[讲义答案]第3讲-a1a1cea68d10_学而思高三全套_2019年高三暑假直播_2019-暑高二升高三理科数学一轮复习直播凌云班（全国）10讲王侃_讲义答案

答 案
C
直击课堂
【本讲解读】
  不等式是高中数学阶段的重要板块，在高考试卷中涉及的考点也很多，从全国卷目前的高中数学要求来说，除
了不等式证明以外，其他形式的考察还是很多的．从题型上来说，包含：线性规划，基本不等式，解不等式，不等
式恒（能）成立，还有一些转化为不等式问题的题型．本讲将围绕“不等关系与解不等式”、“基本不等式”、“线性规
划”三个模块进行展开，具体的考点考法将在本讲的后续内容中进行详细阐述．
模块
模块1：七分钟快测
：七分钟快测
1  75%
直击课堂
直击课堂
本讲解读
本讲解读
演练1
解析
解:①若
，则
，当
时不成立，错误； 
②若
，则
，不等式成立，正确； 
③若
，可得
，所以
，正确； 
④若
，
，则
，所以 
，正确． 
故选C.
答 案
C
解析
一元二次不等式
可化为：
， 即
，解
得：
，不等式的解集是：
． 故选：C．
答 案
B
解析
不等式
，即为
，即有
， 
即为
或
， 
解得
或
．即不等式的解集为
． 
故选B．
答 案
A
解析
基本不等式使用条件一正，二定，三相等；①
，当且仅当
，
即
时等号成立，由于
，因此①的最小值不是，②中
可能小于零，最小值不是
；③中
可能小于零，最小值不是；④中
，当且仅当
，即
时等号成立，因此最小值不是．
1  67%
1  70%
1
a > b
ac < bc
c ⩾0
ac >
2
bc2
a > b
a < b < 0
a >
2
ab, ab > b2
a >
2
ab > b2
a > b,
 >
a
1
 b
1
 −
a
1
 =
b
1
 >
ab
b −a
0
ab < 0
a > 0, b < 0
演练2
−x +
2
x + 2 > 0
x −
2
x −2 < 0
(x + 1) x −2 <
(
)
0
−1 < x < 2
∴
{x∣−1 < x < 2}
演练3
x <
 
x
x + 2
 <
x
x −x −2
2
0
 <
x
x −2
x + 1
(
) (
)
0
{x > 0
x −2
x + 1 < 0
(
) (
)
 
{x < 0
x −2
x + 1 > 0
(
) (
)
0 < x < 2
x < −1
0, 2 ∪
(
)
−∞, −1
(
)
演练4
y = x +
 ⩾
x
1
2
 =
x ⋅
 x
1
2
x =
 x
1
x = 1
x ⩾2
2
tanx
2
x −3
2
y =
 +
x + 2
2
 ⩾
 
x + 2
2
1
2
 =
 ⋅
 
x + 2
2
 
x + 2
2
1
2
 =
x + 2
2
 
 
x + 2
2
1
x =
2
−1
2
答 案
D
解析
，利用不等式的同向可乘性，得
，不等式两边同除以
(
，不等号方向不变)，即
，即
，故选D.
答 案
C
解析
A项：作商，
，故
，此项错； 
B项：作商，
，故
，此项错； 
C项：
，
，
，
，故
，故此项正确； 
D项：
，
，作商，
，故
(不等号方
向改变)，故此项错． 
故选C．
答 案
A
解析
由
，可知
等价于
． 
又因为
，所以
，所以原不等式的解集为
．故选A．
模块
模块2：不等式
：不等式
考法：不等式的性质
1  37%
2  53%
考法：含参一元二次不等式
1  64%
例题1
c < d < 0 ⇔−c > −d > 0
−ac > −bd
cd cd > 0
−
 >
d
a
−
 c
b
 <
d
a
 c
b
 =
bc
ac
 
