文档文本内容
前言PREFACE
学而思网校为6 ～18 岁的学生提供小学、初中、高中全学科课外学习课程。
学而思网校拥有十余年教学经验，采用在线双师直播教学模式，用AI 技术来辅
助教学。学而思网校课堂互动多，线上课程有回放，教师及时答疑，学生不满意
可随时退费。
2016 年5 月，学而思网校提出“在线学习更有效”的品牌主张，并正式推出
在线双师直播教学模式，通过实时在线的互动教学、图文并茂的随堂讲义、科学
的学业测评，以及教师多方位的学习辅导，保障学生的学习效果。
2016 年7 月，
“IDO 个性化学习体系”正式上线，体系拥有动态学习报告、错
题订正等功能，为教师、学生和家长之间建立起更有效的沟通平台。2017 年7
月，
“IDO 个性化学习体系”升级为“IDO 个性化学习体系2.0”（简称“IDO2.0”）。
“IDO2.0”拥有个性化学习任务系统（IMS），并首次将人脸识别、语音识别、触感
互动等技术引入在线课堂，让在线学习有更多可被量化的数据和可追踪的学习
轨迹，甚至有更多动手实践的机会。有效的科技手段逐渐缩小了线上线下的学
习体验差异。
2018 年，学而思网校课程体系全面升级，Amazing English、大语文、数学思
维、大科学等课程更注重对学生综合素质能力的培养。同时，学而思网校推出
的故宫、音乐、魔方、儿童安全、历史等素养类课程让学生可以多维、立体化成
长。学而思网校自主研发的“AI 老师”通过自然语言处理（NLP）、图像文字识别
（OCR）等技术精准分析学生的语义、情感、笔迹等，形成完整高效的“课堂学习
链”，让在线课堂学习体验更美好，让教学更高效，学习更有效。未来，学而思网校
将进一步承担起用科技推动教育进步的重任，不断致力于教育资源的均衡发展，
实现从教到育、从学到习的全面提升。
学而思网校教研中心
空间想象
第1 讲
魔方的大小——长正方体体积···········2
数感认知
第2 讲
停电不停学——奇偶性···············18
实践应用
第3 讲
因倍质合综合——综合训练············36
实践应用
第4 讲
齿轮王国——因倍质合进阶············54
图形应用
第5 讲
小乌鸦找水喝——水中浸物············70
图形应用
第6 讲
冰雕艺术——长、正方体综合···········86
实践应用
第7 讲
期中复习························102
逻辑推理
第8 讲
体育比赛中的积分制——积分制·······118
运算求解
第9 讲
小院里的艺术——分数加减法混合运算·· 134
第1 讲
魔方的大小——长正方体体积
学而思数学思维
目标A+ 班·五年级（全国版）「春」
6
PART
1
长正方体的体积
【知识点1】认识体积
1. 体积：物体所占空间的大小。
【知识点2】长正方体的体积单位
1. 体积单位
常用的体积单位有立方厘米、立方分米、立方米，可以分别写成cm3、dm3、m3。
2. 体积单位换算
1dm3 = 1000cm3
1m3 = 1000dm3
【知识点3】长正方体的体积
1. 长方体
长方体的体积= 长× 宽× 高
长方体的体积= 底面积× 高
如果用字母V 表示长方体的体积，用a、b、h、S 分别表示长方体的长、宽、高、底面积，那
么长方体的体积计算公式可以写成：V = a·b·h = Sh。
2. 正方体
正方体的体积= 棱长× 棱长× 棱长
正方体的体积= 底面积× 棱长
如果用字母V 表示正方体的体积，用a、S 分别表示正方体的棱长、底面积，那么正方
体的体积计算公式可以写成：V = a·a·a = Sa。
（a·a·a 也可以写作“a3 ”，读作“a 的立方”，表示3 个a 相乘。）
第1 讲
魔方的大小——长正方体体积
7
例题1
结合生活实际，在下面的横线上填适当的单位。
（1）一台电冰箱的体积大约是450
。
（2）一个墨水盒的体积大约是168
。
（3）一个运货集装箱的体积约是8
。
（4）如果将体积是1dm3 的正方体切成体积是1cm3 的小正方体，最多可以切成
块。
如果将体积是1m3 的正方体切成体积是1dm3 的小正方体，最多可以切成
块。
如果将体积是1m3 的正方体切成体积是1cm3 的小正方体，最多可以切成
块。
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例题2
许多发现，只要数出图形的块数，就能知道这个图形的体积，那么长方体的体积是不是也可以
这么求呢？于是他用这些棱长是1cm 的正方体木块摆成了下面的几个长方体，请完成下表：
数小方块的时候可以先分层数，再求和。
想一想 ?
寻找规律：长正方体的体积与长、宽、高有什么关系呢？
第1 讲
魔方的大小——长正方体体积
9
大显身手1.1
计算下面长正方体的体积。
（1）体积是
cm3。
（2）体积是
cm3。
（3）体积是
cm3。
大显身手1.2
工人正在为育英小学修建一个长方体形状的游泳池，游泳池的长、宽、高分别为500dm、120dm、
130cm，工人挖出的土和石头至少有
dm3，合
方。（1 方= 1m3）
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10
课中阅读
国家游泳中心
长方体设计广泛应用于各种建筑物中，其中最著名的长方体
建筑物当属我国的国家游泳中心（又称“水立方”）。水立方是北京
为2008 年夏季奥运会修建的主游泳馆，也是2008 年北京奥运会
的标志性建筑物之一。
水立方的外观类似冰晶，远远望去，就像是看见了一块长方体
冰晶。虽然人们把国家游泳中心称作“水立方”，但实际上它并不是
立方体，而是长方体。
水立方的长约177 米，宽约177 米，高约30 米。聪明的小朋
友，你能计算出水立方的体积约是多少吗？和29 英寸电视机的箱
子（体积约为1 立方米）比较一下，水立方的体积相当于多少个
29 英寸电视机的箱子呢？是不是突然觉得水立方比想象的还要大
了呢？其实，除了我们可以看见的地上部分，水立方的地下还有两
层，地下部分主要是池底、车库、设备用房等，地上部分主要是比赛
大厅、热身池大厅和嬉水大厅。
2022 年冬奥会将在北京举行，届时，
“水立方”将转换成“冰立
方”作为冰壶项目的比赛场馆，可容纳观众约4600 人。根据改造方
案，
“水立方”将成为国际首个泳池上架设冰壶赛道的场馆。
让我们一起期待北京冬奥会吧！
第1 讲
魔方的大小——长正方体体积
11
PART
2
容积
【知识点4】认识容积
1. 容积：箱子，油桶，仓库等所能容纳物体的体积。
【知识点5】容积单位
1. 容积单位
测量容积，一般就用体积单位。测量液体的体积，如水、油等，一般用容积单位，常用容
积单位是升（L）和毫升（mL）。
2. 体积与容积单位换算
1L = 1000mL
1L = 1dm3
1mL = 1cm3
例题3
下面是一个长方体玻璃鱼缸，从外面量长8dm、宽4dm、高5dm，从里面量长7.6dm、宽3.5dm、
高4.5dm。
（1）如果把鱼缸看作一个封闭的长方体，则这个玻璃鱼缸的体积是
dm3。
（2）这个玻璃鱼缸的容积是
L。
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PART
3
综合应用
例题4
“熔铸工艺”是一种将物料经高温熔化后，直接浇铸成制品的方法。一般是在电弧炉内熔化，然
后浇注入耐高温的铸型中，再经冷却结晶、退火或切割制成制品。这个工艺有助于我们铸造出
所需形状的金属材料。
有一块棱长是30 厘米的正方体铁块，现在要把它熔铸成一个横截面是90 平方厘米的长方体
铁块，则这个长方体铁块长
米。
铁块熔化前后，体积没有发生改变。
大显身手2
有一块长80 厘米、宽20 厘米的长方体铁块，它可以被熔铸成一个棱长是40 厘米的正方体铁
块，则原来的长方体铁块高
厘米。
第1 讲
魔方的大小——长正方体体积
13
一个长方体水箱的容积是200 升，这个水箱的底面是一个边长为50 厘米的正方形。水箱的高
是
厘米。（忽略材料厚度）
14
【知识点1】认识体积与容积
体积：物体所占空间的大小。
容积：箱子，油桶，仓库等所能容纳物体的体积。
【知识点2】长正方体的体积/ 容积单位
1dm3 = 1000cm3
1m3 = 1000dm3
1dm3 = 1L = 1000mL = 1000cm3
【知识点3】长正方体的体积
长方体的体积= 长× 宽× 高= 底面积× 高
正方体的体积= 棱长× 棱长× 棱长= 底面积× 棱长
1. 数小方块的时候可以先分层数，再求和。
2. 铁块熔化前后，体积没有发生改变。
☆核心方法
体积桥问题：
（1）求熔铸前体积
（2）熔铸前体积= 熔铸后体积
（3）利用体积公式反求
15
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课堂巩固
