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目录
第7 讲
全等三角形的性质与判定
1
第8 讲
几何变换与网格作图
5
第9 讲
全等三角形综合
9
第10 讲轴对称应用-将军饮马
14
第11 讲
数一数
18
第12 讲策略趣题选讲
21
第13 讲方程不等式综合
24
第14 讲平行相关动态问题2
28
第15 讲新题型大集合
33
第16 讲统计问题初步
41
参考答案
48
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第7 讲| 全等三角形的性质与判定
数学创新班/ 初一/ 全国版
1
第7 讲
全等三角形的性质与判定
单元1
全等三角形的概念与性质
1
已知△ABC≌△DEF，点A 与点D、点B 与点E 分别是对应顶点．
（1）若△ABC 的周长为32，AB = 14，BC = 8，则AC =
，DE =
，EF =
．
（2）若∠A = 48◦，∠B = 53◦，则∠D =
◦，∠F =
◦．
单元2
全等三角形的判定
2
（1）如图，△ABC 不是等边三角形，DE = BC，以D、E 为两个顶点作位置不同的三角形，使所作的三
角形与△ABC 全等，这样的三角形最多可以画出
个．
（2）在△ABC 和△DEF 中，①AB = DE，②BC = EF，③AC = DF，④∠A = ∠D，⑤∠B = ∠E，
⑥∠C = ∠F, 则下列条件组不能保证△ABC≌△DEF 的是（ ）
A. ①②③
B. ①②⑤
C. ②④⑤
D. ①③⑤
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2
单元3
全等三角形的证明
3
如图，已知∠EAC = ∠BAD，AC = AD，增加下列条件：①AB = AE；②BC = ED；③∠C = ∠D；④∠B = ∠D．
其中能使△ABC≌△AED 的条件有（ ）．
A. 4 个
B. 3 个
C. 2 个
D. 1 个
4
如图，在△ABC 中，AB = AC，D、A、E 三点都在直线上，并且有∠BDA = ∠AEC = ∠BAC = α，其中α
为任意锐角或钝角。请问结论DE = BD+CE 是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由。
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第7 讲| 全等三角形的性质与判定
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3
5
如图所示，AB//CD，AC//DB，AB = CD，AD 与BC 交于O，AE⊥BC 于E，DF⊥BC 于F，那么图中全
等的三角形有几对？并简单说明理由．
6
如图所示，已知等边△ABC 中，BD = CE，AD 与BE 相交于点P，则∠APE 是
度．
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4
7
如图，两根旗杆相距12m，某人从B 点沿BA 走向A 点，一段时间后他到达点M，此时他仰望旗杆
的顶点C 和D，两次视线的夹角为90◦，且CM = DM，已知旗杆AC 的高为3m，该人的运动速度为
1m/s，求：这个人从B 点到M 点运动了多长时间？
8
如图，在△ABC 中，AC = BC，∠BCA = 90◦，D 是AB 上任意一点，AE⊥CD 交CD 的延长线于点E，
BF⊥CD 于点F．求证：EF = BF −AE．
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第8 讲| 几何变换与网格作图
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5
第8 讲
几何变换与网格作图
单元1
平移
1
（1）下列图形中，不能通过其中一个四边形平移得到的是（ ）．
A.
B.
C.
D.
（2）在下列实例中，属于平移过程的有（ ）
①时针运行过程；
②电梯上升过程；
③火车直线行驶过程；
④地球自转过程；
⑤生产过程中传送带上的电视机的移动过程．
A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个
2
填写下列各空．
（1）如下图，将△ABC 向右平移2cm 得到△DEF，如果△ABC 的周长是16cm，那么四边形ABFD
的周长是
．
（2）如下图，将△ABC 沿着点B 到点C 的方向平移到△DEF 的位置，若AB = 10，DO = 4，平移距
离为6，则阴影部分面积为
．
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6
单元2
轴对称
3
（1）如图，阴影部分是由5 个小正方形涂黑组成的一个直角图形，再将方格内空白的两个小正方形涂
黑，得到新的图形（阴影部分），其中不是轴对称图形的是（ ）．
A.
B.
C.
D.
（2）下列轴对称图形中，有4 条对称轴的图形是（ ）．
A.
B.
C.
D.
4
如图，在3×3 的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，再将图中其余小正方形任意涂黑一个，使
整个图案构成一个轴对称图形的方法有
种．
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第8 讲| 几何变换与网格作图
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7
5
如图，P 是∠AOB 外的一点，M，N 分别是∠AOB 两边上的点，点P 关于OA 的对称点Q 恰好落在线
段MN 上，点P 关于OB 的对称点R 恰好落在MN 的延长线上．若PM = 2.5，PN = 3，MR = 7，则线
段QN 的长为（ ）．
A. 1
B. 1.5
C. 2
D. 2.5
单元3
旋转
6
（1）如图，在正方形网格中，线段A′B′ 可以看作是线段AB 经过若干次变换（平移、旋转、轴对称）得
到的，写出一种由线段AB 得到线段A′B′ 的过程：
．
（2）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长为1，将三角形ABC 绕旋转中心旋转某个角度后得到
三角形A′B′C′，其中点A，B，C 的对应点是点A′，B′，C′，那么旋转中心是（ ）．
A. 点Q
B. 点P
C. 点N
D. 点M
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8
7
如图，在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 的三个顶点坐标分别A(1,1)，B(4,0)，C(4,4)．
（1）按下列要求作图：
①将△ABC 向左平移4 个单位，得到△A1B1C1；
②将△A1B1C1 绕点B1 逆时针旋转90◦，得到△A2B2C2．
（2）求点C1 在旋转过程中所经过的路径长．
8
如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC 的三个顶点分别是A(−3,2)，B(0,4)，C(0,2)．
（1）将△ABC 以点C 为旋转中心旋转180◦，画出旋转后对应的△A1B1C．平移△ABC，若A 的对应
点A2 的坐标为(0,−4)，画出平移后对应的△A2B2C2．
（2）若将△A1B1C 绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标．
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第9 讲| 全等三角形综合
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9
第9 讲
全等三角形综合
单元1
几何变换下的全等关系
1
如图，在△ABE 中，AB = AE，AD = AC，∠BAD = ∠EAC，BC、DE 交于点O．
求证：
（1）△ABC≌△AED．
（2）OB = OE．
2
已知，点P 是直角三角形ABC 斜边AB 上一动点(不与A，B 重合)，分别过A，B 向直线CP 作垂线，
垂足分别为E，F，Q 为斜边AB 的中点．
如图，当点P 与点Q 重合时，AE 与BF 的位置关系是
，QE 与QF 的数量关系是
．
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10
3
如图，四边形ABCD、DEFG 都是正方形，连接AE、CG．求证：
（1）AE = CG．
（2）AE⊥CG．
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第9 讲| 全等三角形综合
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11
4
在△ABC 中，∠ACB = 90◦，AC = BC，直线MN 经过点C，且AD⊥MN 于点D，BE⊥MN 于点E．
（1）当直线MN 绕点C 旋转到图1 的位置时，求证：DE = AD+BE．
（2）当直线MN 绕点C 旋转到图2 的位置时，请写出DE、AD、BE 之间的等量关系并加以证明．
（3）当直线MN 绕点C 旋转到图3 的位置时，试问DE、AD、BE 之间又有怎样的等量关系？请直接
写出结论．
单元2
辅助线基入门
5
如图，在正方形ABCD 中，M 为AB 的中点，MN⊥MD，BN 平分∠CBE 并交MN 于N．
试说明：MD = MN．
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12
6
在图1、图2、图3、图4 中，点P 在线段BC 上移动(不与B、C 重合)，M 在BC 的延长线上．
（1）如图1，△ABC 和△APE 均为正三角形，连接CE．
①求证：△ABP≌△ACE．
②∠ECM 的度数为
．
（2）①如图2，若四边形ABCD 和四边形APEF 均为正方形，连接CE．则∠ECM 的度数为
；
②如图3，若五边形ABCDF 和五边形APEGH 均为正五边形，连接CE．则∠ECM 的度数
为
．
（3）如图4，n 边形ABC··· 和n 边形APE ··· 均为正n 边形，连接CE，请你探索并猜想∠ECM 的度
数与正多边形边数n 的数量关系(用含n 的式子表示∠ECM 的度数)，并利用图4(放大后的局部
图形) 证明你的结论．
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第9 讲| 全等三角形综合
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13
7
如图，在△ABC 中，AD 交BC 于点D，点E 是BC 中点，EF//AD 交CA 的延长线于点F，交AB 于
点G，若BG = CF，求证：AD 为△ABC 的角平分线．
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14
第10 讲
轴对称应用-将军饮马
单元1
将军饮马引入
1
如图，直线l 外不重合的两点A，B，在直线l 上求作一点C，使得AC +BC 的长度最短，作法为：①作
点B 关于直线l 的对称点B′；②连接AB′ 与直线l 相交于点C，则点C 为所求作的点．在解决这个
问题时没有运用到的知识或方法是（ ）．
A. 转化思想
B. 三角形的两边之和大于第三边
C. 两点之间，线段最短
D. 三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角
2
如图，Rt△ABC 中，∠C = 90◦，AC = 4，BC = 3，点P 为AC 边上的动点，过点P 作PD⊥AB 于点D，则
PB+PD 的最小值为
．
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第10 讲| 轴对称应用-将军饮马
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15
单元2
将军饮马基础
3
如图，OA、OB 所在直线分别是线段MC、MD 的垂直平分线，MD = 5cm，MC = 7cm，CD = 10cm．一只
小蚂蚁从点M 出发爬到OA 边上任意一点E，再爬到OB 边上任意一点F，然后爬回M 点处，则小
蚂蚁爬行的路径最短为（ ）
A. 12cm
B. 10cm
C. 7cm
D. 5cm
4
如图，点P 是∠AOB 内的一点，且OP = 5，∠AOB = 30◦，点M、N 分别是射线OA、OB 上的动点，则
△PMN 周长的最小值为（ ）
A. 5
B. 6
C. 8
D. 10
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16
5
如图，点P 是∠AOB 内任意一点，OP = 6cm，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，
△PMN 周长的最小值是6cm，则∠AOB 的度数是（ ）
A. 25◦
B. 30◦
C. 35◦
D. 40◦
单元3
综合提升
6
如图，四边形ABCD 中，∠BAD = 110◦，∠B = ∠D = 90◦，在BC、CD 上分别找一点M、N，使△AMN 周
长最小，求此时∠AMN +∠ANM 的度数．
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第10 讲| 轴对称应用-将军饮马
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17
7
如图，在所给正方形网格图中完成下列各题：
（1）画出格点△ABC(顶点均在格点上) 关于直线DE 对称的△A1B1C1．
（2）在DE 上画出点Q，使△QAB 的周长最小．
8
如图，在四边形ABCD 中，AD//BC，AB = AC，BC = 6，△DBC 面积为18，AB 的垂直平分线MN 分别
交AB，AC 于点M，N，若点P 和点Q 分别是线段MN 和BC 边上的动点，则PB+PQ 的最小值为
．
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18
第11 讲
数一数
单元1
分类枚举
1
有多少个有序整数对(x,y) 满足x2 +y2 ⩽5？
2
求100 以内仅能分解成两个素数之积的正整数的个数．
3
图中共有多少个三角形？
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第11 讲| 数一数
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19
单元2
加乘原理
4
从1 到300 的自然数中，完全不含有数字3 的有多少个？
