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文
内
容
2
“
”
很开心能见到你，本书将带领你进入全新的领域。在过去
的学习中，无论你是卓越还是略有失意，此刻将是新的征途的开
始。你是否已准备好谱写新的辉煌？
在这里，你会知道许多著名数学家的趣事。你也会揭开数学
神秘的面纱，了解数学之美。
大数学家高斯说：“数学是一切科学的皇后。”如果说物理是
上帝的游戏，那数学就是上帝的游戏规则。数学是通往星辰大海
的秘钥，是国防科技的护盾，是我们脚下这片土地的未来。华罗
庚说过：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之
变，生物之谜，日用之繁，数学无处不在。”
现在的你，肯定已迫不及待想要扬帆起航。但睿智的你肯定
也明白，学习的事，容不得半点含糊。
亲爱的同学：
第一，凡事预则立，不预则废。
第二，认真听课，积极互动。认真做笔记，总结解题方法、技巧。
第三，温故而知新，可以为师矣。不忘温习，方得始终。
第四，及时完成随堂练习。今朝有题今朝做，明朝又有明朝事。
第五，整理错题，学会总结。聪明人知错就改，糊涂人有错就瞒。
最后，青春的帆已扬起，只待你乘风破浪，勇往直前。
对于初中直播课学习，给你一些建议：
序言
华
罗
庚
高
斯
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3
1
心形函数曲线
π
5
2
3
4
金字塔
有趣的黄金分割线
对称美
古希腊哲学家毕达哥拉斯曾说过：“美的线条和其他一切
美的形体都必须有对称的形式。”对称本身即具有和谐的
整体美。
早在南北朝时期，大数学家祖冲之就利用割圆术将圆周
率π精算到小数点后七位，直到15世纪，阿拉伯数学
家阿尔·卡西才打破了这一纪录。
金字塔，是古埃及人智慧代表的巅峰之作。早在古希腊
时期，几何学家泰勒斯就可以根据投影与相似三角形定
理，测量出金字塔的高度。
0.618比1，著名的“黄金分割比”。意大利著名画家
达·芬奇笔下的《蒙娜丽莎》就多次应用黄金分割比，
蒙娜丽莎之所以越看越美，就是因为她的脸型、身材均
符合黄金矩形。
笛卡尔给公主的信中，只有一道函数公式：r=a(1-sinθ）。
而极具浪漫色彩的是，当公主把函数图象画出来后，一颗饱满
的心跃然纸上。这就是著名的“心形线”。
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内
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5
前言
希望学教研团队
亲爱的同学：
当你翻开这本书的时候，你又开始了一段新的学习之旅。
本书由希望学教研团队编写而成。团队有多年的教研沉淀，致力于为同学们
提供小学、初中和高中全学科的课外有益补充，培养学生分析问题和自主解决问
题的能力。锻炼思维，开拓视野，由“知识型”向“能力型”转化。
下面我们将向你介绍本书的诞生过程：
1、对标教材和课程标准建立课程大纲
希望学教研团队根据教育部审定的最新中学教材，选取重难点模块，收集各
地区题目，精心敲定教学大纲。
2、依据大数据、编撰高标准
①依托多年教研沉淀，精品题库、讲义素材、课件切片等四大库教研基建，
为讲义编撰提供优质素材；
②希望学大数据核心算法定位学习中的薄弱环节；
③百人教研团队，历经1000+小时，严格按照大纲目录进行编写，三轮审核
三轮校对。
3、三审三校
初稿经由希望学教研中心内部一审，学科产品、教学中心、主讲老师集中二
审，外部专家专业三审后进入校对环节。
由编者一次精校；教研中心资深教研员二次精校；排版团队三次精校。只有
经过全面的三审三校，这本书才能发送给我们的用户！
4、排版
编撰与审校结束后，会安排专业团队进行排版印刷。模板和风格由专业设计
师进行设计，并不断更新迭代，紧跟审美风向标，提升可读性。由供应部门统一
调配和发货，这本书就会到达你的手中啦！
路漫漫其修远兮，吾将上下而求索！接下来的每一天，我们都会在你的见证
下不断精进，不断成长。
未来，希望学也会继续承担起用科技推动教育进步的重任，不断致力于教育
资源的均衡发展。伴随着你的成长，见证着你的成功，每天进步一点点，一起做
更好的自己！
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【相交线与平行线】 能熟练运用平行线
的性质和判定来解决平
行线的证明、平行线间
的动点问题；
【数域拓展课】 实数易错概念辨析
【数形思想课】 平面直角坐标系中的面
积问题
【数形思想课】 平面直角坐标系中的规
律探究
【运算能力课】 含参二元一次方程（组）
【运算能力课】 含参不等式（组）
【实际应用课】 列方程、不等式解应用
题
【动态探究课】 平面直角坐标系中的动
点问题
【运算能力课】 有理数的运算技巧
【数形思想课】 有理数与数轴结合、分
类讨论、绝对值的代数
意义与几何意义
【动态探究课】 数轴上的动态问题
【运算能力课】 整式与整体思想、巧解
一元一次方程与含参一
元一次方程
【实际应用课】 方案选择与阶梯计价
【几何思维课】 线与角的分类讨论、动
态问题
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目录
近年期末真题精讲（一）
1
模块一
实数复习
2
模块二
方程与不等式复习
4
模块三
拓广探索
6
【习题课】近年期末真题精讲（一）
10
近年期末真题精讲（二）
13
模块一
几何复习
14
模块二
代几综合复习
17
【习题课】近年期末真题精讲（二）
23
第1 讲
全等经典模型——“四大
名辅”
27
模块一
角平分线的性质
30
模块二“四大名辅”
32
模块三
拓广探索
37
【习题课】“四大名辅”
41
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第2 讲
全等经典模型——三垂直
模型
45
模块一
三垂直型全等
48
模块二
构造三垂直型全等
52
模块三
拓广探索
56
【习题课】三垂直模型
61
第3 讲
全等经典模型——手拉手
模型
65
模块一“手拉手”型全等
68
模块二
拓广探索
74
【习题课】手拉手模型
78
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近年期末真题
近年期末真题精讲（一）
模块一
实数复习
模块二
方程与不等式复习
模块三
拓广探索
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年
期
末
真
题
精
讲
（一）
2
模块一
模块一
实数复习
知识引入
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近
年
期
末
真
题
精
讲
（一）
3
知识模型
实数的概念
典型例题1
