文档文本内容
前言PREFACE
学而思网校为6 ～18 岁的学生提供小学、初中、高中全学科课外学习课程。
学而思网校拥有十余年教学经验，采用在线双师直播教学模式，用AI 技术来辅
助教学。学而思网校课堂互动多，线上课程有回放，教师及时答疑，学生不满意
可随时退费。
2016 年5 月，学而思网校提出“在线学习更有效”的品牌主张，并正式推出
在线双师直播教学模式，通过实时在线的互动教学、图文并茂的随堂讲义、科学
的学业测评，以及教师多方位的学习辅导，保障学生的学习效果。
2016 年7 月，
“IDO 个性化学习体系”正式上线，体系拥有动态学习报告、错
题订正等功能，为教师、学生和家长之间建立起更有效的沟通平台。2017 年7
月，
“IDO 个性化学习体系”升级为“IDO 个性化学习体系2.0”（简称“IDO2.0”）。
“IDO2.0”拥有个性化学习任务系统（IMS），并首次将人脸识别、语音识别、触感
互动等技术引入在线课堂，让在线学习有更多可被量化的数据和可追踪的学习
轨迹，甚至有更多动手实践的机会。有效的科技手段逐渐缩小了线上线下的学
习体验差异。
2018 年，学而思网校课程体系全面升级，Amazing English、大语文、数学思
维、大科学等课程更注重对学生综合素质能力的培养。同时，学而思网校推出
的故宫、音乐、魔方、儿童安全、历史等素养类课程让学生可以多维、立体化成
长。学而思网校自主研发的“AI 老师”通过自然语言处理（NLP）、图像文字识别
（OCR）等技术精准分析学生的语义、情感、笔迹等，形成完整高效的“课堂学习
链”，让在线课堂学习体验更美好，让教学更高效，学习更有效。未来，学而思网校
将进一步承担起用科技推动教育进步的重任，不断致力于教育资源的均衡发展，
实现从教到育、从学到习的全面提升。
学而思网校教研中心
运算求解
第10 讲一点一横好兄弟——分数加减混合运算进阶· 2
数据分析
第11 讲阿丘治病记——数据的整理与分析·······20
逻辑推理
第12 讲比尔盖茨的招聘启事——找次品········44
数感认知
第13 讲有物不知其数——剩余问题············60
实践应用
第14 讲风吹草低见牛羊——牛吃草············78
第10 讲
一点一横好兄弟——分数加减混合运算进阶
学而思数学思维
目标A+ 班·五年级（全国版）「春」
6
PART
1
带分数加减运算
【知识点1】带分数加减运算
1. 假分数与带分数相互转化
（1）假分数化带分数：
分子
分母= 商余数
分母
（2）带分数化假分数：
整数分子
分母= 整数×分母+分子
分母
2. 带分数加减计算
（1）带分数加法：整数部分相加，分数部分相加（若为异分母，则先通分），最后化成最
简分数。
（2）带分数减法：先比较分数部分大小，被减数> 减数，则整数部分相减，分数部分相
减；被减数< 减数，被减数的分数部分向整数部分借“1”变成假分数，再进行计算。
第10 讲
一点一横好兄弟——分数加减混合运算进阶
7
例题1
将下列假分数化为带分数。
（1）9
4
（2）14
5
将下列带分数化为假分数。
（3）31
2
（4）13
4
想一想 ?
整数部分可以直接跟分子相加吗？
例题2
计算。
（1）2 5
13 +4 7
13
（2）211
35 −2 6
35
（3）4 1
11 −210
11
想一想 ?
需要先将带分数化成假分数吗？尝试将整数部分和分数部分分开计算，你发现了什么？
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目标A+ 班·五年级（全国版）「春」
8
大显身手1
计算。
（1）2 4
21 +110
21
（2）411
18 −5
18
例题3
计算。
（1）21
3 +11
4
（2）54
5 −43
7
遇到异分母分数加减运算时，先通分再计算。
第10 讲
一点一横好兄弟——分数加减混合运算进阶
9
课中阅读
神奇的“糖水原理”
小朋友，你还记得如何比较异分母分数大小吗？当我们需要比
较异分母分数大小时，一般先通分，再比较大小。现在我们来尝试
进行一个这样的挑战：快速写出介于2
3 和3
4 之间的分数。你会如
何解决呢？大多数人的第一反应一定是先进行通分，将2
3 变成16
24，
再将3
4 变成18
24，此时再去寻找两个分数中间的分数，比如17
24。
实际上，更快速的方法是直接将分子相加，分母相加即可，也
就是2
3 < 2+3
3+4 < 3
4（通分后：56
84 < 60
84 < 63
84）。如果不相信，你还
可以多举出一些例子进行验证。
这是为什么呢？这样的运算技巧可以用“糖水原理”进行解释：
将2
3 看作第一杯糖水的甜度（糖水中糖占2 份），此时3
4 看
作第二杯糖水的甜度（糖水中糖占3 份），显然第二杯糖水的甜度
更高（如下图），也就是第二杯糖水更甜。
接下来，将两杯糖水混合在一起得到第三杯糖水，它的甜度一
定介于前两杯糖水甜度之间，所以直接将分子、分母分别相加，得
到的分数大小刚好介于两个分数（互不相等）之间。
学而思数学思维
目标A+ 班·五年级（全国版）「春」
10
PART
2
分小混合加减运算
【知识点2】分小混合加减运算
1. 分小互化
（1）分数化为小数：
分子
分母= 分子÷ 分母
* 若结果为无限循环小数，可根据实际情况填写结果。
（2）小数化为分数：
①小数< 1，则将小数写成分数结构，再通过分数性质将分子部分化成整数。
如下：
0.25 = 0.25
1
= 0.25×100
1×100
= 25
100 = 1
4
②小数> 1，整数部分可直接保留作为带分数中的整数部分，小数部分变化同①。
2. 分小混合加减运算
（1）若算式中分数较多，考虑将小数化成分数；若小数较多，则考虑将分数化为小数。
（2）巧算：分数和分数计算，小数和小数计算。
第10 讲
一点一横好兄弟——分数加减混合运算进阶
11
例题4
把下列分数化成小数，小数化成分数。
（1）1
8 =
7
2 =
（2）0.45 =
0.2 =
运用分数和除法的关系进行计算得到小数。
大显身手2.1
请将分数化成小数：
（ ）
137
8 =
A. 13.625
B. 13.62
C. 13.875
大显身手2.2
81
2 化成小数是
。
大显身手2.3
7.4 化为分数是
；6.9 化为分数是
。
想一想 ?