>
( b
a)
c
1
a >
c
bc
 =
bac
abc
 =
b1−c
a1−c
 
>
( b
a)
1−c
1
ab >
c
bac
∵a > b > 1
0 < c < 1
∴−log
 c >
b
−log
 c >
a
0
∴−alog
 c >
b
−blog
 c
a
alog
 c <
b
blog
 c
a
log
 c <
a
0
log
 c <
b
0
 =
log
 c
b
log
 c
a
=
ln b
ln c
 
ln a
ln c
 <
lna
lnb
1
log
 c >
a
log
 c
b
例题2
a < −1
a x −a
x −
 
<
(
) (
a
1 )
0
x −a
x −
 
>
(
) (
a
1 )
0
a < −1
 >
a
1
a
x
 x >
 或x < a
{
∣∣∣∣
a
1
}
答 案
见解析
解析
①若
，不等式为
，解得
； 
②若
，不等式为
， 
当
时，不等式变为
，又
，故
； 
当
时，不等式变为
，比较与
： 
（i）若
，即
，解得：
或
； 
（ii）若
，即
，解得：
或
； 
（iii）若
，
，解得
 ．  
综上知：当
时，不等式的解集为
；  
当
时，不等式的解集为
； 
当
时，不等式的解集为
； 
当
时，不等式的解集为
； 
当
时，不等式的解集为
.
答 案
见解析
解析
①当
时，不等式为一元一次不等式，解得
； 
②当
时，不等式为一元二次不等式，
． 
即
时，不等式等价于
，解得
； 
即
时，不等式恒成立，
； 
即
且
时，方程
有两个相异实根
，
，当
时，
，二次函数开口向下，解得
；当
时，
，二次函数开口向上，解
得
或
． 
综上所述，当
时，原不等式的解集为
； 
当
时，原不等式的解集为
； 
当
时，原不等式的解集为
； 
2
3
a = 0
−2x + 4 > 0
x < 2
a=0
/
(x −2)
x −
 
>
(
a
2 )
0
a < 0
(x −2)
x −
 
<
(
a
2 )
0
 <
a
2
2
 <
a
2
x < 2
a > 0
(x −2)
x −
 
>
(
a
2 )
0
2
 a
2
2 >
 a
2
a > 1
x > 2
x <
 a
2
2 <
 a
2
0 < a < 1
x >
 a
2
x < 2
2 =
 a
2
a = 1
x=
 2
/
a = 0
(−∞, 2)
a < 0
 , 2
( a
2
)
0 < a < 1
(−∞, 2) ∪
 , +∞
( a
2
)
a = 1
(−∞, 2) ∪(2, +∞)
a > 1
−∞,
 
∪
(
a
2 )
(2, +∞)
a = 0
x > −
 2
1
a=0
/
Δ = 4 1 −a
(
)
Δ = 0
a = 1
x + 1
>
(
)2
0
x=
 −
/
1
Δ < 0
a > 1
x ∈R
Δ > 0
a < 1
a=
 0
/
ax +
2
2x + 1 = 0
x
 =
1
 
a
−1 −
 
1 −a
x
 =
2
 
a
−1 +
 
1 −a
a < 0
x
 <
2
x
 1
 <
a
−1 +
 
1 −a
x <
 
a
−1 −
 
1 −a
0 < a < 1
x
 <
1
x
 2
x <
 
a
−1 −
 
1 −a
x >
 
a
−1 +
 
1 −a
a < 0
 ,
 
(
a
−1 +
 
1 −a
a
−1 −
 
1 −a )
a = 0
−
 , +∞
(
2
1
)
0 < a < 1
−∞,
 
∪
(
a
−1 −
 
1 −a )
 , +∞
(
a
−1 +
 
1 −a
)
当
时，原不等式的解集为
； 
当
时，原不等式的解集为
．
答 案
或
解析
答 案
或
解析
答 案
A
解析
可化为
，解得
．
答 案
D
解析
，
．
考法：高次不等式
1
2
考法：分式不等式与绝对值不等式
1  58%
2  45%
考法：指对不等式
a = 1
−∞, −1 ∪
(
)
−1, +∞
(
)
a > 1
R
例题3
{x∣1 < x < 2
x > 3}
{x∣−3 < x < 2
2 < x < 4}
例题4
 ⩾
x + 1
x −3
0
 
