文档文本内容
数学思维
目标S 班
五年级（全国版）·秋上
学而思网校教研中心 编著
前言PREFACE
学而思网校为6 ～18 岁的学生提供小学、初中、高中全学科课外学习课程。学而思网校拥
有十余年教学经验，采用在线双师直播教学模式，用AI 技术来辅助教学。学而思网校课堂互动
多，线上课程有回放，教师及时答疑，学生不满意可随时退费。
2016 年5 月，学而思网校提出“在线学习更有效”的品牌主张，并正式推出在线双师直播教
学模式，通过实时在线的互动教学、图文并茂的随堂讲义、科学的学业测评，以及教师多方位的
学习辅导，保障学生的学习效果。
2016 年7 月，
“IDO 个性化学习体系”正式上线，体系拥有动态学习报告、错题订正等功能，
为教师、学生和家长之间建立起更有效的沟通平台。2017 年7 月，
“IDO 个性化学习体系”升级
为“IDO 个性化学习体系2.0”（简称“IDO2.0”）。
“IDO2.0”拥有个性化学习任务系统（IMS），并首
次将人脸识别、语音识别、触感互动等技术引入在线课堂，让在线学习有更多可被量化的数据和
可追踪的学习轨迹，甚至有更多动手实践的机会。有效的科技手段逐渐缩小了线上线下的学习
体验差异。
2018 年，学而思网校课程体系全面升级，Amazing English、大语文、数学思维、大科学等课程
更注重对学生综合素质能力的培养。同时，学而思网校推出的故宫、音乐、魔方、儿童安全、历史
等素养类课程让学生可以多维、立体化成长。学而思网校自主研发的“AI 老师”通过自然语言处
理（NLP）、图像文字识别（OCR）等技术精准分析学生的语义、情感、笔迹等，形成完整高效的
“课堂学习链”，让在线课堂学习体验更美好，让教学更高效，学习更有效。未来，学而思网校将进
一步承担起用科技推动教育进步的重任，不断致力于教育资源的均衡发展，实现从教到育、从学
到习的全面提升。
学而思网校教研中心
目录
CONTENTS
第1 讲
分数运算............................................. 1
第2 讲
分数应用题（一）................................ 15
第3 讲
比例应用题（一）................................ 29
第4 讲
扶梯与发车问题.................................. 43
第5 讲
工程问题（一）................................... 57
第6 讲
循环小数........................................... 71
第7 讲
数图形综合........................................ 87
第8 讲
解分数系数方程................................. 101
阿丘学堂参考答案................................................ 114
第1 讲
分数运算
1
分数运算
学而思数学思维
目标S 班·五年级（全国版）「秋上」
2
PART
1
分数加减
分数的加减法
同分母加减法：分母不变，分子相加减。结果要化成最简分数。
异分母加减法：分母不同，分数单位不同，不能直接相加减。需要先通分，变为分母相同的分数，
再分子相加减，同样，结果要化成最简分数。
分数的运算法则和整数是一样的。同样可以使用加法的交换律和结合律。
比如：
3
8 + 2
9 + 5
8 + 7
9 = (3
8 + 5
8)+(2
9 + 7
9) = 1+1 = 2
第1 讲
分数运算
3
例题1
计算：
3
11 + 4
11 =
/
8
13 −6
13 =
/
1
6 + 2
9 =
/
3
7 −1
8 =
/
互动题1
（1）计算下列各式：1
4 + 2
4 = a
b；12
13 −5
13 = c
d 。
a =
；b =
；c =
；d =
。
（2）计算下列各式：11
23 + 21
92 = a
b，a =
，b =
；
9
7 −2
5 = c
d ，c =
，d =
。
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4
例题2
计算：
44
5 + 21
4 + 6
5 + 11
4 =
8 5
12 −3 7
18 −2 5
12 −211
18 =
互动题2
计算：
9
8 −5
6 −1
6 = a
b；26
7 + 4
5 +11
7 = c
d
a =
，b =
，c =
，d =
。
第1 讲
分数运算
5
PART
2
分数乘除
分数的乘除法
A. 分数乘以整数
例如：2
10 ×4 = 2×4
10
= 4
5。
我们在计算时，可以先约分，再做乘法，那么2
10 ×4 = 2
5 ×2 = 4
5。
B. 分数乘以分数
例如：2
5 × 1
5 = 2×1
5×5 = 2
25
分数乘以分数，用分母乘以分母，分子乘以分子，能约分的可以先约分。
C. 倒数
我们把一个数的分子和分母对调，得到的新的分数和原分数的乘积是1。乘积为1 的两个数互
为倒数。注意，因为0 不能做分母，所以0 没有倒数。
D. 分数的除法
7
20 ÷ 3
5 = 7
20 × 5
3 = 7
12
除以一个数等于乘以它的倒数。
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6
例题3
计算：
（1）3
5 × 7
9 × 15
28 =
/
（先填分子，后填分母）
（2）3
7 ÷ 16
25 ÷ 9
14 × 2
5 =
/
（先填分子，后填分母）
互动题3
计算：3
11 ÷ 7
5 ÷ 9
55 × 14
25 = a
b，a =
，b =
。
第1 讲
分数运算
7
例题4
计算：
8
9 × 5
12 + 8
9 × 1
3 + 8
9 × 1
4 =
/
2009
2010 ×2011 =
又
分之
互动题4
计算：
2016
2017 ×2018 = ab
c，a =
，b =
，c =
；
3
7 × 11
20 + 3
7 × 1
4 + 3
7 × 1
5 = d
e ，d =
，e =
。
笔记页
8
第1 讲
分数运算
9
课堂巩固
1 计算：7
17 + 8
17 −5
17 + 1
17 =
/
（化成最简分数，第一条横线填分子，
第二条横线填分母）
2 计算：4
15 + 5
6 =
/
（第一条横线填分子，第二条横线填分母）
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10
3 计算：17
30 −5
12 =
/
（第一条横线填分子，第二条横线填分母）
4 计算：1
6 × 3
7 × 5
8 × 7
9 × 9
10 =
/
（第一条横线填分子，第二条横线填
分母）
5 计算：5
21 ÷ 11
4 × 7
15 ÷ 8
33 =
/
（先填分子，再填分母）
第1 讲
分数运算
11
阿丘学堂
1. 计算：
5
11 + 8
11 =
，
3
21 + 7
21 =
，
13
16 −7
16 =
，
37
39 −11
39 =
。
2. 计算下列各题：
3
8 + 1
9 =
1
4 −2
9 =
3. 计算：
5
12 + 7
18 =
13
15 + 17
45 =
35
36 −23
24=
4. 计算：25
6 + 13
3 + 5
6 + 5
3 =
