文档文本内容
前言PREFACE
学而思网校为6 ～18 岁的学生提供小学、初中、高中全学科课外学习课程。学而思网校拥
有十余年教学经验，采用在线双师直播教学模式，用AI 技术来辅助教学。学而思网校课堂互动
多，线上课程有回放，教师及时答疑，学生不满意可随时退费。
2016 年5 月，学而思网校提出“在线学习更有效”的品牌主张，并正式推出在线双师直播教
学模式，通过实时在线的互动教学、图文并茂的随堂讲义、科学的学业测评，以及教师多方位的
学习辅导，保障学生的学习效果。
2016 年7 月，
“IDO 个性化学习体系”正式上线，体系拥有动态学习报告、错题订正等功能，
为教师、学生和家长之间建立起更有效的沟通平台。2017 年7 月，
“IDO 个性化学习体系”升级
为“IDO 个性化学习体系2.0”（简称“IDO2.0”）。
“IDO2.0”拥有个性化学习任务系统（IMS），并首
次将人脸识别、语音识别、触感互动等技术引入在线课堂，让在线学习有更多可被量化的数据和
可追踪的学习轨迹，甚至有更多动手实践的机会。有效的科技手段逐渐缩小了线上线下的学习
体验差异。
2018 年，学而思网校课程体系全面升级，Amazing English、大语文、数学思维、大科学等课程
更注重对学生综合素质能力的培养。同时，学而思网校推出的故宫、音乐、魔方、儿童安全、历史
等素养类课程让学生可以多维、立体化成长。学而思网校自主研发的“AI 老师”通过自然语言处
理（NLP）、图像文字识别（OCR）等技术精准分析学生的语义、情感、笔迹等，形成完整高效的
“课堂学习链”，让在线课堂学习体验更美好，让教学更高效，学习更有效。未来，学而思网校将进
一步承担起用科技推动教育进步的重任，不断致力于教育资源的均衡发展，实现从教到育、从学
到习的全面提升。
学而思网校教研中心
目录
CONTENTS
第1 讲
计算问题总复习（二）............................ 1
第2 讲
几何问题总复习（二）........................... 11
第3 讲
整数问题总复习（二）........................... 21
第4 讲
计数问题总复习（二）........................... 31
第5 讲
应用题总复习（一）............................. 39
第6 讲
数列数表问题总复习............................. 47
第7 讲
几何问题总复习（三）........................... 57
第8 讲
整数问题总复习（三）........................... 67
第9 讲
应用题总复习（二）............................. 77
第1 讲
计算问题总复习（二）
1
计算问题总复
习（二）
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2
PART
1
分数巧算
常用的运算律如下：
加法交换律：a+b = b+a
加法结合律：a+b+c = a+(b+c)
乘法交换律：a×b = b×a
乘法结合律：a×b×c = a×(b×c)
乘法分配律：a×(b+c) = a×b+a×c
在计算题中，合理地利用运算律可以简化我们的计算。同样，提取公因数：a×b+a×c =
a×(b+c) 也是一个计算中常用的技巧。
第1 讲
计算问题总复习（二）
3
例题1
（1）计算：31
4 +62
3 +13
4 +81
3 =
（2）计算：57
8 −27
9 +3.27−32
9 =
（3）计算：3.27× 3
7 +3.27÷ 7
4 =
（填小数）
（4）4
7 ×2312
13 +16× 1
7 + 1
7 × 4
13 =
互动题1
3
5 ×26+ 3
5 ×31+ 3
5 ×43 =
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4
例题2
计算：1×2×3+2×4×6+3×6×9+4×8×12+5×10×15
1×3×5+2×6×10+3×9×15+4×12×20+5×15×25 =
互动题2
1×3×8+2×6×16+3×9×24
1×2×4+2×4×8+3×6×12 =
第1 讲
计算问题总复习（二）
5
PART
2
分数裂项
一、
“裂差”型分数裂项：
(1)
1
n(n+1) = 1
n −
1
n+1
(2)
1
n(n+k) = 1
k
(1
n −
1
n+k
)
二、
“裂和”型分数裂项：
a+b
ab
= 1
a + 1
b
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6
例题3
（1）1