5
王明一家居住在A 市，春节期间计划去C 市旅游，可直接从A 市到C 市，亦可在B 市中转再到C 市．
已知从A 市到C 市有一条铁路和一次航班；从A 市到B 市，有一条公路，一条铁路；B 市和C 市之间
有两条公路，一条水路，如果不考虑行程时间和费用，那么王明一家若去C 市旅游往返有几种不同的
走法（ ）
A. 16 种
B. 19 种
C. 20 种
D. 64 种
单元3
综合提升
6
（1）图(a) 中有多少个三角形？
（2）图(b) 中又有多少个三角形？
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20
7
10 个相同颜色的球分给甲乙丙3 个人，乙至少分一个，丙至少分两个，有
种分法。
8
10 个人围成一圈，从中选出两个不相邻的人，共有多少种不同的选法？
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第12 讲| 策略趣题选讲
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21
第12 讲
策略趣题选讲
单元1
抽屉原理
1
任取101 个不大于200 的正整数，求证：必有两个数其中一个是另一个的倍数．
2
某班有60 人，任意两人要么相互认识，要么互相不认识，证明：必有两个人，他们认识的人的个数是一
样的．
3
能否在5 × 5 的正方形的每一个小方格中填上4、5、6 这三个数中的某一个数，使得每行每列及两条
对角线上的五个数的和各不相同？
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22
4
一群小朋友购买售价是3 元和5 元的两种商品，每人购买的商品最少是1 件，他们也可以购买相同
的商品，但每人购买的总金额不超过15 元．若小朋友中至少有三人购买的两种商品的数量完全相同，
问这群小朋友最少有多少人？
5
在3×4 的长方形中，任意放置6 个点．证明：可以找到两个点，它们的距离不大于
√
5．
单元2
染色策略
6
下图是半张中国象棋棋盘，棋盘上放着一只马．众所周知，马是走“日”字的．请问：这只马能否不重复
地走遍这半张棋盘上的每一个点，然后回到出发点？
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第12 讲| 策略趣题选讲
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23
7
如图，把正方体形的房子分割成27 个相等的小房间，每相邻(即有公共面) 两个房间都有门相通，在
中心的那个小正方体中有一只甲虫，甲虫能从每个小房间走到与它相邻的小房间中的任何一间去．如
果要求甲虫只能走到每个小房间一次，那么甲虫能走遍所有的小房间吗？
8
（1）能否用9 个形如
的卡片拼成一个6×6 的棋盘？
（能填1，不能填2）
（2）求证：只用2×2 及3×3 的两种瓷砖不能恰好铺盖23×23 的正方形地面．
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24
第13 讲
方程不等式综合
单元1
较难的方程不等式计算
1
已知关于x、y 的方程组
mx−1
2ny = 1
2
mx+ny = 5
的解为
x = 2
y = 3
，求m、n 的值．
2
解关于x 的不等式：(ax−1)(a+1) < 0．
3
关于x 的不等式组
4a+3x > 0
3a−4x ⩾0
恰好只有三个整数解，则a 的取值范围是
．
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第13 讲| 方程不等式综合
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25
单元2
方程不等式实际应用
4
某学校要成立无人机兴趣小组，需要购买A 型和B 型两种无人机配件．据了解，购买1 个A 型配件
和3 个B 型配件需要支付530 元；购买3 个A 型配件和2 个B 型配件需要支付890 元．
（1）求购买1 个A 型配件和1 个B 型配件各需要支付多少元？
（2）该学校决定购买A 型配件和B 型配件共30 个，总费用不超过4180 元，则最多可以购买多少个
A 型配件？
5
“低碳生活，绿色出行”已逐渐被大多数人所接受，某自行车专卖店有A，B 两种规格的自行车，A 型车
的利润为a 元/ 辆，B 型车的利润为b 元/ 辆，该专卖店十月份前两周销售情况如下：
（1）请直接写出a，b 的值，a =
，b =
．
（2）若第三周售出A，B 两种规格自行车共25 辆，其中B 型车的销售量大于A 型车的售量，且不超
过A 型车销售量的2 倍，该专卖店有哪几种出售方案？
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26
6
为配合城市“花博会”，花农黄老伯培育了甲、乙两种花木各若干株．如果培育甲、乙两种花木各一株，
那么共需成本500 元；如果培育甲种花木3 株和乙种花木2 株，那么共需成本1200 元．
（1）求甲、乙两种花木每株的培育成本分别为多少元？
（2）市场调查显示，甲种花木的市场售价为每株300 元，乙种花木的市场售价为每株500 元．如果黄
老伯培育这些花木总利润不少于18000 元，培育的乙种花木的数量比甲种花木的数量的3 倍少
10 株，那么黄老伯至少培育甲种花木多少株？
7
列方程或不等式组解应用题：
某旅游商品经销店欲购进A、B 两种纪念品，若用380 元购进A 种纪念品7 件，B 种纪念品8 件；也
可以用380 元购进A 种纪念品10 件，B 种纪念品6 件．
（1）求A、B 两种纪念品的进价分别为多少？
（2）若该商店每销售1 件A 种纪念品可获利5 元，每销售1 件B 种纪念品可获利7 元，该商店准备
用不超过900 元购进A、B 两种纪念品40 件，且这两种纪念品全部售出后总获利不低于216 元，
问应该怎样进货，才能使总获利最大？
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第13 讲| 方程不等式综合
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27
单元3
方程不等式综合应用
8
关于x，y 的二元一次方程ax+by = c(a，b，c 是常数)，b = a+1，c = b+1．
（1）当
x = 3
y = 1
时，求c 的值．
（2）当a = 1
2 时，求满足|x| < 5，|y| < 5 的方程的整数解．
（3）若a 是正整数，求证：仅当a = 1 时，该方程有正整数解．
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28
第14 讲
平行相关动态问题2
单元1
平行动态问题综合
1
已知AM//BN，AE 平分∠BAM，BE 平分∠ABN．
（1）如图1，∠AEB 的度数为
．
（2）如图2，过点E 的直线交射线AM 于点C，交射线BN 于点D，求证：AC +BD = AB．
（3）如图3，过点E 的直线交射线AM 的反向延长线于点C，交射线BN 于点D．
①请直接写出线段AC、BD、AB 之间的数量关系： ．
②若AB = 5，AC = 3，S△ABE −S△ACE = 2，请直接写出△BDE 的面积为 ．
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29
2
如图，已知AB//CD、P 是直线AB，CD 间的一点，PF⊥CD 于点F，PE 交AB 于点E，∠FPE = 120◦．
（1）求∠AEP 的度数．
（2）如图，射线PN 从PF 出发，以每秒40◦的速度绕点P 按逆时针方向旋转，当PN 垂直AB 时，立
刻按原速返回至PF 后停止运动，射线EM 从EA 出发，以每秒15◦的速度绕点E 按逆时针方
向旋转至EB 后停止运动，若射线PN，射线EM 同时开始运动，设运动时间为t 秒．
①当∠MEP = 20◦时，求∠EPN 的度数．
②当EM//PN 时，求t 的值．
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30
3
已知AB//CD，线段EF 分别与AB、CD 相交于点E、F．
（1）如图①，当∠A = 20◦，∠APC = 70◦时，求∠C 的度数．
（2）如图②，当点P 在线段EF 上运动时(不包括E、F 两点)，∠A、∠APC 与∠C 之间有怎样的数量
关系？试证明你的结论．
（3）如图③，当点P 在线段EF 的延长线上运动时，(2) 中的结论还成立吗？如果成立，请说明理由；
如果不成立，试探究它们之间新的数量关系并证明．
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31
单元2
平行动态问题与应用
4
在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线AB，CD 和一块含60◦角的直角三角尺EFG
（∠EFG = 90◦，∠EGF = 60◦）”为主题开展教学活动．
（1）如图1，若三角尺的60◦角的原点G 放在CD 上，若∠2 = 2∠1，求∠1 的度数．
（2）如图2，小颖把三角尺的两个锐角的原点E、G 分别故在AB 和CD 上，请你探索并说明∠AEF
与∠FGC 间的数量关系．
（3）如图3，小亮把三角尺的直角顶点F 放在CD 上，30◦角的顶点E 落在AB 上．若∠AEG = α，
∠CFG = β，则∠AEG 与∠CFG 的数量关系是什么？用含α，β 的式子表示．
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32
单元3
坐标系中的平行动态问题
5
如图，在平面直角坐标系中，A(m,0)，B(n,0)，C(−1,2)，且满足式子|m+2|+(m+n−2)2 = 0．
（1）求出m，n 的值．
（2）解答下列问题：
①在x 轴的正半轴上存在M，使△COM 的面积等于△ABC 面积的一半，求出点M 的坐标．
②在坐标轴的其他位置是否存在点M，使△COM 的面积等于△ABC 面积的一半仍然成立，若
存在，请直接写出符合条件的点M 的坐标．
（3）如图，过点C 作CD⊥y 轴交y 轴于点D，P 为线段CD 延长线上一动点，连接OP，OE 平分
∠AOP，OF⊥OE，当点P 运动时，∠OPD
∠DOE 的值是否会改变？若不变，求其值；若改变，说明理由．
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第15 讲| 新题型大集合
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33
第15 讲
新题型大集合
单元1
实验操作
1
混合运算的应用
（1）24 点游戏是一种使用扑克牌来进行的益智类游戏，游戏内容是：从一副扑克牌中抽去大小王剩下
52 张，任意抽取4 张牌，把牌面上的数运用你所学过的运算得出24．每张牌都必须使用一次，但
不能重复使用．在玩“24 点”游戏时，小明抽到以下4 张牌；
若
．表示正，．表示负，请你用上面的4 张牌表示的数写出1 个运算结果为24 的算式：
（2）在一次数学游园活动中，有一个抽卡片游戏，游戏规则如下：连续抽取四张牌，如果抽到形如
的卡片，那么加上卡片上数字的相反数；如果抽到形如
的卡片，那么减去卡片上数字的倒数，
通过计算求得最终结果．佳佳在本次游戏中，抽到了以下四张卡片，请你帮忙算一算，按照以上游
戏规则，最后的计算结果是
．
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34
2
【概念学习】
规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，(−3)÷(−3)÷(−3)÷
(−3) 等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2 记作2，读作“2 的圈3 次方”，(−3)÷(−3)÷(−3)÷(−3)
记作(−3)，读作“−3 的圈4 次方”，一般地，把a÷a÷a÷ ···
|{z}
c−4个a
÷a(a̸ = 0) 记作a，读作“a 的圈c 次
方”．
（1）【初步探究】直接写出计算结果：3 =
，
(
−1
3
)
=
．
（2）关于除方，下列结果错误的是（ ）．
A. 任何非零数的圈2 次方都等于1
B. 对于任何正整数n，1 = 1
C. 3 = 4
D. 负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数
（3）【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，
有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
①试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．
(−3) = ；5 = ；
(
−1
2
)
= ．
②想一想：将一个非零有理数a 的圈n 次方写成幂的形式等于 ．
③算一算：122 ÷
(1
3
)
÷(−2) −
(1
3
)
÷33 = ．
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第15 讲| 新题型大集合
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35
单元2
新定义
3
对x，y 定义一种新运算T，规定：T(x，y) = ax+2by−1 (其中a、b 均为非零常数)，这里等式右边是通
常的四则运算，例如：T(0，1) = a·0+2b·1−1 = 2b−1．
（1）已知T(1，−1) = −2 ，T(4 ，2) = 3．
①求a，b 的值；
②若关于m 的不等式组
T (2m,5−4m) ⩽4
T (m,3−2m) > p
恰好有2 个整数解，求实数p 的取值范围．
（2）若T(x，y) = T(y ，x) 对任意实数x，y 都成立(这里T(x，y) 和T(y，x) 均有意义)，则a，b 应满足怎
样的关系式？
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36
4
【概念学习】
定义：对于一个三位的自然数n，各数位上的数字都不为0，且百位数字与十位数字之和除以个位数字
的商为整数，则称这个自然数n 为“好数”．
例如：714 是“好数”，因为它是一个三位的自然数，7，1，4 都不为0，且7+1 = 8，8÷4 = 2，2 为整数；
643 不是“好数”，因为6+4 = 10，10÷3 的商不是整数．
【初步探究】
（1）自然数312，675，981，802 是“好数”的为
．
（2）在横线上填“真”或“假”．
①个位数字为1 的一个三位自然数一定是“好数”是 命题.
