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六年级奥数题及答案：图形（高等难度）
1、如图，长方形 ABCD 中，E 为的 AD 中点，AF 与 BE、BD 分
别交于 G、H，OE 垂直 AD 于 E，交 AF 于 O，已知 AH=5cm，
HF=3cm，求 AG．
2 阴影面积：（高等难度）
如右图，在以 AB 为直径的半圆上取一点 C，分别以 AC
和 BC 为直径在△ABC 外作半圆 AEC 和 BFC．当 C 点在什么
位置时，图中两个弯月型（阴影部分）AEC 和 BFC 的面积和
最大。3、巧克力豆：（高等难度）
甲、乙、丙三人各有巧克力豆若干粒，要求互相赠送.先
由甲给乙、丙，甲给乙、丙的豆数依次等于乙、丙原来各人所
有豆数.依同办法，再由乙给甲、丙，所给豆数依次等于甲、丙
各人现有的豆数.最后由丙给甲、乙，所给的豆数依次等于甲、
乙各人现有的豆数.互赠后每人恰好各有豆 32 粒，问原来三
人各有豆多少粒？
4、得奖人数：（高等难度）
六年级举行一次数学竞赛，共有若干名同学得奖，其中
得一等奖的同学比余下的得奖人数的五分之一少三名，得二
等奖的占领奖人数的三分之一，得三等奖的人数比二等奖的
人数同学多 21 名，问得奖人数是多少？粮食问题：（高等难度）
5、 甲仓有粮 80 吨，乙仓有粮 120 吨，如果把乙仓的一
部分粮调入甲仓，使乙仓存粮是甲仓的 60％，需要从乙仓调
入甲仓多少吨粮食？
6、分苹果：（高等难度）
有一堆苹果平均分给幼儿园大、小班小朋友，每人可得 6
个，如果只分给大班每人可得 10 个，问只分给小班时，每人
可得几个？、
7、巧算：（中等难度）
计算：8、四位数：（中等难度）
某个四位数有如下特点：①这个数加 1 之后是 15 的倍
数；②这个数减去 3 是 38 的倍数；③把这个数各数位上的数
左右倒过来所得的数与原数之和能被 10 整除，求这个四位
数.
9 跑步
狗跑 5 步的时间马跑 3 步，马跑 4 步的距离狗跑 7 步，
现在狗已跑出 30 米，马开始追它。问：狗再跑多远，马可以追
上它？、
10 排队有五对夫妇围成一圈，使每一对夫妇的夫妻二人动相邻
的排法有（ ）、
11 路程
A，B，C 三地的距离（单位：千米）如左下图所示。现有一
辆载重量 4 吨的汽车要完成下列任务：从 A 地运 12 吨煤到
B 地，从 B 地运 8 吨钢材到 C 地，从 C 地运 16 吨粮食到 A 地。
怎样安排才能使汽车空驶里程最短？、
12、时间
李叔叔下午要到工厂上 3 点的班，他估计快到上班的时
间了，就到屋里去看钟，可是钟停在了 12 点 10 分。他赶快给
钟上足发条，匆忙中忘了对表就上班去了，到工厂一看离上
班时间还有 10 分钟。夜里 11 点下班，李叔叔回到家一看，钟
才 9 点钟。如果李叔叔上、下班路上用的时间相同，那么他家
的钟停了多长时间？13、时间
在 3 点与 4 点之间，时针和分针在什么时刻位于一条直
线上？
14 分数和
15 整除三位数
从 0、3、5、7 这四个数字中任选 3 个数，排成能同时被
2、3、5 整除的三位数，这样的三位数有多少？、16、抽取数字
从 3、5、8、11、14、17、20、23、26、29、32 这 11 个数
中，任意取出 7 个数，其中一定有两个数，它们的差是 15，为
什么？
17、如图，△ABC 中 BD=2AD ，CE=2EB ，AF=2FC ，那么
△ABC 的面积是阴影部分面积的( )倍。18、火车速度
一列火车从甲地开往乙地，如果将车速提高 ，可以比原
计划提前 1 小时到达；如果先以原速度行驶 240 千米后，再
将速度提高 ，则可提前 40 分钟到达．求甲、乙两地之间的距
离及火车原来的速度。
19、分数方程
20 求未知数21、学而思竞赛班选拔考试，共有 名同学参加。小明说："至
少有 10 名同学来自同一个学校。"如果他的说法是正确的，
那么最多有多少所学校参加了这次选拔考试？
22、面积
如图所示，长方形 ABCD 内的阴影部分的面积之和为
70，AB= 8， AD=15 四边形 BFGO 的面积为________．23、浓度
A、B 两杯食盐水各有 40 克，浓度比是 3:2 ．在 B 中加
入 60 克水，然后倒入 A 中________克．再在 A、B 中加入水，
使它们均为 100 克，这时浓度比为 7:3 。
24、求数
是否存在自然数 n，使得 n2＋n＋2 能被 3 整除？
25、玩骰子
小明和小红玩掷骰子的游戏，共有两枚骰子，一起掷出。
若两枚骰子的点数和为 7，则小明胜；若点数和为 8，则小红胜。试判断他们两人谁获胜的可能性大。
26、求数
如果一些不同质数的平均数为 21，那么他们中最大的一
个数可能是几？
27、求和
将 1 至 9 这九个自然数分别填入下图中九个小三角形
中，要求靠近三角形每条边上五个数的和相等，并且尽可能
地大。这五个数的和是（ ）
28、求差
有 2 个 3 位数，它们的和是 999，如果把较大的数放在
较小数的左边，所成的数正好等于把较小数放在较大数左边所成数的 6 倍，那么这 2 数相差多少呢？
答案
1、
2、阴影面积答案：3、巧克力豆答案：
答：甲、乙、丙原有巧克力豆各为52粒、28粒、16粒.
