文档文本内容
数学思维
目标A+ 班
五年级（全国版）·暑期
学而思网校教研中心 编著
前言PREFACE
学而思网校为6 ～18 岁的学生提供小学、初中、高中全学科课外学习课程。学而思网校拥
有十余年教学经验，采用在线双师直播教学模式，用AI 技术来辅助教学。学而思网校课堂互动
多，线上课程有回放，教师及时答疑，学生不满意可随时退费。
2016 年5 月，学而思网校提出“在线学习更有效”的品牌主张，并正式推出在线双师直播教
学模式，通过实时在线的互动教学、图文并茂的随堂讲义、科学的学业测评，以及教师多方位的
学习辅导，保障学生的学习效果。
2016 年7 月，
“IDO 个性化学习体系”正式上线，体系拥有动态学习报告、错题订正等功能，
为教师、学生和家长之间建立起更有效的沟通平台。2017 年7 月，
“IDO 个性化学习体系”升级
为“IDO 个性化学习体系2.0”（简称“IDO2.0”）。
“IDO2.0”拥有个性化学习任务系统（IMS），并首
次将人脸识别、语音识别、触感互动等技术引入在线课堂，让在线学习有更多可被量化的数据和
可追踪的学习轨迹，甚至有更多动手实践的机会。有效的科技手段逐渐缩小了线上线下的学习
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2018 年，学而思网校课程体系全面升级，Amazing English、大语文、数学思维、大科学等课程
更注重对学生综合素质能力的培养。同时，学而思网校推出的故宫、音乐、魔方、儿童安全、历史
等素养类课程让学生可以多维、立体化成长。学而思网校自主研发的“AI 老师”通过自然语言处
理（NLP）、图像文字识别（OCR）等技术精准分析学生的语义、情感、笔迹等，形成完整高效的
“课堂学习链”，让在线课堂学习体验更美好，让教学更高效，学习更有效。未来，学而思网校将进
一步承担起用科技推动教育进步的重任，不断致力于教育资源的均衡发展，实现从教到育、从学
到习的全面提升。
学而思网校教研中心
目录
CONTENTS
第1 讲
生活中的小数除法................................. 2
第2 讲
纸的大小........................................... 20
第3 讲
以盈补虚........................................... 38
第4 讲
绿色“战役”........................................ 56
第5 讲
数与数的友谊..................................... 74
第6 讲
体育观赛指南..................................... 92
第7 讲
数字黑洞......................................... 112
第8 讲
三角形的魔力.................................... 130
第9 讲
折纸中的数学.................................... 150
第10 讲
温故知新......................................... 154
阿丘学堂参考答案................................................ 168
第1 讲
生活中的小数除法
01 生活中的小数除法
课前阅读
“傻小凡，14÷4=3……2 ，最后余下的2本作业本怎么平分给我们4个人
啊？总不能把本子撕开，再进行平分吧？”许多充满疑惑地说。
“好吧好吧，那我知道了，我们只要去掉余数，买14-2=12本就可以平均分
了。完美！”小凡边说边耸了耸肩。
“哇，泡芙！你们想吃吗？”阿丘边擦口水边说。
“想想想！”大家异口同声地说。
“一盒泡芙是14元，正好够我们4个人吃，那一个人需要付多少钱呀？”阿丘直勾
勾地盯着玻璃柜里的泡芙说。
“14÷4=3……2，啊，又回到刚才的问题了，多出来的2元怎么办啊？总不能不给
商家吧？这个钱我们怎么均摊啊？这也太难了吧！”许多崩溃地说。
……
小朋友，你知道要想凑齐这14元钱，他们平均每个人应该
拿出多少元钱吗？
有一天，许多、莉莉、阿丘和小
凡一 起兴高采烈地去超市买东西。“我打算买14本作业本，
然后我们4个人平均分掉，嘿嘿。”小凡开心地说。
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4
本讲教学目标
1
体会将带余除法的结果变成小数的意义，掌握除数是整数的小数除法计算；
2
结合商不变的规律，探究一个数除以小数的小数除法计算；
3
根据小数除法在生活中的应用，体会小数部分对应的实际意义；
4
体会转化的思想，感受数学计算在实际生活中的应用价值。
重难点易错点
1
小数除法的算理及算法
2
转化思想
第1 讲
生活中的小数除法
5
知识导图
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6
PART
1
除数是整数
例题1
许多、莉莉、阿丘和小凡一起去超市买东西，他们打算花14 元钱买一盒泡芙平分。要想凑齐14
元钱，他们每个人平均需要拿出
元钱。
想一想 ?
14 元平分到4 个人身上，每个人分3 元之后还剩2 元。余下的2 元应该继续平分到4 个人身
上，怎么分呢？
第1 讲
生活中的小数除法
7
例题2
爷爷奶奶每天早上都坚持晨练，计划4 周一共跑74 千米，他们计划平均每周跑
千
米。
例题3
许多最近喜欢上了晨跑，早上跑一跑，一天精神好。晨跑计划的第一周，许多共跑了21.28 千
米，那么他平均每天跑
千米。（一周按照7 天计算）
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8
PART
2
除数是小数
例题4
许多的爷爷有一家小商店，小商店里的铅笔每支0.4 元，如果我们手中有12 元，最多能买到
支铅笔。
例题5
许多家这个月交电费95.7 元，已知每度电0.58 元，许多家这个月用电
度。
第1 讲
生活中的小数除法
9
课中阅读
调皮的小数
对于打折这件事，小朋友有没有觉得很奇怪？分明是用原价乘
一个数，为什么反而越乘越小了呢？学了小数乘法后，相信小朋友
现在一定已经清楚了：当一个数乘一个大于1 的数，结果会大于原
数；乘1 则会等于原数；但是如果乘一个比1 小的数，结果则会比
原来的数小。
A×8 > A
A×1 = A
A×0.8 < A
如果乘一个比1 小的数，结果则会比原来的数小。这背后的原
理，你还记得吗？当我们将一个数平均分成10 份之后，如果只取其
中的8 份，最终的结果肯定会小于原来的数。这就是越乘越小的原
因。
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10
课中阅读
学过了小数除法，你有没有思考过，除法中是否也有调皮的小
数呢？举个简单的例子吧。请你尝试填一填。
15÷3 =
15÷1 =
15÷0.3 =
在学习小数之前，我们一直认为某个数除以一个数，结果要么
不变，要么会越除越小。但是通过上面的例子，之前的认知是不是
就被颠覆了呢？问题出在哪里？仔细观察上面的例子，我们会发现：
除数以1 为分界，如果除数大于1，商就会小于被除数；如果除数等
于1，商就会等于被除数；如果除数小于1，商就会大于被除数。这
背后的原理是什么？你能尝试解释清楚吗？
第1 讲
生活中的小数除法
11
例题6
许多妈妈买了2.6 千克苹果，一共花了28.6 元，则每千克苹果
元。
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12
PART
3
小数除法的应用
例题7
小燕家的奶牛一天能产奶28.7 千克，每一个牛奶桶最多能装3.5 千克牛奶，小燕家每天至少要
准备多少个牛奶桶？
想一想 ?
对于结果中的小数部分，小朋友，你打算怎么处理？
第1 讲
生活中的小数除法
13
例题8
去年冬天，奶奶做了很多中国结，让爷爷拿去市场上卖。奶奶准备了16.6 米的红绳，每个中国
结需要0.8 米的红绳，奶奶一共可以做
个相同的中国结。
想一想 ?