1 如果一个矿泉水瓶最多可装550mL 水，那么550mL 是这个瓶子的（ ）。
A. 表面积
B. 容积
C. 质量
2 一个长方体的长、宽、高分别是12 厘米、8 厘米和6 厘米，那么它的体积是（ ）立
方厘米。
A. 48
B. 576
C. 1200
3 某装饰公司订购400 根长方体木料，每根长方体木料的横截面面积都是1.5dm2，长都
是4m，这些长方体木料总体积是（ ）m3。
A. 2400
B. 240
C. 24
第1 讲
魔方的大小——长正方体体积
17
4 一种汽车的油箱是长方体，从里面测量，长7dm、宽4dm、高2dm，这个油箱最多可以
装汽油
L。
5 把一个棱长是9cm 的正方体橡皮泥捏成一个底面积是27cm2 的长方体，这个长方体
的高是
cm。
第2 讲
停电不停学——奇偶性
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PART
1
简单奇偶性判断
【知识点1】奇数与偶数
1. 整数中，是2 的倍数的数叫做偶数（0 也是偶数），不是2 的倍数的数叫做奇（jī）数。
第2 讲
停电不停学——奇偶性
23
例题1
（1）观察下面奇数与偶数的特征，完成下面填空。
所以，奇数+ 偶数=
，奇数+ 奇数=
，偶数+ 偶数=
。
你还能举出一些其他例子吗？
（2）用同样的想法，你能得出奇数偶数差的规律吗？
奇数−偶数=
，偶数−奇数=
，
偶数−偶数=
，奇数−奇数=
。
大显身手1
不计算，判断下列算式的结果是奇数还是偶数，将序号填入对应横线上。
①39−15
②16+35
③1+2+3+4+5
④8+10+12+14+16+18+20
⑤11+13+15+17+19
（1）结果是奇数：
（2）结果是偶数：
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例题2
（1）根据奇数与偶数和的性质，你能否得出奇数与偶数积的性质？尝试举出几个例子并完成下
面的填空吧！
奇数× 偶数=
；奇数× 奇数=
；偶数× 偶数=
。
（2）判断下列各式结果的奇偶性：
（填“奇数”或“偶数”）
（1）53×3
（2）1×3×5×7×9×2
大显身手2.1
判断：11×19×23×25×37 结果的奇偶性为
。（填“奇数”或“偶数”）
第2 讲
停电不停学——奇偶性
25
大显身手2.2
请你帮盛盛检查一下他的计算结果：
（对/不对）
25×37+38+1995−32×21 = 2285
直接计算前，可以先用奇偶性特点进行判断。
例题3
已知a、b、c 是三个从小到大排列的连续自然数，其中a 是偶数。
根据图中的信息判断，莉莉和许多两人的说法中正确的是
。
无法计算出具体结果时，可以使用奇偶性直接
判断。
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课中阅读
小朋友，学习了数的奇偶性之后，你会发现对于很多数学问题，
即使我们得不到具体的结果，也可以通过奇偶性的特点来判断结
果的性质，也就是说，这些规律可以帮助我们将不确定的计算结果
缩小在一定范围内，这是一种解决问题的新思路。实际上，奇偶性
在生活中的应用也非常广泛，在一款经典益智游戏——俄罗斯方
块中，我们就可以用奇偶性的特点来进行平铺。
俄罗斯方块是一款由俄罗斯人阿列克谢·帕基特诺夫于1984
年6 月发明的休闲游戏。游戏规则：由小方块组成的不同形状的板
块陆续从屏幕上方落下来，玩家通过调整板块的位置和方向，使它
们在屏幕底部拼出完整的一条或几条。这些完整的横条会随即消
失，给新落下来的板块腾出空间。
第2 讲
停电不停学——奇偶性
27
课中阅读
对于这样的游戏，如何通过奇偶性来完成平铺呢？首先，将游
戏界面底板看作网格图（以8×8 的网格为例），并进行黑白方格
染色（如下图）。
接下来观察板块在底板上的覆盖情况，比如对于
板
块，不管怎么摆放，它必然盖住2 白2 黑，它的块数总和一定是偶
数。
板块则盖住了3 白1 黑或3 黑1 白，它所覆盖的
盘面中白块或黑块总数量有可能是奇数。要想它们能够将网格覆
盖，不仅块数总和要满足网格总数，也要保证黑块与白块的数量和
盘面数量保持一致……想不到吧，看似简单的俄罗斯方块想要玩
好可没那么简单哟！
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28
PART
2
奇偶性的应用
【知识点2】奇偶性的应用
1. 在应用奇偶性时，需要先确定奇次数与偶次数对应的操作结果，再进行判断。
例题4
明明家卧室的开关最初在关闭状态，现在如果不断电源，开关15 次后，灯是
的，如果
开关200 次后，灯是
的。（填“开”或“闭”）
想一想 ?
根据题意，将表格填写完整，你发现了什么？
第2 讲
停电不停学——奇偶性
29
大显身手3
原来灯是亮着的，如果停电后小明拉了三下开关，爸爸回来后又拉了五下开关。等来电以后，小
明房间的灯是亮的还是不亮的？
例题5
（1）柜子里有6 只开口向上的杯子，每次同时翻动其中的4 只杯子，则
(能/ 不能) 经
过若干次翻动，使得全部杯子的开口向下。
（2）柜子里有5 只开口向上的杯子，每次同时翻动其中的4 只杯子，则
(能/ 不能) 经
过若干次翻动，使得全部杯子的开口向下。
想一想 ?
在例5 的情况下，如果只能同时翻动3 只杯子，两个问题的结果会有变化吗？
桌子上有7 只开口向上的杯子，每次同时翻动其中的4 只杯子，
（能/ 不能）经过若
干次翻动，使得全部杯子的开口都向下。
30
【知识点1】奇数与偶数
1. 整数中，是2 的倍数的数叫做偶数（0 也是偶数），不是2 的倍数的数叫做奇（jī）
数。
【知识点2】奇偶性的应用
1. 在应用奇偶性时，需要先确定奇次数与偶次数对应的操作结果，再进行判断。
31
1. 验算结果是否正确时，可以先用奇偶性进行判断。
☆核心方法
翻杯子问题：
（1）如果每次只能翻动奇数只杯子，则无论总杯子数是奇数还是偶数，都能在有限次内
完成全部翻转；
（2）如果每次只能翻动偶数只杯子，如果总杯子数是偶数，则可以在有限次内完成全部
翻转；如果总杯子数是奇数，则不可能完成全部翻转。
32
第2 讲
停电不停学——奇偶性
33
课堂巩固
1
请判断，结果是奇数还是偶数。
12+26+123+261−333+999 =（ ）
A. 奇数
B. 偶数
2
大春老师在灯下批改作业，忽然家里的灯都黑了，他连按了5 下灯的开关，灯都没有
亮，后来才知道是停电了。到来电的时候，灯（ ）。
A. 亮
B. 不亮
3
判断：2011×2013×2015×2017×2019×2022 的结果是（ ）。
A. 奇数
B. 偶数
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34
4
从2000 年，一直到2015 年，在这些年份当中，有
个奇数，有
个
偶数。
5
桌子上有3 个杯子，杯口全部朝上，每次任意翻动2 个杯子，经过若干次翻动。请问：
能否使得3 个杯子全部杯口朝下？
第3 讲
因倍质合综合——综合训练
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40
PART
1
因倍质合
【知识点1】因倍质合
1. 因数与倍数：
在被除数、除数和商都是整数且没有余数的除法算式中，被除数是除数和商的倍数，除
数和商是被除数的因数。
在乘数和积都是整数的乘法算式中，积是乘数的倍数，乘数是积的因数。
2. 质数：除了1 和它本身没有其它因数的数。如2，3，5，7 都是质数。
0 ∼100 以内的质数：
2、3、5、7、11、
13、17、19、23、29、
31、37、41、43、47、
53、59、61、67、71、
73、79、83、89、97。
3. 合数：除了1 和它本身还有其它因数的数。如4，6，15，49 都是合数。
4. 分解质因数：将一个合数分解成若干个质数相乘的形式。
第3 讲
因倍质合综合——综合训练
41
例题1
如图，小方格的边长是1，给出长方形的面积是
。你还能画出
个和它面积
相同但形状不同且长和宽均为整数的长方形。如果面积是17 呢？如果是15、11 呢？
大显身手1.1
唯一一个既是偶数又是质数的数是
。
大显身手1.2
7 个连续质数从小到大排列是a、b、c、d、e、f、g，已知它们的和是偶数，那么d 是
。
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42
例题2
对234 分解质因数可得
。
大显身手2.1
88 的质因数中，最大的是
。
大显身手2.2
英英，小杰，阿江三人的年龄正好是三个连续的偶数，他们年龄的乘积是1680，则他们的年龄分
别是
、
、
岁。（从小到大填写）
想一想 ?
