文档文本内容
数学思维
目标A+ 班
六年级（全国版）·秋上
学而思网校教研中心 编著
前言PREFACE
学而思网校为6 ～18 岁的学生提供小学、初中、高中全学科课外学习课程。学而思网校拥
有十余年教学经验，采用在线双师直播教学模式，用AI 技术来辅助教学。学而思网校课堂互动
多，线上课程有回放，教师及时答疑，学生不满意可随时退费。
2016 年5 月，学而思网校提出“在线学习更有效”的品牌主张，并正式推出在线双师直播教
学模式，通过实时在线的互动教学、图文并茂的随堂讲义、科学的学业测评，以及教师多方位的
学习辅导，保障学生的学习效果。
2016 年7 月，
“IDO 个性化学习体系”正式上线，体系拥有动态学习报告、错题订正等功能，
为教师、学生和家长之间建立起更有效的沟通平台。2017 年7 月，
“IDO 个性化学习体系”升级
为“IDO 个性化学习体系2.0”（简称“IDO2.0”）。
“IDO2.0”拥有个性化学习任务系统（IMS），并首
次将人脸识别、语音识别、触感互动等技术引入在线课堂，让在线学习有更多可被量化的数据和
可追踪的学习轨迹，甚至有更多动手实践的机会。有效的科技手段逐渐缩小了线上线下的学习
体验差异。
2018 年，学而思网校课程体系全面升级，Amazing English、大语文、数学思维、大科学等课程
更注重对学生综合素质能力的培养。同时，学而思网校推出的故宫、音乐、魔方、儿童安全、历史
等素养类课程让学生可以多维、立体化成长。学而思网校自主研发的“AI 老师”通过自然语言处
理（NLP）、图像文字识别（OCR）等技术精准分析学生的语义、情感、笔迹等，形成完整高效的
“课堂学习链”，让在线课堂学习体验更美好，让教学更高效，学习更有效。
未来，学而思网校将进一步承担起用科技推动教育进步的重任，不断致力于教育资源的均
衡发展，实现从教到育、从学到习的全面提升。
学而思网校教研中心
阿丘剧场角色介绍
汪大
哈士奇品种，偶尔蹦出来几句东北话。大块头男生，喜欢运
动，但性格暴躁，总是爱捣乱。
汪三
法斗犬品种，贪吃的小胖子，特别爱吃，大头短腿，最不
靠谱，反应总是慢半拍。他看见任何物品都可以和食物建立联
系，衣着和用品全是食物外形。
兜兜鼠
舞台工作人员。卖萌的小仓鼠，集各种工种于一身，场务、灯
光、摄像、道具等等，胆小又喜欢偷懒，很少说话，经常发呆
或者偷懒导致舞台出现各种意外。
汪二
博美犬品种，汪中女神，声音很嗲。受到过高等的礼仪训练，
总是表现出高贵的姿态，但有时内心也会暴躁，变身女汉子。
侦探阿丘
话剧剧场的主持人。偶尔在台上会偷吃东西，但顾及自己
主持人的形象，也会及时调整变成小班长的样子。喜欢耍酷耍
帅，最喜欢小朋友的崇拜和赞扬。
目录
CONTENTS
第1 讲
分数中的多米诺.................................... 2
第2 讲
24K有多纯......................................... 20
第3 讲
打折季.............................................. 40
第4 讲
生理盐水的秘密.................................. 60
第5 讲
变形舞台........................................... 78
第6 讲
数学宝塔诗........................................ 98
第7 讲
定制我的专属可乐.............................. 116
第8 讲
3D 打印的材料库............................... 136
阿丘学堂参考答案................................................ 154
第1 讲
分数中的多米诺
01 分数中的多米诺
第1 讲
分数中的多米诺
3
课前阅读
《九章算术》是中国数学史上的瑰宝，其中《方田》中描述了合分术、减
分术、乘分术和经分术以解决生活中的实际问题。其本质就是分数加法、分数
减法、分数乘法和分数除法。让我们来看一下《方田》中描述的一个问题。
你能读懂什么意思吗？自己按照合分术的方法试试看吧！
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4
本讲教学目标
1
能够快速、准确地进行分数的加、减、乘、除和四则运算；
2
能够将运算定律从整数拓展到分数，完成分数巧算；
3
能够在分数乘法中熟练利用连锁约分完成计算。
重难点易错点
1
运算定律在分数中的应用
2
连锁约分
第1 讲
分数中的多米诺
5
知识导图
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6
PART
1
分数巧算
例题1
（1）1
8 + 2
15 + 7
8 + 13
15 =
（2）7
12 −
(3
4 −5
12
)
=
例题2
4
3 + 5
19 −
(1
3 −14
19
)
=
第1 讲
分数中的多米诺
7
例题3
计算：
（1）
(2
3 + 1
6 −3
8
)
×24 =
（2）15
32 ×24+8× 15
32 =
例题4
计算：
（1）
(3
4 + 1
6 −5
8
)
×24 =
（2）4
15 × 3
7 + 4
15 × 4
7 =
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8
例题5
41
150 ÷ 19
9 + 41
150 ÷ 19
29 =
第1 讲
分数中的多米诺
9
PART
2
连锁约分
例题6
1
2 × 2
3 × 3
4 ×···× 48
49 × 49
50 =
例题7
11
2 ×11
3 ×11
4 ×···×1 1
18 ×1 1
19 ×1 1
20 =
想一想 ?
