文档文本内容
数学思维
目标A+ 班
五年级（全国版）·寒
学而思网校教研中心 编著
前言PREFACE
学而思网校为6 ～18 岁的学生提供小学、初中、高中全学科课外学习课程。
学而思网校拥有十余年教学经验，采用在线双师直播教学模式，用AI 技术来辅
助教学。学而思网校课堂互动多，线上课程有回放，教师及时答疑，学生不满意
可随时退费。
2016 年5 月，学而思网校提出“在线学习更有效”的品牌主张，并正式推出
在线双师直播教学模式，通过实时在线的互动教学、图文并茂的随堂讲义、科学
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2016 年7 月，
“IDO 个性化学习体系”正式上线，体系拥有动态学习报告、错
题订正等功能，为教师、学生和家长之间建立起更有效的沟通平台。2017 年7
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“IDO 个性化学习体系”升级为“IDO 个性化学习体系2.0”（简称“IDO2.0”）。
“IDO2.0”拥有个性化学习任务系统（IMS），并首次将人脸识别、语音识别、触感
互动等技术引入在线课堂，让在线学习有更多可被量化的数据和可追踪的学习
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习体验差异。
2018 年，学而思网校课程体系全面升级，Amazing English、大语文、数学思
维、大科学等课程更注重对学生综合素质能力的培养。同时，学而思网校推出
的故宫、音乐、魔方、儿童安全、历史等素养类课程让学生可以多维、立体化成
长。学而思网校自主研发的“AI 老师”通过自然语言处理（NLP）、图像文字识别
（OCR）等技术精准分析学生的语义、情感、笔迹等，形成完整高效的“课堂学习
链”，让在线课堂学习体验更美好，让教学更高效，学习更有效。未来，学而思网校
将进一步承担起用科技推动教育进步的重任，不断致力于教育资源的均衡发展，
实现从教到育、从学到习的全面提升。
学而思网校教研中心
目录
CONTENTS
第1 讲
长工的礼物.......................................... 2
第2 讲
外星方块........................................... 18
第3 讲
解剖包装盒........................................ 36
第4 讲
打电话.............................................. 56
第5 讲
读心术.............................................. 70
第6 讲
数学律诗........................................... 88
第1 讲
长工的礼物
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目标A+ 班·五年级（全国版）「寒」
6
PART
1
分数的意义与性质
【知识点1】分数的意义与性质
1. 分数的意义：把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份或几份的数，叫做分数。
2. 分数单位：把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫做分数单位。
3. 分数与除法的关系：除法中的被除数相当于分数的分子，除数相当于分母，即：
被除数÷ 除数=被除数
除数
4. 分数的分类：真分数的分子小于分母，假分数的分子大于或等于分母。带分数由一个整
数和一个真分数组成。假分数可以化成整数或带分数。
5. 分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或者除以一个相同的数（0 除外）, 分数的
大小不变。
6. 约分：把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数叫做约分, 分子和分母
的公因数只有1 的分数称为最简分数。
7. 通分：把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。
第1 讲
长工的礼物
7
例题1
下面是3 个大小形状相同的长方形，请按要求完成涂色。
涂色小块的数量占总数量的4
20；
涂色小块的数量占总数量的2
10；
涂色小块的数量占总数量的1
5；
观察涂色部分的形状大小，你发现了什么？像这样大小相等但形式不同的分数你还能写出几
个？
例题2
（1）6
7 = 6×(
)
7×3
A. 6
B. 7
C. 3
（2）16
36 =
16÷4
36÷(
)
A. 16
B. 4
C. 36
（3）把下面各分数化成最简分数。
18
24 = ( )
( ) 36
60 = ( )
( )
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8
例题3
比较分数的大小。
（1）7
6
5
6 5
6
7
12 3
8
2
7
（2）5
6
11
12
7
11
7
9
异分母分数比较大小，可以先通分变成同分母
分数，再比较大小。
例题4
7
16 的分子加上14，要使分数大小不变，分母应该加上
。
将“加14”的条件转化成“乘3”。
第1 讲
长工的礼物
9
课中阅读
可笑的错误
通过之前的学习，我们知道约分可以将分数进行化简。而约分
利用的是分数的性质，即分数的分子和分母同时乘或除以一个相
