文档文本内容
数学思维
目标A+ 班
六年级（全国版）·寒
学而思网校教研中心 编著
前言PREFACE
学而思网校为6 ～18 岁的学生提供小学、初中、高中全学科课外学习课程。
学而思网校拥有十余年教学经验，采用在线双师直播教学模式，用AI 技术来辅
助教学。学而思网校课堂互动多，线上课程有回放，教师及时答疑，学生不满意
可随时退费。
2016 年5 月，学而思网校提出“在线学习更有效”的品牌主张，并正式推出
在线双师直播教学模式，通过实时在线的互动教学、图文并茂的随堂讲义、科学
的学业测评，以及教师多方位的学习辅导，保障学生的学习效果。
2016 年7 月，
“IDO 个性化学习体系”正式上线，体系拥有动态学习报告、错
题订正等功能，为教师、学生和家长之间建立起更有效的沟通平台。2017 年7
月，
“IDO 个性化学习体系”升级为“IDO 个性化学习体系2.0”（简称“IDO2.0”）。
“IDO2.0”拥有个性化学习任务系统（IMS），并首次将人脸识别、语音识别、触感
互动等技术引入在线课堂，让在线学习有更多可被量化的数据和可追踪的学习
轨迹，甚至有更多动手实践的机会。有效的科技手段逐渐缩小了线上线下的学
习体验差异。
2018 年，学而思网校课程体系全面升级，Amazing English、大语文、数学思
维、大科学等课程更注重对学生综合素质能力的培养。同时，学而思网校推出
的故宫、音乐、魔方、儿童安全、历史等素养类课程让学生可以多维、立体化成
长。学而思网校自主研发的“AI 老师”通过自然语言处理（NLP）、图像文字识别
（OCR）等技术精准分析学生的语义、情感、笔迹等，形成完整高效的“课堂学习
链”，让在线课堂学习体验更美好，让教学更高效，学习更有效。未来，学而思网校
将进一步承担起用科技推动教育进步的重任，不断致力于教育资源的均衡发展，
实现从教到育、从学到习的全面提升。
学而思网校教研中心
目录
CONTENTS
第1 讲
得失之道............................................. 2
第2 讲
宇宙有多大........................................ 20
第3 讲
卫生纸有多厚..................................... 34
第4 讲
变化的价格........................................ 50
第5 讲
实验室的奥秘..................................... 66
第6 讲
寻找必胜策略..................................... 82
第1 讲
得失之道
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目标A+ 班·六年级（全国版）「寒」
6
PART
1
认识负数
【知识点1】负数的认识及符号
1. 为了表示两种相反意义的量，需要用两种数。一种是我们以前学过的数，如：3、500、
3.14、10
17 等，这些数都是正数；另一种是在这些数前面添上负号“-”的数，如：-3、-500、
-3.14、-10
17 等，这些数是负数。
2. 一个数前面的“+”、
“-”号叫做它的符号。正数前面的“+”可以省略，如：3 与+3 表示同
一个正数。负数前面的“-”不可以省略，如：3 与-3 表示不同的数。
3. 0 既不是正数，也不是负数。
4. 用正、负数表示相反意义的量：如果正数表示某种意义，那么负数表示它的相反意义，
反之亦然。“相反意义的量”包括两个方面的含义：一是相反意义；二是在相反意义的基
础上要有量。例如：用正数表示向南，那么向北3km 可以用负数表示为-3km 。
第1 讲
得失之道
7
例题1
（1）某市2019 年每个季度的平均气温如下表，你能在温度计上表示出这些温度吗？
想一想 ?
（1）+20℃和20℃表示的温度一样吗？-10℃和10℃呢？
（2）在-10℃、15℃、20℃、-5℃这几个温度中哪个温度最低？哪个温度最高？
例题1
（2）如果收入100 元记作+100 元，那么−80 元表示（ ）。
A. 支出80 元
B. 收入20 元
C. 支出20 元
D. 收入80 元
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8
例题1
（3）一辆汽车前进50 米记作+50 米，那么前进90 米记作
米，后退10 米记作
米。（ ）
A. +90，+10
B. −90，−10
C. +90，−10
D. −90，+10
想一想 ?
0 是正数还是负数呢？0 与正数和负数有什么关系？
例题2
把下面各数填入相应的圈里。
−7 6 −8.9 +3.7 −51
5 6.52 17.4 −0.1 0 7
9
第1 讲
得失之道
9
课中阅读
中国是世界上最早认识和应用负数的国家，比西方早一千多
年。据史料记载，早在两千多年前, 我国就有了正负数的概念。
刘徽是我国魏晋时期的著名数学家，他在建立负数的概念上
有重大贡献。并首先给出了正负数的定义——“今两算得失相反，
要令正负以名之”。意思是，在计算过程中遇到具有相反意义的量，
要用正数和负数来区分它们。此外，刘徽还给出了区分正负数的方
法，他提出“正算赤，负算黑；否则以邪正为异”。意思是，用红色的
小棍摆出的数表示正数，用黑色的小棍摆出的数表示负数；也可以
用正摆的小棍表示正数，用斜摆的小棍表示负数。负数的引入是我
国数学家杰出的贡献之一。
在中国之后最早提出负数的是印度人。印度数学家婆罗摩笈
多在《婆罗摩历算书》一书中，把负数解释为负债和损失。
西方首先使用负数的人是古希腊数学家丢番图，尽管他不承
认方程有负数解, 但已认识到负数解的存在。至14 世纪，欧洲数学
家丘凯和斯蒂弗尔都发现了负数，却又称负数为“荒谬的数”。直到
1572 年，意大利数学家邦贝利在其著作《代数学》一书中才给出了
负数的明确定义。1629 年，荷兰数学家吉拉德在其著作《代数新发
现》中用“-”表示负数和减法运算，得到公认，一直沿用至今。
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10
PART
2
数轴
【知识点2】数轴的认识
1. 数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线。
2. 沿着正方向，数轴上的数逐渐增大。正数与原点的距离越远，数值就越大；相反，负数与
原点的距离越远，数值就越小。
【知识点3】数轴的使用
1. 数轴可以帮助我们更加直观地认识负数、解决问题。在实际应用中，遇到需要构建数轴
才能解决的问题时，首先要规定数轴的正方向，然后才能建立数轴。
例题3
（1）他们都以大树为起点。若我们规定由此向东走1 米记为+1 米。
①如何在一条直线上表示出他们运动后的情况呢？
②像这样规定了原点、正方向和单位长度的直线叫
。
第1 讲
得失之道
11
例题3
（2）在下面的数轴上标出表示−2.5、−0.5、1.5、2 四个数的点。
例题4
在数轴上画一画。
（1）以学校为起点，向东走400m 是小宇家，向西走300m 是小欣家。小涵家在学校西面500m
处，小悦家在学校东面200m 处。请在数轴上分别表示出小欣家、小涵家和小悦家的位置。
（2）如果小亮从学校出发，先去给小宇送书，再向西行500m，请在数轴上标出小亮现在的位置。
想一想 ?
