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5
前言
希望学网校教研团队
亲爱的同学：
当你翻开这本书的时候，你又开始了一段新的学习之旅。
本书由希望学网校教研团队编写而成。团队有18年的教研沉淀，致力于为
同学们提供小学和初中全学科的课外有益补充，培养学生分析问题和自主解决问
题的能力。锻炼思维，开拓视野，由“知识型”向“能力型”转化。
下面我们将向你介绍本书的诞生过程：
1、对标教材和课程标准建立课程大纲
希望学网校教研团队根据教育部审定的最新中学教材，选取重难点模块，收
集各地区题目，精心敲定网校教学大纲。
2、依据大数据、编撰高标准
①依托18年教研沉淀，精品题库、讲义素材、课件切片等四大库教研基
建，为讲义编撰提供优质素材；
②希望学网校大数据核心算法定位学习中的薄弱环节；
③百人教研团队，历经1000+小时，严格按照大纲目录进行编写，三轮审核
三轮校对。
3、三审三校
初稿经由希望学网校教研中心内部一审，学科产品、教学中心、主讲老师集
中二审，外部专家专业三审后进入校对环节。
由编者一次精校；教研中心资深教研员二次精校；排版团队三次精校。只有
经过全面的三审三校，这本书才能发送给我们的用户！
4、排版
编撰与审校结束后，会安排专业团队进行排版印刷。模板和风格由专业设计
师进行设计，并不断更新迭代，紧跟审美风向标，提升可读性。由供应部门统一
调配和发货，这本书就会到达你的手中啦！
路漫漫其修远兮，吾将上下而求索！接下来的每一天，我们都会在你的见证
下不断精进，不断成长。
未来，希望学网校也会继续承担起用科技推动教育进步的重任，不断致力于
教育资源的均衡发展。伴随着你的成长，见证着你的成功，每天进步一点点，一
起做更好的自己！
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目录
第7 讲
全等三角形的性质与判定
1
模块一
全等三角形的概念与性质
2
模块二
全等三角形的判定
4
模块三
全等三角形的证明
7
第8 讲
几何变换与网格作图
11
模块一
平移
12
模块二
轴对称
15
模块三
旋转
17
第9 讲
全等三角形综合
23
模块一
几何变换下的全等关系
24
模块二
辅助线入门
30
第10 讲轴对称应用-将军饮马
35
模块一
将军饮马引入
36
模块二
将军饮马基础
38
模块三
综合提升
41
第11 讲
数一数
45
模块一
分类枚举
46
模块二
加乘原理
47
模块三
综合提升
50
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第12 讲
策略趣题选讲
55
模块一
抽屉原理
56
模块二
染色策略
59
第13 讲
方程不等式综合
63
模块一
复杂方程不等式求解
64
模块二
方程不等式实际应用
65
模块三
方程不等式综合应用
67
第14 讲平行相关动态问题2
71
模块一
平行动态问题综合
72
模块二
平行动态问题与应用
75
模块三
坐标系中的平行动态问题
76
第15 讲
新题型大集合
81
模块一
实验操作
82
模块二
新定义
84
模块三
阅读材料
86
第16 讲
统计问题初步
91
模块一
统计问题
92
模块二
统计量
96
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第7 讲
全等三角形的
全等三角形的性质与判定
模块一
全等三角形的概念与性质
模块二
全等三角形的判定
模块三
全等三角形的证明
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第
7
讲
全
等
三
角
形
的
性
质
与
判
定
2
模块一
模块一
全等三角形的概念与性质
知识梳理
1. 全等图形：能够完全重合的两个图形叫全等图形．
2. 全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形．
完全重合时，互相重合的顶点为对应顶点，互相重合的角为对应角，互相重合的边为对应边．
如图，两个全等的三角形，记作“△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴′𝐵′𝐶′”，这里符号″≌″ 表示全等，读作“全等于”，顶点𝐴、𝐵、
𝐶分别与顶点𝐴′、𝐵′、𝐶′ 对应．
【注意】
寻找全等三角形的对应角、对应边的一般规律是：⑴把其中一个图形通过平移、翻折或旋转，能与另
一个图形完全重合，则重合的边就是对应边，重合的角就是对应角，表示两个三角形全等时，要把对
应字母写在对应位置上．
⑵有公共边时，则公共边为对应边；有公共角时，则公共角为对应角（对顶角为对应角）；最大边与最
大边（最小边与最小边）为对应边；最大角与最大角（最小角与最小角）为对应角．
3. 全等三角形的性质：
⑴全等三角形的对应边相等；
⑵全等三角形的对应角相等；
⑶全等三角形的对应角的角平分线相等，对应边上的中线相等，对应边上的高线相等，周长相等，面积相
等；
⑷平移、对称、旋转前后的图形全等．
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第
7
讲
全
等
三
角
形
的
性
质
与
判
定
3
典型例题1
（1）如果△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹，则𝐴𝐵的对应边是
，𝐴𝐶的对应边是
，∠𝐶的对应角是
，∠𝐷𝐸𝐹的对应角是
．
两个三角形的周长𝐶△𝐴𝐵𝐶
𝐶△𝐷𝐸𝐹，两个三角形的面积𝑆△𝐴𝐵𝐶
𝑆△𝐷𝐸𝐹(填“>”、
“=”、
“<”)．
（2）如果△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹，且△𝐴𝐵𝐶的周长是100cm，𝐴、𝐵分别与𝐷、𝐸对应，并且𝐴𝐵= 30cm，𝐷𝐹=25cm，
则𝐵𝐶的长等于
cm．
典型例题2
如图，△𝐴𝐶𝐸≌△𝐷𝐵𝐹，𝐴𝐷= 8，𝐵𝐶= 2．
（1）求证：𝐴𝐵= 𝐶𝐷．
（2）求证：𝐶𝐸//𝐵𝐹．
（3）求𝐴𝐶的长度．
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第
7
讲
全
等
三
角
形
的
性
质
与
判
定
4
模块二
模块二
全等三角形的判定
知识梳理
一、全等三角形的判定定理
1. 三边分别相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”．
2. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写为“边角边”或“SAS”．
3. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写为“角边角”或“ASA”．
4. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写为“角角边”或“AAS”．
5*. 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简写为“斜边、直角边”或“HL”．
注：三角形全等的判定条件中必须是三个元素，并且一定有一组对应边相等．
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第
7
讲
全
等
三
角
形
的
性
质
与
判
定
5
为了理解记忆三角形全等的判定条件，现归纳如下表：
二、三角形全等的证明思路
在判定两个三角形全等的过程中，判定方法的选择取决于题目中的已知条件．若已知两边对应相等，则找
它们的夹角或第三边；若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组边；若已知两角对应相等，则只
需再找任意一组边．
证明思路
⎧{{{{{{{
⎨{{{{{{{⎩
已知两边
⎧{{
⎨{{⎩
找夹角∶SAS
找第三边∶SSS
已知一边一角
⎧{{
⎨{{⎩
任找一角∶ASA,AAS
找另一邻边∶SAS
已知两角，任找一边∶ASA,AAS
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第
7
讲
全
等
三
角
形
的
性
质
与
判
定
6
典型例题3
（1）如图，下面是利用尺规作∠𝐴𝑂𝐵的平分线𝑂𝐶的作法，在用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的
判定方法是( )
A. SSS
B. SAS
C. ASA
D. AAS
（2）如图，𝐴𝐶⊥𝐶𝐵,𝐴𝐷⊥𝐷𝐵，要使△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐵𝐷，可补充的一个条件是
．
典型例题4
如图，已知∠1 = ∠2，𝐴𝐶= 𝐴𝐷，增加下列条件：①𝐴𝐵= 𝐴𝐸，②𝐵𝐶= 𝐸𝐷，③∠𝐶= ∠𝐷，④∠𝐵= ∠𝐸，其中能使
△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐸𝐷的条件有
．
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第
7
讲
全
等
三
角
形
的
性
质
与
判
定
7
模块三
模块三
全等三角形的证明
典型例题5
如图，点𝐵、𝐸、𝐶、𝐹在同一直线上，且𝐴𝐵= 𝐷𝐸，𝐴𝐶= 𝐷𝐹，𝐵𝐸= 𝐶𝐹，请将下面说明△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹的过程
和理由补充完整．
证明：∵𝐵𝐸= 𝐶𝐹(
)，
∴𝐵𝐸+𝐸𝐶= 𝐶𝐹+𝐸𝐶(
)，
即𝐵𝐶= 𝐸𝐹，
在△𝐴𝐵𝐶和△𝐷𝐸𝐹中，
⎧{{{{
⎨{{{{⎩
𝐴𝐵=————————— (—————————)
—————————= 𝐷𝐹(—————————)
𝐵𝐶=—————————
，
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹(
)．
典型例题6
如图，点𝐸在𝐶𝐷上，𝐵𝐶与AE 交于点F，𝐴𝐵= 𝐶𝐵，𝐵𝐸= 𝐵𝐷，∠1 = ∠2．
（1）求证：△𝐴𝐵𝐸≌△𝐶𝐵𝐷；
（2）证明：∠1 = ∠3．
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第
7
讲
全
等
三
角
形
的
性
质
与
判
定
8
典型例题7
如图，𝐴𝐵、𝐶𝐷相交于点𝑂，𝑂𝐴= 𝑂𝐵，𝐸、𝐹为𝐶𝐷上两点，𝐴𝐸//𝐵𝐹，𝐶𝐸= 𝐷𝐹．求证：𝐴𝐶//𝐵𝐷．
典型例题8
如图1 所示，已知在△𝐴𝐵𝐶和△𝐷𝐸𝐹中，𝐴𝐵= 𝐸𝐹，∠𝐵= ∠𝐸，𝐸𝐶= 𝐵𝐷
（1）试说明：△𝐴𝐵𝐶≌△𝐹𝐸𝐷．
（2）若图形经过平移和旋转后得到图2，且有∠𝐸𝐷𝐵= 25∘，∠𝐴= 66∘，试求∠𝐴𝑀𝐷的度数．
