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上海市2022届春季高考数学试卷
一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）
1．（2022·上海）已知 z=2+i ，则 z=
【答案】2-i
【知识点】复数的基本概念
【解析】【解答】解：∵z=2+i，
∴z=2-i
故答案为：2-i
【分析】根据共轭复数的定义求解即可.
2．（2022·上海）已知 A=(−1，2) ， B=(1，3) ，则 A∩B=
【答案】(1，2)
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：∵A=(−1，2) ， B=(1，3)
∴A∩B=(1，2)
故答案为：(1，2)
【分析】根据交集的定义求解即可.
x−1
3．（2022·上海）不等式 <0 的解集为
x
【答案】(0，1)
【知识点】一元二次不等式及其解法；其他不等式的解法
x−1
【解析】【解答】解：由题意得 <0等价于x(x-1)<0，解得00) ，双曲线上右支上有任意两点 P (x ，y ) ，
a2 1 1 1
P (x ，y ) ，满足 x x −y y >0 恒成立，则a的取值范围是
2 2 2 1 2 1 2
【答案】a≥1
【知识点】平面向量的数量积运算；双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：如图所示，取点P 关于x轴对称的点P，则P(x，-y)，分别在渐近线上取点
1 3 3 2 2
M，N
→ →
则由 x 1 x 2 −y 1 y 2 >0恒成立，得OP ·OP >0恒成立，
1 3
则∠POP 恒为锐角，
1 3
即∠MON≤90°，1 1
则其中一条渐近线y= x的斜率 ≤1，
a a
则 a≥1
故答案为： a≥1
【分析】根据双曲线的几何性质，结合向量的数量积求解即可.
12．（2022·上海）已知 f(x) 为奇函数，当 x∈[0，1] 时， f(x)=lnx ，且 f(x) 关于直线
x=1 对称，设 f(x)=x+1 的正数解依次为 x 、 x 、 x 、 ⋅⋅⋅ 、 x 、 ⋅⋅⋅ ，则
1 2 3 n
lim(x
n+1
−x
n
)=
n→∞
【答案】2
【知识点】函数的图象与图象变化；极限及其运算
【解析】【解答】解：因为 f(x) 为奇函数，
所以f(x)关于原点对称，
又 f(x) 关于直线 x=1 对称，
则函数f(x)的周期为T=4(1-0)=4，
又因为 当 x∈[0，1] 时， f(x)=lnx ，
作出函数f(x)的图象，如图所示，
则由题意知， lim(x n+1 −x n )的几何意义是相邻两条渐近线之间的距离2，即 lim(x n+1 −x n )=2 .
n→∞ n→∞
故答案为：2
【分析】根据函数的图象与性质，结合极限的几何意义，运用数形结合思想求解即可.二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13．（2022·上海）下列幂函数中，定义域为R的是（ ）
1 1 1
A．y=x−1 B．
y=x
−
2
C．
y=x3
D．
y=x2
【答案】C
【知识点】幂函数的概念与表示
【解析】【解答】解：对于A， y=x−1的定义域为{x|x≠0}，故A错误；
1
对于B，
y=x
− 2的定义域为{x|x>0}，故B错误；
1
对于C， y=x3的定义域为R，故C正确；
1
对于D， y=x2的定义域为{x|x>0}，故D错误.
故答案为：C
【分析】根据函数的定义域，结合幂函数的定义求解即可.
14．（2022·上海）已知 a>b>c>d ，下列选项中正确的是（ ）
A．a+d>b+c B．a+c>b+d C．ad>bc D．ac>bd
【答案】B
【知识点】不等关系与不等式；利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】解：对于A，令a=2，b=1，c=0，d=-3，则a+d=-1，b+c=1，此时a+db>c>d，即a>b，c>d，则根据不等式的性质得 a+c>b+d，故B正确；
对于C， 令a=2，b=1，c=0，d=-3，则ad=-3，bc=0，此时adS ，则数列 {a } 单调递增
2022 2021 n
B．若 T >T ，则数列 {a } 单调递增
2022 2021 n
C．若数列 {S } 单调递增，则 a ≥a
n 2022 2021
D．若数列 {T } 单调递增，则 a ≥a
n 2022 2021
【答案】D
【知识点】等比数列的前n项和；等比数列的性质
1
【解析】【解答】解：对于A，设a = ，显然有 S >S ，但数列 {a } 单调递减，故A错误；
n 2n 2022 2021 n
对于B，设a=-2n， 显然有 T >T ，但数列 {a } 单调递减，故B错误；
n 2022 2021 n
1
对于C，设a = ，显然有数列 {S } 单调递增，但 a T >0，则a>1，q≥1，则a ≥a ，故D正确.
n n n-1 n 2022 2021
故答案为：D
【分析】根据等比数列的性质，结合特殊值法求解即可.
