : 3 = (10x−2) : 6，x =
；
（2）2x−1
4
= 3−x
3
，x =
；
（3）2x+5
3
= 4x−7
5
，x =
。
学而思数学思维
目标S 班·五年级（全国版）「暑」
164
13. 若2x+8
3y+10 = 4
5，则x : y =
:
。
14. 解方程：
4.5
x = 6
2.2 ⇒x =
；
x
3 = 2 : 9 ⇒x =
/
；
12
2.4 = 3
x ⇒x =
/
；
x
2x+3 = 5
11 ⇒x =
；
8
5x+5 =
5
3x+4 ⇒x =
。
15. 艾迪、薇儿、大宽三人比赛吃饺子，三人吃的数量比为5 : 3 : 7，已知大宽比薇儿多吃了20
个，那么三人一共吃了
个。
第11 讲
比例法解决图形问题（一）
11
比例法解
决图形问题
（一）
学而思数学思维
目标S 班·五年级（全国版）「暑」
166
PART
1
鸟头模型基础
两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角) 两夹边的乘积之比．
如图在△ABC 中，D，E 分别是AB，AC 上的点如图（1），或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上
如图（2），或D 在BA 的延长线上，E 在CA 延长线上如图（3），或两个角相加为180◦如图
（4），则S△ABC : S△ADE = (AB×AC) : (AD×AE) = AB
AD × AC
AE ．
第11 讲
比例法解决图形问题（一）
167
例题1
如图，三角形ABC 中，D、E 分别是AB、AC 上的点，AB = 2AD，AC = 3AE；则三角形ABC 的面
积是三角形ADE 面积的
倍。
互动题1
如图，三角形ABC 中，D、E 分别是AB、AC 上的点，AB = 4AD，AC = 2AE，则三角形ABC 的面
积是三角形ADE 面积的
倍。
学而思数学思维
目标S 班·五年级（全国版）「暑」
168
例题2
如图，三角形ABC 的面积为3 平方厘米，其中AB : BE = 2 : 5，BC : CD = 3 : 2，三角形BDE 的
面积是
平方厘米。
互动题2
如图，在△ABC 中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且AB : AD = 4 : 3，AE : EC = 5 : 4，
S△ADE = 15 平方厘米，则△ABC 的面积为
平方厘米。
第11 讲
比例法解决图形问题（一）
169
例题3
（1）如图，三角形ABC 中，D、E 分别是BA、CA 延长线上的点，AB = 2AD，AC = 2AE。那么三角
形ABC 的面积是三角形ADE 面积的
倍。
（2）如下图，AB = 6，AD = 7，AC = 4，AE = 5，S△ABC = 48，那么S△ADE 是
。
互动题3
如图，AD : AC = 3 : 4，AE : AB = 1 : 4，若△ABC 的面积是32。那么三角形ADE 的面积是
。
学而思数学思维
目标S 班·五年级（全国版）「暑」
170
PART
2
鸟头模型综合
例题4
如图，已知三角形ABC 的面积为1，延长AB 至D，使BD = AB；延长BC 至E，使CE = 2BC；
延长CA 至F，使AF = 3AC，则三角形DEF 的面积是
。
互动题4
已知△DEF 的面积为14 平方厘米，BE = CE，AD = 2BD，CF = 3AF，△ABC 的面积是
平方厘米。
笔记页
171
学而思数学思维
目标S 班·五年级（全国版）「暑」
172
课堂巩固
1 如图，三角形ABC 中，D、E 分别是AB、AC 上的点，AB = 3AD，AC = 5AE，则三角形
ABC 的面积是三角形ADE 面积的
倍。
2 如图，三角形ABC 中，D、E 分别是AB、AC 上的点，AD = 1，DB = 5，AE = 3，EC = 4；
已知三角形ADE 的面积为1，则三角形ABC 的面积是
。
第11 讲
比例法解决图形问题（一）
173
3 如图在△ABC 中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且AB : AD = 5 : 2，AE : EC = 3 : 2，
S△ADE = 12 平方厘米，则△ABC 的面积为
平方厘米。
4 如图，三角形ABC 中，D、E 分别是BA、CA 延长线上的点，AB = 4AD，AC = 3AE，则三
角形ABC 的面积是三角形ADE 面积的
倍。
学而思数学思维
目标S 班·五年级（全国版）「暑」
174
5 如下图，AB = 1，AD = 4，AC = 2，AE = 6，S△ABC = 3，则S△ADE 是
。
第11 讲
比例法解决图形问题（一）
175
阿丘学堂
1. 如图，三角形ABC 中，D、E 分别是AB、AC 上的点，AD = 2，AB = 4，AE = 1，AC = 5，则三角
形ABC 的面积是三角形ADE 面积的
倍。
2. 如图，△ABC 中，AD : DB = 2 : 1，AE : EC = 4 : 1，△AED 的面积是160，四边形DBCE 面积
为
。
学而思数学思维
目标S 班·五年级（全国版）「暑」
176