同非零数, 分数的大小不变。或许你会认为，没有利用分数性质进
行约分得到的答案一定都是错的。接下来，我们一起来看一种神奇
的计算过程。
麦克斯韦在《数学中的谬论》中展示了一种“可笑的错误”：直
接把分子、分母中重复出现的数划掉，剩下的部分即分数的最简形
式。
什么？你不相信，请你观察下面的例子。当我们要将16
64 进行
约分时，通常会这么做：
16
64 = 16÷16
64÷16 = 1
4
但是你观察观察，原分数分子和分母中都有同一个数字6，将
相同的数划掉也可以得到正确答案：
是不是非常神奇？
我们不妨再试几个分数：
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10
课中阅读
除了由两位数构成分子和分母的分数，还有其他的分数有这
样的特点吗？其实也是有的，例如：
是不是非常神奇？
你会发现，上面的分数都能用这样简单直接的方法进行约分，
可是这样的方法似乎不能用分数的性质来解释，或者说，所有的分
数都能这样进行约分吗？答案当然是否定的，比如最简分数14
51 已
经无法化简，显然下面的等式是无法成立的。
也就是说，这样简单直接的“字面化简”只是一种巧合，碰巧某
些特殊的情况能有这样的特点，但这并不是一种通用的约分方法。
在平时的学习中，我们还是需要使用最通用的方法对分数进行约
分化简。当然，在未来，你还会接触到更丰富的数学思想和方法，可
以继续深入探究这些分数的特点和规律。
第1 讲
长工的礼物
11
PART
2
分数加减法初步
【知识点2】分数加减法初步
1. 同分母分数加减法：分母不变，分子直接相加减，最终结果化成最简分数。
2. 异分母分数加减法：先通分，然后按照同分母分数加减法进行运算。
例题5
计算：
（填最简分数）
（1）1
10 + 3
10 =
（2）5
6 −1
6 =
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12
例题6
涂一涂，填一填。
（1）
3
8 + 1
4 =
（2）
3
8 −1
4 =
例题7
计算：
（1）5
12 + 7
18 =
（2）8
5 −2
7=
一盒饼干，小红吃了它的1
4，妈妈吃了它的1
8，这盒饼干还剩（ ）。
A. 1
4
B. 5
8
C. 1
12
13
【知识点1】分数的意义与性质
1. 分数的意义：把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份或几份的数，叫做分数。
2. 分数单位：把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫做分数单位。
3. 分数与除法的关系：除法中的被除数相当于分数的分子，除数相当于分母，即：
被除数÷ 除数=被除数
除数。
4. 分数的分类：真分数的分子小于分母，假分数的分子大于或等于分母。假分数可以化
成整数或带分数。带分数由一个整数和一个真分数组成。
5. 分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或者除以一个相同的数（0 除外）, 分数
的大小不变。
6. 约分：把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数叫做约分, 分子和分
母的公因数只有1 的分数称为最简分数。
7. 通分：把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。
14
【知识点2】分数加减法初步
1. 同分母分数加减法：分母不变，分子直接相加减，最终结果化成最简分数。
2. 异分母分数加减法：先通分，然后按照同分母分数加减法进行运算。
1. 异分母分数比较大小，可以先通分变成同分母分数，再比较。
2. 改变分数形式却不改变分数大小时，可以将题目中“加几”或“减几”的条件转化成
“乘几”或“除以几”。
☆核心方法
异分母分数加减法：
（1）先通分，变成同分母分数；
（2）分母不变，分子相加减；
（3）如果结果不是最简分数，需要约分至最简分数。
15
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16
课堂巩固
1 1
5 + 3
5 =（ ）
A. 4
5
B. 4
10
C. 3
10
D. 3
5
2 小明看了一本书，第一天看了全书的1
2，第二天看了全书的1
4，两天共看了全书的
（ ）。
A. 4
8
B. 5
8
C. 3
4
D. 5
16
3 3
4 =
15
（ ）
A. 15
B. 20
C. 16
第1 讲
长工的礼物
17
4 比较分数的大小。
2
9
3
11
5 把下列分数约分成最简分数。
（1）6
14 =
（2）8
10 =
（3）15
18 =
第2 讲
外星方块
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22
PART
1
正方体展开图
【知识点1】正方体11 种展开图
1. 类型1：1−4−1
2. 类型2：2−3−1
3. 类型3：3−3
4. 类型4：2−2−2
第2 讲
外星方块
23
例题1
下面是正方体展开图的是（ ）。
可以用排除法，不能拼成正方体的图有如下特点：
“7”、
“凹”、
“田”。
例题2
下面是正方体展开图的是（ ）。
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24
例题3
如图是一个正方体的平面展开图，这个正方体“美”字对面所标的字是（ ）。
A. 让
B. 生
C. 活
D. 更
想一想 ?
