文档文本内容
数学思维
目标A+ 班
六年级（全国版）·暑期
学而思网校教研中心 编著
前言PREFACE
学而思网校为6 ～18 岁的学生提供小学、初中、高中全学科课外学习课程。学而思网校拥
有十余年教学经验，采用在线双师直播教学模式，用AI 技术来辅助教学。学而思网校课堂互动
多，线上课程有回放，教师及时答疑，学生不满意可随时退费。
2016 年5 月，学而思网校提出“在线学习更有效”的品牌主张，并正式推出在线双师直播教
学模式，通过实时在线的互动教学、图文并茂的随堂讲义、科学的学业测评，以及教师多方位的
学习辅导，保障学生的学习效果。
2016 年7 月，
“IDO 个性化学习体系”正式上线，体系拥有动态学习报告、错题订正等功能，
为教师、学生和家长之间建立起更有效的沟通平台。2017 年7 月，
“IDO 个性化学习体系”升级
为“IDO 个性化学习体系2.0”（简称“IDO2.0”）。
“IDO2.0”拥有个性化学习任务系统（IMS），并首
次将人脸识别、语音识别、触感互动等技术引入在线课堂，让在线学习有更多可被量化的数据和
可追踪的学习轨迹，甚至有更多动手实践的机会。有效的科技手段逐渐缩小了线上线下的学习
体验差异。
2018 年，学而思网校课程体系全面升级，Amazing English、大语文、数学思维、大科学等课程
更注重对学生综合素质能力的培养。同时，学而思网校推出的故宫、音乐、魔方、儿童安全、历史
等素养类课程让学生可以多维、立体化成长。学而思网校自主研发的“AI 老师”通过自然语言处
理（NLP）、图像文字识别（OCR）等技术精准分析学生的语义、情感、笔迹等，形成完整高效的
“课堂学习链”，让在线课堂学习体验更美好，让教学更高效，学习更有效。未来，学而思网校将进
一步承担起用科技推动教育进步的重任，不断致力于教育资源的均衡发展，实现从教到育、从学
到习的全面提升。
学而思网校教研中心
目录
CONTENTS
第1 讲
我们一起比一比.................................... 2
第2 讲
怎样分这100 元？............................... 20
第3 讲
不得不吃的“π”.................................. 36
第4 讲
数学中的“扇面”.................................. 54
第5 讲
嵌套的圆与方..................................... 72
第6 讲
量一量金字塔的高度吧！........................ 90
第7 讲
比例的“家族之谜”.............................. 112
第8 讲
探秘三角“花园”................................. 134
第9 讲
折纸中的数学.................................... 152
第10 讲
温故知新......................................... 158
阿丘学堂参考答案................................................ 174
第1 讲
我们一起比一比
01 我们一起比一比
课前阅读
提起比，你会想到什么？
1.我比哥哥矮20cm；
2.爸爸妈妈常常货比三家看看谁家的产品最好；
3.北京的房价比其他地方高很多；
……
还有吗？
1.一些比赛中常常出现几比几；
2.和面时，水和面粉的比是1比2；
3.一张照片长和宽的比是4比3；
在下面的信息中，你能提炼出几比几吗？
①目前我国新生婴儿中，大约有115名男婴、100名女婴；
②婴儿的头长约占身高的4
1 ；
③某小区，总户数和车位数一样多；
……
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4
本讲教学目标
1
引导学生验证比的基本性质，并能进行归纳总结，在探究的过程中感受知识的内在
联系；
2
理解最简整数比的含义，能应用比的性质化简比。
重难点易错点
1
比的基本性质
2
化简比与比值
第1 讲
我们一起比一比
5
知识导图
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6
PART
1
比的认识及化简比
想一想 ?
观察下面四幅图片，哪两幅图片比较像？想一想像和不像与什么有关系呢？
第1 讲
我们一起比一比
7
想一想 ?
1. 比：两个数相除又叫作这两个数的
，4÷3 可以写作
:
；
“：”叫
，4 是比的
，3 是比的
；任何两个数都可以写成一个比，但
是比的后项不能是
。
2. 比值：比的前项除以后项的结果。
例题1
（1）从学校走到少年宫，许多用了8 分钟，莉莉用了15 分钟，许多和莉莉所用时间写成比的形
式是
:
，比值是
。
（2）一个比的后项是25，比值是0.48，则这个比的前项是
。
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8
课中阅读
解密“0.618”
“0.618”其实是一个比值。它是黄金分割的近似数，那什么是黄
金分割呢？欧几里得在他的《几何原本》中，讨论了两根线段长度
之间的比的关系，
“把一根线段分为两段，使得短长线段长度之比等
于较长线段与整条线段长度之比”，这个比值接近0.618，这个比也
叫做黄金比。
黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的
美学价值。
由黄金比可以作出黄金矩形——长宽之比为1: 0.618 的长方
形，黄金分割率和黄金矩形能够给画面带来美感，令人愉悦，我们
看到的贝壳的螺旋线、花朵的花瓣中都存在黄金比。
第1 讲
我们一起比一比
9
课中阅读
贝壳中的黄金矩形：
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10
例题2
（1）莉莉用2 勺奶粉和6 小杯水冲了一杯牛奶，许多觉得莉莉用的奶粉太少了不够甜，他就在
自己的杯子里加了3 勺奶粉和9 小杯水，冲完后许多对莉莉说：
“我的牛奶肯定比你的甜！”
莉莉半信半疑地说：
“谁的甜还不一定呢！”
你知道谁的牛奶更甜吗？（ ）
A. 许多
B. 莉莉
C. 不确定
D. 一样甜
（2）某校有女生480 人，有男生500 人，则女生人数与男生人数的比是
:
，
男生人数与总人数的比是
:
。（化成最简整数比）
例题3
下面情境中的比可以用2 : 3 表示的是（ ）。
第1 讲
我们一起比一比
11
例题4
试着将下面各比化成最简整数比，并写出比值（填小数）。
91cm : 26cm =
:
；比值：
；
0.78 : 3.9 =
:
；比值：
；
3
10 : 3
8 =
:
；比值：
；
24
5 : 11
9 =
:
；比值：
。
例题5
判断题。
（1）在“希望杯”校运会的乒乓球比赛中，六（1）班的王亮以4 : 0 战胜六（3）班的许宁，夺得
冠军。因此比的后项可以是0。
（2）如果a : b = 5 : 9，那么a = 5，b = 9。
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12
例题6
在下面的对话中，你能找到比吗？如果可以，你能找到几个比呢？
甲：
“我150 秒可以跑450 米。”；
乙：
“我跑150 米只用60 秒。”
第1 讲
我们一起比一比
13
PART
2
来点难度！
例题7
（1）若a : b = 2 : 7，a : c = 2 : 5，则a : b : c =
:
:
。（填最简整数
比）
（2）若a : b = 3 : 2，b : c = 4 : 5，则a : b : c =
:
:
。（填最简整数
比）
例题8
某小学将五年级的学生分成三个小组进行植树活动。已知第一小组和第二小组人数的比是2 :
3，第二小组和第三小组人数的比是4 : 5。那么第一小组和第三小组的人数比是
:
。
笔记页
14
第1 讲
我们一起比一比
15
课堂巩固
1 六（1）班有男生24 人，女生20 人。男生人数与全班人数的比是（ ）。
A. 6 : 5
B. 6 : 11
C. 5 : 11
2 在2 : 3 中，如果前项加4，要使比值不变，后项应（ ）。
A. 减4
B. 加4
C. 乘4
D. 乘3
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16
3 5
8 =
40
（ ）=
: 40 =
%。
4 客车2 小时行驶120 千米，货车4 小时行驶160 千米。客车与货车的速度比是
（ ）。
A. 3 : 4
B. 3 : 2
C. 2 : 3
D. 1 : 2
5 a : b = 3 : 4，b : c = 5 : 6，则a : b : c =
:
:
。
第1 讲
我们一起比一比
17
阿丘学堂
1. 请你根据下面的信息，寻找合适的量，写出这些量之间的比。
2. 化简比：
40: 98 =
:
。
3. 2
5 =
÷15 = 10 :
。
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18
4. 24 :
= 3
4 =
÷24 =
%。
5. 求下面各比的比值。
18 : 30
2
3 : 5
9
15 : 3
4
0.6 : 0.12
6. 化为最简整数比。
15 : 12 =
1.8 : 0.27 =
1
4 : 5
6 =
1
8t : 800kg =
7. 在3 : 2 这个比中，如果前项加上6，要使比值不变，后项要加上
。
