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专题 11 圆的综合问题
类型一、切线问题
例．如图，在 中，点A是边BE上一点，以AB为直径的 与CE相切于点D， ，点F为
OC与 的交点．
(1)求证：CB是 的切线；
(2)连接DB与OC交于点G， ， ，求阴影部分面积．
【答案】(1)证明见解析；(2)
【解析】(1)连接OD，则OD=OA，∴∠DAO=∠ADO，
， ， ，
∵在△COD和△COB中， ， ，∴∠CBO=∠CDO，
∵CD是切线，∴OD⊥CD，∴∠CBO=∠CDO=90°，∴CB是 的切线；
(2)∵CD、CB都是圆O的切线，∴CD=CB，OC垂直平分DB，
设圆O的半径为r，则OD=r，OG=OF-FG=r-2，
∵OD2=OG2+DG2，∴ ，解得r=4，
∴OG=2，∴∠ODG=30°，∴∠COD=60°，∠DOB=2∠COD=120°，
∵ ，∴ ，∴ ，
∵S CDOB ，
四边形
S DOB ，
扇形
∴S = S CDOB- S DOB= ．
阴影 四边形 扇形
【变式训练1】如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，P为AB延长线上一点，∠BCP＝∠BAC，∠ACB的平
分线交⊙O于点D，交AB于点E，
(1)求证：PC是⊙O的切线；
(2)若AC＋BC＝2时，求CD的长．
【答案】(1)见解析；(2)
【解析】(1)连接OC，
∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACO+∠OCB=90°，
∵OA=OC，∴∠BAC=∠ACO，
∵∠BCP＝∠BAC，∴∠BCP=∠ACO∴∠BCP +∠OCB=90°，即∠OCP=90°，∴PC是⊙O的切线；
(2)连接BD，作 ，垂足为M，N，
∵CD平分 ， ， ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ ，∴四边形 为矩形，
∵ ，∴矩形 为正方形，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【变式训练2】如图，线段AB经过 的圆心O，交圆O于点A，C， ，AD为 的弦，连接BD，
，连接DO并延长交 于点E，连接BE交 于点M．
(1)求证：直线BD是 的切线；
(2)求线段BM的长．
【答案】(1)见解析；(2)【解析】(1)证明：∵∠BOD=2∠BAD，∴ ，
又∵ ，∴ ，即 ，
又∵ 为 的半径，∴直线BD是 的切线；
(2)解：如图，连接DM，
Rt△BOD中， ，∴ ，
又 ， ，∴ ，∴ ，
∵ 的直径，∴ ， ，
在Rt△BDE中， ，∵ ，∴ ，
在Rt△BDM中， ．
【变式训练3】如图，在平行四边形 中， 是对角线， ，以点 为圆心，以 的长
为半径作 ，交 边于点 ，交 于点 ，连接 ．
(1)求证： 与 相切；
(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析；(2) ．
【解析】(1)解：连接AE，∵平行四边形 ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
在 和 中， ∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∵AE是 的半径，∴ 与 相切；
(2)连接EF，作EG⊥AC，
由（1）可知 ，∴ ，
∵ ， ，∴ ，
又∵ ，∴ 是等边三角形，
∴ ， ∴ ，
∵EG⊥AC，∴ ，∴ ，∴ ，
在 中， ．
【变式训练4】如图，四边形ABCO是菱形，点D在边AB上，以O为圆心、OD为半径的圆切AB于点
D．(1)试判断直线BC与 的位置关系，并说明理由；
(2)若 ，且点D是AB的中点，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1) 与 相切，理由见解析(2)
【解析】(1)解：直线BC与⊙O相切．
理由是：如图，过点O作OE⊥BC，垂足为点E．
∵⊙O与边AB相切于点D，∴OD⊥AB．∴∠ODA=∠OEC=90°，
∵四边形ABCO是菱形，∴∠A=∠C，OA=OC，
∴△OAD≌△OCE（AAS），∴OD=OE，∴OE是⊙O的半径．∴直线BC与⊙O相切．
(2)解：如图：标出四边形与圆的交点 ，由已知可得，在Rt△OAD中，OA=AB=2，AD= ，
∴由勾股定理可得OD= ，
∴ ，
∵AD= ，∴∠AOD=30°，∴∠A=60°，∠AOC=120°，
∴ ，
∴阴影部分的面积= ．
类型二、圆的面积问题
例．已知，在半圆 中，直径 ，点 ， 在半圆 上运动，（点 ， 可以与 ， 两点重合），
弦 ．
(1)如图1，当 时，直接写出图中标注顶点的所有全等三角形；