三人年龄与1680 的关系是什么？谁是谁的因数？谁又是谁的倍数？
第3 讲
因倍质合综合——综合训练
43
课中阅读
人与人之间存在各种各样的关系，有趣的是，数与数之间也有
类似的关系，数学家把一对存在特殊关系的数称为“亲和数”（又称
相亲数、友爱数、友好数）。如果两个数a 和b，a 除本身以外的所
有因数之和等于b，b 除本身以外的所有因数之和等于a，则称a 与
b 是一对亲和数。
常言道，知音难觅，寻找亲和数也让数学家们绞尽脑汁。亲和
数是数论王国中的一朵小花，它有漫长的发现历史。
公元前580 年至公元前500 年，古希腊的毕达哥拉斯发现了
第一对亲和数：220 与284，这是最小的一对亲和数。在以后的1500
年间，世界上有很多数学家致力于探寻亲和数，可惜面对茫茫数海，
探索过程无异于大海捞针。十六世纪，已经有人认为自然数里仅有
这一对亲和数。有一些无聊之士，甚至给亲和数抹上迷信色彩，编
出了许许多多神话故事。
直到1636 年，
“业余数学家之王”费马（法国）又找到了一对
亲和数：17296 和18416，重新点燃了寻找亲和数的火炬。两年之
后，
“解析几何之父”笛卡尔（法国）也找到了一对亲和数：9437056
和9363584。
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44
课中阅读
世界上总是不乏优秀的人。1747 年，年仅39 岁的瑞士数学家
欧拉竟然一口气找到了60 对亲和数，不仅列出了亲和数的数表，
而且还公布了全部运算过程。
目前，人们已找到了12,000,000 多对亲和数。但亲和数是否有
无穷多对，亲和数的两个数是否都同为奇数或同为偶数，而没有一
奇一偶？这些问题还有待探索。
第3 讲
因倍质合综合——综合训练
45
PART
2
最大公因数与最小公倍数
【知识点2】综合应用
1. 最大公因数与最小公倍数
（1）最大公因数：指两个或多个整数公有因数中最大的一个。
（2）最小公倍数：两个或多个整数公有的倍数叫做它们的公倍数，其中除0 以外最小
的一个公倍数就叫做这几个整数的最小公倍数。
（3）常用方法：枚举法、拆数法
2. 最大公因数与最小公倍数的应用
（1）公因数类：分组问题求组数，已知多个量乘积求单个量，长方形中裁正方形……
（2）公倍数类：分组问题求总人数，用长方形拼正方形……
例题3
(20,30) =
[20,30] =
最大公因数：少而同，最小公倍数：多而全。
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46
例题4
把一块长225 厘米，宽125 厘米的铁板裁成尽可能大的相等的正方形，而且没有剩余，可以裁
成的正方形边长是
厘米，一共有
个。
大显身手3
把一块长72cm、宽48cm 的铁板裁成若干个面积相等的小正方形而没有剩余，裁出的小正方形
的边长最大是
cm。
第3 讲
因倍质合综合——综合训练
47
例题5
一张长方形纸，长20cm，宽14cm，要用这样的纸拼成一个正方形，至少需要（ ）张。
A. 65
B. 68
C. 70
D. 75
同学们去社区做好事，每组6 人或9 人，都正好不多也不少。去社区做好事的同学至少有
（ ）人。
A. 3
B. 9
C. 18
D. 54
48
【知识点1】因倍质合
1. 因数与倍数：
在被除数、除数和商都是整数且没有余数的除法算式中，被除数是除数和商的倍数，
除数和商是被除数的因数。
在乘数和积都是整数的乘法算式中，积是乘数的倍数，乘数是积的因数。
2. 质数：除了1 和它本身没有其它因数的数。如2，3，5，7 都是质数。
0 ∼100 以内的质数：
2、3、5、7、11、
13、17、19、23、29、
31、37、41、43、47、
53、59、61、67、71、
73、79、83、89、97。
3. 合数：除了1 和它本身还有其它因数的数。如4，6，15，49 都是合数。
4. 分解质因数：将一个合数分解成若干个质数相乘的形式。
49
【知识点2】综合应用
1. 最大公因数与最小公倍数
（1）最大公因数：指两个或多个整数公有因数中最大的一个。
（2）最小公倍数：两个或多个整数公有的倍数叫做它们的公倍数，其中除0 以外最
小的一个公倍数就叫做这几个整数的最小公倍数。
（3）常用方法：枚举法、拆数法
2. 最大公因数与最小公倍数的应用
（1）公因数类：分组问题求组数，已知多个量乘积求单个量，长方形中裁正方形……
（2）公倍数类：分组问题求总人数，用长方形拼正方形……
1. 最大公因数：少而同，最小公倍数：多而全。
☆核心方法
由质数和或乘积求质数：
（1）根据结果奇偶性判断质数中是否有唯一的偶质数2；
（2）剩下的质数根据其他数量条件进行推导或有序枚举。
50
第3 讲
因倍质合综合——综合训练
51
课堂巩固
1
25 和35 的最大公因数为（ ）。
A. 5
B. 15
C. 25
2
在自然数1−15 中，质数有（ ）个。
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
3
选择：(42，24) =（ ）
A. 3
B. 6
C. 24
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52
4
有三个人，他们的年龄恰好一个比一个大三岁，而他们年龄的乘积是162，那么他们
的年龄从小到大分别是
、
、
岁。
5
一个长20 分米，宽6 分米的长方形，最多能裁出
个相等且尽可能大的正
方形。
第4 讲
齿轮王国——因倍质合进阶
学而思数学思维
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58
PART
1
齿轮基本知识与旋转方向
【知识点1】齿轮基本知识与转动方向
1. 关于齿轮：齿轮、轮系、主动轮、从动轮。
齿轮：齿轮的作用是将一根轴的转动传递给另一根轴，也可以实现减速、增速和换向等
动作。
轮系：在实际机械中，往往要采用一系列相互咬合的齿轮来满足工作要求。这种由一系
列的齿轮组成的传动系统称为轮系。
主动轮：在轮系中主动轮是带动其他轮转动的轮。
从动轮：从动轮是被动地转动，是将主动轮传递的动力传出的齿轮。
2. 平面内轮系转向：相邻为反向，相隔为同向。
第4 讲
齿轮王国——因倍质合进阶
59
例题1
请试着解释，为什么咬合在一起的两个齿轮旋转方向不同？
想一想 ?
