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未来，学而思网校将进一步承担起用科技推动教育进步的重任，不断致力于教育资源的
均衡发展，实现从教到育、从学到习的全面提升。
学而思网校教研中心
PREFACE
前言
目录
CONTENTS
第1 讲
乘除法的简便运算进阶
1
第2 讲
三角形初步
21
第3 讲
三角形进阶
41
第4 讲
从数数到计算
61
第5 讲
解简易方程
79
第6 讲
列方程解决问题（一）
97
第7 讲
数列中的规律进阶
115
第8 讲
数的整除初步
133
第9 讲
跑多久能相遇
153
第10 讲
跑多远能追上
171
阿丘学堂参考答案
189
第1 讲
乘除法的简便运算进阶
第1 讲
第1 讲
第1 讲
第1 讲
第1 讲
第1 讲
第1 讲
第1 讲
第1 讲
第1 讲
第1 讲
第1 讲
第1 讲
第1 讲
第1 讲
第1 讲
第1 讲
乘除法的简便
乘除法的简便
乘除法的简便
乘除法的简便
乘除法的简便
乘除法的简便
乘除法的简便
乘除法的简便
乘除法的简便
乘除法的简便
乘除法的简便
乘除法的简便
乘除法的简便
乘除法的简便
乘除法的简便
乘除法的简便
乘除法的简便
运算进阶
运算进阶
运算进阶
运算进阶
运算进阶
运算进阶
运算进阶
运算进阶
运算进阶
运算进阶
运算进阶
运算进阶
运算进阶
运算进阶
运算进阶
运算进阶
运算进阶
2
四年级/ 数学/ 目标S 班/ QG
PART 1 乘法巧算
一、乘法直接凑整
思想核心：先把能凑成整十、整百、整千的几个乘数结合在一起，最后再与前面的数相乘，使得运算简便。
例如：2×5 = 10，4×25 = 100，8×125 = 1000，5×20 = 100
理论依据：乘法交换律：a×b = b×a
乘法结合律：(a×b)×c = a×(b×c)
二、乘法加补凑整
思想核心：先把接近整十、整百、整千的乘数凑整，然后再与前面的数利用乘法分配律拆开，使得运算简
便。例如：
23×99 = 23×(100−1)
= 23×100−23×1
= 2300−23
= 2277
23×101 = 23×(100+1)（坐椅子类型）
= 23×100+23×1
= 2300+23
= 2323
理论依据：乘法分配律：(a+b)×c = a×c+b×c
三、乘法计算中的常用搭配
142857×7 = 999999(走马灯数)
12345679×9 = 111111111 (无8 数，重点记忆)
7×11×13 = 1001(三个常用质数的乘积，重点记忆)
37×3 = 111(27×37 = 999)
第1 讲
乘除法的简便运算进阶
3
例题
1
（1）计算：4×25×37 =
；
（2）125×16×25 =
。
互动题
1
计算：
（1）8×13×125 =
；
（2）32×25 =
。
4
四年级/ 数学/ 目标S 班/ QG
例题
2
（1）计算：457×99 =
。
（2）计算：
79×101 =
；
287×1001 =
。
互动题
2
计算：
（1）45×99 =
；
（2）68×101 =
。
第1 讲
乘除法的简便运算进阶
5
PART 2 除法巧算
一、商不变性质
被除数和除数乘(或除以) 同一个非零数，其商不变。即：
a÷b = (a×n)÷(b×n) = (a÷m)÷(b÷m)
m̸ = 0，n̸ = 0
二、带符号搬家
在乘、除混合运算中，因数或除数可以连同运算符号一起交换位置(即带着符号搬家)。例如：a×b÷c =
a÷c×b = b÷c×a
特殊的：在连除时，可以交换除数的位置，商不变。即：a÷b÷c = a÷c÷b
三、去掉或添加括号的规则
1. 去括号情形
①括号前是“×”时，去括号后，括号内的乘、除符号不变。即
a×(b×c) = a×b×c
a×(b÷c) = a×b÷c
②括号前是“÷”时，去括号后，括号内的“×”变为“÷”，
“÷”变为“×”。即
a÷(b×c) = a÷b÷c
a÷(b÷c) = a÷b×c
2. 添加括号情形
加括号时，括号前是“×”时，原符号不变；括号前是“÷”时，原符号“×”变为“÷”，
“÷”变为“×”。即
a×b×c = a×(b×c)
a×b÷c = a×(b÷c)
a÷b÷c = a÷(b×c)
a÷b×c = a÷(b÷c)
两个数之积除以两个数之积，可以分别相除后再相乘。即
(a×b)÷(c×d) = (a÷c)×(b÷d) = (a÷d)×(b÷c)
上面的三个性质都可以推广到多个数的情形。
四、乘除抵消
在乘除法混合运算中，如果可以通过拆数得到一些可以直接抵消的一定不要放弃！
6
四年级/ 数学/ 目标S 班/ QG
例题
3
计算：
23×70×22÷11÷7 =
；
111×4÷9×3÷74×2 =
。
互动题
3
计算：48÷74÷2×37 =
。
第1 讲
乘除法的简便运算进阶
7
例题
4
1÷(1÷2)÷(2÷3)÷(3÷5)÷(5÷8)÷···÷(55÷89)÷(89÷144) =
。
互动题
4
计算：1÷(1÷2)÷(2÷3)÷(3÷4)÷(4÷5)。
笔 记 页
8
四年级/ 数学/ 目标S 班/ QG
第1 讲
乘除法的简便运算进阶
9
课堂巩固
1. 计算：25×125×96 =
。
2. 计算：
（1）125×101；
（2）299×4。
10
四年级/ 数学/ 目标S 班/ QG
3. 计算：28÷34×17÷7 =
。
4. 3×5×7×11×13×17÷(51×65×77) =
。
第1 讲
乘除法的简便运算进阶
11
5. 1÷(2÷3)÷(3÷4)÷(4÷5)÷(5÷6)÷(6÷7)÷(7÷8) =
。
12
四年级/ 数学/ 目标S 班/ QG
阿丘学堂
练一练
1
计算：72×125 =
。
练一练
2
计算：
（1）75×48；
（2）73×8×125 ；
（3）11×125×4×25×8 。
第1 讲
乘除法的简便运算进阶
13
练一练
3
（1）计算：12×9 =
；
（2）计算：12×99 =
。
练一练
4
计算：12×1001 =
。
14
四年级/ 数学/ 目标S 班/ QG
练一练
5
（1）864×99×125 =
；
（2）75×624×1001 =
。
练一练
6
计算：368×999 =
。
第1 讲
乘除法的简便运算进阶
15
练一练
7
计算：1234×9998 =
。
练一练
8
5000÷125÷8 =
。
16
四年级/ 数学/ 目标S 班/ QG
练一练
9
计算：
（1）2460÷5÷2 =
；
（2）2560÷(10÷4) =
。
练一练
10
375000000÷125÷5÷25÷8÷4÷2 =
。
第1 讲
乘除法的简便运算进阶
17
练一练
11
(11×10×9×···×3×2)÷(22×30×36×40) =
。
练一练
12
(2×4×6×8×10×12×14)÷(3×4×5×6×7×128) =
。
18
四年级/ 数学/ 目标S 班/ QG
练一练
13
1÷(2÷3)÷(3÷4)÷(4÷5)÷···÷(2013÷2014) =
。
练一练
14
2÷(4÷6)÷(6÷8)÷(8÷10)÷···÷(2012÷2014) =
。
第1 讲
乘除法的简便运算进阶
19
练一练
15
已知A×B = 12，B×C = 14，C ×D = 21。那么A×D =
。
第2 讲
三角形初步
第2 讲
第2 讲
第2 讲
第2 讲
第2 讲
第2 讲
第2 讲
第2 讲
第2 讲
第2 讲
第2 讲
第2 讲
第2 讲
第2 讲
第2 讲
第2 讲
第2 讲
三角形初步
三角形初步
三角形初步
三角形初步
三角形初步
三角形初步
三角形初步
三角形初步
三角形初步
三角形初步
三角形初步
三角形初步
三角形初步
三角形初步
三角形初步
三角形初步
三角形初步
22
四年级/ 数学/ 目标S 班/ QG
PART 1 三角形的认知
一、三角形的意义和性质
1. 三角形的组成：三个顶点、三条边、三个内角
2. 三角形三边关系：任意两边之和大于第三边, 任意两边之差小于第三边
二、三角形分类
按角分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形
按边分类：不等边三角形、等腰三角形、等边三角形(正三角形)
第2 讲
三角形初步
23
例题
1
下列长度的三条线段能组成三角形的是( )。
A. 1cm，2cm，5cm
B. 4cm，5cm，9cm
C. 5cm，8cm，15cm
D. 6cm，8cm，9cm
互动题
1