下列说法中正确的有（ ）．
①在1 和3 之间的无理数有且只有√2，√3，√5，√7 这4 个；
②近似数6.25 所表示的准确数𝑎的范围是：6.245 ⩽𝑎< 6.255；
③绝对值不大于4 的整数共有7 个；
④算术平方根是其本身的数是1 和0；
⑤𝜋
2 是分数；
⑥√31−1 的值在4 和5 之间．
A. 5 个
B. 4 个
C. 3 个
D. 2 个
知识模型
二次根式“非负性”
典型例题2
已知𝑥，𝑦为实数，且满足√1+𝑥−(𝑦−1)√1−𝑦= 0，那么𝑥2011 −𝑦2011 =
．
知识模型
整数部分与小数部分
典型例题3
−√17+1 的小数部分是
．
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近
年
期
末
真
题
精
讲
（一）
4
模块二
模块二
方程与不等式复习
知识模型
不等式解集求参数的范围
典型例题4
若不等式𝑥+5
2
> −𝑥−7
2 的解都能使不等式(𝑚−6)𝑥< 2𝑚+1 成立，则实数𝑚的取值范
围是
．
知识模型
整数解问题
典型例题5
已知关于𝑥的不等式组
⎧{{
⎨{{⎩
𝑥−𝑚> 0
2𝑥−𝑛⩽0
的整数解是−2，−1，0，1，2，3，4，若𝑚，𝑛为整数，则
关于𝑚+𝑛的值是
．
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年
期
末
真
题
精
讲
（一）
5
知识模型
新定义
典型例题6
规定：关于𝑥，𝑦的二元一次方程𝑎𝑥+𝑏𝑦= 𝑐有无数组解，每组解记为𝑀(𝑥,𝑦)，称𝑀(𝑥,𝑦)
为“团结点”，将这些“团结点”连接得到一条直线，称这条直线是“团结点”的“合作线”，答
下列问题：
（1）已知𝐴(−1,3)，𝐵(4,−1)，𝐶(1,2)，则是“合作线”2𝑥+3𝑦= 8 的“团结点”的是
．
（2）设𝑃(1,−1)，𝑄(4,4) 是“合作线”(𝑚2 +1)𝑥+𝑛𝑦= 8 的两个“团结点”，求关于𝑥，𝑦的
二元一次方程(1
4𝑚2 +4)𝑥+(𝑚2 +𝑛+5)𝑦= 26 的正整数解．
典型例题7
对𝑥，𝑦，𝑧定义一种新运算𝐹，规定：𝐹(𝑥,𝑦,𝑧) = 𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐𝑧，其中𝑎，𝑏为非负数．
（1）当𝑐= 0 时，若𝐹(1,−1,2) = 1，𝐹(3,1,1) = 7，则𝑎的值是
，𝑏的值是
．
（2）若𝐹(3,2,1) = 5，𝐹(1,2,−3) = 1，设𝐻= 𝑎+2𝑏+𝑐，则𝐻的取值范围是
．
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年
期
末
真
题
精
讲
（一）
6
模块三
模块三
拓广探索
典型例题8
使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的
“理想解”，例：已知方程2𝑥−3 = 1 与不等式𝑥+ 3 > 0，当𝑥= 2 时，2𝑥−3 = 2 × 2 −3 = 1，
𝑥+3 = 2+3 = 5 > 0，同时成立，则称“𝑥= 2”是方程2𝑥−3 = 1 与不等式𝑥+3 > 0 的“理想
解”．
（1）已知①𝑥−1
2 > 3
2，②2(𝑥+3) < 4，③𝑥−1
2
< 1，试判断方程2𝑥−5 = 1 与不等式
（只填序号）有“理想解”．
（2）若
⎧{{
⎨{{⎩
𝑥= 𝑥0
𝑦= 𝑦0
是方程𝑥−2𝑦= 4 与不等式组
⎧{{
⎨{{⎩
𝑥> 3
𝑦< 1
的“理想解”，求𝑥0 +2𝑦0 的取
值范围．
（3）当实数𝑎、𝑏、𝑐满足𝑎< 𝑏< 𝑐且𝑎+𝑏+𝑐= 0 时，𝑥= 𝑚恒为方程𝑎𝑥= 𝑐与不等式组
⎧{{
⎨{{⎩
𝑥−1 ⩾𝑡+𝑠
2𝑥−2 ⩽𝑡+ 𝑠
2
的“理想解”，求𝑡，𝑠需满足的条件．
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期
末
真
题
精
讲
（一）
7
随堂练习
随堂练习1
已知正数𝑥的两个不相等的平方根分别是2𝑎−14 和𝑎+2；𝑏+1 的立方根为−3；𝑐是√5
的整数部分．
（1）求2𝑎−𝑏+5𝑐的平方根．
（2）若𝑎+√3𝑐= 𝑚+𝑛，其中𝑚为整数，0 < 𝑛< 1，求(𝑛+3)(6−𝑚) 的值．
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期
末
真
题
精
讲
（一）
8
随堂练习2
对于实数𝑎和𝑏，定义新运算“𝑇”，𝑇(𝑎,𝑏) = 𝑚𝑎+ 𝑛𝑏（其中𝑚，𝑛均为非零常数），例如：
𝑇(20,21) = 20𝑚+21𝑛．
（1）若𝑇(1,2) = 2，𝑇(2,3) = 5，求𝑚，𝑛的值．
（2）关于𝑥的方程𝑇(𝑥+1,1−2𝑥) = 3 有无数解，求𝑚，𝑛的值．
（3）已知“𝑇”运算满足
⎧{{
⎨{{⎩
𝑇(−1,1) = 𝑡−1
𝑇(6,2) = 3𝑡
，且𝑡< 𝑛< 8𝑚，若𝑚为整数，求𝑚的值．
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年
期
末
真
题
精
讲
（一）
9
数学探索
概率与生活
公元1052 年4 月，侬智高起兵反宋。当朝皇帝宋仁宗决定派
遣大将狄青去平定叛乱。当时路途艰险，军心不稳，狄青取胜的把
握不大。为了鼓舞士气，狄青便设坛拜神，说：
“这次出兵讨伐叛军，
胜败没有把握，是吉是凶，只好由神明决定了。是吉的话，那我随便
掷100 个铜钱，神明保佑，正面定然会全部朝上；只要有一个背面
朝上，那我们就难以制敌，只好回朝了。”
官员们诚惶诚恐，劝道：
“大将军，运气再好，100 个铜钱，总不
会个个正面朝上，如果有背面朝上，岂不动摇军心？如果不战而回，
那更是违抗圣旨。请大将军三思而行！”此时的狄青已是胸有成竹，
叫心腹拿来一袋铜钱，在千万人的注视下，举手一挥，把铜钱全部
抛向空中，100 个铜钱居然鬼使神差地全部朝上。顿时，全军欢呼，
声音响彻山野。由于士兵个个认定神灵护佑，战斗中奋勇争先，仅
一次战役，就收回了失地，大功告成。
那么，那100 个铜钱究竟是怎么回事呢？原来，狄青那100 个
铜钱正反两面都是正面的图案，使得正面朝上的机会为100％，从
而鼓舞了士气，大军获胜。
以上只是古人利用简单的概率知识获利。其实，从古到今，概
率就与人们的生活息息相关。
同学们可以想想生活中还有什么事情是与概率相关的呢？
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期
末
真
题
精
讲
（一）
10
“三精”习题课
近年期末真题精讲（一）
典型例题1
频率：较高
对𝑥，𝑦定义一种新的运算𝑀(𝑥,𝑦) =
⎧{{
⎨{{⎩
𝑎𝑥+𝑏𝑦,(𝑥⩾𝑦)
𝑎𝑦+𝑏𝑥,(𝑥< 𝑦)
（其中𝑎≠0），例如：𝑀(1,1) =
𝑎×1+𝑏×1 = 𝑎+𝑏．已知𝑀(2,1) = 0，𝑀(0,2) = 2．
（1）求𝑎，𝑏的值．
（2）若关于正数𝑝的不等式组
