[讲义答案]第6讲-7400e88d5336_学而思高三全套_2019年高三暑假直播_2019-暑高二升高三理科数学一轮复习直播凌云班（全国）10讲王侃_讲义答案

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【本讲解读】
  三角函数在高考中常以道大题和至道小题的形式出现，其中三角函数的解答题侧重于解三角形部分，重点
考查正、余弦定理，
分；小题在内容上侧重于考查三角函数的图象和性质。本讲将重点以“三角函数基本公式与
恒等变换”、“三角函数的图像与性质”两个模块为主线进行讲解，解三角形的相关内容将在本书的下一讲中进行详细
的阐述.
模块
模块1：七分钟快测
：七分钟快测
1  100%
直击课堂
直击课堂
本讲解读
本讲解读
1
1
2
12
演练1
答 案
C
解析
由于角的终边经过点
，那么
，
，
， 
，
，
，故选C．
答 案
D
解析
解：
、的终边在同一象限，且
与
异号，
、为第二或第四象限角，
．
答 案
B
解析
解：将函数
的图象向右平移
个单位长度， 
即得
的图象， 
故选B．
答 案
A
解析
解：由角的终边过点
，可得
，
，
， 
故
，
， 
. 
故选：A．
1  76%
1
1
θ
P −3, 4
(
)
x = −3
y = 4
r = OP =
∣
∣
5
∴sinθ =
 =
r
y
 5
4
cos θ =
 =
r
x
−
 5
3
∴sinθ + 2 cos θ = −
 5
2
演练2
∵α
β
sinα
cos β
∴α
β
∴tanβ < 0
演练3
y = sin 2x +
 
(
3
π )
 4
π
y = sin 2 x −
 
+
 =
[ (
4
π )
3
π ]
sin 2x −
 
(
6
π )
演练4
α
P 4a, −3a
a < 0
(
) (
)
x = 4a
y = −3a
r = −5a
sinα =
 =
r
y
 5
3
cos α =
 =
r
x
−
 5
4
∴2 sinα + cos α =
 5
2
演练5
答 案
B
解析
解：函数
的单调递增区间为：
，
． 
令
，可得
， 
故选：B．
答 案
见解析
解析
解：
，即
，
．
答 案
见解析
解析
解：
．
答 案
A
解析
由
得
，解得
， 
，故选A．
1
模块
模块2：三角函数基本公式与恒等变换
：三角函数基本公式与恒等变换
考法：同角关系式
1
2
1  73%
y = sinx
2kπ −
 , 2kπ +
 
[
2
π
2
π ]
k ∈Z
k = 0
−
 ⩽
2
π
x ⩽
 2
π
例题1
∵
 =
sinα −cos α
sinα
−1
 =
tanα −1
tanα
−1
∴tanα =
 2
1
 =
3sin α + cos α
2
2
sin α + 2 sinα cos α
2
 =
3tan α + 1
2
tan α + 2 tanα
2
 =
3 ×
 + 1
4
1
 + 1
4
1
 7
5
例题2
 =
3 cos α −sinα
sinα + 3 cos α
5
 =
3 −tanα
tanα + 3
5
tanα = 2
sin α −
2
sinα cos α =
 =
sin α + cos α
2
2
sin α −sinα cos α
2
 =
tan α + 1
2
tan α −tanα
2
 5
2
答 案
A
解析
由是第二象限角， 
可知
， 
由
，
， 
得
．
答 案
2
解析
解：方法一：
，
或
(舍
去)， 
则
，故答案为：． 
方法二：
．
答 案
解析
解：在平面直角坐标系
中，角与角均以
为始边，它们的终边关于轴对称， 
， 
， 
． 故答案为：
．
1  82%
2
考法：诱导公式
1
例题3
α
cos α < 0
sin α +
2
cos α =
2
1
sinα =
 
