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目录
Contents
第9 讲
运算能力课——乘法公式综合
1
模块一
公式回顾····················································4
模块二
配方法·······················································6
随堂练习······························································10
第10 讲
【真题易错】乘法公式综合
15
第11 讲
运算能力课——复杂乘法公式
19
模块一
完全平方公式-三元·····································22
模块二
立方和差公式·············································24
模块三
二项展开式················································26
随堂练习······························································28
第12 讲
【真题易错】复杂乘法公式
33
第13 讲
模型观念课——平行线的构造
37
模块一
猪蹄模型和铅笔模型······································40
模块二
大脚模型和骨折模型······································44
模块三
平行线构造综合············································48
随堂练习································································50
第14 讲
【真题易错】平行线的构造
55
第15 讲
几何直观课——平行线综合
59
模块一
平行线与角平分线综合···································62
模块二
与平行线有关的动态问题································65
随堂练习································································69
第16 讲
【真题易错】平行线综合
73
讲
第9
运算能力课——乘法公式
综合
模块一
公式回顾
模块二
配方法
第
9
讲
乘
法
公
式
综
合
2
本讲概况
学习目标
1. 核心课：回顾平方差公式和完全平方公式，加强对完全平方公式的恒等变形的练习，掌
握配方法的技巧和利用配方法求值与求最值的方法.
2. 真题易错课：深入练习完全平方公式的恒等变形和配方法.
3. 练习并掌握核心课和真题易错课的11 种题型.
学习向导
模块
知识模型
难度
对应例题
对应随堂练习
公式回顾
公式辨析
★★★
例1
随堂练习1
利用公式化简求值
★★★★
例2
完全平方公式恒等变形
★★★★
例3
随堂练习2、3
配方法
一元配方
★★★
例4
二元配方求值
★★★★
例5
随堂练习4
一元配方求最值
★★★★
例6
随堂练习5
二元配方求最值
★★★★★
例7
第
9
讲
乘
法
公
式
综
合
3
知识引入
第
9
讲
乘
法
公
式
综
合
4
模块一
公式回顾
知识梳理
高频重点
乘法公式
1. 平方差公式：(𝑎+𝑏)(𝑎−𝑏) = 𝑎2 −𝑏2．
2. 完全平方公式：(𝑎+𝑏)2 = 𝑎2 +2𝑎𝑏+𝑏2 ，(𝑎−𝑏)2 = 𝑎2 −2𝑎𝑏+𝑏2．
3. 完全平方公式及其恒等变形
由公式(𝑎±𝑏)2 = 𝑎2 ±2𝑎𝑏+𝑏2 可推出以下公式变形：
①(𝑎+𝑏)2 = (𝑎−𝑏)2 +4𝑎𝑏；
②(𝑎−𝑏)2 = (𝑎+𝑏)2 −4𝑎𝑏；
③𝑎2 +𝑏2= (𝑎+𝑏)2 −2𝑎𝑏= (𝑎−𝑏)2 +2𝑎𝑏= (𝑎+𝑏)2 +(𝑎−𝑏)2
2
；
④𝑎𝑏= (𝑎+𝑏)2 −(𝑎2 +𝑏2)
2
= (𝑎−𝑏)2 −(𝑎2 +𝑏2)
−2
= (𝑎+𝑏)2 −(𝑎−𝑏)2
4
.
精讲精练
知识模型
公式辨析
典型例题1
下列乘法公式运用正确的是（ ）．
A. (−𝑚+1)(−𝑚−1) = 𝑚2 −1
B. (𝑎+𝑏)(𝑏−𝑎) = 𝑎2 −𝑏2
C. (2𝑥−1)2 = 2𝑥2 +4𝑥−1
D. (𝑎+1)2 = 𝑎2 +1
第
9
讲
乘
法
公
式
综
合
5
知识模型
利用公式化简求值
典型例题2
化简求值：[(𝑥+2𝑦)2 +(3𝑥+𝑦)(𝑦−3𝑥)−5𝑦2]÷(2𝑥)，其中𝑥= −2，𝑦= 1
2．
知识模型
完全平方公式恒等变形
典型例题3
（1）已知𝑎−𝑏= 3，𝑎𝑏= 2，则𝑎2 −𝑎𝑏+𝑏2 的值为（ ）．
A. 11
B. 13
C. 9
D. 8
（2）若𝑘满足(2024−𝑘)2 +(𝑘−2025)2 = 2，则(2024−𝑘)⋅(𝑘−2025) =
．
是时候展示真正的实力了，来挑战真题易错-进阶拓展1，2
学长不会做
我是谁？我在哪？让我算啥？
第
9
讲
乘
法
公
式
综
合
6
模块二
配方法
知识梳理
配方法
1. 配方法的定义：配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全