②各数位上的数字都相同的一个三位自然数一定是“好数”是 命题．
（3）【深入思考】
求同时满足下列条件的“好数”．
百位数字比十位数字大5．
百位数字与十位数字之和等于个位数字．
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第15 讲| 新题型大集合
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37
5
定义：若一个整数能表示成a2 +b2（a，b 是正整数）的形式，则称这个数为“完美数”．
例如：因为13 = 32 +22，所以13 是“完美数”；
再如：因为a2 +2ab+2b2 = (a+b)2 +b2，所以a2 +2ab+2b2 也是“完美数”．
（1）请直接写出一个小于10 的“完美数”，这个“完美数”是
．
（2）判断：53
（是/ 不是）“完美数”．
（3）已知M = x2 +4x+k（x 是整数，k 是常数），要使M 为“完美数”，试求出符合条件的一个k 值，并
说明理由．
（4）如果数m，n 都是“完美数”，m̸ = n，试说明mn 也是“完美数”．
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38
6
对于平面直角坐标系中的图形M 上的任意点P(x,y)，给出如下定义：将点P(x,y) 平移到P′ (x+a,y−a)
称为将点P 进行“a 型平移”，点P′ 称为将点P 进行“a 型平移”的对应点；将图形M 上的所有点进行“a
型平移”称为将图形M 进行“a 型平移”．例如，将点P(x,y) 平移到P′ (x+1,y−1) 称为将点P 进行“1
型平移”，将点Q(x,y) 平移到Q′ (x−1,y+1)) 称为将点Q 进行“−1 型平移”．已知点A(−1,4)，B(2,3)．
（1）画出线段AB 进行“2 型平移”后的对应线段A′B′，并直接写出A′，B′ 的坐标．
（2）四边形ABB′A′ 的面积为
．
（3）将线段AB 进行“a 型平移”后与x 轴有公共点，直接写出a 的取值范围
．
（4）将四边形ABB′A′ 进行“a 型平移”后与坐标轴有公共点，请直接写出a 的取值范围是
．
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第15 讲| 新题型大集合
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39
单元3
阅读材料
7
阅读下列材料，解决问题：
材料1：一个三位自然数abc，若百位上的数字与十位上的数字之积再减去百位上的数与十位上的数
字之和所得之差，恰好等于个位上的数字，即ab−(a+b) = c，则称这个三位数为”2020”数．例如：自
然数231，因为数字2，3，1 满足：2×3−(2+3) = 1，所以231 是”2020”数．
材料2：若一个整数各个数位上的数字之和能被9 整除，则这个整数一定能被9 整除．例如三位数
108 的各数位上的数字和为9，9 能被9 整除，所以108 也一定能被9 整除．
（1）阅读材料1，请判断725 是否为”2020”数，并说明理由．
（2）根据材料1 和2，求所有小于600 且能被9 整除的”2020”数．
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40
8
我们知道|x| 表示的是在数轴上数x 对应的点与原点的距离，即|x| = |x−0|，也就是说，|x| 表示在数
轴上数x 与数0 对应点之间的距离．这个结论可以推广为|x1 −x2| 表示在数轴上数x1，x2 对应点之
间的距离．
例1 解方程|x| = 6．
解：∵|x| = |x−0| = 6，
∴在数轴上与原点距离为6 的点对应的数为土6，即该方程的解为x = ±6．
例2 解不等式|x−1| > 2．
解：如图，首先在数轴上找出|x−1| = 2 的解，即到1 的距离为2 的点对应的数为−1，3，则|x−1| > 2
的解集为到1 的距离大于2 的点对应的所有数，所以原不等式的解集为x < −1 或x > 3．
参考阅读材料，解答下列问题：
（1）方程|x−5| = 3 的解为
．
（2）解不等式2|x+2|+1 < 9．
（3）若|x−1|+|x+2| = 3，则x 的取值范围是
．
（4）若y = |x−1|−|x+2|，则y 的取值范围是
．
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第16 讲| 统计问题初步
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41
第16 讲
统计问题初步
单元1
统计问题
1
（1）下列样本的选取具有代表性的是（ ）
A. 利用某地七月份的日平均气温估计当地全年的日平均气温
B. 为了解我国居民的年平均阅读时间，从大学生中随机抽取10 万人进行抽查
C. 调查七年级(1) 班某些学生的身高，来估计该校全体学生的身高
D. 为了解一批洗衣粉的质量情况，从仓库中任意抽取100 袋进行检验
（2）2016 年我市近9 万名考生参加中考，为了解这些考生的数学成绩，从中抽取1000 名考生的数学
成绩进行统计分析，以下说法正确的是（ ）
A. 这1000 名考生是总体的一个样本
B. 1000 名考生是样本容量
C. 每位考生的数学成绩是个体
D. 近9 万名考生是总体
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42
2
2015 年某市有1.6 万名初中毕业生参加升学考试，为了了解这1.6 万名考生的数学成绩，从中抽取
2000 名考生的数学成绩进行统计，在这个问题中样本是（ ）
A. 1.6 万名考生
B. 2000 名考生
C. 1.6 万名考生的数学成绩
D. 2000 名考生的数学成绩
3
某青蛙养殖基地为了估计所养青蛙的数量，从中捕捉了100 只青蛙，分别做好记号，再放回蛙池，等
青蛙群混合均匀后又捕捉了200 只，其中只有5 只青蛙有记号，请你估计该养殖基地共有青蛙多少
只？
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第16 讲| 统计问题初步
数学创新班/ 初一/ 全国版
43
4
为了解某校学生的身高情况，随机抽取该校男生、女生进行调查．已知抽取的样本中男生和女生的人
数相同，利用所得数据绘制如下统计图表：
根据图表提供的信息，回答下列问题：
（1）求样本中男生的人数．
（2）求样本中女生身高在E 组的人数．
（3）已知该校共有男生380 人，女生320 人，请估计全校身高在160 ⩽x < 170 之间的学生总人数．
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44
5
在抗击新冠疫情期间，市教委组织开展了“停课不停学”的活动．为了解此项活动的开展情况，市教委
督导部门准备采用以下调查方式中的一种进行调查：
A．从某所普通学校中随机选取200 名学生作为调查对象进行调查；
B．从市内某区的不同学校中随机选取200 名学生作为调查对象进行调查；
C．从市教育部门学生学籍档案中随机抽取200 名学生作为调查对象进行调查．
（1）在上述调查方式中，你认为比较合理的一个是
（填编号）．
（2）如图，是按照一种比较合理的调查方式所得到的数据制成的频数分布直方图，在这个调查中，所
抽取200 名学生每天“停课不停学”的学习时间在1 2 小时之间的人数m =
．
（3）已知全市共有100 万学生，请你利用(2) 问中的调查结果，估计全市每天“停课不停学”的学习时
间在1 2 小时及以上的人数有多少？
（4）你认为这个调查活动的设计有没有不合理的地方？谈谈你的理由．
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第16 讲| 统计问题初步
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45
单元2
统计量
6
某校共有200 名学生，为了解本学期学生参加公益劳动的情况，收集了他们参加公益劳动时间(单
位：小时) 等数据，以下是根据数据绘制的统计图表的一部分
下面有四个推断：
①这200 名学生参加公益劳动时间的平均数一定在24.5−25.5 之间
②这200 名学生参加公益劳动时间的中位数在20−30 之间
③这200 名学生中的初中生参加公益劳动时间的中位数一定在20−30 之间
④这200 名学生中的高中生参加公益劳动时间的中位数可能在20−30 之间
所有合理推断的序号是（ ）
A. ①③
B. ②④
C. ①②③
D. ①②③④
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46
7
为了解某校八年级学生一门课程的学习情况，小佳和小丽分别对八年级1 班和2 班本门课程的期末
成绩进行了调查分析．
小佳对八年级1 班全班学生(25 名) 的成绩进行分析，过程如下：
收集、整理数据：
表一
分析数据：
表二
小丽用同样的方法对八年级2 班全班学生(25 名) 的成绩进行分析，数据如下：
表三
根据以上信息，解决下列问题．
（1）已知八年级1 班学生的成绩在80 ⩽x < 90 这一组的数据如下：
85，87，88，80，82，85，83，85，87，85
根据上述数据，将表二补充完整．
（2）你认为哪个班级的成绩更为优异？请说明理由．
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第16 讲| 统计问题初步
数学创新班/ 初一/ 全国版
47
8
某校要从小王和小李两名同学中挑选一人参加全国数学竞赛，在最近的五次选拔测试中，他俩的成绩
分别如下表所示：
根据上表解答下列问题：
（1）完成下表：
（2）在这五次测试中，成绩比较稳定的同学是谁？若将80 分以上(含80 分) 的成绩视为优秀，则小
王、小李在这五次测试中的优秀率各是多少？
（3）历届比赛表明，成绩达到80 分以上(含80 分) 就很可能获奖，成绩达到90 分以上(含90 分) 就
很可能获得一等奖，那么你认为应选谁参加比赛比较合适？说明你的理由．
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48
参考答案
第7 讲
全等三角形的性质与判定
1 （1）10
14
8
【解析】解：∵△ABC 的周长为32，AB = 14，
BC = 8，
∴AC = 10，
又∵△ABC≌△DEF，点A 与点D、点B 与点
E 分别是对应顶点，
∴DE = AB = 14，EF = BC = 8．
（2）48
79
【解析】∵∠A = 48◦，∠B = 53◦，
∴∠C = 79◦，
又∵△ABC≌△DEF，
∴∠D = ∠A = 48◦，∠F = ∠C = 79◦．
