文档文本内容
数学思维
目标S 班
五年级（全国版）·寒
学而思网校教研中心编著
目 录
阿丘学堂每讲的后几道题会比较有挑战性，是专门针对学有余力、
想要寻求更多挑战的小朋友设计的，同学们酌情挑战哦！
第1 讲
新运算的探索······························· 1
第2 讲
圆与扇形初步······························· 6
第3 讲
时钟问题································· 11
第4 讲
长方体与正方体初步························· 16
第5 讲
比例法解决图形问题（四）···················· 22
第6 讲
三角形数表································ 27
参考答案·································· 33
1
≈
第1 讲
第1 讲
第1 讲
第1 讲
第1 讲
第1 讲
第1 讲
第1 讲
第1 讲
第1 讲
第1 讲
第1 讲
第1 讲
第1 讲
第1 讲
第1 讲
第1 讲
新运算的探索
新运算的探索
新运算的探索
新运算的探索
新运算的探索
新运算的探索
新运算的探索
新运算的探索
新运算的探索
新运算的探索
新运算的探索
新运算的探索
新运算的探索
新运算的探索
新运算的探索
新运算的探索
新运算的探索
2
1. 规定a△b = a÷(a+b)，那么21
5△1.8 =
。（填写小数）
2. 定义新运算，它的运算规则是：x∗y = x×y−x÷y。
按此规则计算：4∗2.5 =
，2.5∗4 =
。
3. 规定运算“▽”为：a▽b = (a+1)×(b−1)，请计算：
8▽10 =
，10▽8 =
。
4. 规定运算“⊙”为：a⊙b = a×b−(a+b)，请计算：
5⊙8 =
，(6⊙5)⊙4 =
。
3
5. 定义“△”:a△b = a+b
a×b，2△(3△4) =
。
6. 如果a△b = a+2b，a☆b = 2a+b，那么1△(6☆8) =
。
7. 如果a∗b = a×b+a−2b，那么在3∗m = 17 中，m =
。
8. 已知：a△b = 3a+2b，又知，(7△x)△9 = 129，那么x 为
。
4
9. A
B = 3A−2B，已知x
(7
4) = 13，则x 的值是
。
10.对于数a 和b，规定符号⊕的含义是：a⊕b = ka+ 2
5b（k 是一个确定的数），并且8⊕3 = 6。
（1）数k 的值是
/
。
（2）2
3 ⊕1
4 =
/
。
（3）如果1
2 ⊕x = x−1，则x 的值是
/
。（化成最简分数，先填分子后填分母）
11.对于非零自然数x 和y，规定符号⊗的含义是：x⊗y = kx+y
2xy （k 是一个确定的整数），并且1⊗4 =
2⊗3。
（1）则k 的值是
。
（2）3⊗4 =
。
12.“△”是一种新运算，规定:a△b = a×c+b×d (其中c，d 为常数)，如:5△7 = 5c+7d。如果1△2 =
5，1△3 = 7，那么6△1000 =
。
5
13.对于自然数n，规定f(n) = 1+ 1
2 + 1
3 +···+ 1
n，f(3) =
，f(4) =
。
14.如果规定⊗2 = 1×2×3，⊗3 = 2×3×4，⊗4 = 3×4×5，···
计算( 1
⊗2 −1
⊗3)× ⊗2
⊗3 =
。
15.若a、b、c 为任意正整数，定义：[a，c，b]= (a×b+c，b)；(d，e)−(f，g) = (d ×g−e× f，g×e)。则[11，
2，5]−[3，1，7] =(
，
)。
6
≈
第2 讲
第2 讲
第2 讲
第2 讲
第2 讲
第2 讲
第2 讲
第2 讲
第2 讲
第2 讲
第2 讲
第2 讲
第2 讲
第2 讲
第2 讲
第2 讲
第2 讲
圆与扇形初步
圆与扇形初步
圆与扇形初步
