文档文本内容
共点力的平衡
模块1
单物体平衡
3
模块2
多物体平衡
7
模块3
动态平衡
10
牛顿运动定律
模块1
连接体问题
15
模块2
临界问题
19
模块3
板块传送带
21
万有引力
模块1
万有引力与天体
27
模块2
变轨与双星
32
模块3
可求量问题
35
动能定理
模块1
动能定理
37
模块2
动能定理的应用
39
目录
Contents
机械能
模块1
机械能守恒定律
47
模块2
系统机械能守恒
50
模块3
功能关系
51
动量定理
模块1
动量定理
57
模块2
流体问题
62
动量守恒定律
模块1
碰撞
67
模块2
碰撞满足的条件
74
模块3
爆炸与反冲
75
第1 讲
共点力的平衡
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3
1
1
模块
1
单物体平衡
知识凝炼
1
平衡条件和状态特征：
状态特征：匀速直线运动或静止
平衡条件：∑F=0
2
力的合成分解的法则：平行四边形定则
⑴三力平衡时：任两个力的合力一定与第三个力等大反向；
⑵多力平衡时：
{
∑Fx=0
∑Fy=0
3
动态平衡的条件和特征：
特征：①物体缓慢移动；②物体(或绳子结点) 保持静止，受力逐渐变化
条件：物体或绳子结点受力满足：∑F=0
< 方法点拨>
1
解决单物体定态平衡问题的常用方法：
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4
1
2
处理动态平衡的常用方法：
精讲精练
例1
如图，一只蜗牛沿着葡萄枝缓慢爬行，若葡萄枝的倾斜角为α，则葡萄枝对重力为G 的蜗牛的作用力为
（ ）
A. Gsinα
B. Gcosα
C. 小于G
D. G
例2
正确率：88%
如图所示，将一张A4 纸(质量可忽略不计) 夹在物理书内，书对A4 纸的压力为2N，A4 纸与书之间的动
摩擦因数为0.2，要把A4 纸从书中拉出，拉力至少应为（ ）
A. 0.4N
B. 0.8N
C. 2N
D. 4N
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5
1
例3
如图所示，四个完全相同的轻质弹簧都处于水平状态，它们的右端受到相同拉力F 的作用，若以l1、l2、
l3、l4 依次表示四个弹簧的伸长量，则有（ ）
A. l2 > l1
B. l4 > l3
C. l1 > l3
D. l2 = l4
例4
一质量为M 的探空气球在匀速下降，若气球所受浮力F 始终保持不变，气球在运动过程中所受阻力
仅与速率有关，重力加速度为g。现欲使该气球以同样速率匀速上升，则需从气球吊篮中减少的质量为
（ ）
A. 2(M −F
g )
B. M −2F
g
C. 2M −F
g
D. 0
例5
如图所示，置于水平地面的三脚架上固定着一质量为m 的照相机，三脚架的三根轻质支架等长，与竖直
方向均成30◦角，重力加速度为g，则每根支架中承受的压力大小为（ ）
A. 1
3mg
B. 2
3mg
C.
√
3
6 mg
D. 2
√
3
9 mg
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6
1
例6
正确率：51%
如图所示，一个半球形的碗放在桌面上，碗口水平，O 点为其球心，碗的内表面及碗口均光滑。一根细线
跨在碗口上，线的两端分别系有质量为m1 和m2 的小球。当它们处于平衡状态时，质量为m1 的小球与
O 点的连线与水平线的夹角为α = 60◦。则两小球的质量比m2 : m1 为（ ）
A.
√
3: 3
B.
√
2: 3
C.
√
3: 2
D.
√
2: 2
例7
如图所示，吊在大厅天花板上的电扇所受重力为G，静止时固定杆对它的拉力为F，扇叶水平转动起来
后，杆对它的拉力为F′，则（ ）
A. F = G，F′ = F
B. F = G，F′ > F
C. F = G，F′ < F
D. F′ = G，F′ > F
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7
1
2
模块
2
多物体平衡
知识凝炼
1
多物体平衡的条件和特征：
特征：①多个物体组成的系统处于静止或匀速直线运动；②各个物体都处于平衡状态。
条件：①整体所受合外力为0；②每个物体所受合力均为0。
< 方法点拨>
1
整体法：
2
隔离法：
精讲精练
例8
正确率：26%
如图所示，在恒力F 的作用下，a、b 两物体一起沿粗糙竖直墙面匀速向上运动，则关于它们受力情况的
说法正确的是（ ）
A. a 一定受到4 个力
B. a 可能受到6 个力
C. b 一定受到3 个力
D. b 可能受到2 个力
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8
1
例9
正确率：46%
两刚性球a 和b 的质量分别为ma 和mb，直径分别为da 和db(da > db)。将a、b 球依次放入一竖直放置、
内径为d(da < d < da +db) 的平底圆筒内，如图所示。设a、b 两球静止时对圆筒侧面的压力大小分别为
f1 和f2，筒底所受的压力大小为F。已知重力加速度大小为g。若所有接触面都是光滑的，则（ ）
A. F = (ma +mb)g，f1 = f2
B. F = (ma +mb)g，f1̸ = f2
C. mag < F < (ma +mb)g，f1 = f2
D. mag < F < (ma +mb)g，f1̸ = f2
例10
正确率：65%
“叠罗汉”是一种高难度的杂技，由六人叠成的三层静态造型如图所示，假设每个人的质量均为m，下面
五人弯腰后背部呈水平状态，则最底层正中间的人的一只脚对水平地面的压力约为(重力加速度为g)
（ ）
A. 3
4mg
B. mg
C. 5
4mg
D. 3
2mg
例11
正确率：61%
如图所示，质量分别为m1、m2 两个物体通过轻弹簧连接，在力F 的作用下一起沿水平方向做匀速直线
运动(m1 在地面，m2 在空中)，力F 与水平方向成θ 角。则m1 所受支持力N 和摩擦力f 正确的是
（ ）
A. N = m1g+m2g−F sinθ
B. N = m1g+m2g−F cosθ
C. f = F cosθ
D. f = F sinθ
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9
1
例12
正确率：78%
如图所示，a、b 两个质量相同的球用线连接，a 球用线挂在天花板上，b 球放在光滑斜面上，系统保持静
止，以下图示哪个是正确的（ ）
例13 一质量为m 的物体A 放在固定的粗糙斜面上保持静止，现用水平恒力F 推A，如图所示，但物体A 仍
保持静止状态，则施加F 后（ ）
A. 物体A 所受的摩擦力一定减小
B. 物体A 所受摩擦力的大小可能不变
C. 物体A 所受的弹力一定增加
D. 物体A 所受的合力一定减小
例14 如图所示，倾角为θ 的斜面体C 置于水平地面上，小物块B 置于斜面上，通过细绳跨过光滑的定滑轮
与物体A 相连接，连接B 的一段细绳与斜面平行，已知A、B、C 都处于静止状态。则（ ）
A. B 受到C 的摩擦力可能为零
B. 斜面体C 有沿地面向右滑动的趋势，一定受到地面向右的摩擦力
C. 将细绳剪断，若B 物体依然静止在斜面上，此时水平面对C 的摩擦力为零
D. 将细绳剪断，若B 加速下滑，此时C 一定受到地面向左的摩擦力
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10
1
例15
正确率：50%
如图所示，有5000 个质量均为m 的小球，将它们用长度相等的轻绳依次连接，再将其左端用细绳固定
在天花板上，右端施加一水平力使全部小球静止。若连接天花板的细绳与水平方向的夹角为45◦。则第
2011 个小球与2012 个小球之间的轻绳与水平方向的夹角α 的正切值等于（ ）
A. 2989
5000
B. 2011
5000
C. 2011
2089
D. 2089
2011
3
模块
3
动态平衡
精讲精练
例16
正确率：43%
如图所示，用与竖直方向成θ 角(θ < 45◦) 的倾斜轻绳a 和水平轻绳b 共同固定一个小球，现保持小球
在原位置不动，使绳b 在原竖直平面内逆时针转过2θ 角后固定，则此过程中绳b 的拉力大小变化情况
是（ ）
A. 一直增大
B. 一直减小
C. 先增大后减小
D. 先减小后增大
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11
1
例17 如图所示，小球用细绳系住，绳的另一端固定于O 点，现用水平力F 缓慢推动斜面体，小球在斜面上无
摩擦地滑动，细绳始终处于直线状态，当小球升到接近斜面顶端时细绳接近水平，此过程中斜面对小球
的支持力FN 以及绳对小球的拉力FT 的变化情况是（ ）
A. FN 保持不变，FT 不断增大
B. FN 不断增大，FT 不断减小
C. FN 保持不变，FT 先增大后减小
D. FN 不断增大，FT 先减小后增大
例18 在粗糙水平地面上与墙平行放着一个截面为半圆的柱状物体A，A 与竖直墙之间放一光滑圆球B，整个
装置处于静止状态。现对B 施加一竖直向下的力F，F 的作用线通过球心，设墙对B 的作用力为F1，B
对A 的作用力为F2，地面对A 的作用力为F3，若F 缓慢增大而整个装置仍保持静止，截面如图所示，
在此过程中（ ）
A. F1 保持不变，F3 缓慢增大
B. F1 缓慢增大，F3 保持不变
C. F2 缓慢增大，F3 缓慢增大
D. F2 缓慢增大，F3 保持不变
例19
正确率：32%
如图所示，固定在竖直平面内的光滑圆环的最高点有一个光滑的小孔。质量为m 的小球套在圆环上，一
根细线的下端系着小球，上端穿过小孔用手拉住。现拉动细线，使小球沿圆环缓慢上移。在移动过程中
手对线的拉力F 和环对小球的弹力FN 的大小变化情况是（ ）
A. F 不变，FN 增大
B. F 不变，FN 减小
C. F 减小，FN 不变
D. F 增大，FN 减小
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12
1
例20 表面光滑、半径为R 的半球固定在水平地面上，球心O 的正上方O′ 处有一无摩擦定滑轮，轻质细绳两
端各系一个小球挂在定滑轮上，如图所示。两小球平衡时，若滑轮两侧细绳的长度分别为L1 = 1.2R 和
L2 = 1.5R，则这两个小球的质量之比m1 : m2 为（不计球的大小）（ ）
A. 4 : 5
B. 5 : 4
C. 1 : 1
D. 3 : 5
第2 讲
牛顿运动定律
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15
2
1
模块
1
连接体问题
知识凝炼
1
连接体：两个或两个以上的物体，彼此间有相互作用，加速度相同。
2
内力与外力：
某个力的施力物体属于被选定的研究对象内，这样的力叫内力；
某个力的施力物体属于被选定的研究对象外，这样的力叫外力；
例如：下图中F1 和F2 属于内力，F3 和F4 属于外力。
3
质点系牛顿定律：
对于质量为m1，m2，m3…的物体组成的质点系，其所受合外力与各物体的加速度满足如下关系：
{
∑Fx=m1a1x+m2a2x+m3a3x+...