如果遇到带分数或大于1 的小数，整数部分应该如何处理？
学而思数学思维
目标A+ 班·五年级（全国版）「春」
12
例题5
计算。
1.2+ 1
2 −0.7
想一想 ?
含有分数和小数的加减算式，是将分数化成小数还是将小数化成分数呢？
例题6
计算。
（1）3.8+15
7 +6.2+32
7
（2）15 3
14 −2.25−73
4
第10 讲
一点一横好兄弟——分数加减混合运算进阶
13
大显身手3
3
4 +2 9
17 +3.25+3 8
17
一个大水桶中装着1 吨水，第一次倒出1
2 吨，第二次倒出0.3 吨，第三次又装入1
3 吨，然后又
装入0.1 吨，请问此时水有多少吨？
14
【知识点1】带分数加减运算
1. 假分数与带分数相互转化
2. 带分数加减计算
（1）带分数加法：整数部分相加，分数部分相加（若为异分母，则先通分），最后化
成最简分数。
（2）带分数减法：先比较分数部分大小，被减数＞减数，则整数部分相减，分数部分
相减；被减数＜减数，被减数的分数部分向整数部分借“1”变成假分数，再进行
计算。
【知识点2】分小混合加减运算
1. 分小互化
（1）分数化为小数：
分子
分母= 分子÷分母
* 若结果为无限循环小数可根据实际情况填写结果。
（2）小数化为分数：
①小数< 1，则将小数写成分数结构，再通过分数性质将分子部分化成整数。
如下：
0.25 = 0.25
1
= 0.25×100
1×100
= 25
100 = 1
4
②小数> 1，整数部分可直接保留作为带分数中的整数部分，
小数部分变化同①。
2. 分小混合加减运算
（1）若算式中分数较多，考虑将小数化成分数；
若小数较多，则考虑将分数化为小数。
（2）巧算：分数和分数计算，小数和小数计算。
15
1. 遇到异分母分数加减运算时，先通分再计算。
2. 将分数化成小数时，可以运用分数和除法的关系进行计算得到小数。
☆核心方法
分小混合加减运算:
（1）观察算式特点，优先计算同分母分数；
（2）分数多则将小数化成分数，小数多则将分数化成小数；
（3）分化小时出现无限循环小数则考虑将小数化成分数进行计算；
（4）最终结果若为分数形式，将结果化成最简分数。
16
第10 讲
一点一横好兄弟——分数加减混合运算进阶
17
课堂巩固
1
把小数化成分数不正确的是（ ）。
A. 1.6 = 13
5
B. 0.4 = 1
4
C. 0.375 = 3
8
D. 0.75 = 3
4
2
将下面分数化成小数。（ ）
34
5 =
A. 3.8
B. 0.8
C. 3.45
3
计算。
212
17 +116
17 =（ ）
A. 28
17
B. 411
17
C. 115
17
学而思数学思维
目标A+ 班·五年级（全国版）「春」
18
4
计算：1
4 +2 7
20 +3.25+3 8
20
5
计算：55.76+3 5
17 +44.23+210
17 +0.01+4 2
17
第11 讲
阿丘治病记——数据的整理与分析
学而思数学思维
目标A+ 班·五年级（全国版）「春」
24
PART
1
单式折线统计图
【知识点1】单式折线统计图
1. 折线统计图
它是用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段
顺次连接起来的统计图。
2. 折线统计图的特点
折线统计图不但可以表示出数量的多少，而且还能够通过折线的起伏清楚地反映出数
量增减变化的趋势。
3. 统计图的选用
（1）如果几个数量是并列的，只要求表示数量的多少，则可以选用条形统计图。
（2）如果要表示一个量或几个量的增减变化情况和变化趋势，则可以选用折线统计图。
第11 讲
阿丘治病记——数据的整理与分析
25
例题1
阿丘监测自己一天的体温变化如下表。
（1）下面两个统计图，哪一个能更直观地表示出阿丘体温的变化趋势？
条形统计图 折线统计图
（2）阿丘的体温在
时达到最高值，
时达到最低值，
（时
间段）退烧效果最明显。
（3）阿丘在14 : 00 左右服用了退烧药，你认为退烧药有作用吗？如果体温在37.2◦C 以下就算
正常，你认为阿丘已经恢复健康了吗？
想一想 ?