圆与扇形初步
圆与扇形初步
圆与扇形初步
圆与扇形初步
圆与扇形初步
圆与扇形初步
圆与扇形初步
圆与扇形初步
圆与扇形初步
圆与扇形初步
圆与扇形初步
圆与扇形初步
圆与扇形初步
圆与扇形初步
7
1. 在下图中，大半圆的半径是
cm，小半圆的半径是
cm；大半圆的直径是
cm，小半圆的直径是
cm。
2. 一个圆的半径是10cm，它的直径是
cm，周长是
cm，面积是
cm2。（π
取3.14）
3. 一个圆的直径是10 厘米，它的半径是
厘米，周长是
厘米，面积是
平
方厘米。（π 取3.14）
4. 如下图，圆的直径是
cm，半径是
cm，单个圆的面积是
cm2。（π 取3.14）
8
5. 一个圆的周长是25.12，它的直径是
，半径是
，面积是
。（π 取3.14）
6. 小圆的面积是12.56，它的半径是
；大圆的面积是28.26，它的半径是
。（π 取
3.14）
7. 已知一个扇形的圆心角为120◦，半径为2，这个扇形的面积和周长分别是
、
。（π
取3.14，填带分数）
8. 以下扇形的周长为
，面积为
。（π 取3.14）
9
9. 以下扇形的周长为
，面积为
。（π 取3.14）
10.已知一个扇形面积为18.84cm2，圆心角为60◦，这个扇形的半径和周长分别是
cm、
cm。（π 取3.14）
11.如图，在圆内剪去一个圆心角为45 度的扇形，余下部分的面积是剪去部分的( ) 倍。
A. 3
B. 5
C. 7
D. 8
12.如图，将一张圆形纸片连续对折三次，得到一个扇形，这个扇形的圆心角是
度。
10
13.求阴影部分的面积。（π 取3.14）
14.求阴影部分的面积。（单位：厘米，π 取3.14）
15.如图，在一个很大的羊圈中，用一条长3 米的绳子把一只羊拴在墙角，羊活动区域的面积是
平方米。（π 取3.14）
11
≈
第3 讲
第3 讲
第3 讲
第3 讲
第3 讲
第3 讲
第3 讲
第3 讲
第3 讲
第3 讲
第3 讲
第3 讲
第3 讲
第3 讲
第3 讲
第3 讲
第3 讲
时钟问题
时钟问题
时钟问题
时钟问题
时钟问题
时钟问题
时钟问题
时钟问题
时钟问题
时钟问题
时钟问题
时钟问题
时钟问题
时钟问题
时钟问题
时钟问题
时钟问题
12
1. 钟面上4 点整，时针与分针夹角是
度。
2. 当时钟表示的时间为1 点45 分时，时针和分针所成的钝角是
度。（填小数）
3. 分针转了120◦，同一时间内时针转了
度。
4. 小明下午5 点放学到家，立即做作业，作业完成时是5 时30 分，此时时针与分针的夹角是
度。
13
5. 在一个圆形时钟的表面，若现在时间恰好是12 点整，则经过
分钟后，分针和时针第一次
成直角。
6. 现在是3 点，经过
分，时针与分针第一次重合。
7. （1）已知现在是午夜12 时，那么过
分，分针与时针第一次重合。
（2）已知现在是午夜12 时，那么第二次重合的时间是
点
分。
8. 4 点
分时，时针和分针离“4”的距离相等，并且在“4”的两边。
14
9. 3 时到4 时之间时针和分针在“3”的两边，并且“3”到两针所形成的射线的距离相等。则这时是3 时
又
分之
分。
10.4 点钟后，从时针与分针第一次成90
◦角，到时针与分针第二次成90
◦角，共经过( ) 分钟。(答案
四舍五入到整数)
A. 60
B. 30
C. 40
D. 33
11.小明在1 点多钟时开始做数学题，当他做完题时，发现还没到2 : 30，但此时的时针和分针与开始做
题时正好交换了位置，那么小明做题用了多少分钟？表示成A
B 的形式，A =
，B =
。
12.张强晚上六点多外出锻炼身体，此时时针与分针的夹角是110◦；回家时还未到七点，此时时针与分
针的夹角仍是110◦，则张强外出锻炼身体用了
分钟。
15
13.小明爸爸出差离家时，小明看了钟面，他爸爸出差归来时，小明又看了钟面，恰好是12 点整，而且恰
