[讲义答案]第10讲完全四边形-26626b54c1bb_学而思高二全套_2019年秋季高二_2019秋高二秋季数学邹林强（实验班）二试_A129.学而思2019秋CMO代数班16讲邹林强等多个文件_[讲义答案]

答 案
见解析
解析
当点
和
，变化时，点
、
、
、
、
、
组成完全四边形的六个顶点，由性质5知
点
恰为全四边形的密克尔点，由此即知
的外心
在完全四边形四个三角形的外接圆圆
心所在的圆（即斯坦纳圆）上． 
答 案
见解析
解析
证法l 先证
． 
作
、
的外接圆
、
设它们的另一个交点为
联结
、
、
，
由
，这表
明
、
、
、
四点共圆， 
即
的外接圆
也经过点
．（事实上，
为其密克尔点） 
模块1：
1
1
例题1
A1
B
 1
C
 1
B
 1
A
 1
P
B
 2
A
 2
Q
△A
 A
 C
1
2
O
例题2
△O
 O
 O
 ∽
1
2
3
△ABC
△AEF
△CDE
⊙O
 1
⊙O
 3
M
MD
ME
MF
∠B + ∠FMD = ∠B + (∠FME + ∠EMD) = ∠B + ∠A + ∠ECB = 180∘
B
F
M
D
△BFD
⊙O
 2
M
M
 
而
是
和
的根轴，
是
和
的根轴，得
，
．由
此，
． 
同理，
． 这就表明
． 
以下用同一法来证明
的垂心
位于直线上． 
如图，自
作
的垂线与直线交于点
，联结
、
、
．因
是
的
外心，易知
；另一方面，
． 
由此可知，
，得
四点共圆． 
因此，
，而
是
的外心，知
． 
于是，
，即
． 
上式表明
也垂直于
．这就说明
是
的垂心，它的确位于直线上． 
证法2 在完全四边形
中，应用性质8（3）印证．
答 案
见解析
解析
显然
，
，
，
及
，
，
，
分别四点共圆，其直径分别为
，
，其圆心
，
，分别为
，
的中点．从而
． 
 
 
注意到
，
，
，
四点共圆（该圆即为
的九点圆，其圆心
为
的中点）．此
时，完全四边形
（或
）的密克尔点
在对角线
所在直线上（第24章
定理4）．于是，
为
和
的公共弦，从而
．故
． 
注：由于
的圆心为
，而
为完全四边形
密克尔点，则
．
1
MF
⊙O
 1
⊙O
 2
ME
⊙O
 1
⊙O
 3
O
 O
 ⊥MF
1
2
O
 O
 ⊥ME
1
3
∠O
 =
1
∠FME = ∠A
∠O
 =
2
∠B
△O
 O
 O
 ∽
1
2
3
△ABC
△O
 O
 O
 
1
2
3
H
l
O
 2
O
 O
 
1
3
l
H′
FO
 1
FO
 2
O
 H
1
′
O
 1
△AEF
∠H FO
 =
′
1
∠O
 FE =
1
90 −
∘
∠A
∠H O
 O
 =
′
2
1
90 −
∘
∠O
 O
 O
 =
3
1
2
90 −
∘
∠A
∠H FO
 =
′
1
∠H O
 O
 
′
2
1
H O
 FO
 
′
2
1
∠H O
 O
 =
′
1
2
∠H FO
 
′
2
O
 2
△BFD
∠H FO
 =
′
2
∠O
 FD =
2
90 −
∘
∠B
∠H O
 O
 =
′
1
2
90 −
∘
∠B = 90 −
∘
∠O
 O
 O
 
1
2
3
∠H O
 O
 +
′
1
2
∠O
 O
 O
 =
1
2
3
90∘
O
 H
1
′
O
 O
 
2
3
H′
△O
 O
 O
 
1
2
3
l
BCDEAF
例题3
A
M
H
N
A
E
O
F
AH
AO
H
 1
O
 1
AH
AO
O
 H
 ∥
1
1
OH
M
E
N
F
△ABC
V
OH
AMEPNF
EFPNAM
G
AP
AG
⊙AMN
⊙AEF
O
 H
 ⊥AP
1
1
AP⊥OH
⊙MENF
V
G
AMEPNF
V G⊥AP
答 案
见解析
解析
显然
，
，
，
四点共圆． 
  
在完全四边形
中，密克尔点
在对角线
所在直线上，且
（第24章定理
4）． 
在完全四边形
中，密克尔点
在对角线
所在直线上，且
（第24章定
理4）．
答 案
见解析
解析
必要性．如图，设
，
，
共点于
，
与
交于点，设
的半径为． 
由于
，则知直线
与
必相交，不妨设交于点
，联结
交
于点
，则
在完全四边形
中，
为其密克尔点，且
．（第24章定理4）  
 