2 （1）4
【解析】解：如图，可以作出这样的三角形4
个．
（2）D
【解析】解：A、①②③组合可利用SSS 定理
进行判定，故此选项不合题意；
B、①②⑤组合可利用SAS 定理进行判定，故
此选项不合题意；
C、②④⑤组合可利用AAS 定理进行判定，故
此选项不合题意；
D、①③⑤组合不能判定三角形全等，故此选
项符合题意；故选：D．
3
C
【解析】解：∵∠EAC = ∠BAD，
∴∠EAC−∠BAE = ∠BAD−∠BAE，即∠BAC =
∠EAD，
当AB = AE 时，
在△ABC 和△AED 中，
AC = AD
∠BAC = ∠EAD
AB = AE
，
∴△ABC≌△AED(SAS)；
当BC = ED 时，不能判断△ABC≌△AED．
当∠C = ∠D 时，
在△ABC 和△AED 中，
∠BAC = ∠EAD
AC = AD
∠C = ∠D
，
∴△ABC≌△AED(ASA)；
当∠B = ∠D，而AC = AD，所以∠B 与∠D 不
是对应角，所以不能判断△ABC≌△AED．
故选C．
4
成立，证明见解析
【解析】证明：∵∠BDA = ∠BAC = α，
∴∠DBA+∠BAD = ∠BAD+∠CAE = 180◦−α，
∴∠CAE = ∠ABD。
∵在△ADB 和△CEA 中，
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参考答案
数学创新班/ 初一/ 全国版
49
∠ABD = ∠CAE
∠BDA = ∠AEC
AB = AC
，
∴△ADB≌△CEA(AAS)，
∴AE = BD，AD = CE，
∴DE = AE +AD = BD+CE。
5
见解析
【解析】解：7 对：
△AOB≌△DOC；△AOC≌△DOB；
△AEO≌△DFO；△AEC≌△DFB；
△ABC≌△DCB；△ABD≌△DCA；
△AEB≌△DFC．理由即为对应的判定定理．
6
60
【解析】∵△ABC 是等边三角形，
∴∠ABD = ∠C，AB = BC．
又∵BD = CE，
∴△ABD≌△BCE，
∴∠BAD = ∠CBE．
∵∠ABE +∠EBC = 60◦，
∴∠ABE +∠BAD = 60◦，
∴∠APE = ∠ABE +∠BAD = 60◦．
考点：等边三角形的性质；全等三角形的判定
及性质．
7
这个人从B 点到M 点运动了3s．过程见解析
【解析】根据∠CMD = 90◦，利用互余关系可
以得出：∠ACM = ∠DMB，证明三角形全等的
另外两个条件容易看出．利用全等的性质可求
得AC = BM = 3m，从而求得运动时间．
∵∠CMD = 90◦，
∴∠CMA+∠DMB = 90◦，
又∵∠CAM = 90◦
∴∠CMA+∠ACM = 90◦，
∴∠ACM = ∠DMB，
在Rt△ACM 和Rt△BMD 中，
∠A = ∠B
∠ACM = ∠DMB
CM = DM
，
∴Rt△ACM≌Rt△BMD(AAS)，
∴AC = BM = 3m，
∴他到达点M 时，运动时间为3÷1 = 3(s)．
答：这个人从B 点到M 点运动了3s．
考点：全等三角形的应用．
8
见解析
【解析】证明：∵∠ACE +∠BCF = 90◦，
∠CBF +∠BCF = 90◦，
∴∠ACE = ∠CBF．
∴在△ACE 和△CBF 中，
∠ACE = ∠CBF
∠AEC = ∠CFB
AC = CB
，
∴△ACE≌△CBF(AAS)．
则CE = BF，AE = CF，
∴EF = CE −CF = BF −AE．
第8 讲
几何变换与网格作图
1 （1）D
【解析】A，B，C 均能通过其中一个四边形平
移得到，D 是由其中一个四边形绕中心依次旋
转得到的．故选D．
（2）C
【解析】解：①时针运行是旋转现象；
②电梯上升是平移现象；
③火车直线行驶是平移现象；
④地球自转是旋转现象；
⑤电视机在传送带上运动是平移现象．
故属于平移过程的有3 个．故选C．
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50
2 （1）20cm
【解析】因为平移前后对应边相等，
所以AC = DF，
又因为所有平移路径相等，
所以AD = CF = 2cm，
所以四边形ABFD 的周长为AB+BC +DF +
AD+CF = AB+BC +AC +AD+CF，相当于
三角形的周长加两条平移路径，
等于16+2+2 = 20cm．
（2）48
【解析】平移前后图形面积相等，
所以S△ABC = S△DEF，
减去重叠部分面积仍相等，
即S△ABC −S△OEC = S△DEF −S△OEC，
所以SODFC = SABEO = 1
2BE ·(AB+OE)
= 1
2 ×6×(10+10−4) = 48．
3 （1）D
【解析】A、∵沿某直线折叠，分成的两部分
能互相重合，
∴它是轴对称图形；
B、∵沿某直线折叠，分成的两部分能互相重
合，
∴它是轴对称图形；
C、∵沿某直线折叠，分成的两部分能互相重
合，
∴它是轴对称图形；
D、根据轴对称定义，它不是轴对称图形．
故选D．
（2）D
【解析】A 选项：有五条对称轴，所以本选项
不符合题意，故A 错误；
B 选项：有三条对称轴，所以本选项不符合题
意，故B 错误；
C 选项：有一条对称轴，所以本选项不符合题
意，故C 错误；
D 选项：有四条对称轴，所以本选项符合题意，
故D 正确．
故选D.
4
5
【解析】解：如果一个图形沿一条直线对折，
直线两旁的部分能互相重合，那么这个图形
叫做轴对称图形．选择一个正方形涂黑，使得
3 个涂黑的正方形组成轴对称图形，选择的位
置有以下几种：1，3，7，6，5，选择的位置共有5
种．
5
B
【解析】∵点P 关于OA 的对称点Q 恰好落
在线段MN 上，
点P 关于OB 的对称点R 恰好落在MN 的延
长线上，
∴MQ = PM，NR = PN，
∵PM = 2.5，PN = 3，MR = 7，
∴MQ = 2.5，NR = 3，MR = MQ+NQ+NR =
7，
则QN = 7−2.5−3 = 1.5，
故选B．
6 （1）将线段AB 绕点B 逆时针旋转90◦，再向
左平移2 个单位长度（答案不唯一）
【解析】将线段AB 绕点B 逆时针旋转90◦，
再向左平移2 个单位长度（答案不唯一）．
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参考答案
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51
（2）C
【解析】如图，连接AA′，作AA′ 的中垂线，发
现过点N，所以三角形ABC 绕点N 旋转某个
角度后得到三角形A′B′C′，
故选C．
7 （1）①画图见解析．
②画图见解析．
【解析】①如图，△A1B1C1 为所作．
②如图，△A2B2C2 为所作．
（2）2π．
【解析】点C1 在旋转过程中所经过的路径长
= 90·π ·4
180
= 2π．
8 （1）画图见解析．
【解析】画出△A1B1C 和△A2B2C2，如图所示．
（2）
(3
2,−1
)
．
【解析】旋转中心的坐标为
(3
2,−1
)
．
第9 讲
全等三角形综合
1 （1）见解析
【解析】∵∠BAD = ∠EAC，
∴∠BAD+∠DAC = ∠EAC +∠DAC，
即∠BAC = ∠EAD．
在△ABC 和△AED 中
AB = AE
∠BAC = ∠EAD
AC = AD
，
∴△ABC≌△AED(SAS)．
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52
（2）见解析
【解析】∵由（I）知△ABC≌△AED
∴∠ABC = ∠AED，
∵AB = AE，
∴∠ABE = ∠AEB，
∴∠ABE −∠ABC = ∠AEB−∠AED，
∴∠OBE = ∠OEB．
∴OB = OE．
2
AE//BF
QE = QF
【解析】解：AE//BF，QE = QF，
理由是：如图1，∵Q 为AB 中点，
∴AQ = BQ，
∵BF⊥CP，AE⊥CP，
∴BF//AE，∠BFQ = ∠AEQ = 90◦，
在△BFQ 和△AEQ 中
∠BFQ = ∠AEQ
∠BQF = ∠AQE
BQ = AQ
∴△BFQ≌△AEQ(AAS)，
∴QE = QF．
3 （1）见解析
【解析】证明：∵四边形ABCD、DEFG 都是
正方形，
∴AD = CD，DE = DG，
∵∠CDG = 90◦+∠ADG，
∠ADE = 90◦+∠ADG，
∴∠CDG = ∠ADE，
∵在△ADE 和△CDG 中，
AD = CD
∠ADE = ∠CDG
DE = DG
，
∴△ADE≌△CDG(SAS)，
∴AE = CG．
（2）见解析
【解析】证明：设AE 与DG 相交于点M，AE
与CG 相交于点N，在△GMN 和△DME 中，
由(1) 得∠CGD = ∠AED，
又∵∠GMN = ∠DME，
∴∠GNM = ∠MDE = 90◦，
∴AE⊥CG．
4 （1）见解析
【解析】证明：如图1，∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC = ∠BEC = 90◦，
∴∠DAC +∠ACD = 90◦，
∵∠ACB = 90◦，
∴∠ACD+∠BCE = 90◦，
∴∠DAC = ∠BCE，
在△ADC 和△CEB 中，
∵
∠ADC = ∠CEB
∠DAC = ∠ECB
AC = CB
，
∴△ADC≌△CEB(AAS)；
∴DC = EB，AD = CE，
∵DE = DC +EC，
∴DE = BE +AD．
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53
（2）见解析
【解析】解：DE +BE = AD．理由如下：
如图2，∵∠ACB = 90◦，
∴∠ACD+∠BCE = 90◦．
又∵AD⊥MN 于点D，
∴∠ACD+∠CAD = 90◦，
∴∠CAD = ∠BCE．
在△ACD 和△CBE 中，
∠ADC = ∠CEB = 90◦
∠CAD = ∠BCE
AC = BC
，
∴△ACD≌△CBE (AAS)，
∴CD = BE，AD = CE，
∴DE +BE = DE +CD = EC = AD，
即DE +BE = AD．
（3）见解析
【解析】解：DE = BE −AD(或AD = BE −DE，
BE = AD+DE 等)．理由如下：
如图3，易证得△ADC≌△CEB，
∴AD = CE，DC = BE，
∴DE = CD−CE = BE −AD，
即DE = BE −AD．
5
见解析
【解析】解：取AD 的中点P，连接PM，
∵M 为AB 的中点，且四边形ABCD 是正方
形，
∴AB = AD；
∴AM = AP = BM = PD；
∴∠AMP = ∠APM = 45◦；
∴∠DPM = 135◦；
而BN 平分∠CBE，
∴∠NBE = 45◦；
