文档文本内容
数学思维
目标S 班
六年级（全国版）·寒
学而思网校教研中心 编著
前言PREFACE
学而思网校为6 ～18 岁的学生提供小学、初中、高中全学科课外学习课程。学而思网校拥
有十余年教学经验，采用在线双师直播教学模式，用AI 技术来辅助教学。学而思网校课堂互动
多，线上课程有回放，教师及时答疑，学生不满意可随时退费。
2016 年5 月，学而思网校提出“在线学习更有效”的品牌主张，并正式推出在线双师直播教
学模式，通过实时在线的互动教学、图文并茂的随堂讲义、科学的学业测评，以及教师多方位的
学习辅导，保障学生的学习效果。
2016 年7 月，
“IDO 个性化学习体系”正式上线，体系拥有动态学习报告、错题订正等功能，
为教师、学生和家长之间建立起更有效的沟通平台。2017 年7 月，
“IDO 个性化学习体系”升级
为“IDO 个性化学习体系2.0”（简称“IDO2.0”）。
“IDO2.0”拥有个性化学习任务系统（IMS），并首
次将人脸识别、语音识别、触感互动等技术引入在线课堂，让在线学习有更多可被量化的数据和
可追踪的学习轨迹，甚至有更多动手实践的机会。有效的科技手段逐渐缩小了线上线下的学习
体验差异。
2018 年，学而思网校课程体系全面升级，Amazing English、大语文、数学思维、大科学等课程
更注重对学生综合素质能力的培养。同时，学而思网校推出的故宫、音乐、魔方、儿童安全、历史
等素养类课程让学生可以多维、立体化成长。学而思网校自主研发的“AI 老师”通过自然语言处
理（NLP）、图像文字识别（OCR）等技术精准分析学生的语义、情感、笔迹等，形成完整高效的
“课堂学习链”，让在线课堂学习体验更美好，让教学更高效，学习更有效。未来，学而思网校将进
一步承担起用科技推动教育进步的重任，不断致力于教育资源的均衡发展，实现从教到育、从学
到习的全面提升。
学而思网校教研中心
目录
CONTENTS
第1 讲
计算问题总复习（一）............................ 1
第2 讲
几何问题总复习（一）............................ 9
第3 讲
整数问题总复习（一）........................... 17
第4 讲
计数问题总复习（一）........................... 25
第5 讲
组合问题总复习（一）........................... 35
第6 讲
行程问题总复习.................................. 43
第1 讲
计算问题总复习（一）
1
计算问题
总复习（一）
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2
PART
1
公式应用
一、等差数列求和公式：
和= ( 首项+ 末项)× 项数÷2
二、其他常用公式：
1. 平方和：12 +22 +32 +···+n2 = n(n+1)(2n+1)
6
2. 立方和：13 +23 +33 +···+n3 = (1+2+3+···+n)2 = n2(n+1)2
4
3. 平方差：a2 −b2 = (a+b)(a−b)
例题1
计算：3+10+17+···+262 =
互动题1
计算：2+5+8+···+65 =
第1 讲
计算问题总复习（一）
3
例题2
计算：20×20−19×19+18×18−17×17+···+2×2−1×1 =
互动题2
12 −22 +32 −42 +52 =
例题3
12 +22 +32 +···+242 =
互动题3
12 +22 +32 +42 +52 +62 +72 +82 +92 +102 =
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4
PART
2
综合应用
三、整数裂项基本公式：
(1) 1×2+2×3+3×4+···+(n−1)×n = 1
3(n−1)×n×(n+1)
(2) 1×2×3+2×3×4+3×4×5+···+(n−2)×(n−1)×n = 1
4(n−2)(n−1)n(n+1)
例题4
计算：1×2+2×3+3×4+···+49×50 =
。
互动题4
计算：1×2+2×3+3×4+4×5+5×6+6×7 =
。
笔记页
5
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6
课堂巩固
1
计算：26×14+26×8+22×4 =（ ）。
A. 550
B. 660
C. 770
2
等差数列计算：37+34+31+···+7+4+1 =（ ）。
A. 234
B. 227
C. 247
3
计算：2009×2009−2008×2008 =（ ）
A. 4007
B. 4017
C. 4018
第1 讲
计算问题总复习（一）
7
4
计算：12 +22 +32 +···+222 =
5
计算1×2+2×3+3×4+4×5+5×6+6×7+7×8+8×9 =
第2 讲
几何问题总复习（一）
2
几何问题
总复习（一）
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10
PART
1
几何变换
解几何变换问题的几个常用技巧：
旋转﹑平移﹑对称﹑差不变﹑割补
例题1
下图中，矩形ABCD 的边AB 为4 厘米，BC 为6 厘米，三角形ABF 比三角形EDF 的面积大
9 平方厘米，ED 的长为
厘米。
互动题1
下图中，正方形ABCD 的边长为5 厘米，且三角形CEF 的面积比三角形ADF 的面积大5 平
方厘米，则CE 的长为
厘米。
第2 讲
几何问题总复习（一）
11
例题2
如图，直角梯形ABCD 中，AD = 20，BC = 30，四边形CDEF 是正方形，则阴影部分的面积为
。
互动题2