4×5 +
1
5×6 +
1
6×7 +···+
1
19×20 =
（2）1
10 + 1
40 + 1
88 + 1
154 + 1
238 =
互动题3
计算：1
2×5 +
1
5×8 +
1
8×11 +
1
11×14 +
1
14×17 +
1
17×20 =（ ）。
A. 3
20
B. 1
20
C. 3
10
第1 讲
计算问题总复习（二）
7
例题4
计算：1+2
1×2 −2+3
2×3 + 3+4
3×4 −4+5
4×5 + 5+6
5×6 −6+7
6×7 + 7+8
7×8 −8+9
8×9 + 9+10
9×10 =
/
（先填分子，后填分母）
互动题4
计算：5+6
5×6 −6+7
6×7 + 7+8
7×8 −8+9
8×9 + 9+10
9×10 =
分之
。（空里填阿拉伯数字）
笔记页
8
第1 讲
计算问题总复习（二）
9
课堂巩固
1 1
2 + 2
4 + 1
3 + 6
9 + 1
4 + 9
12 =（ ）
A. 3
B. 4
C. 5
2 计算：
(1
2 + 1
3 −1
4
)
×48 =（ ）
A. 20
B. 28
C. 32
3 3× 1
4 +8× 1
11 +7× 3
4 +9× 4
11 =（ ）
A. 5
B. 8
C. 10
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10
4 1×3×24+2×6×48+3×9×72+4×12×96
1×2×4+2×4×8+3×6×12+4×8×16
=
5
3
2×5 +
3
5×8 +
3
8×11 +
3
11×14 +
3
14×17 +
3
17×20 =
第2 讲
几何问题总复习（二）
2
几何问题总复
习（二）
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12
PART
1
圆与扇形
相关公式
圆的面积= πr2；扇形的面积= πr2 × n
360；
圆的周长= 2πr；扇形的弧长= 2πr × n
360。
例题1
（1）求下图中两个圆的周长及面积。（单位：厘米，π 取3.14）
（2）下图的两个同心圆中，大圆的直径为6 厘米，小圆的半径为2 厘米，两圆之间的阴影部分
的面积是
平方厘米。（π 取3.14）
第2 讲
几何问题总复习（二）
13
（3）以下扇形的周长为
，面积为
。（π 取3.14）
互动题1
（1）一个圆的直径是20 厘米，它的半径是
厘米，周长是
厘米，面积是
平方厘米。（π 取3.14）
（2）下图中扇形的面积是
。（π 取3.14）
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14
PART
2
复杂图形转化思想
1. 圆中方：圆的面积: 正方形面积=π:2
2. 方中圆：正方形面积: 圆的面积=4:π
3. 方中圆中方：大正方形面积: 圆的面积: 小正方形面积=4:π:2
4. 圆中方中圆：大圆面积: 正方形面积: 小圆面积=（2π）:4:π
例题2
如图所示，圆和小正方形之间有阴影部分，求阴影部分的面积是多少？（π 取3.14）
互动题2
如图，已知大正方形的面积是28dm2，则阴影部分的面积是
dm2。（π 取3.14）
第2 讲
几何问题总复习（二）
15
基本图形
1.“弓形”: 如图，
一般来说，
“弓形”面积= 扇形面积−三角形面积。(除了半圆)
2.“弯角”: 如图，
“弯角”的面积= 正方形面积−扇形面积
3.“谷子”: 如图，
“谷子”的面积=“弓形”面积×2
4.“圆环”: 如图，
“圆环”面积= π(R2 −r2)
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16
常用的思想方法:
1. 转化思想(复杂转化为简单，不熟悉的转化为熟悉的)
2. 等积变形(割补、平移、旋转等)
3. 借来还去(加减法)
4. 外围入手(从会求的图形或者能求的图形入手，看与要求的部分之间的“关系”)
5. 容斥(实际上容斥思想是贯穿于加减法始终的。我们把两部分面积加起来，去掉总面积，剩下
的就是重叠部分面积。)
6. 差不变
例题3
下图中互相垂直的两条线段的长度均为10，求各图阴影部分的面积。（π 取3.14）
互动题3
（1）图中阴影部分①的面积为
。
（2）图中阴影部分②的面积为
。
（3）图中阴影部分①和②的面积和为
。（π 取3.14）
第2 讲
几何问题总复习（二）
17
例题4
已知三角形ABC 是直角三角形，AC = 4cm，BC = 2cm，则阴影部分的面积为
cm2。（π
取3.14）
互动题4
如图，直角三角形ABC 中，AB = 4，BC = 6. 分别以三角形三边为直径画三个半圆，则阴影部分
的面积为
.