好经过了200 小时。则小明爸爸离家出差时钟面是
点。
14.小华的手表比家里的闹钟走得要快一些。这天中午12 点时，小华把手表和闹钟校准，但当闹钟走到
下午1 点时，手表显示的时间是1 点5 分。
当手表显示当天下午6 点半的时候，闹钟显示的时间是
点
分。
15.钟敏家有一个闹钟，每小时比标准时间快2 分钟。星期天早晨7 点整时，钟敏对准了闹钟，然后定
上铃，想让闹钟在11 点30 分闹铃，提醒她帮助妈妈做饭。钟敏应当将闹钟的铃定在
点
分。
16
≈
第4 讲
第4 讲
第4 讲
第4 讲
第4 讲
第4 讲
第4 讲
第4 讲
第4 讲
第4 讲
第4 讲
第4 讲
第4 讲
第4 讲
第4 讲
第4 讲
第4 讲
长方体与正方
长方体与正方
长方体与正方
长方体与正方
长方体与正方
长方体与正方
长方体与正方
长方体与正方
长方体与正方
长方体与正方
长方体与正方
长方体与正方
长方体与正方
长方体与正方
长方体与正方
长方体与正方
长方体与正方
体初步
体初步
体初步
体初步
体初步
体初步
体初步
体初步
体初步
体初步
体初步
体初步
体初步
体初步
体初步
体初步
体初步
17
1. 下图几何体有
个面，
条棱。
2. 长方体有
个面，有
条棱，有
个顶点。其中面积相等的面至少有
个，最多有
个。（不包括正方体）
3. 求下面图形的棱长和、表面积和体积。
（1）
（2）
18
4. 一个长方体玻璃鱼缸（鱼缸的上面没有玻璃），长5 分米，宽3 分米，高3.5 分米。制作这个鱼缸至
少需要多少平方分米的玻璃？
5. 在一个长20 米、宽8 米、深1.6 米的长方形游泳池的四壁及地面贴瓷砖，瓷砖是边长为0.2 米的正
方形，共需瓷砖
块。
6. 用一根36 分米长的铁丝做一个长和宽都是4 分米的长方体框架，它的高是
分米。
19
7. 若一个长方体，长是宽的2 倍，宽是高的2 倍，所有棱长之和是28，则此长方体的表面积是
。
8. 如图所示，将4 块棱长为1 厘米的正方体木块排成一排，拼成一个长方体。那么拼合后这个长方体
的表面积，比原来4 个正方体的表面积之和少了
平方厘米。
9. 一个长2 米的长方体钢材截成三段，表面积比原来增加2.4 平方米，这根钢材原来的体积是
立方米。
10.如图，在一个棱长为10 的立方体上截去一个长为8，宽为3，高为2 的小长方体，那么新的几何体的
表面积是
。
20
11.用棱长是1 厘米的立方块拼成如图所示的立体图形，则该图形的表面积是
平方厘米。
12.下图是由棱长为1 厘米的小正方体堆叠成的立体图形，则它的表面积是
平方厘米。
13.一块不规则的铁块浸没到底面积是48cm2 的长方体玻璃缸中，水面上升了0.5cm（水未溢出），这块
铁块的体积是
cm3。
21
14.如图所示，玻璃缸中石块沉入前水面的高度是6cm；石块沉入水中后，水面升高4cm。这块石头的体
积是多少立方厘米？
15.—长方体容器的底面是一个边长60 厘米的正方形，容器里直立着一个高1 米，底面边长15 厘米的
长方体铁块，这时容器里的水深0.5 米，如果把铁块取出，容器里水深
厘米。
22
≈
第5 讲
第5 讲
第5 讲
第5 讲
第5 讲
第5 讲
第5 讲
第5 讲
第5 讲
第5 讲
第5 讲
第5 讲
第5 讲
第5 讲
第5 讲
第5 讲
第5 讲
比例法解决
比例法解决
比例法解决
比例法解决
比例法解决
比例法解决
比例法解决
比例法解决
比例法解决
比例法解决
比例法解决
比例法解决
比例法解决
比例法解决
比例法解决
比例法解决
比例法解决
图形问题（四）
图形问题（四）
图形问题（四）
图形问题（四）
图形问题（四）
图形问题（四）
图形问题（四）
图形问题（四）
图形问题（四）
图形问题（四）
图形问题（四）
图形问题（四）
图形问题（四）
图形问题（四）
图形问题（四）
图形问题（四）
图形问题（四）
23