∑Fy=m1a1y+m2a2y+m3a3y+..
< 方法点拨>
1
对于连接体：
⑴若已知整体的运动情况或受力情况，可先用整体法求加速度，然后用隔离法确定系统的内力；
⑵若已知某个隔离体的受力情况或运动情况，可先用隔离法求加速度，再用整体法求系统所受的合外力；
2
对于质点系：
第一步：使用隔离法确定每个物体的加速度(分解到x 和y 方向上)；
第二步：对质点系进行受力分析，求出质点系所受合力；
第三步：利用质点系牛顿定律，列方程组。
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16
2
精讲精练
例1
如图所示，质量不等的木块A 和B 的质量分别为m1 和m2，置于光滑的水平面上。当水平力F 作用于
左端A 上，两木块一起做匀加速运动时，A、B 间作用力大小为F1。当水平力F 作用于右端B 上，两木
块一起做匀加速运动时，A、B 间作用力大小为F2，则（ ）
A. 在两次作用过程中，木块的加速度的大小相等
B. 在两次作用过程中，F1 +F2 < F
C. 在两次作用过程中，F1 +F2 = F
D. 在两次作用过程中，F1
F2
= m1
m2
例2
正确率：93%
在光滑的水平面上，有两个相互接触的物体如图所示。已知M > m，第一次用水平力F 由左向右推M，
物体间的相互作用力为N1，此时物体加速度为a1；第二次用同样大小的水平力F 由右向左推m，物体
间的相互作用力为N2，此时物体加速度为a2。则（ ）
A. N1 > N2，a1 < a2
B. N1 = N2，a1 = a2
C. N1 < N2，a1 > a2
D. N1 < N2，a1 = a2
例3
如图所示，在光滑水平地面上，水平外力F 拉动小车和木块一起做无相对滑动的加速运动。小车质量为
M，木块质量为m，加速度大小为a，木块和小车之间的动摩擦因数为µ，则在这个过程中，木块受到的
摩擦力大小是（ ）
A. µmg
B.
mF
M +m
C. µ (M +m)g
D. ma
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17
2
例4
如图所示，质量为m2 的物体2 放在正沿平直轨道向右行驶的车厢底板上，并用竖直细绳通过光滑定滑
轮连接质量为m1 的物体1。跟物体1 相连接的绳与竖直方向成θ 角。下列说法中正确的是（ ）
A. 车厢的加速度为gsinθ
B. 绳对物体1 的拉力为m1gcosθ
C. 底板对物体2 的支持力为m2g−m1g
D. 物体2 所受底板的摩擦力为m2gtanθ
例5
如图所示，在光滑的水平面上，A、B 两物体的质量mA = 2mB，A 物体与轻质弹簧相连，弹簧的另一端固
定在竖直墙上，开始时，弹簧处于自由状态，当物体B 沿水平向左运动，使弹簧压缩到最短时，A、B 两物
体间作用力为F，则弹簧给A 物体的作用力的大小为（ ）
A. F
B. 2F
C. 3F
D. 4F
例6
如图所示，一夹子夹住木块，在力F 作用下向上提升，夹子和木块的质量分别为m、M，夹子与木块两侧
面间的最大静摩擦力均为f，若木块不滑动，力F 的最大值是（ ）
A. 2 f(m+M)
M
B. 2f(m+M)
m
C. 2f(m+M)
M
−(m+M)g
D. 2f(m+M)
M
+(m+M)g
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18
2
例7
正确率：57%
质量为M 的木箱放在水平地面上，木箱中有一竖直立杆，一质量为m 的小虫(图中利用圆代替) 沿立杆
以加速度a = 1
2g 匀加速向上爬，则小虫在向上爬的过程中，木箱对地面的压力为（ ）
A. Mg−1
2mg
B. Mg+mg
C. Mg+ 3
2mg
D. Mg+ 1
2mg
例8
如图所示为杂技“顶竿”表演，一人站在地上，肩上扛一质量为M 的竖直竹竿，竿上有一质量为m 的人
可以看成质点，重力加速度为g，当此人沿着竖直竿以加速度a 加速下滑时，竿对地面上的人的压力大
小为（ ）
A. (M +m)g−ma
B. (M +m)g+ma
C. (M +m)g
D. (M −m)g
例9
质量为M 的皮带轮工件放置在水平桌面上，一细绳绕过皮带轮的皮带槽，一端系一质量为m 的重物，
另一端固定在桌面上，如图所示，工件与桌面、绳之间以及绳与桌面边缘之间的摩擦都忽略不计，桌面上
绳子与桌面平行，则重物下落过程中，工件的加速度为（ ）
A.
2mg
M +4m
B.
2mg
M +2m
C. mg
2M
D.
mg
M +m
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19
2
2
模块
2
临界问题
知识凝炼
1
牛顿第二定律：F = ma；
2
牛顿第三定律：两物体间的作用力和反作用力总是等大，反向，作用在同一直线上。
< 方法点拨>
常见临界问题的描述及对应特征：
精讲精练
例10
正确率：48%
一条不可伸长的轻绳跨过质量可忽略不计的定滑轮，绳的一端系一质量M = 5kg 的重物，重物静止于地
面上，有一质量m = 1.0kg 的猴子，从绳的另一端沿绳向上爬。如图所示，不计滑轮摩擦，在重物不离开
地面条件下，猴子向上爬的最大加速度为(取g = 10m/s2)（ ）
A. 2.5m/s2
B. 5m/s2
C. 40m/s2
D. 0.5m/s2
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20
2
例11
完全相同质量均为m 的物块AB 用轻弹簧相连，置于带有挡板C 的固定斜面上。斜面的倾角为θ，弹簧
的劲度系数为k，初始时弹簧处于原长，A 恰好静止。现用一沿斜面向上的力拉A，直到B 刚要离开挡板
C，则此过程中物块A 的位移为(弹簧始终处于弹性限度内)（ ）
A. mg
k
B. mgsinθ
k
C. 2mg
k
D. 2mgsinθ
k
例12 如图所示，在劲度系数为k 的弹簧下端挂有质量为m 的物体，开始用托盘托住物体，使弹簧保持原长，
然后托盘以加速度a 匀加速下降(a < g)，求经过多长时间托盘与物体分离。
例13
正确率：57%
如图所示，光滑水平面上放置质量分别为m 和2m 的四个木块，其中两个质量为m 的木块间用一不可
伸长的轻绳相连，木块间的最大静摩擦力是µmg。现用水平拉力F 拉其中一个质量为2m 的木块，使四
个木块以同一加速度运动，则水平拉力F 的最大值为（ ）(重力加速度为g)
A. 3µmg
5
B. 3µmg
4
C. 3µmg
2
D. 3µmg
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21
2
3
模块
3
板块传送带
知识凝炼
1
传送带
⑴模型特征
一个物体以速度v0(v0 ⩾0) 在另一个匀速运动的物体上开始运动的力学系统可看做“传送带”模型，如图
(a)、(b)、(c) 所示。
⑵建模指导
传送带模型问题包括水平传送带问题和倾斜传送带问题。
①水平传送带问题：求解的关键在于对物体所受的摩擦力进行正确的分析判断。判断摩擦力时要注意比
较物体的运动速度与传送带的速度，也就是分析物体在运动位移x(对地) 的过程中速度是否和传送带速度相
等。物体的速度与传送带速度相等的时刻就是物体所受摩擦力发生突变的时刻。
②倾斜传送带问题：求解的关键在于认真分析物体与传送带的相对运动情况，从而确定其是否受到滑动
摩擦力作用。如果受到滑动摩擦力作用应进一步确定其大小和方向，然后根据物体的受力情况确定物体的运动
情况。当物体速度与传送带速度相等时，物体所受的摩擦力有可能发生突变。
2
板块问题
⑴模型特点：上、下叠放两个物体，并且两物体在摩擦力的相互作用下发生相对滑动。
⑵建模指导
解此类题的基本思路：
①分析滑块和木板的受力情况，根据牛顿第二定律分别求出滑块和木板的加速度；
②对滑块和木板进行运动情况分析，找出滑块和木板之间的位移关系或速度关系，建立方程。特别注意滑
块和木板的位移都是相对地面的位移。
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22
2
精讲精练
例14 如图所示，木块A 的质量为1kg，木块B 的质量为2kg，叠放在水平地面上，木块A、B 间的最大静摩擦
力为1N，木块B 与地面间的动摩擦因数为0.1，今用水平力F 作用于木块B，则保持木块A、B 相对静
止的条件是F 不超过(g = 10m/s2)（ ）
A. 3N
B. 4N
C. 5N
D. 6N
例15
正确率：43%
如图所示，A、B 两物块的质量分别为2m 和m，静止叠放在水平地面上。A、B 间的动摩擦因数为µ，B 与