（3）将图形继续旋转后得到图3，此时𝐷，𝐵，𝐹三点在同一条直线上，若𝐷𝐵= 2𝐷𝐹，连接𝐸𝐵，已知△𝐸𝐹𝐵的
面积为5cm2，你能求出四边形𝐴𝐵𝐸𝐷的面积吗？若能，请求出来；若不能，请你说明理由．
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第
7
讲
全
等
三
角
形
的
性
质
与
判
定
9
随堂练习
随堂练习1
下列说法正确的是( )
A. 面积相等的两个三角形全等
B. 周长相等的两个三角形全等
C. 形状相同的两个三角形全等
D. 成轴对称的两个三角形全等
随堂练习2
如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90∘，沿𝐶𝐷折叠△𝐶𝐵𝐷，使点𝐵恰好落在𝐴𝐶边上的点𝐸处．若∠𝐴= 22∘，则
∠𝐸𝐷𝐴等于( )
A. 44∘
B. 68∘
C. 46∘
D. 77∘
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第
7
讲
全
等
三
角
形
的
性
质
与
判
定
10
随堂练习3
如图，要测量河岸相对的两点𝐴、𝐵间的距离，先在𝐴𝐵的垂线𝐵𝐹上取两点𝐶、𝐷，使得𝐵𝐶= 𝐶𝐷，再作出
𝐵𝐹的垂线𝐷𝐸，使点𝐴、𝐶、𝐸在同一条直线上，则测得的𝐷𝐸的长就是𝐴𝐵的长，根据的原理是( )．
A. SAS
B. ASA
C. AAS
D. SSS
随堂练习4
如图，在△𝐴𝐵𝐶和△𝐷𝐸𝐹中，𝐵、𝐸、𝐶、𝐹在同一条直线上，𝐴𝐵= 𝐷𝐸，𝐴𝐶= 𝐷𝐹，要使△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹，还需
要添加一个条件是( )．
A. 𝐵𝐸= 𝐶𝐹
B. 𝐵𝐸= 𝐸𝐶
C. 𝐸𝐶= 𝐶𝐹
D. 𝐴𝐶//𝐷𝐹
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第8 讲
几何变换与
几何变换与网格作图
模块一
平移
模块二
轴对称
模块三
旋转
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第
8
讲
几
何
变
换
与
网
格
作
图
12
模块一
模块一
平移
知识梳理
一、图形平移的认识
1．平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移．平移不改
变图形的形状和大小．
【注意】
研究平移问题应把握两个要素：图形平移的方向和图形平移的距离．
如图，平移△𝐴𝐵𝐶就可以得到△𝐴′𝐵′𝐶′，点𝐴与点𝐴′ 叫做对应点，线段𝐴𝐵与线段𝐴′𝐵′ 叫做对应
线段，∠𝐴与∠𝐴′ 叫做对应角．平移的方向是从𝐶到𝐶′ 的方向，平移的距离为线段𝐶𝐶′ 的长度．
2．平移的基本性质：
（1）对应的图形是全等图形；
（2）对应点所连的线段平行(或在一条直线上) 且相等；
（3）对应线段平行（或在一条直线上）且相等，对应角相等．
3．平移作图
（1）确定一个图形平移后的位置所需条件：①图形原来的位置；②平移的方向；③平移的距离．
（2）把图形的平移转化为点或线段的平移，如：△𝐴𝐵𝐶的平移即为三角形三个顶点的平移.
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第
8
讲
几
何
变
换
与
网
格
作
图
13
典型例题1
（1）如图所示的车标，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是( )．
A.
B.
C.
D.
（2）有以下现象：①温度计中液柱的上升或下降；②打气筒打气时，活塞的运动；③钟摆的摆动；④传送
带上瓶装饮料的移动，其中属于平移的是( )．
A. ①②
B. ①③
C. ②③
D. ②④
典型例题2
如图，在5×5 方格纸中，将图1 中的三角形甲平移到图2 中所示的位置，与三角形乙拼成一个长方形，下面
的平移方法中，正确的是( )．
A. 先向下平移3 格，再向右平移1 格
B. 先向下平移2 格，再向右平移1 格
C. 先向下平移3 格，再向右平移2 格
D. 先向下平移2 格，再向右平移2 格
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第
8
讲
几
何
变
换
与
网
格
作
图
14
典型例题3
如图，在方格纸内将△𝐴𝐵𝐶水平向右平移5 个单位得到△𝐴′𝐵′𝐶′．
（1）画出△𝐴′𝐵′𝐶′，利用网格点和直尺画图．
（2）画出𝐴𝐵边上的高线𝐶𝐷．
（3）图中△𝐴𝐵𝐶的面积是
．
（4）△𝐴𝐵𝐶与△𝐸𝐵𝐶面积相等，在图中描出所有满足条件且异于𝐴点的格点𝐸，并记为𝐸1、𝐸2、𝐸3、⋯．
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第
8
讲
几
何
变
换
与
网
格
作
图
15
模块二
模块二
轴对称
知识梳理
一、轴对称图形和图形成轴对称
1. 轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对
称图形，这条直线就是它的对称轴．这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称．常见的轴对称
图形有：线段、角、等腰三角形、等边三角形、长方形、正方形和圆．
2. 图形成轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形
关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．
例：如图，△𝐴𝐵𝐶与△𝐴′𝐵′𝐶′ 关于直线𝑙对称，𝑙叫做对称轴．𝐴和𝐴′，𝐵和𝐵′，𝐶和𝐶′ 是对称点．
3.轴对称图形与两个图形成轴对称的关系：把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形．
把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条轴对称．
二、垂直平分线的定义
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．
三、轴对称的性质
1. 如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
2. 轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
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第
8
讲
几
何
变
换
与
网
格
作
图
16
典型例题4
（1）下列“表情包”中，不是轴对称图形的是( )．
A. T T
B. ∧
∧
C. (>
<)
D. @x@
（2）如图，△𝐴𝐵𝐶中，𝐷点在𝐵𝐶上，将𝐷点分别以𝐴𝐵、𝐴𝐶为对称轴，画出对称点𝐸、𝐹，并连接𝐴𝐸、𝐴𝐹．
根据图中标示的角度，可得∠𝐸𝐴𝐹的度数为( )．
A. 108∘
B. 115∘
C. 122∘
D. 130∘
（3）下列说法中，正确的是( )
A. 关于某条直线对称的两个三角形一定全等
B. 两个全等三角形一定关于某条直线对称
C. 面积相等的两个三角形一定关于某条直线对称
D. 周长相等的两个三角形一定关于某条直线对称
典型例题5
如图，在平面直角坐标系中，已知△𝐴𝐵𝐶的三个顶点坐标分别是𝐴(2,−1)、𝐵(1,−2)、𝐶(3,−3)．
（1）将△𝐴𝐵𝐶向上平移4 个单位长度得到△𝐴1𝐵1𝐶1，请画出△𝐴1𝐵1𝐶1．
（2）请画出与△𝐴𝐵𝐶关于原点中心对称的△𝐴2𝐵2𝐶2．
（3）请写出𝐴1、𝐴2 的坐标．
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8
讲
几
何
变
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与
网
格
作
图
17
模块三
模块三
旋转
知识梳理
一、旋转
1．旋转的定义：在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转．
这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角，如果图形上的点𝑃经过旋转变为点𝑃
′ ，那么这两个点
叫做这个旋转的对应点．
【注意】
研究旋转问题应把握三个元素：旋转中心、旋转方向与旋转角．
2．旋转的性质：
①旋转后的图形与原图形是全等的；(进而得到相等的线段、相等的角)
②旋转前后两个图形对应点到旋转中心的距离相等；(即旋转中心在对应点所连线段的中垂线上)
③对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角．(若特殊角则得到等边三角形、等腰直角三角形)
3．旋转作图的基本步骤：
由旋转的性质可知，旋转作图必须具备两大重要条件：⑴旋转中心；⑵旋转方向及旋转角度．
具体步骤分以下几步：
连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心；
转：即把连线按要求绕旋转中心转过一定角度(作旋转角) ；
截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点．
连：即连接所得到的各点．
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第
8
讲
几
何
变
换
与
网
格
作
图
18
二、中心对称
1．中心对称的定义
把一个图形绕着某个点旋转180∘，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对
称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．
2．中心对称的性质
①关于中心对称的两个图形能够完全重合；
②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．
3．中心对称图形
把一个图形绕某一点旋转180∘，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心
对称图形，这个点叫做对称中心．
典型例题6
（1）在正三角形、正方形、正五边形和等腰梯形这四种图形中，是旋转对称图形的有( )．
A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个
（2）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是由某个基本图形经过旋转得到的是( )．
A.
B.
C.
D.
