基本初等函数
模块1
函数的三要素
4
模块2
指数函数与对数函数
9
函数的图象与性质
模块1
函数的单调性与奇偶性
18
模块2
函数图象的识别与应用
23
导数的运算与切线问题
模块1
导数的运算
30
模块2
切线问题
33
导数的应用
模块1
利用导数分析函数单调性
38
模块2
极值与最值的求法
43
目录
Contents
三角函数
模块1
三角恒等变换
48
模块2
正弦型函数的图象与性质
53
解三角形
模块1
正余弦定理
62
模块2
解三角形中的重点题型
65
平面向量
模块1
平面向量的线性运算
72
模块2
平面向量的数量积
75
第1 讲
基本初等函数
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3
1
直击课堂
考纲解读
1．函数的三要素
(1) 了解构成函数的要素．
(2) 会求一些简单函数的定义域和值域．
2．指数函数与对数函数
(1) 理解函数的概念及构成函数的三要素，了解映射的概念，会运用函数的图象分析和研究函数的性质（单
调性、最值、奇偶性）；
(2) 理解指数、对数的运算，性质，指数、对数函数的概念，理解指数、对数函数的单调性等函数性质，掌握函数
图象的特征.
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4
1
1
模块
1
函数的三要素
知识凝炼
一、函数:
非空数集到非空数集，唯一确定.
二、函数的表示方法
1．列表法
2．图象法
3．解析式法．
考情分析
高考中常从：利用待定系数法、图像法求解析式；利用函数有意义的条件列不等式(组) 等角度求函数的定
义域；从：利用函数图象判断分段函数的奇偶性、单调性；根据自变量的范围分段讨论，以求函数值、解不等式、
求函数的最值或值域；利用函数值求参数或其范围.
三、分段函数
在函数定义域内，对于自变量x 的不同取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数叫做分段函数．
考情分析
分段函数常利用函数图象判断分析函数的性质，根据自变量的范围分段讨论，以求函数值、解不等式、求函
数的最值或值域；利用函数值求参数. 基本策略是分段讨论，思想多涉及数形结合与方程的思想.
四、复合函数
如果y 是u 的函数，记作y = f (u)，u 是x 的函数，记为u = g(x)，且g(x) 的值域与f (u) 的定义域的交集
非空，则通过u 确定了y 是x 的函数y = f [g(x)]，这时y 叫做x 的复合函数，其中u 叫做中间变量，v = f (u)
叫做外层函数，u = g(x) 叫做内层函数．
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5
1
方法点拨
考法1：求函数定义域
1
限制函数定义域的条件
⑴整式型函数，定义域为R．
⑵分式型函数，定义域为使分母不为零的实数的集合．
⑶偶次根式型函数，定义域为使被开方数非负的实数的集合．
⑷对数型函数，定义域为使真数为正的实数的集合．
⑸正切型函数，定义域为使角不为kπ + π
2（k ∈Z）的集合．
⑹四则运算型函数，定义域为在满足其他原则的基础上，各个函数定义域的交集．
⑺实际型函数，定义域为使实际问题有意义的实数的集合．
2
复合函数的定义域
⑴f (x) 与f [g(x)] 的定义域都是指x 的取值范围；
⑵f (x) 定义域为A，f [g(x)] 的定义域为g(x) 的取值范围为A 时，x 的取值范围；
⑶f [g(x)] 的定义域为B，f (x) 的定义域为x ∈B 时，g(x) 的值域；
⑷同一对应法则f 下的范围相同，即f (∗) 中∗的范围不变，例如对于f (t)、f [g(x)]、f [h(x)]，t、g(x)、h(x)
的范围相同．
考法2：求函数值域
1
常见函数的值域
⑴二次函数f (x) = ax2 +bx+c：
[
f
(
−b
2a
)
,+∞
)
，a > 0；
(
−∞, f
(
−b
2a
)]
，a < 0
⑵对勾函数y = x+ 1
x：(−∞,−2]∪[2,+∞)；函数y = x−1
x 的值域为R
⑶三次函数y = ax3 +bx2 +cx+d：R
⑷指数函数：(0,+∞)
⑸对数函数：R
2
求值域的方法
⑴换元法
①代数换元：形如y = ax+b±
√
cx+d 的函数，可设
√
cx+d = t(t ⩾0)，转化为二次函数求值域；
②三角换元：如y = x+
√
1−x2，可令x = cosθ，θ ∈[0,π]，
则y = cosθ +sinθ =
√
2sin
(
θ + π
4
)
，θ ∈[0,π]．
换元法求值域一定要注意新元的取值范围对值域的影响
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6
1
⑵分离常数法
①形如y = ax+b
cx+d 的函数，分离参数转化为A+
B
cx+d ，再结合定义域求值域；
②形如y = ax2 +bx+c
dx2 +ex+ f 的函数，分离参数转化为A +
Bx+C
dx2 +ex+ f ，再结合定义域、换元法和基本不等式
法求值域．
⑶基本不等式法
①形如y = af (x)+
b
f (x)（ab > 0）的函数，根据定义域和f (x) 的值域判断能否直接用基本不等式，若可
以根据基本不等式求得其中一个最值，则另外一个最值在f (x) 值域端点处取到；若不满足基本不等式取等条
件，则函数值域端点分别在f (x) 值域端点处取到；
②形如y =
ax+b
cx2 +dx+e 或y = ax2 +bx+c
dx+e
的函数，一次整式换元，换元后转化为用基本不等式法求值域．
⑷数形结合
若函数的解析式的几何意义较明显，如距离、斜率等，可用数形结合的方法求函数的值域．
考法3：求函数解析式
求函数解析式的一般方法
⑴待定系数法
已知函数类型，设出函数的标准形式，用解方程组的方式确定系数即可．
⑵配凑法
已知f [h(x)] = g(x)，求f (x) 的问题，往往把右边的g(x) 整理成或配凑成只含h(x) 的式子，然后用x 将
h(x) 代换．
⑶换元法
已知f [h(x)] = g(x)，求f (x) 时，可设h(x) = t，从中解出x，带入g(x) 进行换元，应用换元法时，要注意新
元的取值范围．
⑷解方程组法
已知函数f (x) 满足某个等式，这个等式除f (x) 是未知量外，还有其它未知量，如f
(
1
x
)
等，可根据已知
等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求出f (x)．
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7
1
精讲精练
考点1: 求具体函数的定义域
例1
正确率：63%
函数f (x) =
√2−x
log2x 的定义域为( )
A. {x|0 < x ⩽2}
B. {x|0 < x ⩽2 且x̸ = 1}
C. {x|0 < x < 2}
D. {x|0 < x < 2 且x̸ = 1}
考点2: 求抽象复合函数的定义域
例2 （1）函数f (x) 的定义域是
[
1
2,1
]
，则y = f (3−x) 的定义域是( )
A. [0,1]
B.
[
0, 5
2
]
C.
[
2, 5
2
]
D. (−∞,3)
（2）正确率：67%
若函数f(2x+1) 的定义域为(−1,0), 则函数f (x) 的定义域为( )
A. (−2,0)
B. (−1,0)
C. (−1,1)
D. (0,1)
考点3: 求分段函数的值域
例3
正确率：64%
函数f (x) =
log 1
2 x,x ⩾1
2x, x < 1
的值域为( )
A. [−1,2]
B. (−∞,2)
C. (0,+∞)
D. (−∞,−2)
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8
1
考点4: 基本不等式法求函数值域
例4
正确率：41%
函数y = x2 +3x+2
x
在x ∈(1,2] 的值域为( )
A.
[
3+2
√
2,6
]
B.
[
3+2
√
2,+∞
)
C.
(
−∞,3+2
√
2
]
D. [3,+∞)
考点5: 换元法求函数值域
例5
正确率：68%
函数f(x) = x−√1−2x 的值域为( )
A. (0,+∞)
B. (−∞,0)
C.
(
−∞, 1
2
)
D.