碰到带分数要怎么办？
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10
课中阅读
你玩过多米诺骨牌吗？多米诺骨牌的游戏规则非常简单，将骨
牌按一定间距排成单行，或分行排成一片。推倒第一张骨牌，其余
骨牌会发生连锁反应依次倒下，或形成一条长龙，或形成一幅图案。
骨牌撞击之声，清脆悦耳；骨牌倒下之时，变化万千。
那么请你观察一下，我们解决例6、例7 的方法和多米诺骨牌
推倒的过程有没有相似的地方。首先，这些算式的长度堪比摆好的
骨牌的长度，如果我们从头到尾挨个计算的话肯定是一件麻烦的
事情，但是我们用约分的方法使其分子和分母之间发生了神奇的
“多米诺”效应，就让这个看起来很复杂的题目迎刃而解。
因此，以后你遇到看起来很难的问题千万不能有畏难心理，这
些问题往往是“纸老虎”，只要我们认真观察和分析，找到巧妙的解
决方法，就能轻松地打败这些“纸老虎”。
第1 讲
分数中的多米诺
11
例题8
70÷11
3 ÷11
4 ÷11
5 ÷···÷1 1
19 ÷1 1
20 =
笔记页
12
第1 讲
分数中的多米诺
13
课堂巩固
1 计算：3
5 + 5
2 + 2
5 + 3
2 =
2 计算：102
3 −3 7
19 +21
3 −112
19 =
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14
3 计算：
(2
3 + 3
4
)
×12 =
4 计算：7
11 ×5+ 7
11 ×6 =
第1 讲
分数中的多米诺
15
5 计算：101× 1
3 × 3
5 × 5
7 ×···× 99
101 =
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16
阿丘学堂
1. 计算：102
3 −3 5
19 −2 2
19 −112
19 =
2. 计算：11 5
12 +2 5
18 −
(
1 5
18 −7
12
)
=
3. 计算：24×
(2
3 −1
8
)
=
第1 讲
分数中的多米诺
17
4. 计算4
9 ×23× 3
4 = 4
9 × 3
4 ×23 时运用了（ ）。
A. 乘法交换律
B. 乘法结合律
C. 乘法分配律
5. 12×
(1
4 + 1
3
)
= 3+4 = 7，这是根据( ) 计算的。
A. 乘法交换律
B. 乘法分配律
C. 乘法结合律
D. 乘法交换律和乘法结合律
6. 计算：7
12 ×11+ 7
12 =
7. 计算：
(3
8 + 2
3
)
÷ 1
24 =
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18
8. 9
25 × 7
27 ×50 =
9. 1
2 × 2
3 × 3
4 × 4
5 × 5
6 × 6
7 ×···× 99
100 =
10. 11
2 ×11
3 ×11
4 ×11
5 ×11
6 ×11
7 ×11
8 ×11
9 =
第2 讲
24K有多纯
02 24K 有多纯
第2 讲
24K有多纯
21
课前阅读
什么是24K金？24K金就是纯金，也就
是说它的含金量是100%。理论上100%的金才能称为
24K金，但在现实中不可能有100%的黄金，所以中国规定：含
金量达到99.96%以上(含99.96%)的黄金则称为24K金，也叫千足金。
社会上对24K金的认识就是千足金。
“K”用来形容黄金的纯度，国家标准GB11887-89规定：每开(英文carat、德文
karat的缩写，写作K)含金量是4.166%。我们常见的14K、18K、22K、24K的含金
量如下：
14k =14×4.166% =58.324%
18k =18×4.166% =74.998%
22k =22×4.166% =91.652%
24k =24×4.166% =99.984%
像上面这样的数，如100%、99.6%、58.324%……就
叫做百分数，那么今天这节课我们就来认识一
下百分数，看看24K到底有多纯！
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22
本讲教学目标
1
认识百分数，熟练掌握百分数、分数、小数的互化；
2
会求一个数的百分之几；
3
会根据一个数的百分之几是多少，反求这个数。
重难点易错点
1
百分数、分数、小数的互化
2
百分数应用题中各个量之间的关系
第2 讲
24K有多纯
23
知识导图
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24
PART
1
百分数的认识
百分数在生活中应用十分广泛，只要我们留意就会有不同的发现......
课前我们提到的100%、99.6%、58.324% 都带有“%”，像这样的数，叫做百分数。
“%”是百分号。
那么怎么读写百分数呢？
百分数的读法：先读“%”，读作“百分之”，再读数。例如：36% 读作百分之三十六。
79% 读作：
26.4% 读作：
写出下面的百分数：
百分之五十三写作：
百分之六十七点五四写作：
第2 讲
24K有多纯
25
例题1
学校组织投篮比赛，许多、亮亮、大雄三人都报了名，不过只能选一个同学。班长收集了他们某
天的训练数据：
我们该选谁去参加投篮比赛呢？
想一想 ?
命中率该如何计算呢？可不可以有其他的表示方式呢？
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26
例题2
(
)
(
) = 0.28 =
%
7
10 =
=
%
(
)
(
) =
= 60%
例题3
判断对错：
（1）因为3
5 = 60%，所以3
5 米= 60% 米。(
)
（2）一根绳子长1 米，截去55%，还剩45% 米。(
)
（3）在0.25 的后面添上百分号，这个数就扩大100 倍。(
)
第2 讲
24K有多纯
27
课中阅读
百分数可以用来表示两个量之间的关系，其实分数也有这个
作用，那为什么还会产生百分数呢？先读下面这段报道：
“智能手机仍然是在线购物的首选设备，占访问量的48.3% 以
及营收的27.2%，预计手机类别的电商销售额将增长11.6%。然而，
由于结账体验不够理想，在M 端上完成的购物车订单要比在PC
端少20%。Adobe 估计，这一差距相当于90 亿美元的移动销售额。
另外，平板电脑的销量正在下降，仅占网站访问量的8.8%，低于4
年前的30%，而且仅占销售额的9.6%。”
如果把其中的百分数换成分数，再来读一下：
“智能手机仍然是在线购物的首选设备，占访问量的483
1000 以
及营收的34
125，预计手机类别的电商销售额将增长29
250。然而，由
于结账体验不够理想，在M 端上完成的购物车订单要比在PC 端
少1
5。Adobe 估计，这一差距相当于90 亿美元的移动销售额。另
外，平板电脑的销量正在下降，仅占网站访问量的11
125，低于4 年
前的3
10，而且仅占销售额的12
125。”
读完之后有什么感受呢？是不是百分数更加简洁一些，所以在
工农业生产、科学技术以及实验等场景中，百分数比分数应用的更
广泛。
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28
PART
2
百分数的应用
例题4
某小学六年级有学生150 人，已达到《国家体育锻炼标准》（儿童组）的有140 人。该学校六
年级学生的达标率是
%。（结果保留一位小数）
例题5
（1）兴化社区60 岁以上的老人有150 人，其中缴纳社会养老保险的人数占98%，这些老人中
缴纳社会养老保险的有
人。
（2）希望小学2016 年有50 名学生得到了捐赠的电脑，占全校学生总数的25%。希望小学全校
有学生多少名？
第2 讲
24K有多纯
29
例题6
有一堆水泥，运走25%，还剩3 吨，这堆水泥原有（ ）吨。
A. 6
B. 1
C. 4
例题7
160kg 增加15% 后是
kg。400m 减少20% 后是
m。
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30
例题8
一种商品，原来每件售价800 元，公司调整销售策略，先降价20% 销售，一个月后再涨价20%，
再次涨价后每件售价
元。
想一想 ?