第1 讲
我们一起比一比
19
8. 把下面各比化成后项是100 的比。
（1）小华种植豆苗，发芽的棵数与种植棵数的比是18 : 25。
（2）电视机厂十月份完成的产量与计划产量的比是214 : 200。
9. 甲、乙、丙三个人有一些故事书，甲的本数和乙的本数的比是1 : 2，甲和丙的本数比是2 : 3，
则甲、乙、丙的本数比是
:
:
。（最简整数比）
10. 有甲、乙、丙三个数，已知甲: 丙= 4 : 3，乙: 丙= 2 : 5，则甲: 乙: 丙=
:
:
。
第2 讲
怎样分这100 元？
02 怎样分这100 元？
课前阅读
同学们在生活中分过东西吗？
淘气和笑笑一起加工玩具共获得100元的酬劳：
这100元的酬劳应该怎么分？按照
之前学习的内容应该是平均分，但实际情况
是淘气做了3件，笑笑做了7件，那此时应该怎
么分？
其实我们生活中也存在很多这样的问题，比如：学校把栽70棵树的任务分配给六年
级三个班。一班有20人，二班有25人，三班有25人。此时我们应怎样分配任务呢？平均
分依旧是不合适的。
今天我们要学习一种新的分配方法，把一个数按
照一定的比来进行分配，即按比分配！
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22
本讲教学目标
1
在自主探索中理解按比分配的意义；
2
掌握按比分配问题的结构特点及解题思路，能正确解答按比分配问题；
3
培养优化意识和合作精神。
重难点易错点
1
按比分配
2
根据题中所给比，
求出各部分量
3
正确分析数量关
系，灵活解决按比
分配的实际问题
第2 讲
怎样分这100 元？
23
知识导图
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24
PART
1
简单分配
例题1
学校买回315 棵树苗，计划按3 : 4 分给五、六年级种植，则五年级分到树苗
棵，六年
级分到树苗
棵。
例题2
张明与李强两家人共用一个水表，五月份他们两家人共用水80 吨，已知每吨水1.5 元，该月水
费张明、李强两家按3 : 2 分担，五月份张明家要交水费
元。
第2 讲
怎样分这100 元？
25
例题3
幼儿园为了预防“流感”，用消毒液与水按1 : 20 的比配制成消毒水给园区消毒，现有80kg 水，
要配制这种消毒水，需要消毒液
kg；如果配制10.5kg 消毒水，那么需要消毒液
g。
例题4
我国有悠久的青铜器铸造史，先秦古籍《考工记》记载了铸造各种青铜器的锡、铜的重量比，如
下图所示。
（1）鼎的重量是4200 克，含锡和铜各
、
克。
（2）大刀中含铜420 克，大刀的重量是
克。
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26
PART
2
复杂分配
例题5
某网站对100 万网民的拜年方式进行了调查。结果表明：选择用手机微信拜年、打电话拜年及
其他拜年方式的人数比是26 : 9 : 15。选择用手机微信拜年的有
万网民。
例题6
一个等腰三角形，它的顶角与一个底角的度数比是10 : 13，这个三角形的顶角是
◦，
每个底角是
◦。
第2 讲
怎样分这100 元？
27
课中阅读
儿子分羊
同学们，你们听过“儿子分羊”的故事吗？
故事是这样的：
从前有个农民，他有17 只羊，临终前，他嘱咐把羊分给3 个儿
子：
“大儿子分一半，二儿子分1
3，三儿子分1
9，但不准把羊杀掉或卖
掉！”
三个儿子没有办法分，就去请教邻居，聪明的邻居牵来1 只羊
帮他们，这样就有18 只羊了，于是，大儿子分1
2，得9 只；二儿子分
1
3，得6 只；小儿子分1
9，得2 只。3 个人共分去了17 只，剩下的1
只，由邻居牵了回去。
这个故事，构思巧妙，情节有趣，已经在全世界广泛流传千年
之久了，但为什么这么巧，老邻居牵来1 只羊，分完之后正好还能
牵回去呢？想一想，如果用“按比分配”的知识解决，3 个儿子还需
要邻居来帮忙吗？
我们来改动一下这个故事里的数，看看会怎样。
假设小儿子不是分1
9，而是分1
6，邻居借来的1 只羊还能顺利
牵回吗？
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28
课中阅读
如果农民对17 只羊的分配方案是：大儿子1
3，二儿子1
6，小儿
子1
9，情况又会怎样呢？
第2 讲
怎样分这100 元？
29
例题7
光明小学的师生在植树节栽种柳树、杨树和槐树共930 棵，其中柳树和杨树棵数的比为2 : 5，
杨树与槐树棵数的比为3 : 2。则柳树
棵，杨树
棵，槐树
棵。
例题8
有四个人总共有820 元，其中甲：乙= 2 : 3，乙：丙= 4 : 5，丁：甲= 3 : 4，那么丁有多少元？
笔记页
30
第2 讲
怎样分这100 元？
31
课堂巩固
1 一块地有36 平方米，按1 : 2 分别种西红柿和茄子，分别能种
、
平
方米。
2 —种农药，用药液和水按照1 : 15 的比进行初步稀释，要配制初步稀释后药液800kg，
需要原药液
kg。
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32
3 大、小两瓶内的油共重2.7 千克，大瓶的油用去0.2 千克后，剩下的油与小瓶内油的重
量比是3 : 2，大瓶里原来装油
千克。
4 学校买来380 本图书，按一定的比分配给三个班，它们的比可能是（ ）。
A. 2 : 3 : 5
B. 2 : 3 : 4
C. 1 : 2 : 3
5 若a+b+c = 80，a : b : c = 5 : 7 : 4，则a =
，b =
，c =
。
第2 讲
怎样分这100 元？
33
阿丘学堂
1. 兄弟三人每个月都轮流照顾年迈的母亲。十一月份，三人应每人照顾母亲10 天，但老大因
工作出差，没有照顾母亲，老二照顾了16 天，老三照顾了14 天，老大拿出700 元钱给老二
和老三，请你帮他们分一分，老二、老三各应得
元、
元。
2. 野骆驼是珍贵的野生动物，目前野骆驼大约有900 峰，我国境内罗布泊地区的野骆驼与其
他地区野骆驼峰数的比是3 : 2。我国境内罗布泊地区的野骆驼大约有
峰。
3. 一个长方形的周长是40m，已知长和宽的比是3 : 2，这个长方形的面积是
m2。
4. 甲、乙两车从相距180 千米的两地同时出发，相向而行，2 小时后相遇。甲、乙两车的速度比
是5 : 4，则甲车的速度是（ ）千米/时。
A. 100
B. 80
C. 50
D. 40
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34
5. 某地制定了奶牛保险政策，每头奶牛的保险费为200 元，由区、乡镇和农户分别承担的费用
比为3 : 2 : 5。农户需为每头奶牛投
元保险费。
6. 张军、邓明、刘华三位小朋友储蓄钱数之比是1 : 3 : 4，他们储蓄钱数的平均数是320 元，邓
明储蓄了
元。
7. 人的血液与体重的比是1 : 13，血液中的水与血液总重量的比是2 : 3。妮妮的体重是39 千
克，她的血液中含水
千克。
8. 水果店运来橘子、苹果和梨一共320 千克。橘子和苹果重量之和与梨的重量比是11 : 5，橘
子的重量是苹果重量的5
6，苹果重（ ）千克。
A. 100
B. 110
C. 120
D. 130
第2 讲
怎样分这100 元？
35
9. 张阿姨买了一台小型消毒柜，它的长、宽、高的比为3 : 2 : 1，棱长总和是528 厘米，这个消
毒柜的体积是
立方厘米。
10. 许多、大宽和莉莉一共有45 块糖，许多和大宽的糖数之比是4 : 5，大宽和莉莉的糖数之比
是5 : 6，那么许多有
块糖，大宽有
块糖，莉莉有
块糖。
第3 讲
不得不吃的“π”
03 不得不吃的“π”
课前阅读
我们已经认识了长方形、正方形、
平行四边形、三角形、梯形等平面图形。除了这些由线
段围成的图形之外，大自然还创造了另一类图形，比如：夏日
绽放的向阳花、雨后彩虹
的七色光环、下雨时荡起的
层层水纹……你们知道它们是
哪种图形吗？对了，就是圆，
圆是我们研究曲线图形的开始，是认识图形的一次巨大飞跃。
现实生活中，圆的身影也随处可见，开动脑筋，你的脑海中浮现了多少种圆
形物件呢？车胎、钟面、圆盘、钮扣、靶子、转盘、硬币、圆
桌……都能找到可爱的圆。
想想，这些事物为何被设计成圆形呢？
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38
本讲教学目标
1
引导学生学习圆的特征和周长公式，进一步将知识系统化，形成知识网络；
2
提高应用数学知识解决简单实际问题的能力，培养创新意识，在应用数学的过程中
进一步体会数学的价值。
重难点易错点
1
圆的特性
2
圆的周长公式
3
公式的灵活运用
第3 讲
不得不吃的“π”
39
知识导图
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40
PART
1
圆的认识
例题1
（1）下面的图形是轴对称图形吗？如果是，画出它的对称轴。
（2）在套圈游戏中哪种方式更公平？（ ）
第3 讲
不得不吃的“π”
41
想一想 ?
若想画一个特定大小的圆，我们该怎么办呢？这时我们需要一个新的工具——
！
它有
只脚，画圆时
的脚不能移动，
的距离不能改变。
例题2
（1）若想用圆规画一个直径是10 厘米的圆，圆规两脚叉开的距离是
厘米。
（2）用圆规画圆，圆规两脚间的距离为2.5 厘米，这个圆的直径是
厘米。
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42
PART
2
圆的周长
想一想 ?