平方式或几个完全平方式的和或差的方法．
举个例子
（1）将𝑏2 −4𝑏+5 配方：
𝑏2 −4𝑏+5 = 𝑏2 −4𝑏+4+1 = (𝑏−2)2 +1．
（2）将−2𝑏2 +4𝑏+5 配方：
−2𝑏2 +4𝑏+5 = −2(𝑏2 −2𝑏)+5= −2(𝑏2 −2𝑏+1−1)+5 = −2(𝑏−1)2 +7．
2. 配方法的应用——最值问题：
（1）对于多项式(𝑏−2)2 +1，当𝑏= 2 时，存在最小值1．
（2）对于多项式−2(𝑏−1)2 +7，当𝑏= 1 时，存在最大值7．
第
9
讲
乘
法
公
式
综
合
7
精讲精练
知识模型
一元配方
典型例题4
把𝑦= −1
4𝑥2 −𝑥+3 用配方法化成𝑦= 𝑎(𝑥−ℎ)2 +𝑘的形式为（ ）．
A. 𝑦= −1
4(𝑥−2)2 +2
B. 𝑦= 1
4(𝑥−2)2 +4
C. 𝑦= −1
4(𝑥+2)2 +4
D. 𝑦= (1
2𝑥−1
2)
2
+3
知识模型
二元配方求值
典型例题5
先阅读下面的内容，再解决问题．
例题：若𝑚2 +2𝑚𝑛+2𝑛2 −6𝑛+9 = 0，求𝑚和𝑛的值．
解：因为𝑚2 +2𝑚𝑛+2𝑛2 −6𝑛+9 = 0，
所以𝑚2 +2𝑚𝑛+𝑛2 +𝑛2 −6𝑛+9 = 0．
所以(𝑚+𝑛)2 +(𝑛−3)2 = 0．
所以𝑚+𝑛= 0，𝑛−3 = 0．
所以𝑚= −3，𝑛= 3．
问题：
（1）若𝑥2 +2𝑥𝑦+5𝑦2 +4𝑦+1 = 0，求𝑥𝑦的值；
（2）已知𝑎，𝑏，𝑐是等腰△𝐴𝐵𝐶的三边长，且𝑎，𝑏满足𝑎2 +𝑏2 = 10𝑎+8𝑏−41，求△𝐴𝐵𝐶
的周长．
刷新你的认知，来看真题易错-进阶拓展3
第
9
讲
乘
法
公
式
综
合
8
知识模型
一元配方求最值
典型例题6
上数学课时，王老师在讲完乘法公式(𝑎±𝑏)2 = 𝑎2 ±2𝑎𝑏+𝑏2 的多种运用后，要求同学们
运用所学的知识解答：求代数式𝑥2 +4𝑥+5 的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结
出如下解答方法：
解：𝑥2 +4𝑥+5 = 𝑥2 +4𝑥+4+1 = (𝑥+2)2 +1，
∵(𝑥+2)2 ⩾0，
∴当𝑥= −2 时，(𝑥+2)2 的值最小，最小值是0，
∴(𝑥+2)2 +1 ⩾1，
∴当(𝑥+2)2 = 0 时，(𝑥+2)2 +1 的值最小，最小值是1，
∴𝑥2 +4𝑥+5 的最小值是1．
请你根据上述方法，解答下列各题：
（1）当𝑥=
时，代数式𝑥2 −6𝑥+12 的最小值是
．
（2）若𝑦= −𝑥2 +2𝑥−3，当𝑥=
时，𝑦有最
值（填“大”或“小”），
这个值是
．
（3）若−𝑥2 +3𝑥+𝑦+5 = 0，求𝑦+𝑥的最小值．
是时候展示真正的实力了，来挑战真题易错-进阶拓展4
知识模型
二元配方求最值
典型例题7
已知𝐴为多项式，且𝐴= −2𝑥2 −𝑦2 +12𝑥+4𝑦+1，则𝐴有（ ）．
A. 最大值23
B. 最小值23
C. 最大值−23
D. 最小值−23
第
9
讲
乘
法
公
式
综
合
9
课后总结
第
9
讲
乘
法
公
式
综
合
10
随堂练习1
下列运算正确的是（ ）．
A. (𝑎−1
2)
2
= 𝑎2 −1
4
B. (𝑎+3)(𝑎−3) = 𝑎2 −9
C. −2(3𝑎+1) = −6𝑎−1
D. (𝑎+𝑏)(𝑎−2𝑏) = 𝑎2 −2𝑏2
随堂练习2
已知𝑎−𝑏= 3，𝑎𝑏= 2，求：
（1）(𝑎+𝑏)2 =
．
（2）𝑎2 −6𝑎𝑏+𝑏2 的值．
随堂练习3
若(8−3𝑥)(10−3𝑥) = 12，则(8−3𝑥)2 +(3𝑥−10)2 =
．
第
9
讲
乘
法
公
式
综
合
11
随堂练习4
若代数式𝑥2 +𝑦2 −14𝑥+2𝑦+50 的值为0，则𝑥+𝑦=
．
随堂练习5
对于代数式：𝑥2 −2𝑥+2，下列说法正确的是（ ）．
A. 有最大值1
B. 有最小值1
C. 有最小值2
D. 无法确定最大最小值
第
9
讲
乘
法
公
式
综
合
12
思维游戏
圣诞老人
5 个圣诞老人约好周末参加一次圣诞聚会。他们都不是在同
一个时间到达约会地点的：A 不是第一个到达约会地点；B 紧跟在
A 的后面到达约会地点；C 既不是第一个也不是最后一个到达约会
地点的；D 不是第二个到达约会地点；E 在D 之后，第二个到达约
会地点。
你知道他们到达约会地点的先后顺序吗？
先后顺序是：D、E、C、A、B
讲
第
10
【真题易错】乘法公式综合
第
10
讲
︻
真
题
易
错
︼
乘
法
公
式
综
合
16
进阶拓展1
频率：较高
已知𝑥= 3𝑦+5，且𝑥2 −7𝑥𝑦+9𝑦2 = 24，则𝑥2𝑦−3𝑥𝑦2 的值为（ ）．
A. 0
B. 1
C. 5
D. 12
进阶拓展2
频率：高
设𝑎= 𝑥−2017，𝑏= 𝑥−2019，𝑐= 𝑥−2018．若𝑎2 +𝑏2 = 34，则𝑐2 的值是（ ）．
A. 16
B. 12
C. 8
D. 4
睛
点
法
方
由公式(𝑎±𝑏)2 = 𝑎2 ±2𝑎𝑏+𝑏2 可推出以下公式变形：
①(𝑎+𝑏)2 = (𝑎−𝑏)2 +4𝑎𝑏；
②(𝑎−𝑏)2 = (𝑎+𝑏)2 −4𝑎𝑏；
③𝑎2 +𝑏2= (𝑎+𝑏)2 −2𝑎𝑏= (𝑎−𝑏)2 +2𝑎𝑏= (𝑎+𝑏)2 +(𝑎−𝑏)2
2
；
④𝑎𝑏= (𝑎+𝑏)2 −(𝑎2 +𝑏2)
2
= (𝑎−𝑏)2 −(𝑎2 +𝑏2)
−2
= (𝑎+𝑏)2 −(𝑎−𝑏)2
4
.