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12
5. 计算：11
21 −3
14 −11
14 + 17
21 −4
21 =
/
（先填分子，再填分母）
6. 计算：1−1
3 + 1
6 −1
9 =
分之
。
7. 计算：14
15 × 5
12 ×21
2 = □
□，分母等于
，分子等于
。
8. 计算：23
5 × 60
13 ÷ 10
13 = □
□，分母等于
，分子等于
。
第1 讲
分数运算
13
9. 计算：15
9 ÷ 4
9 ×42
3 = □
□，分母：
，分子：
。
10. 计算：13
6 + 3
7 × 1
3 = □
□，分母：
，分子：
。
11. 计算：5
2 ÷ 6
5 −15
8 = □
□，分母：
，分子：
。
12. 计算：3
7 × 2
5 + 4
7 × 3
5 =
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14
13. 3
4 + 1
4 × 2
3 + 1
3 =
14. 计算：9
10 × 1
7 + 9
10 × 4
7 + 5
7 × 9
10 −3
7 × 9
10 =
15. 327
50 +34 3
10 −52
5 × 1
5 −3 3
25 ÷ 9
15 = ab
c，a =
，b =
，c =
第2 讲
分数应用题（一）
2
分数应用题
（一）
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16
PART
1
认识单位“1”
解答分数应用题关键是正确理解、运用单位“1”。那么究竟什么是单位“1”呢？
单位“1”是题目中连接几个不同单位之间的桥梁。分数应用题经常要涉及到两个或两个以上的
量，我们往往把其中的一个量看作是标准量。也称为单位“1”，例如a 是b 的几分之几，就把数
b 看作单位“1”。在几个量中，弄清哪一个是单位“1”很重要，否则容易出错误。在题中有几种数
量相比较时，要选择与各个已知条件关系密切、便于直接解答的量为单位“1”；题中如果有几个
不同的单位“1”，必须根据具体情况，将不同的单位“1”，转化成统一的单位“1”，使数量关系简
单化，达到解决问题的效果。
在解有关分数的应用题时，首先要弄清以下几个基本问题：
1. 如何求一个数的几分之几？
求一个数的几分之几，只需要将这个数乘以几分之几就可以得到。
例如：求5 的2
5 是多少？解答：5× 2
5 = 2。
2. 如何求一个数是另一个数的几分之几？
求一个数是另一个数的几分之几，只需要将前一个数除以后一个数就可以得到。
例如：求2
3 是3
4 的几分之几？解答：2
3 ÷ 3
4 = 2
3 × 4
3 = 8
9。
3. 已知一个数的几分之几，如何求这个数？
已知一个数的几分之几，要求这个数，只需要将这个几分之几的数除以几分之几就可以得到。
例如：一个数的2
3 等于18，那么这个数等于多少？解答：18÷ 2
3 = 18× 3
2 = 27。
第2 讲
分数应用题（一）
17
例题1
五年级（1）班有30 个学生，其中男生有20 人，女生有10 人，那么：
男生人数是女生人数的
倍；
女生人数是男生人数的
；
女生人数是全班人数的
；
男生人数是全班人数的
；
女生人数比男生人数少
；
男生人数比女生人数多
倍。
互动题1
（1）五年级男生有50 人，女生有40 人。
（1）女生人数是男生人数的a
b，a =
，b =
；
（2）男生人数比女生人数多c
d ，c =
，d =
。
（2）五年级男生有50 人，女生有40 人。
（1）女生人数比男生人数少a
b，a =
，b =
；
（2）女生比男生少的人数是全班人数的c
d ，c =
，d =
。
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18
例题2
（1）甲是乙的8
13，则乙是甲的
/
，甲是甲、乙总和的
/
；
（2）甲比乙多1
5，则乙比甲少
/
。
互动题2
（1）乙比甲少1
5，则甲比乙多a
b，a =
，b =
；
（2）养殖专业户王老伯养了许多鸡鸭，鸡的只数是鸭的只数的11
5 倍，鸭比鸡少c
d ，c =
，
d =
。
第2 讲
分数应用题（一）
19
PART
2
量率对应初步
解决分数应用题的常用方法：
(1) 看清分率：找到含有表示几分之几的句子。
(2) 确定单位“1”：
首先明确“1”，如果单位“1”已知，用乘法计算；如果单位“1”未知，要先求出“1”，用除法计算；其
次，在列式时要考虑具体数量和分率之间的对应关系。
(3) 统一单位“1”：
当题目中出现不同单位“1”时，设法转化其中的单位“1”，使单位“1”能够统一起来。
(4) 逆推法：
有的题目采用逆推法，也就是“倒推法”，反向思考，分析问题，容易解答。
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20
例题3
（1）2
3 的5
3 是乙，则乙是
。
（2）4
5 的4
5 是
。
（3）甲的5
3 是1，则甲是
。
（4）
的1
3 是1
3。
互动题3
（1）6
7 的1
3 是甲，则甲是a
b，a =
，b =
；
（2）乙的6
5 是2，则乙是c
d ，c =
，d =
。
第2 讲
分数应用题（一）
21
例题4
（1）爱豆从家去学校，他走了400 米，占全程的2
7，那么爱豆家距离学校
米。
（2）许多在看一本《名侦探柯南》漫画书，每天看30 页，4 天时间看了全书的1
3，这本《名侦探
柯南》有
页。
（3）大宽看一本《海贼王》漫画书，每天看30 页，4 天后还剩下全书的1
5 没看，这本《海贼王》
有
页。
互动题4
为了迎接一年级新生，六年级的同学要做240 朵小红花，已经做了5
8，还有
朵没有做。
笔记页
22
第2 讲
分数应用题（一）
23
课堂巩固
1 比4
7 米少4
7 的是
/
米。（第一条横线填分子，第二条横线填分母）
2 合唱队里有男生21 人，比女生少1
4，合唱队共有
人。
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24
3 一本故事书共135 页，第一天和第二天共看了全书的2
5 ，若第三天接着看，应从第
页看起。
4 艾迪看一本书，每天看15 页，4 天共看了全书的1
3，这本故事书有
页。
5 一批水果，第一天卖出3
10，第二天卖出5
12，还有34 千克没卖出去，那么这批水果有
千克。
第2 讲
分数应用题（一）
25
阿丘学堂
1. 农夫养了20 只小猪，30 只小兔子。那么：
（1）小猪只数与小兔子只数的比例为
：
；
（2）小兔子比小猪多
/
（先填分子再填分母）；
（3）小猪比小兔子少
/
（先填分子再填分母）；
（4）小猪比小兔子少的只数占总数的
/
（先填分子再填分母）。
2. 11
7 的14
11 是
，6
5 的1
5 是
/
（先填分子，后填分母）。
3. 班级中有若干名同学，男生人数是女生人数的11
2 倍，男生比女生多
/
。
（先填分子，后填分母）
4. 某校男生比女生多3
7。
（1）女生人数是男生人数的
/
；
（2）女生比男生少
/
；
（3）女生人数是总数的
/
。
（先填分子再填分母）
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26
5. 一套西装原价380 元，现在降价1
5，这套西装现价
元。
6. 一批水泥，用去5
9，剩下的是用去的
/
。