1. 如何计算圆的周长呢？试试看吧！
圆片向右滚动一周 用线绕圆片一周
2. 圆的周长和什么有关呢？
3. 找3 个大小不同的圆片，分别测量出周长和直径，填入下面的表格。
tips：测量中会有误差。可以多测量几次求平均数。
可以总结得到：圆的周长≈
。
第3 讲
不得不吃的“π”
43
例题3
（1）一个圆的直径是3 厘米，它的周长是（ ）。(π 取3.14)
A. 9.42 厘米
B. 12.56 厘米
C. 8.52 厘米
D. 4.39 厘米
（2）下面每个小格都是边长为1 的正方形，以表格中心为圆心，在下面的表格中画出一个半径
为2 的圆，这个圆的周长是
。(π 取3.14)
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44
例题4
（1）圆的周长是31.4 厘米，那么它的直径是
厘米，半径是
厘米。(π 取3.14)
（2）用圆规画一个周长是28.26 厘米的圆，那么圆规两脚之间的距离应是（ ）。(π 取3.14)
A. 4.5 厘米
B. 9 厘米
C. 18 厘米
D. 28.26 厘米
第3 讲
不得不吃的“π”
45
课中阅读
圆周率π 的发展史
对圆周率的研究最早发源于我国。当时很多学生都常常背诵
这些数字。在古代就有与此相关的故事，譬如“3.14159”被念成“山
顶一寺一壶酒”。
南北朝时期，数学家祖冲之（公元429 年至500 年）经过大量
的科学实践，计算出圆周率= 3.14159265……他是当时世界上计算
圆周率最准确的数学家，为后人打开数学宝库提供了钥匙。为了纪
念这位伟大的数学家，我国邮电部曾于1955 年8 月25 日发行了
一套总数为四枚的《中国古代科学家》邮票，祖冲之为其中之一。
至今，世界上都将π 称为“祖率”。
π 是第十六个希腊字母的小写形式。这个符号，亦是希腊语
περιφρεια （表示周边、地域、圆周等意思）的首字母。
1706 年英国数学家威廉·琼斯（William Jones ，1675-1749）最先用
“π”来表示圆周率。1736 年，瑞士大数学家欧拉也开始用π 来表
示圆周率。1973 年，一位法国数学家算出了圆周率π 的前100 万
位数字，该国原子能委员会将其视若珍宝，特将它编印出版，被列
入当年的“世界纪录大全”。到今天为止，世界上还没有第二个人靠
手工为人类将“π”准确无误地计算到100 万位以上。
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46
PART
3
圆的周长公式的应用
例题5
下图中有三个小圆和一个大圆，已知三个小圆的直径分别是3 厘米、6 厘米和9 厘米，那么大
圆的周长是
厘米。(π 取3.14)
例题6
下图中有四个小圆和一个大圆，已知四个小圆的直径分别是1 厘米、2 厘米、3 厘米和4 厘米，
那么大圆的周长和四个小圆的周长之和作比较，选项正确的是（ ）。(π 取3.14)
A. 一样长
B. 大圆的周长长
C. 大圆的周长短
D. 无法比较
第3 讲
不得不吃的“π”
47
PART
4
圆的周长在生活中的应用
例题7
某公园有一个圆形的花坛，半径是6 米，小明散步时，绕着这个花坛的外圈走了25 圈，那么小
明散步大约走了
米。(π 取3.14)
例题8
自行车的车轮外半径为50 厘米，每分钟转100 圈，那么这辆自行车每分钟可以走
米。(π 取3.14)
笔记页
48
第3 讲
不得不吃的“π”
49
课堂巩固
1 长方形有（ ）条对称轴，圆有（ ）条对称轴，正方形有（ ）条对称
轴。（填写大写字母）
A. 4
B. 2
C. 3
D. 无数
2 半径为5 的圆，周长是
。(π 取3.14)
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50
3 一个圆形花坛，底面圆的周长是18.84 米，这个花坛的直径是
米。（π 取
3.14）
4 车轮滚动一周，所行的路程是求车轮（ ）。
A. 周长
B. 半径
C. 直径
5 游乐场小火车的轨道是圆形，半径是12m，坐小火车转一圈，走过
m。（π 取
3.14）
第3 讲
不得不吃的“π”
51
阿丘学堂
1. 圆有（ ）条对称轴。
A. 1
B. 2
C. 无数
D. 5
2. 下图中各圆的周长分别为
cm，
cm。(单位：cm，π 取3.14)
3. 根据已知信息，将表格填补完整。（单位：厘米，π 取3.14）
4. 直径为8 厘米的圆，周长是
厘米。(π 取3.14)
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52
5. 一个圆的周长为12.56 厘米，那它的半径为
厘米。（π 取3.14）
6. 将一个圆切成两个半圆，两个半圆的周长之和比原来圆的周长多了4 厘米，那么圆的半径
为
厘米。
7. 如图所示有一个大半圆，在其直径上并排着四个小半圆，则大半圆的周长
（填
“大于”、
“小于”或“等于”）四个小半圆的周长之和。
8. 一个大圆内有4 个小圆，其直径的和等于大圆的直径，大圆周长
（填“大于”、
“小
于”或“等于”）所有小圆周长之和。
第3 讲
不得不吃的“π”
53
9. 雪地里，司机师傅为了防止汽车打滑经常在汽车轮胎上加上一圈防滑链。一辆汽车的轮胎
外直径为60cm，司机师傅应在每一个轮胎上加上
cm 的防滑链。（π 取3.14）
10. 小王响应“绿色出行”的号召，选择骑自行车上学。自行车轮胎的外直径是80cm，小王从家
到学校用了10 分钟。如果车轮每分钟转100 圈，小王家距离学校
m。（车身长度
忽略不计，π 取3.14）
第4 讲
数学中的“扇面”
04 数学中的“扇面”
课前阅读
精美深厚的扇文化是中华民族文
化的一个集成部分，它与竹文化、道教文化、儒家文化有
着密切的联系。
生活中的扇面纷繁美丽，同学们，你能想到数学
中的“扇面”吗？它就是扇形！
生活中还有哪些“扇形”？动脑想一想，银杏叶、
扇贝、蛋糕、奶酪块、披萨等等。
同学们，圆与扇形之间又有怎样的关系呢？今天我们就一起来研究一下圆与扇
形的奇妙数学问题吧！
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56
本讲教学目标
1
巩固圆的周长公式，学习圆的面积公式；
2
认识并正确判断何为扇形，理解弧、圆心角等概念；
3
理解圆的周长与扇形的弧长之间的关系。
重难点易错点
1
圆的周长与面积公式
2
扇形的认识
3
扇形与圆的关系
第4 讲
数学中的“扇面”
57
知识导图
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58
PART
1
圆的面积
想一想 ?
1．你能利用方格估计下图中圆的面积吗？
圆的面积大约是（ ）个小方格 圆的面积大约是（ ）个小方格
2．这是一个由草绳编织成的圆形茶杯垫片。
S圆= S三角形=底×高÷2=
第4 讲
数学中的“扇面”
59
例题1
求下图中两个圆的面积。(单位：厘米，π 取3.14)
例题2
如图所示，一个直径是6 厘米的圆，这个圆的面积是
平方厘米。（π 取3.14）
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60
例题3
兰兰用一张长5 厘米、宽4 厘米的长方形纸，剪一个最大的圆形学具，则这个圆形学具的面积
是
平方厘米。（π 取3.14）
例题4
在一个边长为16cm 的正方形铁片中，截去如图所示的2 个半圆，那么剩余铁片的面积是
cm2。（π 取3.14）
第4 讲
数学中的“扇面”
61
PART
2
扇形
例题5
下面各圆中的阴影部分，（ ）是扇形。
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62
课中阅读
生活中美丽的圆弧
数学来源于生活，生活中处处存在数学。学习了圆与扇形之后，
再观察周围的世界，你会发现很多生活中的圆弧，比如银杏叶、拱
桥、苏州园林的月亮门……似乎正是圆弧让我们的世界更加丰富
多彩。
秋天的银杏叶吸引着无数摄影爱好者，银杏叶的叶型独特美
丽, 叶型为扇形对称, 这是因为银杏最早出现在“石炭纪”，当时气
候温暖、湿润，沼泽遍布，二歧状分叉叶脉的传输效率相对较高，非
常适应当时的环境，银杏叶也凭借其一分为二的叶缘传播着和谐
美好的寓意。
拱桥造型优美、曲线圆润、富有动态感，具有跨越能力强、节省
材料、美观耐用等优点，是中国最常用的一种桥梁型式。其式样之
多，数量之大，为各种桥型之冠。中国著名的拱桥有赵州桥、卢沟
桥、枫桥、宝带桥等。
苏州园林俊美靓丽、风格特异，仿佛一位端庄清丽的大家闺秀。
院墙上那些圆形的拱门开口，更是古典园林建筑中的点睛之笔，如
同一轮十五的圆月，高雅宁静。
第4 讲
数学中的“扇面”
63
课中阅读
可见，圆弧为我们的生活增添了一抹亮丽的色彩。不仅如此，
我们还可以借助圆弧的性质将纷繁复杂的实际问题简单化，从中
抽象出一些熟知的几何关系，使问题得以解决。
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64
例题6
如下图，一个半圆的直径是4 厘米，它的周长是
厘米。（π 取3.14）
例题7
以下扇形的周长为
。（π 取3.14）
第4 讲
数学中的“扇面”
65
例题8
把一张直径为4 厘米的圆形纸片对折两次得到一个扇形，这个扇形的周长是（ ）厘米。
A. 4+π
B. 4π
C. 1
4π
笔记页
66
第4 讲
数学中的“扇面”
67
课堂巩固
1 画一个直径是12cm 的圆，圆规两脚间的距离是
cm，这个圆的半径是
cm，周长是
cm，面积是
cm2。（π 取3.14）
2 下图中的双绣作品中间部分的画是一个半径为10 厘米的圆，这幅画的面积是
平方厘米。（π 取3）
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68
3 在一个长12 厘米、宽10 厘米的长方形里画一个最大的圆，圆的面积是
平方厘
米。（π 取3.14）
4 下列图形中，涂色部分不是扇形的是（ ）。
5 一个直径为8cm 的半圆，周长是
cm，面积是
cm2。（π 取3.14）
第4 讲
数学中的“扇面”
69
阿丘学堂
1. 一个圆的半径是4 分米，它的面积是
平方分米。（π 取3.14）
2. 一个圆的半径是30cm，它的周长是
