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“
”
很开心能见到你，本书将带领你进入全新的领域。在过去
的学习中，无论你是卓越还是略有失意，此刻将是新的征途的开
始。你是否已准备好谱写新的辉煌？
在这里，你会知道许多著名数学家的趣事。你也会揭开数学
神秘的面纱，了解数学之美。
大数学家高斯说：“数学是一切科学的皇后。”如果说物理是
上帝的游戏，那数学就是上帝的游戏规则。数学是通往星辰大海
的秘钥，是国防科技的护盾，是我们脚下这片土地的未来。华罗
庚说过：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之
变，生物之谜，日用之繁，数学无处不在。”
现在的你，肯定已迫不及待想要扬帆起航。但睿智的你肯定
也明白，学习的事，容不得半点含糊。
亲爱的同学：
第一，凡事预则立，不预则废。
第二，认真听课，积极互动。认真做笔记，总结解题方法、技巧。
第三，温故而知新，可以为师矣。不忘温习，方得始终。
第四，及时完成随堂练习。今朝有题今朝做，明朝又有明朝事。
第五，整理错题，学会总结。聪明人知错就改，糊涂人有错就瞒。
最后，青春的帆已扬起，只待你乘风破浪，勇往直前。
对于初中直播课学习，给你一些建议：
序言
华
罗
庚
高
斯
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1
心形函数曲线
π
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3
4
金字塔
有趣的黄金分割线
对称美
古希腊哲学家毕达哥拉斯曾说过：“美的线条和其他一切
美的形体都必须有对称的形式。”对称本身即具有和谐的
整体美。
早在南北朝时期，大数学家祖冲之就利用割圆术将圆周
率π精算到小数点后七位，直到15世纪，阿拉伯数学
家阿尔·卡西才打破了这一纪录。
金字塔，是古埃及人智慧代表的巅峰之作。早在古希腊
时期，几何学家泰勒斯就可以根据投影与相似三角形定
理，测量出金字塔的高度。
0.618比1，著名的“黄金分割比”。意大利著名画家
达·芬奇笔下的《蒙娜丽莎》就多次应用黄金分割比，
蒙娜丽莎之所以越看越美，就是因为她的脸型、身材均
符合黄金矩形。
笛卡尔给公主的信中，只有一道函数公式：r=a(1-sinθ）。
而极具浪漫色彩的是，当公主把函数图象画出来后，一颗饱满
的心跃然纸上。这就是著名的“心形线”。
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5
前言
希望学教研团队
亲爱的同学：
当你翻开这本书的时候，你又开始了一段新的学习之旅。
本书由希望学教研团队编写而成。团队有多年的教研沉淀，致力于为同学们
提供小学、初中和高中全学科的课外有益补充，培养学生分析问题和自主解决问
题的能力。锻炼思维，开拓视野，由“知识型”向“能力型”转化。
下面我们将向你介绍本书的诞生过程：
1、对标教材和课程标准建立课程大纲
希望学教研团队根据教育部审定的最新中学教材，选取重难点模块，收集各
地区题目，精心敲定教学大纲。
2、依据大数据、编撰高标准
①依托多年教研沉淀，精品题库、讲义素材、课件切片等四大库教研基建，
为讲义编撰提供优质素材；
②希望学大数据核心算法定位学习中的薄弱环节；
③百人教研团队，历经1000+小时，严格按照大纲目录进行编写，三轮审核
三轮校对。
3、三审三校
初稿经由希望学教研中心内部一审，学科产品、教学中心、主讲老师集中二
审，外部专家专业三审后进入校对环节。
由编者一次精校；教研中心资深教研员二次精校；排版团队三次精校。只有
经过全面的三审三校，这本书才能发送给我们的用户！
4、排版
编撰与审校结束后，会安排专业团队进行排版印刷。模板和风格由专业设计
师进行设计，并不断更新迭代，紧跟审美风向标，提升可读性。由供应部门统一
调配和发货，这本书就会到达你的手中啦！
路漫漫其修远兮，吾将上下而求索！接下来的每一天，我们都会在你的见证
下不断精进，不断成长。
未来，希望学也会继续承担起用科技推动教育进步的重任，不断致力于教育
资源的均衡发展。伴随着你的成长，见证着你的成功，每天进步一点点，一起做
更好的自己！
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目录
期末复习（一）
1
模块一
几何选填压轴精讲
2
模块二
几何动态问题
4
模块三
全等三角形综合
7
【习题课】期末复习（一）
12
期末复习（二）
15
模块一
代数选填压轴精讲
16
模块二
坐标系中的复杂问题
17
模块三
代数中的新定义问题
20
【习题课】期末复习（二）
26
第1 讲
函数的概念与一次函数
29
模块一
函数的概念
31
模块二
正比例函数和一次函数
38
【习题课】函数的概念与一次函数
46
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第2 讲
一次函数解析式与图象变
换
51
模块一
一次函数解析式
53
模块二
一次函数图象变换
56
【习题课】一次函数解析式与图象变换
63
第3 讲
函数与方程不等式
67
模块一
函数与方程
69
模块二
函数与不等式
74
【习题课】函数与方程不等式
79
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期末复习
期末复习（一）
模块一
几何选填压轴精讲
模块二
几何动态问题
模块三
全等三角形综合
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期
末
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习
（一）
2
模块一
模块一
几何选填压轴精讲
典型例题1
如图，长为𝑦，宽为𝑥的大长方形被分割为5 小块，除阴影𝐷，𝐸外，其余3 块都是正方形，
若阴影𝐸周长为8，下列说法中正确的是（ ）．
①𝑥的值为4；②若阴影𝐷的周长为6，则正方形𝐴的面积为1；③若大长方形的面积为
24，则三个正方形周长的和为24．
A. ①②③
B. ①②
C. ①③
D. ②③
典型例题2
如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐶= 𝐵𝐶，∠𝐴𝐶𝐵= 90∘，点𝐷在𝐵𝐶上运动，𝐴𝐶= 4，点𝑃是𝐴𝐵上的
动点，则𝑃𝐶+𝑃𝐷的最小值为（ ）．
A. 3
B. 4
C. 6
D. 7
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末
复
习
（一）
3
典型例题3
设△𝐴𝐵𝐶的面积为1，如图①将边𝐵𝐶、𝐴𝐶分别2 等分，𝐵𝐸1、𝐴𝐷1 相交于点𝑂，△𝐴𝑂𝐵
的面积记为𝑆1；如图②将边𝐵𝐶、𝐴𝐶分别3 等分，𝐵𝐸1、𝐴𝐷1 相交于点𝑂，△𝐴𝑂𝐵的面积
记为𝑆2；⋯，依此类推，则𝑆5 的值为
．
典型例题4
如图，将一条两边互相平行的纸带折叠，折痕为𝐷𝐸，∠𝐴𝐵𝐸的平分线所在的直线与
∠𝐸𝐷𝐻的平分线所在的直线相交于点𝐹，若∠𝐹= 3
4∠𝐵𝐸𝐷，则∠1 的度数为
．
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末
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习
（一）
4
模块二
模块二
几何动态问题
典型例题5
规定：一条直线将三角形分割为两个图形，若其中一个新三角形与原三角形有两个角分
别相等，则称这条直线为原三角形的恰巧线．例如：如图①，在△𝐴𝐵𝐶中，直线𝐷𝐸将
△𝐴𝐵𝐶分割为两个图形，若新三角形𝐴𝐷𝐸与原三角形𝐴𝐵𝐶有∠𝐴= ∠𝐴，∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐵，则
称直线𝐷𝐸为△𝐴𝐵𝐶的恰巧线．
（1）如图②，已知△𝐴𝐵𝐶，且∠𝐴𝐶𝐵= 90∘，𝐴𝐶> 𝐵𝐶，则下列直线中，是△𝐴𝐵𝐶的恰巧线
的是
