文档文本内容
前言PREFACE
学而思网校为6 ～18 岁的学生提供小学、初中、高中全学科课外学习课程。学而思网校拥
有十余年教学经验，采用在线双师直播教学模式，用AI 技术来辅助教学。学而思网校课堂互动
多，线上课程有回放，教师及时答疑，学生不满意可随时退费。
2016 年5 月，学而思网校提出“在线学习更有效”的品牌主张，并正式推出在线双师直播教
学模式，通过实时在线的互动教学、图文并茂的随堂讲义、科学的学业测评，以及教师多方位的
学习辅导，保障学生的学习效果。
2016 年7 月，
“IDO 个性化学习体系”正式上线，体系拥有动态学习报告、错题订正等功能，
为教师、学生和家长之间建立起更有效的沟通平台。2017 年7 月，
“IDO 个性化学习体系”升级
为“IDO 个性化学习体系2.0”（简称“IDO2.0”）。
“IDO2.0”拥有个性化学习任务系统（IMS），并首
次将人脸识别、语音识别、触感互动等技术引入在线课堂，让在线学习有更多可被量化的数据和
可追踪的学习轨迹，甚至有更多动手实践的机会。有效的科技手段逐渐缩小了线上线下的学习
体验差异。
2018 年，学而思网校课程体系全面升级，Amazing English、大语文、数学思维、大科学等课程
更注重对学生综合素质能力的培养。同时，学而思网校推出的故宫、音乐、魔方、儿童安全、历史
等素养类课程让学生可以多维、立体化成长。学而思网校自主研发的“AI 老师”通过自然语言处
理（NLP）、图像文字识别（OCR）等技术精准分析学生的语义、情感、笔迹等，形成完整高效的
“课堂学习链”，让在线课堂学习体验更美好，让教学更高效，学习更有效。未来，学而思网校将进
一步承担起用科技推动教育进步的重任，不断致力于教育资源的均衡发展，实现从教到育、从学
到习的全面提升。
学而思网校教研中心
目录
CONTENTS
第10 讲
组合问题总复习（二）............................ 1
第11 讲
计算知识综合应用................................ 11
第12 讲
应用题综合........................................ 19
第13 讲
数论知识综合应用................................ 29
第14 讲
知识延伸之数与式................................ 39
第15 讲
知识延伸之几何图形............................. 51
第10 讲
组合问题总复习（二）
10
组合问题总复
习（二）
学而思数学思维
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2
PART
1
逻辑推理
把不同排列顺序的意识进行相关性的推导就是逻辑推理，而我们小学阶段的题目多以形
式逻辑为主，在既定的情况下，通过对题目条件的分析推导出一个题目设定的结论。
一、真假型
前提：题目所给的条件有真有假
方法：假设法通过有顺序的假设去寻找正确的条件（真命题）从而推导出题目设定的结论
假设的结果无外乎两种：
有矛盾：重新假设
无矛盾：推出结论
特殊：说的正好相反的两句话（两个条件）一定一对一错。
二、条件型
前提：题目所给的条件全是真命题，即都是真话，可以直接用来推导分析
方法：列表法
构造表格
根据条件在相应的位置画出√和×
结合对应关系判断（如一行一列有且只有一个√，那其他位置都是×）
在判断不出的位置根据情况少的原则进行合理假设。
第10 讲
组合问题总复习（二）
3
例题1
在神话王国内，居民不是骑士就是骗子，骑士不说谎，骗子永远说谎，有一天国王遇到该国的居
民小白、小黑、小蓝，小白说：
“小蓝是骑士，小黑是骗子。”，小蓝说：
“小白和我不同，一个是骑士，
一个是骗子。”国王很快判断出谁是骑士，谁是骗子。请你分析并判断：三人中，
是骑
士（小白填1，小黑填2，小蓝填3）。