cm，面积是
cm2。（π 取3.14）
3. 一个运动场跑道的形状与大小如下图所示。两边是半圆形，中间是长方形，这个运动场的
占地面积是（ ）。（π 取3.14）
A. 1413 平方米
B. 1500 平方米
C. 1314 平方米
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70
4. 如图，张大伯利用一面墙壁（墙壁边不用围篱笆），用竹篱笆围成了一个半圆形的养鸭场。
已知养鸭场的面积是25.12m2，养鸭场的竹篱笆长
m。（π 取3.14）
5. 如图，扇形的半径为10 厘米，计算这个扇形的周长。（π 取3.14）
6. 钟表的分针长11 厘米，经过30 分钟后，分针的针尖走过的路程是
厘米。（π 取3.14）
第4 讲
数学中的“扇面”
71
7. 求下列扇形的周长。（结果保留π）
8. 一个零件的横截面的形状如下图，这个零件的横截面（阴影部分）的面积是
平
方厘米。（π 取3.14）
9. 下面阴影部分的面积是
cm2。（π 取3.14）
10. 如图阴影部分的面积是
平方米。（单位：米，π 取3.14）
第5 讲
嵌套的圆与方
05 嵌套的圆与方
课前阅读
圆是几何图形中最普通、最实用、
最完美的图形之一。在周长不变的情况下圆是面积最大的
图形，圆形设计可节省材料；圆柱形的设计抗弯抗压强度大并且没
有方向性，具有优秀的力学特性……仔细揣摩，果然如此，圆真的很美！
我们已经学过了圆的面积与周长，试问：
捆绑木桩至少需要多长的麻绳？
淘气要剪一个特定周长的圆，应怎样选择合适大小的正方形纸板？
已知边长的方形剪纸中，围绕福猪的圆有多大？
这节课，我们就一起来探索一下关于圆的那些事儿！
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74
本讲教学目标
1
通过复习整理圆的性质、圆的周长和面积计算等重点知识，使学生所学的知识更加
系统化，进而熟练巧妙地解答圆的周长和面积的计算问题；
2
在自主探究方中圆、圆中方的过程中，积累数学活动经验，培养学生分析、概括的能
力，感受数学学习的乐趣；
3
通过将圆的知识与其他知识进行整合，进一步提高学生解决问题和综合应用的能
力，发展学生的空间观念。
重难点易错点
1
灵活运用圆的周
长，面积公式
2
方中圆、圆中方问
题中的面积比
第5 讲
嵌套的圆与方
75
知识导图
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76
PART
1
圆的周长及面积
例题1
用圆规画一个周长50.24 厘米的圆，圆规两脚之间的距离是
厘米，所画的圆的面积
是
平方厘米。（π 取3.14）
例题2
一个圆形花坛的周长是12.56 米，它的半径是
米，这个花坛的面积是
平方
米。（π 取3.14）
第5 讲
嵌套的圆与方
77
PART
2
圆环的面积
例题3
下面是一个圆环，已知大圆的半径是5 厘米，比小圆的半径长2 厘米，则圆环的面积是
平方厘米。（π 取3.14）
例题4
下面是一个圆环，已知大圆的半径是4 厘米，小圆的半径是2 厘米，圆环的面积为
平
方厘米。（π 取3.14）
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78
课中阅读
圆的小历史
圆，是一个看似简单，实际上很奇妙的图形。
古代人最早是从太阳，圆月中得到圆的概念的。直至现在，人
们还习惯用日、月来形容一些圆的东西，如月门、太阳珊瑚……
那到底是谁做出了第一个圆呢？
十几万年前的古人做的石球已经相当圆了。
一万八千年前的山顶洞人曾经在兽牙、砾石和石珠上钻孔，那
些孔有的就很圆。山顶洞人是用一种尖状器转着钻孔的，一面钻不
透，再从另一面钻。石器的尖是圆心，它的宽度的一半就是半径，一
圈圈转就可以钻出圆孔。之后到了陶器时代，许多陶器都是圆的。
圆的陶器是将泥土放在转盘上制成的。当人们开始纺线，又制出了
圆形的石纺缍或陶纺缍。6000 年前的半坡人（在西安）会建造圆
形的房子，面积有十多平方米。
古代人还发现圆的木头滚着走比较省劲。后来他们搬运重物
的时候，就把几段圆木垫在大树、大石头下面滚着走，这样当然比
扛着走省劲得多。当然了，因为圆木不是固定在重物下面的，走一
段，还得把后面滚出来的圆木滚回去。
大约在6000 年前，美索不达米亚人，做出了世界上第一个轮
子—— 圆的木盘。
第5 讲
嵌套的圆与方
79
课中阅读
大约在4000 多年前，人们将圆的木盘固定在木架下，这就成
了最初的车子。因为轮子的圆心是固定在一根轴上的，而圆心到圆
周上任一点都是等长的，所以只要道路平坦，车子就可以平稳地前
进了。
会做圆，不一定就懂得圆的性质。古代埃及人就认为：圆，是
神赐给人的神圣图形。一直到两千多年前我国的墨子（约公元前
468-前376 年）才给圆下了一个定义：
“一中同长也”。意思是说：圆
有一个圆心，圆心到圆周的长都相等。这个定义比希腊数学家欧几
里得（约公元前330-前275 年）给圆下定义要早100 年。
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80
PART
3
方中圆圆中方
中国剪纸及雕刻艺术中有许多“外圆内方”、
“外方内圆”的精美设计，这其中蕴含着许多为
人处世的道理，正所谓“方如行义，圆如用智，动如呈才，静如遂意”，人生的修行恰在圆与方之
间！今天我们就来探究一下圆与方的奥秘！看看它们的面积有何关系。
第5 讲
嵌套的圆与方
81
例题5
如图，图中正方形的面积是400cm2，那么圆的面积是
cm2。（π 取3.14）
例题6
用一张边长是2 分米的正方形纸，剪一个面积尽可能大的圆，这个圆的面积是（ ）平方分
米。（π 取3.14）
A. 12.56
B. 3.14
C. 6.28
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82
例题7
已知四边形是正方形，如果图中涂色的直角三角形面积是10 平方厘米，那么圆的面积是
平方厘米。（π 取3.14）
例题8
如图所示，圆和小正方形之间有阴影部分，求阴影部分的面积是多少？（π 取3.14）
笔记页
83
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84
课堂巩固
1 一个圆的周长是25.12 分米，这个圆的面积是
平方分米。(π 取3.14)
2 一个圆环，小圆半径是6 厘米，大圆半径是10 厘米，这个圆环的面积是
平
方厘米。（π 取3.14）
第5 讲
嵌套的圆与方
85
3 一个圆环，外直径为10 厘米，内直径为8 厘米，圆环的面积为（ ）。
A. 36π 平方厘米
B. π 平方厘米
C. 9π 平方厘米
4 下图中正方形的面积是20 平方厘米，这个正方形内最大圆的面积是
平方厘米。（π 取3.14）
5 小华家的小方桌对角线的长度为12 分米，来客人时它能变身成一张大圆桌(如图)，餐
桌变大部分的面积是
平方分米。（π 取3.14）
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86
阿丘学堂
1. 用6.28 分米长的铁丝围成一个最大的圆，圆的面积是（ ）平方分米。（π 取3.14）
A. 12.56
B. 6.28
C. 3.14
D. 7.85
2. 已知一个半圆形的面积是56.52 平方厘米，这个半圆形的周长是
厘米。(π 取
3.14)
3. 一个圆环，内圆直径是10 厘米，环宽5 厘米，这个圆环的面积是
。（π 取3.14）
第5 讲
嵌套的圆与方
87
4. 图中阴影部分的面积（两个正方形的面积之差）为50 平方厘米，圆环的面积为
平方厘米。(π 取3.14)
5. 从一个边长是10 分米的正方形纸里剪下一个最大的圆，这个圆的周长是
分米，
面积是
平方分米。（π 取3.14）
6. 在边长是4 厘米的正方形内画一个最大的圆形，圆的面积占正方形面积的（ ）。（π 取
3.14）
A. 3
4
B. π
4
C. 1
2
7. 如图，已知大正方形的面积是28dm2，则阴影部分的面积是
dm2。（π 取3.14）
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88
8. 如图，圆的直径d = 10 厘米，则阴影部分的面积是
平方厘米。（π 取3.14）
9. 下面图形中阴影部分的面积为
cm2。（π 取3.14）
10. 下面各图中，关于阴影部分面积是否相等，下列说法正确的是（ ）。
A. 只有①和②阴影部分面积相等
B. 只有②和③阴影部分面积相等
C. ①、②和③阴影部分面积都相等
D. 都不相等
第6 讲
量一量金字塔的高度吧！
06 量一量金字塔的高度吧！
课前阅读
我们已经学过了“比”，今天我们
来认识一位新朋友——“比例”。
还记得2019年70周年
国庆典礼上，天安门广场上五
星红旗迎风飘扬，群众手中也纷纷
扬起鲜艳的红旗表达对祖国的热爱
之情，同学们，挥舞的小小国旗与旗
杆上的大大国旗看起来一样吗？探索一下两面国旗宽与长的比，你能发现什么？
生活中的“比例”有哪些呢？嘻嘻，其实
很常见，同学们都调制过蜂蜜水吗？淘气将2勺
蜂蜜加到200ml水中调匀，笑笑将4勺蜂蜜加到
400ml水中调匀，这两杯蜜水，哪杯更甜一些
呢？你能发现什么？
比例究竟和比有什么关系呢？我们一起来看看！
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92
本讲教学目标
1
理解比例的意义，认识比例各部分的名称；
2
理解并应用比例的基本性质判断两个比能否组成比例，并会组比例、解比例方程；
3
正确对应实际生活中各部分量之间的比例关系，进而解决问题；
4
理解比例尺的结构，根据比例尺求图上距离和实际距离，并画出正确的地图标识。
重难点易错点
1
应用比例的基本性
质判断两个比能否
构成比例，并会组
比例、解比例方程
2
正确运用比例的知
识解决实际问题
3
正确运用比例尺求
图上距离和实际距
离，并在图上画出
正确的目标地点
第6 讲
量一量金字塔的高度吧！
93
知识导图
学而思数学思维
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94
PART
1
认识比例
想一想 ?