借助数轴，你能算出来小亮总共走了多少米吗？
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12
例题5
一名足球守门员练习折返跑，从球门线出发，向前记作正数，返回记作负数，他的运动记录如
下：
（单位：米）
+5、−3、+10、−8、−3、+12、−13
（1）守门员最后是否回到了球门线的位置？
（2）在练习过程中，守门员离开球门线的最远距离是多少米？
（3）守门员全部练习结束后，他共跑了多少米？
第1 讲
得失之道
13
PART
3
负数的应用
例题6
六（1）班第一小组的同学平均体重是48 千克，以平均体重为标准，小明的体重是50 千克，
记作+2 千克，小红的体重是45 千克，记作
千克，小华的体重是47.5 千克，记作
千克。
出现“以平均体重为标准”等词语时，就表明这
个标准数值对应数轴上的原点。
例题7
体育课上，五名女生进行了百米跑测试，达标成绩为18 秒，超过18 秒的部分用正数表示，少于
18 秒的部分用负数表示，成绩如下表。
（1）这五名女生的实际成绩分别是多少秒？
（2）这次测试的合格率是多少？
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14
一辆公共汽车从起点站开出后，途中经过6 个停靠站，最后到达终点站。下表记录了这辆公共
汽车全程载客数量的变化情况。（上车人数记为正数，下车人数记为负数）
（1）算一算，中间6 个站共上车
人，共下车
人。
（2）在中间6 个站中，第
站没有人上车，第
站没有人下车。
15
【知识点1】负数的认识及符号
1. 正数：像3、500、3.14、10
17 这样大于0 的数叫做正数。
负数：像-3、-500、-3.14、-10
17 这样小于0 的数叫做负数。
2. 一个数前面的“+”，
“-”号叫做它的符号。正数前面的“+”可以省略，负数前面的“-”
不可以省略。
3. 0 既不是正数，也不是负数。
4. 用正、负数表示相反意义的量：如果正数表示某种意义，那么负数表示它的相反意义，
反之亦然。
【知识点2】数轴的认识
1. 数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线，沿着正方向，数轴上的数逐渐增
大。
【知识点3】数轴的使用
1. 在构建数轴时，首先要规定数轴的正方向，然后才能建立数轴。
1. 出现“以……为标准”或“达标”等词语时，就表明该标准数值对应
数轴上的原点。
☆核心方法
如何在数轴上正确地表示数：
（1）画出数轴，确定正方向（一般以右为正方向）；
（2）确定要表示的数是正数还是负数，在正方向为右的
数轴上，正数都在0 的右侧，负数都在0 的左侧；
（3）找到数轴上该数对应的点，用一实心圆点标识出来，
并标注数值。
16
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18
课堂巩固
1 下列说法中正确的是（ ）。
A. 如果气球上升30 米记为+30 米，那么−30 米就表示气球下降了−30 米
B. 如果气温下降3◦C 记作−3◦C，那么+6◦C 表示气温上升6◦C
C. 将1 米设为标准0 米，高1.2 米记作+0.2 米，那么−0.04 米所表示的高是0.04 米
2 在−11、4.8、+7、−2.7、1
6、12、+3
4、1 中，正数有（ ）个。
A. 1
B. 2
C. 5
D. 6
3 数轴上有1
5、−1、1
10 三个点，这三个点中最接近0 的是（ ）。
A. −1
B. 1
5
C. 1
10
第1 讲
得失之道
19
4 小伟家元月份的收支情况如下：
爸妈基本工资收入6350 元，爸妈绩效工资收入2500 元。给爷爷、外公各800 元，购买
生活用品400 元，交上月水、电、气等费用300 元，买新衣服1900 元，买电脑用3200
元，购买食品900 元。请根据以上信息填写下表。
5 规定向东为正，下图每格表示1m。
（1）明明开始在0 处，他现在的位置是+5m，说明他是从0 点向
行走了
m。
（2）兰兰开始在0 处，她向西行走了3m，请在图中用“*”标出她的位置。
（3）丽丽从0 点出发，先走+3m，再走−6m，请在图中用“△”标出她最后的位置。
第2 讲
宇宙有多大
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24
PART
1
极端分析与局部调整
【知识点1】拆数问题
1. 极端分析：和一定，想要拆出的数更多，每个数都要尽量小。
2. 局部调整：找到最多的数量之后，调整某些数的大小，使得总和符合题目条件。
【知识点2】划数问题
1. 先确定数位，在数位固定的情况下，多位数大小主要取决于首位。优先让首位最大（或
最小），然后再局部调整。
注意：首位不能为0。
例题1
（1）100 最多能写成
个不同的正整数之和。
（2）70 最多能写成
个不同的正整数之和。
尝试从1 开始枚举
第2 讲
宇宙有多大
25
例题2
70 这个数最多能写成
个不同的偶数之和。（偶数≥0）
例题3
将除0 以外的前11 个自然数依次无间隔地写成一个13 位数：1234567891011，从中划去10
个数字，那么剩下的三位数最大是
，最小是
。（数字前后顺序不变）
想一想 ?
