文档文本内容
数学思维
目标A+ 班
六年级（全国版）·秋下
学而思网校教研中心 编著
前言PREFACE
学而思网校为6 ～18 岁的学生提供小学、初中、高中全学科课外学习课程。学而思网校拥
有十余年教学经验，采用在线双师直播教学模式，用AI 技术来辅助教学。学而思网校课堂互动
多，线上课程有回放，教师及时答疑，学生不满意可随时退费。
2016 年5 月，学而思网校提出“在线学习更有效”的品牌主张，并正式推出在线双师直播教
学模式，通过实时在线的互动教学、图文并茂的随堂讲义、科学的学业测评，以及教师多方位的
学习辅导，保障学生的学习效果。
2016 年7 月，
“IDO 个性化学习体系”正式上线，体系拥有动态学习报告、错题订正等功能，
为教师、学生和家长之间建立起更有效的沟通平台。2017 年7 月，
“IDO 个性化学习体系”升级
为“IDO 个性化学习体系2.0”（简称“IDO2.0”）。
“IDO2.0”拥有个性化学习任务系统（IMS），并首
次将人脸识别、语音识别、触感互动等技术引入在线课堂，让在线学习有更多可被量化的数据和
可追踪的学习轨迹，甚至有更多动手实践的机会。有效的科技手段逐渐缩小了线上线下的学习
体验差异。
2018 年，学而思网校课程体系全面升级，Amazing English、大语文、数学思维、大科学等课程
更注重对学生综合素质能力的培养。同时，学而思网校推出的故宫、音乐、魔方、儿童安全、历史
等素养类课程让学生可以多维、立体化成长。学而思网校自主研发的“AI 老师”通过自然语言处
理（NLP）、图像文字识别（OCR）等技术精准分析学生的语义、情感、笔迹等，形成完整高效的
“课堂学习链”，让在线课堂学习体验更美好，让教学更高效，学习更有效。未来，学而思网校将进
一步承担起用科技推动教育进步的重任，不断致力于教育资源的均衡发展，实现从教到育、从学
到习的全面提升。
学而思网校教研中心
目录
CONTENTS
第9 讲
眼力大考验.......................................... 2
第10 讲
做个小小工程师.................................. 18
第11 讲
体育比赛中的数学................................ 32
第12 讲
鸽巢问题........................................... 46
第13 讲
分数应用题综合.................................. 60
第14 讲
比例“天元式”..................................... 74
第15 讲
折纸中的数学..................................... 88
第16 讲
温故知新......................................... 100
第9 讲
眼力大考验
第9 讲
眼力大考验
3
学而思数学思维
目标A+ 班·六年级（全国版）「秋下」
4
第9 讲
眼力大考验
5
学而思数学思维
目标A+ 班·六年级（全国版）「秋下」
6
PART
1
基础图形类
例题1
如图，依次有
条线段、
个角、
个三角形。
例题2
数一数，下图中一共有
个三角形。
第9 讲
眼力大考验
7
想一想 ?
如果图中EF 与BC 平行，总共有多少个梯形？
例题3
下图中共有
个长方形（包含正方形）。
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8
PART
2
基础组合类
例题4
右图有
个长方形（包含正方形）。
想一想 ?
在多层组合图形计数时，可以将各层分开数，最后简单加和吗？
第9 讲
眼力大考验
9
例题5
我们可以进行总结：在下图的大长方形中，它的一条长上一共有6 个交点，能数出
条
线段；它的一条宽上有5 个交点，能数出
条线段。所以下图中一共有
个长
方形（包含正方形）。
学而思数学思维
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10
课中阅读
在课前阅读的图像中，许多用树枝勾勒出了自己、莉莉、爸爸、
妈妈和阿丘的形象。其实有很多画家非常乐于创作类似的视觉作
品，如乌克兰油画家Oleg Shuplyak 创作的超现实主义油画，就利用
了平面艺术最基本的原理作画，但通过反复的观察，同一个画面会
呈现出不同的意象。
除了大师级艺术作品，利用单纯的点、线和平面图形也能创作
出很多错觉图画。
例如经典的“咖啡墙错觉”，图像中的横向线条看起来歪歪扭
扭，实际上它们是相互平行的，不信你就拿出直尺量量看！
第9 讲
眼力大考验
11
课中阅读
再比如“栅格错觉”。当你观察下图时，会看到很多闪烁的小黑
点，再仔细看看，其实这些圆点都是白色的。
这是魔法吗？不，这只是由于人类的眼睛和大脑成像上的一
些特点而产生的现象。即便是简单的点、线和图形也会让我们产生
错觉，所以在进行复杂图形计数时，最好的方法是找到规律，利用
规律进行计数才能又快又准确哦！
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12
PART
3
组合进阶类
例题6
右图中含“⋆”的长方形（包括正方形）有
个。
想一想 ?