3. 如图，三角形ABC 被分成了甲、乙两部分，BD = DC = 4，BE = 3，AE = 6，乙部分面积是甲
部分面积的
倍。
4. 如图，在三角形ABC 中，AD : DB = 2 : 3，AE : EC = 3 : 2。如果三角形ADE 的面积等于12
平方厘米，那么三角形ABC 的面积是
平方厘米。
第11 讲
比例法解决图形问题（一）
177
5. 如图所示，各边长度已在图中标出。三角形ABC 被线段DE 分成三角形BDE 和四边形
ACDE 两部分。则三角形BDE 的面积是四边形ACDE 面积的
分之
（先填分母，再填分子）。
6. 如图，三角形ABC 的面积为7 平方厘米，其中AB : BE = 1 : 2，BC : CD = 2 : 3，B 在AE 上，
C 在BD 上，三角形BDE 的面积是
平方厘米。
学而思数学思维
目标S 班·五年级（全国版）「暑」
178
7. 如图，AD : AC = 3 : 4，AE : AB = 1 : 4，若△ABC 的面积是64。那么三角形ADE 的面积是
。
8. 如下图，AB = 2，AD = 8，AC = 3，AE = 6，S△ABC = 5，则S△ADE 是
。
第11 讲
比例法解决图形问题（一）
179
9. 如下图，AB = 4，AD = 6，AC = 3，AE = 5，S△ABC = 12，则S△ADE 是
。
10. 四边形ABCD 中，AB 与BC 垂直，AD 与CD 垂直，各边长度已在图中标出。那么三角形
ABD 与三角形BCD 的面积比是
:
。
学而思数学思维
目标S 班·五年级（全国版）「暑」
180
11. 如图△ABC 中，AF : FC = 1 : 6 ，BC : EC = 7 : 5 ，AD = 3
7AB ，且S△DEF = 4cm2，S△ABC 是
cm2。
12. 如图，在三角形ABC 中，AE = 1
4AB，BF = 1
3FC，AG = 3CG。若三角形ABC 的面积是
16cm2，三角形EFG 的面积是
cm2。
第11 讲
比例法解决图形问题（一）
181
13. 如图在三角形ABC 中，D、E、F 分别是AB、BC、CA 边上的点，且AD : DB = 2 : 5，
BE : EC = 3 : 5，CF : FA = 2 : 3。若三角形DEF 的面积为43.5 平方厘米，那么三角形ABC
的面积是
平方厘米。
14. 如图，已知三角形ABC 面积为1，延长AB 至D，使BD = AB；延长BC 至E，使CE = 3BC；
延长CA 至F，使AF = 3AC。三角形DEF 的面积是
。
学而思数学思维
目标S 班·五年级（全国版）「暑」
182
15. 如图所示，三角形ABC 中，点X、Y、Z 分别在线段AZ、BX、CY 上，且YZ = 2ZC，ZX = 3XA，
XY = 4YB。三角形XYZ 的面积等于24，三角形ABC 的面积是
。
第12 讲
包含与排除的探索
12
包含与排
除的探索
学而思数学思维
目标S 班·五年级（全国版）「暑」
184
PART
1
包含与排除
容斥原理I：二量容斥
A∪B = A+B−A∩B(其中符号“∪”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“∩”读作
“交”，相当于中文“且” 的意思．)
图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，A ∩B 表示大圆与小圆的公共部分，即阴影部分，
A∪B 表示整体部分.
容斥原理II：三量容斥
A∪B∪C = A+B+C −A∩B−B∩C −A∩C +A∩B∩C
A+B+C = P1 +2P2 +3P3、A∪B∪C = P1 +P2 +P3（P1、P2、P3 分别表示重叠一次、两次、三次的
部分）
图示如下：A 表示小圆部分，B 表示中圆部分，C 表示大圆部分，A∩B 表示小圆与中圆的公共部
分，B∩C 表示中圆与大圆的公共部分，A∩C 表示小圆与大圆的公共部分，A∩B∩C 表示小圆、
中圆、大圆三者的公共部分，A∪B∪C 表示整体部分.
第12 讲
包含与排除的探索
185
例题1
（1）一次数学测试共有2 道题目，有24 人答对了第一题，有22 人答对了第2 题，有9 人全对，
有3 人两题全错，共有
人参加测验。
（2）某学校五年级1 班，有20 人参加了科技兴趣小组，有17 人参加了英语兴趣小组，有9 人
两个兴趣小组都参加了，有
人只参加了科技小组没有参加英语小组。
互动题1
期末考试成绩出来后，语文90 分以上的有29 人，数学90 分以上的有30 人，两科都上90 的
有20 人，有
人语文上了90 但数学没有上90，有
人数学上了90 而语文没
有上90。
学而思数学思维
目标S 班·五年级（全国版）「暑」
186
例题2
某校四年级有105 人，每个人至少去过下面提到的一个地方。其中50 人去过北京，48 人去过
上海，35 人去过广州，17 人去过北京和上海，8 人去过北京和广州，7 人去过上海和广州，3 个
地方都去过的有
人，只去过广州的有
人。
互动题2
某学校六年级一共有120 人，其中有65 人爱好游泳，有56 人爱好篮球，有60 人爱好足球，三
种运动都喜欢的有19 人，既爱好游泳又爱好篮球的有24 人，既爱好游泳又爱好足球的有31
人，只爱好篮球的有20 人，那么既爱好篮球又爱好游泳但是不喜欢足球的有
人，只