(
−∞, 1
2
]
考点6: 求复合函数值域
例6
正确率：69%
函数y = log 1
2
(
x2 −6x+17
)
的值域是( )
A. R
B. [8,+∞)
C. (−∞,−3]
D. [3,+∞)
考点7: 分离常数法求值域
例7
正确率：86%
函数y = 3x−1
x+1 的值域是
．
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9
1
考点8: 配凑、换元法求函数解析式
例8
正确率：69%
已知f (x−1) = x2 +4x−5，则f (x) 的表达式是( )
A. x2 +6x
B. x2 +8x+7
C. x2 +2x−3
D. x2 +6x−10
2
模块
2
指数函数与对数函数
知识凝炼
一、指数函数
1．定义：一般地，函数y = ax (a > 0,a̸ = 1) 叫做指数函数．
2．指数函数的图象及性质：
考情分析
在高考中常利用指数函数的单调性，解决与指数函数有关的比较大小或解不等式问题，其关联考点有：不
等式恒成立问题；函数零点；函数最值、值域等.
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1
二、对数函数
1．定义：我们把函数y = logax(a > 0 且a̸ = 1) 叫做对数函数．
2．对数函数的图象和性质：
考情分析
在高考中常利用对数函数的单调性，解决与对数函数有关的比较大小及解不等式问题；利用对数函数的图
象，解决与对数函数有关的不等式恒成立问题. 其关联考点有：基本不等式；函数零点；函数的单调性.
方法点拨
考法1：指数型复合函数
⑴复合函数的定义域和值域
①函数y = af(x)（a > 0 且a̸ = 1）的定义域是函数f (x) 的定义域；
其值域是先求出定义域内f (x) 的值域，再由外层函数单调性求出复合函数的值域，若a 的大小不确定，则
需要对a 分类讨论；
②求函数f (ax)（a > 0 且a̸ = 1）的值域时，先在定义域内求出内层指数函数的值域，再根据外层函数的
单调性求出函数的值域．
⑵判断复合函数的单调性
复合函数的单调性遵循“同增异减”的规则，处理问题时需要同时注意内外层单调性与单调区间，如果含有
参数，先对参数分类讨论．
⑶研究复合函数的奇偶性
先看定义域是否关于0 对称，再根据定义观察f (−x) 与f (x) 的关系．
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11
1
考法2：指数幂比较大小
指数幂同底，则选取指数函数，根据指数函数的单调性比较大小；
指数幂同指，则选取幂函数，根据幂函数的单调性与奇偶性比较大小；
既不同指也不同底，选取中间量1，或者与两者有公共底、公共指数的中间量；
如果数较小，可以大致估计指数幂的取值大小，同时乘方或开方．
考法3：对数型复合函数
⑴复合函数的定义域和值域
函数y = loga f (x) 的定义域是使真数为正的x 的取值范围，要注意底数为正且不等于1．
在求出函数定义域的基础上，由内而外分层求值域．
⑵复合函数的单调性
注意函数的定义域，根据“同增异减”原则，同时关注内外层单调性，含有参数则分类讨论．
考法4：对数比较大小
同底或同真的比较方法与指数幂比较大小的方法一致；
中间量可以找与两者有公共底、公共真数的中间量，也可以找0 或1；
也可以估计对数的大致取值，了解lg2、lg3、lge 的大致取值．
精讲精练
考点9: 指数型函数图像
例9 （1）已知函数f(x) = ax +b(a > 0 且a̸ = 1) 的图象如图所示，则a−b 的值为
．
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1
（2）正确率：72%
函数y =
(
1
2
)|x|
的图象是( )
考点10: 指数方程与指数不等式
例10 （1）方程4x −2x+1 = 0 的解为
．
（2）不等式2x2−4x−3 >
(
1
2
)3(x−1)
的解集为
．
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13
1
考点11: 指数型函数性质综合
例11 （1）已知函数f (x) =
(
1
3
)x
−3x，则f (x)( )
A. 是奇函数，且在R 上是增函数
B. 是偶函数，且在R 上是增函数
C. 是奇函数，且在R 上是减函数
D. 是偶函数，且在R 上是减函数
（2）正确率：55%
函数f (x) = (1
5)
x2+ax
在区间[1,2] 上是单调减函数，则实数a 的取值范围是( )
A. (−∞,−4]
B. (−∞,−2]
C. [−2,+∞)
D. [−4,+∞)
（3）函数y =
(
1
4
)x
−
(
1
2
)x
+1 在x ∈[−3,2] 上的值域是
．
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14
1
考点12: 对数函数图象
例12 如图，曲线是对数函数y = logax 的图象，已知a 取
√
2，5
3，2
5，3
10，则相应于C1，C2，C3，C4 的a 值依次
为( )
A.
√
2，5
3，2
5，3
10
B.
√
2，5
3，3
10，2
5
C. 5
3，
√
2，2
5，3
10
D. 5
3，
√
2，3
10，2
5
考点13: 对数型函数性质综合
例13 （1）正确率：47%
已知函数f (x) = ln(−x2 −2x+3)，则f (x) 的增区间为( )
A. (−∞,−1)
B. (−3,−1)
C. [−1,+∞)
D. [−1,1)
（2）正确率：43%
若函数y = loga(x2 −ax+1) 有最小值，则a 的取值范围是( )
A. 0 < a < 1
B. 0 < a < 2,a̸ = 1
C. 1 < a < 2
D. a ⩾2
考点14: 指对幂综合比较大小
例14 设a = 20.5,b = 0.52,c = log20.5，则a,b,c 的大小关系为( )
A. c > a > b
B. c > b > a
C. a > b > c
D. b > a > c
第2 讲
函数的图象与性
质
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17
2
直击课堂
考纲解读
1．函数的单调性与奇偶性
理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数, 了解函数奇偶性的含义.
2. 函数图象的识别与应用
会运用函数图像理解和研究函数的性质.
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2
1
模块
1
函数的单调性与奇偶性
知识凝炼
1
单调性的基础概念
如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x1,x2，当x1 < x2 时，有f(x1) < f(x2)，那么就
说函数f(x) 在区间D 上是增函数（如图A）．区间D 称为函数f(x) 的单调增区间.
如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x1,x2，当x1 < x2 时，有f(x1) > f(x2)，那么就
说函数f(x) 在区间D 上是减函数（如图B）. 区间D 称为函数f(x) 的单调减区间.
考情分析
单调性在高考中常利用定义、函数图象判断一些简单函数的单调性；利用函数的单调性比较大小；利用函
数的单调性求参数.
2
奇偶性的基础概念
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19
2
考情分析
高考命题常利用定义、函数图象、函数性质判断函数的奇偶性；利用函数的奇偶性求函数解析式、函数值、
参数.
方法点拨
考法1：单调性
1
函数单调性的判断
(1) 单调性的四则运算
①若C > 0，则C · f (x) 的单调性与f (x) 相同；若C < 0，则C · f (x) 的单调性与f (x) 相反．
②f (x) 在恒正或恒负的区间内，1
f (x) 的单调性与f (x) 相反．
③
√
f (x) 与f (x) ⩾0 时的f (x) 的单调性相同．
④f (x) 与g(x) 单调性相同时，f (x)+g(x) 也具有相同的单调性．
⑤f (x) 与g(x) 恒正且单调性相同时，f (x)g(x) 具有相同的单调性．
(2) 复合函数的单调性
首先确定函数f [g(x)] 的定义域，分解成简单函数f (x) 与g(x)；
根据所求单调性的单调区间以及外层函数f (x) 的单调性，确定需求的是内层函数g(x) 的增区间还是减
区间，将问题转化成求简单函数g(x) 的单调区间，继续求解，方法口诀为“同增异减”.
特别注意，求出g(x) 的单调区间后，一定与复合函数的定义域取交集．
(3) 图象法：根据常见的函数的图象走势判断函数的单调性.
(4) 导数法：导数法是高考中比较常用的用于求解函数单调性的方法，具体操作步骤会在后续讲中体现.
(5) 定义法.