⎧{{
⎨{{⎩
𝑀(3𝑝,𝑝) > 4
𝑀(−1−3𝑝,−2𝑝) ⩽𝑛
恰好有5 个整数解，求𝑛的取值
范围．
（3）是否存在𝑥2，𝑦2，使得𝑀(𝑥2,𝑦2)+𝑀(𝑦2,𝑥2) = 0 成立？若存在，请求出𝑥2，𝑦2 的数
量关系；若不存在，请说明理由．
睛
点
法
方
①思路：新定义问题—“照猫画虎”
整数解问题，先解不等式组，再确定范围，最后代入等号验证是否成立
②总结：不等式组整数解问题，先解不等式组，得解集，确定整数解，确定参数范围，
最后判断取等与否
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期
末
真
题
精
讲
（一）
11
典型例题2
频率：较高
【发现问题】已知
⎧{{
⎨{{⎩
3𝑥+2𝑦= 4⋯①
2𝑥−𝑦= 6⋯②
，求4𝑥+5𝑦的值．
方法一：先解方程组，得出𝑥，𝑦的值，再代入，求出4𝑥+5𝑦的值．
方法二：将①×2−②，求出4𝑥+5𝑦的值．
【提出问题】怎样才能得到方法二呢？
【分析问题】
为了得到方法二，可以将①×𝑚+②×𝑛，可得(3𝑚+2𝑛)𝑥+(2𝑚−𝑛)𝑦= 4𝑚+6𝑛．
令等式左边(3𝑚+2𝑛)𝑥+(2𝑚−𝑛)𝑦= 4𝑥+5𝑦，
比较系数可得
⎧{{
⎨{{⎩
3𝑚+2𝑛= 4
2𝑚−𝑛= 5
，求得
⎧{{
⎨{{⎩
𝑚= 2
𝑛= −1
．
【解决问题】
（1）请你选择一种方法，求4𝑥+5𝑦的值．
（2）对于方程组
⎧{{
⎨{{⎩
3𝑥+2𝑦= 4
2𝑥−𝑦= 6
，利用方法二的思路，求7𝑥−7𝑦的值．
（3）【迁移应用】
已知
⎧{{
⎨{{⎩
1 ⩽2𝑥+𝑦⩽2
4 ⩽3𝑥+2𝑦⩽7
，求𝑥−3𝑦的范围．
睛
点
法
方
①思路：
“照猫画虎”，先设系数，再展开对比得到系数
②总结：待定系数法，先设系数，再列方程，最后求解得系数
③易错：不等号两边同时乘以一个负数，不等号的方向要发生变化
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近年期末真题
近年期末真题精讲（二）
模块一
几何复习
模块二
代几综合复习
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末
真
题
精
讲
（二）
14
模块一
模块一
几何复习
知识引入
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末
真
题
精
讲
（二）
15
知识模型
相交线与平行线
典型例题1
已知：直线𝐸𝐹分别与直线𝐴𝐵，𝐶𝐷相交于点𝐹，𝐸，𝐸𝑀平分∠𝐹𝐸𝐷，𝐴𝐵//𝐶𝐷，𝐻，𝑃分别
为直线𝐴𝐵和线段𝐸𝐹上的点．
（1）如图1，𝐻𝑀平分∠𝐵𝐻𝑃，若𝐻𝑃⊥𝐸𝐹，求∠𝑀的度数．
（2）如图2，𝐸𝑁平分∠𝐻𝐸𝐹交𝐴𝐵于点𝑁，𝑁𝑄⊥𝐸𝑀于点𝑄，当𝐻在直线𝐴𝐵上运动
（不与点𝐹重合）时，探究∠𝐹𝐻𝐸与∠𝐸𝑁𝑄的关系，并证明你的结论．
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期
末
真
题
精
讲
（二）
16
典型例题2
已知直线𝐸𝐹分别交直线𝐴𝐵、𝐶𝐷于点𝐺、𝐻，∠1+∠2 = 180∘．
（1）如图1，求证：𝐴𝐵//𝐶𝐷．
（2）如图2，𝑀、𝑁分别为直线𝐴𝐵、𝐶𝐷上的点，𝑃、𝑄为直线𝐴𝐵、𝐶𝐷之间不同的两点，
∠𝑃𝑀𝑄= 2∠𝐵𝑀𝑄，∠𝑃𝑁𝑄= 2∠𝐷𝑁𝑄，∠𝑀𝑄𝑁= 30∘．
①求证：𝑃𝑀⊥𝑃𝑁．
②如图3，∠𝐸𝐺𝐵的平分线𝐺𝐿与∠𝑀𝑃𝑁的邻补角∠𝑀𝑃𝑇的平分线𝑃𝐿交于点𝐿，
∠𝑃𝑁𝐻的平分线𝑁𝐾交𝐸𝐹于点𝐾．若∠𝐸𝐾𝑁+∠𝐺𝐿𝑃= 170∘，直接写出∠𝑃𝑁𝐻−
∠𝐸𝐻𝐷的大小．
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末
真
题
精
讲
（二）
17
模块二
模块二
代几综合复习
知识模型
坐标系中的面积
典型例题3
如图1，在平面直角坐标系中，线段𝐴𝐵的两个端点坐标分别为𝐴(0,2)、𝐵(−1,0)，将线段
𝐴𝐵向右平移𝑚个单位长度，得到线段𝐶𝐷，点𝐶的坐标为(2,0)，连接𝐴𝐷．
（1）求𝑚的值和点𝐷的坐标．
（2）如图2，延长𝐷𝐶交𝑦轴于点𝐸，点𝑃是线段𝑂𝐸上的一个动点，连接𝐵𝑃、𝐶𝑃，猜想
∠𝐴𝐵𝑃、∠𝐵𝑃𝐶与∠𝐸𝐶𝑃之间的数量关系，并说明理由．
（3）点𝑄为坐标轴上一点，请直接写出所有使得△𝑄𝐵𝐷的面积与四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积
相等的点𝑄的坐标，并把求其中一个点𝑄的坐标的过程写出来．
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期
末
真
题
精
讲
（二）
18
典型例题4
如图，在平面直角坐标系中，𝐴𝐵//𝐶𝐷//𝑥轴，𝐵𝐶//𝐷𝐸//𝑦轴，且𝐴𝐵= 𝐶𝐷= 5cm，𝑂𝐴= 7cm，
𝐷𝐸= 4cm，动点𝑃从点𝐴出发，沿𝐴→𝐵→𝐶路线向点𝐶运动；动点𝑄从点𝑂出发，沿
𝑂→𝐸→𝐷路线向点𝐷运动．𝑃，𝑄两点同时出发，其中一点到达终点时，运动停止．连接
𝑃𝑂，𝑃𝑄，其中𝑃𝑄不垂直于𝑥轴．
（1）直接写出𝐵，𝐷两点的坐标．
（2）点𝑃，𝑄开始运动后，∠𝐴𝑂𝑃，∠𝑂𝑃𝑄，∠𝑃𝑄𝐸三者之间存在何种数量关系，请说明理
由．
（3）若动点𝑃，𝑄分别以每秒1cm 和每秒2cm 的速度运动，则运动时间为多少秒时，三
角形𝑂𝑃𝑄的面积为25cm2．
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末
真
题
精
讲
（二）
19
随堂练习
随堂练习1
如图，𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶交𝐵𝐶于点𝐷，点𝐹在𝐵𝐴的延长线上，点𝐸在线段𝐶𝐷上，𝐸𝐹与
𝐴𝐶相交于点𝐺，∠𝐵𝐷𝐴+∠𝐶𝐸𝐺= 180∘．
（1）𝐴𝐷与𝐸𝐹平行吗？请说明理由．
（2）若点𝐻在𝐹𝐸的延长线上，且∠𝐸𝐷𝐻= ∠𝐶，则∠𝐹与∠𝐻相等吗，请说明理由．
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真
题
精
讲
（二）
20
随堂练习2
如图1，在平面直角坐标系中，𝐴(𝑎,0)，𝐶(𝑏,2)，且满足(𝑎+2)2 + √𝑏−2 = 0，过点𝐶作
𝐶𝐵⊥𝑥轴于点𝐵．
（1）求△𝐴𝐵𝐶的面积．
（2）若过𝐵作𝐵𝐷//𝐴𝐶交𝑦轴于𝐷，且𝐴𝐸、𝐷𝐸分别平分∠𝐶𝐴𝐵、∠𝑂𝐷𝐵，如图2，求
∠𝐴𝐸𝐷的度数．
（3）在𝑦轴上是否存在点𝑃，使得△𝐴𝐵𝐶和△𝐴𝐶𝑃的面积相等？若存在，求出𝑃点坐
标：若不存在，请说明理由．
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末
真
题
精
讲
（二）
21
数学探索
斐波那契数列和斐波那契螺旋线
斐波那契数列（Fibonacci sequence），因数学家莱昂纳多⋅斐