如图，在直角三角形中有一个正方形，已知BD = 10 厘米，DC = 7 厘米，阴影部分的面积是
平方厘米。
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12
例题3
如图，在一块长24 米、宽16 米的绿地上，有一条宽2 米的小路。请你列式计算出这条小路的
面积是
平方米。
互动题3
如图，是一块长20 米，宽18 米的长方形场地，中间有横竖两条小路。每条小路的宽都是1 米，
其余部分都是草地。那么草地的面积是
平方米。
第2 讲
几何问题总复习（一）
13
PART
2
比例模型
例题4
如图，三角形ABC 的面积为3 平方厘米，其中AB : BE = 2 : 5，BC : CD = 3 : 2，三角形BDE 的
面积是
平方厘米。
互动题4
如图，在△ABC 中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且AB : AD = 4 : 3，AE : EC = 5 : 4，
S△ADE = 15 平方厘米，则△ABC 的面积为
平方厘米。
笔记页
14
第2 讲
几何问题总复习（一）
15
课堂巩固
1
如下图，四边形ABCD 为长方形，四边形CDEF 为平行四边形。下面四种说法中正
确的是（ ）。
A. 甲的面积比乙的面积大
B. 甲的面积比乙的面积小
C. 只有当丙、丁两部分面积相等时，甲、乙两部分面积才相等
D. 甲、乙两部分面积总是相等的，与丙、丁两部分面积的大小无关
2
长方形ABCD 中，BC = 15 厘米，CD = 8 厘米，三角形AFB 的面积比三角形DEF 的
面积大30 平方厘米，DE =（ ）厘米。
A. 4
B. 5
C. 8
3
如图，四边形CDEF 是正方形。四边形ABCD 是等腰梯形，它的上底AD = 4 厘米，
下底BC = 8 厘米。想一想，高线EG =（ ）厘米。
A. 1
B. 2
C. 4
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16
4
如图阴影部分是一条小路，甲、乙为小路旁的两块地，则甲、乙的面积和是
平方米。（图中单位：米）
5
如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5 倍，AC 是AE 的4 倍，如果三角形ADE 的面
积等于1，那么三角形ABC 的面积是
。
第3 讲
整数问题总复习（一）
3
整数问题
总复习（一）
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18
PART
1
常用数的整除特征
常见数字的整除判定方法
例题1
（1）三位数1□2 是4 的倍数，则方框中可以填
。
（2）在方框中填上两个数字，可以相同也可以不同，使4□32□是9 的倍数。则方框中可以填
。
第3 讲
整数问题总复习（一）
19
互动题1
要使四位数324a 能被4 整除，a 有
种填法。
例题2
已知六位数20□279 是13 的倍数，那么中间方格内的数字是
。
互动题2
五位数44a77 能被13 整除，则a 为
。
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20
PART
2
组合数字的整除特征
整除有如下的性质：
如果数a 能被数b 整除，也能被数c 整除，且数b 和数c 互质，那么a 一定能被b 与c 的乘积
整除．即如果b | a，c | a，且(b，c) = 1，那么bc | a．
例如：3 | 12，4 | 12，且(3，4) = 1，那么(3×4) | 12．
利用这条性质，碰到没有总结过的合数的整除问题，可以将合数拆成几个互质的数的乘积，再
利用这几个互质的数的整除特征判断．
例题3
一个五位数8□25□，空格中的数未知。
（1）如果该数能被72 整除，这个五位数是
。
（2）如果该数能被55 整除，这个五位数是
。
互动题3
四位数1A3B 是44 的倍数，则AB =
或
。（从小到大填写）
第3 讲
整数问题总复习（一）
21
PART
3
试除法
在整除问题中，除数已定，而被除数尾数未知时，可以尝试在尾数添若干个9 (一般求最大
值时) 或若干个0 (一般求最小值时)，然后列竖式看看有没有余数．若有余数，则根据情况舍掉
余数或进行补充就能整除．
例题4
一个电子钟表上总把日期显示为八位数，如2011 年1 月1 日显示为20110101。如果2011 年
最后一个能被101 整除的日子是2011ABCD，那么ABCD =
。
互动题4
五位数123□□是89 的倍数，则这个五位数是
。
笔记页
22
第3 讲
整数问题总复习（一）
23
课堂巩固
1
23487，3568，8875，6765，5880，7538，198954，6512，93625，864，407。能被2 整除的数
有
个，能被5 整除的数有
个。（ ）
A. 5，4
B. 6，4
C. 7，5
2
3
2014□，则方框中可以放的数字有（ ）。
A. 2、3、4
B. 2、5、8
C. 6、5、8
3
975□能被9 整除，则方框中应该填入的数字是（ ）。
A. 4
B. 5
C. 6
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24
4
若六位数20□15□是72 的倍数，则这个六位数是
。
5
四位数32□□能被23 整除，则这个四位数最大是
，最小是
。
第4 讲
计数问题总复习（一）
4
计数问题
总复习（一）
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26
PART
1
枚举法
枚举法：
枚举的分类标准要清晰，确保做到有序枚举，不重不漏；有时候可以利用树形图进行枚举.