如果在齿轮B 的右边再加上一个齿轮C，它的转向跟哪个齿轮一致？如果再添加一个齿轮D，
它的转向又跟哪个齿轮一致？你发现了什么？
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60
大显身手1.1
如图，如果左上角的齿轮顺时针旋转，那么右下角的齿轮将会按照哪个方向旋转呢？（ ）
A. 顺时针
B. 逆时针
大显身手1.2
三个齿轮按下图的方式互相咬合，会出现什么结果呢？请详细解释出现这种结果的原因。
例题2
如果右边的齿轮是按照后-上-前-下这样的方向旋转的，从上边俯视这个轮系，左边的齿轮是
按（ ）方向旋转的。
A. 顺时针
B. 逆时针
遇到立体齿轮系，关键在于判断咬合处齿的转
动方向，必要时可以改变观察角度。
第4 讲
齿轮王国——因倍质合进阶
61
课中阅读
齿轮已经被广泛使用在生活的方方面面。手表中就有齿轮，这
些齿轮使得时针每12 小时可以在表盘上旋转一圈；自行车中也有
齿轮，这些齿轮可以保证我们蹬得越快，车轮旋转得也越快；甚至
转笔刀、涂改带中，也有大小各异的齿轮。
实际上，齿轮在机械中的使用可以追溯到约公元前300 年。古
希腊哲学家亚里士多德在自己的著作中，第一次详细介绍了用青
铜或铸铁齿轮传递运动的问题。而在我国古代，特别是三国时期已
经出现了使用齿轮传动系统的指南车和记里鼓车。史书中关于齿
轮的最早记载，是唐代出现的水运浑仪。
随着科技的发展，齿轮已经变成机械制造中不可或缺的重要
零件。18 世纪工业革命时期，人们对齿轮进行了大量的研究。1733
年，法国数学家卡米发现了齿廓啮合基本定律，自此之后，齿轮技
术得到高速发展。
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62
PART
2
齿数中的数学原理
【知识点2】齿数中的数学原理
1. 同组齿轮，转动齿数相同。
2. 不同齿轮的两个齿再次相遇需要转动的齿数：找两个齿轮齿数的最小公倍数。
想一想 ?
左边的A 齿轮转动3 齿，右边的B 齿轮会转几齿呢？如果A 齿轮转动了12 齿呢？
第4 讲
齿轮王国——因倍质合进阶
63
例题3
如下图，齿轮A 有16 个齿，齿轮B 有8 个齿。当齿轮A 转了10 圈的时候，齿轮B 转了
圈。
大显身手2
如下图，齿轮A 有16 个齿，齿轮B 有8 个齿，齿轮C 有32 个齿。当齿轮A 转了16 圈的时
候，齿轮C 转了
圈。
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64
例题4
如果齿轮A 有12 个齿，齿轮B 有16 个齿，齿轮A 与齿轮B 咬合的地方，给小齿轮齿标a，大
齿轮齿标b，那么a 最少转
圈、b 最少转
圈会再次咬合在一起。
例题5
A、B 两个齿轮在旋转过程中，齿b 突然断了一半，并对齿a 产生了损伤。当齿a 再次与齿b 咬
合时，齿a 会完全断掉，导致齿轮无法正常旋转。
（1）当齿轮A、B 齿数分别为12、16 时（如图），A 还可以再转
圈。
（2）当齿轮A、B 齿数分别为11、16 时，A 还可以再转
圈。
第4 讲
齿轮王国——因倍质合进阶
65
一组相互咬合的齿轮，齿轮A 有18 个齿，齿轮B 有30 个齿，给当前相互咬合的齿染上颜色，
那么A 最少转
圈、B 最少转
圈后染色的齿会再次咬合在一起。
66
【知识点1】齿轮基本知识与转动方向
1. 关于齿轮：齿轮、轮系、主动轮、从动轮。
齿轮：齿轮的作用是将一根轴的转动传递给另一根轴，也可以实现减速、增速和换向
等动作。
轮系：在实际机械中，往往要采用一系列相互咬合的齿轮来满足工作要求。这种由一
系列的齿轮组成的传动系统称为轮系。
主动轮：在轮系中主动轮是带动其他轮转动的轮。
从动轮：从动轮是被动地转动，是将主动轮传递的动力传出的齿轮。
2. 平面内轮系转向：相邻为反向，相隔为同向。
【知识点2】齿数中的数学原理
1. 同组齿轮，转动齿数相同。
2. 不同齿轮的两个齿再次相遇需要转动的齿数：找两个齿轮齿数的最小公倍数。
1. 遇到立体齿轮系，关键在于咬合处齿的转动方向，必要时改变观察
角度。
☆核心方法
判断齿轮是否能转动：
（1）平面内齿轮组转向：相邻为反向，相隔为同向。
（2）反证法：假设齿轮转动，若有矛盾，假设不成立；
若无矛盾，给出一种可能的情况。
67
学而思数学思维
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68
课堂巩固
1
一组相互咬合的齿轮，大齿轮有48 个齿，小齿轮有16 个齿，如果大齿轮转15 周，小
齿轮转（ ）周。
A. 13
B. 45
C. 30
D. 60
2
两个相互咬合的齿轮，大齿轮有36 个齿，小齿轮有27 个齿，当大齿轮转3 圈时，小
齿轮转（ ）圈。
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
3
有一个轮系一共由219 个齿轮排成了一行互相咬合，有（ ）个齿轮与最左边的
齿轮旋转方向相同。
A. 110
B. 109
C. 111
第4 讲
齿轮王国——因倍质合进阶
69
4
[48,30] =
5
如果齿轮A 有21 个齿，齿轮B 有28 个齿，齿轮A 与齿轮B 咬合的地方，给小齿轮
齿标a，大齿轮齿标b，那么a 最少转
圈，b 最少转
圈会再次咬合
在一起。
第5 讲
小乌鸦找水喝——水中浸物
学而思数学思维
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74
PART
1
完全浸没
【知识点1】完全浸没
1. 物体的体积= 容器底面积× 水面变化的高度
2. 水面变化的高度= 物体的体积÷ 容器底面积
3. 容器底面积= 物体的体积÷ 水面变化的高度
例题1
在一个长方体水缸中放满水，从里面量水缸的长是20cm，宽是15cm，高是5cm。若向容器中放
入一个棱长是3cm 的正方体铁块（铁块完全浸没在水中），会溢出
mL 的水。
想一想 ?
溢出的水的体积与铁块体积之间存在什么关系呢？
第5 讲
小乌鸦找水喝——水中浸物
75
大显身手1
在一个正方体水缸中放满水，从里面量水缸的棱长是10cm。若向容器中放入一个棱长为2cm
的正方体铁块（铁块完全浸没在水中），会溢出
mL 的水。
例题2
有一个长是8cm，宽是7cm，高是5cm 的长方体容器，加入3cm 深的水。放入一些小石子
后（小石子完全浸没在水中），水面刚好上升到容器口，但并没有溢出。这些石子的总体积是
cm3。（容器厚度忽略不计）
想一想 ?