∴∠MBN = 135◦；
∵MN⊥MD，
∴∠ADM +∠AMD = ∠NMB+∠AMD = 90◦，
∴∠ADM = ∠NMB，即∠MDP = ∠NMB．
在△MPD 与△NBM 中，
∠DPM = ∠MBN
PD = BM
∠MDP = ∠NMB
，
∴△MPD≌△NBM (ASA)，
∴DM = MN．
6 （1）①见解析②60◦
【解析】①证明：如图1，
∵△ABC 与△APE 均为正三角形，
∴AB = AC，AP = AE，∠BAC = ∠PAE = 60◦，
∴∠BAC −∠PAC = ∠PAE −∠PAC
即∠BAP = ∠CAE，
在△ABP 和△ACE 中，
AB = AC
∠BAP = ∠CAE
AP = AE
，
∴△ABP≌△ACE (SAS)．
②∵△ABP≌△ACE，
∴∠ACE = ∠B = 60◦，
∵∠ACB = 60◦，
∠ECM = 180◦−60◦−60◦= 60◦．
故答案为：60◦．
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54
（2）①45◦②36
◦
【解析】①如图2，作EN⊥BN，交BM 于点N
∵四边形ABCD 和APEF 均为正方形，
∴AP = PE，∠B = ∠ENP = 90◦，
∴∠BAP+∠APB = ∠EPM +∠APB = 90◦，
即∠BAP = ∠NPE，
在△ABP 和△PNE 中，
∠B = ∠ENP
∠BAP = ∠NPE
AP = PE
，
∴△ABP≌△ACE (AAS)．
∴AB = PN，BP = EN，
∵BP+PC = PC +CN = AB，
∴BP = CN，
∴CN = EN，
∴∠ECM = ∠CEN = 45◦
②如图3，作EN//CD 交BM 于点N，
∵五边形ABCDF 和APEGH 均为正五边方
形，
∴AP = PE，∠B = ∠BCD，
∵EN//CD，
∴∠PNE = ∠BCD，
∴∠B = ∠PNE
∵∠BAP + ∠APB = ∠EPM + ∠APB = 180◦−
∠B，
即∠BAP = ∠NPE，
在△ABP 和△PNE 中，
∠B = ∠ENP
∠BAP = ∠NPE
AP = PE
，
∴△ABP≌△PNE (AAS)．
∴AB = PN，BP = EN，
∵BP+PC = PC +CN = AB，
∴BP = CN，
∴CN = EN，
∴∠NCE = ∠NEC，
∵∠CNE = ∠BCD = 108◦，
∴∠ECM = ∠CEN = 1
2 (180◦−∠CNE) = 1
2 ×
(180◦−108◦) = 36◦．
故答案为：45◦，36◦．
（3）∠ECK = 1
2
[
180
◦−(n−2)·180
◦
n
]
= 180
◦
n
【解析】如图4 中，过E 作EK//CD，交BM
于点K，
∵n 边形ABC··· 和n 边形APE ··· 为正n 边
形，
∴AB = BC，AP = PE
∠ABC = ∠BCD = ∠APE = (n−2)·180
◦
n
∵∠APK = ∠ABC + ∠BAP，∠APK = ∠APE +
∠EPK
∴∠BAP = ∠KPE
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55
∵EK//CD，
∴∠BCD = ∠PKE
∴∠ABP = ∠PKE，
在△ABP 和△PKE 中，
∠ABP = ∠PKE
∠BAP = ∠KPE
AP = PE
，
∴△ABP≌△PKE (AAS)
∴BP = EK，AB = PK，
∴BC = PK，
∴BC −PC = PK −PC，
∴BP = CK，
∴CK = KE，
∴∠KCE = ∠KEC，
∵∠CKE = ∠BCD = (n−2)·180
◦
n
∴∠ECK = 1
2
[
180
◦−(n−2)·180
◦
n
]
= 180
◦
n
7
见解析
【解析】解：延长FE 到点H，使HE = FE，
连接BH．
在△CEF 和△BEH 中，
CE = BE
∠CEF = ∠BEH
FE = HE
，
∴△CEF≌△BEH (SAS)，
∴∠EFC = ∠EHB，CF = BH = BG，
∴∠EHB = ∠BGE，而∠BGE = ∠AGF，
∴∠AFG = ∠AGF，
又∵EF//AD，∴∠AFG = ∠CAD，
∠AGF = ∠BAD，
∴∠CAD = ∠BAD，∴AD 为△ABC 的角平分
线．
第10 讲
轴对称应用-将军饮马
1
D
【解析】∵点B 和点B′ 关于直线l 对称，且
点C 在l 上，
∴CB = CB′，
又∵AB′ 交l 于C，且两条直线相交只有一个
交点，
∴CB′ +CA 最短，
即CA+CB 的值最小，
将轴对称最短路径问题利用线段的性质定理：
两点之间，线段最短加以解决，体现了转化思
想，验证时利用三角形的两边之和大于第三
边．
故选D．
2
24
5
【解析】作点B 关于AC 的对称点B′，过点
B′ 作B′D⊥AB 于点D，交AC 于点P，点P 即
为所求作的点，此时DP+PB 有最小值，连接
AB′，
根据对称点可知：BP = B′P，
Rt△ABC 中，∠C = 90◦，AC = 4，BC = 3，
AB =
√
AC2 +BC2 =
√
32 +42 = 5，
∵AC = AC，∠ACB = ∠ACB′ = 90◦，BC = B′C，
∴△ABC≌△AB′C，
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56
∴S△ABB′ = S△ABC +S△AB′C = 2S△ABC(SAS)，
∵S△ABB′ = 1
2 ×AB×B′D，
∴1
2 ×AB×B′D = 2S△ABC，
∴1
2 ×5×B′D = 2× 1
2 ×4×3，
∴B′D = 24
5 ，
∴PB+PD = DP+B′P = 24
5 ．
3
B
【解析】解：设CD 与OA 的交点为E，与OB
的交点为F，
∵OA、OB 分别是线段MC、MD 的垂直平分
线，
∴ME = CE，MF = DF，
∴小蚂蚁爬行的路径最短= CD = 10cm，
故选B．
4
A
【解析】解：分别作点P 关于OA、OB 的对称
点C、D，连接CD，分别交OA、OB 于点M、N，
连接OC、OD、PM、PN．
∵点P 关于OA 的对称点为C，关于OB 的对
称点为D，
∴PM = CM，OP = OC，∠COA = ∠POA，
∵点P 关于OB 的对称点为D，
∴PN = DN，OP = OD，∠DOB = ∠POB，
∴OC = OD = OP = 5，
∠COD = ∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB
= 2∠POA+2∠POB
= 2∠AOB = 60◦，
∴△COD 是等边三角形，
∴CD = OC = OD = 5，
∴△PMN 的周长= PM + MN + PN = CM +
MN +DN
⩾CD = 5，
∴△PMN 的周长的最小值为5．
故选A．
5
B
【解析】解：分别作点P 关于OA、OB 的对称
点D、C，连接CD，
分别交OA、OB 于点M、N，连接OC、OD、PM、
PN，如图所示：
∵点P 关于OA 的对称点为D，
∴PM = DM，OP = OD，∠DOA = ∠POA．
∵点P 关于OB 的对称点为C，
∴PN = CN，OP = OC，∠COB = ∠POB，
∴OC = OP = OD，∠AOB = 1
2∠COD．
∵△PMN 周长的最小值是6cm，
即PM +PN +MN = 6cm，
∴DM +CN +MN = 6cm，
即CD = 6 = OP，
∴OC = OD = CD，
即△OCD 是等边三角形，
∴∠COD = 60◦，
∴∠AOB = 30◦，故选B．
6
见解析
【解析】解：如图，作点A 关于BC 的对称点
A′，关于CD 的对称点A′′，
连接A′A′′ 与BC、CD 的交点即为所求的点
M、N，
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57
∵∠BAD = 110◦，∠B = ∠D = 90◦，
∴∠A′ +∠A′′ = 180◦−110◦= 70◦．
由轴对称的性质得：∠A′ = ∠A′AM，
∠A′′ = ∠A′′AN，
∴∠AMN +∠ANM = 2(∠A′ +∠A′′) = 2×70◦=
140◦．
7 （1）见解析
【解析】解：△A1B1C1 如图所示．
（2）见解析
【解析】解：如图所示，
利用轴对称图形的性质可得点A 关于直线
DE 的对称点A1，
连接A1B，交直线DE 于点Q，点Q 即为所
求，此时△QAB 的周长最小．
8
6
【解析】
∵M，N 为AB 的垂直平分线，
∴A，B 两点关于MN 对称，
过点A 作AQ⊥BC 于点Q，交MN 于点P，
P 和Q 即为使PB+PQ 有最小值的点，
∵AD//BC，
∴A，D 两点到BC 的距离相等，
∴S△DBC = 1
2BC ·AQ = 1
2 ×6×AQ = 18，
∴AQ = 6，
∴PB+PQ = AP+PQ = AQ = 6．
第11 讲
数一数
1
见解析
【解析】解：我们把这个问题分成6 种情况：
x2 +y2 = i，i = 0，1，2，···，5．
当x2 +y2 = 0 时，(x,y) = (0,0)；
当x2 +y2 = 1 时，(x,y) = (0,−1)，(0,1)，(1,0)，
(−1,0)；
当x2 + y2 = 2 时，(x,y) = (−1,−1)，(−1,1)，
(1,−1)，(1,1)；
当x2 +y2 = 3 时，不可能；
当x2 +y2 = 4 时，
(x,y) = (0,−2)，(0,2)，(−2,0)，(2,0)；
当x2 + y2 = 5 时，(x,y) = (−2,−1)，(−2,1)，
(−1,−2)，(−1,2)，(1,−2)，(1,2)，(2,−1)，(2,1)．
由加法原理知，满足题设的有序数对共有1+
4+4+0+4+8 = 21(个)．
2
见解析
【解析】解：(枚举法)50 以内的素数有15 个，
分别是：
2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，
47．
设符合条件的数为a × b，其中a，b 为素数，
a ⩽b．
当a = 2 时，b = 2，3，5，7，11，13，17，19，23，
29，31，37，41，43，47，共15 种可能；
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58
当a = 3 时，b 有10 种可能；
当a = 5 时，b 有6 种可能；
当a = 7 时，b 有3 种可能；
所以共有34 个满足条件的整数．
3
见解析
【解析】解：显然三角形可分为尖向上与尖向
下两大类，两类中三角形的个数相等．尖向上
的三角形又可分为6 类：
最大的三角形1 个(即△ABC)；