结果中的小数部分，还可以做一个相同大小的中国结吗？
笔记页
14
第1 讲
生活中的小数除法
15
课堂巩固
1 小华坚持晨练，计划4 周跑26 千米，她平均每周计划跑
千米。
2 许多要来爷爷家过暑假，爷爷一大早就到早市上买了许多最爱吃的鲤鱼。两条鱼一共
4 千克，一共花了42.4 元，鲤鱼的价格是每千克
元。
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16
3
（苹果填“1”梨填“2”）买得多，多
千克。
4 每套儿童服装用布1.6 米，50 米布最多能做
套儿童服装。
5 每个空瓶可以装2.5 千克的色拉油，王老师要把25.5 千克的色拉油装在这样的瓶子
里，至少需要（ ）个这样的瓶子。
A. 10
B. 11
C. 12
第1 讲
生活中的小数除法
17
阿丘学堂
1. 爷爷喜欢上午去逛超市，超市里的牛奶原价每盒3 元，现在进行促销活动，买四赠一。若爷
爷买了4 盒牛奶又被送了一盒，那么相当于每盒牛奶是
元。
2. 小华坚持晨练，计划4 周跑22.4 千米。她平均每周计划跑多少千米？竖式计算正确的是
（ ）。
3. 蓝鲸是世界上最重的动物，体重可达198 吨，一头大象的体重约是5.5 吨。一头蓝鲸的体
重大约相当于
头大象的体重。
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18
4. 做一件上衣用布料1.5 米，现有20.7 米布，最多可做这样的上衣（ ）件。
A. 13.8
B. 14
C. 13
5. 妈妈在菜市场买了1.5 千克带鱼，交给售货员11 元钱后，找回0.5 元。每千克带鱼多少元？
6. 有一根长14 米的绳子，剪成每根长2.5 米的跳绳，最多可以剪成
根。
7. 2.5 千克大米能装满一个袋子，则32 千克大米能装满（ ）个同样的袋子。
A. 12
B. 12.8
C. 13
D. 不能确定
第1 讲
生活中的小数除法
19
8. 小红的妈妈将5 千克香油分装在一些玻璃瓶里，每个瓶最多可装0.8 千克，妈妈至少需要
准备（ ）个瓶。
A. 6
B. 6.25
C. 7
9. 每一个油桶最多装4.5 千克油，购买27.9 千克油，至少要准备
只这样的油桶。
10. 秋季是蟹肉最鲜嫩的季节，把77 千克的螃蟹装入最多可容纳2.8 千克螃蟹的蟹筐里，至少
需要（ ）个这样的蟹筐。
A. 25
B. 26
C. 27
D. 28
第2 讲
纸的大小
02 纸的大小
课前阅读
“我的滑板鞋时尚时尚最时尚，
一步两步，一步两步，是魔鬼的步伐……”阿丘一边哼
着歌一边滑动着自己的滑板鞋，还时不时地做个酷炫的动作。
“阿丘，我想玩你的滑板鞋，并且，并且我也要戴你头上的帅气头
巾。”许多激动地大声喊。
“许多，阿丘那么宝贝他的滑板鞋和头巾，怎么可能轻易地借给你，天
真！”莉莉耸了耸肩说。
“No No No No，本汪今天心情好，只要你能够答对我的问题，我就把滑板鞋和头
巾都借给你，并且让你玩个痛快。”阿丘围着许多边滑着滑板鞋边说。
“放马过来！”许多自信地说。
“来，我这里有两张纸，一张是长方形，一张是
平行四边形。你猜猜哪张纸大？” 阿丘边展示边说。
“长方形的长等于平行四边形的一个边，它们宽度一样，但是形状不同，对不齐
啊！这也太难了吧！看来只能靠运气了。”
“这是纸啊，我有剪刀，你剪剪拼拼比较一下。”莉莉小声嘀咕着说。
“你不准告诉他。”阿丘不满地说。
“优秀！”许多看了一眼莉莉，拿过剪刀就开始动手了。
果不其然，通过剪拼，许多得到了想要的答案，也顺利地开始玩起了
阿丘的滑板鞋。
小朋友，你知道这里说的纸的大小指的是纸的什么吗？通
过剪拼，你能探索出平行四边形的面积公式吗？
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22
本讲教学目标
1
能标准地画出平行四边形的高；
2
通过动手实现图形的转化，总结出平行四边形面积公式；
3
能够在有多余条件的情况下求面积，体会底与高的对应关系；
4
体会周长与面积之间的关系，能够解决实际问题。
重难点易错点
1
标准画高
2
底高对应
3
公式推导及应用
第2 讲
纸的大小
23
知识导图
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24
PART
1
高的画法
例题1
画一画，画出平行四边形已知底上的高。
例题2
下图中，平行四边形DC 边上的高是
厘米，BC 边上的高是
厘米。
第2 讲
纸的大小
25
PART
2
面积的计算
例题3
阿丘给了许多两张纸，形状与长度如下图，让许多比较一下两张纸的大小。聪明的小朋友，你能
帮许多回答一下吗？
（1）两张纸片面积的关系是
。（长方形纸片大，填“1”；平行四边形纸片大，填“2”；一
样大，填“3”）
（2）平行四边形的面积是
cm2。
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26
例题4
如图，已知AB = 5 厘米，AE = 3 厘米，平行四边形ABCD 的面积是
平方厘米。（图
中单位：厘米）
例题5
如图，在平行四边形ABCD 中，BC = 12 厘米，AE 垂直BC 于点E，AF 垂直CD 于点F，AE = 6
厘米，CD = 9 厘米。
（1）平行四边形ABCD 的面积是
平方厘米。
（2）线段AF 的长度是
厘米。
第2 讲
纸的大小
27
课中阅读
“哼哼哼……拿我的小拳拳枪锤你胸口，把我的滑板鞋还给
我。”阿丘边向许多发射伸缩拳头枪边说。
“咋的？不服气啊。”许多骄傲地说。
“哼，不服气，我再考你一个问题。只要你能够答对，我就借给
你玩一天的滑板鞋。”阿丘边向许多发射伸缩拳头枪边说，
“你觉得
这个伸缩拳头枪运用的是哪个数学课内知识点？”
“平行四边形的特点，易变性。”还没等阿丘说完，许多抢答
道，
“好了，我答完了，不准反悔。”
“我……”阿丘无奈道，
“我还没问完呢，好吧，我认栽。再问你
一个，如果答对，再借你一天。”
“你说了只问一个问题的，我回答完了。”许多骄傲地说，
“不过
看在你又要给我玩滑板鞋的份上，我就勉强答应你。你问吧，反正
我也没有损失。”
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28
课中阅读
“如果我有一个平行四边形的框架，并且它的边是可以转动的。
什么时候，这个框架所围成的图形的面积是最大的呢？”阿丘说。
“让我思考一下，”许多咳嗽了一下说，
“边可以转动，那我固定
底边。平行四边形的面积是底乘高，如果底固定，要想面积最大，那
只要这个高的长度最大就可以。啊，我知道了，so easy！”说着，许多
就在小黑板上画出了转动后，面积最大的图形。
“呦呦呦，许多什么时候这么厉害了呀。”莉莉说。
“那必须的，士别三日，当刮目相看。根据我前面的思路，肯定
是当平行四边形框架转动成长方形的时候，这个框架所围成的图
形的面积是最大的。”许多补充道。
“你赢了，滑板鞋借你借你。”阿丘不情不愿地说。
第2 讲
纸的大小
29
PART
3
综合应用
例题6
许多想用铁丝围成下图一样的平行四边形，则需要
厘米的铁丝。
想一想 ?
要想知道需要多长的铁丝，还应该知道哪一条边的长？
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30
例题7
许多爷爷家有一个平行四边形的菜园，如下图。在帮爷爷围栏杆的时候，许多知道了栏杆的总
长度是60 厘米。此外，他还知道了一些条件，CD 长18 厘米，AF 是BC 边上的高，长15 厘米，
则这个菜园的面积是
平方厘米。
想一想 ?
要想知道菜园的面积，还应该知道谁的长度？
第2 讲
纸的大小
31
例题8
平行四边形的周长是70 米，其余尺寸如图，则这个平行四边形的面积是
平方米。
笔记页
32
第2 讲
纸的大小
33
课堂巩固
1 下图中，平行四边形底a 所对应的高是
厘米，高b 所对应的底是
厘米。
2 一个长方形长8 厘米，宽6 厘米。将这个长方形沿对角线剪开，然后拼成一个平行四
边形（如图）。这个平行四边形的面积是（ ）平方厘米。
A. 24
B. 48
C. 96
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34
3 下图中平行四边形的面积是（ ）。
A. 36.8 平方分米
B. 3.68 平方分米
C. 1.84 平方分米
4 如图，这个平行四边形的面积是
平方厘米。（图中单位：厘米）
5 如图，平行四边形ABCD 的周长是88 厘米，以CD 为底时，它的高AE 是24 厘米。
又知BC 是26 厘米，平行四边形ABCD 的面积是
平方厘米。
第2 讲
纸的大小
35
阿丘学堂
1. 下图的平行四边形中，12 厘米长的底边上的高是
厘米，6 厘米长的底边上的高
是
厘米。
2. 求下面每个平行四边形的面积。（图中单位：cm）
(1)
(2)
3. 如图所示，这个平行四边形的面积是
。
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36
4. 一个平行四边形的花坛，底是4m，这条底边上的高是3m，它的面积是
m2。
5. 一个平行四边形的面积是48 平方米，底是12 米，这条底边上的高是
米。
6. 一块平行四边形钢板，面积是800 平方厘米，高是20 厘米，则该高对应的底是
厘米。
7. 平行四边形ABCD 中，BC = 24 厘米，BC 对应的高是14 厘米，CD 对应的高是16 厘米，那
么CD 是
厘米。
第2 讲
纸的大小
37
8. 如图所示，李大爷要围一块这样的平行四边形菜地，至少需要铁丝网多少米？
9. 如图是一个平行四边形停车位。它的周长是114 米。这个停车位的面积是多少平方米？
10. 小明测量出学校一个平行四边形花坛的周长是68 米，同时他还测量出了这个花坛的一条
边和一条高的长度（如图）。这个花坛的面积是
平方米。
第3 讲
以盈补虚
03 以盈补虚
课前阅读
“爸爸，你看我今天跟之前有什么不一样？”莉莉站在
爸爸面前激动地说。
“叔叔还有我，还有我。”阿丘和许多争先恐后地说。
“莉莉比以前更漂亮了，阿丘和许多比以前更帅气了。”爸爸
笑着说。
“不是不是，你再仔细看看我们。”莉莉着急地说。
“哈哈哈，我早就看到了，你们今天都戴上新的红领巾了。”爸爸边竖大拇
指边说。“嘿嘿，开心。”许多说。
“红领巾不仅仅代表红旗一角、烈士的鲜血，它更是一个时代的象征，象征
着少年先锋队的前身——劳动童子团在艰苦的环境中饱含热情投入革命事业，
经历了血与火的考验。”爸爸语重心长地说。
“我们都知道，我们会好好珍惜的。”莉莉说。
“但是，爸爸，其实老师还给我们出了一个小难题，让我们回家思考。”许多
边说边摘下红领巾，“就是让我们想办法测一下这个红领巾的大小。我们回来的时
候一起研究过，我们只知道它是一个三角形，可我们也没学三角形面积的计算公
式啊。”
“让我来提示一下，”爸爸边说边对比着红领巾在纸上画出了红领巾的形状，
“你们看，我已经还原了红领巾的形状，你们思考一下，它是否可以通过添添、
补补转化成我们已经学过的图形呢？你们动手试一下。”
“鲜艳的红领巾，美丽的衣裳……”莉莉边唱歌边动手操作着。
……
“啊，我们知道了。”
小朋友，你能推导出三角形的面积公式吗？提示一下，类比
推导平行四边形面积公式的方法呦。
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40
本讲教学目标
1
理解三角形高的定义，掌握画高方法；
2
掌握三角形面积公式及其推导过程；
3
熟练掌握三角形面积公式每一部分的含义，会公式的反向应用；
4
能够求解面积桥类型的问题。
重难点易错点
1
公式的推导及理解
2
公式的灵活运用
第3 讲
以盈补虚
41
知识导图
学而思数学思维
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42
PART
1
高的画法
例题1
画出下面每个三角形的三条高。
例题2
下图画高正确的是（ ）。
第3 讲
以盈补虚
43
PART
2
面积的计算
例题3
小朋友，你能想办法算出下面三角形的面积吗？
它们的面积分别是
平方厘米、
平方厘米、
平方厘米。（每个小方
格的面积是1 平方厘米）
想一想 ?