已知三角形的两边分别为4 和9，则此三角形的第三边可能是( )。
A. 13
B. 6
C. 5
D. 4
24
四年级/ 数学/ 目标S 班/ QG
例题
2
（1）数一数，下图中有
个锐角；
个直角；
个钝角。
（2）同学们，你能确定下面是什么三角形吗？
第2 讲
三角形初步
25
互动题
2
下面的图形中，一共有
个钝角三角形。
26
四年级/ 数学/ 目标S 班/ QG
PART 2 三角形的内角和
内角和
1. 三角形内角和=180
◦
2. 多边形内角和=( 边数−2)×180
◦
第2 讲
三角形初步
27
例题
3
如图1，∠1+∠2+∠3 =
度。
如图2，∠1+∠2+∠3+∠4 =
度。
如图3，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5 =
度。
通过以上题目，总结：n 边形的内角和为
度。
互动题
3
已知∠1 = 30 度，∠3 = 40 度，那么∠2 =
度。
28
四年级/ 数学/ 目标S 班/ QG
例题
4
在△ABC 中，∠A−∠B = 35 度，∠C = 55 度，则∠B 等于
度。
互动题
4
在△ABC 中，∠A−∠B = 60 度，∠C = 60 度，则∠B 等于
度。
笔 记 页
第2 讲
三角形初步
29
30
四年级/ 数学/ 目标S 班/ QG
课堂巩固
1. 下面几组数据中，
、
、
组的线段可以组成三角形。
（1）1、2、3
（2）4、5、6
（3）8、8、6
（4）3、12、15
（5）9、9、9
第2 讲
三角形初步
31
2. 同学们，你能确定下面是什么三角形吗？(依次选填：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形、等
腰三角形、等腰直角三角形或等边三角形)
3. 下面的图中，锐角三角形有
个，直角三角形有
个，钝角三角形有
个。
32
四年级/ 数学/ 目标S 班/ QG
4. 已知∠1 = 40 度，∠3 = 45 度，那么∠2 =
度。
5. 在△ABC 中，∠A−∠B = 10 度，∠C = 50 度，则∠B 等于
度。
第2 讲
三角形初步
33
阿丘学堂
练一练
1
下列各组线段能组成一个三角形的是( )。
A. 1cm，1cm，2cm
B. 2cm，4cm，5cm
C. 2cm，6cm，4cm
D. 3cm，4cm，8cm
练一练
2
一个等腰三角形的两条边的长度分别是6 和13，这个三角形的周长是
。
34
四年级/ 数学/ 目标S 班/ QG
练一练
3
一个等腰三角形的两条边的长度分别是4 和9，这个三角形的周长是
。
练一练
4
同学们，你能确定下面是什么三角形吗？（填“锐角三角形”，
“直角三角形”或“钝角三角形”）
第2 讲
三角形初步
35
练一练
5
同学们，你能确定下面是什么三角形吗？（填“等腰三角形”，
“等腰直角三角形”或“等边三角形”）
练一练
6
在△ABC 中，∠A+∠B = 120
◦，∠C = ∠A，则△ABC 是（ ）。
A. 钝角三角形
B. 等腰直角三角形
C. 直角三角形
D. 等边三角形
36
四年级/ 数学/ 目标S 班/ QG
练一练
7
一个等腰三角形中，有一个角为80◦，则其余两角的度数分别是
◦和
◦或
◦和
◦。
练一练
8
在△ABC 中，∠A−∠B = 20
◦，∠C = 80
◦，则∠B 等于( )。
A. 50
◦
B. 55
◦
C. 45
◦
D. 40
◦
第2 讲
三角形初步
37
练一练
9
一个七边形的内角和为
度。
练一练
10
如图，已知△ABC 中，∠B = 70◦，若沿图中虚线剪去∠B，则∠1+∠2 等于
◦。
38
四年级/ 数学/ 目标S 班/ QG
练一练
11
如图，∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，∠5 = 155 度，那么∠A =
度。
练一练
12
试求下图中∠A 的度数。
第2 讲
三角形初步
39
练一练
13
试求下图中∠A 的度数。
练一练
14
如图，分别延长△ABC 的三条边：延长AB 到D，延长BC 到E，延长CA 到F，则∠1+∠2+∠3 =
◦。
40
四年级/ 数学/ 目标S 班/ QG
练一练
15
下图中，∠1、∠2、∠3、∠4 的和是
度。
第3 讲
三角形进阶
第3 讲
第3 讲
第3 讲
第3 讲
第3 讲
第3 讲
第3 讲
第3 讲
第3 讲
第3 讲
第3 讲
第3 讲
第3 讲
第3 讲
第3 讲
第3 讲
第3 讲
三角形进阶
三角形进阶
三角形进阶
三角形进阶
三角形进阶
三角形进阶
三角形进阶
三角形进阶
三角形进阶
三角形进阶
三角形进阶
三角形进阶
三角形进阶
三角形进阶
三角形进阶
三角形进阶
三角形进阶
42
四年级/ 数学/ 目标S 班/ QG
PART 1 三角形的高
例题
1
（1）分别画出下面三角形的三组高。
（2）仔细观察下面三个图，
图中的虚线高是不正确的。（只填写数字即可）
第3 讲
三角形进阶
43
互动题
1
在三角形ABC 中，底AB 的高是( )。
A. AB
B. AC
C. BC
D. CA
44
四年级/ 数学/ 目标S 班/ QG
PART 2 三角形面积公式
三角形的面积
1、每个三角形都有三组底(三边都可以为底) 和高(过顶点向底边做垂线)
2、三角形的面积= 底× 对应的高÷2
第3 讲
三角形进阶
45
例题
2
计算并填出下图中各三角形的面积。（单位：厘米）
平方厘米
平方厘米
平方厘米
互动题
2
如图，已知BC = 4厘米，AD = 5厘米，那么三角形ABC 的面积是
平方厘米。
46
四年级/ 数学/ 目标S 班/ QG
例题
3
如图，已知三角形ABC 的面积是80 平方厘米，AD = 10 厘米，则BC 的长为
厘米。
互动题
3
如图：已知三角形ABC 的面积是48 平方厘米，BC = 16 厘米，则三角形的高AD 是
厘米。
第3 讲
三角形进阶
47
例题
4
已知在直角三角形ABC 中，AB 与BC 为直角边，AB 长60 厘米，BC 长80 厘米，已知AC 边上的
高BD 是48 厘米，则AC 的长是
厘米。
互动题
4
已知三角形ABC 中，BC = 10 厘米，AD、EC 是三角形的高，AD 长为8 厘米，EC 长为5 厘米，
则底边AB 的长是
厘米。
笔 记 页
48
四年级/ 数学/ 目标S 班/ QG
第3 讲
三角形进阶
49
课堂巩固
1. 下图正确的画高方法是( )。
2. 计算并写出下图中各三角形的面积。
（1）
（2）
（3）
50
四年级/ 数学/ 目标S 班/ QG
3. 下图实线三角形的面积是
cm2。
4. 已知直角三角形ABC 的面积是50 平方厘米，底BC = 20 厘米，则直角边AB 的长是
厘米。
第3 讲
三角形进阶
51
5. 如图，已知三角形ABC 是直角三角形，AC = 40 厘米，BC = 50 厘米，BC 边上的高AD 是24
厘米，则AB 的长是
厘米。
52
四年级/ 数学/ 目标S 班/ QG
阿丘学堂
练一练
1
请画出下列图形的高：
练一练
2
计算并写出下图中三角形的面积。(数据如图所示，单位：厘米)
（1）
平方厘米
（2）
平方厘米
第3 讲
三角形进阶
53
练一练
3
如图，已知AC = 7，AD = 6，BC = 10，三角形ABC 的面积为
。
练一练
4
如图，已知BC = 8，CD = 8，AD = 9，三角形ABC 的面积为
。
54
四年级/ 数学/ 目标S 班/ QG
练一练
5
根据三角形的已知条件填表。
练一练
6
如图，已知三角形ABC 的面积是54 平方厘米，AD = 9 厘米，BC 的长为
厘米。
第3 讲
三角形进阶
55
练一练
7
一个三角形钢板，底长72 厘米，面积144 平方厘米，问底所对应的高是
厘米。
练一练
8
已知三角形ABC 中，BC = 12 厘米，AD 是三角形的高，三角形ABD 的面积为18 平方厘米，三角
形ACD 的面积为12 平方厘米，则高AD 的长是
厘米。
56
四年级/ 数学/ 目标S 班/ QG
练一练
9
如图，有一块三角形的空地ABC，已知AD = CD 且三角形ABC 的面积为6 平方米。现在要在
空地上栽种植物，其中阴影部分栽种草坪，每一平方米的草坪需要120 元，不是阴影的部分种花，
每一平方米的花需要200 元，则三角形ABC 全部种上植物需要
元钱。
练一练
10
如图，将两个正方形拼接在一起，已知小正方形的边长是10，则阴影图形的面积为
。
