文档文本内容
数学思维
目标S+ 班
五年级（全国版）·寒
学而思网校教研中心编著
目 录
阿丘学堂每讲的后几道题会比较有挑战性，是专门针对学有余力、
想要寻求更多挑战的小朋友设计的，同学们酌情挑战哦！
第1 讲
新运算的探索······························· 1
第2 讲
圆与扇形初步······························· 7
第3 讲
时钟问题································· 13
第4 讲
长方体与正方体初步························· 19
第5 讲
比例法解决图形问题（四）···················· 25
第6 讲
三角形数表································ 31
参考答案·································· 37
1
≈
第1 讲
第1 讲
第1 讲
第1 讲
第1 讲
第1 讲
第1 讲
第1 讲
第1 讲
第1 讲
第1 讲
第1 讲
第1 讲
第1 讲
第1 讲
第1 讲
第1 讲
新运算的探索
新运算的探索
新运算的探索
新运算的探索
新运算的探索
新运算的探索
新运算的探索
新运算的探索
新运算的探索
新运算的探索
新运算的探索
新运算的探索
新运算的探索
新运算的探索
新运算的探索
新运算的探索
新运算的探索
2
1. 规定a△b = a÷(a+b)，那么21
5△1.8 =
。（填写小数）
2. 定义新运算，它的运算规则是：x∗y = x×y−x÷y。
按此规则计算：4∗2.5 =
，2.5∗4 =
。
3. 规定运算“⊙”为：a⊙b = a×b−(a+b)，请计算：
5⊙8 =
，(6⊙5)⊙4 =
。
3
4. 如果a△b = a+2b，a☆b = 2a+b，那么1△(6☆8) =
。
5. 规定x△y = Axy，x▽y = (x+y)÷2，且(1△3)▽3 = 1△(3▽3)，则(1△3)▽3 =
。
6. 如果a∗b = a×b+a−2b，那么在3∗m = 17 中，m =
。
4
7. 已知：a△b = 3a+2b，又知，(7△x)△9 = 129，那么x 为
。
8. A
B = 3A−2B，已知x
(7
4) = 13，则x 的值是
。
9. 对于非零自然数x 和y，规定符号⊗的含义是：x⊗y = kx+y
2xy （k 是一个确定的整数），并且
1⊗4 = 2⊗3。
（1）则k 的值是
。
（2）3⊗4 =
。
5
10.如果规定⊗2 = 1×2×3，⊗3 = 2×3×4，⊗4 = 3×4×5，···
计算( 1
⊗2 −1
⊗3)× ⊗2
⊗3 =
。
11.对于数a，b，规定运算“⊗”的含义是：a⊗b = ab+a+b。则1⊗1
2 ⊗1
3 ⊗···⊗1
10 =
。
12.若a、b、c 为任意正整数，定义：[a，c，b]= (a×b+c，b)；(d，e)−(f，g) = (d ×g−e× f，g×e)。
则[11，2，5]−[3，1，7] =(
，
)。
6
13.“△”是一种新运算，规定:a△b = a × c + b × d (其中c，d 为常数)，如:5△7 = 5c + 7d。如果1△2 =
5，1△3 = 7，那么6△1000 =
。
14.若用“∗”表示一种运算，且满足如下关系：
（I）1∗1 = 1；
（II）(n+1)∗1 = 3×(n∗1)。则5∗1−2∗1 =
。
15.如果5∗2 = 11，6∗3 = 21，7∗4 = 34，那么，1∗9+2∗9+3∗9+···+9∗9 =
。
7
≈
第2 讲
第2 讲
第2 讲
第2 讲
第2 讲
第2 讲
第2 讲
第2 讲
第2 讲
第2 讲
第2 讲
第2 讲
第2 讲
第2 讲
第2 讲
第2 讲
第2 讲
圆与扇形初步
圆与扇形初步
圆与扇形初步
圆与扇形初步