笔记页
18
第2 讲
几何问题总复习（二）
19
课堂巩固
1 在一个长10cm、宽5cm 的长方形内画一个最大的半圆，半圆的直径是
cm，
所画半圆的周长是
cm，面积是
cm2。（π 取3.14）
A. 10
25.7
39.25
B. 5
25.7
10
C. 10
31.4
78.5
2 一个环形，外圆直径是20 厘米，内圆直径是10 厘米，这个环形面积是（ ）。（π 取
3.14）
A. 942 平方厘米
B. 235.5 平方厘米C. 58.875 平方厘米
3 如图求阴影部分的面积是
cm2。（π 取3.14）
A. 28
B. 28.5
C. 78.5
学而思数学思维
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20
4 如图，扇形的半径是2 厘米，则图中弓形（阴影部分）的面积为
平方厘
米。（π 取3.14）
5 如图，矩形ABCD 中，AB = 6 厘米，BC = 4 厘米，扇形ABE 半径AE = 6 厘米，扇形
CBF 的半径CB = 4 厘米，阴影部分的面积是
平方厘米。（π 取3.14）
第3 讲
整数问题总复习（二）
3
整数问题总复
习（二）
学而思数学思维
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22
PART
1
质数与合数
质数、合数、分解质因数
判断一个数是否为质数的方法：
根据定义，如果能够找到一个小于P 的质数p(P、p 均为整数)，使得p 能够整除P，那么P 就
不是质数，所以我们只要拿所有小于P 的质数去除P 就可以了；但是这样的计算量很大，对于
不太大的P，我们可以先找一个大于且接近P 的平方数K2，再列出所有不大于K 的质数，用
这些质数去除P，如没有能够除尽的，那么P 就为质数。
分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
因数个数定理：设自然数n 的质因数分解式如p1a1 p2a2 p3a3 ··· pnan，
那么n 的因数个数为：d(n) = (a1 +1)(a2 +1)(a3 +1)···(an +1)。
第3 讲
整数问题总复习（二）
23
例题1
（1）分解质因数：180 =
。
（2）5×6×10×25×7×75×94 的积的末尾共有
个0。
互动题1
250×40 的积的末尾有
个0。
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24
PART
2
因数与倍数
因数、倍数
最大公因数与最小公倍数有如下一些基本关系：
①A×B = ma×mb = m×mab = (A，B)×[A，B]，即两个数的最大公因数与最小公倍数之积等于
这两个数的积；
②最大公因数是A、B、A+B、A−B 及最小公倍数的因数。
例题2
（1）(28,35)，(108,360)，(24,36,90) 分别是
，
，
。
（2）[28，35]，[108，360]，[24，36，90] 分别为
，
，
。
互动题2
（1）(10,11) =
(15,35) =
（2）[10,11] =
[15,35] =
第3 讲
整数问题总复习（二）
25
例题3
（1）已知A、B 两数的最小公倍数是180，最大公因数是30，若A = 90，则B =
。
（2）已知两个自然数的积为450，最小公倍数为150，则这两个数的和最大是
。
互动题3
自然数a 和b 的最小公倍数是140，最大公因数是5，则a+b 的最大值是
。
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26
PART
3
完全平方数
平方数
1. 定义：我们把一个自然数平方所得到的数叫做完全平方数或平方数。
如12 = 1，22 = 4，32 = 9，…，112 = 121，122 = 144，…其中1，4，9，…，121，144，…都叫做完全平
方数。平方数分解质因数后，它的质因数必定会成对出现。
2. 完全平方数的有关性质
性质1：完全平方数的末位数字只可能是0，1，4，5，6，9。
性质2：完全平方数的因数一定有奇数个，反之亦然。因为完全平方数的质因数分解中每个质
因数出现的次数都是偶数次。
性质3：如果一个完全平方数的个位是6，则十位是奇数。
性质4：如果一个完全平方数的个位是0，则它末尾连续的0 的个数一定是偶数个。如果一个
完全平方数的个位是5，则其十位一定是2，且其百位一定是0，2，6 中的一个。
性质5：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数。
性质6：平方差公式:a2 −b2 = (a+b)(a−b)。
性质7：偶数的完全平方是4 的倍数，奇数的完全平方被4 除一定余1，任何自然数的平方数不
可能被4 除余2 或3。
第3 讲
整数问题总复习（二）
27
例题4
240 乘一个非零自然数a，或者除以一个非零自然数b，结果都是一个完全平方数，那么a 的最
小值是
，b 的最小值是
。
互动题4
22 ×3×a 为完全平方数，则非零自然数a 的最小值为
。
笔记页
28
第3 讲
整数问题总复习（二）
29
课堂巩固