．
（填上所有正确的序号）
①△𝐴𝐵𝐶的角平分线𝐶𝐷所在的直线；
②△𝐴𝐵𝐶的边𝐴𝐵上的高𝐶𝐸所在的直线；
③△𝐴𝐵𝐶的边𝐴𝐵上的中线𝐶𝐹所在的直线．
（2）在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 50∘，∠𝐵= 70∘，点𝐷、𝐸分别在𝐴𝐵、𝐴𝐶边上（不与端点重合），若
直线𝐷𝐸是△𝐴𝐵𝐶的恰巧线，则∠𝐴𝐸𝐷的度数为
．
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末
复
习
（一）
5
（3）如图③，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90∘，𝐶𝐷⊥𝐴𝐵，垂足为𝐷，直线𝐵𝐸是△𝐴𝐵𝐶的恰巧
线，分别交𝐴𝐶于点𝐸，交𝐶𝐷于点𝐹，连接𝐷𝐸，且∠𝐴= ∠𝐴𝐷𝐸．求证：直线𝐸𝐹是
△𝐶𝐷𝐸的恰巧线．
（4）如图④，△𝐴𝐵𝐶是锐角三角形，∠𝐴< ∠𝐵< ∠𝐶，𝑃是𝐴𝐶边上的定点．在图④中，
画出所有经过点𝑃的△𝐴𝐵𝐶的恰巧线示意图，并写出每一条恰巧线须满足的两组
相等的角，不必说明理由．
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末
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习
（一）
6
典型例题6
某市为了美化亮化某景点，在两条笔直的景观道𝑀𝑁、𝑄𝑃上，分别放置了𝐴、𝐵两盏激光
灯，如图所示，𝐴灯发出的光束自𝐴𝑀逆时针旋转至𝐴𝑁便立即回转；𝐵灯发出的光束自
𝐵𝑃逆时针旋转至𝐵𝑄便立即回转，两灯不间断照射，𝐴灯每秒转动𝑎度，𝐵灯每秒转动𝑏
度，且满足|𝑎−4𝑏|+(𝑎+𝑏−5)2 = 0，若这两条景观道的道路是平行的，即𝑀𝑁//𝑄𝑃．
（1）求𝑎、𝑏的值．
（2）𝐵灯先转动15 秒，𝐴灯才开始转动，当𝐴灯转动5 秒时，两灯的光束𝐴𝑀′ 和𝐵𝑃′
到达如图①所示的位置，试问𝐴𝑀′ 和𝐵𝑃′ 是否平行？请说明理由．
（3）在(2) 的情况下，当𝐵灯光束第一次达到𝐵𝑄之前，两灯的光束是否还能互相平行，
如果还能互相平行，那么此时𝐴灯旋转的时间为
秒．(不要求写出解答过
程)
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习
（一）
7
模块三
模块三
全等三角形综合
典型例题7
以△𝐴𝐵𝐶的边𝐴𝐵、𝐴𝐶为边分别向外作正方形𝐴𝐵𝐷𝐸和正方形𝐴𝐶𝐹𝐺，连接𝐸𝐺，试判
断△𝐴𝐵𝐶与△𝐴𝐸𝐺面积之间的关系，并说明理由．
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末
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习
（一）
8
典型例题8
解答下列各题．
（1）如图1，已知△𝐴𝐵𝐶，分别以𝐴𝐵，𝐴𝐶为边作△𝐴𝐵𝐷，△𝐴𝐶𝐸，使得𝐴𝐷= 𝐴𝐵，𝐴𝐸= 𝐴𝐶，
∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸= 90∘，连接𝐷𝐸，取𝐷𝐸的中点𝑃，连接𝐴𝑃．
①若∠𝐵𝐴𝐶= 30∘，则∠𝐸𝐴𝐷的度数为 ．
②请写出𝐴𝑃与𝐵𝐶的关系，并说明理由．
（2）如图2，已知锐角△𝐴𝐵𝐶，分别以𝐴𝐵，𝐵𝐶，𝐶𝐴为边向外作△𝐴𝐵𝑍，△𝐵𝐶𝑋，△𝐶𝐴𝑌，它
们均为等边三角形，连接𝐵𝑌，𝐵𝑌= 23
20，点𝑃为△𝐴𝐵𝐶内的一个动点，连接𝑃𝐴，𝑃𝐵，
𝑃𝐶，𝑃𝑋，𝑃𝑌，𝑃𝑍，当𝑃𝐴+𝑃𝐵+𝑃𝐶的值最小时，请直接写出𝑃𝑋+𝑃𝑌+𝑃𝑍的值．
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习
（一）
9
随堂练习
随堂练习1
△𝐴𝐵𝐶中，三个内角的平分线交于点𝑂，过点𝑂作∠𝑂𝐷𝐶= ∠𝐴𝑂𝐶，交𝐵𝐶边于点𝐷．
（1）如图1，求∠𝐵𝑂𝐷的度数．
（2）如图2，作∠𝐴𝐵𝐶外角∠𝐴𝐵𝐸的平分线交𝐶𝑂的延长线于点𝐹．
①求证：𝐵𝐹//𝑂𝐷．
②若∠𝐹= 50∘，求∠𝐵𝐴𝐶的度数．
③若∠𝐹= ∠𝐴𝐵𝐶= 40∘，将△𝐵𝑂𝐷绕点𝑂顺时针旋转一定角度𝛼后得△𝐵′𝑂𝐷′
(0∘< 𝛼< 360∘)，𝐵′𝐷′ 所在直线与𝐹𝐶平行，请直接写出所有符合条件的旋转角度
𝛼的值．
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习
（一）
10
随堂练习2
如图，𝐶𝑁是等边△𝐴𝐵𝐶的外角∠𝐴𝐶𝑀内部的一条射线，点𝐴关于𝐶𝑁的对称点为𝐷，
连接𝐴𝐷，𝐵𝐷，𝐶𝐷，其中𝐴𝐷，𝐵𝐷分别交射线𝐶𝑁于点𝐸，𝑃．
（1）依题意补全图形．
（2）若∠𝐴𝐶𝑁= 𝛼，求∠𝐵𝐷𝐶的大小（用含𝛼的式子表示）．
（3）用等式表示线段𝑃𝐵，𝑃𝐶与𝑃𝐸之间的数量关系，并证明．
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（一）
11
数学探索
概率与生活
公元1052 年4 月，侬智高起兵反宋。当朝皇帝宋仁宗决定派
遣大将狄青去平定叛乱。当时路途艰险，军心不稳，狄青取胜的把
握不大。为了鼓舞士气，狄青便设坛拜神，说：
“这次出兵讨伐叛军，
胜败没有把握，是吉是凶，只好由神明决定了。是吉的话，那我随便
掷100 个铜钱，神明保佑，正面定然会全部朝上；只要有一个背面
朝上，那我们就难以制敌，只好回朝了。”
官员们诚惶诚恐，劝道：
“大将军，运气再好，100 个铜钱，总不
会个个正面朝上，如果有背面朝上，岂不动摇军心？如果不战而回，
那更是违抗圣旨。请大将军三思而行！”此时的狄青已是胸有成竹，
叫心腹拿来一袋铜钱，在千万人的注视下，举手一挥，把铜钱全部
抛向空中，100 个铜钱居然鬼使神差地全部朝上。顿时，全军欢呼，
声音响彻山野。由于士兵个个认定神灵护佑，战斗中奋勇争先，仅
一次战役，就收回了失地，大功告成。
那么，那100 个铜钱究竟是怎么回事呢？原来，狄青那100 个
铜钱正反两面都是正面的图案，使得正面朝上的机会为100％，从
而鼓舞了士气，大军获胜。
以上只是古人利用简单的概率知识获利。其实，从古到今，概
率就与人们的生活息息相关。
同学们可以想想生活中还有什么事情是与概率相关的呢？
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（一）
12
“三精”习题课
期末复习（一）
典型例题1
创新班专属
如图1，已知直线𝐴𝐵// 直线𝐶𝐷，点𝐸在𝐴𝐵上，点𝐻在𝐶𝐷上，点𝐹在𝐴𝐵，𝐶𝐷之间，
连接𝐸𝐹，𝐹𝐻．
（1）若∠𝐴𝐸𝐹+∠𝐶𝐻𝐹= 280∘，则∠𝐸𝐹𝐻的度数为
∘．
（2）若∠𝐴𝐸𝐹+∠𝐶𝐻𝐹= 11
4 ∠𝐸𝐹𝐻，
①求∠𝐸𝐹𝐻的度数．
②如图2，若𝐻𝑀平分∠𝐶𝐻𝐹，交𝐹𝐸的延长线于点𝑀，求∠𝐹𝐻𝐷−2∠𝐹𝑀𝐻的度
数．
睛
点
法
方
拐点模型重要思路：过拐点做平行线
【易错点】
过多个拐点做平行线时注意不要混淆同旁内角、对顶角等角度关系
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习
（一）
13
典型例题2
创新班专属
如图1，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝑂⊥𝐴𝐶于点𝑂，𝐴𝑂= 𝐵𝑂= 3，𝑂𝐶= 1，过点𝐴作𝐴𝐻⊥𝐵𝐶于点𝐻，
交𝐵𝑂于点𝑃．
（1）求线段𝑂𝑃的长度．
（2）连接𝑂𝐻，求证：∠𝑂𝐻𝑃= 45∘．
（3）如图2，若点𝐷为𝐴𝐵的中点，点𝑀为线段𝐵𝑂延长线上一动点，连接𝑀𝐷，过点𝐷
作𝐷𝑁⊥𝐷𝑀交线段𝑂𝐴延长线于𝑁点，则𝑆△𝐵𝐷𝑀−𝑆△𝐴𝐷𝑁的值是否发生改变，如
改变，求出该值的变化范围；若不改变，求该式子的值．
睛
点
法
方
(1) 看到角度相等与线段长相等考虑全等
(2) 证明45∘，考虑到∠𝐴𝐻𝐶为直角尝试能否证明其为直角的一半
(3) 考虑在△𝐵𝐷𝑀中找到与△𝐴𝐷𝑁面积相等的几何图形，更易对所求式进行表达
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期末复习