地面间的动摩擦因数为1
2µ。最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。现对A 施加一水平拉力
F，则（ ）
A. 当F < 2µmg 时，A、B 都相对地面静止
B. 当F = 5
2µmg 时，A 的加速度为1
3µg
C. 当F > 3µmg 时，A 相对B 滑动
D. 无论F 为何值，B 的加速度不会超过1
2µg
例16 如图所示，一足够长的木板静止在粗糙的水平面上，t = 0 时刻滑块从板的左端以速度v0 水平向右滑行，
木板与滑块间存在摩擦，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，滑块的v−t 图像可能是图乙中的（ ）
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23
2
例17
正确率：73%
如图所示的水平传送带静止时，一个小物块A 以某一水平初速度从传送带左端冲上传送带，然后从传
送带右端以一个较小的速度v 滑出传送带；若传送带在皮带轮带动下运动时，A 物块仍以相同的水平速
度冲上传送带，且传送带的速度小于A 的初速度，则（ ）
A. 若皮带轮逆时针方向转动，A 物块仍以速度v 离开传动带
B. 若皮带轮逆时针方向转动，A 物块不可能到达传送带的右端
C. 若皮带轮顺时针方向转动，A 物块离开传送带的速度不可能为v
D. 若皮带轮顺时针方向转动，A 物块离开传送带右端的速度一定大于v
例18 如图所示，一水平的浅色长传送带上放置一质量为m 的煤块(可视为质点)，煤块与传送带之间的动摩
擦因数为µ。初始时，传送带与煤块都是静止的。现让传送带以恒定的加速度a 开始运动，当其速度达
到v 后，便以此速度做匀速运动。经过一段时间，煤块在传送带上留下了一段黑色痕迹后，煤块相对于
传送带不再滑动，关于上述过程，以下判断正确的是(重力加速度为g)（ ）
A. µ 与a 之间一定满足关系µ < a
g
B. 黑色痕迹的长度为(a−µg)v2
2a2
C. 煤块从开始运动到相对于传送带静止经历的时间为
v
µg
D. 煤块与传送带间先有滑动摩擦力，当相对静止后有静摩擦力
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24
2
例19
正确率：37%
如图所示，有一物体从倾斜的传送带顶端由静止下滑，当传送带静止时，物体下滑到底端所用的时间为
t1，当传送带顺时针转动时，物体下滑到底端所用的时间为t2，则（ ）
A. t1 = t2
B. t1 < t2
C. t1 > t2
D. 无法确定
例20 如图所示，传送带与水平面夹角为θ，以速度v0 逆时针匀速转动。在传送带的上端轻轻放置一个质量
为m 的小木块，小木块与传送带间的动摩擦因数µ < tanθ，则图中能客观地反映小木块的速度随时间
变化关系的可能是（ ）
第3 讲
万有引力
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27
3
1
模块
1
万有引力与天体
知识凝炼
1
黄金代换：GM = gR2
2
所有做匀速圆周运动的天体，所需的向心力都来自万有引力。
⑴卫星的轨道平面一定经过地球球心；
⑵由引力提供向心力：
GMm
r2 = ma = mv2
r = mω2r = m(2π
T )
2
r
①向心加速度：a = GM
r2
②环绕速度：v =
√
GM
r
③角速度：ω =
√
GM
r3
④周期：T = 2π
√
r3
GM
3
宇宙速度：
第一宇宙速度：卫星离开地球表面绕地球做匀速圆周运动所需要的最小发射速度，同时也是卫星的最大
环绕速度。
v =
√
GM
R
= √gR
地球的第一宇宙速度为7.9km/s。
第二宇宙速度：卫星脱离地球的引力作用，进入地月系以外的太阳系空间所需要的最小发射速度。地球的
第二宇宙速度为11.3km/s。
第三宇宙速度：卫星脱离太阳系的引力作用，进入太阳系以外的宇宙空间所需要的最小速度。
< 方法点拨>
1
地球上不同位置的重力加速度求解与比较：
⑴高空h 处的重力：G
Mm
(R+h)2 = mg′
⑵物体m 在地下深为d 处的重力(不计自转)：
GMm
R3 (R−d) = mg1，g1 为深为d 的位置的重力加速度；
⑶赤道与两极的重力关系(考虑地球自转)：
mg−mg2 = m4π2
T 2 R
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28
3
g2 表示考虑自转时在赤道表面的重力加速度，R 为地球半径，T 为地球自转周期。
2
同步卫星特点：
⑴同步卫星的轨道平面一定与赤道平面共面；
⑵同步卫星的周期与地球自转周期相同即T = 24h，即角速度ω 也相同；
⑶与地球自转方向相同，高度一定。
由G
Mm
(R+h)2 = m(2π
T )
2
(R+h) ⇒h = 3
√
GMT 2
4π2
−R 代入数值后可得h ≈6R
3
中心天体的质量和密度：
⑴若已知卫星绕地球做匀速圆周运动的周期为T，轨道半径为r，根据万有引力等于向心力，即GMm
r2
=
mr
(
2π
T
)2
，
可求得地球质量M = 4π 2r3
GT 2 。
⑵利用天体的卫星来求天体的密度
设卫星绕天体运动的轨道半径为r，周期为T，天体半径为R，则可列出方程
GMm
r2 = m4π 2
T 2 r，ρ =
M
4
3 π R3 ，得ρ =
M
4
3 π R3 =
4π 2r3
GT 2
4
3 π R3 = 3π r3
GT 2R3 。
当卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r 等于天体半径R，则ρ = 3π
GT 2 。
精讲精练
例1
正确率：84%
各行星绕太阳运转的轨道如图所示，假设图中各行星只受太阳引力作用，并绕太阳做匀速圆周运动。下
列说法中正确的是（ ）
A. 离太阳越近的行星运行周期越小
B. 离太阳越近的行星运行周期越大
C. 离太阳越近的行星角速度越小
D. 各行星运行的角速度相同
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29
3
例2
正确率：59%
如图所示，a 为地球赤道上的物体，b 为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星，c 为地球同步卫
星。关于a、b、c 做匀速圆周运动的说法中正确的是（ ）
A. 角速度的大小关系为ωa = ωc > ωb
B. 向心加速度的大小关系为aa > ab > ac
C. 线速度的大小关系为va = vb > vc
D. 周期关系为Ta = Tc > Tb
例3
甲、乙两颗人造卫星绕地球做圆周运动，周期之比为T1:T2 = 1:8，则它们的轨道半径之比和运动速率之
比分别为（ ）
A. R1:R2 = 1:4,v1:v2 = 2:1
B. R1:R2 = 4:1,v1:v2 = 2:1
C. R1:R2 = 1:4,v1:v2 = 1:2
D. R1:R2 = 4:1,v1:v2 = 1:2
例4
下列关于三种宇宙速度的说法中正确的是（ ）
A. 第一宇宙速度v1 = 7.9km/s，第二宇宙速度v2 = 11.2km/s，则人造卫星绕地球在圆轨道上运行时的
速度大于等于v1，小于v2
B. 美国发射的凤凰号火星探测卫星，其发射速度大于第三宇宙速度
C. 第二宇宙速度是在地面附近使物体可以挣脱地球引力束缚，成为绕太阳运行的人造小行星的最小发
射速度
D. 第一宇宙速度7.9km/s 是人造地球卫星绕地球做圆周运动的最大运行速度
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30
3
例5
若想检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵循同样的规律，在已知月地距离约为地球半
径60 倍的情况下，需要验证（ ）
A. 地球吸引月球的力约为地球吸引苹果的力的
1
602
B. 月球公转的加速度约为苹果落向地面加速度的
1
602
C. 自由落体在月球表面的加速度约为地球表面的1
6
D. 苹果在月球表面受到的引力约为在地球表面的1
60
例6
正确率：58%
地球上极地处的重力加速度为a，赤道处的重力加速度为g，地球自转的角速度为ω1。要使赤道上的物
体“飘”起来，则地球自转的角速度需达到ω2。则ω1 与ω2 的比值为（ ）
A. g
a
B.
√
a+g
a
C.
√
a−g
a
D.