例4、5 数图形的方法在例6 还好用吗？
第9 讲
眼力大考验
13
例题7
图中，含有“A”的长方形（包括正方形）有
个。
例题8
右图中包含“学而思”三个字的长方形（包括正方形）有
个。
14
第9 讲
眼力大考验
15
课堂巩固
1 下图中包含了（ ）个长方形（包含正方形）。
A. 7
B. 28
C. 30
2 下图中包含了（ ）个长方形（包含正方形）。
A. 5
B. 7
C. 9
3 由20 个边长为1 的小正方形拼成的一个4×5 的长方形中有一格有“☆”。图中含有
“☆”的所有长方形（含正方形）共（ ）个。
A. 24
B. 36
C. 48
D. 60
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16
4 图中一共有
个三角形。
5 如图，数一数图中共有
个长方形（包含正方形）。
第10 讲
做个小小工程师
第10 讲
做个小小工程师
19
学而思数学思维
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20
第10 讲
做个小小工程师
21
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22
PART
1
简单工程问题
例题1
（1）许多和莉莉在读完港珠澳大桥的故事后决定自己动手搭一座大桥模型。已知大桥模型共
有120 个物块，许多单独搭建需要3 小时，莉莉单独搭建需要6 小时，则许多平均每小时
搭建
块模型，莉莉平均每小时搭建
块模型，许多和莉莉合作完成需要
小时。
（2）许多决定给建好的“大桥”涂上颜色进行装饰，许多单独涂色需要5 小时，莉莉单独涂色需
要8 小时，则许多平均每小时可以完成全部工程的
，莉莉平均每小时完成全部
工程的
，许多和莉莉合作完成需要
小时。
想一想 ?
如果没有给出模型物块的具体数量，你该怎么办？
第10 讲
做个小小工程师
23
例题2
许多家里准备装修，A 工程队6 天可以单独做完，B 工程队12 天能够单独做完。A、B 工程队合
作，则需要
天完成。
例题3
一批零件，由师徒合作需要12 天完成，由师父单独做需要15 天完成，则师父平均每天加工这
批零件的
，师徒合作平均每天加工这批零件的
，徒弟平均每天加工这批零
件的
，徒弟单独做需要
天加工完成。
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24
例题4
许多和莉莉为“奇迹号”智能机器人铺设轨道，如果由许多单独完成需要15 天，如果许多和莉
莉合作完成需要10 天，那么由莉莉单独完成需要
天。
第10 讲
做个小小工程师
25
PART
2
分工与合作
例题5
玩具加工厂需要加工一批玩具，师父单独加工12 天可以完成，现在师父和徒弟一起加工了7
天，然后让徒弟一个人接着干3 天完成了这批玩具的加工。那么，这批玩具由徒弟单独做需要
天才能完成。
例题6
一项工程，甲队单独完成需40 天。若乙队先做10 天，余下的工程由甲、乙两队合作，再干20
天即可完成。如果乙队单独完成此工程，则需
天。
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26
课中阅读
万里长城
长城（The Great Wall），又称万里长城，是中国古代的军事防
御工程，是一道高大、坚固且连绵不断的墙，用以限隔敌骑的行动。
长城不是一道单纯孤立的城墙，而是以城墙为主体，同大量的城、
障、亭、标相结合的防御体系。
2012 年6 月5 日，国家文物局在北京居庸关长城宣布，中国
历代长城总长度为21196.18 千米。这是中国首次科学、系统地测量
历代长城的总长度。由于年代久远，早期各个朝代的长城大多数都
残缺不全，保存得比较完整的是明代修建的长城，所以人们一般说
的长城指的是明长城，所称长城的长度，也就是明长城的长度。
历代修筑如此宏伟的工程时，留下了许多传说故事，其中流传
最广、影响最大的是孟姜女哭倒长城的故事。相传秦始皇为了快速
修筑长城，到处抓壮丁，孟姜女的丈夫就是万千劳工中的一员。孟
姜女日夜思念三年来杳无音信的丈夫，于是她辞别父母，决意寻找
自己的丈夫。走过千山万水，吃尽万般苦难，孟姜女沿长城一直寻
夫到达山海关，经详细打听才知丈夫两年前就已累死埋在了长城
下。孟姜女闻此嚎啕大哭，一连哭了三天三夜，眼泪溅到城墙上，轰
然一声，长城被哭出一大缺口……
同学们，假如你能穿越到秦朝，为了避免劳工疲劳作业的情况
发生，你会选择什么样的方式既能保证工作进度，又能给予劳工足
够的休息去修筑长城呢？
第10 讲
做个小小工程师
27
例题7
师徒二人合作生产一批零件，6 天可以完成任务。师父单独做了5 天，因事外出，由徒弟一个人
接着做3 天，两人共完成这批零件的7
10，则师父单独完成这批零件需要
天，徒弟单
独完成这批零件需要
天。
想一想 ?