期末复习（二）
模块一
代数选填压轴精讲
模块二
坐标系中的复杂问题
模块三
代数中的新定义问题
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（二）
16
模块一
模块一
代数选填压轴精讲
典型例题1
对𝑥，𝑦定义一种新的运算𝐺，规定𝐺(𝑥,𝑦) =
⎧{{
⎨{{⎩
𝑥−𝑦(当𝑥⩾𝑦时)
𝑦−𝑥(当𝑥< 𝑦时)
，若关于正数𝑥的不等
式组
⎧{{
⎨{{⎩
𝐺(𝑥,1) > 4
𝐺(−1,𝑥) ⩽𝑚
恰好有3 个整数解，则𝑚的取值范围是（ ）．
A. 9 < 𝑚< 10
B. 9 ⩽𝑚< 10
C. 9 < 𝑚⩽10
D. 9 ⩽𝑚⩽10
典型例题2
若关于𝑥的不等式组
⎧{{
⎨{{⎩
𝑥+2𝑚< 0
3𝑥+𝑚< 15
的解集中的任意𝑥的值，都能使不等式𝑥−3 < 0 成
立，则𝑚的取值范围是
．
典型例题3
若关于𝑥的不等式组
⎧{{
⎨{{⎩
𝑥+21
3
⩾3−𝑥
2𝑥−1 < 𝑚
的所有整数解的和为−5，则𝑚的取值范围是
．
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（二）
17
模块二
模块二
坐标系中的复杂问题
典型例题4
如图1，在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，𝐴(𝑎,0)，𝐵(𝑏,𝑐)，且(𝑎−8)2 +|𝑏−3|+√3−𝑐= 0，连接
𝐴𝐵，𝐴𝐵2 = (𝑎−𝑏)2 +𝑐2．
（1）求点𝐴和点𝐵的坐标和线段𝐴𝐵的长度．
（2）如图2，点𝑃是射线𝐴𝑂上一动点，连接𝐵𝑃，将△𝐴𝐵𝑃沿着直线𝐵𝑃翻折至△𝑄𝐵𝑃，
当𝑃𝑄//𝐴𝐵时，求点𝑃和点𝑄的坐标．
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习
（二）
18
（3）在（2）的情况下，如图3，点𝐹是线段𝐴𝑃延长线上一动点，连接𝐵𝐹，将△𝐴𝐵𝐹沿
着直线𝐵𝐹翻折至△𝑀𝐵𝐹，连接𝑀𝑄．当𝑀𝐹//𝐵𝑃时，试探究∠𝑄𝑀𝐹，∠𝑄𝐵𝐹与
∠𝑀𝑄𝐵之间的数量关系，并说明理由．
典型例题5
在平面直角坐标系中，有点𝐴(𝑎,0)，𝐵(0,𝑏)，若𝑎，𝑏满足(𝑎+𝑏−7)2 + |𝑎−2𝑏+ 5| = 0．
（1）求点𝐴，𝐵的坐标．
（2）点𝐶(𝑚,𝑛) 在直线𝐴𝐵上，且𝐴𝐶= 2𝐵𝐶，求𝑚．
（3）将点𝐴向右平移2 个单位到点𝐷，过点𝐷的直线𝑙与𝑥轴垂直，点𝑃为直线𝑙上
一动点，且1 < 𝑆△𝐴𝐵𝑃⩽5﹐则点𝑃的纵坐标𝑦𝑃的取值范围是
．
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（二）
19
典型例题6
在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，点𝐴的坐标为(2,𝑎)，点𝐵的坐标为(6,𝑏)，连接𝐴𝐵．
（1）若𝑎= 𝑏= 4，求线段𝐴𝐵的长度．
（2）若𝑏−𝑎= 2 且𝑎> 0．
①当点𝐴在直线𝑂𝐵上时，求𝑎的值．
②当点𝐴不在直线𝑂𝐵上时，连接𝑂𝐴，𝑂𝐵，记△𝐴𝑂𝐵的面积为𝑆．若𝑆= 1，求𝑎的值．
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（二）
20
模块三
模块三
代数中的新定义问题
典型例题7
若三位数𝑀= 𝑎𝑏𝑐（𝑎，𝑏，𝑐为整数且1 ⩽𝑎⩽9，0 ⩽𝑏⩽9，0 ⩽𝑐⩽9）
满足𝑎+ 𝑐= 4𝑏，称这个三位数𝑀为“稳定数”，记𝐹(𝑀) = (𝑎−𝑏)+2(𝑎−𝑐)+(𝑏−𝑐)
3
．
（1）填空：234
“稳定数”；947
“稳定数”（用“是”与“不是”填
空）．
（2）若三位数𝑁= 𝑥𝑦𝑧（𝑥，𝑦，𝑧为整数且4 ⩽𝑥⩽8，4 ⩽𝑧⩽8）为“稳定数”，且3
2𝐹(𝑁) 与
𝑁的和能被9 整除，求出所有满足条件的𝑁．
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（二）
21
典型例题8
对于平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中的图形𝑊和点𝑃（点𝑃在𝑊内部或𝑊上），给出如下定
义，如果图形𝑊上存在点𝑄，使得点𝑃与点𝑄两点间的距离𝑃𝑄满足：0 ⩽𝑃𝑄⩽3，那
么称点𝑃为图形𝑊的和谐点．如图：𝐴(−9,−4)，𝐵(−1,−4)，𝐶(−1,4)，𝐷(−9,4)，𝑀(0,3)，
𝑁(3,0)．连接𝑀𝑁，以𝐴、𝐵、𝐶、𝐷为顶点作正方形𝐴𝐵𝐶𝐷．则：
（1）在点𝑃1 (−2,1)，𝑃2 (−5,0)，𝑃3 (−9,5) 中，正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的和谐点是
．
（2）将线段𝑀𝑁向左平移𝑡(𝑡> 0) 个单位长度，得到线段𝑀′𝑁′，请填空：
①请直接写出此时𝑀′、𝑁′ 的坐标 ．
②当𝑡= 0.5 时，图形𝑀′𝑁′ 上 （填“有”或“无”）正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的和谐点．
③请画出𝑡= 1 时，线段𝑀𝑁移动后的图形𝑀′𝑁′，并直接写出此时图形𝑀′𝑁′ 上
正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的和谐点是 ．
④如果线段𝑀′𝑁′ 上的所有点（含端点）都是正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的和谐点，直接写出𝑡
的取值范围 ．
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（二）
22
随堂练习
随堂练习1
已知无论𝑥取何值，等式(𝑥+𝑎)(𝑥+𝑏) = 𝑥2 +2𝑥+𝑛恒成立，则关于代数式𝑎3𝑏+𝑎𝑏3 −2
的值有下列结论：
①交换𝑎，𝑏的位置，代数式的值不变；
②该代数式的值是非正数；
③该代数式的值不会小于−2．
上述结论正确的是（ ）．
A. ①②
B. ①③
C. ②③
D. ①②③
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（二）
23
随堂练习2
我国是最早采用十进制进行计算的国家．研究发现，使用十进制跟我们有十根手指头有
关，进制也就是进位制，是人们规定的一种进位方法，对于任何一种进制——𝑋进制，就
表示某一位置上的数运算时是逢𝑋进一位，十进制是逢十进一，二进制是逢二进一，十六
进制是逢十六进一，以此类推，𝑋进制就是逢𝑋进一．为与十进制进行区分，我们常把用
𝑋进制表示的数𝑎写成(𝑎)𝑋．
𝑋进制的数转化为十进制数的方法：𝑋进制表示的数(1111)𝑋中，从右边数起，第一位上
的1 表示1×𝑋0，第二位上的1 表示1×𝑋1，第三位上的1 表示1×𝑋2，第四位上的1 表
示1× 𝑋3，故(1111)𝑋转化为十进制为：(1111)𝑋= 1× 𝑋3 +1× 𝑋2 +1× 𝑋1 +1× 𝑋0（规定
当𝑋≠0 时，𝑋0 = 1）．
例如：(101)2 = 1×22 +0×21 +1×20 = 5，(1023)5 = 1×53 +0×52 +2×51 +3×50 = 138．
根据材料，完成以下问题：
（1）把下列进制表示的数转化为十进制表示的数：(10101)3 =
；(257)8 =
．
（2）若一个四进制三位数(𝑎3𝑏)4，与七进制三位数(3𝑏𝑎)7 之和能被8 整除（1 ⩽𝑎⩽3，
1 ⩽𝑏⩽3，且𝑎、𝑏均为整数），求𝑎的值．
（3）若一个八进制数与一个六进制数之差为420，则称这两个数为“坤鹏数”，试判断
(𝑚𝑚4)8 与(𝑛2𝑛)6 是否可能为“坤鹏数”，并说明理由．
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末
复
习
（二）
24
数学探索
斐波那契数列和斐波那契螺旋线
斐波那契数列（Fibonacci sequence），因数学家莱昂纳多⋅斐
波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这