7. 老师买来120 支铅笔分给四、五、六年级的同学，其中分给四年级1
3，分给五年级3
8，那么六
年级分到铅笔有
支。
8. 一本书有96 页，小华第一天看了这本书的1
4，第二天看了这本书的1
3，小华第三天应从
页开始看起。
第2 讲
分数应用题（一）
27
9. 蕾蕾读一本252 页的书，已读的页数是还没有读过页数的21
2 倍，蕾蕾读过
页。
10. 小红在暑假里看了一本180 页的故事书。第一天看了总页数的2
5，第二天看了余下的1
3。
第三天应从第
页看起。
11. 新学期开学，学校购进1200 本图书，四年级分到1
6，五年级分到的相当于四年级的4
5。五
年级分到
本。
12. 某商场统计两天内的大米促销情况，已知第一天卖了全部的3
11，第二天卖了300 千克，比
第一天多1
3。商场总共有大米
千克。
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28
13. 一筐苹果卖掉1
5 后，又卖掉6 千克，这时卖出的重量正好是原来苹果的1
2，这筐苹果原来
有
千克。
14. 一袋大米，先吃了全部的1
8，又吃了45 公斤，这时还剩下全部的一半没有吃，则一共有
公斤。
15. 男生人数占全班的7
10，女生人数比全班的1
5 多4 人，那么全班一共有
人。
第3 讲
比例应用题（一）
3
比例应用题
（一）
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30
PART
1
基本比例
1. 份数思想
甲: 乙= a : b，可以看成甲为a 份，乙为b 份。份数是可以相加减的，如甲、乙的总和为a+b
份，甲比乙多a−b 份。
2. 量份对应
如果a 份对应的量是x，那么1 份对应的量就是x÷a。
而如果1 份对应的量是x，那么a 份对应的量就是x×a。
3. 统一比（化连比）
在两个比中，1 份代表的量可能是不同的。例如甲: 乙= 2 : 3，乙: 丙= 2 : 5，这里乙在前面
的比中代表3 份，在后面的比中代表2 份，应该取3、2 最小公倍数6，两个比分别化为甲: 乙
= 4 : 6，乙: 丙= 6 : 15，这样就统一了两个比，可以写成甲: 乙: 丙= 4 : 6 : 15。
第3 讲
比例应用题（一）
31
例题1
（1）许多和大宽的糖数之比为4 : 5，许多有20 块糖，那么大宽有
块糖。
（2）许多和大宽一共有45 块糖，而且许多与大宽的糖数之比为4 : 5，那么许多有
块
糖，大宽有
块糖。
（3）许多和大宽两人糖数之比为4 : 5，并且已知大宽比许多多6 块，那么许多有
块
糖，大宽有
块糖。
互动题1
学校购进720 本图书，按2 : 3 的比分配给小学部和初中部。则小学部应分得
本书，
初中部应分得
本书。
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32
例题2
万泉小学的师生在植树节栽种柳树、杨树和槐树共860 棵，其中柳树和杨树棵数的比为3 : 4，
杨树与槐树棵数的比为5 : 2。那么柳树、杨树、槐树各栽种了
、
、
棵。
互动题2
学校体育部有一些体育器材，其中篮球和足球数量比为3 : 2，足球和羽毛球的数量比为4 : 3。已
知这三种器材一共有39 个，那么篮球有
个，足球有
个，羽毛球有
个。
第3 讲
比例应用题（一）
33
PART
2
不变量
不变量法
量虽然发生了变化，但我们经常能从变化中找到不变量。例如乙变了，但甲没变，这是单量不
变；甲、乙同时增加相同的量，那么它们的差不变；甲的一部分转移给乙，那么它们的和不变。利
用不变量来统一两个比，最后利用“量份对应”思想求解。
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34
例题3
厨房里原有苹果和橘子的个数之比为3 : 4，妈妈又买了7 个苹果，此时苹果和橘子的个数之比
变为了4 : 3，那么厨房里原有苹果
个，橘子
个。
互动题3
科技小组男生和女生的人数比为2 : 3，之后又来了5 名男生，此时男女生人数比为3 : 2，那么
科技小组原有男生
人，女生
人。
第3 讲
比例应用题（一）
35
例题4
（1）许多和莉莉原有的积分卡张数之比为2 : 3，若许多给莉莉28 张，则两人的张数之比将变成
1 : 5，则许多原有
张。
（2）4 年前，爸爸和儿子的年龄比为5 : 2，今年，他们的年龄比变为了11 : 5，那么现在爸爸
岁，儿子
岁。
互动题4
许多和爱豆原有苹果数之比为3 : 5，如果爱豆给许多14 个，那么两人的苹果数之比就变成
2 : 1，则许多原有苹果
个。
笔记页
36
第3 讲
比例应用题（一）
37
课堂巩固
1 小红帮妈妈包韭菜鸡蛋饺子，韭菜与鸡蛋的质量比是3 : 2。450 克的馅料中，只含韭菜
和鸡蛋，韭菜有
克，鸡蛋有
克。
2 小熊、大朋和小飞总共有700 元钱，他们之间的钱数比为小熊：大朋= 2：3，大朋：
小飞= 4：5，那么小飞有
元。
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目标S 班·五年级（全国版）「秋上」
38
3 五年级原有男生和女生的人数之比为4 : 7，后来又来了6 个男生，此时男生和女生的
人数之比变为了2 : 3，那么五年级男生原有
人，女生原有
人。
4 甲、乙两包糖的重量比是4 : 1，如果从甲包取出13 克放入乙包后，甲乙两包糖的重量
比变为7 : 5，那么两包糖重量的总和是
克。
5 今年爸爸的年龄和小明年龄的比为5 : 1，6 年后小明的年龄和爸爸的年龄比为1 : 3，
则今年爸爸的年龄是
岁，小明的年龄是
岁。
第3 讲
比例应用题（一）
39
阿丘学堂
1. 我国的《国旗法》规定，国旗长与宽的比是3 : 2。如果一面国旗的长是66 厘米，宽是
厘米。
2. 鸡、鸭共有180 只，鸡和鸭的只数比是4 : 5，则鸡有
只，鸭有
只。
3. 某鱼塘共放养草鱼、鲤鱼25000 尾，鲤鱼与草鱼的数量比是3 : 2，草鱼比鲤鱼少放养
尾。
4. 张军、邓明、刘华三位小朋友储蓄钱数之比是1 : 3 : 4，他们储蓄钱数的平均数是320 元，邓
明储蓄了
元。
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目标S 班·五年级（全国版）「秋上」
40
5. 新学期开学了，一班、二班、三班要去教导处领书，一班与三班所取图书本数的比是2 : 3，二
班与三班所取图书本数比为5 : 6。最后一共有225 本书被取走了，则一班取走了
本。
6. 动物园里，有老虎、企鹅、鸵鸟三只动物比较体重，它们总共重496 千克。企鹅的体重与鸵鸟
的体重之比为5 : 12，鸵鸟的体重与老虎的体重之比为4 : 15，那么企鹅的体重是
千克。
7. 第一小学六年级学生分三组参加植树活动。第一组和第二组的人数之比是5 : 4，第二组和
第三组的人数之比是3 : 2。已知第一组人数比第二、三组人数总和少15 人，六年级参加植
树的共有
人。
8. 一个加工厂原来男女职工人数之比是2 : 3，在新调入男职工36 人后，男女职工人数之比是
4 : 5，现在的加工厂共有职工
人。
第3 讲
比例应用题（一）
41
9. 某学校有若干名学生参加《走进数学王国》电视邀请赛，其中男生人数与女生人数的比为
8 : 5。后来又有20 名女生报名参赛，这时女生人数占参赛总人数的5
11。现在参赛的学生
共有
人。
10. 六年级两个班共有学生92 人，如果从六（1）班调8 人到六（2）班，那么（1）班和（2）