在数位固定的情况下，谁是决定多位数大小的关键？
例题4
从1101987654321 中划去10 个数字，那么剩下的三位数最大是
，最小是
。
（数字前后顺序不变）
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26
课中阅读
“爸爸，世界上最小的东西到底是什么啊？”吃完晚饭后，许多
迫不及待地继续问道。
“其实你刚才说的细胞，对于我们人类，已经算是非常小了。因
为一个成年人，体内有40 万亿到60 万亿个细胞。但实际上，与其
他更小的东西相比，细胞其实也是个庞然大物呢！”爸爸笑了笑，继
续说，
“我们生活当中大大小小，所有看得见摸得着的东西，都是由
分子组成的。比如，空气中充满了氮气分子、氧气分子等多种气体
分子，杯子里的水主要成分也是水分子。细胞可以被光学显微镜放
大看到，它是由各种各样的分子组成的。但是细胞的体积可以是分
子的几亿倍，用光学显微镜可是看不到分子的。”
“那还有比分子更小的东西吗？”许多眨着大眼睛，追问道。
“有！分子是由原子组成的，原子自然就更小咯。什么？你问原
子有多小？原子的尺寸大小不一，最小的原子是氢原子。氢原子有
多大呢？举个例子：如果把氢原子排成一排，想要凑出1 米的长度，
则需要超过100 亿个才能实现。”爸爸说完后，看到许多还想追问，
第2 讲
宇宙有多大
27
课中阅读
笑着继续说：
“你是不是还想知道有没有比原子更小的东西？其实
还有，原子一般是由质子、中子和电子组成的，而质子和中子是由
夸克组成的。至于有没有比夸克更小的东西，科学家们还在研究。
所以到目前为止，人类发现的最小的物质单元，是夸克哦。”
许多听完，激动地说道：
“哇，这个世界真是太神奇了！等我长
大了以后，也要成为一名科学家！不过，我到底是去研究宇宙呢，还
是研究夸克呢？我的选择困难症又犯啦！”
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28
PART
2
经典最值问题
【知识点3】最值原理
1. 和一定，差小积大；
积一定，差小和小。
例题5
（1）如果两个数的和为18，那么这两个数的乘积最大为
。
（2）如果两个数的乘积为36，那么这两个数的和最小为
。
第2 讲
宇宙有多大
29
例题6
用1、2、3、4、5、6 这6 个数字各一次，分别组成两个三位数，则乘积最大时算式是
，
最小时算式是
。
例题7
用1、2、3、4 共四个数字组成两个两位数（每个数字用一次），那么这两个两位数的乘积最大是
，乘积最小是
。
用24 根长1 厘米的火柴棒围成一个长方形，这个长方形的面积最大是
平方厘米；如
果用22 根火柴棒，组成的长方形面积最大是
平方厘米。
30
【知识点1】拆数问题
1. 极端分析：和一定，想要拆出的数更多，每个数都要尽量小。
2. 局部调整：找到最多的数量之后，调整某些数的大小，使得总和符合题目条件。
【知识点2】划数问题
1. 先确定数位，在数位固定的情况下，多位数大小主要取决于首位。优先让首位最大
（或最小），然后再局部调整。
注意：首位不能为0。
【知识点3】最值原理
1. 和一定，差小积大；
积一定，差小和小。
1. 和一定，想要拆出的数更多，尝试从1 开始枚举。
☆核心方法
数字谜中的最值：
（1）先从首位开始，确定每个数位对应的两个数字。
（2）根据最值原理
①求最大值：
首位较大的数，首位后跟的数字要尽量小；
首位较小的数，首位后跟的数字要尽量大。
②求最小值：
首位较大的数，首位后跟的数字要尽量大；
首位较小的数，首位后跟的数字要尽量小。
31
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32
课堂巩固
1 电视台要播放一部30 集的电视连续剧，如果要求每天播放的集数互不相等，该电视
剧最多可以播放（ ）天。
A. 6
B. 7
C. 8
2 两个整数的和是21，那么这两个数的乘积最大是（ ）。
A. 21
B. 80
C. 110
3 已知两个数的乘积是100，这两个数的和最小是（ ）。
A. 18
B. 20
C. 52
第2 讲
宇宙有多大
33
4 有一个多位数是521310467，从中划去6 个数字，剩下的（先后顺序不变）三位数最
大是
，最小是
。
5 请将2、3、4、5 不重复地填入算式“□□×□□”的方格中。算式结果最大是
。
第3 讲
卫生纸有多厚
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38
PART
1
圆柱与圆锥
【知识点1】圆柱与圆锥基本公式
1. 圆柱的表面积= 底面积×2 + 侧面积
S = 2πr2 +2πrh
2. 圆柱的体积= 底面积× 高
V圆柱= πr2h
3. 圆锥的体积= 底面积× 高×1
3
V圆锥= 1
3πr2h
例题1
一个长方体、一个圆柱和一个圆锥，它们的底面积和体积分别相等。如果长方体的高是9 厘米，
圆柱的高是
厘米，圆锥的高是
厘米。
直柱体的体积一定时，底面积若相等，则高也相等。
长方体体积= 底面积× 高
圆柱体积= 底面积× 高
圆锥体积= 底面积× 高×1
3
第3 讲
卫生纸有多厚
39
例题2
许多家用的卫生纸近似为圆柱体，底面直径为10 厘米，高度为15 厘米，且为实心结构，外面有
一层透明塑料包装袋（不考虑塑料包装袋重叠部分，π 取3.14），那么：
（1）这卷纸所需透明包装袋的面积至少为
平方厘米。
（2）若卫生纸的高增加5 厘米，则包装袋面积需要增加
平方厘米。
例题3
把一个高是8 厘米的圆柱体，沿水平方向锯去2 厘米后，剩下的圆柱体的表面积比原来的圆柱