样一个数列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上，斐波那契数
列以如下递推的方法定义：
F(1)=1，F(2)=1, F(n)=F(n - 1)+F(n - 2)。
而斐波那契数列又称黄金分割数列，这又是为什么呢？
斐波那契数列作为一个完全是自然数的数列，通项公式却是
用无理数来表达的。而且当n 趋向于无穷大时，前一项与后一项的
比值越来越逼近黄金分割0.618（或者说后一项与前一项的比值的
小数部分越来越逼近0.618）
1÷1 = 1
1÷2 = 0.5
2÷3 = 0.666⋯
3÷5 = 0.6
5÷8 = 0.625
…
144÷233 = 0.618025⋯
…
46368÷75025 = 0.6180339886⋯
…
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期
末
复
习
（二）
25
数学探索
证明：
对于𝑎𝑘+𝑎𝑘+1 = 𝑎𝑘+2，两边同时除以𝑎𝑘+1 得到：
𝑎𝑘
𝑎𝑘+1
+1 = 𝑎𝑘+2
𝑎𝑘+1
①
若
𝑎𝑛
𝑎𝑛+1
的极限存在，设其为𝑥，则有：
lim
𝑛→∞
𝑎𝑛
𝑎𝑛+1
= lim
𝑛→∞
𝑎𝑛+1
𝑎𝑛+2
= 𝑥
代入①中得到分式方程：
𝑥+1 = 1
𝑥
∵𝑥> 0
∴𝑥= √5−1
2
所以
𝑎𝑛
𝑎𝑛+1
的极限为黄金分割比。
斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋”，是根据斐波那契数列画出
来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线的图案，是自然
界最完美的经典黄金比例。作图规则是在以斐波那契数为边的正
方形拼成的长方形中画一个90 度的扇形，连起来的弧线就是斐波
那契螺旋线。
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末
复
习
（二）
26
“三精”习题课
期末复习（二）
典型例题1
创新班专属
如图1，𝐴𝐵//𝐶𝐷，𝐸是直线𝐶𝐷上的一点，且∠𝐵𝐴𝐸= 30∘，𝑃是直线𝐶𝐷上的一动点，𝑀
是𝐴𝑃的中点，直线𝑀𝑁⊥𝐴𝑃且与𝐶𝐷交于点𝑁，设∠𝐵𝐴𝑃= 𝑥∘，∠𝑀𝑁𝐸= 𝑦∘．
（1）在图2 中，当𝑥= 12 时，∠𝑀𝑁𝐸=
．
在图3 中，当𝑥= 50 时，∠𝑀𝑁𝐸=
．
（2）研究表明：𝑦与𝑥之间关系的图象如图4 所示（𝑦不存在时，用空心点表示），请你根
据图象直接估计当𝑦= 100 时，𝑥=
．
（3）探究：当𝑥=
时，点𝑁与点𝐸重合，并在答题卡上画出此时的图形．
（4）探究：当𝑥> 105 时，则𝑦与𝑥之间的关系式为
．
睛
点
法
方
本题重在体现平行模型与图象间的关系，注意分类讨论
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期
末
复
习
（二）
27
典型例题2
创新班专属
对𝑎，𝑏定义一种新运算𝑇，规定：𝑇(𝑎,𝑏) = (𝑎+ 2𝑏)(𝑎𝑥+ 𝑏𝑦)（其中𝑥，𝑦均为非零实数）．
例如：𝑇(1,1) = 3𝑥+3𝑦．
（1）已知𝑇(1,−1) = 0，𝑇(0,2) = 8，求𝑥，𝑦的值．
（2）已知关于𝑥，𝑦的方程组
⎧{{
⎨{{⎩
𝑇(1,−1) = 3−𝑎
𝑇(0,2) = 8𝑎
，若𝑎⩾−2，求𝑥+𝑦的取值范围．
（3）在（2）的条件下，已知平面直角坐标系上的点𝐴(𝑥,𝑦) 落在坐标轴上，将线段𝑂𝐴沿
𝑥轴向右平移2 个单位，得线段𝑂′𝐴′，坐标轴上有一点𝐵满足三角形𝐵𝑂𝐴′ 的面积
为9，请直接写出点𝐵的坐标．
睛
点
法
方
坐标系中的新定义问题，注意新定义代入即可
【易错点】
重点关注“在坐标轴”一定要分类讨论
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第1 讲
函数的概念
函数的概念与一次函数
模块一
函数的概念
模块二
正比例函数和一次函数
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第
1
讲
函
数
的
概
念
与
一
次
函
数
30
本讲概述
模块
知识模型
对应例题
对应随堂练习
函数的概念
自变量与因变量
例1
函数定义与定义域
例2、3
随堂练习1、2
函数的三种表达
例4-6
随堂练习3
正比例函数与一
次函数
旋转变换
例7
一次函数概念
例8、9
随堂练习4
图象与系数的关系
例10-12
随堂练习5
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第
1
讲
函
数
的
概
念
与
一
次
函
数
31
模块一
模块一
函数的概念
知识梳理
【常量与变量】
在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量.
【函数的概念】
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量𝑥与𝑦，并且对于𝑥的每一个确定的值，𝑦都
有唯一确定的值与其对应，那么我们就说𝑥是自变量，𝑦是𝑥的函数，也称𝑦为因变量．
若𝑥= 𝑎时，𝑦= 𝑏，则称𝑏为当自变量的值为𝑎时的函数值.
例如：
圆的面积𝑆与圆的半径𝑟存在相应的关系：𝑆= 𝜋𝑟2，这里𝜋表示圆周率，它的数值不会
变化，是常量．而𝑆随着𝑟的变化而变化，𝑟是自变量，𝑆是因变量，可以称𝑆是𝑟的函数．
【注】
1. 𝑦有唯一值与𝑥对应是指在自变量的取值范围内，𝑥每取一个确定值，𝑦都有唯一的值
与之相对应．𝑥取不同的值，𝑦的取值可以相同．
2. 函数不是数，它是指在一个变化过程中两个变量之间的关系，函数本质就是变量间的
对应关系．
典型例题1
回答下列问题：
（1）分别指出下列关系式中的变量与常量：
①球的表面积𝑆(cm2) 与球半径𝑅(cm) 的关系式是𝑆= 4𝜋𝑅2；
②设圆柱的底面半径𝑅(m) 不变，圆柱的体积𝑉(m3) 与圆柱的高ℎ(m) 的关系式是
𝑉= 𝜋𝑅2ℎ．
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第
1
讲
函
数
的
概
念
与
一
次
函
数
32
（2）把2𝑥−𝑦= 2 写成𝑦是𝑥的函数的形式
．
（3）若𝑥= 𝑦+3
𝑦−2，则𝑦关于𝑥的函数关系式是
．
典型例题2
回答下列问题：
（1）判断下列式子中𝑦是否是𝑥的函数．
①𝑦2 = (3𝑥−5)2；②𝑦= 𝑥2 +5；③∣𝑦∣= −12𝑥；④𝑦= |−8𝑥|．
（2）下列四个图象中，不是表示某一函数图象的是（ ）
知识梳理
【自变量的取值范围】
使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做函数自变量的取值范围.
在初中阶段，自变量的取值范围考虑以下几个方面：
1. 根式：当根指数为偶数时，被开方数应为非负数．
2. 分母中含有自变量：分母不为0．
3. 实际问题：符合实际意义，如人数不能为负数.
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第
1
讲
函
数
的
概
念
与
一
次
函
数
33
典型例题3
求下列函数中自变量𝑥的取值范围：
（1）𝑦= 𝑥2 −2
𝑥−3 ．
（2）𝑦= √7−2𝑥．
（3）𝑦= (𝑥+1)0
√|𝑥|−𝑥
．
（4）𝑦= √2𝑥−3+√7−3𝑥．
（5）𝑦= √2𝑥−4
|𝑥|−3 ．
（6）𝑦=
2
1+ 1
𝑥
．
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第
1
讲
函
数
的
概
念
与
一
次
函
数
34
知识梳理
【函数关系的表示方法】
1. 解析式法：像𝑦= 50−0.1𝑥这样，用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关
系，是描述函数的常用方法. 这种式子叫做函数的解析式.
