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第
0
讲
请
设
置
边
文
内
容
2
“
”
很开心能见到你，本书将带领你进入全新的领域。在过去
的学习中，无论你是卓越还是略有失意，此刻将是新的征途的开
始。你是否已准备好谱写新的辉煌？
在这里，你会知道许多著名数学家的趣事。你也会揭开数学
神秘的面纱，了解数学之美。
大数学家高斯说：“数学是一切科学的皇后。”如果说物理是
上帝的游戏，那数学就是上帝的游戏规则。数学是通往星辰大海
的秘钥，是国防科技的护盾，是我们脚下这片土地的未来。华罗
庚说过：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之
变，生物之谜，日用之繁，数学无处不在。”
现在的你，肯定已迫不及待想要扬帆起航。但睿智的你肯定
也明白，学习的事，容不得半点含糊。
亲爱的同学：
第一，凡事预则立，不预则废。
第二，认真听课，积极互动。认真做笔记，总结解题方法、技巧。
第三，温故而知新，可以为师矣。不忘温习，方得始终。
第四，及时完成随堂练习。今朝有题今朝做，明朝又有明朝事。
第五，整理错题，学会总结。聪明人知错就改，糊涂人有错就瞒。
最后，青春的帆已扬起，只待你乘风破浪，勇往直前。
对于初中直播课学习，给你一些建议：
序言
华
罗
庚
高
斯
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第
0
讲
请
设
置
边
文
内
容
3
1
心形函数曲线
π
5
2
3
4
金字塔
有趣的黄金分割线
对称美
古希腊哲学家毕达哥拉斯曾说过：“美的线条和其他一切
美的形体都必须有对称的形式。”对称本身即具有和谐的
整体美。
早在南北朝时期，大数学家祖冲之就利用割圆术将圆周
率π精算到小数点后七位，直到15世纪，阿拉伯数学
家阿尔·卡西才打破了这一纪录。
金字塔，是古埃及人智慧代表的巅峰之作。早在古希腊
时期，几何学家泰勒斯就可以根据投影与相似三角形定
理，测量出金字塔的高度。
0.618比1，著名的“黄金分割比”。意大利著名画家
达·芬奇笔下的《蒙娜丽莎》就多次应用黄金分割比，
蒙娜丽莎之所以越看越美，就是因为她的脸型、身材均
符合黄金矩形。
笛卡尔给公主的信中，只有一道函数公式：r=a(1-sinθ）。
而极具浪漫色彩的是，当公主把函数图象画出来后，一颗饱满
的心跃然纸上。这就是著名的“心形线”。
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【相交线与平行线】 能熟练运用平行线
的性质和判定来解决平
行线的证明、平行线间
的动点问题；
【数域拓展课】 实数易错概念辨析
【数形思想课】 平面直角坐标系中的面
积问题
【数形思想课】 平面直角坐标系中的规
律探究
【运算能力课】 含参二元一次方程（组）
【运算能力课】 含参不等式（组）
【实际应用课】 列方程、不等式解应用
题
【动态探究课】 平面直角坐标系中的动
点问题
【运算能力课】 有理数的运算技巧
【数形思想课】 有理数与数轴结合、分
类讨论、绝对值的代数
意义与几何意义
【动态探究课】 数轴上的动态问题
【运算能力课】 整式与整体思想、巧解
一元一次方程与含参一
元一次方程
【实际应用课】 方案选择与阶梯计价
【几何思维课】 线与角的分类讨论、动
态问题
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第
0
讲
请
设
置
边
文
内
容
7
希望学教研团队
亲爱的同学：
当你翻开这本书的时候，你又开始了一段新的学习之旅。
本书由希望学教研团队编写而成。团队有多年的教研沉淀，致力于
为同学们提供小学、初中和高中全学科的课外有益补充，培养学生分
析问题和自主解决问题的能力。锻炼思维，开拓视野，由“知识型”
向“能力型”转化。
下面我们将向你介绍本书的诞生过程：
1、对标教材和课程标准建立课程大纲
希望学教研团队根据教育部审定的最新中学教材，选取重难点模
块，收集各地区题目，精心敲定教学大纲。
2、依据大数据、编撰高标准
①依托多年教研沉淀，精品题库、讲义素材、课件切片等四大库教
研基建，为讲义编撰提供优质素材；
②希望学大数据核心算法定位学习中的薄弱环节；
③百人教研团队，历经1000+小时，严格按照大纲目录进行编写，
三轮审核三轮校对。
3、三审三校
初稿经由希望学教研中心内部一审，学科产品、教学中心、主讲老
师集中二审，外部专家专业三审后进入校对环节。
由编者一次精校；教研中心资深教研员二次精校；排版团队三次精
校。只有经过全面的三审三校，这本书才能发送给我们的用户！
4、排版
编撰与审校结束后，会安排专业团队进行排版印刷。模板和风格由
专业设计师进行设计，并不断更新迭代，紧跟审美风向标，提升可读
性。由供应部门统一调配和发货，这本书就会到达你的手中啦！
路漫漫其修远兮，吾将上下而求索！接下来的每一天，我们都会在
你的见证下不断精进，不断成长。
未来，希望学也会继续承担起用科技推动教育进步的重任，不断致
力于教育资源的均衡发展。伴随着你的成长，见证着你的成功，每天
进步一点点，一起做更好的自己！
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目录
第7 讲
二轮专题训练——二次函
数代数综合
1
模块一
增减性与含参问题
3
模块二
恒成立问题
4
模块三
代数综合
6
第8 讲
【真题易错】二次函数代
数综合
13
第9 讲
二轮专题训练——几何变
换之翻折
17
模块一
翻折问题
19
第10 讲
【真题易错】几何变换之
翻折
29
第11 讲
二轮专题训练——几何变
换之旋转
33
模块一
旋转综合
35
第12 讲
【真题易错】几何变换之
旋转
45
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第13 讲
二轮专题训练——圆的综合49
模块一
圆的综合
51
第14 讲【真题易错】圆的综合
61
第15 讲
二轮专题训练——存在性
问题
65
模块一
存在性问题
67
第16 讲【真题易错】存在性问题
75
第17 讲
二轮专题训练——动态问题79
模块一
动态问题
81
第18 讲【真题易错】动态问题
89
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第7 讲
二轮专题训练——
二轮专题训练——
二次函数代数综合
模块一
增减性与含参问题
模块二
恒成立问题
模块三
代数综合
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第
7
讲
二
次
函
数
代
数
综
合
2
本讲概述
模块
知识模型
难度
对应例题
对应随堂练习
增减性与含参问题
参数与增减性
★★★★
例1
随堂练习1
恒成立问题
恒成立问题
★★★★
例2、3
随堂练习3
代数综合
代数综合
★★★★
例4、5
随堂练习2
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第
7
讲
二
次
函
数
代
数
综
合
3
模块一
模块一
增减性与含参问题
直击中考
参数与增减性
典型例题1