第二大的三角形有1+2 = 3(个)；
第三大的三角形有1+2+3 = 6(个)；
第四大的三角形有1+2+3+4 = 10(个)；
第五大的三角形有1+2+3+4+5 = 15(个)；
最小的三角形有1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 3 =
24(个)．
注意在△ABC 外面还有三个最小的尖向上的
三角形(左、右、下各一个)，所以最小的三角形
不是21 个而是24 个．
于是尖向上的三角形共1 + 3 + 6 + 10 + 15 +
24 = 59(个)．
图中共有三角形59×2 = 118(个)．
4
见解析
【解析】解：解法1：将符合要求的自然数分
为以下三类：
(1) 一位数，有1，2，4，5，6，7，8，9 共8 个．
(2) 两位数，在十位上出现的数字有1，2，4，5，
6，7，8，9 共8 种情形，在个位上出现的数字除
了以上八个数字外还有0，共9 种情形，故两
位数有8×9 = 72 个．
(3) 三位数，在百位上出现的数字有1，2 两种
情形，在十位、个位上出现的数字则有0，1，
2，4，5，6，7，8，9 九种情形，故三位数有
2×9×9 = 162 个．
因此，从1 到300 的自然数中完全不含数字3
的共有8+72+162 = 242 个．
解法2：将0 到299 的整数都看成三位数，其
中数字3 不出现的，百位数字可以是0，1 或
2 三种情况．
十位数字与个位数字均有九种，因此除去0
共有3×9×9−1 = 242(个)．
5
D
【解析】解：根据题意画出图形，如图所示：
①从A 市到C 市有：1×2 = 2(种) 走法；
②从A 市到B 市再转到C 市有：2×3 = 6(种)
走法；
综合①②从A 市去C 市旅游的路线共有
2+6 = 8(种) 走法；
所以王明一家若去C 市旅游往返有8 × 8 =
64(种) 走法．故选D．
6 （1）见解析
【解析】解：图(a) 中有6 条直线．一般来说，
每3 条直线能围成一个三角形，但是这3 条
直线如果相交于同一点，就不能围成三角形
了．
从6 条直线中选3 条，有6×5×4
6
= 20 种选
法，每次选出的3 条直线围成一个三角形，但
是在图(a) 中，每个顶点处有3 条直线通过，
它们不能围成三角形，因此，共有20−3 = 17
个三角形．
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59
（2）见解析
【解析】解：图(b) 中有7 条直线，从7 条直
线中选3 条，有7×6×5
6
= 35 种选法．每不
过同点的3 条直线构成一个三角形．
(b) 中，有2 个顶点处有3 条直线通过，它
们不能构成三角形，还有一个顶点有4 条直
线通过，因为4 条直线中选3 条有4 种选
法，即能构成4 个三角形，现在这4 个三角
形没有了，所以，图(b) 中的三角形个数是
35−2−4 = 29(个)．
7
36
【解析】解：隔板法：先给乙分1 个，丙分2
个，还剩7 个，分3 人，需2 板，共C2
9 = 36
（种）。
8
见解析
【解析】解：解法1:
乘法原理：按题意，分别站在每个人的立场上，
当自己被选中后，另一个被选中的，可以是除
了自己和左右相邻的两人之外的所有人，每
个人都有7 种选择，总共就有7×10 = 70 种
选择，但是需要注意的是，选择的过程中，会
出现“选了甲、乙，选了乙、甲”，这样的情况本
来是同一种选择，而却算作了两种，所以最后
的结果应该是(10−1−1−1)×10÷2 = 35(种)．
解法2:
排除法：可以从所有的两人组合中排除掉相
邻的情况，总的组合数为C2
10，而被选的两个
人相邻的情况有10 种，所以共有C2
10 −10 =
45−10 = 35(种)．
第12 讲
策略趣题选讲
1
见解析
【解析】证明：令Ai = {x|x = 2k ·(2i−1)，
k 为非负整数且2k (2i−1) ⩽200}，i = 1,2,3,
4,....,100．因取出的101 个数属于上述100 个
集合，由抽屉原理，其中必有2 个数属于同一
个集合，显然这两个数中一个是另一个的倍
数．
2
见解析
【解析】班上60 个人，班上的人可以认识0
人，1 人，…，59 人，但若某人只认识0 人，则
必无人认识59 人，若认识59 人，则每人至少
认识1 人，故不管任何情况，60 人认识的不同
人数至多为59 种，而现在有60 人，由抽屉原
理知，必有两人认识的人数是一样的．
3
见解析
【解析】解：不能，在方格中填上4、5、6 这三
个数后，每行、每列或两条对角线上5 个数的
和最大为6×5 = 30，最小为4×5 = 20．因为
5 个数的和为整数，所以共有11 个可能的值．
而5 行、5 列及2 条对角线上的和共有12 个，
所以必有2 个或2 个以上的和是相同的．
4
见解析
【解析】解：设购买3 元的商品有a 件，购买
5 元的商品有b 件，则3a+5b ⩽15(a,b 为非
负整数，其中至少有一个为正)，只能是：
(1,0),(2,0),(3,0),(4,0),(5,0),(0,1),(1,1),
(2,1),(3,1),(0,2),(1,2),(0,3)，共12 种购买
组合．由抽屉原理知购买的人数至少为2 ×
12 + 1 = 25 人，才能保证其中必有3 人购买
两种商品的数量完全相同．
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60
5
见解析
【解析】如图：
把长方形划分为5 个区域：
五边形AA1A2D2D1、五边形A1BB1B2A2、五
边形A2B2C1C2D2、四边形D1D2C2D、四边形
B1CC1B2．这五个区域形状有两类，而每个区
域中任意两点之间的距离都不超过它们的最
长对角线之长
√
5．因此6 个点放入此长方形
内，必有两点在同一区域，从而它们的距离不
大于
√
5．
6
见解析
【解析】如图对棋盘的格点进行相间染色：
因为奇数步，始终不会在红点上，所以要走45
个格点也不会在红色点上，所以不能办到
7
见解析
【解析】解：甲虫不能走遍所有的小房间．我
们如右图将正方体分割成27 个小正方体(每
个小正方体表示一问房间)，涂上黑白相间的
两种颜色，使得中心的小正方体染成白色，再
使两个相邻的小正方体染上不同的颜色．显
然，在27 个小正方体中，14 个是黑的，13 个
是白的．甲虫从中间的白色小正方体出发，每
走一步，方格就改变一种颜色．故它走26 步，
应该经过14 个白色的小正方体、13 个黑色的
小正方体．因此在26 步中至少有一个小正方
体，甲虫进去过两次．由此可见，如果要求甲
虫到每一个小房间只去一次，那么甲虫不能
走遍所有的小房间．
8 （1）2
【解析】如图所示，将6 × 6 的棋盘黑白相间
染色，有18 个黑格。
而每张卡片盖住的黑格数只能是1 或者3，所
以每张卡片盖住的黑格数是个奇数，
9 张卡片盖住的黑格数之和也是奇数，不可能
盖住18 个黑格。
（2）见解析
【解析】解：将23×23 的正方形地面中第1、
4、7、10、13、16、19、22 列中的小方格全染成黑
色，剩下的小方格全染成白色，于是白色的小
方格的个数为15 × 23，这是奇数．因为每块
2×2 瓷砖总是盖住二黑格和二白格或者盖住
四白格，每块3×3 瓷砖总是盖住三黑格和六
白格，故无论多少2 × 2 及3 × 3 的瓷砖盖住
的白格数总是一个偶数，不可能盖住23 × 15
个白格，所以，只用2×2 及3×3 的瓷砖不能
盖住23×23 的地面．
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61
第13 讲
方程不等式综合
1
m = 1，n = 1．
【解析】将x = 2，y = 3 代入方程组得：
2m−3
2n = 1
2
2m+3n = 5
，
②−①得：9
2n = 9
2，即n = 1，
将n = 1 代入②得：m = 1，
则m = 1，n = 1．
2
i．当−1 < a < 0 时，原不等式的解集为：x > 1
a，
ii．当a = 0 时，原不等式的解集为任意实数，
iii．当a > 0 或a < −1 时，原不等式的解集
为：x < 1
a，
iv．当a = −1 时，原不等式无解．
【解析】法一：原不等式可化为：a(a + 1)x <
a+1，
①当a(a + 1) > 0 时，则
a > 0
a+1 > 0
或
a < 0
a+1 < 0
，得：a > 0 或a < −1，
即当a > 0 或a < −1 时，原不等式的解集为：
x < 1
a；
②当a(a + 1) = 0 时，则a = 0 或a + 1 = 0，
则：
i．当a = 0 时，原不等式可化为：−1 < 0，则原
不等式的解集为任意实数，
ii．当a = −1 时，原不等式可化为：0 < 0，则原
不等式无解；
③当a(a + 1) < 0 时，则
a > 0
a+1 < 0
或
a < 0
a+1 > 0
，得：−1 < a < 0，
即当−1 < a < 0 时，原不等式的解集为：x > 1
a．
法二：当a = −1 时，原不等式可化为0 < 0，
则原不等式无解．当a̸ = −1 时：
①
ax−1 > 0
a+1 < 0
，即
ax > 1
a < −1
，则当a <
−1 时，原不等式的解集为：x < 1
a；
②
ax−1 < 0
a+1 > 0
，即
ax < 1
a > −1
，则：
i．当−1 < a < 0 时，原不等式的解集为：x > 1
a，
ii．当a = 0 时，原不等式可化为：−1 < 0，则原
不等式的解集为任意实数，
iii．当a > 0 或a < −1 时，原不等式的解集
为：x < 1
a．
iv．当a = −1 时，原不等式无解．
3
4
3 ⩽a ⩽3
2
【解析】
解不等式组
4a+3x > 0
3a−4x ⩾0
得，
x > −4
3a
x ⩽3
4a
，
∴不等式组的解集是−4
3a < x ⩽3
4a，
∵关于x 的不等式组
4a+3x > 0
3a−4x ⩾0
恰好
只有三个整数解，
∴必定有整数解0，
∵
−4
3a
>
3
4a
，
∴三个整数解不可能是0，1，2．
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62
若三个整数解为−1，0，1，
则
−2 ⩽−4
3a < −1
1 ⩽3
4a < 2
，解得4
3 ⩽a ⩽3
2；
若三个整数解为−2，−1，0，
则
−3 ⩽−4
3a < −2
0 ⩽3
4a < 1
，此不等式组无解，
所以a 的取值范围是4
3 ⩽a ⩽3
2．
故答案为：4
3 ⩽a ⩽3
2．
4 （1）230 元；100 元．
【解析】设购买1 个A 型配件和1 个B 型配
件各需要支付x 元和y 元，
依题意，得
x+3y = 530,
3x+2y = 890.
解得
x = 230,
y = 100.