三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17．（2022·上海）如图，在圆柱 OO 中，底面半径为1， A A 为圆柱母线.
1 1（1）若 A A =4 ，M为 A A 中点，求直线 MO 与底面的夹角大小；
1 1 1
（2）若圆柱的轴截面为正方形，求该圆柱的侧面积和体积.
【答案】（1）根据直线与平面所成角的定义，易知 直线MO 与底面的夹角为∠MO A
1 1 1
A M
则由题意得tan∠MO A = 1 =2，
1 1 O A
1 1
则∠MO A= arctan2 ；
1 1
（2）设圆柱的底面圆的半径为r，高为h，
则因为圆柱的轴截面为正方形，
所以h=2r=2
所以圆柱的侧面积为2πrh=2π×1×2=4π
圆柱的体积为 πr2h=π×12×2=2π
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；棱柱、棱
锥、棱台的体积；直线与平面所成的角
【解析】【分析】根据直线与平面所成角的定义，以及圆柱的侧面积与体积公式求解即可.
18．（2022·上海）已知数列 {a } ， a =1 ， {a } 的前n项和为 S .
n 2 n n
（1）若 {a n } 为等比数列， S 2 =3 ，求 l n→ im ∞ S n ；
（2）若 {a } 为等差数列，公差为d，对任意 n∈N* ，均满足 S ≥n ，求d的取值范围.
n 2n
【答案】（1）设等比数列的公比为q，则由题意得a=2，
1
1
则q=
2
则S = a 1 (1-qn) =4 ( 1- 1 )
n 1-q 2n
( 1 )
则 lim S =lim 4 1- =4
n→∞
n
n→∞
2n2n·(a +a )
（2）由题意得S = 2 2n-1 =2dn2+(2-3d)n⩾n
2n 2
则(3-2n)d≤1
当n=1时，d≤1；
1
当n≥2时，d≥ 恒成立；
3-2n
1
∵ ∈[-1，0)
3-2n
∴d≥0
综上 d∈[0，1]
【知识点】极限及其运算；等差数列的前n项和；等比数列的前n项和；数列与不等式的综合
【解析】【分析】（1）根据等比数列的前n项和公式，结合极限求解即可；
（2）根据等差数列的前n项和公式，结合不等式的解法求解即可.
19．（2022·上海）如图，矩形ABCD区域内，D处有一棵古树，为保护古树，以D为圆心，DA为半
径划定圆D作为保护区域，已知 AB=30 m， AD=15 m，点E为AB上的动点，点F为CD上的
动点，满足EF与圆D相切.
（1）若∠ADE =20° ，求EF的长；
（2）当点E在AB的什么位置时，梯形FEBC的面积有最大值，最大面积为多少？
（长度精确到0.1m，面积精确到0.01m²）
【答案】（1）如图，作DH⊥EF，则EF=EH+HF=15tan20°+15tan50°≈23.3m；
（2）设∠ADE=θ，AE=15tanθ，FH=15tan(90°-2θ)，
15 225( 1 ) 225❑√3
则S = (30tanθ+15cot2θ)= 3tanθ+ ≥
AEFD 2 4 tanθ 2
1 ❑√3
当且仅当3tanθ= ，即tanθ= 时，等号成立，
tanθ 3
225❑√3
即当AE=15tanθ=5❑√3时，最大面积为450- ≈255.14m2
2
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；任意角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）根据正切函数的定义，运用数形结合思想求解即可；
（2）根据面积公式，结合基本不等式求最值求解即可.
x2
20．（2022·上海）在椭圆 Γ： + y2=1 中，直线 l：x=a 上有两点C、D (C点在第一象限)，左
a2
顶点为A，下顶点为B，右焦点为F.
π
（1）若∠AFB = ，求椭圆 Γ 的标准方程；
6
（2）若点C的纵坐标为2，点D的纵坐标为1，则BC与AD的交点是否在椭圆上？请说明理由；
（3）已知直线BC与椭圆 Γ 相交于点P，直线AD与椭圆 Γ 相交于点Q，若P与Q关于原点对
称，求 |CD| 的最小值.