（1）已知抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 −2𝑎𝑥+3(𝑎≠0)．设点𝑃(𝑎,𝑦1)，𝑄(2,𝑦2) 在抛物线上，若𝑦1 > 𝑦2，
则𝑎的取值范围为
．
（2）在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，点(1,𝑚) 和点(3,𝑛) 在抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥(𝑎> 0) 上．已
知点(−1,𝑦1)，(2,𝑦2)，(4,𝑦3) 在该抛物线上，若𝑚𝑛< 0，则（ ）．
A. 𝑦1 < 𝑦2 < 𝑦3
B. 𝑦2 < 𝑦1 < 𝑦3
C. 𝑦2 < 𝑦3 < 𝑦1
D. 𝑦3 < 𝑦1 < 𝑦2
（3）在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，𝑀(𝑥1,𝑦1)，𝑁(𝑥2,𝑦2) 为抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐(𝑎> 0) 上
任意两点，其中𝑥1 < 𝑥2，设抛物线的对称轴为直线𝑥= 𝑡．若对于𝑥1 + 𝑥2 > 3，都有
𝑦1 < 𝑦2，则𝑡的范围为
．
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第
7
讲
二
次
函
数
代
数
综
合
4
模块二
模块二
恒成立问题
知识模型
恒成立问题
典型例题2
定义，当𝑥取任意实数，函数值始终不小于一个常数时，称这个函数为“恒心函数”，这个
常数称为“恒心值”．
（1）判断，函数𝑦= 𝑥2 +2𝑥+2 是否为“恒心函数”，如果是，求出此时的“恒心值”，如果不
是，请说明理由．
（2）已知“恒心函数”𝑦= 3∣𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐∣+2．
①当𝑎> 0，𝑐< 0 时，此时的恒心值为 ．
②若三个整数𝑎、𝑏、𝑐的和为12，且𝑏
𝑎= 𝑐
𝑏，求𝑎的最大值与最小值，并求出此时相
应的𝑏、𝑐的值．
（3）恒心函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐(𝑏> 𝑎) 的恒心值为0，且𝑎+𝑏+𝑐
𝑎+𝑏
> 𝑚恒成立，求𝑚的取
值范围．
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第
7
讲
二
次
函
数
代
数
综
合
5
典型例题3
二次函数𝑦= 𝑥2 −2𝑚𝑥的图象𝐿交𝑥轴于原点𝑂及点𝐴．
定义：若图象𝐿′ 上的点和抛物线𝐿上的点关于点𝐴中心对称，则称𝐿′ 是𝐿的“孔像抛
物线”．例如，当𝑚= −2 时，图中的抛物线𝐿′ 是抛物线𝐿的“孔像抛物线”．
探究问题
（1）当𝑚= −1 时，若抛物线𝐿与它的“孔像抛物线”𝐿′ 的函数值都随着𝑥的增大而减
小，则𝑥的取值范围为 ；
（2）在同一平面直角坐标系中，当𝑚取不同值时，通过画图发现存在一条抛物线与二次
函数𝑦= 𝑥2 −2𝑚𝑥的所有“孔像抛物线”𝐿′ 都有唯一交点，这条抛物线的解析式可能
是
（填“𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐”或“𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥”或“𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑐”或“𝑦= 𝑎𝑥2”，其中𝑎𝑏𝑐≠0）．
（3）若二次函数𝑦= 𝑥2 −2𝑚𝑥及它的“孔像抛物线”与直线𝑦= 𝑚有且只有三个交点，求
𝑚的值．
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第
7
讲
二
次
函
数
代
数
综
合
6
模块三
模块三
代数综合
知识模型
二次函数代数综合
典型例题4
在平面直角坐标系中，设二次函数𝑦1 = 𝑥2 +𝑏𝑥+𝑎，𝑦2 = 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+1(𝑎，𝑏是实数，𝑎≠0)．
（1）若函数𝑦1 的图象经过点(𝑟,0)，其中𝑟≠0，求证：函数𝑦2 的图象经过点(1
𝑟,0)．
（2）设函数𝑦1 和函数𝑦2 的最小值分别为𝑚和𝑛，若𝑚+𝑛= 0，求𝑚，𝑛的值．
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第
7
讲
二
次
函
数
代
数
综
合
7
典型例题5
我们不妨约定：若某函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为
“𝐻函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“𝐻点”，根据该约定，完成下列各题．
（1）在下列关于𝑥的函数中，是“𝐻函数”的，请在相应题目后面的括号中打“√”，不是
“𝐻函数”的打“×”．
①𝑦= 2𝑥（ ）②𝑦= 𝑚
𝑥(𝑚≠0)（ ）③𝑦= 3𝑥−1（ ）
（2）若点𝐴(1,𝑚) 与点𝐵(𝑛,−4) 是关于𝑥的“𝐻函数”𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐(𝑎≠0) 的一对“𝐻
点”，且该函数的对称轴始终位于直线𝑥= 2 的右侧，求𝑎，𝑏，𝑐的值或取值范围．
（3）若关于𝑥的“𝐻函数”𝑦= 𝑎𝑥2 + 2𝑏𝑥+ 3𝑐(𝑎，𝑏，𝑐是常数) 同时满足下列两个条件：
①𝑎+ 𝑏+ 𝑐= 0，②(2𝑐+𝑏−𝑎)(2𝑐+𝑏+3𝑎) < 0，求该𝐻函数图象截𝑥轴得到的线段
长度的取值范围．
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第
7
讲
二
次
函
数
代
数
综
合
8
随堂练习
随堂练习1
在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，点(−2,0)，(−1,𝑦1)，(1,𝑦2)，(2,𝑦3) 在抛物线𝑦= 𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐上．
（1）若𝑦1 = 𝑦2，求𝑦3 的值．
（2）若𝑦2 < 𝑦1 < 𝑦3，求𝑦3 的值的取值范围．
随堂练习2
在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，抛物线𝑦= −𝑥2 +2𝑚𝑥−𝑚2 +1 的对称轴是直线𝑥= 1．
（1）求抛物线的表达式．
（2）设点𝑀(𝑝，𝑞) 为抛物线上的一个动点，当−1 < 𝑝< 2 时，点𝑀关于𝑦轴的对称点都
在直线𝑦= 𝑘𝑥−4 的上方，求𝑘的取值范围．
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第
7
讲
二
次
函
数
代
数
综
合
9
随堂练习3
在平面直角坐标系中，二次函数的表达式为𝑦= 𝑎𝑥2 +(𝑎+1)𝑥，其中𝑎≠0．
若(𝑥1,𝑦1)，(𝑥2,𝑦2) 为此二次函数图象上两个不同点．
（1）若𝑥1 +𝑥2 = 2，则𝑦1 = 𝑦2，试求𝑎的值．