观察一下，B、C、D 这几幅图中哪一幅与A 最像？
第6 讲
量一量金字塔的高度吧！
95
图A 的长：宽= 6 : 4 =（ ）, 图C 的长：宽= 9 : 6 =（ ）
那么，这两个比有什么关系？
你还能写出几组类似的比吗？例如2 : 4 = 6 : 12
像这样，表示两个比相等的式子叫做比例。组成比例的四个数，叫做比例的项。其中，两端
的两项叫做外项，中间的两项叫做内项。
例如：
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96
例题1
在下面的横线上填上适当的数。
4：3 = 8：
4×
= 3×8
5：
= 15：21
5×21 =
×15
6：10 =
：15
6×15 = 10×
通过上面的观察请回答：
若a：b = c：d，则a×d =
×
。
例题2
如果a : 8 = 1.5 : b，那么ab =
；
如果8a = 7b（a、b 均不为0），那么a : b =
:
。
第6 讲
量一量金字塔的高度吧！
97
PART
2
解比例方程
例题3
解比例。
（1）0.6 : 4 = 2.4 : x，x =
（2）6 : x =1
5∶1
3，x =
例题4
解下列比例方程：
（1）x
25 = 1.2
75 ，x =
。
4 : 2
3 = x
25，x =
。
（2）3x+7
20
= x
5，x =
。
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98
例题5
许多在参观国家博物馆时，看到天坛祈年殿模型，十分震撼。他了解到这个模型整体结构完全
以原建筑物为准，以1 : 10 的比例采用中国传统的榫卯结构精心制作而成，这个模型直径9 米，
高3.8 米。根据这个模型，可以计算出祈年殿实际上高
米。
第6 讲
量一量金字塔的高度吧！
99
课中阅读
古人怎么测量金字塔高度？
泰勒斯是古希腊的哲学家。曾利用日影来测量金字塔的高度，
并准确地预测了公元前585 年发生的日蚀。故事是这样的：
当时，雄伟的金字塔已傲然矗立在古埃及的圣沙中，但古埃及
人建造了它，却不知如何测量它的高度。国王颁令，遍求天下聪明
之士来解答这一难题。有一天，泰勒斯看到人们都在看告示，他也
上去看，原来告示上写着法老要找世界上最聪明的人来测量金字
塔的高度。泰勒斯胸有成竹，很有把握地说：
“我可以！”，众人纷
纷投向惊讶的目光，呼喊道：
“快点告诉我们吧！金字塔到底有多高
啊？”泰勒斯说：
“想解答这个问题并不难，但必须有法老在场。”
第二天，法老如约而至，金字塔周围也聚集了不少围观的老百
姓。泰勒斯来到金字塔前，阳光把他的影子投在地面上。每过一会
儿，他就让别人测量他影子的长度，当测量值与他的身高完全吻
合时，他立刻在大金字塔尖在地面的投影处做一记号，然后再丈量
金字塔底到投影尖顶的距离。这样，他就报出了金字塔确切的高度。
学而思数学思维
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100
课中阅读
在法老的请求下，他向大家讲解了如何从“影长等于身长”推
到“塔影等于塔高”的原理。
同学们，你们知道吗？
第6 讲
量一量金字塔的高度吧！
101
PART
3
比例尺
想一想 ?
学校准备在假期的时候组织社会实践活动，目的地选在了南京。许多自从报名了这个社会
实践活动，就开始看地图做攻略。一天，许多拿出中国地图看了看北京到南京的距离，不自觉地
说：
“原来北京离南京这么近，走一步不就到了嘛，怎么交通费这么多？”莉莉听到了赶紧说：
“许
多，请你用脑子想想，按照你的意思全中国你多走几步，一天就能逛完了呗！”
许多思考了一下：
“嗯，也是。但是中国那么大是怎么变成地图这么小的呢？”聪明的小朋
友，你能想明白这个问题吗？
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102
例题6
（1）图上距离: 实际距离= 1 : 8，说明这幅图的（ ）。
A. 图上距离大于实际距离
B. 图上距离小于实际距离
C. 图上距离等于实际距离
（2）有一个精密的仪器零件，实际长度是4 毫米，画在一幅设计图上长是2 厘米。这幅设计图
的比例尺是（ ）。
A. 2 : 1
B. 1 : 5
C. 5 : 1
D. 1 : 2
例题7
如图是一幅中国地图的比例尺，那么图上1 厘米表示实际距离
千米，量得上海到杭
州的图上距离是3.5 厘米，那么实际距离是
千米。
第6 讲
量一量金字塔的高度吧！
103
例题8
下图中A、B 两地的实际距离是80km。
（1）测量图上AB 两点间的距离(测量结果取整厘米数)，并把比例尺补充完整。
（2）点C 在点B 北偏东45◦方向距离点B 80km 的位置上，请在图中标出C 的位置。
笔记页
104
第6 讲
量一量金字塔的高度吧！
105
课堂巩固
1 把下列比例补充完整：2 : 5 =
: 30。
2 解比例。(填整数或小数)
（1）3 : 8 = 24 : x，x =
（2）3
4 : 9
10 = x：3
5，x =
（3）6 : x =10 : 7，x =
（4）22.4 : x = 2 : 3，x =
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106
3 1 张桌子长3 米，画在一张比例尺为1 : 50 的图纸上，长应该画
厘米。
4 如图，小芳家到学校的实际距离是
米。
第6 讲
量一量金字塔的高度吧！
107
5 龙龙制作了一个摩天轮模型，它的高度与摩天轮的实际高度之比是1 : 400。现测得模
型的高度为23cm，摩天轮的实际高度是
m。
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108
阿丘学堂
1. 10 个小星星可以换4 面小红旗，淘气用x 个小星星换了18 面小红旗。那么下列比例中，
不符合题意的是（ ）。
A. 10 : 4 = x : 18
B. 10 : x = 4 : 18
C. 4 : 10 = 18 : x
D. 4 : x = 10 : 18
2. 由3、4、6 及a 可以组成比例，则a 的可能值为
、
、
(从小到大填写)。
3.（1）3.6 : x = 1.8 : 9，x =
。
（2）24 : 4.8 = 3 : x，x =
。
（3）解比例方程：2x+4
2
= 7x−6
3
第6 讲
量一量金字塔的高度吧！
109
4. 甲、乙两地相距150 千米，画在一幅地图上是3 厘米，这幅地图的比例尺是
:
；从这幅地图上量得乙、丙两地的图上距离是5 厘米，乙、丙两地间的实际距
离是
千米。
5. 在比例尺是1 : 5000000 的地图上，量得甲、乙两地的距离是8 厘米，如果一辆汽车以每小
时80 千米的速度从甲地开出，
小时到达乙地。
6. 在一幅比例尺是1 : 10000 的地图上，量得王莉家到学校的距离是15cm。在另一幅比例尺
是1 : 30000 的地图上，王莉家到学校的图上距离是
cm。
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目标A+ 班·六年级（全国版）「暑」
110
7. 8 路公交车从起点站向西偏北40◦方向行驶4km 到达A 站，再向西行驶5km 到达B 站，
最后向西偏南30◦方向行驶2km 到达终点站。根据描述，画出公交车行驶的路线图。
8. 许多发现自己的身高1.5 米，影子长2.4 米。同时同地，测得一棵大树的影长4 米，那么你
能算出来这棵大树的高度是
米。
第6 讲
量一量金字塔的高度吧！
111
9. 相同质量的冰和水的体积比是10 : 9。现有180 升的水，结成冰后的体积是
立方
分米。
10. 通常人体中的血液重量与体重的比约是1 : 13，王刚的体重是52kg。王刚身上的血液约重
kg。（用比例解）
第7 讲
比例的“家族之谜”
07 比例的“家族之谜”
课前阅读
我们已经学习了比例，它的四个项
之间存在着特殊的关系——两外项之积等于两内项之积。
那你知道比例的两大家族吗？
如果其中两个量为变量，你能通过比例的基本性质得到它们之间
的关系吗？一起来试试：
一辆疾驰在高速上的小轿车，时速一直
保持在100千米/时，4小时可以行驶多少千
米？6小时呢？可见速度一定的情况下，路程与
时间的 一定。
学校音乐室要用方砖铺地，有以下两种方案：
①选用面积是64平方分米的方砖，
需要100块；
②选用面积是16平方分米的方砖，
需要 块；
可见房间面积一定的情况下，方砖面积与
其块数的 一定。
以上两种情况各自代表比例的两大家族——正比例和反比
例，今天我们就一起来深入研究研究吧！
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114
本讲教学目标
1
认识正比例和反比例的意义及变化规律，理解它们之间的联系和区别，能够正确判
断正、反比例关系；
2
运用正、反比例解决实际应用问题，感知数学与生活的联系；
3
进一步提高学生分析、比较、概括等能力。
重难点易错点
1
理解并区分正比例
和反比例的意义
2
在同一种数量关系
中理解定量和变量
之间的关系
3
在具体情境中，尝
试用自己的语言描
述两个变量之间的
关系
第7 讲
比例的“家族之谜”
115
知识导图
学而思数学思维
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116
PART
1
正比例
想一想 ?