4、 得奖人数答案：
解答：设获奖人数为x，则
所以x=111（人）
5、粮食问题答案：
①甲仓有粮：（80＋120）÷（1＋60％）=125（吨）.
②从乙仓调入甲仓粮食：125-80=45（吨）.
6、分苹果答案：
7、、巧算答案：
本 题 的 重 点 在 于 计 算 括 号 内 的 算 式 ：
．这个算式不同于我们常见的分数
裂项的地方在于每一项的分子依次成等差数列，而非常见的分子相同、或分子是分母的差或和的情况．所以应当对分子进行适当的变形，使
之转化成我们熟悉的形式．
法一：
观察可知5=2+3，7=3+4，……即每一项的分子都等于分母中前
两个乘数的和，所以
（法二）
上面的方法是最直观的转化方法，但不是唯一的转化方法．由于
分子成等差数列，而等差数列的通项公式为a+nd，其中为公差d．如
果能把分子变成这样的形式，再将 a与nd分开，每一项都变成两个
分数，接下来就可以裂项了．（法三）
本题不对分子进行转化也是可以进行计算的：
8、四位数答案：因为该数加1之后是15的倍数，也是5的
倍数，所以d=4或d=9.
因为该数减去3是38的倍数，可见原数是奇数，因此d≠4，只能
是d=9.
这表明m=27、37、47；32、42、52.（因为38m的尾数为6）
又因为38m＋3=15k-1（m、k是正整数）所以38m+4=15k.
由于38m的个位数是6，所以5|（38m＋4），
因此38m+4=15k等价于3（| 38m＋4），即3除m余1，因此可
知m=37，m=52.
所求的四位数是1409，1979.
9、解答：根据"马跑4步的距离狗跑7步"，可以设马每步长为7x米，
则狗每步长为4x米。
根据"狗跑5步的时间马跑3步"，可知同一时间马跑3×7x米＝
21x米，则狗跑5×4x＝20x米。
可以得出马与狗的速度比是21x：20x＝21：20
根据"现在狗已跑出30米"，可以知道狗与马相差的路程是30米，
他们相差的份数是 21-20＝1，现在求马的 21 份是多少路程，就是
30÷（21-20）×21＝630米10、解答：根据乘法原理，分两步：
第一步是把5对夫妻看作5个整体，进行排列有5×4×3×2×1＝
120种不同的排法，但是因为是围成一个首尾相接的圈，就会产生5
个5个重复，因此实际排法只有120÷5＝24种。
第二步每一对夫妻之间又可以相互换位置，也就是说每一对夫妻
均有2种排法，总共又2×2×2×2×2＝32种
综合两步，就有24×32＝768种。
11、 解答：
如右上图所示，将各段需运输的次数（括号内的数）及运输走向
（箭头指向）标在图上。由于C到A的次数最多，所以应从C开始。按
C→A→B→C，两次循环后，B地的钢材运完，C地还有8吨粮食待运，
A地还有4吨煤待运。再从C运4吨粮食到A，然后空驶回C地，再从
C运4吨粮食到A，最后从A运4吨煤到B。这样的安排只空驶了7
千米，空驶里程最短。
12、解答：这道题看起来很"乱"，但我们透过钟面显示的时刻，计算出
实际经过的时间，问题就清楚了。钟从12点10分到9点共经过8时
50分，这期间李叔叔上了8时的班，再减去早到的10分钟，李叔叔
上、下班路上共用8时50分－8时－10分＝40（分）。李叔叔到工厂时是2点50分，上班路上用了20分钟，所以出发时间是2点30分。
因为出发时钟停在12点10分，所以钟停了2时20分。
13、3点时分针指向12，时针指向3（见右图），分针在时针后 面
5×3＝15（格）。时针与分针在一条直线上，可分为时针与分针重合、
时针与分针成180°角两种情况（见下图）：
14、解答：观察分母，如果分母都乘以2，恰好得到我们利用裂项方法
计算所需的数15、解答：能同时被2与5整除，则这个三位数的末位数肯定是0；能
被3整除则这个三位数各个位上的数能被3整除，也就是在3、5、7
中选两个数字，使它们相加能被3整除，不难得出只有5和7相加能
被3整除，所以这样的三位数只有两个：570与750。
16、解答：所有的数字分成以下几组：{20，5}，{23，8}，{26，11}，{29，