13
5
cos α = −
 
13
12
cos α =
2
sinα = 1 −sin α
2
∴sinα =
 
2
−1 +
 5
sinα =
 
2
−1 −
 5
 +
sinα
1
cos α =
4
 +
sinα
1
sin α =
2
 +
−1 +
 5
2
 
=
(
2
−1 +
 5 )
2
2
2
 +
sinα
1
cos α =
4
 +
sinα
1
sin α =
2
 +
sinα
1
1 −cos α =
2
 +
sinα
1
1 −sinα =
sinα
1 −sin α
2
例题4
 3
1
∵
xOy
α
β
Ox
y
∴α + β = π + 2kπ, k ∈Z
∵sinα =
 3
1
∴sinβ = sin(π + 2kπ −α) = sinα =
 3
1
 3
1
例题5
答 案
见解析
解析
解：
．
答 案
D
解析
．故选D．
答 案
B
解析
观察发现
，故
，故选B．
答 案
C
解析
解：
，
，满足
，
， 
，
， 
则
， 
，
，
，
， 
故选：C．
1
考法：给值求值、给角求角
1  51%
2  88%
1  33%
f α =
( )
 =
sinα ⋅sinα
sinα cos α −sinα
(
)
−cos α
例题6
sin133 cos 13 +
∘
∘
cos 47 cos 77 =
∘
∘
cos 43 cos 13 +
∘
∘
sin43 sin13 =
∘
∘
cos 30 =
∘
2
3
67 +
∘
23 =
∘
90∘
sin68 sin67 −
∘
∘
sin23 cos 68 =
∘
∘
cos 22 cos 23 −
∘
∘
sin22 sin23 =
∘
∘
cos 22 + 23
(
∘
∘)
例题7
∵0 < α
β <
 2
π
cos α =
 
5
 5
sinβ =
 
10
3
 
10
∴sinα =
 =
1 −cos α
2
 
5
2
 5
cos β =
 =
1 −sin β
2
 
10
 
10
cos α + β =
(
)
cos α cos β −sinα sinβ =
 ×
5
 5
 −
10
 
10
 ×
5
2
 5
 =
10
3
 
10
−
 
2
 2
∵0 < α
β <
 2
π
∴0 < α + β < π
∴α + β =
 
4
3π
答 案
D
解析
解：在
中，
，
为三角形的内角， 
为锐角，可得：
， 
又
，
为三角形的内角， 
， 
则
或
． 
故选：D．
答 案
解析
、
、
为
的内角， 
、
、
，
．
，
． 
，
，
，
． 
．
答 案
解析
， 
，
．
1  54%
2
1
例题8
△ABC
∵cos A =
 >
5
3
0
A
∴A
sinA =
=
1 −cos A
2
 5
4
∵sinB =
 
13
12
B
∴cos B = ±
 =
1 −sin B
2
±
 
13
5
cos C = −cos A + B =
(
)
−cos A cos B + sinA sinB = −
 ×
5
3
±
 
+
(
13
5 )
 ×
5
4
 =
13
12
 
65
33
 
65
33
∵A
B
C
△ABC
∴A
B
C ∈0, π
(
)
A + B + C = π
∴sinA > 0
sinB > 0
∵cos A =
 5
3
cos B =
 
13
5
∴sinA =
 5
4
sinB =
 
13
12
∴cos C = cos π −A −B =
(
)
−cos A + B =
(
)
−cos A cos B −sinA sinB =
(
)
−(
例题9
−
 5
4
cos α −
 
+
(
6
π )
sinα =
 cos α +
2
 3
 sinα +
2
1
sinα =
 
 cos α +
 sinα
=
3 (2
1
2
 3
)
sin α +
 
=
(
6
π )
 5
4
∴sin
α +
 
=
(
6
7π )
sin α +
 + π
=
(
6
π
)
−sin α +
 
=
(
6
π )
−
 5
4
答 案
解析
． 
又由
，
，
． 
由
，
，
．得到
．
． 
又
，
．
答 案
B
解析
解：
， 
，
， 
． 
故选：B．
答 案
A
解析
解：
，
， 
又
，
， 
． 
故选：A．
2
1  71%
2  82%
3  55%
−
 
4
3π
tanα = tan
α −β + β =
[(
)
]
 =
1 −tan α −β tanβ
(
)
tan α −β + tanβ
(
)
 3
1
α ∈0, π
(
)
∴0 < α <
 6
π
0 < 2α <
 3
π
tanβ = −
 7
1
β ∈0, π
(
)
∴
 <
6
5π
β < π
−π < −β < −
 
6
5π
∴−π < 2α −β < −
 2
π
tan 2α −β =
(
)
tan α + α −β
=
[
(
)]
 =
1 −tanα tan α −β
(
)
tanα + tan α −β
(
)
1
∴2α −β = −
 
4
3π
例题10
∵sinα =
 4
1
∴sin α =
2
 
16
1
cos α =
2
 
16
15
∴cos 2α = cos α −
2
sin α =
2
 8
7
∵sin π −α =
(
)
 3
1
∴sinα =
 3
1
∵
 ⩽
2
π
α ⩽π
∴cos α = −
 =
1 −sin α
2
−
 