如何将未知的三角形面积转化成已知图形的面积？
学而思数学思维
目标A+ 班·五年级（全国版）「暑」
44
例题4
一个三角形的底是20cm，对应的高是12cm，它的面积是
cm2。
第3 讲
以盈补虚
45
课中阅读
“好神奇，原来类比推导平行四边形面积公式的方法，我们也
可以把未知的三角形面积转化成已知图形的面积。通过观察，我们
马上能够知道三角形的面积公式了。”许多激动地说。
“这些方法都是谁想到的，也太神奇了吧。”莉莉补充道。
“其实早在古时候，人们就已经发现了一些常见图形的面积计
算方法。你们想知道吗？”阿丘说。
“想想想！”莉莉和许多争先恐后地说。
“那让我给你们讲一讲。”阿丘正了正衣领继续说，
“我国古代数
学名著《九章算术》中记载了一些常见图形的面积计算方法，比如
长方形的面积。”
“啊，这个我知道。
‘有田广十二步，纵十四步。问：为田几何？答
曰：一百六十八步。方田术曰：广纵步数相乘得积步。’意思就是有
一块长方形地，宽12 步，长14 步。问：它的面积是多少？答案是：
168 平方步。计算长方形面积的方法是：宽与长相乘得面积。”莉莉
抢答道。
学而思数学思维
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46
课中阅读
“非常棒，那古书中关于三角形面积计算方法的描述，你们知
道吗？”阿丘看到莉莉和许多摇摇头之后继续说，
“三角形面积公式
的描述是‘术曰：半广以乘正从’。这里广是指三角形的底边，正从
是指底边上的高。你看看，古人多聪明。此外，数学家刘徽在注文中
对这一计算公式作了证明‘半广者，以盈补虚，为直田也。亦可以半
正从以乘广’（如下图）。这里的盈是多余，虚乃不足的意思。”
“哇，古人好厉害。”莉莉和许多异口同声地说。
第3 讲
以盈补虚
47
例题5
如图，已知三角形ABC 的面积是80 平方厘米，AD = 10 厘米，则BC 的长是
厘米。
例题6
如图，一个三角形布料的面积是7.5 平方米，其中一条边长为3 米，则这条边上的高为
米。
学而思数学思维
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48
PART
3
综合应用
例题7
如图所示，AD、BE、CF 是△ABC 的高，如果AD = 10，BC = 24，BE = 12，AB = 15，则△ABC 的
面积=
，AC =
，CF =
。
例题8
如图，三角形ABC 是直角三角形，AB = 40 厘米，AC = 30 厘米，BC = 50 厘米，则BC 边上的高
AD 长是
厘米。
笔记页
49
学而思数学思维
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50
课堂巩固
1 下面的三角形所选底边上的高画对了吗？（对的填“1”，错的填“2”）
2 一个三角形的底是20 米，该底边对应的高是9 米。这个三角形的面积是
平
方米。
第3 讲
以盈补虚
51
3 求下图三角形的面积（图中单位：厘米），正确的列式是（ ）。
A. 15×10÷2
B. 15×12÷2
C. 10×12÷2
D. 10×15×2
4 一个三角形的面积是96 平方分米，如果它的底是16 分米，这个底所对应的高是
分米。如果它的高是8 分米，这个高所对应的底是
分米。
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52
5 如图，已知三角形ABC 是直角三角形，AC = 40 厘米，BC = 50 厘米，BC 边上的高AD
是24 厘米，则AB 的长是
厘米。
第3 讲
以盈补虚
53
阿丘学堂
1. 下图中，以AB 边为底画高，正确的是（ ）。
2. 一个直角三角形的两条直角边分别是6cm 和8cm，斜边长10cm，这个直角三角形的面积
是
cm2。
3. 一个三角形的底是8 分米，底对应的高是1.2 分米，它的面积是
平方分米。
学而思数学思维
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54
4. 一个三角形的底是32 分米，高是底的一半，这个三角形的面积是多少平方分米？
5. 下图中平行四边形的面积是64cm2，阴影部分的面积是（ ）cm2。
A. 16
B. 32
C. 64
D. 128
6. 一块三角形铁皮的面积为6 平方米，它的底边长3 米，该底边上的高是
米。
7. 如图，一个三角形的布料面积是45 平方米，其中一条边长为5 米，则这条边上的高为
米。
第3 讲
以盈补虚
55
8. —条三角形围巾的面积是51 平方分米，高是17 分米，该高对应的底是
分米。
9. 已知三角形ABC 中，BC = 10 厘米，AD、EC 是三角形的高，AD 长为8 厘米，EC 长为5 厘
米，则底边AB 的长是
厘米。
10. 已知在三角形ABC 中，BC = 16 厘米，AD、EC 分别是三角形BC、AB 边上的高。AD 长6
厘米，AB 长12 厘米，则高EC 的长是
厘米。（请你先找出EC 并把它画出来！）
第4 讲
绿色“战役”
04 绿色“战役”
注：本讲所有树的宽度、人的宽度、摆放物品的宽度均忽略。
课前阅读
“小喜鹊造新房~小蜜蜂采蜜忙~幸福的生活从哪里
来~要靠劳动来创造~”阿丘边收拾东西边唱着歌。
“看把你激动的。”许多说。
“明天要去植树啊，劳动人民最光荣，想不激动都难。”阿丘说完
继续哼着歌收拾东西。
“你们明天就要去植树了，准备工作都做好了吗？”爸爸问。
“工具、手套什么的我们都准备好了，学校提供树苗。”莉莉回答道。
“除了这些，你们还要知道关于植树的一些数学小知识。”爸爸说道。
“啊？植树还要用到数学知识？”许多不解地问。
“那当然了，在植树之前当然要先做规划了。比如通过路的长度以及设定好的每棵树
的间距，我们才能知道买多少棵树苗才不浪费；再比如，在路的长度一定，树苗的棵数
一定时，为了美观，我们还需要知道每棵数的间距。这些问题的解决都用到了数学知识
啊！”爸爸耐心地解释道。
“哇，怪不得学校除了告诉我们要植树，还补充了一些其他的信息。”莉莉激动地
说， “我们班负责在一条长60米的道路一侧种树，学校规定每隔5米种一棵树，那我
们一起想想需要向学校申请多少棵树苗。”
“先别一起想，给你们3分钟的时间自己思考，然后告诉我答案。” 爸爸坏笑道。
……
“时间到，许多你看一下大家的答案。”爸爸笑着说 。
“莉莉的答案是13，我的答案是12，阿丘的答案是11。哎呦？为
啥答案都不一样呢？谁的答案是正确的啊？”许多不解地说。
聪明的小朋友，你能解答许多的疑惑吗？
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58
本讲教学目标
1
通过各类植树问题，明确直线型与环形（封闭图形）中点与段的关系；
2
能够总结不同情况下点与段的关系，借助这种关系解决问题；
3
能够认识到爬楼梯、锯木棒等问题本质上都是植树问题。
重难点易错点
1
间距的数量与棵数之间的关系
2
植树问题变形
第4 讲
绿色“战役”
59
知识导图
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60
PART
1
直线型问题
例题1
在沙漠边缘种植树木，可以有效地防风固沙，减缓甚至阻止沙漠化的进程。（以下所有问题中两
端都种树）
（1）若在种植树木时，某排两端的距离是20 米，每隔5 米种植一棵树木，那么这一排会种下
棵树木。
（2）若每隔5 米种植一棵树木，工人手中现有7 棵树苗，那么这一排他会完成
米。
（3）若某排两端的距离为60 米，工人手中有16 棵树苗，那么相邻两棵树间的距离为
米。
想一想 ?