2. 列表法：通过列表表示函数的方法．
3. 图象法：用图象直观、形象地表示一个函数的方法．
【函数图象】
一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那
么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.
采取描点法画函数图象的步骤：
1. 列表：列出一个包含自变量和函数的表，并列出一些自变量的值，通过函数的解析式，
求出对应的函数值；
2. 描点：用表中列出的自变量的值为横坐标、计算出的函数值为纵坐标表示在准备好的
平面直角坐标系中；
3. 连线：用平滑曲线将各点连接起来.
【注】
注意自变量的取值范围
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第
1
讲
函
数
的
概
念
与
一
次
函
数
35
典型例题4
画出函数𝑦= |𝑥−1| 的图象．
（1）函数𝑦= |𝑥−1| 的自变量𝑥的取值范围是
．
（2）列表(把表格补充完整)．
（3）描点、连线．
（4）结合图象，写出函数的一条性质
．
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讲
函
数
的
概
念
与
一
次
函
数
36
典型例题5
（1）周日，小涛从家沿着一条笔直的公路步行去报亭看报，看了一段时间后，他按原路返
回家中，小涛离家的距离𝑦(单位：m) 与他所用的时间𝑡(单位：min) 之间的函数关系如
图所示，下列说法中正确的是（ ）
A. 小涛家离报亭的距离是900m
B. 小涛从家去报亭的平均速度是60m/min
C. 小涛从报亭返回家中的平均速度是80m/min
D. 小涛在报亭看报用了15min
（2）均匀地向一个容器注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度ℎ随时间𝑡的变
化规律如图所示(图中𝑂𝐴𝐵𝐶为折线)，这个容器的形状可能是（ ）．
A.
B.
C.
D.
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1
讲
函
数
的
概
念
与
一
次
函
数
37
典型例题6
小红帮弟弟荡秋千(如图1)，秋千离地面的高度ℎ(m) 与摆动时间𝑡(s) 之间的关系如图2
所示．
（1）根据函数的定义，请判断变量ℎ是否为关于𝑡的函数？
（2）结合图象回答：
①当𝑡= 0.7s 时，ℎ的值是多少？并说明它的实际意义．
②秋千摆动第一个来回需多少时间？
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第
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讲
函
数
的
概
念
与
一
次
函
数
38
模块二
模块二
正比例函数和一次函数
知识梳理
【正比例函数定义】
一般地，形如𝑦= 𝑘𝑥（𝑘为常数，𝑘≠0）的函数叫做正比例函数．
【注】
对于两种变量，如果这两种量相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的
量．它们之间的关系叫做正比例关系．
【正比例函数图象及性质】
1. 图象
正比例函数𝑦= 𝑘𝑥（𝑘为常数，𝑘≠0）的图象是一条经过(0,0) 和(1,𝑘) 的直线．
2. 性质
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第
1
讲
函
数
的
概
念
与
一
次
函
数
39
典型例题7
（1）已知函数𝑦= 2𝑥2𝑎+𝑏+𝑎+2𝑏是正比例函数，则𝑎=
，𝑏=
．
（2） 如果一个正比例函数的图象经过不同象限的两点 𝐴(2,𝑚)、𝐵(𝑛,3)，那么一定有（ ）
A. 𝑚> 0，𝑛> 0
B. 𝑚> 0，𝑛< 0
C. 𝑚< 0，𝑛> 0
D. 𝑚< 0，𝑛< 0
（3）设正比例函数𝑦= 𝑚𝑥的图象经过点𝐴(𝑚，4)，且𝑦的值随𝑥值的增大而减小，则𝑚
=（ ）
A. 2
B. −2
C. 4
D. −4
知识梳理
【一次函数的相关概念】
1. 定义：一般地，形如𝑦= 𝑘𝑥+𝑏(𝑘、𝑏是常数，且𝑘≠0) 的函数叫做一次函数．
2. 定义域：一次函数𝑦= 𝑘𝑥+𝑏的定义域是一切实数．
3. 一次函数与正比例函数之间的关系：当𝑏= 0 时，解析式𝑦= 𝑘𝑥+𝑏就成为𝑦= 𝑘𝑥(𝑘是
常数，且𝑘≠0)，这时𝑦就是𝑥的正比例函数，所以，正比例函数是一次函数的特例．
【注】一般地，我们把函数𝑦= 𝑐(𝑐是常数) 叫做常值函数，常值函数不为一次函数或正
比例函数.
典型例题8
（1）下列函数中，是一次函数的有（ ）
①𝑦= 𝑥；②𝑦= 3
𝑥；③𝑦= 𝑥
5 +6；④𝑦=
1
𝑥−1；⑤𝑦= 3𝑥2．
A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个
（2）若函数𝑦= (𝑚+3)𝑥2𝑚+1 +4𝑥−2(𝑥≠0) 是关于𝑥的一次函数，则𝑚=
．
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第
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讲
函
数
的
概
念
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函
数
40
知识梳理
【一次函数的图象】
1. 形状：一次函数的图象是一条直线．一次函数𝑦= 𝑘𝑥+𝑏的图象也称为直线𝑦= 𝑘𝑥
+𝑏，这时，我们把一次函数的解析式称为这一直线的表达式．画一次函数𝑦= 𝑘𝑥+𝑏
(𝑘≠0) 的图象时，只需描出图象上的两个点，然后过这两点作一条直线即可．
2. 直线的截距：一条直线与𝑦轴的交点的纵坐标叫做这条直线在𝑦轴上的截距，简称
直线的截距．一般地，直线𝑦= 𝑘𝑥+𝑏(𝑘≠0) 与𝑦轴的交点坐标是(0，𝑏)．直线𝑦=
𝑘𝑥+𝑏(𝑘≠0) 的截距是𝑏．
3. 直线的斜率：由于𝑘值的不同，直线相对于𝑥轴正方向的倾斜程度不同，这个常数
𝑘称为直线的斜率．
|𝑘| 的值越大，函数图象越陡峭；
|𝑘| 的值越小，函数图象越平缓。
【一次函数的性质】
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1
讲
函
数
的
概
念
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次
函
数
41
典型例题9
（1）直线𝑦= −𝑥+1 经过的象限是（ ）
A. 第一、二、三象限
B. 第一、二、四象限
C. 第二、三、四象限
D. 第一、三、四象限
（2）已知一次函数𝑦= 𝑘𝑥+2𝑘+3 的图象不经过第三象限，则𝑘的取值范围为
．
（3）若一次函数𝑦= (𝑚−3)𝑥+5 的函数值𝑦随𝑥的增大而增大，则（ ）
A. 𝑚> 0
B. 𝑚< 0
C. 𝑚> 3
D. 𝑚< 3
（4）已知点(−2,𝑦1)、(−1,𝑦2)、(1,𝑦3) 都在直线𝑦= −3𝑥+𝑏上，则𝑦1、𝑦2、𝑦3 的值的大小
关系是（ ）
A. 𝑦1 > 𝑦2 > 𝑦3
B. 𝑦1 < 𝑦2 < 𝑦3
C. 𝑦3 > 𝑦1 > 𝑦2
D. 𝑦3 < 𝑦1 < 𝑦2
典型例题10
（1）一次函数𝑦= 𝑘𝑥−𝑘(𝑘< 0) 的图象大致是（ ）
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讲
函
数
的
概
念
与
一
次
函
数
42
（2）若实数𝑎，𝑏满足𝑎𝑏< 0，且𝑎< 𝑏，则函数𝑦= 𝑎𝑥+𝑏的图象可能是（ ）
典型例题11
三个一次函数𝑦= 𝑘1𝑥+𝑏1、𝑦= 𝑘2𝑥+𝑏2、𝑦= 𝑘3𝑥+𝑏3 在同一直角坐标系中的图象如图所
示，分别为直线𝑙1、𝑙2、𝑙3，则𝑘1、𝑘2、𝑘3 的大小关系是
．
典型例题12
已知𝑎𝑏𝑐≠0，并且𝑎+𝑏
𝑐
= 𝑏+𝑐
𝑎
= 𝑐+𝑎
𝑏
= 𝑝，则直线𝑦= 𝑝𝑥+𝑝一定过
象限．
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1
讲
函
数
的
概
念
与
一
次
函
数
43
随堂练习
随堂练习1
下列四个图象中，不是表示某一函数图象的是（ ）．
随堂练习2
函数𝑦= √2−𝑥
𝑥−3 的自变量𝑥的取值范围是（ ）．
A. 𝑥⩽2
B. 𝑥⩾2 且𝑥≠3
C. 𝑥⩾2
D. 𝑥⩽2 且𝑥≠3
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1
讲
函
数
的
概
念
与
一
次
函
数
44
随堂练习3
在同一条道路上，甲车从𝐴地到𝐵地，乙车从𝐵地到𝐴地，乙先出发，图中的折线段是表
示甲、乙两车之间的距离𝑦(千米) 与行驶时间𝑥(小时) 的函数关系的图象，下列说法错误
的是（ ）
A. 乙先出发的时间为0.5 小时
B. 甲的速度是80 千米/小时
C. 甲出发0.5 小时后两车相遇
D. 甲到𝐵地比乙到𝐴地早1
12 小时
随堂练习4
已知函数𝑦= (𝑚+1)𝑥2−|𝑚| +𝑛+4．
（1）当𝑚，𝑛为何值时，此函数是一次函数？
（2）当𝑚，𝑛为何值时，此函数是正比例函数？
随堂练习5
如果一次函数𝑦= 𝑘𝑥+𝑏的图象经过第一象限，且与𝑦轴负半轴相交，那么（ ）
A. 𝑘> 0，𝑏> 0
B. 𝑘> 0，𝑏< 0
C. 𝑘< 0，𝑏> 0
D. 𝑘< 0，𝑏< 0
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讲
函
数
的
概
念
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函
数
45
数学探索
火眼识金币
100 个盒子，每个盒子里有100 枚硬币。这些硬币外观一模一
样，但是只有一个盒子里有100 个金币，其他盒子里的硬币都是伪
金币. 已知金币每个重1.01 克，伪金币每个重1 克. 只有一个秤，
但只能称一次重量. 怎么判断真金币在哪个盒子里?