又在完全四边形
，
中，设其密克尔电分别为
，
，则
在直线
上，且
；
在直线
上，且
（第24章定理4）．于是即 
知
为
的垂心，从而
．即知
．所以
与
重合， 
由
有 
，即知
，
，
，
及
，
，
，
分别四点共圆． 
由
，
及三角形内心性质，知为
，
的内
心． 
1
1
例题4
B
C
E
F
AFBMCE
G
AM
DG⊥AM
DCNEAF
H
DM
DM⊥HN
例题5
BD
CE
OP
F
OP
⊙O
I
⊙O
r
AB=
 AC
/
BC
ED
Q
AQ
⊙ABC
P ′
BCQDAE
P ′
OP ⊥AQ
′
AEBFCD
QDEFBC
M
N
M
AF
ON⊥AF
N
QF
ON⊥QF
O
△AFQ
OF⊥AQ
OP⊥AQ
P ′
P
OF ⋅OP =
⋅
PF
=
OP
⋅
OF
+
⋅
OP
OF
=
PA
⋅
OF
(
+
OP
) =
PA
⋅
OF
=
OA
(ON
OF ⋅FP = OF(OP −OF) = r −
2
OF =BF ⋅
2
FD = CF ⋅FE
B
O
D
P
C
O
E
P
OB = OD = OI
OC = OE = OI
I
△PBD
△PCE
充分性．设是
，
的共同内心，则
，
，因
此
．而
，则
，即知
，
 ，
，
四点共圆． 
从而
为完全四边形
的密克尔点，即有
．（第24章定理4） 
又由必要性中证明知，
． 故
，
，
共线，即
，
，
共点．
答 案
见解析
解析
事实上，由
，有
，从而
． 
由，
，
，
四点共圆，从而
，注意到
，于是
，即有
，从而
． 
 
故
． 
注：对于，令
，则，均为定值． 
为定值． 
由
，
，或
，知
． 
注意到
为完全四边形
的密克尔点，则同前述证明有
． 
对于，令
，
，则，为定值． 因
为完全四边形
的密克
尔点，则
，
，
，及
，
，，
分别四点共圆． 于是，
 
 
 
故
为定值． 
由
，
，知
． 
注意到
为完全四边形
的密克尔点，则同前述证明有
．
1
I
△PBD
△PCE
∠BPI = ∠IPD
∠EPI = ∠IPC
∠BPE = ∠CPD
∠PBE = ∠PBA = ∠PCA = ∠PCD
∠PEA = ∠PDA
A
E
D
P
P
BCQDAE
OP⊥AQ
OF⊥AQ
O
F
P
BD
CE
OP
例题6
△ACQ ∽△BDQ
 =
QB
QA
 
QD
QC
QA ⋅QD = QB ⋅QC
S
A
Q
B
∠QBP = ∠QBA = ∠QSA = ∠QCS
∠QPB = ∠QCA = ∠QCS
△QBP ∽△QSC
=
QS
QB
 
QC
QP
QB ⋅QC = QP ⋅QS
QA ⋅QD = QB ⋅QC = QP ⋅QS
∠PCQ = α ,   ∠PBQ = β
α
β
∠ASD = 180 −
∘
∠DCS −∠BDC = 180 −
∘
∠DCS −(∠PDQ + ∠QDB) = 180 −
∘
∠ACQ = ∠APQ = ∠BDQ
∠CAQ = ∠CPQ = ∠DBQ
∠AQC = ∠APD = ∠BQD
△ACQ ∽△BDQ
Q
DPCABS
QP ⋅QS = QB ⋅QC = QA ⋅QD
∠PCQ = α
∠PBQ = β
α
β
Q
PDCSBA
D
C
Q
S
B
A
S
Q
∠ASD = ∠CSQ + ∠BSQ = ∠CDQ + ∠BAQ
= 180 −
∘
∠DQC −α + 180 −
∘
∠AQB −β
= 180 −
∘
DSC −α + 180 −
∘
∠ASB −β = 2∠ASD −α −β
∠ASD = α + β
∠ACQ = ∠SDQ = ∠QPB = ∠BDQ
∠AQC = 180 −
∘
∠BPC = ∠BQD
△ACQ ∽BDQ
Q
PdCSBA
QP ⋅QS = QB ⋅QC = QA ⋅QD
例题7
答 案
见解析
解析
证明：如图，当过
，
的圆先作出时． 
 