（3）用数学的方式理解“当窗理云鬓，对镜贴花黄”和“坐地日行八万里”（只考虑地球的自转），其中蕴含
的图形运动是( )．
A. 平移和旋转
B. 对称和旋转
C. 对称和平移
D. 旋转和平移
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8
讲
几
何
变
换
与
网
格
作
图
19
典型例题7
（1）如图，在方格纸中的△𝐴𝐵𝐶经过变换得到△𝐷𝐸𝐹，正确的变换是( )．
A. 把△𝐴𝐵𝐶向右平移6 格
B. 把△𝐴𝐵𝐶向右平移4 格，再向上平移1 格
C. 把△𝐴𝐵𝐶绕着点𝐴顺时针旋转90∘，再向右平移6 格
D. 把△𝐴𝐵𝐶绕着点𝐴逆时针旋转90∘，再向右平移6 格
（2）如图，在平面直角坐标系中，△𝐴𝐵𝐶的顶点都在方格线的格点上，将△𝐴𝐵𝐶绕点𝑃沿顺时针方向旋转
90∘，得到△𝐴′𝐵′𝐶′，则点𝑃的坐标为( )
A. (0,4)
B. (1,1)
C. (1,2)
D. (2,1)
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第
8
讲
几
何
变
换
与
网
格
作
图
20
典型例题8
如图，在平面直角坐标系中，△𝐴𝐵𝐶的顶点坐标是𝐴(−5,−5)，𝐵(−1,−3) ，𝐶(−3,−1)，按要求画出变换后的
图形：
（1）画出△𝐴𝐵𝐶关于𝑦轴对称的△𝐴1𝐵1𝐶1．
（2）以原点𝑂为旋转中心，把△𝐴1𝐵1𝐶1 逆时针旋转90∘，得到△𝐴2𝐵2𝐶2．
（3）若将△𝐴𝐵𝐶向右平移m 个单位，再向上平移𝑛个单位，使点C 落在△𝐴2𝐵2𝐶2 内部，指出m、n 的取值
范围．
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第
8
讲
几
何
变
换
与
网
格
作
图
21
随堂练习
随堂练习1
如图，将△𝐴𝐵𝐶沿𝐵𝐶方向平移2cm 得到△𝐷𝐸𝐹，若△𝐴𝐵𝐶的周长为16cm，则四边形𝐴𝐵𝐹𝐷的周长为
( )．
A. 16cm
B. 18cm
C. 20cm
D. 22cm
随堂练习2
如图，两个三角形关于某直线对称，则𝑥=( ) 度．
A. 34
B. 35
C. 36
D. 37
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8
讲
几
何
变
换
与
网
格
作
图
22
随堂练习3
如图，在平面直角坐标系中，△𝐴𝐵𝐶的三个顶点的坐标分别是𝐴(−3,2)，𝐵(−1,4)，𝐶(0,2)．
（1）将△𝐴𝐵𝐶以点𝐶为旋转中心顺时针旋转180∘，画出旋转后对应的△𝐴1𝐵1𝐶．
（2）平移△𝐴𝐵𝐶，若𝐴的对应点𝐴2 的坐标为(−5,−2)，画出平移后的△𝐴2𝐵2𝐶2．
（3）若将△𝐴2𝐵2𝐶2 绕某一点旋转可以得到△𝐴1𝐵1𝐶，请直接写出旋转中心的坐标．
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第9 讲
全等三角
全等三角形综合
模块一
几何变换下的全等关系
模块二
辅助线入门
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第
9
讲
全
等
三
角
形
综
合
24
模块一
模块一
几何变换下的全等关系
知识梳理
常见平移模型
典型例题1
如图，∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐷𝐸𝐹，𝐴𝐵= 𝐷𝐸，要证明△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹，
（1）若以“SAS”为依据，还需添加的一个条件为
；
（2）若以“ASA”为依据，还需添加的一个条件为
；
（3）若以“AAS”为依据，还需添加的一个条件为
．
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第
9
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全
等
三
角
形
综
合
25
知识梳理
常见轴对称模型
典型例题2
（1）如图，已知𝑂𝐴= 𝑂𝐵，𝑂𝐶= 𝑂𝐷，𝐴𝐷、𝐵𝐶相交于𝐸，则图中全等三角形有( ) 对．
A. 5
B. 4
C. 3
D. 2
（2）已知：如图，𝐴、𝐵、𝐶、𝐷四点在一条直线上，且𝐴𝐵= 𝐶𝐷，∠𝐴= ∠𝐷，𝐴𝐸= 𝐷𝐹．求证：∠𝐸𝐶𝐷= ∠𝐹𝐵𝐴．
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第
9
讲
全
等
三
角
形
综
合
26
典型例题3
如图，已知𝐵𝐸⊥𝐴𝐶于𝐸，𝐶𝐹⊥𝐴𝐵于𝐹，𝐵𝐸、𝐶𝐹相交于点𝐷，若𝐵𝐹= 𝐶𝐸．求证：𝐴𝐵= 𝐴𝐶．
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第
9
讲
全
等
三
角
形
综
合
27
知识梳理
常见旋转模型
典型例题4
（1）如图，点𝐴在𝐷𝐸上，𝐴𝐶= 𝐶𝐸，∠1 = ∠2 = ∠3，则𝐷𝐸的长等于( )
A. 𝐷𝐶
B. 𝐵𝐶
C. 𝐴𝐵
D. 𝐴𝐸+𝐴𝐶
（2）如图，𝐴、𝐸、𝐹、𝐵四点在一条直线上，𝐴𝐶⊥𝐶𝐸，𝐵𝐷⊥𝐷𝐹，𝐴𝐸= 𝐵𝐹，𝐴𝐶= 𝐵𝐷．
求证：𝐶𝐹= 𝐷𝐸．
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第
9
讲
全
等
三
角
形
综
合
28
典型例题5
已知：如图，△𝐴𝐵𝐶和△𝐷𝐸𝐶都是等边三角形，𝐷是𝐵𝐶延长线上一点，𝐴𝐷与𝐵𝐸相交于点𝑃，𝐴𝐶、𝐵𝐸
相交于点𝑀，𝐴𝐷、𝐶𝐸相交于点𝑁，请证明①𝐴𝐷= 𝐵𝐸；②∠𝐵𝑀𝐶= ∠𝐴𝑁𝐶；③∠𝐴𝑃𝑀= 60∘；④𝐴𝑁= 𝐵𝑀；
⑤△𝐶𝑀𝑁是等边三角形；⑥𝑀𝑁//𝐵𝐷．
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第
9
讲
全
等
三
角
形
综
合
29
典型例题6
如图，𝐶𝐷是经过∠𝐵𝐶𝐴顶点𝐶的一条直线，𝐶𝐴= 𝐶𝐵，𝐸、𝐹分别是直线𝐶𝐷上两点，且∠𝐵𝐸𝐶= ∠𝐶𝐹𝐴= ∠𝛼．
（1）若直线𝐶𝐷经过∠𝐵𝐶𝐴的内部，且𝐸、𝐹在射线𝐶𝐷上，请解决下面两个问题：
①如图①，若∠𝐵𝐶𝐴= 90∘，∠𝛼= 90∘，则𝐵𝐸
𝐶𝐹；𝐸𝐹
|𝐵𝐸−𝐴𝐹|(填“>”、
“<”或“=”)；
②如图②，若0∘< ∠𝐵𝐶𝐴< 180∘，请添加一个关于∠𝛼与∠𝐵𝐶𝐴关系的条件
，使①中的两
个结论仍然成立，并证明这两个结论．
（2）如图③，若直线𝐶𝐷经过∠𝐵𝐶𝐴的外部，∠𝛼= ∠𝐵𝐶𝐴，请提出𝐸𝐹、𝐵𝐸、𝐴𝐹三条线段数量关系的合理猜
想(不要求证明)．
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第
9
讲
全
等
三
角
形
综
合
30
模块二
模块二
辅助线入门
知识梳理
一、辅助线
在几何学中用来帮助解答疑难几何图形问题，在原图基础之上另外所作的具有极大价值的直线或者线段．
辅助线添加即补全模型．
二、添加辅助线的基本作图方法
⑴连接**；
⑵延长** 到*，使**=**；
⑶延长** 交** 的延长线于*；
⑷在** 上截取**=**，连接**；
⑸过点* 作** 的平行线，与** 交于点*；
⑹过点* 作** 的垂线，垂足为*．
典型例题7
如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵= 𝐶𝐷，𝐴𝐵//𝐶𝐷，求证：𝐴𝐷= 𝐵𝐶．
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第
9
讲
全
等
三
角
形
综
合
31
典型例题8
（1）已知：如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐵𝐶> 𝐴𝐵，𝐴𝐷= 𝐶𝐷，𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，求证：∠𝐴+∠𝐶= 180∘．
（2）△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵= ∠𝐴𝐶𝐵，𝐸在𝐴𝐵上，𝐹在𝐴𝐶延长线上，若𝐵𝐸= 𝐶𝐹，求证：𝐷是𝐸𝐹的中点．
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第
9
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全
等
三
角
形
综
合
32
随堂练习
随堂练习1
如图所示，已知∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐷𝐶= 90∘，𝐸是𝐴𝐶上一点，𝐴𝐵= 𝐴𝐷．
求证：𝐸𝐵= 𝐸𝐷．
随堂练习2
如图，已知𝐴𝐵= 𝐷𝐶，𝐴𝐷= 𝐵𝐶，𝑂是𝐵𝐷的中点，过𝑂点的直线分别交𝐷𝐴、𝐵𝐶的延长线于𝐸，𝐹．求证：
∠𝐸= ∠𝐹．
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第
9
讲
全
等
三
角
形
综
合
33
随堂练习3
已知：如图，𝐴𝐷= 𝐵𝐶，𝐴𝐶= 𝐵𝐷，求证：∠𝐶= ∠𝐷．
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第10 讲
轴对称应用
轴对称应用-将军饮马
模块一
将军饮马引入
模块二
将军饮马基础
模块三
综合提升
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第
10
讲
将
军
饮
马
36
模块一
模块一
将军饮马引入
知识引入
据说，在古希腊有一位聪明过人的学者，名叫海伦。有一天，一位将军向他请教了一个问题：从马所在
位置出发到河边饮马，然后再回到营地，走什么样的路线最短？如何确定饮马的地点？
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第
10
讲
将
军
饮
马
37
典型例题1
如图，直线𝑙是一条河，𝑃、𝑄是两个村庄．计划在𝑙上的某处修建一个水泵站𝑀，向𝑃、𝑄两地供水．现有如
下四种铺设方案（图中实线表示铺设的管道），则所需管道最短的方案是( )．
A.
B.
C.
D.