2
利用单调性解不等式
若f (x) 在某区间上是增函数，则f (x1) < f (x2) ⇔x1 < x2，在解决与抽象函数有关的不等式的问题时，可
利用上式脱去f，化为一般的不等式求解，但要保证x1 与x2 都在同一个单调区间内．
考法2：奇偶性
1
函数奇偶性的判断
⑴定义判断
①判断函数f (x) 的定义域是否关于原点对称；
②判断f (−x) 与f (x) 相等还是相反．
⑵运算性质
在奇函数、偶函数的公共定义域上：
奇函数± 奇函数= 奇函数，偶函数± 偶函数= 偶函数，
奇函数× 奇函数= 偶函数，偶函数× 偶函数= 偶函数，
奇函数× 偶函数= 奇函数，
奇函数
= 偶函数．
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20
2
2
函数奇偶性的应用
⑴求函数值
利用奇函数的定义式f (−x) = −f (x) 或偶函数的定义式f (−x) = f (x) 建立f (−x) 与f (x) 的关系，将所
求的f (t) 转化为可求值的f (−t) 上，达到求值的目的．
⑵求参数值
在定义域关于0 对称的前提下，根据奇函数、偶函数的定义式列式求参数值．或者运用特殊值f (1)、f (−1)、
f (0) 等求参数．
⑶解不等式
结合函数的单调性和奇偶性，把函数不等式中的自变量转化到同一个单调区间上，根据单调性脱去f 解不
等式．
精讲精练
考点1: 多种方法判断具体函数的单调性
例1
不通过求导，求出下列函数在定义域内的所有单调区间．
(1)f (x) = √x−1−1
x
(2)f(x) = x2√x−1
(3)f(x) = e−x −
1
√1−x
(4)f(x) = x(1+e2x)−(e2x −1)(x ⩾1)
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21
2
考点2: 利用单调性比较大小
例2
正确率：40%
函数f (x) =
1
x−1，设a = log 1
2
1
3,b = log2
1
3,c =
(
1
3
)0.2
，则( )
A. f (a) < f (c) < f (b)
B. f (b) < f (a) < f (c)
C. f (c) < f (a) < f (b)
D. f (c) < f (b) < f (a)
考点3: 判断函数奇偶性
例3
正确率：32%
已知f(x) =
√
4−x2，g(x) = |x−2|，则下列结论正确的是( )
A. h(x) = f(x)+g(x) 是偶函数
B. h(x) = f(x)·g(x) 是奇函数
C. h(x) = g(x)· f (x)
2−x
是偶函数
D. h(x) =
f (x)
2−g(x) 是奇函数
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22
2
考点4: 函数性质判断
例4 （1）若函数f (x) = xln(x+
√
a+x2) 为偶函数，则a =
．
（2）正确率：47%
已知函数f (x) = ln
(√
1+9x2 −3x
)
+1，则f (lg2)+ f
(
lg 1
2
)
=（ ）
A. −1
B. 0
C. 1
D. 2
考点5: 函数性质综合应用
例5 （1）已知偶函数f (x) 在[0,+∞) 单调递减，f (2) = 0，若f (x−1) > 0，则x 的取值范围是
．
（2）已知函数f (x) = x−sinx，若f (a−2)+ f
(
a2)
⩾0，则实数a 的取值范围是
．
（3）已知函数f (x) = x(2x −1
2x )，若f (x−1) > f (x)，则x 的取值范围是
．
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2
2
模块
2
函数图象的识别与应用
知识凝炼
1
图象的三种变换类型
2
图象的识别与应用：
结合图象变换与函数性质分析函数图像，并根据图象研究函数如零点等的其它性质．
考情分析
高考中常考查基本初等函数、三角函数之间的四则运算和简单的复合函数图象，要求对基本初等函数的性
质和图象了然于胸．此外，高考中常利用函数的图象分析函数的性质，如逆向求解参数值或范围，判断零点个数
等．
方法点拨
考法1：函数图象的识别
首先，根据函数解析式判断函数的奇偶性、单调性和周期性，作出易得图象的一部分，再结合性质作出函数
图象．
其次，作图时可以从下列几个方面入手：
⑴函数的定义域、奇偶性、周期性；
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24
2
⑵定义域间断点附近函数值的正负和大小（是0 还是无穷大）；
⑶定义域无穷大处函数值的正负和大小（是0 还是无穷大）；
⑷特殊点的函数值（如f (0)、f (±1)、f (±2) 等），在某一区间函数值的正负；
⑸判断函数的单调性、单调区间，运用单调性的四则运算或复合函数的单调性、导数判断；
⑹函数的零点、极值点．
考法2：函数图象的应用
方程f (x) = 0 的根的个数、函数f (x) 的零点个数和函数y = f (x) 的图象与x 轴交点个数相同．
如果f (x) 含有参数a，或者由多个基本初等函数复合、四则运算得到，可以把方程f (x) = 0 等价转化为
g(x) = a 或u(x) = v(x)，在同一个坐标系中作出需要的函数图象，观察交点个数．若函数中有周期性或奇偶性，
注意最后的图象交点和x = 0 附近函数的交点．
精讲精练
考点6: 函数图象的识别
例6 （1）正确率：44%
函数y = 2|x| sin2x 的图象可能是( )
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25
2
（2）正确率：67%
函数y = −x4 +x2 +2 的图象大致为( )
（3）正确率：59%
函数y = 1+x+ sinx
x2
的部分图象大致为( )
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2
考点7: 函数图象的应用
例7 （1）函数f (x) = cosx−lgx 的零点个数为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
（2）正确率：37%
已知函数f (x) =
x2 −4x+a,x < 1
lnx+1,x ⩾1
，若方程f (x) = 2 有两个解，则实数a 的取值范围是( )
A. (−∞,2)
B. (−∞,2]
C. (−∞,5)
D. (−∞,5]
（3）方程|lgx|+x−2 = 0 的解的个数是( )
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
（4）正确率：44%
设函数f (x) 是定义在R 上的偶函数，且f(x+2) = f (2−x)，当x ∈[−2,0] 时，f (x) = (
√
2
2 )
x
−1，则
在区间(−2,6) 内关于x 的方程f (x)−log8(x+2) = 0 解的个数为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
第3 讲
导数的运算与切
线问题
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29
3
直击课堂
考纲解读
1.导数的运算
(1) 能根据导数定义求函数导数.
(2) 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数, 能求简单的复合函数
的导数.
2.导数概念及其几何意义
(1) 了解导数概念的实际背景.
(2) 理解导数的几何意义.
高三数学·目标一本（全国）·秋
30
3
1
模块
1
导数的运算
知识凝炼
1
导数的概念
设函数y = f(x) 在区间(a,b) 上有定义，x0 ∈(a,b)，当∆x 无限趋近于0 时，比值f (x0 +∆x)−f (x0)
∆x
无限
趋近于一个常数，则称f(x) 在点x = x0 处可导，并称这个常数为函数f(x) 在x = x0 处的导数，记作f ′ (x0)．
2
基本初等函数的导数公式
3
导数的四则运算法则
（1）[f(x)±g(x)]′ =f ′(x)±g′(x)；特别的[f (x)+c]′ =f ′ (x)．
（2）[f (x)·g(x)]′ =f ′ (x)·g(x)+ f (x)·g′ (x)；特别的[cf (x)]′ =c f ′ (x)．
（3）
[ f (x)
g(x)
]′
= f ′ (x)g(x)−f (x)g′ (x)
[g(x)]2
（g(x)̸ = 0）．
4
简单复合函数的导数
关于复合函数的导数，高考目前只要求内层函数是一次函数的情形，即：
[f (ax+b)]′ = af ′ (ax+b)．
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31
3
方法点拨
1
解析式中含有某点导数f ′(x0) 的处理方法
解决这类问题的关键是明确某点导数是个常数，因此先对解析式两边求导得f ′(x) 的表达式，再将自变量
x 赋值为x0，即可得到f ′(x0) 的值，进而得到函数的解析式．
2
导数的运算技巧
（1）先变形后求导：某些函数解析式给出的并不是最简形式，如sin x
2 cos x
2，ln(3x2) 等；尤其是以乘除形式
出现或可通过因式分解、通分等化为乘除形式的函数，须先将函数化简为最简单，最便于求导的形式，然后再去
求导．
（2）ex f(x)、e−x f(x) 型求导：(ex f(x))′ = ex (f(x)+ f ′(x))，(e−x f(x))′ = e−x (−f(x)+ f ′(x))；更一般的，
(enx f(x))′ = enx (n f(x)+ f ′(x))，(e−nx f(x))′ = e−nx (−nf(x)+ f ′(x))．
精讲精练
考点1: 导数的四则运算
例1
求下列函数的导数．
（1）y =
3√
x2+log2x （2）y = x+3
x+2 （3）y = (1−√x)
(
1+ 1
√x
)
（4）y = 2sinx+3cosx （5）y = 1
x −√x （6）y = ex lnx （7）y = sinx
x−1
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32
3
考点2: 复合函数求导运算
例2
求下列函数的导数
（1）y = ln(2x+3)．
（2）y = ln 1−x
1+x．
（3）y = cos
(
2x+ π
3
)
．
考点3: 导数的综合运算
例3
下列式子不正确的是( )
A. (3x2 +cosx)′ = 6x−sinx
B. (lnx−2x)′ = 1
x −2x ln2
C. (2sin2x)′ = 2cos2x
D.