观察下图，随时间的增加，路程怎样变化？这两个量之间存在
比例关系。
第7 讲
比例的“家族之谜”
117
例题1
下面方格纸上的“点”表示轮船的航行情况。
根据上图填下表：
时间和路程成什么比例关系？为什么？
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118
例题2
（1）下图是表示某种规格钢筋的质量与长度成
比例关系的图象。（“正”填“1”，
“反”
填“2”）
（2）不计算，根据图象判断，6m 的钢筋重
kg。
例题3
下列四种关系中，成正比例的是（ ）。
A. 苹果的单价一定，卖出苹果的总钱数与数量
B. 淘气的年龄和淘气爸爸的年龄
C. 正方形的面积与边长
D. 长方体的体积一定，长方体的底面积与高
第7 讲
比例的“家族之谜”
119
例题4
六（1）班的图书角有6 本《少年科学画报》，总价是51 元。学校准备为五年级同学购置40 本
同样的《少年科学画报》，一共需要多少元？（用比例的方法解答）
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120
课中阅读
孙悟空巧解比例
同学们，大家一定都看过西游记吧！聪明的大师兄孙悟空，懒
惰的二师兄猪八戒，老实的三师弟沙和尚，你们最喜欢谁呢?
话说，唐僧师徒四人为普渡众生去西天取经，要经历九九八十
一难，层层关卡。
师徒四人刚过狮驼岭一难，筋疲力尽，决定休息一下。八戒把
钉耙一丢，倒地便睡，唐僧与沙僧打坐，悟空舞动金箍棒。只见悟空
一声“变”，金箍棒由原来耳中的“绣花针”变成了高耸入云的“擎
天柱”。悟空叫道：
“八戒，醒醒！你猜我的金箍棒现在有多长？”八
戒懒懒地说：
“真是的，臭显摆你的定海神针，能有多长，不过10 米
罢了。”悟空说：
“哼！你这没见过世面的，俺这金箍棒可神了，5 秒
能变长10 米！”
“那50 秒能长50 米。”八戒憨憨地说。沙僧赶紧
跑过来：
“二师兄，你肯定算错了，5 秒比10 米小，可50 秒等于50
米……”八戒忙说：
“瞎说，这个理由一点也不充分！我怎么会错！”
悟空说：
“那我就说说理由，让你们心服口服。”八戒说：
“愿闻其详，
看你这孙猴子有啥能耐！”悟空说：
“用解比例的方法，设50 秒能
变长x 米，比例是5：50=10：x，5x=500，x=100，答案应该是100
米啊!”
“这……这……”八戒哑口无言，
“还有一种方法，”沙僧补充
道，
“5 秒能长10 米，10÷5=2 米，意思是1 秒能长2 米，50 秒就能
长50×2=100 米。”
“沙师弟真聪明，好样的！”悟空竖起大拇指。一
旁的八戒则如醍醐灌顶，连连称是。
第7 讲
比例的“家族之谜”
121
课中阅读
唐僧在一旁听着，说道：
“你们都很聪明，用不同的方法解开了
这道题。凡事都要深思熟虑，八戒，你以后可不能瞎掰了，要有凭有
据。”
“一定，一定，徒儿谨记师父教诲，今后要学好数学……”
“哈哈哈”，师徒四人伴着笑声又启程了。
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122
PART
2
反比例
例题5
许多一家出门旅游，相同的距离，选择不同的交通方式，所需时间不同（如下图所示）：
请你帮助许多补全这一组数据，并回答下面的问题：
（1）当路程一定时，对应交通工具的平均速度与所需时间的
是不变的。因此在这种
情况下，我们可以说
和
成反比例关系。
（2）如果许多骑自行车的速度为15km/h，则他从家到温泉山庄需要骑行
小时。
第7 讲
比例的“家族之谜”
123
例题6
小红看一本书，每天看的页数和所用的天数如下表。
（1）表中
和
是两种相关联的量。
（2）这两种相关联的量中，相对应的两个数的积是
，这个积表示的是
。
（3）由此可知，
一定时，
和
成
比例关系。
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124
想一想 ?
一天，兔子再次邀请乌龟参加赛跑。机智的小乌龟深知这次兔子不会再睡觉了，自己一定
赢不了，于是请来了它的远方亲戚——Bertie，来自英国的Bertie 是世界上爬行最快的乌龟，拥
有“龟界博尔特”的响亮称号，每秒可爬行0.25 米。
比赛开始，兔子鼓足干劲加油跑，以每秒5 米的速度飞奔。Bertie 紧赶慢赶也无法超越兔
子的飞毛腿，胜利在望，兔子越过终点线夺得冠军。
Bertie 依然很开心：
“我和兔子的速度比是
:
，时间比是
:
，已经
很快了，依旧是龟界最靓的仔！”
第7 讲
比例的“家族之谜”
125
例题7
上坡的路程和下坡的路程相等，一辆汽车上坡速度与下坡速度的比是3 : 5，这辆汽车上坡与下
坡用的时间比应是（ ）。
A. 5 : 8
B. 5 : 3
C. 3 : 5
D. 3 : 8
例题8
从北京到G 城的特别快车在2016 年10 月前需用4.2 小时，后提速20%。那么提速后，北京到
G 城的特别快车需要
小时。
笔记页
126
第7 讲
比例的“家族之谜”
127
课堂巩固
1 判断下面各题中的两个量是否成正比例，成正比例的在横线上填“1”，不成正比例的在
横线上填“2”。
（1）速度一定，行驶的路程和时间。
（2）圆的直径和周长。
（3）一个人的身高和体重。
（4）一根绳子，用去的米数和剩下的米数。
2 如果a×5 = b×6，那么a : b =
:
。
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128
3 下面每组中的两个量，成正比例关系的是（ ）。
A. 三角形的面积一定，它的底和高
B. 小芳的身高与她的年龄
C. 正方体的表面积与它的—个面的面积
D. 一本书已读页数和未读页数
4 一个长方形的长是5 厘米，长方形的宽与面积之间的关系如下图。看图填空。
（1）长方形的宽与面积成
比例关系。（正填“1”反填“2”）
（2）当长方形的宽是3 厘米时，面积是
平方厘米。
（3）当长方形的面积是30 平方厘米时，宽是
厘米。
（4）当长方形的面积是32.5 平方厘米时，宽是
厘米。
（5）当长方形的宽是3.5 厘米时，面积是
平方厘米。
第7 讲
比例的“家族之谜”
129
5 一片土地，计划每天耕0.6 公顷，8 天可以耕完全部土地，实际上6 天就耕完了。实际
每天耕地
公顷。
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130
阿丘学堂
1. a
b = c，若a 一定，b 和c 成
比例；若b 一定，a 和c 成
比例。
2. 如果x : 3 = 7 : y，那么x 和y 成
比例；如果3x = 8y（x 和y 均不为0），那么x 和
y 成
比例。
3.