第3 讲
三角形进阶
57
练一练
11
如图，正方形ABCD 的各个顶点都落在直角三角形AEF 的各边上。已知正方形ABCD 的面积
是36，DE 的长是4，BF 的长是9，则三角形AEF 的面积为
。
练一练
12
图中的两个正方形边长分别是40 和50 厘米，则阴影部分面积是
平方厘米。
58
四年级/ 数学/ 目标S 班/ QG
练一练
13
如图，现有一个5 × 5 的方格表，每个小方格的边长都是1，那么图中阴影部分的面积总和等于
。
练一练
14
如图，正方形ABCD 与正方形EFGH 的边长分别是2 厘米、6 厘米，并且FC = CD = DE。那么
△ADG 的面积是
平方厘米，△BGA 的面积是
平方厘米。
第3 讲
三角形进阶
59
练一练
15
如图，四边形ABCD 是梯形，上底是8，下底是16，点E 是BC 边上任意一点，如果
△AED 的面积是30，那么梯形ABCD 的面积是
。
第4 讲
从数数到计算
第4 讲
第4 讲
第4 讲
第4 讲
第4 讲
第4 讲
第4 讲
第4 讲
第4 讲
第4 讲
第4 讲
第4 讲
第4 讲
第4 讲
第4 讲
第4 讲
第4 讲
从数数到计算
从数数到计算
从数数到计算
从数数到计算
从数数到计算
从数数到计算
从数数到计算
从数数到计算
从数数到计算
从数数到计算
从数数到计算
从数数到计算
从数数到计算
从数数到计算
从数数到计算
从数数到计算
从数数到计算
62
四年级/ 数学/ 目标S 班/ QG
PART 1 乘法原理的认识
乘法原理
一般地，如果完成一件事可以分成k 个必不可少的步骤，每一步有多种选择方法，第一步有m1 种，第二
步有m2 种，……，第k 步有mk 种，那么完成这件事情一共有N = m1 × m2 ×···×mk 种不同的方法．
乘法原理解题三部曲
1、完成一件事分k 个必要步骤；
2、步步相关（每步都不能单独完成该件事）
3、步步相乘
注意：特殊位置优先考虑
第4 讲
从数数到计算
63
例题
1
艾迪去一家餐厅吃饭，发现菜单上一共有4 道中国菜，3 道泰国菜，2 道印度菜。
（1）艾迪一个人吃一道菜就够了，那么从这几种菜中选择的方法有
种。
（2）爱豆也过来和艾迪一起吃饭，他们要挑一道中国菜，一道泰国菜，一道印度菜，一共有
种选择方法。
（3）后来他们改为挑一道中国菜，一道泰国菜，印度菜可选一道或不选，一共有
种选择
方法。
互动题
1
爱豆去汉堡店吃饭，发现菜单上有3 种不同的汉堡，4 种不同的饮料，5 种不同的小吃：
(1) 爱豆选择了A 套餐，需要选择一种汉堡和一种小吃，一共有
种选择。
(2) 爱豆选择了B 套餐，需要选择一种汉堡和一种饮料，小吃可选一种或不选，一共有
种选择。
64
四年级/ 数学/ 目标S 班/ QG
例题
2
甲乙丙丁四个人排成一排照相：
（1）四个人随意安排顺序，一共有
种不同的排法。
（2）如果甲必须站在队伍的最左边，一共有
种不同的排法。
（3）如果甲不能站在队伍的最左边，一共有
种不同的排法。
互动题
2
小明和四位同学安排周一到周五的值日，每一天都安排不同同学的话：
（1）一共有
种不同的排值日表的方法。
（2）如果小明只能在周一值日的话，一共有
种不同的排值日表的方法。
第4 讲
从数数到计算
65
PART 2 乘法原理的应用
例题
3
用数字1、2、3、4、5
（1）一共可以组成
个三位数。
（2）一共可以组成
个没有相同数字的三位数。
（3）一共可以组成
个没有相同数字的三位偶数。
互动题
3
用数字2、3、4、5
一共可以组成
个没有相同数字的三位数。
66
四年级/ 数学/ 目标S 班/ QG
例题
4
用6 种不同的颜色给图中的A、B、C、D 四个区域涂色，每个区域只能使用一种颜色，且相邻区域
不能同色，有
种不同的涂色方式。
互动题
4
用5 种不同的颜色给图中的A、B、C、D 四个区域涂色，每个区域只能使用一种颜色，且相邻区
域不能同色，有
种不同的涂色方式。
笔 记 页
第4 讲
从数数到计算
67
68
四年级/ 数学/ 目标S 班/ QG
课堂巩固
1. 按下表给出的词造句，每句必须包括一个人、一个交通工具，以及一个目的地，共可以造出
个不同的句子。例如：我乘汽车去北京。
2. 薇儿有2 顶帽子、4 件上衣、3 条裤子和2 双皮鞋。她每次出门都要从中各取一件进行搭配。
则共可组成
种不同的搭配(只有帽子可以选择戴与不戴)。
第4 讲
从数数到计算
69
3. 甲乙丙丁四个人跑接力赛跑：
（1）这四个人一共有
种接力的顺序。
（2）如果甲必须跑最后一棒，那么一共有
种接力的顺序。
4. 用数字3、5、6、8、9 组数。
（1）可以组成
个两位数。
（2）可以组成
个无重复数字的三位数。
70
四年级/ 数学/ 目标S 班/ QG
5. 用三种颜色去涂如图所示的三块区域，要求相邻的区域涂不同的颜色，那么共有
种
不同的涂法。
第4 讲
从数数到计算
71
阿丘学堂
练一练
1
上山有三条路，下山有四条路，则从上山到下山共有
种走法。
练一练
2
如果将四面颜色不同的小旗子挂在一根绳子上，组成一个信号，那么这四面小旗子可组成
种不同的信号。
72
四年级/ 数学/ 目标S 班/ QG
练一练
3
小琴、小惠、小梅三人报名参加运动会的跳绳，跳高和短跑这三个项目的比赛，每人参加一项，报
名的情况有
种。
练一练
4
如果有7 匹不同颜色的马参加比赛，每匹马都有可能获胜，那么你算出获前三名的马不同的可
能性共有
种。
第4 讲
从数数到计算
73
练一练
5
运动会中有四个跑步比赛项目，分别为50 米、100 米、200 米、400 米，规定每个参赛者只能参加
其中的一项。甲、乙、丙、丁四名同学报名参加这四个项目，那么：
（1）如果每名同学都可以任意报这四个项目，一共有
种报名方法。
（2）如果这四名同学所报的项目各不相同，一共有
种报名方法。
练一练
6
数字卡片3、4、5 只用一次，组成400 以上的数，总共可以组成
种不同的数。
74
四年级/ 数学/ 目标S 班/ QG
练一练
7
在由数字1、2、3、4 组成的所有四位数中(数字不重复使用)，从小到大排列，第7 个数是
。
练一练
8
用五个数字0、1、2、4、5 能组成
个数字不重复的三位数。
第4 讲
从数数到计算
75
练一练
9
用0、1、2、3、4 五个数字可以组成
个没有重复数字的五位数。
练一练
10
用五个数字0、1、2、4、5 能组成
个数字不重复的三位奇数。
76
四年级/ 数学/ 目标S 班/ QG
练一练
11
地图上有A，B，C，D 四个国家(如下图)，现用四种颜色给地图染色，使相邻国家的颜色不同，则有
种染色方法。
练一练
12
用红、黄、蓝、绿四种颜色在下图的格子里涂色(可以只用这四种颜色中的几种)，一个格子里只能
涂同一种颜色，但相邻的格子不能涂同一种颜色。最多可以有
种不同的涂色方法。
第4 讲
从数数到计算
77
练一练
13
如图，地图上有A、B、C 、D 四个国家，现用五种颜色给地图染色，要使相邻国家的颜色不相同，有
种不同染色方法。
练一练
14
有5 张卡片，分别写有数字2、3、4、5 、6。如果允许6 可以作9 用，那么从中任意取出3 张卡片，
并排放在一起。可以组成
个不同的三位数。
78
四年级/ 数学/ 目标S 班/ QG
练一练
15
如图有5 个区域：A、B、C、D、E，用4 种颜色不同的涂料给这5 个区域染色，要求相邻的区域染
不同的颜色，则共有
种不同的染色方法。
第5 讲
解简易方程
第5 讲
第5 讲
第5 讲
第5 讲
第5 讲
第5 讲
第5 讲
第5 讲
第5 讲
第5 讲
第5 讲
第5 讲
第5 讲
第5 讲
第5 讲
第5 讲
第5 讲
解简易方程
解简易方程
解简易方程
解简易方程
解简易方程
解简易方程
解简易方程
解简易方程
解简易方程
解简易方程
解简易方程
解简易方程
解简易方程
解简易方程
解简易方程
解简易方程
解简易方程
80
四年级/ 数学/ 目标S 班/ QG
PART 1 一边有未知数的方程
像100+x = 250 ，3x = 24 ……这样，含有未知数的等式就是方程。
把方程左边（或右边）的项移到方程的右边（或左边），叫做移项。移项的目的是把未知项和已知项分
别集中在等号的两边，移项的依据是等式基本性质。移项最重要的是“变号”，我们可以形象地把等号看
作“桥”，无论是未知项还是已知项，都要“过桥变号”，也就是“移项变号”。
第5 讲
解简易方程
81
例题
1
（1）解方程：
25+x = 64。
（2）解方程：x−5 = 9，则x =
。