波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这
样一个数列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上，斐波那契数
列以如下递推的方法定义：
F(1)=1，F(2)=1, F(n)=F(n - 1)+F(n - 2)。
而斐波那契数列又称黄金分割数列，这又是为什么呢？
斐波那契数列作为一个完全是自然数的数列，通项公式却是
用无理数来表达的。而且当n 趋向于无穷大时，前一项与后一项的
比值越来越逼近黄金分割0.618（或者说后一项与前一项的比值的
小数部分越来越逼近0.618）
1÷1 = 1
1÷2 = 0.5
2÷3 = 0.666⋯
3÷5 = 0.6
5÷8 = 0.625
…
144÷233 = 0.618025⋯
…
46368÷75025 = 0.6180339886⋯
…
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年
期
末
真
题
精
讲
（二）
22
数学探索
证明：
对于𝑎𝑘+𝑎𝑘+1 = 𝑎𝑘+2，两边同时除以𝑎𝑘+1 得到：
𝑎𝑘
𝑎𝑘+1
+1 = 𝑎𝑘+2
𝑎𝑘+1
①
若
𝑎𝑛
𝑎𝑛+1
的极限存在，设其为𝑥，则有：
lim
𝑛→∞
𝑎𝑛
𝑎𝑛+1
= lim
𝑛→∞
𝑎𝑛+1
𝑎𝑛+2
= 𝑥
代入①中得到分式方程：
𝑥+1 = 1
𝑥
∵𝑥> 0
∴𝑥= √5−1
2
所以
𝑎𝑛
𝑎𝑛+1
的极限为黄金分割比。
斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋”，是根据斐波那契数列画出
来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线的图案，是自然
界最完美的经典黄金比例。作图规则是在以斐波那契数为边的正
方形拼成的长方形中画一个90 度的扇形，连起来的弧线就是斐波
那契螺旋线。
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近
年
期
末
真
题
精
讲
（二）
23
“三精”习题课
近年期末真题精讲（二）
典型例题1
频率：较高
在平面直角坐标系中，有点𝐴(𝑎,0)，𝐵(0,𝑏)，若𝑎，𝑏满足(𝑎+𝑏−7)2 +|𝑎−2𝑏+5| = 0．
（1）求点𝐴，𝐵的坐标．
（2）点𝐶(𝑚,𝑛) 在直线𝐴𝐵上，且𝐴𝐶= 2𝐵𝐶，求𝑚．
（3）将点𝐴向右平移2 个单位到点𝐷，过点𝐷的直线𝑙与𝑥轴垂直，点𝑃为直线𝑙上
一动点，且1 < 𝑆△𝐴𝐵𝑃⩽5﹐则点𝑃的纵坐标𝑦𝑃的取值范围是
．
睛
点
法
方
①思路：把该三角形的面积转化为有一边在坐标轴上的三角形面积的和差
②总结：把不好计算的图形的面积转化为其他几何图形面积的和差关系
学完一次函数后，可用“铅垂线”法解决
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近
年
期
末
真
题
精
讲
（二）
24
典型例题2
频率：高
“一带一路”让中国和世界更紧密，
“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了𝐴，
𝐷两座可旋转探照灯，假定主道路是平行的，即𝑃𝑄//𝐶𝑁，𝐴，𝐵为𝑃𝑄上两点，𝐴𝐷平分
∠𝐶𝐴𝐵交𝐶𝑁于点𝐷，𝐸为𝐴𝐷上一点，连接𝐵𝐸，𝐴𝐹平分∠𝐵𝐴𝐷交𝐵𝐸于点𝐹．
（1）若∠𝐶= 20∘，则∠𝐸𝐴𝑃=
．
（2）作𝐴𝐺交𝐶𝐷于点𝐺，且满足∠1 = 1
3∠𝐴𝐷𝐶，当∠2 + 6
5∠𝐺𝐴𝐹= 180∘时，试说明：
𝐴𝐶//𝐵𝐸．
（3）在（1）问的条件下，探照灯𝐴、𝐷照出的光线在铁路所在平面旋转，探照灯𝐴射出的
光线𝐴𝐶以每秒5 度的速度逆时针转动，探照灯𝐷射出的光线𝐷𝑁以每秒15 度的
速度逆时针转动，𝐷𝑁转至射线𝐷𝐶后立即以相同速度回转，若它们同时开始转动，
设转动时间为𝑡秒，当𝐷𝑁回到出发时的位置时同时停止转动，则在转动过程中，当
𝐴𝐶与𝐷𝑁互相平行或垂直时，请直接写出此时𝑡的值．
睛
点
法
方
①思路：找到时间𝑡的临界值，划分不同的时间范围，分析运动情况，进行分类讨论
②总结：找到临界值，分段分析运动情况，进行分类讨论
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第1 讲
全等经典模型—
全等经典模型——
“四大名辅”
模块一
角平分线的性质
模块二“四大名辅”
模块三
拓广探索
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第
1
讲
“四
大
名
辅”
28
本讲概述
模块
知识模型
难度
对应例题
对应随堂练习
角平分线的性
质与判定
角平分线的性质
★★★
例1
角平分线的判定
★★★
例2
“四大名辅”
“四大名辅”
★★★★★
例3-8
随堂练习1-4
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第
1
讲
“四
大
名
辅”
29
知识引入
角平分线常常是寻找和构造全等三角形的重要线索.
已知∠𝐴𝑂𝐵及其平分线𝑂𝐶上一点𝑃，通过点𝑃分别作垂线或平行线，你能得到几
种类型的全等三角形？他们分别有什么特点？
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第
1
讲
“四
大
名
辅”
30
模块一
模块一
角平分线的性质
知识梳理
角平分线的性质和判定
1. 角平分线的性质
2. 角平分线的判定
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第
1
讲
“四
大
名
辅”
31
知识模型
角平分线的性质
典型例题1
如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90∘，𝐴𝐶= 𝐵𝐶，𝐴𝐷是∠𝐶𝐴𝐵的平分线，𝐷𝐸⊥𝐴𝐵于点𝐸，若𝐴𝐵
= 6cm，则△𝐷𝐸𝐵的周长是（ ）．
A. 5cm
B. 6cm
C. 7cm
D. 8cm
知识模型
角平分线的判定
典型例题2
已知，如图，𝑂𝐶是∠𝐴𝑂𝐵内部的一条射线，𝑃是射线𝑂𝐶上任意一点，𝑃𝐷⊥𝑂𝐴，𝑃𝐸⊥𝑂𝐵，
下列条件中：①∠𝐴𝑂𝐶= 1
2∠𝐴𝑂𝐵；②𝑃𝐷= 𝑃𝐸；③𝑂𝐷= 𝑂𝐸；④∠𝐷𝑃𝑂= ∠𝐸𝑃𝑂，能判定𝑂𝐶
是∠𝐴𝑂𝐵的角平分线的有（ ）．
A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个
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第
1
讲
“四
大
名
辅”
32
模块二
模块二
“四大名辅”
知识梳理
利用角平分线构造对称型全等
1. 角分线垂两边
作垂线：由角平分线上的一点向角的一边或两边作垂线构造全等三角形.