互动题1
三位女孩A、B、C 进行百米赛跑，裁判D、E、F 在赛前猜测她们之间的名次。D 说：
“我猜A 是
第一名。”E 说：
“我猜C 不会是最后一名。”F 说：
“我猜B 不会是第一名。”成绩揭晓后，只有一
位裁判的猜测是正确的，
得第一名。（A 女孩得第一名请填“1”，B 女孩得第一名请填
“2”，C 女孩得第一名请填“3”）
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4
例题2
小王、小张和小李一位是工人，一位是农民，一位是教师，现在只知道：小李比教师年龄大；小
王与农民不同岁；农民比小张年龄小，则
是工人；
是农民；
是教
师。（小王填1，小张填2，小李填3）
互动题2
赵师傅、丁师傅、钱师傅3 人中，一位是工人，一位是教师，一位是军人。
已知：
（1）赵师傅比工人体重重；（2）丁师傅比工人体重轻；（3）教师比军人体重重。
请在纸上填一填表格，判断赵师傅是
，丁师傅是
，钱师傅是
。（填
大写字母）
A. 工人
B. 教师
C. 军人
第10 讲
组合问题总复习（二）
5
PART
2
容斥原理
二量重叠：总量等于满足一个条件的减去满足两个条件的，再加上满足零个条件的；
三量重叠：总量等于满足一个条件的减去满足两个条件的，加上满足三个条件的，加上满
足零个条件的。
例题3
（1）实验小学四年级（2）班，参加语文兴趣小组的有28 人，参加数学兴趣小组的有29 人，有
12 人两个小组都参加。这个班有
人参加了语文或数学兴趣小组。
（2）少年宫春季书法班、美术班、器乐班招生。书法班招收了29 名学员，美术班招收了28 名学
员，器乐班招收了27 名学员。在这些学员中，既报书法又报美术的有13 名，既报书法又报
器乐的有12 人，既报美术又报器乐的有11 名，三个科目都报的有5 名。那么，只参加一个
科目学习的学员有
名。
互动题3
四年级的课外小组分为美术、音乐、手工3 个小组。参加美术小组的有20 人，参加音乐小组的
有24 人，参加手工小组的有31 人，同时参加美术、音乐两个小组的有5 人，同时参加美术、手
工两个小组的有7 人，同时参加音乐、手工两个小组的有6 人，3 个小组都参加的有3 人，这个
年级参加课外小组的同学共有
人。
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6
PART
3
抽屉原理
抽屉原理推广到一般情形有以下两种表现形式：
抽屉原理1：将多于n 件的物品任意放到n 个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品不少
于2 件；
抽屉原理2：将多于mn 件的物品任意放到n 个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品不
少于(m+1) 件。
例题4
（1）合唱小组的同学中，年龄最大的12 岁，最小的7 岁，要想挑选的学生一定有两名年龄相同，
至少要挑选
名学生。
（2）把十只小兔放进至多
个笼子里，才能保证至少有一个笼子里有两只或两只以上
的小兔。
互动题4
从红、黄、蓝、紫四种颜色各2 枝的花中，至少取出（ ）枝花，才能保证必有两只同色的花。
A. 4
B. 6
C. 5
笔记页
7
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8
课堂巩固
1 有A、B 两个靠的比较近的村庄，A 庄的人一直说假话，B 庄的人总说真话，两村的人
可以互相往来(即A 村的人可以去B 村，B 村的人也可以去A 村)，一个外地人到了这
个地方，但不知到了哪个村庄。他问：
“请问你是这个村的人吗？”回答：
“不是。”外地人
在
村。
A. A
B. B
2 刘刚、马辉、李强三个男孩各有一个妹妹，六个人进行乒乓球混合双打比赛。事先规
定：兄妹二人不许搭伴。第一盘：刘刚和小丽对李强和小英；第二盘：李强和小红对刘
