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第三周
[周一]
1．(2022·全国甲卷)记S 为数列{a}的前n项和．已知＋n＝2a＋1.
n n n
(1)证明：{a}是等差数列；
n
(2)若a，a，a 成等比数列，求S 的最小值．
4 7 9 n
(1)证明 由＋n＝2a＋1，
n
得2S＋n2＝2an＋n，①
n n
所以2S ＋(n＋1)2＝2a (n＋1)＋(n＋1)，②
n＋1 n＋1
②－①，得2a ＋2n＋1＝2a (n＋1)－2an＋1，
n＋1 n＋1 n
化简得a －a＝1，
n＋1 n
所以数列{a}是公差为1的等差数列．
n
(2)解 由(1)知数列{a}的公差为1.
n
由a，a，a 成等比数列，
4 7 9
得a＝aa，
4 9
即(a＋6)2＝(a＋3)(a＋8)，
1 1 1
解得a＝－12.
1
所以S＝－12n＋＝
n
＝2－，所以当n＝12或13时，S 取得最小值，最小值为－78.
n
[周二]
2．(2022·广州模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知acos C＋
ccos A＝，a＝b，记△ABC的面积为S.
(1)求a；
(2)请从下面的三个条件中任选一个，探究满足条件的△ABC的个数，并说明理由．
条件：①S＝(a2＋c2－b2)；②bcos A＋a＝c；③bsin A＝acos.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
解 (1)在△ABC中，因为acos C＋ccos A＝，
所以a·＋c·＝，解得b＝，
所以a＝b＝.
(2)选择①，S＝(a2＋c2－b2)，
则acsin B＝(a2＋c2－b2)，
所以acsin B＝×2accos B，
化简得tan B＝.
又0<B<π，故B＝.
由＝，
得sin A＝＝.
因为a>b，所以A＝或A＝，
故满足条件的△ABC的个数为2.
选择②，bcos A＋a＝c，
则sin Bcos A＋sin A＝sin C，
即sin Bcos A＋sin A＝sin(A＋B)，
化简得sin A＝sin Acos B，
因为sin A≠0，所以cos B＝，
解得B＝.
由＝，
得sin A＝＝1，
所以A＝，故满足条件的△ABC的个数为1.
选择③，bsin A＝acos，
则sin Bsin A＝sin Acos.
又sin A≠0，所以sin B＝cos，
所以sin B＝cos B＋sin B，
化简得tan B＝.
又0<B<π，故B＝.
由＝，
得sin A＝＝>1，无解，不存在满足条件的三角形．
[周三]
3．“学习强国”学习平台是由中共中央宣传部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特
色社会主义思想为主要内容，立足全体党员、面向全社会的互联网学习平台．该学习平台采取积分制管理，内容丰富多彩，涉及政治、经济、文化、社会、生态，表现形式有图片、文
字、视频、考试、答题、互动等，让人们的生活充实而有质量．某市为了了解教职工在“学
习强国”平台的学习情况，从该市教职工中随机抽取了200人，统计了他们在“学习强国”
中获得的积分(单位：千分)，并将样本数据分成[1,3)，[3,5)，[5,7)，[7,9)，[9,11)，[11,13]六
组，绘制成如图所示的频率分布直方图．
(1)以样本估计总体，该市教职工在“学习强国”获得的积分近似服从正态分布N(μ，σ2)，其
中μ近似为样本的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)，取σ＝2.3.若该市恰
有1万名教职工，试估计这些教职工中积分ξ位于区间[4.4,11.3]内的人数；
(2)若以该市样本的频率估计邻市的概率(邻市对教职工学习“学习强国”的要求与该市相同，
教职工的人数也与该市教职工的人数相同)，若从邻市教职工中随机抽取20人，设积分在3
千分至9千分内的教职工人数为X，求X的均值E(X)．
参考数据：若随机变量 ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－
2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤ξ≤μ＋3σ)≈0.997 3.
解 (1)由题意知样本的平均数为 2×0.025×2＋4×0.075×2＋6×0.2×2＋8×0.125×2＋
10×0.05×2＋12×0.025×2＝6.7，
∴μ≈6.7.
∵σ＝2.3，
∴P(4.4≤ξ≤11.3)＝P(μ－σ≤ξ≤μ＋2σ)
＝P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)＋P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)
≈×(0.682 7＋0.954 5)＝0.818 6.
又10 000×0.818 6＝8 186，
∴估计这些教职工中积分ξ位于区间[4.4,11.3]内的人数约为8 186.
(2)该市样本在[3,9)内的频率为(0.075＋0.2＋0.125)×2＝0.8，则X～B(20,0.8)，
∴X的均值E(X)＝20×0.8＝16.