如图：△𝑃𝑂𝑁≌△𝑃𝑂𝑀（
）
2. 角分线垂中间
延长：当题设有角平分线及与角平分线垂直的线段时，可延长这条线段与角的另一边
相交构造全等三角形.
如图：△𝑃𝑂𝑁≌△𝑃𝑂𝑀（
）
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第
1
讲
“四
大
名
辅”
33
3. 角分线分两边
截取：以角平分线为轴将图形翻折，在角平分线两侧构造全等三角形.
如图：△𝑃𝑂𝑁≌△𝑃𝑂𝑀（
）
4. 角分线遇平行线，等腰三角形必呈现.
如图，已知：∠1=∠2，𝐶𝐷//𝑂𝐵交𝑂𝐴于点𝐷，则：Δ𝑂𝐷𝐶为等腰三角形．
知识模型
角分线垂两边
典型例题3
如图，𝑃𝐴⊥𝑂𝑁于点𝐴，𝑃𝐴= 2，点𝑄是射线𝑂𝑀上的一个动点，𝑃𝑄的最小值为2，若
∠𝑀𝑂𝑁= 50∘，求∠𝑂𝑃𝐴的度数．
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第
1
讲
“四
大
名
辅”
34
典型例题4
四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐶平分∠𝐵𝐴𝐷，𝐶𝐸⊥𝐴𝐵于𝐸，∠𝐴𝐷𝐶+∠𝐸𝐵𝐶= 180∘，求证：2𝐴𝐸=
𝐴𝐵+𝐴𝐷．
典型例题5
如图所示，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶= 90∘，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶于𝐷，∠𝐵𝐶𝐴的角平分线交𝐴𝐷于𝐹，交𝐴𝐵
于𝐸，𝐹𝐺//𝐵𝐶交𝐴𝐵于𝐺．𝐴𝐸= 4，𝐴𝐵= 14，则𝐵𝐺=
．
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第
1
讲
“四
大
名
辅”
35
知识模型
角分线垂中间
典型例题6
如图，已知△𝐴𝐵𝐶的面积为12，𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，且𝐴𝐷⊥𝐵𝐷于点𝐷，则△𝐴𝐷𝐶的面积是
（ ）．
A. 10
B. 8
C. 6
D. 4
典型例题7
如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶= 90∘，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐵𝐸平分∠𝐴𝐵𝐶，𝐶𝐸⊥𝐵𝐸．求证：𝐶𝐸= 1
2𝐵𝐷．
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第
1
讲
“四
大
名
辅”
36
知识模型
角分线分两边
典型例题8
如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵= 60∘，𝐴𝐷，𝐶𝐸分别平分∠𝐵𝐴𝐶，∠𝐵𝐶𝐴．𝐴𝐷，𝐶𝐸交于点𝐹．则
（ ）．
A. 𝐴𝐸+𝐶𝐷> 𝐴𝐷
B. 𝐴𝐸+𝐶𝐷= 𝐴𝐷
C. 𝐴𝐸+𝐶𝐷> 𝐴𝐶
D. 𝐴𝐸+𝐶𝐷= 𝐴𝐶
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第
1
讲
“四
大
名
辅”
37
模块三
模块三
拓广探索
典型例题9
如图，𝐵𝐷是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，𝐴𝐵= 𝐴𝐶．若∠𝐵𝐴𝐶= 100∘，求证：𝐵𝐶= 𝐵𝐷+𝐴𝐷．
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第
1
讲
“四
大
名
辅”
38
随堂练习
随堂练习1
如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90∘，𝐴𝐵= 10，𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的一条角平分线．若𝐶𝐷= 3，则
△𝐴𝐵𝐷的面积为
．
随堂练习2
如图，𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶中∠𝐵𝐴𝐶的角平分线，𝐷𝐸⊥𝐴𝐵于点𝐸，𝑆△𝐴𝐵𝐶= 7，𝐷𝐸= 2，𝐴𝐵= 4，
则𝐴𝐶长是
．
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第
1
讲
“四
大
名
辅”
39
随堂练习3
如图，△𝐴𝐵𝑂的边𝑂𝐵在𝑥轴上，∠𝐴= 2∠𝐴𝐵𝑂，𝑂𝐶平分∠𝐴𝑂𝐵，若𝐴𝐶= 2，𝑂𝐴= 3，则点
𝐵的坐标为
．
随堂练习4
如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐸是∠𝐴𝐵𝐶的角平分线，𝐴𝐷⊥𝐵𝐸，垂足为𝐷．求证：∠2 = ∠1+∠𝐶．
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第
1
讲
“四
大
名
辅”
40
数学探索
火眼识金币
100 个盒子，每个盒子里有100 枚硬币。这些硬币外观一模一
样，但是只有一个盒子里有100 个金币，其他盒子里的硬币都是伪
金币. 已知金币每个重1.01 克，伪金币每个重1 克. 只有一个秤，
但只能称一次重量. 怎么判断真金币在哪个盒子里?
第一个盒子里拿一个币，第二个盒子拿两个... 称出来多多少
克重量，金币就在哪个盒子
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第
1
讲
“四
大
名
辅”
41
“三精”习题课
第 讲
1
“四大名辅”
典型例题1
频率：高
如图，𝐷是∠𝐸𝐴𝐹平分线上的一点，若∠𝐴𝐶𝐷+∠𝐴𝐵𝐷= 180∘，请说明𝐶𝐷= 𝐷𝐵的理由．
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第
1
讲
“四
大
名
辅”
42
典型例题2
频率：较高
如图所示，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶= 3∠𝐶，𝐴𝐷是∠𝐵𝐴𝐶的平分线，𝐵𝐸⊥𝐴𝐷于𝐸，求证：𝐵𝐸
= 1
2(𝐴𝐶−𝐴𝐵)．
典型例题3
频率：较高
如图所示，△𝐴𝐵𝐶的两条外角平分线𝐴𝑃，𝐶𝑃相交于点𝑃，𝑃𝐻⊥𝐴𝐶于点𝐻，且∠𝐴𝐵𝐶= 60
∘，
则下面的结论：①∠𝐴𝐵𝑃= 30
∘；②∠𝐴𝑃𝐶= 60
∘；③△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝑃𝐶；④𝑃𝐴//𝐵𝐶；⑤∠𝐴𝑃𝐻=
∠𝐵𝑃𝐶，其中正确结论的个数有（ ）．
A. 2 个
B. 3 个
C. 4 个
D. 5 个
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第
1
讲
“四
大
名
辅”
43
典型例题4
频率：中
如图，点𝑃是△𝐴𝐵𝐶三个内角的角平分线的交点，连接𝐴𝑃、𝐵𝑃、𝐶𝑃，∠𝐴𝐶𝐵= 60∘，且𝐶𝐴
+𝐴𝑃= 𝐵𝐶，则∠𝐶𝐴𝐵的度数为
．
睛
点
法
方
角平分线四大模型
①角分线垂两边；②角分线垂中间；③角分线分两边；④角分线与平行线.