1. 如图，BE : EC = 5 : 2，S△ABD = 35，那么S△ACD =
。
2. 已知三角形ABC 中，BD = 10，BC = 14，则S△ABE
S△ACE
=
。
3. 如图，三角形AOC，三角形COD，三角形BOD 的面积都为6，那么AE : BE =
，S△ABC =
，S△BOE =
。
4. 如图，三角形ABC 中，AF : FB = 5 : 3，AE : EC = 1 : 1，那么BD : DC =
:
。
24
5. 如图，三角形ABC 中，BD : DC = 2 : 3，AF : FB = 3 : 2，则AE : EC 为
:
。
6. 如图，三角形ABC 中，BD : DC = 4 : 9，CE : EA = 4 : 3，若AF : FB 化为最简整数比后为a : b，那么
2a+3b =
。
7. 如图所示，在△ABC 中，BE : EC = 3 : 1，D 是AE 的中点，那么AF : FC =
。
8. 如图所示，在△ABC 中，CP = 1
2CB，CQ = 1
3CA，BQ 与AP 相交于点X，若△ABC 的面积为6，则
△ABX 的面积等于
。
25
9. 如图，已知BD : CD = 2 : 1，CE : AE = 1 : 1，BF : AF = 2 : 1，那么：
S△ABO : S△ACO =
；S△AEO : S△BDO =
。
10.如图，在△ABC 中，BD : DC = 3 : 2，AE : EC = 3 : 1，那么OB : OE =
。
11.如图，三角形ABC 的面积是12，E 是AC 的中点，点D 在BC 上，且BD : DC = 1 : 2，AD 与BE 交于
点F。则四边形DFEC 的面积等于
。
12.如图，长方形ABCD 的面积是24 平方厘米，EC = 2DE，G 为BC 的中点，F 是DG 的中点。阴影部
分的面积是
平方厘米。
26
13.如图，△ABC 被分成了六部分，已知2BD = DC，EC = 2AE，△AFO 的面积为3 平方厘米，则其它5
部分的面积各是多少？
14.如图，在△ABC 中，DC
DB = EA
EC = FB
FA = 1
3，那么S△GHI
S△ABC
的值为
/
。（先填分子，再
填分母）
15.如图，在三角形ABC 中，F 是AB 上的四等分点，E 是AC 上的三等分点，D 是BC 的中点，CF 交
BE 于点P，AD 交CF 于点Q，BE 交AD 于点R。那么△PQR 的面积与△ABC 的面积之比是
:
。
27
≈
第6 讲
第6 讲
第6 讲
第6 讲
第6 讲
第6 讲
第6 讲
第6 讲
第6 讲
第6 讲
第6 讲
第6 讲
第6 讲
第6 讲
第6 讲
第6 讲
第6 讲
三角形数表
三角形数表
三角形数表
三角形数表
三角形数表
三角形数表
三角形数表
三角形数表
三角形数表
三角形数表
三角形数表
三角形数表
三角形数表
三角形数表
三角形数表
三角形数表
三角形数表
28
1. 判断：下面的数表属于三角形数表吗？（ ）
A. 属于
B. 不属于
2. 如图，根据下图中数字的排列规律，可知“?”所代表的数是
。
3. 计算数墙，除了最下层的数，每个数都等于它下面相邻两个数的和。请选出问号里的数。（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 0
29
4. 以下三角形数表的规则是每一个数表示的是从1 开始连续有限个自然数在第一行，从第二行开始的
每一个数表示的是它正上方相邻两个数的和，则“？”处表示的数是
，按此规律直到一行只
有一个数时，一共有
行，这个数是
。
5. 如图，在□里填上符合规律的数
、
、
、
。
6. 数表中给出的数表就是有名的杨辉三角。
（1）请你补充杨辉三角的第7 行。
（2）杨辉三角第11 行第3 个数（从左往右数）是
。
30
7. 下面的数表中给出的是有名的杨辉三角，请根据下图回答下列问题.