√g
a
例7
正确率：70%
假设地球可视为质量均匀分布的球体。已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为
g；地球自转的周期为T，引力常量为G。地球的密度为（ ）
A. 3π (g0 −g)
GT 2g0
B.
3π g0
GT 2(g0 −g)
C. 3π
GT 2
D. 3π g0
GT 2g
例8
正确率：54%
假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体。矿井深度为d，已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的
引力为零，矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为（ ）
A. 1−d
R
B. 1+ d
R
C.
(
R−d
R
)2
D.
(
R
R−d
)2
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31
3
例9
设地球是一质量分布均匀的球体，O 为地心。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。在下列
四幅图中，能大致描述x 轴上各点的重力加速度g 的分布情况的是（ ）
例10
正确率：60%
英国《新科学家（New Scientist）》杂志评选出了年度世界8 项科学之最，在XTEJ1650−500 双星系统
中发现的最小黑洞位列其中。若某黑洞的半径R 约为45 km，质量M 和半径R 的关系满足M
R = c2
2G
（其c 为光速，G 为引力常量），则该黑洞表面重力加速度的数量级为（ ）
A. 1012m/s2
B. 1010m/s2
C. 108m/s2
D. 1014m/s2
例11
正确率：70%
某地区的地下发现天然气资源，如图所示，在水平地面P 点的正下方有一球形空腔区域内储藏有天然
气。空腔的体积为V，假设该地区岩石均匀分布且密度为ρ，天然气的密度远小于ρ，可忽略不计。如果
没有该空腔，地球表面正常的重力加速度大小为g；已知引力常量为G，球形空腔的球心深度为d，空腔
存在时P 点的重力加速度为（ ）
A. GρV
d2
B. g
C. g+ GρV
d2
D. g−GρV
d2
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32
3
2
模块
2
变轨与双星
知识凝炼
航天器的变轨：
1
由内侧椭圆轨道或圆轨道进入外侧圆轨道或椭圆轨道时，航天器需要在轨道相切处加速，使得航天器在
该处受到的引力小于该处需要的向心力；
2
由外侧椭圆轨道或圆轨道进入内侧圆轨道或椭圆轨道时，航天器需要在轨道相切处减速，使得航天器在
该处受到的引力大于该处需要的向心力；
3
在相同位置，航天器受到的引力相等，航天器运动的加速度相同。
精讲精练
例12
正确率：91%
我国的“神舟八号”飞船与目标飞行器“天宫一号”成功实现对接，这在我国航天史上具有划时代意义。
假设“神舟八号”飞船从椭圆轨道近地点O 到达椭圆轨道的远地点P，在P 点进行变轨，此后它的运行
轨道变成圆形轨道，如图所示，则“神舟八号”飞船（ ）
A. 在由椭圆轨道变成圆形轨道过程中速率始终大于7.9km/s
B. 在Q 点的加速度比沿圆轨道运动时过P 点的加速度小
C. 在由椭圆轨道变成圆形轨道过程中机械能不变
D. 在Q 点的机械能等于沿椭圆轨道运动时过P 点的机械能
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33
3
例13 2013 年12 月2 日我国成功地发射“嫦娥三号”探月卫星，其飞行轨道如图所示，在环月段时需由圆形
轨道I 变换到椭圆轨道II，已知圆形轨道I 半径为r、周期为T，万有引力常量为G，下列说法正确的是
（ ）
A. 探月卫星在P 处变轨进入椭圆轨道时必须点火加速
B. 由题中条件可以计算出月球的质量
C. 探月卫星沿Ⅰ、Ⅱ两轨道运行时经P 点的机械能相等
D. 探月卫星在轨道Ⅰ上运行的周期小于在轨道Ⅱ上运行的周期
例14
正确率：56%
宇宙中，两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有引力作用互相绕转，称之为双星系统，设某双星
系统绕其连线上的O 点做匀速圆周运动，如图所示。若AO < OB，则（ ）
A. 星球A 的向心力一定大于B 的向心力
B. 星球A 的线速度一定大于B 的线速度
C. 星球A 的质量一定大于B 的质量
D. 双星的总质量一定，双星之间的距离越大，其转动周期越大
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3
例15
正确率：58%
经长期观测，人们在宇宙中已经发现了双星系统，双星系统由两颗相距较近的恒星组成，每个恒星的半
径远小于两个星体之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体，如图所示，两颗星球组成的双星系统，
在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O 点做周期相同的匀速圆周运动，现测得两颗星之间的距
离为L，质量之比为m1∶m2 = 3∶2，下列说法中正确的是（ ）
A. m1、m2 做圆周运动的线速度之比为3∶2
B. m1、m2 做圆周运动的角速度之比为3∶2
C. m1 做圆周运动的半径为2
5L
D. m2 做圆周运动的半径为2
5L
例16
正确率：47%
2017 年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。根据科学家们复原的过程，在两颗中子星
合并前约100s 时，它们相距约400km，绕二者连线上的某点每秒转动12 圈。将两颗中子星都看作是质
量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星
（ ）
A. 质量之积
B. 质量之和
C. 速率之和
D. 各自的自转角速度
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35
3
3
模块
3
可求量问题
精讲精练
例17 “嫦娥三号”探测器已成功在月球表面预选着陆区实现软着陆，
“嫦娥三号”着陆前在月球表面附近绕月
球做匀速圆周运动，经测量得其周期为T。已知引力常量为G，根据这些数据可以估算出（ ）
A. 月球的质量
B. 月球的半径
C. 月球的平均密度
D. 月球表面的重力加速度
例18 木星绕太阳的公转，以及卫星绕木星的公转，均可以看做匀速圆周运动。已知万有引力常量，并且已经
观测到木星和卫星的公转周期。要求得木星的质量，还需要测量的物理量是（ ）
A. 太阳的质量
B. 卫星的质量
C. 木星绕太阳做匀速圆周运动的轨道半径
D. 卫星绕木星做匀速圆周运动的轨道半径
例19
正确率：82%
已知万有引力常量G，根据下列哪组数据可以计算出地球的质量（ ）
A. 卫星距离地面的高度和其运行的周期
B. 月球自转的周期和月球的半径
C. 地球表面的重力加速度和地球半径
D. 地球公转的周期和日地之间的距离
第4 讲
动能定理
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37
4
1
模块
1
动能定理
知识凝炼
动能定理：∑W = ∆Ek
表达式一：W1 +W2 +W3 +... = 1
2mv22 −1
2mv12
表述：物体所受各力对物体做功的代数和，等于物体动能的变化量；
表达式二：Fl cosθ = 1
2mv22 −1
2mv12(其中F 为物体所受合力)
表述：物体所受合力对物体所做的功，等于物体动能的变化量；
< 方法点拨>
1
动能定理处理竖直面圆周运动的方法：
2
动能定理处理变力做功的方法：
精讲精练
例1
正确率：69%
如图所示，AB 为1
4 圆弧轨道，BC 为水平直轨道，圆弧的半径为R，BC 的长度也是R。一质量为m 的物
体，与两个轨道的动摩擦因数都为µ，当它由轨道顶端A 从静止下滑时，恰好运动到C 处停止。重力加
速度大小为g，物体在AB 段克服摩擦力做的功为（ ）
A. 1
2µmgR
B. 1
2mgR
C. mgR
D. (1−µ)mgR
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38
4
例2
正确率：70%
在平直公路上，汽车由静止开始做匀加速运动，当速度达到vm 后，立即关闭发动机直至静止，v −t 图
象如图所示，设汽车的牵引力为F，摩擦力为Ff，全程中牵引力做功为W1，克服摩擦力做功为W2，则
（ ）
A. F : Ff = 1 : 3
B. W1 : W2 = 1 : 1
C. F : Ff = 4 : 1
D. W1 : W2 = 1 : 3
例3
如图所示，高h 的光滑斜面，一质量为m 的物块，在沿斜面向上的恒力F 作用下，能匀速沿斜面向上运
动。若把此物块放在斜面顶端，用2F 的恒力沿斜面向下拉动，使其由静止向下滑动，滑至底端时其动能
的大小为（ ）
A. 2mgh
B. 3mgh
C. 2Fh
D. 3Fh
例4
正确率：40%
如图所示，电梯质量为M，地板上放置一质量为m 的物体。钢索拉电梯由静止开始向上加速运动，当上
升高度为H 时，速度达到v，下列说法正确的是（ ）
A. 地板对物体的支持力做的功等于1
2mv2
B. 地板对物体的支持力做的功等于mgH
C. 钢索的拉力做的功等于1
2 (M +m)v2 +(M +m)gH
D. 合力对电梯M 做的功等于1
2Mv2
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39
4
例5
如图甲所示，在水平地面上放置一个质量m = 4kg 的物体，让其在随位移均匀减小的水平推力作用下运
动，推力随位移x 变化的图象如图乙所示，已知物体与地面间的动摩擦因数µ = 0.5，g = 10m/s2，下列说
法正确的是（ ）
A. 物体先做加速运动，推力撤去时开始做减速运动
B. 物体在水平面上运动的最大位移是10m
C. 物体运动的最大速度为2
√
15m/s