第
10
讲
︻
真
题
易
错
︼
乘
法
公
式
综
合
17
进阶拓展3
频率：较高
已知𝑎，𝑏，𝑐满足𝑎2 +6𝑏= 7，𝑏2 −2𝑐= −1，𝑐2 −2𝑎= −17，则𝑎−𝑏+𝑐的值为（ ）．
A. −1
B. 5
C. 6
D. −7
睛
点
法
方
将三个等式相加进行配方求解.
进阶拓展4
频率：高
若𝑥−1 = 𝑦+1
2
= 𝑧−2
3 ，则𝑥2 +𝑦2 +𝑧2 可取得的最小值为（ ）.
A. 3
B. 59
14
C. 9
2
D. 6
睛
点
法
方
可以利用“等比设参”的方法消元，配方求解最值.
讲
第
11
运算能力课——复杂乘法
公式
模块一
完全平方公式-三元
模块二
立方和差公式
模块三
二项展开式
第
11
讲
复
杂
乘
法
公
式
20
本讲概况
学习目标
1. 核心课：学习并掌握三元完全平方公式、三个完全平方式的和公式、立方和公式、立方
差公式及其变形，了解二项展开式的规律.
2. 真题易错课：探究并掌握高次式恒等变形求值的方法.
3. 练习并掌握核心课和真题易错课的8 种题型.
学习向导
模块
知识模型
难度
对应例题
对应随堂练习
完全平方公
式- 三元
三元完全平方公式
★★★
例1
随堂练习1
三元完全平方公式的恒等变形
★★★★
例2
三个完全平方式的和公式的
恒等变形
★★★★
例3
随堂练习2
立方和差
公式
立方和公式与立方差公式
★★★
例4
随堂练习3
立方和公式的恒等变形
★★★★
例5
随堂练习4
二项展开式
二项展开式
★★★★
例6
第
11
讲
复
杂
乘
法
公
式
21
知识引入
根据下图两个图形的体积的相等，你能得到一个关于𝑎,𝑏的等式吗？
第
11
讲
复
杂
乘
法
公
式
22
模块一
完全平方公式-三元
知识梳理
三元完全平方公式
1. 公式：(𝑎+𝑏+𝑐)2 = 𝑎2 +𝑏2 +𝑐2 +2𝑎𝑏+2𝑏𝑐+2𝑎𝑐.
2. 几何证明：
3. 常见变形：𝑎𝑏+𝑏𝑐+𝑎𝑐= (𝑎+𝑏+𝑐)2 −(𝑎2 +𝑏2 +𝑐2)
2
.
精讲精练
知识模型
三元完全平方公式
典型例题1
（1）计算：(2𝑥−𝑦−1
2𝑧)
2
．
（2）计算：(𝑎−2𝑏−𝑐)(2𝑏+𝑐−𝑎)．
第
11
讲
复
杂
乘
法
公
式
23
知识模型
三元完全平方公式的恒等变形
典型例题2
设𝑎，𝑏，𝑐满足𝑎2 +𝑏2 +𝑐2 = 1，若𝑎+𝑏−𝑐= 0，则𝑎𝑏−𝑏𝑐−𝑐𝑎=
．
知识梳理
三个完全平方式的和公式
(𝑎+𝑏)2 +(𝑏+𝑐)2 +(𝑐+𝑎)2 = 2𝑎2 +2𝑏2 +2𝑐2 +2𝑎𝑏+2𝑏𝑐+2𝑎𝑐
(𝑎−𝑏)2 +(𝑏−𝑐)2 +(𝑐−𝑎)2 = 2𝑎2 +2𝑏2 +2𝑐2 −2𝑎𝑏−2𝑏𝑐−2𝑎𝑐
常见变形：
𝑎2 +𝑏2 +𝑐2 +𝑎𝑏+𝑏𝑐+𝑎𝑐= (𝑎+𝑏)2 +(𝑏+𝑐)2 +(𝑐+𝑎)2
2
𝑎2 +𝑏2 +𝑐2 −𝑎𝑏−𝑏𝑐−𝑎𝑐= (𝑎−𝑏)2 +(𝑏−𝑐)2 +(𝑐−𝑎)2
2
精讲精练
知识模型
三个完全平方式的和公式的恒等变形
典型例题3
已知𝑎= 2016𝑥+2015，𝑏= 2016𝑥+2016，𝑐= 2016𝑥+2017，则𝑎2 +𝑏2 +𝑐2 −𝑎𝑏−𝑏𝑐−𝑎𝑐的
值是
．
学姐不会做
这道题让我和我的小伙伴都
惊呆了！
第
11
讲
复
杂
乘
法
公
式
24
模块二
立方和差公式
知识梳理
立方和、差公式
立方和公式：(𝑎+𝑏)(𝑎2 −𝑎𝑏+𝑏2) = 𝑎3 +𝑏3；
立方差公式：(𝑎−𝑏)(𝑎2 +𝑎𝑏+𝑏2) = 𝑎3 −𝑏3.
例如：(2𝑎−3𝑏)(4𝑎2 +6𝑎𝑏+9𝑏2) = 8𝑎3 −27𝑏3.