相对的面所在位置有什么特点？
例题4
下图是一个正方体的平面展开图。若在正方体的各面写上数，使得相对两个面上的数之和为7，
则A、B、C 处写的数分别是
、
、
。
第2 讲
外星方块
25
例题5
如图在展开的正方体中，与3 号面相对的是4 号面，与5 号面相对的是（ ）号面。
A. 2
B. 1
C. 6
D. 4
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26
课中阅读
超正方体
我们知道，点动成线，线动成面，面动成体。那如果正方体动起
来，会形成什么呢？答案是超正方体！
超正方体，在几何学中是正方体的四维类比，它一共有8 个胞
（立方体）、24 个面（正方形）、32 条棱和16 个顶点。不过对于生
活在三维空间的我们来说，四维世界是很神秘的概念，我们无法想
象出它的样子。不过就像我们在观察三维正方体时，可以从看到的
面去分析它是由6 个二维正方形拼成的一样，我们可以将四维的
物体用三维的方式去观察研究，最终画出了下图。
第2 讲
外星方块
27
课中阅读
超正方体并没有二维的距离和角度概念，从任何一个顶点用
相同速度走到相邻顶点所用的时间都是相等的（“棱长”相等）。你
是不是已经晕乎乎的了，想象不出超正方体到底是个什么东西？我
们不妨从另一个角度再次研究一下，类比正方体展开图，将其中的
一些正方形扩充成正方体，画出下面超正方体的展开图，我们要做
的就是把它拼起来。不要着急放弃，就像让你把6 个正方形拼成正
方体一样，一开始觉得不可能，慢慢探索，努力之后得到的结果才
是最甜的。
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28
PART
2
综合应用
【知识点2】综合应用
1. 根据展开图判断正方体：
（1）相对面排除法：根据相对面的图案关系排除错误选项；
（2）细节判断：线的位置关系、图形间的朝向关系及特点。
2. 根据正方体判断展开图：
（1）展开图排除法：根据“7”、
“凹”、
“田”排除错误选项；
（2）顶点定位法：用字母将展开图各个交点与正方体顶点进行对应。
例题6
将左边的图形折叠后，可以得到右边正方体（ ）。
第2 讲
外星方块
29
例题7
图2 为图1 正方体的展开图。图1 中M、N 分别是FG、GH 的中点，CM、CN、MN 是三条线
段，试在图2 中画出这些线段。
要在展开图中确定线段位置：先在展开图中标
上各顶点的位置，定点之后再连线。
左图是一个正方体的展开图，将它折叠成正方体，可能是（ ）。
30
【知识点1】正方体11 种展开图
1. 类型1：1−4−1
2. 类型2：2−3−1
3. 类型3：3−3
4. 类型4：2−2−2
31
【知识点2】综合应用
1. 根据展开图判断正方体：
（1）相对面排除法：根据相对面的图案关系排除错误选项；
（2）细节判断：线的位置关系、图形间的朝向关系及特点。
2. 根据正方体判断展开图：
（1）展开图排除法：根据“7”、
“凹”、
“田”排除错误选项；
（2）顶点定位法：用字母将展开图各个交点与正方体顶点进行对应。
1. 不能拼成正方体的图的特点：
“7”、
“凹”、
“田”。
2. 要在展开图中确定线段位置：先在展开图中标上各顶点的位置，定点之后再连线。
☆核心方法
找展开图中的相对面：
（1）“目”字型：相隔位置为相对面，横向的“
”同理。
（2）“z”字型：展开图中正方形排列形状类似“z”形状，
“z”的两端为相对面。
32
第2 讲
外星方块
33
课堂巩固
1 下面的图形中，折叠后能围成正方体的是（ ）。
2 如图所示的正方体，如果把它展开，可以是下列图形中的（ ）。
3 如图，将下边的纸片折起来可以做成一个正方体，这个正方体的1 号面的对面是
（ ）号面。
A. 2
B. 5
C. 6
D. 3
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34
4 用小棒与小球搭正方体框架，还缺
个小球和
根小棒。
5 右图是左图的正方体的展开图，正方体表面上画了3 条斜线段：CA、CF、CH，请在右
边的展开图上画出缺失的斜线段。
第3 讲
解剖包装盒
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40
PART
1
长正方体的认识
【知识点1】长正方体的认识
1. 长正方体的特征
长方体和正方体：6 个面，8 个顶点，12 条棱。
2. 长方体和正方体的关系
正方体是长、宽、高都相等的特殊的长方体。正方体每个面都是正方形，每个面的面积
都相等，每条棱的长度都相等。
【知识点2】长正方体的棱长和
1. 长方体棱长和公式
长方体的棱长和=（长+ 宽+ 高）×4
长+ 宽+ 高= 棱长和÷4
2. 正方体棱长和公式
正方体的棱长和= 棱长×12
正方体的棱长= 棱长和÷12
3. 生活中的棱长和应用，例如：求包装礼盒所用丝带的长度。
第3 讲
解剖包装盒
41
例题1
观察下面物体，其形状有什么特征呢？你还能举出生活中类似的例子吗？
在数学上，我们把这些物体的形状叫做长方体。
仔细观察上方的两个图形，填一填下方的表格，总结一下长方体和正方体的异同点和关系。