圆与扇形初步
圆与扇形初步
圆与扇形初步
圆与扇形初步
圆与扇形初步
圆与扇形初步
圆与扇形初步
圆与扇形初步
圆与扇形初步
圆与扇形初步
圆与扇形初步
圆与扇形初步
圆与扇形初步
8
1. 在下图中，大半圆的半径是
cm，小半圆的半径是
cm；大半圆的直径是
cm，小半圆的直径是
cm。
2. 一个圆的半径是10cm，它的直径是
cm，周长是
cm，面积是
cm2。（π
取3.14）
3. 如下图，圆的直径是
cm，半径是
cm，单个圆的面积是
cm2。（π 取
3.14）
9
4. 一个圆的周长是25.12，它的直径是
，半径是
，面积是
。（π 取3.14）
5. 小圆的面积是12.56，它的半径是
；大圆的面积是28.26，它的半径是
。（π 取
3.14）
6. 已知一个扇形的圆心角为120◦，半径为2，这个扇形的面积和周长分别是
、
。（π
取3.14，填带分数）
10
7. 以下扇形的周长为
，面积为
。（π 取3.14）
8. 以下扇形的周长为
，面积为
。（π 取3.14）
9. 已知一个扇形面积为18.84cm2，圆心角为60◦，这个扇形的半径和周长分别是
cm、
cm。（π 取3.14）
11
10.如图，在圆内剪去一个圆心角为45 度的扇形，余下部分的面积是剪去部分的( ) 倍。
A. 3
B. 5
C. 7
D. 8
11.下图中的两个圆半径分别为2 厘米和3 厘米，则阴影部分的面积是
平方厘米。（π 取
3.14）
12.已知：如图直径分别为6 和8 的两个圆，那么大圆与小圆之间的圆环的面积为
。（π 取
3.14）
12
13.用一条长2 米的绳子把一只羊拴在河堤边上，羊活动的区域面积为
平方米。（π 取3.14）
14.两只蚂蚁同时从A 出发往B 爬，一只沿着实线走一个大半圆的圆弧，另一只沿着虚线走三个小半圆
圆弧，如果两只蚂蚁速度相同，哪只先到B？
。
15.半径为10、20、30 的三个扇形如图放置，S2 是S1 的
倍。
13
≈
第3 讲
第3 讲
第3 讲
第3 讲
第3 讲
第3 讲
第3 讲
第3 讲
第3 讲
第3 讲
第3 讲
第3 讲
第3 讲
第3 讲
第3 讲
第3 讲
第3 讲
时钟问题
时钟问题
时钟问题
时钟问题
时钟问题
时钟问题
时钟问题
时钟问题
时钟问题
时钟问题
时钟问题
时钟问题
时钟问题
时钟问题
时钟问题
时钟问题
时钟问题
14
1. 当时钟表示的时间为4 点整时，时针和分针所成的角是
度。
2. 小明爸爸出差离家时，小明看了钟面，他爸爸出差归来时，小明又看了钟面，恰好是12 点整，而且恰
好经过了200 小时。则小明爸爸离家出差时钟面是
点。
3. 分针转了120◦，同一时间内时针转了
度。
15
4. 在一个圆形时钟的表面，若现在时间恰好是12 点整，则经过
分钟后，分针和时针第一次
成直角。
5. 现在是3 点，经过
分，时针与分针第一次重合。
6. （1）已知现在是午夜12 时，那么过
分，分针与时针第一次重合。
（2）已知现在是午夜12 时，那么第二次重合的时间是
点
分。
16
7. 4 点
分时，时针和分针离“4”的距离相等，并且在“4”的两边。
8. 3 时到4 时之间时针和分针在“3”的两边，并且“3”到两针所形成的射线的距离相等。则这时是3 时
又
分之
分。
9. 时针和分针的位置交换，最短需要
，
，
分。（结果若为带分数，先化简，
第一个空填整数，第二个空填分子，第三个空填分母）
17
10.时钟的时针和分针在6 点钟反向成一直线，那么它们下一次反向成一直线是在
。
11.学而思数学小组在下午4 点多开了一个会，刚开会时涛涛看了一下手表，发现那时手表的分针和时
针垂直。下午5 点之前会就结束了，散会时涛涛又看了一下手表，发现分针与时针仍然垂直，那么这
个小组会共开了
分。
12.张强晚上六点多外出锻炼身体，此时时针与分针的夹角是110◦；回家时还未到七点，此时时针与分