刚和马辉的妹妹。刘刚的妹妹是
、马辉的妹妹是
、李强的妹妹是
。（ ）
A. 小红、小英、小丽
B. 小红、小丽、小英
C. 小丽、小英、小红
3 老师出了两道测试题，全班每个同学都至少答对了一道，答对第一道题的有30 人，答
对第二道题的有28 人，两道都答对的有16 人，那么全班同学总共有（ ）人。
A. 38
B. 40
C. 42
第10 讲
组合问题总复习（二）
9
4 某小学举行数学、语文、科学三科竞赛，学生中至少参加一科的：数学203 人，语文179
人，科学165 人，同时参加两科的：数学、语文143 人；数学、科学116 人；语文、科学
97 人，三科都参加的89 人，则这个小学参加竞赛的总人数有
人。
5 向阳小学有730 个学生，那么至少有
个学生的生日是同一天。
第11 讲
计算知识综合应用
11
计算知识综合
应用
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12
PART
1
混合计算
例题1
计算：8.4× 1
4 +31
3 ×0.9−16
25 ÷ 4
15 =
互动题1
计算：100÷1.2×3÷ 5
6 ×1 4
15 =
。
第11 讲
计算知识综合应用
13
例题2
化简：
1
3+
1
2+
1
1−1
2
=
互动题2
1+
1
1+ 1
2
的值等于
/
。（化成最简分数，先填分子，后填分母）
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14
PART
2
速算与巧算
例题3
（1）
(
121
3 +72
5 +52
7
)
÷
(
32
3 +21
5 +14
7
)
=
（2）计算：
(
1−1
2
)
×
(
2−2
3
)
×
(
3−3
4
)
×
(
4−4
5
)
×
(
5−5
6
)
×
(
6−6
7
)
×
(
7−7
8
)
×
(
8−8
9
)
×
(
9−9
10
)
=
互动题3
（1）已知
(
13
4 +24
5 +35
6
)
÷
(
51
4 +82
5 +113
6
)
= a
b，则a =
，b =
。
（2）100×(1−1
2)×(1−1
3)×(1−1
4)×···×(1−1
100) =
。
第11 讲
计算知识综合应用
15
例题4
计算:(0.1+0.45+0.56)×(0.45+0.56+0.67)−(0.1+0.45+0.56+0.67)×(0.45+0.56) =
。
互动题4
计算：(1+0.12+0.23)×(0.12+0.23+0.34)−(1+0.12+0.23+0.34)×(0.12+0.23) =
笔记页
16
第11 讲
计算知识综合应用
17
课堂巩固
1 0.4×
[11
52 ÷23
4 ×(4.3−1.8)
]
×26 =（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
2 计算：
1
1
1
1+4 +3
+2
+1 =（ ）
A. 50
37
B. 53
37
C. 53
47
3 计算：
(
31
5 +33
7 +35
9 +3 7
11
)
÷
(2
5 + 3
7 + 4
9 + 5
11
)
=（ ）
A. 5
B. 6
C. 8
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18
4 计算：1000×(1−1
2)×(1−1
3)×(1−1
4)×···×(1−1
500)。
5 计算：(2.35+1.34+5.21)×(1.98+6.91+10)−(2.35+1.34+5.21+10)×(1.98+6.91)
=
第12 讲
应用题综合
12
应用题综合
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20
PART
1
经济问题
1.