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42
例题2
（1）用一根铁丝做一个长方体框架，已知长方体框架的长是20dm，宽是15dm，高是10dm，至少
需要
dm 铁丝。
（2）用一根铁丝正好制成一个长12 厘米、宽8 厘米、高5 厘米的长方体框架，这根铁丝长
（ ）厘米。
A. 100
B. 120
C. 80
D. 480
例题3
在包装长方体礼盒的时候，时常会用到丝带。如果按照如图所示的包装方式，大约需要
厘米长的丝带。（礼盒长为20 厘米，宽为9 厘米，高为5 厘米。蝴蝶结部分的丝带长约为25
厘米。）
要注意看不见的丝带，并判断每种长度的丝带
分别有几段。
第3 讲
解剖包装盒
43
PART
2
长正方体的表面积
【知识点3】长正方体的表面积
1. 长方体的表面积=（长× 宽+ 长× 高+ 宽× 高）×2
2. 正方体的表面积= 棱长× 棱长×6
例题4
一个正方体的棱长是8 厘米，那么它的表面积是（ ）平方厘米。
A. 64
B. 384
C. 512
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44
例题5
（1）一个长方体饼干盒长20 厘米，宽15 厘米，高30 厘米，要在它的表面贴上包装纸，那么这
张包装纸的面积至少是
平方厘米。
（2）把下图的长方体巧克力盒包装起来，至少需要（ ）cm2 的包装纸（接头处不计）。
A. 118
B. 59
C. 98
第3 讲
解剖包装盒
45
课中阅读
包装的历史
“呼啦——刺啦——”
对许多的妈妈来说，拆快递就是一种享受，但对许多来说，却
不胜烦恼。
每次拆完快递之后，各种包装盒堆得像座小山，都没有地方走
路了。
“这些商家也真是的，卖就卖呗，弄那么多包装盒干嘛呀？”许多
一边打扫房间，一边发着牢骚。
妈妈听到许多的牢骚之后说：
“没有包装怎么行，要是没有包装
的话，我的那些宝贝不得全坏了呀！”
那包装的作用到底是什么呢？包装是为了在流通过程中保护
产品，方便储运，促进销售；也指为达到上述目的在采用容器、材料
和辅助物的过程中施加操作活动。它是表面积的典型应用。
早在一万年前的原始社会后期，人们就已经开始对物品进行
包装了。只不过那个时候，包装材料并没有现在这么丰富，他们都
是用植物的叶、贝壳、兽皮等包裹物品。
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46
课中阅读
人类进入青铜器时代以后，包装材料开始丰富起来。陶瓷、玻
璃、木材、金属都能通过加工变成各种包装容器，其中很多包装技
术经过不断完善发展，一直使用到现在。
自16 世纪以来，工业生产迅速发展，特别是19 世纪的第一
次工业革命，极大推动了包装工业的发展，为现代包装工业和包装
科技的产生奠定了基础。从20 世纪中后期开始，国际贸易飞速发
展，包装已为世界各国所重视。大约90% 的商品都需要经过不同
程度、不同类型的包装，包装已成为商品生产和流通过程中不可缺
少的环节。随着科技的发展，新材料、新技术不断出现，聚乙烯、铝
箔、各种复合材料等包装材料被广泛应用，无菌包装、防震包装、防
盗包装、保险包装、组合包装、复合包装等技术日益成熟。
适当的包装能够保护商品在运输途中不会受到损坏，但有些
商家为了让自家的产品看起来更加高端，结果对商品的包装有些
过了火，也就是出现了过度包装。这种过度包装不仅会有欺骗消费
者之嫌，还会造成资源浪费。
第3 讲
解剖包装盒
47
PART
3
综合应用
【知识点4】立体图形的切割
1. 长方体
（1）沿与原来长方体最大面平行的方向切割，其表面积比原来增加的最多。
（2）沿与原来长方体最小面平行的方向切割，其表面积比原来增加的最少。
（3）每切一刀增加两个完全相同的面。
2. 正方体
（1）无论沿与哪个面平行的方向切割，都将增加两个正方形的面。
（2）不存在表面积增加最多、最少的问题。
例题6
把一个长10cm、宽6cm、高2cm 的长方体切成两个小长方体，A 切法表面积会增加
cm2，
B 切法表面积会增加
cm2，C 切法表面积会增加
cm2。
想一想 ?
切一刀增加几个面？
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48
例题7
奶酪是长方体的形状，长50 厘米，宽45 厘米，高20 厘米。把奶酪沿下图方向平均切成三个部
分，分开后，表面积会增加
平方厘米。
一个无盖的长方体玻璃鱼缸，长80 厘米，宽60 厘米，高40 厘米。做这个鱼缸至少需要玻璃
平方分米。
对于无盖鱼缸，求鱼缸表面积时，我们要算5 个
面的面积和。
49
【知识点1】长正方体的认识
1. 长正方体的特征
长方体和正方体：6 个面，8 个顶点，12 条棱。
2. 长方体和正方体的关系
正方体是长、宽、高都相等的特殊的长方体。正方体每个面都是正方形，每个面的面
积都相等，每条棱的长度都相等。
【知识点2】长正方体的棱长和
1. 长方体棱长和公式
长方体的棱长和=（长+ 宽+ 高）×4
长+ 宽+ 高= 棱长和÷4
2. 正方体棱长和公式
正方体的棱长和= 棱长×12
正方体的棱长= 棱长和÷12
3. 生活中的棱长和应用，例如：求包装礼盒所用丝带的长度。
50