体的表面积减少12.56 平方厘米。原来的圆柱体的体积是
立方厘米。（π 取3.14）
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40
PART
2
环柱体积
【知识点2】环柱体积求法
1. 方法一：环柱体积= 大圆柱体积- 小圆柱体积
方法二：环柱体积= 底面圆环面积× 高
例题4
卷纸也分不同的种类，一种是许多家的实心卷纸，另一种是空心的卷纸。若某品牌的空心卫生
卷纸的底面外围直径为14 厘米，厚度为4 厘米，高度为10 厘米，它的体积是
立方
厘米。（π 取3.14）
第3 讲
卫生纸有多厚
41
例题5
图中所示的是我们生活中常用的卷筒卫生纸，你知道每格卫生纸有多厚吗？从卫生纸的包装纸
上得到以下资料：单层300 格，每格的尺寸为10cm×11cm，我们用尺子量出整卷卫生纸的内外
半径分别为2cm 和6cm。（π 取3）
（1）整卷卫生纸的体积为
cm3。
（2）每格卫生纸的厚度为
mm。
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42
课中阅读
斜而不倒的比萨斜塔
比萨斜塔是比萨城大教堂的独立式钟楼，建筑史上的重要建
筑之一，位于意大利托斯卡纳省比萨城北面的奇迹广场。根据塔基
上的碑文记载，它从1174 年修到了1350 年，长达176 年。但由于
塔身过重，地质松软，比萨斜塔以每年1.25 毫米的速度向南倾斜。
至今，塔顶比中轴线偏斜已超过4.5 米。意大利为了拯救斜塔，向
全球征集保护方案，并在塔的北侧增加了830 吨的铅块，在塔身的
三分之一处增加铜缆牵拉固定。因“斜”慕名而来的游客络绎不绝。
如果它是一座笔直的塔，也许就不会有今天的风光了。
它闻名于世的原因，除了严重的倾斜，还有大胆的圆形建筑设
计。虽然钟楼采用圆形地基的设计并不少见，但是，比萨钟楼被认
为是更大程度上对圆形建筑的发展，形成了独特的比萨风格。比萨
斜塔类似一个圆柱，高54.5 米，直径16 米，共8 层，四周以圆形立
柱环绕，远远看上去像是一个大鸟笼。
第3 讲
卫生纸有多厚
43
课中阅读
这座斜塔还有另外一个闻名天下的故事，意大利的伟大科学
家伽利略，曾在斜塔的顶层做过自由落体运动的实验，将两个重量
不同的铁球，同时从塔顶扔下。结果，两球竟然同时着地，一举推翻
了希腊著名学者亚里士多德“重量不同的物体其下落的速度也不
同”的理论。伽利略开创了实验物理的新时代，被人们称为“近代科
学之父”，而他用来做实验的斜塔也因此更加闻名。
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44
PART
3
综合应用
例题6
如图，一个饮料瓶内装有饮料，将瓶盖拧紧后倒置。已知这个饮料瓶的容积是480mL，则瓶内的
饮料有
mL。
饮料瓶倒置前后，液体形状改变，体积不变；同
样的，瓶内空气形状改变，体积不变。
例题7
某个瓶子的底面直径为10cm，装有一定量的液体，正放的时候液体高度为10cm。若将瓶子倒
置，此时液面距离瓶底高度为20cm。那么这个瓶子的容积为
cm3。（π 取3.14，瓶子
的厚度忽略不计）
第3 讲
卫生纸有多厚
45
如图，瓶子的底面积和锥形杯杯口的面积相等，将瓶子中的液体倒入锥形杯子中，能倒满
杯。（瓶子及锥形杯子厚度忽略不计）
46
【知识点1】圆柱与圆锥基本公式
1. 圆柱的表面积= 底面积×2 + 侧面积
S = 2πr2 +2πrh
2. 圆柱的体积= 底面积× 高
V圆柱= πr2h
3. 圆锥的体积= 底面积× 高×1
3
V圆锥= 1
3πr2h
【知识点2】环柱体积求法
1. 环柱体积= 大圆柱体积−小圆柱体积
V环柱= πR2h−πr2h
环柱体积= 底面圆环面积× 高
V环柱= π
R2 −r2
h
1. 直柱体的体积一定时，底面积若相等，则高也相等。
2. 饮料瓶倒置前后，液体形状改变，体积不变。
同样的，瓶内空气形状改变，体积不变。
☆核心方法
由圆柱的表面积变化求表面积或体积：
圆柱的高± a cm 时，表面积± Ncm2
（1）由N = 2πr ×a，求出r；
（2）原体积：V1 = πr2 ×h；变化后的体积：V2 = πr2 (h±a)；
（3）原表面积：S1 = 2πr2 +2πr ×h；
变化后的表面积：S2 = 2πr2 +2πr ×(h±a)。
47
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48
课堂巩固
1 等底等高的圆柱、正方体、长方体的体积相比较，（ ）。
A. 正方体体积大
B. 长方体体积大
C. 圆柱体体积大
D. 一样大
2 高24 厘米的圆锥形容器里装满了水，把这些水全部倒入与它等底等高的圆柱形量杯
内，水面高（ ）厘米。
A. 8
B. 16
C. 0
D. 12
3 如图，有一种饮料包装瓶的容积是1.5 升。现瓶里装了一些饮料，正放时饮料高度为
20 厘米，倒放时空余部分的高度为5 厘米，那么瓶内现有饮料（ ）升。
A. 1
B. 1.2
C. 1.25
D. 1.375
第3 讲
卫生纸有多厚
49
4 一卷卫生纸是一个底面半径为6 厘米，高15 厘米的圆柱。已知此卫生纸的厚度为0.2
毫米，那么这卷卫生纸展开后有
米。（π 取3.14）
5 一个圆柱削成一个最大的圆锥，体积减少了12 立方厘米，原来圆柱的体积为
立方厘米。
第4 讲
变化的价格
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54
PART
1