精讲精练
知识模型
立方和公式与立方差公式
典型例题4
（1）(𝑎
2 + 𝑏
3)(1
4𝑎2 −1
6𝑎𝑏+ 1
9𝑏2)．
（2）(𝑎−𝑏)(𝑎2 +𝑎𝑏+𝑏2)(𝑎6 +𝑎3𝑏3 +𝑏6) =
．
第
11
讲
复
杂
乘
法
公
式
25
知识模型
立方和公式的恒等变形
典型例题5
若𝑎+𝑏= 3，𝑎𝑏= −1，则𝑎3 +𝑏3 的值是（ ）.
A. 24
B. 36
C. 27
D. 30
是时候展示真正的实力了，来挑战真题易错-进阶拓展2
融会贯通1
若𝑥2 −4𝑥+1 = 0(𝑥≠0)，则𝑥+ 1
𝑥=
，𝑥2 + 1
𝑥2 =
，𝑥3 + 1
𝑥3 =
．
第
11
讲
复
杂
乘
法
公
式
26
模块三
二项展开式
精讲精练
知识模型
二项展开式
典型例题6
完全平方公式是同学们熟悉的公式，小玲同学在学习过完全平方公式后，通过类比学习
得到(𝑎+𝑏)𝑛(𝑛为非负整数) 的计算结果，如果将(𝑎+𝑏)𝑛(𝑛为非负整数) 的每一项按字母
𝑎的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式：
(𝑎+𝑏)0 = 1，它只有一项，系数为1；
(𝑎+𝑏)1 = 𝑎+𝑏，它有两项，系数分别为1、1；
(𝑎+𝑏)2 = 𝑎2 +2𝑎𝑏+𝑏2，它有三项，系数分别为1、2、1；
(𝑎+𝑏)3 = 𝑎3 +3𝑎2𝑏+3𝑎𝑏2 +𝑏3，它有四项，系数分别为1、3、3、1；
如果将上述每个式子的各项系数排成如图的表格，我们可以发现一些规律，聪明的你一
定也发现了，请你根据规律解答下列问题：
（1）尝试写出(𝑎+𝑏)4 的结果，并验证．
（2）请直接写出(𝑎+𝑏)5 共有
项，各项系数的和等于
．
（3）(𝑎+𝑏)𝑛(𝑛为非负整数) 共有
项，各项系数的和等于
；
(𝑎−𝑏)𝑛(𝑛为非负整数) 各项系数的和等于
．
第
11
讲
复
杂
乘
法
公
式
27
课后总结
第
11
讲
复
杂
乘
法
公
式
28
随堂练习1
计算：(𝑎−2𝑏+3𝑐)2．
随堂练习2
已知：(𝑎+2)2 +(𝑏+3)2 +(𝑐−5)2 = 0，则𝑎2 +𝑏2 +𝑐2 +𝑎𝑏+𝑏𝑐+𝑐𝑎=
．
第
11
讲
复
杂
乘
法
公
式
29
随堂练习3
计算：(𝑎−2)(𝑎2 +2𝑎+4) =
；(2𝑥−𝑦)(4𝑥2 +2𝑥𝑦+𝑦2) =
.
随堂练习4
已知：𝑥+ 1
𝑥= 6，求：
（1）𝑥2 + 1
𝑥2．
（2）𝑥3 + 1
𝑥3．
第
11
讲
复
杂
乘
法
公
式
30
思维游戏
思维算式
老师在黑板上写了1 至9 的阿拉伯数字，要求用这9 个数字
组成3 个算式，每个数字只能用一次，而且只允许用加号和乘号。
你能列出来吗？
1+7 = 8、2×3 = 6、4+5 = 9。
讲
第
12
【真题易错】复杂乘法公式
第
12
讲
︻
真
题
易
错
︼
复
杂
乘
法
公
式
34
进阶拓展1
频率：高
已知𝑥+𝑦= 10，𝑥3 +𝑦3 = 280，求𝑥2 +𝑦2 的值．
进阶拓展2
频率：高
已知𝑥+𝑦= 3,𝑥𝑦= 1，求𝑥2 +𝑦2,𝑥3 +𝑦3,𝑥4 +𝑦4,𝑥6 +𝑦6 的值.
睛
点
法
方
可以利用完全平方公式和立方和、差公式进行恒等变形求解.
第
12
讲
︻
真
题
易
错
︼
复
杂
乘
法
公
式
35
进阶拓展3
频率：较高
若𝑥，𝑦，𝑧满足𝑥+𝑦+𝑧= 1，𝑥2 +𝑦2 +𝑧2 = 2，𝑥3 +𝑦3 +𝑧3 = 11
4 ，求𝑥4 +𝑦4 +𝑧4 的值．
睛
点
法
方
可以利用公式(𝑎+𝑏+𝑐)2 = 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 + 2𝑎𝑏+ 2𝑏𝑐+ 2𝑎𝑐和𝑎3 + 𝑏3 + 𝑐3 −3𝑎𝑏𝑐=
(𝑎+𝑏+𝑐)(𝑎2 +𝑏2 +𝑐2 −𝑎𝑏−𝑏𝑐−𝑎𝑐) 进行恒等变形求解.
讲
第
13
模型观念课——平行线的
构造
模块一
猪蹄模型和铅笔模型
模块二
大脚模型和骨折模型
模块三
平行线构造综合
第
13
讲
平
行
线
的
构
造
38
本讲概况
学习目标
1. 核心课：学习过拐点作平行线的解题方法，认识猪蹄模型、铅笔模型、大脚模型和骨折
模型4 种常见模型并掌握其结论，能够快速识别模型并利用结论解题.
2. 真题易错课：拓展与角平分线相关的拐点模型中的求角度问题，深入应用过拐点作平
行线的方法.
3. 通过核心课和真题易错课，共学习四种经典模型，掌握过拐点作平行线的核心方法.