例题1
甲、乙二人打乒乓球，谁先连胜两局谁赢，若没有人连胜头两局，则谁先胜三局谁赢，直到决出
输赢为止。则一共有
种可能的情况。
互动题1
甲和乙两人比赛乒乓球，3 局2 胜制，总共有
种可能的情况。
第4 讲
计数问题总复习（一）
27
PART
2
加乘原理
加乘原理定义：
加法原理：一般地，如果完成一件事有k 类方法，第一类方法中有m1 种不同做法，第二
类方法中有m2 种不同做法，……，第k 类方法中有mk 种不同的做法，则完成这件事共有
N = m1 +m2 +···mk 种不同的方法．这就是加法原理．
乘法原理：一般地，如果完成一件事需要n 个步骤，其中，做第一步有m1 种不同的方法，
做第二步有m2 种不同的方法，……，做第n 步有mn 种不同的方法，那么，完成这件事一共
N = m1 ×m2 ×···×mn 种不同的方法．这就是乘法原理．
例题2
如图从A 地到B 地有3 条路可走，从B 地到D 地有2 条路可走，从A 地到C 地有2 条路可
走，从C 地到D 地有3 条路可走，从A 地到D 地有
种走法。（每条路线不可重复经
过同一地点）
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28
互动题2
如图，甲、乙两地之间有4 条路，乙、丙两地之间有2 条路，甲、丙两地之间有3 条路，那么从甲
地去丙地一共有
条不同的路线。
例题3
（1）地图上有A，B，C，D 四个国家（如下图），现有红、黄、蓝、绿四种颜色给地图染色，使相邻
国家的颜色不同，但不是每种颜色都必须要用，则有
种染色方法。
（2）要把4 枚棋子A、B、C、D 放在如图的方格里，要求每行和每列只能出现一枚棋子，则一共
有
种不同的放法。
第4 讲
计数问题总复习（一）
29
互动题3
用5 种不同的颜色在下面的5 个区域里染色，相邻区域用不同的颜色，则有
种不同
的染色方法。（不是每种颜色都必须使用）
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30
PART
3
排列组合基础
排列组合定义：
从n 个不同的元素中取出m 个元素（m ⩽n）的所有排列的个数，叫做从n 个不同的元素的排
列中取出m 个元素的排列数，我们把它记做Am
n ．
从n 个不同元素中取出m 个元素（m ⩽n）的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m
个不同元素的组合数．记作Cm
n ．
排列组合公式：
排列数公式：Am
n = n(n−1)(n−2)···(n−m+1)
全排列公式：An
n = n! = n×(n−1)×(n−2)×···×2×1
组合数公式：Cm
n = n(n−1)(n−2)···(n−m+1)
m!