（3）解方程：6x = 612，则x =
。
互动题
1
解方程：6x = 48，则x =
。
82
四年级/ 数学/ 目标S 班/ QG
例题
2
（1）解方程：20−x = 6，x =
。
（2）解方程：2x+4 = 16 ，那么x =
。
（3）解方程：
80−4x = 56 。
互动题
2
解方程：5x+8 = 48，那么x =
。
第5 讲
解简易方程
83
PART 2 两边都有未知数的方程
例题
3
（1）一元一次方程：4x+15 = 6x+3 的解是x =
。
（2）解方程：47−3x = 12+4x，则x =
。
互动题
3
解下面的方程：x+10 = 22−3x，x =
。
84
四年级/ 数学/ 目标S 班/ QG
例题
4
（1）解方程：5x−5 = 3(x+3)，则x =
。
（2）解方程：2(x−3) = 3(x−8)，则x =
。
互动题
4
方程：3(x−11) = x+23 的解是x =
。
笔 记 页
第5 讲
解简易方程
85
86
四年级/ 数学/ 目标S 班/ QG
课堂巩固
1. 解方程:4x = 76，x =
。
2. 解方程：75−x = 48，x =
。
第5 讲
解简易方程
87
3.（1）解方程：3x+1 = 5×2，则x =
。
（2）解方程：2x+3 = 35−6，x =
。
4. 解方程：2x+7 = 5x−8，则x =
。
88
四年级/ 数学/ 目标S 班/ QG
5. 解方程：18−2(2x−5) = x−2，则x =
。
第5 讲
解简易方程
89
阿丘学堂
练一练
1
下面的式子中，是等式的有
，是方程的有
。（填序号）
（1）4.2+7 = 11.2
（2）5.8+2x = 15
（3）5x+3 = 21
（4）5m
（5）x = 5
90
四年级/ 数学/ 目标S 班/ QG
练一练
2
看图计算并填出x 的重量。
（1）下图中的x 是
克。
（2）下图中的x 是
克。
练一练
3
（1）x−4 = 5，x =
。
（2）5x = 40，x =
。
第5 讲
解简易方程
91
练一练
4
解方程：33−x = 19
练一练
5
解方程：3x+7 = 22，那么x =
。
92
四年级/ 数学/ 目标S 班/ QG
练一练
6
解方程：7x−3 = 18，则x =
。
练一练
7
解方程：50−3x = 35。
第5 讲
解简易方程
93
练一练
8
方程：12−3x = 7x−18 的解为x =
。
练一练
9
解方程：61−6x = 7x−43。
94
四年级/ 数学/ 目标S 班/ QG
练一练
10
解方程：3x+6 = 62−4x 得x =
。
练一练
11
解方程：x+2(x−8) = 26，则x =
。
第5 讲
解简易方程
95
练一练
12
解方程：8x−(15−x) = 30，则x =
。
练一练
13
解方程：25x+15 = 20(8−x)−10，则x =
。
96
四年级/ 数学/ 目标S 班/ QG
练一练
14
解方程：(4x+16)÷4 = 2x−8，则x =
。
练一练
15
已知x = 5 是关于x 的一元一次方程3x+m = 130−7x 的解，那么m =
。
第6 讲
列方程解决问题（一）
第6 讲
第6 讲
第6 讲
第6 讲
第6 讲
第6 讲
第6 讲
第6 讲
第6 讲
第6 讲
第6 讲
第6 讲
第6 讲
第6 讲
第6 讲
第6 讲
第6 讲
列方程解决问题
列方程解决问题
列方程解决问题
列方程解决问题
列方程解决问题
列方程解决问题
列方程解决问题
列方程解决问题
列方程解决问题
列方程解决问题
列方程解决问题
列方程解决问题
列方程解决问题
列方程解决问题
列方程解决问题
列方程解决问题
列方程解决问题
（一）
（一）
（一）
（一）
（一）
（一）
（一）
（一）
（一）
（一）
（一）
（一）
（一）
（一）
（一）
（一）
（一）
98
四年级/ 数学/ 目标S 班/ QG
PART 1 直接设未知数解决问题
例题
1
列式计算：
（1）从67 里面减去x 的4 倍，差是19，则x 为
。
（2）36 与某数3 倍的和是120，则某数是
。
互动题
1
列式计算：
（1）从89 里面减去x 的3 倍，差是8，则x 为
。
（2）42 与某数5 倍的和是82。则某数是
。
第6 讲
列方程解决问题（一）
99
例题
2
这次秋游中共有学生3200 人，其中女生比男生的2 倍多200 人，则男生有
人，女生有
人。
解：设男生有x 人，则女生有
人。
根据“
”，
列得方程
。
互动题
2
《水浒传》的108 将中，男将人数是女将的35 倍，则男将共有
名，女将共有
名。
100
四年级/ 数学/ 目标S 班/ QG
PART 2 间接设未知数解决问题
例题
3
一批石油，如果用甲种油罐车装运，需要20 辆，如果用乙种油罐车装运，需要25 辆。已知甲种油
罐车比乙种油罐车每辆多装2 吨，这批石油共
吨。
互动题
3
李明的妈妈去超市买洗衣粉，雕牌和碧浪的单价分别为8 元和10 元，李妈妈带的钱买雕牌洗
衣粉比买碧浪洗衣粉可多买3 袋，并且没有剩余的钱。李妈妈带了
元钱。
第6 讲
列方程解决问题（一）
101
例题
4
一次数学竞赛，某校六年级学生参加的人数是未参加人数的3 倍，如果六年级学生参加的人数
增加8 人，未参加的学生减少8 人，那么参加的是未参加的4 倍。六年级总人数是
人。
互动题
4
除除原有积分卡是乘乘的3 倍，除除又得到13 张，乘乘又得到13 张，现在除除所有的积分卡
是乘乘的2 倍，乘乘原来有
张，除除原来有
张。
笔 记 页
102
四年级/ 数学/ 目标S 班/ QG
第6 讲
列方程解决问题（一）
103
课堂巩固
1. 列式计算：
（1）一个数M 与3 个25 的和是100，则这个数为
；
（2）某数的4 倍与37 的和是181，某数是
。
2. 甲班和乙班共有图书160 本。甲班的图书本数是乙班的3 倍，甲班有图书
本，乙班
有图书
本。
104
四年级/ 数学/ 目标S 班/ QG
3. 一次春游中共有学生2800 人，其中男生是女生的2 倍少860 人，则男生有
人，女生
有
人。
4. 商店里有玻璃杯和保温杯两种杯子，保温杯比玻璃杯贵10 元，妈妈带的钱如果买10 个玻璃
杯还剩6 元，如果买5 个保温杯还缺4 元，妈妈带了
元钱。
第6 讲
列方程解决问题（一）
105
5. 大熊的玻璃球个数是二熊的3 倍，若大熊给二熊15 个玻璃球，这时大熊的玻璃球个数是二熊
的2 倍，那么大熊原来有
个玻璃球。
106
四年级/ 数学/ 目标S 班/ QG
阿丘学堂
练一练
1
从37 里面减去2 倍的x，差是19，则x =
。
练一练
2
原先《花城日报》和《鹏城晚报》有同样数目的版面，后来《花城日报》扩充版面，增加了10 版，
这样《花城日报》的版面比《鹏城晚报》的4 倍少2 版。《鹏城晚报》有
版，
《花城日
报》现在有
版。
第6 讲
列方程解决问题（一）
107
练一练
3
一个车间男工人比女工人多100 人，其中男工人数是女工人数的6 倍，男工人有
人，
女工人有
人。
练一练
4
甲和乙各带了相同数目的钱去买面包。甲买了9 个小面包，剩下5 元5 角；乙买了12 个大面包，
剩下1 元6 角。已知每个大面包比小面包贵2 角，想一想，如果设大面包每个x 角，那么甲带的
钱数应表示为（ ）。
A. 9x+55
B. 9(x−2)−55
C. 9(x−2)+55
108
四年级/ 数学/ 目标S 班/ QG
练一练
5
一群小孩赶着羊走，一共有66 个头，248 条腿，则一共有
个小孩。
练一练
6
期末考试，男生的平均成绩是98 分，女生的平均成绩为93 分，已知全班50 人平均分为95 分，
则其中有男生
人。
第6 讲
列方程解决问题（一）
109
练一练
7
鸡、兔一共有180 条腿，鸡的头数比兔的头数的2 倍少10 个，则鸡、兔一共有
只。
练一练
8
把一堆糖果分给小朋友们，如果每人2 块，将剩余12 块；每人3 块，将缺少2 块，则小朋友共有
人。
110
四年级/ 数学/ 目标S 班/ QG
练一练
9
老猴子给小猴子分桃，每只小猴分10 个桃，就多出9 个桃，每只小猴分11 个桃则多出2 个桃，
那么一共有
只小猴子，老猴子一共有
个桃子。
练一练
10
某年级同学春游时租船游湖，若每条船坐10 人，则还多2 个座位；若每条船多坐2 人，可少租一
条船，这时平均每人可节省一元钱。租一条船需要
元钱。
第6 讲
列方程解决问题（一）
111
练一练
11
卧龙自然保护区管理员把一些竹子分给若干只大熊猫。如果每只大熊猫分5 根竹子，还多11 根