通过对题中折线统计图的观察，你认为折线统计图的特点是什么？
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目标A+ 班·五年级（全国版）「春」
26
大显身手1.1
下面事件中，（ ）比较适合用下图来表示变化趋势。
A. 某校六个班的人数
B. 某服装厂连续6 个月的服装销售情况
C. 大雄拥有不同种类图书数量
D. 张明近几年的身高情况
大显身手1.2
下图是莉莉班六名同学1 分钟跳绳的数据：
莉莉和许多想用不同的统计图整理，你认为谁的整理方法更合适？
。
条形统计图 折线统计图
条形统计图多用于对比数量多少，折线统计图
多用于观察变化趋势。
第11 讲
阿丘治病记——数据的整理与分析
27
大显身手1.3
某商场去年下半年每月羊毛衫销售情况如下表。
分析统计图，
月到
月羊毛衫销量增长最快。（相邻两个月）
根据数据的上升与下降幅度进行判断。
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28
PART
2
折线统计图进阶
例题2
许多记录了三星书店7 ∼12 月份科普图书的销售量情况，根据下表中的数据绘制折线统计图，
回答下列问题。
（1）许多想通过折线统计图呈现这家书店在7 ∼12 月份科普图书销售量情况，但是这些数据
差别不大，请你帮许多在下图中设计一个折线统计图。
想一想 ?
为了让数据变化趋势更为明显，纵轴可以从几开始？每格可以代表几？
第11 讲
阿丘治病记——数据的整理与分析
29
例题2
（2）三星书店在下半年
月到
月（相邻两个月）销售增量最多，增加了
册图书。
（3）观察你绘制的折线统计图，根据折线统计图的特点说一说你发现了什么？你对书店进货有
怎样的建议？
大显身手2
小明每年生日时都去测量体重，如图是他8 ∼14 岁生日当天测量的体重统计表。
（1）小明想通过折线统计图呈现自己这几年的体重变化，请你帮小明设计一个折线统计图，使
体重的变化尽可能呈现得更清晰。
（2）小明从
岁到
岁（相邻两岁）的体重增幅最大。
学而思数学思维
目标A+ 班·五年级（全国版）「春」
30
课中阅读
统计数据为什么有时会“撒谎”
收集数据是一项既复杂又精细的工作，一步出错就会导致整
个统计结果错误。即使所有收集到的数据和计算过程全都正确，在
根据数据推导结论的时候也可能隐藏着巨大的陷阱。如果盲目地
对统计数据进行分析，甚至会得出一些极为荒谬的结论。
统计学家曾经调查过铀矿工人的寿命，其结果让人大跌眼镜：
铀矿工人的寿命居然与普通人的寿命相当，甚至有的工人寿命更
长! 要知道，铀矿石是具有放射性的危险矿物，大剂量的照射会对
人体和动物产生某种损害作用。
这样的统计结果，难道是在表明铀矿对人体无害，甚至有益吗?
当然不是! 我们仔细分析一下，什么样的人才会通过筛选进入铀矿
工作? 只有那些身强体壮的人才会有机会，而他们的寿命本来就可
能长一些。可能正是因为去了铀矿工作，所以才把他们的寿命拉低
到了平均水平，从而造成了数据的结论只浮于表面。类似的，有数
据表明打太极拳的人和不打太极拳的人平均寿命相当。事实上，打
太极拳确实可以强身健体，延长寿命。之所以会出现上面的这种调
查结果是因为体弱多病的人更可能会选择打太极拳这种锻炼方式，
而这一现象也给统计数据带来了虚假的真实性。
第11 讲
阿丘治病记——数据的整理与分析
31
课中阅读
可见，从统计数据中挖掘出正确的结论，并不是一件容易的事。
如果统计数据只浮于表面，而不深入分析数据，往往会得到一些错
误的信息。这就需要我们多方面考察，深层挖掘出各项数据内部的
逻辑，得出正确的结论。
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目标A+ 班·五年级（全国版）「春」
32
PART
3
复式折线统计图
【知识点2】复式折线统计图
1. 折线统计图的分类
（1）单式折线统计图
例：阿丘体温变化趋势统计图
阿丘体温变化趋势统计图
第11 讲
阿丘治病记——数据的整理与分析
33
（2）复式折线统计图
例：商场某两种电器全年销售情况统计图
例题3
根据统计图信息解决问题。
（1）A 商品第三季度平均每月销售
台。
（2）B 商品
月到
月销售增长幅度最大。（填相邻两个月）
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34
大显身手3
根据北京某商场统计图信息解决问题。
根据图中信息，你认为A 商品最有可能是
，B 商品最有可能是
。
电风扇
取暖器
烤箱
微波炉
第11 讲
阿丘治病记——数据的整理与分析
35
例题4
2014 年甲、乙两个城市月平均气温如下表：
2014 年甲、乙两个城市月平均气温统计图如下：