针的夹角仍是110◦，则张强外出锻炼身体用了
分钟。
18
13.贝贝游世博，第一站是德国馆，从下午2 点多钟开始排队，到5 点多钟才进馆。他一看表，发现开始
和结束的两个时刻分针和时针恰好对换了位置。那么他排队等候了
小时。
14.小华的手表比家里的闹钟走得要快一些。这天中午12 点时，小华把手表和闹钟校准，但当闹钟走到
下午1 点时，手表显示的时间是1 点5 分。当手表显示当天下午6 点半的时候，闹钟显示的时间是
点
分。
15.一个快钟每小时比标准时间快1 分钟，一个慢钟每小时比标准时间慢3 分钟。现在将两个钟同时调
到标准时间，结果在24 小时内，快钟显示9 点整时，慢钟恰好显示8 点整。则这个时候的标准时间
是
点
分。
19
≈
第4 讲
第4 讲
第4 讲
第4 讲
第4 讲
第4 讲
第4 讲
第4 讲
第4 讲
第4 讲
第4 讲
第4 讲
第4 讲
第4 讲
第4 讲
第4 讲
第4 讲
长方体与正方
长方体与正方
长方体与正方
长方体与正方
长方体与正方
长方体与正方
长方体与正方
长方体与正方
长方体与正方
长方体与正方
长方体与正方
长方体与正方
长方体与正方
长方体与正方
长方体与正方
长方体与正方
长方体与正方
体初步
体初步
体初步
体初步
体初步
体初步
体初步
体初步
体初步
体初步
体初步
体初步
体初步
体初步
体初步
体初步
体初步
20
1. 下图几何体有
个面，
条棱。
2. 求下面图形的棱长和、表面积和体积。
（1）
（2）
3. 若一个长方体，长是宽的2 倍，宽是高的2 倍，所有棱长之和是28，则此长方体的表面积是
。
21
4. 制作一个无盖的长方体纸盒，长、宽、高分别是8 厘米、5 厘米、2 厘米。纸盒的体积是多少立方厘米？
需要多少平方厘米的纸？
5. 一个无盖的长方体水槽，长5 米，宽0.5 米，高0.4 米，做这个水槽至少要铁皮
平方米。将
它注满水，水的体积是
立方米。
6. 一个正方体的棱长扩大到原来的3 倍，表面积扩大到原来的
倍，体积扩大到原来的
倍。
22
7. 一个长2 米的长方体钢材截成三段，表面积比原来增加2.4 平方米，这根钢材原来的体积是
立方米。
8. 一个长方体长5 厘米，高是宽的2 倍，宽是长的2 倍，表面积是
平方厘米，体积是
立方厘米。
9. 用棱长是1 厘米的立方块拼成如图所示的立体图形，则该图形的表面积是
平方厘米。
23
10.如图所示，将4 块棱长为1 厘米的正方体木块排成一排，拼成一个长方体。那么拼合后这个长方体
的表面积，比原来4 个正方体的表面积之和少了
平方厘米。
11.如图，在一个棱长为10 的立方体上截去一个长为8，宽为3，高为2 的小长方体，那么新的几何体的
表面积是
。
12.如图，有一个棱长是5 的立方体，如果它的左上方截去一个棱长分别是5，3，2 的长方体，那么它的
表面积减少了
。
24
13.一个长方体容器，底面长60 厘米，宽38 厘米，里面沉入一个长方体钢块（完全浸没），当钢块取出
时，容器中的水面下降5 厘米，如果长方体钢块的底面积是570 平方厘米，钢块高
厘米。
14.一个长方体容器，长15 厘米，宽20 厘米，高10 厘米。里面盛有8 厘米深的水。现将一块体积为630
立方厘米的石头完全浸没于水中，现在水面的高度是
厘米。
15.—长方体容器的底面是一个边长60 厘米的正方形，容器里直立着一个高1 米，底面边长15 厘米的
长方体铁块，这时容器里的水深0.5 米，如果把铁块取出，容器里水深
厘米。
25
≈
第5 讲
第5 讲
第5 讲
第5 讲
第5 讲
第5 讲
第5 讲
第5 讲
第5 讲
第5 讲
第5 讲
第5 讲
第5 讲
第5 讲
第5 讲
第5 讲
第5 讲
比例法解决
比例法解决
比例法解决
比例法解决
比例法解决
比例法解决
比例法解决
比例法解决
比例法解决
比例法解决
比例法解决
比例法解决
比例法解决