1 分解质因数：598 =（ ）。
A. 2×13×23
B. 5×15×25
C. 2×23×10
2 乘法算式2×25×31×16×15 的计算结果的末尾有连续的（ ）个0。
A. 4
B. 5
C. 3
3 有3 根铁丝，长度分别是20 厘米、48 厘米、72 厘米。现在要把它们都截成长度相等的
小段，每根都不能有剩余，每一小段最长是
厘米。一共可以截成
小段。（ ）
A. 3，35
B. 4，35
C. 5，30
学而思数学思维
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30
4 已知两个自然数的积为360，最小公倍数为120，则这两个数分别是
。
5 156×a 是完全平方数，则非零自然数a 的最小值为
。
第4 讲
计数问题总复习（二）
4
计数问题总复
习（二）
学而思数学思维
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32
PART
1
排列组合
排列组合公式：
排列数公式：Am
n = n(n−1)(n−2)···(n−m+1)
全排列公式：An
n = n! = n×(n−1)×(n−2)×···×2×1
组合数公式：Cm
n = n(n−1)(n−2)···(n−m+1)
m!
关于组合数的几个重要结论：
C0
n = Cn
n = 1
Cm
n = Cn−m
n
C0
n +C1
n +C2
n +···+Cn
n = 2n
例题1
（1）用1、2、3、4、5、6、7、8 可以组成
个没有重复数字的四位数。
（2）用数字0、1、2、3、4、5、6 可以组成
个无重复数字的四位奇数。
互动题1
用数字2、3、4、5 一共可以组成
个没有相同数字的三位数。
第4 讲
计数问题总复习（二）
33
例题2
将A、B、C、D、E、F、G 七位同学在操场排成一列，其中学生B 与C 必须相邻，那么共有
种不同的排列方法。
互动题2
4 个男生、2 个女生共6 人站成一排合影留念，如果要求2 个女生紧挨着排在正中间，则有
种不同的排法。
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34
例题3
10 个苹果放入4 个不同的盘子里，要求每个盘子至少一个，共有
种不同的排法。
互动题3
电视台准备播出一部8 集的儿童电视剧，要3 天播完，每天至少播出一集。那么可以有
种不同的播出安排。
第4 讲
计数问题总复习（二）
35
PART
2
概率问题
例题4
（1）在一个不透明的袋子里，有5 个除颜色外，其他都相同的小球，其中有3 个是红球，2 个
是绿球，每次拿一个球然后放回去，拿2 次，则至少有一次取到绿球的概率是
/
（第一个空填分子，第二个空填分母）。
（2）骰子有6 个面，每个面上标有数字1、2、3、4、5、6，如果抛两颗骰子，所得两个数的乘积大于
10 的可能性是
/
（前面填分子，后面填分母）。
互动题4
一枚均匀的硬币连抛3 次，至少有一次正面向上的概率为b
a（a =
，b =
）。
笔记页
36
第4 讲
计数问题总复习（二）
37
课堂巩固
1 用1、2、3、4、5、6 六张数字卡片（卡片不能转），每次取三张卡片组成三位数，一共可
以组成（ ）个不同的偶数。
A. 20
B. 60
C. 80
2 学校乒乓球队一共有4 名男生和3 名女生。某次比赛后他们站成一排照相：
如果要求女生都站在一起，一共有（ ）种不同的站法。
A. 600
B. 700
C. 720
3 甲、乙、丙、丁、戊、己六人站队，要求：甲乙两人必须相邻，那么一共有（ ）种站法。
A. 120
B. 200
C. 240
学而思数学思维
目标S 班·六年级（全国版）「春」
38
4 有11 个运动员名额，分给6 个班，每班至少有1 个名额，一共有
种分配方
案。
5 薇儿在玩抛硬币的游戏：
如果同时抛三枚硬币，三枚都正面朝上的概率是
；一枚正面朝上两枚背面
朝上的概率是
。
第5 讲
应用题总复习（一）
5
应用题总复习
（一）
学而思数学思维
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40
PART
1
基本浓度问题
一、基本概念
溶质：被溶解的物质．例如糖、盐、酒精．
溶剂：溶解溶质的物质．例如水．
溶液：溶质、溶剂的混合物．
二、基本公式
溶质+ 溶剂= 溶液
浓度= 溶质质量
溶液质量×100%
例题1
把20 克盐放入100 克水里配制成盐水，300 克这样的盐水中含盐
克。
互动题1
将10 克盐溶解在90 克水中，从这100 克盐水中取出30 克的盐水，则取出的盐水中含盐
克。
第5 讲
应用题总复习（一）
41
例题2
1000 千克葡萄含水率为96.5%，一周后含水率降为96%，这些葡萄的质量减少了
千
克。
互动题2
仓库运来含水量为90% 的一种水果100 千克，一星期后再测发现含水量降低了，变为80%，现
在这批水果的总重量是
千克。
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42
PART
2
十字交叉法
十字交叉法：(甲溶液浓度大于乙溶液浓度)；
十字交叉法是进行两组混合物平均量与组分计算的一种简便方法.