第4 讲
计数问题总复习（一）
31
例题4
甲、乙、丙、丁、戊、己六个人站队，要求：
（1）如果要求站成两排，前排两人，后排四人，一共有
种站法。
（2）如果丙不能站在队伍两端，一共有
种站法。
互动题4
4 个人排成一排有
种不同的排法。
笔记页
32
第4 讲
计数问题总复习（一）
33
课堂巩固
1
甲、乙进行羽毛球比赛，总共比赛5 局，先赢3 局者获胜，已知第1 局甲胜，那么乙获
胜的情况有（ ）种。
A. 4
B. 5
C. 6
2
康康到麦当劳买套餐，一份套餐包含了一个汉堡、一份小吃和一杯饮料。服务员告诉
他店里有8 种汉堡、4 种小吃、5 种饮料可供选择，那么康康一共可以搭配出（ ）
种套餐。
A. 180
B. 150
C. 160
3
午餐的时候，食堂给同学们准备了苹果、香蕉和橘子这三种水果，每种都有很多个。冬
冬想要挑3 个水果吃，冬冬一共有（ ）种选择。（同类水果间没有区别）
A. 8
B. 10
C. 12
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34
4 “IMO”是国际数学奥林匹克的缩写，把这3 个字母用3 种不同颜色来写，现有5 种
不同颜色的笔，则共有
种不同的写法。
5
5 个人站成一排，小明不在两端的排法共有
种。
第5 讲
组合问题总复习（一）
5
组合问题
总复习（一）
学而思数学思维
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36
PART
1
最值问题
一、整体思想
通过整体调控比较极端情况，如比较大小先看位数，再由高到低比较位置.
二、最值问题极端思想
最值问题是一种极端思想，所以在做最值题时往往我们要从极端情况去处理、调整符合条件的
情况.
三、局部调整思想及平均分配思想
1. 两个数的和是固定数，那么这两个加数之间的差越小，这两个数的乘积越大.
2. 将一个数拆分成若干整数，希望加数个数多且不同，我们就尽量使得这些加数大小接近，就
从1 开始分拆成连续的自然数相加的形式1+2+3+··· 接近目标数而不超过，进一步调整大
小.
3.“最大的最小”
“最小的最大”等这类最值问题，往往比较复杂一点，所以我们把握住最大的越
小，最小的越大其实这些数将越接近平均数，根据最大的数不可能比平均数小，最小的数不可
能比平均数大，结合局部调整，直至符合要求.
例题1
将0 到9 这十个数字分成两部分，每个部分有五个数字，然后各组成一个五位数，则两个五位
数的差（以大减小）最小是
。
第5 讲
组合问题总复习（一）
37
互动题1
用1、2、3、4、6、7、8、9 这8 个数字组成两个四位数，使这两个数的差最小（大减小），这个差最
小是
。
例题2
王大伯准备靠自家的一面墙（假设墙足够长）建一个鸡舍，想用12 米长的竹篱笆围出最大的
长方形鸡舍，仔细想想，怎样建才能让鸡舍的面积最大，最大是
平方米。
互动题2
某校准备用一道长36 米的铁丝网，围成一块长方形生物实验基地，则这块基地的面积最大是
平方米。
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38
PART
2
操作问题
操作类问题一般与生活中的场景相结合，但最后一般转化为对图形、数字或某些变量的操作．
解决这类问题的最重要的思想就是“找本质、找规律”．找规律时我们往往可以从简单的情况入
手，慢慢过渡到复杂的情况．找规律的过程中，千万别忽视了题目中的隐含条件及不变量．
例题3
（1）把一根线绳对折，对折，再对折，再对折，最后从对折后的中间处剪开，这根线绳被剪成了
段。
（2）把一根线绳系成一个圈，然后对折，对折，再对折，再对折，最后从对折后的中间处剪开，这
根线绳被剪成了
段。
互动题3
（1）把一根线绳对折，对折，再对折，然后从对折后的中间处剪开，这根线绳被剪成了
段。
（2）把一根线绳系成一个圈，然后对折，对折，再对折，然后从对折后的中间处剪开，这根线绳被
剪成了
段。
第5 讲
组合问题总复习（一）
39
PART
3
构造与论证
构造与论证一般探讨给定要求能否实现或者最多最少能达到多少的问题，在论证中，有时需进
行分类讨论，有时则要着眼于极端情形，构造特殊例子，或从整体进行分析．解题时，既要构造
出取得最值的具体实例，又要对此方案的最优性进行论证．论证中的常用手段包括抽屉原则、
整除性分析和整体估算等．
例题4
如图所示，国际象棋棋盘剪掉两个方格后，能否用31 个2×1 的“骨牌”(形如
，可以旋转)
恰好覆盖？
互动题4
如图，三个图形都是从4×4 的正方形纸片上剪去两个1×1 的小方格后得到的，那么它们分别
，
，
（能填“1”，不能填“2”）被剪成1×2 的七个小矩形。
笔记页
40
第5 讲
组合问题总复习（一）
41
课堂巩固
1
用2、3、4、5、6、7、8、9 这8 个数字组成两个四位数，使这两个数的差最小（大减小），
这个差最小是（ ）。
A. 130
B. 135
C. 247
2
周长为16 米的长方形中，面积最大是（ ）平方米。