爱好足球的有
人，有
人三种运动都不喜欢。
第12 讲
包含与排除的探索
187
PART
2
应用
例题3
在自然数列1，2，3，···，1000 中，不能被2 或3 或5 整除的自然数有
个。
互动题3
在自然数列1，2，3，···，1000 中，不能被3 或4 或5 整除的自然数有
个。
学而思数学思维
目标S 班·五年级（全国版）「暑」
188
例题4
五年级共有90 人参加了学校组织的数学、英语、语文兴趣小组活动，其中只参加数学的人数是
只参加英语的人数的3 倍，3 种都参加的人数比只参加英语的人数少7 人，只参加语文的人数
比同时参加语文和数学但不参加英语的人数多4 人，有50 人没有参加语文小组，10 人同时参
加了数学和英语小组但没有参加语文小组，40 人参加了英语小组，那么同时参加了英语和语文
小组但没有参加数学小组的有
人。
互动题4
某班一共有46 名同学，同学们的手中分别有红、黄、蓝三种颜色的小旗，手中有红色旗子的有
24 人，有黄色旗子的有20 人，有蓝色旗子的人数是既有红色旗子又有黄色旗子的人数的3.5
倍，又是3 种旗子都有的人数的7 倍，有蓝色旗子和黄色旗子的人数是3 种旗子都有的人数的
2 倍，同时有红色和黄色旗子的有10 人，有
个有蓝色旗子的人。
笔记页
189
学而思数学思维
目标S 班·五年级（全国版）「暑」
190
课堂巩固
1 在自然数列1，2，3，···，1000 中，能被3 或5 整除的自然数有
个。
2 空军突击队共有25 名士兵，每个人都擅长射击和武术中的一项或者两项，如果士兵
中擅长射击的有20 人，擅长武术的有12 人，则两项均擅长的士兵有
人。
第12 讲
包含与排除的探索
191
3 一次数学测验只有两道题，结果全班有10 人全对，第一题有25 人做对，第二题有18
人做错，两道题都做错的有
人。
4 某班有20 个同学参加作文和数学竞赛，其中参加数学竞赛的有15 人，参加作文竞赛
的有13 人，则只参加数学竞赛的有
人，只参加作文竞赛的有
人。
学而思数学思维
目标S 班·五年级（全国版）「暑」
192
5 在25 人参加的采摘活动中，只采了樱桃的有8 人，既采了樱桃又采了杏的有9 人，既
没采樱桃又没采杏的有6 人，那么只采了杏的有
人。
第12 讲
包含与排除的探索
193
阿丘学堂
1. 一个数学测验只有两道题，全班45 人中第一题有27 人做对，第二题有33 人做对（没有人
全错），那么只做对第一题的有
人。
2. 学而思在“五一劳动节”即将发行新版积分卡. 如果旧版积分卡上共出现300 位老师，新版
积分卡上共出现400 位老师，其中有150 位老师在新旧两版积分卡中都出现了，那么，在新
旧两版积分卡上共出现了
位老师.
3. 有一成员为756 人的儿童会，关于两个议案要投票表决是否赞同. 每个人各投一票，则结
果为赞成第一议案的有476 人，赞成第二议案的有294 人; 同时反对第一和第二议案的有
169 人. 那么同时赞成第一和第二议案共有
人.(其中，两个议案每个人都必须投
赞成票或反对票)
4. 从1 开始的100 个连续自然数中，将所有既不能被3 整除、又不能被5 整除的数相加，得
到的和是
。
学而思数学思维
目标S 班·五年级（全国版）「暑」
194
5. 养牛场有2007 头黄牛和水牛，其中母牛1105 头，黄牛1506 头，公水牛200 头，那么母黄
牛有
头。
6. 芳草地小学四年级有58 人学钢琴，43 人学画画，37 人既学钢琴又学画画，那么只学钢琴
和只学画画的分别有
，
人。
7. 一栋居民楼里的住户每户都订了2 份不同的报纸。如果该居民楼的住户只订了甲、乙、丙
三种报纸，其中甲报30 份，乙报34 份，丙报40 份，那么既订乙报又订丙报的有
户。
8. 在一个由30 人组成的合唱队中，每个人都爱喝红茶、绿茶、花茶中的一种或者几种。其中
有10 个人爱喝红茶，12 人不爱喝红茶却爱喝绿茶。那么，只爱喝花茶的有
人。
第12 讲
包含与排除的探索
195
9. 光明小学组织棋类比赛，分成围棋、中国象棋和国际象棋三个组进行，参加围棋比赛的有
42 人，参加中国象棋比赛的有55 人，参加国际象棋比赛的有33 人，同时参加了围棋和
中国象棋比赛的有18 人，同时参加了围棋和国际象棋比赛的有10 人，同时参加了中国象
棋和国际象棋比赛的有9 人，其中三种棋赛都参加的有5 人，那么参加棋类比赛的共有
人。
10. 体育课上，60 名学生面向老师站成一行，按老师口令，从左到右报数：1，2，3，··· ，60。然后，
老师让所报的数是4 的倍数的同学向后转，接着又让所报的数是5 的倍数的同学向后转，
最后让所报的数是6 的倍数的同学向后转，现在面向老师的学生有
人。
11. 在不大于1000 的自然数中，不能被3、5、7 中任何一个整除的数共有
个。
12. 有100 种食品，其中含钙的有68 种，含铁的有43 种，含锌的有15 种。那么，其中既含钙又
含铁的食品最少有
种，同时含钙、铁、锌的食品最多有
种。
学而思数学思维
目标S 班·五年级（全国版）「暑」
196
13. 一次数学测验，甲答错题目总数的1
4，乙答错3 道题，两人都答错的题目是题目总数的1
6。
则甲、乙都答对的题目数是
题。
14. 四年级一班有46 名学生参加3 项课外活动。其中有24 人参加了数学小组，20 人参加