如果是先涨价20%，再降价20%，最后比售价贵还是便宜呢？
笔记页
31
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32
课堂巩固
1 关于百分数下列表述不正确的是( )。
A. 一根绳子长65% 米
B. 百分数的分子可以是整数也可以是小数
C. 百分数表示一个量是另一个量的百分之几
2 把1
6 化成百分数约是( )。
A. 0.167%
B. 1.67%
C. 16.7%
D. 167%
第2 讲
24K有多纯
33
3 六年级（1）班有50 名学生，某日49 人出勤，这天的出勤率是
%。
4 六年级（1）班有50 名学生，某日2 人请假，这天的出勤率是（ ）。
A. 50%
B. 100%
C. 96.2%
D. 96%
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34
5 一条裤子180 元，一件上衣比这条裤子贵20%，这件上衣的价格是裤子的
%，
这件上衣
元。
第2 讲
24K有多纯
35
阿丘学堂
1. 将下列百分数化成最简分数。
20% =
；30% =
；
25% =
；12% =
。
2. 将下列小数化成百分数：
0.38 =
% 1.56 =
%
0.083 =
% 0.7 =
%
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36
3. 7
8 =
% =
(第二个空转化为小数)
4. 六（3）班某次数学测试成绩如图，全班通过率是100%，全班的优秀率是
%。
第2 讲
24K有多纯
37
5. 默读古诗《春》：春水春池满，春进春草生。春树绽春蕊，春雨伴春风。春人饮春酒，春鸟弄
春色。作者在这首诗中放情吟春，神采飞扬。全诗共30 字，其中“春”字出现的特别多。请
算一算，
“春”的字数占全诗总字数的百分之几？（不含标题）
6.（1）小麦的出粉率是85%，425kg 小麦可磨出面粉
kg。
（2）小麦的出粉率是85%，一个加工厂磨出425kg 面粉，用了
kg 小麦。
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38
7. 如图是电脑软件安装的进度图，如果安装这个软件共需要3 分钟，那么，还要
分
钟才能安装完这个软件。
8. 根据下面的线段图求解。
第2 讲
24K有多纯
39
9. 看图列式计算。
10. 看图列式计算。
第3 讲
打折季
03 打折季
注：本讲所有利润率均为成本利润率
第3 讲
打折季
41
课前阅读
美国的圣诞节大采购一般是从感恩节之
后开始的。感恩节是每个11月的最后一个星期四。因此
它的第二天，也就是11月的最后一个星期五成为了美国人大采
购的第一天。从这一天开始，美国的商场都会推出大量的打折和优惠
活动，以在年底进行最后一次大规模的促销。美国的商场一般以红笔记录赤
字，以黑笔记录盈利，而感恩节后的这个星期五，人们疯狂的抢购使得商场利
润大增，因此被商家们称作“黑色星期五”。商家期望通过从这一天开始的圣诞大
采购为这一年获得最多的盈利。而很多新商品也会在这一天发布，以获得最好的市场
反应。
生活中你见过哪些折扣形式呢？下面这些价格标签，你能明白其中的意思吗？
商店常见的降价出售商品的活动，叫做打折扣销售，俗称“打折”。几折就
表示十分之几，比如“五折”就是原价的十分之五。“打折”问题和我
们之前学过的分数是有关系的，这节课我们就来学习一下有关
折扣的应用题。学完后，你就知道一件打折商品到底
便宜多少钱了。
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42
本讲教学目标
1
能够找到问题中的折扣、原价、现价，并能够利用折扣关系知二求一；
2
能够找到问题中的进价、售价、利润，并能够利用利润关系求利润率；
3
在复杂的折扣与利润问题中，能够梳理各部分含义，进行问题的求解。
重难点易错点
1
折扣问题、利润问题中百分数的应用
2
折扣与利润的综合问题
第3 讲
打折季
43
知识导图
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44
PART
1
折扣问题
例题1
两件商品出售，一件原价是260 元，现在打八折销售，现价是
元；一件在原价基础上
打八折出售的价格是260 元，原价是
元。
例题2
算出下面各种商品打折后的现价。
（1）
原价：2420 元
折扣：七折
现价：
元
（2）
原价：
元
折扣：四折
现价：104 元
第3 讲
打折季
45
例题3
某商店搞促销活动，酸奶一袋4 元，买3 赠1，许多买了3 袋酸奶，相当于打
折销售。
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46
课中阅读
商圣范蠡
提到商业巨头，你会想到谁？可能你会想到马云、马化腾或是
任正非，但现在请你和我一起穿越到春秋末期，让我们一起来认识
一下中国古代一位商业巨头——商圣范蠡。
范蠡是春秋末期有名的政治家、军事家、经济学家和道家学者，
也是民间供奉雕像——财神的原型之一。什么？你说不太像？你可
以来看看这两张图，来比比看吧。
作为“财神”的他，一生可谓是“三迁皆有荣名”。一迁从越王
手下离开，激流勇退步入从商之路；二迁放弃所赚千金与齐国之相
的橄榄枝；三迁至贸易要道——陶（今山东定陶西北）重拾商业之
路，不久又积累巨额财产，被人尊称为“陶朱公”。
成为一次商业巨头可能是运气，但是接连两次就是实力了。范
蠡的商业成就有很多很多，比如“贵出贱取”、
“薄利多销”的销售
理论，
“三八价格”的农末俱利理论，还有保证货物质量的“积着理
论”……都闪耀着商业的智慧，人性的光辉，诚信的原则。我们简单
来了解几个。
第3 讲
打折季
47
课中阅读
1. 范蠡主张十一之利，即一成利润，不求暴利，物美价廉，利润
低则销量高，即薄利多销。
2. 当商品价格涨到最高点，必要如粪土一般果断出手；当商品
价格跌到最低点，必要如珠玉一般果断入手，即贵出贱取。
3. 粮食商人和农民之间的关系其实是相互制约的关系，如果
粮食商人的利益受到损害，就不会再去经营粮食；如果农民的利益
受到损害，就不会再去发展农业生产。如果同时受害就会影响国家
的财政收入，所以平衡粮食商人和农民之间的关系的最好办法就
是由政府将粮食价格控制在30∼80①，这样就可以同时获利，即三
八价格，农末俱利。
……
你将来想做一个合格的商人吗？那就请你先做到不赔本吧，那
要怎么才能算的明白呢？让我们一起学习接下来的内容吧！
①因当时全国货币未实现统一，故此货币单位难以求证。
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48
PART
2
利润问题
想一想 ?
成本都包括什么内容呢？
例题4
某键盘的进价是250 元，售出价是320 元，这个键盘的利润是
元，利润率是
%。
第3 讲
打折季
49
例题5
一个音响的利润是75 元，进价是250 元，这个音响的利润率是
%。
例题6
售价为360 元的书包，利润率为50%，则进价是
元。
学而思数学思维
目标A+ 班·六年级（全国版）「秋上」
50
PART
3
折扣与利润
例题7
超市用800 元购进一件商品，开始定价为1000 元，最终以定价的九折卖出，则超市卖出这件商
品的利润为
元，利润率为
%。
例题8
超市用1000 元购进一件电器，开始定价为1500 元，最终以定价的八折卖出，则超市卖出这件
电器的利润率为
%。
笔记页
51
学而思数学思维
目标A+ 班·六年级（全国版）「秋上」
52
课堂巩固
1 算出下面各种商品打折后的现价。
原价：168 元
折扣：五折
现价：
元
2 一种商品打八五折销售，
“八五折”表示现价是原价的
%。如果这种商品的
原价是1000 元，付款时要少付
元。
第3 讲
打折季
53
3 某件衣服的进价是50 元，售出价是100 元，这件衣服的利润是
元，利润率
是
%。
4 商店回收一台收音机，如果卖117 元，可盈利30%，这台收音机的进价是（ ）元。
A. 90
B. 81.9
C. 35.1
学而思数学思维
目标A+ 班·六年级（全国版）「秋上」
54
5 一箱苹果进价80 元，准备以定价120 元售出，但无人问津，最终决定以九折价格出售，
那么现在的售价是
元，利润为
元。
第3 讲
打折季
55
阿丘学堂
1. 某商场一件衣服的原价是360 元，现在商家打八折出售，相当于现价是原价的
%，现
价是
元。
2. 商品按五五折出售，就是说现价（ ）。
A. 是原价的55%
B. 比原价降低55%
C. 是原价的5.5%
D. 是原价的45%
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目标A+ 班·六年级（全国版）「秋上」
56
3. 一种商品打七折销售，
“七折”表示原价的