答：购买1 个A 型配件需要支付230 元，购买
1 个B 型配件需要支付100 元．
（2）9 个．
【解析】设学校购买m 个A 型配件．
依题意，得230m+100(30−m) ⩽4180．
解得m ⩽118
13 = 9 1
13．
∵m 为整数，
∴m 的最大整数值为9．
答：学校最多可以购买9 个A 型配件．
5 （1）80
120
【解析】根据题意得：
10a+12b = 2240
20a+15b = 3400
，
解得∶
a = 80
b = 120
．
（2）x = 9，2640 元；x = 10，2600 元；x = 11，
2560 元；x = 12，2520 元
【解析】设第三周售出A 种规格自行车x 辆，
则第三周售B 种规格自行车（25−x）辆，
根据题意得︰
25−x > x
25−x ⩽2x
，
解得：81
3 ⩽x < 121
2，
而x 为整数，
所以x = 9、10、11、12，
当x = 9 时，25−x = 16，
此时利润= 9×80+16×120 = 2640（元）；
当x = 10 时，25−x = 15，
此时利润= 10×80+15×120 = 2600（元）；
当x = 11 时，25−x = 14，
此时利润= 11×80+14×120 = 2560（元）；
当x = 12 时，25−x = 13，
此时利润= 12×80+13×120 = 2520（元）．
6 （1）200 元，300 元．
【解析】设甲种花木每株的培育成本为x 元，
乙种花木每株的培育成本为y 元，
依题意得：
x+y = 500
3x+2y = 1200
，
解得：
x = 200
y = 300
．
答：甲种花木每株的培育成本为200 元，乙种
花木每株的培育成本为300 元．
（2）29 株．
【解析】设黄老伯培育甲种花木m 株，则培
育乙种花木(3m−10) 株，
依题意得：(300−200)m+(500−300)(3m−10)
⩾18000，
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63
解得：m ⩾200
7 ．
∵m 为正整数，
∴m ⩾29．
答︰黄老伯至少培育甲种花木29 株．
7 （1）20 元、30 元．
【解析】设A、B 两种纪念品的进价分别为x
元、y 元．由题意，
得
7x+8y = 380
10x+6y = 380
，解之，得
x = 20
y = 30
．
答：A、B 两种纪念品的进价分别为20 元、30
元．
（2）购进A 种纪念品30 件，B 种纪念品10 件．
【解析】设商店准备购进A 种纪念品a 件，则
购进B 种纪念品(40−a) 件
由题意，得
20a+30(40−a) ⩽900
5a+7(40−a) ⩾216
，
解之，得：30 ⩽a ⩽32．
设总利润为w，
∵总获利w = 5a+7(40−a) = −2a+280 是
a 的一次函数，且w 随a 的增大而减小，
∴当a = 30 时，w 最大，最大值，
w = −2×30+280 = 220．
∴40−a = 10．
∴当购进A 种纪念品30 件，B 种纪念品10
件时，总获利不低于216 元，且获得利润最大，
最大值是220 元．
8 （1）见解析
【解析】解：∵b = a+1，c = b+1．
∴c = a+2，
由题意，得3a+a+1 = a+2，
解得a = 1
3，
∴c = a+2 = 7
3．
（2）见解析
【解析】解：当a = 1
2 时，1
2x+ 3
2y = 5
2，
化简得，x+3y = 5，
∴符合题意的整数解是：
x = −4
y = 3
，
x = −1
y = 2
，
x = 2
y = 1
．
（3）见解析
【解析】解：由题意，得ax+(a+1)y = a+2，
整理得，a(x+y−1) = 2−y①，
∵x、y 均为正整数，
∴x+y−1 是正整数，
∵a 是正整数，
∴2−y 是正整数，
∴y = 1，把y = 1 代入①得，ax = 1，
∴a = 1，
此时，a = 1，b = 2，c = 3，方程的正整数解是
x = 1
y = 1
．
第14 讲
平行相关动态问题2
1 （1）90◦
【解析】∵AM//BN，
∴∠BAM +∠ABN = 180◦．
∵AE 平分∠BAM，
∴∠BAE = 1
2∠BAM．
∵BE 平分∠ABN，
∴∠ABE = 1
2∠ABN，
∴∠BAE +∠ABE
= 1
2∠BAM + 1
2∠ABN
= 1
2 (∠BAM +∠ABN) = 90◦，
∴∠AEB= 180◦−(∠BAE +∠ABE)= 90◦．
故∠AEB 的度数为90◦．
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64
（2）证明见解析．
【解析】如图4，延长AE 交BN 于F．
∵BE 平分∠ABN，
∴∠ABE = ∠FBE．
在△BEA 和△BEF 中，
∠ABE = ∠FBE
BE = BE
∠AEB = ∠FEB
，
∴△BEA≌△BEF (ASA)，
∴AB = FB，AE = FE．
∵AM//BN，
∴∠CAE = ∠DFE．
在△AEC 和△FED 中，
∠AEC = ∠FED
AE = FE
∠CAE = ∠DFE
，
∴△AEC≌△FED(ASA)，
∴AC = DF，
∴BF = BD+DF = BD+AC，
∴AB = BF = BD+AC，
故AC +BD = AB．
（3）①AB = BD−AC
②8
【解析】①如图5，延长AE 交BD 于F，
在△ABE 和△FBE 中，
∠ABE = ∠FBE
BE = BE
∠AEB = ∠FEB
，
∴△ABE≌△FBE (ASA)，
∴AB = BF，AE = EF．
∵AM//BN，
∴∠ACE = ∠FDE．
在△AEC 和△FED 中，
∠AEC = ∠FED
∠ACE = ∠FDE
AE = FE
，
∴△AEC≌△FED(AAS)，
∴AC = DF，
∴BF = BD−DF = BD−AC，
∴AB = BF = BD−AC，
∴AB = BD−AC．
②∵AB = BF = 5，
AC = DF = 3，
∴S△ABE −S△ACE = S△FBE −S△EFD = 2．
∵S△BEF : S△EFD = BF : DF = 5 : 3，
∴S△BEF = 5，S△EFD = 3，
∴S△BDE = S△BEF +S△EFD = 8．
故答案为：8．
2 （1）30◦．
【解析】如图，过点P 作MN//AB，
∵AB//CD，
∴CD//MN，
∴∠AEP = ∠EPN,∠PFC = ∠NPF，
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65
又∵PF⊥CD,∠FPE = 120◦，
∴∠AEP = ∠EPN = ∠EPF −∠NPF
= ∠EPF −∠PFC
= 120◦−90◦= 30◦．
（2）①∠EPN =
(280
3
)◦
或
(40
3
)◦
．
②当EM//PN 时，t 的值为18
5 或54
11 或
90
11．
【解析】①PN 在第一阶段逆时针运动，该阶
段所用的时间为t0 = 180◦
40◦= 9
2，
∠MEP = 20◦时有两种情况，
①30−15t = 20，t = 2
3 < t0.
∠FPN = 40◦× 2
3 =
(80
3
)◦
< 120◦，
∠EPN = 120◦−∠FPN =
(280
3
)◦
．
②15t −30 = 20，t = 10
3 < t0，
∠FPN = 40◦× 10
3 =
(400
3
)◦
> 120◦，
∠EPN = ∠FPN −120◦=
(40
3
)◦
；
综上所述，∠EPN =
(280
3
)◦
或
(40
3
)◦
．
②EM 从EA 到AB 所用的时间为：
t = 180◦
15◦= 1，
PN 从PF 到与AB 垂直所用的时间为：
t = 180◦
40◦= 9
2，
分以下三种情况讨论：
当PN 由PF 运动到如图1 所示的位置时，
EM//PN，
∠PEM = ∠AEM −∠AEP = (15t)◦−30◦，
∠NPE = ∠NPF −∠EPF = (40t)◦−120◦，
(15t)◦−30◦= (40t)◦−120◦，
t = 18
5 ．
当PN 运动到PG，再由PG 运动到如图2 所
示的位置时，
EM//PN，∠AEM = (15t)◦，
∵EM//PN，
∴∠GHP = ∠AEM = (15t)◦．
∴∠GPH = 90◦−(15t)◦．
∵180◦+∠GPH = (40t)◦，
∴180◦+90◦−(15t)◦−(40t)◦．
解得t = 54
11．
当PN 由PG 运动到如图3 所示的位置时，
EM//PN，
∠AEM = (15t)◦，∠GPN = (40t)◦−180◦，
∵∠AEP = 30◦，
∴∠EPG = 60◦，∠PEM = (15t)◦−30◦，
∠EPN = (40t)◦−180◦−60◦= (40t)◦−240◦．
∵EM//PN，
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∴∠PEM +∠EPN = 180◦．
∴(15t)◦−30◦+(40t)◦−240◦= 180◦，
解得t = 90
11．
综上，当EM//PN 时，t 的值为18
5 或54
11 或
90
11．
3 （1）见解析
【解析】解：过P 作PO//AB，
∵AB//CD，
∴AB//PO//CD，
∵∠A = 20◦，
∴∠APO = ∠A = 20◦，∠C = ∠CPO，
∵∠APC = 70◦
∴∠C = ∠CPO = ∠APC−∠APO = 70◦−20◦=
50◦．
（2）见解析
【解析】∠A+∠C = ∠APC，
证明：过P 作PO//AB，
∵AB//CD，
∴AB//PO//CD，
∴∠APO = ∠A，∠C = ∠CPO，
∴∠APC = ∠APO+∠CPO = ∠A+∠C．
（3）见解析
【解析】解：不成立，关系式是：∠A −∠C =
∠APC，
理由是：过P 作PO//AB，
∵AB//CD，
∴AB//PO//CD，
∴∠APO = ∠A，∠C = ∠CPO，
∴∠A−∠C = ∠APO−∠CPO = ∠APC，
即∠A−∠C = ∠APC．
4 （1）40◦．
【解析】∵AB//CD，
∴∠1 = ∠EGD，
∵∠2+∠FGE +∠EGD = 180◦，∠2 = 2∠1，
∴2∠1+60◦+∠1 = 180◦，
解得∠1 = 40◦．
（2）∠AEF +∠FGC = 90◦，证明见解析．
【解析】∠AEF +∠FGC = 90◦，理由如下：
如图，过点F 作FP//AB，
∵CD//AB，
∴FP//AB//CD，
∴∠AEF = ∠EFP，∠FGC = ∠GFP，
∴∠AEF +∠FGC = ∠EFP+∠GFP = ∠EFG，
∵∠EFG = 90◦，
∴∠AEF +∠FGC = 90◦．
（3）α +β = 300◦．
【解析】∠AEG+∠CFG = 300◦，理由如下：
∵AB//CD，
∴∠AEF +∠CFE = 180◦，
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67
∴(∠AEG −∠FEG) + (∠CFG −∠EFG) =
180◦，
∵∠FEG = 30◦，∠EFG = 90◦，
∴(∠AEG−30◦)+(∠CFG−90◦) = 180◦，
∴∠AEG+∠CFG = 300◦，即α +β = 300◦．
5 （1）m = −2，n = 4．
【解析】∵|m+2| ⩾0，(m+n−2)2 ⩾0，
且|m+2|+(m+n−2)2 = 0，
∴m+2 = 0，m+n−2 = 0，
解得：m = −2，n = 4．
（2）①(3,0)．
②(−3,0) 或(0,6) 或(0,−6)．
【解析】①如图，过点C 作CN⊥x 轴，设
M(xM,0)，
（xM > 0）
∵C(−1,2)，
∴CN = 2，
∴S△COM = 1
2OM ·CN = OM = xM，
∵A(−2,0)，B(4,0)，
∴S△ABC = 1
2AB·CN = 1
2 ×6×2 = 6，
∵S△COM = 1
2S△ABC，
∴xM = 1
2 ×6 = 3，
∴点M 的坐标为(3,0)．
②当点M 在x 轴的负半轴时，
由①可得，OM = 3，
则xM = −3，
∴点M 的坐标为(−3,0)．
当点M 在y 轴的正半轴时，
S△COM = 1
2OM ·|xC| = 1
2yM = 1
2S△ABC，
则：1
2yM = 3，
yM = 6，
∴点M 的坐标为(0,6)．
当点M 在y 轴的负半轴时，
S△COM = 1
2OM ·|xC| = 1
2 |yM| = −1
2yM
= 1
2S△ABC，
则：−1
2yM = 3，
yM = −6，
∴点M 的坐标为(0,−6)．
综上可得：点M 的坐标为(−3,0) 或(0,6) 或
(0,−6)．
（3）不变，其比值为2．
【解析】不变，
∵CD⊥y 轴，AB 在x 轴上，
∴∠CDO = ∠DOB = 90◦，
∴AB//CD，
∴∠OPD = ∠POB，
∵OF⊥OE，
∴∠POF +∠POE = 90◦，
∠BOF +∠AOE = 90◦，
∵OE 平分∠AOP，
∴∠POE = ∠AOE，
∴∠POF = ∠BOF，
∴∠OPD = ∠POB = 2∠BOF，
∵∠DOE +∠DOF = ∠BOF +∠DOF = 90◦，
∴∠DOE = ∠BOF，
∴∠OPD = 2∠BOF = 2∠DOE，
∴∠OPD
∠DOE = 2．
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68
第15 讲
新题型大集合
1 （1）(3−2)×(−4)×(−6) = 24．
【解析】(3−2)×(−4)×(−6) = 24．
（2）38
3
【解析】=
(
−1
3
)
−(−4)−1+0
= 8
3
2 （1）1
3
−27
【解析】3 = 3÷3÷3 = 1
3，
(
−1
3
)
=
(
−1
3
)
÷
(
−1
3
)
÷
(
−1
3
)
÷
(
−1
3
)
÷
(
−1
3
)
= −27．
（2）C
【解析】A 选项：任何非零数的圈2 次方就是
两个相同数相除，
所以都等于1，所以选项A 正确．
B 选项：因为多少个1 相除都是1，
所以对于任何正整数n ，1 都等于1，所以选
项B 正确．
C 选项：3 = 3÷3÷3÷3 = 1
9，4 = 4÷4÷4 = 1
4，
则3̸ = 4，所以选项C 错误．
D 选项：负数的圈奇数次方，相当于奇数个负
数相除，则结果是负数，负数的圈偶数次方，
相当于偶数个负数相除，则结果是正数．
所以选项D 正确．
故选C.