班人数的比是10 : 13，则（1）班
人，（2）班
人。
11. 小红读一本书，第一天读完后，已读的和未读的页数比是1 : 5，第二天又读了30 页，已读的
和未读的页数比变为3 : 5，问这本书有多少页？
12. 月初，每克黄金的价格与每桶原油的价格比是3 : 5；月末，它们的价格都上涨了70 元，价格
比变为2 : 3。那么月初每克黄金的价格是
元，每桶原油的价格是
元。
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42
13. 甲、乙两校参加趣味数学大赛的人数之比是7 : 8，获奖人数之比是2 : 3，两校各有320 人未
获奖，那么两校参赛的学生共有
人。
14. 甲、乙、丙3 人共有2013 块巧克力，甲拿走了乙、丙各3 块巧克力后，甲、乙、丙3 人的巧克
力数之比为4 : 2 : 5，那么，甲原有
块巧克力。
15. 一个盒子里有黑棋子和白棋子若干粒，若取出一粒黑子，则余下的黑子数与白子数之比为
9 : 7，若放回黑子，再取出一粒白子，则余下的黑子数与白子数之比为7 : 5，那么盒子里原
有的黑子数比白子数多多少粒？
第4 讲
扶梯与发车问题
4
扶梯与发车问
题
学而思数学思维
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44
PART
1
扶梯问题
与流水行船问题类似的有自动扶梯上行走的问题，扶梯运行的速度相当于水流速度，人在扶梯
行走的速度相当于船在静水中的速度
自动扶梯的速度有以下两条关系式：
顺行速度= 正常行走速度+ 扶梯运行速度
逆行速度= 正常行走速度−扶梯运行速度
自动扶梯的可见级数有以下两条关系式：
顺行时，扶梯可见级数= 顺行速度× 时间；
逆行时，扶梯可见级数= 逆行速度× 时间。
第4 讲
扶梯与发车问题
45
例题1
（1）商场的一、二层之间有60 级扶梯，扶梯每秒向上走2 级，小明要从一层到二层，上扶梯后
站着不动，则小明从一层到二层共需要
秒。
（2）商场的一、二层之间有60 级扶梯，小明站着不动乘扶梯上楼需30 秒；如果在乘扶梯的同
时，小明连续匀速向上走需12 秒上楼。那么扶梯不动时，小明徒步沿扶梯上楼需
秒。
互动题1
大凡从商场1 层通过一个扶梯去2 层，一共30 级台阶，如果大凡不走动，到二楼需要30 秒；
如果大凡乘扶梯的同时匀速向上走，到二楼需要10 秒，那么扶梯不动时，大凡徒步上楼需要
秒。
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46
例题2
（1）若小明以每秒1 级的速度在一个上升的自动扶梯上往上走，他走了20 级抵达楼顶。若他
将速度增至每秒2 级，则需32 级便抵达楼顶。则自动扶梯有
级。
（2）自动扶梯以均匀的速度由下往上行驶着，性急的海海和阳阳要从扶梯下楼，已知海海每分
钟走45 级，阳阳每分钟走30 级，结果海海用了1 分钟到达楼下，阳阳用了2 分钟到达楼
下。则该扶梯露在外面的部分共有
级。
互动题2
一架自动扶梯，小明沿着扶梯运行方向行走发现，如果自己每秒迈1 级台阶，30 秒从一楼到二
楼；如果自己每秒迈2 级台阶，20 秒到达二楼；那么自动扶梯有
级。
第4 讲
扶梯与发车问题
47
互动题3
地铁站到地面有向上运行的扶梯，小强想逆行从上往下走，如果每秒向下走2 级台阶，那么他
走60 级台阶后到达地铁站；如果每秒向下走3 级台阶，那么走45 级台阶后到达地铁站。扶梯
的台阶有
级。
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48
PART
2
发车问题
例题3
（1）从A 到B 的公交车站每隔10 分钟发一趟公交车，每辆公交车的速度均为1500 米/分，则
任何时刻，途中同向运行的相邻两辆车之间的距离为
米。
（2）小明在一个车站计算公交车的速度。他观察发现公交车每隔10 分钟从他身边穿过一辆，
已知相邻两辆公交车之间的距离为10000 米，那么公交车的速度是
米/分。
第4 讲
扶梯与发车问题
49
例题4
（1）两辆公交车同向运行，公交车的速度为20 米/秒，小明骑车的速度为4 米/秒。小明迎面遇
到第一辆公交车后，又过了5 分钟遇到第二辆公交车，则两辆公交车之间的距离为
米。
（2）两辆公交车与小华同向运行，公交车的速度为20 米/秒，小华的骑车速度为6 米/秒，小华
发现两辆公交车追上自己的时间相差20 分钟，则两辆公交车相距
米。
互动题4
从学校到小明家有一路公交车，每辆的速度都是1200 米/分，小明放学的时候走路速度是60
米/分，小明发现第一次从身后过去公交车之后5 分钟，第二辆公交车从身后过去。则这两辆公
交车之间的距离是
米。
笔记页
50
第4 讲
扶梯与发车问题
51
课堂巩固
1 商场1 楼和2 楼之间有一个向上的90 级的扶梯，小明不动乘扶梯上楼需30 秒，如果
乘扶梯的同时小明继续向上走，需要10 秒走完扶梯，那么小明每秒走
级。
2 小丁在捷运站搭一座电扶梯下楼。如果他向下走14 阶，则需30 秒即可由电扶梯顶部
到达底部；如果他向下走28 阶，则需18 秒即可由电扶梯顶部到达底部。则这座电扶
梯有
级。
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52
3 小霞与小宝两个孩子比赛登电梯，已知他俩攀登电梯的速度分别为每秒2 级台阶和
每秒3 级台阶，电梯运行后，他俩沿电梯运行方向的相反方向从一楼登上二楼，分别
用时60 秒和30 秒，那么小霞攀登静止的电梯需要用时
秒，小宝攀登静止
的电梯需要用时
秒。
4 从学校到小熊家有一路公交车，每辆的速度都是900 米/分，小熊上学的时候骑车速度
是100 米/分，小熊发现公交车第一次迎面过去之后5 分钟，第二辆公交车迎面过去。
则这两辆公交车之间的距离是
米。
5 小明放学后，沿某路公共汽车路线以50 米/分的速度步行回家，该路公共汽车以600
米/分的速度不停地运行。每隔10 分钟就有辆公共汽车从后面超过他，则相邻两辆公
共汽车的距离是
米。
第4 讲
扶梯与发车问题
53
PART
3
阿丘学堂
1. 商场1 层到2 层有一个40 级的扶梯，扶梯每秒向上2 级，小强着急到二层，上了扶梯以每
秒2 级的速度向上走，那么小强从1 层到2 层需要
秒
2.（1）商场一、二层之间有一个扶梯，当扶梯没电时，小明每秒能向上走3 级，他从一层走到
二层共用了20 秒，则扶梯共
级。
（2）商场的一、二层之间有60 级扶梯，扶梯每秒向上走3 级，着急的小明要从一层到二层，
上扶梯后他以每秒2 级的速度向上走，则小明从一层到二层共需要
秒。
3. 小明站着不动，乘电动扶梯上楼需45 秒；电动扶梯不动，小明步行上楼需30 秒。如果在乘
电动扶梯的同时，小明继续向上走，那么需要
秒。
4. 小明站着不动乘电动扶梯上楼需30 秒，如果在乘电动扶梯的同时小明继续向上走需12
秒，那么电动扶梯不动时，小明徒步沿扶梯上楼需
秒。
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54
5. 小丽与小明在向上匀速运行的扶梯上的行走速度分别为每秒2 级台阶和每秒3 级台阶，扶
梯运行后，他俩沿扶梯从一楼走到二楼，分别用时28 秒和20 秒，如果扶梯静止，小丽走完
扶梯需要
秒。
6. 在地铁车站中，从站台到地面有一架向上的自动扶梯。小强乘坐扶梯时，如果每秒向上迈1
阶台阶，那么他走过20 阶台阶后到达地面；如果每秒向上迈2 阶台阶，那么走过30 阶台