即设甲、乙两瓶溶液的质量分别为A 和B，浓度分别为x% 和y%（x > y），将两瓶溶液混合后
所得的溶液浓度为z%，可得：(x−z) : (z−y) = B : A．
形象表达：
例题3
杯子中有浓度为10% 的盐水100 克，向杯子中加入浓度为20% 的盐水150 克，混合均匀. 新
的盐水的浓度是
%.
互动题3
现有80 千克20% 的盐水，和
千克14% 的盐水刚好可以混合成18% 的盐水。
第5 讲
应用题总复习（一）
43
例题4
甲种酒精溶液中有酒精3 千克，水9 千克；乙种酒精溶液中有酒精6 千克，水2 千克；要配制
成40% 的酒精溶液5 千克，甲种酒精溶液需
千克，乙种酒精溶液需
千克。
互动题4
20% 的盐水与5% 的盐水混合，要配成15% 的盐水900 克。则20% 与5% 的盐水各需要
克和
克。
笔记页
44
第5 讲
应用题总复习（一）
45
课堂巩固
1 把30 克糖放入90 克水中，糖占糖水的（ ）%。
A. 25
B. 20
C. 15
2 要配制一种浓度为10% 的盐水，12 克盐需要加水
克，180 克水需要加盐
克。（ ）
A. 100，20
B. 108，30
C. 108，20
3 买来蘑菇10 千克，含水量为99%，晾晒一会儿后，含水量为98%，则蒸发掉（ ）
千克水分。
A. 2
B. 5
C. 8
学而思数学思维
目标S 班·六年级（全国版）「春」
46
4 把浓度为50% 的酒精溶液90 千克全部稀释为浓度为30% 的酒精溶液，需要加水
千克。
5 浓度为45% 的糖水溶液300 克，加入一些浓度为20% 的糖水溶液，最终浓度变成
25%，加入了
克浓度为20% 的糖水溶液。
第6 讲
数列数表问题总复习
6
数列数表问题
总复习
学而思数学思维
目标S 班·六年级（全国版）「春」
48
PART
1
数列问题
等差数列基本公式：
（1）通项公式：an = a1 +(n−1)×d
（2）项数公式：n = (an −a1)÷d +1
（3）公差：d = (an −a1)÷(n−1)
（4）数列求和公式：Sn = (a1 +an)×n÷2，特殊的，当项数为奇数时，和= 中间项× 项数
例题1
（1）数列1，3，5，7，···，第30 项是
。
（2）数列2，4，6，8，···，其中256 是这个数列的第
项。
（3）2，4，6，8，10，12，··· 是个连续偶数列，如果其中五个连续偶数的和是320，则它们中最小的
一个是
。
互动题1
5，8，11，14，17，20，···，这个数列的第201 项是
。65 是其中的第
项。
第6 讲
数列数表问题总复习
49
例题2
有一列数：2，3，5，8，12，17，23，30，···，则这列数的第101 个是
。
互动题2
找规律填数。
5，7，11，17，25，
，
，
。
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50
PART
2
数表问题
数表就是把数列中各项按一定顺序排布成一定形状后形成的表格。
首先，数表具有数列的一般特征，即各项与其项数之间具有特定的对应关系，可以用通项公式
或递推关系表示出来；
然后，数表又不等同于普通数列，由于具有一定的形状，因此各项必须受其所在位置的限制，这
点是需要特别注意的。
数列与数表问题常用的思考方法有：
1. 观察：观察是解决数列数表问题的根本前提，许多数列数表问题首先就是找规律问题，这需
要观察出突破口；
2. 对应：找准数列的项与其项数及位置的对应关系，必要时要用代数式表示出来；
3. 周期性：许多数列数表问题是周期问题，特别是某些求某数在第几行第几列的问题；
4. 递推关系：即数列的某项与其前面某些项之间的一种代数关系；
5. 利用特殊位置：比如中间项，拐角，最大数或最小数等；
第6 讲
数列数表问题总复习
51
例题3
用数摆成如图的三角形，请你观察后回答问题：
1
1
1
1
2
1
1
3
3
1
1
4
6
4
1
（1）这个三角数列有什么规律？
（2）依据规律写出第6 行的数列
。
（3）推出第15 行所有数之和是
。
互动题3
在□里填上符合规律的数，则四个□中所填的数字和为
。