你能够通过画图把这道题做出来吗？
第4 讲
绿色“战役”
61
例题2
学校有一条长24 米的道路，计划在道路两旁栽树。每隔4 米栽一棵（两端都栽），那么共需要
棵树苗。
例题3
操场的宽度约为60 米，若沿着宽的方向站一列纵队，前后相邻同学的间距为2 米。因为雨后，
队尾的地方有一滩水无法站人，那么这一列能够站
名同学。
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62
例题4
两栋楼之间相距70 米，每隔5 米种一棵树，共种了
棵树。（靠近楼的两个端点无法
种树，且树的宽度忽略不计。）
第4 讲
绿色“战役”
63
课中阅读
城市绿化的新思考
新加坡国土面积仅有721.5 平方公里，人口却达560 万（2017
年数据），人口的密度非常高，位列世界第三。但如此弹丸之地，其
绿化覆盖率竟达到70%，远超世界其他各国，并被称为“花园城市”，
也成为了世界各国绿化的“标杆”。新加坡是如何“变绿”的呢？
新加坡的绿化是立体的，高大的乔木、低矮的灌木与如茵的草
地交相辉映，但只做到如此是远远不够的。由于新加坡国土面积太
小，人口密度又很大，所以人类活动空间与绿化面积之间形成了矛
盾。在这样的情况下，一味地追求平面绿化，会对人们的生活造成
不便，于是规划师们将目光投向了天空，将注意力转移到一座座拔
地而起的建筑上。
此前人们已经尝试在屋顶进行绿化，新加坡寻求突破，在建筑
的顶面和侧面、立交桥以及高架桥上也进行了绿化，如图所示。
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64
课中阅读
人们一开窗就能看到绿色的植物，令人心旷神怡；绿色植物的
叶子能够吸收二氧化碳并释放氧气，减少城市交通带来的粉尘，一
定程度上能够对健康产生帮助；这样立体式的设计，在提高绿化覆
盖率的同时却不占用寸土寸金的地面空间，所以深受人们的喜爱。
我国也早已意识到城市绿化的重要性，近年来在北京、上海等
城市也尝试进行类似的“立体”绿化模式，希望在不久的将来能够
看到越来越多的此类建筑，让我们的城市变得更绿、更美！
第4 讲
绿色“战役”
65
PART
2
环形问题
例题5
一个圆形池塘，它的一周长是150 米，每隔5 米种一棵树。一共能种
棵树。（树的宽
度忽略不计）
例题6
国庆节来临，环卫工人需要在圆形广场的边缘放置花盆进行装饰。若广场一周长为66 米，每隔
6 米放置一个花盆，那么这个广场一共需要摆放
个花盆。
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66
PART
3
综合应用
例题7
许多和莉莉住在同一个小区，楼房的建筑结构是一样的。这天许多记录自己从1 楼爬到5 楼
用时20 秒，那么当他去找莉莉时，用相同的速度从莉莉家楼的1 楼到8 楼用时
秒。
例题8
一根均匀的木棒长60 厘米，现要将它锯成每段长6 厘米的短木棒，每锯一次均需要8 分钟
（两截放在一起锯视为锯了2 次）。那么，完成这项任务需要
分钟。
笔记页
67
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68
课堂巩固
1 在48 米长的道路一侧插彩旗，两端都插，每隔6 米插一面，一共要插
面。
2 一条林荫道上有5 只兔子排队做操，相邻两只兔子相隔2 米，第一只兔子和第五只兔
子相隔
米。（兔子的宽度忽略不计）
第4 讲
绿色“战役”
69
3 在一条长240 米的水渠一侧的边上植树（一端种树、一端不种树），每隔3 米植1 棵。
共植树
棵。
4 小强家附近的公园里有一个圆形池塘，它的周长是1500 米，每隔3 米栽种一棵树，共
需树苗
棵。（树的宽度忽略不计）
5 许多从3 楼跑到6 楼花费了9 秒钟，若他上下楼的速度一样，则从6 楼跑回到1 楼需
要
秒。（各楼层建筑结构一样）
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70
阿丘学堂
1. 植树节到了，森林里的小动物一起去植树。大家在道路一旁一共植树28 棵，已知相邻两棵
树之间的距离为3 米。
（1）如果小动物们从头种到尾，这条路长
米；
（2）如果一端不种树，这条路长
米；
（3）如果这条路的两端都不种树，这条路长
米。
2. 在一条长2008 米的公路的两侧栽树（两端都栽），每隔8 米栽一棵，一共要栽（ ）棵。
A. 251
B. 253
C. 502
D. 504
3. 学校门前有条长100 米的马路，马路两侧一共种了42 棵树，相邻两棵树之间的距离相等，
而且马路的两端都种了。那么，相邻两棵树之间的距离是
米。
第4 讲
绿色“战役”
71
4. 两栋楼之间相距12 米，每隔2 米种一棵树，一共种了几棵树？（靠近楼的两个端点无法种
树）
5. 贝贝要去外婆家，他家门口有一根路灯杆，从这根杆开始，他边走边数，每走50 步就经过
一根路灯杆，数到第10 根时刚好到外婆家。第1 根路灯杆到第10 根路灯杆，他一共走了
步。
6. 有一块三角形的地，三条边长分别为30 米、40 米、60 米，每隔10 米种一棵树，三个顶点都
种，那么三条边上共种
棵树。（树的宽度忽略不计）
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72
7. 一根30 厘米长的木条，要锯成5 厘米的小段，需要锯
次。
8. 把10 根绳子连成一根长绳子，需要打几个结？连成一圈要打几个结？
9. 有一座高楼，小红从1 楼爬上4 楼用了3 分钟，用同样的速度，从1 楼爬上顶楼用了24 分
钟，那么这楼一共
层。（各楼层建筑结构一样）
10. 有一座高楼，小红每上一层需1 分半，每下一层需半分钟。她从上午8 : 45 开始不停地从底
层往上走，到了最高层后又立即往下走，中途也不停留，上午9 : 17 第一次返回底层。则这
座楼共有
层。（各楼层建筑结构一样）
第5 讲
数与数的友谊
05 数与数的友谊
课前阅读
今天是莉莉的生日，大家都在忙里忙外，准备给莉莉好好庆
祝一番。
“许多、阿丘，莉莉今天过生日，家里一定会去好多客人，你们去
买点水果，顺便再买些点心带过去吧。”妈妈边收拾东西边说。
“那妈妈，我们应该买多少呢？”许多认真地问。
“哎呀，正好趁这次机会，妈妈也考一考你们。你们买的糖果的数量要既能够被
2整除，又能够被5整除；买的香蕉的数量要既能够被2整除，又能够被3整除；买的枣
子的数量要既能够被3整除，又能够被5整除。”妈妈笑着说。
“妈妈，条件这么多，这也太难了吧！莉莉，你知道怎么算吗？”许多边抱怨边看
向莉莉。
“好像也没有那么难，走吧，我跟你们一起去，我们边走边算。”莉莉自信地说。
……
不负众望，莉莉顺利地带着他们买到了满足妈妈要求的水果和点心。
小朋友，你知道许多他们买的糖果、香蕉和枣子的数量分别可能
是多少吗？
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76
本讲教学目标
1
掌握2、5 的整除特征，并能灵活运用；
2
掌握3 的整除特征，并能灵活运用。
重难点易错点
1
2、5 的整除特征
2
3 的整除特征
第5 讲
数与数的友谊
77
知识导图
学而思数学思维
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78
PART
1
尾数系整除特征
例题1
在上方的表格里：
（1）用红色的笔标出2 的倍数，仔细观察这些数有什么特征？
（2）用蓝色的笔标出5 的倍数，仔细观察这些数有什么特征？
（3）既是2 的倍数，又是5 的倍数的数有
个。
想一想 ?
既是2 的倍数，又是5 的倍数的数具有什么特征？
第5 讲
数与数的友谊
79
例题2
自然数106、521、280、6018、8100、1425、238、325 中，能被2 整除的有
个；能被5 整
除的有
个；能被2 和5 整除的有
个。
例题3
由数字0、4、5、6 组成的没有重复数字的四位数中，有
个能被5 整除。
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80
课中阅读
人与人之间存在各种各样的关系，有趣的是，数与数之间也有
类似的关系，数学家把一对存在特殊关系的数称为“亲和数”（又称
相亲数、友爱数、友好数）。如果两个数a 和b，a 除本身以外的所
有因数之和等于b，b 除本身以外的所有因数之和等于a，则称a 与
b 是一对亲和数。
常言道，知音难觅，寻找亲和数也让数学家们绞尽脑汁。亲和
数是数论王国中的一朵小花，它有漫长的发现历史。
公元前580 年～公元前500 年，古希腊的毕达哥拉斯发现了
第一对亲和数：220 与284，这是最小的一对亲和数。在以后的1500
年间，世界上有很多数学家致力于探寻亲和数，可惜面对茫茫数海，
探索过程无异于大海捞针。十六世纪，已经有人认为自然数里就仅
有这一对亲和数。有一些无聊之士，甚至给亲和数抹上迷信色彩或
者增添神秘感，编出了许许多多神话故事。
直到1636 年，
“业余数学家之王”费尔马（法国）又找到了一
对亲和数：17296 和18416，重新点燃了寻找亲和数的火炬。两年之
后，
“解析几何之父”笛卡尔（法国）又找到了一对亲和数：9437056
和9363584。
第5 讲
数与数的友谊
81
课中阅读
世界上总是不乏优秀的人。1747 年，年仅39 岁的瑞士数学家
欧拉竟然一口气找到了60 对亲和数，不仅列出了亲和数的数表，
而且还公布了全部运算过程。
目前，人们已找到了12,000,000 多对亲和数。但亲和数是否有
无穷多对，亲和数的两个数是否都同为奇数或同为偶数，而没有一
奇一偶等，这些问题还有待继续探索。
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82
PART
2
和系整除特征
例题4
在上方的表格中，用红色的笔标出3 的倍数，观察这些数有何特征，并尝试写出两个不在表内
且能被3 整除的数：
、
。
想一想 ?