师父、徒弟合作6 天与师父先单独做6 天，徒弟再单独做6 天有什么异同点呢？
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28
例题8
阿丘和莉莉共同完成一项课外任务需要8 小时，如果阿丘自己做4 小时后，莉莉接着单独做2
小时，两人能完成整个任务的1
3，则阿丘单独完成该课外任务时需要
小时，莉莉单独
完成该课外任务时需要
小时。
29
学而思数学思维
目标A+ 班·六年级（全国版）「秋下」
30
课堂巩固
1 一批零件，由师父单独做需15 天完成，由徒弟单独做需60 天完成，师徒合作需要
（ ）天完成。
A. 12
B. 75
C. 60
2 一项工程，由甲队单独做需6 天完成，甲、乙两队合作需4 天完成，则乙队单独做需
（ ）天完成。
A. 6
B. 10
C. 12
3 有一批零件，师父单独加工9 天可以完成，现在师父和徒弟一起加工了5 天，然后让
徒弟一个人接着干11 天完成了这批零件。那么，徒弟单独做需要（ ）天才能完
成这批零件。
A. 3
B. 7
C. 36
第10 讲
做个小小工程师
31
4 有一批货物共1500 箱，甲单独搬需要10 个小时，乙单独搬需要15 个小时，则甲平均
每小时搬
箱货物，乙平均每小时搬
箱货物。甲、乙两人一起搬平
均每小时可以搬
箱货物，需要
小时搬完。
5 甲、乙两个工程队共同完成一项工程需20 天；如果甲队干6 天、乙队干7 天则完成工
程的1
3。那么甲独立完成该工程需要
天，乙独立完成该工程需要
天。
第11 讲
体育比赛中的数学
第11 讲
体育比赛中的数学
33
学而思数学思维
目标A+ 班·六年级（全国版）「秋下」
34
第11 讲
体育比赛中的数学
35
一天的周末，许多和莉莉想一起约出去打羽毛球，没想到一向贪玩的阿丘拒绝了他们的邀
请，莉莉和许多便问道：
“阿丘，你是有什么新的安排吗？
“ 阿丘犹犹豫豫道：
“是这样的，
我被选中代表我们奇迹星球去其他星球参加星际联合赛……
”
“哇！阿丘，这是件好事儿啊！
能够代表自己的母星去参加比赛不应该自豪吗？
” 许多激动地抓住阿丘的小手，“你们比的是
什么呀？我们马上就可以开始训练了！
”
阿丘说：
“我们比谁能在最短时间内猜出不同的食物是什么，不能看，不能品尝，只能依
靠嗅觉！
＂莉莉突然笑了：
“哈哈哈…… 阿丘，这比赛比的不正是你的优势嘛，别担心！
” “可
是……据说我们的比赛采用淘汰制，也就是说一不小心，我可能就会被淘汰出局，这样岂不
是前功尽弃？
“ 阿丘紧皱眉头，“万—我过度紧张，嗅觉失灵了昵？我的实力没有发挥出来岂
不是亏大了。哎哟喂，想想就头疼！
＂莉莉和许多面面相觑，—时也不知道说什么好。
此时爸爸走了进来：
“阿丘，淘汰赛确实有可能受其他因素的影响，或许你可以向比赛主
办方申请采用—个更加周全的比赛方案——积分制。
“ 阿丘歪着脑袋：
“积分制？是什么意思
呀？
＂爸爸笑了：
“ 别急，我漫慢跟你说……”
小朋友，你听说过积分制吗？让我们—起来认识—下吧！
宣
．
＿
匡
＼
＼
`
l
＼
＼－
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36
PART
1
2-1-0 赛制
例题1
学而思要举行篮球联赛，有5 个校区参加比赛，每个区出2 个代表队。每个队都要与其他队赛
一场，那么每个队要比赛
场，一共要比赛
场。
例题2
班上四名同学进行跳棋比赛，每两名同学都要赛一局。每局胜者得2 分，平局每人各得1 分，
负者得0 分。
（1）四名同学的得分加起来一共是
分。
（2）第一名最多得
分，最少得
分，最后一名最多得
分（可以并
列）。
第11 讲
体育比赛中的数学
37
例题2
（3）已知甲、乙、丙三名同学得分分别为3 分、4 分、4 分，那么丁同学得分是
分。
想一想 ?