（1）根据表中的数据，把上面的统计图补充完整。
（2）两个城市的最高月平均气温相差
◦C，最低月平均气温相差
◦C。
（3）
月份两个城市月平均气温相同。（填数字）
（4）这两个城市一年四季气温变化各有什么特点？
画复式折线统计图时需要用不同的线段形式
（实线或虚线）来区分不同的统计对象。
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目标A+ 班·五年级（全国版）「春」
36
下列的（ ）适合用下面的折线统计图来表示。
A. 某品牌保温杯1 ∼6 月的销售情况
B. 六位同学成功减肥后，各自的体重变化情况
C. 小刚1 ∼6 年级识字总量的变化情况
D. 某品牌太阳伞1 ∼6 月的销售情况
37
【知识点1】单式折线统计图
1. 折线统计图
它是用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线
段顺次连接起来的统计图。
2. 折线统计图的特点
折线统计图不但可以表示出数量的多少，而且还能够通过折线的起伏清楚地反映出
数量增减变化的趋势。
3. 统计图的选用
（1）如果几个数量是并列的，只要求表示数量的多少，则可以选用条形统计图。
（2）如果要表示一个量或几个量的增减变化情况和变化趋势，则可以选用折线统计
图。
【知识点2】复式折线统计图
1. 折线统计图的分类
（1）单式折线统计图
（2）复式折线统计图
38
1. 条形统计图多用于对比数量多少，折线统计图多用于观察变化趋势。
2. 用折线统计图判断变化趋势，注意观察多个数据间的上升和下降幅度。
☆核心方法
折线统计图的制作方法：
（1）根据图纸的大小，确定纵轴和横轴每一个单位的长度；
（2）根据纵轴、横轴的单位长度，画出纵轴和横轴，并画出方格图；
（3）根据各个量的数量在方格图中描出对应点；
（4）把各点用线段顺次连接起来；
（5）写出标题，注明单位。
复式折线统计图的制作方法：
（1）根据图纸大小，画出横轴和纵轴（或网格）；
（2）在横轴上，适当分配各个量的位置及名称；
（3）在纵轴上，根据数据最大值与最小值确定数据范围，进而确定单位长度；
（4）确定不同量的图例，根据数据描出对应点并连线，注明数量；
（5）写出标题，注明单位。
39
学而思数学思维
目标A+ 班·五年级（全国版）「春」
40
课堂巩固
1
要反映病人的体温变化，一般绘制（ ）。
A. 条形统计图
B. 折线统计图
C. 扇形统计图
2
下面表格给出了某天不同时刻的温度，下面图（ ）与表格中的数据变化趋势是
一致的。
第11 讲
阿丘治病记——数据的整理与分析
41
3 根据下面几个城市气温的描述，推断一下甲市可能是（ ）。
A. 三亚：热带城市，全年高温，气温均在20◦C 以上。
B. 昆明：四季如春，景色优美，冬季最高气温也在20◦C 左右。
C. 北京：四季分明，夏季高温多雨，冬季寒冷干燥。
D. 哈尔滨：北方城市，入冬较早，10 月气温可到零下。
学而思数学思维
目标A+ 班·五年级（全国版）「春」
42
4 看图填一填。
（1）这是
统计图，图中纵轴每格表示
个。
（2）这五天中，小华的平均成绩是
个。
5
下面是护士记录的一位病人的体温情况。
（1）根据统计表画出折线统计图。
（2）这位病人的体温在
时到
时下降最快。
第12 讲
比尔盖茨的招聘启事——找次品
学而思数学思维
目标A+ 班·五年级（全国版）「春」
48
PART
1
三分法初步
【知识点1】找次品
1. 找次品：在一堆正品中存在一个次品，次品重量与正品不一致，使用没有砝码的天平称
量，找出这个次品的过程即为“找次品”。
【知识点2】三分法初步
1. 使用没有砝码的天平称量物品比较重量大小时，若天平两端称量的物品数量相等，则
天平可能出现3 种状态：
（1）左沉
（2）右沉
（3）平衡
2. 若已知次品轻重，待称量物品的个数为3n，则用三分法将它们分组为（3n−1 , 3n−1 ,
3n−1），至少称量n 次能保证找出次品。
第12 讲
比尔盖茨的招聘启事——找次品
49
例题1
（1）有3 个零件，其中1 个是次品，重量稍重。根据如图所示称量的结果，
号零件是
次品。
（2）有3 个零件，其中1 个是次品，重量稍重。根据如图所示称量的结果，
号零件是
次品。
想一想 ?
如果例1（2）中的次品比正品轻，结果会有变化吗？
学而思数学思维
目标A+ 班·五年级（全国版）「春」
50
例题2
在下面的几堆螺丝中都有1 个较轻的次品，为了用没有砝码的天平尽快找出次品，请完成下面
的表格。
大显身手1
现在，你可以解决比尔·盖茨先生提出的问题了吗？
假定你有81 个玻璃球，其中有一个球比其它的球稍重，只能用没有砝码的天平来判定哪一个
球重，你最少要称
次，才能保证找到较重的这个球。
想一想 ?