放入石子后水面发生了什么样的变化呢？石子体积与容器中发生改变的那一部分水之间存在
什么关系呢？
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76
大显身手2.1
有一个棱长为8cm 的正方体容器，其中水深6cm，放入一块珊瑚石（珊瑚石完全浸没在水中），
发现水面上升到了7cm。这块珊瑚石的体积是
cm3。（容器厚度忽略不计）
大显身手2.2
一个长20 厘米，宽18 厘米，高12 厘米的长方体水槽里，浸没一个正方体，把正方体取出后，水
面下降0.075 厘米，正方体的体积是
立方厘米。（水槽厚度忽略不计）
水面下降部分的体积= 正方体的体积。
第5 讲
小乌鸦找水喝——水中浸物
77
课中阅读
小朋友，你听过阿基米德测量皇冠的故事吗？
传说国王叫工匠打造了一顶金皇冠，工匠的手艺非常精湛，制
作的皇冠精巧别致，而且皇冠的重量与国王给他的金子的重量一
样。正当国王高兴的时候，却有人举报工匠在制作皇冠时，私吞了
一部分黄金，并掺入了同样重的白银。国王听后，也怀疑起来，就请
阿基米德帮忙检测。
一开始，阿基米德冥思苦想，也不知道该怎么办。突然有一天，
他在洗澡的时候，得到了启发。他注意到：当身体在浴缸里沉下去
的时候，就有一部分水从浴缸边溢了出来。他突然受到启发：浴缸
里溢出来的水的体积，不就是自己的身体浸入水里的那一部分体
积吗？他立刻想到了测量皇冠的方法。
学而思数学思维
目标A+ 班·五年级（全国版）「春」
78
课中阅读
于是他进入皇宫，对国王说：
“请允许我先做一个实验，再把结
果报告给您。”国王同意了。
阿基米德将与皇冠一样重的黄金、白银以及皇冠，分别放在盛
满水的水盆里。这时，放入白银的水盆排出的水最多，放入皇冠的
水盆排出的水次之，放入金块的水盆排出的水最少。所以阿基米德
断定：皇冠里掺了白银！
阿基米德解释道：
“同样重的黄金和白银，白银的体积大于黄金
的体积。所以将与皇冠一样重的黄金、白银以及皇冠分别放入水中，
放入白银的水盆排出的水最多，放入皇冠的水盆排出的水次之，放
入金块的水盆排出的水最少，说明皇冠的体积比金块大，这就证明
皇冠不是用纯金制造的。”
在铁证如山的事实面前，工匠不得不低头承认，皇冠里确实掺
了白银。皇冠之谜也终于解开了。
第5 讲
小乌鸦找水喝——水中浸物
79
PART
2
不完全浸没
【知识点2】不完全浸没
1. 水的体积= 容器底面积× 水面原来的高度
2. 水面现在的高度= 水的体积÷（容器底面积−物体底面积）
3. 水面上升的高度= 水面现在的高度−水面原来的高度
4. 水的体积=（容器底面积−物体底面积）× 水面现在的高度
例题3
一个长方体水箱，从里面量长40 厘米、宽30 厘米、高35 厘米，箱中水的高度是10 厘米。放入
一个棱长是20 厘米的正方体铁块后，铁块部分沉入水中。水箱中水的体积是
立方
厘米。将铁块放入水中后，水面上升了
厘米。
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目标A+ 班·五年级（全国版）「春」
80
大显身手3
有一个长方体容器，从里面量长60 厘米、宽50 厘米、高20 厘米。紧贴着水箱底部直立着一个
棱长为20 厘米的正方体铁块。现在，容器中装有13000 立方厘米的水。那么容器中水的高度
是
厘米。
一个长方体的玻璃缸，长10dm，宽8dm，高5dm，水深4dm。如果投入一块棱长为5dm 的正方
体铁块（如下图），缸里的水溢出多少L？
81
【知识点1】完全浸没
1. 物体的体积= 容器底面积× 水面变化的高度
2. 水面变化的高度= 物体的体积÷ 容器底面积
3. 容器底面积= 物体的体积÷ 水面变化的高度
【知识点2】不完全浸没
1. 水的体积= 容器底面积× 水面原来的高度
2. 水面现在的高度= 水的体积÷（容器底面积−物体底面积）
3. 水面上升的高度= 水面现在的高度−水面原来的高度
4. 水的体积=（容器底面积−物体底面积）× 水面现在的高度
1. 完全浸没：水面变化部分的体积= 正方体的体积。
☆核心方法
物体不完全浸没后求水面高度：
（1）先求得水的体积：
水的体积= 容器底面积× 原来水的高度
（2）再求加物体后水的高度：
后来水的高度：水的体积÷（容器底面积−物体底面积）
82
学而思数学思维
目标A+ 班·五年级（全国版）「春」
84
课堂巩固
1
莉莉在一个放满水的容器中，放入一个棱长是3cm 的正方体铁块（铁块完全浸没在
水中），会溢出（ ）mL 水。
A. 27
B. 9
C. 3
2
莉莉在一个从里面量长为5dm，宽是4dm，高是4dm 的容器中，加入2dm 高的水。然
后放入一个棱长为1dm 的正方体铁块（铁块完全浸没在水中），水面会上升（ ）
dm。
A. 5
B. 0.05
C. 1
3
许多在一个从里面量棱长为10cm 的正方体容器中，加入了5cm 高的水，之后放入一
个小土豆（土豆完全浸没在水中），水面上升到了7cm。小土豆的体积是（ ）cm3。
A. 100
B. 700
C. 200
第5 讲
小乌鸦找水喝——水中浸物
85
4
有一个长方体容器，从里面量长50 厘米，宽30 厘米，高20 厘米。紧贴着水箱底部直
立着一个长方体铁棒，铁棒高为20 厘米，底面为边长是10 厘米的正方形。现在，容器
中装有7000 立方厘米的水。那么容器中水的高度是
厘米。
5
一个长方体的玻璃缸，从里面量长8dm，宽6dm，高4dm，水深3dm。如果投入一块棱
长为4dm 的正方体铁块，缸里的水溢出多少升？
第6 讲
冰雕艺术——长、正方体综合
学而思数学思维
目标A+ 班·五年级（全国版）「春」
90
PART
1
堆积体表面积
【知识点1】堆积体
1. 堆积体表面积= 从6 个方向看到的图形的面积之和
2. 堆积体体积= 所有小元件的体积之和
例题1
工人们把三种不同大小的正方体冰块按如图所示堆积在了一起，三个冰块的棱长分别为60 厘
米、50 厘米和40 厘米，那么它们的占地面积是
平方厘米。如果要把它们暴露在外面
的面全都涂上颜料（包括底面），那么要涂
平方厘米的颜料。
第6 讲
冰雕艺术——长、正方体综合
91
大显身手1
有两个正方体箱子，棱长分别为30 厘米和20 厘米，如图并排贴在一起，放置在桌面上，此时整
体的表面积为
平方厘米。（表面积含底面）
学而思数学思维
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92
PART
2
挖洞的冰块
【知识点2】挖角、挖面、挖棱
1. 挖角：
现表面积= 原表面积
现体积= 原体积−挖去物体的体积
2. 挖面：
现表面积= 原表面积+ 4 个面的面积
现体积= 原体积−挖去物体的体积
∗挖棱：
现表面积= 原表面积+ 2 个面的面积
现体积= 原体积−挖去物体的体积
第6 讲
冰雕艺术——长、正方体综合
93
例题2
制作冰雕的过程中往往需要几块冰堆积在一起，现有1 个大正方体，它由8 个棱长为10 厘米
的小正方体拼成。若从中拿走1 个小正方体（如图），这时剩下的立体图形的表面积是
平方厘米。
想一想 ?
