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第9讲调和点列与
调和线束
03
第8讲 几何变换
01
第10讲完全四边形
05
第11讲三角法解
几何
06
第12讲代数法解
几何
08
第13讲几何不等式
10
第14讲几何最值
12
第15讲几何综合
14
2019 秋高二数学实验班作业
1
第8 讲
几何变换
第8 讲
几何变换
检测题
1
△A1B1C1 是不等边锐角△ABC 的垂足三角形，A2，B2，C2 是△A1B1C1 的内切圆分别切B1C1，C1A1，
A1B1 的切点．证明：△A2B2C2 与△ABC 的欧拉线重合．
2019 秋高二数学实验班作业
2
第8 讲
几何变换
2 四边形ABCD 外切于圆ω，边AB 和CD 所在的直线相交于点O．圆ω1 与边BC 相切于点K，且与
边AB 和CD 所在的直线都相切；圆ω2 与边AD 相切于点L，且亦与边AB 和CD 作在的直线都相
切，现知点O，K，L 共线，证明：边BC 和AD 的中点以及圆ω 的圆心三点共线．
2019 秋高二数学实验班作业
3
第9 讲
调和点列与调和线束
第9 讲
调和点列与调和线束
检测题
1
已知AD、BE，CF 为锐角△ABC 的三条高，过D 作EF 的平行线RQ，RQ 分别交AB 和AC 于R、Q．
P 为EF 与CB 的延长线的交点，证明：△PQR 的外接圆通过BC 的中点M．
2019 秋高二数学实验班作业
4
第9 讲
调和点列与调和线束
2 已知PA，PB 是由⊙O 外一点P 引出的两条切线，M，N 分别为线段AP，AB 的中点，延长MN 交⊙O
于点C，点N 在M 与C 之间，PC 交⊙O 于点D，延长ND 交PB 于点Q．证明：四边形MNQP 为
菱形．
2019 秋高二数学实验班作业
5
第10 讲
完全四边形
第10 讲
完全四边形
检测题
1
在完全四边形ABCDEF 中，顶点A、B、D、F 四点共圆O，其对角线AD 与BF 交于点G．
（1）设O1、O2 分别是△ACF、△ABE 的外心，则△OO1O2 ∼△DCE．
（2）设对角线AD 的延长线交对角线CE 于W，则WC = WE 的充要条件是WA·WD = WC2．
2019 秋高二数学实验班作业
6
第11 讲
三角法解几何
第11 讲
三角法解几何
检测题
1
设P 是△ABC 内一点．求证：∠PAB、∠PBC、∠PCA 中至少有一个不大于30◦．
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7
第11 讲
三角法解几何
2 M 为△ABC 的边AB 上任一点，r1、r2、r 分别为△AMC、△BMC、△ABC 的内切圆半径：ρ1、ρ2、ρ 分
别为这三个三角形的旁切圆半径(在∠ACB 内部)．
求证：r1
ρ1
· r2
ρ2
= r
ρ ．
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8
第12 讲
代数法解几何
第12 讲
代数法解几何
检测题
1
设P 为正五边形ABCDE 所在平面上的任意一点．求
PA+PB
PC +PD+PE 的最小值．
2019 秋高二数学实验班作业
9
第12 讲
代数法解几何
2 在△ABC 中，已知M，N 分别为边AC，BC 的中点，证明：当且仅当AB = AC +BC
√
2
时，△CMN 的外接
圆与边AB 相切．
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10
第13 讲
几何不等式
第13 讲
几何不等式
检测题
1
已知S 为锐角△ABC 内一点，满足∠SAB = ∠SBC = ∠SCA，AS、BS、CS 分别与△SBC、△SCA、△SAB
的外接圆交于点A1、B1、C1(均异于S)．证明：
S△A1CB +S△B1AC +S△C1BA ⩾3S△ABC．
2019 秋高二数学实验班作业
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第13 讲
几何不等式
2 已知△ABC 的垂心为H，边AB、BC、CA 的中点分别为L、M、N．证明：
HL2 +HM2 +HN2 < AL2 +BM2 +CN2，当且仅当△ACB 为锐角三角形．
2019 秋高二数学实验班作业
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第14 讲
几何最值
第14 讲
几何最值
检测题
1
在梯形ABCD 中，已知AB//CD，E 为边AB 上一点，且满足EC//AD，直线AC、BD、DE 交出的三角
形的面积记为t，梯形ABCD 的面积记为T．当t
T 取最大值时，求AB
CD 的值．
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第14 讲
几何最值
2 设X 为△ABC 内部一点，记S1 = S△XBC，S2 = S△XCA，S3 = S△XAB．若一个凸多边形内部(包括边界) 有
三条线段分别平行且等于XA、XB、XC，求这样的凸多边形在m 积的最小值．
2019 秋高二数学实验班作业
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第15 讲
几何综合
第15 讲
几何综合
检测题
1
假设ABCD 是边长为a 的正方形纸板，平面上有两条距离为a 的平行线l1、l2，将正方形ABCD 该该
平面上，使得边AB、AD 与l1 的交点分别为E、F，这CB、CD 与l2 的交点分别为G、H．设△AEF、
△CGH 的周长分别为m1、m2．证明：无论怎样放置正方形纸板ABCD，m1 +m2 为定值．
2019 秋高二数学实验班作业
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第15 讲
几何综合
2 设AD 是△ABC 的中线，d 是垂直于AD 的一条直线，M 是d 上一点，E、F 分别为MB、MC 的中点，
过点E、F 且垂直于d 的直线分别与AB、AC 交于点P、Q，d′ 是过M 且垂直于PQ 的直线．证明：d′
总过一个定点．