阶到达地面。从站台到地面有
阶台阶。
7. 一架自动扶梯，小明沿着扶梯运行方向行走发现，如果自己每秒迈1 级台阶，30 秒从一
楼到二楼；如果自己每秒迈2 级台阶，20 秒到二楼；那么如果小明每秒迈3 级台阶，他
秒能到二楼。
8. 小淘气乘正在下降的自动扶梯下楼，如果他一级一级地走下去，从扶梯的上端走到下端需
要走36 级。如果小淘气沿原自动扶梯从下端走到上端（很危险哦，不要效仿！），需要用下
楼时5 倍的速度走60 级才能走到上端。那么这个自动扶梯在静止不动时有
级。
第4 讲
扶梯与发车问题
55
9. 在地铁车站中，从站台到地面架设有向上的自动扶梯。小强想逆行从上到下，如果每秒向
下迈两级台阶，那么他走过100 级台阶后到达站台; 如果每秒向下迈三级台阶，那么走过
75 级台阶到达站台。自动扶梯有
级台阶。
10. 49 路公共汽车每隔10 分钟就发出一辆，然后以600 米/分的速度不停地运行，则相邻两辆
49 路公共汽车的距离是
米。
11. 公交车站每隔6 分钟发一趟车，汽车速度为1000 米/分。正在行走的小明每隔5 分钟遇到
迎面开来的一辆公交车。则小明的速度为
米/分。
12. 小明从家出发时，恰好迎面遇到一辆79 路公交车，已知小明的速度是5 米/ 秒，公交车速
度是12.5 米/ 秒。过了15 分钟，小明又迎面遇到第二辆79 路公交车。那么两辆公交车相
距
米。
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56
13.（1）从A 到B 的公交车站每隔5 分钟发一趟公交车，甲在某车站看到一辆公交车经过，那
么再过
分钟，他会看到下一辆同向的公交车经过。
（2）从A 到B 的公交车站每隔5 分钟发一趟公交车，每辆公交车的速度均为1000 米/分，
则任何时刻，途中同向运行的相邻两辆车之间的距离为
米。
（3）两辆公交车同向运行，公交车的速度为15 米/秒，小明骑车的速度为5 米/秒。小明迎
面遇到第一辆公交车后，又过了5 分钟遇到第二辆公交车，则两辆公交车之间的距离
为
千米。
（4）两辆相距6 千米的公交车与小华同向运行，公交车的速度为15 米/秒，小华的骑车速
度为5 米/秒，则两辆公交车追上小华的时间相差
分钟。
14. 商场的自动扶梯匀速由下往上运行，两个孩子在扶梯上走动，女孩由下往上走，男孩由上往
下走。结果女孩走了40 级到达楼上，男孩走了80 级到达楼下。如果男孩单位时间内走的
扶梯数是女孩的2 倍，当扶梯静止时，可见扶梯级数是
级。
15. 小宇以均匀的速度步行上学，他观察来往的同一路电车，发现每隔12 分钟有一辆电车从后
面超过他，每隔4 分钟有一辆电车迎面而来。如果电车也是匀速行驶的，那么起点站和终
点站隔
分钟发一辆电车。
第5 讲
工程问题（一）
5
工程问题
（一）
学而思数学思维
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58
PART
1
工程问题的基础知识
[基本概念]
1、工作量：完成任务的多少。
2、工作时间：工作持续的时间。
3、工作效率：单位时间内所做的工作量。
[基本公式]
1、工作效率= 工作量÷ 工作时间
2、工作时间= 工作量÷ 工作效率
3、工作量= 工作效率× 工作时间
[合作问题]
甲乙合作的工作效率= 甲的工作效率+ 乙的工作效率
第5 讲
工程问题（一）
59
例题1
（1）一批零件有120 个，由师父单独做需3 天完成，由徒弟单独做需6 天完成。则师父每天加
工
个零件，徒弟每天加工
个零件，师徒合作每天加工
个零
件，师徒合作需要
天加工完成。
（2）一批零件，由师父单独做需15 天完成，由徒弟单独做需60 天完成，则师父每天加工这批
零件的
/
，徒弟每天加工这批零件的
/
，师徒合作
每天加工这批零件的
/
，师徒合作需要
天加工完成。（第一
条横线填分子，第二条横线填分母）
（3）一批零件，由师徒合作需要12 天完成，由师父单独做需要15 天完成，则师父每天加工这
批零件的
/
，师徒合作每天加工这批零件的
/
，徒
弟每天加工这批零件的
/
，徒弟单独做需要
天加工完成。
互动题1
一项工程，甲单独做需要28 天完成，乙单独做需要21 天完成，如果甲、乙合作需要
天完成。
学而思数学思维
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60
PART
2
工程问题基本方法
假设法
鸡兔同笼问题中使用的假设法，在工程问题中也是常用的一种解决方法。例如：很多时候，从题
意很容易得出效率，但实际工作中，工作时间是已知的，但中间某人缺席了几天，那我们不防假
设这个人没有缺席，找出相应的工作差，进而解决问题。
合干分想，分干合想
一般情况下，对于一个人来说，他的工作量多少只取决于他的工作效率和工作时间，跟是否与
别人合作无关。因此在多人合作的问题中，我们经常会根据题目的需求用到分干合想和合干分
想的方法。如果已知某人的工作效率或者要求某人的工作效率，我们也只需考虑这个人的工作
时间的工作量，即合干也可以分想。如果已知或要求某两人或多人合作的工作效率，我们只需
考虑他们合作的工作量和工作时间，即分干也可以合想。(也可以用假设法)
等量代换
对于同一项任务，如果题目给出两种不同的方式完成，那么我们就可以对比这两种不同的方
式，找出差异点，这个差异点就可以作为等量替换的“筹码”，也可以利用差异点得出工效比。
第5 讲
工程问题（一）
61
例题2
一项工程，甲单独干需要12 天完成，乙单独干需要15 天完成，如果甲先干8 天，乙再接着干
天才能完成这项工程。
互动题2
一项工程，甲单独干需要10 天完成，乙单独干需要18 天完成，如果甲先干5 天，乙再接着干
天才能完成这项工程。
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62
例题3
一项工程，甲单独做需要20 天完成，乙单独做需要15 天完成。现在，甲先做若干天，乙接着做，
从开工到完成一共用了18 天，则甲做了
天，乙做了
天。
互动题3
一项工程，甲队单独做要20 天完成，乙队单独做要12 天完成。已知这项工程甲队做了几天后
离开，乙队紧接着做，从开始到完成共用了14 天，那么甲队做了
天。
第5 讲
工程问题（一）
63
例题4
（1）师徒二人合作生产一批零件，6 天可以完成任务。师父单独做了5 天，因事外出，由徒弟接
着做3 天，共完成这批零件的7
10，则师父单独做这批零件需要
天，徒弟单独做
这批零件需要
天。
（2）一项工程，甲单独做40 天完成，乙单独做60 天完成。现在两人合作，中间甲因病休息了若
干天，所以经过了27 天才完成，则甲休息了
天。
互动题4
甲、乙两个工程队共同完成一项工程需18 天，如果甲队先干3 天、乙队再接着干4 天则完成这
项工程的1
5。甲队独立完成该工程需要
天，乙队独立完成该工程需要
天。
笔记页
64
第5 讲
工程问题（一）
65
课堂巩固
1 一项工程，某工程队需要20 天完成，那么该工程队工作4 天能完成这项工程的
/
。（第一个空填分子，第二个空填分母）
2 一项工程，由甲队单独做需6 天完成，甲、乙两队合作需4 天完成，则乙队单独做需
天完成。
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66
3 一项工程，甲单独干需要25 天完成，乙单独干需要35 天完成，如果甲先干10 天，乙
再接着干
天才能完成这项工程。