如果待测物品数量并不正好是3n，应该如何称量呢？
第12 讲
比尔盖茨的招聘启事——找次品
51
课中阅读
正义女神——朱斯提提亚
在欧洲中世纪末的文艺复兴时代，正义女神朱斯提提亚的雕
像开始出现在各个城市法院。女神面戴眼罩、左手持天平、右手持
长剑。天平，用它衡量法；长剑，用它维护法。剑如果不带着天平，就
是单纯的暴力；天平如果不带着剑，就意味着软弱无力。戴上眼罩，
则不能以其个人情感作出预断，从而排除各种外在干扰。而她的名
字“Justitia”后被英语译为“Justice”，衍生出了“公平”、
“裁决”等含
义。
在希腊神话中，女神曾与海神波塞冬因对人类的信任问题发
生过一场激辩，由于僵持不下，众神之王宙斯为此组织了一场比赛
——谁的法力高超，就听从谁的观点。比赛中，波塞冬用棒子在墙
上一挥，裂缝中流出了非常美丽的圣水。而女神则变成了一棵橄榄
树，任何人看到都会感到爱与和平，连波塞冬也不禁心生善意。比
赛结束，宙斯为了纪念正义女神的胜利，将天平向上一抛，挂在天
上，成为了现今人们口中的天秤座。
学而思数学思维
目标A+ 班·五年级（全国版）「春」
52
PART
2
三分法进阶
【知识点3】三分法进阶
1. 若已知次品轻重，待称量物品的个数介于（3n−1 +1）和3n 之间，则用三分法将它们尽
可能平均分组，至少称量n 次可保证找出次品。
2. 若已知次品轻重，且采用三分法至少称量n 次才能保证找出次品，则物品数量最多为
3n 个，最少为（3n−1 +1）个。
例题3
某工厂生产了下列5 堆钢珠，每堆中都有一颗较轻的次品，请问用没有砝码的天平至少要称量
多少次才能够保证找出次品？
①4 颗
②5 颗
③6 颗
④7 颗
⑤8 颗
第12 讲
比尔盖茨的招聘启事——找次品
53
大显身手2
桌子上分别有10 ∼26 枚共17 堆金币，它们每堆中都有1 枚较轻的伪币，用一台没有砝码的
天平称量，每一堆都至少称
次才能保证找出伪币。
已知次品轻重，称1 次，最多区分3 个物品；
称2 次，最多区分9 个物品；
称3 次，最多区分27 个物品。
想一想 ?
如果不知道次品轻重，要怎么确定次品呢？
学而思数学思维
目标A+ 班·五年级（全国版）「春」
54
例题4
有3 枚金币，外观都一样，但其中一枚是假币，且不知道比真币轻还是重。如果借助没有砝码的
天平称量找假币，至少要称
次才能保证找出假币。
先用三分法称量，天平可能平衡或不平衡，再分
类讨论，判断假币到底比真币轻还是比真币重。
一些珠子，其中有一颗是次品，比其他珠子要重。用没有砝码的天平称，采用最佳方案，如果至
少称5 次能保证找到次品，这些珠子最少有
颗，最多有
颗。
55
【知识点1】找次品
1. 找次品：在一堆正品中存在一个次品，次品重量与正品不一致，使用没有砝码的天平
称量，找出这个次品的过程即为“找次品”。
【知识点2】三分法初步
1. 使用没有砝码的天平称量物品比较重量大小时，若天平两端称量的物品数量相等，
则天平可能出现3 种状态：
（1）左沉
（2）右沉
（3）平衡
2. 若已知次品轻重，待称量物品的个数为3n，则用三分法将它们分组为（3n−1，3n−1，
3n−1），至少称量n 次能保证找出次品。
【知识点3】三分法进阶
1. 若已知次品轻重，待称量物品的个数介于（3n−1 +1）和3n 之间，则用三分法将它们
尽可能平均分组，至少称量n 次可保证找出次品。
2. 若已知次品轻重，且采用三分法至少称量n 次才能保证找出次品，
则物品数量最多为3n 个，最少为（3n−1 +1）个。
56
1. 已知次品轻重，称1 次，最多区分3 个物品；称2 次，最多区分9 个物品；称3 次，最
多区分27 个物品。
2. 未知次品轻重时，先用三分法称量，天平可能平衡或不平衡，再分类讨论，判断次品
到底比正品轻还是比正品重。
☆核心方法
三分法:
（1）确定正品与次品的轻重关系；
（2）将待称量物品尽可能平均分成3 份；
（3）进行称量，找出次品组；
（4）重复步骤（2）（3），直至找出次品。
57
学而思数学思维
目标A+ 班·五年级（全国版）「春」
58
课堂巩固
1 在一批（多于2 个）外表相同的零件中混入了一个次品（次品轻一些），如果能用天
平称量的方法找这个次品，最好的方法是先把这批零件平均分成（ ）份，然后再
称。
A. 2
B. 4
C. 3
D. 5
2 一共有30 瓶药，其中有1 瓶为次品，比其他瓶轻一些。为了尽快找出次品，该按照
（ ）分组进行称量。
A. (1，10，19)
B. (2，13，15)
C. (10，10，10)
D. (3，3，24)
3 在10 个零件里有1 个次品（次品重一些），用天平称，至少称（ ）次就一定能找
出次品。
A. 2
B. 3
C. 4
第12 讲
比尔盖茨的招聘启事——找次品
59
4 一个工人生产了30 个同样的零件，有29 个是合格产品，只有一个内部有砂眼，比别
的零件轻。用没有砝码的天平称，至少要称