观察例题2 的第3 小题，我们是否需要知道每名同学的胜负情况？
例题3
甲、乙、丙、丁、戊五名同学比赛，每两名同学都要赛一局。每局胜者得2 分，平局每人各得1 分，
负者得0 分。已知甲、乙、丙、戊四名同学得分分别为8 分、5 分、2 分、2 分，那么丁同学的得分
是
分。
学而思数学思维
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38
课中阅读
最初的积分制是从2-1-0 开始的，也就是一场比赛中赢者得2
分，输者得0 分，平局双方各得1 分，这种方式在足球比赛中一直
沿用到了九零年世界杯。随着时间的推移，2-1-0 积分方式的劣势
逐渐暴露了出来，九零年意大利世界杯防守足球之风盛行，各强队
都将力量放在如何不失球、少失球上，回传门将、拖延时间等和体
育精神相违背的现象越来越严重……
为了鼓励进攻，1981 年英格兰各级联赛开始使用3-1-0 积分
制，而其他国家以及世界杯等到了1994 年之后也都采用了3-1-0
积分制，比如说联赛中任意两支球队比赛，胜者得3 分，输者得0
分，平局则各得1 分，如果两队实力相当的话当然都会更倾向于采
取激进的战术，比赛氛围也变得更加积极热烈。
第11 讲
体育比赛中的数学
39
PART
2
3-1-0 赛制
例题4
甲、乙、丙、丁四个足球队进行单循环比赛，每两队都要赛一场。胜队得3 分，负队得0 分，如果
踢平，每队各得1 分。
（1）四个队的得分总和最多
分，最少
分。
（2）第一名最多得
分，最少得
分。（可以并列）
（3）已知甲、乙、丙、丁四队得分分别为7 分、4 分、4 分、1 分，所有比赛中共有
场平
局。
想一想 ?
在3-1-0 积分制中，每场比赛的总分是不变的吗？
学而思数学思维
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40
例题5
7 支球队进行联赛，采用单循环赛制，胜一场积3 分，负一场积0 分，平局各得1 分。所有比赛
结束后，7 支球队总分为55 分。那么所有比赛中一共有
场平局。
例题6
6 支球队进行足球比赛，每两支球队之间都要赛一场，规定胜一场得3 分，平一场各得1 分，负
一场不得分。全部比赛结束后，发现共有4 场平局，且其中5 支球队共得了31 分，则第6 支球
队得了
分。
第11 讲
体育比赛中的数学
41
PART
3
逻辑推理
例题7
A、B、C、D、E 五位同学进行象棋比赛，每两人都要比赛一盘。到现在为止，A 已经赛了4 盘，B
赛了3 盘，C 赛了2 盘，D 赛了1 盘，则此时E 同学赛了
盘。
例题8
有甲、乙、丙、丁四支球队参加足球循环赛，每两队都要赛一场，胜者得3 分，负者得0 分，如果
踢平，两队各得1 分。现在甲、乙、丙分别得了7 分、1 分和6 分，若已知甲和乙踢平，那么丁得
分。
想一想 ?
在例题8 的场景中，某支队伍可能得到8 分吗？可能得到3 分吗？你能列举出哪些胜负情况？
42
第11 讲
体育比赛中的数学
43
课堂巩固
1 某区小学生篮球比赛，抽签分成a、b 两组，第一轮采用组内单循环赛，a 组8 个队一共
要赛（ ）场。
A. 7
B. 56
C. 4
D. 28
2 五个人进行象棋比赛，每两个人都要比赛一盘，胜者得2 分，负者不得分，平者各得1
分。共进行了
场比赛，五个人的总得分是
分。（ ）
A. 10,20
B. 20,10
C. 20,20
3 七个人进行象棋单循环赛，规定胜者得2 分，负者得0 分，和棋双方各得1 分。比赛
结束后，七个人的得分加起来一定是（ ）分。
A. 20
B. 63
C. 42
学而思数学思维
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44
4 在中国象棋比赛中，每局比赛有胜、平、负三种结果：获胜得2 分，战平得1 分，失败得
0 分。现在6 个人进行单循环赛后，已知其中五个人的分数分别是7、6、5、4、3 分，那
么最后一个人的分数是
分。
5 甲、乙、丙、丁四个足球队进行单循环赛，即每两个队之间都要比一场，胜者得3 分，负
者得0 分，平者各得1 分。比赛结束后，甲队共得6 分，乙队共得4 分，丙队共得2 分，
其中共有2 场平局，那么丁队共得
分。
第12 讲
鸽巢问题
第12 讲
鸽巢问题
47
学而思数学思维
目标A+ 班·六年级（全国版）「秋下」
48
第12 讲
鸽巢问题
49
学而思数学思维
目标A+ 班·六年级（全国版）「秋下」
50
PART
1
简单鸽巢问题
例题1
一共有4 只鸽子，不过只有3 个鸽子笼。
大家和许多一起试一试，看看4 只鸽子，3 个鸽巢（鸽子笼），有多少种可能的情况。（三个笼子
完全一样，不考虑顺序）
我们帮许多来分析一下这几种情况：无论哪种情况，总是
（存在／不存在）一个鸽
巢，里面至少有两只鸽子。
第12 讲
鸽巢问题
51
例题2
如果是6 只鸽子，5 个鸽巢呢？最多的那个鸽巢里的鸽子数有
种情况，这些情况中，
最少的有
只鸽子。
想一想 ?