学习向导
模块
知识模型
难度
对应例题
对应随堂练习
猪蹄模型和铅笔
模型
猪蹄模型
★★★★
例1
随堂练习1
铅笔模型
★★★★
例2
随堂练习2
铅笔和猪蹄模型综合
★★★★
例3
大脚模型和骨折
模型
大脚模型和骨折模型
★★★
例4
随堂练习3-5
平行线构造综合
平行线构造综合
★★★★★
例5
第
13
讲
平
行
线
的
构
造
39
知识引入
一天，小马和小季在图书馆，小马用笔在画布上将三条平行线连了起来，小季若有所思地
提出了一个问题.
小季：小马，你知道这个图是什么吗？
小马：这是猪八戒的耙子？
小季：emmm，这是“铅笔模型”呀！
第
13
讲
平
行
线
的
构
造
40
模块一
猪蹄模型和
铅笔模型
知识梳理
平行线的构造
平行线在求角度、证明角与角的关系等题型中往往能够起到关键性的作用，若出现了一
组平行线，而未出现与这组平行线均相交的“截线”，可以过“拐点”再构造直线，使其与这
组平行线都平行，从而实现角度转换．简而言之，过拐点作已知直线的平行线．
拐点模型
如图，已知𝐴𝐵//𝐶𝐷，点𝐸为平面内一点，连接𝐵𝐸，𝐷𝐸，分别写出并证明∠𝐵，∠𝐷和∠𝐸
的关系．
1. 铅笔模型：
．
2. 猪蹄模型：
．
第
13
讲
平
行
线
的
构
造
41
精讲精练
知识模型
猪蹄模型
典型例题1
探究：
（1）如图1，若𝐴𝐵//𝐶𝐷，则∠𝐵+∠𝐷= ∠𝐸，你能说明为什么吗？
（2）如图2，𝐴𝐵//𝐶𝐷，∠𝐸+∠𝐺与∠𝐵+∠𝐹+∠𝐷又有何关系？
（3）如图3，若𝐴𝐵//𝐶𝐷，你可以总结出什么结论吗？
第
13
讲
平
行
线
的
构
造
42
融会贯通1
如图，𝐴𝐵//𝐸𝐹，𝐵𝐶⊥𝐶𝐷，则∠𝛼，∠𝛽，∠𝛾之间的关系是（ ）．
A. ∠𝛽= ∠𝛼+∠𝛾
B. ∠𝛼+∠𝛽+∠𝛾= 180∘
C. ∠𝛼+∠𝛽−∠𝛾= 90∘
D. ∠𝛽+∠𝛾−∠𝛼= 90∘
学长PK
这种题型经常考，咱们可得掌
握好.
知识模型
铅笔模型
典型例题2
（1）如图1，𝑎//𝑏，则∠1+∠2 =
．
（2）如图2，𝑎//𝑏，则∠1+∠2+∠3 =
．
第
13
讲
平
行
线
的
构
造
43
（3）如图3，𝑎//𝑏，则∠1+∠2+∠3+∠4 =
．
（4） 如图4，𝑎//𝑏，根据以上结论，试探究∠1+∠2+∠3+⋯+∠𝑛=
．
知识模型
铅笔和猪蹄模型综合
典型例题3
如图，已知𝐴𝐵//𝐶𝐷，∠𝐸𝐵𝐹= 2∠𝐴𝐵𝐸，∠𝐸𝐷𝐹= 2∠𝐶𝐷𝐸，则∠𝐸与∠𝐹之间满足的数量关
系是（ ）．
A. ∠𝐸= ∠𝐹
B. ∠𝐸+∠𝐹= 180∘
C. 3∠𝐸+∠𝐹= 360∘
D. 2∠𝐸−∠𝐹= 90∘
第
13
讲
平
行
线
的
构
造
44
模块二
大脚模型和
骨折模型
知识梳理
拐点模型
如图，已知𝐴𝐵//𝐶𝐷，点𝐸为平面内一点，连接𝐵𝐸，𝐷𝐸，分别写出并证明∠𝐵，∠𝐷和∠𝐸
的关系．
3. 大脚模型：
．
4. 骨折模型：
．
第
13
讲
平
行
线
的
构
造
45
拐点模型进阶
如图，已知直线𝑎//𝑏，则∠1，∠2，∠3 的关系是
．
方法一：过拐点作已知直线的平行线．
方法二：将图形转化成已知拐点模型．
第
13
讲
平
行
线
的
构
造
46
精讲精练
知识模型
大脚模型和骨折模型
典型例题4
下列各图中均有直线𝑚//𝑛，则能使结论∠𝐴= ∠1−∠2 成立的是（ ）．
A.
B.
C.
D.
融会贯通2
（1）如图，𝑂𝑃//𝑄𝑅//𝑆𝑇，则下列各式中正确的是（ ）．
A. ∠1+∠2+∠3 = 180∘
B. ∠1+∠2−∠3 = 90∘
C. ∠1−∠2+∠3 = 90∘
D. ∠2+∠3−∠1 = 180∘
第
13
讲
平
行
线
的
构
造
47
（2）如图，直线𝐴𝐵//𝐶𝐷，∠𝐸𝐹𝐴= 30∘，∠𝐹𝐺𝐻= 90∘，∠𝐻𝑀𝑁= 30∘，∠𝐶𝑁𝑃= 50∘，则
∠𝐺𝐻𝑀的大小是
．
真题易错中的进阶拓展1，等你来战！
第
13
讲
平
行
线
的
构
造
48
模块三
平行线构造综合
精讲精练
知识模型
平行线构造综合
典型例题5
已知𝐴𝐵//𝐶𝐷，点𝑀、𝑁分别是𝐴𝐵、𝐶𝐷上的点，点𝐺在𝐴𝐵、𝐶𝐷之间，连接𝑀𝐺、𝑁𝐺．
（1）若𝐺𝑀⊥𝐺𝑁，分别作∠𝐵𝑀𝐺和∠𝐺𝑁𝐷的平分线交于点𝐻，求∠𝑀𝐻𝑁的度数．
（2）如图2，若点𝑃是𝐶𝐷下方一点，𝑀𝑇平分∠𝐵𝑀𝑃，𝑁𝐶平分∠𝑇𝑁𝑃，已知∠𝐵𝑀𝑇=
40∘．判断以下两个结论是否正确，并证明你认为正确的结论．①∠𝑀𝑇𝑁+ ∠𝑃为定
值；②∠𝑀𝑇𝑁−∠𝑃为定值．
学姐不会做
找不到模型怎么办？过拐点作
平行线.