(
sinx
x
)′
= xcosx−sinx
x2
例4 （1）已知函数f (x) = f ′ (−2)ex −x2，则f ′ (−2) =( )
A.
e2
e2 −1
B. 4
(
e2 −1
)
e2
C. e2 −1
4e2
D.
4e2
e2 −1
（2）已知函数f (x) = sinx+ f ′
(
π
2
)
x2，则f ′
(
π
2
)
=( )
A. 1
2
B. 0
C. π
2
D. 1
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33
3
2
模块
2
切线问题
知识凝炼
导数的几何意义与切线方程
函数y = f(x) 在x = x0 处的导数f ′ (x0) 的几何意义是曲线y = f(x) 在点(x0, f (x0)) 处的切线的斜率．因
此曲线y = f (x) 在点(x0, f (x0)) 处的切线方程为y−f (x0) = f ′ (x0)(x−x0)．
注：如果曲线y = f(x) 在点(x0, f (x0)) 的切线平行于y 轴或与y 轴重合时（此时导数不存在），切线的方
程为x = x0．
方法点拨
切点未知时的处理策略——待定切点法
由于切点提供了切线方程的两个核心条件：
a) 切线上的一点坐标(x0, f (x0))；
b) 切线的斜率f ′ (x0).
因此当切点未知时，我们必须要设出切点的坐标，然后利用切点所满足的三个条件：
①切点在原曲线上；
②切点在切线上；
③导数为切线斜率，联立方程组求解．
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34
3
精讲精练
考点4: 切线方程的求法(切点已知)
例5 （1）曲线y = ex−lnx 在点(1,e) 处的切线方程为（ ）
A. (1−e)x−y+1 = 0
B. (1−e)x−y−1 = 0
C. (e−1)x−y+1 = 0
D. (e−1)x−y−1 = 0
（2）已知奇函数y = f (x) 在区间(−∞,0] 上的解析式为f (x) = x2 +x, 则切点横坐标为1 的切线方程是
( )
A. x+y+1 = 0
B. x+y−1 = 0
C. 3x−y−1 = 0
D. 3x−y+1 = 0
考点5: 切线方程的求法(切点未知)
例6 （1）若曲线y = √x 的一条切线经过点(8,3)，则此切线的斜率为( )
A. 1
4
B. 1
2
C. 1
4 或1
8
D. 1
2 或1
4
（2）已知曲线f (x) = 1
3x3 + 4
3(x ∈R)，则过点P(2, f (2)) 的切线方程为( )
A. 4x−y−4 = 0
B. x−y+2 = 0
C. 8x−y−12 = 0 或x−y+2 = 0
D. 4x−y−4 = 0 或x−y+2 = 0
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35
3
考点6: 已知切线方程求参
例7 （1）正确率：69%
设曲线y = x+1
x−1 在点(2,3) 处的切线与直线ax+y+1 = 0 平行，则a =( )
A. 1
2
B. −1
2
C. −2
D. 2
（2）已知直线2x−y+1 = 0 与曲线y = lnx+a 相切，则实数a 的值是
．
（3）正确率：69%
已知直线2x−y+1 = 0 与曲线y = aex +x 相切(其中e 为自然对数的底数)，则实数a 的值是( )
A. 1
2
B. 1
C. 2
D. e
考点7: 公切线问题
例8
若直线y = kx+b 是曲线y = lnx+2 的切线，也是曲线y = ln(x+1) 的切线，则b =
．
第4 讲
导数的应用
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37
4
直击课堂
考纲解读
1. 利用导数分析函数单调性
(1) 了解函数单调性和导数的关系；
(2) 能利用导数研究函数的单调性, 会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).
2. 极值与最值的求法
(1) 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一
般不超过三次)；
(2) 会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).
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4
1
模块
1
利用导数分析函数单调性
知识凝炼
1
导数符号与单调性的关系
如果函数y = f(x) 在x 的某个开区间内，总有f ′(x) > 0，则f(x) 在这个区间上是增函数；
如果函数y = f(x) 在x 的某个开区间内，总有f ′(x) < 0，则f(x) 在这个区间上是减函数．
2
利用导数求函数单调区间的一般步骤
(1)(确定定义域) 确定函数的定义域；
(2)(求导函数零点) 求导数f ′(x)，令f ′(x) = 0，解此方程，求出它在定义域内的所有实根；
(3)(划分区间) 把函数f(x) 的间断点和上面的各实根按从小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数
f(x) 的定义域分成若干个小区间．
(4)(判断单调性) 确定f ′(x) 在各个小区间内的符号，根据f ′(x) 的符号确定f(x) 在各个小区间内的增减性．
①不要忽视函数定义域；
②在对函数划分单调区间时，需要注意间断点和不可导的点；
③求导数零点时，通分与因式分解是常用的重要手段．另外讨论导函数的符号时，很多时候需要对某些
因式的范围作出合理估计；
④如果导函数的零点与符号难以确定，则往往需要对导函数再次求导，由二阶导函数的性质反推导函
数的性质.
考情分析
高考中，常考查利用导数求函数的单调区间；利用导数与单调性的关系，将已知单调性求参数问题转化为
不等式恒成立问题. 此外，利用导数分析函数的单调性是压轴大题后续小题的重要基础，需要额外重视.
利用导数研究函数的单调性常见题型有以下三种
1. 已知函数解析式求单调区间，实质上是求f ′(x) > 0，f ′(x) < 0 的解集，但是要注意定义域；
2. 含参数的单调性问题要分类讨论，通过确定导数的符号，判断函数的单调性；
3. 已知函数单调性可以利用已知区间和函数单调区间的包含关系或转化为恒成立问题两种思路解决.
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39
4
方法点拨
1
含参函数导数的分类讨论
(1) 在研究含有参数的函数f(x) 的单调性时，分类讨论的依据如下：
①f(x) 的导函数f ′(x) 正负分布情况，往往由首项系数决定；
②f ′(x) = 0 的根的个数；
③f ′(x) = 0 的根是否在f(x) 的定义域内；
④f ′(x) = 0 的各个根，以及f(x) 的间断点之间的大小关系．
(2) 很多题目中的导函数都是由一个含参的二次函数决定符号，对于这种情形，分类讨论的流程如下图所示：
2
利用高阶导数判断单调性
在用导数研究函数时，很多时候求一次导数并不能判断导函数的零点及符号，这时就需要对导函数再次求
导，然后由二阶导函数的符号判断一阶导函数的单调性，进而再根据一阶导函数特殊点的函数值判断一阶导函
数的符号，从而得到原函数的单调性与最值．如果二阶导函数性状依然不好确定，那么还可以继续求导，直到能
够确定其符号为止，但要注意最终须回归到原函数．
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4
3
多次求导的使用技巧
(1) 在每次求导时，我们的目的是判断该阶导函数的符号，因此可以对此函数作适当变形，只针对其不能定
号的部分来构造新函数，然后再去求导．
(2) 由各阶导数研究原函数时，往往需要结合零点存在定理（或者试根）找出导数的零点，或者说明导数恒
正（负），然后得到原函数的单调性．
精讲精练
考点1: 判断不含参函数的单调性
例1
设函数f (x) =
(
1−x2)
ex．讨论f (x) 的单调性.
例2
正确率：64%
函数f (x) = x2 −ln(2x) 的单调增区间是( )
A. (0,
√
2
2 ]
B. [
√
2
2 ,+∞]
C. (−∞,−
√
2
2 ],(0,
√
2
2 )
D. [−
√
2
2 ,0),(0,
√
2
2 ]
例3
讨论函数f(x) = ex −ln(x+1) 的单调性．
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41
4
考点2: 判断含参函数的单调性
例4
设函数f(x) = ax2 +2ax−ln(x+1)，其中a ∈R．讨论f(x) 的单调性．
例5
已知函数f (x) = alnx+ a
2x2 −
(
a2 +1
)
x．讨论函数f (x) 的单调性．
例6
已知函数f (x) = (x−2)ex +a(x−1)2．讨论f (x) 的单调性．
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42
4
考点3: 二阶求导问题
例7
设函数f(x) = (2−x)ex +e2x，求f(x) 的单调区间．
例8
已知函数f (x) = (2 + x + ax2)ln(1 + x) −2x．若a = 0，证明：当−1 < x < 0 时，f (x) < 0；当x > 0 时，
f (x) > 0．
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43
4
2
模块
2
极值与最值的求法
1
极值
已知函数y = f(x)，设x0 是定义域内任一点，如果对x0 附近的所有点x，都有f(x) < f(x0)，则称函数f(x)
在点x0 处取极大值，记作y极大= f(x0). 并把x0 称为函数f(x) 的一个极大值点.