3
2
 2
∴sin2α = 2 sinα cos α = 2 ×
 ×
3
1
−
 
=
(
3
2
 2 )
−
 
9
4
 2
答 案
D
解析
解：
，可求得
， 
． 
故选：D．
答 案
A
解析
 
， 函数的最大值是
，故选A ．
答 案
见解析
解析
 
 
 
．
答 案
D
解析
解：
．
考法：辅助角公式化正弦型三角函数
1  71%
2
模块
模块3：三角函数的图象与性质
：三角函数的图象与性质
考法：图象变换
1  49%
∵tan α −
 
=
(
4
π )
2 =
 
1 + tanα
tanα −1
tanα = −3
∴tan2α =
 =
1 −tan α
2
2 tanα
 =
1 −−3
(
)2
2 × −3
(
)
 4
3
例题11
∵sinx + sin(x + 60 ) =
∘
sinx +
 sinx +
2
1
 cos x
2
 3
=
 sinx +
2
3
 cos x =
2
 3
 sin(x +
3
30 )
∘
∴
 3
f x =
( )
2
sinx −
 cos x
cos x +
(2
1
2
 3
)
sinx cos x +
 sin x
3
2
= 2 sinx cos x −
 cos x −sin x
3 (
2
2 )
= sin2x −
 cos 2x
3
= 2 sin 2x −
 
(
3
π )
例题12
y = sin2x
 
向左平移
 个单位
8
π
y = sin 2 x +
 
=
[ (
8
π )]
sin 2x +
 
(
4
π )
答 案
A
解析
解：由函数
的图象变换得到
的图
象，则可以通过以下两个步骤完成： 
第一步，把
图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，可得
的图象； 
第二步，可以把所得图象沿轴向右平移
个单位， 
故选：A．
答 案
B
解析
解：因为
，
，
，
，
是函数
一个周期内的图
象上的五个点， 
，
为轴上的点，
为图象上的最低点，
为该函数图象的一个对称中心，
与
关
于点
对称， 
在轴上的投影为
， 
所以
，所以
，因为
， 
所以
，又
，所以
． 
故选：B．
答 案
D
解析
由图象知
，则
，
，
， 
则函数在
上是增函数，且函数图象关于
和
对称； 
则
，
，
， 
2
考法：根据图像确定函数解析式
1  71%
2
y = sin 2x +
 
(
2
π )
y = sin
 +
 
=
(2
x
3
π )
sin
 
x +
 
2
1 (
3
2π )
y = sin 2x +
 
(
2
π )
4
y = sin
 +
 
=
(2
x
2
π )
sin
 x + π
2
1 (
)
x
π −
 =
3
2π
 3
π
例题13
A
B
C
D
E
y = sin ωx + φ
ω > 0, 0 < φ <
 
(
) (
2
π )
A −
 , 0
(
6
π
)
B
y
C
E
B
D
E
CD
x
 
12
π
T = 4 ×
 +
 
=
(12
π
6
π )
π
ω = 2
A −
 , 0
(
6
π
)
0 = sin −
 + φ
(
3
π
)
0 < φ <
 2
π
φ =
 3
π
 =
4
3T
 −
6
5π
 =
12
π
 
4
3π
T = π
 +
12
π
π =
 
12
13π
 +
12
π
 =
2
π
 
12
7π
 ,
 
[ 12
7π
12
13π ]
x =
 
12
π
x =
 
12
7π
f
 
=
( 3
5π )
f
 
( 3
2π )
f
−
 
=
(
4
3π )
f
 
=
( 4
π )
f
 
( 12
11π )
f
 
=
( 6
7π )
f
 
=
( 6
π )
f π
( )
，
，即
， 
故选：D．
答 案
D
解析
解：函数
的定义域为
，值域为
，
时，
， 
故
能取到最小值
，最大值只能取到
， 
例如当
，
时，区间长度
最小为
； 
当
，
时，区间长度
最大为
，即
， 
故
一定取不到
， 
故选：D．
答 案
解析
解：
， 
又
， 
当
时，函数
取到最大值为， 
当
时，函数
取到最小值为
， 
综上，函数
的值域是
， 
故答案为：
．
答 案
D
解析
解：设这条直线是
， 
函数
的图象与
的图象关于
对称， 
，即有
， 
考法：正弦型三角函数的基本性质
1  72%
2
3  49%
∵
 <
3
2π
 <
12
11π
π
∴f
 