第
13
讲
平
行
线
的
构
造
49
课后总结
第
13
讲
平
行
线
的
构
造
50
随堂练习1
如图，𝐴𝐵//𝐶𝐷，∠𝐸= ∠𝐺= 30∘，则下列结论中正确的是（ ）．
A. ∠𝐷= ∠𝐹= ∠𝐵
B. ∠𝐵+∠𝐹+∠𝐷= 60∘
C. ∠𝐵+∠𝐹+∠𝐷= 120∘
D. 𝐺𝐷//𝐸𝐹
随堂练习2
如图，𝐴𝐵//𝐶𝐷，∠𝐸= 120∘，∠𝐹= 110∘，∠𝐴+∠𝐶的度数是（ ）．
A. 130∘
B. 230∘
C. 310∘
D. 350∘
第
13
讲
平
行
线
的
构
造
51
随堂练习3
为增强学生体质，感受中国的传统文化，某学校将国家级非物质文化遗产——“抖空竹”
引入阳光特色大课间．小聪把某同学“抖空竹”时的一个瞬间抽象成下图的数学问题：已
知𝐴𝐵//𝐶𝐷，∠𝐸𝐴𝐵= 70∘，∠𝐸𝐶𝐷= 100∘，则∠𝐸的度数是（ ）．
A. 30∘
B. 40∘
C. 60∘
D. 70∘
随堂练习4
如图，𝐴𝐵//𝐶𝐷，∠𝐴= 25∘，∠𝐶= 85∘，则∠𝐸=（ ）．
A. 55∘
B. 60∘
C. 65∘
D. 70∘
第
13
讲
平
行
线
的
构
造
52
随堂练习5
如图，𝐴𝐵//𝐶𝐷，∠𝑃= 90∘，若∠𝐴= 30∘，∠𝐸= 48∘，则∠𝐷的大小是
．
第
13
讲
平
行
线
的
构
造
53
思维游戏
轮胎如何换
有一个跑长途运输的司机要出发了。他用作运输的车是三轮
车，每个轮胎的寿命是2 万公里。现在他要进行5 万公里的长途
运输，计划用8 个轮胎就完成运输任务，怎样才能做到呢？
如果给8 个轮胎分别编号为1 ∼8 号，每5000 公里换一次轮
胎，可以用下面的组合：
123（行驶1 万公里）、124、134、234、456、567、568、578、678。
（答案不唯一，你还能找出其他组合方式吗？）
讲
第
14
【真题易错】平行线的构造
第
14
讲
︻
真
题
易
错
︼
平
行
线
的
构
造
56
进阶拓展1
频率：较高
如图，𝐴𝐵//𝐶𝐷，𝐺为𝐶𝐴延长线上一点，∠𝐺𝐴𝐵的平分线𝐴𝐸与∠𝐴𝐶𝐹的平分线𝐶𝐸交
于点𝐸，且∠𝐸= ∠𝐵𝐴𝐹= 15∘，则∠𝐹=
∘．
睛
点
法
方
图中有一个猪蹄模型和一个骨折模型.
进阶拓展2
频率：高
已知 𝐴𝐵//𝐶𝐷 ，点𝑀、𝑁分别是𝐴𝐵、𝐶𝐷上两点，点𝐺在𝐴𝐵、𝐶𝐷之间，连接𝑀𝐺、𝑁𝐺．
（1）如图1，若 𝐺𝑀⊥𝐺𝑁 ，求 ∠𝐴𝑀𝐺+∠𝐶𝑁𝐺 的度数．
第
14
讲
︻
真
题
易
错
︼
平
行
线
的
构
造
57
（2）如图2，若点𝑃是𝐶𝐷下方一点，𝑀𝐺平分 ∠𝐵𝑀𝑃 ，𝑁𝐷平分 ∠𝐺𝑁𝑃 ，已知 ∠𝐵𝑀𝐺=
30∘ ，求 ∠𝑀𝐺𝑁+∠𝑀𝑃𝑁 的度数．
（3）如图3，若点𝐸是𝐴𝐵上方一点，连接𝐸𝑀、𝐸𝑁，且𝐺𝑀的延长线𝑀𝐹平分 ∠𝐴𝑀𝐸 ，
𝑁𝐸平分 ∠𝐶𝑁𝐺 ， 2∠𝑀𝐸𝑁+∠𝑀𝐺𝑁= 120∘ ，求 ∠𝐴𝑀𝐸 的度数．
睛
点
法
方
∠𝑀𝐺𝑁可根据猪蹄模型进行角的转换，∠𝑀𝑃𝑁和∠𝑀𝐸𝑁可根据大脚模型或骨折
模型进行角的转换.
讲
第
15
几何直观课——平行线
综合
模块一
平行线与角平分线综合
模块二
与平行线有关的动态问题
第
15
讲
平
行
线
综
合
60
本讲概况
学习目标
1. 核心课：学习平行线与角平分线综合的问题，以及与平行线有关的动态问题.
2. 真题易错课：拓展与平行线有关的三角板转动问题.
3. 通过核心课和真题易错课共学习了四类平行线中的重难点题型.