一定要有鸽子和鸽巢才算鸽巢问题吗？
学而思数学思维
目标A+ 班·六年级（全国版）「秋下」
52
课中阅读
狄利克雷小传
实际上，鸽巢问题最早是由德国数学家狄利克雷提出来的，所
以也叫狄利克雷原理。大家对于狄利克雷这个名字可能感到很陌
生，实际上，这位大数学家还是很多数学家的老师呢！
约翰·彼得·古斯塔夫·勒热纳·狄利克雷于1805 年出生在德国
迪伦。狄利克雷的父亲是个邮局局长，他有七个子女，狄利克雷是
他的小儿子。狄利克雷自幼喜欢数学，经常用攒下来的零花钱买数
学书看。
狄利克雷的父母希望他学习法律，将来做一名优秀的商人，但
他表示，自己更想学习数学。他的父母被说服了，支持他攻读数学。
当时的德国并没有教授高等数学的学校，于是狄利克雷准备去法
国学习数学。1822 年，他来到法国巴黎，当时的巴黎是欧洲数学的
中心，一批赫赫有名的数学家都聚集在了巴黎，他们中有拉普拉斯、
勒让德、傅里叶、泊松、拉克鲁瓦等。从小对数学的热爱和对数学知
识的积累，使狄利克雷在20 岁的时候就已经解决和完善了当时一
些著名的数学难题，23 岁时就被聘请为柏林大学的教授！
狄利克雷一生的数学成就非常高，更为难得的是，他还是个好
老师。他讲课清晰、思想深邃、为人谦逊、谆谆善诱，培养了一批优
秀的数学家，为德国在19 世纪后期成为国际上又一个数学中心提
供了巨大帮助。而我们刚刚试验过的鸽巢问题，被他总结成原理并
且用在了非常高深的地方。所以我们现在学习的知识，都是在为我
们将来研究更加高深的知识做铺垫呢！说不定下一个大数学家就
产生在我们中间！
第12 讲
鸽巢问题
53
PART
2
复杂鸽巢问题
例题3
（1）4 个苹果放入三个盘子里，苹果数最多的盘子里至少有
个苹果；
（2）7 个苹果放入三个盘子里，苹果数最多的盘子里至少有
个苹果；
（3）10 个苹果放入三个盘子里，苹果数最多的盘子里至少有
个苹果。
想一想 ?
如果是11 个苹果放入三个盘子里，苹果数最多的盘子里至少有多少个苹果？
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54
例题4
许多又想起了家里养的金鱼。家里有11 条金鱼和4 个鱼缸，他去观察了一下，发现鱼数量最
多的鱼缸里面至少有
条鱼。
例题5
在西方占星学上，星座是宇宙方位的代名词，人的星座由其出生日期决定，那么任意100 人中
人数最多的一个星座至少有
人。（星座数量按12 个计算）
第12 讲
鸽巢问题
55
PART
3
最不利原则
例题6
（1）许多第二天在上学路上对莉莉说：
“咱们在路上至少遇到
人，就能保证至少有2
人生肖一样！”
（2）啦啦队有28 名同学，至少要准备
套队服，才能保证至少有一名队员能分到三套
队服。
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56
例题7
许多有蓝、白、灰的袜子各一双，但是都堆在了一起。那么他至少要拿
只袜子，才能
保证凑出一双同色的袜子出来。
例题8
一副扑克牌共54 张，其中1 ∼13 点分别有四种花色，此外还有两张王牌。至少要取出
张牌，才能保证其中必有2 张牌点数相同。（两张王牌点数不同）
57
学而思数学思维
目标A+ 班·六年级（全国版）「秋下」
58
课堂巩固
1 6 个小朋友分配5 天的值日任务，那么至少有（ ）个小朋友在同一天做值日。
A. 2
B. 3
C. 4
2 18 个小朋友中，至少有（ ）个小朋友在同一个月出生。
A. 18
B. 9
C. 2
3 从红、黄、蓝、紫四种颜色各2 枝的花中，至少取出（ ）枝花，才能保证必有两枝同
色的花。
A. 4
B. 6
C. 5
第12 讲
鸽巢问题
59
4 在一副扑克牌中有一张大王、一张小王以及四种花色，每个花色有13 张牌，点数分别
是“A、2、3、4、5、6、7、8、9、10、J、Q、K”。莉莉想要保证能抽出两张花色相同的牌，她最
少需要抽出
张牌。（大、小王花色不同）
5 一个口袋里装有5 种颜色的珠子，每种颜色100 粒，共500 粒。如果你闭上眼睛，至
少取出
粒珠子才能保证其中有5 粒颜色相同。
第13 讲
分数应用题综合
第13 讲
分数应用题综合
61
学而思数学思维
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62
第13 讲
分数应用题综合
63
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64
PART
1
单位“1”不变
例题1
如图是许多在电脑上加载预习视频的过程示意图。电脑显示，加载视频一共需要35 秒，照这样
的速度，许多还要等
秒才能下载完这份视频。
例题2
五年级二班有男生28 人，占全班人数的4
7，全班共有
人。
第13 讲
分数应用题综合
65
例题2
（2）甲数的2
3 是36，乙数的3
2 是36，则甲数为
，乙数为
。
例题3
某人将他所有钱的1
3 给了他的儿子，1
5 给了他的女儿，剩下的钱全给了他的妻子。若他的妻子
得到35000 元，则此人原来有
元。
想一想 ?