【知识点3】长正方体的表面积
1. 长方体的表面积=（长× 宽+ 长× 高+ 宽× 高）×2
2. 正方体的表面积= 棱长× 棱长×6
【知识点4】立体图形的切割
1. 长方体
（1）沿与原来长方体最大面平行的方向切割，其表面积比原来增加的最多。
（2）沿与原来长方体最小面平行的方向切割，其表面积比原来增加的最少。
（3）每切一刀增加两个完全相同的面。
2. 正方体
（1）无论沿与哪个面平行的方向切割，都将增加两个正方形的面。
（2）不存在表面积增加最多、最少的问题。
1. 求包装长方体所需丝带长度时：
要注意看不见的丝带，判断每种长度的丝带分别是几段。
2. 对于无盖长方体，求表面积时：
要算5 个面的面积和。
☆核心方法
切割长方体，求增加的表面积时：
（1）确定截面面积；
（2）确定切割次数；
（3）增加的表面积= 截面面积× 切割次数×2
51
第3 讲
解剖包装盒
53
课堂巩固
1 用一根长（ ）的铁丝正好可以做一个长6 厘米、宽5 厘米、高3 厘米的长方体框
架。
A. 90 厘米
B. 28 厘米
C. 126 厘米
D. 56 厘米
2 老师做好礼盒后，将礼盒按图中方式用绳子扎起来（绳结处用了10 厘米），则老师总
共需要准备（ ）厘米的绳子。（图中单位：厘米）
A. 74
B. 82
C. 91
D. 102
3 一个长方体的长是6 厘米，宽是4 厘米，高是3 厘米，那么这个长方体的表面积是
（ ）平方厘米。
A. 108
B. 120
C. 128
D. 133
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目标A+ 班·五年级（全国版）「寒」
54
4 用木条做一个长方体框架，已知长方体框架的长是8 分米，宽是5 分米，高是2 分
米，至少需要
分米的木条。如果在长方体框架的表面贴上包装纸，至少需要
平方分米的包装纸。
5 一根长方体木料，它的横截面面积是15cm2，平行于这个截面把它截成2 段，表面积增
加
cm2。
第4 讲
打电话
学而思数学思维
目标A+ 班·五年级（全国版）「寒」
60
PART
1
打电话
【知识点1】打电话问题基本规则
1. 每1 分钟可以打1 通电话。
2. 接到通知的人，会主动从下一分钟开始打电话通知其他人。
【知识点2】打电话问题规律总结
1. 每过1 分钟，知晓通知的人数量会翻倍。即直到第n 分钟，所有知情人（包括通知发
出人）最多有2n 个，收到通知的人最多有（2n −1）个。
例题1
（1）学校原定的秋游计划，由于天气原因，需要推迟一天。班主任刘老师要尽快通知每一位学
生。如果用电话通知，每分钟通知1 人。刘老师打了5 分钟电话，最多通知了
名
同学。
（2）学校原定的夏令营活动，由于天气原因，需要推迟一周。辅导员大春老师要尽快通知每一
位学生。如果用打电话的方式通知，每分钟通知1 人。大春老师打了7 分钟电话，最多通
知了
名同学。
第4 讲
打电话
61
例题2
某学校的话剧社共有15 名学生。寒假期间有一个紧急演出任务，川川老师需要尽快通知到每
一位同学。如果用打电话的方式，每分钟通知1 人，最少需要
分钟才能通知到所有
的人。
计算知情总人数的时候，不要忘记算上老师！
例题3
在例题2 中，如果话剧社有60 名学生，最少需要
分钟才能通知到每一个人。
例题4
一个合唱队共有90 人，十一期间有一个紧急的演出任务，张老师要尽快通知到每一位队员。如
果用打电话的方式通知，每分钟通知1 人，最少用
分钟才能通知到每一个人。
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62
课中阅读
电话的历史
小朋友，你肯定打过电话吧！让阿丘来猜一猜，你上一次打电
话用的是手机对吗？随着科技的快速发展及社会经济水平的提高，
手机的普及率日益增长，现如今人们日常打电话使用的通信设备
基本都是手机。可你有想过在手机出现之前，人们是用什么来进行
远程信息交流的吗？
手机又叫移动电话，顾名思义是会“移动”的电话，这也说明手
机的前身其实就是固定电话机，也就是我们常说的电话。早在1854
年，科学家就发现了声音可以使金属片产生振动，这种振动转化成
电信号后，就可以借助电线传播。随后的二十年间，众多科学家在
此领域深入研究。终于在1876 年，英国科学家贝尔发明了第一部
可以实现两端通话的电话机。
第4 讲
打电话
63
课中阅读
在随后的100 多年中，电话机的发展十分迅速。最早出现的可
以长距离交流的电话机是手摇电话机。1891 年，出现了旋转式拨号
盘电话机。在一些故事背景为二十世纪上半叶的电影或电视剧中，
你可能会见过它的身影。到了20 世纪60 年代，按键式拨号电话机
出现了，这种电话机就是我们一直沿用至今的有线电话机了（如下
图）。
1973 年，摩托罗拉公司发明了第一款手提电话，也就是人们
口中的“大哥大”，可以被视为手机的鼻祖。在之后的几十年中，工
程师们不断地研发新技术，使得手机的尺寸更小，重量更轻，通话
效果更好。所以，正是因为技术人员的辛勤研究，我们才能够用到
如此轻便又多功能的智能手机。
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64
PART
2