了语文小组，参加文艺小组的人数是既参加数学小组也参加文艺小组人数的3.5 倍，又是
3 项活动都参加人数的7 倍，既参加文艺小组也参加语文小组的人数相当于3 项都参加
的人数的2 倍，既参加数学小组又参加语文小组的有10 人。那么参加文艺小组的人数为
。
15. 在游艺会上，有100 名同学抽到了标签分别为1 至100 的奖券。按奖券标签号发放奖品的
规则如下：
（1）标签号为2 的倍数，奖2 支铅笔；
（2）标签号为3 的倍数，奖3 支铅笔；
（3）标签号既是2 的倍数，又是3 的倍数可重复领奖；
（4）其他标签号均奖1 支铅笔。
那么游艺会为该项活动准备的奖品铅笔共有
支。
第13 讲
因倍质合综合（一）
13
因倍质合
综合（一）
学而思数学思维
目标S 班·五年级（全国版）「暑」
198
PART
1
分解质因数进阶
分解质因数
1、首先，我们先明确一个概念分解因数（或称为因数分解）：就是将一个合数分解成两个或两
个以上的非平凡因数之积，这里的非平凡因数是指除了1 和本身之外的因数．有些合数会有很
多种可能的分解方法，这些都称为分解因数．
2、将一个合数分解因数，当无法继续分解时，那么所有的因数都变成了质数，此时就称为分解
质因数，把结果写成指数形式就是分解质因数的标准形式．不考虑顺序的话，一个数的分解质
因数标准形式是唯一的．
分解质因数应用
1、分解质因数是分解程度最细的一种分解，所以其他分解都可以先考虑分解质因数，然后适当
组合，使得满足条件．
2、一个自然数质因数分解后，质因数2、5 的指数较小值就是这个自然数十进制下末尾连续0
的个数．
3、自然数n! 质因数分解后，质因数p 的次数为[n÷ p]+[n÷ p2]+[n÷ p3]+...
第13 讲
因倍质合综合（一）
199
例题1
75×56×12×105 的末尾有
个连续的零。
互动题1
计算23 ×3×54 ×11，观察结果的末尾有
个连续的零。
学而思数学思维
目标S 班·五年级（全国版）「暑」
200
例题2
三个连续自然数的乘积是42840，则这三个自然数从小到大依次是
、
、
。
互动题2
四个连续自然数的乘积是3024，这四个自然数中最大的一个是
。
第13 讲
因倍质合综合（一）
201
PART
2
因数个数定理初步
因数个数定理
一个数n，它的分解质因数的形式设为n = p1α1 × p2α2 ×···× pkαk，那么根据乘法原理，
n 的因数个数为(α1 +1)×(α2 +1)×···×(αk +1)，总结为：指数加1 再连乘．
学而思数学思维
目标S 班·五年级（全国版）「暑」
202
例题3
105 的因数共有
个。
互动题3
将下列各数分解质因数，并求因数个数：
（1）196 有
个因数。
（2）480 有
个因数。
（3）720 有
个因数。
第13 讲
因倍质合综合（一）
203
例题4
720 有
个大于10 的因数。
互动题4
210 有
个大于10 的因数。
笔记页
204
第13 讲
因倍质合综合（一）
205
课堂巩固
1 在6、18、24、30、27 中，有
个是8 的倍数，有
个是72 的因数。
2 42 的因数共有
个。
学而思数学思维
目标S 班·五年级（全国版）「暑」
206
3 算式1×2×3×···×15 的计算结果的末尾有
个连续的0。
4 四个连续自然数的积为1680，则这四个数中最小的是
。
第13 讲
因倍质合综合（一）
207
5 连续四个奇数的积是3465，则这四个数中最大的一个是
。
学而思数学思维
目标S 班·五年级（全国版）「暑」
208
阿丘学堂
1. 自然数104×45×75×160 的末尾有
个连续的零。
2. 自然数1×4×7×10×···×58×61 末尾有
个连续的零。
3. 将下列各数分解质因数，并写成指数形式。
18，32 ，90 ，78 ，480
4. 将下列各数分解质因数，并写成指数形式。
372 −4
15×190+37×150
1+2+3+···+1000
第13 讲
因倍质合综合（一）
209
5. 三个自然数的乘积为84，其中两个数的和正好等于第三个数，那么这三个数是
，
，
。
6. 有三个连续偶数乘积为2688，这三个连续偶数的和是
。
7. 连续四个奇数的积是9009，则这四个数中最大的一个是
。
8. 将32、42、44、45、72、110、231、275 这8 个数平均分成2 组，使得每组4 个数乘积相等。
学而思数学思维
目标S 班·五年级（全国版）「暑」
210
9. 下列数2007、2008、2009、2015、2016 的因数个数是
个，
个，
个，
个，
个。
10. 23 ×34 ×62 有
个不同的因数。
11. 144 有
个偶因数，
个奇因数。
12. 9000 的所有因数中，小于2000 的因数有
个。
第13 讲
因倍质合综合（一）
211
13. 一个正整数的阶乘是所有小于及等于该数的正整数的积，并且有0 的阶乘为1。例如：自然
数5 的阶乘写作5!，即5! = 1×2×3×4×5，那么10! 有
个因数。
14. 71280 的所有的因数中，6 的倍数有
个，与6 互质的有
个。
15. 已知a 有6 个因数，b 有8 个因数，(a，b) = 6，那么[a，b] 有
个因数。
第14 讲
游戏与策略
14
游戏与策
略
学而思数学思维
目标S 班·五年级（全国版）「暑」
214
PART
1
对称思想