D. 物体在运动中的加速度先变小后不变
2
模块
2
动能定理的应用
精讲精练
例6
如图所示，在外力作用下某质点运动的v−t 图象为正弦曲线。从图中可以判断（ ）
A. 在0˜t1 时间内，外力做正功
B. 在0˜t1 时间内，外力的功率逐渐增大
C. 在t2 时刻，外力的功率最大
D. 在t1˜t3 时间内，外力做的总功为零
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40
4
例7
正确率：51%
小球被绳系住在光滑的水平面上做匀速圆周运动，当绳子的拉力由F 增大到8F 时，圆周运动的半径从
r 减小到r
3，在这一过程中拉力所做的功是（ ）
A. 4Fr
B. 7
2Fr
C. 5
6Fr
D. 3
2Fr
例8
正确率：60%
如图，光滑圆轨道固定在竖直面内，一质量为m 的小球沿轨道做完整的圆周运动。已知小球在最低点时
对轨道的压力大小为N1，在最高点时对轨道的压力大小为N2。重力加速度大小为g，则N1 −N2 的值为
（ ）
A. 3mg
B. 4mg
C. 5mg
D. 6mg
例9
正确率：56%
如图所示，有一方向水平向右的匀强电场，一个质量为m、带电量为+q 的小球以初速度v0 从a 点竖直
向上射入电场中。小球通过电场中b 点时速度大小为2v0，方向与电场方向一致，则ab 两点间的电势差
为（ ）
A. mv02
2q
B. 3mv02
q
C. 3mv02
2q
D. 2mv02
q
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41
4
例10 如图所示，在场强大小为E 的匀强电场中，一根不可伸长的绝缘细线一端拴一个质量为m，电荷量为q
的带负电的小球，另一端固定在O 点，把小球拉到使细线水平的位置A，然后将小球由静止释放，小球
沿弧线运动到细线与水平方向成θ = 60◦的位置B 时速度为零，以下说法正确的是（ ）
A. 小球重力与电场力的大小关系是qE =
√
3mg
B. 小球重力与电场力的大小关系是mg =
√
3qE
C. 小球在B 点时，细线拉力T = 2qE
D. 小球在B 点时，细线拉力T =
√
3mg
例11
正确率：63%
如图，一半径为R、粗糙程度处处相同的半圆形轨道竖直固定放置，直径POQ 水平。一质量为m 的质点
自P 点上方高度R 处由静止开始下落，恰好从P 点进入轨道。质点滑到轨道最低点N 时，对轨道的压
力为4mg，g 为重力加速度的大小。用W 表示质点从P 点运动到N 点的过程中克服摩擦力所做的功。
则（ ）
A. W = 1
2mgR，质点恰好可以到达Q 点
B. W > 1
2mgR，质点不能到达Q 点
C. W = 1
2mgR，质点到达Q 点后，继续上升一段距离
D. W < 1
2mgR，质点到达Q 点后，继续上升一段距离
高三物理·目标985 复习班（全国）·秋
42
4
例12
正确率：87%
如图所示，小球从离地高为H 的位置A 由静止释放，从C 点切入半圆轨道后最多能上升到离地面高为
h 的B 位置。再由B 位置下落，再经轨道由C 点滑出上升到离地高为h′ 的位置，速度减为零，不计空气
阻力，则（ ）
A. (H −h) > (h−h′)
B. (H −h) < (h−h′)
C. (H −h) = (h−h′)
D. 不能确定(H −h) 与(h−h′) 的大小关系
例13 如图是某缓冲装置，劲度系数足够大的轻质弹簧与直杆相连，直杆可在固定的槽内移动，与槽间的滑动
摩擦力恒为f，直杆质量不可忽略。一质量为m 的小车以速度v0 撞击弹簧，最终以速度v 弹回。直杆
足够长，且直杆与槽间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，不计小车与地面间的摩擦，则（ ）
A. 小车被弹回时速度v 一定小于v0
B. 直杆在槽内移动的距离等于1
f
(
1
2mv02 −1
2mv2
)
C. 直杆在槽内向右运动时，小车与直杆始终保持相对静止
D. 弹簧的弹力可能大于直杆与槽间的最大静摩擦力
例14 将小球由地面竖直上抛，上升的最大高度为H，设所受阻力大小恒定，地面为零势能面。在上升至离地
高度h 处，小球的动能是势能的2 倍，在下落至离地高度h 处，小球的势能是动能的2 倍，则h 等于
（ ）
A. H
9
B. 2H
9
C. 3H
9
D. 4H
9
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43
4
例15 蹦床比赛分成预备运动和比赛动作两个阶段。最初，运动员静止站在蹦床上，在预备运动阶段，经过若
干次蹦跳。逐渐增加上升高度。最终达到完成比赛动作所需的高度，此后，进入比赛动作阶段。把蹦床简
化为一个竖直放置的轻弹簧，弹力大小F = kx(x 为床面下沉的距离，k 为常量)。质量m = 50kg 的运动
员静止站在蹦床上，床面下沉x0 = 0.10m；在预备运动中，假定运动员所做的总功W 全部用于增加其机
械能，在比赛动作中，把该运动员视作质点，其每次离开床面作竖直上抛运动的腾空时间均为∆t = 2.0s，
设运动员每次落下使床面压缩的最大深度均为x1，取重力加速度g = 10m/s2，忽略空气阻力的影响。
（1）求常量k，并在图中画出弹力F 随x 变化的示意图；
（2）求在比赛动作中，运动员离开床面后上升的最大高度hm；
（3）根据F −x 图象可以确定弹力做功的规律，在此基础上，求x1 和W 的值。
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44
4
例16 如图甲所示，倾角θ = 37◦的粗糙斜面固定在水平面上，斜面足够长。一根轻弹簧一端固定在斜面的
底端，另一端与质量m = 1.0kg 的小滑块(可视为质点) 接触，滑块与弹簧不相连，弹簧处于压缩状态。
当t = 0 时释放滑块。在0 ∼0.24s 时间内，滑块的加速度a 随时间t 变化的关系如图乙所示。已知
弹簧的劲度系数k = 2.0 × 102N/m，当t = 0.14s 时，滑块的速度v1 = 2.0m/s。g = 10m/s2，sin37◦= 0.6，
cos 37◦= 0.8。弹簧弹性势能的表达式为Ep = 1
2kx2(式中k 为弹簧的劲度系数，x 为弹簧的形变量)。求:
（1）斜面对滑块摩擦力的大小f。
（2）t1 = 0.14s 时滑块与出发点间的距离d。
（3）在0 ∼0.44s 时间内，摩擦力做的功W。
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45
4
例17 如图所示，两个半圆柱A、B 紧靠着静置于水平地面上，其上有一光滑圆柱C，三者半径均为R，C 的质
量为m，A、B 的质量都为m
2 ，与地面的动摩擦因数均为µ。现用水平向右的力拉A，使A 缓慢移动，直
至C 恰好降到地面。整个过程中B 保持静止。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。求：
（1）未拉A 时，C 受到B 作用力的大小F。
（2）动摩擦因数的最小值µmin。
（3）A 移动的整个过程中，拉力做的功W。
第5 讲
机械能
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47
5
1
模块
1
机械能守恒定律
知识凝炼
1
机械能守恒定律：Ek1 +Ep1 = Ek2 +Ep2 或∆Ek +∆Ep = 0
表述：当系统只有重力或系统内弹力做功时，系统的机械能总量保持不变。
2
功能关系：W = ∆E
表述：系统所受的其他力(除重力和系统内弹力) 做的功，等于系统机械能的变化量。
< 方法点拨>
1
机械能守恒定律的使用流程：
2
满足机械能守恒定律的轻绳或轻杆连接的系统的运动或能量问题：
3
功能关系：
当系统的机械能不守恒时，通常使用功能关系来列式：
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48
5
精讲精练
例1
在儿童乐园的蹦床项目中，小孩在两根弹性绳和弹性床的协助下实现上下弹跳，如图所示，某次蹦床活
动中小孩静止时处于O 点，当其弹跳到最高点A 后下落可将蹦床压到最低点B，小孩可看成质点，不计
空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A. 从A 运动到O，小孩重力势能减少量大于动能增加量
B. 从O 运动到B，小孩动能减少量等于蹦床弹性势能增加量
C. 从A 运动到B，小孩机械能减少量小于蹦床弹性势能增加量
D. 若从B 返回到A，小孩机械能增加量等于蹦床弹性势能减少量
例2
如图，一质量为M 的光滑大圆环，用一细轻杆固定在竖直平面内；套在大环上质量为m 的小环(可视为
质点)，从大环的最高处由静止滑下，重力加速度大小为g，当小环滑到大环的最低点时，大环对轻杆拉力
的大小为（ ）
A. Mg−5mg
B. Mg+mg
C. Mg+5mg
D. Mg+10mg
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49
5
例3
如图所示，质量为m 的物体，重力加速度大小为g，以某一初速度从A 点向下沿光滑的轨道运动，不计
空气阻力，若物体通过轨道最低点B 时的速度为3√gR，求：
（1）物体在A 点时的速度大小。
（2）物体离开C 点后还能上升的高度。
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50
5
2
模块
2
系统机械能守恒
精讲精练
例4
内壁光滑的环形凹槽半径为R，固定在竖直平面内，一根长度为
√
2R 的轻杆，一端固定有质量为m 的
小球甲，另一端固定有质量为2m 的小球乙，将两小球放入凹槽内，小球乙位于凹槽的最低点，如图所
示。由静止释放后（ ）
A. 下滑过程中甲球减少的机械能总等于乙球增加的机械能
B. 下滑过程中甲球减少的重力势能总等于乙球增加的重力势能
C. 杆从左向右滑时，甲球无法下滑到凹槽的最低点
D. 杆从右向左滑回时，乙球一定能回到凹槽的最低点
例5
如图，质量分别为m 和3m 的小球A 和B，系在长为L 的细线两端，桌面水平光滑，高h(h < L)，A 球无
初速度从桌边滑下，落在沙地上静止不动，则B 球离开桌边时的速度为（ ）
A.