兔子数列
【知识点3】兔子数列（斐波那契数列）
1、1、2、3、5、8、13、21、34……
1. 规律：从第3 个数开始，之后的每个数都是之前两个数的和。
例题5
数学家列昂纳多·斐波那契研究的兔子繁殖问题是这样的：一般而言，兔子在出生一个月后就
能长成大兔子，并在出生两个月后每个月的月初都能生出一对小兔子来。现在有一对新生兔
子，如果在繁殖过程中所有兔子都存活，那么第12 个月月初的时候共有多少对兔子？（假设每
对兔子刚好雌雄成对，且有繁殖能力。）
每月月初新生的兔子对数= 上上个月存活的兔子对数
第4 讲
打电话
65
例题6
意大利著名数学家斐波那契（Fibonacci，1175 年−1250 年）在研究兔子繁殖问题时，发现有这
样一组数：
1、1、2、3、5、8、13 ······
根据这组数的规律写出：第8 个数是
，第10 个数是
。
例题7
假设小兔子在出生一个月后就能长成大兔子，并在出生三个月后每个月的月初都能生出一对
小兔子来（新生兔子均为一雌一雄且具有繁殖能力），且在繁殖过程中所有兔子都存活。如果
一个人在一月初买了一对刚出生的小兔子，那么八月初的时候他共有
对兔子。
如果打电话每分钟通知1 人，那么假如一个合唱团有150 人，王老师至少花
分钟才
能通知到每个人。
66
【知识点1】打电话问题基本规则
1. 每1 分钟可以打1 通电话。
2. 接到通知的人，会主动从下一分钟开始打电话通知其他人。
【知识点2】打电话问题规律总结
1. 每过1 分钟，知晓通知的人数量会翻倍。即直到第n 分钟，所有知情人（包括通知发
出人）最多有2n 个，收到通知的人最多有（2n −1）个。
【知识点3】兔子数列（斐波那契数列）
1、1、2、3、5、8、13、21、34……
1. 规律：从第3 个数开始，之后的每个数都是之前两个数的和。
1. 计算知情总人数的时候，不要忘记算上通知发出者。
2. 在兔子两个月成年的情况下：每月月初新生的兔子对数= 上上个月存活的兔子对数
☆核心方法
（1）求n 分钟最多能通知的人数：
①所有知情人最多有2n 个
②收到通知的人数最多有（2n −1）个
（2）求通知m 人花费的最少时间：
①先求所有知情人个数：
（m+1）人
②判断（m+1）的范围：2k−1 < m+1 ⩽2k
③最少需要花费k 分钟
67
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68
课堂巩固
1 学校原定的冬令营活动，由于天气原因，需要推迟一个月。辅导员小宇老师要尽快通
知每一位学生。如果用打电话的方式通知，每分钟通知1 人。小宇老师打了3 分钟电
话，最多通知了（ ）名同学。
A. 3
B. 5
C. 7
2 一个合唱队共有10 人，暑假期间有一个紧急的演出任务，小坤老师要尽快通知到每
一位队员。如果用打电话的方式通知，每分钟通知1 人，最少用（ ）分钟才能通
知到每一个人。
A. 3
B. 4
C. 5
3 一个学校的话剧社共有43 名学生。五一期间有一个紧急的演出任务，慧慧老师需
要尽快通知到每一位同学。如果用打电话的方式通知，每分钟通知1 人，最少需要
（ ）分钟才能通知到所有的人。
A. 6
B. 7
C. 8
第4 讲
打电话
69
4 按照数列的规律填数：
1、1、2、3、5、8、13、21、
、
5 假设每对小兔子在出生后一个月就长成大兔子，并在出生两个月后每个月的月初都能
生出一对小兔子来（新生兔子均为一雌一雄且具有繁殖能力）。如果一个人在一月初
买了一对刚出生的小兔子，那么十月初的时候他共有
对兔子。（假设所有兔
子都存活）
第5 讲
读心术
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74
PART
1
位值原理
【知识点1】位值原理
1. abcd = a×1000+b×100+c×10+d ×1
2. abcdef = ab×10000+cd ×100+ef ×1
例题1
（1）2017 =
×1000+
×10+
×1
（2）10459 = 1×
+4×
+5×
+9×
想一想 ?
如果用字母表示各数位的数，你能用位值原理进行拆分吗？把下面的空补充完整吧！
abcd =
×1000+
×100+
×10+
×1
abcd = a×
+b×
+c×
+d×
第5 讲
读心术
75
例题2
20179 = 20×
+179×
按照题目要求给数分段，剩下数位补0 占位。
想一想 ?
如果用字母表示各数位的数，你能用位值原理进行拆分吗？把下面的空补充完整吧！
abcde f = ab×
+cd×
+ef×
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76
PART
2
位值原理的应用
【知识点2】位值原理的应用
1. 多位数轮换式求和：
abc+bca+cab = (a+b+c)×111
2. 多位数正序与倒序之差：
abc−cba
= (100a+10b+c)−(100c+10b+a)
= 100a+10b+c−100c−10b−a
= 100a−a+c−100c
= (100a−a)−(100c−c)
= 99a−99c
= 99(a−c)
例题3
123+231+312 =
想一想 ?