%，如果这种商品原价100 元，现在便
宜了
元。
4. 一台洗衣机按八折出售，就是说便宜了80%。
（对的填“1”，错的填“2”）
第3 讲
打折季
57
5. 一台电脑进价为3000 元，定价为4500 元，打8 折出售，则这台电脑的利润为
元。
6. 一根签字笔的进价是2 元，售价是3 元，一根签字笔的利润是
元，利润率是
%。
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58
7. 一部电话的进价是250 元，售价是400 元，这部电话的利润率是
%。
8. 超市玩具柜台购进了150 个溜溜球，每个卖25 元，全部卖出后总利润是600 元，每个溜溜
球的进价是
元。
第3 讲
打折季
59
9. 一个鼠标的进价是160 元，定价是205 元，实际打八折出售，那么这个鼠标的利润是
元。
10. 阿川卖化妆品，进价为200 元，定价为300 元，打八折出售，利润是
元，利润率是
%。
第4 讲
生理盐水的秘密
04 生理盐水的秘密
第4 讲
生理盐水的秘密
61
课前阅读
当你或者你的家人去医院输液的时候，你有没
有观察过替你输液护士的操作呢？他们一般都会将溶液
混合，然后再作为你输液的液体。并不是所有医药液体都是可以
混合的，一般都是混合生理盐水来避免人体体内的细胞破裂。什么？
盐水？那它是咸的吗？很多人常常会将生理盐水当成是食用盐水，但实际上
它们是不一样的，如果少量饮用生理盐水，问题不大；但是大量饮用是会危害
健康的。所以，谨遵医嘱很重要哦！
生理盐水，又称为无菌生理盐水，是0.9%的氯化钠水溶液，在医疗方面有着很大的作
用，也常用于生物研究中。配制生理盐水的过程说简单其实很简单，就是把氯化钠溶于
蒸馏水中。说难也挺难的，我们需要严格计算氯化钠和蒸馏水的质量配比，才能制作出
真正的生理盐水。那怎样的质量配比可以制作出真正的生理盐水呢？让我们进入今天
的课堂，学习关于溶液浓度的知识吧！
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62
本讲教学目标
1
能够区分出溶质、溶剂和溶液；
2
能够利用浓度问题中各个量的关系求解问题。
重难点易错点
1
溶液的质量
2
溶液的稀释与浓缩
第4 讲
生理盐水的秘密
63
知识导图
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64
PART
1
浓度初识
例题1
（1）20 克盐完全溶于80 克水中，所得盐水的浓度是
%。
（2）1 千克盐水含盐50 克，盐是盐水的
%。
第4 讲
生理盐水的秘密
65
例题2
一瓶500 克浓度为10% 的盐水，其中盐为
克，水为
克。
例题3
要配置200 克浓度为5% 的盐水，需要水
克。
例题4
浓度为12% 的盐水，如果将水全部蒸干后，剩余15 克盐，则原来的盐水为
克。
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66
课中阅读
乙醇，俗称酒精，是医疗、工业和家庭生活的必备品。酒精溶液
浓度的计算方法不同于我们课文中的盐水溶液，酒精溶液的浓度
是纯酒精的体积与酒精水溶液的体积之比，这主要是由于酒精本
身也是液体，测量体积更为便利；而且酒精和水可以以任意比例互
溶，因此用体积比表示酒精溶液浓度更符合生产实际的要求。不同
浓度的酒精溶液用途也大不相同，下面我们就来简单了解一下。
1. 无水酒精：酒精浓度大于99%，科研人员在它的帮助下可以
完成很多实验。
2. 95% 酒精溶液：常用作酒精灯的燃料，例如同学们在学校实
验室和医院看见的酒精灯就是用它作燃料。但是大家一定要注意，
熄灭酒精灯时千万不能吹灭，可能会发生危险，正确的做法是用灯
帽将火盖灭。
3. 75% 酒精溶液是最常用的消毒液，主要用于医疗卫生、皮
肤、家具等表面的消毒。
4. 50% 酒精溶液主要是给卧床病人均匀按摩受压部位，预防
褥疮。
5. 25% 酒精溶液主要用于发烧患者的物理退烧，这是利用酒
精挥发带走热量的物理性质。
第4 讲
生理盐水的秘密
67
PART
2
稀释与浓缩
例题5
现有浓度为5% 的盐水80 克，加入20 克水，此时盐水溶液的浓度是
%。
例题6
现有浓度为5% 的盐水80 克，加入20 克盐，完全溶解后盐水溶液的浓度是
%。
例题7
现有浓度是15% 的盐水200 克，为了制成浓度为10% 的盐水，需要加入水
克。
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68
PART
3
溶液的混合
例题8
一杯600 克浓度为20% 的糖水和一杯200 克浓度40% 的糖水兑到一起，这杯800 克的糖水
浓度是
%。
想一想 ?
请你观察混合后溶液的浓度和混合前溶液的浓度. 有什么发现吗？
笔记页
69
学而思数学思维
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70
课堂巩固
1 杯子中有浓度为5% 的盐水150 克，那么其中含有
克盐、
克水。
2 150 千克16% 的盐水溶液中，含有盐和水分别
克和
克。
第4 讲
生理盐水的秘密
71
3 两杯糖水的浓度分别为20% 和40%，混合后的浓度可能为（ ）。
A. 15%
B. 27%
C. 50%
4 蒸干15 克盐水，得到1.2 克盐，原来盐水的浓度是
%。
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72
5 一杯300 克浓度为10% 的糖水和一杯500 克浓度为30% 的糖水混合在一起，得到
800 克糖水的浓度是
%。
第4 讲
生理盐水的秘密
73
阿丘学堂
1. 把30 克糖完全溶于170 克水中，此时得到糖水溶液的浓度是
%。
2. 将5 克糖溶于95 克水中，完全溶解后得到的糖水浓度是
%。
3. 现有浓度为30% 的糖水500 克，其中含糖
克，再加入500 克水，浓度变为
%。
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74
4. 现有250 克浓度为20% 的糖水，加入70 克糖，这时糖水的浓度变为
%。
5. 现有32 克浓度为37.5% 的盐水，加入16 克水，浓度变为
%。
第4 讲
生理盐水的秘密
75
6. 现有250 克浓度为10% 的糖水，我们加入50 克糖，这时糖水的浓度变为
%。
7. 现有浓度为20% 的盐水40 千克，那么其中含有
克盐、
克水。
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76
8. 两杯盐水的浓度均为20%，混合后的浓度为（ ）。
A. 18%
B. 20%
C. 22%
D. 无法判断
9. 一杯200 克浓度为20% 的糖水和一杯600 克浓度40% 的糖水兑到一起，这杯800 克的
糖水浓度是
%。
10. 将一杯200 克浓度25% 的糖水和100 克浓度为40% 的糖水混合，此时混合后的糖水浓度
是
%。
第5 讲
变形舞台
05 变形舞台
第5 讲
变形舞台
79
课前阅读
最近莉莉家里举办了一次家庭聚餐，家里的亲
戚都欢聚一堂，好不热闹。每到这时候，莉莉都喜欢
缠着舅舅讲一讲他工作的事情。原来，莉莉的舅舅在电视台工
作，每次聚会都会给莉莉他们带来很多关于舞台和明星的故事。不
过这一次，莉莉的舅舅显得有点心不在焉。“舅舅，你看起来好像有事在
发愁。”莉莉敏锐地发现了舅舅的不对劲。
“嗯，最近舅舅遇到了一个图形的问题，现在感到很头疼。”舅舅摸了摸莉莉的脑
袋。“图形的问题？”莉莉一下子来了兴趣，“说不定我能帮上忙呢！”
舅舅拍了拍莉莉的头，就给莉莉找来了纸笔，让她帮自己研究研究：“最近我们在设计
一个舞台，这个舞台是正多边形，又要求之后分裂成几个相同的小舞台。现在三角形我
知道怎么设计，但是正六边形就设计不出来了……”
正多边形有什么特征？又应该怎么样才能实现等分呢？我们也一起来研究一下吧！
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80
本讲教学目标
1
掌握正三角形、正六边形和正八边形的等分方法；
2
能够利用正多边形的等分来解决面积问题；
3
在学习过程中感受正多边形特征，提升知识迁移能力。
重难点易错点
1
正多边形的等分
2
等分在面积中的灵活运用
第5 讲
变形舞台
81
知识导图
学而思数学思维
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82
PART
1
正三角形
例题1
莉莉的舅舅设计了一个正三角形的大型舞台，要求分裂后是几个形状、大小都相同的小舞台。
如果：
（1）需要分裂成形状、大小都相同的3 个小舞台，你会怎么做？
（2）需要分裂成形状、大小都相同的4 个小舞台，你会怎么做？
想一想 ?