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52
例题4
将从1 开始的自然数按下面的形式排列：
第12 行最左边的数是
，第12 行所有数的和是
。
互动题4
从1 开始的自然数按某种方式排列起来，那么第25 行左起第5 个数是
。
笔记页
53
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54
课堂巩固
1 数列1，3，5，7，···，第18 项是（ ）。
A. 15
B. 20
C. 25
D. 35
2 找到数列的规律，并补充完整。（ ）
A. 10，8
B. 10，9
C. 9，6
D. 10，7
3 根据下图中数字的排列规律，可知“？”所代表的数是（ ）。
A. 28
B. 34
C. 40
第6 讲
数列数表问题总复习
55
4 把编号为1，2，3，4，··· 的若干盆花按如图所示摆放，花盆中的花按红、黄、蓝、紫的颜
色依次循环排列，则第8 行从左边数第6 盆花的颜色为
色。
5 下图中给出的数表就是有名的杨辉三角。
（1）杨辉三角第8 行有
个数，前8 行共有
个数。
（2）杨辉三角的第9 行第3 个数（从左往右数）是
。
第7 讲
几何问题总复习（三）
7
几何问题总复
习（三）
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58
PART
1
立体图形的表面积与体积
立体图形的基本公式：
第7 讲
几何问题总复习（三）
59
例题1
一个无盖的长方体水槽，长5 米，宽0.5 米，高0.4 米，做这个水槽至少要铁皮
平方
米。将它注满水，水的体积是
立方米。
互动题1
一个长方体玻璃鱼缸（鱼缸的上面没有玻璃），长5 分米，宽3 分米，高3.5 分米。制作这个鱼
缸至少需要
平方分米的玻璃。
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60
例题2
已知一个圆锥的底面直径为12 厘米，高为10 厘米。它的体积为
立方厘米。（π 取
3.14）
互动题2
如图，△ABC 是直角三角形，AB、AC 的长分别是3 和4。将△ABC 绕AC 旋转一周，△ABC 扫
出的立体图形的体积是
。（π 取3）
第7 讲
几何问题总复习（三）
61
例题3
如图，ABCD 是矩形，BC = 6cm，AB = 10cm，对角线AC、BD 相交于O。E、F 分别是AD 与BC
的中点，将长方形ABCD 以EF 为轴旋转一周，则白色部分扫出的立体图形的体积是
立方厘米。（π 取3）
互动题3
已知：如图，左边正方形的边长为4，右边正方形对角线长度为6. 如果按照图中所示的方式旋
转，那么得到的两个旋转体的体积之比是
:
。
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62
PART
2
三视图、切片与染色
三视图与空间想象：
积木块表面积的求法：三视图(主视图、俯视图、左视图的总称)。
三视图法求表面积的口诀为：先俯后正侧检验；面积乘2 加凹槽。
三视图中，俯视图可能出现少木块的情况。
例题4
21 个棱长为1 厘米的小正方体组成一个立体图形，它的表面积是
平方厘米。
互动题4
由6 个棱长为1 的小正方体堆叠成如图所示的立体图形，它的表面积是
。
笔记页
63
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64
课堂巩固
1 以下图形的体积分别为（ ）。（π 取3）
A. 300，3000，900
B. 350，3000，864
C. 300，3000，864
2 一个稻谷囤，上面是圆锥体，下面是圆柱，圆柱的底面周长是9.42 米，高是2 米，圆锥
的高是0.6 米。则这个粮囤的体积是（ ）立方米。（π 取3.14）
A. 15.888
B. 15.543
C. 15.964
3 长方体的所有棱长之和为96 厘米，且长是宽的2 倍，宽与高相等，那么这个长方体的
表面积是
平方厘米，体积是
立方厘米。（ ）
A. 300，430
B. 360，432
C. 500，360
第7 讲
几何问题总复习（三）
65