√
gh
2
B. √2gh
C.
√
gh
3
D.
√
gh
6
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51
5
例6
正确率：59%
质量为m 的人造地球卫星与地心的距离为r 时，引力势能可表示为Ep = −GMm
r
，其中G 为引力常量，
M 为地球质量。该卫星原来在半径为R1 的轨道上绕地球做匀速圆周运动，由于受到极稀薄空气的摩擦
作用，飞行一段时间后其圆周运动的半径变为R2，此过程中因摩擦而产生的热量为（ ）
A. GMm
(
1
R2
−1
R1
)
B. GMm
(
1
R1
−1
R2
)
C. GMm
2
(
1
R2
−1
R1
)
D. GMm
2
(
1
R1
−1
R2
)
3
模块
3
功能关系
精讲精练
例7
正确率：47%
一质量均匀不可伸长的绳索，重力为G，A、B 两端固定在天花板上，如图所示，现在最低点施加一竖直向
下的力，将最低点缓慢拉至D 点，在此过程中，绳的重心位置（ ）
A. 逐渐升高
B. 逐渐降低
C. 降低后升高
D. 始终不变
例8
某人用手将1kg 的物体由静止向上提起1m，这时物体的速度为2m/s（g 取10m/s2），则下列说法正确的
是（ ）
A. 手对物体做功12J
B. 合力做功2J
C. 合力做功12J
D. 物体克服重力做功10J
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52
5
例9
正确率：72%
质量为m 的物体，由静止开始下落，由于阻力作用，下落的加速度为4
5g，在物体下落h 的过程中，下列
说法中错误的是（ ）
A. 物体的动能增加了4
5mgh
B. 物体的机械能减少了4
5mgh
C. 物体克服阻力所做的功为1
5mgh
D. 物体的重力势能减少了mgh
例10
正确率：44%
应用物理知识分析生活中的常见现象，可以使物理学习更加有趣和深入。例如人原地起跳时，总是身体
弯曲，略下蹲，再猛然蹬地，身体打开，同时获得向上的初速度，双脚离开地面。从开始蹬地到双脚离开
地面的整个过程中，下列分析不正确的是（ ）
A. 地面对人的支持力始终等于重力
B. 地面对人的支持力始终大于重力
C. 人原地起跳过程中获得的动能来自于地面
D. 人与地球所组成的系统的机械能是守恒的
例11
如图所示，在绝缘的斜面上方存在着沿水平向右的匀强电场，斜面上的带电金属块沿斜面滑下，已知在
金属块滑下的过程中动能增加了12J，金属块克服摩擦力做功8J，重力做功24J，则以下判断正确的是
（ ）
A. 金属块带正电荷
B. 金属块克服电场力做功8J
C. 金属块的机械能减少12J
D. 金属块的电势能减少4J
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53
5
例12 如图所示，在某竖直平面内有一水平向右的匀强电场，场强E = 1×104N/C。场内有一半径R = 2m 的光
滑竖直绝缘环形轨道，轨道的内侧有一质量为m = 0.4kg、带电量为q = +3 × 10−4C 的小球，它恰能沿
圆环做圆周运动。取圆环的最低点为重力势能和电势能的零势能点。取g = 10m/s2，则重力势能和电势
能的和的最小值E总min =
J。
例13
正确率：57%
如图，一质量为m，长度为l 的均匀柔软细绳PQ 竖直悬挂。用外力将绳的下端Q 缓慢地竖直向上拉起
至M 点，M 点与绳的上端P 相距1
3l。重力加速度大小为g。在此过程中，外力做的功为（ ）
A. 1
9mgl
B. 1
6mgl
C. 1
3mgl
D. 1
2mgl
例14 如图所示，倾角为30◦的固定斜面上，质量为m 的物块在恒定拉力作用下沿斜面以加速度a = g
2 向上
加速运动，重力加速度为g。物块沿斜面运动的距离为x 的过程，下列说法正确的是（ ）
A. 拉力做功为1
2mgx
B. 重力势能增加mgx
C. 动能增加1
4mgx
D. 机械能增加mgx
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54
5
例15 如图所示，某物体以100J 的初动能从斜面底端A 处开始向上滑行，当它向上滑行到B 点时，动能减少
到20J，该过程机械能减少了32J。如果斜面足够长，当该物体回到斜面底端时的动能将是（ ）
A. 20J
B. 10J
C. 36J
D. 18J
例16 如图所示，木块静止在光滑水平桌面上，一子弹水平射入木块的深度为d 时，子弹与木块相对静止，在子
弹射入的过程中，木块沿桌面移动的距离为l，木块对子弹的平均阻力为Ff ，那么在这一过程中（ ）
A. 木块的机械能增量为Ff l
B. 子弹的机械能减少量为Ff (l +d)
C. 系统的机械能减少量为Ff d
D. 系统的机械能减少量为Ff (l +d)
例17 如图所示，传送带以恒定速率v 运动，现将质量都是m 的小物体甲、乙(视为质点) 先后轻轻放在传送带
的最左端，甲到达A 处时恰好达到速率v，乙到达B 处时恰好达到速率v。则下列说法正确的是（ ）
A. 甲、乙两物块在传送带上加速运动时具有的加速度相同
B. 甲、乙两物块在传送带上加速运动时间相等
C. 传送带对甲、乙两物体做功相等
D. 乙在传送带上滑行产生的热量与甲在传送带上滑行产生的热量不相等
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55
5
例18
正确率：47%
如图所示，传送带以初速度v0 匀速运动。将质量为m 的物体无初速度放在传送带上的A 端，物体将被
传送带带到B 端，已知物体到达B 端之前已与传送带相对静止，则下列说法正确的是（ ）
A. 传送带对物体做功为1
2mv02
B. 传送带克服摩擦力做功1
2mv02
C. 电动机由于传送物体多消耗的能量为1
2mv02
D. 在传送物体过程中产生的热量为1
2mv02
第6 讲
动量定理
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57
6
1
模块
1
动量定理
知识凝炼
1
动量：物体的质量与速度的乘积，是矢量。
定义式：p = mv；单位：kg·m/s
2
冲量：力与作用时间的乘积，是矢量。
定义式：I = F ·t；单位：N·s
3
动量定理：
物体所受合力的冲量等于物体动量的变化量。
表达式：Ft = mv2 −mv1
< 方法点拨>
使用动量定理的基本步骤：
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58
6
精讲精练
例1
正确率：73%
如图所示，p、p′ 分别表示物体受到作用力前后的动量，短线表示的动量大小为15kg·m/s，长线表示的动
量大小为30kg·m/s，箭头表示动量的方向。在下列所给的四种情况下，物体动量改变量相同的是（ ）
A. ①②
B. ①③
C. ②④
D. ③④
例2
正确率：48%
在课堂中，老师用如图所示的实验研究平抛运动。A、B 是质量相等的两个小球，处于同一高度。用小锤
打击弹性金属片，使A 球沿水平方向飞出，同时松开B 球，B 球自由下落。某同学设想在两小球下落
的空间中任意选取两个水平面1、2，小球A、B 在通过两水平面的过程中，动量的变化量分别为∆pA 和
∆pB，动能的变化量分别为∆EkA 和∆EkB，忽略一切阻力，下列判断正确的是（ ）
A. ∆pA = ∆pB，∆EkA = ∆EkB
B. ∆pA̸ = ∆pB，∆EkA̸ = ∆EkB
C. ∆pA̸ = ∆pB，∆EkA = ∆EkB
D. ∆pA = ∆pB，∆EkA̸ = ∆EkB
例3
一物体在合外力F 的作用下从静止开始做直线运动，合外力方向不变，大小随时间的变化如图所示，设
该物体在t0 和2t0 时刻，物体的动能分别为Ek1、Ek2，力F 的冲量分别为I1、I2，则（ ）
A. Ek2 = 9Ek1，I2 = 3I1
B. Ek2 = 3Ek1，I2 = 3I1
C. Ek2 = 8Ek1，I2 = 4I1
D. Ek2 = 3Ek1，I2 = 2I1
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59
6
例4
古时有“守株待兔”的寓言，设兔子的头部受到大小等于自身体重的打击力时即可致死，并设兔子与树桩
作用时间为0.2s，则被撞死的兔子其奔跑的速度可能为(g = 10m/s2)（ ）
A. 1.5m/s
B. 2m/s
C. 1m/s
D. 2.5m/s
例5
正确率：43%
如图所示，两个质量相等的物体从同一高度沿倾角不同的两个光滑斜面由静止自由滑下，到达斜面底端
的过程中（ ）
A. 两物体所受重力冲量相同
B. 两物体所受合力冲量不同
C. 两物体到达斜面底端时动量相同
D. 两物体到达斜面底端时动量不同
例6
如图所示，ad、bd、cd 是竖直面内三根固定的光滑细杆，a、b、c、d 位于同一圆周上，a 点为圆周的最高点，
d 点为圆周的最低点，每根杆上都套着一个质量相同的小滑环（图中未画出），三个滑环分别从a、b、c