学习向导
模块
知识模型
难度
对应例题
对应随堂练习
平行线与角平分
线综合
平行线与角平分线综合
★★★★
例1、2
随堂练习1、2
与平行线有关的
动态问题
与平行线有关的动点
问题
★★★★★
例3
随堂练习3
与平行线有关的动线
问题
★★★★★
例4
第
15
讲
平
行
线
综
合
61
知识引入
如果我一边滑滑板，一边出平行线动态问题，阁下将如何应对？
第
15
讲
平
行
线
综
合
62
模块一
平行线与角平分线
综合
知识梳理
平行线与角平分线综合
1. 如下图，𝐴𝐵//𝐶𝐷，𝐺𝑀平分∠𝐵𝐺𝐻，𝐻𝑁平分∠𝐺𝐻𝐷，则∠1+∠2 = 90∘.
2. 如下图，𝐴𝐵//𝐶𝐷，𝐺𝑀平分∠𝐸𝐺𝐵，𝐻𝑁平分∠𝐺𝐻𝐷，则∠1 = ∠2.
3. 如下图，𝐴𝐵//𝐶𝐷，𝐸是射线𝐴𝐵上的动点，连接𝐶𝐸，𝐶𝐺、𝐶𝐻分别平分∠𝐴𝐶𝐸和
∠𝐷𝐶𝐸，分别交射线𝐴𝐵于点𝐺、𝐻，则始终满足∠𝐺𝐶𝐻= 1
2∠𝐴𝐶𝐷且∠𝐴𝐸𝐶= 2∠𝐴𝐻𝐶.
第
15
讲
平
行
线
综
合
63
精讲精练
知识模型
平行线与角平分线综合
典型例题1
如图，已知𝐴𝑀//𝐵𝑁，∠𝐴= 60∘，点𝑃是射线𝐴𝑀上一动点(与点𝐴不重合)，𝐵𝐶、𝐵𝐷分别
平分∠𝐴𝐵𝑃和∠𝑃𝐵𝑁，分别交射线𝐴𝑀于点𝐶、𝐷．
（1）∠𝐶𝐵𝐷=
．
（2）若点𝑃运动到某处时，恰有∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐴𝐵𝐷，此时𝐴𝐵与𝐵𝐷有何位置关系？请说明
理由．
（3）在点𝑃运动的过程中，∠𝐴𝑃𝐵与∠𝐴𝐷𝐵之间的关系是否发生变化？若不变，请写出
它们的关系并说明理由；若变化，请写出变化规律．
学长PK
这题不难，静下心来好好思考
一下吧.
第
15
讲
平
行
线
综
合
64
典型例题2
如图1，直线𝑀𝑁与直线𝐴𝐵、𝐶𝐷分别交于点𝐸、𝐹，∠1 与∠2 互补．
（1）试判断直线𝐴𝐵与直线𝐶𝐷的位置关系，并说明理由．
（2）如图2，∠𝐵𝐸𝐹的平分线与∠𝐸𝐹𝐷的平分线交于点𝑃，𝐸𝑃与𝐶𝐷交于点𝐺，点𝐻是
𝑀𝑁上一点，且𝐺𝐻⊥𝐸𝐺，求证：𝑃𝐹//𝐺𝐻．
（3）如图3，在（2）的条件下，连接𝑃𝐻，𝐾是𝐺𝐻上一点使∠𝑃𝐻𝐾= ∠𝐻𝑃𝐾，作𝑃𝑄平
分∠𝐸𝑃𝐾，问∠𝐻𝑃𝑄的大小是否发生变化? 若不变，请求出其值；若变化，说明理由．
第
15
讲
平
行
线
综
合
65
模块二
与平行线有关的
动态问题
精讲精练
知识模型
与平行线有关的动点问题
典型例题3
如图1，已知两条直线𝐴𝐵，𝐶𝐷被直线𝐸𝐹所截，分别交于点𝐸，点𝐹，𝐸𝑀平分∠𝐴𝐸𝐹交
𝐶𝐷于点𝑀，且∠𝐹𝐸𝑀= ∠𝐹𝑀𝐸．
（1）猜想直线𝐴𝐵与直线𝐶𝐷有怎样的位置关系？说明你的理由．
第
15
讲
平
行
线
综
合
66
（2）若点𝐺为直线𝐶𝐷上一动点（不与点𝑀，𝐹重合），𝐸𝐻平分∠𝐹𝐸𝐺交𝐶𝐷于点𝐻，
过点𝐻作𝐻𝑁⊥𝐸𝑀于点𝑁，设∠𝐸𝐻𝑁= 𝛼，∠𝐸𝐺𝐹= 𝛽．
①如图2，当点𝐺在射线𝐹𝐷上运动时，若𝛽= 56∘，求𝛼的度数．
②当点𝐺在直线𝐶𝐷上运动时，请直接写出𝛼和𝛽的数量关系．
想一想
本题是否需要分情况讨论？
第
15
讲
平
行
线
综
合
67
知识模型
与平行线有关的动线问题
典型例题4
珠江某河段两岸安置了两座可旋转探照灯𝐴，𝐵．如图1，2 所示，假如河道两岸是平行的，
𝑃𝑄//𝑀𝑁，且∠𝐵𝐴𝑀= 2∠𝐵𝐴𝑁，灯𝐴射线从𝐴𝑀开始顺时针旋转至𝐴𝑁便立即回转，灯
𝐵射线从𝐵𝑃开始顺时针旋转至𝐵𝑄便立即回转，两灯不停交叉照射巡视，且灯𝐴转动的
速度是每秒2 度，灯𝐵转动的速度是每秒1 度．
（1）填空：∠𝐵𝐴𝑁=
∘．
（2）若灯𝐵射线先转动30 秒，灯𝐴射线才开始转动，在灯𝐵射线到达𝐵𝑄之前，𝐴灯转
动几秒，两灯的光束互相平行？
（3）如图3，若两灯同时转动，在灯𝐴射线到达𝐴𝑁之前，若两灯发出的射线𝐴𝐶与𝐵𝐶
交于点𝐶，过𝐶作∠𝐴𝐶𝐷交𝑃𝑄于点𝐷，且∠𝐴𝐶𝐷= 120∘，则在转动过程中，请探究
∠𝐵𝐴𝐶与∠𝐵𝐶𝐷的数量关系，并说明理由．
真正的勇士敢于直面真题易错中的进阶拓展2.