小学数学中的对策问题，主要是研究在两人的游戏过程中如何使自己取胜的策略问题。对策问
题研究的是一个“活的”对手，因而在考虑问题时往往需要设想对手可能采取的各种方案，并使
己方的策略能在对手所采取的各种可能的方案中都占据有利的局面。这种局面称作“胜局”，那
么在一种游戏规则下，是否存在“胜局”？怎样找寻胜局和如何把握胜局就成了研究对策问题的
关键。概括起来，我们把用数学的观点和方法来研究取胜的策略叫做对策问题。
1. 对策问题的3 个最基本要素：
①局中人，在一场竞赛或争斗中的参与者。他们为了在对策中取得最终胜利，必须制定出对付
对手的行动计划，这种有决策权的参加者称为局中人。局中人并不是特指某一个人，而是指参
加竞争的各个阵营。只有两个局中人的对策问题为“双人对策”，而多于两个局中人的对策问题
为“多人对策”。
②策略，是指某一局中人的一个“自始至终通盘筹划”的可行方案，在一局对策中，各个局中人
可以有一个策略，也可以有多个策略。
③一局对策的得失。在一局对策中，必有胜利者和失败者。比赛成绩的好坏，我们称之为“得
失”。每个局中人在一局对策中的得失与全体局中人所采取的策略的优劣有着直接的关系。
2. 对称法：
①同等情况下，模仿对方步骤可以达到制胜目的。
②不同等情况下，创造对等局面方可制胜。
第14 讲
游戏与策略
215
例题1
15 个小球排成一排，甲、乙两人轮流从中取一个或相邻的两个，如果两球中间有一个空位置，则
不能将这两个球同时拿走，谁取走最后一个球谁就获胜，甲先拿，那么（ ）有必胜策略。
A. 甲
B. 乙
互动题1
黑板上写着一排连续的自然数1、2、3、···、15。甲乙两人轮流划掉连续的3 个数。规定在谁划
过之后另一人再也划不成了，谁就算取胜。若甲想获胜，那么他应该先划掉
、
、
。（按照从小到大的顺序填）
学而思数学思维
目标S 班·五年级（全国版）「暑」
216
例题2
有两堆火柴，一堆30 根，另一堆28 根。君君和丽丽两人轮流在其中任意一堆中拿取，取的根
数不限，但不能不取。规定取得最后一根者为赢。君君先取，如果两人都采用最佳的策略，那么
（ ）会获胜。
A. 君君
B. 丽丽
互动题2
今有两堆火柴，一堆6 根，另一堆8 根。两人轮流在其中任一堆中拿取，取的根数不限，但不能
不取。规定取得最后一根者为赢。如果两人都采用最佳的策略，那么（ ）会获胜。
A. 先取者
B. 后取者
第14 讲
游戏与策略
217
PART
2
寻找必胜点
一、必胜点（简单倒推）：
在移动棋子时，如果将棋子移动到某些点（或格），往后无论对方再如何移动棋子，我们都能获
胜，就把这种点（或格）叫做必胜点（或必胜格）。在移动棋子的游戏中，抢占必胜点尤为重
要。
二、抢占必胜点的原则：
1. 能一步到必胜点的位置均是不能走的地方，也可以称为必败点。
2. 每一步都要抢占必胜点，那么就可以一直占着必胜点移动到终点。
下图是寻找必胜点的方法，由最后的终点，来确定前一个必胜点：
（1）每步可以向右、向上、向右上走一格：
“√”是必胜格，
“×”是必败格
（2）每步可以向右、向上、向右上走任意多步：
“√”是必胜格，
“×”是必败格
学而思数学思维
目标S 班·五年级（全国版）「暑」
218
例题3
（1）如图，方格A 中放有一枚棋子，甲先乙后轮流移动这枚棋子，每次只能向上、向右或向右上
方沿45◦角走1 格，最终将棋子走到方格B 的人获胜。那么（ ）有必胜策略。
A. 甲
B. 乙
（2）把一枚棋子放在如下图，左下角格内，双方轮流移动棋子（只能向右、向上或向右上移），一
次可向一个方向移动任意多格，谁把棋子走进顶格，谁就夺取旗帜获胜。则先走者想获胜，
要先将棋子向右移动
格。
第14 讲
游戏与策略
219
互动题3
把一枚棋子放在如下图，左下角格内，双方轮流移动棋子（只能向右、向上或向右上移），一次
可向一个方向移动1 格，谁把棋子走进顶格，谁就夺取旗帜获胜。那么（ ）有必胜策略。
A. 先手
B. 后手
学而思数学思维
目标S 班·五年级（全国版）「暑」
220
PART
3
倒推法
取余制胜
1. 每次取1 ∼n 个棋子，取最后一个赢。
策略：总数÷(1+n)
有余则先手赢，拿掉余数，之后总与对手凑成1+n 即可。
无余则后手赢，总与对手凑成1+n 即可。
2. 每次取1 ∼n 个棋子，取最后一个输。
策略：留给对方一枚棋子则必胜，故取到倒数第二枚棋子则必胜。
问题转化为：每次取1 ∼n 个棋子，取到倒数第二枚棋子赢。( 总数−1)÷(1+n)，之后做法同1。
第14 讲
游戏与策略
221
例题4
桌子上放着24 根火柴，甲、乙二人轮流每次取走1 ∼3 根。规定谁取走最后一根火柴谁获胜。
如果双方采用最佳方法，甲先取，则（ ）有必胜的策略。
A. 甲
B. 乙
互动题4
桌子上放着50 根火柴，甲、乙二人轮流每次取走1 ∼3 根。规定谁取走最后一根火柴谁输。如
果双方采用最佳方法，甲先取，则（ ）有必胜的策略。
A. 甲
B. 乙
笔记页
222
第14 讲
游戏与策略
223
课堂巩固
1 1 到10 这10 个自然数在黑板上排成一排，甲乙两人轮流划数，每次从10 个数中划
去一个数或划去三个相邻的数，谁划掉最后一个谁就胜利了，甲先划，那么
有必胜策略。（甲填“1”，乙填“2”）
2 有两堆火柴，每堆都有36 根. 两人轮流从两堆的其中一堆里拿，拿的根数不限. 谁拿
到最后的部分谁获胜. 那么
将必胜（先手填“1”，后手填“2”）.