进价之外的成本
【知识点1】经济类问题的相关概念
1. 进价：商品的买入价，一般称为商品的成本。
2. 定价：商品标出的价格，也称为标价，不一定等于售价。
3. 售价：商品被卖出时的价格，也称为卖出价。
4. 成本：商品进价及进价之外的费用和。进价之外的费用，如：运费、仓储费等。
5. 利润：商品卖出后商家赚到的钱。
6. 折扣：售价（现价）与定价（原价）的比。商家经常打折出售商品，所谓打折就是在原
价基础上给予一定的优惠，比如“打九折”就是指现价只有原价的90%，
“打八五折”就
是现价只有原价的85%。
【知识点2】经济类问题相关公式
1. 利润= 售价- 成本
2. 利润率= 利润÷ 成本×100%
3. 利润率=（售价- 成本）÷ 成本×100%
4. 利润率= 利润÷（售价- 利润）×100%
第4 讲
变化的价格
55
例题1
某果品公司购进苹果5 万千克，每千克的进价是0.8 元，运费的开支为5000 元，运输和销售过
程中没有损耗。如果希望全部销售后能获利50%，则每千克苹果零售价应当定为
元。
例题2
某果品公司购进香梨3 万千克，每千克的进价是0.6 元，运费的开支为4000 元，运输和销售过
程中没有损耗。如果希望全部销售后能获利80%，则每千克香梨零售价应当定为
元。
想一想 ?
如果运输和销售过程中有损耗，要想保证利润率不变，又该如何定价呢？
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56
例题3
某水果店到苹果产地去收购苹果5 吨，收购价为每千克0.84 元。从产地到水果店距离200 千
米，运费为每吨货物每运1 千米收1.2 元。如果在运输及销售过程中的损耗是10%，商店要想
实现25% 的利润率，零售价应是每千克
元。
例题4
某公司要到外地去推销产品3 吨，产品进价为3000 元／吨。从公司到外地距离是400 千米，
运费为每吨产品每运1 千米收1.5 元。如果在运输及销售过程中产品的损耗是10%，那么公司
要想实现25% 的利润率，零售价应是每吨
元。
第4 讲
变化的价格
57
PART
2
售价变化
想一想 ?
生活中，哪些情况下，商家会改变售价？
例题5
商店以每件50 元的价格购进一批衬衫，售价为每件70 元。当卖到只剩下7 件的时候，商店以
原售价的8 折售出，最后商店一共获利702 元，那么商店一共进了
件衬衫。
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58
课中阅读
影响蔬菜价格的主要因素
1、季节因素：蔬菜价格在每年9、10 月份开始上涨，主要是天
气转凉，蔬菜产量下降，价格上涨会从冬季持续到第二年的3、4 月
份。随着天气转暖，价格回落，到7 月份，蔬菜价格会跌到较低位
置。但是，夏季蔬菜也不全是低价，高温和暴雨会给仓储和运输带
来较大压力，也会影响价格。
2、种植成本：如果种子、化肥、基础设施、人工等成本上涨，蔬
菜价格也会随之上涨。比如：春季，就会有很多虫子，需要农药防
虫，而到了秋季，就很少有虫害；再比如，夏季黄瓜的虫害就很少，
而到了秋季，黄瓜更容易生蚜虫。所以一些蔬菜会在易生虫害的季
节涨价。
3、仓储及运输：仓储需要考虑仓库租金，冷藏需要考虑电费，
运输需要考虑司机工资、油价等。比如：道路是否便于行驶会影响
运输时间的长短，成本也会有所差异。如果赶上道路维修、堵车等
情况，储存不力会导致蔬菜损耗变大，价格也会随之上涨。
4、距离：如果蔬菜产地与销往地之间的距离较大，仓储及
运输费用会更高，比如：竹笋，这种蔬菜可不是全国各地都能种植，
即使是蔬菜大棚也很难种植出优良的竹笋。我国的竹笋常产于长江
第4 讲
变化的价格
59
课中阅读
中下游以及珠江流域、福建、台湾等地，若在西北地区和东北地区，
想要吃到新鲜的竹笋，就要付出更大的成本。
5、包装：随着收入的提高, 人们对蔬菜的品质要求更高，比如：
有的蔬菜会在容器内滚动、摩擦，为了避免损耗，需要定位包装（例
如鸡蛋）、捆扎或者添加支撑物；有的蔬菜还需要保持通风透气，否
则极易腐烂。
同学们，你们认为还有哪些因素会影响蔬菜的价格呢？
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60
例题6
某商店以每双13 元的价格购进一批拖鞋，售价为每双14.8 元，卖到还剩5 双时，除去购进这
批拖鞋的全部成本外还获利88 元。这批拖鞋共有
双。
假设剩余部分也按售价卖出，此时这部分的收
入均为利润。
例题7
某店主以每个10 元的价格购进一批玩具，售价为每个15 元，卖到还剩5 个时，除去购进这批
玩具的全部成本外还获利40 元。则这批玩具共有
个。
第4 讲
变化的价格
61
学校旁边的小店卖一批小皮球，进价每只1.5 元，卖出价每只2 元。当卖到只剩下20 只皮球时，
开始让利销售，以九折出售。皮球全部卖完后，共得利润86 元，那么这批皮球一共有
只。
62
1. 假设剩余部分也按售价卖出，此时这部分的收入均为利润。
☆核心方法
（1）含运费和损耗的售价：
①计算运费：距离× 每千米运费= 总运费
②计算成本：进价+ 总运费= 成本
③计算预期售价：成本×（1 + 利润率）= 预期售价
④实际售价：预期售价÷（1 - 损耗）= 实际售价
（2）巧解中途打折：
方法一：假设全部按原价售出
①原利润= 现利润+ 少的利润
= 现利润+ 售价×（1 - 折扣）× 打折件数
②件数= 原利润÷（售价- 成本）
方法二：去掉打折部分的利润
①不含打折部分的利润
= 现利润- 打折部分的利润
= 现利润- （售价× 折扣- 成本）× 打折件数