4 一项工程，甲单独完成需要12 天，乙单独完成需要9 天。若甲先做若干天后乙接着
做，共用10 天完成，那么甲做了
天。
5 一项工程，甲单独做20 天完成，乙单独做30 天完成，甲、乙合作了几天后，乙因事请
假，甲继续做，从开工到完成任务共用了16 天，乙请假
天。
第5 讲
工程问题（一）
67
阿丘学堂
1. 一件工作，甲做9 天可以完成，乙做6 天可以完成，现在甲做了3 天，余下的工作由乙继续
完成，乙需要做
天可以完成全部工作。
2. 一批零件，张师傅单独加工8 小时完成，李师傅单独加工10 小时完成。若张师傅先单独加
工2 小时后，李师傅接替张师傅继续加工。照这样，要加工完成这批零件的3
5，两位师傅一
共需要
小时。
3. 一件工作，甲单独做需要30 天，乙单独做需要20 天。这件工作先由甲做了若干天，然后由
乙继续做完，从开始到完工用了25 天，则甲、乙两人各做了
天，
天。
4. 打印一本书稿，甲、乙两个打字员如果合打8 天完成，甲单独打12 天完成。实际上是乙先
打了若干天后，再由甲继续完成，全部完成共用了15 天，则实际上甲打了
天，乙
打了
天。
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68
5. 甲、乙两个工程队共同完成一项工程需20 天；如果甲队干6 天、乙队干7 天则完成工程的
1
3。则甲独立完成该工程需要
天，乙独立完成该工程需要
天。
6. 阿丘和莉莉共同完成一项课外任务需要8 小时，如果阿丘做4 小时后，莉莉接着做2 小时，
能完成整个任务的1
3，则莉莉单独完成该课外任务时需要
小时。
7. 一项工程，甲队单独完成需40 天。若乙队先做10 天，余下的工程由甲、乙两队合作，再干
20 天即可完成。如果乙队单独完成此工程，则需
天。
8. 一项工程，甲、乙两队合作需10 天完成，现在甲先做3 天，然后乙加入，两人一起做2 天，
随后甲撤出，乙继续再做9 天，也完成了工作。那么如果甲单独做这件工作，要花
天。
第5 讲
工程问题（一）
69
9. 有一条公路，甲队单独修需20 天，乙队单独修需30 天，丙队单独修需40 天。现在让三个
队合修，但中间甲队撤出去到另外工地，结果用了12 天才把这条公路修完。则当甲队撤出
后，乙、丙两队又合修了
天才能完成。
10. 一件工作，甲单独完成需10 小时，乙单独完成需15 小时，丙单独完成需20 小时，现在甲、
乙合作2 小时后，甲因有事离开了，又过3 小时后，丙加入进来，直到工作完成。完成这件
工作共用了多少小时？
11. 一项工程，甲、乙二人合作12 天完成，乙、丙合作15 天完成，甲、丙合作20 天完成，则三人
合作需
天完成。
12. 修筑一条高速公路，若甲、乙、丙合作，90 天可以完工；若甲、乙、丁合作，120 天可以完工；若
丙、丁合作，180 天可以完工。若甲、乙合作36 天后，剩下的工作由甲、乙、丙、丁合作，还需
要
天。
学而思数学思维
目标S 班·五年级（全国版）「秋上」
70
13. 一项工程，如果甲先做5 天，那么乙接着做20 天可以完成; 如果甲先做20 天，那么乙接着
做8 天可以完成。如果甲、乙合作，那么
天可以完成。
14. 一件工程甲做6 小时，乙做12 小时可完成；甲做8 小时，乙做6 小时也可以完成。如果甲
做3 小时后由乙接着做，那么还需要
小时才能完成。
15. 一项工程，甲、乙合作需要20 天完成，乙、丙合作需要15 天完成，由乙单独做需要30 天完
成，那么如果甲、乙、丙合作，完成这项工程需要
天。
第6 讲
循环小数
6
循环小数
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72
PART
1
分小互化
两数相除，如果得不到整数商，会有两种情况：一种是有限小数，一种是无限小数。
从小数点后某一位开始不断地重复出现前一个或一节数字的十进制无限小数，叫做循环小
数，如2.16666···，35.23232323··· 等。循环小数又分为纯循环小数（0. ˙AB ˙C）和混循环小数
（0.A ˙B ˙C）。
被重复的一个或一节数字称为循环节。
循环小数的缩写法是将第一个循环节以后的数字全部略去，而在第一个循环节首末两位上方
各添一个小点。
例如：2.16666··· 缩写为2.1
.
6（读作“二点一六，六循环”）
0.34103103103··· 缩写为0.34
.
10
.
3（读作“零点三四一零三，一零三循环”）
如1
3 在进行除法运算的时候，在用3 除的时候，余下的一位为1，这样继续进行下去的时候，根
据归纳可知，这个小数后面会有无数个3，所以1
3 = 1÷3 = 0.333··· = 0.
.
3 (读作“零点三，三循
环”)。
小数
有限小数(分母只由若干个2、5相乘得到)
无限小数
循环小数
纯循环小数(分母含其他质因子，但无2且无5)
混循环小数(分母含其他质因子，还有2或5)
无限不循环小数
第6 讲
循环小数
73
例题1
（1）将下列分数化成有限小数。
3
4 =
21
24 =
6
15 =
9
25 =
27
90 =
53
100 =
（2）将下列分数化成循环小数。
1
3 =
10
45 =
1
6 =
4
30 =
互动题1
将下列分数化成循环小数，它们的循环节分别为
，
，
。
7
9；11
15；7
12。
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74
PART
2
循环小数化分数
循环小数化分数结论
0.
.a = a
9；0.
.a
.
b = ab
99；0.0
.a
.
b = ab
99 × 1
10 = ab
990；0.a
.
b
.c = abc−a
990
第6 讲
循环小数
75
例题2
请仿照例子填空：
A = 0.˙4
10×A = 4.˙4
10A−A = 4.˙4−0.˙4
9A = 4
A = 4
9
即0.˙4 = 4
9
互动题2
将下列纯循环小数化成分数。
0.
.
1 = a
b，a =
，b =
；
0.
.
2
.
4 = c
d ，c =
，d =
。
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76
例题3
请仿照例子填空：
B = 0.1˙4
10B = 1.˙4
100B = 14.˙4
100B−10B = 14.˙4−1.˙4
90B = 13
即0.1˙4 = 13
90
互动题3
将下列混循环小数化成分数。
0.5
.
1 = a
b，a =
，b =
；
0.0
.
9 = c
d c =
，d =
。
第6 讲
循环小数
77
PART
3
循环小数计算
循环小数的加减运算，如不产生进位，可以用竖式直接运算；如产生进位或错位，转成分数后，
再运算。
循环小数的乘除运算，必须先化为分数，利用分数运算。
循环小数的小数部分有周期性。
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78
例题4
（1）计算下列各式。
0.
·
4
·
3 +0.
·
5
·
2 =
0.
·
3
·
7 +0.
·
8
·
4 =
0.
·
1 +0.
·
2
·
3 =
0.
·
2
·
1 +0.
·
34
·
7 =
0.
·
8 −0.
·
2 =
0.
·
2 −0.
·
0
·
1 =
（2）计算下列各式。
4.˙3×2.˙4 =
1.˙2˙4÷0.˙3 =
互动题4
计算下列各式，写出它们的循环节：
0.