4 如图，ABCD 是长方形，AB、BC 的长分别是3 和2。将长方形ABCD 绕AB 旋转一周，
扫出的立体图形的体积是
。（π 取3.14）
5 如图：若干个棱长为1 的小正方体组成立体图形，如果把这个图形的表面(含底面) 涂
上红色，那么，被涂成红色的面积共
。
第8 讲
整数问题总复习（三）
8
整数问题总复
习（三）
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68
PART
1
带余除法
1. 余数的定义
一般地，如果a 是整数，b 是整数(b̸ = 0)，若有a÷b = q······r，或者a = b×q+r，0 ⩽r < b；
当r = 0 时，我们称a 能被b 整除；
当r̸ = 0 时，我们称a 不能被b 整除，r 为a 除以b 的余数。
2. 余数的性质
①被除数= 除数× 商+ 余数；除数=(被除数−余数)÷ 商；商=(被除数−余数)÷ 除数；
②余数小于除数。
③如果a，b 除以c 的余数相同，就称a，b 对于除数c 来说是同余的，且有a 与b 的差能被c
整除。(a，b，c 均为非零自然数)
例如：17 与11 除以3 的余数都是2，所以17−11 能被3 整除。
④a 与b 的和除以c 的余数，等于a，b 分别除以c 的余数之和(或这个和除以c 的余数)。
例如：23，16 除以5 的余数分别是3 和1，所以(23+16) 除以5 的余数等于3+1 = 4。
注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c 的余数。
例如：23，19 除以5 的余数分别是3 和4，所以(23+19) 除以5 的余数等于(3+4) 除以5 的
余数。
⑤a 与b 的乘积除以c 的余数，等于a，b 分别除以c 的余数之积(或这个积除以c 的余数)。
例如：23，16 除以5 的余数分别是3 和1，所以(23×16) 除以5 的余数等于3×1 = 3。
注意：当余数之积大于除数时，所求余数等于余数之积再除以c 的余数。
例如：23，19 除以5 的余数分别是3 和4，所以(23×19) 除以5 的余数等于(3×4) 除以5 的
余数。
第8 讲
整数问题总复习（三）
69
例题1
两数相除，商10 余2，被除数、除数、商、余数四数之和等于91，则被除数是
。
互动题1
两数相除，商20 余11，被除数最小是
。
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70
例题2
14389 除以7 的余数是
。
互动题2
记A = 8×8×8×···×8 共25 个8 相乘，A÷9 的余数为
。
第8 讲
整数问题总复习（三）
71
PART
2
求除数
例题3
如果自然数1013 被某个两位数A 除所得的余数是12，那么，这个自然数A 的取值有
个。
互动题3
1111 除以一个两位数，余数是66，这个两位数是
。
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72
PART
3
剩余
在求解“找出一个数N，满足除以A 余a，除以B 余b，除以C 余c”类型的问题时，可以先考虑
“减同余，加同补”的方法，可以分为下面两类：
第一类：减同余．
（1）一个数N 除以A 余a，除以B 余b，且a = b = m; 则有N −m = [A,B]k
（2）一个数N 除以A 余a，除以B 余b，且A+a = B+b = e; 则有N −e = [A,B]k
第二类：加同补．
一个数N 除以A 余a，除以B 余b，且A−a = B−b = d，则有N +d = [A,B]k
例题4
一个大于10 的自然数，除以5 余3，除以7 余1，除以9 余8，那么满足条件的自然数最小为
。
互动题4
有一个数除以3 余2，除以4 余1，则此数除以12 余
。
笔记页
73
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74
课堂巩固
1 某数被13 除，商是9，余数是8，则某数等于（ ）。
A. 115
B. 120
C. 125
D. 130
2 两数相除，商15 余6，被除数、除数、商、余数四数之和等于139，则被除数是