（2）当𝑥1 > 𝑥2 ⩾−2 时，对任意𝑥1，𝑥2 都有𝑦1 > 𝑦2，试求𝑎的取值范围．
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第
7
讲
二
次
函
数
代
数
综
合
10
思维游戏
井底之蛙
一只井底之蛙想出去见见世面，于是开始攀爬井壁。每爬一
次，就上升3 米，但在再次攀爬井壁前会下落2 米。已知井深10
米。请问：这只青蛙要攀爬几次才能爬出井去？
8 次。不要被题中的话蒙蔽，每次跳上3 米滑下2 米实际上就
是每次跳1 米，因此10 米花10 次就可全部跳出，这样想就错了。
因为跳到第8 次的时候，就出了井口，不再下滑了。
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第8 讲
【真题易错】二次
【真题易错】二次函数代
数综合
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第
8
讲
︻
真
题
易
错
︼
二
次
函
数
代
数
综
合
14
进阶拓展1
频率：较高
已知二次函数𝑦= 𝑥2，当𝑎⩽𝑥⩽𝑏时𝑚⩽𝑦⩽𝑛，则下列说法正确的是( )
A. 当𝑛−𝑚= 1 时，𝑏−𝑎有最小值
B. 当𝑛−𝑚= 1 时，𝑏−𝑎有最大值
C. 当𝑏−𝑎= 1 时，𝑛−𝑚无最小值
D. 当𝑏−𝑎= 1 时，𝑛−𝑚有最大值
睛
点
法
方
利用斜率变化来解题。
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第
8
讲
︻
真
题
易
错
︼
二
次
函
数
代
数
综
合
15
进阶拓展2
频率：较高
在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，点(𝑚−2,𝑦1)，(𝑚,𝑦2)，(2−𝑚,𝑦3) 在抛物线𝑦= 𝑥2 −2𝑎𝑥+1 上，
其中𝑚≠1 且𝑚≠2．
（1）直接写出该抛物线的对称轴的表达式（用含𝑎的式子表示）．
（2）当𝑚= 0 时，若𝑦1 = 𝑦3，比较𝑦1 与𝑦2 的大小关系，并说明理由．
（3）若存在大于1 的实数𝑚，使𝑦1 > 𝑦2 > 𝑦3，求𝑎的取值范围．
睛
点
法
方
涉及增减性，可利用“离对称轴的远近”来解题。
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第9 讲
二轮专题训练——
二轮专题训练——
几何变换之翻折
模块一
翻折问题
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第
9
讲
几
何
变
换
之
翻
折
18
本讲概述
模块
知识模型
难度
对应例题
对应随堂练习
翻折问题
翻折问题
★★★★
例1-5
随堂练习1-4
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第
9
讲
几
何
变
换
之
翻
折
19
模块一
模块一
翻折问题
典型例题1
在矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵= 6，𝐴𝐷= 4，𝐸在𝐵𝐶边上运动，将△𝐶𝐷𝐸沿着𝐷𝐸翻折得到
△𝐺𝐷𝐸．
（1）若𝐶𝐸= 2，求△𝐴𝐷𝐺的面积．
（2）若𝐸为𝐵𝐶的中点，延长𝐷𝐺交𝐴𝐵于𝑀，求𝐵𝑀∶𝐵𝐴．
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第
9
讲
几
何
变
换
之
翻
折
20
（3）若𝐺恰好落在𝐴𝐵上，求𝐶𝐸的长及𝐷𝐸∶𝐶𝐺的值．
（4）若𝐺落在矩形外，𝐴𝐵与𝐺𝐸、𝐺𝐷分别交于𝑂、𝑃两点，且𝐺𝑂= 𝐵𝑂，求𝐶𝐸的长．
（5）若𝐸与𝐵重合，𝐴𝐵与𝐺𝐷交于𝑃点，求𝐴𝐺∶𝐵𝐷．
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第
9
讲
几
何
变
换
之
翻
折
21
（6）在𝐸运动的过程中，当𝐺恰好落在矩形对称轴上时，求𝐶𝐸的长．
（7）在𝐸运动的过程中，当△𝐴𝐷𝐺为等腰三角形时，求𝐶𝐸的长．
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第
9
讲
几
何
变
换
之
翻
折
22
典型例题2
在矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵= 6，𝐴𝐷= 4，𝐸在𝐴𝐵边上运动，𝐸不与𝐴、𝐵重合，将四边形𝐷𝐶𝐵𝐸
沿着𝐷𝐸翻折得到四边形𝐷𝐺𝐻𝐸，设直线𝐷𝐺和直线𝐴𝐵交于点𝑃．
（1）若𝐵𝐸= 1，求𝐴𝑃的长．
（2）若𝐵𝐸= 𝑚，求𝐴𝑃的长．
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第
9
讲
几
何
变
换
之
翻
折
23
典型例题3
在矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵= 6，𝐴𝐷= 4，𝐸、𝐹分别在𝐴𝐵、𝐶𝐷上运动，将四边形𝐹𝐶𝐵𝐸沿着𝐸𝐹
翻折得到四边形𝐹𝐺𝐻𝐸，且𝐺落在𝐴𝐷上．
（1）求𝐶𝐺∶𝐸𝐹．
（2）设𝐷𝐺= 𝑡，用𝑡表示四边形𝐹𝐶𝐵𝐸的面积．
（3）直接写出点𝐹的最大移动距离．
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第
9
讲
几
何
变
换
之
翻
折
24
典型例题4
在边长为1 的正方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐹，𝐸分别在𝐷𝐶，𝐴𝐵上运动，将四边形𝐹𝐶𝐵𝐸沿折痕
𝐸𝐹翻折得到四边形𝐹𝐺𝐻𝐸，点𝐺落在𝐴𝐷上，设𝐺𝐻与𝐴𝐵交于点𝑃．则下列说法正确
的是
．
①△𝐷𝐺𝐹与△𝐻𝑃𝐸相似
②𝑃𝐶平分∠𝐺𝑃𝐵
③∠𝐺𝐶𝑃= 45∘
④△𝐺𝐴𝑃的周长为定值
典型例题5
如图，菱形𝐴𝐵𝐶𝐷的对角线𝐴𝐶、𝐵𝐷交于点𝑂，且𝐴𝐶= 6，𝐵𝐷= 8．过𝑂的直线𝐸𝐹交
𝐵𝐶于𝐸，交𝐴𝐷于𝐹．把四边形𝐶𝐸𝐹𝐷沿着𝐸𝐹折叠得到四边形𝐶′𝐸𝐹𝐷′，𝐶′𝐷′ 交𝐴𝐶
于点𝐺．当𝐶′𝐷′//𝐵𝐷时，𝐶′𝐺
𝐷′𝐺的值为
，𝐵𝐸的长为
．
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第
9
讲
几
何
变
换
之
翻
折
25
随堂练习
随堂练习1
如图，在边长为2 的菱形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐴= 60∘，点𝑀是𝐴𝐷边的中点，连接𝑀𝐶，将菱形
𝐴𝐵𝐶𝐷翻折，使点𝐴落在线段𝐶𝑀上的点𝐸处，折痕交𝐴𝐵于点𝑁，则线段𝐸𝐶的长为
．
随堂练习2
如图，已知在矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵= 4，𝐴𝐷= 8，将△𝐴𝐵𝐶沿对角线𝐴𝐶翻折，点𝐵落在点
𝐸处，连接𝐷𝐸，则𝐷𝐸的长为
．
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第
9
讲
几
何
变
换
之
翻
折
26
随堂练习3
如图，在长方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵= 12，𝐵𝐶= 9，𝑃为𝐴𝐷上一点，将△𝐴𝐵𝑃沿𝐵𝑃翻折至