如果想要对正三角形六等分、九等分、十六等分，你会分吗？
第5 讲
变形舞台
83
例题2
清明节有放风筝的习俗，明明做了一个非常漂亮的风筝（图中所有三角形都是正三角形）。如
果只用阴影三角形来拼成这个图形，则至少要用
个阴影三角形。
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84
PART
2
正六边形
想一想 ?
如果莉莉舅舅要设计的大型舞台是正六边形，要求分裂后是六个形状、大小都相同的小舞台，
你能帮忙设计看看吗？
第5 讲
变形舞台
85
例题3
图中的正三角形与正六边形的周长相等，两个大型舞台分割形成的小舞台形状、大小都相同。
已知正三角形的面积是50m2 ，则正六边形的面积为
m2 。
例题4
如图，莉莉在一个面积是72 平方厘米的正六边形中剪下一个正三角形（阴影部分），剪下的面
积是
平方厘米。
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86
例题5
如果对于正六边形的大型舞台要分裂出12 个形状、大小都相同的小舞台，请你试试吧！
例题6
如下图，是一个面积为48 平方厘米的正六边形，阴影部分的面积是
平方厘米。
第5 讲
变形舞台
87
课中阅读
“Yeah！”莉莉在舅舅的帮助下，成功地探究出了很多种舞台设
计方案。舅舅抚摸着莉莉的头说：
“不错，真棒！说到这里，莉莉你看
看，如果我们大舞台的正多边形的边数越来越多会变成什么形状
呀？”
“欸，这个问题挺有意思的，我来看看。”莉莉拿出笔和纸开始
画起来。
“我知道啦！最终会变成圆！”莉莉举着自己的纸自豪地对舅舅
说。
“厉害！”舅舅对莉莉竖起了大拇哥，
“当正多边形的边数越来越
多时，就会和圆越来越接近。而在我们古代有一个著名的数学家就
在自己的著作中说明了这件事，你知道是谁吗？”
“不知道诶。”莉莉回答道。
“这个著名的数学家就是刘徽，他在《九章算术注》中记录了
数学史上著名的割圆术。”舅舅解释道。
“什么是割圆术呀？”莉莉挠挠脑袋问道。
“割圆术其实就是用圆
内接正多边形的面积来无限逼近圆的面积。通过正多边形细割圆，
不但可以无限逼近圆的面积，还可以无限逼近圆的周长，进而探究
圆周率。但是，这种方法也会因为分割、计算的准确度和精度影响
到圆周率的准确度。所以啊，关于圆周率的探索之旅还是很漫长的，
如果你感兴趣的话哪天咱俩再好好聊。走吧，咱们去场地看看舞台
效果吧。”舅舅说完就带着莉莉往舞台走了。
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88
PART
3
正八边形
例题7
蔡爷爷有一块正八边形的小菜地，如图所示被分成了3 块，已知中间长方形BCFG 的面积是5
平方米，那么蔡爷爷的这块菜地的面积是
平方米。
例题8
一天许多来到了花奶奶家，花奶奶兴奋地给许多展示着自己精心设计的花园。说着说着，花奶
奶突然问起了许多：
“这是我的花园设计图，下面是我的月季种植区，它的面积是7 平方米，你
能算出我的花园的面积吗？”那么花奶奶的花园面积为
平方米。
笔记页
89
学而思数学思维
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90
课堂巩固
1 正八边形的内角和是
度，每个内角是
度。
2 如图所示，在面积为36 的正三角形中有一个正六边形，则正六边形的面积为
。
第5 讲
变形舞台
91
3 小丸子的妈妈买来1 块正六边形的枣糕，上面有6 颗枣（如图所示），家里正好有6
个人，小丸子抢着要最大的。妈妈为公平起见，决定将枣糕分为大小、形状一样的6 块
三角形，每块均含有1 颗枣。能公平地分吗？（ ）
A. 能
B. 不能
4 如图，有一个正六边形，阴影部分的面积为8，则整个正六边形的面积是
。
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92
5 如图，在正八边形中，阴影部分的面积为40 平方厘米，则三角形ABC 的面积为
平方厘米。
第5 讲
变形舞台
93
阿丘学堂
1. 下图依次是正三角形、正方形、正五边形，分别写出它们的内角度数。
正三角形内角是
◦，正方形内角是
◦，正五边形内角是
◦。
2. 下图中，每一个正三角形的边长都是中间正六边形边长的2 倍。正六边形的面积是6，那
么图形总面积是
。
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94
3. 如图，大正六边形内部有7 个完全一样的小正六边形，已知阴影部分的面积是180 平方厘
米。那么大正六边形的面积是（ ）平方厘米。
A. 240
B. 270
C. 300
D. 360
4. 两个同样的正三角形构成如下图形，已知图中所有小三角形均为面积相同的正三角形，阴
影部分的面积是36 平方厘米，则空白部分的面积是
平方厘米。
第5 讲
变形舞台
95
5. 如图，将一个正六边形切割成三个完全相同的小正六边形和三个完全相同的平行四边形。
如果大正六边形的面积为360 平方厘米，那么每个平行四边形的面积是
平方厘
米。
6. 已知图中的正六边形的面积是60，则长方形的面积是
。
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96
7. 如图，L 形阴影部分面积占整个正八边形面积的
。（填分数）
8. 如图，正八边形的边长为2，将其按下图进行切割，切割后灰色部分面积与网格部分面积之
差为
。
第5 讲
变形舞台
97
9. 在下图的正八边形中，正八边形面积是阴影面积的
倍。
10. 如图，正八边形中的阴影部分的面积是125 平方厘米，则正八边形的面积是
平
方厘米。
第6 讲
数学宝塔诗
06 数学宝塔诗
第6 讲
数学宝塔诗
99
课前阅读
《一七令·诗》
白居易·唐
诗，
绮美，瑰奇。
明月夜，落花时。
能助欢笑，亦伤别离。
调清金石怨，吟苦鬼神悲。
天下只应我爱，世间唯有君知。
自从都尉别苏句，便到司空送白辞。
整诗呈宽底尖顶，两侧对称的结构，这种结构酷似一座宝塔，故此种诗体被称
为宝塔诗。从外形上看，富有美感、意境的宝塔诗和某些三角形数表很是相似。
如果将语文中的汉字代替为数学中的数与数字，那么形成的数学宝塔诗又会有
怎么样的美感和意境呢？接下来，就让我们进入今天的课堂，来欣赏一
下数学中的宝塔诗。
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100
本讲教学目标
1
通过观察三角形数表，找到三角形数表的规律；
2
通过观察三角形数表得到的一般规律，求某一位置的数；
3
通过观察三角形数表得到的一般规律，求某数在数表中的位置。
重难点易错点
1
三角形数表中某一位置数
2
三角形数表中某数所在位置
第6 讲
数学宝塔诗
101
知识导图
学而思数学思维
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102
PART
1
某个位置是几
例题1
如图，从1 开始的自然数按某种方式排列起来，则：
（1）按照从上到下、从左到右的顺序数数，第13 个数是
。
（2）第5 行有
个数，其中第5 行左起第3 个数是
。
例题2
如图，从1 开始的自然数按某种方式排列起来，则：
第7 行左起第5 个数是
。
第6 讲
数学宝塔诗
103
例题3
将奇数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表，根据这个排列规则，数表中第10 行从左