典型例题2
（1）如图，在直角坐标系中，点𝐴，𝐵的坐标分别为(1,4) 和(3,0)，点𝐶是𝑦轴上的一个动点，且𝐴，𝐵，𝐶三
点不在同一条直线上，当△𝐴𝐵𝐶的周长最小时，点𝐶的坐标是
．
（2）如图，𝑀𝑁是正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的一条对称轴，点𝑃是直线𝑀𝑁上的一个动点，当𝑃𝐶+𝑃𝐷最小时，∠𝑃𝐶𝐷=
( )．
A. 60∘
B. 90∘
C. 45∘
D. 75∘
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第
10
讲
将
军
饮
马
38
模块二
模块二
将军饮马基础
知识梳理
探索1：如图，在直线𝑙上找一点𝑃，使𝑃𝐴+𝑃𝐵最小．
根据“两点之间，
最短”可知，连接𝐴𝐵与直线𝑙的交点即为所求.
探索2：如图，在直线𝑙上找一点𝑃，使𝑃𝐴+𝑃𝐵最小．
想一想
我们是否可以利用轴对称的有关知识把问题转化为探索一的情况来解决呢？
探索3：如图，点𝑃在锐角∠𝐴𝑂𝐵的内部，在𝑂𝐵边上求作一点𝐷，在𝑂𝐴边上求作一点𝐶，使△𝑃𝐶𝐷的周
长最小．
思路点睛：作点𝑃关于射线𝑂𝐴、𝑂𝐵的对称点.
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第
10
讲
将
军
饮
马
39
探索4：如图，点𝐶、𝐷在锐角∠𝐴𝑂𝐵的内部，在𝑂𝐵边上求作一点𝐹，在𝑂𝐴边上求作一点𝐸，使四边形
𝐶𝐸𝐹𝐷周长最小．
思路点睛：作𝐶、𝐷两点分别关于射线𝑂𝐴、𝑂𝐵的对称点.
探索5：如图，点𝑃在锐角∠𝐴𝑂𝐵的内部，在𝑂𝐵边上求作一点𝐷，在𝑂𝐴边上求作一点𝐶，使𝑃𝐷+𝐶𝐷最
小．
思路点睛：作点𝑃关于射线𝑂𝐵的对称点.
典型例题3
已知∠𝐴𝑂𝐵= 30∘，点𝑃在∠𝐴𝑂𝐵内部，点𝑃1 与点𝑃关于𝑂𝐴对称，点𝑃2 与点𝑃关于𝑂𝐵对称，则△𝑃1𝑂𝑃2
是( )
A. 含30∘角的直角三角形
B. 顶角是30∘的等腰三角形
C. 等边三角形
D. 等腰直角三角形
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第
10
讲
将
军
饮
马
40
典型例题4
如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐵𝐴𝐷= 130∘，∠𝐵= ∠𝐷= 90∘，点𝐸，𝐹分别是线段𝐵𝐶，𝐷𝐶上的动点．当△𝐴𝐸𝐹
的周长最小时，则∠𝐸𝐴𝐹的度数为( )．
A. 90∘
B. 80∘
C. 70∘
D. 60∘
典型例题5
如图，点𝑃是∠𝐴𝑂𝐵内任意一点，且∠𝐴𝑂𝐵= 40∘，点𝑀和点𝑁分别是射线𝑂𝐴和射线𝑂𝐵上的动点，当
△𝑃𝑀𝑁周长取最小值时，则∠𝑀𝑃𝑁的度数为( )．
A. 140∘
B. 100∘
C. 50∘
D. 40∘
典型例题6
如图，∠𝐴𝑂𝐵= 45∘，点𝑀、点𝐶在射线𝑂𝐴上，点𝑃、点𝐷在射线𝑂𝐵上，且𝑂𝐶= 2，𝑂𝐷= 3√2，则𝐶𝑃+𝑃𝑀+
𝐷𝑀的最小值是
．
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第
10
讲
将
军
饮
马
41
模块三
模块三
综合提升
典型例题7
如图，在10×10 的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△𝐴𝐵𝐶(即三角形的顶点
都在格点上)．
（1）在图中作出△𝐴𝐵𝐶关于直线𝑙对称的△𝐴1𝐵1𝐶1 (要求：𝐴与𝐴1，𝐵与𝐵1，𝐶与𝐶1 相对应)
（2）在(1) 的结果下，连接𝐵𝐵1，𝐴𝐵1 ，则△𝐴1𝐵𝐵1 的面积是
．
（3）在对称轴上有一点𝑃，当△𝑃𝐵𝐶周长最小时，𝑃点在什么位置，在图中标出𝑃点．
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第
10
讲
将
军
饮
马
42
典型例题8
如图，在Rt△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90∘，以𝐴𝐵为边在𝐴𝐵上方作正方形𝐴𝐵𝐷𝐸，过点𝐷作𝐷𝐹⊥𝐶𝐵，交𝐶𝐵的延长
线于点𝐹，连接𝐵𝐸．
（1）求证：△𝐴𝐵𝐶≌△𝐵𝐷𝐹．
（2）𝑃，𝑁分别为𝐴𝐶，𝐵𝐸上的动点，连接𝐴𝑁，𝑃𝑁，若𝐷𝐹= 5，𝐴𝐶= 9，求𝐴𝑁+𝑃𝑁的最小值．
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第
10
讲
将
军
饮
马
43
随堂练习
随堂练习1
如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶交𝐵𝐶于点𝐷，点𝑀，𝑁分别是𝐴𝐷和𝐴𝐵上的动点，当𝑆△𝐴𝐵𝐶= 12，
𝐴𝐶= 8 时，𝐵𝑀+𝑀𝑁的最小值等于
．
随堂练习2
如图，已知两点𝑃、𝑄在锐角∠𝐴𝑂𝐵内，分别在𝑂𝐴、𝑂𝐵上求作点𝑀、𝑁，使𝑃𝑀+𝑀𝑁+𝑁𝑄最短．
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第
10
讲
将
军
饮
马
44
随堂练习3
已知：如图所示，
（1）作出△𝐴𝐵𝐶关于𝑦轴对称的△𝐴1𝐵1𝐶1, 并写出△𝐴1𝐵1𝐶1, 三个顶点的坐标．
（2）在𝑥轴上确定点𝑃, 使𝑃𝐴+𝑃𝐶最小．
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第11 讲
数一
数一数
模块一
分类枚举
模块二
加乘原理
模块三
综合提升
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第
11
讲
数
一
数
46
模块一
模块一
分类枚举
知识梳理
枚举计数
枚举计数就是把要求计数的所有对象一一列举出来，最后计算总数的方法，是最基本的计数方法．使用枚
举法时需要不重复、不遗漏地枚举．
典型例题1
10 个相同颜色的球分成3 堆，每堆至少一个，有
种分法。
典型例题2
（1）图中有多少个三角形？
（2）如图为25 个小正方形组成的5×5 棋盘，其中含有符号“#”的各种正方形共有
个．
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第
11
讲
数
一
数
47
模块二
模块二
加乘原理
知识梳理
1. 加法原理
假设完成一件事情的方法可以分为几类（各类的方法是互不相同的），且第一类中有𝑚1 种方法，第二类
中有𝑚2 种方法…. 第𝑛类中有𝑚𝑛种方法，那么完成这件事共有：𝑁= 𝑚1 +𝑚2 +⋅⋅⋅+𝑚𝑛种不同的方法．
这就是加法原理，简称为分类相加．
2. 乘法原理
假设完成一件事情要分成几步，且第一步有𝑚1 种方法，第二步有𝑚2 种方法……. 第𝑛步有𝑚𝑛种方法，
那么完成这件事共有：𝑁= 𝑚1 ×𝑚2 ×⋅⋅⋅×𝑚𝑛种不同的方法．这就是乘法原理，简称为分步相乘．
【注意】
⑴加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，这样
的问题可以使用加法原理解决．简记为：
“加法分类，类类独立”；
⑵乘法原理运用的范围：这件事要分几个彼此互不影响的独立步骤来完成，这几步都是缺一不可的，
这样的问题可以使用乘法原理解决．简记为：
“乘法分步，步步相关”．
典型例题3
某班级有书法、英语、电脑三个兴趣小组，书法组7 人，英语组8 人，电脑组11 人，试问：
（1）要选派一人参加校学代会，有多少种不同的选派方法？
（2）若在书法、英语、电脑三组中各选派一人参加校学代会，有多少种不同的选派方法？
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第
11
讲
数
一
数
48
典型例题4
利用数字1、2、3、4、5 共可组成．
（1）多少个数字不重复的三位数？
（2）多少个数字不重复的三位偶数？
（3）多少个数字不重复的偶数？
典型例题5
甲地到乙地有5 条不同的线路，某人从甲地到乙地，然后从乙地返回甲地，再又去乙地，再返回甲地，要求返
回甲地时不能走任何一次去乙地的路，问此人有多少种不同的走法？
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第
11
讲
数
一
数
49
典型例题6
如图，有一张地图上有五个国家，现在要用四种颜色对这一幅地图进行涂色，使相邻的国家所涂的颜色不
同，不相邻的国家所涂的颜色可以相同．那么一共可以有多少种涂色方法？
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第
11
讲
数
一
数
50
模块三
模块三
综合提升
典型例题7
由35 个单位小正方形组成的长方形中，如图所示，有两个“∗”，问包含两个“∗”在内的小正方形组成的长方
形(含正方形) 共有多少个？
典型例题8
3 个不同颜色的球分给6 个人，每人最多1 个，有
种分法。
典型例题9
（1）10 个相同颜色的球分给3 个人，每人至少一个，有
种分法。
（2）7 个相同颜色的球分给3 个人，可以有人分不到，有
种分法。
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第
11
讲
数
一
数
51
典型例题10
一个小朋友有8 块相同的巧克力(即不计顺序)，他每天至少吃一块，直至吃完，问共有多少种不同的吃巧克
力的方案？
