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5
均值不等式
28
高中/ 数学/ CMO 代数班
精讲精炼
【例1】
已知a、b、c 为非负实数，求证：a5 +b5 +c5 ⩾5abc
(
b2 −ac
)
．
【例2】
求证：xsin2aycos2a < x+y，
对于任何x，y，a > 0 都成立．
29
第5 讲
均值不等式
【例3】
(
1+0.50)
×
(
1+0.51)
×
(
1+0.52)
×···×
(
1+0.5n−1)
< 2e．
【例4】
a > b > c > 0．证明：aa (a−b)(a−c)+bb (b−c)(b−a)+cc (c−a)(c−b) ⩾0．
30
高中/ 数学/ CMO 代数班
【例5】
x3
(x+y)(x+z)(x+t) +
y3
(y+x)(y+z)(y+t) +
z3
(z+x)(z+y)(z+t) +
t3
(t +x)(t +y)(t +z) ⩾1
2
【例6】
1
a1
+
2
a1 +a2
+
3
a1 +a2 +a3
+···+
n
a1 +a2 +a3 +···+an
< 2
(
1
a1
+ 1
a2
+ 1
a3
+···+ 1
an
)
．
31
第5 讲
均值不等式
【例7】
Newton 不等式及Moclaurin 不等式：
xk 是给定的n 个正数，记：ck = ∑
zy=i
k
∏
i=1
xi
Newton 不等式:
( ck−1
Ck−1
n
)( ck+1
Ck+1
n
)
⩽
(
ck
Ck
n
)2
Maclaurin 不等式: c1
C1
n
⩾
√c2
C2
n
⩾··· ⩾
k
√ck
Ck
n
⩾··· ⩾
n
√cn
Cn
n
【例8】
设x，y，z > 0，x+y+z = 1．求证：xyz
(
1+ 1
x2 + 1
y2 + 1
z2
)
⩾28
27．
32
高中/ 数学/ CMO 代数班
【例9】
若对于任何正实数，
a2
√
a4 +3b4 +3c4 + k
a3 ·
(
c4
b + b4
c
)
⩾2
√
2
3 ．均成立，求实数k 的最小值．
【例10】
设xi ⩾1(i = 1,2,··· ,n)，证明：
∏(xi −1)
(∑(xi −1))n ⩽
∏xi
(∑xi)n ．
33
第5 讲
均值不等式
【例11】
设ai ∈R+，i = 1，2，···，n，且
n
∑
i=1
ai = 1，求M =
n
∑
i=1
ai
1+
n
∑
j̸=i,j=1
aj
的最小值．
【例12】
设n ⩾2，x1，x2，···，xn 为实数，且
n
∑
i=1
x2
i +
n−1
∑
i=1
xixi+1 = 1，对每个给定的正整数k，1 ⩽k ⩽n，求|xk| 的最大值．