△𝐸𝐵𝑃，𝑃𝐸与𝐶𝐷相交于点𝑂，且𝑂𝐸= 𝑂𝐷，则𝐴𝑃=
．
随堂练习4
如图，有一张边长为6 的正方形纸片𝐴𝐵𝐶𝐷，𝑃是𝐴𝐷边上一点（不与点𝐴、𝐷重合），将
正方形纸片沿𝐸𝐹折叠，使点𝐵落在点𝑃处，点𝐶落在点𝐺处，𝑃𝐺交𝐷𝐶于𝐻，连接
𝐵𝑃．
（1）求证：∠𝐴𝑃𝐵= ∠𝐵𝑃𝐻．
（2）若𝑃为𝐴𝐷中点，求四边形𝐸𝐹𝐺𝑃的面积．
（3）当点𝑃在边𝐴𝐷上移动时，△𝑃𝐷𝐻的周长是否发生变化？写出你的结论并证明．
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第
9
讲
几
何
变
换
之
翻
折
27
思维游戏
3 只桶的交易
有一个农夫用一个大桶装了12 千克的油到市场上卖，恰巧市
场上两个家庭主妇分别只带了5 千克和9 千克的两个小桶，但她
们买走了6 千克的油，而且一个带9 千克桶的家庭主妇只买了1
千克油，另一个家庭主妇买了5 千克，更为惊奇的是她们之间的交
易没有用任何称量的工具。
你知道她们是怎么分的吗？
先从大桶中倒出5 千克油到5 千克的桶，然后将其倒入9 千
克桶里，再从大桶里倒出5 千克油到5 千克的桶里，然后用5 千克
桶里的油将9 千克的桶灌满。现在，大桶里剩下2 千克油，9 千克
的桶已装满，5 千克的桶里有1 千克油。再将9 千克桶里的油全部
倒回大桶里，大桶里有了11 千克油。把5 千克桶里的油倒进9 千
克桶里，再从大桶里倒出5 千克油装满5 千克的桶，现在大桶里有
6 千克油，而另外6 千克油也被换成了1 千克和5 千克两份。
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第10 讲
【真题易错】几
【真题易错】几何变换之
翻折
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第
10
讲
︻
真
题
易
错
︼
几
何
变
换
之
翻
折
30
进阶拓展1
频率：高
如图，△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，∠𝐴= 30∘，点𝐷在边𝐴𝐶上，将△𝐴𝐵𝐷沿𝐵𝐷翻折，点𝐴的对
称点为𝐴′，使得𝐴′𝐷//𝐵𝐶．则∠𝐵𝐷𝐶=
，𝐴𝐷
𝐵𝐶=
．
睛
点
法
方
遇比例，想相似。
进阶拓展2
频率：高
在一次数学研究性学习中，小宇进行了一次折纸活动．
【实践操作】
第一步：如图1，将一张矩形纸片𝐴𝐵𝐶𝐷沿过点𝐷的直线折叠，使点𝐴落在𝐶𝐷上，得折
痕𝑃𝐷，然后再把纸片展开铺平．
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第
10
讲
︻
真
题
易
错
︼
几
何
变
换
之
翻
折
31
第二步：如图2，将图1 中的矩形纸片𝐴𝐵𝐶𝐷沿着过点𝑃的直线折叠，使点𝐶落在𝐴𝐷
的𝐶′ 处，点𝐵落在𝐵′ 处，得折痕𝑃𝑄，𝐵′𝐶′ 与𝐴𝐵交于点𝐸，𝐶′𝑄交𝑃𝐷于点𝐹．
【解决问题】
（1）若𝐵𝑃= 4cm，𝐵𝐶= 8cm，求𝑃𝐶′ 的长．
（2）解答下列各题：
①线段𝐸𝐶′ 与𝐸𝑃是否相等？请说明理由．
②在（1）的条件下，求𝑄𝐹
𝐹𝐶′ 的值．
（3）若𝐷𝑄2 = 𝐷𝐹⋅𝐷𝑃，求𝐶𝐷
𝐴𝐷的值．
睛
点
法
方
对任意给定矩形，所有点的位置是确定的——
①点P：∠D 平分线与AB 的交点；
②点𝐶′：以P 为圆心，PC 为半径的圆与AD 的交点；
③点Q：线段𝐶𝐶′ 中垂线与CD 的交点。
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第11 讲
二轮专题训练——
二轮专题训练——
几何变换之旋转
模块一
旋转综合
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第
11
讲
几
何
变
换
之
旋
转
34
本讲概述
模块
知识模型
难度
对应例题
对应随堂练习
旋转综合
旋转相似
★★★★
例1、2
随堂练习1、2
“脚拉脚”模型
★★★★★
例3
婆罗摩笈多模型
★★★★★
例4
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第
11
讲
几
何
变
换
之
旋
转
35
模块一
模块一
旋转综合
直击中考
旋转相似
典型例题1
请回答下列各题：
（1）问题背景：如图1，已知△𝐴𝐵𝐶∽△𝐴𝐷𝐸，求证：△𝐴𝐵𝐷∽△𝐴𝐶𝐸．
（2）尝试应用：如图2，在△𝐴𝐵𝐶和△𝐴𝐷𝐸中，∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸= 90∘，∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐷𝐸
= 30∘，𝐴𝐶与𝐷𝐸相交于点𝐹．点𝐷在𝐵𝐶边上，𝐴𝐷
𝐵𝐷= √3，求𝐷𝐹
𝐶𝐹的值．
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第
11
讲
几
何
变
换
之
旋
转
36
（3）拓展创新：如图3，𝐷是△𝐴𝐵𝐶内一点，∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐵𝐷= 30∘，∠𝐵𝐷𝐶= 90∘，𝐴𝐵=
4，𝐴𝐶= 2√3，直接写出𝐴𝐷的长．
典型例题2
如图，在矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐷= 𝑛𝐴𝐵（𝑛> 1），点𝐸是𝐴𝐷边上一动点（点𝐸不与𝐴，𝐷
重合），连接𝐵𝐸，以𝐵𝐸为边在直线𝐵𝐸的右侧作矩形𝐸𝐵𝐹𝐺，使得矩形𝐸𝐵𝐹𝐺∽矩形
𝐴𝐵𝐶𝐷，𝐸𝐺交直线𝐶𝐷于点𝐻．
（1）【尝试初探】
在点𝐸的运动过程中，△𝐴𝐵𝐸与△𝐷𝐸𝐻始终保持相似关系，请说明理由．
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第
11
讲
几
何
变
换
之
旋
转
37
（2）【深入探究】
若𝑛= 2，随着𝐸点位置的变化，𝐻点的位置随之发生变化，当𝐻是线段𝐶𝐷中点
时，求tan∠𝐴𝐵𝐸的值．
（3）【拓展延伸】
连接𝐵𝐻，𝐹𝐻，当△𝐵𝐹𝐻是以𝐹𝐻为腰的等腰三角形时，求tan∠𝐴𝐵𝐸的值（用含𝑛
的代数式表示）．
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第
11
讲
几
何
变
换
之
旋
转
38
知识模型
“脚拉脚”模型
典型例题3
如图，△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，△𝐵𝐷𝐸是顶角为120∘的等腰三角形，𝐵𝐷= 𝐷𝐸，连接𝐶𝐷，
𝐴𝐸．
（1）如图1，连接𝐴𝐷，若∠𝐴𝐵𝐸= 60∘，𝐴𝐵= 𝐵𝐸= √3，求𝐶𝐷的长．
（2）如图2，若点𝐹是𝐴𝐸的中点，连接𝐶𝐹，𝐷𝐹、求证：𝐶𝐷= 2𝐷𝐹．
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第
11
讲
几
何
变
换
之
旋
转
39
（3）如图3，在(2) 的条件下，若𝐴𝐵= 2√3，𝐵𝐷= 2，将△𝐵𝐷𝐸绕点𝐵旋转，点𝐻是
△𝐴𝐹𝐶内部的一点，当𝐷𝐹最大时，请直接写出2𝐻𝐴+𝐻𝐹+√5𝐻𝐶的最小值的平方．