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第
11
讲
数
一
数
52
随堂练习
随堂练习1
用三根火柴可拼成一个小“△”，若用108 根火柴拼成如图所示形状的大三角形，请你数一数共有多少个三
角形？
随堂练习2
红、黄、蓝、白四种颜色不同的小旗，各有2、2、3、3 面，任意取出三面按顺序排成一行，表示一种信号，共可
以表示
种不同的信号。如果白旗不能打头又有
种。
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第
11
讲
数
一
数
53
随堂练习3
有4 张分别标有数字1，2，3，4 的红色卡片和4 张分别标有数字1，2，3，4 的蓝色卡片，从这8 张卡片中取出
4 张卡片排成一行．如果取出的4 张卡片所标的数字之和等于10，则不同的排法共有多少种(用数字作答)．
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第12 讲
策略趣
策略趣题选讲
模块一
抽屉原理
模块二
染色策略
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第
12
讲
策
略
趣
题
选
讲
56
模块一
模块一
抽屉原理
知识梳理
【引入】将𝑛+1 只鸽子关入𝑛个笼子里，那么，至少有一个笼子里关有两只或更多的鸽子，这就是抽屉原理
最简单的形式，也称鸽笼原理．
第一抽屉原理：将𝑚个物体放入𝑛个抽屉内，则必有一个抽屉内至少有[𝑚−1
𝑛
]+1 个物体．
示例：11 个苹果放入5 个抽屉，必有一个抽屉至少有3 个苹果．
第二抽屉原理：将𝑚个物体放入𝑛个抽屉内，则必有一个抽屉内至多有[𝑚
𝑛] 个物体．
示例：18 个苹果放入5 个抽屉，必有一个抽屉至多有3 个苹果．
利用抽屉原理证题的关键是利用题目中的条件构造出与题设密切相关的“抽屉”，即把题中涉及的元素按照
一定的性质进行分类，当取出的元素足够多时，由抽屉原理知其中必有某些元素属于同一个抽屉(同一类)，
它们都具有某种性质，从而推出题目结论．构造抽屉的常用方法有：利用余数分类，利用整数的奇数因子分
类，分割区间，分割图形，划分集合等等．
典型例题1
有红、黄、白三种颜色的小球各10 个，混合放在一个布袋中，一次至少摸出
个小球，才能保证有5
个小球是同色的。
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第
12
讲
策
略
趣
题
选
讲
57
典型例题2
新年晚会上，老师让每位同学从一个装有许多球的口袋中摸出两个球，这些球给人的手感都相同，只有红、
蓝、黄、白、绿五种颜色之分(摸时看不到颜色)，结果发现总有2 人取的球的颜色完全相同，由此可知参加取
球的人至少有多少人？
典型例题3
袋中有109 个球，每次从袋中拿若干个(至少1 个)，分20 次拿完，证明：必定存在3 次，这3 次拿的球数相
同．
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第
12
讲
策
略
趣
题
选
讲
58
典型例题4
在边长为1 的正方形内有任意五个点，试证：其中必存在两个点，它们之间的距离不大于√2
2 ．
典型例题5
在5 列33 行的方格棋盘上染色，每格或染黑色或染白色，证明：至少有两行染的颜色完全一样．
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第
12
讲
策
略
趣
题
选
讲
59
模块二
模块二
染色策略
典型例题6
有一次车展共有6 ×6 = 36 个展室，如下图，每个展室与相邻的展室都有门相通，入口和出口如图所示．参
观者能否从入口进去，不重复地参观完每个展室再从出口出来？
典型例题7
在5×5 的棋盘第1 行第1 列处有一只小虫，小虫横着走每步走两格，竖着走每步走1 格．问小虫走到第五
行第5 格处时，是否一定经过奇数步或一定经过偶数步？
典型例题8
在5 行7 列棋盘中挖去第4 列第1 格，能否用1×2 的砖头铺满余下34 个格子且没有重叠？
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第
12
讲
策
略
趣
题
选
讲
60
典型例题9
证明：用15 块4×1 的矩形瓷砖和1 块2×2 的正方形瓷砖，不能恰好覆盖8×8 的大正方形的地面．
典型例题10
证明：在全世界所有人中任选6 个人，其中一定有3 个人，他们之间或者互相认识，或者互相不认识．
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第
12
讲
策
略
趣
题
选
讲
61
随堂练习
随堂练习1
有47 名同学参加考试，成绩都是整数，满分100 分，有3 名同学的成绩在60 分以下，其余同学的成绩都在
75−95 分之间，至少有
名同学的分数相同。
随堂练习2
将长度为𝑛的线段等分为𝑛段长度为1 的小线段，然后将各线段的端点随意染上红色或蓝色，但原来两端
点必须染成红色．如果这些小线段的两个端点为一红一蓝的话，我们称它为标准线段．试问标准线段的数
目是奇数还是偶数，为什么？
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第
12
讲
策
略
趣
题
选
讲
62
随堂练习3
如图是由14 个大小相同的方格组成的图形．试问能不能剪裁成7 个由相邻两方格组成的长方形？
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第13 讲
方程不等
方程不等式综合
模块一
复杂方程不等式求解
模块二
方程不等式实际应用
模块三
方程不等式综合应用
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第
13
讲
方
程
不
等
式
综
合
64
模块一
模块一
复杂方程不等式求解
典型例题1
已知：关于𝑥，𝑦的二元一次方程组
⎧{{
⎨{{⎩
2𝑥−3𝑦= 2𝑘−3
𝑥+5𝑦= 5𝑘
，的解满足𝑥−8𝑦> 0，则𝑘的取值范围是
．
典型例题2
如果关于𝑥的不等式(2𝑚−𝑛)𝑥−𝑚−5𝑛> 0 的解集为𝑥< 10
7 ，那么，关于𝑥的不等式𝑚𝑥> 𝑛(𝑚≠0) 的解集
为
．
典型例题3
如果关于𝑥的不等式组
⎧{{
⎨{{⎩
𝑥−𝑚
2
> 0
𝑥−4
3
−𝑥< −4
的解集为𝑥> 4，且关于𝑥的分式方程1−𝑚𝑥
2−𝑥+
3
𝑥−2 −1 = 0 有整
数解，则符合条件的所有整数𝑚的个数是( ) 个．
A. 5
B. 4
C. 3
D. 2
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第
13
讲
方
程
不
等
式
综
合
65
模块二
模块二
方程不等式实际应用
典型例题4
为庆祝伟大的中国共产党成立100 周年，发扬红色传统，传承红色精神，某学校举行了主题为“学史明理，学
史增信，学史崇德，学史力行”的党史知识竞赛，一共有25 道题，满分100 分，每一题答对得4 分，答错扣1
分，不答得0 分．
（1）若某参赛同学只有一道题没有作答，最后他的总得分为86 分，则该参赛同学一共答对了多少道题？
（2）若规定参赛者每道题都必须作答且总得分大于或等于90 分才可以被评为“学党史小达人”，则参赛者
至少需答对多少道题才能被评为“学党史小达人”？
典型例题5
七年级（1）班共有学生48 人，班委决定拿出1800 元班费举行一次户外拓展活动，计划给每位同学购买一
份套餐，其余全部用于发放奖励．现有𝐴、𝐵两种套餐可供选择，已知一份𝐴种套餐比𝐵种套餐多6 元，3 份
𝐴种套餐和2 份𝐵种套餐共需153 元．经统筹，用于发放奖励的经费不高于300 元且𝐴种套餐不多于36
份．
（1）𝐴种套餐和𝐵种套餐的单价分别是多少元？
（2）请通过计算说明：班委有哪几种购买套餐的方案？如果想有更充足的经费用于发放奖励，应选用哪种方
案？
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第
13
讲
方
程
不
等
式
综
合
66
典型例题6
某场篮球赛，门票共两种，价格为：成人票30 元/张，儿童票10 元/张；门票总收入：4700 元．
（1）若售出门票总数160 张，求售出的成人票张数．
（2）设售出门票总数𝑎张，其中儿童票𝑏张．
①求𝑎，𝑏满足什么数量关系．
②若售出的门票中成人票比儿童票的7 倍还多10 张，求𝑏的值．
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第
13
讲
方
程
不
等
式
综
合
67
模块三
模块三
方程不等式综合应用
典型例题7
【发现问题】已知
⎧{{
⎨{{⎩
3𝑥+2𝑦= 4⋯
2𝑥−𝑦= 6⋯
，求4𝑥+5𝑦的值．
方法一：先解方程组，得出𝑥，𝑦的值，再代入，求出4𝑥+5𝑦的值．
方法二：将①×2−②，求出4𝑥+5𝑦的值．
【提出问题】怎样才能得到方法二呢？
【分析问题】
为了得到方法二，可以将①×𝑚+②×𝑛，可得(3𝑚+2𝑛)𝑥+(2𝑚−𝑛)𝑦= 4𝑚+6𝑛．
令等式左边(3𝑚+2𝑛)𝑥+(2𝑚−𝑛)𝑦= 4𝑥+5𝑦，
比较系数可得
⎧{{
⎨{{⎩
3𝑚+2𝑛= 4
2𝑚−𝑛= 5
，求得
⎧{{