在例题2 中，从不同的方向去观察，每个面是什么图形？
大显身手2
如图所示，将一个棱长为6 的正方体从某个角切掉一个长、宽、高分别为4、3、5 的长方体，则剩
余部分的表面积是
。
学而思数学思维
目标A+ 班·五年级（全国版）「春」
94
例题3
有一个长方体形状的零件，从顶面挖去一个小正方体的洞。你能算出这个零件剩余部分的体积
和表面积吗？（单位：厘米）
从顶面挖走一个正方体，现表面积比原来增加
4 个正方形面的面积。
大显身手3
如图，在长方体的顶面挖去一个棱长为1 厘米的小正方体后，这个剩余物体的表面积是
平方厘米。
第6 讲
冰雕艺术——长、正方体综合
95
课中阅读
冰雕的冰从哪里来？
当我们第一次踏入冰雪大世界的时候，总会惊叹于这冰雪世
界的美丽。大大小小的冰雕错落有致地摆放在整个园区，连地面都
是由冰砖铺成的！这里不仅有精致美丽的小型冰雕，更有冰滑梯、
冰迷宫、冰城堡等大型冰雕，让人流连忘返。
不过同学们有没有想过，这么多冰，都是从哪里来的呢？据统
计，每年冰雪大世界需要10 万吨以上的冰，如果人工合成的话实
在是费时费力。好在大自然帮助我们解决了这个问题。到了冬天，
松花江水会结冰，形成的厚厚的冰层足够我们使用。不过冰雕要好
看，原料必须晶莹剔透、没有杂质，松花江上的冰并不是全都能达
到这样的标准。想要这样的顶级原料，水流速度必须要慢，只有水
流速度慢，才能在结冰的过程中通过碰撞排出气泡，并且结得足够
厚实。在松花江中，也仅有一段约300 米长的江段满足要求。
冰雕艺术是人类文明与大自然鬼斧神工的完美结合，体现了
中国人民的伟大智慧和勤劳无畏的精神。同学们有机会就去感受
一下冰雪的魅力吧！
学而思数学思维
目标A+ 班·五年级（全国版）「春」
96
PART
3
综合应用
例题4
哈尔滨国际冰雪节是我国第一个以冰雪活动为主题的国际性节日，为期一个多月。在冰雪节
上，你可以欣赏到各式各样的冰雕，还能体验滑冰、坐雪橇等好玩的娱乐活动。冰雕设计师会将
原料运到冰雪节，现场进行创作。
现在有一块长方体的原料冰，设计师将其高度削减20 厘米之后，表面积减少了4800 平方厘
米，剩下的冰形成了一个正方体。那么这个正方体的体积是
立方厘米。
有一块长方体冰砖，将其长度敲掉13 厘米后，冰砖的表面积减少5200 平方厘米，剩下的部分
刚好构成了一个正方体，那么这个正方体的体积为
立方米。
97
【知识点1】堆积体
1. 堆积体表面积= 从6 个方向看到的图形的面积之和
2. 堆积体体积= 所有小元件的体积之和
【知识点2】挖角、挖面、挖棱
1. 挖角：
现表面积= 原表面积
现体积= 原体积−挖去物体的体积
2. 挖面：
现表面积= 原表面积+ 4 个面的面积
现体积= 原体积−挖去物体的体积
98
∗挖棱：
现表面积= 原表面积+ 2 个面的面积
现体积= 原体积−挖去物体的体积
☆核心方法
将特殊的长方体切一刀变成正方体：
（1）每个侧面减少的面积= 减少的表面积÷ 4
（2）每个侧面的长（正方体的棱长）= 每个侧面减少的面积÷ 变化的高
（3）正方体的体积= 棱长× 棱长× 棱长
99
学而思数学思维
目标A+ 班·五年级（全国版）「春」
100
课堂巩固
1 如图所示，由三个正方体木块粘合而成的模型，它们的棱长分别为1 米、2 米、4
米，要在其表面涂刷油漆。如果大正方体的底面不涂油漆，则模型涂刷油漆的面积是
（ ）平方米。
A. 100
B. 200
C. 300
2 如图是一个长3 厘米、宽与高都是2 厘米的长方体。将它挖掉一个长2 厘米、宽1 厘
米、高1 厘米的小长方体后，它的表面积（ ）。
A. 比原来大
B. 比原来小
C. 与原来相等
3 如图所示，将一个棱长为10 的正方体从顶点A 切掉一个棱长为4 的正方体，得到如
右图所示的立体图形，这个立体图形的表面积是（ ）。
A. 500
B. 600
C. 700
第6 讲
冰雕艺术——长、正方体综合
101
4 如图，在长方体的顶面挖去一个长为2 厘米、宽为2 厘米、高为1 厘米的长方体后，这
个物体的表面积是
平方厘米。
5 一根长方体形状的雪糕，吃掉8 厘米之后，还剩下棱长刚好为3 厘米的正方体，则原
来雪糕的体积为
立方厘米。（不考虑雪糕的融化）
第7 讲
期中复习
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104
PART
1
因数与倍数
【知识点1】因数与倍数
1. 因数与倍数：
在被除数、除数和商都是整数且没有余数的除法算式中，被除数是除数和商的倍数，除
数和商是被除数的因数。
在乘数和积都是整数的乘法算式中，积是乘数的倍数，乘数是积的因数。
2. 质数：除了1 和它本身没有其它因数的数。如2，3，5，7 都是质数。
1∼100 中的质数：
2、3、5、7、11、
13、17、19、23、29、
31、37、41、43、47、
53、59、61、67、71、
73、79、83、89、97。
3. 合数：除了1 和它本身还有其它因数的数。如4，6，15，49 都是合数。
4. 分解质因数：将一个合数分解成若干个质数相乘的形式。
5. 最大公因数：指两个或多个整数公有因数中最大的一个。
6. 最小公倍数：两个或多个整数公有的倍数叫做它们的公倍数，其中除0 以外最小的一
个公倍数就叫做这几个整数的最小公倍数。
第7 讲
期中复习
105
例题1
(10，11) =
[10，11] =
(45，90) =
[45，90] =
(15，35) =
[15，35] =
例题2
45 与27 的最大公因数与最小公倍数的乘积为
。
想一想 ?
除了分别计算出最大公因数和最小公倍数再相乘，有没有更简便的方法？仔细观察最大公因数
与最小公倍数表达式的特点哦。
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106
PART
2
长方体与正方体
【知识点2】长方体与正方体
1. 长方体与正方体的认识
2. 正方体的11 种展开图
（1）类型1：1−4−1
第7 讲
期中复习
107
（2）类型2：2−3−1
（3）类型3：3−3
（4）类型4：2−2−2
* 识图巧排“7”、
“凹”、
“田”。
3. 认识棱长和与表面积
（1）棱长和：物体所有棱的长度之和。
（2）表面积：物体表面的面积之和。
4. 认识体积与容积
（1）体积：物体所占空间的大小。
（2）容积：箱子，油桶，仓库等所能容纳物体的体积。
5. 体积/容积单位及其进率
（1）体积/容积单位
常用的体积单位有立方厘米、立方分米、立方米，可以分别写成cm3、dm3、m3。
测量容积，一般用体积单位，但如果是测量液体的体积，如水、油等，则单位用升（L）和
毫升（mL）。
（2）进率
1dm3 = 1000cm3
1m3 = 1000dm3
1dm3 = 1L = 1000mL = 1000cm3
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108
6. 长正方体棱长和、表面积与体积公式
7. 棱长和的变形
生活中的棱长和应用，例如：求包装长方体（正方体）礼盒所用丝带的长度。
要注意看不见的丝带，判断每种长度的丝带分别有几段。
第7 讲
期中复习
109
例题3
（1）下列图形中，不能折成正方体的是（ ）。
一定不能拼成正方体的展开图特点：
“7”、
“凹”、
“田”等。
（2）观察下图，判断下面展开图正确的是（ ）。
A.
B.
C.
D.