直击中考
婆罗摩笈多模型
典型例题4
在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐷是边𝐵𝐶上一动点，连接𝐴𝐷，将𝐴𝐷绕点𝐴逆时针旋转至𝐴𝐸
的位置，使得∠𝐷𝐴𝐸+∠𝐵𝐴𝐶= 180∘．
（1）如图1，当∠𝐵𝐴𝐶= 90∘时，连接𝐵𝐸，交𝐴𝐶于点𝐹．若𝐵𝐸平分∠𝐴𝐵𝐶，𝐵𝐷= 2，求
𝐴𝐹的长．
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第
11
讲
几
何
变
换
之
旋
转
40
（2）如图2，连接𝐵𝐸，取𝐵𝐸的中点𝐺，连接𝐴𝐺．猜想𝐴𝐺与𝐶𝐷存在的数量关系，并证
明你的猜想．
（3）如图3，在（2）的条件下，连接𝐷𝐺，𝐶𝐸．若∠𝐵𝐴𝐶= 120∘，当𝐵𝐷> 𝐶𝐷，∠𝐴𝐸𝐶= 150∘
时，请直接写出𝐵𝐷−𝐷𝐺
𝐶𝐸
的值．
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第
11
讲
几
何
变
换
之
旋
转
41
随堂练习
随堂练习1
如图，𝑂是正△𝐴𝐵𝐶内一点，𝑂𝐴= 3，𝑂𝐵= 4，𝑂𝐶= 5，∠𝐴𝑂𝐵=（ ）．
A. 120∘
B. 135∘
C. 150∘
D. 165∘
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第
11
讲
几
何
变
换
之
旋
转
42
随堂练习2
背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按下图所示的位置摆放(点𝐸、𝐴、𝐷在
同一条直线上)，发现𝐵𝐸= 𝐷𝐺且𝐵𝐸⊥𝐷𝐺．
小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答：
（1）将正方形𝐴𝐸𝐹𝐺绕点𝐴按逆时针方向旋转(如图1)，还能得到𝐵𝐸= 𝐷𝐺吗？若能，
请给出证明；若不能，请说明理由．
（2）把背景中的正方形分别改成菱形𝐴𝐸𝐹𝐺和菱形𝐴𝐵𝐶𝐷，将菱形𝐴𝐸𝐹𝐺绕点𝐴按逆
时针方向旋转(如图2)，试问当∠𝐸𝐴𝐺与∠𝐵𝐴𝐷的大小满足怎样的关系时，材料中
的结论𝐵𝐸= 𝐷𝐺仍成立？请说明理由．
（3）把背景中的正方形分别改成矩形𝐴𝐸𝐹𝐺和矩形𝐴𝐵𝐶𝐷，且𝐴𝐸
𝐴𝐺= 𝐴𝐵
𝐴𝐷= 2
3，𝐴𝐸= 4，
𝐴𝐵= 8，将矩形𝐴𝐸𝐹𝐺绕点𝐴按顺时针方向旋转(如图3)，连接𝐷𝐸，𝐵𝐺．小组发现：
在旋转过程中，𝐷𝐸2 +𝐵𝐺2 的值是定值，请求出这个定值．
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第
11
讲
几
何
变
换
之
旋
转
43
思维游戏
药丸的问题
某制药厂最近新生产了一批感冒药，每100 粒装在一个瓶子
里，6 个瓶子为一箱。在推向市场之前，制药厂必须把这些药丸送
到药检局检验。一天，制药厂收到紧急通知：这一箱药丸里，有几个
瓶子里的每一粒都超重1 毫克。
如果每一瓶都取出一粒药丸来称量，那么一共需要称6 次才
能得出结果。能不能想出一个最好的办法，称一次就能把问题解决
呢？
从6 个瓶子里分别取出1、2、4、8、16 和32 粒药丸来，然后放
在一起称一次就可以知道问题出在哪几瓶里。比如：称量之后超重
15 毫克，而这6 个数字能构成15 的组合只有一种，即：1+2+4+8。
因此，问题就出在第1 瓶、第2 瓶、第3 瓶和第4 瓶。
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第12 讲
【真题易错】几
【真题易错】几何变换之
旋转
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第
12
讲
︻
真
题
易
错
︼
几
何
变
换
之
旋
转
46
进阶拓展1
频率：高
△𝐴𝐵𝐶是边长为5 的等边三角形，△𝐷𝐶𝐸是边长为3 的等边三角形，直线𝐵𝐷与直线
𝐴𝐸交于点𝐹．如图，若点𝐷在△𝐴𝐵𝐶内，∠𝐷𝐵𝐶= 20∘，则∠𝐵𝐴𝐹=
∘；现将
△𝐷𝐶𝐸绕点𝐶旋转1 周，在这个旋转过程中，线段𝐴𝐹长度的最小值是
．
睛
点
法
方
确定F 点的轨迹。
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第
12
讲
︻
真
题
易
错
︼
几
何
变
换
之
旋
转
47
进阶拓展2
频率：高
如图，△𝐴𝐵𝐶为等边三角形，𝐴𝐵= 6，将边𝐴𝐵绕点𝐴顺时针旋转𝜃(0∘< 𝜃< 120∘) 得到
线段𝐴𝐷，连接𝐶𝐷，𝐶𝐷与𝐴𝐵交于点𝐺，∠𝐵𝐴𝐷的平分线交𝐶𝐷于点𝐸，𝐹为𝐶𝐷上一
点，且𝐷𝐹= 2𝐶𝐹．
（1）当∠𝐸𝐴𝐵= 30∘时，求∠𝐴𝐸𝐶的度数．
（2）当线段𝐵𝐹的长取最小值时，求线段𝐴𝐺的长．
（3）请.直.接写出△𝐴𝐷𝐸的周长的最大值．
睛
点
法
方
定弦定角，等腰时三角形周长最大。
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第13 讲
二轮专题训练
二轮专题训练——
圆的综合
模块一
圆的综合
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第
13
讲
圆
的
综
合
50
本讲概述
模块
知识模型
难度
对应例题
对应随堂练习
圆的综合
辅助圆
★★★★
例1
随堂练习1
圆中计算
★★★★
例2
与圆有关的新定义
★★★★
例3
圆中的动态问题
★★★★
例4
随堂练习2
圆中的计算与证明
★★★★★
例5
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第
13
讲
圆
的
综
合
51
模块一
模块一
圆的综合
知识模型
辅助圆
典型例题1
如图，𝐴𝐵是半圆𝑂的直径，点𝐶在半圆𝑂上，𝐴𝐵= 4cm，∠𝐶𝐴𝐵= 60∘，𝑃是
⌢
𝐵𝐶上的一
个动点，连接𝐴𝑃，过𝐶点作𝐶𝐷⊥𝐴𝑃于𝐷，连接𝐵𝐷，在点𝑃移动的过程中，𝐵𝐷的最小
值是
．
直击中考
圆中计算
典型例题2
如图，在Rt△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90∘，以该三角形的三条边为边向外作正方形，正方形的顶
点𝐸、𝐹、𝐺、𝐻、𝑀、𝑁都在同一个圆上，记该圆的面积为𝑆1，△𝐴𝐵𝐶的面积为𝑆2，则𝑆1
𝑆2
的
值是（ ）．
A. 5𝜋
2
B. 3𝜋
C. 5𝜋
D. 11𝜋
2
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第
13
讲
圆
的
综
合
52
知识模型
与圆有关的新定义
典型例题3
如图1，⊙𝐼与直线𝑎相离，过圆心𝐼作直线𝑎的垂线，垂足为𝐻，且交⊙𝐼于𝑃、𝑄两点
(𝑄在𝑃、𝐻之间)．我们把点𝑃称为⊙𝐼关于直线𝑎的“远点“，把𝑃𝑄⋅𝑃𝐻的值称为⊙𝐼
关于直线𝑎的“特征数”．
（1）如图2，在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，点𝐸的坐标为(0,4)．半径为1 的⊙𝑂与两坐
标轴交于点𝐴、𝐵、𝐶、𝐷．
①过点𝐸画垂直于𝑦轴的直线𝑚，则⊙𝑂关于直线𝑚的“远点”是点
(填
“𝐴”、
“𝐵”、
“𝐶”或“𝐷”)，⊙𝑂关于直线𝑚的“特征数”为
；
②若直线𝑛的函数表达式为𝑦= √3𝑥+4．求⊙𝑂关于直线𝑛的“特征数”．