在完全四边形
中，
与
相交于
，
，则知
为其密克尔点，即
知
，
，
，
四点共圆． 
又在完全四边形
中，
与
相交于
，
，则知
为其密克尔点，即
知，
，
，
四点共圆． 
当过
，
的圆先作出时． 
在完全四边形
中，
与
相交于
，
，则知
为其密克尔点，即知
，
，
，
四点共圆． 
在完全四边形
中，
与
相交于
，
，则知
为其密克尔点，即知
，
，
，
四点共圆．
答 案
见解析
解析
由于
． 
 
如图，记点
到
、
的距离分别为
，
，
到
、
的距离分别为
，
，则 
 
由
，知
，即点
在
的平分线上．
1
1  100%
P
D
BTQEFD
⊙DBQP
⊙FDEP
E
P
P
E
T
Q
P
ATQESC
⊙CAQP
⊙ETQP
Q
P
P
S
C
E
P
P
C
ATQESC
⊙CAQP
⊙CAQP
Q
P
P
E
T
Q
P
BTQEFD
⊙DBQP
⊙ETQP
Q
P
P
F
D
E
P
例题8
S
 =
△CDE
S
 −
△EF C
S
 =
△EF D
S
 −
△BCE
S
 
△BCD
D
CG
GE
d
 1
d
 2
D
AE
AB
d
 3
d
 4
 EF d
 + d
 −
2
1
( 1
3)
 EF ⋅
2
1
d
 =
3
 BC d
 + d
 −
2
1
( 2
4)
 BC ⋅
2
1
d
 ⇔
4
 EF ⋅
2
1
d
 =
1
 BC ⋅
2
1
d
 2
BC = EF=
 0
/
d
 =
1
d
 2
D
∠CGE
答 案
见解析
解析
 
由于
，则知直线
必与直线
相交，设交点为
． 
由直角三角形性质，有
，
，从而
． 
而
，
， 
故
．① 
又因
，
， 
所以
．② 
由①、②得
，因此，
、
、
三点共线． 
由
，
，相乘得
． 
又
，
，相乘得
． 
上面两式相除，得
． 
由②、③得
，因此，
、
、
三点共线． 
从而四直线
、
、
、
都过点
，亦即这四条直线相交于点
．
答 案
见解析
解析
易知，四边形
是正方形． 
因为
，
，
． 
则
，① 
且
或
．② 
1  86%
1  86%
例题9
AC > AE
BF
MN
T
EN ⋅EC = EF 2
CM ⋅EC = CB2
 =
CM
EN
 
CB2
EF 2
GN =
 ⋅
EB
CB
EN
HM =
 ⋅
CF
EF
CM
 =
HM
GM
 ⋅
EB ⋅EF
CB ⋅CF
 =
CM
EN
 ⋅
EB ⋅EF
CB ⋅CF
 =
CB2
EF 2
 
CB ⋅EB
CF ⋅EF
CF ⋅EF = FN ⋅CE
CB ⋅EB = BM ⋅CE
 =
CB ⋅EB
CF ⋅EF
 =
BM
FN
 
TM
TN
 =
HM
GN
 
TM
TN
H
G
T
 =
CN
QN
 
CB
EB
CN ⋅CE = CF 2
QN ⋅CE =
 
CB
OF ⋅EB
2
 =
EM
PM
 
EF
CF
EM ⋅CE = EB2
PM ⋅CE =
 
BF
EB −CF
2
2
 =
PM
QN
 
CB ⋅EB
CF ⋅EF
 =
PM
QN
 
TM
TN
P
Q
T
PQ
BF
HG
MN
T
T
例题10
ABGF
△EFN ∼△EAB
△CMG ∼△CFE
△CGB ∼△CEA
 =
AB
FN
 
EA
EF
 =
EF
GM
 =
CE
CG
 
EA
GB
 =
GB
GM
 
EA
EF
由①、②及
，得
． 
答 案
见解析
解析
因为
，所以
．③ 
由于
，
，代入③得
，故
．
答 案
见解析
解析
设
与
交于点
，则由
，
，故
． 
同理，
．故
为
的垂心，即
． 
由
，知
．
2  86%
3  86%
AB = GB
FN = GM
FG//BC
 =
MC
FM
 
MB
GM
GM = FN
MB = GB −GM = FG −FN = NG
 =
MC
FM
 
NG
FN
MN//CE
FC
AN
H
△AFN ∼△FGM
∠AHF = ∠HFN + ∠FNH = ∠MFG + ∠FMD = 90∘
MD⊥AN
ND⊥AM
D
△AMN
AD⊥MN
MN//CE
AD⊥CE