π
【答案】（1）由题意知，∵ ∠AFB = ，
6
∴在Rt△BOF中，BF=2OB，即a=2b=2x2
则椭圆 Γ 的标准方程为 + y2=1 ；
4
（2）由题意知A(-a，0)，B(0，-1)，C(a，2)，D(a，1)，
3
则直线BC：y= x-1
a
1 1
直线AD：y= x+
2a 2
3
{ y= x-1 )
则由
a
得交点为
(3a
，
4)
，符合椭圆 Γ：
x2
+ y2=1，故交点在椭圆上；
1 1 5 5 a2
y= x+
2a 2
（3）设P为(acosθ，sinθ)，又B(0，-1)，
sinθ+1
则K = ，
BP acosθ
sinθ+1
则直线BP：y= x-1，
acosθ
(
sinθ+1
)
∴点C a， -1 ，
cosθ
同理可得，设Q为(-acosθ，-sinθ)，又A(-a，0)，
sinθ
则K = ，
AQ acosθ-a
sinθ
则直线AQ：y= (x+a)，
acosθ-a
( 2sinθ )
∴点D a， ，
cosθ-1θ θ θ θ θ θ
2sin cos +sin2 +cos2 4sin cos
sinθ+1 2sinθ 2 2 2 2 2 2
∴|CD)= -1- = -
cosθ cosθ-1 θ θ θ
cos2 -sin2 -2sin2
2 2 2
θ ( 1 1)
设t=tan ，则|CD)=2 + -2
2 1-t t
1 1 4
∵ + ≥
a b a+b
1 1 4
∴ + ≥ =4
1-t t 1-t+t
∴|CD|≥6
即|CD|的最小值为6
【知识点】直线的斜截式方程；两条直线的交点坐标；平面内两点间的距离公式；椭圆的标准方程；直
线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】(1)根据椭圆方程，运用数形结合思想求解即可；
(2)根据直线的斜截式方程，以及两直线的交点，结合点在椭圆上的判定求解即可；
(3)根据直线的斜截式方程，以及直线与椭圆的位置关系，运用换元法，结合两点间的距离公式以及
不等式的性质求解即可.
21．（2022·上海）已知函数 f(x) ，甲变化： f(x)−f(x−t) ；乙变化： |f(x+t)−f(x)| ，
t>0 .
（1）若 t=1 ， f(x)=2x ， f(x) 经甲变化得到 g(x) ，求方程 g(x)=2 的解；
（2）若 f(x)=x2 ， f(x) 经乙变化得到 h(x) ，求不等式 h(x)≤f(x) 的解集；
（3）若 f(x) 在 (−∞，0) 上单调递增，将 f(x) 先进行甲变化得到 u(x) ，再将 u(x) 进
行乙变化得到 h (x) ；将 f(x) 先进行乙变化得到 v(x) ，再将 v(x) 进行甲变化得到 h (x) ，
1 2
若对任意 t>0 ，总存在 h (x)=h (x) 成立，求证： f(x) 在R上单调递增.
1 2
【答案】（1）由题意得g(x)=f(x)-f(x-1)=2x-2x-1=2x-1，
则由g(x)=2得2x-1=2，解得x=2；
（2）由题意得h(x)=|2tx+t2|，如图所示t
①当x≤- 时，h(x)≤f(x)恒成立；
2
t
②当x>- 时，h(x)=2tx+t2，则由h(x)≤f(x)得2tx+t2≤x2，
2
解得x≤(1-❑√2)t或x≥(1+❑√2)t，
综上可得x≤(1-❑√2)t或x≥(1+❑√2)t，
故解集为： (−∞，(1−❑√2)t]∪[(1+❑√2)t，+∞)
（3）由题意得h(x)=|[f(x+t)-f(x)]-[f(x)-f(x-t)]|，h(x)=|[f(x+t)-f(x)]|-|[f(x)-f(x-t)]|，
1 2
∵x∈R时，h(x)=h (x)恒成立
1 2
∴|[f(x+t)-f(x)]-[f(x)-f(x-t)]|=|[f(x+t)-f(x)]|-|[f(x)-f(x-t)]|……①
∵t>0且 f(x) 在 (−∞，0) 上单调递增
∴x-t0{ [f(x+t)-f(x)]·[f(x)-f(x-t)]⩾0 )
则由①得
|f(x+t)-f(x))≥|f(x)-f(x-t))=f(x)-f(x-t)>0
∴f(x+t)-f(x)>0
即f(x+t)-f(x)>f(x)-f(x-t)>0
{f(x+t)-f(x)>f(x)-f(x-t)
)
∴ f(x+t)>f(x) 对t>0都成立，
f(x)>f(x-t)
则f(x)在R上单调递增.
【知识点】函数单调性的判断与证明；有理数指数幂的运算性质；一元二次不等式及其解法；绝对值不
等式
【解析】【分析】(1)根据函数的新定义，结合对数方程的解法求解即可；
(2)根据函数的新定义，运用数形结合思想，结合不等式的解法求解即可；
(3)根据函数的新定义，结合函数的单调性，以及绝对值不等式的性质求解即可.