如果在x0 附近都有f(x) > f(x0)，则称函数f(x) 在点x0 处取极小值，记作y极小= f(x0). 并把x0 称为函
数f(x) 的一个极小值点.
极大值与极小值统称为极值. 极大值点与极小值点统称为极值点.
2
最值
函数的最大（小）值是函数在指定区间上的最大（小）值．
考情分析
高考试卷中常考查：利用导数求函数的极值，求闭区间上函数的最值；利用导数在极值点处的函数值为0
建立关于参数的方程，以求参数值等. 以上均属于高考中的热点和重难点。
方法点拨
1
求解函数极值(点) 的步骤:
①函数的极值点的导数为0，但导数为0 的点可能不是函数的极值点. 也就是说，若f ′ (c) 存在，f ′ (c) =
0 是f (x) 在x = c 处取得极值的必要条件，但不是充分条件. 比如f (x) = x3 在x = 0 处，f ′ (0) = 0 但
x = 0 不是函数的极值点，所以一定要注意点的左右变化趋势.
②不可导的点也可能是极值点，比如y = |x| 在x = 0 时不可导，但是极小值点.
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44
4
2
求指定区间上函数的最值的步骤：
①求函数在该区间上的极值；
②把极值与端点的函数值作比较，最大的为最大值，最小的为最小值．
精讲精练
考点4: 求函数极值
例9
已知函数f (x) = ax2 −(a+2)x+lnx．若a = 1，求函数f (x) 的极值．
例10 已知函数f (x) = kx3 +3(k −1)x2 −k2 +1 在x = 0，x = 4 处取得极值．
（1）求常数k 的值；
（2）求函数f (x) 的单调区间与极值．
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45
4
考点5: 求函数最值
例11
正确率：74%
函数f (x) = x2 ·ex+1，x ∈[−2,1] 的最大值为( )
A. 4e−1
B. 1
C. e2
D. 3e2
例12 已知函数f (x) = ex cosx−x．求函数f (x) 在区间
[
0, π
2
]
上的最大值和最小值．
例13 已知函数f (x) = 1
2x2 −(a+1)x+alnx(a > 0)．
（1）求f (x) 的极值点；
（2）当a = 2 时，函数f (x) 在[1,t](t > 1) 上的最大值是f (t)，求t 的最小整数值．
第5 讲
三角函数
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47
5
直击课堂
考纲解读
1. 三角恒等变换
(1) 能利用单位圆中的三角函数线推导出正弦、余弦、正切的诱导公式.
(2) 理解同角三角函数的基本关系式.
(3) 会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．
(4) 能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式．
(5) 能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解
它们的内在联系．
(6) 能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求
记忆）．
2. 正弦型函数的图象与性质
(1) 理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切) 的定义.
(2) 能画出正弦、余弦、正切函数的图像, 了解三角函数的函数性质.
(3) 了解正弦型三角函数的物理意义；能画出对应的图象，并理解参数对函数图像变化的影响.
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5
1
模块
1
三角恒等变换
知识凝炼
一、和差角公式
1．和角的余弦公式C(α+β) : cos(α +β) = cosα cosβ −sinα sinβ；
差角的余弦公式C(α−β) : cos(α −β) = cosα cosβ +sinα sinβ．
2．和角的正弦公式S(α+β) : sin(α +β) = sinα cosβ +cosα sinβ；
差角的正弦公式S(α−β) : sin(α −β) = sinα cosβ −cosα sinβ．
3．和角的正切公式T(α+β) : tan(α +β) = tanα +tanβ
1−tanα tanβ ；
差角的正切公式T(α−β) : tan(α −β) = tanα −tanβ
1+tanα tanβ ．
二、二倍角公式
1
二倍角公式
(1) 二倍角正弦公式S2α : sin2α = 2sinα cosα；
(2) 二倍角余弦公式C2α : cos2α = cos2α −sin2α = 2cos2α −1 = 1−2sin2α；
(3) 二倍角正切公式T2α : tan2α =
2tanα
1−tan2α ．
2
变形公式
(1) 配方变换：1±sin2α = (sinα ±cosα)2；
(2) 因式分解：cos2α = (cosα +sinα)(cosα −sinα)；
(3) 降幂扩角：cos2α = 1+cos2α
2
，sin2α = 1−cos2α
2
；
(4) 升幂缩角：1+cosα = 2cos2 α
2 ，1−cosα = 2sin2 α
2 ．
三、辅助角公式
1
asinα +bcosα =
√
a2 +b2 sin(α +φ)，其中
√
a2 +b2 > 0，cosφ =
a
√
a2 +b2 ，sinφ =
b
√
a2 +b2 ．
2
常见的辅助角公式
(1)sinα ±cosα =
√
2sin
(
α ± π
4
)
；
(2)sinα ±
√
3cosα = 2sin
(
α ± π
3
)
；
(3)
√
3sinα ±cosα = 2sin
(
α ± π
6
)
．
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49
5
使用辅助角公式时，可能需要出现
√
a2 +b2 cos(α +φ) 的形式，保险起见，先用辅助角公式转化为正弦
形式，再用诱导公式转化为余弦形式.
考情分析
两角和与差的正弦、余弦、正切公式作为解题工具，是每年高考的必考内容，常在选择题中以条件求值的形
式考查．面对有关三角函数的求值、化简和证明，许多考生一筹莫展，而三角恒等变换更是三角函数的求值、求
角问题中的难点和重点，其难点在于：其一，如何牢固记忆众多公式，其二，如何根据三角函数的形式去选择合
适的求值、求角方法．
方法点拨
一、三角恒等变换的公式使用技巧
1
角的整体代换
和差角公式、二倍角公式和辅助角公式中的α 和β 都是任意角，既可以是一个具体的角，也可以是多个角
的组合，角之间的和差关系、倍半关系是相对的．
2
函数名称变换
三角函数式的化简求值常常需要化为同角、同函的式子，在化简之前，先观察角之间是否具有特殊的和差
关系，判断能否先用诱导公式或同角关系式把不同角、不同函的式子转化为同角、同函的式子．如果不能，再利
用三角恒等变换公式化简为同角、同函的式子或值．如果原式正弦、正切、余弦同时存在，合理选择弦化切或切
化弦，再对式子进行处理．
3
常数代换
注意三角函数式中的常数，可能单独出现，也可能隐藏在乘式或分式中，有时需要把常数转化为三角函数
式加入运算，常见的常数与三角函数的关系如下：
(1)1 = sin2α +cos2α = tan π
4 = sin π
2 = 2sin π
6 = 2cos π
3 ；
(2)
√
2 = 2sin π
4 = 2cos π
4 = (sinα ±cosx)max；
(3)
√
3 = 2sin π
3 = 2cos π
6 = tan π
3 ．
4
幂的变换
降幂公式主要用于把幂次较高、半角的三角函数式整合为低幂次、倍角形式的三角函数式，便于研究三角
函数的性质；
升幂公式主要用于把分式、无理式或其他形式的三角函数式化为整式，便于求值．
5
变形公式
只要求掌握和差角公式、二倍角公式、辅助角公式和常用的变形公式，了解积化和差、和差化积和半角公式
的推导过程．
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5
6
结构变化
在三角变换过程中，常对条件和结论的结构进行调整，或重新分组，或移项，或变乘为除，或求差，注意变换
过程的等价性．
二、化简三角函数关系式为正弦型三角函数的一般步骤
1. 一般情况下，将正切函数转化为正弦比余弦的形式，并在适当的场景需要将和差角的正余弦进行展开，
随后进行合并同类项；
2. 使用升幂降角公式，再次合并同类项；
3. 使用辅助角公式化成单角单名的正弦型三角函数.