能被3 整除的数具有什么特征？
第5 讲
数与数的友谊
83
例题5
在4925、8211、9162、8367、4231、2193、1732、7515 中，能被3 整除的数有
个。
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84
PART
3
综合提升
例题6
莉莉过生日的时候，妈妈让许多、阿丘和莉莉去给客人买糖果和水果。妈妈的要求如下：买的糖
果的数量既能够被2 整除，又能够被5 整除；买的香蕉的数量既能够被2 整除，又能够被3 整
除；买的枣子的数量要既能够被3 整除，又能够被5 整除。聪明的小朋友，你能根据妈妈的要
求回答下列问题吗？
（1）满足糖果数量要求的最小的三位数是
。
（2）三位数12□是满足香蕉数量要求的数，则这样的三位数有
个。
（3）三位数1AB 是满足枣子数量要求的数，则这样的三位数有
个。
第5 讲
数与数的友谊
85
例题7
在三位数28□的□里填入一个数字，使其既能被2 整除，又能被3 整除，则这样的三位数有
个。
例题8
六位数□2014□能够同时被2、3、5 整除，则满足条件的六位数有
个。
笔记页
86
第5 讲
数与数的友谊
87
课堂巩固
1 23487、3568、8875、6765、5880、7538、198954、6512、93625、864、407
能被2 整除的数有
个，能被5 整除的数有
个。
2 23487、3568、8875、6765、5880、7538、198954、6512、93625、864、407
能被3 整除的数有
个。
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88
3 修改5679 中的一个数字，使这个四位数能被2 整除，修改后的四位数最小是
。
4 要使三位数“56□”能被3 整除，
“□”里最大能填（ ）。
A. 7
B. 8
C. 9
5 五位数23AA2 能被3 整除，则A 的最小值是
。
第5 讲
数与数的友谊
89
阿丘学堂
1. 14、55、67、88、90、126、135、200、348、375、697、750
能被2 整除的数有
个；
能被5 整除的数有
个；
既能被2 整除，又能被5 整除的数有
个。
2. 用2、0、3、1 组成一个能被2 整除的最小的四位数是
。（无重复数字）
3. 由0、7、5 组成的没有重复数字的三位数中，
、
、
能被5 整
除。（从小到大填写）
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目标A+ 班·五年级（全国版）「暑」
90
4. 由0、3、5 组成的没有重复数字的三位数中，
、
、
能被5 整
除。（按从小到大填写）
5. 这些自然数中：
3672 6357 6873 8128 9369 5566
哪些数可以被3 整除？
6. 用数字2、3、4、5、6、7 组成能被3 整除的最大五位数是
。（无重复数字）
7. 一个四位数a019 能被3 整除，那么这个四位数最小是
。
第5 讲
数与数的友谊
91
8. 六位数5A634A 能被3 整除，A 最大是
。
9. 用2、3、5、8 这四个数字能排成
个既能被2 整除又能被3 整除的三位数。（无重
复数字）
10. 在下面每个□里填上一个数字，使它符合所提要求。
5□2□能被3 整除，又能被5 整除。则满足要求的四位数共有
个。
第6 讲
体育观赛指南
06 体育观赛指南
课前阅读
“啊啊啊，快跑啊，快跑啊，传球，
传球。完美！”阿丘边着急地手舞足蹈边大声吆喝着。
“恭喜A队在这次篮球单循环赛中夺得总冠军。”主持
人激动地说。
“单循环赛？什么是单循环赛啊？”莉莉不解地问。
“单循环赛是一种赛制，指的是每支参赛队伍都要与其余的所有队
伍交手一次。”许多骄傲地解释道。
“那除了这个还有其他的赛制吗？”莉莉继续问。
“当然有了，除了单循环赛，还有淘汰赛、双循环赛，甚至有的比赛
还使用混合赛制。不同的比赛会根据需要使用不同的赛制。像NBA的比赛，因为
要分东西部两个分区，且每个分区还要划分不同的赛区，所以使用的是双循环
赛。”许多一本正经地说，“并且，在这些赛程赛制中还会包含一些好玩的数学
问题。”
“啊？数学知识？我要听，那你快给我讲讲。”莉莉迫不及待地说。
……
聪明的小朋友，你有关注的体育比赛吗？你有没有研究过它的赛制规则
呢？你是不是也跟莉莉一样迫不及待地想看看赛程赛制中到底有哪些好
玩的数学问题呢？那就让我们一起开启今天的数学之旅吧！
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目标A+ 班·五年级（全国版）「暑」
94
本讲教学目标
1
明确淘汰赛下的比赛场次，以及该赛制的应用场景；
2
了解循环赛制的两个类型：单循环赛和双循环赛；
3
明确不同类型循环赛制的比赛场次，以及该赛制的应用场景；
4
能够解决混合赛制下的比赛问题。
重难点易错点
1
不同赛制的异同点
第6 讲
体育观赛指南
95
知识导图
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96
PART
1
淘汰赛
例题1
竞技体育是残酷的。在体育比赛中经常会采用的一种赛制叫作“淘汰赛”，双方对垒后胜者可晋
级，败者直接出局，每一轮的胜者再重复这样的过程。若某击剑比赛采用淘汰赛制，共有16 位
选手参赛，假设你是主办方，你会如何安排赛程？
第一轮，16 名选手可分成
组，进行
场比赛，
名选手晋级；
第二轮，
名选手可分成
组，进行
场比赛，
名选手晋级；
第三轮，
名选手可分成
组，进行
场比赛，
名选手晋级；
第四轮，
名选手进行
场比赛，决出冠军。该赛事共进行
场比赛。
想一想 ?
尝试用图来表示整个比赛的晋级过程，观察比赛场数与选手数量之间的关系。除了累加，你还
可以怎么想？
第6 讲
体育观赛指南
97
例题2
8 支球队进行淘汰赛，为了决出冠军，需要进行
场比赛。
想一想 ?
如果要决出冠军、亚军、季军，则共需要进行多少场比赛？
学而思数学思维
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98
例题3
一些小朋友进行淘汰制的乒乓球比赛，决出冠军。经过5 轮的鏖战，最后莉莉获得了冠军的头
衔。那么一共有
位小朋友参加了比赛。（比赛无轮空）
第6 讲
体育观赛指南
99
课中阅读
不同赛制的介绍
相信小朋友们现在已经对淘汰赛的规则和残酷性有了些许了
解，当我们对赛程时间要求比较紧的时候，多数会采取淘汰赛的赛
制。但是它的缺点也很明显，假设实力第二的队伍首轮就遇到了实
力第一的队伍，那大概率就折戟首轮了。
人们也想到了这个问题，于是有了“循环赛”的概念。其中一种
叫做“单循环赛”，指的是每支参赛队伍都要与其余的所有队伍交手
一次。大家想想看这样会有什么好处呢？显然在交战过程中的状态
波动与偶然性会大大降低，即使是状态不好也不会持续很长时间，
有实力的队伍会大概率笑到最后。
另外一种叫做“双循环赛”。除了每年夏天的大型杯赛之外，有
实力的国家会在每年秋季至次年春季举行足球、篮球等联赛。在联
赛当中，一般不同的队伍会散布在不同的城市。那么两队交手，谁
都想主场作战，这该如何安排？于是每两支队伍之间一共交手2 次，
1 次主场，1 次客场，这样便能够尽量保证公平。这种赛制就是“双
循环赛”。
学而思数学思维
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100
课中阅读
不难发现，循环赛能够较为准确地反映队伍实力，当然耗费的
时间也很长。所以像奥运会这样的超大型赛事，一般都会采用混合
赛制，一般是先小组单循环赛，再淘汰赛。
那接下来让我们一起看一下循环赛和混合赛制中涉及的数学
问题吧。
第6 讲
体育观赛指南
101
PART
2
循环赛
例题4
8 支队伍参加篮球比赛，若比赛采取单循环赛制，则每个队要赛
场，一共要赛
场。
例题5
学校进行乒乓球选拔赛，每个参赛选手都要和其他所有选手各赛一场，共有16 人参加了选拔
赛，那么一共进行了
场比赛。
学而思数学思维
目标A+ 班·五年级（全国版）「暑」
102
例题6
英格兰足球超级联赛共有20 支球队，每年举行一次的联赛采用双循环赛制，那么每支球队会
参加
场比赛，每年一共会有
场比赛。
想一想 ?