次才能保证把次品找出来。
5 一些珠子，其中有一颗是次品，比其他珠子要重。用没有砝码的天平称，如果至少称2
次能保证找到次品，这些珠子可能有
∽
颗。
第13 讲
有物不知其数——剩余问题
学而思数学思维
目标A+ 班·五年级（全国版）「春」
64
PART
1
剩余问题初步
【知识点1】剩余问题初步
1. 减同余（初步）：一个被除数除以两个（或多个）不相等的除数，余数相同，此时被除数
与余数的差等于两个（或多个）除数的公倍数。
例：一个两位数除以3 余1，除以5 余1，这个数最小是
。
解：设这个数为x，可得：
x÷3······1
x÷5······1
x−1 = [3,5]·k （k 是自然数）
x−1 = 15k
x = 15k +1
当k = 0 时，x = 1，不符合题意。
当k = 1 时，x = 16，满足题意。
2. 加同补：一个被除数除以两个（或多个）不相等的除数，余数不同，但余数与除数的差
均相等（差称为补数），此时被除数与补数的和等于两个（或多个）除数的公倍数。
例：一个两位数除以5 余3，除以7 余5，这个数最小是
。
解：设这个数为x，可得：
x÷5······3
x÷7······5
x+2 = [5,7]·k （k 是自然数）
x+2 = 35k
x = 35k −2
当k = 0 时，不符合题意。
当k = 1 时x = 33，满足题意。
第13 讲
有物不知其数——剩余问题
65
例题1
一个两位数除以7 余1，除以11 也余1，这个自然数是
。
想一想 ?
如果一个数除以7 没有余数，除以11 也没有余数，那么这个数与7 和11 有什么关系？
大显身手1
一个三位数除以13 的余数是6，除以11 所得的余数是6，这个三位数最小是
。
找最小公倍数的方法：
（1）枚举法（大数翻倍）
（2）分解质因数（针对合数）
（3）直接相乘（两个数互质）
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66
例题2
一个两位数除以5 余2，除以7 余4，这个两位数最小是
。
想一想 ?
余数不相同时，尝试用分组的思想，观察除数与余数的关系，你发现了什么？
大显身手2
一个小于200 的自然数，它除以11 余7，除以13 余9，则这个数是
。
第13 讲
有物不知其数——剩余问题
67
PART
2
剩余问题进阶
【知识点2】剩余问题进阶
1. 减同余（进阶）：一个被除数除以两个（或多个）不相等的除数，余数不相同，但除数与
余数的和均相同（称为新余数），此时被除数与新余数的差等于两个（或多个）除数的
公倍数。
例：一个两位数除以4 余3，除以5 余2，除以6 余1，这个数最小是
。
解：设这个数为x，可得：
x÷4······3
x÷5······2
x÷6······1
x−7 = [4,5,6]·k （k 是自然数）
x−7 = 60k
x = 60k +7
当k = 0 时，x = 7，不符合题意。
当k = 1 时，x = 67，满足题意。
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68
例题3
有一个三位数，除以3 余数是2，除以4 余数是1。这个数最小是
。
想一想 ?
观察除数与余数的和，你发现了什么？
大显身手3
一个大于100 的数，除以10 余6，除以13 余3，则满足条件的最小自然数为
。
第13 讲
有物不知其数——剩余问题
69
课中阅读
孙子定理
孙子定理，也称中国剩余定理，出自中国南北朝时期的数学著
作《孙子算经》卷下第26 题，叫做“物不知数”问题。由于其经典
性，还被称作“鬼谷算”、
“隔墙算”、
“剪管术”、
“韩信点兵”、
“神机妙
算”等等。原文如下：
“有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。
问物几何？”
意思是：有一个未知的整数，三个三个数最后剩两个，五个五
个数最后剩三个，七个七个数最后剩两个，请问这个数是多少？
对于这个问题，古往今来有非常多的数学家提出了解决方法，
如宋朝数学家秦九韶在《数学九章》中做出了完整的解答（有兴
趣的同学可以自行查阅资料），甚至有明朝数学家程大位将解法编
成了朗朗上口的歌诀：
三人同行七十稀，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零
五便得知。
学而思数学思维
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70
课中阅读
大致意思是：
三人同行七十稀, 把除以3 所得的余数乘70；
五树梅花廿一枝, 把除以5 所得的余数乘21；
七子团圆正半月, 把除以7 所得的余数乘15；
除百零五便得知, 把上述三个积加起来, 减去105 的倍数, 所
得的差皆为所求。
根据此列式为：2×70+3×21+2×15−2×[3,5,7] = 2×70+