14}，{32，17}把这5对数和{3}看做6个抽屉，从最不利情况考虑，从
每个抽屉里各取出 个数，这时取出的6个数中没有两个数之差是15
的，只要再任取一个数，由抽屉原理可知：在前面5个抽屉里必定有
一个抽屉里的两个数都被取出，而这5个抽屉中每个抽屉里的两个数
之差都是15。所以，任意取出的7个数中一定有两个数之差是15。
17、18、火车速度（六年级奥数题及答案）
19、解答：20、
21、解答：这是一道已知苹果和"至少"，求抽屉的题， 1123个苹果，
1123÷9=124……7 ，所以最多来了124个学校。
22、解答：四边形EFGO的面积=三角形AFC+ 三角形BDF- 白色部
分的面积三角形 AFC+三角形BDF =长方形面积的一半即 60，白色
部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积，即120-70=50
所以四边形的面积:60-50=10
23、解答：A、B浓度比是 3:2，又因为盐水重量相等，所以A、B盐的重
量比是 3:2，设A杯中盐的重量是6份，则B杯中盐的重量是4份，又
知再在A、B中加入水，使它们均为100克，这时浓度比为7:3，所以B
杯中盐的重量要有1份倒入A杯，即B杯中要有四分之一的盐倒入A
杯中，所以倒入A杯中盐水重量为100×（1:4)=25(克）24解答：枚举法通常是对有限种情况进行枚举，但是本题讨论的对象
是所有自然数，自然数有无限多个，那么能否用枚举法呢？我们将自
然数按照除以3的余数分类，有整除、余1和余2三类，这样只要按
类一一枚举就可以了。
当n能被3整除时，因为n2，n都能被3整除，所以
（n2＋n＋2）÷3余2；
当n除以3余1时，因为n2，n除以3都余1，所以
（n2＋n＋2）÷3余1；
当n除以 3余 2时，因为n2÷3余1，n÷3余2，所以
（n2＋n＋2）÷3余2。
因为所有的自然数都在这三类之中，所以对所有的自然数n，（n2
＋n＋2）都不能被3整除。
25、 解答：将两枚骰子的点数和分别为7与8的各种情况都列举出
来，就可得到问题的结论。用a＋b表示第一枚骰子的点数为a，第二
枚骰子的点数是b的情况。
出现7的情况共有6种，它们是：
1＋6，2＋5，3＋4，4＋3，5＋2，6＋1。
出现8的情况共有5种，它们是：
2＋6，3＋5，4＋4，5＋3，6＋2。
所以，小明获胜的可能性大。
26、解答：找出21以内的所有质数，然后再加上一个比较大的质数算平均值 2，3，5，7，11，13，17，19 一共是8个，和为77，那么
77+x=9x21,x=112不是质数所以考虑去掉1个数，设去掉的是a,那
个较大的数是x，则77-a+x=21x8,x=91+a要是质数，不可能（因为
首先必须要得到奇数，那么a只能是2，但是91+2=93不是质数）所
以考虑去掉 2 个数，设去掉的是 a,b,较大的数是 x,则 77-a-
b+x=21x7,x=70+a+b，x必须是奇数，所以a,b中必须有2，不妨令
a=2,则72+b要是质数，那么符合条件的最大的是72+17=89
27、解答：靠近三角形边上一共有3条边，每条的和为S,那么3条边
的和为3S
同时，这三条边相加的时候，除了2排第1、3和3排第3个。其
余6个小三角都被加了2次。所以，3S=1+2+…+9+6个小三角形的
和。所以3S=45+6个小三角形的和要使S大，那么就是6个小三角
形的和大，于是另外 3 个格子里就填 1，2，3，而这 6 个分别是
4,5,6,7,8,9，这样，S就=28
其中一种填法可以是:上面9;中间顺次1,4,3.下面顺次8,6,2,5,7.
28 、 解 答 ： abc+def=999 ， abcdef=6defabc ， 根 据 位 值 原
理,1000abc+def=6000def+6abc
化 简 得 994abc=5999def ， 两 边 同 时 除 以 7 得
142abc=857def，所以abc=857，def=142
所以857-142=715