三、三角函数式的化简要遵循“三看”原则
(1) 一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；
(2) 二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式；
(3) 三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向．
四、给值求角方法归纳
通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：
①已知正切函数值，选正切函数；
②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是
(
0, π
2
)
，选正、余弦皆可；若角的范围是(0,π)，
选余弦较好；若角的范围为
(
−π
2 , π
2
)
，选正弦较好．
五、三角函数的给值求值方法
三角函数的给值求值，关键是把待求角用已知角表示：
(1) 已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．
(2) 已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余互补”关系．
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51
5
精讲精练
考点1: 三角求值问题
例1 （1）正确率：73%
已知sinα +3cosα
3cosα −sinα = 5，则sin2α −sinα cosα =( )
A. 2
5
B. −2
5
C. 2
D. −2
（2）正确率：70%
已知tanθ = 2，则sinθ +cosθ
sinθ
+sin2θ 的值为( )
A. 19
5
B. 16
5
C. 23
10
D. 33
10
例2 （1）已知−π
2 < α < 0，sinα +cosα = 1
5，则
1
cos2α −sin2α 的值为( )
A. 7
5
B. 7
25
C. 25
7
D. 24
25
（2）已知x ∈
(
−π
2 ,0
)
且cosx = 4
5，则tan2x =( )
A. 7
24
B. −7
24
C. 24
7
D. −24
7
高三数学·目标一本（全国）·秋
52
5
例3 （1）已知cos
(
π
2 +α
)
=
√
3
3
(
−π
2 < α < π
2
)
，则sin
(
α + π
3
)
=( )
A. 3
√
2−
√
3
6
B. 3
√
2+
√
3
6
C.
√
6−3
6
D.
√
6+3
6
（2）若cos
(
π
4 −α
)
= 3
5，则sin2α =( )
A. 7
25
B. 1
5
C. −1
5
D. −7
25
考点2: 辅助角公式
例4
已知函数f (x) = 2sin2
(
x+ π
4
)
−
√
3cos2x，x ∈
[
π
4 , π
2
]
．设x = α 时f (x) 取到最大值．
求f (x) 的最大值及α 的值．
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53
5
例5
已知函数f (x) = −sinx·cosx+
√
3cos2x−
√
3
2 ．求函数f (x) 的单调递增区间．
2
模块
2
正弦型函数的图象与性质
知识凝炼
1
图象的三种变换类型
示例(1-1) 如下:
(1) x 轴方向的平移变换：y = sinx
φ>0时向左
−−−−−−→
φ<0时向右平移|φ| 个单位得y = sin(x+φ)．
(2) x 轴方向的伸缩变换：y = sinx 的横坐标
ω>1时缩短
−−−−−−−−→
0<ω<1时伸长到原来的1
ω 倍得y = sinωx．
(3) y 轴方向的伸缩变换：y = sinx 的纵坐标
A>1时伸长
−−−−−−−−→
0<A<1时缩短到原来的A 倍得y = Asinx．
y 轴方向的伸缩变换与伸缩系数A 保持一致，但x 轴方向的伸缩变换与伸缩系数ω 恰好相反．
高三数学·目标一本（全国）·秋
54
5
示例(1-2): y = sinx −→y = Asin(ωx+φ) 图象变换的两种途径：
(1) 先平移后伸缩(x →x+φ →ωx+φ)，变换方法如下：
y = sinx 的图象
向左(φ>0)或向右(φ<0)
−−−−−−−−−−−−−−→
平移|φ|个单位长度
y = sin(x+φ) 的图象
横坐标伸长(0<ω<1)或缩短(ω>1)
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→
到原来的1
ω
(纵坐标不变)
y = sin(ωx+φ) 的图
象
纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→
为原来的A倍(横坐标不变)
y = Asin(ωx+φ) 的图象．
(2) 先伸缩后平移(x →ωx →ωx+φ)，变换方法如下：
y = sinx 的图象
横坐标伸长(0<ω<1)或缩短(ω>1)
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→
到原来的1
ω
(纵坐标不变)
y = sinωx 的图象
向左(φ>0)或向右(φ<0)
−−−−−−−−−−−−−−→
平移
φ
ω
个单位
y = sin(ωx + φ) 的图象
纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→
为原来的A倍(横坐标不变)
y = Asinx(ωx+φ) 的图象．
2
三角函数的图象与性质
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55
5
3
函数y = Asin(ωx+φ) 的性质
考情分析
全国高考试卷中3 年6 考，每年至少1 题，当考3 个小题时，当年就不再考三角大题了．题目难度一般属
于中等难度，近几年难度有加大的趋势, 如2016 年和2018 年都是作为压轴题出现, 且开始与导数相联系；2013
年15 题对化简要求较高，2018 年的难度回归到2013 年, 难度较大, 都可以使用导数求解．2016 年的图象考法
也较难，为压轴题.
方法点拨
由正弦型函数图象确定参数的方法有：
(1) A：由图象的最高点、最低点来确定，关注图象中非对称点的纵坐标（1
2,
√
2
2 ,
√
3
2
等）．
(2) ω：通过图象中的周期条件确定，根据对称中心、对称轴间的距离找到T
4 , T
2 , 3T
4 ,T，反求出ω．
(3) φ：①一般用最高点或最低点确定，求出φ 的周期性表达，再根据题目要求的范围确定其具体值，如果
选取零点来确定，则应该先确定此处的单调性趋势，增区间内零点满足ωx0 + φ = 2kπ ，减区间内的零点满足
ωx0 +φ = 2kπ +π，k ∈Z．
②由图象变换来确定，找到最近的“五点法”的第一个点
(
−φ
ω ,0
)
就是由原点平移得到，从图中读取此点
坐标，求出φ．
高三数学·目标一本（全国）·秋
56
5
精讲精练
考点3: 图象变换
例6 （1）将函数y = 2sin
(
2x+ π
6
)
的图象向右平移1
4 个周期后，所得图象对应的函数为( )
A. y = 2sin
(
2x+ π
4
)
B. y = 2sin
(
2x+ π
3
)
C. y = 2sin
(
2x−π
4
)
D. y = 2sin
(
2x−π
3
)
（2）将函数y = sin
(
x−π
4
)
的图象上各点的横坐标伸长到原来的2 倍(纵坐标不变)，再向右平移π
6 个
单位，则所得函数图象的解析式为( )
A. y = sin
(
x
2 −5π
24
)
B. y = sin
(
x
2 −π
3
)
C. y = sin
(
x
2 −5π
12
)
D. y = sin
(
2x−7π
12
)
例7 （1）为了得到函数y = sin
(
2x−π
3
)
的图象，可以将函数y = cos2x 的图象( )
A. 向左平移5π
12 个单位
B. 向右平移5π
12 个单位
C. 向右平移π
6 个单位
D. 向左平移π
6 个单位
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57
5
（2）正确率：66%
曲线C1 : y = cosx，C2 : y = sin
(
2x+ 2π
3
)
，则下面结论正确的是（ ）
A. 把C1 上各点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π
6 个单位长
度，得到曲线C2
B. 把C1 上各点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π
12 个单位长
度，得到曲线C2
C. 把C1 上各点的横坐标缩短到原来的1
2，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π
6 个单位长度，
得到曲线C2
D. 把C1 上各点的横坐标缩短到原来的1
2，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π
12 个单位长度，
得到曲线C2
考点4: 正弦型函数图象与性质综合
例8 （1）已知函数f (x) = 2sin
(
π
4 −2x
)
，则函数f (x) 的单调递减区间为( )
A.
[
3π
8 +2kπ, 7π
8 +2kπ
]
(k ∈Z)
B.
[
−π
8 +2kπ, 3π
8 +2kπ
]
(k ∈Z)
C.
[
3π
8 +kπ, 7π
8 +kπ
]
(k ∈Z)
D.
[
−π
8 +kπ, 3π
8 +kπ
]
(k ∈Z)
（2）已知函数f (x) = sin
(
2x−3π
2
)
(x ∈R)，下列说法错误的是( )
A. 函数f (x) 最小正周期是π
B. 函数f (x) 是偶函数
C. 函数f (x) 图象关于
(
π
4 ,0
)
对称
D. 函数f (x) 在
[
0, π
2
]
上是增函数
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58
5
考点5: 由图象确定正弦型函数的解析式
例9 （1）函数y = Asin(ωx+φ)(A > 0,ω > 0,0 < φ < π) 在一个周期内的图象如图，此函数的解析式为( )
A. y = 2sin(2x+ 2π
3 )
B. y = 2sin(2x+ π
3 )
C. y = 2sin(x
2 −π
3 )
D. y = 2sin(2x−π
3 )
（2）函数f (x) = −sin(ωx+φ)(|φ| < π) 的部分图象如图所示，则φ =( )
A. π
3
B. −π
3
C. −2π
3
D. π
3 或−2π
3
第6 讲
解三角形
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61
6
直击课堂
考纲解读
1. 正余弦定理
掌握正弦定理、余弦定理, 并能解决一些简单的三角形度量问题.
