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三角法解几何
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高二/ 数学/ 实验A 班/ 二试
精讲精炼
【例1】
设P 为△ABC 内一点，l 为经过P 的一条直线，A1、B1、C1 分别为直线PA、PB、PC 关于直线l 的对称直线与直线
BC、AC、AB 的交点．证明A1、B1、C1 三点共线．
【例2】
证明：唯一存在三边长为连续整数且有一个角为另一个角的两倍的三角形．
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第11 讲
三角法解几何
【例3】
已知直线l 与△ABC 的边AB、AC 分别交于点D、F，与BC 的延长线交于点E，过A、B、C 且与l 平行的直线与
△ABC 的外接圆分别交于点A1、B1、C1．
证明：A1E、B1F、C1D 三线共点．
【例4】
设P、Q、R 分别是锐角△ABC 的三边BC、CA、AB 上的点，使得△PQR 为正三角形，且在所有的这些正三角形中
有最小的面积．证明：由点A、B、C 分别向QR、RP、PQ 所作的垂线交于一点．
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高二/ 数学/ 实验A 班/ 二试
【例5】
在凸六边形ABCDEF 中，已知lA、lC、lE 分别为∠A、∠C、∠E 的角平分线，gB、gD、gF 分别为∠B、∠D、∠F 的外角
平分线，直线lA、gB、gF，lC、gB、gD，lE、gD、gF 分别交于一点．证明：AD、BE、CF 三线共点．
【例6】
求证：半径为R 的正n 边形A1A2 ···An 外接⊙O 上任一点P 到各顶点的距离的平方之和为定值，并求出此定值．
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第11 讲
三角法解几何
【例7】
在△ABC 中，设∠A、∠C 的角平分线分别与边BC、AB 交于点A1、C1，与△ABC 的外接圆交于点A2、C2，且K 为
A1C2 与C1A2 的交点，I 为△ABC 的内心．证明：直线KI 过线段AC 的中点M．
【例8】
已知锐角△ABC 的内切圆分别与BC、CA、AB 切于点D、E、F．设S 为△ABC 内切圆的圆心，DS 与EF 交于点
P．若M 为边BC 的中点，证明：A、P、M 三点共线．
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高二/ 数学/ 实验A 班/ 二试
【例9】
设Ia 是△ABC 中∠A 所对的旁心，P、Q 分别是旁切圆⊙Ia 在直线AB、AC 的切点，PQ 与IaB 和IaC 交于点D、
E．设DC 与BE 交于点A1，类似定义B1、C1．证明：AA1、BB1、CC1 三线共点．
【例10】
在不等边△ABC 中，已知AD、BE、CF 为三个内角的角平分线(点D、E、F 分别在边BC、AC、AB 上)，Ka、Kb、Kc 为
△ABC 内切圆上三点，且使得DKa、EKb、FKc(点Ka、Kb、Kc 均不在BC、AC、AB 上) 均与△ABC 的内切圆相切．记
△ABC 的三边BC、CA、AB 的中点分别为A1、B1、C1，证明：A1Ka、B1Kb、C1Kc 交于△ABC 的内切圆上．
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第11 讲
三角法解几何
【例11】
设以AB 为直径的圆为⊙O，M 为⊙O 内的动点，∠AMB 的平分线与⊙O 交于点N，∠AMB 的外角平分线与NA、
NB 分别交于点P、Q，AM、BM 分别与以NQ、NP 为直径的圆交于点R、S．证明：△NRS 中过点N 的中线过一个
定点．
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高二/ 数学/ 实验A 班/ 二试
本讲重点：
学习心得：
本讲总结