竹子；如果大熊猫数增加到原来的3 倍少5 只，每只大熊猫分2 根竹子，还缺少8 根竹子。那么
一共有大熊猫
只，竹子
根。
练一练
12
某乐团女生人数是男生人数的2 倍；若调走24 名女生，那么男生人数是女生人数的2 倍。该乐
团原有男女学生一共
人。
112
四年级/ 数学/ 目标S 班/ QG
练一练
13
某养鸡场的母鸡只数是公鸡只数的6 倍，后来公鸡、母鸡各增加60 只，母鸡的只数变为公鸡只
数的4 倍，则养鸡场原来一共养了
只鸡。
练一练
14
一个大人一餐能吃四个面包，四个幼儿一餐只吃一个面包，现有大人和幼儿共100 人，一餐刚好
吃100 个面包，这100 人中，幼儿有
人。
第6 讲
列方程解决问题（一）
113
练一练
15
甲、乙、丙三人，当甲的年龄是乙的2 倍时，丙是22 岁；当乙的年龄是丙的2 倍时，甲是31 岁；当
甲60 岁时，丙是
岁。
第7 讲
数列中的规律进阶
第7 讲
第7 讲
第7 讲
第7 讲
第7 讲
第7 讲
第7 讲
第7 讲
第7 讲
第7 讲
第7 讲
第7 讲
第7 讲
第7 讲
第7 讲
第7 讲
第7 讲
数列中的规律
数列中的规律
数列中的规律
数列中的规律
数列中的规律
数列中的规律
数列中的规律
数列中的规律
数列中的规律
数列中的规律
数列中的规律
数列中的规律
数列中的规律
数列中的规律
数列中的规律
数列中的规律
数列中的规律
进阶
进阶
进阶
进阶
进阶
进阶
进阶
进阶
进阶
进阶
进阶
进阶
进阶
进阶
进阶
进阶
进阶
116
四年级/ 数学/ 目标S 班/ QG
PART 1 等差数列基本公式
一、求和公式
和= ( 首项+ 末项)× 项数÷2
二、中项定理
对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一
半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数。
和= 中间项× 项数
第7 讲
数列中的规律进阶
117
例题
1
（1）数列：3,7,11,15,··· , 的第100 个数是多少？
（2）数列：2,6,10,14,··· ,2014,2018 共有几个数？
互动题
1
有一列数4，9，14，19，··· ，那么第31 个数是
。
118
四年级/ 数学/ 目标S 班/ QG
例题
2
等差数列计算：5+10+15+···+105 =
。
互动题
2
计算：3+6+9+12+15+18+21+24+27+30 =
。
第7 讲
数列中的规律进阶
119
PART 2 等差数列求和的应用
例题
3
计算:1+3+5+7+···+2013 =
。
互动题
3
等差数列计算：1+3+5+···+61+63+65
120
四年级/ 数学/ 目标S 班/ QG
例题
4
已知一个等差数列的前15 项的和为450，前21 项之和为819。请问：这个数列的公差是多少？
首项是多少？
互动题
4
5 个连续奇数的和是125，那么其中最小的奇数是
。
笔 记 页
第7 讲
数列中的规律进阶
121
122
四年级/ 数学/ 目标S 班/ QG
课堂巩固
1. 已知数列3，7，11，15，···，123。
75 是这个数列的第
个数。
2. 计算：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12 =
第7 讲
数列中的规律进阶
123
3. 等差数列计算：1+3+5+···+73 =
4. 9 个连续奇数的和是189，其中最小的那个奇数是
。
124
四年级/ 数学/ 目标S 班/ QG
5. 已知一个等差数列的前5 项的和为15，前9 项的和为45，这个数列的第4 项是
。
第7 讲
数列中的规律进阶
125
阿丘学堂
练一练
1
已知数列3，7，11，15，···，123。
这个数列中第15 个数是
。
练一练
2
已知数列3，7，11，15，···，123。
这个数列一共有
项。
126
四年级/ 数学/ 目标S 班/ QG
练一练
3
已知数列3，7，11，15，···，123。
将数列中所有的数加起来，和是
。
练一练
4
1 ∼100 中是3 的倍数的数的和是
。1 ∼100 中除以3 余2 的数的和是
。
第7 讲
数列中的规律进阶
127
练一练
5
2+3+6+7+10+11+14+15+18+19+···+42+43 的和是
。
练一练
6
(2+4+6+8+···+2006)−(1+3+5+7+···+2005) =
。
128
四年级/ 数学/ 目标S 班/ QG
练一练
7
用等差数列的求和公式计算。
1+3+5+7+···+97+99 =
练一练
8
观察1+3 = 22，1+3+5 = 32，1+3+5+7 = 42，1+3+5+7+9 = 52，则猜想：1+3+5+···+
(2n−1) =
（n 为正整数）。
第7 讲
数列中的规律进阶
129
练一练
9
已知一个等差数列有15 项，这15 项之和为300，则中间项为
。
练一练
10
已知数列5，9，13，17，…，141，问：这个数列的中间项是
。
130
四年级/ 数学/ 目标S 班/ QG
练一练
11
15 个连续奇数的和是1995，其中最大的奇数是
。
练一练
12
一个影剧院共有27 排座位，从第1 排起，以后每排都比前一排多2 个座位，第27 排有78 个座
位，剧院中间一排有
个座位，这个影剧院共有
个座位。
第7 讲
数列中的规律进阶
131
练一练
13
如果一个等差数列前9 项的和是180，第15 项等于40，那么这个数列的第2 项是
。
练一练
14
电子跳蚤在一条标有刻度(单位：毫米) 的尺上某点K，向右跳所显示的刻度越来越大，第一步从
K 向左跳1 毫米，第二步再向右跳2 毫米，第三步再向左跳3 毫米，第四步再向右跳4 毫米，按
以上规律跳了100 步时，电子跳蚤落在尺子上的刻度所表示的数恰好是205 毫米，则电子跳蚤
开始时落在尺上的点K 的刻度是
毫米。
132
四年级/ 数学/ 目标S 班/ QG
练一练
15
有一列数：2，3，5，8，12，17，23，30，···，则这列数的第50 个是
。
第8 讲
数的整除初步
第8 讲
第8 讲
第8 讲
第8 讲
第8 讲
第8 讲
第8 讲
第8 讲
第8 讲
第8 讲
第8 讲
第8 讲
第8 讲
第8 讲
第8 讲
第8 讲
第8 讲
数的整除初步
数的整除初步
数的整除初步
数的整除初步
数的整除初步
数的整除初步
数的整除初步
数的整除初步
数的整除初步
数的整除初步
数的整除初步
数的整除初步
数的整除初步
数的整除初步
数的整除初步
数的整除初步
数的整除初步
134
四年级/ 数学/ 目标S 班/ QG
PART 1 末位系整除特征
一、整除的定义
一般地，如a、b、c 为整数，b̸ = 0，且a÷b = c ，即整数a 除以整数b(b 不等于0)，除得的商c 正好是整
数且没有余数(或者说余数是0)，我们就说，a 能被b 整除(或者说b 能整除a)。
二、整除的性质
1. 如果a 和b 都能被c 整除，那么它们的和或差也能被c 整除。例如12 和36 都可以被6 整除，那么
它们的和48 与差24，都可以被6 整除。
2. 如果a 不为0，则a 一定可以被自身a 整除。例如8 一定可以被8 整除。
3. 如果a 能被b 整除，b 又能被c 整除，那么a 也能被c 整除。例如45 可以被9 整除，9 又能被3 整
除，那么45 一定可以被3 整除。
三、末位系的整除特征
一个数的末位能被2 或5 整除，这个数就能被2 或5 整除；
一个数的末两位能被4 或25 整除，这个数就能被4 或25 整除；
一个数的末三位能被8 或125 整除，这个数就能被8 或125 整除。
第8 讲
数的整除初步
135
例题
1
下面7 个自然数：90、114、196、175、1260、3216、7476 中，
（1）能够被5 整除的数有
个；
（2）能够被4 整除的数有
个。
互动题
1
下面12 个自然数：
124、38、45、125、3694、264、392、440、696、872、4215、875
其中能被4 整除的有
个，能被125 整除的有
个。
136
四年级/ 数学/ 目标S 班/ QG
例题
2
（1）修改34575 中的一个数字，使这个五位数能被4 整除，修改后的五位数最大是
；
（2）修改675479 中的一个数字，使这个六位数能被25 整除，修改后的六位数是
。
互动题
2