.
2
.
7 +0.
.
4
.
1 循环节为
；
0.
.
4 +0.
.
3
.
2 循环节为
；
0.
.
6 −0.
.
0
.
3 循环节为
。
笔记页
79
学而思数学思维
目标S 班·五年级（全国版）「秋上」
80
课堂巩固
1 将下列分数化成有限小数。
7
20 =
19
25 =
1
16 =
1
125 =
111
125 =
147
1000 =
2 计算下列各式，写出结果的循环节。
76÷37
321÷9
19÷11
第6 讲
循环小数
81
3 0.3+0.03+0.003+······ = 2009÷
.
4（1）0.16+0.1˙6 =a
b，a =
，b =
；
（2）0.5˙4+0.˙3˙6 =a
b，a =
，b =
。
5 0.8˙7−0.2˙3 = a
b，a =
，b =
；
1.4˙8˙7−0.4˙3 = ac
b，a =
，b =
，c =
。
学而思数学思维
目标S 班·五年级（全国版）「秋上」
82
阿丘学堂
1. 循环小数35.3535··· 可以简写成
。
2. 将下列分数化成小数：
4
25 =
7
16 =
10
18 =
20
24 =
3. 计算下列各式，将得数写成循环小数。
55÷9 =
23÷9 =
1÷7 =
2÷7 =
3÷7 =
4÷7 =
5÷7 =
6÷7 =
4. 将下列分数化成循环小数，它们的循环节分别为
，
，
，
。
4
9；8
15；5
12；2
13
第6 讲
循环小数
83
5. 把下面各循环小数化成分数：
2.˙01˙2 =
19.˙9˙2 =
6. 把下面各循环小数化成分数：
0.50˙1 =
0.3˙2 =
7. 把下列循环小数转化为分数：
0.˙1 =
，0.˙8 =
，0.˙1˙7 =
，0.˙14˙3 =
，0.˙100˙3 =
8. 计算下列各式。
0.˙1+0.˙3 =
0.1˙5+1.25˙4 =
0.7˙6−0.1˙2 =
0.˙7˙8−0.1˙3 =
学而思数学思维
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84
9. 计算下列各式。
0.˙4×0.˙2 =a
b，a =
，b =
；
0.˙5˙4×0.˙7 =a
b，a =
，b =
。
10. 计算下列各式：
0.˙5×0.˙2 =
0.˙6˙3÷0.˙3 =
11. 0.˙1˙8×0.˙1˙8+0.˙1˙8 =
12. 循环小数0.˙12345678˙9 的小数点后第2006 位上的数字是
。
第6 讲
循环小数
85
13. 3÷7 的结果化成小数后，小数点后第2016 位的数字是
。
14. 在循环小数9.617628˙1 的某一位上再添上一个循环点，使所产生的循环小数尽可能大，则
新添上的循环点位于数字
上面。
15. 给小数0.123456789 添加循环点，得到一个循环小数。要使得这个循环小数的小数点后第
100 位数字是7，添加表示循环节的两个圆点后的新小数的循环节为
。
第7 讲
数图形综合
7
数图形综合
学而思数学思维
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88
PART
1
基本对应法
1．数线段：两个端点就能确定一条线段，可以认为是从n 个点中选取2 个点作为线段的两端
点，有C2
n 种不同的选法，故共有C2
n 条线段。
2．数矩形：两组对边就能确定一个矩形，共C2
m ×C2
n 个矩形。
3．若字母A 的上方有m 条线，下方有n 条线，左边有a 条线，右边有b 条线，则包含A 的长
方形共有m×n×a×b 个。
第7 讲
数图形综合
89
例题1
（1）下图中有
条线段。
（2）图中三角形的个数为
个。
互动题1
图中三角形的个数为
个。
学而思数学思维
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90
例题2
（1）以下的图形是由七条线段所构成的。
此图中共有
个三角形.
（2）数一数下面图形中有
个三角形。
互动题2
图中共有
个三角形.
第7 讲
数图形综合
91
例题3
（1）数一数，图中有
个长方形。
（2）下图中含“⋆”的长方形有
个。（包括正方形）
互动题3
图中，含有“A”的长方形有
个。
学而思数学思维
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92
PART
2
综合问题
例题4
a、b 两条直线上分别有5 个点和6 个点（如图）。用这11 个点作为顶点共可组成
个不同的四边形。
互动题4
a、b 两条直线上分别有4 个点和5 个点（如图）。用这9 个点作为顶点共可组成
个
不同的四边形。
笔记页
93
学而思数学思维
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94
课堂巩固
1 数一数下面的图形。
第一个图里面有
个三角形，第二个图里面有
个长方形。
2 数一数，下图中共有
个三角形。
第7 讲
数图形综合
95
3 如图所示，共有
个长方形(包括正方形)。
4 如图，其中包括☆的长方形有
个。
5 a、b 两条直线上分别有3 个点和4 个点（如图）。用这7 个点作为顶点共可组成
个不同的四边形。
学而思数学思维
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96
阿丘学堂
1. 图中，以点A、B、C、D、E、F、G、H 中任意两个点为端点的线段有
条。
2. 如图，线段AB、BC、CD、DE 的长度都是3 厘米。图中一共有
条线段，这些线段
的长度之和是
厘米。
3. 如图中共有（ ）个角。
A. 10
B. 11
C. 12
4. 数一数，填一填。
下图中有
个三角形，
个平行四边形，
个梯形。
第7 讲
数图形综合
97
5. 数一数，图中共有
个三角形。
6. 数一数，图中有
个三角形。
7. 下图的图形由一些边长相同的小正方形构成，那么此图中的正方形共有
个。
8. 如图，35 个边长为1 厘米的小正方形组成一个5cm×7cm 的长方形，则图中所有正方形的
周长和为
厘米。
学而思数学思维
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98
9. 数一数，下图中一共有
个长方形。
10. 如图，包含两个五角星的长方形有
个。
11. 如图，不含“∗”的长方形有
个。
12. 如图所示，在直线AB 上有7 个点，直线CD 上有9 个点。以这些点为顶点，可以形成
个不同的三角形。
第7 讲
数图形综合
99
13. 如图，在半圆弧及其直径上共有10 个点，以这些点为顶点可以画出
个三角形。
14. 如图，在半圆弧及其直径上共有10 个点，以这些点为顶点可以画出
个四边形。
15. 图中可数出的三角形的个数为
个。
第8 讲
解分数系数方程
8
解分数系数方
程
学而思数学思维
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102
PART
1
解分数系数方程初步
一、等式的性质：
等式性质1：等式的两边同时加上或减去一个相等的数，等式仍成立。
等式性质2：等式的两边同时乘或除以一个不为零的数，等式仍成立。
二、解方程五步骤：
1．去分母：
（1）找分母最小公倍数；
（2）约分分子加括号；
（3）通分不忘常数项。
2．去括号：
（1）乘法分配律；
（2）减号后的括号要变号。
3．移项：过桥要变号。
4．合并同类项提取公因数
5．未知数系数化1：系数是整数，两边同除以这个数；
系数是分数，两边同乘这个分数的倒数。
易错点排行榜：第一，通分遗漏常数项；第二，减号后的括号不变号；第三，移项不变号；
对于解方程问题来讲，验算也是十分必要的。
第8 讲
解分数系数方程
103
例题1
（1）解方程：
（第一个横线填分子，第二个横线填分母）
（1）1
5x = 7
15，x =