比例法解决
比例法解决
比例法解决
比例法解决
图形问题（四）
图形问题（四）
图形问题（四）
图形问题（四）
图形问题（四）
图形问题（四）
图形问题（四）
图形问题（四）
图形问题（四）
图形问题（四）
图形问题（四）
图形问题（四）
图形问题（四）
图形问题（四）
图形问题（四）
图形问题（四）
图形问题（四）
26
1. 如图所示，在四边形ABCD 中，三角形AOB 的面积是10，三角形AOD 的面积是8，三角形BOC 的
面积是5，那么三角形COD 的面积是
。
2. 如图，BE : EC = 5 : 2，S△ABD = 35，那么S△ACD =
。
3. 已知三角形ABC 中，BD = 10，BC = 14，则S△ABE
S△ACE
=
。
27
4. 如图，三角形AOC，三角形COD，三角形BOD 的面积都为6，那么AE : BE =
，S△ABC =
，S△BOE =
。
5. 如图，△ABC 被分成了六部分，已知2BD = DC，EC = 2AE，△AFO 的面积为3 平方厘米，则其它5
部分的面积各是多少？
6. 如图所示，在△ABC 中，BE : EC = 3 : 1，D 是AE 的中点，那么AF : FC =
。
28
7. 如图，在△ABC 中，BD : DC = 3 : 2，AE : EC = 3 : 1，那么OB : OE =
。
8. 如图，三角形ABC 中，BD : DC = 4 : 9，CE : EA = 4 : 3，若AF : FB 化为最简整数比后为a : b，那么
2a+3b =
。
9. 如图，已知BD : CD = 2 : 1，CE : AE = 1 : 1，BF : AF = 2 : 1，那么：
S△ABO : S△ACO =
；S△AEO : S△BDO =
。
29
10.如图所示，在△ABC 中，CP = 1
2CB，CQ = 1
3CA，BQ 与AP 相交于点X，若△ABC 的面积为6，则
△ABX 的面积等于
。
11.如图，在△ABC 中，M 是边AB 的中点，N 是边AC 上靠近C 的三等分点，CM 与BN 相交于点K。
若△BCK 的面积等于1，则△ABC 的面积等于
。
12.如图，已知BD = DC，EC = 2AE，三角形ABC 的面积是30，则阴影部分面积为
。
30
13.如图，三角形ABC 的面积是12，E 是AC 的中点，点D 在BC 上，且BD : DC = 1 : 2，AD 与BE 交于
点F。则四边形DFEC 的面积等于
。
14.如图，在△ABC 中，DC
DB = EA
EC = FB
FA = 1
3，那么S△GHI
S△ABC
的值为
/
。（先填分子，再
填分母）
15.如图，在三角形ABC 中，F 是AB 上的四等分点，E 是AC 上的三等分点，D 是BC 的中点，CF 交
BE 于点P，AD 交CF 于点Q，BE 交AD 于点R。那么△PQR 的面积与△ABC 的面积之比是
:
。
31
≈
第6 讲
第6 讲
第6 讲
第6 讲
第6 讲
第6 讲
第6 讲
第6 讲
第6 讲
第6 讲
第6 讲
第6 讲
第6 讲
第6 讲
第6 讲
第6 讲
第6 讲
三角形数表
三角形数表
三角形数表
三角形数表
三角形数表
三角形数表
三角形数表
三角形数表
三角形数表
三角形数表
三角形数表
三角形数表
三角形数表
三角形数表
三角形数表
三角形数表
三角形数表
32
1. 如图，根据下图中数字的排列规律，可知“?”所代表的数是
。
2. 计算数墙，除了最下层的数，每个数都等于它下面相邻两个数的和，请选出问号里的数。（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 0
3. 如图，在□里填上符合规律的数
、
、
、
。
33
4. 数表中给出的数表就是有名的杨辉三角。
（1）请你补充杨辉三角的第7 行。