3×21+2×15−2×105 = 23
小朋友，你明白他们是怎么做的了吗？让我们一起来往下探究
吧！
第13 讲
有物不知其数——剩余问题
71
PART
3
逐级满足法
【知识点3】逐级满足法
1. 当解决两个或多个数的剩余问题时，如果无法利用“减同余，加同补”的方法求解，可以
先满足其中一个条件的数，再找满足其中两个条件的数，接着逐级满足其他的条件，直
到满足所有的条件为止。
例：一个两位数除以3 余1，除以5 余2，这个数最小是
。
解：设这个数为x，可得：
①x÷3······1
②x÷5······2
枚举法：满足条件①的数有1,4,7,10,13,16,19,22，25，28,31……
再从中选出满足条件②的数，可以发现最小的两位数为22。
例题4
一个小于100 的自然数，它除以11 余9，除以15 余7，这个数是
。
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72
大显身手4
一个自然数除以5 余3，除以6 余5，那么这个数最小是
。
小明和小强去采摘园摘了不到100 个水果，最后放在一起数了数。若三个三个地数多2 个，若
四个四个地数多3 个，若七个七个地数多6 个，那么他们摘了
个水果。
理解题意，用除法算式表示出每个量之间的关
系，可以发现除数和余数之间总是相差1。
73
【知识点1】剩余问题初步
1. 减同余（初步）：一个被除数除以两个（或多个）不相等的除数，余数相同，此时被除
数与余数的差等于两个（或多个）除数的公倍数。
2. 加同补：一个被除数除以两个（或多个）不相等的除数，余数不同，但余数与除数的
差均相等（差称为补数），此时被除数与补数的和等于两个（或多个）除数的公倍
数。
【知识点2】剩余问题进阶
1. 减同余（进阶）：一个被除数除以两个（或多个）不相等的除数，余数不相同，但除数
与余数的和相同（称为新余数），此时被除数与新余数的差等于两个（或多个）除数
的公倍数。
1. 找最小公倍数的方法：
（1）枚举法（大数翻倍）
（2）分解质因数（针对合数）
（3）直接相乘（两个数互质）
2. 理解题意，用除法算式表示出每个量之间的关系，可以
发现除数和余数之间的关系。
74
☆核心方法
逐级满足法：
1. 当解决两个或多个数的剩余问题时，如果无法利用“减同余，加同补”的方法求解，可
以先找满足其中一个条件的数，再找满足其中两个条件的数，然后逐级满足其他的
条件，直到满足所有的条件为止。
例：一个两位数除以3 余1，除以5 余2，这个数最小是
。
解：设这个数为x，可得：
①x÷3……1
②x÷5……2
枚举法：满足条件①的数有1,4,7,10,13,16,19,22，25，28,31……
再从中选出满足条件②的数，可以发现最小的两位数为22。
75
学而思数学思维
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76
课堂巩固
1
有一些三位数，它们除以6 余5，除以8 余5，除以9 余5，则这些三位数中最小的一
个是（ ）。
A. 100
B. 154
C. 149
2
一个大于2 的数，除以3 余1，除以5 余3，除以7 余5，那么满足条件的最小自然数
是（ ）。
A. 4
B. 31
C. 103
3
数一堆贝壳的个数，若4 个4 个地数，则剩1 个；若5 个5 个地数，则剩2 个；若6
个6 个地数，则剩3 个。由以上情况可推知，这堆贝壳至少有（ ）个。
A. 56
B. 57
C. 58
第13 讲
有物不知其数——剩余问题
77
4 一个大于10 的数，除以5 余3，除以7 余1，那么满足条件的最小自然数为
。
5
一个自然数，它是3 和7 的倍数，并且被5 除余2，满足这些条件的最小自然数是
。
第14 讲
风吹草低见牛羊——牛吃草
学而思数学思维
目标A+ 班·五年级（全国版）「春」
82
PART
1
牛吃草初步
【知识点1】求天数
1. 已知原有草量和每天的新长草量，给出牛数求天数。（假设每头牛每天吃一份草）
（1）每天的新长草量= VIP 牛数
（2）总牛数−VIP 牛数= 普通牛数
（3）原有草量÷ 普通牛数= 天数
【知识点2】求牛数
1. 已知原有草量和每天的新长草量，给出天数求牛数。（假设每头牛每天吃一份草）
（1）每天的新长草量= VIP 牛数
（2）原有草量÷ 天数= 普通牛数
（3）VIP 牛数+ 普通牛数= 总牛数
第14 讲
风吹草低见牛羊——牛吃草
83
例题1
（1）仓库中有800 千克干草，每头牛的日食量为20 千克。那么这堆干草够4 头牛吃
天。
（2）一头牛每天吃3 千克草，现有一片草场，每天长9 千克草，则这些新长出的草每天可供
头牛吃。
例题2
现有一片草场，原有青草总量300 千克，草每天新生长30 千克。现有一群牛，每头牛的日食量
为15 千克，最多够
头牛吃10 天，刚好吃完。
想一想 ?