2. 解三角形中的重点题型
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.
高三数学·目标一本（全国）·秋
62
6
1
模块
1
正余弦定理
知识凝炼
1
正弦定理
⑴定理内容：a
sinA =
b
sinB =
c
sinC = 2R．
⑵变形公式：
①a : b : c = sinA : sinB : sinC；
②边化角：sinA = a
2R，sinB = b
2R，sinC = c
2R；
角化边：a = 2RsinA，b = 2RsinB，c = 2RsinC；
③asinB = bsinA，asinC = csinA，bsinC = csinA．
2
余弦定理
⑴定理内容：
a2 = b2 +c2 −2bccosA
b2 = a2 +c2 −2accosB
c2 = a2 +b2 −2abcosC
．
⑵变形公式：
①cosA = b2 +c2 −a2
2bc
，cosB = a2 +c2 −b2
2ac
，cosC = a2 +b2 −c2
2ab
；
②a = bcosC +ccosB，b = acosC +ccosA，c = acosB+bcosA．
3
三角形中常用结论
⑴A+B+C = π ；
⑵a > b ⇔sinA > sinB ⇔A > B；
⑶a+b > c，|a−b| < c；
⑷sin(A+B) = sinC，cos(A+B) = −cosC，tan(A+B) = −tanC，
sin A+B
2
= cos C
2 ，cos A+B
2
= sin C
2 ；
⑸A,B,C 成等差数列⇔B = π
3 ．
考情分析
高考命题中，数列解答题和解三角形解答题每年只考一个，考解答题时一般不再考小题，不考解答题时，就
考两个小题，交错考法不一定分奇数年或偶数年；三角解答题以解三角形两类题型出现，加上三角恒等变换与
图象性质两道小题.
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63
6
方法点拨
1
正弦定理应用类型：
2
余弦定理应用类型：
3
正余弦定理的综合应用
(1) 边角互化的技巧
(a) 正弦边角互化
①含有sinA、sinB、sinC 的齐次式，可用正弦定理把角的正弦化为对应边；
②含有a、b、c 的齐次式，可用正弦定理把边化为对应角的正弦；
③含有bsinA，则bsinA = asinB，把边b 化为a，角A 化为B．
(b) 余弦边角互化
①用公式cosA = b2 +c2 −a2
2bc
把角的余弦值化为三边的分式表达；
②用公式b2 +c2 −a2 = 2bccosA 把三边平方的和差关系化为角的余弦；
③用公式bcosA = c−acosB 把bcosA 化为acosB．
高三数学·目标一本（全国）·秋
64
6
(2) 三角形面积公式
(a) S△ABC = 1
2absinC = 1
2acsinB = 1
2bcsinA；
(b) S△ABC = 1
2aha；
(c) S△ABC = 1
2 (a+b+c)r = abc
4R = 2R2 sinAsinBsinC（其中r 是内切圆半径，R 是外接圆半径）．
(3) 正余弦定理处理平面几何问题的基本方法
(a) 把所提供的平面图形拆分成若干个三角形；
(b) 在各个三角形中利用正弦定理、余弦定理求解．
备注：
(a) 解三角形按照信息量多少的优先级，先解具有三个条件的三角形，把结果作为条件，顺次解三角形．可
以作辅助线检验结果是否正确．
(b) 解题过程中，要用到平面几何的一些知识，如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质，把这些
性质和正余弦定理有机结合，才能顺利解决问题．
精讲精练
考点1: 常规解三角形问题
例1 （1）在△ABC 中，a = 2，b =
√
2，B = π
6 ，则A =( )
A. π
4
B. π
3
C. 3π
4
D. π
4 或3π
4
（2）△ABC 中，a，b，c 分别为角A，B，C 的对边，已知b =
√
5，c = 2，cosB = 2
3，则a =( )
A.
√
2
B.
√
3
C. 2
D. 3
（3）△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知C = 60◦，b =
√
6，c = 3，则A =
．
（4）已知a，b，c 分别是△ABC 内角A，B，C 的对边，a = 4，b = 5，c = 6，则sin(A+B)
sin2A
=
．
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65
6
例2 （1）已知在锐角△ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且cosB
b
+ cosC
c
=
sinA
√
3sinC，则b 的值为
( )
A.
√
3
B. 2
√
3
C.
√
3
2
D.
√
6
（2）在△ABC 中，角A，B，C 所对应的边分别是a，b，c，若(a−b)(sinA+sinB) = c
(
sinC +
√
3sinB
)
，则
角A 等于( )
A. π
6
B. π
3
C. 2π
3
D. 5π
6
2
模块
2
解三角形中的重点题型
考点2: 三角形中的边角混合问题
精讲精练
例3
在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，且acosC +(c−3b)cosA = 0．
（1）求tanA 的值；
（2）若△ABC 的面积为
√
2，且b−c = 2，求a 的值．
高三数学·目标一本（全国）·秋
66
6
例4
△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知△ABC 的面积为
a2
3sinA．
（1）求sinBsinC；
（2）若6cosBcosC = 1，a = 3，求△ABC 的周长．
例5
在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a,b,c，
(
2a−
√
3c
)2 = 4b2 −c2．
（1）求角B 的大小；
（2）若b = 1，求
√
3a−c 的取值范围．
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67
6
考点3: 正余弦定理在平面几何中的应用
例6
如图，在△ABC 中，已知AC = 7，∠B = 45◦，D 是边AB 上的一点，AD = 3，∠ADC = 120◦．求：
（1）CD 的长；
（2）△ABC 的面积.
例7
如图，在平面四边形ABCD 中，DA⊥AB,DE = 1,EC =
√
7,EA = 2,∠ADC = 2π
3 ，∠BEC = π
3 ．
(1) 求sin∠CED 的值；
(2) 求BE 的长．
高三数学·目标一本（全国）·秋
68
6
例8
如图，在△ABC 中，点D 在AC 边上，且AD = 3DC，AB =
√
7，∠ADB = π
3 ，∠C = π
6 ．
（1）求DC 的值；
（2）求tan∠ABC 的值．
第7 讲
平面向量
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71
7
直击课堂
考纲解读
平面向量的线性运算
(1) 掌握向量加法、减法的运算, 并理解其几何意义.
(2) 掌握向量数乘的运算及其几何意义, 理解两个向量共线的含义.
(3) 了解向量线性运算的性质及其几何意义.
(4) 了解平面向量的基本定理及其意义.
(5) 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.
(6) 会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.
(7) 理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
高三数学·目标一本（全国）·秋
72
7
1
模块
1
平面向量的线性运算
知识凝炼
一、向量共线
(1) 平行向量基本定理
向量−→a
(−→a̸ = −→0
)
与−→b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使−→b = λ−→a ．
(2) 三点共线的等价条件
点A、B 是直线l 上的不同两点，O 是直线外一点，对于平面内任意一点P，设−→
OP = λ−→
OA+ µ−→
OB，则有：点
P 与A、B 共线⇔λ + µ = 1．
特别地，当P 是AB 中点时，−→
OP = 1
2
(−→
OA+−→
OB
)
．
二、平面向量的坐标运算
1
向量的坐标表示
若A(x1,y1)，B(x2,y2)，则向量−→
AB = −→
OB−−→
OA = (x2 −x1,y2 −y1)，即：一个向量的坐标等于向量终点的坐标
减去始点的坐标．
2
坐标运算
设−→a = (x1,y1),−→b = (x2,y2)，则有：
(1) 线性运算：−→a ±−→b = (x1 ±y1,x2 ±y2)；λ−→a = (λx1,λy1)；
(2) 平行：−→a //−→b ⇔x1y2 −x2y1 = 0；
三、向量的分解
平面向量基本定理
如果−→e 1、−→e 2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量−→a ，有且仅有一对实数
λ1、λ2，使−→a = λ1−→e 1 +λ2−→e 2．−→e 1、−→e 2 叫做这一平面内的一组基底．
考情分析
平面向量在高考试题中，重点突出向量的工具作用，每年1 题，考法相对比较基本，突出向量的几何运算或
代数运算，不侧重于与其它知识交汇，难度不大(与全国其它省份比较).