（1）修改575 中的一个数字，使这个三位数能被4 整除，修改后的三位数最大是
；
（2）修改479 中的一个数字，使这个三位数能被25 整除，修改后的三位数是
。
第8 讲
数的整除初步
137
PART 2 数字和系整除特征
数字和系整除特征
1. 一个数各位数数字和能被3 整除，这个数就能被3 整除；一个数数字和除以3 得到的余数，就是这个
数除以3 得到的余数。
2. 一个数各位数数字和能被9 整除，这个数就能被9 整除；一个数数字和除以9 得到的余数，就是这个
数除以9 得到的余数。
138
四年级/ 数学/ 目标S 班/ QG
例题
3
这些自然数中：
（1）哪些数可以被3 整除？（2）哪些数可以被9 整除？
3672 6357 6873 8128 9369 5566
互动题
3
下面这些自然数中，有
个数可以被3 整除。（填数字）
2343 2513 4225 7242 6125
第8 讲
数的整除初步
139
例题
4
五位数42AA2 能被9 整除，则A =
。
互动题
4
五位数23AA2 能被9 整除，A =
。
笔 记 页
140
四年级/ 数学/ 目标S 班/ QG
第8 讲
数的整除初步
141
课堂巩固
1. 学而思网校的八名学员的账户上分别有128、188、555、175、375、500、625、442 枚金币，那么这
8 名学员的金币数量中，有
个人的金币数量是4 的倍数，有
个人的金币
数量是25 的倍数。
2. 要使四位数324a 能被4 整除，a 有( ) 种填法。
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
142
四年级/ 数学/ 目标S 班/ QG
3. 修改7314 中的一个数字，使这个四位数能被5 整除，修改后的四位数最小是
。
4. 一个三位数5□2 的十位数字未知。如果要求这个三位数能被3 整除，
“□”可能等于
。
第8 讲
数的整除初步
143
5. 下面有11 个自然数：
108 155 241 267 324 419 456 657 792 827 964
其中能被9 整除的数：
、
、
、
。（按照从小到大的顺序写）
144
四年级/ 数学/ 目标S 班/ QG
阿丘学堂
练一练
1
把下列各数分别填在适当的圈里。
0、8、12、15、16、20、25、27、28、82、47、50、55、95
练一练
2
下面7 个自然数：234、535、556、657、54367、90875、342125 中。
能被4 整除的是
，能被25 整除的是
。
第8 讲
数的整除初步
145
练一练
3
（1）修改5679 中的一个数字，使这个四位数能被5 整除，修改后的四位数是
。
（2）修改545679 中的一个数字，使这个六位数能被8 整除，修改后的六位数是
。
练一练
4
修改263411 中的一个数字，使这个六位数能被8 整除，修改后的六位数是
。
146
四年级/ 数学/ 目标S 班/ QG
练一练
5
（1）修改36575 中的一个数字，使这个五位数能被8 整除，修改后的五位数是
。
（2）修改785479 中的一个数字，使这个六位数能被25 整除，修改后的六位数是
。
练一练
6
要使四位数324a 能被4 整除，a 有
种填法。
第8 讲
数的整除初步
147
练一练
7
已知a24b8 是一个五位数，且是8 的倍数，则a24b8 最大是
，最小是
。
练一练
8
把下列各数分别填在适当的圈里。
361、803、570、156、276、4213。
148
四年级/ 数学/ 目标S 班/ QG
练一练
9
下列数中，能被9 整除的是
。
414 1056 2673 1320 596 2816 1152
练一练
10
若九位数2008□2008 能够被3 整除，则□里的数是
或
或
。（按
从小到大填写）
第8 讲
数的整除初步
149
练一练
11
十位数2014AA2014 能被9 整除，则A 等于
。
练一练
12
若K45K7 是能被3 整除的五位数，则K 的可能取值有
个，这样的五位数能被9 整除的数
是
。
150
四年级/ 数学/ 目标S 班/ QG
练一练
13
一个三位数6□4 的十位数字未知。请分别根据下列要求找出“□”中合适的取值（答案从小到大
填写）：
（1）如果要求这个三位数能被3 整除，
“□”可能等于
、
、
。
（2）如果要求这个三位数能被4 整除，
“□”可能等于
、
、
、
、
。
（3）这个三位数有没有可能同时被3 和4 整除，如果有可能，
“□”可能等于
、
。
练一练
14
要使四位数104□能同时被3 和4 整除，□里应填
。
第8 讲
数的整除初步
151
练一练
15
0、3、5、7 四个数字中选三个数字组成一个无重复数字的三位数，使组成的数能同时被2、3 和5
整除。这样的三位数有
个。
第9 讲
跑多久能相遇
第9 讲
第9 讲
第9 讲
第9 讲
第9 讲
第9 讲
第9 讲
第9 讲
第9 讲
第9 讲
第9 讲
第9 讲
第9 讲
第9 讲
第9 讲
第9 讲
第9 讲
跑多久能相遇
跑多久能相遇
跑多久能相遇
跑多久能相遇
跑多久能相遇
跑多久能相遇
跑多久能相遇
跑多久能相遇
跑多久能相遇
跑多久能相遇
跑多久能相遇
跑多久能相遇
跑多久能相遇
跑多久能相遇
跑多久能相遇
跑多久能相遇
跑多久能相遇
154
四年级/ 数学/ 目标S 班/ QG
PART 1 基本相遇问题
例题
1
小明和小亮住在学而思街的东、西两头，他们两个同时出发，相向而行。经过25 分钟，两人在中途
相遇。已知小明的速度是65 米/分，小亮的速度是55 米/分。那么小明和小亮两家相距
米。
互动题
1
艾迪和薇儿两人分别以每小时6 千米和每小时4 千米的速度行走，若他们从A、B 两地同时出
发，相向而行，5 小时后相遇，则A、B 两地相距多少千米？
第9 讲
跑多久能相遇
155
例题
2
甲、乙两车分别从相距360 千米的A、B 两城同时出发，相对而行。已知甲车到达B 城需4 小时，
乙车到达A 城需12 小时，问：两车出发后
小时相遇。
互动题
2
小白和小黑相距20 米，他们分别以每秒2 米和每秒3 米的速度同时出发，相向而行，那么两人
相遇时用了
秒。
156
四年级/ 数学/ 目标S 班/ QG
例题
3
小明家和爸爸公司相距2000 米，一天小明去接爸爸下班，六点的时候，小明出门往爸爸公司走，
爸爸下班往家走，20 分钟后相遇。已知小明的速度是每分钟55 米，则爸爸的速度是
米/分。
互动题
3
A、B 两地相距100 米，大凡和小雄分别从A、B 两地同时出发，相向而行，20 秒后相遇。已知大
凡的速度是每秒3 米，则小雄的速度是每秒
米。
第9 讲
跑多久能相遇
157
PART 2 复杂的相遇问题
例题
4
甲和乙分别从东西两地同时出发，相对而行，两地相距100 里，甲每小时走6 里，乙每小时走4
里。如果甲带一只狗，和甲同时出发，狗以每小时10 里的速度向乙奔去，遇到乙后即回头向甲
奔去，遇到甲后又回头向乙奔去，直到甲乙两人相遇时狗才停住。这只狗共跑了
里路。
(这道题就是之前苏步青教授利用巧妙方法解决过的一个问题，当时苏步青教授在德国访问，一
位有名的德国数学家在电车上给他出了这道题)
互动题
4
熊大回家，距家门1000 米，熊二和小狗一起向他奔来，熊大的速度是每分钟60 米，熊二的速度
是每分钟40 米，小狗的速度是每分钟250 米，小狗遇到熊大立刻返回，用同样的速度不停往返
熊大与熊二之间，当熊大与熊二相遇时，小狗一共跑多少米？
笔 记 页
158
四年级/ 数学/ 目标S 班/ QG
第9 讲
跑多久能相遇
159
课堂巩固
1. 甲、乙二人从A、B 两地同时出发，相对而行。甲每小时行30 千米，乙每小时行10 千米，5 小
时后相遇，A、B 两地的距离是
千米。
2. 熊老大、熊老二同时驾车从A、B 两城相对开出，熊老大的车每小时行55 千米，熊老二的车每
小时行45 千米，经过3 小时相遇，则两城之间相距
千米。
160
四年级/ 数学/ 目标S 班/ QG
3. 大凡和小熊相距200 米，他们分别以每秒2 米的速度和每秒3 米的速度同时出发，相向而行，
两人相遇时用了
秒。
4. 豆豆和亮亮分别从相距70 千米的甲、乙两地同时出发，相向而行，5 小时后相遇。已知豆豆每
小时行3 千米，则亮亮每小时行
千米。
第9 讲
跑多久能相遇
161
5. 李明和赵玉同时从家里出发，相向而行，李明家的小狗也跟来了，而且跑在了他的前面。当小
狗和赵玉相遇后，立即返回跑向李明，遇到李明后，又立即返回跑向赵玉。这样跑来跑去，一直