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110
例题4
长方体的所有棱长之和为96 厘米，且长是宽的2 倍，宽与高相等，那么这个长方体的表面积是
平方厘米，体积是
立方厘米。
可以设棱长的一倍量为x 并用方程求得长宽高。
例题5
长方体的所有棱长之和为80 米，且长是宽的3 倍，宽与高相等，那么这个长方体的表面积是
平方米，体积是
立方米。
例题6
一个无盖的长方体玻璃鱼缸，长80 厘米，宽60 厘米，高40 厘米。往鱼缸里注入120 升水，水
深多少分米？（玻璃厚度忽略不计）
长方体体积公式有两种：
（1）长方体体积= 长× 宽× 高（2）长方体体积= 底面积× 高
第7 讲
期中复习
111
PART
3
分数的意义和性质
【知识点3】分数的意义和性质
1. 分数的意义：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数，叫做分数。
2. 分数单位：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份的数叫做分数单位。
3. 分数与除法的关系：除法中的被除数相当于分数的分子，除数相当于分母，
被除数÷ 除数= 被除数
除数。
4. 分数的分类：真分数的分子小于分母，假分数的分子大于或等于分母。带分数由一个整
数和一个真分数组成。假分数可以化成整数或带分数。
5. 分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或者除以一个相同的数（0 除外），分数的
大小不变。
6. 约分：把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数叫做约分，分子和分母
的公因数只有1 的分数称为最简分数。
7. 通分：把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。
【知识点4】分数加减法初步
1. 同分母分数加减法：分母不变，分子直接相加减，最终结果化成最简分数。
2. 异分母分数加减法：先通分，然后按照同分母分数加减法进行运算。
学而思数学思维
目标A+ 班·五年级（全国版）「春」
112
例题7
计算:
9
10 −1
2 =
17
15 −7
20 =
3
7 + 9
11 =
异分母分数加减法：先通分成同分母分数，再进
行计算，最后结果化成最简分数。
一项工程，上半月和下半月分别完成了计划的4
7 和3
5，这个月超额完成全计划的
。
113
1. 一定不能拼成正方体的展开图特点：
“7”、
“凹”、
“田”等。
2. 通过棱长和反求长宽高时，可以用方程设棱长的一倍量为x 并用方程求得长宽高。
3. 长方体体积公式有两种：
（1）长方体体积= 长× 宽× 高；
（2）长方体体积= 底面积× 高。
4. 异分母分数加减法：先通分成同分母分数，再进行计算，最后结果化成最简分数。
114
第7 讲
期中复习
115
课堂巩固
1
12 和20 的公因数有（ ）个。
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
2
下面的展开图（ ）可以折成正方体。
3
等底等高的正方体、长方体的体积相比较，（ ）。
A. 正方体体积大
B. 长方体体积大
C. 一样大
学而思数学思维
目标A+ 班·五年级（全国版）「春」
116
4
24 和40 的最大公因数是
，最小公倍数是
。
5
计算：12
35 −7
28 =
第8 讲
体育比赛中的积分制——积分制
学而思数学思维
目标A+ 班·六年级（全国版）「秋下」
34
第11 讲
体育比赛中的数学
35
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学而思数学思维
目标A+ 班·五年级（全国版）「春」
122
PART
1
2-1-0 赛制
【知识点1】赛制问题
1. 淘汰赛：每场比赛淘汰一支队伍。
2. 循环赛
（1）单循环赛：每支队伍与其他队伍各赛一场。
n 支队伍，每支队伍比赛场数= n−1；单循环赛总场数= n×(n−1)÷2
（2）双循环赛：每支队伍与其他队伍各赛两场，分主客场。
n 支队伍，每支队伍比赛场数= 2(n−1) ；双循环赛总场数= n×(n−1)
【知识点2】2-1-0 赛制
1. 在2-1-0 赛制中，每场比赛总分都是2 分，所有队伍的总分与比赛结果无关。
所有队伍总分= 总场数× 2
例题1
学而思要举行篮球联赛，有5 个校区参加比赛，每个区出2 个代表队。每队都要与其他队赛一
场，那么每队要比赛
场，一共要比赛
场。
第8 讲
体育比赛中的积分制——积分制
123
例题2
班上四名同学进行跳棋比赛，每两名同学都要赛一局。每局胜者得2 分，平局每人各得1 分，
负者得0 分，全部比赛结束后：
（1）四名同学的得分加起来一定是
分。
（2）已知甲、乙、丙三名同学的得分分别为3 分、4 分、4 分，那么丁同学的得分是
分。
所有队伍的总分与比赛结果无关。
大显身手1
甲、乙、丙、丁、戊五名同学比赛，每两名同学都要赛一局。每局胜者得2 分，平局每人各得1 分，
负者得0 分。全部比赛结束后，已知甲、乙、丙、戊四名同学得分分别为8 分、5 分、2 分、2 分，
那么丁同学的得分是
分。
学而思数学思维
目标A+ 班·五年级（全国版）「春」
124
课中阅读
最初的积分制是从2-1-0 开始的，也就是一场比赛中赢者得2
分，输者得0 分，平局双方各得1 分，这种方式在足球比赛中一直
沿用到了九零年世界杯。随着时间的推移，2-1-0 积分制的劣势逐
渐暴露了出来，九零年意大利世界杯防守足球之风盛行，各强队都
将力量放在如何不失球、少失球上，回传门将、拖延时间之类和体
育精神相违背的现象越来越严重……
为了鼓励进攻，1981 年英格兰各级联赛开始使用3-1-0 积分
制，而其他国家以及世界杯等到了1994 年之后也都采用了3-1-0
积分制，比如说联赛中任意两支球队比赛，胜者得3 分，输者得0
分，平局则各得1 分，如果两队实力相当的话当然都会更倾向于采
取激进的战术，比赛氛围也变得更加积极热烈。
第8 讲
体育比赛中的积分制——积分制
125
PART
2
3-1-0 赛制
【知识点3】3-1-0 赛制
1. 在3-1-0 赛制中，胜负局每场比赛总分都是3 分，平局每场比赛总分都是2 分，所以
每平一局，总分减少一分。
所有队伍总分= 总场数× 3 −平局数
2. 所有队伍得分总和最多：没有平局，每场共3 分。
所有队伍得分总和最少：全部平局，每场共2 分。
例题3
甲、乙、丙、丁四个足球队进行单循环比赛，每两队都要赛一场。胜队得3 分，负队得0 分，如果
踢平，每队各得1 分。
（1）四个队的得分总和最多
分，最少
分。
（2）全部比赛结束后，发现共有2 场平局，且其中三个足球队共得了15 分，则第四个足球队得
了
分。
想一想 ?
在3-1-0 积分制中，每场比赛的总分还是不变的吗？
学而思数学思维
目标A+ 班·五年级（全国版）「春」
126
大显身手2.1
6 支球队进行足球比赛，每两支球队之间都要赛一场，规定胜一场得3 分，平一场各得1 分，负
一场不得分。全部比赛结束后，发现共有4 场平局，且其中5 支球队共得了31 分，则第6 支球
队得了
分。
大显身手2.2
7 支球队进行联赛，采用单循环赛制，胜一场积3 分，负一场积0 分，平局各得1 分，所有比赛
结束后，7 支球队总分为55 分。那么所有比赛中一共有
场平局。
第8 讲
体育比赛中的积分制——积分制
127
PART
3
逻辑推理
例题4
A、B、C、D、E 五位同学进行象棋比赛，每两人都要比赛一盘。到现在为止，A 已经赛了4 盘，B
赛了3 盘，C 赛了2 盘，D 赛了1 盘。则此时E 同学赛了
盘。
例题5
有甲、乙、丙、丁四支球队参加足球循环赛，每两队都要赛一场，胜者得3 分，负者得0 分，如果
踢平，两队各得1 分。现在甲、乙、丙分别得了7 分、1 分和6 分，已知甲和乙踢平，那么丁得
分。
可以使用箭头代表胜负情况。
学而思数学思维
目标A+ 班·五年级（全国版）「春」
128
想一想 ?