。
A. 100
B. 110
C. 111
3 数列1、2、4、7、11、16、22、29、··· 那么这个数列中第65 个数除以5 的余数是
。
A. 1
B. 2
C. 4
第8 讲
整数问题总复习（三）
75
4 一个两位数除200，余数是13，则这样的两位数是
。
5 一个大于100 的数，除以9 余3，除以11 余1，满足条件的最小自然数为
。
第9 讲
应用题总复习（二）
9
应用题总复习
（二）
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目标S 班·六年级（全国版）「春」
78
PART
1
列方程解应用题
列方程解应用题是用字母来代替未知数，根据等量关系列出含有未知数的等式，然后解出未知
数的值，从而解出应用题的办法。这个含有未知数的等式就是方程。列方程解应用题的优点在
于可以使未知数直接参加运算。解这类应用题的核心是正确找出等量关系，然后根据等量关系
列出合适的方程。
例题1
学校组织植树活动，已知在甲处植树的有23 人，在乙处植树的有17 人。现调20 人去支援，
使在甲处植树的人数是乙处植树人数的2 倍多3 人，则应调往甲、乙两处各
人和
人。
互动题1
有两支香，第一支长34 厘米；第二支长18 厘米，同时点燃后，都是平均每分钟燃掉2 厘米，
分钟后第一支香的长度是第二支香的长度的3 倍。
第9 讲
应用题总复习（二）
79
例题2
一人看见山上有一群羊，他自言自语道：
“我如果有这些羊，再加上这些羊，然后加上这些羊的
一半，又加上这些羊一半的一半，最后再加上我家里的那只，一共有100 只羊。”山上的羊群共
有
只羊。
互动题2
一个大人一餐能吃四个面包，四个幼儿一餐只吃一个面包，现有大人和幼儿共100 人，一餐刚
好吃100 个面包，这100 人中，幼儿有
人。
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80
PART
2
比例应用题
比例应用题
含有分数、百分数或者比例的应用题叫比例应用题。
解比例应用题注意方法有两种：
1. 列比例方程。
2. 抓不变量．不变量主要可以分为：1）单一量不变；2）和不变；3）差不变。
例题3
甲、乙两人原有的钱数之比为6 : 5，后来甲又得到180 元，乙又得到100 元，这时甲、乙钱数之
比为3 : 2，则原来两人的钱数之和为
元。
互动题3
一个盒子里有黑色棋子和白色棋子若干粒，黑色棋子数与白色棋子数之比为11 : 7。若取出
6 粒黑色棋子，则余下的黑色棋子数与白色棋子数之比为9 : 7，那么盒子里原有的黑色棋子
粒，白色棋子
粒。
第9 讲
应用题总复习（二）
81
例题4
甲、乙两班男女学生人数比分别是8 : 7 和10 : 11，两班合并后，男、女生人数比为17 : 16，则合
并前甲、乙两班总人数比为
：
。
互动题4
有甲、乙两个棋盒，甲盒内黑白棋子数之比为5 : 8，乙盒内黑白棋子数之比为3 : 2，两个棋盒
混合在一起的黑白棋子数之比为7 : 9，则原来甲、乙两个棋盒内棋子总数之比是
:
。
笔记页
82
第9 讲
应用题总复习（二）
83
课堂巩固
1 有三个连续的整数，已知最小的数加上中间的数的两倍再加上最大的数的三倍的和是
68，则这三个连续整数是
。
A 9
10
11
B. 10
11
12
C. 11
12
13
2 某校买来7 只篮球和10 只足球共付1230 元。已知每只足球的价钱是每只篮球价钱
的2 倍少12 元，那么每只篮球和足球分别为
元和
元。
A 30
48
B. 50
88
C. 40
68
3 甲校人数比乙校人数多400 人，甲校人数的2
5 等于乙校人数的10
17，两校共有学生
人。
A 1900
B. 2000
C. 2100
学而思数学思维
目标S 班·六年级（全国版）「春」
84
4 月初，每克黄金的价格与每桶原油的价格比是3 : 5。根据图中的信息回答，月初，每克
黄金的价格是
元；每桶原油的价格是
元。
5 A、B 两校的男、女生的人数的比分别是8 : 7 和30 : 31，两校合并后，男、女生人数的比
是27 : 26，则A、B 两校合并前人数的比是
。
1120090937337