{(x −3)(x + 1) ⩾0
x + 1=0
/
{x∣x ⩾3或x < −1}
 
 
 <
∣∣∣∣
x −1
x + 1
∣∣∣∣
1 ⇒
 
<
( x −1
x + 1 )
2
1 ⇒(x + 1) <
2
(x −1)2
∴x < 0
答 案
解析
解关于
的一元二次不等式
得
，再解关于的不等式
得
，所以原不等式的解集为
．
答 案
解析
原不等式等价于
，解
得
，解
得
，原不等式的解集为
．
答 案
B
解析
，当且仅当
时等号
成立．
答 案
B
解析
，
，
，
，当且仅当
时等号
成立．
1
2
模块
模块3：基本不等式
：基本不等式
考法：常规基本不等式问题
1  86%
2  78%
例题5
0, log
 2
(
3 )
3x
3
−
x+1
9 >
x
2
1 < 3 <
x
2
x
1 < 3 <
x
2
0 < x < log
 2
3
0, log
 2
(
3 )
 , 2
( 2
1
)
4 + 3x −x >
2
4x −2 > 0
4 + 3x −x >
2
4x −2
−3 < x < 2
4x −2 > 0
x >
 2
1
∴
 , 2
( 2
1
)
例题6
6x + 1 +
 =
2x
1
6x +
 +
2x
1
1 ⩾2
 +
6x ⋅
 
2x
1
1 = 2
 +
3
1
x =
 
6
 3
∵0 < x <
 2
3
∴x > 0
3 −2x > 0
∴x(3 −2x) =
 ⋅
2
1
2x ⋅(3 −2x) ⩽
 ⋅
2
1
 
=
[
2
2x + (3 −2x) ]
2
 8
9
x =
 4
3
答 案
A
解析
，当且仅当
时等号成立．
答 案
6
解析
当
时，
， 
即有
， 
当且仅当
时，
取得最小值．
答 案
D
解析
A，
，当
时，
，不满足； B，
，当且仅当
时成立，因为
，故等号不成
立，不满足； C，
，
，所以
，
，不满足； D，
，当且仅当
时成立，满足， 故选D．
答 案
3  74%
考法：基本不等式易错点辨析
1  65%
2  49%
考法：基本不等式综合
1
ab =
 ⋅
2
1
2a ⋅b ⩽
 
 
=
2
1 (
2
2a + b)
2
 2
1
2a = b = 1
例题7
x < 0
−x > 0
f x =
( )
−x −
 =
x
9
−x +
(
)
−
 
⩾
(
x
9 )
2
 =
−x ⋅
−
 
(
x
9 )
6
x = −3
f x
( )
6
y =
 +
2
x
 x
2
x < 0
y ⩽−2
y =
 =
 
x + 1
x + 2
 +
x + 1
 ⩾
 
x + 1
1
2
x = 0
x > 0
y = sinx +
 
sin x
1
0 < x <
 2
π
sin x ∈0, 1
(
)
y = sinx +
 >
sin x
1
2
y = 7 +
x
7
⩾
−x
2
 =
7 × 7
x
−x
2
x = 0
例题8
2
解析
解：实数，满足
，
，即
． 
则
，当且仅当
时取等号． 
故答案为：
．
答 案
D
解析
，
，故A正确． 
，
，又
，
，故B正确． 
，
，故C正确． 
，
，
，
，故D错误．
答 案
D
解析
，当
，即
时取等号．
答 案
B
解析
由条件知
，
，所以
，
当且仅当
，即
时等号成立，此时
．故选B．
2  60%
考法：基本不等式的常见变形
1  69%
2  62%
∵
x
y
y = 22−log
 x
2
∴y =
 =
2log
 x
2
22
 x
4
xy = 4
 +
x
2
 ⩾
y
1
2
 =
 ⋅
 