相关概念：
成本：商品的进价。也称为买入价、成本价、进价。
售价：商品被卖出时候的标价。也称为卖出价、标价、定价、零售价。
利润：商品卖出后商家赚到的钱。
利润率：利润占成本的比率。
打折/折扣：打折就是在原来售价的基础上降价销售，几折则表示实际售价占原来售价的成数。
如：一折即售价×10%，八折即售价×80%，对折即售价×50%，七五折即售价×75%。
2. 相关公式
售价= 成本+ 利润，利润= 售价−成本
利润率= 利润
成本×100% = 售价−成本
成本
×100%（利润率要写成百分数形式）
利润= 成本× 利润率
售价= 成本×(1+利润率)，成本=
售价
利润率+1
售价= 定价× 折扣
第12 讲
应用题综合
21
例题1
将商品的原价提高80%，然后在广告中写上“大酬宾八折优惠”。按照这种做法，一台原价2000 元
的彩电，卖出价格比原价多多少？
互动题1
一件衣服标价120 元，如果按照标价卖，可赚20%；如果按照标价的9 折卖，那么每件可以赚钱
元。
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22
例题2
（1）2018 年9 月，个人所得税起征点为3500 元。下面是个人所得税税率表。
王叔叔的月工资是5500 元。
①王叔叔每个月应该缴纳个人所得税多少钱？
②王叔叔每个月实际领到的工资是多少钱？
（2）费叔叔有10000 元钱，打算存入银行两年。
办法一：存两年期的整存整取定期储蓄，年利率为4.7%，到期后可取出本金和利息一共
元。
办法二：先存一年期的整存整取定期储蓄，年利率为4%；到期后将本金和利息再存一年，最后
本金和利息一共
元。
互动题2
下表是人民币存款基准利率表。小明现在有10000 元人民币，如果他按照三年期整存整取的方式
存款，三年后他连本带利一共能从银行拿到
元人民币。
第12 讲
应用题综合
23
PART
2
工程问题
【基本概念】
1、工作量：完成任务的多少。
2、工作时间：工作持续的时间。
3、工作效率：单位时间内所做的工作量。
【基本公式】
1、工作效率= 工作量÷ 工作时间
2、工作时间= 工作量÷ 工作效率
3、工作量= 工作效率× 工作时间
【合作问题】
甲乙合作的工作效率= 甲的工作效率+ 乙的工作效率
例题3
甲、乙两个工程队共同完成一项工程需18 天，如果甲队先干3 天、乙队再接着干4 天则完成这项
工程的1
5。甲队独立完成该工程需要
天，乙队独立完成该工程需要
天。
互动题3
一项工程，甲乙合作8 天可以完成，甲单独做4 天可以完成1
3，那么乙单独做需要
天
完成这项工程。
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24
例题4
一项工程，甲单独做要12 小时完成，乙单独做要18 小时完成。若甲先做1 小时，然后乙接替甲
做1 小时，再由甲接替乙做1 小时，···，两人如此交替工作，则完成任务时，共用了
小
时
分钟。
互动题4
一件工程，甲单独做要6 小时，乙单独做要12 小时，如果按甲、乙、甲、乙··· 顺序交替工作，每次
1 小时，那么需要
小时完成。
笔记页
25
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26
课堂巩固
1 一件商品的利润率是30%，此时若提高20% 的售价，则利润率变为（ ）。
A. 50%
B. 56%
C. 44%
D. 60%
2 淘气买了5000 元的国家债券，定期三年，年利率4%，到期后，一共可以取出（ ）元。
A. 5600 元
B. 5200 元
C. 5000 元
D. 600 元
3 王叔叔买来一辆5600 元的摩托车，按规定，买摩托车要缴纳10% 的车辆购置税，王叔
叔买这辆摩托车一共要花费（ ）元。
A. 6160
B. 6000
C. 6150
第12 讲
应用题综合
27
4 一项工程，甲单独做需要28 天完成，乙单独做需要21 天完成，如果甲、乙合作需要
天完成。
5 一项工程，甲单独做要6 小时，乙单独做要10 小时。如果按甲、乙、甲、乙...... 顺序交替
工作，每次1 小时，则需要
小时
分钟完成。
第13 讲
数论知识综合应用
13
数论知识综合
应用
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30
PART
1
整除特征
整除
常见数字的整除判定方法
第13 讲
数论知识综合应用
31
例题1
（1）一个五位数8□25□，方框中的数未知。如果该数能被72 整除，这个五位数是
。
（2）五位数139ab 是99 的倍数，则ab =
。