第一个盒子里拿一个币，第二个盒子拿两个... 称出来多多少
克重量，金币就在哪个盒子
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讲
函
数
的
概
念
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次
函
数
46
“三精”习题课
第 讲
1
函数的概念与一次函数
典型例题1
创新班专属
一段笔直的公路𝐴𝐶长20km，途中有一处休息点𝐵，𝐴𝐵长15km，甲、乙两名长跑爱好者
同时从点𝐴出发，甲以15km/h 的速度匀速跑至点𝐵，原地休息半小时后，再以10km/h
的速度匀速跑至终点𝐶；乙以12km/h 的速度匀速跑至终点𝐶，下列选项中，能正确反映
甲、乙两人出发后2h 内运动路程𝑦(km) 与时间𝑥(h) 之间函数关系的图象是（ ）
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讲
函
数
的
概
念
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一
次
函
数
47
典型例题2
创新班专属
图1 中的摩天轮可抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度𝑦(m) 与旋转时间𝑥(min) 之间
的关系如图2 所示．
（1）根据图2 填表：
（2）变量𝑦是𝑥的函数吗？为什么？
（3）根据图中的信息，请写出摩天轮的直径．
睛
点
法
方
函数图象与应用题结合一定要观察清楚横轴与纵轴代表的意义
对实际模型有较为清晰的认识后可以事半功倍完成题目
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讲
函
数
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概
念
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次
函
数
48
典型例题3
创新班专属
（1）如图，一次函数𝑦= (𝑚−1)𝑥−3 的图象分别与𝑥轴、𝑦轴的负半轴相交于点𝐴，𝐵，则
𝑚的取值范围是（ ）
A. 𝑚> 1
B. 𝑚< 1
C. 𝑚< 0
D. 𝑚> 0
（2）已知点(−1,𝑦1)，(4,𝑦2) 在一次函数𝑦= 3𝑥−2 的图象上，则𝑦1，𝑦2，0 的大小关系是
（ ）
A. 0 < 𝑦1 < 𝑦2
B. 𝑦1 < 0 < 𝑦2
C. 𝑦1 < 𝑦2 < 0
D. 𝑦2 < 0 < 𝑦1
睛
点
法
方
确定好系数与图象的关系
如：与两轴的交点位置、图象的变化趋势
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讲
函
数
的
概
念
与
一
次
函
数
49
典型例题4
创新班专属
已知一次函数𝑦1 = 𝑎𝑥+𝑏和𝑦2 = 𝑏𝑥+𝑎(𝑎≠𝑏)，则函数𝑦1 和𝑦2 的图象可能是（ ）
睛
点
法
方
此类题如果四个选项分类讨论来做复杂程度较大
可以考虑观察函数特点，再根据系数的正负性判断正确选项
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第2 讲
次函数解析
一次函数解析式与图象
变换
模块一
一次函数解析式
模块二
一次函数图象变换
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第
2
讲
一
次
函
数
解
析
式
与
图
象
变
换
52
本讲概述
模块
知识模型
对应例题
对应随堂练习
一次函数解析式
待定系数法求解析式
例1-3
随堂练习1
多种解析式的求法
例4、5
随堂练习2
一次函数图象变换
平移变换
例6、7
对称与旋转
例8、9
随堂练习3
绝对值与翻折
例10
随堂练习4
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第
2
讲
一
次
函
数
解
析
式
与
图
象
变
换
53
模块一
模块一
一次函数解析式
知识梳理
【待定系数法求解析式】
对于解析式形式确定的函数，一般采用待定系数法求解析式：
1. 设：设解析式为𝑦= 𝑘𝑥+𝑏(𝑘≠0)；
2. 列：代入已知条件，列出关于待定系数𝑘、𝑏的方程组；
3. 解：解方程组，得到𝑘、𝑏的值；
4. 代：将解出的𝑘、𝑏值代入𝑦= 𝑘𝑥+𝑏，从而得到完整的函数解析式．
典型例题1
（1）已知一次函数的图象经过(−2,3) 和(2,4) 两点．求这个一次函数的解析式．
（2）求过点𝐴(1,−4)，且与直线2𝑥+3𝑦+5 = 0 平行的直线方程．
典型例题2
已知一次函数𝑦= 𝑚𝑥+𝑛，当−2 ⩽𝑥⩽5 时，对应的𝑦值为0 ⩽𝑦⩽7，求一次函数的解析式．
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2
讲
一
次
函
数
解
析
式
与
图
象
变
换
54
典型例题3
求经过点𝐴(1,2)，并且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程．
知识梳理
【直线的三种表达式】
1. 斜截式
适用条件：函数一次项系数𝑘、函数在𝑦轴上的点的纵坐标𝑏
表达形式：𝑦= 𝑘𝑥+𝑏
2. 点斜式
适用条件：函数一次项系数𝑘、直线上任一点的坐标(𝑥1,𝑦1)
表达形式：𝑦−𝑦1 = 𝑘(𝑥−𝑥1)
3. 两点式
适用条件：直线上不同的两点(𝑥1,𝑦1) 及(𝑥2,𝑦2)
表达形式：𝑦−𝑦1
𝑦2 −𝑦1
= 𝑥−𝑥1
𝑥2 −𝑥1
典型例题4
（1）经过点(−1,1)，一次项系数是直线𝑦= √2
2 𝑥−2 一次项系数的2 倍的直线方程是
（ ）．
A. 𝑥= −1
B. 𝑦= 1
C. 𝑦−1 = √2(𝑥+1)
D. 𝑦−1 = 2√2(𝑥+1)
（2）若一个一次函数的图象经过点𝐵(3,−1)，同时一次项系数为√2，请写出该函数的解
析式．
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第
2
讲
一
次
函
数
解
析
式
与
图
象
变
换
55
典型例题5
已知两个一次函数的图象分别经过（1）与（2）中的两点，请写出两个函数的解析式．
（1）𝑃1 (2,1)，𝑃2 (0,−3)，
（2）𝐶(−4,−5)，𝐷(2,7)．
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第
2
讲
一
次
函
数
解
析
式
与
图
象
变
换
56
模块二
模块二
一次函数图象变换
知识梳理
【系数与直线的位置关系】
直线𝑙1:𝑦= 𝑘1𝑥+𝑏1 与直线𝑙2:𝑦= 𝑘2𝑥+𝑏2(𝑘1 ≠0，𝑘2 ≠0) 的位置关系:
重合:𝑘1 = 𝑘2，𝑏1 = 𝑏2
平行:𝑘1 = 𝑘2，𝑏1 ≠𝑏2
垂直:𝑘1𝑘2 = −1
【直线的平移】
1. 当直线𝑦= 𝑘𝑥+𝑏向左(右) 平移𝑚(𝑚> 0) 个单位时，
可得:𝑦= 𝑘(𝑥+𝑚)+𝑏(𝑦= 𝑘(𝑥−𝑚)+𝑏)；
2. 当直线𝑦= 𝑘𝑥+𝑏向上(下) 平移𝑛(𝑛> 0) 个单位时，
可得:𝑦= 𝑘𝑥+𝑏+𝑛(𝑦= 𝑘𝑥+𝑏−𝑛)．
由一次函数平移的特征可以发现，如果两个一次函数的图象互相平行，则𝑘值相等；反
之亦然．
口诀：左加右减自变量，上加下减常数项.