在上面的题目中，单位“1”都分别是什么？
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66
课中阅读
少者多之始，一者数之母
在数学发展历程的开始，人们都是通过具体的物体和对应的
数量来理解数的，分数中单位“一”和比例的概念对古人来说犹如
天书。随着社会的发展，古代人民需要将不同物品进行等价抵换，
逐渐出现了比与率的数学思想。被历代数学家尊为“算经之首”的
《九章算术》中就很好地体现了分率的思想及应用。
刘徽在《九章算术注·方田》中给出了较为明确的“率”的定义:
“凡数相与者谓之率。率者，自相与通。有分则可散，分重叠则可约
也。”这句话的意思是：一组成比例关系的数可称之为率，率与实物
是相对应的。两个数可以同乘一个数，还可以同时除以公因数。在
这里面率与实物是通过单位“一”实现等价对应的。
再比如刘徽在《九章算术注·粟米》中解释说：
“少者多之始，
一者数之母，故为率者必等之于一。据粟率五、粝率三，是粟五而
为一，粝米三而为一也。欲化粟为米者，粟当先本是一。”这段话是
指：少是多的基础。一是其他数的基础。想要弄清楚两个量之间的
关系，先要找到两个量与单位“一”之间的对应关系。比如粟率五，
粝率三，就是说五份粟等于“一”，三份粝等于“一”，想要实现从粟向
粝米的转化，需要先把粟米转化成单位“一”。单位“一”是量率对应
的基础。
第13 讲
分数应用题综合
67
课中阅读
这里的“一”已经不是数字上的一，而是一种具体数到抽象单
位的转化，否则“五等于一，三等于一”的说法是没有意义的。在这
样一种率的概念基础上，刘徽还首创了著名的“割圆术”。由此可见，
抽象的数学思想可以帮助我们深入研究更深奥的问题，小到生活，
大到宇宙。
小朋友，通过本节课的学习，你能够理解抽象的单位“1”了吗？
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68
PART
2
单位“1”改变
例题4
一根长为60 厘米的木杆，第一次截去了全长的1
2，第二次截去所剩木杆的1
3，这时所剩木杆长
为
厘米。
例题5
莉莉带着200 元钱去购物，买文具花掉1
10，买衣服花掉剩下的2
3，莉莉还剩（ ）元。
A. 120
B. 60
C. 180
第13 讲
分数应用题综合
69
例题6
小红完成一本暑假作业，第一次完成了全部的1
2，第二次完成所剩作业的1
3，第三次完成所剩
作业的1
4，第四次完成所剩作业的1
5，这时所剩作业还有6 页。这本作业一共
页。
例题7
有一盒巧克力饼干，阿丘第一天吃掉了全部的1
7；第二天吃了余下的1
6；第三天吃了余下的1
5；
第四天吃了余下的1
4；第五天吃了余下的1
3；第六天吃了余下的1
2；这时还剩下12 块巧克力饼
干，那么原来共有
块巧克力饼干。
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例题8
（1）某校男生比女生多3
7，女生比男生少几分之几？
（2）甲比乙多3
5，乙是甲的
，乙比甲少
。
71
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72
课堂巩固
1 判断题：7 米的1
8 与8 米的1
7 一样长。（ ）
A. 正确
B. 错误
2 一列火车从A 地开往B 地，已经行驶了全程的3
5，离B 地还有100 千米。A、B 两地
之间的铁路长（ ）千米。
A. 100
B. 250
C. 300
3 一本故事书共135 页，第一天和第二天共看了全书的2
5 ，若第三天接着看，应从第（ ）
页看起。
A. 55
B. 54
C. 53
第13 讲
分数应用题综合
73
4 一个袋子中装着100 个红球，第一次拿出3
5，第二次拿出剩下的1
2，则袋子中还剩下
个红球。
5 有一盒巧克力饼干，阿丘第一天吃掉了全部的1
7；第二天吃了第一天余下的1
6。这时
还剩下15 块巧克力饼干，那么原来共有
块巧克力饼干。
第14 讲
比例“天元式”
第14 讲
比例“天元式”
75
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76
第14 讲
比例“天元式”
77
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78
PART
1
正比例与反比例
例题1
励志面粉厂用100kg 小麦可以磨出76kg 面粉。照这样计算，这个面粉厂一次运进40t 小麦，可
以磨出
t 面粉。
想一想 ?