学而思数学思维
目标S 班·五年级（全国版）「暑」
224
3 有两堆火柴，一堆35 根，另一堆24 根。两人轮流在其中任一堆中拿取，拿取的根数不
限，但不能不取，规定取得最后一根者为胜者。如果都采用最佳方法，那么
将获胜。（先取者填1，后取者填2）
4 桌子上放着65 根火柴，甲、乙二人轮流每次取走1 ∼3 根，规定谁取走最后一根火柴
谁获胜。如果双方采用最佳方法，甲先取，要想获胜得先取
根。
第14 讲
游戏与策略
225
5 共有54 张扑克牌，由2 人轮流来抽，每次可抽1 ∼5 张，抽到最后一张牌的人就算输
了。如果第一个抽牌的人想赢，第一次应该抽
张牌。
学而思数学思维
目标S 班·五年级（全国版）「暑」
226
阿丘学堂
1. 甲、乙两人轮流往一张方桌面上放同样大小的普通魔方，规定每人每次只能放一个，魔方平
放且都是初始转好的模样，放好的魔方不再移动。谁放了最后一个，使得对方再也找不到
地方放下一个魔方的时候就赢了，甲先放，
将获胜。
2. 甲、乙两人玩一个游戏：有两堆小球，甲、乙两人轮流从中取球，每次只能从同一堆中取，个
数不为零即可。规定取到最后一个球的人赢，现在甲先取球，如果开始时两堆球数分别是
两个和两个，那么谁有必胜策略，请说明理由；如果开始时两堆球数分别是两个和三个，那
么谁有必胜策略，请说明理由；如果开始时两堆球数分别是五个和八个，那么谁有必胜策
略，请说明理由。
3. 黑板上写着一排相连的自然数1，2，3，···，51，甲、乙两人轮流划掉连续的3 个数。规定在
谁划过之后另一人再也划不成了，谁就算取胜。则甲
（填“有”或“没有”）必胜的
策略。
第14 讲
游戏与策略
227
4. 下图是一副“1999”棋，甲、乙两人玩棋，分别取红、黑两方。规定：下棋时，每人每次只能走
任意一枚棋，每枚棋子每次可以走一格或几格，红棋从左向右走，黑棋从右向左走，但不能
跳过对方棋子走，也不能重叠在对方有棋子的格子中，一直到谁无法可走棋时，谁就失败。
甲先乙后走棋，你想取胜愿意当甲还是当乙？有什么好办法？
5. 有两堆火柴，一堆3 根，另一堆7 根。甲、乙两人轮流取火柴，每次可以从每一堆中取任意
根火柴，也可以同时从两堆中取相同数目的火柴，每次至少要取走一根火柴，谁取得最后一
根火柴谁胜。如果都采用最佳方法，甲先取，那么
将获胜。
6. 甲和乙在一张20 ×15 的棋盘上玩游戏，开始时把一个皇后放在棋盘除了右上角外的某格
内；从甲开始，两个人轮流挪动皇后，每次可以按直线或斜线走若干格，但只能往右、上或右
上走；谁把皇后挪到了右上角的格子，谁就获胜。那么在这个棋盘上，有
个起始
格是让甲有必胜策略的。
学而思数学思维
目标S 班·五年级（全国版）「暑」
228
7. 下图是一个4×6 的方格棋盘，左上角有一枚棋子。甲先乙后，二人轮流走这枚棋子，每人
每次只能向下或向右走一格。如图中棋子可以走入A、C 两格之一，谁将棋子走入右下角方
格中谁获胜。如果都按最佳方法走，则
有必胜的策略(“甲”填1，
“乙”填2)。
8. 如图，在棋盘的右上角放有一枚棋子，每一步只能向左、向下或向左下对角线走一格。二人
交替走，谁先到达左下角，谁为胜者。（ ）有必胜策略。
A. 先走者
B. 后走者
第14 讲
游戏与策略
229
9. 如下图，方格A 中放有一枚棋子，甲先乙后轮流移动这枚棋子，如果每次允许往同一方向
上(向上、向右、或向右上) 走任意多格，最终将棋子走到方格B 的人获胜，那么
有必胜策略．
10. 在一个挖去中间的2×2 正方形的国际象棋棋盘中，在左下角小方格中放有一枚棋子“车”，
两人轮流移动它，每人每次可往右或向上移动任意多格，谁把“车”移进右上角的红旗位置
谁就赢。谁将获胜？获胜的策略是什么？
11. 有12 盆花摆成一排，阿春和李红轮流取花，每次只可取1 盆或2 盆，谁取到最后一盆谁就
算赢。阿春要想取胜，先取还是后取？怎么取？
学而思数学思维
目标S 班·五年级（全国版）「暑」
230
12. 有2012 个石子，甲先乙后轮流去取石子，每次可取1 ∼10 个，规定谁取走最后一个石子谁
获胜。如果双方都采用最佳方法，那么
将获胜。
13. 现有2008 根火柴，甲、乙两个人轮流从中取出火柴。每次最少从中取出2 根，最多取出4
根。谁无法再次取出火柴谁就赢。如果甲先取，那么
有必胜的策略。
14. 桌子上放着55 根火柴，大雄、小凡二人轮流取，每次可取走1 根、3 根或5 根，规定谁取
走最后一根火柴谁获胜。如果双方都采用最佳方法，大雄先取，则
有必胜的策略
（“大雄”填1，
“小凡”填2）。
15. 请你参加一种游戏：有1996 个棋子，每次允许取其中2 个、4 个或8 个，谁最后把棋子取
完，就算获胜。如果你先取，那么第一次你取
个必胜。
第15 讲
温故知新
15
温故知新