x
2
y
1
2
 =
 4
2
 2
x = 2y = 2
 2
2
∵a, b ∈R+
∴a + b
 +
 
=
(
) ( a
1
b
1 )
2 +
 +
a
b
 ⩾
b
a
4
∵a, b ∈R+
∴a +
2
b ⩾
2
2ab
∵
 >
ab
0
∴
 ⩾
 
ab
a + b
2
2
2
 
ab
∵
 >
ab
0
∴
 +
ab
 ⩾
 
ab
1
2
∵a, b ∈R+
∴a + b ⩾2
 
ab
∴
 a + b ⩾
ab (
)
2ab
∴
 ⩽
a + b
2ab
 
ab
例题9
y = 3x +
2
 =
2 + x2
16
3 2 + x
+
(
2)
−
2 + x2
16
6 ⩾2
−
3 2 + x
⋅
 
(
2)
2 + x2
16
6 = 8
 −
3
3 2 + x
=
(
2)
 
2 + x2
16
x =
2
 
3
4
 −6
3
a −b > 0
ab = 1
 =
a −b
a + b
2
2
 =
a −b
a −b
+ 2ab
(
)2
a −b +
 ⩾
a −b
2
2
 2
a −b = a −b
2
a −b =
2
a + b = −
 =
a + b
(
)2
−
 =
a −b
+ 4ab
(
)2
−
 =
 
+ 4
(
2)
2
−
 6
答 案
A
解析
因为正数、满足
，所以
，所以
 
， 
当且仅当
，即
时等号成立，故选A．
答 案
C
解析
答 案
-1
解析
绘制不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得，目标函数在点
处取得最小值
． 
3  63%
4
模块
模块4：线性规划
：线性规划
考法：简单线性规划
1
2
x
y
3x + y = 5xy
 +
x
1
 =
y
3
5
4x + 3y =
 
 +
 
4x + 3y
5
1 ( x
1
y
3 ) (
)
=
 
13 +
 +
 
⩾
5
1 (
x
3y
y
12x)
 
13 + 2 ⋅
 
=
5
1 (
 ⋅
 
x
3y
y
12x )
5
 =
x
3y
 
y
12x
y = 2x = 1
例题10
B 1, 1
(
)
z
 =
min
3x −4y = −1
答 案
3
解析
解：作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示． 
设
，则
， 
平移
， 
由图象知当直线
经过点
时， 
直线的截距最小，此时最小， 
由
得
，即
， 
此时
， 
故答案为：． 
答 案
C
解析
作出不等式组表示的平面区域，如图所示，因为目标函数
表示可行域内的点
与定
点
连线的斜率，由图可知，
，解方程组
得
，由方程组
得
，所以
,所以
的取值范围是
，故选C.  
考法：线性规划常见变形
1
z = 2y −x
y =
 x +
2
1
 z
2
1
y =
 x +
2
1
 z
2
1
y =
 x +
2
1
 z
2
1
A
z
{x + 1 = y
y = 2x
 
{x = 1
y = 2
A 1, 2
(
)
z = 2 × 2 −1 = 3
3
例题11
z =
 
x + 1
y + 1
x, y
(
)
P −1, −1
(
)
k
 ⩽
P A
z ⩽k
 
P B
 
{y = 2
x + 2y −5 = 0
B 1, 2
(
)
 
{x −y −2 = 0
x + 2y −5 = 0
A 3, 1
(
)
k
 =
P A
 , k
 =
2
1
P B
 2
3
z =
 
x + 1
y + 1
 ,
 
[2
1
2
3 ]
答 案
B
解析
由约束条件
作出可行域如图所示， 
 
的几何意义为可行域内的动点与坐标原点距离的平方， 则其最小值为
．故选B．
答 案
见解析
解析
由已知约束条件，作出可行域如图中
内部及边界部分，由目标函数
的几何意
义为直线：
在轴上的截距，知当直线过可行域内的点
时，目标函
数
的最小值为，则
，
． 
2  56%
3  86%
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧x + y ⩾3
x −y ⩾−1
2x −y ⩽3
x +
2
y2
 
=
(
 
1 + 1
2
2
3∣∣
)
2
 2
9
△ABC
z = 2x + y
l
y = −2x + z
y
l
B 1，−2a
(
)
z = 2x + y
1
2 −2a = 1
a =
 2
1