例题1 中的单位需要统一吗？
例题2
天天服装厂4 天加工240 套童装，照这样计算，要生产720 套这样的童装，需要
天。
第14 讲
比例“天元式”
79
例题3
一辆汽车从A 地开往B 地，平均每小时行驶72 千米，5 小时到达。返回时，每小时的平均速度
比原来快了1
4，返回时用了
小时。
想一想 ?
如果例题3 没有给出去时的速度，你还会解吗？
例题4
修路队抢修一段公路，原计划每天修80km，12 天修完。实际前2 天修了240km，按照这样的速
度，实际一共用
天可以修完这段公路。
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80
课中阅读
大多数古希腊雕像都是八头身，希腊雕塑家Lisippos 认为人体
最美的比例是头部占身高的八分之一。虽然时髦体型的比例始终
在变化，但至今这种身高为8 个头全高的比例仍被看作是完美体
型的审度标准。不过问题又来了，生活中我们不是常常说九头身美
女吗？那究竟是九头身完美还是八头身完美呢？其实我们平时所说
的九头身指的是身高÷ 面全高= 9，所以说人们一直说的“九头
身”其实是九脸身。如果这样算的话，八头身和“九头身”就可以近
似成一样的完美比例了。
第14 讲
比例“天元式”
81
课中阅读
其实，除了身高上的比例，面部也是存在着比例的。人们常用
三庭五眼、四高三低来描述标准脸型，不符合这个比例就会与理想
的脸型产生距离。其实，三庭是对于脸部长度的标准，五眼是对于
脸部宽度的标准，四高三低是对于脸部凹凸结构的标准。其实现如
今在“三庭五眼”的基础上还出现了一个更为精确的标准，如果你
感兴趣的话就自己查查看吧。当然，对于“美”是不应该存在唯一标
准的, 审美是多元的。每一个人都有着不一样的美好。现在请你把
尺子拿出来，量一量自己的身高比例和面部比例吧！
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82
PART
2
变比问题
例题5
厨房里原有苹果和橘子的个数之比为3 : 4，妈妈又买了7 个苹果，此时苹果和橘子的个数之比
变为了4 : 3，那么厨房里原有苹果
个、橘子
个。
例题6
科技小组男生和女生的人数比为2 : 3，之后又来了5 名男生，此时男女生人数比为3 : 2，那么
科技小组原有男生
人、女生
人。
第14 讲
比例“天元式”
83
例题7
（1）一班和二班的人数之比是8 : 7，如果将一班的8 名同学调到二班去，那么一班和二班的人
数比就会变为4 : 5。原来一班有
人，二班有
人。
（2）甲、乙两校参加趣味数学大赛的人数之比是7 : 8，获奖人数之比是2 : 3，两校各有320 人未
获奖，那么两校参赛的学生共有
人。
例题8
4 年前，爸爸和儿子的年龄比为5 : 2，今年，他们的年龄比变为了11 : 5，那么现在爸爸
岁，儿子
岁。
84
第14 讲
比例“天元式”
85
课堂巩固
1 小明在操场上插了几根长短不同的竹竿，在同一时间测量竹竿长和相应的影长，情况
如表中所示。这时，小明身边的王强测量出了旗杆的影长是6 米，可推算出旗杆的实
际高度是（ ）。
A. 12 米
B. 3 米
C. 9 米
D. 6 米
2 同学们做操，每行站20 人，正好站18 行。如果每行站24 人，可以站（ ）行。
A. 15
B. 20
3 许多和莉莉身上的钱数之比为3 : 2，妈妈又给许多4 元钱后，许多与莉莉的钱数之比
变成8 : 5，则莉莉身上有（ ）元钱。
A. 25
B. 40
C. 55
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86
4 二班男女生人数比为8 : 5，转来2 名女生后，男女生人数比变为3 : 2，那么现在全班
有
人。
5 A、B 两种商品的价格比是7 : 3，如果它们的价格都各自上涨70 元，那么它们的价格比
就变为7 : 4，A 种商品原来的价格是
元，B 种商品原来的价格是
元。
第15 讲
折纸中的数学
第15 讲
折纸中的数学
89
学而思数学思维
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90
我们身边的白银长方形——A、B、C 打印纸纸张尺寸中的秘密。
国际标准化组织的 ISO 216 定义了目前世界上大多数国家所使用纸张尺寸的国
际标准。
ISO 216
I
A
SO 216
I
B
SO 216 C
A0
841×1189
594×841
420×594
297×420
210×297
148×210
105×148
74×105
52×74
37×52
26×37
1000×1414
707×1000
500×707
353×500
250×353
176×250
125×176