观察各数位数字的总和，你发现了什么？
第5 讲
读心术
77
例题4
1234+2341+3412+4123 =
将各数位分开，千位加千位，百位加百位，十位
加十位，个位加个位。再使用乘法分配律进行化
简。
例题5
已知a 比c 大2，则三位自然数abc 与cba 的差是
。
运用位值原理，先将各数位拆分，再观察算式与
（a−c）的关系。
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78
课中阅读
小朋友，你还记得我们课前的读心游戏吗？接下来让我们运用
位值原理来解释其中的道理：
1. 假设我们心中所想的两位数是ab，
2. 将个位与十位交换位置，得到新的两位数ba，
3. 用大的数减去小的数，假如a ⩽b，那么:
ba−ab
= 10b+a−10a−b
= (10b−b)−10a+a
= (10b−b)−(10a−a)
= 9b−9a
= 9(b−a)
这个结果说明了什么呢？你会发现无论我们设想的b 与a 是
哪个数字，最后的结果9（b −a）都是9 的倍数，而在题目所展示
的图片当中，81 以内所有9 的倍数对应的符号都是一样的：
第5 讲
读心术
79
课中阅读
是不是一切都豁然开朗了？其实位值原理还可以帮助我们解
决非常多的数字游戏，甚至还可以帮助我们理解和证明很多数学
公式。小朋友，你学会了吗？
学而思数学思维
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80
PART
3
位值原理与方程
【知识点3】位值原理与方程
1. 在一个算式中，若含有用字母表示的多位数，例如：8abc = 65×abc 可使用方程思想进
行求解。
例题6
若8abc = 65×abc，则abc 为
。
未知的部分相同，可以看成一个整体，用未知数
代替，并用方程法解决。
第5 讲
读心术
81
例题7
若1ab+ab2 = 3ab+ab，则ab 为
。
计算：(12345+23451+34512+45123+51234)÷5 =（ ）
A. 166665
B. 55555
C. 22222
D. 33333
82
【知识点1】位值原理
1. abcd = a×1000+b×100+c×10+d ×1
2. abcdef = ab×10000+cd ×100+ef ×1
【知识点2】位值原理的应用
1. 多位数轮换式求和：
abc+bca+cab = (a+b+c)×111
2. 多位数正序与倒序之差：
abc−cba
= (100a+10b+c)−(100c+10b+a)
= 100a+10b+c−100c−10b−a
= 100a−a+c−100c
= (100a−a)−(100c−c)
= 99a−99c
= 99(a−c)
【知识点3】位值原理与方程
1. 在一个算式中，若含有用字母表示的多位数，例如：8abc = 65×abc
可使用方程思想进行求解。
83
1. 遇到含“字母型”数的算式，运用位值原理拆分计算。
2. 运用位值原理拆数，可按照题目要求给数分段，剩下数位补0 占位。
☆核心方法
位值原理与方程：
（1）将相同的部分看成一个整体，设为未知数；
（2）利用位值原理将原算式转化成方程；
（3）解方程。
84
第5 讲
读心术
85
课堂巩固
1 22030 = 2×
+2×
+3×
（ ）
A. 100,1000,1
B. 1000,1000,10
C. 10000,1000,10
D. 20000,2000,30
2 一个三位数，中间的数字是0，百位数字和个位数字分别是a 和b，这个三位数是
（ ）。
A. 10a+b
B. 100a+b
C. 100a+10b
D. a+b
3 一个三位数1ab 满足：1ab×3 = ab6，这个三位数是（ ）。
A. 142
B. 125
C. 131
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86
4 计算：234+342+423 =
5 按照位值原理，对下面的数进行拆分。
1756 = 1×
+7×
+5×
+6 = 175×
+
= 17×
+
第6 讲
数学律诗
学而思数学思维
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92
PART
1
月历中的规律
【知识点】月历中的规律
1. 月历中的周期：一周7 天。
2. 月历中每一横行上相邻的两个日期相差1，每一竖列上相邻的两个日期相差7。
3. 不论是在月历的横行还是竖列中，圈出奇数个相邻的日期，最中间的日期必为这几
个日期的平均数。
想一想 ?
（1）生活中有哪些常见的周期现象？
（2）一个月最少有几个周日，最多有几个周日？
第6 讲
数学律诗
93
例题1
观察如下月历：
（1）一个横行上有相邻的三个日期，若设中间的日期为a，那么左右两个日期分别是
，
。这三个日期的和为
。
（2）一个竖列上有相邻的三个日期，若设中间的日期为b，那么上下两个日期分别是
，
。这三个日期的和为
。
（3）请在上述月历中圈出三个和为60 的相邻的日期。如果在上述月历中某个竖列上三个相邻
的日期之和为75，你认为可能吗？为什么？
学而思数学思维
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94
例题2
下面是某月的月历，用一个十字框可以框出不同的五个日期。
（1）如果框中的五个日期里，中间的日期是n，那么上、下、左、右四个位置的日期用字母表示分
别为：
、
、
、
；这五个日期的和为
。
（2）如果用一个十字框框出的五个日期的和是65，那么这五个日期分别是多少？请填在下面的
十字框中。
（3）如果用一个十字框框出的五个日期的和是115，那这个十字框中四个角上日期的和是多少？
在月历中，用一个十字框圈出的5 个日期，最中
间的日期既是5 个日期的平均数，也是框中4
个角上日期的平均数。
想一想 ?