（2）杨辉三角第11 行第3 个数（从左往右数）是
。
5. 如图，这是中国古代的杨辉三角形，则图中前10 行所有数的和是
。
6. 自然数按一定规律排成下表，则第10 行的左起第1 个数是
。
34
7. 自然数按一定规律排成下表，第10 行的左起第10 个数是
。
8. 将奇数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表，根据这个排列规则，数表中第10 行从左到右的
第1 个数是
。
9. 把所有奇数排列成下面的数表，根据规律，请指出：197 排在第
行的左起第
个
数。
35
10.将自然数按下图的方式排列，那么第12 行的左起第3 个数是
。
11.将自然数按下表的方式排列，则2004 位于第
行，第
列。
1 3 4 10······
2 5 9 ······
6 8 ······
7 ······
12.从1 开始的自然数如下排列，则第2 行中的第7 个数是
。
13.如图，2012 在第
行，第
列。
36
14.数学家莱布尼兹在研究中发现了下面的单位分数三角形，其特点是单位分数是分子为1，分母为正
整数的分数。
根据前五行的规律，可以知道第六行的第三个数是
。
15.世界上著名的莱布尼茨三角形如图所示：
则排在第10 行从左边数第3 个位置上的数是（ ）
A.
1
132
B.
1
360
C.
1
495
D.
1
660
37
参考答案
第1 讲
新运算的探索
1. 0.55
2. 8.4
9.375
3. 27
53
4. 41
5. 3
6. 14
7. 8
8. 13
9.（1）6
（2）11
12
10. 1
32
11. 10
12. 289
35
38
13. 2006
14. 78
15. 729
第2 讲
圆与扇形初步
1. 7
3.5
14
7
2. 20
62.8
314
3. 7
3.5
38.465
4. 8
4
50.24
5. 2
3
6. 414
75
814
75
7. 12.28
9.42
8. 28.99
49.455
9. 6
18.28
10. C
11. 15.7
12. 21.98
39
13. 6.28
14. 同时到达B
15. 5
第3 讲
时钟问题
1. 120
2. 4
3. 10
4. 16 4
11
5. 16 4
11
6.（1）65 5
11
（2）2
1010
11
7. 18 6
13
8. 13
13
11
9. 55
5
13
10. 7 点5 5
11 分
11. 32 8
11
12. 40
40
13. 210
13
14. 6
0
15. 8
45
第4 讲
长方体与正方体初步
1. 9
21
2.（1）68cm
160cm3
184cm2
（2）72cm
216cm3
216cm2
3. 28
4. 80 立方厘米，92 平方厘米
5. 6.9
1
6. 9
27
7. 1.2
8. 700
1000
9. 46
10. 6
11. 600
12. 12
41
13. 20
14. 10
15. 46.875
第5 讲
比例法解决图形问题（四）
1. 4
2. 14
3. 5
2
4. 1 : 2
24
4
5. S△BFO = 3 平方厘米，S△AEO = S△BDO = 4 平方厘米，S△CDO = S△CEO = 8 平方厘米
6. 3 : 4
7. 2 : 1
8. 102
9. 2 : 1
3 : 8
10. 2.4
11. 4
12. 12.5
13. 5
42
14. 4
13
15. 25
252
第6 讲
三角形数表
1. 34
2. D
3. 4
4
10
10
4.（1）如图所示：
（2）45
5. 1023
6. 46
7. 46
8. 91
9. 10
18
10. 94
43
11. 51
13
12. 30
13. 59
5
14. 1
60
15. B
17220090936522