处释放（初速度为零），关于它们下滑的过程，下列说法中正确的是（ ）
A. 重力对它们的冲量相同
B. 弹力对它们的冲量相同
C. 合外力对它们的冲量相同
D. 它们的动能增量相同
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6
例7
正确率：49%
如图所示，质量为m 的小球从距离地面高H 的A 点由静止开始释放，落到地面上后又陷入泥潭中，由
于受到阻力作用到达距地面深度为h 的B 点速度减为零。不计空气阻力，重力加速度为g。关于小球下
落的整个过程，下列说法中正确的有（ ）
A. 小球的机械能减少了mg(H +h)
B. 小球克服阻力做的功为mgh
C. 小球所受阻力的冲量大于m√2gH
D. 小球动量的改变量等于所受阻力的冲量
例8
正确率：59%
水平推力F1 和F2 分别作用于水平面上等质量的a、b 两物体上，作用一段时间后撤去推力，物体将继
续运动一段时间后停止，两物体的v−t 图像如图所示，图中AB//CD，则（ ）
A. F1 的冲量大于F2 的冲量
B. F1 的冲量等于F2 的冲量
C. 两物体受到的摩擦力大小相等
D. 两物体受到的摩擦力大小不等
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61
6
例9
将物体竖直向上抛出，假设运动过程中空气阻力大小不变，其速度–时间图像如图，则物体的空气阻力
和重力之比为(g = 10m/s2)（ ）
A. 1 : 10
B. 10 : 1
C. 9 : 1
D. 8 : 1
例10
正确率：43%
物体A 和B 用轻绳相连挂在轻质弹簧下静止不动，如图甲所示，A 的质量为m，B 的质量为M，当连接
A、B 的绳突然断开后，物体A 上升经某一位置时的速度大小为v，这时物体B 下落速度大小为u，如图
乙所示，在这段时间里，弹簧的弹力对物体A 的冲量为（ ）
A. mv
B. mv−Mu
C. mv+Mu
D. mv+mu
例11
一列火车沿水平轨道匀速前进，火车的总质量为M，在车尾，有一节质量为m 的车厢脱钩。当列车司机
发现时，列车已行驶时间t，于是他立即关闭发动机。如果列车所受阻力与其重力成正比，且关闭发动机
前，机车牵引力恒定，求当列车两部分都停止运动时，机车比末节车厢多运动了多长时间？
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62
6
2
模块
2
流体问题
知识凝炼
流体连续性原理：
连续流动的液体或气体，其体积流量处处相等：Q = v1S1 = v2S2。
< 方法点拨>
处理流体问题的基本步骤：
精讲精练
例12 采煤中有一种方法是用高压水流将煤层击碎来采煤。今有一采煤水枪，由枪口射出的高压水流速度为
v，设水流垂直射向煤层的竖直表面，随即顺煤壁竖直流下，求水对煤层的压强(水的密度为ρ)。
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63
6
例13
正确率：71%
如图所示，一个下面装有轮子的贮气瓶停放在光滑的水平面上，左端与竖直墙壁接触，现打开贮气瓶右
端的阀门，气体以速度v 向外喷出，喷口面积为S，气体密度为ρ，则气体刚喷出时，贮气瓶左端对竖直
墙壁的作用力大小为（ ）
A. ρvS
B. ρv2S
C. 1
2ρv2S
D. ρv2
S
例14
正确率：63%
太空飞船在宇宙空间飞行时，会遇到太空尘埃的碰撞而受到阻碍作用。设单位体积的太空均匀分布尘
埃n 颗，每颗平均质量为m，尘埃的速度可忽略，飞船的横截面积为S，与尘埃碰撞后，将尘埃完全黏住，
当飞船维持恒定的速率v 飞行时，飞船引擎需提供的平均推力为（ ）
A. nmSv2
2
B. nmSv2
C. 3nmSv2
2
D. nmSv2
3
例15
正确率：92%
质量为m、电荷量为q 的带正电的小物块在磁感应强度为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场中，沿动摩
擦因数为µ 的绝缘水平面以初速度v0 开始向左运动，如图所示。物块经时间t 移动距离s 后停了下
来，设此过程中q 不变，则（ ）
A. s > v2
0
2µg
B. s < v2
0
2µg
C. t >
mv0
µ (mg+qv0B)
D. t <
mv0
µ (mg+qv0B)
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6
例16 我国自主研制的200mm 离子电推进系统，已经通过我国“实践九号”卫星空间飞行试验验证，有望在
2015 年全面应用于我国航天器。离子电推进系统的核心部件为离子推进器，它采用喷出带电离子的方
式实现飞船的姿态和轨道的调整，具有大幅减少推进燃料消耗、操控更灵活、定位更精准等优势。离子
推进器的工作原理如图所示，推进剂氙原子Q 喷注入腔室C 后，被电子枪G 射出的电子碰撞而电离，
成为带正电的氙离子。氙离子从腔室C 中飘移过栅电极A 的速度可忽略不计，在栅电极A、B 之间的电
场中加速，并从栅电极B 喷出。在加速氙离子的过程中飞船获得推力。已知栅电极A、B 之间的电压为
U，氙离子的质量为m、电荷量为q。
（1）将该推进器固定在地面上进行试验。求氙离子经AB 之间电场加速后，通过栅电极B 时的速度v 的
大小。
（2）配有该离子推进器的飞船的总质量为M，现需要对飞船运行方向作一次微调，即通过推进器短暂工
作让飞船在与原速度垂直方向上获得一很小的速度∆v，此过程中可认为氙离子仍以第（1）问中所
求的速度通过栅电极B。推进器工作时飞船的总质量可视为不变。求推进器在此次工作过程中喷射
的氙离子数目N。
（3）可以用离子推进器工作过程中产生的推力与AB 之间电场对氙离子做功的功率的比值S 来反映推
进器的工作情况。通过计算说明采用哪些措施可以增大S，并对增大S 的实际意义说出你的看法。
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65
6
例17 研究物理问题的方法是运用现有的知识问题做深入的学习和研究，找到解决的思路与方法，例如：模型
法、等效法、分析法、图像法。掌握并能运用这些方法在一定程度上比习得物理知识更加重要。
如图所示，空间有一个范围足够大的匀强磁场，磁感应强度为B，一个质量为m、电荷量为+q 的带电小
圆环套在一根固定的绝缘竖直细杆上，杆足够长，环与杆的动摩擦因数为µ。现使圆环以初速度v0 向
上运动，经时间t 圆环回到出发位置。不计空气阻力。已知重力加速度为g。求当圆环回到出发位置时
速度v 的大小。
第7 讲
动量守恒定律
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67
7
1
模块
1
碰撞
知识凝炼
1
动量守恒定律：
内容：系统在不受外力或所受合外力为0 的条件下，系统的总动量保持不变。
条件：
⑴系统所受合力为0 或不受外力；
⑵系统所受外力远小于内力，或内力的作用时间极短；
表达式：m1v1 +m2v2 = m1v1′ +m2v2′
2
碰撞：
⑴弹性碰撞：碰撞前后动量守恒，机械能守恒；
动量守恒：m1v1 +m2v2 = m1v1′ +m2v2′
机械能守恒：1
2m1v12 + 1
2m2v22 = 1
2m1v1′2 + 1
2m2v2′2
碰后：v
′
1 = (m1 −m2)v1 +2m2v2
m1 +m2
；v
′
2 = (m2 −m1)v2 +2m1v1
m1 +m2
⑵完全非弹性碰撞：碰撞前后动量守恒，机械能损失最大，碰后共速；
动量守恒：m1v1 +m2v2 = (m1 +m2)v′
机械能损失最大：∆Emax = 1
2m1v12 + 1
2m2v22 −1
2 (m1 +m2)v′2
⑶一般碰撞：碰撞前后动量守恒，机械能损失但非最大，碰后不共速；
动量守恒：m1v1 +m2v2 = m1v1′ +m2v2′
能量守恒：∆E = 1
2m1v12 + 1
2m2v22 −
(
1
2m1v1′2 + 1
2m2v2′2
)
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7
< 方法点拨>
1
动量守恒定律使用的基本流程：
2
解决碰撞问题的基本步骤：
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69
7
精讲精练
例1
正确率：74%
下列四幅图所反映的物理过程，系统动量守恒的是（ ）
例2
正确率：39%
在光滑水平面上A、B 两小车中间有一弹簧，如图所示，用手抓住小车并将弹簧压缩后使小车处于静止
状态，将两小车及弹簧看作一个系统，下列说法中不正确的是（ ）
A. 两手同时放开后，系统总动量始终为零
B. 先放开左手，再放开右手后，动量不守恒
C. 先放开左手，再放开右手后，总动量向左
D. 无论何时放手，两手放开后，在弹簧恢复原长的过程中，系统总动量都保持不变，但系统的总动量不
一定为零
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70
7
例3
正确率：44%