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第
13
讲
圆
的
综
合
53
（2）在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，直线𝑙经过点𝑀(1,4)，点𝐹是坐标平面内一点，以𝐹为
圆心，√2 为半径作⊙𝐹．若⊙𝐹与直线𝑙相离，点𝑁(−1,0) 是⊙𝐹关于直线𝑙的“远
点”．且⊙𝐹关于直线𝑙的“特征数”是4√5，求直线𝑙的函数表达式．
知识模型
圆中的动态问题
典型例题4
（1）【问题情境】
爱探究的小明在做数学题时遇到这样一个问题：如图1，𝐴𝐵是⊙𝑂的直径，𝑃是
⊙𝑂上的一动点，若𝐴𝐵= 6，则△𝑃𝐴𝐵面积的最大值为
．请帮小明直
接填空．
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第
13
讲
圆
的
综
合
54
（2）【模型归纳】
小明在完成填空后，对上面问题中的模型进行如下归纳：如图2，𝐴𝐵是⊙𝑂的弦，𝑃
是⊙𝑂优弧上的一动点，过𝑃点作𝑃𝐶⊥𝐴𝐵于𝐶点，当且仅当𝑃𝐶经过圆心𝑂时，
𝑃𝐶最大．请帮助小明完成这个结论的证明．
（3）【模型应用】
在凸四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵= 5√3，𝐴𝐷= 10√3，∠𝐴= 60∘，∠𝐶= 150∘，试求四边形
𝐴𝐵𝐶𝐷面积的最大值．
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第
13
讲
圆
的
综
合
55
（4）【模型应用】
如图4 是四边形休闲区域设计示意图𝐴𝐵𝐶𝐷，已知∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐵𝐶𝐷= 90∘，𝐶𝐵= 𝐶𝐷，
休闲区域内原有一条笔直小路𝐴𝐶的长为80 米，现为了市民在该区域内散步方便，
准备再修一条长为30 米的小路𝑀𝑁，满足点𝑀在边𝐴𝐵上，点𝑁在小路𝐴𝐶上．
按设计要求需要给图中阴影区域（即△𝐴𝐶𝐷与四边形𝑀𝐵𝐶𝑁，小路宽度忽略不计）
种植花卉，为了节约成本且满足设计需求，阴影部分的面积要尽可能的小．请问，是
否存在符合设计要求的方案？若存在，请直接写出阴影部分面积的最小值；若不存
在，请说明理由．
直击中考
圆中的计算与证明
典型例题5
已知⊙𝑂是△𝐴𝐵𝐶的外接圆，𝐴𝐵为⊙𝑂的直径，点𝑁为𝐴𝐶的中点，连接𝑂𝑁并延长
交⊙𝑂于点𝐸，连接𝐵𝐸，𝐵𝐸交𝐴𝐶于点𝐷．
（1）如图1，求证：∠𝐶𝐷𝐸+ 1
2∠𝐵𝐴𝐶= 135∘．
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第
13
讲
圆
的
综
合
56
（2）如图2，过点𝐷作𝐷𝐺⊥𝐵𝐸，𝐷𝐺交𝐴𝐵于点𝐹，交⊙𝑂于点𝐺，连接𝑂𝐺，𝑂𝐷，若𝐷𝐺
= 𝐵𝐷，求证：𝑂𝐺//𝐴𝐶．
（3）如图3，在（2）的条件下，连接𝐴𝐺，若𝐷𝑁= 2√5
5 ，求𝐴𝐺的长．
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第
13
讲
圆
的
综
合
57
随堂练习
随堂练习1
如图，点𝐸是正方形𝐴𝐵𝐶𝐷内的一动点，且∠𝐴𝐸𝐵= 90∘，若𝐴𝐵= 4，则𝐷𝐸的最小值是
．
随堂练习2
在平面直角坐标系中，𝑂为坐标原点，已知点𝐹(2√3,0)，直线𝐺𝐹交𝑦轴正半轴于点𝐺，
且∠𝐺𝐹𝑂= 30∘．
（1）直接写出点𝐺的坐标．
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第
13
讲
圆
的
综
合
58
（2）若⊙𝑂的半径为1，点𝑃是直线𝐺𝐹上的动点，直线𝑃𝐴、𝑃𝐵分别与⊙𝑂相切于点
𝐴、𝐵．
①求切线长𝑃𝐵的最小值；
②问：在直线𝐺𝐹上是否存在点𝑃，使得∠𝐴𝑃𝐵= 60∘，若存在，请求出𝑃点的坐标；
若不存在，请说明理由．
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第
13
讲
圆
的
综
合
59
思维游戏
移动杯子
有10 只杯子，前面5 只装着水，后面5 只没有装水。移动4
只杯子可以将盛水的杯子和空杯相间排列，现在只移动2 只杯子
也要使其相间，你可以做到吗？
将第二只杯子里的水倒入第七只杯子，将第四只杯子里的水
倒入第九只杯子里，这样就可以使其相间排列了。其实题目考的是
一种思维方式，解答的时候不要拘泥于题目本身，要开拓思路。
数学的学习也是一样，有时需要开拓思路. 换一种思维进行思
考，很多问题就会迎刃而解了.
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第14 讲
【真题易错
【真题易错】圆的综合
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第
14
讲
︻
真
题
易
错
︼
圆
的
综
合
62
进阶拓展1
频率：高
如图，在Rt△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90∘，𝐴𝐶= 𝐵𝐶= 10，动点𝐷，𝐸分别在𝐴𝐵，𝐶𝐵边上，且𝐵𝐸
= √2𝐴𝐷．连接𝐶𝐷，𝐴𝐸相交于点𝑃，连接𝐵𝑃，则𝐵𝑃的最小值为
．
睛
点
法
方
确定P 点轨迹。
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第
14
讲
︻
真
题
易
错
︼
圆
的
综
合
63
进阶拓展2
频率：高
在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，对于点𝑃(𝑥1,𝑦1)，给出如下定义：当点𝑄(𝑥2,𝑦2) 满足
𝑥1 +𝑥2 = 𝑦1 +𝑦2 时，称点𝑄是点𝑃的等和点．已知点𝑃(2,0)．
（1）在𝑄1 (0,2)，𝑄2 (−2,−1)，𝑄3 (1,3) 中，点𝑃的等和点有
．
（2）点𝐴在直线𝑦= −𝑥+4 上，若点𝑃的等和点也是点𝐴的等和点，求点𝐴的坐标．
（3）已知点𝐵(𝑏,0) 和线段𝑀𝑁，对于所有满足𝐵𝐶= 1 的点𝐶，线段𝑀𝑁上总存在线段
𝑃𝐶上每个点的等和点．若𝑀𝑁的最小值为5，直接写出𝑏的取值范围．
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第15 讲
二轮专题训练—
二轮专题训练——
存在性问题
模块一
存在性问题
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第
15
讲
存
在
性
问
题
66
本讲概述
模块
知识模型
难度
对应例题
对应随堂练习
存在性问题
平行四边形及面积
存在性
★★★★
例1
等腰直角三角形
存在性
★★★★
例2
角度存在性
★★★★
例3
随堂练习1
二倍角存在性
★★★★★
例4
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第
15
讲
存
在
性
问
题
67
模块一
模块一
存在性问题
直击中考
平行四边形及面积存在性
典型例题1
抛物线𝑦= 𝑥2 −1 交𝑥轴于𝐴，𝐵两点（𝐴在𝐵的左边）．
（1）平行四边形𝐴𝐶𝐷𝐸的顶点𝐶在𝑦轴的正半轴上，顶点𝐸在𝑦轴右侧的抛物线上．