互动题1
若四位数9a8a 能被15 整除，则a 代表的数字是
。
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32
例题2
在523 后面加上三个数字，使得到的六位数能被5、7、9 整除，那么得到的数最小是
。
互动题2
如果四位数92□□能被5 和19 同时整除，那么它的最后两位数是
。
第13 讲
数论知识综合应用
33
PART
2
短除模型
短除法
先找出所有共有的因数，然后相乘得到最大公因数；把外面所有的数连乘得到最小公倍数。
例如：
，所以(12,18) = 2×3 = 6，[12,18] = 2×3×3×2 = 36；
(多个数求最小公倍数时，需要短除到两两互质)
最大公因数与最小公倍数进阶
(1) 两个自然数分别除以它们的最大公因数，所得的商互质。
如果m 为A、B 的最大公因数，且A = ma，B = mb，那么ab 互质，所以A、B 的最小公倍数
为mab，所以最大公因数与最小公倍数有如下一些基本关系：
①A × B = ma × mb = m × mab，即两个数的最大公因数与最小公倍数之积等于这两个数的
积；
②最大公因数是A、B、A+B、A−B 及最小公倍数的因数。
(2) 两个数的最大公因数和最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。
即(a,b)×[a,b] = a×b，此性质比较简单，学生比较容易掌握。
(3) 对于任意3 个连续的自然数，如果三个连续数的奇偶性为：
a) 奇偶奇，那么这三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数
例如：5×6×7 = 210，210 就是5，6，7 的最小公倍数
b) 偶奇偶，那么这三个数的乘积等于这三个数最小公倍数的2 倍
例如：6×7×8 = 336，而6，7，8 的最小公倍数为336÷2 = 168
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34
例题3
（1）甲数是36，甲、乙两数的最大公因数是4，最小公倍数是288，则乙数是
。
（2）两个自然数都是两位数，它们的最大公因数是6，最小公倍数是90。这两个自然数的和是
。
互动题3
（1）已知A、B 两数的最小公倍数是180，最大公因数是30，若A = 90，则B =
。
（2）已知两个不超过20 的正整数的最大公因数是4，最小公倍数是24，那么这两个数的和是
。
第13 讲
数论知识综合应用
35
PART
3
明星质数
例题4
如果a，b 均为质数，且3a+7b = 41，则a+b =
。
互动题4
如果两个质数相加等于39，这两个质数分别是
、
。（按从小到大的顺序填写）
笔记页
36
第13 讲
数论知识综合应用
37
课堂巩固
1 六位数N = x2692y，可以被88 整除，那么这个六位数是（ ）。
A. 426928
B. 326920
C. 826920
2 四位数32□□能被23 整除，则这个四位数最大是
，最小是
。
（ ）
A. 3289，3220
B. 3299，3200
C. 3289，3210
3 已知A、B 两数的最小公倍数是360，最大公因数是6，若A = 30，则B =（ ）。
A. 60
B. 64
C. 72
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38
4 两个自然数不成倍数关系，它们的最大公因数是18，最小公倍数是216。这两个数分别
是多少？
5 四个不同的质数之和为41，其中最小的质数是
。
第14 讲
知识延伸之数与式
14
知识延伸之数
与式
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40
PART
1
有理数的认识
一、定义
整数和分数统称为有理数。或：正整数、0、负整数、正分数、负分数统称为有理数。
二、两种分类
有理数
整数
正整数
零
自然数
负整数
分数
正分数
负分数
有理数(按符号分类)
正有理数
正整数
正分数
零
负有理数
负整数
负分数
三、数轴
1. 定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴。
2. 数轴三要素：原点、正方向、单位长度（三者缺一不可）
①原点：在直线上任取一点表示数0，这个点叫原点；
②正方向：通常规定直线上从原点向右为正方向；
③单位长度：选取适当长度为单位长度（可长可短，同一数轴上的单位长度一旦确定，则不
能改动）。
第14 讲
知识延伸之数与式
41
四、相反数