②件数
= 原价件数+ 打折件数
= 不含打折部分的利润÷（售价- 成本）+ 打折件数
63
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64
课堂巩固
1 某一件商品按20% 的利润率定价，然后8.8 折卖出，共获得利润84 元。那么这件商
品的成本是（ ）元。
A. 1300
B. 1400
C. 1500
2 某超市以每双200 元的进价购进100 双鞋，另外支付了运费1000 元，运输和销售过程
中没有损耗。如果希望全部销售后能获利20%，则每双鞋的零售价应当定为（ ）
元。
A. 250
B. 252
C. 254
3 某商店到苹果产地去收购苹果，收购价为每千克1.20 元。从产地到商店的距离是400
千米，运费为每吨货物每运1 千米收1.50 元。如果不计损耗，那么商店要想实现25%
的利润率，每千克零售价应是（ ）元。
A. 2.2
B. 2.3
C. 2.25
第4 讲
变化的价格
65
4 果品公司购进苹果1 万千克，每千克进价是0.98 元，付运费等开支共1200 元，预
计损耗为20%。如果希望全部进货销售后能获利20%，每千克苹果零售价应当定为
元。
5 学校旁边的商店卖一批足球，进价每个40 元，卖出价每个60 元，当卖到只剩下3 个
足球时，开始让利销售，以七折出售。足球全部卖完后，共得利润646 元，那么这批足
球一共有
个。
第5 讲
实验室的奥秘
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70
PART
1
方程法巧解浓度
基本公式
溶液= 溶质+ 溶剂
浓度= 溶质
溶液×100%
溶液= 溶质÷ 浓度
例题1
（1）现有20 千克浓度为10% 的糖水，再加入
千克水，可以得到浓度为8% 的糖水。
（2）现有20 千克浓度为10% 的糖水，再加入
千克糖，可以得到浓度为25% 的糖水。
想一想 ?
在糖水溶液中，加水和加糖，溶质、溶液和浓度分别发生怎样的变化？
第5 讲
实验室的奥秘
71
例题2
有600 克含糖量为7% 的糖水，为了得到含糖量为10% 的糖水，需要再加入糖
克。
在糖水溶液中，加糖后，溶质变多，溶液变多，浓
度变高；
在糖水溶液中，加水后，溶质不变，溶液变多，浓
度变低。
例题3
有若干含盐率为30% 的盐水，加入100 克水后含盐率变为20%，则原有含盐率30% 的盐水
克。
含盐率即浓度。以盐水为例，浓度也可以叫作含
盐率、含盐百分比。
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72
PART
2
探索十字交叉法
想一想 ?
现有浓度为30% 的糖水和浓度为20% 的糖水，二者混合后，浓度可能是多少？影响混合后糖
水浓度的因素是什么？
例题4
在100 千克浓度为50% 的糖水中，再加入
千克浓度为5% 的糖水，就可以配制成浓
度为25% 的糖水。
第5 讲
实验室的奥秘
73
例题5
现有20 千克浓度为10% 的糖水，再加入
千克浓度为30% 的糖水，可以得到浓度为
22% 的糖水。
例题6
把600 克浓度为95% 的酒精稀释为浓度为75% 的医用酒精，需加入
克的水。
在溶液中，加入溶质，相当于加入浓度为100%
的“溶液”；
在溶液中，加入溶剂，相当于加入浓度为0% 的
“溶液”。
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74
课中阅读
男生多？还是女生多？
有一个班，男生的平均身高是150cm，女生的平均身高是160cm。
如果班上有1 个男生、1 个女生，则全班平均身高是多少呢？答案
是155cm，这很容易计算。如果班上有100 个男生、100 个女生，
则全班平均身高是多少呢？答案还是155cm。夸张一点，如果班上
有1 亿个男生、1 亿个女生，则全班平均身高是多少呢？答案还是
155cm，因为，男女生人数相同，则全班平均身高恰好都是150 与
160 的平均数155。如果此时这个班有1 亿个男生、（1 亿+1）个
女生，则这个班的平均身高就不再是155cm，上面的平衡会被打破，
结果会大于155cm，这是由于女生的人数多了，比重增大，提高了平
均数。当然更极端的情况是全班只有1 个男生、1 亿个女生，则平
均身高会非常接近160cm。
上面通过男、女生平均身高和各自人数的变化，可以简单估算
出全班平均身高的变化。类似地，通过全班平均身高的数值也可
以简单估算出男、女生人数的情况。假如仍然是有一个班，男生的
平均身高是150cm，女生的平均身高是160cm，此时全班平均身高
152cm。你能判断出男生多，还是女生多吗？由于平均数靠近男生
的平均身高150cm，说明全班中男生比重大，人数多于女生。我们
第5 讲
实验室的奥秘
75
课中阅读
还可以再进一步量化这些数据，例如男生人数是女生的多少倍？答
案是4 倍。因为每个女生将平均数提高8cm，每个男生将平均数拉
低2cm，4 个男生可以“平衡”1 个女生。
“十字交叉法”可以快速巧妙地解决此类问题：
所以“十字交叉法”不仅可以应用在浓度问题中，它在比例问
题、平均数问题中都大有用处！
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例题7
将浓度为20% 的盐水与浓度为5% 的盐水混合，配成浓度为15% 的盐水600 克，需要浓度为
20% 的盐水
克和5% 的盐水
克。
把90 千克浓度为50% 的酒精溶液全部稀释为浓度为30% 的酒精溶液，需要加水（ ）。