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第
2
讲
一
次
函
数
解
析
式
与
图
象
变
换
57
典型例题6
（1）把函数𝑦= −2𝑥+4 的图象向上平移2 个单位，所得函数图象的解析式为
；
把函数𝑦= −2𝑥+4 的图象向下平移4 个单位，所得函数图象的解析式为
．
（2）把函数𝑦= −2𝑥+4 的图象向右平移2 个单位，所得函数图象的解析式为
；
把函数𝑦= −2𝑥+4 的图象向左平移3 个单位，所得函数图象的解析式为
．
典型例题7
如图，在平面直角坐标系中，点𝐴的坐标为(2，0)，点𝐵的坐标为(0，1)，将线段𝐴𝐵平移，
使其一个端点到𝐶(3，2)，则平移后另一端点的坐标为
．
知识梳理
直线的对称
1. 直线𝑦= 𝑘𝑥+𝑏关于𝑥轴对称后得到的直线解析式为𝑦= −𝑘𝑥−𝑏；
2. 直线𝑦= 𝑘𝑥+𝑏关于𝑦轴对称后得到的直线解析式为𝑦= −𝑘𝑥+𝑏；
3. 直线𝑦= 𝑘𝑥+𝑏关于原点对称后得到的直线解析式为𝑦= 𝑘𝑥−𝑏．
直线的旋转
直线的旋转问题一般都是用点的旋转来处理，然后进一步转化为全等三角形解决．
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第
2
讲
一
次
函
数
解
析
式
与
图
象
变
换
58
典型例题8
（1）函数𝑦= −𝑥+2 的图象关于𝑦轴对称，得到的函数图象的解析式为
．
（2）函数𝑦= 2𝑥−3 的图象先关于𝑦轴对称，再关于𝑥轴对称，得到函数的解析式为
．
典型例题9
（1）直线𝑦= −2
3𝑥+2 关于点(1,−1) 对称的直线解析式为
.
（2）将直线𝑦= 2𝑥−3 绕原点顺时针旋转90∘所得的直线的解析式为
．
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第
2
讲
一
次
函
数
解
析
式
与
图
象
变
换
59
知识梳理
【含一个绝对值的一次函数】
1. 𝑦= |𝑥| 的图象是以原点为顶点的“𝑉”字形折线，函数在顶点处取得最小值0，无最大值
2. 𝑦= |𝑘𝑥+𝑏| 的图象是以(−𝑏
𝑘，0) 为顶点的“𝑉”字形折线，函数在顶点取最小值0，无最
大值
3. 𝑦= 𝑘|𝑥+𝑏| 的图象，𝑘> 0 时，以(-𝑏，0 ) 为顶点的“V”字折线，函数在顶点取最小值0，
无最大值，𝑘< 0 时，以(-𝑏，0 ) 为顶点的倒“V”字折线，函数在顶点取最大值0，无最小值
【含两个绝对值的一次函数】
对于𝑦= 𝑎|𝑥−𝑚|+𝑏|𝑥−𝑛|(𝑎𝑏≠0) 的图象是以(𝑚，𝑦𝑚)，(𝑛，𝑦𝑛)，为折点的折线，当𝑎+𝑏> 0
时，两端向上无限延伸，故最小值为𝑚𝑖𝑛{𝑦𝑚，𝑦𝑛}，当𝑎+𝑏< 0 时，两端向下无限延伸，故最
大值为𝑚𝑎𝑥{𝑦𝑚，𝑦𝑛}，当𝑎+𝑏= 0 时，两端平行，故有最大值和最小值，最大值为𝑚𝑎𝑥{𝑦𝑚，
𝑦𝑛}，最小值为𝑚𝑖𝑛{𝑦𝑚，𝑦𝑛}．
【注】
对于含绝对值的一次函数，要去得到每一段的函数解析式，可以利用零点分段法去掉绝
对值，分段得到每一段函数解析式，我们就很容易就能得到含绝对值的一次函数图象了．
典型例题10
（1）在直角坐标系中画函数𝑦= ∣1
2𝑥−2∣的图象，并讨论当𝑥的取值从小到大变化时，函
数值的变化有什么规律．
（2）求𝑓(𝑥) = |2𝑥+6|−4|𝑥+1|+|𝑥−1| 的最大值．
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第
2
讲
一
次
函
数
解
析
式
与
图
象
变
换
60
随堂练习
随堂练习1
过点𝑃(−1,3) 且平行于直线𝑥−2𝑦+3 = 0 的直线方程为（ ）
A. 2𝑥+𝑦−1 = 0
B. 2𝑥+𝑦−5 = 0
C. 𝑥+2𝑦−5 = 0
D. 𝑥−2𝑦+7 = 0
随堂练习2
已知直线𝑦= 𝑘𝑥+𝑏(𝑘≠0) 与直线𝑦= −1
3𝑥平行，且截距为5，那么这条直线的解析式为
．
随堂练习3
若直线𝑦= 𝑘𝑥(𝑘≠0) 经过点(1，3)，则该直线关于𝑥轴对称的直线的解析式为
．
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第
2
讲
一
次
函
数
解
析
式
与
图
象
变
换
61
随堂练习4
作函数𝑦= |3−𝑥|+|𝑥−1| 的图象，并根据图象求出函数的最小值．
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第
2
讲
一
次
函
数
解
析
式
与
图
象
变
换
62
数学探索
推理
有个学生请教数学家逻辑学有什么用.
数学家问他：
“两个人从烟囱里爬出去，一个满脸烟灰，一个干
干净净，你认为哪一个该去洗澡？”
“当然是脏的那个。”学生说。
“不对。脏的那个看见对方干干净净，以为自己也不会脏，哪里
会去洗澡？”
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第
2
讲
一
次
函
数
解
析
式
与
图
象
变
换
63
“三精”习题课
第 讲
2
一次函数解析式与图象变换
典型例题1
创新班专属
求证：点𝐴(2,2)、𝐵(−1, 7
2)、𝐶(12,−3) 在一条直线上．
睛
点
法
方
考虑各个点组成的直线解析式是否一致
典型例题2
创新班专属
已知直线𝑙∶𝑦= 2𝑥+ 4，直线𝑙1 与直线𝑙关于点𝑀(1,0) 对称，则直线𝑙1 的表达式为
（ ）．
A. 𝑦= −2𝑥+4
B. 𝑦= 2𝑥−6
C. 𝑦= −2𝑥−4
D. 𝑦= 2𝑥−8
睛
点
法
方
两点确定一条直线，所以只需要找到两个点关于𝑀(1,0) 的对称点后求得解析式即
可
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第
2
讲
一
次
函
数
解
析
式
与
图
象
变
换
64
典型例题3
创新班专属
把直线𝑦= −𝑥−3 向上平移𝑚个单位，与直线𝑦= 2𝑥+4 的交点在第二象限，则𝑚的取值
范围是
．
睛
点
法
方
先利用𝑚得到新的函数表达式，联立得到交点后对横纵坐标正负性进行分析
典型例题4
创新班专属
作出函数𝑦= ||𝑥+1|−|𝑥−2|| 的图象并求𝑦的取值范围．
睛
点
法
方
考虑零点后分段进行图象绘制
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第3 讲
函数与方
函数与方程不等式
模块一
函数与方程
模块二
函数与不等式
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第
3
讲
函
数
与
方
程
不
等
式
68
本讲概述
模块
知识模型
对应例题
对应随堂练习
函数与方程
函数上点与方程解的关系
例1-3
随堂练习1
利用函数图象解方程应用题
例4
限定条件下求解析式
例5
随堂练习2
函数与不等式
函数上点与不等式解集的关系
例6
随堂练习3
利用函数图象解不等式
例7、8
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第
3
讲
函
数
与
方
程
不
等
式
69
模块一
模块一
函数与方程
知识梳理
【函数观点看一次方程】
典型例题1
已知方程𝑘𝑥+𝑏= 0 的解是𝑥= 3，则函数𝑦= 𝑘𝑥+𝑏的图象可能是（ ）
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第
3
讲
函
数
与
方
程
不
等
式
70
典型例题2
（1）已知直线𝑦= 𝑎𝑥+𝑏(𝑎≠0) 经过点𝐴(−3,0) 和点𝐵(0,2)，那么关于𝑥的方程𝑎𝑥+𝑏
= 0 的解是（ ）
A. 𝑥= −3
B. 𝑥= −1
C. 𝑥= 0
D. 𝑥= 2
（2）如图，已知函数𝑦= 2𝑥+𝑏和𝑦= 𝑎𝑥−3 的图象交于点𝑃(−2,−5)，根据图象可得方程
2𝑥+𝑏= 𝑎𝑥−3 的解是
．
