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上海市2022届春季高考数学试卷
一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）
1．（2022·上海）已知 z=2+i ，则 z=
2．（2022·上海）已知 A=(−1，2) ， B=(1，3) ，则 A∩B=
x−1
3．（2022·上海）不等式 <0 的解集为
x
π
4．（2022·上海）已知 tanα=3 ，则 tan(α+ )=
4
{ x+my=2 )
5．（2022·上海）已知方程组 有无穷解，则 m 的值为
mx+16 y=8
6．（2022·上海）已知函数 f(x)=x3 的反函数为 y=f−1 (x) ，则 f−1 (27)=
1 12 1
7．（2022·上海）在 (x3+ ) 的展开式中，含 项的系数为
x x4
π
8．（2022·上海）在△ABC中， ∠A= ， AB=2 ， AC=3 ，则△ABC的外接圆半径为
3
9．（2022·上海）已知有1、2、3、4四个数字组成无重复数字，则比2134大的四位数的个数为
π
10．（2022·上海）在△ABC中， ∠C= ， AC=BC=2 ，M为AC的中点，P在AB上，则
2
⃗MP⋅⃗CP 的最小值为
x2
11．（2022·上海）已知双曲线 −y2=1 (a>0) ，双曲线上右支上有任意两点 P (x ，y ) ，
a2 1 1 1
P (x ，y ) ，满足 x x −y y >0 恒成立，则a的取值范围是
2 2 2 1 2 1 2
12．（2022·上海）已知 f(x) 为奇函数，当 x∈[0，1] 时， f(x)=lnx ，且 f(x) 关于直线
x=1 对称，设 f(x)=x+1 的正数解依次为 x 、 x 、 x 、 ⋅⋅⋅ 、 x 、 ⋅⋅⋅ ，则
1 2 3 n
lim(x
n+1
−x
n
)=
n→∞
二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13．（2022·上海）下列幂函数中，定义域为R的是（ ）
1 1 1
A．y=x−1 B． y=x − 2 C． y=x3 D． y=x2
14．（2022·上海）已知 a>b>c>d ，下列选项中正确的是（ ）
A．a+d>b+c B．a+c>b+d C．ad>bc D．ac>bd15．（2022·上海）如图，上海海关大楼的上面可以看作一个正四棱柱，四个侧面有四个时钟，则相
邻两个时钟的时针从0时转到12时（含0时不含12时）的过程中，能够相互垂直（ ）次
A．0 B．2 C．4 D．12
16．（2022·上海）已知 {a } 为等比数列， {a } 的前n项和为 S ，前n项积为 T ，则下列选项
n n n n
中正确的是（ ）
A．若 S >S ，则数列 {a } 单调递增
2022 2021 n
B．若 T >T ，则数列 {a } 单调递增
2022 2021 n
C．若数列 {S } 单调递增，则 a ≥a
n 2022 2021
D．若数列 {T } 单调递增，则 a ≥a
n 2022 2021
三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17．（2022·上海）如图，在圆柱 OO 中，底面半径为1， A A 为圆柱母线.
1 1
（1）若 A A =4 ，M为 A A 中点，求直线 MO 与底面的夹角大小；
1 1 1
（2）若圆柱的轴截面为正方形，求该圆柱的侧面积和体积.
18．（2022·上海）已知数列 {a } ， a =1 ， {a } 的前n项和为 S .
n 2 n n
（1）若 {a n } 为等比数列， S 2 =3 ，求 l n→ im ∞ S n ；
（2）若 {a } 为等差数列，公差为d，对任意 n∈N∗ ，均满足 S ≥n ，求d的取值范围.
n 2n
19．（2022·上海）如图，矩形ABCD区域内，D处有一棵古树，为保护古树，以D为圆心，DA为半
径划定圆D作为保护区域，已知 AB=30 m， AD=15 m，点E为AB上的动点，点F为CD上的
动点，满足EF与圆D相切.（1）若∠ADE =20° ，求EF的长；
（2）当点E在AB的什么位置时，梯形FEBC的面积有最大值，最大面积为多少？
（长度精确到0.1m，面积精确到0.01m²）
x2
20．（2022·上海）在椭圆 Γ： + y2=1 中，直线 l：x=a 上有两点C、D (C点在第一象限)，左
a2
顶点为A，下顶点为B，右焦点为F.
π
（1）若∠AFB = ，求椭圆 Γ 的标准方程；
6
（2）若点C的纵坐标为2，点D的纵坐标为1，则BC与AD的交点是否在椭圆上？请说明理由；
（3）已知直线BC与椭圆 Γ 相交于点P，直线AD与椭圆 Γ 相交于点Q，若P与Q关于原点对
称，求 |CD| 的最小值.
21．（2022·上海）已知函数 f(x) ，甲变化： f(x)−f(x−t) ；乙变化： |f(x+t)−f(x)| ，
t>0 .
（1）若 t=1 ， f(x)=2x ， f(x) 经甲变化得到 g(x) ，求方程 g(x)=2 的解；
（2）若 f(x)=x2 ， f(x) 经乙变化得到 ℎ(x) ，求不等式 ℎ(x)≤f(x) 的解集；
（3）若 f(x) 在 (−∞，0) 上单调递增，将 f(x) 先进行甲变化得到 u(x) ，再将 u(x) 进
行乙变化得到 ℎ (x) ；将 f(x) 先进行乙变化得到 v(x) ，再将 v(x) 进行甲变化得到 ℎ (x) ，
1 2
若对任意 t>0 ，总存在 ℎ (x)= ℎ (x) 成立，求证： f(x) 在R上单调递增.
1 2