双循环赛与单循环赛之间有什么联系？
第6 讲
体育观赛指南
103
例题7
大凡、小方、飞飞、朋朋四个小朋友进行羽毛球单打比赛，采用双循环赛制，他们一共要比
场。
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104
PART
3
混合赛
例题8
（1）小组赛：32 支参赛队通过抽签分为8 个小组，每个小组分别有4 支球队进行比赛，每支球
队都必须和其他三支球队进行且只进行一场比赛，小组赛中32 支球队一共会进行
场比赛。
（2）淘汰赛：每个小组积分的前两名球队出线进入淘汰赛阶段的1/8 决赛，共16 支队，即“16
强”。1/8 决赛中，一共会进行
场比赛。
（3）1/8 决赛后，依旧采用淘汰赛制。到最终决出冠、亚、季军还需要
场比赛。
笔记页
105
学而思数学思维
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106
课堂巩固
1 有64 名同学去体育场进行羽毛球比赛，两两配对进行淘汰赛，要在这64 人中决出冠
军，那么一共要进行
场比赛。
2 有10 名选手参加乒乓球单打比赛，每名选手都要和其他选手各赛一场。则总共有
场比赛。
第6 讲
体育观赛指南
107
3 某学校进行乒乓球选拔赛，每个参赛选手都要和其他所有选手各赛一场，一共进行了
66 场比赛，那么共有
人参加了选拔赛。
4 五年级举办了围棋比赛，有10 名选手参赛，采取双循环赛制，总共有
场比
赛。
5 五年级共10 个班举行篮球比赛，先采取小组赛方式，10 个班平均分为两组进行组内
单循环赛，每组积分前两名晋级，共4 个班级。然后进行淘汰赛，决出冠军、亚军、季
军。算一算，五年级一共要举行
场篮球赛。
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108
阿丘学堂
1. 20 名羽毛球运动员参加单打比赛，两两配对进行淘汰赛，那么只决出冠军一共要比赛
场。
2. 一场校内羽毛球比赛，一共32 人参加，举行淘汰赛，要决出冠、亚、季军，一共需要
场比赛。
3. 和平小学五年级有6 个班，若进行年级篮球赛，采取单循环赛制，一共需要进行
场比赛。
第6 讲
体育观赛指南
109
4. 某校举行校内篮球赛，如果采用单循环赛的赛制，那么这12 个班级一共需要进行
场比赛，其中每个班级需要进行
场比赛。
5. 学校举办了一场羽毛球单打比赛，参赛选手每两人都恰好比赛一场，总共进行36 场比赛，
则有
位同学参赛。
6. 学校举办了一场羽毛球比赛，参赛选手每两人都恰好比赛一场，总共进行55 场比赛，那么
有
位同学参赛。
7. 德国足球甲级联赛（简称“德甲”）共有18 支足球队，采用双循环赛制，则一共要举行
场比赛。
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目标A+ 班·五年级（全国版）「暑」
110
8. 五年级9 个班举行篮球比赛，为了减少偶然性，采取双循环赛制，这次篮球比赛五年级一共
要举行
场。
9. 有11 个同学计划组织一场围棋比赛，他们准备分为两组，两组人数分别为5 人和6 人。如
果每组进行单循环比赛，那么他们一共需要比赛
场。
10. 学校举办乒乓球单打比赛，参赛选手共有20 人，采取预赛+ 决赛的赛制。20 人先平均分
成4 组，每组组内单循环赛决出前两名，总计8 名晋级决赛。决赛采用淘汰赛赛制，最终要
决出冠军、亚军和季军。根据以上信息，则这次乒乓球比赛全程共有
场比赛。
第7 讲
数字黑洞
07 数字黑洞
课前阅读
夏天来临，天气炎热。此时的阿丘正斜靠在沙发上，吹
着空调，吃着甘甜的车厘子。突然有一颗掉在了地上，阿丘
赶快捡起来，但已经粘上土了，阿丘只能心痛地擦拭着。
这可是从智利空运来的车厘子啊！12颗车厘子就花了阿丘46元钱。阿丘
算了算平均一颗车厘子的价格，哭成了泪人。
在心疼之余，阿丘又感觉不太对劲，之前学的小数除法好像都是可以除尽的。但
计算每颗车厘子均价时，为什么商的末尾一直是3，除不尽呢？正疑惑着的时候，许多
回来了，看到桌子上的车厘子，瞬间拿起一颗吃掉！阿丘大喊：“我的车厘子！”
“咋了嘛，不就是水果嘛。”许多说。
“很贵的！不过，我想说刚才你吃的那颗是我掉地上的……”阿丘偷笑着说。
“啊！呸呸呸……”
“问你个问题，答对了再给你一颗干净的车厘子。”阿丘说，“我花46元
钱买了12颗车厘子，为什么每颗车厘子均价的末尾一直是3，除不尽呢？”
许多趁着阿丘思考的时候顺势又拿了一颗车厘子骄傲地说：“这
叫循环小数，至于为什么商的末尾一直是3，你把竖式写出来自己
观察一下吧！我接着出去玩喽！”
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114
本讲教学目标
1
探究循环小数的产生；
2
掌握循环小数的两种不同表示方法，明确小数的分类；
3
理解对商取近似值的意义，掌握对循环小数取近似值的方法；
4
解决循环小数中的周期问题。
重难点易错点
1
循环小数的表示
2
对商取近似值
第7 讲
数字黑洞
115
知识导图
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116
PART
1
认识循环小数
例题1
（1）夏天来临，阿丘去超市买了自己最喜欢吃的车厘子。阿丘一共买了12 颗车厘子，共花费46
元钱，则平均每颗车厘子
元钱。
想一想 ?
（1）列竖式观察一下，为什么商的末尾总是出现3？
（2）你想如何表示题目的结果？表示方式是否是唯一的？如何表示会更简洁呢？
例题1
（2）23÷11 的商用循环小数简便记法表示为
，循环节是
。
第7 讲
数字黑洞
117
例题2
23÷3.3 的商用循环小数表示是（ ）。
A. 6.969696
B. 6.˙9˙6
C. 6.9˙6
D. 6.˙9
例题3
判断下面的数是否是循环小数，并写出下面几个循环小数的循环节。
（1）0.5286286······：
，循环节：
（2）0.676767······：
，循环节：
（3）231231.231：
，循环节：
（4）7.3629629······：
，循环节：
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118
想一想 ?
