文档文本内容
1
平面向量与解三角形总结
一、高考考点、考频
平面向量在高考中考察的点还是比较难的，虽然我们感觉向量是比较简单的
知识点，但是向量中还是有比较难的题型的。一般都会在选择题的最后几题出现。
近两年都是在前几题的位置出现。解三角形的题目一般都是作为第一个解答题出
现的。是不容失分的一题。
二、高考真题
1．（2018 新课标1.17）（12 分）在平面四边形ABCD 中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB
＝2，BD＝5．
（1）求cos∠ADB；
（2）若DC＝2
，求BC．
【分析】（1）由正弦定理得
＝
，求出sin∠ADB＝
，由此能求出
cos∠ADB；
（2）由∠ADC＝90°，得cos∠BDC＝sin∠ADB＝
，再由DC＝2
，利用余弦定理
能求出BC．
【解答】解：（1）∵∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．
∴由正弦定理得：
＝
，即
＝
，
∴sin∠ADB＝
＝
，
∵AB＜BD，∴∠ADB＜∠A，
∴cos∠ADB＝
＝
．
（2）∵∠ADC＝90°，∴cos∠BDC＝sin∠ADB＝
，
∵DC＝2
，
∴BC＝
＝
＝5．
2
【点评】本题考查三角函数中角的余弦值、线段长的求法，考查正弦定理、余弦定理等基
础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
2.（2018 新课标2.4）（5 分）已知向量，满足| |＝1，
＝﹣1，则•（2
）＝
（ ）
A．4
B．3
C．2
D．0
【分析】根据向量的数量积公式计算即可．
【解答】解：向量，满足| |＝1，
＝﹣1，则•（2
）＝2
﹣
＝2+1＝
3，
故选：B．
【点评】本题考查了向量的数量积公式，属于基础题
三、知识点
1.平面向量
模长不等式：||𝑎⃗|-|𝑏⃗⃗||≤|𝑎⃗± 𝑏⃗⃗|≤|𝑎⃗|+|𝑏⃗⃗|.
内积不等式：𝑎⃗· 𝑏⃗⃗≤|𝑎⃗· 𝑏⃗⃗|≤|𝑎⃗||𝑏⃗⃗|
本讲中的难点在于后面的等和线和极化恒等式，但是重点就是这里的模长不等
式和内积不等式。模长不等式可以通过三角形的三边关系来判断证明，内积不
等式则需要我们理解数量积的意义。
等和线：平面内一组基底𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗, 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗及任一向量𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗, 𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗=m𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗+n𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗，点C 的轨迹为
直线AB 或任意平行于AB 的直线⇔m+n 为定值.我们把直线AB 以及与直线AB 平
行的直线称为等和线.
由于在高考中平面向量的考察一般都会在选择题填空题中，所以如果真的不是
很理解这个定理也没有关系，记住结论即可。
极化恒等式：
几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为临边的平行四边形的“和对
3
角线”与“差对角线”平方差的
1
4。
即：𝑎⃗∙𝑏⃗⃗=（
1
2 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗+
1
2 𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗）(
1
2 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗-
1
2 𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗）=
1
4[|𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2-|𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2]
在三角形ABC 中，M 为边BC 的中点，则恒等式可表示为：
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗∙𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗=（𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+
1
2 𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗）（𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗-
1
2 𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗）=|𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2-
1
4 |𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2
极化恒等式的考查点不会在于直接考查，甚至说如果不知道极化恒等式的话甚
至不影响能否做出这道题目，但是如果知道极化恒等式之后会给我们解决问题
带来很多的方便。
2.解三角形
（1）正弦定理与余弦定理
1）正弦定理：在三角形中，各边的长与它所对的角的正弦的比相等，即
𝑎
𝑠𝑖𝑛𝐴=
𝑏
𝑠𝑖𝑛𝐵=
𝑐
𝑠𝑖𝑛𝐶=2R(R 为△ABC 的外接圆半径)。
2）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与他们
夹角的余弦的积的两倍。即：
{
𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 −2𝑎𝑏𝑐𝑜𝑠𝐶
𝑏2 = 𝑎2 + 𝑐2 −2𝑎𝑐𝑐𝑜𝑠𝐵
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 −2𝑏𝑐𝑐𝑜𝑠𝐴
或者变形为：
{
𝑐𝑜𝑠𝐶=
𝑎2+𝑏2−𝑐2
2𝑎𝑏
𝑐𝑜𝑠𝐵=
𝑎2+𝑐2−𝑏2
2𝑎𝑐
𝑐𝑜𝑠𝐴=
𝑏2+𝑐2−𝑎2
2𝑏𝑐
（2）解三角形的情况
1)利用正弦定理可以解以下两种类型的三角形:
①已知三角形的任意两个角与一边，求其它两边和另一角；
②已知三角形的两边与其中一边的对角，计算另一边的对角，进而计算出其它
的边与角．
2)利用余弦定理可以解以下三种类型的三角形:
①已知三角形的两边及它们的夹角解三角形；
②已知三角形的三边解三角形；
③已知三角形的两边与一边的对角，可利用余弦定理先求出另一边，进而求出
另外两个角．
解三角形时，绝大多数的情况，题目时不会给到边和角的大小，而是给到一个
关系式。此时我们就需要用到边角互化的知识和一些重要的关系式。
由A+B+C=π可以得到重要的关系式：
①sin(A+B)= sinC,cos(A+B)=- cosC
4
②sin
𝐴+𝐵
2
= cos
𝐶
2, cos
𝐴+𝐵
2
= sin
𝐶
2
③𝑎> 𝑏⟺𝐴> 𝐵⟺𝑠𝑖𝑛𝐴> 𝑠𝑖𝑛𝐵.
边角互化公式：
①𝑎: b: c = 𝑠𝑖𝑛𝐴: 𝑠𝑖𝑛𝐵: 𝑠𝑖𝑛𝐶
②𝑎= 2𝑅𝑠𝑖𝑛𝐴, 𝑏= 2𝑅𝑠𝑖𝑛𝐵, 𝑐= 2𝑅𝑠𝑖𝑛𝐶
③𝑠𝑖𝑛𝐴=
𝑎
2𝑅, 𝑠𝑖𝑛𝐵=
𝑏
2𝑅, 𝑠𝑖𝑛𝐶=
𝑐
2𝑅
（3）解双三角形
解双三角形时，两个三角形组成的图形一般有四边形和三角形两种情况。
组合图形是三角形时：
需要注意邻角之和是180°，故这两个角的正弦值相等，余弦值互为相反数。
组合图形是四边形时：
如果是圆的内接四边形，注意对角之和等于180°。如果不是圆的内接四边形
直接通过公共边作为桥梁解题即可。