(2)如图2，若 时，求图中阴影部分（弦AD、直径AB、弧BD围成的（图形）的面积；
(3)如图3，取CD的中点 ，点 从点 开始运动到点 与点 重合时结束，在整个运动过程中：
①点M到AB的距离的最小值是______；②直接写出点M的运动路径长______．
【答案】(1) ； ；(2) ；(3)① ，②
【解析】(1)证明：∵ ，∴∠CAD=∠DBC，
∵∠DAB=∠CBA，∴AC=BD，∠CAD+∠DAB=∠DBC+∠CBA，即∠CAB=∠DBA，
在 CAB和 DBA中， ，∴ CAB≌ DBA（SAS）；
△ △ △ △
∵∠DAB=∠CBA，∠DAB=∠DCB，∠CBA=∠CDA，∴∠CDA=∠DCB，
在 CAD和 DBC中， ，∴ CAD≌ DBC（AAS）；
△ △ △ △
(2)解：过 作 于 ，如图：
∵半圆O中，直径 ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，
， ，∴ ；
答：阴影部分面积是 ；
(3)① ，② ，
解：①连接OC、OD、OM，过M作ME⊥AB于E，如图：∵直径AB=6，弦CD=3，∴OC=OD=CD=3，
∴ COD是等边三角形，
△
∵M是CD的中点，∴CM = ，OM⊥CD，
∴OM= ，∴ME= ， ∴当OE最大时，ME最小，
而当C与A重合（或D与B重合）时，OE最大，如图：
∵ COD是等边三角形，M是CD的中点，∴∠MOC=30°，∴ME= ，
△
即点M到AB的距离的最小值是 ，故答案为： ；
②如图，
由①知：OM ，M的轨迹是以O为圆心， 为半径的弧，
当C与A重合时，∠AOM=30°，同理，当D与B重合时，∠BOM '=30°，∴∠MOM '=120°，
∴点M的运动路径长为 ，故答案为： ．
【变式训练1】如图，AB为 的直径，点E在弦AC的延长线上，过点E作 ，ED与 相切于
点D．
(1)求证：AD平分 ．
(2)若 ， ，求CE和DE的长．
【答案】(1)见解析；(2) ，
【解析】(1)证明：如图，连接OD．
∵ED与 相切于点D，∴ ．
∵ ，∴ ，∴ ．
∵ ，∴ ，∴ ，即AD平分 ．
(2)如图，连接BC交OD于点G．
∵AB为 的直径，∴ ．
又∵ ，∴ ，∴ ，
∴G为BC的中点，∴ ．∵ ， ，∴ ，
∵点O点G分别为AB、BC的中点，∴ ， ，∴ ，
∵ ， ， ，∴四边形CEDG是矩形，
∴ ， ．
【变式训练2】小颖复习尺规作图时， 进行如下操作（如图）：
①以点B为圆心，适当长为半径画弧，交BA于点Q，交BC于点P，再分别以点P，Q为圆心，大于
的长为半径画弧，两弧交于点H，作射线BH；
②以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AB于点M，交AC于点N，再分别以点M，N为圆心，大于
的长为半径画弧，两弧交于点G，作射线AG交射线BH于点O；
③作射线CO交AB于点D，且 ，以点O为圆心，OD为半径作 ，交AC于点E，交BC于
点F，构成如图所示的阴影部分．
(1)求证： 是等腰直角三角形；
(2)若 ，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)证明过程见解析；(2)
【解析】(1)证明：由题意尺规作图知， 、 分别是 和 的角平分线，
点 是 的内心， 平分 ， ，
， ，
在 和 中， ， ，， 是等腰三角形，
又 ， 是等腰直角三角形．
(2)连接 ， ，如图所示，
由（1）得点 是 的内心，且 ， 是 的半径，
为 的内切圆， ， ， 均与 相切，
， ，且 ， ， ， ，
， 四边形 是正方形， ，
设 得半径为 ，由（1）知 是等腰直角三角形，
， ，
， ，
， ，解得 ， ，
又 ， ，
图中阴影部分的面积为 ．
【变式训练3】如图， 是 的直径，点C在 上， ，点D是 的中点，连结 ，
交于点E，连结 ．(1)求 的度数．(2)求证： ．(3)若 ，求 的面积．
【答案】(1)22.5°；(2)证明见解析；(3)
【解析】(1)解：如下图所示，连接OD．
∵ ，∴OC⊥AB．∴∠BOC=90°．
∵点D是 的中点，∴ ．∴ ．
∵OA=OB，∴OC垂直平分AB．∴AE=BE．∴∠EBA=∠EAB=22.5°．
(2)证明：∵AB是 的直径，
∴∠ADB=90°．∴ ．
∵∠EAB=22.5°，∴∠DBA=180°-∠ADB-∠EAB=67.5°．
∵∠EBA=22.5°，∴∠DBE=∠DBA-∠EBA=45°．
∴∠DEB=180°-∠ADB-∠DBE=45°．∴∠DBE=∠DEB．∴BD=DE．
∴ ．∴ ．∴ ．
(3)解：∵DE=1，∴BD=DE=1．
∴ ．∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．∴ ．