小数按照小数部分的长度及是否有循环节进行分类，可以如何分类？
例题4
在1.73737373······、27.3、2.5666、4.0˙9、3.1415926······ 这几个数中，循环小数有
个，
有限小数有
个。
第7 讲
数字黑洞
119
课中阅读
数字黑洞
当我们在计算小数除法，得到的结果是循环小数时，这个运算
就好像一个无底洞，最后一直会循环同一个运算。这跟天文学中的
一种天体——黑洞具有相似之处，当任何物体靠近它之后，便再也
走不出去了。神奇的是，在数字当中，也有“黑洞”存在。
这种数字中的“黑洞”具有什么魔力呢？就是不管是怎样的几
个数字，只要按照一定的规则进行计算，最后都会进入一个循环当
中，只能得到一个固定的数。在数学中，我们统称之为“数字黑洞”。
首先，让我们来看看“卡普雷卡尔黑洞”。这个数字黑洞是6174，
这是一个很出名的数字了。举一个例子，拿8802 来说，最大的数值
是8820，最小的是0288，它们之间的差值是8532；再进行一次运算
的话，那就是8532 与2358 之间的差值，是6174；继续运算下去之
后，你会发现你得到的结果，永远都会是6174。不妨自己随便找一
个数来验证一下吧。
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120
课中阅读
还有一种很有意思的黑洞叫“123 黑洞”。任何一串数字，只
要你数出其中包含的奇数、偶数和总数的个数，然后将这些数字组
合起来，顺序是偶数、奇数和总数的个数。一直进行重复的动作，
最后得到的结果一定是123。大家可以随便想象一串数字，比如
123456789，组成的数字就是459。再来一次呢？就成了123 了，是
不是很神奇呢？
在数学中还有很多有趣的数字黑洞，快去了解一下，然后和你
的小伙伴分享一下吧！
第7 讲
数字黑洞
121
PART
2
商的近似值
例题5
计算下面各题。（得数保留两位小数）
3÷1.1
3.38÷1.8
13.5÷15
3÷40
例题6
诸葛亮平均每天要造
万支箭。（得数保留两位小数）
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122
PART
3
周期问题
例题7
循环小数0.˙1234567˙8 的小数点后第500 位上的数字是
。
例题8
循环小数0.˙12345678˙9 的小数点后第100 位上的数字是
。
笔记页
123
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124
课堂巩固
1 计算下列各式，将得数写成循环小数，正确答案是（ ）。
76÷37 =
321÷9 =
19÷11 =
A．2.˙5˙4
˙3˙5.˙6
1.7˙2
B．2.˙0˙5˙4
35.˙6
1.˙72
C．2.˙05˙4
35.˙6
1.˙7˙2
2 辨一辨。（对的填“1”，错的填“2”）
循环小数都是无限小数，无限小数都是循环小数。
第7 讲
数字黑洞
125
3 1.29090······ 保留三位小数取近似值是
。
4 飞鱼的平均速度是每小时游
千米。（得数保留两位小数）
5 0.˙3˙6 中小数点后的第10 位上的数字是
。
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126
阿丘学堂
1. 辨一辨。（对的填“1”，错的填“2”）
5.4317317······ 可以简记为5.4˙31˙7，它的循环节是317。
2. 6.9258258······ 循环节是
，保留两位小数取近似值是
。
3. 在5.6、2.˙1、3.5252······、6.010010001······、2.181818、3.2415936······ 这6 个数中，有限
小数有
，无限小数有
，
循环小数有
。
第7 讲
数字黑洞
127
4. 0.5327327······ 的循环节是
，这个数可以简记为
，保留三位小数约是
。
5. 蜗牛爬行的平均速度是每分钟
米（结果用循环小数表示），保留一位小数是
米/分。
6. 鲨鱼的平均速度是每小时
千米（结果用循环小数表示），保留三位小数是
千米/时。
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目标A+ 班·五年级（全国版）「暑」
128
7. 北京南站到天津站的距离约为120 千米，乘城际高速列车仅需0.55 小时即可到达。城际高
速列车平均每小时大约行驶多少千米？（得数用循环小数表示）
8. 学校开展足球比赛，要买一些足球。平均每个足球的价钱是
元。（得数保留两位
小数）
9. 6÷7 所得的小数，小数点后的第2009 位数字是
。
10. 13÷14 的商的小数部分第50 位上的数字是
。
第8 讲
三角形的魔力
08 三角形的魔力
课前阅读
“嗯，不错不错，差一点就可以
把颜色涂完了！不过……”许多正摇头晃脑地欣赏着自
己的大作。“就你这……谁都能画出来吧？”莉莉打断许多说。
莉莉的话就像给许多泼了一盆凉水，许多立马反驳道：“你……
这可是色块绘画！色块绘画，你懂吗？”
“好好好，是我不懂艺术，不过你这幅画的颜色也没涂完啊！还是说，那块
白色，你不打算涂颜色了？”莉莉说。
许多灵机一动，说：“那肯定是要涂的，让我来考考你！我想把这块白色区域涂
成蓝色，并且，我已经知道了，它右上角这块红色三角形区域的面积是20平方厘米。根
据我多年绘画的经验，现在剩下的蓝色颜料最多能涂10平方厘米的区域。你说我剩的蓝
色颜料够把这块白色区域涂完吗？”许多说。
“你直接量一下底和高，算个面积不就得了。” 莉莉不屑一顾地说。
“那如果只能测量出红白三角形对应的左上方的边的长度，没有办法准确地量出高，
你还会吗？” 许多笑嘻嘻地说。
莉莉沉思了一会说：“我知道了！可以这样……等等，不会是你不知道吧？”
许多挠了挠头，尴尬地笑了。聪明的小朋友，许多的大作就在这里，你能想明白吗？
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132
本讲教学目标
1
通过图形面积的相关知识，探究图形中的倍数关系；
2
能够运用倍数关系求面积；
3
能够在复杂图形中找到隐藏的线。
重难点易错点
1
用倍数关系求面积
2
找隐藏的线
第8 讲
三角形的魔力
133
知识导图
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134
PART
1
三角形怎么分？
例题1
莉莉准备制作一个三角形的掐丝珐琅项链，预计设计成简单的双色结构，可简化成下图。△ABD
做成红色，△ADC 做成蓝色。已知BD 长12 厘米，DC 长8 厘米，B、C 和D 在同一条直线上。
BC 上的高AE 长10 厘米。△ABD 的面积是△ADC 的面积的
倍，△ADC 的面积是
△ABC 的面积的
倍。
例题2
如图，BC = 5BD，B、C 和D 在同一条直线上，△ABD 的面积是2 平方厘米，则△ADC 的面积
为
平方厘米。
第8 讲
三角形的魔力
135
例题3
如图，在△ACE 中，AD = BD = BE，三角形ADC 面积是2 平方厘米，则三角形BEC 的面积为
平方厘米。
例题4
如图，在三角形ABC 中，BC = 3DC，AC = 3EC。三角形DEC 的面积是3 平方厘米，则三角形
ABC 的面积是
平方厘米。
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136
例题5
如图，已知△ABE 的面积为1 平方厘米，BC = BE，AD = AB，E、B、C 在同一条直线上。△DCB
的面积为
平方厘米。
第8 讲
三角形的魔力
137
课中阅读
三角花园大赛
“莉莉，通知上说，学校正在组织一场‘花园设计大赛’，优秀
的作品会成为学校设计花园的参考图，并且还会有奖品。如果被选
中，这将是多大的荣誉啊！”许多激动地说，
“莉莉，要不我们也参加
吧。万一中了呢？”
“好呀好呀，”莉莉边看通知边说，
“要求非常简单，学校想把给
定的三角形区域平均分成四部分，用来种植不同的花卉。我们不妨
先各自想一想，然后再一起讨论吧。”
“嗯嗯，那我们现在先想，晚上再一起讨论。”许多说。
……
“来来来，我们讨论一下。”许多说。
“好嘞！”莉莉边在纸上画边说，
“我选取了牡丹、雏菊、蝴蝶兰、
月季这四种花卉，按这种分割方式（如下图）从左到右依次种植。”
学而思数学思维
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138
课中阅读
“看我的！”许多自信地说，
“我选取了月季、向日葵、三色堇、郁
金香这四种花卉，按这种分割方式（如下图）从左向右依次种植。”
“同志们，你们不会是自己认为什么花好看，就选什么吧！是不
是应该考虑一下花期？考虑一下花的感受？”阿丘无奈地说。
“有道理！”许多和莉莉异口同声地说。
在重新调查了花卉的花期后，莉莉和许多最终选择了月季、三
色堇、郁金香和蝴蝶兰。对于具体的排布划分，他们俩又在一起想
了几个（如下图）。
第8 讲
三角形的魔力
139
课中阅读
但是，一系列让他们非常纠结的问题来了：这几种划分方式是
否真的都符合要求呢？是否还有其他的符合要求的划分方式呢？哪
一个更好看呢？
聪明的小朋友，你能帮一下他们吗？
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140
PART
2
隐藏的线
例题6
一天，马爷爷去朋友家做客，发现了一块有意思的耕地。如图，整个耕地呈三角形（即三角形
ABC），中间被一条水管（线段DE）分割成两部分。已知AB 是AD 的5 倍，AC 是AE 的3 倍：
（1）如果三角形ADE 的面积等于1，那么三角形ABC 的面积是
；
（2）如果三角形ABC 的面积等于30，那么三角形ADE 的面积是
。
想一想 ?