A. 60 千克
B. 70 千克
C. 85 千克
D. 105 千克
77
基本公式
溶液= 溶质+ 溶剂
浓度= 溶质
溶液×100%
溶液= 溶质÷ 浓度
1. 在糖水溶液中，加糖后，溶质变多，溶液变多，浓度变高；
在糖水溶液中，加水后，溶质不变，溶液变多，浓度变低。
2. 含盐率即浓度。以盐水为例，浓度也可以叫作含盐率、含盐百分比。
3. 在溶液中，加入溶质，相当于加入浓度为100% 的“溶液”；
在溶液中，加入溶剂，相当于加入浓度为0% 的“溶液”。
☆核心方法
（1）列方程解浓度问题：
①求谁设谁；
②根据“溶质÷ 浓度= 溶液”列出方程；
③解方程得结果；
④将结果代入方程检验。
78
（2）十字交叉法解浓度问题：
已知A 溶液的浓度，B 溶液的浓度，以及混合后C 溶液的浓度（A 浓度>B 浓度）
, 求各溶液的量。
①A 浓度- C 浓度= a
②C 浓度- B 浓度= b
③A 溶液的量：B 溶液的量= b : a
④根据比例的基本性质可求出各溶液的量
79
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80
课堂巩固
1 把100 千克的盐溶于1 吨的水中，盐与盐水的质量之比是（ ）。
A. 1
9
B. 1
10
C. 1
11
D. 1
12
2 在含盐率为2% 的盐水中加入了含盐率为5% 的盐水，结果与2% 的盐水相比，含盐
率（ ）。
A. 提高了
B. 降低了
C. 不变
D. 不能确定
3 现有200 克浓度是15% 的盐水，为了制成浓度为10% 的盐水，需要加入水（ ）
克。
A. 50
B. 100
C. 150
第5 讲
实验室的奥秘
81
4 现有250 克浓度为20% 的糖水，加入70 克糖，这时糖水的浓度变为
%。
5 将100 克浓度为40% 的糖水倒入a 克浓度为20% 的糖水中，得到浓度为25% 的糖
水，则a =
。
第6 讲
寻找必胜策略
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86
PART
1
倒推法
【知识点1】认识对策问题
1. 对策问题：用数学的观点和方法来研究取胜策略的问题叫做对策问题。
2. 对策问题的3 个基本要素
（1）局中人：在一场竞赛或争斗中的参与者。他们为了在对策中取得最终胜利，必须制
定出对付对手的行动计划，这种有决策权的参加者称为局中人。局中人并不是特指某
一个人，而是指参加竞争的各个阵营。
只有两个局中人的对策问题称为“双人对策”，而多于两个局中人的对策问题称为“多
人对策”。
（2）策略：是指某一局中人的一个“自始至终通盘筹划”的可行方案。在一局对策中，各
个局中人可以有一个策略，也可以有多个策略。
（3）一局对策的得失：在一局对策中，必有胜利者和失败者。比赛成绩的好坏，我们称
之为“得失”。每个局中人在一局对策中的得失与全体局中人所采取的策略的优劣有着
直接的关系。
第6 讲
寻找必胜策略
87
想一想 ?
如果是你在参与游戏：
（1）在你面前剩下几根火柴的时候（轮到你拿），你能保证拿到最后一根？
（2）如果两人各拿一次算一轮，那么在倒数第二轮，你应该给对方剩下几根火柴，才能保证下
一轮你能拿到最后一根火柴？
（3）这样一轮一轮地倒推回去，你发现了什么？
例题1
有9 根火柴，甲、乙两人轮流取，规定每人每次可以取1 根或者2 根火柴，不能不取，取走最后
一根火柴的人为胜者。则如果甲先取，
有必胜的策略。
学而思数学思维
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88
例题2
有12 盆花摆成一排，阿春和李红轮流取花，每人每次只可取1 盆或2 盆，谁取到最后一盆谁就
算赢。如果双方采取最佳策略，阿春先取，那么（ ）将获胜。
A. 阿春
B. 李红
例题3
桌子上放着30 根火柴，甲、乙二人轮流取火柴，每人每次可以取1 根、2 根或者3 根，不能不取。
规定谁取走最后一根火柴谁获胜。如果甲先取，已知甲有必胜策略，甲第一次拿的是
根。
第6 讲
寻找必胜策略
89
课中阅读
倒推法
不知道你有没有注意到，今天我们解决问题的思维方式其实
并不是第一次使用了。我们解决问题，经常是从最终要得到的结果
出发，反过来推出要如何操作。实际上之前也经常使用这种从目标
倒推的思考方式，我们称它为“倒推法”。大家可能觉得倒推法听起
来很陌生，但其实在生活中，倒推法有着很重要的作用。
比如走迷宫这件事，如果从入口开始走，会有很多的岔路可以
选择，我们想要走到终点可能需要尝试很多次。但如果从出口倒推
的话，就能排除很多错误路线，那么找到那条正确路线就会方便很
多。
再比如当我们制定学习计划的时候，常常会陷入一种迷茫的
状态：我最近应该做什么？制定什么计划比较合理？这时候其实也
可以利用倒推法来制定计划。我们可以先制定一个目标，比如说，
期末考试之前要做多少练习，然后就根据目标，反过来想期末考试
前一个月应该做完多少，考试前两个月应该做完多少，再进一步细
化到每周，到每天，最终就可以制定出一个比较合理的计划。
就如同我们回忆上一周做了什么事情，一般都是从昨天开始
向前回忆一样，倒推法是一种由熟悉向陌生推导的方法。那么在下
面的学习中，我们就继续利用这种思考方式来解决问题吧！
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90
PART
2
对称思想
【知识点2】对称法
1. 同等情况下，模仿对方步骤可以达到制胜目的；
2. 不同等情况下，创造对称局面方可制胜。
想一想 ?