如果a 与b 成正比例关系，那么？是
。
如果a 与b 成反比例关系，那么？是
。
第7 讲
比例的“家族之谜”
131
4. 选择。
（1）表示x 和y 成正比例的是
。
A.x−y = 4
B.x+y = 10
C.x = 24−y
D.x = 2
5y
（2）甲数是乙数的1
4（甲，乙两数均不为0），甲数与乙数
。
A. 成正比例
B. 不成正比例
C. 无法确定
（3）下面各题中的两种量成正比例的是
。
A. 小东的身高和体重
B. 修一条水渠，每天修的米数和天数
C. 圆的半径和面积
D. 订《中国少年报》的份数和钱数
5. 下面的图象表示居民用电量和应缴费用的关系。
（1）从图中可以看出：
一定，
和
成
比例。
（2）根据图象，估一估，当用电量是30 度时，需缴电费
元。
（3）用比例的方法计算出用电量30 度时应缴电费
元。
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132
6. 根据某造纸厂生产进度表（如下表）可知，造纸吨数和工作时数成
比例关系。照
这样的生产进度，6 小时造纸
吨。
7. 某电脑组装车间要完成一批任务，每小时组装电脑的数量与需要的小时数如下表。
（1）这批组装任务一共是多少台？
（2）如果用a 表示每小时组装电脑的数量，t 表示完成任务需要的时间，a 和t 成
比例关系。你能写出这个关系式吗？
（3）如果每小时组装90 台电脑，完成这批任务一共需要多少小时？
第7 讲
比例的“家族之谜”
133
8. 一条路，按照正常速度的话，用20 天修完；如果速度变成原来的2 倍，则用
天修
完。
9. 一人在A、B 两地间划船往返，逆流行完全程需用40 分，顺流速度比逆流时加快了1
4 ，顺
流行完全程用时是
分。
10. 曾经从北京到上海坐火车需要半天的时间，但是随着科技的进步，
“和谐号”动车组列车投
入运营之后，所需时长缩短为五个半小时。去年“复兴号”动车组列车正式上线，平均时速
较“和谐号”提高了约20%，那么许多一家乘坐中午12 点从北京发车的“复兴号”列车，大
约在
点
分（24 时计时法）到达上海。
第8 讲
探秘三角“花园”
08 探秘三角“花园”
课前阅读
我们已经探索过正反比例两大家
族，可见比例在生活中的应用十分普遍。今天我们一起进
入几何的世界，看看比例是如何在图形中大展神通的！
许多和莉莉正在收拾家里的小
花园，许多喜欢向日葵，而莉莉更喜欢
鲜艳的月季花，因此他们以三角形花园
的底边中线为界，左向阳，右月季。许多
量得左侧面积为6平方米，可莉莉测量时却
怎么也找不到尺子了：“这可怎么办？不知道面积，我就没法估计月季花的株数了。”莉
莉犯难了，小朋友们，你们能帮帮她吗？
除了上述问题，还有更奇特的几何模型，如下图形似尖头鸟喙，运用比例解决甚
是巧妙，同学们，开动脑筋，一起来瞧瞧吧！
A
B
D
E
C
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136
本讲教学目标
1
通过比和图形的相关知识，理解比例在几何中的应用；
2
理解并应用三角形中比例问题的一般结论；
3
能够在复杂图形中找到隐藏的线。
重难点易错点
1
三角形中的比例问题
2
找隐藏的线
第8 讲
探秘三角“花园”
137
知识导图
学而思数学思维
目标A+ 班·六年级（全国版）「暑」
138
PART
1
三角形怎么分？
例题1
晓雯准备制作一个三角形的掐丝珐琅项链，预计设计成简单的双色结构。可简化成下图，△ABD
做成红色，△ADC 做成蓝色。已知BD 长12 厘米，DC 长8 厘米，B、C 和D 在同一条直线上。
S△ABD：S△ADC =
：
，S△ADC：S△ABC =
：
。
例题2
如图，在三角形ABC 中，BC = 3DC，AC = 4EC。三角形DEC 的面积是2 平方厘米，则三角形
ABC 的面积是
平方厘米。
第8 讲
探秘三角“花园”
139
例题3
如图，已知△ABE 的面积为1 平方厘米，BC = BE，AD = AB，E、B、C 在同一条直线上。△DCB
的面积为
平方厘米。
想一想 ?
在几何的比例问题中，最基本的形状是三角形。那么如果在一个图形中没有想要的三角形的身
影，但又想运用它的结论，你会怎么办？
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目标A+ 班·六年级（全国版）「暑」
140
课中阅读
地理中的等高线
同学们，你们知道地理中的等高线吗？
等高线指的是地形图上高相等的相邻各点所连成的闭合曲线。
把地面上海拔高度相等的点连成一条闭合曲线，并垂直投影到一
个水平面上，按比例缩绘在图纸上，就得到等高线了。等高线也可
以看作是不同海拔高度的水平面与实际地面的交线，所以等高线
是闭合曲线。在等高线上标注的数字为该等高线的海拔。
仔细观察等高线分布图后，同学们不难发现：等高线之间距离
越小，即排列越密，说明地面坡度越大；反之，等高线之间距离越大，
即排列越稀，说明地面坡度愈小。且在同一幅图内，除了陡崖以外，
不同高程的等高线不能相交。
不同地形，海拔高度不同。如：
平原：海拔200 米以下，地面广阔平坦，起伏很小；
丘陵：海拔500 米以下，相对高度小于100 米，地面起伏和坡
度都较缓和；
山地：海拔500 米以上，相对高度大于200 米，非常陡；
高原：海拔高度在500 米以上，相对高度小，等高线在边缘十
分密集，而顶部明显稀疏。
第8 讲
探秘三角“花园”
141
课中阅读
学而思数学思维
目标A+ 班·六年级（全国版）「暑」
142
PART
2
隐藏的线
例题4
一天，马爷爷去朋友家做客，发现了一块有意思的耕地。如图，整个耕地呈三角形（即三角形
ABC），中间被一条水管（线段DE）分割成两部分。已知AB = 5AD，AC = 3AE：
（1）如果三角形ADE 的面积等于1，那么三角形ABC 的面积是
；
（2）如果三角形ABC 的面积等于30，那么三角形ADE 的面积是
。
例题5
如图，三角形ABC 中，AB = 5AD，AC = 4AE，如果三角形ADE 的面积等于1，那么三角形ABC
的面积是
。
第8 讲
探秘三角“花园”
143
PART
3
综合应用
例题6
如图，三角形ABC 的面积为1，A、B、E 在同一条直线上，其中AE = 4AB，BD = 3BC，三角形
BDE 的面积是
。
例题7
如图在△ABC 中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且AB : AD = 5 : 2，AE : EC = 3 : 2，
S△ADE = 12 平方厘米，则△ABC 的面积为
平方厘米。
学而思数学思维
目标A+ 班·六年级（全国版）「暑」
144
例题8
如图，在三角形ABC 中，D、E 分别是BA、CA 延长线上的点，AB = 2AD，AC = 3AE，则三角形
ABC 的面积是三角形ADE 面积的
倍。
笔记页
145
学而思数学思维
目标A+ 班·六年级（全国版）「暑」
146
课堂巩固
1 如图，BD 长1 厘米，DC 长3 厘米，B、C 和D 在同一条直线上。
（1）三角形ADC 的面积是三角形ABD 面积的
倍；
（2）三角形ABC 的面积是三角形ABD 面积的
倍。
2 如图，阴影部分三角形CDE 面积为8 平方厘米，并且AE = 2EC，AD：DB = 2：3，那么
三角形ABC 的面积是
平方厘米。
第8 讲
探秘三角“花园”
147
3 如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的6 倍，EC 是AE 的3 倍，如果三角形ADE 的面积
等于1，那么三角形ABC 的面积是
。
4 如图，三角形ABC 中，E 是AC 上的点，D 是BA 延长线上的点，AE = 1，AD = 2，
AC = 4，AB = 4；如果三角形ABC 的面积是16，那么三角形ADE 的面积是
。
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148
5 如图，三角形ABC 中，D、E 分别是BA、CA 延长线上的点，AB = 4AD，AC = 2AE，则三
角形ABC 的面积是三角形ADE 面积的
倍。
第8 讲
探秘三角“花园”
149
阿丘学堂
1. 如图，BD 长12 厘米，DC 长4 厘米，B、C 和D 在同一条直线上。则三角形ABC 与三角形
ADC 的面积比为
:
。（写成最简比的形式）
2. 已知三角形BDE 的面积是10 平方分米，D 是AC 边上的中点，E 是BC 边上的中点，则三
角形BDC 的面积是
平方分米。
3. 如图，E 是BC 上靠近C 的三等分点，D 在AE 上，且ED 是AD 的2 倍。三角形ABC 的
面积为36 平方厘米，则三角形BDE 的面积是
平方厘米。
学而思数学思维
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150
4. 如图，在三角形ABC 中，BC = 8 厘米，BC 对应的高是6 厘米，E、F 分别为AB 和AC 的中
点，那么三角形EBF 的面积是
平方厘米。
5. 如图，三角形ABC 中，AB : AD = 5 : 2，AC : AE = 7 : 3，如果三角形ADE 的面积等于6，则
三角形ABC 的面积是
。
6. 如图，在三角形ABC 中，AD : DB = 2 : 3，AE : EC = 3 : 2。如果三角形ADE 的面积等于12
平方厘米，那么三角形ABC 的面积是
平方厘米。
7. 如图，三角形ABC 的面积为7 平方厘米，其中AB : BE = 1 : 2，BC : CD = 2 : 3，B 在AE 上，
C 在BD 上，三角形BDE 的面积是
平方厘米。
第8 讲
探秘三角“花园”
151
8. 如图，在△ABC 中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且AB : AD = 4 : 3，AE : EC = 5 : 4，
S△ADE = 15 平方厘米，则△ABC 的面积为
平方厘米。
9. 如图，三角形ABC 被分成了甲、乙两部分，BD = DC = 4，BE = 3，AE = 6，乙部分面积是甲
部分面积的
倍。
10. 如图，三角形ABC 中，D、E 分别是BA、CA 延长线上的点，AB = 4AD，AC = 3AE，则三角形