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第2 讲
全等经典模型—
全等经典模型——
三垂直模型
模块一
三垂直型全等
模块二
构造三垂直型全等
模块三
拓广探索
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第
2
讲
三
垂
直
模
型
46
本讲概述
模块
知识模型
难度
对应例题
对应随堂练习
三垂直型
三垂直型
★★★★
例1-3
随堂练习
1、2、3、5
构造三垂直型
构造三垂直型
★★★★★
例4-7
随堂练习4
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第
2
讲
三
垂
直
模
型
47
知识引入
小马和小季在蹦床大挑战中遇到了三垂直型，那你会用三垂直型解决全等问题吗？
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第
2
讲
三
垂
直
模
型
48
模块一
模块一
三垂直型全等
知识梳理
1. 三垂直型：
如图，若𝐴𝐵= 𝐴𝐷，𝐵𝐶⊥𝐶𝐸，𝐷𝐸⊥𝐶𝐸，𝐴𝐵⊥𝐴𝐷，则△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐴𝐸．
2. 三垂直其他推广图形
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第
2
讲
三
垂
直
模
型
49
知识模型
三垂直型全等
典型例题1
已知：如图，𝐴𝐶= 𝐶𝐷，∠𝐵= ∠𝐸= 90∘，𝐴𝐶⊥𝐶𝐷，𝐵、𝐶、𝐸在同一条直线上，则不正确的结论
是（ ）．
A. ∠𝐴与∠𝐷互为余角
B. ∠𝐴= ∠2
C. △𝐴𝐵𝐶≌△𝐶𝐸𝐷
D. ∠1 = ∠2
典型例题2
（1）如图，∠𝐴𝐶𝐵= 90∘，𝐴𝐶= 𝐵𝐶，𝐴𝐷⊥𝐶𝐸，𝐵𝐸⊥𝐶𝐸，若𝐴𝐷= 3，𝐵𝐸= 1，则𝐷𝐸=（ ）.
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
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第
2
讲
三
垂
直
模
型
50
（2）如图，𝐴𝐵⊥𝐶𝐷，且𝐴𝐵= 𝐶𝐷，𝐶𝐸⊥𝐴𝐷于𝐸，𝐵𝐹⊥𝐴𝐷于𝐹，若𝐶𝐸= 6，𝐵𝐹= 3，𝐸𝐹= 2，
则𝐴𝐷的长为（ ）．
A. 7
B. 6
C. 5
D. 4
知识模型
三垂直型全等及拓展
典型例题3
某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．
（1）如图1，已知：在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶= 90∘,𝐴𝐵= 𝐴𝐶，直线𝑙经过点𝐴,𝐵𝐷⊥直线𝑙,𝐶𝐸⊥
直线𝑙，垂足分别为点𝐷、𝐸．证明：𝐷𝐸= 𝐵𝐷+𝐶𝐸．
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第
2
讲
三
垂
直
模
型
51
（2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将(1) 中的条件
改为：在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐷、𝐴、𝐸三点都在直线𝑙上，并且有∠𝐵𝐷𝐴= ∠𝐴𝐸𝐶=
∠𝐵𝐴𝐶= 𝛼，其中𝛼为任意锐角或钝角．请问结论𝐷𝐸= 𝐵𝐷+𝐶𝐸是否成立？若成立，
请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过
△𝐴𝐵𝐶的边𝐴𝐵、𝐴𝐶向外作正方形𝐴𝐵𝐷𝐸和正方形𝐴𝐶𝐹𝐺,𝐴𝐻是𝐵𝐶边上的高，延
长𝐻𝐴交𝐸𝐺于点𝐼，求证：𝐼是𝐸𝐺的中点．
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第
2
讲
三
垂
直
模
型
52
模块二
模块二
构造三垂直型全等
知识模型
构造三垂直型全等
典型例题4
如图所示，𝐴𝐸⊥𝐴𝐵，且𝐴𝐸= 𝐴𝐵，𝐵𝐶⊥𝐶𝐷，𝐵𝐶= 𝐶𝐷，点𝐸、𝐵、𝐷到直线𝑙的距离分别为6、
3、4，计算图中实线所围成的图形的面积𝑆是
．
典型例题5
已知：点𝐴，𝐷在𝐵𝐶同侧，𝐴𝐵⊥𝐵𝐶且𝐴𝐵= 𝐵𝐶，𝐴𝑃⊥𝑃𝐷且𝐴𝑃= 𝑃𝐷．点𝑃在射线𝐵𝐶
上，若∠𝑃𝐷𝐶= 20∘，则∠𝐴=
．
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第
2
讲
三
垂
直
模
型
53
典型例题6
若𝐴(0,𝑎)，𝐵(𝑏,0)，且𝑎、𝑏满足√𝑎−2−√−(2−𝑏)2 = 0．
（1）求𝐴、𝐵的坐标．
（2）如图，点𝐷在线段𝐴𝑂上运动（不与点𝐴、𝑂重合），以𝐵𝐷为腰向下作等腰直角
△𝐵𝐷𝐸，∠𝐷𝐵𝐸= 90∘，连接𝐴𝐸交𝐵𝑂于𝑀，求𝐴𝐷
𝑂𝑀的值．
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第
2
讲
三
垂
直
模
型
54
典型例题7
如图，在三角形𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶= 90∘，𝐴𝐵= 𝐵𝐶，点𝐴，𝐵分别在坐标轴上．
（1）如图①，若点𝐶的横坐标为−3，点𝐵的坐标为
．
（2）如图②，若𝑥轴恰好平分∠𝐵𝐴𝐶，𝐵𝐶交𝑥轴于点𝑀，过点𝐶作𝐶𝐷垂直𝑥轴于𝐷
点，试猜想线段𝐶𝐷与𝐴𝑀的数量关系，并说明理由．
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第
2
讲
三
垂
直
模
型
55
（3）如图③，𝑂𝐵= 𝐵𝐹，∠𝑂𝐵𝐹= 90∘，连接𝐶𝐹交𝑦轴于𝑃点，点𝐵在𝑦轴的正半轴上
运动时，△𝐵𝑃𝐶与△𝐴𝑂𝐵的面积比是否变化？若不变，直接写出其比值，若变化，直
接写出取值范围．
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第
2
讲
三
垂
直
模
型
56
模块三
模块三
拓广探索
典型例题8
如图，已知𝐴(6,0)，𝑂𝐶∶𝑂𝐴= 1 ∶3，若𝑀(2,4)、点𝑃是𝑥轴上𝐴点右侧一动点，𝐴𝐻⊥𝑃𝑀
于点𝐻，在𝑃𝑀上取点𝐺，使𝐻𝐺= 𝐻𝐴，连接𝐶𝐺，当点𝑃在点𝐴右侧运动时，∠𝐶𝐺𝑀的
度数是否发生改变？若不变，请求其值；若改变，请说明理由．
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第
2
讲
三
垂
直
模
型
57
随堂练习
随堂练习1
如图，𝐴𝐶⊥𝐵𝐶于𝐶，𝐷𝐸⊥𝐴𝐶于𝐸，𝐴𝐷⊥𝐴𝐵于𝐴，𝐵𝐶= 𝐴𝐸．若𝐴𝐵= 5，则𝐴𝐷=
．
随堂练习2
“石门福地”小区有一块直角梯形花园，测量𝐴𝐵= 20 米，∠𝐷𝐸𝐶= 90∘，∠𝐸𝐶𝐷= 45∘，则该
花园面积为
平方米．
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第
2
讲
三
垂
直
模
型
58
随堂练习3
如图，点𝐴，𝐶，𝐷，𝐸在Rt△𝑀𝑂𝑁的边上，∠𝑀𝑂𝑁= 90∘，𝐴𝐸⊥𝐴𝐵且𝐴𝐸= 𝐴𝐵，𝐵𝐶⊥𝐶𝐷且
𝐵𝐶= 𝐶𝐷，𝐵𝐻⊥𝑂𝑁于点𝐻，𝐷𝐹⊥𝑂𝑁于点𝐹，𝑂𝑀= 12，𝑂𝐸= 6，𝐵𝐻= 3，𝐷𝐹= 4，𝐹𝑁= 8，
图中阴影部分的面积为
．
随堂练习4
如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶= 90∘，𝐴𝐵= 𝐵𝐶，点𝐵的坐标为(−1,0)，点𝐶的坐标为(1,4)，
则点𝐴的坐标为（ ）．
A. (5,2)
B. (4,2)
C. (−5,2)
D. (−4,2)
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第
2
讲
三
垂
直
模
型
59
随堂练习5
如图，𝐶𝐷⊥𝐷𝐸于𝐷,𝐴𝐵⊥𝐷𝐵于𝐵,𝐶𝐷= 𝐵𝐸,𝐴𝐵= 𝐷𝐸．
求证：𝐶𝐸⊥𝐴𝐸．
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第
2
讲
三
垂
直
模
型
60
数学探索
推理
有个学生请教数学家逻辑学有什么用.