1. 定义：只有符号不同的两个数互为相反数。（几何意义：在数轴上，互为相反数的两个数关
于原点对称）
注意：相反数是成对出现的，可以说a 的相反数是−a，可以说−a 是a 的相反数，也可以说
a 与−a 互为相反数。
2.a 的相反数是−a
①当a = 0 时，0 的相反数是0（易设陷阱考查）
②当a̸ = 0 时，正数（负数）的相反数是负数（正数）, 非零数和它的相反数异号
3. 数轴上表示相反数的两个点关于原点对称
4. 如果a 与b 互为相反数，那么a+b = 0，a = −b，b = −a，当a 与b 都不为零，那么还有
a
b = −1
5. 写出一个数的相反数：正数——加负号；负数——去负号；0——0
五、倒数
1. 定义：乘积为1 的两个数互为倒数。a，b 互为倒数，则a×b = 1，反之亦然
注意：倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数；
2. 零没有倒数。
3. 一个数若有倒数，它的倒数和原数同号。
4. 倒数是本身的数有1 和−1 两个。（易漏−1）
5. 求一个非零有理数的倒数：
①整数——整数做分母，1 为分子，如3 的倒数为1
3。
②分数——分子和分母颠倒位置（注意能约分的还要约分），如1
3 的倒数是3。
6. 负倒数：乘积为−1 的两个数互为负倒数。a，b 互为负倒数，则a×b = −1。
六、绝对值
定义：一般地，数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值，记为|a|，|a| ⩾0
|a| =
a(a > 0)
0(a = 0)
−a(a < 0)
，概括为|a| =
a(a ⩾0)
−a(a < 0)
，或|a| =
a(a > 0)
−a(a ⩽0)
，
如|99.3| = 99.3，|0| = 0，|−1.5| = 1.5
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42
例题1
将下列各数填入下面横线上：−3；2
3；−7；−4.2；3.5；0.6；−31
3；10；4
3；−7
4；6.5
属于正数的数：
；
属于负数的数：
；
属于整数的数：
；
属于分数的数：
；
属于正整数的数：
；
属于负整数的数：
；
属于正分数的数：
；
属于负分数的数：
。
互动题1
下列说法正确的有
个。
A、一个有理数不是正数, 就是负数；
B、整数一定是正数；
C、最小的整数是0；
D、自然数是整数。
第14 讲
知识延伸之数与式
43
例题2
用数轴上的点表示下列各数，并将它们按从小到大的顺序排列起来：
−4、2.5、11
3、0、−31
2、−0.5
互动题2
小明发现一个被墨水污染的数轴，根据图示写出被墨迹盖住部分的整数有
个。
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44
例题3
写出下列各数：1
3，−7，−(−1.8)，−4
9 的绝对值分别为
。
互动题3
一个数的绝对值是5，则这个数是( )
A. ±5
B. 5
C. −5
D. 25
第14 讲
知识延伸之数与式
45
PART
2
有理数的计算
七、有理数比较大小：
1. 借助数轴，数轴上的数，右边的数总大于左边的数
2. 正数> 0 > 负数
3. 两个正数，绝对值大的数大；两个负数，绝对值大的反而小
八、有理数运算法则
1. 化简——奇负为负，偶负为正，如−(−1.8) = 1.8,−[−(−1.8)] = −1.8
2. 加法法则：
（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
（2）异号两数相加
①绝对值相等时（即两数互为相反数）和为0；
②绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
（3）一个数同0 相加，仍得这个数。
（4）加法交换律和加法结合律仍适用。
3. 减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。（减法转换成加法做）
4. 乘法法则：
①定符号：奇负为负，偶负为正
②把绝对值相乘。
注意：任何数乘以0，都得0。
5. 除法法则：除以一个非零的数等于乘以这个数的倒数。（除法转换成乘法做）
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46
例题4
（1）计算：15
4 +
(
−42
5
)
+ 21
4 +
(
−13
5
)
=
（2）计算：
35×40×(−1
5)×(−0.5) =