如果我们不知道草的具体重量，我们还能够解决牛吃草的问题吗？
学而思数学思维
目标A+ 班·五年级（全国版）「春」
84
大显身手1
一片草地上，原有草30 份，每天会新长出4 份草，够
头牛吃15 天，刚好吃完。（每头
牛每天吃一份草）
例题3
一片草地上，原有52 份草，每天会新长出5 份草，够9 头牛吃
天，刚好吃完。（每头
牛每天吃一份草）
大显身手2
一片草地上，原有40 份草，每天会新长出3 份草，够7 头牛吃
天，刚好吃完。（每头
牛每天吃一份草）
第14 讲
风吹草低见牛羊——牛吃草
85
课中阅读
“牛顿问题”
大家可不要小看许多发现的牛吃草问题，这个问题可是以前
的大数学家也在研究的数学问题呢！这个问题与著名科学家牛顿
也关系密切。牛顿把他对代数的研究以及这些代数方法在解决各
类问题中的应用整理成了《普通算术》这本书，而我们今天研究的
牛吃草问题就是其中解决的问题之一。实际上，正是由于牛顿在这
本书中首次提出了这个问题，因此它又被称为“牛顿问题”。
那么牛顿提出这个牛吃草问题就只能用来解决这一种生活中
的情况吗？并不是这样的。实际上牛吃草代表的是一类问题，这类
问题有一个共同的特点，就是在一个总量存在的基础上，匀速增加
的同时，又匀速减少，所以这类问题也称之为消长问题。
其实这类问题在我们生活中随处可见呢！比如大家去游泳的
时候，有没有想过游泳池是怎么换水的呢？可能很多同学会说：排
空了再灌满嘛。但是实际上如果这样操作的话会影响正常使用，所
以游泳池多半会采用边进水边排水的方式来进行换水，尽可能地
减少损失。这就是一种典型的消长问题。再比如我们去游乐园游玩
的时候，经常会碰到需要排队的场景。等到排队入口打开之后，已
经到达的人才会入场，而此时还会有新来的人加入排队的行列，这
也是消长问题在生活中的一种体现。
学而思数学思维
目标A+ 班·五年级（全国版）「春」
86
PART
2
牛吃草进阶
【知识点3】反求原草量
1. 求原有草量和每天的新长草量（假设每头牛每天吃一份草）
（1）分别求出2 种情况下，牛吃的总草量
（2）每天新长草量= 总草量差÷ 天数差
（3）原有草量= 总草量−每天新长草量× 天数
例题4
一片草场长满牧草且牧草每天匀速生长，若30 头牛吃，则15 天吃完草场；若42 头牛吃，则10
天吃完。已知每头牛每天吃1 份草，那么每天新长出
份草，草场原有
份草。
想一想 ?
30 头牛15 天吃完草场和42 头牛10 天吃完草场，哪种情况下，牛吃的总草量更多呢？
第14 讲
风吹草低见牛羊——牛吃草
87
大显身手3
一片匀速生长的草场长满牧草，可供5 头牛吃30 天，或者可供4 头牛吃40 天。已知每头牛每
天吃1 份草，那么每天新长出
份草，草场原有
份草。
例题5
牧场上长满牧草，牧草每天都匀速生长。这片牧场可供10 头牛吃20 天，或者可供15 头牛吃
10 天。可供55 头牛吃
天，刚好吃完。（每头牛每天吃草量相同）
先算出原有草量和每天新长出的草量，再求牧
场可供55 头牛吃多少天。
一个牧场长满青草，27 头牛6 天可以吃完，或者23 头牛9 天可以吃完。若是21 头牛，要用
天才可以吃完。（牧场的草每天的生长速度相同，每头牛每天吃草量相同。）
88
【知识点1】求天数
1. 已知原有草量和每天的新长草量，给出牛数求天数（假设每头牛每天吃一份草）
（1）每天的新长草量= VIP 牛数
（2）总牛数−VIP 牛数= 普通牛数
（3）原有草量÷ 普通牛数= 天数
【知识点2】求牛数
1. 已知原有草量和每天的新长草量，给出天数求牛数（假设每头牛每天吃一份草）
（1）每天的新长草量= VIP 牛数
（2）原有草量÷ 天数= 普通牛数
（3）VIP 牛数+ 普通牛数= 总牛数
【知识点3】反求草量
1. 求原有草量和每天的新长草量（假设每头牛每天吃一份草）
（1）分别求出两次牛吃的总草量
（2）每天新长草量= 总草量差÷ 天数差
（3）原有草量= 总草量−每天新长草量× 天数
89
1. 在2 种不同情况下，牛吃完同一片草场所用的时间不同，以此求第3 种情况下牛吃
完草场用的时间：应先算出原有草量和每天新长出的草量，再求草场可供第3 种情
况下牛吃多少天。
☆核心方法
90
第14 讲
风吹草低见牛羊——牛吃草
91
课堂巩固
1 一片草地上，原有60 份草，每天会新长出6 份草，够（ ）头牛吃12 天，刚好吃
完。（每头牛每天吃一份草）
A. 5
B. 10
C. 11
2 一片草地上，原有48 份草，每天会新长出3 份草，够5 头牛吃（ ）天，刚好吃
完。（每头牛每天吃一份草）
A. 21
B. 24
C. 27
3 一片草地上，原有28 份草，每天会新长出4 份草，（ ）8 头牛吃8 天刚好吃完。（每
头牛每天吃一份草）
A. 够
B. 不够
学而思数学思维
目标A+ 班·五年级（全国版）「春」
92
4 有一片牧场，草每天都在均匀地生长，每头牛每天吃1 份草。如果在牧场上放养24 头
牛，那么6 天就把草吃完了；如果放养21 头牛，那么8 天才把草吃完。那么草场原有
份草，每天新长出
份草。
5 有一块匀速生长的草场，可供12 头牛吃25 天，或可供24 头牛吃10 天。那么它可供
头牛吃40 天，刚好吃完。（每头牛每天吃草量相同）
14
开课时定下的目标你完成了多少？给自己打个分吧！
我的收获
我想对老师说
我的收获
1120090937129