数学家问他：
“两个人从烟囱里爬出去，一个满脸烟灰，一个干
干净净，你认为哪一个该去洗澡？”
“当然是脏的那个。”学生说。
“不对。脏的那个看见对方干干净净，以为自己也不会脏，哪里
会去洗澡？”
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第
2
讲
三
垂
直
模
型
61
“三精”习题课
第 讲
2
三垂直模型
典型例题1
频率：高
如图，在平面直角坐标系中，已知点𝐴(3,0)，𝐵(0,4)，如果将线段𝐴𝐵绕点𝐵顺时针旋转
90∘至𝐶𝐵，那么点𝐶的坐标是
．
典型例题2
频率：较高
如图，△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐶= 10，𝐴𝐻⊥𝐵𝐶于点𝐻，𝐴𝐻= 𝐵𝐻，𝑆△𝐴𝐵𝐶= 6，过点𝐶作𝐶𝐷⊥𝐶𝐴且
𝐶𝐷= 𝐶𝐴，𝐷𝐸⊥𝐵𝐶于点𝐸，则𝐸𝐻=
．
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第
2
讲
三
垂
直
模
型
62
典型例题3
频率：较高
已知：如图，𝐴𝐷//𝐵𝐶，△𝐴𝐵𝐸和△𝐶𝐷𝐹是等腰三角形，∠𝐸𝐴𝐵= ∠𝐹𝐷𝐶= 90∘，𝐴𝐷= 2，
𝐵𝐶= 5，求四边形𝐴𝐸𝐷𝐹的面积．
典型例题4
频率：较高
已知：△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90∘，𝐴𝐶= 𝐵𝐶，过点𝐴作𝐴𝐷⊥𝐴𝐸，且𝐴𝐸= 𝐴𝐷．
（1）如图1，当点𝐷在线段𝐵𝐶上时，过点𝐸作𝐸𝐻⊥𝐴𝐶于𝐻，连接𝐷𝐸．求证：𝐸𝐻= 𝐴𝐶．
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第
2
讲
三
垂
直
模
型
63
（2）如图2，当点𝐷在𝐶𝐵延长线上时，连接𝐵𝐸交𝐴𝐶的延长线于点𝑀．
求证：𝐵𝑀= 𝐸𝑀．
（3）在（2）的条件下，若𝐴𝐶= 7𝐶𝑀，求𝑆△𝐴𝐷𝐵
𝑆△𝐴𝐸𝑀
的值．
睛
点
法
方
三垂直型全等
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第3 讲
全等经典模型—
全等经典模型——
手拉手模型
模块一“手拉手”型全等
模块二
拓广探索
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第
3
讲
手
拉
手
模
型
66
本讲概述
模块
知识模型
难度
对应例题
对应随堂练习
“手拉
手”型
全等
等边三角形中的
“手拉手”
★★★★★
例1-3
随堂练习3
等腰直角三角形
中的“手拉手”
★★★★
例4、5
随堂练习2
一般等腰三角形
中的“手拉手”
★★★★★
例6、7
正方形中的“手
拉手”
★★★★★
例8
随堂练习1
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第
3
讲
手
拉
手
模
型
67
知识引入
生活中的手拉手是这样的，你知道数学里的手拉手是什么样的吗？
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第
3
讲
手
拉
手
模
型
68
模块一
模块一
“手拉手”型全等
知识梳理
“手拉手”型全等
1. 基本型及常见变形
（1）等边三角形
可得到结论：△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐸𝐶；𝐵𝐷= 𝐸𝐶；∠𝐵𝑂𝐸= ∠𝐶𝑂𝐷= 60∘.
（2）等腰直角三角形
可得到结论：△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐸𝐶；𝐵𝐷= 𝐸𝐶；∠𝐵𝑂𝐸= ∠𝐶𝑂𝐷= 90∘.
（3）等腰三角形
可得到结论：：△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐸𝐶；𝐵𝐷= 𝐸𝐶；∠𝐵𝑂𝐸= ∠𝐶𝑂𝐷= 𝛼.
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第
3
讲
手
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型
69
（4）正方形
可得到结论：△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐸𝐶；𝐵𝐷= 𝐸𝐶；∠𝐵𝑂𝐸= ∠𝐶𝑂𝐷= 90∘.
知识模型
“手拉手”型全等-等边三角形
典型例题1
如图所示，将△𝑀𝐶𝐵绕点𝐶旋转至△𝐴𝐶𝑁，𝐴𝑁交𝑀𝐶于点𝐷，𝑀𝐵交𝑁𝐶于点𝐸，线
段𝐴𝑁、𝑀𝐵交于点𝐹，∠𝑀𝐶𝐴= 60∘．证明：∠𝑀𝐹𝐴= 60∘．
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70
典型例题2
如图，△𝐴𝐶𝐵和△𝐷𝐶𝐸均为等边三角形，点𝐴、𝐷、𝐸在同一条直线上，连接𝐵𝐸，则∠𝐴𝐸𝐵
的度数是（ ）．
A. 30∘
B. 45∘
C. 60∘
D. 75∘
典型例题3
如图，点𝐴，𝐵，𝐶在一条直线上，点𝐵为线段𝐴𝐶上的动点，(点𝐵与点𝐴、𝐶不重合)
△𝐴𝐵𝐷，△𝐵𝐶𝐸均为等边三角形，连接𝐴𝐸和𝐶𝐷，𝐴𝐸分别交𝐶𝐷，𝐵𝐷于点𝑀，𝑃，𝐶𝐷交
𝐵𝐸于点𝑄，连接𝑃𝑄，𝐵𝑀，下面结论：
①△𝐴𝐵𝐸≌△𝐷𝐵𝐶；②∠𝐷𝑀𝐴的度数为固定值；③△𝐵𝑃𝑄为等边三角形；④𝑃𝑄//𝐴𝐶；
⑤𝑀𝐵平分∠𝐴𝑀𝐶；⑥△𝐴𝐵𝑃≌△𝐷𝐵𝑄，其中结论正确的有
．
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知识模型
“手拉手”型全等-等腰直角三角形
典型例题4
如图，已知△𝐴𝐵𝐶与△𝐴𝐷𝐸均是等腰直角三角形，∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸= 90∘，𝐴𝐵= 𝐴𝐶= 5，
𝐴𝐷= 𝐴𝐸= 4，点𝐷在𝐵𝐶上，连接𝐶𝐸，则△𝐶𝐷𝐸的面积是
．
典型例题5
如图，在△𝐴𝐵𝐶和△𝐴𝐷𝐸中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐴𝐷= 𝐴𝐸，∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸= 90∘，𝑆△𝐵𝐷𝐸= 18，则
𝐵𝐷=
．
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知识模型
“手拉手”型全等-一般等腰三角形
典型例题6