（3）①
(1
3
)2
；
(1
5
)4
；(−2)8
②
(1
a
)n−2
③−131
【解析】①(−3) = (−3) ÷ (−3) ÷ (−3) ÷
(−3) =
(1
3
)2
，
5 = 5÷5÷5÷5÷5÷5 =
(1
5
)4
，
同理得
(
−1
2
)
= (−2)8，
故答案为：
(1
3
)2
，
(1
5
)4
，(−2)8．
②a =
(1
a
)n−2
．
③122 ÷
(1
3
)
÷(−2) −
(1
3
)
÷33
= 144÷32 ×(−2)3 −34 ÷33
= 144× 1
9 ×(−8)−81÷27
= 16×(−8)−3
= −128−3
= −131．
3 （1）见解析
【解析】解：①
a−2b−1 = −2
4a+4b−1 = 3
，
解得
a = 1
3
b = 2
3
；
②
2m
3 + 4(5−4m)
3
−1 ⩽4
m
3 + 4(3−2m)
3
−1 > p
，
解得5
14 ⩽m < 9−3p
7
，
因为原不等式组有2 个整数解，
所以2 < 9−3p
7
⩽3，
解得，−4 ⩽p < −5
3．
（2）见解析
【解析】T(x，y) = ax+2by−1 ，
T(y ，x) = ay+2bx−1 ，
所以ax+2by−1 = ay+2bx−1，
所以(a−2b)(x−y) = 0 所以a = 2b．
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69
4 （1）312、981
【解析】由题意可得：312 是“好数”，因为它
是一个三位的自然数，3，1，2 都不为0，且
3 + 1 = 4，4 ÷ 2 = 2，2 为整数；675 不是“好
数”，因为6 + 7 = 13，13 ÷ 5 的商不是整数；
981 是“好数”，因为它是一个三位的自然数，
9，8，1 都不为0，且9+8 = 17，17÷1 = 17，17
为整数；802 不是“好数”，因为数字不能为0，
所以“好数”为312，981 .
故答案为：312，981．
（2）①假
②真
【解析】①例如801 不是“好数”，故个位数
字为1 的一个三位自然数一定是“好数”是假
命题．
②各数位上的数字都相同的一个三位自然数
一定是“好数”是真命题．
故答案为：假，真．
（3）617 或729．
【解析】设十位数字为a，则百位数字为a+5，
个位数字为2a+5，
∵“好数”是三位的自然数，且各数位上的数
字都不为0，
∴1 ⩽2a+5 ⩽9，
∴−2 ⩽a ⩽2．
∵a 为正整数，
∴a = 1 或2．
∴当a = 1 时，a + 5 = 6，2a + 5 = 7，则“好
数”为617；
当a = 2 时，a+5 = 7，2a+5 = 9，则“好数”为
729．
∴满足条件的“好数”为617 或729．
5 （1）5
【解析】∵5 = 4+1 = 22 +12，
∴5 为小于10 的完美数．
故答案为：5．
（2）是
【解析】53 = 49+4 = 72 +22，
∴53 是完美数．
故答案为：是．
（3）k = 5；证明见解析．
【解析】当k = 5 时（不固定，符合条件即
可），
M = x2 +4x+5
= x2 +4x+22 +12
= (x+2)2 +12，
∴当k = 5 时，M 为“完美数”．
（4）证明见解析．
【解析】如果数m，n 都是“完美数”，试说明
mn 也是“完美数”．
设m = a2 +b2，n = c2 +d2，
∴mn =
(
a2 +b2)(
c2 +d2)
= a2c2 +a2d2 +b2c2 +b2d2
= a2c2 +a2d2 +b2c2 +b2d2 +2abcd −2abcd
= (ac+bd)2 +(ad −bc)2，
所以mn 也是“完美数”．
6 （1）A′ (1,2)；B′ (4,1)，画图见解析．
【解析】根据“a 型平移”的定义可知，将线
段AB 进行“2 型平移”后对应线段A′B′，因为
A(−1,4)，B(2,3)，
所以A′ 坐标为(−1+2,4−2)，即A′(1,2)；B′
坐标为(2+2,3−2)，即B′(4,1)．
故答案为：A′(1,2)；B′(4,1)．
画图如下：
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70
（2）4
【解析】如图所示，按照题意画出图形，
四边形ABB′A′ 的面积= 5 × 3 −3 × 1 ÷ 2 −
2×1−2×2÷2−3×1÷2−2×1−2×2÷2
= 15−1.5−2−2−1.5−2−2 = 4，
故四边形ABB′A′ 的面积为4．
（3）3 ⩽a ⩽4
【解析】将线段AB 进行“a 型平移”后，A′ 坐
标为(−1+a,4−a)，B′ 坐标为(2+a,3−a)，
当点B′ 在x 轴上时，即3−a = 0，a = 3；
当点A′ 在x 轴上时，即4−a = 0，a = 4；
将线段AB 进行“a 型平移”后与x 轴有公共
点，则3−a ⩽0，4−a ⩾0，
即3 ⩽a ⩽4，
故a 的取值范围为：3 ⩽a ⩽4．
（4）−4 ⩽a ⩽4
【解析】将四边形ABB′A′ 进行“a 型平移”后，
点A 对应点坐标为(−1+a,4−a)，点B 对应
点坐标为(2+a,3−a)，
点A′ 对应点坐标为(1+a,2−a)，点B′ 对应
点坐标为(4+a,1−a)，
当四边形ABB′A′ 与y 轴有交点时，点B′ 的对
应点的横坐标为非负数，即4+a ⩾0，a ⩾−4，
当四边形ABB′A′ 与x 轴有交点时，点A 的对
应点的纵坐标为非负数，即4−a ⩾0，a ⩽4，
所以将四边形ABB′A′ 进行“a 型平移”后与坐
标轴有公共点时a 的取值范围为：−4 ⩽a ⩽4，
故答案为：−4 ⩽a ⩽4．
7 （1）725 为“2020“数．
【解析】∵725 满足7×2−(7+2) = 5，
∴725 为“2020“数．
（2）333，297，369．
【解析】设数字abc(1 ⩽a ⩽5,0 ⩽b ⩽9,0 ⩽
c ⩽9) 中，
∴abc = 100a + 10b + c，其中(a + b + c) 为9
的倍数，
又∵a+b+c ⩽9+9+5 = 23，
∴a+b+c 为9 或18，
要满足ab−(a+b) = c 即ab = a+b+c，
①若a+b+c = 9 则ab = 9，
其中a = 1，b = 9（舍去），
a = 3，b = 3，c = 3．
②若a+b+c = 18 则ab = 18，
其中a = 1，b = 18（舍去），
a = 2，b = 9，c = 7，
a = 3，b = 6，c = 9．
综上所述为333，297，369．
8 （1）2 或8
【解析】∵|x−5| = 3，
∴在数轴上与5 距离为3 的点为2 和8，
∴方程的解为x = 2 或8．
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参考答案
数学创新班/ 初一/ 全国版
71
（2）−6 < x < 2．
【解析】2|x+2|+1 < 9
2|x+2| < 8
|x+2| < 4，
首先找|x+2| = 4 的解，
即到−2 距离为4 的点对应数为−6，2，
|x+2| < 4 表示到−2 的距离小于4 的点对
应的所有数，
∴不等式解集为−6 < x < 2．
（3）−2 ⩽x ⩽1
【解析】|x−1|+|x+2| = 3，
表示到1 的点与到−2 的点距离之和为3，
∵−2 与1 之间距离为3，
∴−2 ⩽x ⩽1．
（4）−3 ⩽y ⩽3
【解析】y = |x−1|−|x+2|，
|x−1| 表示数x 到1 的距离，
|x+2| 表示数x 到−2 的距离，
y = |x−1|−|x+2| 表示数x 到1 的距离减去
数x 到−2 的距离，
当x 在点1 右边时，y = −3，
当x 在点−2 左边时，y = 3，
当x 在−2 和1 之间时，−3 ⩽y ⩽3，
∴−3 ⩽y ⩽3．
第16 讲
统计问题初步
1 （1）D
【解析】本题考查样本的选择．
（2）C
【解析】解：A、1000 名考生的数学成绩是总
体的一个样本，故A 错误；
B、1000 是样本容量，故B 错误；
C、每位考生的数学成绩是个体，故C 正确；
D、近9 万名考生的数学成绩是总体，故D 错
误．故选：C．
2
D
【解析】2015 年某市有近1.6 万名考生参加
升学考试，为了了解这1.6 万名考生的数学成
绩，从中抽取2000 名考生的数学成绩进行统
计分析，在这个问题中抽取的2000 名考生的
数学成绩为样本．故选：D．
3
见解析
【解析】解：设该养殖基地共有青蛙x 只，则
5 : 200 = 100 : x，
解得x = 4000．
则估计该养殖基地共有青蛙4000 只．
4 （1）见解析
【解析】解：男生人数= 4+12+10+8+6 =
40（人）
答：样本中男生的人数为40 人．
（2）见解析
【解析】
解：40 × (1−17.5%−37.5%−25%−15%) =
2(人)，
答：样本中女生身高在E 组的人数为2 人．
（3）见解析
【解析】解：10+8
40
×380+320
×(25%+15%) = 299(人)，
答：全校身高在160 ⩽x < 170 之间的学生总
人数为299 人．
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72
5 （1）C
【解析】解：由题意可得，
从市教育部门学生学籍档案中随机抽取200
名学生作为调查对象进行调查比较合理，
故选：C．
（2）54
【解析】解：m = 200−92−36−18 = 54，
故答案为：54．
（3）54 万人
【解析】解：100× 200−92
200
= 54（万人），
答：全市每天“停课不停学”的学习时间在1 2
小时及以上的人数有54 万人．
（4）见解析
【解析】解：这个调查设计有不合理的地方，
如在100 万人的总体中，随机抽取的200 人
作为样本，样本容量偏小，会导致调查的结果
不够准确，建议增大样本容量．
6
C
【解析】解：①这200 名学生参加公益劳动时
间的平均数：(24.5×97+25.5×103) ÷ 200 =
25.015，一定在24.5−25.5 之间，正确；
②这200 名学生参加公益劳动时间的中位数
在20−30 之间，正确；
③这200 名学生中的初中生参加公益劳动时
间的中位数一定在20−30 之间，正确；
④这200 名学生中的高中生参加公益劳动时
间的中位数可能在20−30 之间，错误．
故选：C．
7 （1）见解析
【解析】解：共有25 个数据，第13 个数落在
80 ⩽x < 90 这一组中，此组最小的数为第13
个数，
所以八年级1 班学生的成绩的中位数为80；
故表二补充完整为：
（2）见解析
【解析】解：八年级1 班学生的成绩更为优异．
理由如下：八年级1 班学生的成绩的平均数
比2 班高，1 班的中位数比2 班的中位数大，
并且1 班的众数为85 分，比2 班的众数大，1
班的方差比2 班小，比较稳定．
8 （1）见解析
【解析】20、80、80、80、40
（2）见解析
【解析】在这五次测试中，成绩比较稳定的是
小李，小王的优秀率为40%，小李的优秀率为
80%．
（3）见解析
【解析】方案一：我选小李去参加比赛，因为
小李的优秀率高，有4 次达到80 分以上，成
绩比较稳定，获奖机会大．
方案二：我选小王去参加比赛，因为小王的成
绩获得一等奖的机率较高，有2 次90 分以上
(含90 分)，因此有可能获得一等奖．
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