ABC 的面积是三角形ADE 面积的
倍。
第9 讲
折纸中的数学
09 折纸中的数学
一张边长是12 厘米的正方形纸如图三次对折之后再打开，得到的小长方形的周长是
（ ）厘米。
A．18
B．24
C．27
D．30
2、再取一张正方形纸，通过折叠，找到正方形面积的1
2 ，1
4 ，1
8 ，你能找到与刚才不同的
方法吗？
1、取一张正方形纸，通过折叠找到正方形纸边长的1
2 ，1
4 ，1
8 。
（探究最少几次折叠能够找到需要的大小）
方格折痕中的分数计算与构造
互动题1
PART
1
第9 讲
折纸中的数学
153
把一张边长是12 厘米的正方形纸进行四次对折后，折痕形成如下形状，图中阴影部分的面积是（
）
平方厘米。
A．9
B．18
C．24
D．36
一张边长是16 厘米的正方形纸如图所示折叠后，阴影小三角形的面积是（
）平方厘米。
A．8
B．12
C．16
D．32
互动题2
互动题3
学而思数学思维
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154
1、边长上的1
3 点怎么找？
怎么折？
PART
2
1 1
3 、5
— —
（1）
（2）
（3）
第9 讲
折纸中的数学
155
2、再来看看其他的方法！
我们来看一下，这里为什么是三等分点呢？
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156
在刚才折法的基础上，经过两条斜线的交点，横竖各折一条与正方形边平行的线后，在纸的右上角形
成的小正方形面积是原来正方形的b
a
，a =_____ ， b = _____ 。
互动题4
第9 讲
折纸中的数学
157
第10 讲
温故知新
10
温故知新
第10 讲
温故知新
159
PART
1
比与比例
例题1
化简比。
0.6 : 1
4 =
:
1.4 : 2 1
10 =
:
0.25 : 3
4 =
:
例题2
解下列比例方程。
（1）3.6 : x = 1.8 : 9，x =
（2）5 : 9 = x : 3(x−4)，x =
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160
例题3
小东绘制一幅玉溪市行政区划图，从易门到玉溪有144 千米，请你帮他算一算，在比例尺为
1 : 600000 的地图上应画
厘米。
第10 讲
温故知新
161
PART
2
圆的周长与面积
例题4
如图，把一个圆分割、拼成一个近似的长方形后，周长增加了6 厘米，那么圆的周长是
厘米，圆的面积是
平方厘米。（π 取3.14）
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162
例题5
（1）已知小正方形ABCD 的面积是20 平方厘米，阴影部分的面积是
平方厘米。（π
取3.14）
（2）已知小正方形ABCD 的面积是20 平方厘米，则阴影部分的面积是
平方厘米。（π
取3.14）
第10 讲
温故知新
163
PART
3
比例法解决问题
例题6
动物园里有老虎、企鹅、鸵鸟三种动物比较体重，它们总共重496 千克。企鹅的体重与鸵鸟的体
重之比为5 : 12，鸵鸟的体重与老虎的体重之比为4 : 15，那么企鹅的体重是
千克。
例题7
某天中午六年级同学同时测量了一棵大树和学校旗杆的影长，已知旗杆高15 米，旗杆影长6
米，大树影长3.2 米，这棵大树高
米。
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目标A+ 班·六年级（全国版）「暑」
164
例题8
一辆汽车从甲地开往乙地，计划6 小时到达，实际速度比原计划快了1
5 ，这样只要
小时就能到达。
例题9
如图，在三角形ABC 中，BC = 3DC，AC = 3EC。三角形DEC 的面积是3 平方厘米。那么，三
角形ABC 的面积是
平方厘米。
第10 讲
温故知新
165
例题10
如图，△ABC 中，CD : AC = 2 : 7，BE : AB = 4 : 5，若△ABC 的面积为84。那么三角形ADE 的
面积是
。
笔记页
166
第10 讲
温故知新
167
课堂巩固
1 化简比：
（1）0.75 : 2=
:
（2）8
9 : 4
15=
:
2 解比例方程（结果填写整数或小数）：
（1）48 : 5 = x : 1
8，x =
（2）1
2 : 1
3 =
: 10
3
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168
3 如图，正方形的面积是10 平方厘米，则圆的面积是（ ）平方厘米。（π 取3.14）
A.31.4
B.314
C.15.7
4 甲乙两车一起从A 地出发去B 地。如果两地距离未知，甲车的速度是50 千米/时，乙
车的速度是30 千米/时。各自走完全程时，甲车用时6 小时，乙车用时
小时。
第10 讲
温故知新
169
5 有一块三角形的空地ABC，已知AD = CD，DE = EB 且三角形ABC 的面积为8 平方
米。则三角形DEC 的面积为
平方米。
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170
阿丘学堂
1. 有一个圆形鱼池的半径是12 米。（π 取3.14）
（1）它的面积是
平方米。
（2）如果每隔5 米栽一棵树，这个鱼池的周围大约可以栽
棵树。
（3）鱼池的中央修有一个直径是4 米的圆形假山，鱼池的水面面积是
平方米。
2. 如图求阴影部分的面积是
cm2。(π 取3.14)
第10 讲
温故知新
171
3. 解方程：
4.5 : x = 6 : 2.2 ⇒x =
；
x
3 = 2 : 9 ⇒x =
/
；
12 : 2.4 = 3 : x ⇒x =
/
；
x : (2x+3) = 5 : 11 ⇒x =
；
8 : (5x+5) = 5 : (3x+4) ⇒x =
。
4. 在一张地图上画有一条线段比例尺
千米，把它写成数值比例尺的形式
是
，在这张图上量得宁波到上海的距离为12 厘米，宁波到上海的实际
距离是
千米。
5. 如图所示是某镇政府所在地的平面图。以镇政府为观察点，量一量再填空。
（1）天天乐超市在
偏
◦，实际距离是
；
（2）如果邮电局在南偏东70◦1200 米，在这幅地图上表示出来。
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172
6. 苹苹看一本故事书，第一天看的页数与第二天看的页数之比为3 : 4，第三天看了全书的2
9，
正好看完了这本书。苹苹第一天看了60 页，这本故事书共有
页。
7. 如图表示的是一根水管不停地向水箱注水，水箱内水的体积的变化情况。注水10 分钟，水
箱内水的体积是
升；水箱里的水要达到100 升，需注水
分钟。
8. 小明7 : 30 从家出发去学校，每分钟走50 米，刚到学校发现没带数学书，马上回家，每分钟
走70 米，于7 : 54 到家。那么，家离学校
米。
第10 讲
温故知新
173
9. 如图，已知三角形ABC 的面积为12 平方厘米，且点D、E 分别为边AC 与BC 的中点，则
三角形BDE 的面积为
平方厘米。
10. 如图，三角形ABC 中，D、E 分别是AB、AC 上的点，AB = 2AD，AC = 3AE；则三角形ABC
的面积是三角形ADE 面积的
倍。
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174
阿丘学堂参考答案
第 讲
1
我们一起比一比
1. 淘淘和苹苹的年龄比是4 : 3，体重的比是6 : 5。(答案不唯一)
2. 20
49
3. 6
25
4. 32
18
75
5. 3
5；6
5；20；5（表示方式不唯一）
6. 5 : 4
20 : 3
3 : 10
5 : 32
7. 4
8.（1）72 : 100
（2）107 : 100
9. 2
4
3
10. 20
6
15
第 讲
2
怎样分这100 元？
1. 420
280
2. 540
3. 96
4. C
5. 100
6. 360
7. 2
8. C
9. 63888
10. 12
15
18
第 讲
3
不得不吃的“π”
1. C
2. 94.2
43.96
3.
4. 25.12
5. 2
6. 1
7. 等于
8. 等于
9. 188.4
10. 2512
阿丘学堂参考答案
175
第 讲
4
数学中的“扇面”
1. 50.24
2. 188.4
2826
3. C
4. 12.56
5. 35.7 厘米
6. 34.54
7. 周长依次为：4+ 1
2π，6+π，18+5π
8. 28.26
9. 7.74
10. 343
第 讲
5
嵌套的圆与方
1. C
2. 30.84
3. 235.5 平方厘米
4. 157
5. 31.4
78.5
6. B
7. 6.02
8. 37.5
9. 114
10. C
第 讲
6
量一量金字塔的高度吧！
1. D
2. 2
4.5
8
3.（1）18
（2）0.6
（3）x = 3
4. 1
5000000
250
5. 5
6. 5
7.
8. 2.5
9. 200
10. 4
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176
第 讲
7
比例的“家族之谜”
1. 反
正
2. 反
正
3. 3.2
5
4. D
A
D
5. 每度电的电费
应缴电费
用电量
正
15
15
6. 正
18
7. 1440
反，关系式为：at = 1440
16
8. 10
9. 32
10. 16
35
第 讲
8
探秘三角“花园”
1. 4
1
2. 20
3. 16
4. 6
5. 35
6. 50
7. 35
8. 36
9. 5
10. 12
第 讲
10
温故知新
1. 452.16
15
439.6
2. 28.5
3. 1.65
2
3
3
5
15
7
4. 1 : 3000000
360
5.（1）北
东50（或东
北40）
800 米
（2）1200 米= 120000 厘米
所以邮电局和镇政府的图上距离为：120000×
1
20000 = 6（厘米），
又因邮电局在镇政府的南偏东70◦的方向上，
所以邮电局的位置如下图所示：
阿丘学堂参考答案
177
6. 180
7. 20
50
8. 700
9. 3
10. 6
1120031018316