到右的第1 个数是
。
例题4
将奇数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表，根据这个排列规则，数表中第6 行从左到
右的第1 个数是
。
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104
PART
2
某个数在哪个位置
例题5
如图，从1 开始的自然数按某种方式排列起来，那么40 这个数按照从上到下、从左到右的顺序
数，在第
行第
个。
例题6
如图，从1 开始的自然数按某种方式排列起来，那么33 这个数按照从上到下、从左到右的顺序
数，在第
行第
个。
第6 讲
数学宝塔诗
105
课中阅读
杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列，其中蕴
含着二项式系数的相关性质。事实上，早在约1050 年，北宋人贾宪
就首先使用了“贾宪三角”进行高次方开方运算。直到1261 年杨辉
在其所著《详解九章算术》一书中，将该三角形数表称为“开方作
法本源图”辑录在书中，并说明引自贾宪的《释锁算术》，且绘画了
“古法七乘方图”。所以杨辉三角又可称为贾宪三角。
杨辉三角
直到1623 年以后，法国数学家帕斯卡才在他13 岁时发现了
帕斯卡三角。21 世纪以来国外逐渐承认这项成果属于中国，所以有
些书上称这是“中国三角形”。至此杨辉三角又可称为贾宪三角，帕
斯卡三角。
其实，中国古代数学家在数学的很多重要领域中都处于遥遥
领先的地位，有着自己光辉灿烂的篇章，而杨辉三角的发现就是其
中十分精彩的一页。
学而思数学思维
目标A+ 班·六年级（全国版）「秋上」
106
例题7
（1）从上往下第8 行第1 个数是
，从左往右第8 列第1 个数是
；
（2）22 在这个三角形数表的从上往下第
行第
个数。
例题8
从左往右第10 列第1 个数是
。
笔记页
107
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108
课堂巩固
1 自然数按一定规律排成下表，则第7 行的左起第4 个数是
。
2 自然数按一定规律排成下表，则第10 行的左起第1 个数是
。
第6 讲
数学宝塔诗
109
3 如图，从1 开始的奇数按某种方式排列起来，则：第9 行第5 个数是
。
4 如图，从1 开始的奇数按某种方式排列起来，则：第10 行第5 个数是
。
学而思数学思维
目标A+ 班·六年级（全国版）「秋上」
110
5 从左到右第6 列第1 个数是
。
第6 讲
数学宝塔诗
111
阿丘学堂
1. 以下三角形数表的规则是从1 开始连续有限个自然数在第一行，从第二行开始的每一个数
表示的是它正上方相邻两个数的和，则“?”处表示的数是
，按此规律直到一行只
有一个数时，一共有
行，这个数是
。
2. 按照上题的规则，若新的三角形数表一共有4 行，当最后一行只有一个数时，最后一行的数
是
。
3. 如图，从1 开始的自然数按某种方式排列起来，则：第6 行左起6 个数是
。
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112
4. 如图，从1 开始的自然数按某种方式排列起来，则：第15 行左起15 个数是
。
5. 如图，从1 开始的奇数按某种方式排列起来，则：第11 行第6 个数是
。
6. 从1 开始的自然数按某种方式排列起来，那么第25 行左起第5 个数是
。
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
······
第6 讲
数学宝塔诗
113
7. 如图，从1 开始的自然数按某种方式排列起来，那么59 这个数按照从上到下、从左到右的
顺序数，在第
行第
个。
8. 从上往下第12 行第1 个数是
。
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114
9. 从左往右第12 列第1 个数是
。
10. 79 在这个三角形数表的从上往下第
行第
个数。
第7 讲
定制我的专属可乐
07 定制我的专属可乐
第7 讲
定制我的专属可乐
117
课前阅读
小朋友们可能会发现身边有这样一群
人，他们被称为“ 收集控” 、“ 收藏
家”，而且收藏的物品种类可谓是花样繁
多：邮票、石头、瓷器、书画等等，只有你想不
到的，没有他们收藏不了的。这不，就连我们身边
看似普通的可乐罐，收集它们的人也多着哩。
1886年，美国药剂师约翰·彭伯顿制作出了一种提神、镇静功能的
饮料，并将这种液体加入了糖浆和水，然后加上冰块。他尝了尝，味
道好极了，不过在倒第二杯时，助手一不小心加入了苏打水（二氧化
碳+水），这回味道更好了。合伙人罗宾逊从糖浆的两种成分中激发出
命名的灵感，命名为“Coca-Cola”。
1927年可口可乐进入中国市场，并且在译名上经历了一点小风波：最初的名字是音译
的“蝌蝌啃蜡”，古怪的味道，加上古怪的名字，这种饮料的销售情况自然很差。于
是第二年公司悬赏向公众征集译名，最终一位上海教授以“可口可乐”击败对手，
摘走奖金。
为迎合年轻消费者，可口可乐自2013年起悄然推出针对中国市场的新包装，
2014年推出可口可乐歌词瓶，包装上印有歌词。2018年世界杯期间，还设计
出不同参赛国家色调的包装，来吸引年轻人购买。世界各地也出现了许许
多多的可乐收藏家，为了炫酷的罐子绞尽脑汁。你是否也有收藏的
爱好呢？面对规格统一的可乐罐，你是否能设计出拥有自己
专属风格的罐子呢？让我们一起走进今天的课程~
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118
本讲教学目标
1
认识圆柱的特征、了解圆柱的展开图，明确圆柱各部分之间的关系；
2
能够理解圆柱的表面积公式并根据公式计算表面积；
3
圆柱表面积的灵活应用。
重难点易错点
1
圆柱表面积公式的理解
2
与π 相关的计算
第7 讲
定制我的专属可乐
119
知识导图
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120
PART
1
认识圆柱体
可乐公司一般会在可乐罐侧面设计出各式各样的图案，来吸引消费者。在现实生活中，也
有很多圆柱形状的物品会对侧面进行设计包装，比如罐头。假如现在罐头公司提出一个新的设
计需求：上下两个面也需要进行图案设计，请你先上、下、左、右观察一下可乐罐，看看你能看到
什么。
假如你是这次包装设计的平面设计师，你知道把圆柱体的每个面都展开会是什么样子吗？
这些面之间又有什么关系呢？
第7 讲
定制我的专属可乐
121
例题1
下面（ ）图形是圆柱的展开图。（单位：cm，π 取3.14）
例题2
一个圆柱体的底面直径为10 分米，高为20 分米，则它的侧面积为
平方分米。（π 取
3.14）
学而思数学思维
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122
PART
2
圆柱体的表面积
例题3
得知侧面积的求法之后，许多还想知道，制作一个金属罐至少需要多大面积的材料。他找来一
个罐子，测量得出底面的直径为6 厘米，高为15 厘米，那么这个罐子所耗费的金属材料至少为
平方厘米。（π 取3.14，不考虑连接处和拉环耗材）
例题4
下面圆柱的表面积为
平方厘米。
第7 讲
定制我的专属可乐
123
例题5
某圆柱形摩天大楼的玻璃幕墙高为95 米，楼体直径为20 米。
“蜘蛛人”团队不仅需要清理四周
的玻璃，还要负责楼顶的清扫。若每清洁1 平方米，