⎨{{⎩
𝑚= 2
𝑛= −1
．
【解决问题】
（1）请你选择一种方法，求4𝑥+5𝑦的值．
（2）对于方程组
⎧{{
⎨{{⎩
3𝑥+2𝑦= 4
2𝑥−𝑦= 6
，利用方法二的思路，求7𝑥−7𝑦的值．
（3）【迁移应用】
已知
⎧{{
⎨{{⎩
1 ⩽2𝑥+𝑦⩽2
4 ⩽3𝑥+2𝑦⩽7
，求𝑥−3𝑦的范围．
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第
13
讲
方
程
不
等
式
综
合
68
典型例题8
在平面直角坐标系中，对于点𝑀(𝑎,𝑏)，𝑁(𝑐,𝑑)，将点𝑀关于直线𝑥= 𝑐对称得到点𝑀′；当𝑑⩾0 时，将点𝑀′
向上平移𝑑个单位，当𝑑< 0 时，将点𝑀′ 向下平移|𝑑| 个单位，得到点𝑃，我们称点𝑃为点𝑀关于点𝑁的
对称平移点．例如，如图已知𝑀(1,2)，𝑁(3,5)，点𝑀关于点𝑁的对称平移点为𝑃(5,7)．
（1）已知点𝐴(2,1)，𝐵(4,2)．
①点𝐴关于点𝐵的对称平移点为 （直接写出答案）．
②若点𝐴为点𝐵关于点𝐶的对称平移点，则点𝐶的坐标为 （直接写出答案）．
（2）已知点𝐷在第一三象限的角平分线上，点𝐷的横坐标为𝑚，点𝐸的坐标为(1.5𝑚,0)．
①点𝐾为点𝐸关于点𝐷的对称平移点，若以𝐷，𝐸，𝐾，𝑂为顶点的四边形围成的面积为6，求𝑚的值．
②点𝐸向右平移1 个单位得到点𝐹，点𝐸向右平移6 个单位得到点𝐼，以𝐸𝐹一边向上作正方形
𝐸𝐹𝐺𝐻，以𝐹𝐼一边向上作正方形𝐹𝐼𝑀𝑁，点𝑃为正方形𝐸𝐹𝐺𝐻的边上的一个动点，在点𝑃运动过
程中，若𝐷点关于𝑃点的所有对称平移点都在正方形𝐹𝐼𝑀𝑁的内部或边上，请直接写出𝑚的取值范围．
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第
13
讲
方
程
不
等
式
综
合
69
随堂练习
随堂练习1
解不等式组：
⎧{{
⎨{{⎩
2𝑥+1 ⩾−1
1+2𝑥
3
> 𝑥−1
；并把不等式组的解集在数轴上表示出来．
随堂练习2
某工厂前年有员工280 人，去年经过结构改革减员40 人，全厂年利润增加100 万元，人均创利至少增加
6000 元，前年全厂年利润至少是多少？
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第
13
讲
方
程
不
等
式
综
合
70
随堂练习3
按要求回答问题．
（1）阅读以下内容：
已知𝑥，𝑦满足𝑥+2𝑦= 5，且
⎧{{
⎨{{⎩
3𝑥+7𝑦= 5𝑚−3
2𝑥+3𝑦= 8
，求𝑚的值．
三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路：
甲同学：先解关于𝑥，𝑦的方程组
⎧{{
⎨{{⎩
3𝑥+7𝑦= 5𝑚−3
2𝑥+3𝑦= 8
，再求𝑚的值．
乙同学：先将方程组中的两个方程相加，再求𝑚的值．
丙同学：先解方程组
⎧{{
⎨{{⎩
𝑥+2𝑦= 5
2𝑥+3𝑦= 8
，再求𝑚的值．
（2）你最欣赏（1）中的哪种思路？先根据你所选的思路解答此题，再简要说明你选择这种思路的理由．
请先选择思路，再解答题目．
我选择 同学的思路（填“甲”或“乙”或“丙”）．
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第14 讲
平行相关动
平行相关动态问题2
模块一
平行动态问题综合
模块二
平行动态问题与应用
模块三
坐标系中的平行动态问题
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第
14
讲
平
行
相
关
动
态
问
题
2
72
模块一
模块一
平行动态问题综合
知识梳理
与平行线有关的动态问题有两类常见的出题形式：
一、平行线中的动线段问题；
二、平行线中的动点问题，平行线中的动点问题又可以延伸出动线段与动角的综合类问题
典型例题1
如图1，直线𝐴𝐵与直线𝑂𝐶交于点𝑂，∠𝐵𝑂𝐶= 𝛼(0∘< 𝛼< 90∘)．小明将一个含30∘的直角三角板𝑃𝑄𝐷如
图1 所示放置，使顶点𝑃落在直线𝐴𝐵上，过点𝑄作直线𝑀𝑁//𝐴𝐵交直线𝑂𝐶于点𝐻（点𝐻在𝑄左侧）．
（1）若𝑃𝐷//𝑂𝐶，∠𝑁𝑄𝐷= 45∘，则𝛼=
∘．
（2）若∠𝑃𝑄𝐻的角平分线交直线𝐴𝐵于点𝐸，如图2．
①当𝑄𝐸//𝑂𝐶，𝛼= 60∘时，求证：𝑂𝐶//𝑃𝐷．
②小明将三角板保持𝑃𝐷//𝑂𝐶并向左平移，运动过程中，∠𝑃𝐸𝑄=
．
（用𝛼的式子表示）．
（3）将三角板𝑃𝑄𝐷绕点𝑃旋转，若点𝑄始终在直线𝑂𝐶右侧且𝑄𝐸平分∠𝑃𝑄𝐻，当𝑃𝐷⊥𝑂𝐶时，∠𝑃𝐸𝑄=
．
（用𝛼的式子表示）．
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第
14
讲
平
行
相
关
动
态
问
题
2
73
典型例题2
已知，直线𝐴𝐵，𝐶𝐷被𝐷𝑄所截，𝐴𝐵//𝐶𝐷，∠𝐵𝐷𝐶= 50∘，点𝐸是直线𝐶𝐷上的动点（点𝐸与点𝐷不重合），
连接𝐵𝐸，作∠𝐴𝐵𝐸的平分线交直线𝐶𝐷于点𝐹．
（1）如图1，点𝐸在点𝐷左侧，若∠𝐷𝐵𝐸= 20∘，求∠𝐸𝐵𝐹的度数．
（2）射线𝐵𝐺平分∠𝐸𝐵𝑄．
①如图2，点𝐸在点𝐷左侧，求∠𝐹𝐵𝐺的度数．
②若𝐹′ 是𝐵𝐹反向延长线上的一点，求∠𝐹′𝐵𝐺的度数．
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第
14
讲
平
行
相
关
动
态
问
题
2
74
典型例题3
如图1，已知四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵//𝐶𝐷，𝐴𝐵⊥𝐵𝐶，且𝐴𝐵= √4，𝐵𝐶=
3√27，𝑆四边形𝐴𝐵𝐶𝐷= 9．
（1）求线段𝐶𝐷的长．
（2）如图2，若𝑃为𝐵𝐶边上一动点，当𝑃𝐴⊥𝐴𝐷时，∠𝐴𝑃𝐵的平分线与∠𝐵𝐴𝐷的外角的平分线交于一点𝐸，
求∠𝐴𝐸𝑃的度数．
（3）如图3，当𝑃在𝐵𝐶边上运动时，作𝑃𝐴⊥𝑃𝑀交𝐶𝐷于𝑀，∠𝑃𝐴𝐵和∠𝑃𝑀𝐶的平分线交于一点𝑄，问在
点𝑃运动的过程中，∠𝐴𝑄𝑀的大小是否发生变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由．
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第
14
讲
平
行
相
关
动
态
问
题
2
75
模块二
模块二
平行动态问题与应用
典型例题4
为保证安全，某段铁路𝑃𝑄，𝑀𝑁两旁安装了两座可旋转探照灯，探照灯的光线可看作射线，如图1，灯𝐴的
光线𝐴𝐶从射线𝐴𝑀开始，绕点𝐴顺时针旋转至𝐴𝑁便立即回转，灯𝐵的光线𝐵𝐷从射线𝐵𝑃开始，绕点𝐵
顺时针旋转至𝐵𝑄便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯𝐴的光线转动的速度是每秒2∘，灯𝐵的光线
转动的速度是每秒1∘，已知𝑃𝑄//𝑀𝑁，连接𝐴𝐵，且∠𝐵𝐴𝑀∶∠𝐵𝐴𝑁= 2 ∶1．
（1）∠𝐵𝐴𝑁=
∘．
（2）若灯𝐵的光线先转动45 秒，灯𝐴的光线才开始转动，在灯𝐵的光线第一次到达𝐵𝑄之前，灯𝐴的光线
转动多少秒时，两灯的光线互相平行？
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第
14
讲
平
行
相
关
动
态
问
题
2
76
模块三
模块三
坐标系中的平行动态问题
典型例题5
在平面直角坐标系中，点𝐴(𝑎,6)，𝐵(4,𝑏)．
（1）若𝑎，𝑏满足(𝑎+𝑏−5)2 +|2𝑎−𝑏−1| = 0．
①求点𝐴，𝐵的坐标．
②点𝐷在第一象限，且点𝐷在直线𝐴𝐵上，作𝐷𝐶⊥𝑥轴于点𝐶，延长𝐷𝐶到点𝑃使得𝑃𝐶= 𝐷𝐶，若
△𝑃𝐴𝐵的面积为10，求点𝑃的坐标．
（2）如图，将线段𝐴𝐵平移到𝐶𝐷，且点𝐶在𝑥轴负半轴上，点𝐷在𝑦轴负半轴上，连接𝐴𝐶交𝑦轴于点𝐸，
连接𝐵𝐷交𝑥轴于点𝐹，点𝑀在𝐷𝐶延长线上，连接𝐸𝑀，3∠𝑀𝐸𝐶+∠𝐶𝐸𝑂= 180∘，点𝑁在𝐴𝐵延长线
上，点𝐺在𝑂𝐹延长线上，∠𝑁𝐹𝐺= 2∠𝑁𝐹𝐵，请探究∠𝐸𝑀𝐶和∠𝐵𝑁𝐹的数量关系，给出结论并说明理
由．
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第
14
讲
平
行
相
关
动
态
问
题
2
77
典型例题6
如图1，在平面直角坐标系中，点𝐴(0,𝑎)，𝐵(𝑏,0)，𝐶(𝑐,0)，且满足√𝑎−3+(𝑎+𝑏−7)2 +|𝑐+𝑎+2| = 0．
（1）求𝐴、𝐵、𝐶三点的坐标及△𝐴𝐵𝐶的面积．
（2）若𝑦轴上有一点𝑃，使得△𝐴𝐵𝑃的面积等于△𝐴𝐵𝐶的面积，求点𝑃的坐标．
（3）如图2，直线𝑀𝑁经过𝐴、𝐵两点，点𝐷是线段𝐶𝑂上一动点（不与端点重合），过点𝐷作𝐸𝐹//𝑀𝑁交
𝑦轴负半轴于点𝐸，∠𝑀𝐴𝑂与∠𝐹𝐷𝑂的角平分线相交于点𝐺，问：∠𝐴𝐺𝐷的度数是否为定值？若是，求
出∠𝐴𝐺𝐷的度数，若不是，说明理由．
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第
14
讲
平
行
相
关
动
态
问
题
2
78
随堂练习
随堂练习1
已知：如图，点𝐸在△𝐴𝐵𝐶的边𝐵𝐴的延长线上，𝐴𝐷//𝐵𝐶，∠𝐵= ∠𝐶．
（1）求证：𝐴𝐷平分∠𝐸𝐴𝐶．
（2）𝐵𝐹是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，延长𝐵𝐹交𝐴𝐷于点𝐺，若△𝐴𝐹𝐺为锐角三角形，则∠𝐶的度数的取值范围
是
．