①如图1，若点𝐶的坐标是(0,3)，点𝐸的横坐标是3
2，直接写出点𝐴，𝐷的坐标．
②如图2，若点𝐷在抛物线上，且平行四边形𝐴𝐶𝐷𝐸的面积是12，求点𝐸的坐标．
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第
15
讲
存
在
性
问
题
68
（2）如图3，𝐹是原点𝑂关于抛物线顶点的对称点，不平行于𝑦轴的直线𝑙分别交线
段𝐴𝐹，𝐵𝐹（不含端点）于𝐺，𝐻两点．若直线𝑙与抛物线只有一个公共点，求证：
𝐹𝐺+𝐹𝐻的值是定值．
直击中考
等腰直角三角形存在性
典型例题2
在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”．例如
(1,1)，(2021,2021)⋯⋯都是“雁点”．
（1）求函数𝑦= 4
𝑥图象上的“雁点”坐标．
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第
15
讲
存
在
性
问
题
69
（2）若抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +5𝑥+𝑐上有且只有一个“雁点”𝐸，该抛物线与𝑥轴交于𝑀，𝑁两
点（点𝑀在点𝑁的左侧）．当𝑎> 1 时．
①求𝑐的取值范围．
②求∠𝐸𝑀𝑁的度数．
（3）如图，抛物线𝑦= −𝑥2 +2𝑥+3 与𝑥轴交于𝐴，𝐵两点（点𝐴在点𝐵的左侧），𝑃是抛
物线𝑦= −𝑥2 +2𝑥+3 上一点，连接𝐵𝑃，以点𝑃为直角顶点，构造等腰Rt△𝐵𝑃𝐶，是否
存在点𝑃，使点𝐶恰好为“雁点”？若存在，求出点𝑃的坐标；若不存在，请说明理由．
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第
15
讲
存
在
性
问
题
70
直击中考
角度存在性
典型例题3
如图，二次函数𝑦= −𝑥2 +2𝑚𝑥+2𝑚+1（𝑚是常数，且𝑚> 0）的图象与𝑥轴交于𝐴，𝐵两
点（点𝐴在点𝐵的左侧），与𝑦轴交于点𝐶，顶点为𝐷，其对称轴与线段𝐵𝐶交于点𝐸，与
𝑥轴交于点𝐹，连接𝐴𝐶，𝐵𝐷．
（1）求𝐴，𝐵，𝐶三点的坐标（用数字或含𝑚的式子表示），并求∠𝑂𝐵𝐶的度数．
（2）若∠𝐴𝐶𝑂= ∠𝐶𝐵𝐷，求𝑚的值．
（3）若在第四象限内二次函数𝑦= −𝑥2 + 2𝑚𝑥+ 2𝑚+ 1（𝑚是常数，且𝑚> 0）的图象上，
始终存在一点𝑃，使得∠𝐴𝐶𝑃= 75∘，请结合函数的图象，直接写出𝑚的取值范围．
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第
15
讲
存
在
性
问
题
71
直击中考
二倍角存在性
典型例题4
如图，抛物线𝑦= −1
2𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐经过点𝐵(4,0) 和点𝐶(0,2)，与𝑥轴的另一个交点为𝐴，连
接𝐴𝐶、𝐵𝐶．
（1）求抛物线的解析式及点𝐴的坐标．
（2）如图1，若点𝐷是线段𝐴𝐶的中点，连接𝐵𝐷，在𝑦轴上是否存在点𝐸，使得△𝐵𝐷𝐸
是以𝐵𝐷为斜边的直角三角形？若存在，请求出点𝐸的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，点𝑃是第一象限内抛物线上的动点，过点𝑃作𝑃𝑄//𝑦轴，分别交𝐵𝐶、𝑥轴
于点𝑀、𝑁，当△𝑃𝑀𝐶中有某个角的度数等于∠𝑂𝐵𝐶度数的2 倍时，请求出满足条
件的点𝑃的横坐标．
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第
15
讲
存
在
性
问
题
72
随堂练习
随堂练习1
已知抛物线𝑦= 𝑎(𝑥−2)2 −9 经过点𝑃(6,7)，与𝑥轴交于𝐴、𝐵两点，与𝑦轴交于点𝐶，直
线𝐴𝑃与𝑦轴交于点𝐷，抛物线对称轴与𝑥轴交于点𝐸．
（1）求抛物线的解析式．
（2）过点𝐸作一条直线𝑙（点𝐵、𝐶分别位于直线𝑙的异侧），设点𝐶到直线𝑙的距离为
𝑚，点𝐵到直线𝑙的距离为𝑛，求𝑚+𝑛的最大值．
（3）𝑦轴上是否存在点𝑄，使∠𝑄𝑃𝐷= ∠𝐷𝐸𝑂，若存在，请求出点𝑄的坐标；若不存在，请
说明理由．
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第
15
讲
存
在
性
问
题
73
思维游戏
礼服和围巾的问题
下面有3 个礼盒，分别装着“3 条围巾”，
“3 件晚礼服”，
“2 件晚
礼服，1 条围巾”，标签写着对应的内容，但是贴标签时全部贴错了。
请问：你应在哪几个盒子里至少检查多少物品，才能确定哪只
盒子里有什么物品？
你只需要检查“2 件晚礼服、1 条围巾”的盒子里装的是什么物
品，就行了。如果里面装的是3 件晚礼服，那么“3 条围巾”的盒子
里装的就是“2 件晚礼服、1 条围巾”，另一个盒子里装的就是3 条
围巾；如果里面装的是3 条围巾，那么“3 件晚礼服”的盒子里装
的就是“2 件晚礼服、1 条围巾”，另一个盒子里装的就是“3 件晚礼
服”。
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第16 讲
【真题易错】
【真题易错】存在性问题
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第
16
讲
︻
真
题
易
错
︼
存
在
性
问
题
76
进阶拓展1
频率：高
如图，已知抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 −2𝑎𝑥+𝑐(𝑎< 0) 和直线𝑙∶𝑦= 𝑘𝑥+𝑐(𝑘< 0) 交于𝐵，𝐶两点，点
𝑄(𝑥,𝑦) 是抛物线上点𝐵，𝐶之间的一个动点，作𝑄𝐷⊥𝑥轴交直线𝑙于点𝐷，作𝑄𝐸⊥𝑦轴于
点𝐸，连接𝐷𝐸．设∠𝑄𝐸𝐷= 𝛽，当3 ⩽𝑥⩽4 时，𝛽恰好满足30∘⩽𝛽⩽45∘，𝑎=
．
睛
点
法
方
角度范围转化成三角比的范围。
进阶拓展2
频率：高
在平面直角坐标系中，点𝑂为坐标原点，抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 + 𝑏经过点𝐴(5
2, 21
8 )，点
𝐵(1
2,−3
8)，与𝑦轴交于点𝐶．
（1）求𝑎，𝑏的值．
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第
16
讲
︻
真
题
易
错
︼
存
在
性
问
题
77
（2）如图1，点𝐷在该抛物线上，点𝐷的横坐标为−2，过点𝐷向𝑦轴作垂线，垂足为点
𝐸．点𝑃为𝑦轴负半轴上的一个动点，连接𝐷𝑃，设点𝑃的纵坐标为𝑡，△𝐷𝐸𝑃的面
积为𝑆，求𝑆关于𝑡的函数解析式（不要求写出自变量𝑡的取值范围）．
（3）如图2，在（2）的条件下，连接𝑂𝐴，点𝐹在𝑂𝐴上，过点𝐹向𝑦轴作垂线，垂足为点
𝐻，连接𝐷𝐹交𝑦轴于点𝐺，点𝐺为𝐷𝐹的中点，过点𝐴作𝑦轴的平行线与过点𝑃
所作的𝑥轴的平行线相交于点𝑁，连接𝐶𝑁，𝑃𝐵，延长𝑃𝐵交𝐴𝑁于点𝑀，点𝑅在
𝑃𝑀上，连接𝑅𝑁，若3𝐶𝑃= 5𝐺𝐸，∠𝑃𝑀𝑁+∠𝑃𝐷𝐸= 2∠𝐶𝑁𝑅，求直线𝑅𝑁的解析式．
睛
点
法
方
①确定N 的位置；
②结合条件，确定R 的位置（转化成角度存在性问题）。
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第17 讲
