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2
三角函数
8
高中/ 数学/ CMO 代数班
精讲精炼
【例1】
求sin1◦sin2◦sin3◦···sin89◦．
【例2】
求最小正整数n，使得
1
sin45◦sin46◦+
1
sin47◦sin48◦+···+
1
sin133◦sin134◦=
1
sinn◦．
9
第2 讲
三角函数
【例3】
A，B，C 为一锐角三角形的三个内角
求证：∑sin4A ⩾
√
3
2 ∑sin3A
【例4】
锐角三角形，证明下式非负
∑sin(A−B)sin(A−C)
sin2A
10
高中/ 数学/ CMO 代数班
【例5】
设x，y，z 是非负实数，证明：
(x+y+z)
(
1
√
y2 +z2 +yz
+
1
√
z2 +x2 +zx
+
1
√
x2 +y2 +xy
)
⩾4+ 2
√
3．
【例6】
设正实数a，b，c 满足a+b =
√
ab+9，b+c =
√
bc+16，c+a =
√
ca+25．
求a+b+c．
11
第2 讲
三角函数
【例7】
设x，y 及z ⩾0，且满足yz+zx+xy = 1．求证：
x
(
1−y2)(
1−z2)
+y
(
1−z2)(
1−x2)
+z
(
1−x2)(
1−y2)
⩽4
9
√
3．
【例8】
设x，y，z ∈R，则M = sin2 (x−y)+sin2 (y−z)+sin2 (x−z) 的最大值为
．
12
高中/ 数学/ CMO 代数班
【例9】
求函数的最小值，其中x ∈R
√
10−6cosx+
√
17
8 −3
√
2
2
sinx+
√
19−2
√
2cosx−8sinx
【例10】
设n 是整数，求证：
n
∏
k=1
tan
[
π
3
(
1+
3k
3n −1
)]
=
n
∏
k=1
cot
[
π
3
(
1−
3k
3n −1
)]
．
13
第2 讲
三角函数
【例11】
在三角形ABC 中，3sin4 A
2 +9tan8 A
2 +8sin6 B
2 +4tan6 B
2 +24sin8C
2 +2tan4C
2 的最小值为
．
【例12】
在三角形ABC 中，若5cosA+6cosB+7cosC = 9，求证：
sin2 A
2 +sin3 B
2 +sin4C
2 ⩾7
16