31
3 ÷
(
21
3
)
÷
(
−11
5
)
=
互动题4
计算：20+(−14)−(−18)−13 =
。
笔记页
47
学而思数学思维
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48
课堂巩固
1 下列各数中，负数有
个，整数有
个，负整数有
个。
（ ）
−1
2、−7、2.8、−900、−31
2、0、+6.4、8
A. 4，4，1
B. 4，2，1
C. 4，4，2
2 如图：点P 表示的数可能是（ ）。
A. −1.5
B. −2.5
C. 3.5
D. −3.5
3 下列说法中错误的有（ ）。
①绝对值是它本身的数有两个，它们是0 和1
②一个数的绝对值必为正数
③2 的相反数的绝对值是2
④任何数的绝对值都不是负数
A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个
第14 讲
知识延伸之数与式
49
4 化简下列各数：
−[+(−5)] =
−[−(+7)] =
+[−(+3.1)] =
−[−(−5.7)] =
5 23−17−(−7)+(−16) =
。
第15 讲
知识延伸之几何图形
15
知识延伸之几
何图形
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52
PART
1
线的认识
直线：定义：能够向两端无限延伸的线。
表示：
（1）用两个大写字母来表示，这两个大写字母表示直线上的点，不分先后顺序，如AB。
（2）用一个小写字母来表示，如a。
射线：定义：直线上的一点和这点一旁的部分，这个点叫做射线的端点。
表示：
（1）用两个大写字母来表示，第一个大写字母表示射线的端点，第二个大写字母表示射线上
的点。
（2）用一个小写字母表示。
线段：定义：直线上两点和这两点之间的部分叫做线段，这两个点叫做线段的端点。
表示：
（1）用两个大写字母来表示，这两个大写字母表示线段的两个端点，无先后之分。
（2）用一个小写字母来表示。
线段可以双向延长。
第15 讲
知识延伸之几何图形
53
例题1
下面的图中，直线是
，线段是
，射线是
。
互动题1
下面的图中，直线有
条，线段有
条，射线有
条。
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54
例题2
点C 在直线AB 上，AC = 8cm，CB = 6cm，点M，N 分别是AC，BC 的中点。则线段MN 的长为
。
互动题2
已知P 是线段AB 上一点（与端点A、B 不重合），M 是线段AP 的中点，N 是线段BP 的中点，
AB = 6 厘米，那么MN 的长等于
厘米。
第15 讲
知识延伸之几何图形
55
PART
2
内角和
例题3
图中五个相同的圆的圆心连线构成一个边长为10 厘米的正五边形，则五边形内阴影部分的面积
为
平方厘米(π 取3.14)。
互动题3
如图，若多边形ABCDE 为正五边形，则∠BAC 为
度，∠ACD 为
度。
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56
PART
3
求角
例题4
如图，∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，∠A = 70 度，那么∠5 =
度。
互动题4
如图，∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，∠5 = 140 度，那么∠A =
度。
笔记页
57
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58
课堂巩固
1 观察以下9 个图：
以上图形中属于直线、射线、线段的分别是哪几个？（ ）
A. ①⑤⑨；②④；③⑧
B. ①⑥⑧；③④⑦；②⑤⑨
C. ①④；②⑤⑧；③⑨
2 如果延长线段AB 到C，使得BC = 1
2AB，那么AC : AB 等于（ ）。
A. 2 : 3
B. 3 : 2
C. 3 : 4
3 如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6 =（ ）度。
A. 540
B. 720
C. 800
第15 讲
知识延伸之几何图形
59
4 计算未知角的度数，∠1 =
◦，∠2 =
◦，∠3 =
◦，∠4 =
◦。
5 如图，∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，∠5 = 130 度，那么∠A =
度。
14920090937076