1
1
1
1
2
1
1
3
3
1
1
4
6
4
1
1
5
10
10
5
1
从上往下数，第10 行中左起第三个数是
.
8. 将方框中的数补全。
9. 自然数按一定规律排成下表，则第7 行的左起第4 个数是
。
31
10.如图，从1 开始的自然数按某种方式排列起来，则：
第15 行左起15 个数是
。
11.从1 开始的自然数按某种方式排列起来，那么第25 行左起第5 个数是
。
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
···
12.如图，从1 开始的自然数按某种方式排列起来，那么40 这个数按照从上到下、从左到右的顺序数，
在第
行第
个。
13.如图，从1 开始的自然数按某种方式排列起来，那么59 这个数按照从上到下、从左到右的顺序数，
在第
行第
个。
32
14.将奇数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表，根据这个排列规则，数表中第10 行从左到右的
第1 个数是
。
15.有一串数（如下图），其中第100 行的第四个数是
。
33
参考答案
第1 讲
新运算的探索
1. 0.55
2. 8.4
9.375
3. 81
77
4. 27
53
5. 2 3
14
6. 41
7. 14
8. 8
9. 13
10. 3
5
1
2
13
6
11.（1）6
（2）11
12
34
12. 2006
13. 11
6
25
12
14. 1
32
15. 289
35
第2 讲
圆与扇形初步
1. 7
3.5
14
7
2. 20
62.8
314
3. 5
31.4
78.5
4. 7
3.5
38.465
5. 8
4
50.24
6. 2
3
7. 414
75
814
75
8. 12.28
9.42
9. 28.99
49.455
10. 6
18.28
11. C
35
12. 45
13. 6.88平方厘米
14. 23.55平方厘米
15. 7.065
第3 讲
时钟问题
1. 120
2. 142.5
3. 10
4. 15
5. 16 4
11
6. 16 4
11
7.（1）65 5
11
（2）2
1010
11
8. 18 6
13
9. 13
13
11
10. D
36
11. 720
13
12. 40
13. 4
14. 6
0
15. 11
39
第4 讲
长方体与正方体初步
1. 9
21
2. 6
12
8
2
4
3.（1）68cm
184cm2
160cm3
（2）72cm
216cm2
216cm3
4. 71
5. 6240
6. 1
7. 28
8. 6
9. 1.2
37
10. 600
11. 46
12. 30
13. 24
14. 2400
15. 46.875
第5 讲
比例法解决图形问题（四）
1. 14
2. 5
2
3. 1 : 2
24
4
4. 3
5
5. 1
1
6. 102
7. 3 : 4
8. 2.4
9. 2 : 1
3 : 8
38
10. 2 : 1
11. 5
12. 5
13. S△BFO = 3 平方厘米，S△AEO = S△BDO = 4 平方厘米，S△CDO = S△CEO = 8 平方厘米
14. 4
13
15. 25
252
第6 讲
三角形数表
1. B
2. 34
3. D
4. 28
6
112
5. 4
4
10
10
6.（1）
（2）45
7. 36
39
8. 20
24
9. 25
10. 120
11. 305
12. 9
4
13. 11
4
14. 91
15. 9904
17220090936537