“蜘蛛人”团队的报酬为5 元，那么清理任
务完成后该团队会获得
元报酬。（π 取3.14）
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124
课中阅读
小朋友，你摸过大树吗？你摸到的树皮可以看做是圆柱体的哪
一部分？相信你一定会迅速地回答：
“是圆柱体的侧面。”没错，一般
来说我们能看见的部分就是树干这个圆柱体的侧面，那你有见过
树木的底面吗？
如果你见过树桩，你可能会见到许多同心的圆环，在植物学上
我们称之为“年轮”。年轮是在树木生长的过程中受季节影响形成
的，每长一年会多一圈年轮。春季适宜树木生长，细胞体积大，颜色
较浅；秋季时气温下降，树木生长缓慢，细胞体积小，颜色较深，这
样秋季与春季之间界限清楚，也就形成了我们看到的年轮线。因此
我们可以通过年轮的数量来判断树木的年龄。
通过年轮我们也可以判断当地的环境。前文说春季生长较快，
所以环境越好，春季增加的木质部越多，年轮也就越宽；反之，环境
越差，春季增加的越少，年轮也就越窄。除此之外，北半球中朝南的
方向阳光更充足，所以树木的生长会更快一点，产生的年轮也会变
得更宽。
第7 讲
定制我的专属可乐
125
PART
3
圆柱体的切割
例题6
许多跑到厨房，看到妈妈正在切“圆柱香肠”（如图），不一会儿就将其切为11 段，增加的面均
为圆形。许多量了一下香肠的直径，大约4 厘米，那么切完11 段之后，这根香肠的新增表面积
是
平方厘米。（π 取3.14）
例题7
将图中圆柱体沿平行于底面的方向切4 刀，则表面积增加
平方厘米。（π 取3.14）
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126
例题8
可乐公司为了迎合市场的需求，决定推出大容量的罐装可乐。原有的可乐罐直径为5 厘米，高
为16 厘米，而“加长版”可乐在直径不变的前提下，高度增加25%。
“身材”的变化势必会带来成
本的增加，如果每平方米的可乐罐材料的成本为15 元，那么订做10000 个“加长版”可乐罐的
材料成本会比原来的材料成本多
元。（π 取3.14）
笔记页
127
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128
课堂巩固
1 许多班里有同学在学习素描，需要临摹很多立体图形，其中就有石膏制成的圆柱体。
已知某个圆柱体石膏的底面半径为5 厘米，高为20 厘米，则该圆柱体的表面积为
平方厘米。（π 取3.14）
2 一个圆柱体的底面直径和高都是6cm，这个圆柱的表面积是
cm2。（π 取3.14）
第7 讲
定制我的专属可乐
129
3 一个圆柱底面的半径是2 分米，高是10 分米，把圆柱沿着平行于上、下底面水平方向
切一刀，表面积增加了
平方分米。（π 取3.14）
4 某圆柱体的底面半径为10 厘米，高为10 厘米，则它的侧面积为
平方厘
米。（π 取3.14）
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130
5 某个圆柱体铁锭的底面半径为10 厘米，高为15 厘米。将其竖直放置在水平桌面
上，若沿水平方向切掉6 厘米的一截后，此时剩下的铁锭与之前相比，表面积减少了
平方厘米。（π 取3.14）
第7 讲
定制我的专属可乐
131
阿丘学堂
1. 做一个无盖的圆柱形油桶，至少要用多少铁皮，就是求油桶的（ ）。
A. 底面积
B. 侧面积
C. 表面积
D. 侧面积+ 一个底面积
2. 一个圆柱体的底面半径是4 厘米，高是12.56 厘米。它的侧面展开图是（ ）。
（π 取3.14）
A. 正方形
B. 长方形
C. 两个圆形和一个长方形
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132
3. 已知一个圆柱的尺寸：r = 6.5cm，h = 7cm，则该圆柱的侧面积为
cm2。（π 取3.14）
4. 一个圆柱底面直径是0.5 米，高1.6 米，它的侧面积为
平方米。（π 取3.14）
第7 讲
定制我的专属可乐
133
5. 祈年殿是北京天坛公园的主要建筑之一，殿中央有4 根同样大小的圆柱形“龙井柱”，
“龙井
柱”的高是19.2 米，直径是1.2 米。如果把每根“龙井柱”的表面（只包含侧面）粉刷一层
油漆，粉刷的总面积是多少平方米？（得数保留整数，π 取3.14）
6. 一个圆柱形水池，底面直径为10 米，高为5 米，要在它的四周和底面抹上水泥。抹水泥部
分的面积是
平方米。（π 取3.14）
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134
7. 要给100 个油桶的外表面喷漆（有盖），油桶大小如图所示。按每平方米需要油漆0.25 千
克，喷这些油桶需要油漆
千克。（π 取3.14）
8. 把一个底面半径是1 厘米的圆柱沿着平行于底面的方向切成两个圆柱，总表面积增加了
平方厘米。（π 取3.14）
第7 讲
定制我的专属可乐
135
9. 把一根直径是20 厘米的圆柱体木头沿着平行于底面的方向锯成3 段，总表面积会增加
平方厘米。（π 取3.14）
10. 一个圆柱体底面周长和高相等，如果高减少4 厘米，表面积就减少50.24 平方厘米。则原
来这个圆柱体的表面积是
平方厘米。（π 取3.14）
第8 讲
3D 打印的材料库
08 3D打印的材料库
第8 讲
3D 打印的材料库
137
课前阅读
提到打印，你想到的可能是这样
的景象：一张张白纸进入机器，吐出来的是图像与文字
的印记，这样的打印是在一个平面上的。但是人们并不满足只能
在平面上进行创造，如果能够直接打印出来一盆假花、一辆车、一栋房
子，那该有多酷啊！
早在20世纪80年代，工业中就有“增量制造”这样的方
法：机器人在计算机的控制下，根据提前输入好的电子数据，将
原材料一层一层的叠加，制造出立体的元器件。随着科技的日益发
展，这种技术在不断更新，也不仅仅应用于工业制造，更开始进军
科研、教育、医疗、服装等领域，并慢慢地被“3D打印”这个更亲民的称呼所替代。
2013年，中国科学家开始使用活体3D打印人耳、肝脏和肾脏，可以试想在不久的将
来，会有更多的疾病因为3D打印技术的出现，而得到更多治愈的可能。
不仅如此，3D打印技术也在快速进入普通消费者的生活
中，人们也可以很方便地购买到3D打印机和原材料，创作
出自己心仪的作品。读到这儿，请问一下同学们，3D打
印的原材料是什么？它是什么形状的？打印的前后有
没有什么是没有发生变化的呢？带着这些问题，
一起进入今天的课程吧！
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138
本讲教学目标
1
能够理解圆柱体积的两种不同推导方法，计算圆柱的体积；
2
根据圆柱与圆锥的关系，推导出圆锥的体积公式，计算圆锥的体积；
3
根据圆柱和圆锥体积的关系求解问题。
重难点易错点
1
圆柱体积公式的理解与计算
2
等体积变形中不变量的寻找
第8 讲
3D 打印的材料库
139
知识导图
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140
PART
1
圆柱体的体积
例题1
（1）在用3D 打印机打印圆柱体的过程中，许多设置的圆柱体底面半径为2 厘米，则打印出的
每层圆形薄片的面积为
平方厘米。（π 取3.14）
（2）打印出来的圆柱体高为3 厘米，则这个圆柱体耗费了
立方厘米的原材料。（π 取
3.14，加工前后材料体积不变）
想一想 ?