在月历中圈出一个十字框，十字框最中间的日期可以在第1 列吗？可以在第7 列吗？
第6 讲
数学律诗
95
课中阅读
万年历的传说
万年历是中国最古老的一部太阳历，它的由来有一个传说。
相传在很久以前，当时的节令非常混乱，有一个叫万年的年轻
人注意到了这一点，他便想，能用什么方式统一规定节令呢？很快，
善于思考的万年就发现了契机。有一天，他在山上砍柴，砍累了就
坐在树荫下休息。微风徐徐，树荫下非常凉爽，他惬意地打了个盹
儿，等他醒来之后，太阳已经西斜了，这时他敏锐地发现，随着太阳
的移动，树的影子也在移动。这极大地启发了他，他想，能不能设计
一个仪器，可以根据日影来记录时间呢？于是，日晷（guǐ）仪应运
而生（见下图）。
但很快，万年就发现，这个日晷仪的使用非常受天气的限制，
一碰上多云、多雾和雨雪的天气，就会影响测量的结果。不过这个
挫折并没有打败万年，他很快调整好了心态，继续在生活中细心观
察寻找灵感。功夫不负有心人，有一天他在进山砍柴的时候，听到
山崖间有滴滴答答的声音，他循声望去，原来是泉水在滴落。观察
学而思数学思维
目标A+ 班·五年级（全国版）「寒」
96
课中阅读
了一会儿之后，他发现泉水每次滴落的时间间隔都相同。受此启发，
万年又设计出了一个五层的漏壶来测量时间。
在先后设计出日晷仪和漏壶之后，万年仍未停止钻研测算的
脚步。随着长时间的实验，他惊喜地发现，每隔三百六十多天，一天
中白天的长短就会出现重复。
当时的皇帝名叫祖乙，变幻莫测的天气给生产、生活造成了非
常大的不便，这使他非常苦恼。万年知道后，便带着日晷仪和漏壶
去觐见祖乙，他向祖乙详细地解释了日晷仪和漏壶的工作原理以
及他发现的日月运行规律。祖乙听后非常高兴，认为万年讲得十分
有用。于是，他便留下万年，并在天坛前建造了日晷台和漏壶亭，此
外，还派遣了12 名童子供万年差遣，这给万年的实验测算减少了
很多困难与阻力。祖乙对万年说：
“希望你能准确测出日月运行的
规律，推算出确切的日出和日落时间，制出历法，造福天下百姓。”
万年接下了这个艰巨任务，毅然决然地投身于日月运行规律的测
算和历法的创建中。
经过日复一日、年复一年的不懈钻研，万年终于制出了准确的
太阳历。当万年把这个太阳历呈递给继任的皇帝时，他早已经白发
苍苍。皇帝深受感动，为了铭记万年的功绩，便将其命名为“万年
历”，并封万年为日月寿星。这就是“万年历”的传说。
第6 讲
数学律诗
97
PART
2
长方形数表
例题3
如图，将从1 开始的连续自然数按规律填入数表中，请问：
（1）第33 行第4 列的数是
。
（2）第45 行第2 列的数是
。
例题4
如图，将从1 开始的连续自然数按规律填入数表中，请问：
（1）111 应该排在第
行，第
列。
（2）233 应该排在第
行，第
列。
（3）288 应该排在第
行，第
列。
学而思数学思维
目标A+ 班·五年级（全国版）「寒」
98
例题5
如图，将从1 开始的连续自然数按规律填入数表中，请问：
（1）第18 行第3 列的数是
。
（2）231 应该排在第
行，第
列。
例题6
如图，将从5 开始的连续自然数按规律填入数表中，那么：
（1）第56 行第4 列的数是
。
（2）99 应该排在第
行，第
列。
数表中的连续自然数是从5 开始的，在计算时
千万不要忘记这一点。
第6 讲
数学律诗
99
例题7
如图，将从6 开始的连续自然数按规律填入数表中，请问：
（1）第59 行第6 列的数是
。
（2）168 应该排在第
行，第
列。
观察下列数表，寻找规律，并回答问题。
（1）第71 行第5 列的数是
。
（2）144 应该排在第
行，第
列。
100
1. 月历中每一横行上相邻的两个日期相差1，每一竖列上相邻的两个日期相差7。
2. 不论是在月历中的横行还是竖列中，圈出奇数个相邻的日期，最中间的日期必为这
几个日期的平均数。
1. 月历可以看作是由自然数组成的长方形数表，在长方形数表中，用一个十字框圈出
的5 个数，最中间的数既是5 个数的平均数，也是框中4 个角上的数的平均数。
2. 若数表中的连续自然数不是从1 开始的，需要注意数本身和它在数表中的位置之间
的关系。
☆核心方法
（1）知位置求数：
口诀：找周期，做乘法，加列数。
公式：
（行数−1）× 周期+ 列数= m，该数是指这个数表中的第m 个数。
（2）知数求位置：
口诀：找周期，做除法，看余数。
公式：总个数÷ 周期= n 行……余数
①余数̸ = 0，位于第（n+1）行，第余数列；
②余数= 0，位于第n 行，最后一列。
101
学而思数学思维
目标A+ 班·五年级（全国版）「寒」
102
课堂巩固
1 月历中一个竖列上有相邻的两个日期，若设上面的日期为a，那么它下面的日期是
（ ）。
A. a+7
B. a−7
2 如果除0 外的全体自然数如下表排列，则数64 在字母（ ）下面。
A. A
B. B
C. C
D. D
3 如果除0 外的全体自然数如下表排列，则E 列第8 个数是（ ）。
A. 53
B. 47
C. 38
第6 讲
数学律诗
103
4 观察下面的月历：
（1）请在月历中圈出一个横行上相邻的三个日期，使它们的和为42。
（2）请在月历中圈出一个竖列上相邻的三个日期，使它们的和为42。
5 如图，将从1 开始的连续自然数按规律填入数表中，那么：
（1）第27 行第3 列的数是
。
（2）116 应该排在第
行，第
列。
14
开课时定下的目标你完成了多少？给自己打个分吧！
我的收获
我想对老师说
我的收获
1120090936712