[周四]
4.(2022·德州模拟)如图所示，在三棱锥P－ABC中，AB＝BC＝2，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O
为AC的中点．(1)证明：PO⊥平面ABC；
(2)若点M在棱BC上，且平面PAM与平面PAC的夹角为30°，求三棱锥A－PMB的体积．
(1)证明 在三棱锥P－ABC中，
∵PA＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．
∴PO⊥AC，且PO＝2，连接OB，如图，
∵AB＝BC＝2，AC＝4，
∴AC2＝AB2＋BC2，得AB⊥BC，
则OB＝AC＝2，又PB＝4，
∴BO2＋PO2＝PB2，
得PO⊥BO，
∵AC∩BO＝O，AC，BO⊂平面ABC，
∴PO⊥平面ABC.
(2)解 如图，以O为坐标原点，分别以OB，OC，OP所在直线为x，y，z轴建立空间直角
坐标系．
由已知得O(0,0,0)，
B(2,0,0)，A(0，－2,0)，
C(0,2,0)，P(0,0,2)，
AP＝(0,2,2)，
取平面PAC的一个法向量为OB＝(2,0,0)．
设M(a，2－a，0)(0<a≤2)，
则AM＝(a，4－a，0)．设平面PAM的法向量为n＝(x，y，z)，
则
取z＝－a，得n＝(a－4，a，－a)，
∵平面PAM与平面PAC的夹角为30°，
∴＝
＝cos 30°＝，
解得a＝－4(舍去)或a＝，
则BM＝＝，
∴S ＝AB·BM＝×2×＝，
△ABM
∴V ＝V ＝××2＝.
A－PMB P－AMB
[周五]
5．(2022·广州模拟)已知圆(x＋1)2＋y2＝16的圆心为A，点P是圆A上的动点，点B是抛物
线y2＝4x的焦点，点G在线段AP上，且满足|GP|＝|GB|.
(1)求点G的轨迹E的方程；
(2)不过原点的直线l与(1)中轨迹E交于M，N两点，若线段MN的中点Q在抛物线y2＝4x上，
求直线l的斜率k的取值范围．
解 (1)易知A(－1,0)，
∵点B是抛物线y2＝4x的焦点，
∴B(1,0)，
依题意|GA|＋|GB|＝|AP|＝4>2＝|AB|，
∴点G的轨迹是一个椭圆，其焦点分别为A，B，长轴长为4，
设该椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，
则2a＝4,2c＝2，∴a＝2，c＝1，
∴b2＝a2－c2＝3，
故点G的轨迹E的方程为＋＝1.
(2)易知直线l的斜率存在，
设直线l：y＝kx＋t(k≠0，t≠0)，M(x，y)，
1 1N(x，y)，Q(x，y)，
2 2 0 0
由
得(4k2＋3)x2＋8ktx＋4t2－12＝0，
∵Δ＝(8kt)2－4(4k2＋3)(4t2－12)>0，
即4k2－t2＋3>0，①
又x＋x＝－，
1 2
xx＝，
1 2
故Q，
∵Q在抛物线y2＝4x上，
∴将Q点的坐标
代入y2＝4x，
得t＝－(k≠0)，②
将②代入①，得162k2(4k2＋3)<81，
4×162k4＋3×162k2－81<0，
即k4＋k2－2<0，
即<0，
即k2－<0，
∴－<k<且k≠0，
即k的取值范围为－<k<0或0<k<.
[周六]
6．(2022·齐齐哈尔模拟)已知函数f(x)＝x－mln x，其中m∈R.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若ex－1－ax2≥－axln x对任意的x∈(0，＋∞)恒成立，求实数a的取值范围．
解 (1)因为f(x)＝x－mln x的定义域为(0，＋∞)，
且f′(x)＝1－＝，
当m≤0时，f′(x)>0恒成立，
所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当m>0时，令f′(x)>0，
解得x>m，
令f′(x)<0，解得0<x<m，
所以f(x)的单调递增区间为(m，＋∞)，单调递减区间为(0，m)．综上，当m≤0时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；
当m>0时，f(x)的单调递增区间为(m，＋∞)，单调递减区间为(0，m)．
(2)若要ex－1－ax2≥－axln x，
只需≥a(x－ln x)，
即需要ex－ln x－1≥a(x－ln x)恒成立．
设t(x)＝x－ln x，x>0，
由(1)知t(x)在(0,1)上单调递减，
在(1，＋∞)上单调递增，
所以t(x)≥t(1)＝1，
于是需要et－1≥at，t≥1恒成立，
即≥a，t≥1恒成立．
设h(t)＝，t≥1，
则h′(t)＝≥0恒成立，
所以h(t) ＝h(1)＝1，
min
则a≤1，即a∈(－∞，1]．