对一个圆柱可以进行以下的切割，切割后按照如图所示的方式进行拼接，可以得到一个近似的
长方体。已知圆柱的半径用r 来表示，高用h 来表示，则拼接得到的近似长方体的尺寸该如何
表示？它的体积又和圆柱体体积有什么关系呢？
第8 讲
3D 打印的材料库
141
例题2
下图中圆柱的底面半径为5 厘米，高为20 厘米，则该圆柱的体积为
立方厘米。（π
取3.14）
例题3
修建地铁时，需要盾构机在地下“打洞”，盾构机横截面上的刀片将岩土挖下，再传送到机器后
方。若一台盾构机的直径为20 米，工作时前进的速度为8 米/天，那么一个月（30 天）能够挖
出
方的岩土。（π 取3.14，1 方= 1 立方米）
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142
课中阅读
许多在爸爸公司楼下刚买的雪糕，还没等吃就“啪叽”掉在了
地上；宏伟建筑中出现的屋顶元素；公园里的树木被园艺工人修剪
成统一的样式，来迎接圣诞节……生活中出现的这些场景都可以
抽象出另一种立体图形，叫做圆锥。圆锥与圆柱不同，它并不是直
上直下的结构；同时它只有一个底面，另一头是尖尖的。除此之外
你还能说出其他的异同吗？
当你观察圆柱和圆锥的时候，有没有思考过，它们是如何形成
的？是不是你也要买一台3D 打印机才可以实现？其实有一个低成
本的解决方法：找到两张质地较硬的纸，将它们分别裁成长方形和
直角三角形；再分别将长方形的一条边和直角三角形直角边粘贴
到铅笔上，快速旋转铅笔，你就会看到圆柱和圆锥了。
第8 讲
3D 打印的材料库
143
PART
2
圆锥的体积
例题4
下面圆锥的体积是
立方厘米。（单位：厘米，π = 3.14）
例题5
龙卷风是大气中最强烈的涡旋现象，常发生于夏季的雷雨天气，尤以下午至傍晚最为多见，影
响范围虽小，但破坏力极大。某次龙卷风的高度约120 米，顶部直径约100 米，那么这个龙卷
风所形成的圆锥形空间的体积约为
立方米。（π 取3.14）
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144
PART
3
综合应用
例题6
一个圆柱和一个圆锥等底等高，它们的体积之和是48 立方分米，圆锥体积是（ ）。
A. 24 立方分米
B. 12 立方分米
C. 36 立方分米
例题7
等底等高的圆柱和圆锥的体积和为100 立方分米，则圆柱的体积是（ ）立方分米。
A. 25
B. 50
C. 75
D. 80
第8 讲
3D 打印的材料库
145
例题8
如图ABCD 是直角梯形，以AB 为轴并将梯形绕这个轴旋转一周，得到一个旋转体，它的体积
是多少立方厘米？（π 取3.14）
笔记页
146
第8 讲
3D 打印的材料库
147
课堂巩固
1 一个圆柱的底面半径是10 厘米，高是5 厘米，它的体积为
立方厘米。（π 取3）
2 计算下面圆柱的体积。（单位：厘米，π 取3.14）
体积是
立方厘米
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148
3 下面圆锥的体积是
立方厘米。（π 取3.14）
4 一个长方形的长是6 厘米，宽是2 厘米。以它的长为轴旋转一周所得到的圆柱体的体
积是（ ）。（π 取3.14）
A. 75.36 立方厘米
B. 226.08 立方厘米
C. 56.52 立方厘米
第8 讲
3D 打印的材料库
149
5 如图是一个直角三角形，两条直角边分别是6 厘米和2 厘米，以较长直角边直线为
轴，旋转一周所形成的立体图形的体积是（ ）立方厘米。（π 取3.14）
A. 25.12
B. 12.56
C. 75.36
学而思数学思维
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150
阿丘学堂
1. 求下面各圆柱的体积。（π 取3.14）
（1）
（2）
2. 计算下面圆柱体的体积是（ ）立方分米。（单位：分米，π 取3.14）
A. 500
B. 502.4
C. 600
第8 讲
3D 打印的材料库
151
3. 一个圆锥体沙堆，底面直径3 米，高1.8 米，这堆沙有多少立方米？（π 取3.14）
4. 圆锥的体积是6 立方分米，与它等底等高的圆柱的体积是（ ）。
A. 3 立方分米
B. 2 立方分米
C. 18 立方分米
5. 爷爷有一顶斗笠，可以近似地看作一个圆锥体。斗笠的底面直径为40 厘米，高为21 厘米，
那么这顶斗笠所呈现的圆锥体体积是
立方厘米。（π 取3.14）
学而思数学思维
目标A+ 班·六年级（全国版）「秋上」
152
6. 下图是一个呈圆锥体酒杯，杯口半径3cm，深4cm。如果把200mL 饮料倒入这样的杯子中，
至少能倒满
杯。（得数保留整数，π 取3.14）
7. 一个圆柱和一个圆锥等底等高，它们的体积之和是52dm3，那么圆柱的体积是( )
dm3。
A. 13
B. 26
C. 39
D. 无法确定
8. 一张长方形的纸，长与宽分别是6cm、4cm。现在以6cm 的长为轴把这个长方形旋转一周，
形成一个圆柱体，这个圆柱体的体积是
cm3。（π 取3.14）
第8 讲
3D 打印的材料库
153
9. 如图是一个直角三角形，以6cm 的直角边所在直线为轴旋转一周，所得到的图形是
，
它的体积是
cm3。（π 取3.14）
10. 下图是直角梯形ABCD，请根据图中信息解答问题。
如果以AB 边所在直线为轴旋转一周，得到一个立体图形，这个立体图形的体积是多少立
方厘米？（π 取3.14）
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目标A+ 班·六年级（全国版）「秋上」
154
阿丘学堂参考答案
第 讲
1
分数中的多米诺
1.
32
3
2.
13
3.
13
4.
A
5.
B
6.
7
7.
25
8.
14
3
9.
1
100
10. 5
第 讲
2
24K有多纯
1.
1
5
3
10
1
4
3
25
2.
38
156
8.3
70
3.
87.5
0.875
4.
27.5
5.
40%
6.
361.25
500
7.
1.32
8.
300 米
9.
192 棵
10. 40 人
第 讲
3
打折季
1.
80
288
2.
A
3.
70
30
4.
2
5.
600
6.
1
50
7.
60
8.
21
9.
4
10. 40
20
第 讲
4
生理盐水的秘密
1.
15
2.
5
3.
150
15
4.
37.5
5.
25
6.
25
7.
8000
32000
8.
B
9.
35
10. 30
阿丘学堂参考答案
155
第 讲
5
变形舞台
1.
60
90
108
2.
30
3.
B
4.
36
5.
30
6.
40
7.
1
2
8.
1
9.
4
10. 500
第 讲
6
数学宝塔诗
1.
28
6
112
2.
20
3.
21
4.
120
5.
121
6.
305
7.
11
4
8.
67
9.
78
10. 13
1
第 讲
7
定制我的专属可乐
1.
D
2.
B
3.
285.74
4.
2.512
5.
289 平方米
6.
235.5
7.
51.81
8.
6.28
9.
1256
10. 182.8736
第 讲
8
3D 打印的材料库
1.
310.86cm3
100.48dm3
2.
B
3.
4.239m3
4.
C
5.
8792
6.
5
7.
C
8.
301.44
9.
圆锥
25.12
10. 141.3 立方厘米
1120031618591