/
；
（2）2
3x = 10
9 ，x =
/
；
（3）7
11x = 0，x =
。
（2）3
4x = 1
4 + 1
5，x =
/
。（第一个横线填分子，第二个横线填分母）
（3）1
3x = 1
6 −1
9，x =
/
。（第一个横线填分子，第二个横线填分母）
（4）1
5x = 1
3 × 1
4，x =
/
。
互动题1
解方程：
7
4x = 2
3 −1
5，x = a
b，a =
，b =
；
4
9x = 1
9 × 1
5，x = c
d ，c =
，d =
。
学而思数学思维
目标S 班·五年级（全国版）「秋上」
104
PART
2
解分数系数方程进阶
例题2
解方程：
（1）2
7x+ 4
3 = 5
7x−4
3，x =
。
（2）3
5x+ 7
2 = 1
5x+10 ，x =
。
互动题2
解方程：
1
4x+ 5
8 = 7
4x−1
2，x = a
b，a =
，b =
；
2
7x+ 7
5 = 1
7x+2，x = c
d ，c =
，d =
。
第8 讲
解分数系数方程
105
例题3
解方程：
3x−5
2
= 1−2x
4
，x =
互动题3
解方程：
3−x
2
−x+4
3
= 0，x = a
b，a =
，b =
。
学而思数学思维
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106
PART
3
解分数系数方程组
例题4
解分数系数方程组：
1
2x+ 1
3y = 17
6
1
3x+ 1
4y = 2
，x =
，y =
。
互动题4
解分数系数方程组：
x−1
2y = 4
1
4x−1
5y = 1
，x =
，y =
。
笔记页
107
学而思数学思维
目标S 班·五年级（全国版）「秋上」
108
课堂巩固
1 解方程：1
6x = 2
3 + 1
4，x =
/
。（第一条横线填分子，第二条横线填分
母）
2 解方程：2x+4
2
= 7x−6
3
，x =
。
第8 讲
解分数系数方程
109
3 解方程：1+x
3
+x = 3+ x−2
4
，x =
。
4 解方程：x+ 1
3[x+ 1
4(x−2)] = 1
6(x+3) ，x =
/
。（第一条横线填分
子，第二条横线填分母）
5 解方程组：
m
5 + n
2 = 3
2m−3n = 14
，m =
，n =
。
学而思数学思维
目标S 班·五年级（全国版）「秋上」
110
阿丘学堂
1. 解方程：
1
8x = 1
3，x = a
b，其中a =
，b =
；
2
3x = 5
8，x = a
b，其中a =
，b =
；
3
4x = 1
7，x = a
b，其中a =
，b =
。
2. 解方程：
3
2x = 3
5 + 3
4，x =
/
；
13
4 x = 3
8 + 3
5，x =
/
；
31
2x = 55
7，x =
/
。（第一条横线填分子，第二条横线填分母）
3. 解方程：
2
5x+ 3
4 = 7
6，x =
/
（第一条横线填分子，第二条横线填分母）；
4
3x+ 7
6 = 15
2 ，x =
/
（第一条横线填分子，第二条横线填分母）。
4. 解方程
2
17x+8 = 16，x =
；
5
7x−3
7 = 10
7 ,x =
/
(第一条横线填分子，第二条横线填分母)。
第8 讲
解分数系数方程
111
5. 解方程：
7
2x+18 = 1
2x+ 94
3 ，x =
/
；
5
2x+ 1
5 = 3x−1
5，x =
/
。（第一条横线填分子，第二条横线填分母）
6. 解方程：1
7x = 2
5x−12
35，x =
/
。（先填分子，后填分母）
7. 解分数方程：3x−1
2
= 4x+6
5
−1，x =
。
8. 解方程：5x−1
6
−2x+1
3
= 1，x =
。
学而思数学思维
目标S 班·五年级（全国版）「秋上」
112
9. 解方程：x+2
3
−x−1
4
= 6x−1
5
，x =
。
10. 解方程：x−x+1
2
= 2
3 −x+2
3
，x =
/
。（第一条横线填分子，第二条横线
填分母）
11. 解分数系数方程组:
x−1
2y = 4
1
4x−1
5y = 1
12. 解分数系数方程组：
1
6x+ 1
10y = 1
1
4x+ 1
8y = 11
8
x =
，y =
。
第8 讲
解分数系数方程
113
13. 解方程：
(3
5x+6
)
× 5
3 −1
2x = 21，x =
。
14. 解方程：
3
2 ×
[2
3 ×(1
4x+1)+2
]
−7
2 = 2
3x
15. 已知x = 2
3 是方程3
(
m−3
4x
)
+ 3
2x = 5x 的解，m 的值为
/
(第一条横
线填分子，第二条横线填分母)。
学而思数学思维
目标S 班·五年级（全国版）「秋上」
114
阿丘学堂参考答案
第 讲
1
分数运算
1.
13
11
10
21
3
8
2
3
2.
35
72
1
36
3.
29
36
56
45
1
72
4. 11
5. 1
7
6. 18
13
7. 36
35
8. 5
78
9. 3
49
10.42
97
11.24
5
12. 18
35
13. 5
4
14. 9
10
15.31
14
25
第 讲
2
分数应用题（一）
1. 2
3
1
2
1
3
1
5
2. 2
6
25
3. 1
2
4. 7
10
3
10
7
17
5. 304
6. 4
5
7. 35
8. 57
9. 180
10.109
11.160
12.825
13.20
14.120
15.40
第 讲
3
比例应用题（一）
1. 44
2. 80
100
3. 5000
4. 360
5. 60
6. 40
7. 105
8. 486
9. 176
10.48
44
11.144
12.210
350
13.960
14.726
15.7
阿丘学堂参考答案
115
第 讲
4
扶梯与发车问题
1. 10
2. 60
12
3. 18
4. 20
5. 35
6. 60
7. 15
8. 54
9. 50
10.6000
11.200
12.15750
13.5
5000
6
10
14.60
15.6
第 讲
5
工程问题（一）
1. 4
2. 5.5 或11
2
3. 15
10
4. 9
6
5. 60
30
6. 12
7. 60
8. 60
9. 6
10.9 小时
11.10
12.60
13.131
3
14.21
15.12
第 讲
6
循环小数
1. 35.˙3˙5
2. 0.16
0.4375
0.
5
0.8
3
3. 6.˙1
2.˙5
0.˙14285˙7
0.˙28571˙4
0.˙428571
0.˙57142˙8
0.˙71428˙5
0.˙85714˙2
4. 4
3
6
153846
5. 2 4
333
1992
99
6.
451
900
29
90
7.
1
9
8
9
17
99
143
999
1003
9999
8. 0.˙4
1.41
0.6˙4
0.6˙5˙4
9. 8
81
14
33
10. 10
81
21
11
11. 26
121
12.8
13.1
14.8
15.789
学而思数学思维
目标S 班·五年级（全国版）「秋上」
116
第 讲
7
数图形综合
1. 28
2. 10
60
3. A
4. 5
3
3
5. 11
6. 90
7. 34
8. 700
9. 141
10.16
11.106
12.441
13.110
14.155
15.56
第 讲
8
解分数系数方程
1. 8
3
15
16
4
21
2. 9
10
3
10
80
49
3. 25
24
19
4
4. 68
13
5
5. 40
9
4
5
6. 4
3
7. 1
8. 9
9. 1
10.3
5
11.
x = 4
y = 0
12.3
5
13.22
14.x = 6
5
15.23
18
1120031618633