如果是两堆火柴，且每堆只有1 根，由两个人轮流从两堆里的其中一堆拿，拿的根数不限（不
能不拿），谁拿到最后一根谁获胜。你会选择先拿还是后拿？如果每堆只有2 根呢？你发现了
什么？
第6 讲
寻找必胜策略
91
例题4
有两堆火柴，每堆都有36 根。两人轮流从两堆里的其中一堆拿，拿的根数不限（不能不拿）。
谁拿到最后的部分谁获胜。那么先拿者胜还是后拿者胜？获胜的策略是什么？
例题5
有两堆火柴，其中一堆有25 根，另一堆有38 根。两人轮流从两堆里的其中一堆拿，拿的根数
不限，但不能不拿。谁拿到最后的部分谁获胜。如果两人都采用最佳的策略，那么谁将必胜？获
胜的策略是什么？
从数量多的那堆拿出13 根试试看
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92
PART
3
必胜点
【知识点3】必胜点
1. 在移动棋子时，如果将棋子移动到某些点（或格），往后无论对方再如何移动棋子，我
们都能获胜，就把这些点（或格）叫做必胜点（或必胜格）。
在移动棋子的游戏中，抢占必胜点尤为重要。
【知识点4】抢占必胜点的原则
1. 能一步到必胜点的位置均是不能走的地方，也可以称为必败点。
2. 每一步都要抢占必胜点，那么就可以一直占着必胜点移动到终点。
下图是寻找必胜点的方法，由最后的终点，倒推来确定前一个必胜点。
（规则：每步可以选择向右、向上、向右上方45◦走一格）
第6 讲
寻找必胜策略
93
例题6
如图，方格A 中放有一枚棋子，甲先乙后轮流移动这枚棋子，每次只能向上、向右或向右上方沿
45◦角走1 格，最终将棋子走到方格B 的人获胜。那么（ ）有必胜策略。
A. 甲
B. 乙
利用倒推法寻找必胜点
想一想 ?
当对手停在哪些格子的时候，你可以直接一步进入B 格？那么你停在哪些格子里才能让对手
进入这些格子呢？
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例题7
如图所示，方格A 中放着一枚棋子，甲先乙后轮流移动这枚棋子，每次只能向上或者向右走
一格，或者往右上（45◦）走一格。最终走到方格B 处的人获胜。双方都采取最佳策略，那么
将获胜。
桌子上放着34 根火柴棒，甲、乙二人轮流每次取走1 ∼3 根，不能不取。规定谁取走最后一根
火柴棒谁获胜。甲想获胜应该（ ）
A. 先取
B. 后取
95
【知识点1】对称法
1. 同等情况下，模仿对方步骤可以达到制胜目的；
2. 不同等情况下，创造对称局面方可制胜。
【知识点2】必胜点
1. 在移动棋子时，如果将棋子移动到某些点（或格），往后无论对方再如何移动棋子，
我们都能获胜，就把这些点（或格）叫做必胜点（或必胜格）。
在移动棋子的游戏中，抢占必胜点尤为重要。
【知识点3】抢占必胜点的原则
1. 能一步到必胜点的位置均是不能走的地方，也可以称为必败点。
2. 每一步都要抢占必胜点，那么就可以一直占着必胜点移动到终点。
1. 如果两堆的数量一样，即两堆对称，则后取者有必胜策略，必胜策略是确保与先取者
的数量一致。
如果两堆的数量不一样，即两堆不对称，则先取者有必胜策略。
必胜策略是第一步从数量多的那一堆取出“多的部分”，形成对称，
之后确保与后取者的数量一致。
2. 利用倒推法寻找必胜点。
96
☆核心方法
取余制胜：
两人各拿一次算一轮，且总量为n；
每次取1∼a 根火柴，取最后一根者赢（n > a）。
策略：n÷（1+a）
有余则先手赢，拿掉余数，之后总与对手凑成（1+a）即可。
无余则后手赢，总与对手凑成（1+a）即可。
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课堂巩固
1 有28 个球，甲、乙二人轮流每次取走1 ∼2 个，不能不取，规定谁取走最后一个球谁获
胜。甲想要获胜，应该（ ）。
A. 先取
B. 后取
2 今有两堆火柴，一堆21 根，另一堆16 根。两人轮流在其中任一堆中拿取，取的根数不
限，但不能不取。规定取得最后一根者为赢家。那么（ ）能获胜。
A. 先取者
B. 后取者
3 有两堆火柴，一堆30 根，另一堆28 根。君君和丽丽两人轮流在其中任意一堆中拿取，
取的根数不限，但不能不取。规定取得最后一根者为赢。君君先取，如果两人都采用最
佳的策略，那么（ ）会获胜。
A. 君君
B. 丽丽
第6 讲
寻找必胜策略
99
4 桌子上放着22 根火柴，甲、乙二人轮流每次取走1 ∼3 根，规定谁取走最后一根火柴
谁就获胜。如果甲先取，并且双方都采取最佳方法，那么甲先取
根才能获
胜。
5 如图，方格A 中放有一枚棋子，甲先乙后轮流移动这枚棋子，只能向上、向右或向右上
方沿45◦角走1 步，最终将棋子走到方格B 的人获胜。那么
有必胜策略。
14
开课时定下的目标你完成了多少？给自己打个分吧！
我的收获
我想对老师说
我的收获
1120090936745