学而思数学思维
目标S 班·五年级（全国版）「暑」
232
PART
1
填空题
例题1
计算：
(4
3 +41
2
)
÷ 25
6 = □
□，分母：
，分子：
。
例题2
约分：72
28 = □
□，分母：
，分子：
。
例题3
填空：2
3 : 8
9 = 3 :
。
例题4
72 和84 的最大公因数是
，最小公倍数是
。
第15 讲
温故知新
233
例题5
林子里有猴子喜欢吃的野果，23 只猴子可在9 周内吃光，21 只猴子可在12 周内吃光，那么如
果有33 只猴子一起吃，则需要
周可将野果吃光（假定野果生长的速度不变）。
例题6
数字1，2，3 可以组成
个没有重复数字的数。
例题7
如图，在三角形ABC 中，D 为BC 的中点，E 为AB 上的一点，且BE = 1
3AB，已知四边形ACDE
的面积是35，那么三角形ABC 的面积是
。
例题8
10 个“+”号排成一排，甲乙轮流将“+”号改成“−”号，每次只能改一个或相邻的两个，谁将最后
一个“+”改成“−”。那么
有必胜策略（“先手者”填1，
“后手者”填2）。
学而思数学思维
目标S 班·五年级（全国版）「暑」
234
PART
2
解答题
例题9
5 名同学A、B、C、D、E 要站成一列，可以有
种不同的站队方式。
例题10
从11 名学生当中，选出4 名学生作为代表，有
种选法。
例题11
有100 名同学回答A、B 两个问题，都没有回答对的有10 人，答对A 题的有75 人，答对B 题
的有83 人，那么两题都答对的有
人。
例题12
1001 一共有
个因数。
第15 讲
温故知新
235
例题13
三个自然数的乘积为84，其中两个数的和正好等于第三个数。则这三个数为
、
、
。（请按照从小到大的顺序填写）
例题14
用三种颜色给图中8 个小圆涂色，要求有线(直线或曲线) 相连接的小圆不同色，那么一共有
种涂色的方法。
学而思数学思维
目标S 班·五年级（全国版）「暑」
236
阿丘学堂参考答案
第 讲
1
因数与倍数
1. √
2. 错误
3. 1
40
4. 1、2、4、7、14、28
1、2、3、6、7、14、21、42
1、2、7、14
14
5. √
6. 1
1
17
6
7. 42
40
180
70
8. 40
48
9. 2×3×52
23 ×32 ×54
10. 5
5
10
5
14
7
8
4
11. 12
9
12. 60
13. 7
5
2
14. 30
3
4
5
15. 12
8
9
10
第 讲
2
分数加减
1. 13
5
17
11
2. 25
6
19
6
3. 3
5
2
8
27
11
9
1
13
103
5
4. 4
45
5
15
3
2
6
5
4
11
3
2
5
7
5. 12
9
12
2
30
9
30
4
1
42
3
42
10
6. 11
13
21
10
8
3
3
2
7. 6
13
12
4
17
11
7
1
1
11
2
8. 5
11
9. 2
7
18
5
5
6
10. 36
29
45
56
72
1
11. 7
34
3
10
72
19
72
59
12. 1
8
3
17
36
31
14
28
5
13. 1007
613
2015
673
14. 6
15. 115
阿丘学堂参考答案
237
第 讲
3
分数乘除
1. 1
6
10
27
2. 4
35
3. 5
2
7
3
4. 119
15
91
66
5. 1300
31
26
1001
124
1
1000000
500
499
6. 5
7. 4
3
1
3
3
7
8. 3
2
15
4
9. 5
4
6
55
10. 22
27
5
8
11. 35
44
7
24
12. 8
3
9
2
13. 4
3
14. 16
17
15. 6
第 讲
4
消与长
1. 7
2. 120
1
3. 12
4. 19
5. 8
6. 40
7. 6
8. 99
9. 11
10. 9
11. 7
12
12. 5
13. 7
30
14. 9
15. 48
第 讲
5
从数数到计算进阶
1. 20
2. 240
3. 31
4. 11
5. 64
6. 10
7. 24
6
8. 60
24
130
9. 85
10. 40
11. 46
12. 630
13. 180
14. 420
15. 4860
学而思数学思维
目标S 班·五年级（全国版）「暑」
238
第 讲
6
数阵图进阶
1. 答案如下（答案不唯一）：
2. 13
3. 答案如下（填法不唯一）。
4. 13
5. 答案如下（填法不唯一）
6. 11
17
23
7. 61
8. 答案如下（填法不唯一）：
9. 62
70
10. 9
11. 24
阿丘学堂参考答案
239
12.