二轮专题训练
二轮专题训练——
动态问题
模块一
动态问题
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第
17
讲
动
态
问
题
80
本讲概述
模块
知识模型
难度
对应例题
对应随堂练习
动态问题
动态问题
★★★★
例1-4
随堂练习1
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第
17
讲
动
态
问
题
81
模块一
模块一
动态问题
典型例题1
如图，等边△𝐴𝐵𝐶的边长为12，点𝐷，𝐸分别在边𝐴𝐵，𝐴𝐶上，且𝐴𝐷= 𝐴𝐸= 4，点𝐹为
𝐵𝐴延长线上一点，过点𝐹作直线𝑙//𝐵𝐶，𝐺为射线𝐵𝐶上动点，连接𝐺𝐷并延长交直线𝑙
于点𝐻，连接𝐹𝐸并延长交𝐵𝐶于点𝑀，连接𝐻𝐸并延长交射线𝐵𝐶于点𝑁．
（1）若𝐴𝐹= 4，当𝐵𝐺= 4 时，求线段𝐻𝐹和𝐸𝐻的长．
（2）若𝐴𝐹= 𝑎（𝑎> 0)，点𝐺在运动过程中，请判断△𝐻𝐺𝑁的面积是否改变．若不变，求
出其值（用含𝑎的代数式表示)；若改变，请说明理由．
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第
17
讲
动
态
问
题
82
（3）在（2）的条件下，是否存在点𝐶和点𝐺是线段𝐵𝑁的三等分点的情况？若存在，求
出此时𝑎的值；若不存在，请说明理由．
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第
17
讲
动
态
问
题
83
典型例题2
如图，在以点𝑂为中心的正方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐷= 4，连接𝐴𝐶，动点𝐸从点𝑂出发沿
𝑂→𝐶以每秒1 个单位长度的速度匀速运动，到达点𝐶停止．在运动过程中，△𝐴𝐷𝐸的
外接圆交𝐴𝐵于点𝐹，连接𝐷𝐹交𝐴𝐶于点𝐺，连接𝐸𝐹，将△𝐸𝐹𝐺沿𝐸𝐹翻折，得到
△𝐸𝐹𝐻．
（1）当点𝐻恰好落在线段𝐵𝐶上时，求𝐸𝐻的长．
（2）设点𝐸运动的时间为𝑡秒，△𝐸𝐹𝐺的面积为𝑆，求𝑆关于时间𝑡的关系式．
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第
17
讲
动
态
问
题
84
典型例题3
已知，𝐴𝐵是⊙𝑂的直径，𝐴𝐵= 4√2，
⌢
𝐴𝐶=
⌢
𝐵𝐶．
（1）求弦𝐵𝐶的长．
（2）若点𝐷是𝐴𝐵下方⊙𝑂上的动点（不与点𝐴，𝐵重合），以𝐶𝐷为边，作正方形
𝐶𝐷𝐸𝐹，如图1 所示．若𝑀是𝐷𝐹的中点，𝑁是𝐵𝐶的中点，求证：线段𝑀𝑁的长为
定值．
（3）如图2，点𝑃是动点，且𝐴𝑃= 2，连接𝐶𝑃，𝑃𝐵，一动点𝑄从点𝐶出发，以每秒2 个
单位的速度沿线段𝐶𝑃匀速运动到点𝑃，再以每秒1 个单位的速度沿线段𝑃𝐵匀速
运动到点𝐵，到达点𝐵后停止运动，求点𝑄的运动时间𝑡的最小值．
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第
17
讲
动
态
问
题
85
典型例题4
已知，在矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐸为𝐵𝐶边上一点，𝐴𝐸⊥𝐷𝐸，𝐴𝐵= 12，𝐵𝐸= 16，𝐹为线段𝐵𝐸上
一点，𝐸𝐹= 7，连接𝐴𝐹．如图1，现有一张硬质纸片△𝐺𝑀𝑁，∠𝑁𝐺𝑀= 90∘，𝑁𝐺= 6，𝑀𝐺=
8，斜边𝑀𝑁与边𝐵𝐶在同一直线上，点𝑁与点𝐸重合，点𝐺在线段𝐷𝐸上．如图2，
△𝐺𝑀𝑁从图1 的位置出发，以每秒1 个单位的速度沿𝐸𝐵向点𝐵匀速移动，同时点𝑃
从𝐴点出发，以每秒1 个单位的速度沿𝐴𝐷向点𝐷匀速移动，点𝑄为直线𝐺𝑁与线段
𝐴𝐸的交点，连接𝑃𝑄．当点𝑁到达终点𝐵时，△𝐺𝑀𝑁和点𝑃同时停止运动．设运动时
间为𝑡秒，解答下列问题：
（1）在整个运动过程中，是否存在点𝑃，使△𝐴𝑃𝑄是等腰三角形？若存在，求出𝑡的值；
若不存在，说明理由．
（2）在整个运动过程中，设△𝐺𝑀𝑁与△𝐴𝐸𝐹重叠部分的面积为𝑆，请直接写出𝑆与𝑡
之间的函数关系式以及自变量𝑡的取值范围．
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第
17
讲
动
态
问
题
86
随堂练习
随堂练习1
如图，在矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵= 3cm，𝐴𝐷= √3cm，动点𝑃从点𝐴出发沿折线𝐴𝐵−𝐵𝐶向终
点𝐶运动，在边𝐴𝐵上以1cm/s 的速度运动；在边𝐵𝐶上以√3cm/s 的速度运动，过点𝑃
作线段𝑃𝑄与射线𝐷𝐶相交于点𝑄，且∠𝑃𝑄𝐷= 60∘，连接𝑃𝐷，𝐵𝐷．设点𝑃的运动时间
为𝑥(s)，△𝐷𝑃𝑄与△𝐷𝐵𝐶重合部分图形的面积为𝑦(cm2)．
（1）当点𝑃与点𝐴重合时，直接写出𝐷𝑄的长．
（2）当点𝑃在边𝐵𝐶上运动时，直接写出𝐵𝑃的长（用含𝑥的代数式表示）．
（3）求𝑦关于𝑥的函数解析式，并写出自变量𝑥的取值范围．
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第
17
讲
动
态
问
题
87
思维游戏
马圈趣题
牧马人有21 匹马，他想把它们圈在一个正方形的马圈中，并
在马圈内用栅栏隔成4 个小正方形马圈，使每个小正方形马圈里
都有偶数对马再加上一匹马。
你能帮牧马人造出来吗？
如果你够聪明，肯定已经想到用层层嵌套的方法，把一个马圈
套在另一个马圈里头。如图所示：
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第18 讲
【真题易错
【真题易错】动态问题
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第
18
讲
︻
真
题
易
错
︼
动
态
问
题
90
进阶拓展1
频率：高
如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵= 𝐵𝐶= 1，𝐴𝐷= 𝐶𝐷= √2，∠𝐷𝐴𝐵= ∠𝐷𝐶𝐵= 90∘，点𝑃为𝐴𝐷
中点，𝑀，𝑁分别在线段𝐵𝐷，𝐵𝐶上，则𝑃𝑀+ √2
2 𝑀𝑁的最小值为
．
进阶拓展2
频率：高
等边△𝐴𝐵𝐶与正方形𝐷𝐸𝐹𝐺如图1 放置，其中𝐷，𝐸两点分别在𝐴𝐵，𝐵𝐶上，且𝐵𝐷= 𝐵𝐸．
（1）求∠𝐷𝐸𝐵的度数．
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第
18
讲
︻
真
题
易
错
︼
动
态
问
题
91
（2）当正方形𝐷𝐸𝐹𝐺沿着射线𝐵𝐶方向以每秒1 个单位长度的速度平移时，𝐶𝐹的长度
𝑦随着运动时间𝑡变化的函数图象如图2 所示，且当𝑡= √3 时，𝑦有最小值1．
①求等边△𝐴𝐵𝐶的边长．
②连接𝐶𝐷，在平移的过程中，求当△𝐶𝐸𝐹与△𝐶𝐷𝐸同时为等腰三角形时𝑡的值．
③从平移运动开始，到𝐺𝐹恰好落在𝐴𝐶边上时，请直接写出△𝐶𝐸𝐹外接圆圆心
的运动路径的长度．
睛
点
法
方
可以通过建系，求三角形两边中垂线交点来确定外心轨迹。
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11220922500810
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