在前面研究的问题中，最基本的形状是三角形。那么如果在一个图形中没有想要的三角形的身
影，但又想运用倍数关系求面积，你会怎么办？
第8 讲
三角形的魔力
141
例题7
如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5 倍，AC 是AE 的4 倍，如果三角形ADE 的面积等于1，
那么三角形ABC 的面积是
。
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142
PART
3
四边形怎么分？
例题8
王爷爷是一个热爱种植的人，退休以后就和王奶奶回归了田园生活。王爷爷家的菜地形状是
四边形，如下图所示，整个菜地被划分成了三个部分。因为王奶奶喜欢吃白菜，所以王爷爷要
拿最大的一块地种植白菜。因为难以测量中间部分的面积，所以王爷爷测量了一下其他数据：
DE = EC，AF = 2FB，△ADE 和△BCF 的面积经过测量计算分别是3 平方米和2.5 平方米，则
种白菜的区域面积是
平方米。
笔记页
143
学而思数学思维
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144
课堂巩固
1 如图，BD 长1 厘米，DC 长3 厘米，B、C 和D 在同一条直线上。
（1）三角形ADC 的面积是三角形ABD 面积的
倍；
（2）三角形ABC 的面积是三角形ABD 面积的
倍。
2 已知三角形ABC 中，BC = 12 厘米，AD 是三角形的高，三角形ABD 的面积为20 平
方厘米，三角形ACD 的面积为10 平方厘米，则BD 的长是
厘米。
第8 讲
三角形的魔力
145
3 如图，C 在BD 上，AC 垂直BD，AB = 8，BD = 9，CD = 1.5，求三角形ABC 的面积是三
角形ACD 面积的
倍。
4 如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的6 倍，AC 是AE 的4 倍，如果三角形ADE 的面积
等于1，那么三角形ABC 的面积是
。
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146
5 如图，已知四边形ABCD 中，E、F 分别是AD、BC 的中点，连接DF、BE，三角形ABE
和三角形DCF 的面积分别是2 和3，则四边形EBFD 的面积为
。
第8 讲
三角形的魔力
147
阿丘学堂
1. 如图，BD 长12 厘米，DC 长4 厘米，B、C 和D 在同一条直线上，则三角形ABC 的面积是
三角形ADC 面积的
倍。
2. 如图，BD 长8 厘米，DC 长24 厘米，AB 长16 厘米，B、A 和D 在同一条直线上，则三角形
ABC 的面积是三角形ADC 面积的
倍。
3. 在下图中，三角形甲的面积是24 平方厘米，三角形乙的面积是（ ）平方厘米。
A. 80
B. 40
C. 160
D. 48
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148
4. 已知三角形BDE 的面积是10 平方分米，D 是AC 边上的中点，E 是BC 边上的中点，则三
角形BDC 的面积是
平方分米。
5. 如图，BC = 3BE，AC = 4CD，那么三角形AED 的面积是三角形EDC 面积的
倍。
6. 如图，在三角形ABC 中，BC = 8 厘米，BC 对应的高是6 厘米，E、F 分别为AB 和AC 的中
点，那么三角形EBF 的面积是
平方厘米。
7. 如图，三角形ABC 中，DC = 2BD，CE = 3AE，三角形ADE 的面积是20 平方厘米，三角形
ABC 的面积是
平方厘米。
第8 讲
三角形的魔力
149
8. 如图，三角形ABC 中，D、E 分别是AB、AC 上的点，AD = 1，AB = 4，AE = 1，AC = 5，则三角
形ABC 的面积是三角形ADE 面积的
倍。
9. 如图，在△ABC 中，D、E 分别是AB、AC 上的点，AB = 4AD，AC = 2AE，则△ABC 的面积是
△ADE 面积的
倍。
10. 如图，已知四边形ABCD 中，E、F 分别是AD、BC 的中点，连接DF、BE，四边形ABCD 的
面积为120，则四边形EBFD 的面积为
。
第9 讲
折纸中的数学
09 折纸中的数学
第9 讲
折纸中的数学
151
1．从正三角形到四面体：
是否还记得我们四年级学过的角度的折叠、正三角形的折叠呢？正四面体的折叠还是要用到
这种方法的，先来回顾一下吧。
接下来要注意从我们的目标——正四面体的特点出发：
结合正四面体的特征，我们要考虑如何折出正四面体了：
互动题1
PART
1
动手折立体图形
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152
2．从正方形到正方体
正方体是我们比较熟悉的正多面体了，看看正方体的特征。
正方体的十一种展开图：
第9 讲
折纸中的数学
153
下面图中，不能恰好围成正方体的是（
）。
A
B
C
D
折叠正方体：
正方体折痕图：
互动题2
第10 讲
温故知新
10
温故知新
第10 讲
温故知新
155
PART
1
数与代数
例题1
蛋糕店李师傅制作一款蛋糕，每个蛋糕需要0.28 千克面粉，袋子里共4.9 千克面粉，她最多可
以做
个蛋糕；若每两个蛋糕装一个箱子里，至少需要
个箱子能全部装下。
例题2
10 ÷ 11 的商用循环小数的简便记法表示是
，保留两位小数约等于
，保留
三位小数约等于
。
学而思数学思维
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156
例题3
在两个三位数5□0,4□□的□里各填入一个数字，使它们都同时能被2、3、5 整除。
第10 讲
温故知新
157
PART
2
图形与几何
例题4
多多用铁丝围成了一个平行四边形（如图所示），需要
厘米的铁丝。（图中单位：厘米）
例题5
已知在直角三角形ABC 中，AB 与BC 为直角边，AB 长75 厘米，BC 长100 厘米。已知AC 边
上的高BD 是60 厘米，则AC 的长是
厘米。
学而思数学思维
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158
例题6
如图，CD 长6 厘米，BC 长9 厘米，B、C 和D 在同一条直线上。那么△ABC 的面积是△ABD
面积的
倍；△ADC 的面积是△ABD 面积的
倍。
第10 讲
温故知新
159
PART
3
综合应用
例题7
一条公路全长2010 米，现在公路的两边分别种上一些树，要求从公路一端开始，每相邻两棵树
相距3 米，这样共需要植树
棵。
例题8
张老师要沿200 米圆形跑道每隔5 米插一面彩旗，一共需要（ ）面彩旗。
A. 40
B. 39
C. 41
D. 38
学而思数学思维
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160
例题9
芳草地小学举行足球单循环赛，有24 个队参加。那么共需要进行
场比赛。
例题10
2008 年北京奥运会女子排球比赛采取预赛+ 决赛的赛制。12 支队伍先平均分成2 组，每组组
内单循环赛决出前4 名，总计8 支队伍晋级决赛。决赛采用淘汰赛赛制，最终要决出冠军、亚
军和季军。根据以上信息，算一算，女子排球比赛全程共有
场比赛。
笔记页
161
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162
课堂巩固
1（1）计算：48.95÷5 =
（2）计算：14÷5.6 =
（3）计算：9.6÷6.4 =
第10 讲
温故知新
163
2 在六位数3□2□1□的三个方框里分别填入数字，使得该数既能被3 整除，又能被5
整除，这样的六位数中最小的是
。
3 如图（1）所示，平行四边形的面积是
cm2；
如图（2）所示，三角形的面积是
dm2。
学而思数学思维
目标A+ 班·五年级（全国版）「暑」
164
4 在一条长40 米的小路一旁种小树，如果每隔5 米种1 棵，而且两头都种，问这段小路
上共种
棵树。
5 某足球杯赛的D 组中有5 支队伍，若进行单循环赛，则该组一共需要
场比
赛。
第10 讲
温故知新
165
阿丘学堂
1. 美心蛋糕房特制一种生日蛋糕，每个需要0.32 千克面粉。李师傅领了4 千克面粉做蛋糕，
他最多可以做几个生日蛋糕？
2. 在568 后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能同时被3、5 整除，那么这样的六位数
中最小的是
，最大的是
。
3. 1.29090······ 循环节是
，保留两位小数取近似值是
。
学而思数学思维
目标A+ 班·五年级（全国版）「暑」
166
4. 如果用铁丝围成如图一样的平行四边形，需要铁丝
厘米。
5. 已知在直角三角形ABC 中，AB 与BC 为直角边，AB 长60 厘米，BC 长80 厘米，已知AC
边上的高BD 是48 厘米，则AC 的长是
厘米。
6. 如图，三角形ABC 中，DC = 2BD，CE = 3AE，三角形ADE 的面积是15 平方厘米，三角形
ABC 的面积是
平方厘米。
7. 在一条公路的一旁连两端在内共植树89 棵，每两棵之间的距离是5 米。那么，公路长是
米。
第10 讲
温故知新
167
8. 小强家附近的公园里有一个圆形池塘，它的周长是2100 米，每隔3 米栽种一棵树，共需树
苗
棵。（树的宽度忽略不计）
9. 五年级举办围棋比赛，采取双循环赛制，总共有90 场比赛，有
名选手参赛。
10. 2016 年里约奥运会男子乒乓球团体比赛采取小组赛+ 决赛的赛制，16 支队伍先平均分为
4 组，每组组内单循环赛决出前两名，总计8 支队伍晋级决赛。决赛采用淘汰赛赛制，最终
要决出冠军、亚军和季军。根据以上信息，算一算，男子乒乓球团体比赛全程共有
场
比赛。
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168
阿丘学堂参考答案
第 讲
1
生活中的小数除法
1. 2.4
2. C
3. 36
4. C
5. 每千克7 元
6. 5
7. A
8. C
9. 7
10. D
第 讲
2
纸的大小
1. 5
10
2. （1）180cm2
（2）12cm2
3. 162
4. 12
5. 4
6. 40
7. 21
8. 70 米
9. 735m2
10. 252
第 讲
3
以盈补虚
1. D
2. 24
3. 4.8
4. 256 平方分米
5. B
6. 4
7. 18
8. 6
9. 16
10. 8
阿丘学堂参考答案
169
第 讲
4
绿色“战役”
1. 81
84
87
2. D
3. 5
4. 5 棵
5. 450
6. 13
7. 5
8. 9 个
10 个
9. 25
10. 17
第 讲
5
数与数的友谊
1. 7
6
3
2. 1032
3. 570
705
750
4. 305
350
530
5. 3672、6357、9369、6873
6. 76542
7. 2019
8. 9
9. 4
10. 7
第 讲
6
体育观赛指南
1. 19
2. 32
3. 15
4. 66
11
5. 9
6. 11
7. 306
8. 72
9. 25
10. 48
第 讲
7
数字黑洞
1. 1
2. 258
6.93
3. 5.6，2.181818；2.˙1，3.5252······，6.010010001······，3.2415936······；2.˙1，3.5252······
4. 327
0.5˙32˙7
0.533
5. 0.85454······ 或0.8˙5˙4
0.9
6. 40.166······ 或40.1˙6
40.167
7. 218.˙1˙8千米
8. 6.85
9. 4
10. 2
学而思数学思维
目标A+ 班·五年级（全国版）「暑」
170
第 讲
8
三角形的魔力
1. 4
2. 2
3. D
4. 20
5. 3
6. 6
7. 120
8. 20
9. 8
10. 60
第 讲
10
温故知新
1. 12 个
2. 568005
568995
3. 90
1.29
4. 32
5. 100
6. 90
7. 440
8. 700
9. 10
10. 32
1120031018330