88×125
62×88
44×62
31×44
917×1297
648×917
458×648
324×458
229×324
162×229
114×162
81×114
57×81
110×220
81×162
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
A10
B0
B1
B2
B3
B4
B5
B6
B7
B8
B9
B10
C0
C1
C2
C3
C4
C5
C6
C7
C8
DL
C7/6
数据上的分析
第15 讲
折纸中的数学
91
A4 纸的面积是
平方毫米，如果将它变成面积相同的正方形，则正方形的边长约为
毫米。（保留整数）
2、计算器上有一个像对勾的符号，你发现了吗？
%
x2
x
1
尝试计算一下：
1、可以用计算器算一算：
420×594=
500×707=
1189÷2=
841÷2=
52×74=
62×62=
互动题1
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92
下图是一个边长是 105 毫米的正方形，图中深色三角形的面积是 平方毫米，这个正方
形的对角线长度约是 毫米。（保留整数）
一个正方形的边长是 44 毫米，它的对角线长度是
毫米。（保留整数）
互动题2
第15 讲
折纸中的数学
93
1、三张 A4 打印纸组合
中间形成的三角形的周长是
毫米。（保留整数）
1
2
3
打印纸的神操作
互动题3
学而思数学思维
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94
2、一张打印纸的证明
法一：取正方形折法
法二：白银长方形沿长边中点连线对折分成的两个长方形依然是白银长方形。
第15 讲
折纸中的数学
95
我们刚刚折叠的折痕中，如图标注的角是
度。
互动题4
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96
A4 纸折叠——A4 四面体
第15 讲
折纸中的数学
97
翻转的花环（连体四面体）
4
第16 讲
温故知新
第16 讲
温故知新
101
学而思数学思维
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102
PART
1
几何综合
例题1
如图，这是一个长为9、宽为4 的网格，每一个小格都是一个正方形。那么：
（1）从中可以数出
个长方形（包括正方形）；
（2）从可以数出包含黑点的长方形（包括正方形）有
个。
第16 讲
温故知新
103
例题2
一个圆柱的底面半径为2 厘米，高为5 厘米，那么它的侧面积是
平方厘米，表面积是
平方厘米，体积是
立方厘米。（π 取3.14）
例题3
一个底面积是51dm2、高是5dm 的圆柱形钢坯能熔铸成
个和它等底等高的圆锥，每
个圆锥的体积是
dm3。
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104
PART
2
计算应用
例题4
把100 个苹果放在13 个抽屉里，放苹果最多的抽屉里至少有
个苹果。
例题5
一项工程，甲单独做需要28 天时间，乙单独做需要21 天时间。如果甲、乙合作完成，则需要
天。
第16 讲
温故知新
105
例题6
一捆电线第一次剪去全长的1
4，第二次剪去剩下的1
3，第三次剪去前两次剩下的1
2，最后剩余
10 米，这捆电线原长
米。
例题7
将75% 的酒精溶液32 克稀释成浓度为40% 的稀酒精，需加入水
克。
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106
例题8
一件商品的利润率是30%，此时若提高20% 的售价，则利润率变为（ ）。
A. 50%
B. 56%
C. 44%
D. 60%
第16 讲
温故知新
107
课堂巩固
1 下面是一个圆柱的展开图，这个圆柱的表面积是（ ）cm2。（π 取3.14）
A. 37.68
B. 7.065
C. 14.13
D. 51.81
2 一个圆柱的高是7.5 分米，底面半径是10 厘米，它的体积是（ ）立方厘米。（π 取
3.14）
A. 2355
B. 23550
C. 2.355
D. 0.2355
3 一项工程，甲单独做需要28 天时间，如果甲要完成工程的1
4，需要（ ）天。
A. 7
B. 112
学而思数学思维
目标A+ 班·六年级（全国版）「秋下」
108
4 新华书店运进一批科普读物，前两天卖出总数的7
12，第三天卖出剩余书的2
5，最后还
有1000 本没有卖出，则这一批科普读物共有
本。
5 杯子中有浓度为5% 的盐水150 克，那么其中含有
克盐。
备用页
1120031618593