第
15
讲
平
行
线
综
合
68
课后总结
第
15
讲
平
行
线
综
合
69
随堂练习1
如图，𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐶，𝐶𝐸平分∠𝐴𝐶𝐷，有下列条件：①∠1 = ∠2；②∠1+∠2 = 90∘；③∠3+
∠4 = 90∘；④∠2+∠3 = 90∘；其中能判定𝐴𝐵//𝐶𝐷的有（ ）．
A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个
随堂练习2
如图，𝐴𝐵//𝐶𝐷，𝑂𝐸平分∠𝐵𝑂𝐶，𝑂𝐹⊥𝑂𝐸，𝑂𝑃⊥𝐶𝐷，∠𝐴𝐵𝑂= 𝑛∘，则下列结论：①∠𝐶𝑂𝐸=
90∘−1
2𝑛∘；②𝑂𝐹平分∠𝐵𝑂𝐷；③∠𝑃𝑂𝐸= ∠𝐵𝑂𝐹；④∠𝑃𝑂𝐵= 2∠𝐷𝑂𝐹．其中正确的有（ ）．
A. ①②③
B. ①②④
C. ①③④
D. ①②③④
第
15
讲
平
行
线
综
合
70
随堂练习3
长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江
水及两岸河堤的情况．如图1，灯𝐴射线从𝐴𝑀方向开始顺时针旋转至𝐴𝑁方向便立即
回转，灯𝐵射线从𝐵𝑃方向开始顺时针旋转至𝐵𝑄方向便立即回转，两灯不停交叉照射
巡视．若灯𝐴转动的速度是3∘/ 秒，灯𝐵转动的速度是1∘/ 秒．假定这一带长江两岸河
堤是平行的，即𝑃𝑄//𝑀𝑁，∠𝐵𝐴𝑁= 45∘．
（1）若灯𝐵射线先转动30 秒，灯𝐴射线才开始转动，在灯𝐵射线到达𝐵𝑄之前，𝐴灯转
动
秒，两灯的光束互相平行．
（2）如图2，两灯同时转动，在灯𝐴射线到达𝐴𝑁之前．若射出的光束交于点𝐶，过𝐶作
𝐶𝐷⊥𝐴𝐶交𝑃𝑄于点𝐷，则在转动过程中，求∠𝐵𝐴𝐶与∠𝐵𝐶𝐷的数量关系．
第
15
讲
平
行
线
综
合
71
思维游戏
扩大水池
图中有一个正方形的水池。水池的4 个角上栽着4 棵垂柳。
现在要把水池扩大，使它的面积增加一倍，但要求仍然保持正方形，
而你又不能移动垂柳的位置，你有什么好办法吗？
（注：此时垂柳所在位置为所在边的中点）.
讲
第
16
【真题易错】平行线综合
第
16
讲
︻
真
题
易
错
︼
平
行
线
综
合
74
进阶拓展1
频率：高
如图，一副直角三角板△𝐴𝐵𝐶和△𝐷𝐸𝐹，∠𝐹= 30∘，将△𝐴𝐵𝐶和△𝐷𝐸𝐹放置如图2 的
位置，点𝐵、𝐷、𝐶、𝐹在同一直线上，点𝐴在𝐷𝐸上，△𝐴𝐵𝐶固定不动，在△𝐸𝐷𝐹绕点𝐷
逆时针旋转180∘的过程中(不含180∘)，当旋转角为
时，𝐸𝐹与△𝐴𝐵𝐶的边
垂直．
进阶拓展2
频率：高
如图，将一副三角板中的两块直角三角板如图1 放置，∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐸𝐷𝐹= 90∘，∠𝐴𝐵𝐶= 45∘，
∠𝐷𝐹𝐸= 30∘，此时点𝐴与点𝐸重合，点𝐴，𝐶，𝐹三点共线．
（1）固定△𝐴𝐵𝐶的位置不变，将△𝐷𝐸𝐹绕点𝐸按顺时针方向进行旋转，旋转至𝐷𝐸与
𝐵𝐶首次平行，如图2 所示，此时∠𝐹𝐴𝐶的度数是
．
第
16
讲
︻
真
题
易
错
︼
平
行
线
综
合
75
（2）若直线𝑀𝑁//𝑃𝑄，固定△𝐴𝐵𝐶的位置不变，将图1 中的△𝐷𝐸𝐹沿𝐴𝐶方向平移，使
得点𝐹正好落在直线𝑀𝑁上，再将△𝐷𝐸𝐹绕点𝐹按顺时针方向进行旋转，如图3
所示．
①若边𝐸𝐹与边𝐵𝐶交于点𝐺，试判断∠𝐵𝐺𝐹−∠𝐸𝐹𝑁的值是否为定值，若是定值，
则求出该定值；若不是定值，请说明理由．
②固定△𝐴𝐵𝐶的位置不变，将△𝐷𝐸𝐹绕点𝐹按顺时针方向以每秒8∘的速度进行
旋转，当𝐸𝐹与直线𝑀𝑁首次重合时停止运动，当经过𝑡秒时，线段𝐷𝐸与△𝐴𝐵𝐶
的一条边平行，请直接写出满足条件的𝑡的值．
睛
点
法
方
本题的最后一问可以按照𝐷𝐸//𝐴𝐵、𝐷𝐸//𝐴𝐶、𝐷𝐸//𝐵𝐶分三种情况讨论.
11230921583665