如图所示，在质量为M 的小车中挂有一单摆，摆球的质量为m0，小车和单摆以恒定的速度v 沿光滑水
平地面运动，与位于正对面的质量为m 的静止木块发生碰撞，碰撞的时间极短，在此碰撞过程中，下列
哪些情况是可能发生的（ ）
A. 小车、木块、摆球的速度都发生变化，分别变为v1、v2、v3，满足(M +m0)v = Mv1 +mv2 +m0v3
B. 摆球的速度不变，小车和木块的速度变为v1 和v2，满足Mv = Mv1 +mv2
C. 摆球的速度不变，小车和木块的速度都变为v1，满足Mv = (M +m)v1
D. 小车和摆球的速度都变为v1，木块的速度变为v2，满足(M +m0)v = (M +m0)v1 +mv2
例4
如图所示，质量为M 的楔形物体静止在光滑的水平地面上，其斜面光滑且足够长，与水平方向的夹角为
θ。一个质量为m 的小物块从斜面底端沿斜面向上以初速度v0 开始运动。当小物块沿斜面向上运动到
最高点时，速度大小为v，距地面高度为h，则下列关系式中正确的是（ ）
A. mv0 = (m+M)v
B. mv0cosθ = (m+M)v
C. mgh = 1
2m(v0sinθ)2
D. mgh+ 1
2 (m+M)v2 = 1
2mv02
例5
质量为4kg 的装砂小车以5m/s 的速度沿光滑水平面做匀速运动。质量为1 千克的物体从0.2m 高处自
由落下，恰落入车中砂里。则车速度为（ ）。
A. 5m/s
B. 4.4m/s
C. 4m/s
D. 2m/s
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71
7
例6
总质量为M 的列车以匀速度v0 在平直轨道上行驶，各车厢所受的阻力都是车重的k 倍，而与车速无
关。某时刻列车后部质量为m 的车厢脱钩，而机车的牵引力不变，则脱钩的车厢刚停下的瞬间，前面列
车的速度是多少？
例7
质量相等的三个小球a、b、c 在光滑水平面上以相同的速率运动，它们分别与原来静止的三个球甲、乙、
丙相碰（a 与甲碰，b 与乙碰，c 与丙碰），碰后a 球继续沿原来方向运动；b 球静止不动；c 球被弹回，这
时甲、乙、丙三球中动量最大的是（ ）
A. 甲球
B. 乙球
C. 丙球
D. 因甲、乙、丙的质量未知，无法判断
例8
正确率：70%
如图所示，质量为m2 的小球B 静止在光滑的水平面上，质量为m1 的小球A 以速度v0 靠近B，并与B
发生碰撞，碰撞前后两个小球的速度始终在同一条直线上。A、B 两球的半径相等，且碰撞过程没有机械
能损失。当m1、v0 一定时，若m2 越大，则（ ）
A. 碰撞后A 的速度越小
B. 碰撞后A 的速度越大
C. 碰撞过程中B 受到的冲量越小
D. 碰撞过程中A 受到的冲量越大
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72
7
例9
正确率：17%
用不可伸长的细线悬挂一质量为M 的小木块，木块从某一高度释放，细线始终保持紧绷，如图所示，现
有一质量为m 的子弹自左方水平射向木块，子弹射入木块时木块恰好处在最低点，且速率为v，方向水
平向左，子弹初速度为v0，并最终停留在木块里，此时速率为v，方向水平向右。则下列判断正确的是
（ ）
A. 从子弹射向木块到一起上升到最高点的过程中系统的机械能守恒
B. 子弹射入木块瞬间动量守恒，故子弹射入木块瞬间子弹和木块的共同速度为
mv0
M +m
C. 忽略空气阻力，子弹和木块一起上升过程中系统机械能守恒，其机械能小于子弹射入木块前的动能
D. 子弹和木块一起上升的最大高度为
m2v02
2g(2M +m)2
例10 如图所示，有两个大小相等、质量不同的小球A 和B，B 球静止在光滑圆弧的底端，A 球的质量为m，从
顶端释放。若两球发生弹性碰撞后，它们的落点离平台边缘的水平距离之比为1 : 3，则B 球的质量可能
是（ ）
A. 1
3m
B. 2
3m
C. 4
3m
D. 5
3m
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73
7
例11
如图所示，竖直平面内的四分之一光滑圆弧轨道下端与光滑水平桌面相切，小滑块B 静止在圆弧轨道
的最低点。现将小滑块A 从圆弧轨道的最高点无初速度释放。已知圆弧轨道半径R = 1.8m，小滑块的
质量关系是mB = 2mA，重力加速度g = 10m/s2。则碰后小滑块B 的速度大小不可能是（ ）
A. 5m/s
B. 4m/s
C. 3m/s
D. 2m/s
例12 如图所示，在光滑水平面上，质量为m 的A 球以速度v0 向右运动，与静止的质量为5m 的B 球碰撞，碰
撞后A 球以v = av0(待定系数a < 1) 的速率弹回，并与固定挡板P 发生弹性碰撞，若要使A 球能再次
追上B 球并相撞，则系数a 可以是（ ）
A. 1
4
B. 2
5
C. 2
3
D. 1
7
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7
2
模块
2
碰撞满足的条件
知识凝炼
碰撞过程要符合下列条件
1
动量守恒：p1 + p2 = p′
1 + p′
2。
2
动能不增加：Ek1 +Ek2 ⩾E′k1 +E′k2，或者
p2
1
2m1
+ p2
2
2m2
⩾p
′
1
2
2m1
+ p
′
2
2
2m2
。
3
速度要符合物理情境
（1）如果碰前两物体同向运动，则后面的物体速度必大于前面物体的速度，即v后> v前，否则无法实现碰
撞；
（2）碰撞后，原来在前的物体的速度一定增大，且原来在前的物体速度大于或等于原来在后的物体的速度。
即v′
前⩾v′
后，否则碰撞没有结束；
（3）如果碰前两物体是相向运动，则碰后，两物体的运动方向不可能都不改变，除非两物体碰撞后速度均
为零。
精讲精练
例13 质量为M 的物块以速度v 运动，与质量为m 的静止物块发生正撞，碰撞后两者的动量正好相等，两者
质量之比M
m 可能为（ ）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
例14 甲、乙两球在光滑水平轨道上同向运动，已知它们的动量分别是p甲= 5kg·m/s，p乙= 7kg·m/s，甲追上
乙并发生碰撞，碰撞后乙球的动量变为p乙
′ = 10kg·m/s，则两球质量m甲与m乙的关系可能是（ ）
A. m乙= m甲
B. m乙= 2m甲
C. m乙= 4m甲
D. m乙= 6m甲
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7
例15 如图所示，滑块A、C 质量均为m，滑块B 质量为3
2m。开始时A、B 分别以v1、v2 的速度沿光滑水平轨
道向固定在右侧的挡板运动，现将C 无初速度地放在A 上，并与A 粘合不再分开，此时A 与B 相距较
近，B 与挡板碰撞将以原速率反弹，A 与B 碰撞将粘合在一起。为使B 能与挡板碰撞两次，v1、v2 应满足
（ ）
A. v1 ⩽2v2
B. v1 ⩽3
2v2
C. v1 > 2v2
D. 3
2v2 < v1 ⩽2v2
3
模块
3
爆炸与反冲
精讲精练
例16 空中有一爆炸物，当其速度恰好沿水平方向时，炸裂成a、b 两块，若质量较大的a 块的速度方向仍沿原
来的方向，不计空气阻力，则（ ）
A. b 的速度方向可能与原速度方向相同
B. a、b 两块的动量大小相等、方向相反
C. 在炸裂过程中，a、b 受到的爆炸力的冲量大小一定相等
D. a、b 落地前在空中的运动时间相同
例17
正确率：70%
一炮弹质量为m，以一定的倾角斜向上发射，达到最高点时速度大小为v，方向水平。炮弹在最高点爆炸
成两块，其中一块恰好做自由落体运动，质量为m
4 ，则爆炸后另一块瞬时速度大小为（ ）
A. v
B. 3v
4
C. 4v
3
D. 0
高三物理·目标985 复习班（全国）·秋
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7
例18 一辆炮车静止在光滑水平导轨上，车和炮弹总质量为M，炮筒水平发射一质量为m 的炮弹，炮弹离开炮
膛时对地的速度为v0，则炮车的后退速度为（ ）
A. mv0
M
B.
mv0
M −m
C. −Mv0
M −m
D. −mv0
M −m
例19
正确率：55%
如图所示，自行火炮(炮管水平) 连同炮弹的总质量为M，在水平路面上以v1 的速度向右匀速行驶，发
射一枚质量为m 的炮弹后，自行火炮的速度变为v2，仍向右行驶，则发射炮弹后炮弹与炮筒的相对速度
v0 为（ ）
A. M (v1 −v2)+mv2
m
B. M (v1 −v2)
m
C. M (v1 −v2)+2mv2
m
D. M (v1 −v2)−m(v1 −v2)
m
例20
正确率：54%
实验观察到，静止在匀强磁场中A 点的原子核发生β 衰变，衰变产生的新核与电子恰在纸面内做匀速
圆周运动，运动方向和轨迹示意如图。则（ ）
A. 轨迹1 是电子的，磁场方向垂直纸面向外
B. 轨迹2 是电子的，磁场方向垂直纸面向外
C. 轨迹1 是新核的，磁场方向垂直纸面向里
D. 轨迹2 是新核的，磁场方向垂直纸面向里