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第
14
讲
平
行
相
关
动
态
问
题
2
79
随堂练习2
请回答下列各题．
（1）如图，直线𝐴𝐵//𝐶𝐷，点𝐸在直线𝐴𝐵上，点𝐹、𝐻在直线𝐶𝐷上，∠𝐴𝐸𝐹= 48∘，∠𝐸𝐻𝐹= 30∘，𝐸𝐺平分
∠𝐴𝐸𝐻，𝐹𝐺平分∠𝐸𝐹𝐻，𝐸𝐺、𝐹𝐺相交于点𝐺，求∠𝐸𝐺𝐹的度数．
（2）将（1）中的线段𝐸𝐻向右平移至𝐸′𝐻′ 的位置，如图所示，此时，𝐸′𝐺平分∠𝐸𝐸′𝐻′，𝐹𝐺平分∠𝐸𝐹𝐷，
∠𝐴𝐸𝐹= 48∘，∠𝐸′𝐻′𝐹= 30∘，求∠𝐸′𝐺𝐹的度数．
（四边形𝐸𝐹𝐺𝐸′ 的内角和等于360∘）
（3）将（1）中的线段𝐸𝐻向左平移至𝐸′𝐻′ 的位置，如图所示，其他条件与（2）相同．请直接写出∠𝐸′𝐺𝐹=
∘．
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第
14
讲
平
行
相
关
动
态
问
题
2
80
随堂练习3
如图，在平面直角坐标系中，点𝐴，𝐵的坐标分别为𝐴(0,𝑎)，𝐵(𝑏,𝑎)，且𝑎、𝑏满足(𝑎−2)2 +|𝑏−4| = 0，现同时
将点𝐴，𝐵分别向下平移2 个单位长度，再向左平移1 个单位长度，得到点𝐴，𝐵的对应点𝐶，𝐷，连接𝐴𝐶，
𝐵𝐷，𝐴𝐵．
（1）求点𝐶，𝐷的坐标及四边形𝐴𝐵𝐷𝐶的面积𝑆四边形𝐴𝐵𝐷𝐶．
（2）在𝑦轴上是否存在一点𝑀，连接𝑀𝐶，𝑀𝐷，使𝑆△𝑀𝐶𝐷= 1
2𝑆四边形𝐴𝐵𝐷𝐶？若存在，求出点𝑀的坐标，若不
存在，试说明理由．
（3）𝑃是直线𝐵𝐷上的一个动点，连接𝑃𝐴，𝑃𝑂，当点𝑃在𝐵𝐷上移动时（不与点𝐵，𝐷重合），直接写出
∠𝐵𝐴𝑃、∠𝐷𝑂𝑃、∠𝐴𝑃𝑂之间满足的数量关系．
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第15 讲
新题型
新题型大集合
模块一
实验操作
模块二
新定义
模块三
阅读材料
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第
15
讲
新
题
型
大
集
合
82
模块一
模块一
实验操作
典型例题1
如图是一个正方体的展开图，标有字母𝐴的面是正方体的正面，如果正方体相对的两个面所标注的值均互
为相反数，求字母𝐴所表示的值．
典型例题2
操作与推理．
（1）将三角板绕它的一条直角边旋转一圈，另两边可以围成的图形是
．
（2）小红用扑克牌玩“24 点”游戏，小红抽到的四张牌分别是黑桃2，红桃3，梅花3 和方块7，运用抽到的四
张牌写出一个结果等于24 的式子是
．
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第
15
讲
新
题
型
大
集
合
83
（3）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一
位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子
自出生后的天数是多少？（要求写出解得过程）
（4）观察下列两个代数式𝑀、𝑁的值的变化情况：
①用含𝑛的字母分别表示代数式𝑀、𝑁．
②随着𝑛的值逐渐增大，估计一下，哪个代数式的值先超过100．
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第
15
讲
新
题
型
大
集
合
84
模块二
模块二
新定义
典型例题3
若三位数𝑀= 𝑎𝑏𝑐（𝑎，𝑏，𝑐为整数且1 ⩽𝑎⩽9，0 ⩽𝑏⩽9，0 ⩽𝑐⩽9）
满足𝑎+𝑐= 4𝑏，称这个三位数𝑀为“稳定数”，记𝐹(𝑀) = (𝑎−𝑏)+2(𝑎−𝑐)+(𝑏−𝑐)
3
．
（1）填空：234
“稳定数”；947
“稳定数”（用“是”与“不是”填空）．
（2）若三位数𝑁= 𝑥𝑦𝑧（𝑥，𝑦，𝑧为整数且4 ⩽𝑥⩽8，4 ⩽𝑧⩽8）为“稳定数”，且3
2𝐹(𝑁) 与𝑁的和能被9 整除，
求出所有满足条件的𝑁．
典型例题4
把几个数或代数式用大括号括起来，中间用逗号分开，如：{−3,6,12}，{𝑥,𝑥2𝑦,2𝑥−𝑦}，我们称之为集合，其中
大括号内的数或代数式叫做集合的元素．如果一个集合满足：只要其中有一个元素𝑥，使得−2𝑥+1 也是这
个集合的元素，这样的集合我们称为关联集合，其中原式−2𝑥+1 叫做条件元素．例如：集合{6,−1,3}，因为
(−2)×(−1)+1 = 3，3 恰好也是这个集合的元素，所以{6,−1,3} 是关联集合，其中元素3 叫做条件元素；例
如：集合{1
3,−5}，因为(−2)× 1
3 +1 = 1
3，1
3 恰好也是这个集合的元素，所以{1
3,−5} 是关联集合，其中元素
1
3 叫做条件元素．
（1）试说明集合{−5
3, 1
2, 13
3 } 和集合{−𝑎𝑏2 +1, 1
2𝑎𝑏2} 都是关联集合．
（2）若集合{𝑥𝑦−𝑦2,𝐴} 和集合{𝑥2 + 1
2𝑥𝑦−𝑦2,𝐵} 都是关联集合，其中𝐴、𝐵是条件元素，求𝐴−𝐵．
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第
15
讲
新
题
型
大
集
合
85
典型例题5
在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，点𝑃(𝑥,𝑦) 到𝑥轴、𝑦轴的垂线段𝑃𝑀，𝑃𝑁与坐标轴围成矩形𝑂𝑀𝑃𝑁，当这个矩
形的周长数值（即不含长度单位）是面积数值（即不含面积单位）的2 倍时，称点𝑃是“幸福点”，矩形称
为“幸福矩形”．
（1）点𝑃1(1,2)，𝑃2(2,−2)，𝑃3 (1
2,−1) 中，是“幸福点”的点为：
．
（2）若“幸福矩形”的面积是16
3 ，且“幸福点”位于第二象限，请写出满足条件的“幸福点”的坐标：
．
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15
讲
新
题
型
大
集
合
86
模块三
模块三
阅读材料
典型例题6
阅读下列材料，解决问题：
材料1：一个三位自然数𝑎𝑏𝑐，若百位上的数字与十位上的数字之积再减去百位上的数与十位上的数字之和
所得之差，恰好等于个位上的数字，即𝑎𝑏−(𝑎+𝑏) = 𝑐，则称这个三位数为”2020”数．例如：自然数231，因
为数字2，3，1 满足：2×3−(2+3) = 1，所以231 是”2020”数．
材料2：若一个整数各个数位上的数字之和能被9 整除，则这个整数一定能被9 整除．例如三位数108 的各
数位上的数字和为9，9 能被9 整除，所以108 也一定能被9 整除．
（1）阅读材料1，请判断725 是否为”2020”数，并说明理由．
（2）根据材料1 和2，求所有小于600 且能被9 整除的”2020”数．
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第
15
讲
新
题
型
大
集
合
87
随堂练习
随堂练习1
一个正方体的表面展开图如图所示，已知这个正方体的每一个面上都填有一个数字，且各相对面上所填的
数字互为相反数，请写出𝑥、𝑦、𝑧的值并计算𝑥−𝑦+𝑧．
随堂练习2
在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，对于𝑀，𝑁两点给出如下定义：若点𝑀横向平移𝑥个单位，纵向平移𝑦个单位
到点𝑁，规定每次横向和纵向都只往一个方向走，当𝑥= 𝑦时，称𝑀，𝑁两点为“友好点”, 比如(1,−2) 与
(2,−1) 为“友好点”
（1）已知点𝐴的坐标为(0,2)，
①在点𝐵(−2,4)，𝐶(3,−3)，𝐷(3,5) 中，为点𝐴的“友好点”的是 ．
②若点𝐸的坐标为(𝑏+1,−6)，且𝐴，𝐸两点为“友好点”，求点𝐸的坐标．
③若原点𝑂(0,0) 与点𝐹为“友好点”，以𝐴、𝑂、𝐹为顶点的三角形面积为6，则满足条件的𝐹点的坐标
为 ．
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第
15
讲
新
题
型
大
集
合
88
（2）若点𝑃(2,2𝑎−1) 与𝑄(𝑏,−2) 为“友好点”，𝑄在如图所示的长方形内部（不含边界），求𝑎的取值范围．
随堂练习3
若一个正整数𝑚能表示为两个正整数𝑎，𝑏的平方和，则称𝑚为“方和数”．
（1）100
“方和数”，110
“方和数”．
（填写“是”或“不是”）
（2）以下两个判断，正确选项的序号是
．
①两个“方和数”的和是“方和数”
②两个“方和数”的积是“方和数”
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第
15
讲
新
题
型
大
集
合
89
随堂练习4
对于正整数𝑎，如果存在正整数𝑏、𝑐使得𝑎= 𝑏𝑐，则称𝑏，𝑐为𝑎的约数．比如36 = 4×9，所以4 和9 是36 的
约数，为了找出36 的所有约数，我们可以把36 继续分解，即36 = 2×2×3×3，进一步写成36 = 22 ×32，所以
36 的约数就可以表示成2𝛼⋅3𝛽的形式，其中𝛼可以取0、1、2，𝛽可取0、1、2，这样我们就很快地得出36 共
有9(9 = 3×3) 个约数，分别为1、3、9、2、6、18、4、12、36，以上方法我们称之为是对36 进行“分解质因数”．
其实不难发现，对于任意正整数𝑚都可以对其进行分解质因数，即𝑚= 𝑝1𝛼1𝑝2𝛼2 ⋯𝑝𝑛𝛼𝑛，其中𝑝1，𝑝2，⋯，𝑝𝑛