A. 16
B. 20
C. 25
3
将一根绳子对折一次后，从折成的小段正中间剪断，可以把这根绳子剪成（ ）段。
A. 9
B. 8
C. 3
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42
4
请将2、3、4、5 填入算式“□□× □□”的方格中。要使得算式结果最大，应该填
。
5
如图，在5×5 方格的A 格中有一只爬虫，它每次总是只朝上下左右四个方向爬到相
邻方格中．那么它能否不重复地爬遍每个方格再回到A 格中？
第6 讲
行程问题总复习
6
行程问题
总复习
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44
PART
1
基本行程问题
行程问题基本公式：
路程= 速度× 时间，
平均速度= 总路程÷ 总时间；
例题1
小高从家骑自行车去学校上学，先走上坡路到达点A，再走下坡路到达点B，最后走平路到达学
校，所用的时间与路程的关系如图所示。放学后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路
的速度分别保持和去上学时一致，那么他从学校到家需要的时间是
分钟。
第6 讲
行程问题总复习
45
互动题1
一辆汽车将一批货物从甲地运往乙地，到达乙地卸货后返回。汽车行驶的时间x 与距甲地路程
y 之间的关系如图所示。根据图象信息，解答下列问题：
这辆汽车的往、返速度是否相同
；
（不同填“1”，相同填“2”）
这辆汽车从甲地出发4 小时后与甲地的距离为
千米。
例题2
邮递员早晨7 时出发送一份邮件到对面山里，从邮局开始要走12 千米上坡路，8 千米下坡路。
他上坡时每小时走4 千米，下坡时每小时走5 千米，到达目的地停留1 小时以后，又从原路返
回，邮递员下午
点可以回到邮局。（请按照12 小时制填写）
互动题2
从山下到山上的路程是1200 米，小华上山时平均速度为每分钟60 米，下山时平均每分钟走
120 米，则小华往返行程中的平均速度是每分钟走
米。
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46
PART
2
复杂行程问题
行程问题基本公式：
相遇路程= 速度和× 相遇时间；
追及路程= 速度差× 追及时间.
例题3
小明骑自行车从家出发上学。若以180 米/分的速度行进，7 : 45 到达学校；若以240 米/分的速
度行进，7 : 30 到达学校。如果小明希望7 : 39 到校，那么，他骑车的速度应为
米/分。
互动题3
王新从教室去图书馆还书，如果每分钟走70 米，能在图书馆闭馆前2 分钟到达，如果每分钟走
50 米，就要超过闭馆时间2 分钟，则教室到图书馆的路程有
米远。
第6 讲
行程问题总复习
47
例题4
甲、乙、丙三人每分钟分别行60 米、50 米和40 米，甲从B 地、乙和丙从A 地同时出发相向而
行，途中甲遇到乙后15 分又遇到丙。A，B 两地的距离为
米。
互动题4
在公路上，汽车A、B、C 分别以80km/h，70km/h，50km/h 的速度匀速行驶，若汽车A 从甲站开
往乙站的同时，汽车B、C 从乙站开往甲站，并且在途中，汽车A 在与汽车B 相遇后两小时又与
汽车C 相遇，则甲、乙两站相距
千米。
笔记页
48
第6 讲
行程问题总复习
49
课堂巩固
1
如图，是一辆工程车从工地驶向停车场的路程——时间图，以下说法中，错误的是
（ ）。
A. 工地到停车场的路程是6km
B. 在第7 分钟到第9 分钟之间，工程车停下来了
C. 全程共用了13 分钟
D. 在第4 分钟到第7 分钟之间，工程车的速度越来越快
2
如图，从A 到B 是6 千米下坡路，从B 到C 是4 千米平路，从C 到D 是4 千米上
坡路。小张步行，下坡的速度都是6 千米/时，平路速度都是4 千米/时，上坡速度都是
2 千米/时。那么从A 到D 的平均速度是（ ）千米/时。
A. 2.5
B. 3.5
C. 4.5
3
若往返于甲、乙两城之间的列车的速度由原来的200km/h 提高到300km/h，运行时间
将缩短2 小时。则甲、乙两城相距（ ）km。
A. 1000
B. 1100
C. 1200
学而思数学思维
目标S 班·六年级（全国版）「寒」
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4
小红从家步行去学校。如果每分钟走120 米，那么将比预定时间早到5 分钟；如果每
分钟走90 米，则比预定时间迟到3 分钟，那么小红家离学校
米。
5
甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走60 米，乙每分钟走67.5 米，丙每分钟走75 米，甲乙
从东镇去西镇，丙从西镇去东镇，三人同时出发，丙与乙相遇后，又经过2 分钟与甲相
遇，则东西两镇间的路程有
米。
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