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73
7
方法点拨
向量分解问题的求解方法
1
几何法
根据平面向量基本定理，把基向量和目标向量平移到始点相同的位置，过目标向量的终点向基向量的基线
作平行线，找分解系数．
2
分解法
选取合适的基底，或用已经限定的基底，把目标向量逐步分解，往基向量靠拢，求得分解系数．
3
建系法
通过对称性等选取原则建立平面直角坐标系，将向量与坐标一一对应，利用坐标的恒等关系，建立二元一
次方程组，求出向量分解系数.
精讲精练
考点1: 三点共线与向量平行
例1 （1）已知−→a 、−→b 是不共线的向量，−→
AB = λ−→a +−→b ，−→
AC = −→a + µ−→b（λ、µ ∈R），当A、B、C 三点共线时，λ
的取值不可能为（ ）
A. 1
B. 0
C. −1
D. 2
（2）设−→
e1、−→
e2 为同一平面内两个不共线向量，且⃗a = 2−→
e1 + 3−→
e2,⃗b = k−→
e1 −4−→
e2，若−→a //−→b ，则k 的值为
( )
A. −8
3
B. −4
3
C. −3
4
D. −3
2
高三数学·目标一本（全国）·秋
74
7
考点2: 求向量分解系数
例2 （1）正确率：72%
如图，在△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD = 2DB，点E 在AD 边上，且AD = 3AE，则用向量
−→
AB,−→
AC 表示−→
CE 为( )
A. −→
CE = 2
9
−→
AB+ 8
9
−→
AC
B. −→
CE = 2
9
−→
AB−8
9
−→
AC
C. −→
CE = 2
9
−→
AB+ 7
9
−→
AC
D. −→
CE = 2
9
−→
AB−7
9
−→
AC
（2）设D 为△ABC 中BC 边上的中点，且O 为AD 边上靠近点A 的三等分点，则( )
A. −→
BO = −5
6
−→
AB+ 1
6
−→
AC
B. −→
BO = 1
6
−→
AB−1
2
−→
AC
C. −→
BO = 5
6
−→
AB−1
6
−→
AC
D. −→
BO = −1
6
−→
AB+ 1
2
−→
AC
（3）如图，在直角梯形ABCD 中，AB//DC，AD⊥DC，AD = DC = 2AB，E 为AD 的中点，若−→
CA =
λ−→
CE + µ−→
DB，则λ + µ 的值为( )
A. 6
5
B. 8
5
C. 2
D. 8
3
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7
2
模块
2
平面向量的数量积
知识凝炼
1
坐标运算
(1) 数量积：−→a ·−→b = x1x2 +y1y2；
(2) 垂直：−→a ⊥−→b ⇔−→a ·−→b = 0 ⇔x1x2 +y1y2 = 0；
(3) 长度：|−→a | =
√−→a ·−→a =
√
x2
1 +y2
1；
(4) 夹角：
作−→
OA = −→a ，−→
OB = −→b ，则∠AOB = θ (0◦⩽θ ⩽180◦) 叫做向量−→a 与−→b 的夹角，记作
⟨−→a ,−→b
⟩
．
cosθ = cos
⟨−→a ,−→b
⟩
=
−→a ·−→b
|−→a |
−→b
=
x1x2 +y1y2
√
x12 +y12√
x22 +y22 ．
2
数量积(非坐标形式)
−→a ·−→b = |−→a |
−→b
cos
⟨−→a ,−→b
⟩
，其中
−→b
cos
⟨−→a ,−→b
⟩
=
−→a ·−→b
|−→a |
称为向量−→b 在−→a 方向上的投影．
数量积的几何意义：−→a ·−→b 等于−→a 的长度与−→b 在−→a 方向上的射影长度的乘积．
3
数量积的运算律
交换律：−→a ·−→b = −→b ·−→a ；
对实数的结合律：(λ−→a )·−→b = λ
(−→a ·−→b
)
= −→a ·
(
λ−→b
)
(λ ∈R)；
分配律：
(−→a ±−→b
)
·−→c = −→a ·−→c ±−→b ·−→c = −→c ·
(−→a ±−→b
)
．
方法点拨
一、向量数量积的求解方法
平面向量−→a = (a1,a2), −→b = (b1,b2) 的数量积的求法：
1
定义法：−→a · −→b = |−→a |
−→b
cos < −→a ,−→b >，适用于两向量模长和夹角都已知、明显或易求的情况；
2
投影法：−→a · −→b = |−→a |
( −→b
cos < −→a ,−→b >
)
，适用于已知其中一个向量的模长，另一个向量的模长和夹角
不确定或不容易求解，但向量在另一已知向量上的投影易求的情况；
3
分解法：−→a · −→b = (λ1−→
e1 +λ2−→
e2)·(µ1−→
e1 + µ2−→
e2)，−→
e1、−→
e2 是平面内的一组基底，适用于两向量模长和夹角都
不确定，但向量按照合适的基底分解之后，数量积只与基底有关，形式简单；
4
坐标法：−→a ·−→b = a1a2 +b1b2，适用于含有特殊角，并且建立坐标系后，相关点的坐标容易求解或表示的情况．
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7
二、数量积、模长、夹角的综合问题
向量运算常往以下几个角度进行分析
(1) 垂直：−→a ·−→b = 0 ⇔−→a ⊥−→b ；
(2) 模长：|−→a | =
√−→a 2 =
√−→a ·−→a ；
(3) 夹角：cos
⟨−→a ,−→b
⟩
=
−→a ·−→b
|−→a |·
−→b
.
精讲精练
考点3: 数量积、模长、夹角计算
例3 （1）设向量⃗a,⃗b 满足
⃗a+⃗b|= 5,|⃗a−⃗b
= 3，则⃗a·⃗b =( )
A. 4
B. 8
C. 12
D. 16
（2）若−→
e1,−→
e2 是夹角为60◦的两个单位向量，则向量−→a = −→
e1 +−→
e2,−→b = −−→
e1 +2−→
e2 的夹角为( )
A. 30◦
B. 60◦
C. 90◦
D. 120◦
（3）若向量−→a ,−→b 满足：|−→a | = 1,
(−→a +−→b
)
⊥−→a ,
(
3−→a +−→b
)
⊥−→b ，则
−→b
=( )
A. 3
B.
√
3
C. 1
D.
√
3
3
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考点4: 数量积的坐标运算
例4 （1）已知向量⃗a = (2m+1,3,m−1)，⃗b = (2,m,−m)，且⃗a//⃗b，则实数m 的值等于( )
A. 3
2
B. −2
C. 0
D. 3
2 或−2
（2）设向量−→a = (1,m)，−→b = (m−1,2)，且−→a̸ = −→b ，若
(−→a −−→b
)
⊥−→a ，则实数m =( )
A. 2
B. 1
C. 1
3
D. 1
2
（3）设x ∈R ，向量−→a = (x,1),−→b = (1,−2) 且−→a ⊥−→b ，则|−→a +−→b | =（ ）
A.
√
5
B.
√
10
C. 2
√
5
D. 10
（4）正确率：53%
已知平面向量−→a = (1,2)，−→b = (4,2)，−→c = m−→a +−→b (m ∈R)，且−→c 与−→a 的夹角等于−→c 与−→b 的夹
角，则m =( )
A. −2
B. −1
C. 1
D. 2
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考点5: 求数量积
例5 （1）正确率：72%
如图，在四边形ABCD 中，AB⊥BC，AD⊥DC，若
−→
AB
= a，
−→
AD
= b，则−→
AC ·−→
BD =( )
A. b2 −a2
B. a2 −b2
C. a2 +b2
D. ab
（2）已知⃗i 和⃗j 为夹角为60◦的单位向量，⃗a =⃗i−2⃗j，⃗b = 2⃗i，则⃗a 与⃗b 的夹角的余弦值为( )
A. −
√
5
5
B. 0
C.
√
5
5
D. 1−
√
3
5−2
√
3
（3）已知在△ABC 中，∠A = π
2 ，AB = AC = 2，点P 是AB 边上的动点，点Q 是AC 边上的动点，则
−→
BQ·−→
CP 的最小值为( )
A. −4
B. −2
C. −8
D. −16