<
( 3
2π )
f
 
<
( 12
11π )
f π
( )
f
 
<
( 3
5π )
f
−
 
<
(
4
3π )
f
 
( 6
7π )
例题14
y = 2 sinx
a, b
[
]
−2, 1
[
]
∴x ∈a, b
[
]
−1 ⩽sinx ⩽
 2
1
sinx
−1
 2
1
a = −
 2
π
b =
 6
π
b −a
 
3
2π
a = −
 
6
7π
b =
 6
π
b −a
 
3
4π
 ⩽
3
2π
b −a ⩽
 
3
4π
b −a
 
2
3π
[−6, 2]
y =
 cos 2x −
2
1
4 sinx −
 =
2
3
−sin x −
2
4 sinx −1 = −sinx + 2
+
(
)2
3
sinx ∈−1, 1
[
]
∴
sinx = −1
f x
( )
2
sinx = 1
f x
( )
−6
y =
 cos 2x −
2
1
4 sinx −
 2
3
−6, 2
[
]
−6, 2
[
]
x = a
∵
f x =
( )
sinx
g x =
( )
cos x
x = a
∴sin 2a −x =
(
)
cos x
cos
 −2a −x
=
[ 2
π
(
)]
cos x
，
，故有，
，
， 
当
时，
， 
故选：D．
答 案
B
解析
解：函数
在
上的零点个数， 
即函数
的图象与函数
的图象在
上的交点的个数， 
如图所示：显然函数
的图象与函数
的图象在
上的交点的个数为， 
故选：B． 
答 案
D
解析
因为函数
和
的图象的对称轴完全相同，故
和
的周期相同，所以
，所
以
， 
由
，得
，根据余弦函数的单调性，当
，即
时，
， 
当
，即
时，
，所以
的取值范围是
． 
故选D．
答 案
B
解析
解：由题意，函数
的图象与
的图象的交点为
，设
的坐标为
， 
则有
，可得：
， 
得
，即
， 
4  85%
1  41%
2  54%
∴
 −
2
π
2a −x =
(
)
x + 2kπ
k ∈Z
a =
 −
4
π
kπ
k ∈Z
∴
k = 2
a = −
 
4
7π
f x =
( )
lg x −sinx
0, +∞
(
)
y = lg x
y = sinx
0, +∞
(
)
y = lg x
y = sinx
0, +∞
(
)
3
例题15
f x
( )
g x
( )
f x
( )
g x
( )
ω = 2
f x =
( )
3 cos 2x +
 
(
3
π )
x ∈0,
 
[
3
π ]
2x +
 ∈
3
π
 , π
[ 3
π
]
2x +
 =
3
π
π
x =
 3
π
f x
 =
( )min
−3
2x +
 =
3
π
 3
π
x = 0
f x
 =  
 
( )max
2
3
f x
( )
−3,
 
[
2
3 ]
y = 6 cos x
y = 5 tanx
P
P
x
 , y
 
(
1
1)
5 tanx
 =
1
6 cos x
 1
5 sinx
 =
1
6cos x
 
2
1
6sin x
 +
2
1
5 sinx
 −
1
6 = 0
3 sinx
 −2
2 sinx
 + 3 =
(
1
) (
1
)
0
2
3
2
解得：
，
(舍去)，线段
的长为
． 
故选：B．
答 案
B
解析
解：
为
的零点，
为
图象的对称轴， 
，即
，
， 
即
，即
为正奇数， 
在
上单调，则
， 
即
，解得：
， 
当
时，
，
， 
，
，此时
在
上不单调，不满足题意； 
当
时，
，
， 
，
，此时
在
上单调，满足题意． 
故
的最大值为， 
故选：B．
3
sinx
 =
1
 3
2
sinx
 =
1
−
 2
3
∴
P
 P
 
1
2
 3
2
∵x = −
 4
π
f x
( )
x =
 4
π
y = f x
( )
∴
 ⋅
4
2n + 1
T =
 2
π
 ⋅
4
2n + 1
 =
ω
2π
 2
π
n ∈N
ω = 2n + 1 n ∈N
(
)
ω
∵f x
( )
 ,
 
( 18
π
36
5π )
 −
36
5π
 =
18
π
 ⩽
12
π
 2
T
T =
 ⩾
ω
2π
 6
π
ω ⩽12
ω = 11
−
 +
4
11π
φ = kπ
k ∈Z
∵φ ⩽
∣∣
 2
π
∴φ = −
 4
π
f x
( )
 ,
 
( 18
π
36
5π )
ω = 9
−
 +
4
9π
φ = kπ
k ∈Z
∵φ ⩽
∣∣
 2
π
∴φ =
 4
π
f x
( )
 ,
 
( 18
π
36
5π )
ω
9