如图，在等腰△𝐴𝐵𝐶与等腰△𝐴𝐷𝐸中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐴𝐷= 𝐴𝐸，∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸= 𝛼，连接𝐵𝐷
和𝐶𝐸相交于点𝑃，𝐵𝐷交𝐴𝐶于点𝑀，𝐶𝐸交𝐴𝐷与点𝑁．则下列结论：
①𝐵𝐷= 𝐶𝐸；
②∠𝐵𝑃𝐸= 180∘−2𝛼；
③𝑃𝐴平分∠𝐵𝑃𝐸；
④若𝛼= 60∘，则𝑃𝐸= 𝐴𝑃+𝑃𝐷，
一定正确的是（ ）．
A. ①②③
B. ①②④
C. ①③④
D. ②③④
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73
典型例题7
在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵，点𝐷是直线𝐵𝐶上一点，以𝐴𝐷为一条边在𝐴𝐷
的右侧作△𝐴𝐷𝐸，使𝐴𝐸= 𝐴𝐷，∠𝐷𝐴𝐸= ∠𝐵𝐴𝐶，连接𝐶𝐸．
（1）如图，当点𝐷在线段𝐵𝐶的延长线上移动时，若∠𝐵𝐴𝐶= 32∘，则∠𝐷𝐶𝐸=
．
（2）设∠𝐵𝐴𝐶= 𝛼，∠𝐷𝐶𝐸= 𝛽．
①当点𝐷在线段𝐵𝐶延长线上移动时，𝛼与𝛽之间有什么数量关系？请说明理由．
②当点𝐷在直线𝐵𝐶上（不与𝐵、𝐶两点重合）移动时，𝛼与𝛽之间有什么数量关
系？请直接写出你的结论．
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74
模块二
模块二
拓广探索
知识模型
“手拉手”型全等-正方形
典型例题8
在锐角三角形𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐻是𝐵𝐶边上的高，分别以𝐴𝐵，𝐴𝐶为一边，向外作正方形
𝐴𝐵𝐷𝐸和正方形𝐴𝐶𝐹𝐺，连接𝐶𝐸、𝐵𝐺和𝐸𝐺，𝐸𝐺与𝐻𝐴的延长线交于点𝑀，下列结论：
①𝐵𝐺= 𝐶𝐸；②𝐵𝐺⊥𝐶𝐸；③𝐴𝑀是△𝐴𝐸𝐺的中线；④∠𝐸𝐴𝑀= ∠𝐴𝐵𝐶，其中正确结论的有
（填序号）．
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随堂练习
随堂练习1
如图，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷、四边形𝐷𝐸𝐹𝐺都是正方形，连接𝐴𝐸、𝐶𝐺，则证明△𝐴𝐷𝐸≌△𝐶𝐷𝐺
的依据是（ ）．
A. SSS
B. SAS
C. ASA
D. AAS
随堂练习2
已知：如图，在△𝐴𝐵𝐶，△𝐴𝐷𝐸中，∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸= 90∘，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐴𝐷= 𝐴𝐸，点𝐶，𝐷，𝐸三
点在同一条直线上，连接𝐵𝐷，𝐵𝐸．则∠𝐴𝐶𝐸+∠𝐷𝐵𝐶=
∘．
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76
随堂练习3
如图，在△𝐴𝑂𝐵和△𝐶𝑂𝐷中，𝑂𝐴= 𝑂𝐵，𝑂𝐶= 𝑂𝐷，若∠𝐴𝑂𝐵= ∠𝐶𝑂𝐷= 60∘，
（1）求证：𝐴𝐶= 𝐵𝐷．
（2）求∠𝐴𝑃𝐵的度数．
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第
3
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77
数学探索
聪明的商人
一位犹太商人来到一家银行贷款部，对贷款部经理说：
“我想
借点钱。”
“您想借多少呢？”
“1 美元，可以吗？”贷款部经理十分诧
异，此人穿戴十分阔绰，为什么只借1 美元呢？也许，他在试探银
行的工作质量和服务态度。于是他立即十分高兴的说：
“当然可以，
只要有担保，无论多少都可以照办。”犹太商人从豪华的皮包里取
出一大堆股票、国债、债券等放在经理的办公桌上。经理清点了一
下对犹太商人说：
“先生，总共是50 万美元，做担保足够了。不过您
真的只想借1 美元吗？”
“是的，我只需要1 美元。”犹太商人办完一
切手续便欲离去。这时银行行长从后面追上来，有些窘迫的说：
“先
生，我实在弄不明白，您拥有50 万美元的家当，为什么还要借1 美
元呢？”
“我到这里来是想做一笔生意的，可是随身携带的这些票券
很碍事。租金库的租金昂贵，但我贷1 美元，一年只还1 美分，便将
这些东西以担保的形式寄存在贵行，这多合算啊。”聪明的犹太商
人从事情的反面进行思考，把由原先存钱的思路变成了借钱思路，
将保存品变成了抵押品，同样达到保管票券的目的，却付出很少。
我们在学习数学时，有时一些问题从正面进行思考往往繁琐，
甚至束手无策。此时，如能改变方向，逆向思考，往往会收到意想不
到的效果。
逆向思维是一种积极的具有创造性的思维方式，这种思维方
式在数学中屡见不鲜。如整式的乘法和因式分解；去括号与添括号
等。
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第
3
讲
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“三精”习题课
第 讲
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手拉手模型
典型例题1
频率：高
如图，点𝐵是线段𝐴𝐶上任意一点（点𝐵与点𝐴，𝐶不重合），分别以𝐴𝐵，𝐵𝐶为边在直线
𝐴𝐶的同侧作等边三角形𝐴𝐵𝐷和等边三角形𝐵𝐶𝐸，𝐴𝐸与𝐵𝐷相交于点𝐺，𝐶𝐷与𝐵𝐸相
交于点𝐹，𝐴𝐸与𝐶𝐷相交于点𝐻．连接𝐻𝐵，则下列结论：①𝐴𝐸= 𝐶𝐷；②∠𝐴𝐻𝐶= 120∘；
③𝐻𝐵平分∠𝐴𝐻𝐶；④𝐶𝐻= 𝐸𝐻+𝐵𝐻．其中正确的结论有（ ）．
A. 4 个
B. 3 个
C. 2 个
D. 1 个
典型例题2
频率：较高
如图，正方形𝐴𝐵𝐶𝐷与正三角形𝐴𝐸𝐹的顶点𝐴重合，将△𝐴𝐸𝐹绕顶点𝐴旋转，在旋转
过程中，当𝐵𝐸= 𝐷𝐹时，∠𝐵𝐴𝐸的大小可以是
．
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典型例题3
频率：高
如图，两个正方形𝐴𝐵𝐶𝐷与𝐷𝐸𝐹𝐺，连接𝐴𝐺，𝐶𝐸，二者相交于点𝐻．
（1）证明△𝐴𝐷𝐺≌△𝐶𝐷𝐸．
（2）请说明𝐴𝐺和𝐶𝐸的位置和数量关系，并给予证明．
（3）连接𝐴𝐸和𝐶𝐺，请问△𝐴𝐷𝐸的面积和△𝐶𝐷𝐺的面积有怎样的数量关系？并说明
理由．
睛
点
法
方
思路：手拉手⇒全等⇒边等、角等⇒关系（结合“8”字模型、角平分线判定等）
总结：共顶点，等线段，手拉手，全等现
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