13.（1）2
（2）2
14. 36
15. 13
第 讲
7
能不能与为什么
1. 12
2. 左图：可以。
利用黑白间隔染色的方法；
右图：黑白染色后，有9 个黑格。每个图形方块覆盖1 或3 个黑格，4 个凸形方块覆盖偶数
个黑格，矛盾，所以不能。
3. B
4. 10
5. 2
6. 只要间隔坐即可，但四个角落必须坐人，所以后面一种情况办不到。
学而思数学思维
目标S 班·五年级（全国版）「暑」
240
7. 1
8. 7
9. 不能
10. 不能。由黑白相间染色得出。
11. 2
12. 甲
13. 2
14. 9
15. 不能
第 讲
8
排个队照个相
1. 6
30
2. 2154
3. 633
4. 6
5. 24
6. 60
7. 504
8. 2400
5040
2880
9. 12
10. 120960
11. 144
12. 362880
13. 384
14. 933120
15. 432
第 讲
9
选人以后再排队
1. 30
2. 120
120
3. 84
715
1000
6
4. 6
5. 45
6. 10
7. 1680
8. 15
9. 45
90
10. 60
11. 84
12. 210
13. 8
14. 36
15. 45
第 讲
10
比和比例
1. 1÷3 = 1
3 = 1 : 3；
2÷7 = 2
7 = 2 : 7；
24÷144 = 1
6 = 1 : 6；
48÷32 = 3
2 = 3 : 2。
2. 2
1
6
5
1
15
4
11
3
阿丘学堂参考答案
241
3. 10
9
4. 2
3
7
24
21
8
2
3
11
91
27
1
5. 1
4
2
7
3
2
2
3
700
1
1000
3
6. 9
4
3
32
5
7
20
9
7
12
3
2
7. 1 : 2 = 3 : 6；
1 : 3 = 2 : 6；
2 : 1 = 6 : 3；
3 : 1 = 6 : 2。(等号两边可以互换位置)
8. 1 : 1
2 = 1
3 : 1
6，1 : 1
3 = 1
2 : 1
6，1
3 : 1 = 1
6 : 1
2，1
2 : 1 = 1
6 : 1
3。（等号两边可以互换位置）
9. 2 : 1 = 8 : 4，2 : 8 = 1 : 4，4 : 1 = 8 : 2，4 : 8 = 1 : 2
10. 2
4.5
8
11. 6
10
54
1
10
12. 4
1.5
23
13. 6
5
14. 1.65
2
3
3
5
15
7
15. 75
第 讲
11
比例法解决图形问题（一）
1. 10
2. 140
3. 5
4. 50
5. 25
3
6. 35
7. 12
8. 40
9. 30
10. 1
7
11. 24.5
12. 7
13. 140
14. 23
15. 59
第 讲
12
包含与排除的探索
1. 12
2. 550
3. 183
4. 2632
5. 804
6. 21
6
7. 22
8. 8
9. 98
10. 39
11. 457
12. 11
15
13. 8
14. 21
15. 232
学而思数学思维
目标S 班·五年级（全国版）「暑」
242
第 讲
13
因倍质合综合（一）
1. 4
2. 5
3. 18 = 2×32
32 = 25
90 = 2×32 ×5
78 = 2×3×13
480 = 25 ×3×5
4. 372 −4=(37+2)×(37−2)=39×35=3×5×7×13
15×190+37×150=15×(190+370)=15×560=24 ×3×52 ×7
1+2+3+···+1000=1000×1001
2
=500×1001=22 ×53 ×7×11×13
5. 4
3
7
6. 42
7. 13
8. 32、45、110、231 一组，42、44、72、275 一组。
9. 6
8
6
8
36 10. 42
11. 12
3
12. 44
13. 270
14. 64
4
15. 12
第 讲
14
游戏与策略
1. 甲
2.（1）乙有必胜策略，乙每次都取和甲相同的数目；
（2）甲有必胜策略，甲先从3 个的那堆中取出1 个，接着乙取几个甲就取几个；
（3）甲有必胜策略，甲先从8 个的那堆中取出3 个，接着乙取几个甲就取几个。
3. 有
4. 甲胜
5. 甲
6. 287
7. 2
8. A
9. 甲
阿丘学堂参考答案
243
10. 如图所示，走到小红旗的位置可以保证获胜，则后走的人有必胜策略。
11. 由于每次取的盆数是1 盆或2 盆，因此阿春要想获胜，则先让李红取，李红取几盆，阿春就
取3 减几盆，只要每次阿春取的和李红取的能凑3，阿春必获胜。
12. 甲
13. 甲
14. 1
15. 4
1120031018346