到两人相遇，这只小狗一共跑了
米。
162
四年级/ 数学/ 目标S 班/ QG
阿丘学堂
练一练
1
A、B 两地相距3600 米，甲、乙两人分别从A、B 两地同时出发，相向而行，如果甲每分钟走80 米，
乙每分钟走100 米，那么：甲从A 走到B 需要
分钟。
练一练
2
南辕与北辙两位先生对于自己的目的地S 城的方向各执一词，于是两人都按照自己的想法，在
同一地点驾车同时分别往南和往北驶去，二人的速度分别为60 千米/时、70 千米/时，那么他们出
发3 小时后相距
千米。
第9 讲
跑多久能相遇
163
练一练
3
A、B 两地相距3600 米，甲、乙两人分别从A、B 两地同时出发，相向而行，如果甲每分钟走80 米，
乙每分钟走100 米，那么：两个人从出发到相遇需要
分钟。
练一练
4
甲、乙两车分别从相距480 千米的A、B 两城同时出发，相对而行，已知甲车到达B 城需6 小时，
乙车到达A 城需12 小时。则两车出发后
小时相遇。
164
四年级/ 数学/ 目标S 班/ QG
练一练
5
甲、乙两地相距350 千米，一辆汽车在早上8 点从甲地出发，以每小时40 千米的速度开往乙地，
2 小时后另一辆汽车以每小时50 千米的速度从乙地开往甲地。则
点时两车在途中相
遇。（24 小时制）
练一练
6
隋唐大运河经过8 个省份，其中在安徽省境内有150 千米长。如果许多和莉莉从安徽省境内的
河道两端同时乘船相向而行，许多乘的船以18 千米/时的速度前进，5 小时后两人相遇，那么莉
莉的乘船速度是（ ）千米/时。
A. 8
B. 10
C. 12
D. 14
第9 讲
跑多久能相遇
165
练一练
7
从长安城到江南的余杭，还可以走全长2700 千米的隋唐大运河。试想，如果许多和莉莉分别从
运河的两端同时出发，乘船相向而行，许多的船速为60 千米/时，他们二人要经过20 小时才能相
遇，则莉莉乘船的速度是（ ）千米/时。
A. 50
B. 75
C. 100
D. 125
练一练
8
甲、乙两人从相距20 千米的两地同时出发相向而行，一只小狗与甲同时出发向乙奔去，遇到乙后
立即掉头向甲跑去，遇到甲后又立即掉头向乙跑去··· 直到甲乙两人相遇为止。已知甲的速度是
6 千米/时，乙的速度是4 千米/时，小狗的速度是13 千米/时，在这一过程中，小狗共跑了( )
千米。
A. 18
B. 20
C. 24
D. 26
166
四年级/ 数学/ 目标S 班/ QG
练一练
9
蜡笔小新回家，距家门300 米，爸爸和小白一齐向他奔来，小新和爸爸的速度都是每分钟50 米，
小白的速度是每分钟200 米，小白遇到小新，用同样的速度不停往返小新与爸爸之间，当小新与
爸爸相遇时，小白一共跑多少米？
练一练
10
A、B 两地相距480 千米，甲、乙两车同时从A、B 两地相对出发，甲车每小时行35 千米，乙车每
小时行45 千米，一只燕子以每小时行50 千米的速度和甲车同时出发向乙车飞去，遇到乙车又
折回向甲车飞去，遇到甲车又返回飞向乙车，这样一直飞下去，燕子飞了
千米两车才
能相遇。
第9 讲
跑多久能相遇
167
练一练
11
甲、乙两列火车从相距1040 千米的两地相向而行，甲车每小时行60 千米，乙车每小时行50 千
米，乙车先出发1 小时后，甲车才出发。甲车行
小时后与乙车相遇。
练一练
12
甲、乙两车分别从A、B 两地同时出发相向而行。已知甲车每小时行驶40 千米，两车4 小时后相
遇，相遇后它们继续前进，又过了2 小时，甲车到达B 地。则乙车还要用
小时才能到
达A 地。
168
四年级/ 数学/ 目标S 班/ QG
练一练
13
一辆公共汽车和一辆小轿车从相距350 千米的两地同时出发，相向而行，公共汽车每小时行40
千米，小轿车每小时行60 千米。问：2 小时后两车相距
千米。
练一练
14
A、B 两地相距600 千米，甲、乙两车分别从A、B 同时出发，相向而行。甲车的速度为每小时60
千米，乙车的速度为每小时40 千米，那么，从第一次相距100 千米到第二次相距100 千米两车
花了
小时。
第9 讲
跑多久能相遇
169
练一练
15
A、B 两地相距600 千米，甲、乙两车分别从A、B 同时出发，相向而行。甲车的速度为每小时60
千米，乙车的速度为每小时40 千米，那么，从出发算起，
小时后甲、乙两车相距100 千
米。
第10 讲
跑多远能追上
第10 讲
第10 讲
第10 讲
第10 讲
第10 讲
第10 讲
第10 讲
第10 讲
第10 讲
第10 讲
第10 讲
第10 讲
第10 讲
第10 讲
第10 讲
第10 讲
第10 讲
跑多远能追上
跑多远能追上
跑多远能追上
跑多远能追上
跑多远能追上
跑多远能追上
跑多远能追上
跑多远能追上
跑多远能追上
跑多远能追上
跑多远能追上
跑多远能追上
跑多远能追上
跑多远能追上
跑多远能追上
跑多远能追上
跑多远能追上
172
四年级/ 数学/ 目标S 班/ QG
PART 1 基本追及问题
例题
1
一天，大凡在去上班的路上看到了小熊，于是他以每分钟70 米的速度追过去，6 分钟后追上，已
知小熊的速度是每分钟50 米，则刚开始的时候大凡和小熊距离
米。
互动题
1
一天，艾迪发现薇儿在他前面某个地方，于是他以每分钟80 米的速度向她追去，5 分钟后追上，
已知薇儿每分钟走60 米，问：艾迪刚开始和薇儿的距离是
米。
第10 讲
跑多远能追上
173
例题
2
甲、乙两人分别从相距56 千米的A、B 两地同时沿同一方向前进，乙在甲前面。甲骑自行车每小
时行20 千米，乙步行每小时6 千米，
小时后甲可以追上乙。
互动题
2
跑步的时候，艾迪在薇儿正前方80 米的地方，已知艾迪每分钟可以跑60 米，薇儿每分钟可以
跑70 米，那么在
分钟后薇儿可以追上艾迪。
174
四年级/ 数学/ 目标S 班/ QG
例题
3
小舒和大春是同班同学，大春的家在小舒上学的路上。早上他俩同时同向出发，小舒的速度是
每分钟90 米，经过10 分钟两人相遇。已知两家的距离是200 米，那么大春的速度是每分钟
米。
互动题
3
熊老大和熊老二在上学路上，熊老大在40 米之外发现熊老二，已知熊老二的速度是每分钟55
米，熊老大为了在1 分钟之后能追上熊老二，则熊老大要以每分钟
米的速度去追熊
老二。
第10 讲
跑多远能追上
175
PART 2 不同时的追及问题
例题
4
（1）哥哥和弟弟在同一所学校读书，哥哥每分钟走65 米，弟弟每分钟走40 米。有一天弟弟先走
5 分钟后，哥哥才从家出发，当弟弟到达学校时哥哥正好追上弟弟也到达学校，他们家离学
校有
米。
（2）文文和菲菲分别从相距720 米的两地出发同向而行，菲菲在前，文文在后，且菲菲比文文先
出发2 分钟，已知文文的速度是每分钟60 米，菲菲的速度为每分钟50 米，当文文追上菲菲
的时候，菲菲已经走了
米。
互动题
4
解放军某先遣队从营地出发，以每小时6 千米的速度向某地前进。12 小时后，部队有急事，
派通讯员骑摩托车以每小时78 千米的速度前去联络，则
小时后通讯员能赶上先遣
队。（忽略先遣队队形长度）
笔 记 页
176
四年级/ 数学/ 目标S 班/ QG
第10 讲
跑多远能追上
177
课堂巩固
1. 一天，飞飞发现亮亮在他前面某个地方，于是以每分钟80 米的速度向他追去，5 分钟后追上。
已知亮亮每分钟走60 米，则飞飞刚开始和亮亮之间的距离是
米。
2. 一天，去上学的飞飞发现亮亮在他前面150 米处，于是以每分钟80 米的速度向他追去。已知：
亮亮每分钟走50 米，那么飞飞
分钟能追上亮亮。
178
四年级/ 数学/ 目标S 班/ QG
3. 一辆公共汽车和一辆小轿车从相距300 千米的两地同时出发，同向而行。公共汽车在前，每小
时行驶40 千米。小轿车在后，每小时行驶60 千米，则小轿车经过
小时追上公共汽
车。（不考虑休息时间）
4. 艾迪和薇儿相约放学后一起从学校去图书馆借书，但是艾迪放学之后要留下来做值日，所以薇
儿就先往图书馆走，走了600 米之后，艾迪才从学校出发。已知薇儿每分钟可以走50 米，若艾
迪想在20 分钟内追上薇儿，艾迪每分钟至少要走
米。
第10 讲
跑多远能追上
179
5. 熊老大和熊老二赛跑，它们从同一地点出发同向而行。已知熊老大每分钟跑150 米，熊老二每
分钟跑120 米，熊老二先跑了10 分钟，则
分钟之后熊老大可以追上熊老二。
180
四年级/ 数学/ 目标S 班/ QG
阿丘学堂
练一练
1
小乐每分钟走55 米，小红每分钟走62 米。
从家到学校小红比小乐多走7 分钟。小红家离学校多少米？