在例题5 的场景中，某支队伍可能得到8 分吗？可能得到3 分吗？你能列举出哪些胜负情况？
A、B、C、D、E、F 六位同学进行乒乓球比赛，每两个人都要比赛一场。到现在为止，A 已经赛了5
场，B 赛了4 场，C 赛了3 场，D 赛了2 场，E 赛了1 场。则此时F 同学赛了
场。
129
【知识点1】赛制问题
1. 淘汰赛：每场比赛淘汰一支队伍。
2. 循环赛
（1）单循环赛：每支队伍与其他队伍各赛一场。
n 支队伍，每支队伍比赛场数= n−1；单循环赛总场数= n×(n−1)÷2
（2）双循环赛：每支队伍与其他队伍各赛两场，分主客场。
n 支队伍，每支队伍比赛场数= 2(n−1) ；双循环赛总场数= n×(n−1)
【知识点2】2-1-0 赛制
1. 在2-1-0 赛制中，每场比赛总分都是2 分，所有队伍的总分与比赛结果无关。
所有队伍总分= 总场数× 2
【知识点3】3-1-0 赛制
1. 在3-1-0 赛制中，胜负局每场比赛总分都是3 分，平局每场比赛总分都是2 分，所以
每平一局，总分减少一分。
所有队伍总分= 总场数× 3 −平局数
2. 所有队伍得分总和最多：没有平局，每场共3 分。
所有队伍得分总和最少：全部平局，每场共2 分。
130
1. 在2-1-0 赛制中，所有队伍的总分与比赛结果无关。
2. 在推理具体胜负局时，可用箭头表示胜负。
☆核心方法
单循环赛总分计算方法：
（1）确定赛制，算出比赛总场数；
（2）确定积分制，算出每场比赛总分；
（3）若为2-1-0 积分制，总分= 比赛总场数× 2。
若为3-1-0 积分制，总分= 比赛总场数× 3 −平局数。
131
学而思数学思维
目标A+ 班·五年级（全国版）「春」
132
课堂巩固
1 某区小学生篮球比赛，抽签分成a、b 两组，第一轮采用组内单循环赛，a 组8 个队一共
要赛（ ）场。
A. 7
B. 56
C. 4
D. 28
2 五个人进行象棋比赛，每两个人都要比赛一场，胜者得2 分，负者不得分，平者各得1
分。共进行了
场比赛，五个人的总得分是
分。（ ）
A. 10,20
B. 20,10
C. 20,20
3 七个人进行象棋单循环赛，规定胜者得2 分，负者得0 分，和棋双方各得1 分，比赛结
束后，七个人的得分加起来一定是（ ）分。
A. 20
B. 63
C. 42
第8 讲
体育比赛中的积分制——积分制
133
4 在中国象棋比赛中，每局比赛有胜、平、负三种结果：获胜得2 分，战平得1 分，失败得
0 分。现在6 个人进行单循环赛后，已知其中五个人的分数分别是7、6、5、4、3 分，那
么最后一个人的分数是
分。
5 甲、乙、丙、丁四个足球队进行单循环赛，即每两个队之间都要比一场，胜者得3 分，负
者得0 分，平者各得1 分。比赛结束后，甲队共得6 分，乙队共得4 分，丙队共得2 分，
其中共有2 局平局，那么丁队共得
分。
第9 讲
小院里的艺术——分数加减法混合运算
学而思数学思维
目标A+ 班·五年级（全国版）「春」
138
PART
1
分数加减法
【知识点1】分数加减法
1. 同分母分数加减法：分母不变，分子直接相加减，最终结果化成最简分数。
2. 异分母分数加减法：先通分，然后按照同分母分数加减法进行运算。
例题1
许多奶奶家有一块菜园，这块菜园的1
9 种辣椒，2
9 种茄子，4
9 种西红柿，其余的种韭菜。
（1）种辣椒、茄子、西红柿的面积共占菜园的几分之几？
（2）种韭菜的面积占菜园的几分之几？
（3）你还能提出其他问题并解答吗？
第9 讲
小院里的艺术——分数加减法混合运算
139
大显身手1
计算下列各题，并化成最简形式。
1
4 + 2
4 =
8
9 −3
9 =
1
10 + 3
10 =
5
6 −1
6 =
例题2
一张香喷喷的披萨烤好了！爸爸看到了，立刻表示他要吃掉这张披萨的一半。许多想了想，觉
得自己能吃掉这张披萨的1
4。
（1）许多和爸爸一共能够吃掉这张披萨的多少呢？
想一想 ?
在下面的披萨中试着分一分，你能解决这个问题吗？
学而思数学思维
目标A+ 班·五年级（全国版）「春」
140
例题2
（2）这时妈妈也说自己要吃掉这张披萨的1
3，请问：这张披萨够不够许多一家三口吃呢？
想一想 ?
这一次，我们需要把1 张披萨分成多少份才能进行判断？
第9 讲
小院里的艺术——分数加减法混合运算
141
PART
2
分数加减混合运算
【知识点2】分数加减混合运算
1. 同级运算，数的位置可以改变，注意带符号“搬家”。
2. 优先选择同分母分数进行运算，否则通分后再进行计算。
例题3
计算：
（1）7
8 −1
6 −1
3 =
（2）3
5 + 1
2 −1 =
（3）2
5 −1
10 + 3
8 =
学而思数学思维
目标A+ 班·五年级（全国版）「春」
142
大显身手2
一盒饼干，莉莉吃了它的1
4，妈妈吃了它的1
8，后来奶奶补充了这盒饼干的1
3，这盒饼干还剩原
来的（ ）。
A. 1
4
B. 5
8
C. 1
12
D. 23
24
例题4
计算下列各题。
（1）6
7 −9
14 + 1
7 =
（2）5
8 −
1
12 + 3
8
=
（3）13
15 −1
3 −2
5 =
根据题意列出算式，先将分母相同的分数放到
一起计算，再通分计算。
第9 讲
小院里的艺术——分数加减法混合运算
143
课中阅读
古埃及人的分数表示法
人们对分数的研究与对自然数的研究几乎有着同样长的历史。
古代的人们就发现了自然数可以用来计数，而当分东西无法平均
分成整数份的时候就产生了分数，只不过古代人对于分数的记录
方法五花八门。而古埃及人的记录方法有些奇特：他们用特定分数
的加法来表示所有分数。
古埃及人一般是用几条相等的竖线并列写出来表示整数，比
如4 就画4 条竖线。他们又将一个椭圆形（就是长得像鸡蛋的那
个形状）写在整数上面，表示这是一个以此整数为分母，以1 为分
子的分数。只有少数几个分数用特殊符号表示。这实际上就是我们
之前研究的分数单位，所以分数单位也被称为埃及分数。
学而思数学思维
目标A+ 班·五年级（全国版）「春」
144
课中阅读
那么古埃及人怎么表示普通的分数呢？他们把普通分数用分
数单位的和来表示，把分数并排在一起来表示加法。如7
8 表示成
1
2
1
4
1
8，中间不用加号。而这种写法也一直影响到现在分数的写法，
比如我们在之前学习的带分数中，整数部分与分数部分就是省略
加号的相加关系。
下面就是一些埃及分数，你能看出它们的书写规则吗？
第9 讲
小院里的艺术——分数加减法混合运算
145
PART
3
综合应用
【知识点3】综合应用
1. 与分数相关的图形题，可以先观察图形特征，再进行计算。
例题5
在下边的⃝里填上适当的数，使每个正方形四个角上的数加起来都等于1
2。
先观察盘面有多少个正方形，再逐一突破。
学而思数学思维
目标A+ 班·五年级（全国版）「春」
146
大显身手3
在下面的⃝里填上适当的数，使每个正方形四个角上的数加起来都等于1。
建筑工地运来11
12 吨黄沙，第一天用去2
5 吨，第二天又运来5
12 吨，第三天用去3
5 吨，目前还剩
吨。
147
【知识点1】分数加减法初步
1. 同分母分数加减法：分母不变，分子直接相加减，最终结果化成最简分数。
2. 异分母分数加减法：先通分，然后按照同分母分数加减法进行运算。
【知识点2】分数加减混合运算
1. 同级运算，数的位置可以改变，注意带符号“搬家”。
2. 优先选择同分母分数进行运算，否则通分后再进行计算。
【知识点3】综合应用
1. 与分数相关的图形题，可以先观察图形特征，再进行计算。
1. 解决实际问题时，根据题意列出算式，先将分母相同的分数放到一起计算，再通分计
算。
2. 遇到相关数阵图，先观察图形特征再计算。
☆核心方法
分数加减混合运算：
（1）优先计算同分母分数；
（2）无同分母分数则通分，并按照运算顺序计算；
（3）结果化成最简分数。
148
第9 讲
小院里的艺术——分数加减法混合运算
149
课堂巩固
1
看图计算，第三幅图该把（ ）份涂色。
A. 1
B. 2
C. 5
2
计算：7
17 + 8
17 −5
17 + 1
17 =（ ）
A. 2
17
B. 11
17
C. 21
17
3
计算：
11
12 −3
8 =（ ）
A. 13
24
B. 31
24
C. 2
学而思数学思维
目标A+ 班·五年级（全国版）「春」
150
4
列式计算。
（1）1
3 与1
4 的和减去它们的差，得多少？
（2）一个数，比13
6 与3
8 的和少7
6，求这个数。
5
在下面的⃝里填上适当的数，使每个正方形四个角上的数加起来都等于2。
14
开课时定下的目标你完成了多少？给自己打个分吧！
我的收获
我想对老师说
我的收获
1120090936572