是互不相等的质数，那么𝑚的所有约数𝑛就可以表示为𝑛= 𝑝1𝛽1𝑝2𝛽2 ⋯𝑝𝑛𝛽𝑛（0 ⩽𝛽1 ⩽𝛼1，0 ⩽𝛽2 ⩽𝛼2，
⋯，0 ⩽𝛽𝑛⩽𝛼𝑛且𝛽1，𝛽2，⋯，𝛽𝑛都是整数），进而不难得出𝑚共有(𝛼1 +1)(𝛼2 +1)…(𝑎𝑛+1) 个约数，特
别地，如果𝑚= 𝑛2𝑘（𝑛是正整数，𝑘为自然数），则称𝑚为完全平方数．
（1）根据以上阅读材料，求出3000 共有多少个约数？
（2）请说明任意的一个完全平方数的约数个数一定是奇数．
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第16 讲
统计问
统计问题初步
模块一
统计问题
模块二
统计量
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第
16
讲
统
计
问
题
初
步
92
模块一
模块一
统计问题
知识梳理
一、数据的收集
普查：为一特定目的而对所有考察对象所做的调查叫做普查．
抽样调查：为一特定目的而对部分考察对象所做的调查叫做抽样调查．
调查时，调查对象的全体叫做总体，其中每一个调查对象叫做个体，从总体中抽取的一部分个体叫做总体的
一个样本，样本中个体的数量叫做样本容量．
二、数据的描述
条形统计图：用宽度相同的“条形”的高度描述各统计项目的数据；
扇形统计图：用圆中各扇形的面积描述各统计项目占总体的百分比；
折线统计图：用折线描述数据的变化过程和趋势；
频数分布直方图：是特殊的条形统计图，其横轴表示考察对象数据的变化范围，纵轴表示相应范围内数据的
频数．
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第
16
讲
统
计
问
题
初
步
93
典型例题1
（1）为了解我县2019 年八年级期末数学学科成绩，从中抽取200 名八年级学生期末数学成绩进行统计分
析，在这个问题中，样本是指( )
A. 200
B. 我县2019 年八年级学生期末数学成绩
C. 被抽取的200 名八年级学生
D. 被抽取的200 名我县八年级学生期末数学成绩
（2）完成以下任务，适合用抽样调查的是( )
A. 调查你班同学的年龄情况
B. 为订购校服，了解学生衣服的尺寸
C. 对北斗导航卫星上的零部件进行检查
D. 考察一批炮弹的杀伤半径
（3）为了解本校学生课外使用网络情况，学校采用抽样问卷调查，下面的抽样方法最恰当的是( )
A. 随机抽取七年级5 位同学
B. 随机抽取七年级每班各5 位同学
C. 随机抽取全校5 位同学
D. 随机抽取全校每班各5 位同学
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第
16
讲
统
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问
题
初
步
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典型例题2
（1）为了估计池塘里有多少条鱼，从池塘里捕捞了1000 条鱼做上标记，然后放回池塘里，经过一段时间，
等有标记的鱼完全混合于鱼群中以后，再捕捞200 条，若其中有标记的鱼有10 条，则估计池塘里有鱼
条．
（2）为了鼓励学生课外阅读，学校公布了奖励阅读方案，并设置了赞成，反对，无所谓三种意见，现从学校
所有2400 名学生中随机征求100 名学生的意见，其中持反对和无所谓意见的共有30 名学生，估计全
校持赞成意见的学生人数为( )．
A. 70
B. 720
C. 1680
D. 2370
典型例题3
某学校以随机抽样的方式开展了“中学生喜欢数学的程度”的问卷调查，调查的结果分为𝐴(不喜欢)、𝐵(一
般)、𝐶(比较喜欢)、𝐷(非常喜欢) 四个等级，图1、图2 是根据采集的数据绘制的两幅不完整的统计图．
（1）𝐶等级所占的圆心角为
∘；
（2）请直接在图2 中补全条形统计图；
（3）若该校有学生1000 人，请根据调查结果，估计“比较喜欢”的学生人数为多少人．
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第
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典型例题4
为了解某校落实新课改精神的情况，现以该校某班的同学参加课外活动的情况为样本，对其参加“球类”
“绘
画类”
“舞蹈类”
“音乐类”
“棋类”活动的情况进行调统计，并绘制了如图所示的统计图．
（1）参加音乐类活动的学生人数为
人，参加球类活动的人数的百分比为
．
（2）请把条形统计图补充完整．
（3）若该校学生共1600 人，那么参加棋类活动的大约有多少人？
（4）该班参加舞蹈类活动的4 位同学中，有1 位男生(用𝐸表示) 和3 位女生(分别用𝐹，𝐺，𝐻表示)，现准
备从中选取两名同学组成舞伴，请用列表或画树状图的方法求恰好选中一男一女的概率．
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第
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统
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问
题
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96
模块二
模块二
统计量
知识梳理
数据的分析——常用统计量
1. 平均数
对于一组数据：𝑥1,𝑥2,……𝑥𝑛，平均数̄ 𝑥= 1
𝑛(𝑥1 +𝑥2 +……+𝑥𝑛)．
对于一组数据：𝑥1,𝑥2,……𝑥𝑛，它们相应的权数为𝑚1,𝑚2 ……𝑚𝑛（权数= 频数/ 总数），加权平均数̄
𝑥= 𝑚1𝑥1 +𝑚2𝑥2 +……+𝑚𝑛𝑥𝑛．
2. 中位数
将𝑛个数据按大小顺序排列，居中的一个数据（𝑛为奇数），或居中的两个数据（𝑛为偶数）的平均数，
称为这组数据的中位数．
3. 众数
一组数据中出现次数最多的数据称为众数．
4. 方差与标准差
对于一组数据：𝑥1,𝑥2,……𝑥𝑛，其平均数为̄ 𝑥，这𝑛个数与平均数̄ 𝑥的差的平方的平均数叫做这𝑛个数的
方差，记作𝑠2．方差的算术平方根叫做标准差，记作𝑠．
𝑠2 = 1
𝑛[(𝑥1 −̄𝑥)2 +(𝑥2 −̄𝑥)2 +…+(𝑥𝑛−̄𝑥)2]
𝑠= √1
𝑛[(𝑥1 −̄𝑥)2 +(𝑥2 −̄𝑥)2 +…+(𝑥𝑛−̄𝑥)2]
典型例题5
（1）若一组数据2，3，4，5 ，𝑥的平均数与中位数相同，则实数𝑥的值不可能是( )
A. 6
B. 3.5
C. 2.5
D. 1
（2）已知一组数据共有5 个数，它们的方差是0.4，众数、中位数和平均数都是8，最大的数是9，则最小的
数是
．
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第
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统
计
问
题
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（3）初三体育素质测试，某小组5 名同学成绩如下所示，有两个数据被遮盖，如图：
那么被遮盖的两个数据依次是( )
A. 35，2
B. 36，4
C. 35，3
D. 36，3
典型例题6
某校九年级学生开展踢毽子比赛活动，每班派5 名同学参加，按团体总分多少排列名次，在规定时间内每人
踢100 个以上(含100) 为优秀，下表是成绩最好的甲班和乙班5 名学生的比赛数据(单位：个)．
统计发现两班总分相等，此时有同学建议，可以通过考查数据中的其他信息作为参考，请你解答下列问题：
（1）计算两班的优秀率．
（2）求两班比赛数据的中位数．
（3）估计两班比赛数据的方差哪一个小？
（4）根椐以上三条信息，你认为应该把冠军奖状发给哪一个班？简述理由．
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随堂练习
随堂练习1
下列调查方式，你认为最合适的是( )
A. 日光灯管厂要检测一批灯管的使用寿命，采用全面调查方式
B. 旅客上飞机前的安检，采用抽样调查方式
C. 了解北京市居民日平均用水量，采用全面调查方式
D. 了解北京市每天的流动人口数，采用抽样调查方式
随堂练习2
一个样本为1，3，2，2，𝑎，𝑏，𝑐，已知这个样本的众数为3，平均数为2，则这个样本的方差为
．
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第
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问
题
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随堂练习3
为了解某校学生对球类运动的喜爱情况，调查小组就打排球、打乒乓球、打篮球、踢足球四项球类运动对该
校学生进行了“你最喜爱的球类运动”的抽样调查，并根据调查结果绘制成如下统计图．
（1）本次抽样调查的样本容量是
．
（2）补全条形统计图．
（3）该校共有2000 名学生，请你估计该校最喜爱“打篮球”的学生人数．
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