练一练
2
一辆汽车和一辆摩托车同时从甲、乙两地出发，向同一个方向前进，摩托车在前，每小时行28 千
米，汽车在后，每小时行65 千米，经过4 小时汽车追上摩托车，则甲、乙两地相距
千
米。
第10 讲
跑多远能追上
181
练一练
3
乌龟和兔子进行赛跑游戏。某一时刻，乌龟在兔子前270 米处，保持乌龟的速度不变，如果兔子
以7 米/秒的速度追它，需要90 秒可以追上。
（1）路程差是270 米，需要90 秒可以追上，请问每秒需要追上多少米? （ ）
A. 2 米
B. 3 米
C. 4 米
（2）既然兔子每秒需要追上3 米，且兔子的速度是7 米/秒，你能求出乌龟的速度吗？（ ）
A. 4 米/秒
B. 10 米/秒
C. 5 米/秒
（3）如果兔子想要30 秒内追上乌龟，需要追赶270 米，那么每秒兔子需要比乌龟多走多少
米？（ ）
A. 7 米
B. 8 米
C. 9 米
（4）既然每秒钟兔子需要比乌龟多走9 米，已知乌龟的速度是4 米/秒，请问兔子的速度应该是
多少才可以呢？（ ）
A. 5 米/秒
B. 13 米/秒
C. 15 米/秒
练一练
4
小红和小蓝练习跑步，若小红让小蓝先跑20 米，则小红跑5 秒钟就可追上小蓝；若小红让小蓝
先跑4 秒钟，则小红跑6 秒钟就能追上小蓝。小红、小蓝二人的速度各是
、
米/秒。
182
四年级/ 数学/ 目标S 班/ QG
练一练
5
甲、乙两人练习跑步，若甲让乙先跑2 秒钟，则甲跑5 秒钟可追上乙；若甲后退12 米，则甲跑6
秒钟也能追上乙，甲的速度是
米/秒；乙的速度是
米/秒。
练一练
6
甲乙两人同时从两地相向而行。甲每小时行6 千米，乙每小时行4 千米，两人相遇时乙比甲少行
10 千米。两地相距
千米。
第10 讲
跑多远能追上
183
练一练
7
树叶和月亮同时分别从两地骑车相向而行，树叶每小时行18 千米，月亮每小时行16 千米，两人
相遇时距全程中点5 千米。则全程长
千米。
练一练
8
王老师从甲地到乙地，每小时步行5 千米，张老师从乙地到甲地，每小时步行4 千米。两人同时
出发，然后在离甲、乙两地的中点1 千米的地方相遇，则甲、乙两地间的距离是
千米。
184
四年级/ 数学/ 目标S 班/ QG
练一练
9
在一条笔直的高速公路上，前面一辆汽车以90 千米/时的速度行驶，后面一辆汽车以108 千米/时
的速度行驶。后面的汽车刹车突然失控，向前冲去(车速不变)，在它鸣笛示警5 秒钟后撞上了前
面的汽车。在这辆车鸣笛时两车相距
米。
练一练
10
一支解放军队伍长300 米，以每秒2 米的速度行进，一位小战士以每秒4 米的速度从排尾跑到
排头并立即返回排尾，共需要
秒时间。
第10 讲
跑多远能追上
185
练一练
11
大明和小明赛跑，大明由于跑得太快了，撞到了老师，被罚站了5 分钟，之后大明再追赶小明。如
果大明每秒跑8 米，小明每秒跑4 米，那么请问大明追到小明时，从撞到老师开始计时，小明一
共跑了
分钟。
练一练
12
小兔子和大兔子赛跑，已知小兔子每分钟能跑100 米，大兔子每分钟能跑200 米。在它们出发5
分钟后，大兔子便在原地休息了10 分钟。那么大兔子还需要跑
分钟才能追上小兔子。
186
四年级/ 数学/ 目标S 班/ QG
练一练
13
小兔子和小乌龟赛跑，它们同时同地同向出发，已知小兔子每分钟能跑100 米，小乌龟每分钟只
能爬10 米。于是小兔子在出发后10 分钟就躺下睡了3 个小时觉。当它醒来以后，发现小乌龟
早就爬远了，请问小兔子还需要跑多少分钟才能追上小乌龟？
练一练
14
龟、兔进行1000 米的赛跑。小兔斜眼瞅瞅乌龟，心想：
“我小兔每分钟能跑100 米，而乌龟每分钟
只能跑10 米，哪是我的对手。”比赛开始后，当小兔跑到全程的一半时，发现把乌龟甩得老远，便
毫不介意地躺在旁边睡着了。当乌龟跑到距终点还有40 米时，小兔醒了，拔腿就跑。请同学们解
答两个问题：
胜利了。为什么？
第10 讲
跑多远能追上
187
练一练
15
上一次龟兔1000 米的赛跑兔子输得很不服气，于是向乌龟再次下战书，比赛之前，为了表示它的
大度，它让乌龟先跑10 分钟，但是兔子不知道乌龟经过锻炼，速度已经提高到原来的6 倍，那么
这一次获得胜利的是
(已知上一次比赛兔子每分钟跑100 米，乌龟每分钟跑10 米）。
第11 讲
阿丘学堂参考答案
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190
四年级/ 数学/ 目标S 班/ QG
第1 讲
乘除法的简便运算进阶
1. 9000
2.（1）3600
（2）73000
（3）1100000
3.（1）108
（2）1188
4. 12012
5. 10692000
46846800
6. 367632
7. 12337532
8. 5
9. 246
1024
10. 375
11. 42
12. 2
13. 1007
14. 1007
15. 18
第11 讲
阿丘学堂参考答案
191
第2 讲
三角形初步
1. B
2. 32
3. 22
4. 锐角三角形
钝角三角形
直角三角形
5. 等腰三角形
等腰直角三角形
等边三角形
6. D
7. 50◦
50◦
80◦
20◦
8. D
9. 900
10. 250
11. 130
12. 140◦
13. 120◦
14. 360
15. 360
192
四年级/ 数学/ 目标S 班/ QG
第3 讲
三角形进阶
1.
2. 40
30
3. 30
4. 36
5. 10
3
24
6. 12
7. 4
8. 5
9. 960
10. 50
11. 75
12. 800
13. 13
14. 4
8
15. 90
第11 讲
阿丘学堂参考答案
193
第4 讲
从数数到计算
1. 12
2. 24
3. 27
4. 210
5.（1）256
（2）24
6. 4
7. 2134
8. 48
9. 96
10. 18
11. 48
12. 96
13. 180
14. 96
15. 72
194
四年级/ 数学/ 目标S 班/ QG
第5 讲
解简易方程
1. 等式有(1)、(2)、(3)、(5)
方程有(2)、(3)、(5)
2.（1）45
（2）20
3.（1）9
（2）8
4. x =14
5. 5
6. 3
7. x = 5
8. 3
9. 8
10. 8
11. 14
12. 5
13. 3
14. 12
15. 80
第11 讲
阿丘学堂参考答案
195
第6 讲
列方程解决问题（一）
1. 9
2. 4
14
3. 120
20
4. C
5. 8
6. 20
7. 65
8. 14
9. 7
79
10. 48
11. 29
156
12. 48
13. 630
14. 80
15. 32
196
四年级/ 数学/ 目标S 班/ QG
第7 讲
数列中的规律进阶
1. 59
2. 31
3. 1953
4. 1683
1650
5. 495
6. 1003
7. 2500
8. n2
9. 20
10. 73
11. 147
12. 52
1404
13. 14
14. 155
15. 1227
第11 讲
阿丘学堂参考答案
197
第8 讲
数的整除初步
1. 能被5 整除的数有：0、15、20、25、50、55、95；
不能被5 整除的数有：8、12、16、27、28、47、82。
2. 556、90875、342125
3. 5670 或5675
545672
4. 263416
5. 36576
785475
6. 3
7. 92488
12408
8. 能被3 整除的数有：570、156、276；
不能被3 整除的数有：361、803、4213。
9. 414，2673，1152
10. 1
4
7
11. 2
12. 3
14517
13.（1）2
5
8
（2）0
2
4
6
8
（3）2
8
14. 4
15. 2
198
四年级/ 数学/ 目标S 班/ QG
第9 讲
跑多久能相遇
1. 45
2. 390
3. 20
4. 4
5. 13
6. C
7. B
8. D
9. 600
10. 300
11. 9
12. 6
13. 150
14. 2
15. 5 或7
第11 讲
阿丘学堂参考答案
199
第10 讲
跑多远能追上
1. 992
2. 148
3.（1）B
（2）A
（3）C
（4）B
4. 10
6
5. 7
5
6. 50
7. 170
8. 18
9. 25
10. 200
11. 10
12. 5
13. 10
14. 乌龟
15. 乌龟
1120031018369