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第
3
讲
函
数
与
方
程
不
等
式
71
典型例题3
如图，直线𝑙1：𝑦= 𝑥+1 与直线𝑙2：𝑦= 𝑚𝑥+𝑛相交于点𝑃(1，𝑏)．
（1）求𝑏的值．
（2）解关于𝑥，𝑦的方程组
⎧{{
⎨{{⎩
𝑦= 𝑥+1
𝑦= 𝑚𝑥+𝑛
，请你直接写出它的解；
（3）直线𝑙3 ∶𝑦= 𝑛𝑥+𝑚是否也经过点𝑃？请说明理由．
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第
3
讲
函
数
与
方
程
不
等
式
72
典型例题4
𝐴，𝐵两地相距60km，甲、乙两人从两地出发相向而行，甲先出发，图中𝑙1，𝑙2 表示两人离
𝐴地的距离𝑠(km) 与时间𝑡(h) 的关系，请结合图象解答下列问题：
（1）表示乙离𝐴地的距离与时间关系的图象是
(填𝑙1 或𝑙2)；
甲的速度是
km/h，乙的速度是
km/h；
（2）甲出发多少小时两人恰好相距5km？
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第
3
讲
函
数
与
方
程
不
等
式
73
典型例题5
（1）已知直线𝑦= 2𝑥−𝑘+3 和直线𝑦= 3𝑥+2𝑘交于第一象限，且𝑘是非负整数，求𝑘的
值及交点坐标．
（2）在平面直角坐标系中，横纵坐标都是整数的点称为整点，设𝑘为整数，当直线𝑦= 𝑥−
3 与𝑦= 𝑘𝑥+𝑘的交点为整点时，求此时𝑘的值．
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第
3
讲
函
数
与
方
程
不
等
式
74
模块二
模块二
函数与不等式
知识梳理
【函数观点看一次不等式】
典型例题6
如图，直线𝑦= 𝑘𝑥+𝑏经过𝐴(−2，−1) 和𝐵(−3，0) 两点，则满足不等式组1
2𝑥< 𝑘𝑥+𝑏< 0
的𝑥的取值范围为
．
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第
3
讲
函
数
与
方
程
不
等
式
75
典型例题7
对于三个数𝑎，𝑏，𝑐，用min(𝑎，𝑏，𝑐) 表示这三个数中最小的数，例如，min(−1，2，3) = −1,
min(−1，2，𝑎) =
⎧{{
⎨{{⎩
𝑎(𝑎⩽−1)
−1(𝑎> −1)
，那么观察图象，可得到min(𝑥+1，2−𝑥，2𝑥−1) 的最大值
为
．
典型例题8
如图，根据图中信息解答下列问题：
（1）关于𝑥的不等式𝑎𝑥+𝑏> 0 的解集是
．
（2）关于𝑥的不等式𝑚𝑥+𝑛< 1 的解集是
．
（3）当𝑥为何值时，𝑦1 ⩽𝑦2？
（4）当𝑥为何值时，0 < 𝑦2 < 𝑦1？
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第
3
讲
函
数
与
方
程
不
等
式
76
随堂练习
随堂练习1
在平面直角坐标系内，一次函数𝑦= 𝑘1𝑥+𝑏1 与𝑦= 𝑘2𝑥+𝑏2 的图象如图所示，则关于𝑥，𝑦
的方程组
⎧{{
⎨{{⎩
𝑦−𝑘1𝑥= 𝑏1
𝑦−𝑘2𝑥= 𝑏2
的解是
．
随堂练习2
如图，直线𝑙：𝑦= −2
3𝑥−3 与直线𝑦= 𝑎(𝑎为常数) 的交点在第四象限，则𝑎的取值范围是
（ ）
A. 1 < 𝑎< 2
B. −2 < 𝑎< 0
C. −3 ⩽𝑎⩽−2
D. 𝑎< −3
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第
3
讲
函
数
与
方
程
不
等
式
77
随堂练习3
如图，经过点𝐵(−2,0) 的直线𝑦= 𝑘𝑥+𝑏与直线𝑦= 4𝑥+2 相交于点𝐴(−1,−2)，则不等式
4𝑥+2 < 𝑘𝑥+𝑏< 0 的解集为
．
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第
3
讲
函
数
与
方
程
不
等
式
78
数学探索
聪明的商人
一位犹太商人来到一家银行贷款部，对贷款部经理说：
“我想
借点钱。”
“您想借多少呢？”
“1 美元，可以吗？”贷款部经理十分诧
异，此人穿戴十分阔绰，为什么只借1 美元呢？也许，他在试探银
行的工作质量和服务态度。于是他立即十分高兴的说：
“当然可以，
只要有担保，无论多少都可以照办。”犹太商人从豪华的皮包里取
出一大堆股票、国债、债券等放在经理的办公桌上。经理清点了一
下对犹太商人说：
“先生，总共是50 万美元，做担保足够了。不过您
真的只想借1 美元吗？”
“是的，我只需要1 美元。”犹太商人办完一
切手续便欲离去。这时银行行长从后面追上来，有些窘迫的说：
“先
生，我实在弄不明白，您拥有50 万美元的家当，为什么还要借1 美
元呢？”
“我到这里来是想做一笔生意的，可是随身携带的这些票券
很碍事。租金库的租金昂贵，但我贷1 美元，一年只还1 美分，便将
这些东西以担保的形式寄存在贵行，这多合算啊。”聪明的犹太商
人从事情的反面进行思考，把由原先存钱的思路变成了借钱思路，
将保存品变成了抵押品，同样达到保管票券的目的，却付出很少。
我们在学习数学时，有时一些问题从正面进行思考往往繁琐，
甚至束手无策。此时，如能改变方向，逆向思考，往往会收到意想不
到的效果。
逆向思维是一种积极的具有创造性的思维方式，这种思维方
式在数学中屡见不鲜。如整式的乘法和因式分解；去括号与添括号
等。
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第
3
讲
函
数
与
方
程
不
等
式
79
“三精”习题课
第 讲
3
函数与方程不等式
典型例题1
创新班专属
在平面直角坐标系中，线段𝐴𝐵的端点坐标为𝐴(−2，4)，𝐵(4，2)．直线𝑦= 𝑘𝑥−2 与线段
𝐴𝐵总有交点，求𝑘的取值范围．
睛
点
法
方
考虑极端情况：与线段两个端点刚好相交
得到两种情况的系数取值后再得结果
典型例题2
创新班专属
如图，函数𝑦= 2𝑥和𝑦= 𝑎𝑥+4 的图象交于点𝐴(𝑚,3)，求不等式组
⎧{{
⎨{{⎩
𝑎𝑥+4 ⩽2𝑥
𝑎𝑥+4 > 0
的解集．
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第
3
讲
函
数
与
方
程
不
等
式
80
典型例题3
创新班专属
阅读：我们知道，在数轴上，𝑥= 1 表示一个点，而在平面直角坐标系中，𝑥= 1 表示一条直
线；我们还知道，以二元一次方程2𝑥−𝑦+1 = 0 的所有解为坐标的点组成的图形就是一次
函数𝑦= 2𝑥+1 的图象，它也是一条直线，如图(1) 所示．观察图(1) 可以得出：直线𝑥= 1
与直线𝑦= 2𝑥+1 的交点𝑃的坐标(1,3) 就是方程组
⎧{{
⎨{{⎩
𝑥= 1
2𝑥−𝑦+1 = 0
的解，所以这个方
程组的解为
⎧{{
⎨{{⎩
𝑥= 1
𝑦= 3
；在平面直角坐标系中，𝑥⩽1 表示一个平面区域，即直线𝑥= 1 以及
它左侧的部分，如图(2) 所示；𝑦⩽2𝑥+1 也表示一个平面区域，即直线𝑦= 2𝑥+1 以及它
下方的部分，如图(3) 所示．
（1）在下面的平面直角坐标系中，用作图象的方法求出方程组
⎧{{
⎨{{⎩
𝑥= −1
𝑦= −2𝑥+2
的解．
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第
3
讲
函
数
与
方
程
不
等
式
81
（2）在下面的平面直角坐标系中，用阴影表示
⎧{{{{
⎨{{{{⎩
𝑥⩾−2
𝑦⩽−2𝑥+2
𝑦⩾0
所围成的区域．
（3）如图所示，表示阴影区域的不等式组为：
．
睛
点
法
方
此类问题大同小异，是高中线性规划知识的前身，考虑图象的位置与大小的关系，同
时要学会正反双向思考
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11220323470172
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